《九章(zhang)算(suan)術》約成(cheng)書(shu)于東漢之(zhi)初，共有246個問(wen)題(ti)的(de)解(jie)法。在(zai)許多(duo)方(fang)面：如解(jie)聯立方(fang)程(cheng)，分數四則運算(suan)，正(zheng)負(fu)數運算(suan)，幾何圖(tu)形的(de)體積面積計算(suan)等，都屬(shu)于世界先進(jin)之(zhi)列。劉徽在(zai)曹魏(wei)景初四年注(zhu)《九章(zhang)算(suan)術注(zhu)》。
但因解法(fa)(fa)比較原始(shi)，缺乏必要(yao)的(de)(de)(de)證明，劉徽則(ze)對(dui)此均作(zuo)了(le)(le)補充證明。在(zai)(zai)這些(xie)證明中，顯示(shi)了(le)(le)他(ta)在(zai)(zai)眾多(duo)方面(mian)(mian)的(de)(de)(de)創(chuang)造(zao)性貢獻。他(ta)是世界上(shang)(shang)最(zui)早(zao)提出(chu)十進(jin)小(xiao)數(shu)(shu)概(gai)念的(de)(de)(de)人，并用十進(jin)小(xiao)數(shu)(shu)來表示(shi)無理數(shu)(shu)的(de)(de)(de)立方根。在(zai)(zai)代數(shu)(shu)方面(mian)(mian)，他(ta)正(zheng)確地(di)(di)提出(chu)了(le)(le)正(zheng)負數(shu)(shu)的(de)(de)(de)概(gai)念及其加減運算(suan)的(de)(de)(de)法(fa)(fa)則(ze)，改進(jin)了(le)(le)線性方程組的(de)(de)(de)解法(fa)(fa)。在(zai)(zai)幾(ji)何方面(mian)(mian)，提出(chu)了(le)(le)"割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術"，即(ji)將圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)用內(nei)接(jie)(jie)或外切正(zheng)多(duo)邊(bian)形(xing)(xing)窮竭(jie)的(de)(de)(de)一種求圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)面(mian)(mian)積(ji)和圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)長的(de)(de)(de)方法(fa)(fa)。他(ta)利用割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術科(ke)學(xue)地(di)(di)求出(chu)了(le)(le)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)率π=3.1416的(de)(de)(de)結果(guo)。他(ta)用割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術，從直徑(jing)為2尺的(de)(de)(de)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)內(nei)接(jie)(jie)正(zheng)六邊(bian)形(xing)(xing)開始(shi)割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)，依(yi)次得(de)正(zheng)12邊(bian)形(xing)(xing)、正(zheng)24邊(bian)形(xing)(xing)……，割(ge)得(de)越細，正(zheng)多(duo)邊(bian)形(xing)(xing)面(mian)(mian)積(ji)和圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)面(mian)(mian)積(ji)之差(cha)越小(xiao)，用他(ta)的(de)(de)(de)原話說是“割(ge)之彌細，所失彌少，割(ge)之又割(ge)，以至于不可割(ge)，則(ze)與圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)合體而無所失矣(yi)。”他(ta)計算(suan)了(le)(le)3072邊(bian)形(xing)(xing)面(mian)(mian)積(ji)并驗證了(le)(le)這個值(zhi)。劉徽提出(chu)的(de)(de)(de)計算(suan)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)率的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)方法(fa)(fa)，奠定了(le)(le)此后千余(yu)年(nian)來中國圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)率計算(suan)在(zai)(zai)世界上(shang)(shang)的(de)(de)(de)領(ling)先(xian)地(di)(di)位。
