芒果视频下载

羅素(su)悖論(lun)是(shi)由羅素(su)發現的一(yi)(yi)個(ge)(ge)集(ji)合論(lun)悖論(lun)，其基本(ben)思想是(shi)：對于任意一(yi)(yi)個(ge)(ge)集(ji)合A，A要么(me)是(shi)自身(shen)(shen)的元(yuan)素(su)，即A∈A；A要么(me)不是(shi)自身(shen)(shen)的元(yuan)素(su)，即A?A。根(gen)據康托爾集(ji)合論(lun)的概(gai)括原則，可將所有不是(shi)自身(shen)(shen)元(yuan)素(su)的集(ji)合構(gou)成一(yi)(yi)個(ge)(ge)集(ji)合S1，即S1={x:x?x}。

簡介

20世(shi)紀(ji)之初，數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)界甚至整個科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)界籠罩在(zai)(zai)一(yi)片(pian)喜悅祥和的(de)(de)(de)氣氛之中，科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)們普(pu)遍認為(wei)，數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)系統性(xing)和嚴密性(xing)已(yi)經(jing)達到(dao)(dao)，科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)大廈已(yi)經(jing)基(ji)本建成(cheng)。例如，德(de)國(guo)物(wu)理學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)基(ji)爾霍夫(fu)（G．R．Kirchhoff）就(jiu)(jiu)曾經(jing)說(shuo)過：“物(wu)理學(xue)(xue)(xue)(xue)將無所(suo)作(zuo)為(wei)了，至多也只(zhi)能在(zai)(zai)已(yi)知規(gui)律的(de)(de)(de)公(gong)式(shi)的(de)(de)(de)小數(shu)點(dian)后面加上幾個數(shu)字(zi)罷了。”英國(guo)物(wu)理學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)開爾文(wen)（L．Kelvin）在(zai)(zai)1900年(nian)回顧物(wu)理學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)發展時(shi)也說(shuo)：“在(zai)(zai)已(yi)經(jing)基(ji)本建成(cheng)的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)大廈中，后輩物(wu)理學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)只(zhi)能做一(yi)些(xie)零碎的(de)(de)(de)修補工作(zuo)了。”法國(guo)大數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)彭迦(jia)萊（Poincar6）在(zai)(zai)1900年(nian)的(de)(de)(de)國(guo)際(ji)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)大會上也公(gong)開宣稱，數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)嚴格性(xing)，現(xian)在(zai)(zai)看來可以說(shuo)是(shi)(shi)實現(xian)了。然而好景(jing)不(bu)長，時(shi)隔不(bu)到(dao)(dao)兩年(nian)，科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)界就(jiu)(jiu)發生(sheng)了一(yi)件大事，這(zhe)件大事就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)羅(luo)素(su)（Russell）悖論(lun)的(de)(de)(de)發現(xian)。

例子

理發師悖論

在(zai)某個(ge)城市中(zhong)有一位理(li)(li)發(fa)師，他(ta)(ta)的(de)廣告詞是(shi)這樣寫的(de)：“本(ben)人(ren)的(de)理(li)(li)發(fa)技(ji)藝十(shi)分高超(chao)，譽滿全(quan)城。我(wo)將為本(ben)城所(suo)有不(bu)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)的(de)人(ren)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)，我(wo)也只給(gei)(gei)這些(xie)人(ren)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)。我(wo)對各位表示熱誠歡迎！”來找他(ta)(ta)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)的(de)人(ren)絡繹不(bu)絕，自(zi)然都是(shi)那些(xie)不(bu)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)的(de)人(ren)。可是(shi)，有一天，這位理(li)(li)發(fa)師從鏡子里看見自(zi)己(ji)(ji)的(de)胡(hu)子長了(le)，他(ta)(ta)本(ben)能地抓起了(le)剃刀，你們(men)看他(ta)(ta)能不(bu)能給(gei)(gei)他(ta)(ta)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)呢？如果他(ta)(ta)不(bu)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)，他(ta)(ta)就(jiu)(jiu)屬(shu)于“不(bu)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)的(de)人(ren)”，他(ta)(ta)就(jiu)(jiu)要給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)，而如果他(ta)(ta)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)呢？他(ta)(ta)又屬(shu)于“給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)的(de)人(ren)”，他(ta)(ta)就(jiu)(jiu)不(bu)該(gai)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)。

