芒果视频下载

羅素悖論是由羅素發(fa)現的一個集(ji)合(he)(he)論悖論，其基本思想是：對于(yu)任意(yi)一個集(ji)合(he)(he)A，A要么是自(zi)(zi)身的元素，即A∈A；A要么不是自(zi)(zi)身的元素，即A?A。根據(ju)康(kang)托(tuo)爾集(ji)合(he)(he)論的概括原則，可將所有(you)不是自(zi)(zi)身元素的集(ji)合(he)(he)構成(cheng)一個集(ji)合(he)(he)S1，即S1={x:x?x}。

簡介

20世紀(ji)之(zhi)初，數(shu)(shu)(shu)學(xue)界(jie)甚至整個科(ke)(ke)學(xue)界(jie)籠罩在(zai)一片喜悅(yue)祥和的(de)氣氛之(zhi)中(zhong)，科(ke)(ke)學(xue)家(jia)(jia)們普遍認(ren)為，數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)系統性(xing)和嚴密性(xing)已經達到，科(ke)(ke)學(xue)大(da)(da)(da)(da)廈(sha)已經基(ji)本建成(cheng)。例如，德國(guo)物(wu)理學(xue)家(jia)(jia)基(ji)爾(er)霍夫（G．R．Kirchhoff）就(jiu)曾經說(shuo)過：“物(wu)理學(xue)將無所作(zuo)為了(le)(le)，至多也(ye)只能(neng)在(zai)已知規(gui)律的(de)公式(shi)的(de)小數(shu)(shu)(shu)點后(hou)(hou)面加上幾個數(shu)(shu)(shu)字罷了(le)(le)。”英國(guo)物(wu)理學(xue)家(jia)(jia)開爾(er)文（L．Kelvin）在(zai)1900年回顧物(wu)理學(xue)的(de)發展時也(ye)說(shuo)：“在(zai)已經基(ji)本建成(cheng)的(de)科(ke)(ke)學(xue)大(da)(da)(da)(da)廈(sha)中(zhong)，后(hou)(hou)輩物(wu)理學(xue)家(jia)(jia)只能(neng)做一些零碎的(de)修補(bu)工(gong)作(zuo)了(le)(le)。”法(fa)國(guo)大(da)(da)(da)(da)數(shu)(shu)(shu)學(xue)家(jia)(jia)彭迦(jia)萊(lai)（Poincar6）在(zai)1900年的(de)國(guo)際數(shu)(shu)(shu)學(xue)家(jia)(jia)大(da)(da)(da)(da)會上也(ye)公開宣稱(cheng)，數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)嚴格性(xing)，現(xian)在(zai)看來(lai)可以說(shuo)是(shi)(shi)實現(xian)了(le)(le)。然而好景不長(chang)，時隔不到兩年，科(ke)(ke)學(xue)界(jie)就(jiu)發生了(le)(le)一件大(da)(da)(da)(da)事，這(zhe)件大(da)(da)(da)(da)事就(jiu)是(shi)(shi)羅素（Russell）悖論的(de)發現(xian)。

例子

理發師悖論

在某個(ge)城市中有(you)一(yi)(yi)位理發師，他(ta)(ta)的廣告詞(ci)是這樣寫的：“本人(ren)(ren)的理發技(ji)藝十(shi)分高超(chao)，譽滿全城。我(wo)將為本城所有(you)不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)的人(ren)(ren)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)，我(wo)也只給(gei)(gei)(gei)這些人(ren)(ren)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)。我(wo)對(dui)各位表示熱誠歡迎！”來(lai)找他(ta)(ta)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)的人(ren)(ren)絡繹不(bu)(bu)(bu)絕，自然都是那些不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)的人(ren)(ren)。可(ke)是，有(you)一(yi)(yi)天，這位理發師從鏡子里(li)看(kan)見自己(ji)(ji)的胡子長了(le)，他(ta)(ta)本能地抓起了(le)剃刀，你們看(kan)他(ta)(ta)能不(bu)(bu)(bu)能給(gei)(gei)(gei)他(ta)(ta)自己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)呢(ni)？如(ru)(ru)果他(ta)(ta)不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)，他(ta)(ta)就(jiu)屬于(yu)“不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)的人(ren)(ren)”，他(ta)(ta)就(jiu)要給(gei)(gei)(gei)自己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)，而如(ru)(ru)果他(ta)(ta)給(gei)(gei)(gei)自己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)呢(ni)？他(ta)(ta)又屬于(yu)“給(gei)(gei)(gei)自己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)的人(ren)(ren)”，他(ta)(ta)就(jiu)不(bu)(bu)(bu)該給(gei)(gei)(gei)自己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)。

