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公元(yuan)前5世紀，芝諾(nuo)(nuo)發表(biao)了著名的(de)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)悖(bei)論：他(ta)提出讓烏(wu)龜(gui)(gui)在阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)前面1000米(mi)(mi)處開始(shi)，和阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)賽跑，并(bing)且(qie)假定阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)的(de)速度是烏(wu)龜(gui)(gui)的(de)10倍。當(dang)(dang)比賽開始(shi)后，若(ruo)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)跑了1000米(mi)(mi)，設所用(yong)的(de)時(shi)間為t，此時(shi)烏(wu)龜(gui)(gui)便領(ling)先他(ta)100米(mi)(mi)；當(dang)(dang)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)跑完下一(yi)個100米(mi)(mi)時(shi)，他(ta)所用(yong)的(de)時(shi)間為t/10，烏(wu)龜(gui)(gui)仍然前于他(ta)10米(mi)(mi)；當(dang)(dang)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)跑完下一(yi)個10米(mi)(mi)時(shi)，他(ta)所用(yong)的(de)時(shi)間為t/100，烏(wu)龜(gui)(gui)仍然前于他(ta)1米(mi)(mi)……芝諾(nuo)(nuo)認(ren)為，阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)能(neng)夠繼續逼近烏(wu)龜(gui)(gui)，但(dan)決不可能(neng)追上(shang)它。

悖論解釋

關(guan)于阿(a)基(ji)里(li)斯(si)悖論的一個解釋(shi)是(shi)：阿(a)基(ji)里(li)斯(si)的確永(yong)遠也追(zhui)不上烏(wu)龜(gui)(gui)。雖(sui)然現(xian)實中(zhong)我們知道阿(a)基(ji)里(li)斯(si)超越烏(wu)龜(gui)(gui)非常(chang)簡單，但是(shi)它(ta)是(shi)如何超過烏(wu)龜(gui)(gui)的在過去卻一直存在爭(zheng)論。

現代(dai)物理學已經證明了時間和空(kong)間不是(shi)可以無限分割的，所(suo)以總有最為微小的一個時間里，阿(a)基(ji)里斯(si)(si)和烏龜共(gong)同前進了一個空(kong)間單位，從此阿(a)基(ji)里斯(si)(si)順(shun)利(li)超(chao)過(guo)烏龜。

產生原因

芝(zhi)(zhi)諾(nuo)(nuo)悖論的(de)產生原因，是(shi)在于(yu)“芝(zhi)(zhi)諾(nuo)(nuo)時(shi)”不(bu)可(ke)(ke)能度量(liang)阿基(ji)里斯追上烏龜后(hou)的(de)現象。在芝(zhi)(zhi)諾(nuo)(nuo)時(shi)達到(dao)無(wu)限(xian)后(hou)，正(zheng)常計時(shi)仍(reng)可(ke)(ke)以進行，只不(bu)過芝(zhi)(zhi)諾(nuo)(nuo)的(de)“鐘”已經無(wu)法度量(liang)它們了。這個悖論實(shi)際上是(shi)反映時(shi)空(kong)并(bing)不(bu)是(shi)無(wu)限(xian)可(ke)(ke)分的(de)，運(yun)動(dong)也(ye)不(bu)是(shi)連(lian)續的(de)。

通俗一(yi)點講，我們都(dou)知道一(yi)條(tiao)(tiao)線是(shi)(shi)由(you)無數(shu)(shu)個(ge)(ge)點組成的(de)，但這個(ge)(ge)“無數(shu)(shu)個(ge)(ge)點”并不能(neng)說我們無法畫(hua)出一(yi)條(tiao)(tiao)線。也就(jiu)是(shi)(shi)說就(jiu)是(shi)(shi)芝(zhi)諾偷換了(le)概念(nian)，（1+0.1+0.01+……）t其(qi)實(shi)是(shi)(shi)一(yi)個(ge)(ge)有限的(de)時(shi)間(jian)，但他認(ren)為這個(ge)(ge)時(shi)間(jian)是(shi)(shi)無限大的(de)，只要時(shi)間(jian)超(chao)過（1+0.1+0.01+……）t阿基里(li)斯就(jiu)追上了(le)烏龜。

