康(kang)托(tuo)爾(er)(er)(er)(er)，1862年入蘇(su)黎(li)世大(da)學(xue)學(xue)工,翌(yi)年轉(zhuan)入柏林(lin)大(da)學(xue)攻(gong)讀數(shu)(shu)學(xue)和神學(xue)，受(shou)教(jiao)于(yu)庫(ku)默爾(er)(er)(er)(er)（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、維(wei)爾(er)(er)(er)(er)斯(si)特拉(la)斯(si)（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克羅內克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格(ge)丁(ding)根學(xue)習一(yi)(yi)學(xue)期。1867年在(zai)庫(ku)默爾(er)(er)(er)(er)指(zhi)導下以解決一(yi)(yi)般(ban)整系數(shu)(shu)不定方程ax2+by2+cz2=0求解問題的(de)論文獲(huo)博(bo)士學(xue)位。畢業后受(shou)魏(wei)爾(er)(er)(er)(er)斯(si)特拉(la)斯(si)的(de)直接影響，由數(shu)(shu)論轉(zhuan)向嚴格(ge)的(de)分析理論的(de)研究，不久嶄露頭角。他(ta)在(zai)哈雷(lei)大(da)學(xue)任教(jiao)（1869-1913）的(de)初期證明了復(fu)合變量函數(shu)(shu)三角級數(shu)(shu)展開的(de)唯一(yi)(yi)性，繼而用(yong)有(you)理數(shu)(shu)列極限定義(yi)無理數(shu)(shu)。1872年成為該校副教(jiao)授(shou)，1879年任教(jiao)授(shou)。由于(yu)學(xue)術觀點上受(shou)到的(de)沉重打擊，康(kang)托(tuo)爾(er)(er)(er)(er)曾一(yi)(yi)度患精神分裂癥，雖在(zai)1887年恢復(fu)了健(jian)康(kang)，繼續工作，但晚年一(yi)(yi)直病(bing)魔纏身。1918年1月6日在(zai)德國哈雷(lei)（Halle）-維(wei)滕貝格(ge)大(da)學(xue)附(fu)屬精神病(bing)院去世。
康(kang)托(tuo)爾(er)愛(ai)好廣泛，極有(you)個性，終身信奉宗教(jiao)。早期在數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)方面的(de)興(xing)趣是數(shu)(shu)(shu)(shu)論(lun)，1870年(nian)開(kai)始研究(jiu)三(san)角級數(shu)(shu)(shu)(shu)并(bing)由此導致19世紀末(mo)、20世紀初(chu)最偉大的(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)成(cheng)就——集(ji)合(he)論(lun)和超窮數(shu)(shu)(shu)(shu)理論(lun)的(de)建立。除(chu)此之外，他還努(nu)力探討(tao)在新理論(lun)創立過程中所涉及的(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)理哲學(xue)問(wen)題.1888-1893年(nian)康(kang)托(tuo)爾(er)任(ren)(ren)柏林數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)會(hui)(hui)第(di)一任(ren)(ren)會(hui)(hui)長(chang)，1890年(nian)領導創立德(de)國(guo)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)家聯合(he)會(hui)(hui)并(bing)任(ren)(ren)首屆(jie)主(zhu)席。
康托爾對數(shu)學的(de)貢獻是集合論和超窮數(shu)理(li)論。
兩千多年(nian)來(lai)，科(ke)學(xue)家們接觸到(dao)無(wu)(wu)窮，卻又無(wu)(wu)力去把握和(he)認識它，這的確是向(xiang)人類提出的尖銳(rui)挑戰。康托爾(er)以(yi)其思維(wei)之獨特，想象力之豐富，方法之新穎繪制了一幅人類智慧(hui)的精品——集(ji)合論(lun)和(he)超窮數理論(lun)，令19、20世紀之交的整個(ge)數學(xue)界、甚至哲學(xue)界感到(dao)震驚。可以(yi)毫不夸(kua)張地(di)講，“關于數學(xue)無(wu)(wu)窮的革命幾(ji)乎是由他一個(ge)人獨立完成的。”
19世紀(ji)由(you)于分析的(de)(de)嚴格化(hua)和函數(shu)(shu)論的(de)(de)發展，數(shu)(shu)學家們提出了(le)(le)一系(xi)列重(zhong)要問題(ti)，并(bing)對無理(li)數(shu)(shu)理(li)論、不(bu)連續函數(shu)(shu)理(li)論進(jin)行認真考察(cha)，這方面的(de)(de)研究成果(guo)為康托爾后(hou)來的(de)(de)工作奠定了(le)(le)必要的(de)(de)思(si)想基礎。
康托爾是(shi)在(zai)(zai)尋找函數(shu)(shu)展開為(wei)三角(jiao)級數(shu)(shu)表示的(de)(de)(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)(yi)性判別準(zhun)則的(de)(de)(de)(de)(de)工作中(zhong)，認識到無窮(qiong)集(ji)(ji)合(he)的(de)(de)(de)(de)(de)重(zhong)(zhong)要(yao)性，并(bing)(bing)開始從事無窮(qiong)集(ji)(ji)合(he)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)般理(li)論(lun)研究。早(zao)在(zai)(zai)1870年(nian)(nian)和1871年(nian)(nian)，康托爾兩(liang)次在(zai)(zai)《數(shu)(shu)學雜(za)(za)志》上(shang)發表論(lun)文(wen)，證明(ming)了(le)(le)函數(shu)(shu)f(x)的(de)(de)(de)(de)(de)三角(jiao)級數(shu)(shu)表示的(de)(de)(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)(yi)性定(ding)理(li)，而且證明(ming)了(le)(le)即使(shi)在(zai)(zai)有(you)限(xian)(xian)個間斷點(dian)處(chu)不收斂，定(ding)理(li)仍然(ran)成立。