理(li)發(fa)師悖(bei)(bei)論與(yu)羅(luo)素(su)(su)悖(bei)(bei)論是(shi)等價(jia)的(de)：如果把每個(ge)人(ren)看(kan)成(cheng)一個(ge)集(ji)(ji)合(he)，這(zhe)個(ge)集(ji)(ji)合(he)的(de)元素(su)(su)被定義成(cheng)這(zhe)個(ge)人(ren)刮臉的(de)對象。那么(me)，理(li)發(fa)師宣(xuan)稱，他(ta)(ta)的(de)元素(su)(su)，都是(shi)城里不屬(shu)于(yu)自(zi)身(shen)的(de)那些集(ji)(ji)合(he)，并且(qie)城里所有不屬(shu)于(yu)自(zi)身(shen)的(de)集(ji)(ji)合(he)都屬(shu)于(yu)他(ta)(ta)。那么(me)他(ta)(ta)是(shi)否(fou)屬(shu)于(yu)他(ta)(ta)自(zi)己(ji)？這(zhe)樣就由理(li)發(fa)師悖(bei)(bei)論得到了(le)羅(luo)素(su)(su)悖(bei)(bei)論。反過來的(de)變換也(ye)是(shi)成(cheng)立(li)的(de)。

“理發師(shi)悖(bei)論”是(shi)(shi)很(hen)容(rong)易解決(jue)的(de)(de)，解決(jue)的(de)(de)辦法(fa)之一就(jiu)是(shi)(shi)修正理發師(shi)的(de)(de)規矩，將他自己排除在(zai)規矩之外(wai)；可是(shi)(shi)嚴格的(de)(de)羅素悖(bei)論就(jiu)不(bu)是(shi)(shi)這(zhe)么容(rong)易解決(jue)的(de)(de)了。

書目悖論

一(yi)(yi)個圖書館編纂了一(yi)(yi)本書名詞典，它(ta)列(lie)出這個圖書館里所有不列(lie)出自己(ji)書名的書。那么它(ta)列(lie)不列(lie)出自己(ji)的書名？這個悖論與(yu)理發師悖論基本一(yi)(yi)致。

影響

十九世紀下半葉，德國(guo)數(shu)學(xue)(xue)家康(kang)托(tuo)爾創立(li)了著名的集(ji)合(he)(he)論(lun)，在(zai)(zai)集(ji)合(he)(he)論(lun)剛產生時，曾遭到(dao)許多人(ren)的猛(meng)烈攻擊。但(dan)不久(jiu)這(zhe)一(yi)開創性成果(guo)就(jiu)為廣大數(shu)學(xue)(xue)家所接受了，并且獲得廣泛而(er)高度(du)的贊譽。數(shu)學(xue)(xue)家們(men)(men)發(fa)現，從自然數(shu)與康(kang)托(tuo)爾集(ji)合(he)(he)論(lun)出發(fa)可(ke)建(jian)立(li)起整(zheng)個數(shu)學(xue)(xue)大廈。因而(er)集(ji)合(he)(he)論(lun)成為現代數(shu)學(xue)(xue)的基(ji)石。“一(yi)切數(shu)學(xue)(xue)成果(guo)可(ke)建(jian)立(li)在(zai)(zai)集(ji)合(he)(he)論(lun)基(ji)礎上”這(zhe)一(yi)發(fa)現使數(shu)學(xue)(xue)家們(men)(men)為之陶(tao)醉。

