康托爾，1862年(nian)入蘇黎世(shi)大學(xue)(xue)(xue)(xue)學(xue)(xue)(xue)(xue)工,翌(yi)年(nian)轉(zhuan)入柏林大學(xue)(xue)(xue)(xue)攻讀數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)和(he)(he)神(shen)學(xue)(xue)(xue)(xue)，受教于庫默(mo)爾（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和(he)(he)克(ke)(ke)羅內克(ke)(ke)(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年(nian)曾去格丁根學(xue)(xue)(xue)(xue)習一學(xue)(xue)(xue)(xue)期(qi)。1867年(nian)在庫默(mo)爾指導下以解(jie)(jie)決(jue)一般(ban)整(zheng)系(xi)數(shu)不定(ding)方程ax2+by2+cz2=0求解(jie)(jie)問題的(de)(de)論(lun)文獲博(bo)士學(xue)(xue)(xue)(xue)位。畢業后(hou)受魏爾斯特拉斯的(de)(de)直(zhi)接影響(xiang)，由數(shu)論(lun)轉(zhuan)向嚴格的(de)(de)分析理論(lun)的(de)(de)研究(jiu)，不久(jiu)嶄(zhan)露頭(tou)角。他在哈雷大學(xue)(xue)(xue)(xue)任(ren)教（1869-1913）的(de)(de)初期(qi)證明了復合變量函數(shu)三(san)角級數(shu)展開的(de)(de)唯一性(xing)，繼而用有理數(shu)列極限定(ding)義無(wu)理數(shu)。1872年(nian)成為該(gai)校副教授，1879年(nian)任(ren)教授。由于學(xue)(xue)(xue)(xue)術觀點上(shang)受到的(de)(de)沉(chen)重打擊(ji)，康托爾曾一度(du)患精神(shen)分裂癥(zheng)，雖在1887年(nian)恢復了健康，繼續工作，但晚年(nian)一直(zhi)病魔纏(chan)身。1918年(nian)1月6日在德國(guo)哈雷（Halle）-維滕貝格大學(xue)(xue)(xue)(xue)附屬精神(shen)病院去世(shi)。
康托爾愛好(hao)廣(guang)泛，極(ji)有個(ge)性，終身信奉宗教。早期(qi)在數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)方面的(de)(de)興趣是數(shu)(shu)論(lun)，1870年開(kai)始研究三(san)角級數(shu)(shu)并(bing)(bing)由此導致19世紀末、20世紀初最偉大的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)成就(jiu)——集合論(lun)和超窮數(shu)(shu)理論(lun)的(de)(de)建(jian)立。除此之外，他還努力探討(tao)在新理論(lun)創立過程(cheng)中所涉及(ji)的(de)(de)數(shu)(shu)理哲(zhe)學(xue)(xue)(xue)問題.1888-1893年康托爾任柏(bo)林數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)會(hui)第一任會(hui)長，1890年領導創立德(de)國(guo)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家聯合會(hui)并(bing)(bing)任首屆主席。
康托爾對數學的(de)貢獻是集合論(lun)和超(chao)窮數理論(lun)。
兩千多年來，科(ke)學家們接觸到無窮(qiong)，卻又無力去把握和認識它，這的(de)確是向人(ren)(ren)類提出的(de)尖銳挑戰。康托(tuo)爾以(yi)其思維(wei)之獨特，想象力之豐(feng)富(fu)，方法之新穎繪制了一(yi)幅人(ren)(ren)類智(zhi)慧的(de)精(jing)品——集合(he)論和超窮(qiong)數理(li)論，令19、20世紀之交的(de)整個數學界(jie)、甚至哲學界(jie)感到震驚(jing)。可以(yi)毫不夸(kua)張地講，“關于數學無窮(qiong)的(de)革命幾乎是由他一(yi)個人(ren)(ren)獨立(li)完成的(de)。”
19世紀由于分析的(de)嚴格化和函數(shu)論的(de)發展，數(shu)學家們提出了一系(xi)列重要問題，并(bing)對無理數(shu)理論、不(bu)連續函數(shu)理論進(jin)行認真考察，這方面的(de)研(yan)究成(cheng)果(guo)為(wei)康托爾后來的(de)工作奠定(ding)了必要的(de)思想基礎。
康托(tuo)爾(er)是(shi)在(zai)尋找函數(shu)展開為(wei)(wei)三角級(ji)數(shu)表示的(de)(de)(de)(de)(de)唯(wei)(wei)(wei)一(yi)(yi)性(xing)判(pan)(pan)別準則的(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)中(zhong)，認識(shi)到(dao)無窮(qiong)集(ji)(ji)(ji)(ji)合的(de)(de)(de)(de)(de)重要性(xing)，并開始從事無窮(qiong)集(ji)(ji)(ji)(ji)合的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)般理論(lun)研究。早在(zai)1870年和1871年，康托(tuo)爾(er)兩次在(zai)《數(shu)學雜(za)志(zhi)》上發表論(lun)文，證(zheng)明了(le)(le)(le)(le)(le)函數(shu)f(x)的(de)(de)(de)(de)(de)三角級(ji)數(shu)表示的(de)(de)(de)(de)(de)唯(wei)(wei)(wei)一(yi)(yi)性(xing)定(ding)理，而(er)且(qie)證(zheng)明了(le)(le)(le)(le)(le)即(ji)使在(zai)有限個間斷點(dian)處不(bu)收斂(lian)，定(ding)理仍然(ran)成立。