哲學辨析

阿基里斯悖論分(fen)離(li)了(le)運動(dong)與靜止，夸大(da)了(le)相對靜止，而否(fou)認了(le)絕(jue)對運動(dong)，是形而上學(xue)說。

黑(hei)格爾在(zai)(zai)《小邏輯》中說：“辯(bian)證法(fa)切(qie)不可(ke)與單純的詭辯(bian)相混淆。詭辯(bian)的本(ben)(ben)質在(zai)(zai)于孤立(li)起來看事物，把本(ben)(ben)身片面的、抽象(xiang)的規(gui)定，認為是可(ke)靠(kao)的。”辯(bian)證唯物主義(yi)認為，運動與靜止是對(dui)立(li)統(tong)一的辯(bian)證關系(xi)。

一方面，運動與靜(jing)止(zhi)(zhi)的(de)(de)對(dui)(dui)(dui)(dui)立(li)表現在(zai)：運動是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)絕對(dui)(dui)(dui)(dui)的(de)(de)，靜(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)相(xiang)對(dui)(dui)(dui)(dui)的(de)(de)，二者相(xiang)互區別，不可混淆。所(suo)謂運動是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)絕對(dui)(dui)(dui)(dui)的(de)(de)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)說，運動是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)物(wu)質的(de)(de)根本屬性，任何事物(wu)在(zai)任何條(tiao)件(jian)(jian)下都是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)永恒(heng)運動的(de)(de)，是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)無(wu)條(tiao)件(jian)(jian)的(de)(de)。所(suo)謂靜(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)相(xiang)對(dui)(dui)(dui)(dui)的(de)(de)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)說，靜(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)運動在(zai)特定條(tiao)件(jian)(jian)下的(de)(de)特殊狀(zhuang)態，是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)有(you)條(tiao)件(jian)(jian)的(de)(de)。

另一(yi)方面，運(yun)動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)統一(yi)表現在：運(yun)動(dong)(dong)(dong)和靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)是相互(hu)依(yi)存、相互(hu)貫(guan)通的(de)，即所謂動(dong)(dong)(dong)中有靜(jing)(jing)、靜(jing)(jing)中有動(dong)(dong)(dong)。在運(yun)動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)關系(xi)上(shang)有兩(liang)種形而上(shang)學(xue)(xue)的(de)錯(cuo)誤(wu)：一(yi)種是割(ge)裂(lie)運(yun)動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)關系(xi)，否(fou)認(ren)運(yun)動(dong)(dong)(dong)，只(zhi)講靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)，將靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)絕(jue)對(dui)化的(de)形而上(shang)學(xue)(xue)不動(dong)(dong)(dong)論；一(yi)種是割(ge)裂(lie)運(yun)動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)關系(xi)，只(zhi)講運(yun)動(dong)(dong)(dong)，否(fou)認(ren)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)形而上(shang)學(xue)(xue)相對(dui)主義和詭(gui)辯論。

簡單證明

關于阿基里斯追龜的問題，我們可以很(hen)簡單地證明(ming)阿基里斯追上了烏龜。

我們設烏(wu)龜(gui)先(xian)前(qian)(qian)所(suo)走(zou)過(guo)的(de)(de)所(suo)有(you)(you)(you)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)屬于集(ji)(ji)合(he)B，烏(wu)龜(gui)現在(zai)(zai)所(suo)在(zai)(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)標(biao)志(zhi)為b，烏(wu)龜(gui)所(suo)走(zou)過(guo)的(de)(de)所(suo)有(you)(you)(you)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)是(shi)集(ji)(ji)合(he)A，A由集(ji)(ji)合(he)B中(zhong)所(suo)有(you)(you)(you)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)加上b點(dian)(dian)(dian)構成。只(zhi)要是(shi)烏(wu)龜(gui)先(xian)前(qian)(qian)所(suo)在(zai)(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)，都是(shi)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)可(ke)以走(zou)到(dao)的(de)(de)，因而(er)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)可(ke)以走(zou)到(dao)集(ji)(ji)合(he)B中(zhong)所(suo)有(you)(you)(you)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)。那么，我們能不能在(zai)(zai)集(ji)(ji)合(he)A中(zhong)找到(dao)一(yi)個(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)，它既(ji)不屬于B，也(ye)不是(shi)b，回(hui)答是(shi)不能的(de)(de)。因而(er)如(ru)果阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)走(zou)過(guo)了集(ji)(ji)合(he)B中(zhong)所(suo)有(you)(you)(you)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)，阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)與b點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)距離就已經是(shi)0（如(ru)果不是(shi)0，則應該在(zai)(zai)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)與b點(dian)(dian)(dian)之間(jian)還會存(cun)(cun)在(zai)(zai)著一(yi)個(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)，但這(zhe)個(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)并不存(cun)(cun)在(zai)(zai)），也(ye)就是(shi)說，阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)已經追上了烏(wu)龜(gui)。