劉徽在數(shu)(shu)(shu)學上的貢獻極(ji)多(duo)，在開(kai)方(fang)不(bu)盡的問(wen)(wen)題中提出“求徽數(shu)(shu)(shu)”的思想，這方(fang)法(fa)(fa)與(yu)后來(lai)求無理(li)根(gen)的近似(si)值的方(fang)法(fa)(fa)一(yi)致(zhi)，它不(bu)僅(jin)是圓周率精確計算的必要(yao)條件，而且促進(jin)了(le)(le)(le)十進(jin)小數(shu)(shu)(shu)的產生；在線性方(fang)程組(zu)解法(fa)(fa)中，他(ta)創造了(le)(le)(le)比直除法(fa)(fa)更簡(jian)便的互(hu)乘(cheng)相消法(fa)(fa)，與(yu)現今(jin)解法(fa)(fa)基本一(yi)致(zhi)；并(bing)在中國(guo)數(shu)(shu)(shu)學史(shi)上第一(yi)次(ci)提出了(le)(le)(le)“不(bu)定方(fang)程問(wen)(wen)題”；他(ta)還建(jian)立了(le)(le)(le)等差級(ji)數(shu)(shu)(shu)前(qian)n項和公式；提出并(bing)定義了(le)(le)(le)許多(duo)數(shu)(shu)(shu)學概念：如冪（面積）；方(fang)程（線性方(fang)程組(zu)）；正(zheng)負(fu)數(shu)(shu)(shu)等等．劉徽還提出了(le)(le)(le)許多(duo)公認正(zheng)確的判斷作為證明的前(qian)提．他(ta)的大多(duo)數(shu)(shu)(shu)推理(li)、證明都(dou)合乎邏輯，十分(fen)嚴謹(jin)，從而把《九(jiu)章算術》及他(ta)自(zi)己(ji)提出的解法(fa)(fa)、公式建(jian)立在必然性的基礎之上。雖然劉徽沒有(you)寫(xie)出自(zi)成體(ti)系的著作，但他(ta)注《九(jiu)章算術》所運(yun)用的數(shu)(shu)(shu)學知(zhi)識，實際上已經形成了(le)(le)(le)一(yi)個獨具特色、包(bao)括概念和判斷、并(bing)以數(shu)(shu)(shu)學證明為其(qi)聯(lian)系紐帶的理(li)論體(ti)系。
劉(liu)徽在割(ge)圓(yuan)術(shu)中(zhong)提(ti)出(chu)的(de)"割(ge)之(zhi)彌(mi)細(xi)，所失(shi)彌(mi)少，割(ge)之(zhi)又割(ge)以至于(yu)不可割(ge)，則與(yu)圓(yuan)合體而無(wu)所失(shi)矣"，這可視為中(zhong)國(guo)古(gu)代(dai)極(ji)限觀念(nian)的(de)佳作。《海島算經》一書中(zhong)，劉(liu)徽精心(xin)選(xuan)編了九個(ge)測量問題(ti)，這些(xie)題(ti)目的(de)創造(zao)性、復雜性和富有(you)代(dai)表性，都在當(dang)時為西方所矚(zhu)目。劉(liu)徽思想敏捷(jie)，方法靈活(huo)，既提(ti)倡推理(li)(li)又主張直觀。他是我國(guo)最早(zao)明確主張用邏輯推理(li)(li)的(de)方式(shi)來論證數學(xue)命題(ti)的(de)人。精確到了小數點后5位。
劉徽其代(dai)表作《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)注》是對《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》一書(shu)的(de)注解。《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》是中國流(liu)傳至今最古老的(de)數學專著之(zhi)一，它(ta)成(cheng)(cheng)書(shu)于西漢(han)時(shi)期。這部(bu)書(shu)的(de)完成(cheng)(cheng)經(jing)過(guo)了一段歷史(shi)過(guo)程(cheng)，書(shu)中所(suo)收集的(de)各種數學問題，有些是秦以前(qian)流(liu)傳的(de)問題，長期以來經(jing)過(guo)多人(ren)刪補、修(xiu)訂，最后由西漢(han)時(shi)期的(de)數學家整理完成(cheng)(cheng)。現今流(liu)傳的(de)定本的(de)內(nei)容在(zai)東(dong)漢(han)之(zhi)前(qian)已經(jing)形成(cheng)(cheng)。
《九(jiu)章算術》是中(zhong)國最重(zhong)(zhong)要的(de)一部(bu)經典數(shu)學著作(zuo)，它的(de)完成奠定了(le)中(zhong)國古代數(shu)學發展(zhan)的(de)基(ji)礎，在中(zhong)國數(shu)學史(shi)上占有極為重(zhong)(zhong)要的(de)地位(wei)。現傳本《九(jiu)章算術》共收集(ji)了(le)246個應用問(wen)題和(he)各種問(wen)題的(de)解法(fa)，分(fen)別(bie)隸屬(shu)于方(fang)田、粟米(mi)、衰分(fen)、少廣、商(shang)功、均輸、盈不(bu)足、方(fang)程(cheng)、勾股九(jiu)章。
《九(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)算術(shu)》的(de)(de)(de)產生是社(she)會發展和(he)數(shu)學知識長(chang)期積累的(de)(de)(de)結(jie)果(guo)，它(ta)匯集了不同(tong)時(shi)期數(shu)學家(jia)的(de)(de)(de)勞動成果(guo)。三國時(shi)的(de)(de)(de)數(shu)學家(jia)劉徽認為：“周公制禮有(you)九(jiu)(jiu)(jiu)數(shu)，九(jiu)(jiu)(jiu)數(shu)之流，則(ze)《九(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)》是矣。……漢北平侯張蒼(cang)、大司農中(zhong)丞耿壽昌皆以善算命世。蒼(cang)等因(yin)舊(jiu)文之遺殘，各稱(cheng)刪(shan)補(bu)。故(gu)校其目則(ze)與古或異(yi)，而所論(lun)多近語也。”根據(ju)劉徽的(de)(de)(de)考證結(jie)果(guo)，《九(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)算術(shu)》源于(yu)周公時(shi)代的(de)(de)(de)“九(jiu)(jiu)(jiu)數(shu)”，而他所見到的(de)(de)(de)《九(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)算術(shu)》是西(xi)(xi)漢時(shi)的(de)(de)(de)張蒼(cang)、耿壽昌在(zai)先秦遺文的(de)(de)(de)基礎上(shang)刪(shan)補(bu)而成的(de)(de)(de)，其中(zhong)包括了大量西(xi)(xi)漢時(shi)補(bu)充(chong)的(de)(de)(de)內容。根據(ju)歷史文獻和(he)出土文物資料(liao)來(lai)分析，劉徽所言是可信的(de)(de)(de)。
