《九章(zhang)算術(shu)》約成書于(yu)東(dong)漢之初，共有246個問題的(de)解法。在(zai)許多方面：如解聯立方程(cheng)，分數四則(ze)運算，正負數運算，幾(ji)何圖形的(de)體積(ji)面積(ji)計算等，都屬于(yu)世(shi)界先(xian)進之列。劉徽在(zai)曹(cao)魏(wei)景初四年注《九章(zhang)算術(shu)注》。
但因(yin)解法(fa)(fa)比較原始，缺乏必要的(de)(de)證明(ming)，劉徽則(ze)對(dui)此均作(zuo)了補充證明(ming)。在(zai)(zai)這(zhe)些證明(ming)中(zhong)，顯示(shi)了他(ta)(ta)在(zai)(zai)眾多(duo)方(fang)面(mian)(mian)的(de)(de)創造性貢獻(xian)。他(ta)(ta)是世(shi)界(jie)上最(zui)早(zao)提(ti)出(chu)十進小(xiao)數概(gai)念(nian)的(de)(de)人，并(bing)用(yong)(yong)十進小(xiao)數來表示(shi)無(wu)理數的(de)(de)立(li)方(fang)根。在(zai)(zai)代數方(fang)面(mian)(mian)，他(ta)(ta)正(zheng)(zheng)確地提(ti)出(chu)了正(zheng)(zheng)負數的(de)(de)概(gai)念(nian)及其加減運算的(de)(de)法(fa)(fa)則(ze)，改(gai)進了線性方(fang)程組的(de)(de)解法(fa)(fa)。在(zai)(zai)幾何方(fang)面(mian)(mian)，提(ti)出(chu)了"割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術"，即(ji)將圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周用(yong)(yong)內(nei)接或外切正(zheng)(zheng)多(duo)邊形(xing)窮竭的(de)(de)一(yi)種求圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)面(mian)(mian)積(ji)(ji)和(he)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周長(chang)的(de)(de)方(fang)法(fa)(fa)。他(ta)(ta)利用(yong)(yong)割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術科學地求出(chu)了圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周率π=3.1416的(de)(de)結果。他(ta)(ta)用(yong)(yong)割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術，從直徑為2尺的(de)(de)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)內(nei)接正(zheng)(zheng)六(liu)邊形(xing)開始割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)，依(yi)次得正(zheng)(zheng)12邊形(xing)、正(zheng)(zheng)24邊形(xing)……，割(ge)得越細(xi)，正(zheng)(zheng)多(duo)邊形(xing)面(mian)(mian)積(ji)(ji)和(he)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)面(mian)(mian)積(ji)(ji)之(zhi)差(cha)越小(xiao)，用(yong)(yong)他(ta)(ta)的(de)(de)原話說是“割(ge)之(zhi)彌細(xi)，所(suo)失彌少，割(ge)之(zhi)又(you)割(ge)，以至于不可割(ge)，則(ze)與圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周合體而(er)無(wu)所(suo)失矣。”他(ta)(ta)計(ji)算了3072邊形(xing)面(mian)(mian)積(ji)(ji)并(bing)驗(yan)證了這(zhe)個值(zhi)。劉徽提(ti)出(chu)的(de)(de)計(ji)算圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周率的(de)(de)科學方(fang)法(fa)(fa)，奠(dian)定(ding)了此后千余年來中(zhong)國圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周率計(ji)算在(zai)(zai)世(shi)界(jie)上的(de)(de)領先地位。