1872年(nian)(nian)他(ta)在(zai)(zai)《數(shu)(shu)學年(nian)(nian)鑒》上(shang)發表了(le)(le)一(yi)(yi)(yi)篇(pian)題(ti)為(wei)《三角(jiao)級數(shu)(shu)中(zhong)一(yi)(yi)(yi)個定(ding)理(li)的(de)(de)(de)(de)(de)推(tui)廣》的(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)文(wen)，把唯一(yi)(yi)(yi)性的(de)(de)(de)(de)(de)結果推(tui)廣到允許(xu)(xu)例(li)外值(zhi)是(shi)某種(zhong)無窮(qiong)的(de)(de)(de)(de)(de)集(ji)(ji)合(he)情形。為(wei)了(le)(le)描述(shu)這種(zhong)集(ji)(ji)合(he)，他(ta)首先定(ding)義(yi)了(le)(le)點(dian)集(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)極(ji)限(xian)(xian)點(dian)，然(ran)后引進(jin)了(le)(le)點(dian)集(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)導集(ji)(ji)和導集(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)導集(ji)(ji)等有(you)關重(zhong)(zhong)要(yao)概念(nian)。這是(shi)從唯一(yi)(yi)(yi)性問題(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)探索向點(dian)集(ji)(ji)論(lun)研究的(de)(de)(de)(de)(de)開端，并(bing)(bing)為(wei)點(dian)集(ji)(ji)論(lun)奠定(ding)了(le)(le)理(li)論(lun)基礎(chu)。以后，他(ta)又(you)在(zai)(zai)《數(shu)(shu)學年(nian)(nian)鑒》和《數(shu)(shu)學雜(za)(za)志》兩(liang)刊上(shang)發表了(le)(le)許(xu)(xu)多文(wen)章。他(ta)稱集(ji)(ji)合(he)為(wei)一(yi)(yi)(yi)些確定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)、不同的(de)(de)(de)(de)(de)東西(xi)(xi)的(de)(de)(de)(de)(de)總體，這些東西(xi)(xi)人們能(neng)(neng)意識到并(bing)(bing)且能(neng)(neng)判斷一(yi)(yi)(yi)個給定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)東西(xi)(xi)是(shi)否屬于這個總體。他(ta)還指出(chu)，如果一(yi)(yi)(yi)個集(ji)(ji)合(he)能(neng)(neng)夠和它的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)部分(fen)構成一(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)對應，它就(jiu)是(shi)無窮(qiong)的(de)(de)(de)(de)(de)。他(ta)又(you)給出(chu)了(le)(le)開集(ji)(ji)、閉集(ji)(ji)和完(wan)全集(ji)(ji)等重(zhong)(zhong)要(yao)概念(nian)，并(bing)(bing)定(ding)義(yi)了(le)(le)集(ji)(ji)合(he)的(de)(de)(de)(de)(de)并(bing)(bing)與交兩(liang)種(zhong)運算。
為(wei)了(le)(le)將(jiang)有窮(qiong)(qiong)(qiong)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)的(de)(de)(de)(de)元(yuan)素(su)個(ge)(ge)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)概念推廣到(dao)無(wu)(wu)窮(qiong)(qiong)(qiong)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)，他(ta)以(yi)(yi)一(yi)一(yi)對(dui)應為(wei)原則(ze)，提(ti)出(chu)(chu)了(le)(le)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)等價的(de)(de)(de)(de)概念。兩(liang)個(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)只(zhi)有它們(men)的(de)(de)(de)(de)元(yuan)素(su)間(jian)可以(yi)(yi)建立一(yi)一(yi)對(dui)應才稱(cheng)為(wei)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)等價的(de)(de)(de)(de)。這樣就(jiu)第(di)(di)(di)一(yi)次對(dui)各種無(wu)(wu)窮(qiong)(qiong)(qiong)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)按它們(men)元(yuan)素(su)的(de)(de)(de)(de)“多少”進(jin)行(xing)了(le)(le)分(fen)(fen)類。他(ta)還引進(jin)了(le)(le)“可列(lie)(lie)”這個(ge)(ge)概念，把凡是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)能和正整(zheng)數(shu)(shu)(shu)構(gou)成一(yi)一(yi)對(dui)應的(de)(de)(de)(de)任何一(yi)個(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)都稱(cheng)為(wei)可列(lie)(lie)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)。