1872年他在(zai)《數(shu)學年鑒》上發表了(le)(le)(le)(le)(le)一(yi)(yi)篇題為(wei)(wei)《三角級(ji)數(shu)中(zhong)一(yi)(yi)個定(ding)理的(de)(de)(de)(de)(de)推(tui)廣》的(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)文，把唯(wei)(wei)(wei)一(yi)(yi)性(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)結果(guo)推(tui)廣到(dao)允許例外(wai)值(zhi)是(shi)某種(zhong)無窮(qiong)的(de)(de)(de)(de)(de)集(ji)(ji)(ji)(ji)合情形。為(wei)(wei)了(le)(le)(le)(le)(le)描述(shu)這(zhe)種(zhong)集(ji)(ji)(ji)(ji)合，他首先定(ding)義了(le)(le)(le)(le)(le)點(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)極限點(dian)，然(ran)后引進了(le)(le)(le)(le)(le)點(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)導集(ji)(ji)(ji)(ji)和導集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)導集(ji)(ji)(ji)(ji)等(deng)(deng)有關重要概念。這(zhe)是(shi)從唯(wei)(wei)(wei)一(yi)(yi)性(xing)問(wen)題的(de)(de)(de)(de)(de)探索向點(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)論(lun)研究的(de)(de)(de)(de)(de)開端，并為(wei)(wei)點(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)論(lun)奠定(ding)了(le)(le)(le)(le)(le)理論(lun)基礎。以(yi)后，他又(you)在(zai)《數(shu)學年鑒》和《數(shu)學雜(za)志(zhi)》兩刊上發表了(le)(le)(le)(le)(le)許多(duo)文章(zhang)。他稱集(ji)(ji)(ji)(ji)合為(wei)(wei)一(yi)(yi)些確定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)、不(bu)同的(de)(de)(de)(de)(de)東(dong)(dong)西的(de)(de)(de)(de)(de)總(zong)體，這(zhe)些東(dong)(dong)西人們能(neng)(neng)意識(shi)到(dao)并且(qie)能(neng)(neng)判(pan)(pan)斷一(yi)(yi)個給定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)東(dong)(dong)西是(shi)否屬于這(zhe)個總(zong)體。他還指出，如(ru)果(guo)一(yi)(yi)個集(ji)(ji)(ji)(ji)合能(neng)(neng)夠和它的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)部分構成一(yi)(yi)一(yi)(yi)對應，它就是(shi)無窮(qiong)的(de)(de)(de)(de)(de)。他又(you)給出了(le)(le)(le)(le)(le)開集(ji)(ji)(ji)(ji)、閉集(ji)(ji)(ji)(ji)和完全集(ji)(ji)(ji)(ji)等(deng)(deng)重要概念，并定(ding)義了(le)(le)(le)(le)(le)集(ji)(ji)(ji)(ji)合的(de)(de)(de)(de)(de)并與(yu)交兩種(zhong)運算。
為(wei)(wei)了(le)(le)將有窮集合(he)(he)(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)元(yuan)素個(ge)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)(gai)念推廣到(dao)(dao)無窮集合(he)(he)(he)，他(ta)(ta)(ta)以(yi)(yi)一(yi)(yi)一(yi)(yi)對(dui)應為(wei)(wei)原則，提出了(le)(le)集合(he)(he)(he)等價(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)(gai)念。兩個(ge)集合(he)(he)(he)只有它(ta)(ta)們(men)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)元(yuan)素間可(ke)以(yi)(yi)建立一(yi)(yi)一(yi)(yi)對(dui)應才稱(cheng)為(wei)(wei)是(shi)(shi)(shi)等價(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這樣(yang)就第一(yi)(yi)次對(dui)各種無窮集合(he)(he)(he)按它(ta)(ta)們(men)元(yuan)素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“多少”進(jin)行了(le)(le)分類。他(ta)(ta)(ta)還引進(jin)了(le)(le)“可(ke)列(lie)(lie)(lie)”這個(ge)概(gai)(gai)念，把凡(fan)是(shi)(shi)(shi)能和正整數(shu)(shu)(shu)構成一(yi)(yi)一(yi)(yi)對(dui)應的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)任何一(yi)(yi)個(ge)集合(he)(he)(he)都稱(cheng)為(wei)(wei)可(ke)列(lie)(lie)(lie)集合(he)(he)(he)。