劉徽在數(shu)學(xue)上的(de)(de)(de)(de)貢獻極多(duo)，在開方(fang)不盡(jin)的(de)(de)(de)(de)問(wen)題中(zhong)提(ti)出(chu)“求徽數(shu)”的(de)(de)(de)(de)思想(xiang)，這方(fang)法與后來(lai)求無(wu)理根(gen)的(de)(de)(de)(de)近似值的(de)(de)(de)(de)方(fang)法一致，它不僅是圓周率(lv)精(jing)確計算的(de)(de)(de)(de)必要(yao)條件，而且促進了(le)十進小數(shu)的(de)(de)(de)(de)產生；在線(xian)性方(fang)程組(zu)解(jie)法中(zhong)，他(ta)創(chuang)造(zao)了(le)比直除法更簡(jian)便的(de)(de)(de)(de)互乘(cheng)相(xiang)消法，與現(xian)今解(jie)法基本一致；并(bing)在中(zhong)國數(shu)學(xue)史(shi)上第一次提(ti)出(chu)了(le)“不定(ding)方(fang)程問(wen)題”；他(ta)還(huan)建立(li)了(le)等(deng)(deng)(deng)差級數(shu)前(qian)n項(xiang)和公(gong)式；提(ti)出(chu)并(bing)定(ding)義了(le)許多(duo)數(shu)學(xue)概念：如冪（面積）；方(fang)程（線(xian)性方(fang)程組(zu)）；正(zheng)負數(shu)等(deng)(deng)(deng)等(deng)(deng)(deng)．劉徽還(huan)提(ti)出(chu)了(le)許多(duo)公(gong)認(ren)正(zheng)確的(de)(de)(de)(de)判(pan)斷(duan)作(zuo)為證明(ming)的(de)(de)(de)(de)前(qian)提(ti)．他(ta)的(de)(de)(de)(de)大多(duo)數(shu)推理、證明(ming)都合乎邏輯，十分嚴(yan)謹，從而把《九章算術》及(ji)他(ta)自(zi)己提(ti)出(chu)的(de)(de)(de)(de)解(jie)法、公(gong)式建立(li)在必然(ran)性的(de)(de)(de)(de)基礎之上。雖然(ran)劉徽沒有寫出(chu)自(zi)成(cheng)體(ti)系的(de)(de)(de)(de)著作(zuo)，但他(ta)注《九章算術》所運用的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)知識(shi)，實際上已經形成(cheng)了(le)一個獨具特色、包括概念和判(pan)斷(duan)、并(bing)以數(shu)學(xue)證明(ming)為其聯系紐帶(dai)的(de)(de)(de)(de)理論體(ti)系。
劉徽(hui)(hui)在(zai)割(ge)圓術中(zhong)提出的"割(ge)之彌細，所(suo)失彌少(shao)，割(ge)之又(you)割(ge)以至(zhi)于不(bu)可割(ge)，則(ze)與圓合體而無所(suo)失矣"，這可視為中(zhong)國古代(dai)(dai)極限觀念的佳作。《海(hai)島算經》一書中(zhong)，劉徽(hui)(hui)精(jing)心選編了九(jiu)個測量問題，這些(xie)題目的創造性(xing)、復雜性(xing)和富有代(dai)(dai)表(biao)性(xing)，都在(zai)當時為西方(fang)(fang)所(suo)矚目。劉徽(hui)(hui)思想敏捷，方(fang)(fang)法靈(ling)活(huo)，既(ji)提倡推理又(you)主(zhu)張直觀。他是(shi)我(wo)國最(zui)早明確(que)主(zhu)張用邏輯推理的方(fang)(fang)式(shi)來論(lun)證數(shu)學(xue)命題的人。精(jing)確(que)到了小(xiao)數(shu)點后5位。
劉徽其(qi)代表作(zuo)《九(jiu)章(zhang)算術注》是對《九(jiu)章(zhang)算術》一書(shu)的(de)注解。《九(jiu)章(zhang)算術》是中(zhong)國流傳(chuan)至今(jin)最古老的(de)數學專著之(zhi)一，它成(cheng)書(shu)于西漢時期(qi)。這部(bu)書(shu)的(de)完成(cheng)經(jing)過(guo)了一段歷史過(guo)程，書(shu)中(zhong)所收(shou)集的(de)各種數學問題，有(you)些是秦(qin)以前流傳(chuan)的(de)問題，長期(qi)以來經(jing)過(guo)多人刪補、修訂，最后由西漢時期(qi)的(de)數學家(jia)整理完成(cheng)。現(xian)今(jin)流傳(chuan)的(de)定本的(de)內容在東漢之(zhi)前已(yi)經(jing)形成(cheng)。
