康(kang)托爾(er)(er)，1862年(nian)入蘇黎世(shi)大(da)(da)學(xue)(xue)(xue)學(xue)(xue)(xue)工,翌年(nian)轉入柏林大(da)(da)學(xue)(xue)(xue)攻讀數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)和(he)神學(xue)(xue)(xue)，受(shou)教(jiao)(jiao)(jiao)于(yu)庫默爾(er)(er)（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、維(wei)爾(er)(er)斯(si)特(te)(te)拉斯(si)（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和(he)克羅內克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年(nian)曾去格丁根學(xue)(xue)(xue)習一學(xue)(xue)(xue)期。1867年(nian)在(zai)庫默爾(er)(er)指導下以解決一般(ban)整(zheng)系數(shu)(shu)(shu)不定(ding)方程ax2+by2+cz2=0求解問題(ti)的論(lun)文獲博士(shi)學(xue)(xue)(xue)位。畢業后(hou)受(shou)魏爾(er)(er)斯(si)特(te)(te)拉斯(si)的直(zhi)(zhi)接影響，由數(shu)(shu)(shu)論(lun)轉向嚴格的分析理(li)論(lun)的研究，不久嶄露頭(tou)角。他在(zai)哈(ha)雷大(da)(da)學(xue)(xue)(xue)任(ren)教(jiao)(jiao)(jiao)（1869-1913）的初期證明了復(fu)合變量函數(shu)(shu)(shu)三角級數(shu)(shu)(shu)展開的唯一性，繼而用有理(li)數(shu)(shu)(shu)列極限定(ding)義無理(li)數(shu)(shu)(shu)。1872年(nian)成為該校(xiao)副教(jiao)(jiao)(jiao)授(shou)，1879年(nian)任(ren)教(jiao)(jiao)(jiao)授(shou)。由于(yu)學(xue)(xue)(xue)術觀點上受(shou)到的沉重打擊，康(kang)托爾(er)(er)曾一度(du)患精神分裂癥(zheng)，雖在(zai)1887年(nian)恢復(fu)了健康(kang)，繼續工作，但晚年(nian)一直(zhi)(zhi)病魔纏身(shen)。1918年(nian)1月6日在(zai)德國哈(ha)雷（Halle）-維(wei)滕貝格大(da)(da)學(xue)(xue)(xue)附(fu)屬精神病院去世(shi)。
康托(tuo)爾愛好(hao)廣泛，極(ji)有個性(xing)，終身信(xin)奉宗教。早期在數(shu)(shu)(shu)學方(fang)面的(de)(de)(de)興(xing)趣是數(shu)(shu)(shu)論，1870年(nian)(nian)開始研究三角級數(shu)(shu)(shu)并由(you)此(ci)導致(zhi)19世紀末(mo)、20世紀初最偉大的(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學成(cheng)就——集合(he)論和超窮數(shu)(shu)(shu)理(li)(li)論的(de)(de)(de)建立。除此(ci)之外，他還(huan)努(nu)力(li)探討在新理(li)(li)論創立過程(cheng)中所(suo)涉及的(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)理(li)(li)哲學問題.1888-1893年(nian)(nian)康托(tuo)爾任(ren)柏林數(shu)(shu)(shu)學會(hui)第一任(ren)會(hui)長(chang)，1890年(nian)(nian)領導創立德國數(shu)(shu)(shu)學家聯(lian)合(he)會(hui)并任(ren)首(shou)屆主(zhu)席。
康托爾對數學(xue)的貢獻是集合(he)論和超(chao)窮(qiong)數理論。
兩千(qian)多年來，科學(xue)家們接觸到無窮，卻又無力(li)(li)去把(ba)握和認識它，這(zhe)的(de)(de)確是向人(ren)類(lei)提出(chu)的(de)(de)尖銳(rui)挑戰。康托(tuo)爾以(yi)其思維(wei)之(zhi)獨特，想象力(li)(li)之(zhi)豐富，方法之(zhi)新穎繪制了一(yi)幅人(ren)類(lei)智慧(hui)的(de)(de)精品——集合(he)論(lun)和超窮數(shu)理論(lun)，令19、20世(shi)紀(ji)之(zhi)交(jiao)的(de)(de)整個數(shu)學(xue)界、甚(shen)至哲(zhe)學(xue)界感到震驚。可以(yi)毫(hao)不夸(kua)張(zhang)地講，“關(guan)于數(shu)學(xue)無窮的(de)(de)革命幾乎是由他一(yi)個人(ren)獨立(li)完(wan)成的(de)(de)。”
19世紀由于分析的嚴(yan)格化(hua)和函數(shu)論的發(fa)展，數(shu)學(xue)家們提出了(le)一系列重要問題(ti)，并對無理(li)數(shu)理(li)論、不連續函數(shu)理(li)論進行(xing)認真(zhen)考(kao)察，這方面的研究成果為康托爾后來的工作奠(dian)定了(le)必要的思想(xiang)基(ji)礎。
