芒果视频下载

羅素(su)悖論(lun)是(shi)(shi)由羅素(su)發(fa)現的(de)(de)一(yi)個(ge)(ge)集(ji)合論(lun)悖論(lun)，其基(ji)本思想是(shi)(shi)：對于任意(yi)一(yi)個(ge)(ge)集(ji)合A，A要(yao)(yao)么是(shi)(shi)自身的(de)(de)元素(su)，即(ji)A∈A；A要(yao)(yao)么不是(shi)(shi)自身的(de)(de)元素(su)，即(ji)A?A。根據(ju)康托爾(er)集(ji)合論(lun)的(de)(de)概括原則(ze)，可將所有不是(shi)(shi)自身元素(su)的(de)(de)集(ji)合構(gou)成一(yi)個(ge)(ge)集(ji)合S1，即(ji)S1={x:x?x}。

簡介

20世紀之(zhi)初，數(shu)(shu)學(xue)界甚至整(zheng)個(ge)科(ke)(ke)學(xue)界籠(long)罩(zhao)在(zai)(zai)一片(pian)喜悅(yue)祥和(he)的(de)(de)氣氛之(zhi)中(zhong)，科(ke)(ke)學(xue)家(jia)(jia)(jia)們普遍認為，數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)系(xi)統性和(he)嚴(yan)密性已經達(da)到，科(ke)(ke)學(xue)大(da)廈已經基(ji)本建(jian)(jian)成。例如，德(de)國物(wu)(wu)(wu)理(li)學(xue)家(jia)(jia)(jia)基(ji)爾霍夫（G．R．Kirchhoff）就(jiu)曾(ceng)經說(shuo)過(guo)：“物(wu)(wu)(wu)理(li)學(xue)將(jiang)無所作為了(le)，至多也只(zhi)能在(zai)(zai)已知規律的(de)(de)公(gong)式的(de)(de)小數(shu)(shu)點后面加上幾個(ge)數(shu)(shu)字(zi)罷了(le)。”英國物(wu)(wu)(wu)理(li)學(xue)家(jia)(jia)(jia)開爾文（L．Kelvin）在(zai)(zai)1900年回顧物(wu)(wu)(wu)理(li)學(xue)的(de)(de)發展時也說(shuo)：“在(zai)(zai)已經基(ji)本建(jian)(jian)成的(de)(de)科(ke)(ke)學(xue)大(da)廈中(zhong)，后輩物(wu)(wu)(wu)理(li)學(xue)家(jia)(jia)(jia)只(zhi)能做一些零(ling)碎的(de)(de)修補工作了(le)。”法國大(da)數(shu)(shu)學(xue)家(jia)(jia)(jia)彭迦萊（Poincar6）在(zai)(zai)1900年的(de)(de)國際數(shu)(shu)學(xue)家(jia)(jia)(jia)大(da)會上也公(gong)開宣稱，數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)嚴(yan)格性，現在(zai)(zai)看來(lai)可以說(shuo)是實(shi)現了(le)。然而(er)好景不(bu)長，時隔不(bu)到兩年，科(ke)(ke)學(xue)界就(jiu)發生了(le)一件(jian)大(da)事，這件(jian)大(da)事就(jiu)是羅素(su)（Russell）悖論(lun)的(de)(de)發現。

例子

理發師悖論

在某(mou)個城(cheng)市中有一位(wei)理(li)(li)發師，他(ta)(ta)的(de)(de)廣(guang)告詞是(shi)(shi)這樣(yang)寫的(de)(de)：“本(ben)(ben)人(ren)(ren)的(de)(de)理(li)(li)發技藝十(shi)分高超，譽滿(man)全(quan)城(cheng)。我(wo)將為(wei)本(ben)(ben)城(cheng)所有不給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)(ren)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)，我(wo)也只給(gei)這些人(ren)(ren)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)。我(wo)對(dui)各位(wei)表示熱誠歡迎！”來找(zhao)他(ta)(ta)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)(ren)絡繹不絕(jue)，自(zi)(zi)(zi)然(ran)都是(shi)(shi)那些不給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)(ren)。可是(shi)(shi)，有一天，這位(wei)理(li)(li)發師從(cong)鏡子(zi)里看見自(zi)(zi)(zi)己(ji)的(de)(de)胡(hu)子(zi)長(chang)了(le)，他(ta)(ta)本(ben)(ben)能地抓起了(le)剃刀(dao)，你們看他(ta)(ta)能不能給(gei)他(ta)(ta)自(zi)(zi)(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)呢(ni)？如果(guo)他(ta)(ta)不給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)，他(ta)(ta)就屬于“不給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)(ren)”，他(ta)(ta)就要給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)，而如果(guo)他(ta)(ta)給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)呢(ni)？他(ta)(ta)又屬于“給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)(ren)”，他(ta)(ta)就不該給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)。