《九章算術》是中國最重(zhong)要的(de)一(yi)部經典數學著作，它的(de)完(wan)成奠定(ding)了(le)中國古代(dai)數學發展(zhan)的(de)基礎，在(zai)中國數學史上占有極(ji)為重(zhong)要的(de)地位。現傳(chuan)本《九章算術》共收集了(le)246個應用問(wen)題和(he)各種問(wen)題的(de)解法，分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功(gong)、均輸、盈(ying)不足、方程、勾股九章。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》的(de)產生是社會發(fa)展和(he)數(shu)學知識長(chang)期積累的(de)結果(guo)，它匯集了不同時(shi)期數(shu)學家的(de)勞動(dong)成(cheng)果(guo)。三國時(shi)的(de)數(shu)學家劉(liu)徽(hui)認為：“周公制禮有九(jiu)數(shu)，九(jiu)數(shu)之流，則《九(jiu)章(zhang)(zhang)》是矣。……漢(han)(han)北平侯張蒼(cang)、大司農(nong)中(zhong)丞耿(geng)(geng)壽昌(chang)皆以善算(suan)命(ming)世。蒼(cang)等因舊文(wen)之遺殘，各稱刪(shan)補(bu)。故校其(qi)目(mu)則與古或異，而(er)所論多近語也。”根(gen)據劉(liu)徽(hui)的(de)考證結果(guo)，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》源于周公時(shi)代的(de)“九(jiu)數(shu)”，而(er)他(ta)所見到(dao)的(de)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》是西(xi)漢(han)(han)時(shi)的(de)張蒼(cang)、耿(geng)(geng)壽昌(chang)在先(xian)秦(qin)遺文(wen)的(de)基礎上刪(shan)補(bu)而(er)成(cheng)的(de)，其(qi)中(zhong)包括了大量(liang)西(xi)漢(han)(han)時(shi)補(bu)充的(de)內容(rong)。根(gen)據歷史文(wen)獻和(he)出土(tu)文(wen)物資料(liao)來分(fen)析，劉(liu)徽(hui)所言是可信的(de)。
《九章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術》所(suo)包含的(de)(de)(de)(de)(de)(de)各(ge)種算(suan)(suan)法是(shi)漢(han)(han)朝(chao)數學(xue)(xue)家(jia)(jia)們在秦(qin)(qin)(qin)以前(qian)流傳(chuan)(chuan)下(xia)來的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)(xue)基礎上(shang)，適應(ying)當(dang)時的(de)(de)(de)(de)(de)(de)需要補充修(xiu)訂而成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。按(an)照劉(liu)徽的(de)(de)(de)(de)(de)(de)考證，張(zhang)蒼(cang)和(he)耿(geng)壽昌(chang)都是(shi)參(can)加過修(xiu)訂工作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)主(zhu)要數學(xue)(xue)家(jia)(jia)。《史記(ji)·張(zhang)丞相列傳(chuan)(chuan)》記(ji)載，張(zhang)蒼(cang)（約公(gong)元(yuan)(yuan)前(qian)250～公(gong)元(yuan)(yuan)前(qian)152）經歷(li)了秦(qin)(qin)(qin)、漢(han)(han)兩個(ge)朝(chao)代(dai)(dai)(dai)，他在高帝(di)六年（公(gong)元(yuan)(yuan)前(qian)201年）以攻藏茶有(you)功封為(wei)北平侯。“自秦(qin)(qin)(qin)時為(wei)柱下(xia)史，明天(tian)(tian)下(xia)圖書(shu)(shu)(shu)計籍。又善(shan)用算(suan)(suan)律(lv)歷(li)。”他還(huan)“著(zhu)書(shu)(shu)(shu)18篇，言陰陽律(lv)歷(li)事(shi)。”耿(geng)壽昌(chang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)生年年代(dai)(dai)(dai)不詳(xiang)，漢(han)(han)宣帝(di)時官至大司農中丞，“以善(shan)為(wei)算(suan)(suan)，能商功利(li)”得寵于皇帝(di)（見《漢(han)(han)書(shu)(shu)(shu)·食貨志(zhi)》）。他于天(tian)(tian)文學(xue)(xue)主(zhu)張(zhang)渾(hun)天(tian)(tian)說，甘露二年（公(gong)元(yuan)(yuan)前(qian)52年）奏“以圓儀(yi)度(du)日月(yue)行，考驗天(tian)(tian)運(yun)狀”（見《后漢(han)(han)書(shu)(shu)(shu)·律(lv)歷(li)志(zhi)》）。