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羅素(su)悖論(lun)是由羅素(su)發現(xian)的(de)(de)一(yi)個集合(he)(he)(he)論(lun)悖論(lun)，其基本思想是：對于任意一(yi)個集合(he)(he)(he)A，A要么(me)是自身的(de)(de)元(yuan)素(su)，即(ji)A∈A；A要么(me)不是自身的(de)(de)元(yuan)素(su)，即(ji)A?A。根據康托爾集合(he)(he)(he)論(lun)的(de)(de)概括原(yuan)則(ze)，可將所有不是自身元(yuan)素(su)的(de)(de)集合(he)(he)(he)構(gou)成一(yi)個集合(he)(he)(he)S1，即(ji)S1={x:x?x}。

簡介

20世紀(ji)之(zhi)初，數學(xue)(xue)(xue)界(jie)甚至(zhi)整個(ge)科(ke)(ke)學(xue)(xue)(xue)界(jie)籠罩在一片(pian)喜悅(yue)祥和的(de)(de)氣氛之(zhi)中，科(ke)(ke)學(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)(jia)(jia)們普遍認為，數學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)系統性(xing)和嚴密性(xing)已經(jing)(jing)達到(dao)，科(ke)(ke)學(xue)(xue)(xue)大(da)廈(sha)已經(jing)(jing)基本建(jian)成。例如(ru)，德(de)國物(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)(jia)(jia)基爾霍(huo)夫（G．R．Kirchhoff）就(jiu)曾經(jing)(jing)說過：“物(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)將無(wu)所(suo)作為了(le)，至(zhi)多(duo)也只能在已知規律的(de)(de)公(gong)式(shi)的(de)(de)小數點后面(mian)加上幾(ji)個(ge)數字罷了(le)。”英國物(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)(jia)(jia)開爾文（L．Kelvin）在1900年回(hui)顧物(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)發(fa)(fa)展時也說：“在已經(jing)(jing)基本建(jian)成的(de)(de)科(ke)(ke)學(xue)(xue)(xue)大(da)廈(sha)中，后輩物(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)(jia)(jia)只能做(zuo)一些零碎的(de)(de)修(xiu)補工作了(le)。”法國大(da)數學(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)(jia)(jia)彭(peng)迦萊(lai)（Poincar6）在1900年的(de)(de)國際數學(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)(jia)(jia)大(da)會上也公(gong)開宣稱，數學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)嚴格性(xing)，現在看(kan)來可以說是實現了(le)。然而好景不(bu)長(chang)，時隔不(bu)到(dao)兩(liang)年，科(ke)(ke)學(xue)(xue)(xue)界(jie)就(jiu)發(fa)(fa)生了(le)一件(jian)大(da)事，這件(jian)大(da)事就(jiu)是羅素(su)（Russell）悖論的(de)(de)發(fa)(fa)現。

例子

理發師悖論

在某個城市中有一位理發師，他(ta)的(de)(de)(de)廣告詞是(shi)這(zhe)樣寫(xie)的(de)(de)(de)：“本(ben)(ben)人(ren)(ren)(ren)(ren)的(de)(de)(de)理發技藝十分(fen)高超，譽滿全城。我將為(wei)本(ben)(ben)城所(suo)有不(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)的(de)(de)(de)人(ren)(ren)(ren)(ren)刮(gua)(gua)臉(lian)，我也只給(gei)(gei)這(zhe)些(xie)人(ren)(ren)(ren)(ren)刮(gua)(gua)臉(lian)。我對各(ge)位表示熱(re)誠歡(huan)迎！”來找(zhao)他(ta)刮(gua)(gua)臉(lian)的(de)(de)(de)人(ren)(ren)(ren)(ren)絡(luo)繹不(bu)(bu)絕，自(zi)(zi)然都(dou)是(shi)那些(xie)不(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)的(de)(de)(de)人(ren)(ren)(ren)(ren)。可是(shi)，有一天，這(zhe)位理發師從鏡(jing)子里看見自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)胡(hu)子長了(le)，他(ta)本(ben)(ben)能(neng)地抓起了(le)剃刀，你(ni)們(men)看他(ta)能(neng)不(bu)(bu)能(neng)給(gei)(gei)他(ta)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)呢(ni)？如果他(ta)不(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)，他(ta)就(jiu)屬(shu)(shu)于(yu)“不(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)的(de)(de)(de)人(ren)(ren)(ren)(ren)”，他(ta)就(jiu)要給(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)，而如果他(ta)給(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)呢(ni)？他(ta)又(you)屬(shu)(shu)于(yu)“給(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)的(de)(de)(de)人(ren)(ren)(ren)(ren)”，他(ta)就(jiu)不(bu)(bu)該給(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)。

