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公元前5世紀，芝(zhi)(zhi)諾發(fa)表了著(zhu)名的阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里斯悖(bei)論：他(ta)提(ti)出讓烏龜(gui)(gui)在阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里斯前面1000米(mi)處開始，和(he)阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里斯賽(sai)跑(pao)，并且假定(ding)阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里斯的速(su)度是烏龜(gui)(gui)的10倍。當(dang)(dang)比賽(sai)開始后，若阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里斯跑(pao)了1000米(mi)，設(she)所(suo)用(yong)的時間(jian)為(wei)t，此時烏龜(gui)(gui)便領先他(ta)100米(mi)；當(dang)(dang)阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里斯跑(pao)完下一個100米(mi)時，他(ta)所(suo)用(yong)的時間(jian)為(wei)t/10，烏龜(gui)(gui)仍然前于他(ta)10米(mi)；當(dang)(dang)阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里斯跑(pao)完下一個10米(mi)時，他(ta)所(suo)用(yong)的時間(jian)為(wei)t/100，烏龜(gui)(gui)仍然前于他(ta)1米(mi)……芝(zhi)(zhi)諾認為(wei)，阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里斯能夠(gou)繼續逼近烏龜(gui)(gui)，但決不(bu)可能追(zhui)上它。

悖論解釋

關于阿(a)基里斯悖論的一(yi)個解釋是(shi)：阿(a)基里斯的確(que)永(yong)遠也追不上烏龜。雖然現實中我們知道(dao)阿(a)基里斯超(chao)越烏龜非常簡(jian)單，但是(shi)它是(shi)如何超(chao)過烏龜的在(zai)過去(qu)卻一(yi)直存(cun)在(zai)爭論。

現代(dai)物理學已經證明(ming)了時間(jian)和空間(jian)不(bu)是可以無限分割的，所以總有最為微小的一(yi)個時間(jian)里，阿基(ji)里斯和烏龜共同(tong)前進了一(yi)個空間(jian)單(dan)位(wei)，從(cong)此阿基(ji)里斯順利超過烏龜。

產生原因

芝(zhi)諾悖(bei)論的(de)(de)產生(sheng)原因，是(shi)在于“芝(zhi)諾時(shi)”不(bu)可(ke)能(neng)度(du)量阿基里斯追(zhui)上(shang)烏龜后的(de)(de)現象。在芝(zhi)諾時(shi)達到無(wu)限后，正(zheng)常(chang)計時(shi)仍可(ke)以進行，只不(bu)過芝(zhi)諾的(de)(de)“鐘”已(yi)經無(wu)法(fa)度(du)量它們了。這個悖(bei)論實際(ji)上(shang)是(shi)反映時(shi)空(kong)并不(bu)是(shi)無(wu)限可(ke)分的(de)(de)，運(yun)動也不(bu)是(shi)連續(xu)的(de)(de)。

通俗一點講，我們都(dou)知道一條(tiao)線(xian)是由無(wu)(wu)數(shu)個(ge)(ge)點組成的(de)，但這個(ge)(ge)“無(wu)(wu)數(shu)個(ge)(ge)點”并不能(neng)說(shuo)(shuo)我們無(wu)(wu)法畫(hua)出一條(tiao)線(xian)。也就(jiu)是說(shuo)(shuo)就(jiu)是芝諾偷換了(le)概念，（1+0.1+0.01+……）t其實是一個(ge)(ge)有限的(de)時(shi)間，但他認為這個(ge)(ge)時(shi)間是無(wu)(wu)限大的(de)，只要時(shi)間超過（1+0.1+0.01+……）t阿基里斯就(jiu)追上了(le)烏(wu)龜。

哲學辨析

阿基(ji)里斯(si)悖(bei)論(lun)分離了運(yun)動與靜(jing)止(zhi)(zhi)，夸大了相對靜(jing)止(zhi)(zhi)，而否(fou)認了絕對運(yun)動，是(shi)形(xing)而上學(xue)說。