理(li)(li)發師悖(bei)論(lun)與羅(luo)素悖(bei)論(lun)是等(deng)價的：如果把(ba)每個人看成一個集(ji)合，這個集(ji)合的元素被(bei)定義成這個人刮臉(lian)的對象。那么(me)，理(li)(li)發師宣稱，他的元素，都是城(cheng)(cheng)里不(bu)屬(shu)于(yu)自(zi)身的那些集(ji)合，并(bing)且城(cheng)(cheng)里所有不(bu)屬(shu)于(yu)自(zi)身的集(ji)合都屬(shu)于(yu)他。那么(me)他是否屬(shu)于(yu)他自(zi)己？這樣就由理(li)(li)發師悖(bei)論(lun)得到了羅(luo)素悖(bei)論(lun)。反過來(lai)的變換也是成立的。

“理(li)發師悖論”是(shi)很容(rong)易(yi)解(jie)決的，解(jie)決的辦法之一(yi)就是(shi)修(xiu)正理(li)發師的規(gui)(gui)矩(ju)，將(jiang)他(ta)自(zi)己排除在(zai)規(gui)(gui)矩(ju)之外(wai)；可(ke)是(shi)嚴格的羅(luo)素悖論就不(bu)是(shi)這(zhe)么容(rong)易(yi)解(jie)決的了(le)。

書目悖論

一個(ge)圖書館編纂了一本書名詞典(dian)，它列出這(zhe)個(ge)圖書館里(li)所有(you)不(bu)列出自(zi)己書名的書。那(nei)么它列不(bu)列出自(zi)己的書名？這(zhe)個(ge)悖論與理發(fa)師悖論基本一致。

影響

十九世紀下半葉，德國數學家(jia)(jia)康托爾(er)創立了(le)著名的(de)(de)集(ji)合論(lun)，在(zai)(zai)集(ji)合論(lun)剛(gang)產生(sheng)時，曾遭到許多人(ren)的(de)(de)猛(meng)烈攻擊(ji)。但不久(jiu)這(zhe)一開(kai)創性成果就(jiu)為廣大(da)數學家(jia)(jia)所接受了(le)，并且獲得廣泛而高度的(de)(de)贊譽。數學家(jia)(jia)們發現(xian)(xian)，從自然數與(yu)康托爾(er)集(ji)合論(lun)出發可建立起整個數學大(da)廈。因而集(ji)合論(lun)成為現(xian)(xian)代數學的(de)(de)基(ji)石。“一切數學成果可建立在(zai)(zai)集(ji)合論(lun)基(ji)礎(chu)上”這(zhe)一發現(xian)(xian)使數學家(jia)(jia)們為之陶醉。