理(li)發師(shi)悖(bei)論(lun)與(yu)羅素(su)悖(bei)論(lun)是等價的(de)(de)(de)：如果把(ba)每個(ge)人看成(cheng)一個(ge)集合(he)(he)，這個(ge)集合(he)(he)的(de)(de)(de)元素(su)被定義成(cheng)這個(ge)人刮臉的(de)(de)(de)對(dui)象。那(nei)么，理(li)發師(shi)宣稱，他(ta)的(de)(de)(de)元素(su)，都是城里不(bu)屬(shu)(shu)于(yu)自(zi)身的(de)(de)(de)那(nei)些集合(he)(he)，并且城里所有不(bu)屬(shu)(shu)于(yu)自(zi)身的(de)(de)(de)集合(he)(he)都屬(shu)(shu)于(yu)他(ta)。那(nei)么他(ta)是否(fou)屬(shu)(shu)于(yu)他(ta)自(zi)己？這樣(yang)就(jiu)由理(li)發師(shi)悖(bei)論(lun)得到了羅素(su)悖(bei)論(lun)。反過來的(de)(de)(de)變換也是成(cheng)立的(de)(de)(de)。

“理(li)發(fa)師悖論”是很(hen)容易(yi)(yi)解(jie)決(jue)的，解(jie)決(jue)的辦法之一就(jiu)是修(xiu)正理(li)發(fa)師的規矩，將他自(zi)己排除在規矩之外；可是嚴格的羅素(su)悖論就(jiu)不(bu)是這么容易(yi)(yi)解(jie)決(jue)的了。

書目悖論

一(yi)個(ge)圖(tu)(tu)書(shu)館編纂了一(yi)本書(shu)名詞典，它列(lie)出這個(ge)圖(tu)(tu)書(shu)館里所有(you)不(bu)(bu)列(lie)出自己書(shu)名的(de)(de)書(shu)。那么(me)它列(lie)不(bu)(bu)列(lie)出自己的(de)(de)書(shu)名？這個(ge)悖(bei)論與理發師悖(bei)論基本一(yi)致。

影響

十(shi)九(jiu)世紀(ji)下(xia)半(ban)葉，德國數(shu)(shu)學(xue)(xue)家康托爾創立了著名的(de)集(ji)合(he)論，在(zai)(zai)集(ji)合(he)論剛產(chan)生時，曾遭(zao)到(dao)許多(duo)人的(de)猛烈攻擊。但(dan)不久這一開(kai)創性成(cheng)果就為廣大數(shu)(shu)學(xue)(xue)家所(suo)接受了，并且獲得廣泛而高度的(de)贊譽。數(shu)(shu)學(xue)(xue)家們(men)(men)發現(xian)，從自然數(shu)(shu)與康托爾集(ji)合(he)論出發可建立起整(zheng)個數(shu)(shu)學(xue)(xue)大廈。因而集(ji)合(he)論成(cheng)為現(xian)代(dai)數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)基石。“一切數(shu)(shu)學(xue)(xue)成(cheng)果可建立在(zai)(zai)集(ji)合(he)論基礎上”這一發現(xian)使數(shu)(shu)學(xue)(xue)家們(men)(men)為之陶(tao)醉。

