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公元前(qian)5世紀，芝諾(nuo)發表了著(zhu)名的阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)悖論：他(ta)(ta)提出(chu)讓烏(wu)(wu)龜(gui)在阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)前(qian)面1000米處開始(shi)，和阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)賽跑，并且假定阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)的速度是(shi)烏(wu)(wu)龜(gui)的10倍。當比賽開始(shi)后，若(ruo)阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)跑了1000米，設所用的時(shi)間(jian)為(wei)t，此時(shi)烏(wu)(wu)龜(gui)便(bian)領先(xian)他(ta)(ta)100米；當阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)跑完(wan)下一個100米時(shi)，他(ta)(ta)所用的時(shi)間(jian)為(wei)t/10，烏(wu)(wu)龜(gui)仍(reng)然前(qian)于他(ta)(ta)10米；當阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)跑完(wan)下一個10米時(shi)，他(ta)(ta)所用的時(shi)間(jian)為(wei)t/100，烏(wu)(wu)龜(gui)仍(reng)然前(qian)于他(ta)(ta)1米……芝諾(nuo)認為(wei)，阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)能(neng)夠繼(ji)續逼近烏(wu)(wu)龜(gui)，但決不可(ke)能(neng)追上它。

悖論解釋

關(guan)于阿(a)基里斯悖論的一個解(jie)釋是：阿(a)基里斯的確(que)永(yong)遠也追不上烏(wu)(wu)龜。雖(sui)然現(xian)實(shi)中我(wo)們知道阿(a)基里斯超越烏(wu)(wu)龜非常簡(jian)單，但是它是如何超過烏(wu)(wu)龜的在(zai)過去卻一直存在(zai)爭論。

現(xian)代物(wu)理學已經證明了時間和(he)空間不是可以無限(xian)分(fen)割的(de)，所以總有最為微(wei)小(xiao)的(de)一(yi)個時間里(li)(li)，阿(a)(a)基(ji)里(li)(li)斯(si)和(he)烏龜共同前進了一(yi)個空間單位(wei)，從(cong)此阿(a)(a)基(ji)里(li)(li)斯(si)順(shun)利超過烏龜。

產生原因

芝(zhi)諾(nuo)(nuo)悖(bei)論的(de)產生原(yuan)因(yin)，是(shi)在(zai)于“芝(zhi)諾(nuo)(nuo)時(shi)”不可能度(du)量阿基里斯追上烏(wu)龜后的(de)現象。在(zai)芝(zhi)諾(nuo)(nuo)時(shi)達(da)到無(wu)限后，正常計時(shi)仍可以進行，只不過(guo)芝(zhi)諾(nuo)(nuo)的(de)“鐘”已經無(wu)法度(du)量它們了。這個(ge)悖(bei)論實際上是(shi)反(fan)映時(shi)空并不是(shi)無(wu)限可分的(de)，運動也不是(shi)連續的(de)。

通俗一(yi)(yi)點講，我們(men)都(dou)知道(dao)一(yi)(yi)條線是(shi)(shi)由無(wu)數(shu)個(ge)點組(zu)成的(de)，但(dan)這個(ge)“無(wu)數(shu)個(ge)點”并不能說我們(men)無(wu)法畫出一(yi)(yi)條線。也就是(shi)(shi)說就是(shi)(shi)芝諾(nuo)偷換了概念(nian)，（1+0.1+0.01+……）t其實(shi)是(shi)(shi)一(yi)(yi)個(ge)有限(xian)的(de)時間，但(dan)他認(ren)為這個(ge)時間是(shi)(shi)無(wu)限(xian)大的(de)，只要時間超過(guo)（1+0.1+0.01+……）t阿基里斯(si)就追上了烏龜。

哲學辨析

阿(a)基(ji)里斯(si)悖(bei)論分(fen)離了運動(dong)與靜止，夸大(da)了相對靜止，而否(fou)認了絕對運動(dong)，是(shi)形(xing)而上(shang)學(xue)說。