康(kang)托爾(er)是在(zai)尋找函數(shu)(shu)展開(kai)為(wei)三角級(ji)數(shu)(shu)表示(shi)的(de)(de)唯一(yi)性(xing)判別準則的(de)(de)工(gong)作中(zhong)，認識到(dao)(dao)無(wu)(wu)窮(qiong)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)的(de)(de)重(zhong)要(yao)(yao)(yao)性(xing)，并開(kai)始從事無(wu)(wu)窮(qiong)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)的(de)(de)一(yi)般理(li)論(lun)研究(jiu)。早在(zai)1870年(nian)和(he)1871年(nian)，康(kang)托爾(er)兩(liang)(liang)次在(zai)《數(shu)(shu)學雜(za)志》上(shang)(shang)發表論(lun)文(wen)(wen)，證(zheng)明(ming)了(le)(le)函數(shu)(shu)f(x)的(de)(de)三角級(ji)數(shu)(shu)表示(shi)的(de)(de)唯一(yi)性(xing)定(ding)(ding)理(li)，而且證(zheng)明(ming)了(le)(le)即使在(zai)有(you)限個間斷(duan)點處不(bu)收(shou)斂，定(ding)(ding)理(li)仍然(ran)成立。1872年(nian)他(ta)在(zai)《數(shu)(shu)學年(nian)鑒》上(shang)(shang)發表了(le)(le)一(yi)篇(pian)題(ti)為(wei)《三角級(ji)數(shu)(shu)中(zhong)一(yi)個定(ding)(ding)理(li)的(de)(de)推廣》的(de)(de)論(lun)文(wen)(wen)，把唯一(yi)性(xing)的(de)(de)結果推廣到(dao)(dao)允(yun)許例(li)外值是某種(zhong)(zhong)無(wu)(wu)窮(qiong)的(de)(de)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)情形。為(wei)了(le)(le)描述這(zhe)種(zhong)(zhong)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)，他(ta)首先定(ding)(ding)義了(le)(le)點集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)極限點，然(ran)后(hou)引進(jin)了(le)(le)點集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)導集(ji)(ji)(ji)(ji)和(he)導集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)導集(ji)(ji)(ji)(ji)等(deng)有(you)關(guan)重(zhong)要(yao)(yao)(yao)概念(nian)。這(zhe)是從唯一(yi)性(xing)問題(ti)的(de)(de)探(tan)索向點集(ji)(ji)(ji)(ji)論(lun)研究(jiu)的(de)(de)開(kai)端，并為(wei)點集(ji)(ji)(ji)(ji)論(lun)奠定(ding)(ding)了(le)(le)理(li)論(lun)基礎。以后(hou)，他(ta)又在(zai)《數(shu)(shu)學年(nian)鑒》和(he)《數(shu)(shu)學雜(za)志》兩(liang)(liang)刊上(shang)(shang)發表了(le)(le)許多文(wen)(wen)章。他(ta)稱集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)為(wei)一(yi)些確(que)定(ding)(ding)的(de)(de)、不(bu)同的(de)(de)東(dong)(dong)西(xi)的(de)(de)總(zong)體，這(zhe)些東(dong)(dong)西(xi)人們能意識到(dao)(dao)并且能判斷(duan)一(yi)個給(gei)定(ding)(ding)的(de)(de)東(dong)(dong)西(xi)是否屬于這(zhe)個總(zong)體。他(ta)還指出，如果一(yi)個集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)能夠和(he)它的(de)(de)一(yi)部分構成一(yi)一(yi)對應，它就是無(wu)(wu)窮(qiong)的(de)(de)。他(ta)又給(gei)出了(le)(le)開(kai)集(ji)(ji)(ji)(ji)、閉集(ji)(ji)(ji)(ji)和(he)完全(quan)集(ji)(ji)(ji)(ji)等(deng)重(zhong)要(yao)(yao)(yao)概念(nian)，并定(ding)(ding)義了(le)(le)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)的(de)(de)并與交兩(liang)(liang)種(zhong)(zhong)運算。
為(wei)了(le)將(jiang)有(you)窮集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)元素(su)(su)個(ge)(ge)(ge)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概念推廣到(dao)(dao)無窮集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)，他以(yi)一(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)應(ying)(ying)為(wei)原則(ze)，提出了(le)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)等(deng)價的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概念。兩個(ge)(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)只有(you)它(ta)們(men)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)元素(su)(su)間可以(yi)建立一(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)應(ying)(ying)才稱(cheng)為(wei)是(shi)(shi)(shi)(shi)等(deng)價的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)樣(yang)就(jiu)第一(yi)(yi)(yi)次對(dui)(dui)各(ge)種(zhong)無窮集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)按它(ta)們(men)元素(su)(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)“多(duo)少”進行了(le)分(fen)類。