1874年他(ta)(ta)(ta)在(zai)《數(shu)(shu)(shu)學(xue)雜(za)志(zhi)》上(shang)發表(biao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)文(wen)中(zhong)(zhong)，證(zheng)明了(le)(le)有理(li)數(shu)(shu)(shu)集合(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)可(ke)列(lie)(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，后來他(ta)(ta)(ta)還證(zheng)明了(le)(le)所有的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)代數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)全體構成的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)集合(he)(he)(he)也是(shi)(shi)(shi)可(ke)列(lie)(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。至于(yu)(yu)(yu)實(shi)(shi)數(shu)(shu)(shu)集合(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)否(fou)可(ke)列(lie)(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問題(ti)，1873年康托(tuo)爾(er)(er)(er)給(gei)戴德(de)金(jin)（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)封信中(zhong)(zhong)提出過，但(dan)不久他(ta)(ta)(ta)自(zi)(zi)己得到(dao)(dao)回答：實(shi)(shi)數(shu)(shu)(shu)集合(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)不可(ke)列(lie)(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。由于(yu)(yu)(yu)實(shi)(shi)數(shu)(shu)(shu)集合(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)不可(ke)列(lie)(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，而代數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)集合(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)可(ke)列(lie)(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，于(yu)(yu)(yu)是(shi)(shi)(shi)他(ta)(ta)(ta)得到(dao)(dao)了(le)(le)必定有超越(yue)數(shu)(shu)(shu)存在(zai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)結論(lun)(lun)，而且超越(yue)數(shu)(shu)(shu)“大大多于(yu)(yu)(yu)”代數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)。同年又(you)構造了(le)(le)實(shi)(shi)變函(han)數(shu)(shu)(shu)論(lun)(lun)中(zhong)(zhong)著名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“康托(tuo)爾(er)(er)(er)集”,給(gei)出測度為(wei)(wei)零的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)不可(ke)數(shu)(shu)(shu)集的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)個(ge)例子。他(ta)(ta)(ta)還巧妙(miao)地(di)將一(yi)(yi)條(tiao)直線上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)與整個(ge)平面的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)一(yi)(yi)一(yi)(yi)對(dui)應起來，甚至可(ke)以(yi)(yi)將直線與整個(ge)n維空(kong)間進(jin)行點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)一(yi)(yi)對(dui)應。從1879年到(dao)(dao)1883年，康托(tuo)爾(er)(er)(er)寫了(le)(le)六(liu)篇(pian)系列(lie)(lie)(lie)論(lun)(lun)文(wen)，論(lun)(lun)文(wen)總(zong)題(ti)目是(shi)(shi)(shi)“論(lun)(lun)無窮線形(xing)點(dian)流形(xing)”，其中(zhong)(zhong)前四篇(pian)同以(yi)(yi)前的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)文(wen)類似，討論(lun)(lun)了(le)(le)集合(he)(he)(he)論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)些(xie)數(shu)(shu)(shu)學(xue)成果，特別(bie)是(shi)(shi)(shi)涉及集合(he)(he)(he)論(lun)(lun)在(zai)分析(xi)上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)些(xie)有趣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)應用。第五篇(pian)論(lun)(lun)文(wen)后來以(yi)(yi)單行本(ben)出版，單行本(ben)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)書名《一(yi)(yi)般集合(he)(he)(he)論(lun)(lun)基礎》。