黑(hei)格(ge)爾(er)在(zai)《小邏輯》中(zhong)說：“辯(bian)證(zheng)(zheng)法切不可(ke)與單純(chun)的(de)詭辯(bian)相(xiang)混淆。詭辯(bian)的(de)本(ben)質在(zai)于孤(gu)立(li)起來看事物，把本(ben)身片面的(de)、抽象的(de)規定，認為是(shi)可(ke)靠的(de)。”辯(bian)證(zheng)(zheng)唯物主義認為，運動(dong)與靜止是(shi)對立(li)統一的(de)辯(bian)證(zheng)(zheng)關系。

一方面，運(yun)(yun)(yun)動與靜止(zhi)的(de)(de)(de)對(dui)(dui)立(li)表現在(zai)：運(yun)(yun)(yun)動是(shi)絕對(dui)(dui)的(de)(de)(de)，靜止(zhi)是(shi)相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)的(de)(de)(de)，二者(zhe)相(xiang)(xiang)(xiang)互(hu)區(qu)別，不可混淆。所謂運(yun)(yun)(yun)動是(shi)絕對(dui)(dui)的(de)(de)(de)是(shi)說(shuo)，運(yun)(yun)(yun)動是(shi)物質的(de)(de)(de)根本屬性，任何事物在(zai)任何條件下都是(shi)永恒運(yun)(yun)(yun)動的(de)(de)(de)，是(shi)無條件的(de)(de)(de)。所謂靜止(zhi)是(shi)相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)的(de)(de)(de)是(shi)說(shuo)，靜止(zhi)是(shi)運(yun)(yun)(yun)動在(zai)特(te)定條件下的(de)(de)(de)特(te)殊(shu)狀態(tai)，是(shi)有條件的(de)(de)(de)。

另一(yi)方面，運(yun)(yun)動(dong)(dong)與(yu)(yu)(yu)靜止(zhi)(zhi)的(de)統一(yi)表現在：運(yun)(yun)動(dong)(dong)和(he)靜止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)相互(hu)依(yi)存、相互(hu)貫通(tong)的(de)，即所(suo)謂動(dong)(dong)中有(you)靜、靜中有(you)動(dong)(dong)。在運(yun)(yun)動(dong)(dong)與(yu)(yu)(yu)靜止(zhi)(zhi)關(guan)系(xi)上(shang)(shang)有(you)兩種(zhong)(zhong)形而上(shang)(shang)學(xue)(xue)的(de)錯誤：一(yi)種(zhong)(zhong)是(shi)(shi)割(ge)裂運(yun)(yun)動(dong)(dong)與(yu)(yu)(yu)靜止(zhi)(zhi)的(de)關(guan)系(xi)，否認運(yun)(yun)動(dong)(dong)，只講(jiang)靜止(zhi)(zhi)，將(jiang)靜止(zhi)(zhi)絕對化的(de)形而上(shang)(shang)學(xue)(xue)不動(dong)(dong)論；一(yi)種(zhong)(zhong)是(shi)(shi)割(ge)裂運(yun)(yun)動(dong)(dong)與(yu)(yu)(yu)靜止(zhi)(zhi)的(de)關(guan)系(xi)，只講(jiang)運(yun)(yun)動(dong)(dong)，否認靜止(zhi)(zhi)的(de)形而上(shang)(shang)學(xue)(xue)相對主(zhu)義和(he)詭辯論。

簡單證明

關于阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)追龜(gui)的(de)問題，我們可以很簡單地證明阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)追上了烏龜(gui)。