他還(huan)引進了(le)“可列”這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概念，把凡是(shi)(shi)(shi)(shi)能和(he)正整數(shu)(shu)構成一(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)應(ying)(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)任何一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)都稱(cheng)為(wei)可列集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)。1874年(nian)(nian)他在(zai)(zai)《數(shu)(shu)學雜志》上(shang)發(fa)表的(de)(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)文(wen)(wen)(wen)中(zhong)(zhong)，證(zheng)明了(le)有(you)理數(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)可列的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，后來(lai)他還(huan)證(zheng)明了(le)所有(you)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)代數(shu)(shu)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)全體構成的(de)(de)(de)(de)(de)(de)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)也是(shi)(shi)(shi)(shi)可列的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。至于實(shi)數(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)否(fou)可列的(de)(de)(de)(de)(de)(de)問題(ti)，1873年(nian)(nian)康托爾給戴德金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)封信中(zhong)(zhong)提出過，但不(bu)久他自(zi)(zi)己得到(dao)(dao)回答(da)：實(shi)數(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)可列的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。由(you)于實(shi)數(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)可列的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，而代數(shu)(shu)數(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)可列的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，于是(shi)(shi)(shi)(shi)他得到(dao)(dao)了(le)必(bi)定有(you)超(chao)越數(shu)(shu)存(cun)在(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)論(lun)(lun)，而且超(chao)越數(shu)(shu)“大(da)大(da)多(duo)于”代數(shu)(shu)數(shu)(shu)。同年(nian)(nian)又構造了(le)實(shi)變函數(shu)(shu)論(lun)(lun)中(zhong)(zhong)著名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)“康托爾集(ji)(ji)(ji)(ji)”,給出測度為(wei)零的(de)(de)(de)(de)(de)(de)不(bu)可數(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)例子。他還(huan)巧妙地將(jiang)一(yi)(yi)(yi)條直(zhi)線(xian)上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)點與整個(ge)(ge)(ge)平面的(de)(de)(de)(de)(de)(de)點一(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)應(ying)(ying)起來(lai)，甚至可以(yi)將(jiang)直(zhi)線(xian)與整個(ge)(ge)(ge)n維(wei)空間進行點的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)應(ying)(ying)。從(cong)1879年(nian)(nian)到(dao)(dao)1883年(nian)(nian)，康托爾寫了(le)六(liu)篇系列論(lun)(lun)文(wen)(wen)(wen)，論(lun)(lun)文(wen)(wen)(wen)總(zong)題(ti)目(mu)是(shi)(shi)(shi)(shi)“論(lun)(lun)無窮線(xian)形點流(liu)形”，其中(zhong)(zhong)前四篇同以(yi)前的(de)(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)文(wen)(wen)(wen)類似，討論(lun)(lun)了(le)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)些數(shu)(shu)學成果，特別是(shi)(shi)(shi)(shi)涉及集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)在(zai)(zai)分(fen)析上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)些有(you)趣(qu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)應(ying)(ying)用。