黑(hei)格爾在《小(xiao)邏輯》中(zhong)說：“辯(bian)(bian)證法切(qie)不可(ke)與單純的詭(gui)辯(bian)(bian)相混淆(xiao)。詭(gui)辯(bian)(bian)的本(ben)質在于孤立起來看事(shi)物，把本(ben)身片面的、抽象的規(gui)定，認為是可(ke)靠(kao)的。”辯(bian)(bian)證唯物主義認為，運動與靜止是對立統一的辯(bian)(bian)證關系。

一方面(mian)，運(yun)(yun)動(dong)與(yu)靜止(zhi)的(de)(de)(de)(de)對(dui)立表現在：運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)(shi)絕對(dui)的(de)(de)(de)(de)，靜止(zhi)是(shi)(shi)(shi)相(xiang)(xiang)對(dui)的(de)(de)(de)(de)，二者(zhe)相(xiang)(xiang)互(hu)區別(bie)，不可(ke)混淆。所謂運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)(shi)絕對(dui)的(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)(shi)說，運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)(shi)物質的(de)(de)(de)(de)根(gen)本屬(shu)性，任何事(shi)物在任何條件下都是(shi)(shi)(shi)永恒運(yun)(yun)動(dong)的(de)(de)(de)(de)，是(shi)(shi)(shi)無(wu)條件的(de)(de)(de)(de)。所謂靜止(zhi)是(shi)(shi)(shi)相(xiang)(xiang)對(dui)的(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)(shi)說，靜止(zhi)是(shi)(shi)(shi)運(yun)(yun)動(dong)在特定條件下的(de)(de)(de)(de)特殊狀態，是(shi)(shi)(shi)有(you)條件的(de)(de)(de)(de)。

另一方面，運(yun)(yun)動與(yu)(yu)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)統一表現在：運(yun)(yun)動和(he)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)相互依(yi)存、相互貫(guan)通的(de)，即所謂動中有(you)靜(jing)(jing)(jing)、靜(jing)(jing)(jing)中有(you)動。在運(yun)(yun)動與(yu)(yu)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)關系上(shang)有(you)兩(liang)種形(xing)(xing)而(er)上(shang)學的(de)錯誤：一種是(shi)割裂運(yun)(yun)動與(yu)(yu)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)關系，否(fou)認(ren)運(yun)(yun)動，只講(jiang)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)，將靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)絕對(dui)化的(de)形(xing)(xing)而(er)上(shang)學不動論；一種是(shi)割裂運(yun)(yun)動與(yu)(yu)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)關系，只講(jiang)運(yun)(yun)動，否(fou)認(ren)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)形(xing)(xing)而(er)上(shang)學相對(dui)主(zhu)義和(he)詭辯論。

簡單證明

關于阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯追龜的問(wen)題，我們可以(yi)很簡單地證明阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯追上了(le)烏龜。

我們設烏(wu)龜先(xian)(xian)前所(suo)(suo)走(zou)(zou)過的(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)屬(shu)于集(ji)合(he)B，烏(wu)龜現在(zai)(zai)(zai)(zai)所(suo)(suo)在(zai)(zai)(zai)(zai)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)標志為b，烏(wu)龜所(suo)(suo)走(zou)(zou)過的(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)是(shi)(shi)集(ji)合(he)A，A由集(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)加上b點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)構成。只要是(shi)(shi)烏(wu)龜先(xian)(xian)前所(suo)(suo)在(zai)(zai)(zai)(zai)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，都是(shi)(shi)阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)(si)可以(yi)走(zou)(zou)到的(de)(de)(de)，因(yin)而阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)(si)可以(yi)走(zou)(zou)到集(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)。那么，我們能不能在(zai)(zai)(zai)(zai)集(ji)合(he)A中找到一(yi)個點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，它既不屬(shu)于B，也(ye)不是(shi)(shi)b，回(hui)答(da)是(shi)(shi)不能的(de)(de)(de)。因(yin)而如(ru)(ru)果阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)(si)走(zou)(zou)過了(le)集(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)(si)與b點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)距離就已經是(shi)(shi)0（如(ru)(ru)果不是(shi)(shi)0，則(ze)應該(gai)在(zai)(zai)(zai)(zai)阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)(si)與b點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)之(zhi)間還會存在(zai)(zai)(zai)(zai)著一(yi)個點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，但這個點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)并不存在(zai)(zai)(zai)(zai)），也(ye)就是(shi)(shi)說(shuo)，阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)(si)已經追上了(le)烏(wu)龜。