1903年，一(yi)個(ge)震(zhen)驚數學(xue)界(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)消息傳出(chu)：集(ji)(ji)合(he)論(lun)是有漏(lou)洞的(de)(de)(de)(de)。這就是英國(guo)數學(xue)家(jia)羅(luo)素提出(chu)的(de)(de)(de)(de)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)羅(luo)素悖(bei)論(lun)。羅(luo)素的(de)(de)(de)(de)這條悖(bei)論(lun)使集(ji)(ji)合(he)論(lun)產生了(le)危機。它(ta)非常淺(qian)顯易懂，而且所(suo)涉及(ji)的(de)(de)(de)(de)只是集(ji)(ji)合(he)論(lun)中最基本的(de)(de)(de)(de)東西。所(suo)以，羅(luo)素悖(bei)論(lun)一(yi)提出(chu)就在當(dang)時的(de)(de)(de)(de)數學(xue)界(jie)(jie)與(yu)邏(luo)輯學(xue)界(jie)(jie)內引(yin)起了(le)極大震(zhen)動。德(de)國(guo)的(de)(de)(de)(de)著(zhu)名邏(luo)輯學(xue)家(jia)弗雷格在他的(de)(de)(de)(de)關于(yu)集(ji)(ji)合(he)的(de)(de)(de)(de)基礎理論(lun)完(wan)稿付印時，收(shou)到了(le)羅(luo)素關于(yu)這一(yi)悖(bei)論(lun)的(de)(de)(de)(de)信。他立刻發現(xian)，自(zi)己忙了(le)很久得出(chu)的(de)(de)(de)(de)一(yi)系(xi)列(lie)結(jie)果卻被這條悖(bei)論(lun)攪(jiao)得一(yi)團(tuan)糟(zao)。他只能在自(zi)己著(zhu)作(zuo)的(de)(de)(de)(de)末尾寫道(dao)：“一(yi)個(ge)科學(xue)家(jia)所(suo)碰到的(de)(de)(de)(de)最倒霉(mei)的(de)(de)(de)(de)事，莫(mo)過(guo)于(yu)是在他的(de)(de)(de)(de)工作(zuo)即將完(wan)成(cheng)時卻發現(xian)所(suo)干的(de)(de)(de)(de)工作(zuo)的(de)(de)(de)(de)基礎崩潰了(le)。”

公理化集合論的(de)建(jian)立，成(cheng)功排除(chu)了集合論中(zhong)出現(xian)的(de)悖(bei)論，從而比較圓滿地解(jie)決了第三(san)次數學(xue)危機。但在另一方面，羅素悖(bei)論對數學(xue)而言有著(zhu)更(geng)為深刻的(de)影響。它使(shi)得(de)數學(xue)基(ji)礎(chu)問題(ti)第一次以最迫切的(de)需要的(de)姿態擺到數學(xue)家(jia)面前，導(dao)致了數學(xue)家(jia)對數學(xue)基(ji)礎(chu)的(de)研究。而這方面的(de)進一步發展又極其深刻地影響了整(zheng)個(ge)數學(xue)。如(ru)圍(wei)繞著(zhu)數學(xue)基(ji)礎(chu)之爭，形成(cheng)了現(xian)代數學(xue)史上著(zhu)名的(de)三(san)大數學(xue)流派，而各派的(de)工作又都促(cu)進了數學(xue)的(de)大發展。

于是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三(san)次數學危機。

羅素(su)的(de)悖(bei)論(lun)發表之后(hou)，接(jie)著(zhu)又發現一系列悖(bei)論(lun)（后(hou)來(lai)歸入所(suo)謂語(yu)義悖(bei)論(lun)）：

1.理查德悖論

2.培里悖論

3.格瑞林(lin)和納爾遜悖(bei)論(lun)

悖論的解決

羅素(su)構造(zao)了一(yi)個(ge)集(ji)合S：S由(you)一(yi)切不(bu)屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)自身的集(ji)合所組(zu)成。然后羅素(su)問(wen)：s是否(fou)屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)S呢？根(gen)據(ju)排中(zhong)律，一(yi)個(ge)元(yuan)素(su)或者屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)某(mou)個(ge)集(ji)合，或者不(bu)屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)某(mou)個(ge)集(ji)合。因此，對于(yu)(yu)(yu)一(yi)個(ge)給定(ding)(ding)集(ji)合，問(wen)是否(fou)屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)它自己是有意(yi)義(yi)的。但對這(zhe)個(ge)看似合理的問(wen)題的回答卻(que)會陷入兩難境地(di)。如(ru)果s屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)S，根(gen)據(ju)S的定(ding)(ding)義(yi)，s就(jiu)(jiu)不(bu)屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)S；反之，如(ru)果s不(bu)屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)S，同(tong)樣根(gen)據(ju)定(ding)(ding)義(yi)，s就(jiu)(jiu)屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)S。無論如(ru)何都是矛盾(dun)的。