1903年，一(yi)(yi)個震驚數(shu)(shu)學(xue)(xue)界的(de)(de)(de)消(xiao)息(xi)傳出：集合(he)論(lun)(lun)是有(you)漏洞(dong)的(de)(de)(de)。這(zhe)就是英國(guo)數(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)羅(luo)(luo)素提出的(de)(de)(de)著(zhu)名(ming)的(de)(de)(de)羅(luo)(luo)素悖(bei)論(lun)(lun)。羅(luo)(luo)素的(de)(de)(de)這(zhe)條悖(bei)論(lun)(lun)使集合(he)論(lun)(lun)產生了危機。它(ta)非常淺(qian)顯易(yi)懂，而(er)且所涉及的(de)(de)(de)只是集合(he)論(lun)(lun)中最(zui)基(ji)本的(de)(de)(de)東西。所以，羅(luo)(luo)素悖(bei)論(lun)(lun)一(yi)(yi)提出就在(zai)(zai)當時的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)界與邏(luo)輯學(xue)(xue)界內引起了極大震動。德國(guo)的(de)(de)(de)著(zhu)名(ming)邏(luo)輯學(xue)(xue)家(jia)弗雷格在(zai)(zai)他(ta)的(de)(de)(de)關(guan)于集合(he)的(de)(de)(de)基(ji)礎理(li)論(lun)(lun)完稿付印時，收到了羅(luo)(luo)素關(guan)于這(zhe)一(yi)(yi)悖(bei)論(lun)(lun)的(de)(de)(de)信。他(ta)立刻(ke)發現，自(zi)己忙了很久得(de)出的(de)(de)(de)一(yi)(yi)系列結果卻被這(zhe)條悖(bei)論(lun)(lun)攪(jiao)得(de)一(yi)(yi)團糟。他(ta)只能在(zai)(zai)自(zi)己著(zhu)作的(de)(de)(de)末尾寫道：“一(yi)(yi)個科學(xue)(xue)家(jia)所碰到的(de)(de)(de)最(zui)倒霉的(de)(de)(de)事，莫過(guo)于是在(zai)(zai)他(ta)的(de)(de)(de)工作即將完成時卻發現所干的(de)(de)(de)工作的(de)(de)(de)基(ji)礎崩潰(kui)了。”

公理化集(ji)合論(lun)的(de)建立，成功排除了(le)(le)集(ji)合論(lun)中出現的(de)悖(bei)論(lun)，從而(er)比較圓滿地(di)解決了(le)(le)第(di)三次(ci)數(shu)學(xue)(xue)(xue)危機。但在另一(yi)(yi)方面(mian)，羅素悖(bei)論(lun)對(dui)數(shu)學(xue)(xue)(xue)而(er)言有著(zhu)(zhu)更為深(shen)刻(ke)的(de)影響(xiang)。它使(shi)得(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)基礎(chu)(chu)問題第(di)一(yi)(yi)次(ci)以最迫切的(de)需要(yao)的(de)姿(zi)態擺到數(shu)學(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)面(mian)前，導致了(le)(le)數(shu)學(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)對(dui)數(shu)學(xue)(xue)(xue)基礎(chu)(chu)的(de)研究。而(er)這(zhe)方面(mian)的(de)進(jin)一(yi)(yi)步(bu)發展(zhan)又極(ji)其深(shen)刻(ke)地(di)影響(xiang)了(le)(le)整個數(shu)學(xue)(xue)(xue)。如圍繞(rao)著(zhu)(zhu)數(shu)學(xue)(xue)(xue)基礎(chu)(chu)之(zhi)爭，形成了(le)(le)現代數(shu)學(xue)(xue)(xue)史上著(zhu)(zhu)名的(de)三大數(shu)學(xue)(xue)(xue)流派，而(er)各派的(de)工作又都促進(jin)了(le)(le)數(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)大發展(zhan)。

于是，數(shu)學(xue)的基礎被動(dong)搖了，這就是所(suo)謂的第三次數(shu)學(xue)危(wei)機。

羅素的悖(bei)論(lun)發(fa)表之后(hou)，接著又發(fa)現一系列(lie)悖(bei)論(lun)（后(hou)來(lai)歸(gui)入所(suo)謂語義(yi)悖(bei)論(lun)）：

1.理查德悖論

2.培里悖論

3.格瑞林和納爾遜悖論

悖論的解決

羅素(su)構造了一(yi)個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)S：S由一(yi)切不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)自身的(de)集(ji)(ji)合(he)(he)所組成(cheng)。然后羅素(su)問(wen)：s是否屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)S呢？根據排中律，一(yi)個(ge)(ge)元素(su)或者屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)某個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)，或者不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)某個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)。因此，對(dui)于(yu)(yu)一(yi)個(ge)(ge)給定(ding)集(ji)(ji)合(he)(he)，問(wen)是否屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)它(ta)自己是有(you)意(yi)義的(de)。但(dan)對(dui)這個(ge)(ge)看(kan)似合(he)(he)理的(de)問(wen)題的(de)回答卻會陷入兩難境地。如果(guo)s屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)S，根據S的(de)定(ding)義，s就(jiu)不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)S；反之，如果(guo)s不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)S，同樣(yang)根據定(ding)義，s就(jiu)屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)S。無論如何都是矛盾的(de)。