我們(men)設(she)烏龜先前所(suo)(suo)走(zou)過的(de)(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)屬于集(ji)合(he)(he)B，烏龜現(xian)在(zai)(zai)所(suo)(suo)在(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)標志為b，烏龜所(suo)(suo)走(zou)過的(de)(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)是(shi)集(ji)合(he)(he)A，A由集(ji)合(he)(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)加上b點(dian)(dian)(dian)(dian)構成。只要是(shi)烏龜先前所(suo)(suo)在(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)，都是(shi)阿(a)(a)基(ji)里斯(si)可以走(zou)到(dao)的(de)(de)(de)(de)，因而(er)阿(a)(a)基(ji)里斯(si)可以走(zou)到(dao)集(ji)合(he)(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)。那么，我們(men)能不(bu)(bu)(bu)能在(zai)(zai)集(ji)合(he)(he)A中找(zhao)到(dao)一個(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)，它既不(bu)(bu)(bu)屬于B，也不(bu)(bu)(bu)是(shi)b，回答是(shi)不(bu)(bu)(bu)能的(de)(de)(de)(de)。因而(er)如(ru)果阿(a)(a)基(ji)里斯(si)走(zou)過了(le)集(ji)合(he)(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)，阿(a)(a)基(ji)里斯(si)與b點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)距離就已經是(shi)0（如(ru)果不(bu)(bu)(bu)是(shi)0，則應(ying)該在(zai)(zai)阿(a)(a)基(ji)里斯(si)與b點(dian)(dian)(dian)(dian)之間還會存(cun)(cun)在(zai)(zai)著一個(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)，但這個(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)并不(bu)(bu)(bu)存(cun)(cun)在(zai)(zai)），也就是(shi)說，阿(a)(a)基(ji)里斯(si)已經追上了(le)烏龜。

而按照我(wo)們悖論所設定的(de)(de)(de)(de)條件(jian)，阿(a)基里斯(si)是(shi)可以走到烏龜先前所走過(guo)的(de)(de)(de)(de)所有的(de)(de)(de)(de)點的(de)(de)(de)(de)。因而阿(a)基里斯(si)追(zhui)(zhui)到了烏龜。但在上(shang)面的(de)(de)(de)(de)分析(xi)中，我(wo)們發現了一(yi)(yi)個有趣的(de)(de)(de)(de)矛盾，這(zhe)就是(shi)b既屬(shu)于B又不屬(shu)于B，也就是(shi)說，b既是(shi)現在又是(shi)先前。而且這(zhe)是(shi)阿(a)基里斯(si)得以追(zhui)(zhui)上(shang)烏龜的(de)(de)(de)(de)前提和(he)條件(jian)。這(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)個有趣的(de)(de)(de)(de)結論，是(shi)決(jue)不可能為具有形(xing)而上(shang)學(xue)頭腦的(de)(de)(de)(de)那些數學(xue)家們所接受的(de)(de)(de)(de)。

此悖(bei)論假(jia)設阿基里(li)斯(si)永(yong)遠(yuan)只(zhi)能到達龜前一(yi)個時(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)(duan)到達的(de)地(di)方，即追(zhui)上的(de)前一(yi)個時(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)(duan)，此時(shi)條件(jian)未(wei)發生變化，并(bing)先承認(ren)此時(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)(duan)兩(liang)者間(jian)(jian)仍(reng)有差異，然后用不同的(de)時(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)(duan)進行重復換算，假(jia)設條件(jian)仍(reng)未(wei)變化。而在此時(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)(duan)的(de)下一(yi)個口徑相同的(de)時(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)(duan)里(li)，阿基米(mi)斯(si)就會追(zhui)上。

相反觀點(dian)：這證明(ming)是(shi)錯誤的。因(yin)為證明(ming)假設了(le)阿基里斯(si)可以走一個(ge)點(dian)，在事實(shi)上回避了(le)悖論中無(wu)法找第1點(dian)問題實(shi)質。故此(ci)證明(ming)和(he)悖論無(wu)關(guan)，只是(shi)把小學(xue)應用題用集合(he)論復述了(le)一遍(bian)。

推翻悖論

其實，我們根據中學(xue)所學(xue)過的(de)無窮等比(bi)遞縮數列求和的(de)知識(shi)，只(zhi)需(xu)列一個方(fang)程就可(ke)以輕而(er)易(yi)舉地推翻芝諾的(de)悖論：阿基里斯在跑了(le)

1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時便可趕上烏(wu)龜(gui)。

人們(men)認為數列1+0.1+0.01+…………是永遠也不能窮(qiong)盡的。這只不過是一個錯覺。

我們不妨來計算一下阿基里斯能夠追上烏龜(gui)的時間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9