而(er)(er)按(an)照(zhao)我們悖論所(suo)(suo)設定的(de)(de)(de)條(tiao)件(jian)，阿基里斯(si)是(shi)(shi)可(ke)(ke)以走到烏龜先前(qian)(qian)所(suo)(suo)走過的(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點的(de)(de)(de)。因而(er)(er)阿基里斯(si)追(zhui)到了烏龜。但(dan)在上(shang)面(mian)的(de)(de)(de)分析(xi)中，我們發(fa)現(xian)了一個(ge)(ge)有(you)趣(qu)的(de)(de)(de)矛盾(dun)，這(zhe)(zhe)就是(shi)(shi)b既屬(shu)于B又不屬(shu)于B，也就是(shi)(shi)說，b既是(shi)(shi)現(xian)在又是(shi)(shi)先前(qian)(qian)。而(er)(er)且這(zhe)(zhe)是(shi)(shi)阿基里斯(si)得以追(zhui)上(shang)烏龜的(de)(de)(de)前(qian)(qian)提和條(tiao)件(jian)。這(zhe)(zhe)樣的(de)(de)(de)一個(ge)(ge)有(you)趣(qu)的(de)(de)(de)結論，是(shi)(shi)決不可(ke)(ke)能為(wei)具有(you)形而(er)(er)上(shang)學(xue)頭腦的(de)(de)(de)那些(xie)數(shu)學(xue)家們所(suo)(suo)接(jie)受的(de)(de)(de)。

此(ci)悖論假設(she)阿基里斯(si)永遠只能到達龜前一(yi)(yi)個時間(jian)(jian)段到達的(de)(de)地方，即追上的(de)(de)前一(yi)(yi)個時間(jian)(jian)段，此(ci)時條(tiao)件(jian)未(wei)發生變化(hua)，并先承認此(ci)時間(jian)(jian)段兩者間(jian)(jian)仍有(you)差異，然后(hou)用不同的(de)(de)時間(jian)(jian)段進行重復換(huan)算，假設(she)條(tiao)件(jian)仍未(wei)變化(hua)。而在(zai)此(ci)時間(jian)(jian)段的(de)(de)下一(yi)(yi)個口徑(jing)相同的(de)(de)時間(jian)(jian)段里，阿基米斯(si)就會追上。

相反觀點：這(zhe)證(zheng)明(ming)是(shi)錯誤的。因為證(zheng)明(ming)假(jia)設了(le)阿(a)基里斯(si)可以走(zou)一個點，在事(shi)實上回避了(le)悖(bei)論(lun)中(zhong)無(wu)法(fa)找第(di)1點問題實質(zhi)。故(gu)此證(zheng)明(ming)和(he)悖(bei)論(lun)無(wu)關，只是(shi)把(ba)小學應(ying)用題用集合論(lun)復述了(le)一遍(bian)。

推翻悖論

其(qi)實，我們根(gen)據中學(xue)所學(xue)過的(de)無(wu)窮等(deng)比(bi)遞縮數列求(qiu)和的(de)知識，只(zhi)需列一(yi)個方程就可(ke)以輕而易舉地推翻芝諾的(de)悖論：阿基里斯(si)在跑(pao)了

1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時便(bian)可趕上烏龜(gui)。

人們認為數(shu)列(lie)1+0.1+0.01+…………是(shi)永遠也不(bu)能窮(qiong)盡(jin)的。這只不(bu)過是(shi)一個(ge)錯覺。

我們不(bu)妨來計算一下阿基里斯能夠追上(shang)烏(wu)龜的時間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9