1874年他(ta)在(zai)(zai)《數(shu)(shu)(shu)學(xue)雜志(zhi)》上(shang)(shang)發表的(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)中(zhong)，證明(ming)了(le)(le)有理數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)可列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)，后來他(ta)還證明(ming)了(le)(le)所(suo)有的(de)(de)(de)(de)代數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)全體(ti)構(gou)成的(de)(de)(de)(de)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)也是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)可列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)。至(zhi)于(yu)實(shi)數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)否(fou)可列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)問題，1873年康(kang)托(tuo)爾給(gei)戴德金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的(de)(de)(de)(de)一(yi)封信中(zhong)提(ti)出(chu)(chu)過，但不(bu)久他(ta)自(zi)己得(de)到(dao)回答：實(shi)數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)可列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)。由(you)(you)于(yu)實(shi)數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)可列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)，而代數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)可列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)，于(yu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)他(ta)得(de)到(dao)了(le)(le)必定有超(chao)越數(shu)(shu)(shu)存(cun)在(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)結論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)，而且(qie)超(chao)越數(shu)(shu)(shu)“大(da)大(da)多于(yu)”代數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)。同年又構(gou)造(zao)了(le)(le)實(shi)變函數(shu)(shu)(shu)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)中(zhong)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)“康(kang)托(tuo)爾集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)”,給(gei)出(chu)(chu)測度為(wei)零的(de)(de)(de)(de)不(bu)可數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)一(yi)個(ge)(ge)例(li)子。他(ta)還巧妙(miao)地將(jiang)一(yi)條直(zhi)線(xian)上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)點與整(zheng)個(ge)(ge)平面的(de)(de)(de)(de)點一(yi)一(yi)對(dui)應起來，甚至(zhi)可以(yi)(yi)將(jiang)直(zhi)線(xian)與整(zheng)個(ge)(ge)n維(wei)空(kong)間(jian)進(jin)行(xing)點的(de)(de)(de)(de)一(yi)一(yi)對(dui)應。從1879年到(dao)1883年，康(kang)托(tuo)爾寫(xie)了(le)(le)六篇(pian)系列(lie)(lie)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)，論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)總題目(mu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)“論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)無(wu)(wu)窮(qiong)(qiong)(qiong)線(xian)形點流形”，其中(zhong)前四篇(pian)同以(yi)(yi)前的(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)類似，討(tao)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)了(le)(le)集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)一(yi)些數(shu)(shu)(shu)學(xue)成果，特別是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)涉(she)及集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)在(zai)(zai)分(fen)(fen)析(xi)上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)一(yi)些有趣的(de)(de)(de)(de)應用。