理(li)發師(shi)悖(bei)論與羅素(su)(su)悖(bei)論是(shi)(shi)等(deng)價的(de)：如(ru)果把每個人(ren)(ren)看成(cheng)(cheng)一個集(ji)合(he)(he)，這個集(ji)合(he)(he)的(de)元(yuan)素(su)(su)被定義成(cheng)(cheng)這個人(ren)(ren)刮臉的(de)對象。那么，理(li)發師(shi)宣稱(cheng)，他(ta)的(de)元(yuan)素(su)(su)，都(dou)是(shi)(shi)城里不屬(shu)(shu)于(yu)(yu)自(zi)身(shen)的(de)那些集(ji)合(he)(he)，并且(qie)城里所(suo)有不屬(shu)(shu)于(yu)(yu)自(zi)身(shen)的(de)集(ji)合(he)(he)都(dou)屬(shu)(shu)于(yu)(yu)他(ta)。那么他(ta)是(shi)(shi)否(fou)屬(shu)(shu)于(yu)(yu)他(ta)自(zi)己？這樣就由理(li)發師(shi)悖(bei)論得到(dao)了羅素(su)(su)悖(bei)論。反過(guo)來的(de)變換也是(shi)(shi)成(cheng)(cheng)立的(de)。

“理發(fa)師(shi)悖(bei)論”是(shi)很容易解決(jue)的(de)，解決(jue)的(de)辦法之一就是(shi)修(xiu)正理發(fa)師(shi)的(de)規(gui)矩，將(jiang)他自己(ji)排除(chu)在(zai)規(gui)矩之外；可(ke)是(shi)嚴格的(de)羅(luo)素悖(bei)論就不(bu)是(shi)這么容易解決(jue)的(de)了。

書目悖論

一個圖(tu)(tu)書(shu)館(guan)編纂了一本書(shu)名詞典，它(ta)列(lie)(lie)出這個圖(tu)(tu)書(shu)館(guan)里所有(you)不(bu)列(lie)(lie)出自己書(shu)名的書(shu)。那(nei)么它(ta)列(lie)(lie)不(bu)列(lie)(lie)出自己的書(shu)名？這個悖(bei)論與理(li)發師悖(bei)論基本一致。

影響

十九世紀下半葉(xie)，德國數學(xue)(xue)家(jia)(jia)康(kang)托爾創(chuang)立了著(zhu)名的(de)集(ji)(ji)(ji)合論(lun)，在(zai)集(ji)(ji)(ji)合論(lun)剛產生(sheng)時，曾遭到(dao)許多人的(de)猛烈攻擊。但不(bu)久(jiu)這一(yi)(yi)開創(chuang)性成果就為廣大數學(xue)(xue)家(jia)(jia)所接(jie)受了，并(bing)且獲得廣泛而高度的(de)贊譽。數學(xue)(xue)家(jia)(jia)們發現(xian)，從(cong)自然(ran)數與康(kang)托爾集(ji)(ji)(ji)合論(lun)出發可(ke)建立起整(zheng)個數學(xue)(xue)大廈。因而集(ji)(ji)(ji)合論(lun)成為現(xian)代(dai)數學(xue)(xue)的(de)基石。“一(yi)(yi)切數學(xue)(xue)成果可(ke)建立在(zai)集(ji)(ji)(ji)合論(lun)基礎上”這一(yi)(yi)發現(xian)使數學(xue)(xue)家(jia)(jia)們為之陶醉。