芝諾所說的阿基里斯不可能追上(shang)烏龜，就隱(yin)藏著時間必須小(xiao)于10t/9這(zhe)樣(yang)一個條(tiao)件。

由于阿基(ji)里(li)斯(si)和烏龜是(shi)在不斷地運動的(de)，對時間(jian)是(shi)沒有限(xian)制的(de)，時間(jian)很(hen)容易突(tu)破10t/9這(zhe)樣(yang)一(yi)(yi)個條(tiao)件。一(yi)(yi)旦突(tu)破10t/9這(zhe)樣(yang)一(yi)(yi)個條(tiao)件，阿基(ji)里(li)斯(si)就追上了或(huo)超過(guo)了烏龜。

人們被距(ju)離數列1+0.1+0.01+…………好像是永(yong)遠(yuan)也不能窮盡(jin)的(de)假象迷惑了，沒有考慮到(dao)時間數列1+0.1+0.01+…………是很容易達到(dao)和超(chao)過(guo)的(de)了。

但是不是所(suo)有的(de)數列(lie)都(dou)能(neng)達到，所(suo)以，我們(men)(men)看問題不能(neng)太極端。例如無(wu)論多少個點(dian)也不能(neng)組(zu)成直線(xian)，對于點(dian)的(de)個數來說(shuo)，我們(men)(men)就永遠無(wu)法窮盡它(ta)。

其實，以上(shang)的(de)證(zheng)明(ming)是無法(fa)推翻這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)悖(bei)論(lun)的(de)。因為這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)證(zheng)明(ming)用到(dao)了極限(xian)這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)概(gai)念。然而(er)(er)，極限(xian)這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)概(gai)念，正是為了解決阿基里斯悖(bei)論(lun)而(er)(er)定義出來的(de)一(yi)個(ge)(ge)概(gai)念。用這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)概(gai)念再(zai)反(fan)證(zheng)這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)悖(bei)論(lun)很明(ming)顯是不合理的(de)。

無限(xian)的細(xi)分并不(bu)代(dai)表不(bu)會從時間(jian)1流入時間(jian)2，否則你(ni)的時鐘將永遠停留在59分59.9999............秒。

阿基(ji)里斯能夠繼續逼近(jin)烏(wu)龜，在某一(yi)時間點之前無法追上(shang)。但永(yong)遠追不上(shang)這(zhe)(zhe)一(yi)結(jie)果并不成(cheng)立(li)，因為這(zhe)(zhe)一(yi)悖論只引導去考慮追上(shang)之前的距離，而不是追上(shang)的這(zhe)(zhe)一(yi)距離。

悖論正解

悖論隱含的(de)(de)假設就是(shi)阿(a)基里(li)(li)斯(si)沒有追(zhui)上龜，為(wei)什么(me)呢(ni)？阿(a)基里(li)(li)斯(si)的(de)(de)每(mei)一(yi)段，都是(shi)烏龜跑(pao)完了，才(cai)讓阿(a)基里(li)(li)斯(si)才(cai)跑(pao)的(de)(de)。只(zhi)是(shi)想當(dang)然的(de)(de)用了一(yi)開始(shi)的(de)(de)距離差(cha)，而這個距離差(cha)為(wei)逐段變(bian)小。

而這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)(ge)趨(qu)近過程又想用(yong)時間(jian)衡(heng)量，恰(qia)好時間(jian)和距(ju)離，都可以無(wu)限劃(hua)分。靜止(zhi)也存在(zai)(zai)(zai)這(zhe)(zhe)樣(yang)的(de)接近過程，舉個(ge)(ge)(ge)例(li)子：假設烏龜(gui)是(shi)靜止(zhi)的(de)，讓阿(a)基里斯以這(zhe)(zhe)樣(yang)的(de)方式跑(pao)。900米(mi)，90米(mi)，9米(mi)，0.9米(mi)……，這(zhe)(zhe)樣(yang)他也追(zhui)不上烏龜(gui)啊，也同樣(yang)變不成零，因(yin)為你的(de)假設就是(shi)距(ju)離的(de)無(wu)限小，這(zhe)(zhe)只是(shi)在(zai)(zai)(zai)尋找(zhao)最短的(de)距(ju)離。這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)(ge)就關系(xi)到極限了。就像在(zai)(zai)(zai)找(zhao)最小的(de)物質粒子一樣(yang)。