第(di)(di)(di)五(wu)篇(pian)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)后來以(yi)(yi)單行(xing)本出(chu)(chu)版，單行(xing)本的(de)(de)(de)(de)書(shu)名《一(yi)般集(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)基礎》。第(di)(di)(di)六篇(pian)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)第(di)(di)(di)五(wu)篇(pian)的(de)(de)(de)(de)補(bu)充。康(kang)托(tuo)爾的(de)(de)(de)(de)信條是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)：“數(shu)(shu)(shu)學(xue)在(zai)(zai)它自(zi)身的(de)(de)(de)(de)發展中(zhong)完全是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)自(zi)由(you)(you)的(de)(de)(de)(de)，對(dui)他(ta)的(de)(de)(de)(de)概念限制只(zhi)在(zai)(zai)于(yu)：必須是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)無(wu)(wu)矛盾的(de)(de)(de)(de)，并且(qie)與由(you)(you)確切定義引進(jin)的(de)(de)(de)(de)概念相協(xie)調(diao)。……數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)本質就(jiu)在(zai)(zai)于(yu)它的(de)(de)(de)(de)自(zi)由(you)(you)。”
《一般(ban)集合論基(ji)礎(chu)》（以(yi)下(xia)簡稱(cheng)《基(ji)礎(chu)》）在(zai)數(shu)學(xue)上(shang)的主(zhu)要成果是引進(jin)超窮數(shu)，在(zai)具(ju)體(ti)展開這一理論的過程(cheng)中，康托爾應用了以(yi)下(xia)幾條原則：
第一生成原則：從任一給點的數(shu)(shu)出發，通過相繼加1（個單位(wei)）可得到它的后繼數(shu)(shu)。
第二生(sheng)成原則：任給(gei)一個(ge)其中(zhong)無最大數的(de)序列(lie)，可產(chan)生(sheng)一個(ge)作為該序列(lie)極限的(de)新數，它定(ding)義為大于此序列(lie)中(zhong)所有(you)數的(de)后(hou)繼(ji)數。
第三（限(xian)(xian)制(zhi)）原則：保證(zheng)在上述超窮序列中(zhong)產(chan)生一(yi)種自然(ran)中(zhong)斷，使第二數(shu)(shu)類(lei)有(you)一(yi)個確定極(ji)限(xian)(xian)，從而形(xing)成更大(da)數(shu)(shu)類(lei)。
反復應用三(san)個原則，得到超窮數的序列
ω，ω1，ω2，…
利用先前引入的(de)集合的(de)勢的(de)概念，康托爾(er)指(zhi)出，第一(yi)數類（Ⅰ）和第二數類（Ⅱ）的(de)重要區別在(zai)于（Ⅱ）的(de)勢大于（Ⅰ）的(de)勢。在(zai)《基礎》的(de)第十三(san)章，康托爾(er)第一(yi)次指(zhi)出，數類（Ⅱ）的(de)勢是(shi)緊(jin)跟在(zai)數類（Ⅰ）的(de)勢之后的(de)勢。
在(zai)《基礎》中(zhong)，康托爾還(huan)給出(chu)了良序(xu)集和(he)無窮良序(xu)集編(bian)號的(de)(de)概念，指出(chu)整(zheng)個超窮數的(de)(de)集合是良序(xu)的(de)(de)，而且任(ren)何無窮良序(xu)集，都存(cun)在(zai)唯一(yi)的(de)(de)一(yi)個第(di)二數類中(zhong)的(de)(de)數作(zuo)為表示它的(de)(de)順序(xu)特性的(de)(de)編(bian)號。康托爾還(huan)借助良序(xu)集定義了超窮數的(de)(de)加法、乘法及其逆(ni)運(yun)算。
《對超窮(qiong)數(shu)(shu)論(lun)基礎的(de)獻文(wen)》是(shi)(shi)康(kang)(kang)托(tuo)爾最后一部(bu)(bu)重要的(de)數(shu)(shu)學(xue)著作，經歷了20年(nian)之(zhi)久的(de)艱苦探索，康(kang)(kang)托(tuo)尓希望系(xi)統地總結一下超窮(qiong)數(shu)(shu)理(li)論(lun)嚴(yan)格的(de)數(shu)(shu)學(xue)基礎。《獻文(wen)》分(fen)兩部(bu)(bu)分(fen)，第(di)一部(bu)(bu)分(fen)是(shi)(shi)“全序集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)的(de)研究(jiu)”，于(yu)(yu)1895年(nian)5月在《數(shu)(shu)學(xue)年(nian)鑒》上(shang)發表(biao)。第(di)二部(bu)(bu)分(fen)于(yu)(yu)1897年(nian)5月在《數(shu)(shu)學(xue)年(nian)鑒》上(shang)發表(biao)，是(shi)(shi)關于(yu)(yu)“良序集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)研究(jiu)”。《獻文(wen)》的(de)發表(biao)標志集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)已從點(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)論(lun)過渡到抽象(xiang)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)。但是(shi)(shi)，由(you)于(yu)(yu)它還不是(shi)(shi)公理(li)化(hua)的(de)，而且它的(de)某些(xie)邏輯前(qian)提和某些(xie)證明方法如不給(gei)予適當的(de)限制便會導出悖論(lun)，所以康(kang)(kang)托(tuo)爾的(de)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)通常成為古典(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)或樸素集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)。