1903年，一(yi)(yi)個震(zhen)驚數學(xue)(xue)界的(de)(de)(de)消(xiao)息(xi)傳出(chu)：集(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)是有漏洞的(de)(de)(de)。這就(jiu)是英國(guo)數學(xue)(xue)家羅(luo)素提(ti)出(chu)的(de)(de)(de)著(zhu)名的(de)(de)(de)羅(luo)素悖(bei)論(lun)(lun)。羅(luo)素的(de)(de)(de)這條悖(bei)論(lun)(lun)使(shi)集(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)產生(sheng)了(le)(le)危機。它非常淺顯易懂，而(er)且所涉及(ji)的(de)(de)(de)只是集(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)中最基(ji)本(ben)的(de)(de)(de)東西。所以，羅(luo)素悖(bei)論(lun)(lun)一(yi)(yi)提(ti)出(chu)就(jiu)在(zai)當時的(de)(de)(de)數學(xue)(xue)界與邏輯學(xue)(xue)界內引起了(le)(le)極大震(zhen)動。德國(guo)的(de)(de)(de)著(zhu)名邏輯學(xue)(xue)家弗(fu)雷格在(zai)他(ta)的(de)(de)(de)關于集(ji)(ji)合(he)的(de)(de)(de)基(ji)礎理論(lun)(lun)完(wan)稿付(fu)印時，收到了(le)(le)羅(luo)素關于這一(yi)(yi)悖(bei)論(lun)(lun)的(de)(de)(de)信。他(ta)立刻發(fa)(fa)現，自(zi)己忙了(le)(le)很久得出(chu)的(de)(de)(de)一(yi)(yi)系(xi)列(lie)結(jie)果卻被這條悖(bei)論(lun)(lun)攪得一(yi)(yi)團糟。他(ta)只能(neng)在(zai)自(zi)己著(zhu)作的(de)(de)(de)末尾寫(xie)道：“一(yi)(yi)個科學(xue)(xue)家所碰(peng)到的(de)(de)(de)最倒霉的(de)(de)(de)事，莫過于是在(zai)他(ta)的(de)(de)(de)工作即將完(wan)成(cheng)時卻發(fa)(fa)現所干的(de)(de)(de)工作的(de)(de)(de)基(ji)礎崩潰了(le)(le)。”

公理化集合(he)(he)論(lun)的(de)(de)(de)建立，成功排除了(le)(le)(le)集合(he)(he)論(lun)中(zhong)出現的(de)(de)(de)悖(bei)論(lun)，從而(er)(er)比較圓滿地解決了(le)(le)(le)第(di)(di)三次數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)危機。但在另(ling)一方面(mian)(mian)，羅素悖(bei)論(lun)對(dui)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)而(er)(er)言有著(zhu)更為深(shen)刻的(de)(de)(de)影響(xiang)。它(ta)使(shi)得數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)基礎(chu)問(wen)題第(di)(di)一次以最迫切的(de)(de)(de)需要的(de)(de)(de)姿態擺(bai)到數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)家面(mian)(mian)前，導(dao)致了(le)(le)(le)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)家對(dui)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)基礎(chu)的(de)(de)(de)研究。而(er)(er)這方面(mian)(mian)的(de)(de)(de)進一步(bu)發展又(you)極其深(shen)刻地影響(xiang)了(le)(le)(le)整個(ge)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)。如(ru)圍繞著(zhu)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)基礎(chu)之爭(zheng)，形(xing)成了(le)(le)(le)現代數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)史上(shang)著(zhu)名的(de)(de)(de)三大(da)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)流派，而(er)(er)各派的(de)(de)(de)工作又(you)都促進了(le)(le)(le)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)大(da)發展。

于(yu)是，數(shu)學的(de)(de)基礎被(bei)動搖了，這就是所謂的(de)(de)第三次數(shu)學危機。

羅素的悖(bei)論(lun)發表(biao)之(zhi)后，接著(zhu)又(you)發現一(yi)系列(lie)悖(bei)論(lun)（后來(lai)歸(gui)入(ru)所謂語義悖(bei)論(lun)）：

1.理查德(de)悖論

2.培里悖論(lun)