芝諾所說的阿(a)基里斯不可能追上烏龜，就隱(yin)藏著時間必(bi)須小于10t/9這樣一(yi)個條件。

由于阿基(ji)里斯和烏龜(gui)是在不斷地運動的，對時間(jian)是沒有限制的，時間(jian)很容易(yi)突(tu)破10t/9這樣(yang)一(yi)個(ge)條件(jian)。一(yi)旦突(tu)破10t/9這樣(yang)一(yi)個(ge)條件(jian)，阿基(ji)里斯就追(zhui)上了(le)或超過了(le)烏龜(gui)。

人們被(bei)距(ju)離(li)數列1+0.1+0.01+…………好像(xiang)是永(yong)遠也不能窮(qiong)盡的假象迷惑了，沒有(you)考(kao)慮到(dao)時間(jian)數列1+0.1+0.01+…………是很(hen)容易達到(dao)和超過的了。

但是(shi)不(bu)(bu)是(shi)所有的數列都能達(da)到(dao)，所以，我們(men)看問題(ti)不(bu)(bu)能太極端。例如無論多(duo)少個點也(ye)不(bu)(bu)能組成直(zhi)線，對于點的個數來說，我們(men)就永(yong)遠(yuan)無法窮盡它。

其實，以上的證明(ming)(ming)是無法推翻這(zhe)個(ge)悖(bei)(bei)論(lun)的。因為(wei)這(zhe)個(ge)證明(ming)(ming)用(yong)到了(le)極限(xian)這(zhe)個(ge)概念(nian)。然而，極限(xian)這(zhe)個(ge)概念(nian)，正是為(wei)了(le)解決阿基里斯悖(bei)(bei)論(lun)而定義出來(lai)的一個(ge)概念(nian)。用(yong)這(zhe)個(ge)概念(nian)再反證這(zhe)個(ge)悖(bei)(bei)論(lun)很明(ming)(ming)顯是不合理的。

無(wu)限的細分(fen)(fen)并不(bu)代表不(bu)會(hui)從時(shi)間1流入時(shi)間2，否則(ze)你的時(shi)鐘將(jiang)永(yong)遠停留在59分(fen)(fen)59.9999............秒。

阿基里斯能夠繼續逼(bi)近烏龜，在某一(yi)時(shi)間點之前無法(fa)追(zhui)上(shang)。但永遠(yuan)追(zhui)不(bu)上(shang)這(zhe)一(yi)結(jie)果并不(bu)成(cheng)立，因為這(zhe)一(yi)悖(bei)論只(zhi)引導(dao)去考慮追(zhui)上(shang)之前的(de)距離，而不(bu)是追(zhui)上(shang)的(de)這(zhe)一(yi)距離。

悖論正解

悖論隱含的(de)假(jia)設就是阿基里(li)斯沒有追上龜，為什么呢？阿基里(li)斯的(de)每一段(duan)(duan)，都是烏龜跑完了，才讓(rang)阿基里(li)斯才跑的(de)。只(zhi)是想(xiang)當然的(de)用(yong)了一開(kai)始(shi)的(de)距(ju)離差(cha)，而(er)這個距(ju)離差(cha)為逐段(duan)(duan)變(bian)小。

而這(zhe)個(ge)趨近(jin)(jin)過(guo)(guo)程又想用時間衡量，恰好(hao)時間和距離，都可以(yi)無(wu)限劃分。靜止也存(cun)在這(zhe)樣(yang)的接近(jin)(jin)過(guo)(guo)程，舉個(ge)例子(zi)：假設烏龜是(shi)(shi)靜止的，讓阿基(ji)里(li)斯以(yi)這(zhe)樣(yang)的方式跑。900米，90米，9米，0.9米……，這(zhe)樣(yang)他也追不上烏龜啊，也同樣(yang)變不成(cheng)零，因為你(ni)的假設就是(shi)(shi)距離的無(wu)限小，這(zhe)只(zhi)是(shi)(shi)在尋(xun)找(zhao)(zhao)最短的距離。這(zhe)個(ge)就關系(xi)到(dao)極限了。就像(xiang)在找(zhao)(zhao)最小的物質(zhi)粒(li)子(zi)一樣(yang)。