張(zhang)蒼(cang)和(he)耿(geng)壽昌(chang)都是(shi)數學(xue)(xue)名家(jia)(jia)，又身(shen)居高位(wei)，由(you)他們主(zhu)持修(xiu)訂先秦(qin)(qin)(qin)流傳(chuan)(chuan)下(xia)來的(de)(de)(de)(de)(de)(de)《算(suan)(suan)術》是(shi)很自然(ran)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)事(shi)情。根據劉(liu)徽的(de)(de)(de)(de)(de)(de)記(ji)載，他所(suo)注釋(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)《九章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術》最后是(shi)由(you)耿(geng)壽昌(chang)刪(shan)定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。我們認為(wei)耿(geng)壽昌(chang)刪(shan)補《九章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)年代(dai)(dai)(dai)可以定為(wei)這部書(shu)(shu)(shu)完(wan)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)年代(dai)(dai)(dai)。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)》是由國家組織力量(liang)編纂的(de)(de)一(yi)部官方性(xing)數(shu)(shu)(shu)學教(jiao)科(ke)書(shu)，對兩漢(han)(han)(han)時期(qi)(qi)數(shu)(shu)(shu)學的(de)(de)發展產生了(le)很大(da)的(de)(de)影響。《廣韻》卷四有(you)“九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，漢(han)(han)(han)許商、杜(du)(du)志(zhi)、吳陳熾、王粲(can)并善之”，《后漢(han)(han)(han)書(shu)·馬援(yuan)傳》有(you)馬續（約(yue)70～141年(nian)）“博觀群籍，善九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”負記載(zai)。此外，史書(shu)中還有(you)鄭玄（127～200年(nian)）、劉洪等人“通九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”的(de)(de)記述。可(ke)知該(gai)書(shu)是當時學習數(shu)(shu)(shu)學的(de)(de)重要(yao)教(jiao)材，在(zai)東(dong)漢(han)(han)(han)光和二年(nian)（179）一(yi)塊(kuai)銅版(ban)上的(de)(de)銘文規定：“大(da)司農以戊寅（138？）詔書(shu)，……特(te)更為(wei)諸州作(zuo)(zuo)銅斗、斜、稱。依(yi)黃鐘律歷，《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)》以均長短、輕重、大(da)小，以齊七政，令海內都同。”這說明該(gai)書(shu)在(zai)東(dong)漢(han)(han)(han)時期(qi)(qi)不僅(jin)廣為(wei)流傳，而且度(du)量(liang)衡研制涉(she)及的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學問(wen)題也要(yao)以書(shu)中的(de)(de)算(suan)法為(wei)依(yi)據。許商、杜(du)(du)志(zhi)可(ke)能是《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)書(shu)》成書(shu)后最早(zao)研究(jiu)過該(gai)書(shu)的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學家。許商、杜(du)(du)志(zhi)都是西漢(han)(han)(han)后期(qi)(qi)的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學家。《漢(han)(han)(han)書(shu)·藝文志(zhi)》著(zhu)(zhu)(zhu)錄有(you)《許商算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)》26卷、《杜(du)(du)志(zhi)算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)》16卷。這兩部書(shu)都是漢(han)(han)(han)成帝三年(nian)（前26）尹咸校對數(shu)(shu)(shu)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)著(zhu)(zhu)(zhu)作(zuo)(zuo)之前撰寫的(de)(de)。許商、杜(du)(du)志(zhi)的(de)(de)著(zhu)(zhu)(zhu)作(zuo)(zuo)完成年(nian)代與耿壽昌刪補《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)》的(de)(de)年(nian)代相(xiang)去不遠，他們的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學著(zhu)(zhu)(zhu)作(zuo)(zuo)應當是在(zai)研究(jiu)了(le)《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)》的(de)(de)基礎上完成的(de)(de)。