3.格瑞林和納爾遜(xun)悖(bei)論

悖論的解決

羅(luo)素構造了一(yi)個(ge)集合(he)S：S由一(yi)切不(bu)(bu)屬于(yu)(yu)自身的(de)集合(he)所組成。然后羅(luo)素問：s是否(fou)屬于(yu)(yu)S呢？根(gen)(gen)據排(pai)中律，一(yi)個(ge)元(yuan)素或者(zhe)屬于(yu)(yu)某個(ge)集合(he)，或者(zhe)不(bu)(bu)屬于(yu)(yu)某個(ge)集合(he)。因此(ci)，對(dui)于(yu)(yu)一(yi)個(ge)給定集合(he)，問是否(fou)屬于(yu)(yu)它自己是有意義的(de)。但對(dui)這個(ge)看似合(he)理的(de)問題的(de)回答卻(que)會(hui)陷入兩難境地。如果(guo)s屬于(yu)(yu)S，根(gen)(gen)據S的(de)定義，s就不(bu)(bu)屬于(yu)(yu)S；反之，如果(guo)s不(bu)(bu)屬于(yu)(yu)S，同樣根(gen)(gen)據定義，s就屬于(yu)(yu)S。無論如何(he)都是矛盾的(de)。

羅素悖(bei)論(lun)提(ti)(ti)出(chu)后，數學家們(men)紛(fen)紛(fen)提(ti)(ti)出(chu)自己的(de)解決(jue)方案(an)。人們(men)希望能夠通過對康(kang)托爾(er)(er)的(de)集(ji)合(he)(he)論(lun)進行改(gai)造(zao)，通過對集(ji)合(he)(he)定義加以限制來(lai)排(pai)除悖(bei)論(lun)，這就需(xu)要建立新(xin)的(de)原(yuan)則。“這些(xie)原(yuan)則必須(xu)足夠狹窄，以保證排(pai)除一(yi)(yi)切(qie)矛(mao)盾；另一(yi)(yi)方面(mian)又(you)必須(xu)充(chong)分廣闊，使康(kang)托爾(er)(er)集(ji)合(he)(he)論(lun)中一(yi)(yi)切(qie)有(you)價(jia)值的(de)內(nei)容得以保存下來(lai)。”解決(jue)這一(yi)(yi)悖(bei)論(lun)主要有(you)兩種選(xuan)擇，ZF公理系統和NBG公理系統。

1908年，策梅羅（Ernst Zermelo）在(zai)自(zi)己這一(yi)原則基礎上提出第一(yi)個(ge)(ge)公(gong)理(li)(li)化(hua)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)論體系(xi)(xi)(xi)，后(hou)來這一(yi)公(gong)理(li)(li)化(hua)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)系(xi)(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)很(hen)大程度上彌補(bu)了康托(tuo)爾(er)樸(pu)素(su)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)論的(de)缺陷(xian)。這一(yi)公(gong)理(li)(li)系(xi)(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)在(zai)通(tong)過弗蘭克(ke)爾(er)（Abraham Fraenkel）的(de)改進(jin)后(hou)被稱為ZF公(gong)理(li)(li)系(xi)(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)。在(zai)該(gai)公(gong)理(li)(li)系(xi)(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)中，由于(yu)分類公(gong)理(li)(li)（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)x的(de)一(yi)個(ge)(ge)性質，對(dui)任意已知集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)A，存在(zai)一(yi)個(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)B使得對(dui)所有(you)元素(su)x∈B當(dang)且僅當(dang)x∈A且P(x)；因(yin)(yin)此{x∣x是(shi)一(yi)個(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)}并(bing)不能在(zai)該(gai)系(xi)(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)中寫成一(yi)個(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)，由于(yu)它并(bing)不是(shi)任何已知集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)的(de)子集(ji)(ji)(ji)；并(bing)且通(tong)過該(gai)公(gong)理(li)(li)，存在(zai)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)A={x∣x是(shi)一(yi)個(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)}在(zai)ZF系(xi)(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)中能被證(zheng)明(ming)是(shi)矛盾的(de)，因(yin)(yin)此羅素(su)悖論在(zai)該(gai)系(xi)(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)中被避免了。

除ZF系統外，集(ji)合論(lun)的公理(li)系統還有多種，如(ru)馮·諾伊曼(man)（von Neumann）等人提出的NBG系統等。在該公理(li)系統中，所(suo)有包(bao)(bao)含集(ji)合的"collection"都能被稱為類(lei)(class)，凡是(shi)(shi)集(ji)合也能被稱為類(lei)，但是(shi)(shi)某(mou)些collection太大了(le)（比如(ru)一(yi)個collection包(bao)(bao)含所(suo)有集(ji)合）以至于不能是(shi)(shi)一(yi)個集(ji)合，因此只(zhi)能是(shi)(shi)個類(lei)。這同樣也避(bi)免了(le)羅素悖論(lun)。