1903年(nian)，一(yi)(yi)個(ge)震驚(jing)數(shu)(shu)學(xue)(xue)界的(de)(de)消息傳(chuan)出(chu)：集合論(lun)(lun)是(shi)有漏洞(dong)的(de)(de)。這(zhe)就(jiu)是(shi)英國數(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)羅(luo)(luo)(luo)素提(ti)出(chu)的(de)(de)著名(ming)(ming)的(de)(de)羅(luo)(luo)(luo)素悖(bei)論(lun)(lun)。羅(luo)(luo)(luo)素的(de)(de)這(zhe)條悖(bei)論(lun)(lun)使集合論(lun)(lun)產生了(le)危機。它非(fei)常淺顯易懂，而且所涉(she)及的(de)(de)只是(shi)集合論(lun)(lun)中最基本(ben)的(de)(de)東西(xi)。所以，羅(luo)(luo)(luo)素悖(bei)論(lun)(lun)一(yi)(yi)提(ti)出(chu)就(jiu)在當時(shi)的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)界與邏輯(ji)學(xue)(xue)界內(nei)引起了(le)極大震動。德國的(de)(de)著名(ming)(ming)邏輯(ji)學(xue)(xue)家(jia)弗(fu)雷格在他的(de)(de)關于集合的(de)(de)基礎(chu)理論(lun)(lun)完稿付印時(shi)，收(shou)到(dao)了(le)羅(luo)(luo)(luo)素關于這(zhe)一(yi)(yi)悖(bei)論(lun)(lun)的(de)(de)信。他立刻發現，自己忙了(le)很(hen)久(jiu)得(de)出(chu)的(de)(de)一(yi)(yi)系列(lie)結果卻被這(zhe)條悖(bei)論(lun)(lun)攪得(de)一(yi)(yi)團糟。他只能在自己著作(zuo)的(de)(de)末尾寫道：“一(yi)(yi)個(ge)科學(xue)(xue)家(jia)所碰(peng)到(dao)的(de)(de)最倒(dao)霉的(de)(de)事，莫過于是(shi)在他的(de)(de)工(gong)(gong)作(zuo)即(ji)將完成時(shi)卻發現所干的(de)(de)工(gong)(gong)作(zuo)的(de)(de)基礎(chu)崩潰了(le)。”

公(gong)理(li)化集(ji)合(he)論(lun)的(de)(de)建立(li)，成(cheng)(cheng)功(gong)排除(chu)了(le)集(ji)合(he)論(lun)中出(chu)現(xian)的(de)(de)悖(bei)論(lun)，從而(er)(er)(er)比較(jiao)圓滿地(di)(di)解決了(le)第(di)(di)三(san)次數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)危機。但(dan)在另一方面，羅素悖(bei)論(lun)對數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)而(er)(er)(er)言有著更為深刻的(de)(de)影(ying)(ying)響(xiang)。它使得數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)基礎問(wen)題第(di)(di)一次以最迫(po)切的(de)(de)需(xu)要的(de)(de)姿(zi)態擺到數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)面前(qian)，導致了(le)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)對數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)基礎的(de)(de)研究。而(er)(er)(er)這方面的(de)(de)進一步發(fa)展又(you)極其深刻地(di)(di)影(ying)(ying)響(xiang)了(le)整(zheng)個數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)。如圍繞著數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)基礎之(zhi)爭，形成(cheng)(cheng)了(le)現(xian)代數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)史(shi)上(shang)著名的(de)(de)三(san)大數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)流派，而(er)(er)(er)各派的(de)(de)工作又(you)都(dou)促(cu)進了(le)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)大發(fa)展。

于是，數(shu)學的(de)基礎被動(dong)搖了(le)，這就是所(suo)謂的(de)第三次數(shu)學危機。

羅素(su)的(de)悖(bei)論(lun)發表之后，接著又發現(xian)一系列悖(bei)論(lun)（后來(lai)歸入所謂語(yu)義悖(bei)論(lun)）：

1.理查德悖論

2.培里悖論

3.格瑞林和(he)納(na)爾遜悖論

悖論的解決

羅(luo)素構造了一個(ge)(ge)集合(he)(he)S：S由一切不屬(shu)于(yu)(yu)自(zi)身(shen)的(de)集合(he)(he)所組成。然后羅(luo)素問：s是(shi)否屬(shu)于(yu)(yu)S呢？根據(ju)排中律，一個(ge)(ge)元素或者(zhe)屬(shu)于(yu)(yu)某個(ge)(ge)集合(he)(he)，或者(zhe)不屬(shu)于(yu)(yu)某個(ge)(ge)集合(he)(he)。因此，對(dui)于(yu)(yu)一個(ge)(ge)給(gei)定集合(he)(he)，問是(shi)否屬(shu)于(yu)(yu)它自(zi)己是(shi)有意(yi)義(yi)的(de)。但(dan)對(dui)這個(ge)(ge)看似合(he)(he)理的(de)問題(ti)的(de)回(hui)答卻會陷(xian)入(ru)兩(liang)難境地。如(ru)果(guo)s屬(shu)于(yu)(yu)S，根據(ju)S的(de)定義(yi)，s就不屬(shu)于(yu)(yu)S；反之，如(ru)果(guo)s不屬(shu)于(yu)(yu)S，同樣根據(ju)定義(yi)，s就屬(shu)于(yu)(yu)S。無論(lun)如(ru)何都是(shi)矛盾的(de)。