《九章(zhang)算術(shu)》不(bu)僅在(zai)中(zhong)國數學(xue)(xue)史上(shang)占有重要地位，對(dui)世界(jie)數學(xue)(xue)的發展(zhan)也有著(zhu)重要的貢(gong)獻(xian)。分(fen)數理(li)論及其(qi)完整(zheng)的算法(fa)(fa)(fa)，比例(li)和比例(li)分(fen)配算法(fa)(fa)(fa)，面積和體(ti)積算法(fa)(fa)(fa)，以及各類應用問題的解法(fa)(fa)(fa)，在(zai)書中(zhong)的方田、粟米、衰分(fen)、商功、均輸等(deng)章(zhang)已有了相當詳備的敘述。而少廣、盈不(bu)足(zu)、方程、勾股等(deng)章(zhang)中(zhong)的開立(li)方法(fa)(fa)(fa)、盈不(bu)足(zu)術(shu)（雙假(jia)設法(fa)(fa)(fa)）、正負數概念、線性聯(lian)立(li)方程組解法(fa)(fa)(fa)、整(zheng)數勾股弦的一(yi)般公(gong)式等(deng)內(nei)容都是世界(jie)數學(xue)(xue)史上(shang)的卓越成就。 傳本(ben)《九章(zhang)算術(shu)》有劉徽注和唐(tang)李淳風(feng)等(deng)的注釋。
劉徽是中國(guo)古(gu)代杰出(chu)的(de)(de)(de)(de)數學(xue)家，他生(sheng)活在(zai)三國(guo)時(shi)代的(de)(de)(de)(de)魏國(guo)。《隋書·律(lv)歷志》論(lun)歷代量制引商功章注(zhu)，說“魏陳(chen)留王(wang)景元(yuan)四年（263）劉徽注(zhu)《九(jiu)章》。”他的(de)(de)(de)(de)生(sheng)平不(bu)可(ke)詳(xiang)考。劉徽的(de)(de)(de)(de)《九(jiu)章》注(zhu)不(bu)僅在(zai)整理(li)(li)古(gu)代數學(xue)體系(xi)和(he)完善(shan)古(gu)算(suan) 理(li)(li)論(lun)方(fang)面取得了(le)(le)(le)重要成就，而且提(ti)出(chu)了(le)(le)(le)豐富多彩(cai)的(de)(de)(de)(de)創見和(he)發(fa)明(ming)。劉徽在(zai)算(suan)術、代數、幾(ji)何等方(fang)面都有(you)杰出(chu)的(de)(de)(de)(de)貢獻。例如，他用(yong)比率(lv)理(li)(li)論(lun)建立了(le)(le)(le)數與式的(de)(de)(de)(de)統(tong)一的(de)(de)(de)(de)理(li)(li)論(lun)基礎，他應(ying)用(yong)了(le)(le)(le)出(chu)入相補原(yuan)理(li)(li)和(he)極(ji)限方(fang)法(fa)解決(jue)了(le)(le)(le)許(xu)多面積和(he)體積問(wen)題，建立了(le)(le)(le)獨具風格的(de)(de)(de)(de)面積和(he)體積理(li)(li)論(lun)。他對(dui)《九(jiu)章》中的(de)(de)(de)(de)許(xu)多結論(lun)給出(chu)了(le)(le)(le)嚴格的(de)(de)(de)(de)證明(ming)，他的(de)(de)(de)(de)一些方(fang)法(fa)對(dui)后世(shi)有(you)很(hen)大啟發(fa)，即使對(dui)現今數學(xue)也有(you)可(ke)借鑒(jian)之(zhi)處。
劉徽的數學(xue)成就大致(zhi)為兩方面：
一(yi)是整理中國(guo)古(gu)代數(shu)學體(ti)系并奠(dian)定了它的(de)理論基礎，這方(fang)面集中體(ti)現在《九章(zhang)算術注(zhu)》中。它實已(yi)形(xing)成(cheng)為一(yi)個比較完(wan)整的(de)理論體(ti)系：
數系理論
用(yong)數(shu)(shu)(shu)的(de)同類與(yu)異類闡述了(le)通(tong)分(fen)、約分(fen)、四則運(yun)算，以(yi)及繁分(fen)數(shu)(shu)(shu)化簡等的(de)運(yun)算法則；在(zai)開方術 的(de)注(zhu)釋(shi)中，他(ta)從開方不盡的(de)意義出發，論述了(le)無(wu)理方根的(de)存在(zai)，并引進了(le)新數(shu)(shu)(shu)，創造了(le)用(yong)十進分(fen)數(shu)(shu)(shu)無(wu)限逼近(jin)無(wu)理根的(de)方法。