第五(wu)篇論(lun)(lun)文(wen)(wen)(wen)后來(lai)以(yi)單行本出版，單行本的(de)(de)(de)(de)(de)(de)書(shu)名《一(yi)(yi)(yi)般(ban)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)基礎》。第六(liu)篇論(lun)(lun)文(wen)(wen)(wen)是(shi)(shi)(shi)(shi)第五(wu)篇的(de)(de)(de)(de)(de)(de)補充。康托爾的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信條是(shi)(shi)(shi)(shi)：“數(shu)(shu)學在(zai)(zai)它(ta)自(zi)(zi)身的(de)(de)(de)(de)(de)(de)發(fa)展(zhan)中(zhong)(zhong)完全是(shi)(shi)(shi)(shi)自(zi)(zi)由(you)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，對(dui)(dui)他的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概念限制只在(zai)(zai)于：必(bi)須是(shi)(shi)(shi)(shi)無矛盾的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，并且與由(you)確(que)切定義引進的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概念相協調(diao)。……數(shu)(shu)學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)本質就(jiu)在(zai)(zai)于它(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)自(zi)(zi)由(you)。”
《一(yi)般集合論(lun)基(ji)礎》（以下簡稱《基(ji)礎》）在數學上的主要成果是(shi)引(yin)進超窮數，在具體展開這一(yi)理論(lun)的過程中，康托爾應用了以下幾條原則：
第一生成原則：從任一給點的(de)數出發(fa)，通過相繼加1（個(ge)單位）可得(de)到(dao)它的(de)后繼數。
第(di)二(er)生成原則(ze)：任給一個(ge)其中無最大數(shu)的序(xu)(xu)列(lie)，可產生一個(ge)作(zuo)為該序(xu)(xu)列(lie)極限的新數(shu)，它定義(yi)為大于(yu)此(ci)序(xu)(xu)列(lie)中所有數(shu)的后繼數(shu)。
第三（限制）原則：保證(zheng)在上述超(chao)窮序列中產生一種自然中斷，使第二數(shu)類有一個確(que)定極限，從而(er)形成更(geng)大數(shu)類。
反(fan)復應用(yong)三個原(yuan)則，得到(dao)超(chao)窮數的序列
ω，ω1，ω2，…
利(li)用先前引(yin)入的(de)集合(he)的(de)勢的(de)概念，康托爾指出，第(di)(di)一數(shu)類(lei)（Ⅰ）和第(di)(di)二數(shu)類(lei)（Ⅱ）的(de)重要(yao)區別在于(yu)（Ⅱ）的(de)勢大(da)于(yu)（Ⅰ）的(de)勢。在《基礎》的(de)第(di)(di)十(shi)三章，康托爾第(di)(di)一次指出，數(shu)類(lei)（Ⅱ）的(de)勢是緊(jin)跟在數(shu)類(lei)（Ⅰ）的(de)勢之(zhi)后的(de)勢。
在(zai)《基(ji)礎》中，康托爾(er)還(huan)給出(chu)了良序(xu)(xu)集和無窮良序(xu)(xu)集編(bian)號的(de)(de)(de)(de)概念，指出(chu)整個(ge)超窮數的(de)(de)(de)(de)集合是良序(xu)(xu)的(de)(de)(de)(de)，而且任何(he)無窮良序(xu)(xu)集，都存在(zai)唯(wei)一的(de)(de)(de)(de)一個(ge)第(di)二數類(lei)中的(de)(de)(de)(de)數作(zuo)為表示它(ta)的(de)(de)(de)(de)順(shun)序(xu)(xu)特性的(de)(de)(de)(de)編(bian)號。康托爾(er)還(huan)借助良序(xu)(xu)集定義了超窮數的(de)(de)(de)(de)加法、乘法及(ji)其(qi)逆運算。
《對超窮數(shu)論(lun)基礎的(de)(de)獻文(wen)》是(shi)康(kang)托(tuo)爾(er)最后一(yi)部重(zhong)要的(de)(de)數(shu)學著作(zuo)，經(jing)歷(li)了20年之久的(de)(de)艱苦(ku)探索，康(kang)托(tuo)尓(er)希望系統地(di)總結一(yi)下超窮數(shu)理論(lun)嚴格的(de)(de)數(shu)學基礎。《獻文(wen)》分(fen)兩部分(fen)，第一(yi)部分(fen)是(shi)“全序集(ji)(ji)合(he)的(de)(de)研(yan)究”，于1895年5月在(zai)《數(shu)學年鑒》上發表(biao)(biao)。第二部分(fen)于1897年5月在(zai)《數(shu)學年鑒》上發表(biao)(biao)，是(shi)關于“良序集(ji)(ji)的(de)(de)研(yan)究”。《獻文(wen)》的(de)(de)發表(biao)(biao)標(biao)志(zhi)集(ji)(ji)合(he)論(lun)已從點集(ji)(ji)論(lun)過渡到抽象集(ji)(ji)合(he)論(lun)。但是(shi)，由于它還不(bu)是(shi)公理化的(de)(de)，而且它的(de)(de)某(mou)些(xie)邏輯前(qian)提和某(mou)些(xie)證明(ming)方(fang)法如不(bu)給予適當的(de)(de)限制便會導出悖論(lun)，所以(yi)康(kang)托(tuo)爾(er)的(de)(de)集(ji)(ji)合(he)論(lun)通常成為(wei)古(gu)典集(ji)(ji)合(he)論(lun)或樸素集(ji)(ji)合(he)論(lun)。