而(er)(er)按照我們悖論(lun)所(suo)設定的(de)條(tiao)件，阿(a)基里(li)斯(si)(si)是(shi)可(ke)以走到烏(wu)龜先前(qian)所(suo)走過的(de)所(suo)有(you)(you)的(de)點的(de)。因而(er)(er)阿(a)基里(li)斯(si)(si)追到了(le)烏(wu)龜。但在上(shang)面的(de)分析(xi)中，我們發現(xian)了(le)一個有(you)(you)趣的(de)矛(mao)盾，這(zhe)就是(shi)b既(ji)屬(shu)于B又不屬(shu)于B，也(ye)就是(shi)說，b既(ji)是(shi)現(xian)在又是(shi)先前(qian)。而(er)(er)且這(zhe)是(shi)阿(a)基里(li)斯(si)(si)得以追上(shang)烏(wu)龜的(de)前(qian)提和條(tiao)件。這(zhe)樣的(de)一個有(you)(you)趣的(de)結論(lun)，是(shi)決(jue)不可(ke)能為(wei)具有(you)(you)形而(er)(er)上(shang)學(xue)頭(tou)腦的(de)那些數學(xue)家們所(suo)接受的(de)。

此(ci)(ci)悖論(lun)假(jia)設阿基里斯永遠只能到達龜(gui)前(qian)一(yi)個(ge)時間(jian)段(duan)(duan)到達的地方，即追(zhui)上(shang)的前(qian)一(yi)個(ge)時間(jian)段(duan)(duan)，此(ci)(ci)時條件(jian)未發生變化，并先(xian)承認此(ci)(ci)時間(jian)段(duan)(duan)兩者間(jian)仍(reng)有差異，然后用(yong)不同的時間(jian)段(duan)(duan)進行重復換算，假(jia)設條件(jian)仍(reng)未變化。而(er)在此(ci)(ci)時間(jian)段(duan)(duan)的下一(yi)個(ge)口徑相同的時間(jian)段(duan)(duan)里，阿基米斯就會追(zhui)上(shang)。

相反觀點：這(zhe)證明(ming)(ming)是(shi)錯誤(wu)的。因(yin)為證明(ming)(ming)假設了(le)(le)阿基(ji)里斯可以走一個點，在事實上回(hui)避了(le)(le)悖(bei)論中無(wu)法找第1點問題實質。故此證明(ming)(ming)和悖(bei)論無(wu)關，只(zhi)是(shi)把小學應用題用集合論復述了(le)(le)一遍。

推翻悖論

其實，我們根據中學所學過的(de)無窮等比(bi)遞縮數列求和的(de)知(zhi)識，只需列一(yi)個(ge)方程就(jiu)可以輕(qing)而易舉地推翻芝諾的(de)悖論：阿(a)基里斯在跑了

1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時便(bian)可趕上烏龜。

人們認(ren)為數列1+0.1+0.01+…………是(shi)永遠也不能(neng)窮盡的。這只(zhi)不過是(shi)一(yi)個(ge)錯覺。

我們不妨來計算(suan)一下(xia)阿基(ji)里斯能夠追上(shang)烏(wu)龜(gui)的時間(jian)為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9