羅(luo)素悖論(lun)提出(chu)后，數學家們(men)紛紛提出(chu)自己的解決方案。人們(men)希望能(neng)夠(gou)通過對(dui)康托(tuo)(tuo)爾(er)的集合論(lun)進行改造，通過對(dui)集合定義加(jia)以限制來(lai)排除悖論(lun)，這就需要建(jian)立新的原則。“這些原則必須足夠(gou)狹窄(zhai)，以保(bao)證排除一(yi)(yi)切(qie)矛盾；另(ling)一(yi)(yi)方面(mian)又必須充分廣闊，使(shi)康托(tuo)(tuo)爾(er)集合論(lun)中(zhong)一(yi)(yi)切(qie)有價值(zhi)的內(nei)容(rong)得以保(bao)存下來(lai)。”解決這一(yi)(yi)悖論(lun)主(zhu)要有兩種選(xuan)擇，ZF公(gong)理系統(tong)和NBG公(gong)理系統(tong)。

1908年，策梅羅（Ernst Zermelo）在(zai)自己(ji)這一(yi)(yi)原則基(ji)礎上(shang)提出第(di)一(yi)(yi)個(ge)公(gong)(gong)(gong)理(li)化(hua)(hua)集(ji)合(he)論體系(xi)(xi)(xi)，后(hou)(hou)來這一(yi)(yi)公(gong)(gong)(gong)理(li)化(hua)(hua)集(ji)合(he)系(xi)(xi)(xi)統(tong)很(hen)大程度上(shang)彌補了康托爾(er)樸素集(ji)合(he)論的(de)缺陷。這一(yi)(yi)公(gong)(gong)(gong)理(li)系(xi)(xi)(xi)統(tong)在(zai)通(tong)過弗蘭克爾(er)（Abraham Fraenkel）的(de)改進(jin)后(hou)(hou)被稱為(wei)ZF公(gong)(gong)(gong)理(li)系(xi)(xi)(xi)統(tong)。在(zai)該(gai)公(gong)(gong)(gong)理(li)系(xi)(xi)(xi)統(tong)中(zhong)，由于(yu)分類公(gong)(gong)(gong)理(li)（Axiom schema of specification）：P(x)是x的(de)一(yi)(yi)個(ge)性質，對任意已知集(ji)合(he)A，存(cun)在(zai)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)合(he)B使(shi)得對所(suo)有元素x∈B當且(qie)僅當x∈A且(qie)P(x)；因此{x∣x是一(yi)(yi)個(ge)集(ji)合(he)}并不能(neng)在(zai)該(gai)系(xi)(xi)(xi)統(tong)中(zhong)寫成(cheng)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)合(he)，由于(yu)它并不是任何已知集(ji)合(he)的(de)子集(ji)；并且(qie)通(tong)過該(gai)公(gong)(gong)(gong)理(li)，存(cun)在(zai)集(ji)合(he)A={x∣x是一(yi)(yi)個(ge)集(ji)合(he)}在(zai)ZF系(xi)(xi)(xi)統(tong)中(zhong)能(neng)被證明是矛(mao)盾的(de)，因此羅素悖論在(zai)該(gai)系(xi)(xi)(xi)統(tong)中(zhong)被避免了。

除ZF系統(tong)外，集(ji)合(he)(he)論的(de)公理(li)系統(tong)還有多(duo)種，如馮·諾伊曼(man)（von Neumann）等人提出(chu)的(de)NBG系統(tong)等。在該公理(li)系統(tong)中，所有包(bao)含集(ji)合(he)(he)的(de)"collection"都(dou)能(neng)被稱(cheng)為類(class)，凡是(shi)集(ji)合(he)(he)也能(neng)被稱(cheng)為類，但是(shi)某些collection太大了（比(bi)如一個collection包(bao)含所有集(ji)合(he)(he)）以至于不能(neng)是(shi)一個集(ji)合(he)(he)，因此只(zhi)能(neng)是(shi)個類。這同(tong)樣也避(bi)免了羅(luo)素悖論。