羅(luo)素悖(bei)論(lun)提出后，數學家們紛紛提出自己的(de)解(jie)(jie)決方案。人們希望能夠通過對康(kang)托爾的(de)集合(he)論(lun)進行改(gai)造，通過對集合(he)定義加以限(xian)制來(lai)排除(chu)悖(bei)論(lun)，這就需要建立新的(de)原(yuan)則(ze)。“這些原(yuan)則(ze)必(bi)須(xu)足夠狹窄，以保證排除(chu)一(yi)(yi)切(qie)(qie)矛盾(dun)；另一(yi)(yi)方面又必(bi)須(xu)充(chong)分(fen)廣(guang)闊(kuo)，使康(kang)托爾集合(he)論(lun)中一(yi)(yi)切(qie)(qie)有價值的(de)內容得以保存(cun)下來(lai)。”解(jie)(jie)決這一(yi)(yi)悖(bei)論(lun)主(zhu)要有兩種選擇，ZF公理系統(tong)和(he)NBG公理系統(tong)。

1908年，策梅(mei)羅（Ernst Zermelo）在(zai)自(zi)己這一(yi)原(yuan)則基礎上提出第一(yi)個(ge)公(gong)(gong)理化(hua)(hua)集(ji)合論體系(xi)(xi)(xi)(xi)(xi)，后來(lai)這一(yi)公(gong)(gong)理化(hua)(hua)集(ji)合系(xi)(xi)(xi)(xi)(xi)統(tong)很大(da)程度(du)上彌補(bu)了康托爾(er)樸素(su)集(ji)合論的缺陷(xian)。這一(yi)公(gong)(gong)理系(xi)(xi)(xi)(xi)(xi)統(tong)在(zai)通過弗蘭克爾(er)（Abraham Fraenkel）的改進后被稱為ZF公(gong)(gong)理系(xi)(xi)(xi)(xi)(xi)統(tong)。在(zai)該公(gong)(gong)理系(xi)(xi)(xi)(xi)(xi)統(tong)中，由于分類公(gong)(gong)理（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)(shi)(shi)x的一(yi)個(ge)性質，對任(ren)意已知集(ji)合A，存(cun)在(zai)一(yi)個(ge)集(ji)合B使得對所有元素(su)x∈B當且(qie)(qie)僅當x∈A且(qie)(qie)P(x)；因此(ci){x∣x是(shi)(shi)(shi)一(yi)個(ge)集(ji)合}并不能在(zai)該系(xi)(xi)(xi)(xi)(xi)統(tong)中寫(xie)成一(yi)個(ge)集(ji)合，由于它并不是(shi)(shi)(shi)任(ren)何(he)已知集(ji)合的子集(ji)；并且(qie)(qie)通過該公(gong)(gong)理，存(cun)在(zai)集(ji)合A={x∣x是(shi)(shi)(shi)一(yi)個(ge)集(ji)合}在(zai)ZF系(xi)(xi)(xi)(xi)(xi)統(tong)中能被證明是(shi)(shi)(shi)矛盾的，因此(ci)羅素(su)悖(bei)論在(zai)該系(xi)(xi)(xi)(xi)(xi)統(tong)中被避免了。

除ZF系(xi)(xi)統外，集(ji)合(he)論(lun)的公(gong)(gong)理(li)系(xi)(xi)統還有(you)多種，如(ru)馮·諾伊曼（von Neumann）等人(ren)提出的NBG系(xi)(xi)統等。在該公(gong)(gong)理(li)系(xi)(xi)統中，所(suo)有(you)包(bao)含集(ji)合(he)的"collection"都能(neng)被稱為(wei)類(class)，凡是集(ji)合(he)也(ye)能(neng)被稱為(wei)類，但是某些collection太大(da)了(le)（比如(ru)一個(ge)collection包(bao)含所(suo)有(you)集(ji)合(he)）以至于不能(neng)是一個(ge)集(ji)合(he)，因此只能(neng)是個(ge)類。這同樣也(ye)避免(mian)了(le)羅素悖論(lun)。