第六(liu)篇(pian)論(lun)(lun)文(wen)是(shi)(shi)(shi)第五篇(pian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)補充。康托(tuo)爾(er)(er)(er)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信條(tiao)是(shi)(shi)(shi)：“數(shu)(shu)(shu)學(xue)在(zai)它(ta)(ta)自(zi)(zi)身的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)發展中(zhong)(zhong)完全是(shi)(shi)(shi)自(zi)(zi)由的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，對(dui)他(ta)(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)(gai)念限制只在(zai)于(yu)(yu)(yu)：必須是(shi)(shi)(shi)無矛盾的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，并且與由確(que)切定義引進(jin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)(gai)念相(xiang)協調。……數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)本(ben)質(zhi)就在(zai)于(yu)(yu)(yu)它(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自(zi)(zi)由。”
《一(yi)般集合論基礎》（以下(xia)簡稱《基礎》）在數(shu)學(xue)上的主要成果是(shi)引(yin)進超窮數(shu)，在具體展開這一(yi)理(li)論的過程中(zhong)，康托爾應用(yong)了以下(xia)幾條原則：
第一生(sheng)成原則：從任一給(gei)點的數出發，通過相繼(ji)加1（個單位）可得到它的后繼(ji)數。
第二生成(cheng)原(yuan)則：任給(gei)一個(ge)其中無(wu)最大數的(de)序(xu)列(lie)，可產(chan)生一個(ge)作為(wei)(wei)該序(xu)列(lie)極(ji)限的(de)新數，它(ta)定義為(wei)(wei)大于此序(xu)列(lie)中所有數的(de)后(hou)繼(ji)數。
第三（限(xian)制）原(yuan)則：保證在(zai)上述(shu)超窮序列(lie)中(zhong)產生一種自然中(zhong)斷，使第二數類有一個確定極限(xian)，從而形成更大數類。
反復應用(yong)三個原(yuan)則，得到超窮數的序列
ω，ω1，ω2，…
利用先前引入的(de)(de)(de)集合的(de)(de)(de)勢(shi)(shi)(shi)的(de)(de)(de)概念(nian)，康托(tuo)爾指出，第(di)(di)一(yi)數類(lei)（Ⅰ）和(he)第(di)(di)二數類(lei)（Ⅱ）的(de)(de)(de)重要區別(bie)在(zai)于（Ⅱ）的(de)(de)(de)勢(shi)(shi)(shi)大于（Ⅰ）的(de)(de)(de)勢(shi)(shi)(shi)。在(zai)《基礎(chu)》的(de)(de)(de)第(di)(di)十三章，康托(tuo)爾第(di)(di)一(yi)次(ci)指出，數類(lei)（Ⅱ）的(de)(de)(de)勢(shi)(shi)(shi)是緊跟(gen)在(zai)數類(lei)（Ⅰ）的(de)(de)(de)勢(shi)(shi)(shi)之后的(de)(de)(de)勢(shi)(shi)(shi)。
在(zai)《基礎》中，康托爾還給(gei)出了良序集和(he)無窮(qiong)良序集編號的概(gai)念，指出整個超(chao)窮(qiong)數(shu)的集合是良序的，而且任(ren)何無窮(qiong)良序集，都存(cun)在(zai)唯一的一個第二數(shu)類中的數(shu)作為表示它的順序特性的編號。康托爾還借助良序集定義了超(chao)窮(qiong)數(shu)的加(jia)法(fa)(fa)、乘法(fa)(fa)及其逆運(yun)算。
《對超窮數(shu)論(lun)(lun)基礎的獻(xian)文(wen)》是康托爾最后(hou)一(yi)部(bu)重要的數(shu)學(xue)著作，經歷了20年(nian)之久的艱苦探(tan)索(suo)，康托尓希望(wang)系統地(di)總結一(yi)下超窮數(shu)理論(lun)(lun)嚴格的數(shu)學(xue)基礎。《獻(xian)文(wen)》分(fen)兩部(bu)分(fen)，第一(yi)部(bu)分(fen)是“全序集(ji)(ji)(ji)合(he)的研究(jiu)(jiu)”，于(yu)1895年(nian)5月(yue)(yue)在《數(shu)學(xue)年(nian)鑒》上(shang)發(fa)表(biao)(biao)。第二部(bu)分(fen)于(yu)1897年(nian)5月(yue)(yue)在《數(shu)學(xue)年(nian)鑒》上(shang)發(fa)表(biao)(biao)，是關于(yu)“良序集(ji)(ji)(ji)的研究(jiu)(jiu)”。《獻(xian)文(wen)》的發(fa)表(biao)(biao)標志集(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)已(yi)從點集(ji)(ji)(ji)論(lun)(lun)過渡到抽象集(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)。但是，由于(yu)它(ta)還不是公(gong)理化的，而且它(ta)的某些邏輯前提和某些證(zheng)明方(fang)法如(ru)不給予適當的限制便(bian)會導(dao)出(chu)悖(bei)論(lun)(lun)，所以康托爾的集(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)通常成為古典集(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)或樸(pu)素(su)集(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)。