芝諾所說的阿基里斯(si)不可能追上烏龜，就(jiu)隱藏著時間必(bi)須小于10t/9這(zhe)樣一個(ge)條件。

由于(yu)阿基(ji)里斯(si)和烏(wu)龜是在(zai)不斷(duan)地運動的(de)，對時(shi)間(jian)是沒有限制的(de)，時(shi)間(jian)很容(rong)易突(tu)破10t/9這樣一個(ge)條(tiao)件(jian)。一旦突(tu)破10t/9這樣一個(ge)條(tiao)件(jian)，阿基(ji)里斯(si)就追(zhui)上了或超過了烏(wu)龜。

人們被(bei)距離數(shu)列1+0.1+0.01+…………好像是(shi)永遠(yuan)也不能窮(qiong)盡的(de)假象迷惑(huo)了，沒(mei)有考慮(lv)到時間數(shu)列1+0.1+0.01+…………是(shi)很容(rong)易達到和超過(guo)的(de)了。

但是不是所有的數列都能(neng)達(da)到，所以，我們看問題不能(neng)太極(ji)端(duan)。例如無論(lun)多少(shao)個點也不能(neng)組成直線，對于點的個數來說(shuo)，我們就永遠無法(fa)窮盡(jin)它。

其實，以上(shang)的證明是(shi)無法推翻這(zhe)個(ge)悖論的。因為這(zhe)個(ge)證明用到了極限(xian)(xian)這(zhe)個(ge)概(gai)念。然而，極限(xian)(xian)這(zhe)個(ge)概(gai)念，正是(shi)為了解決(jue)阿基里斯悖論而定義出來的一個(ge)概(gai)念。用這(zhe)個(ge)概(gai)念再反(fan)證這(zhe)個(ge)悖論很明顯是(shi)不合理的。

無限的細(xi)分并不代表(biao)不會(hui)從時間1流入時間2，否則(ze)你的時鐘將永遠停(ting)留在59分59.9999............秒。

阿基里斯能夠繼(ji)續逼近烏(wu)龜，在某一時間(jian)點之前無法追(zhui)(zhui)上(shang)(shang)(shang)。但永遠(yuan)追(zhui)(zhui)不(bu)上(shang)(shang)(shang)這(zhe)(zhe)一結果并(bing)不(bu)成立，因為這(zhe)(zhe)一悖論只引(yin)導去考(kao)慮追(zhui)(zhui)上(shang)(shang)(shang)之前的距(ju)離(li)，而不(bu)是追(zhui)(zhui)上(shang)(shang)(shang)的這(zhe)(zhe)一距(ju)離(li)。

悖論正解

悖(bei)論隱含的假設就是阿(a)基里斯沒(mei)有追上龜(gui)(gui)，為(wei)什(shen)么呢？阿(a)基里斯的每一段，都是烏龜(gui)(gui)跑完(wan)了，才讓阿(a)基里斯才跑的。只是想當然的用了一開始(shi)的距離差(cha)(cha)，而這個距離差(cha)(cha)為(wei)逐段變小。

而這(zhe)個(ge)(ge)趨近過程又想(xiang)用時(shi)間(jian)衡量，恰好時(shi)間(jian)和距離(li)，都(dou)可以無(wu)限(xian)(xian)劃分。靜止也存在(zai)這(zhe)樣的(de)接近過程，舉個(ge)(ge)例子：假(jia)(jia)設(she)烏龜是靜止的(de)，讓阿基里斯以這(zhe)樣的(de)方式跑。900米，90米，9米，0.9米……，這(zhe)樣他也追不上(shang)烏龜啊，也同樣變不成零，因(yin)為你的(de)假(jia)(jia)設(she)就(jiu)(jiu)是距離(li)的(de)無(wu)限(xian)(xian)小(xiao)，這(zhe)只是在(zai)尋找最(zui)短的(de)距離(li)。這(zhe)個(ge)(ge)就(jiu)(jiu)關(guan)系(xi)到極限(xian)(xian)了(le)。就(jiu)(jiu)像(xiang)在(zai)找最(zui)小(xiao)的(de)物(wu)質(zhi)粒子一樣。