羅素悖(bei)論提(ti)出后，數學家們(men)(men)紛(fen)紛(fen)提(ti)出自(zi)己的(de)解(jie)決(jue)方案。人們(men)(men)希望能夠通過對康托(tuo)(tuo)爾的(de)集合(he)論進(jin)行改造，通過對集合(he)定義加以限制來排(pai)除悖(bei)論，這(zhe)就需(xu)要建立(li)新(xin)的(de)原則。“這(zhe)些原則必須足夠狹窄，以保證排(pai)除一(yi)切矛盾；另一(yi)方面又必須充分廣闊，使(shi)康托(tuo)(tuo)爾集合(he)論中一(yi)切有(you)價值的(de)內(nei)容得以保存(cun)下來。”解(jie)決(jue)這(zhe)一(yi)悖(bei)論主要有(you)兩種(zhong)選(xuan)擇(ze)，ZF公理系(xi)統和(he)NBG公理系(xi)統。

1908年(nian)，策梅羅（Ernst Zermelo）在自己這(zhe)(zhe)一(yi)原(yuan)則基礎上(shang)提出第(di)一(yi)個(ge)公(gong)(gong)理(li)化集(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)體系(xi)，后來這(zhe)(zhe)一(yi)公(gong)(gong)理(li)化集(ji)(ji)(ji)合(he)系(xi)統很大(da)程度上(shang)彌補了康托爾(er)樸素(su)(su)集(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)的(de)缺陷。這(zhe)(zhe)一(yi)公(gong)(gong)理(li)系(xi)統在通過(guo)(guo)弗蘭(lan)克爾(er)（Abraham Fraenkel）的(de)改進后被(bei)稱為ZF公(gong)(gong)理(li)系(xi)統。在該(gai)公(gong)(gong)理(li)系(xi)統中，由于分類公(gong)(gong)理(li)（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)(shi)x的(de)一(yi)個(ge)性質(zhi)，對任意已知(zhi)集(ji)(ji)(ji)合(he)A，存(cun)在一(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)B使得對所有元素(su)(su)x∈B當且(qie)僅當x∈A且(qie)P(x)；因此{x∣x是(shi)(shi)一(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)}并(bing)不(bu)能在該(gai)系(xi)統中寫成(cheng)一(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)，由于它并(bing)不(bu)是(shi)(shi)任何已知(zhi)集(ji)(ji)(ji)合(he)的(de)子集(ji)(ji)(ji)；并(bing)且(qie)通過(guo)(guo)該(gai)公(gong)(gong)理(li)，存(cun)在集(ji)(ji)(ji)合(he)A={x∣x是(shi)(shi)一(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)}在ZF系(xi)統中能被(bei)證明是(shi)(shi)矛盾的(de)，因此羅素(su)(su)悖論(lun)(lun)在該(gai)系(xi)統中被(bei)避(bi)免(mian)了。

除ZF系統外，集(ji)合(he)論的公(gong)理系統還(huan)有多種，如馮·諾(nuo)伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系統等。在該公(gong)理系統中(zhong)，所(suo)有包含集(ji)合(he)的"collection"都能(neng)被稱為(wei)類(lei)(class)，凡是(shi)(shi)集(ji)合(he)也(ye)能(neng)被稱為(wei)類(lei)，但是(shi)(shi)某些collection太(tai)大(da)了（比如一個(ge)collection包含所(suo)有集(ji)合(he)）以至(zhi)于不(bu)能(neng)是(shi)(shi)一個(ge)集(ji)合(he)，因(yin)此只能(neng)是(shi)(shi)個(ge)類(lei)。這同(tong)樣也(ye)避免了羅素悖論。