在籌式演(yan)算(suan)(suan)理論方(fang)面， 先給率(lv)以比較明確的(de)定義，又以遍乘、通約、齊(qi)同等三種(zhong)基本(ben)運(yun)算(suan)(suan)為基礎(chu)，建立了數(shu)與式運(yun)算(suan)(suan)的(de)統一的(de)理論基礎(chu)，他還用“率(lv)”來定義中(zhong)國(guo)古(gu)代數(shu)學中(zhong)的(de)“方(fang)程”，即現代數(shu)學中(zhong)線性(xing)方(fang)程組的(de)增廣矩(ju)陣。
在勾(gou)(gou)股理(li)(li)論(lun)(lun)(lun)方面逐一論(lun)(lun)(lun)證了有關勾(gou)(gou)股定(ding)理(li)(li)與解(jie)勾(gou)(gou)股形(xing)的(de)(de)計算原理(li)(li)，建(jian)立了相似勾(gou)(gou)股形(xing)理(li)(li)論(lun)(lun)(lun)，發(fa)展了勾(gou)(gou)股測量(liang)術(shu)，通過(guo)對(dui)“勾(gou)(gou)中(zhong)容橫”與“股中(zhong)容直”之類的(de)(de)典型(xing)圖形(xing)的(de)(de)論(lun)(lun)(lun)析，形(xing)成(cheng)了中(zhong)國特(te)色的(de)(de)相似理(li)(li)論(lun)(lun)(lun)。
面積與體積理論
用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方(fang)法提出了劉徽原理，并解決了多種幾何(he)形、幾何(he)體的面(mian)積(ji)(ji)、體積(ji)(ji)計算問題。這些方(fang)面(mian)的理論(lun)價值至今(jin)仍(reng)閃爍著余輝(hui)。
二是在(zai)繼承的(de)基礎上提出了自己的(de)創見。這方面主要體現為以下幾項有(you)代表性(xing)的(de)創見：
割圓(yuan)(yuan)術與圓(yuan)(yuan)周(zhou)率(lv)， 他在《九章算(suan)術 圓(yuan)(yuan)田(tian)術》注中，用割圓(yuan)(yuan)術證(zheng)明了(le)圓(yuan)(yuan)面(mian)積的(de)精確公式(shi)，并給出了(le)計算(suan)圓(yuan)(yuan)周(zhou)率(lv)的(de)科(ke)學方法。他首先從圓(yuan)(yuan)內接六邊(bian)(bian)(bian)形開始割圓(yuan)(yuan)，每(mei)次(ci)邊(bian)(bian)(bian)數(shu)倍增，算(suan)到(dao)(dao)192邊(bian)(bian)(bian)形的(de)面(mian)積，得到(dao)(dao)π=157/50=3.14，又算(suan)到(dao)(dao)3072邊(bian)(bian)(bian)形的(de)面(mian)積，得到(dao)(dao)π=3927/1250=3.1416，稱為“徽率(lv)”。
劉徽原理在《九(jiu)章(zhang)算術(shu)(shu)陽馬術(shu)(shu)》注中，他(ta)在用無(wu)限分割的(de)方法解決錐體體積(ji)時(shi)，提出了關于(yu)多面體體積(ji)計(ji)算的(de)劉徽原理。
“牟合方蓋”說
在《九章算術(shu)開立圓術(shu)》注中，他指出了球(qiu)體積公(gong)式V=9D3/16(D為球(qiu)直徑)的(de)不精確性，并引入了“牟(mou)合方(fang)蓋”這一著(zhu)名的(de)幾何模型。“牟(mou)合方(fang)蓋”是指正方(fang)體的(de)兩(liang)個軸互相垂直的(de)內(nei)切圓柱體的(de)貫交部分(fen)。
方程新術
在(zai)《九(jiu)章算(suan)(suan)術方程(cheng)術》注中，他提出了(le)解線(xian)性方程(cheng)組(zu)的新方法(fa)，運用了(le)比率算(suan)(suan)法(fa)的思(si)想。
重差術
在(zai)自(zi)撰《海島算(suan)經(jing)》中，他提(ti)出(chu)了重(zhong)差術，采用了重(zhong)表、連索和累(lei)矩等測高(gao)測遠(yuan)方(fang)法。他還運用“類推衍(yan)化(hua)”的(de)(de)方(fang)法，使重(zhong)差術由兩次(ci)測望(wang)，發展為(wei)“三望(wang)”、“四望(wang)”。而(er)印度(du)在(zai)7世(shi)(shi)紀(ji)，歐洲在(zai)15～16世(shi)(shi)紀(ji)才開始研究兩次(ci)測望(wang)的(de)(de)問題(ti)。劉(liu)徽的(de)(de)工作，不(bu)僅對中國古代數學(xue)發展產生了深遠(yuan)影響，而(er)且(qie)在(zai)世(shi)(shi)界數學(xue)史上也確立(li)了崇高(gao)的(de)(de)歷史地(di)位。鑒(jian)于劉(liu)徽的(de)(de)巨大貢獻，所以不(bu)少書上把他稱作“中國數學(xue)史上的(de)(de)牛(niu)頓”。