《九(jiu)章算(suan)(suan)(suan)術(shu)》所(suo)包含的(de)(de)各(ge)種算(suan)(suan)(suan)法是漢(han)(han)朝(chao)數(shu)學家(jia)們在秦以(yi)前(qian)(qian)流(liu)傳下(xia)(xia)來的(de)(de)數(shu)學基礎上(shang)，適應當時(shi)的(de)(de)需(xu)要(yao)補充修訂而成的(de)(de)。按照劉徽的(de)(de)考證，張(zhang)蒼(cang)和(he)(he)耿(geng)(geng)(geng)(geng)(geng)壽(shou)昌都(dou)是參加過修訂工作的(de)(de)主(zhu)要(yao)數(shu)學家(jia)。《史記·張(zhang)丞(cheng)相列傳》記載，張(zhang)蒼(cang)（約公元(yuan)(yuan)前(qian)(qian)250～公元(yuan)(yuan)前(qian)(qian)152）經歷(li)了秦、漢(han)(han)兩(liang)個朝(chao)代，他(ta)(ta)在高帝六(liu)年(nian)（公元(yuan)(yuan)前(qian)(qian)201年(nian)）以(yi)攻藏(zang)茶有(you)功封為(wei)北(bei)平侯。“自秦時(shi)為(wei)柱下(xia)(xia)史，明(ming)天下(xia)(xia)圖(tu)書計籍。又善用(yong)算(suan)(suan)(suan)律(lv)歷(li)。”他(ta)(ta)還“著書18篇(pian)，言陰陽律(lv)歷(li)事。”耿(geng)(geng)(geng)(geng)(geng)壽(shou)昌的(de)(de)生年(nian)年(nian)代不詳(xiang)，漢(han)(han)宣帝時(shi)官至大司農中丞(cheng)，“以(yi)善為(wei)算(suan)(suan)(suan)，能(neng)商功利”得寵于皇帝（見(jian)《漢(han)(han)書·食(shi)貨志》）。他(ta)(ta)于天文(wen)學主(zhu)張(zhang)渾天說，甘露二(er)年(nian)（公元(yuan)(yuan)前(qian)(qian)52年(nian)）奏“以(yi)圓儀(yi)度日月(yue)行，考驗(yan)天運狀”（見(jian)《后(hou)(hou)漢(han)(han)書·律(lv)歷(li)志》）。張(zhang)蒼(cang)和(he)(he)耿(geng)(geng)(geng)(geng)(geng)壽(shou)昌都(dou)是數(shu)學名(ming)家(jia)，又身居高位，由他(ta)(ta)們主(zhu)持(chi)修訂先秦流(liu)傳下(xia)(xia)來的(de)(de)《算(suan)(suan)(suan)術(shu)》是很自然的(de)(de)事情(qing)。根據劉徽的(de)(de)記載，他(ta)(ta)所(suo)注釋的(de)(de)《九(jiu)章算(suan)(suan)(suan)術(shu)》最后(hou)(hou)是由耿(geng)(geng)(geng)(geng)(geng)壽(shou)昌刪(shan)定的(de)(de)。我們認為(wei)耿(geng)(geng)(geng)(geng)(geng)壽(shou)昌刪(shan)補《九(jiu)章算(suan)(suan)(suan)術(shu)》的(de)(de)年(nian)代可(ke)以(yi)定為(wei)這(zhe)部(bu)書完成的(de)(de)年(nian)代。
《九(jiu)章(zhang)算術(shu)》是由國家組織(zhi)力量編纂的(de)(de)一(yi)部(bu)官方(fang)性數(shu)(shu)(shu)學(xue)教科書(shu)(shu)，對兩漢時(shi)期數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)發展產(chan)生了(le)(le)很大的(de)(de)影響。《廣韻》卷四(si)有“九(jiu)章(zhang)術(shu)，漢許(xu)商(shang)(shang)、杜(du)志、吳陳熾(chi)、王粲并善之”，《后(hou)漢書(shu)(shu)·馬援傳》有馬續（約70～141年(nian)）“博(bo)觀(guan)群籍，善九(jiu)章(zhang)算術(shu)”負記(ji)載。此外，史書(shu)(shu)中還有鄭(zheng)玄（127～200年(nian)）、劉洪等人“通九(jiu)章(zhang)算術(shu)”的(de)(de)記(ji)述。可(ke)知該(gai)書(shu)(shu)是當(dang)時(shi)學(xue)習(xi)數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)重要教材(cai)，在東漢光和二年(nian)（179）一(yi)塊銅(tong)版(ban)上的(de)(de)銘(ming)文規(gui)定：“大司(si)農以(yi)戊寅（138？）詔書(shu)(shu)，……特更為(wei)諸州作銅(tong)斗、斜、稱(cheng)。依黃鐘律歷(li)，《九(jiu)章(zhang)算術(shu)》以(yi)均長短、輕重、大小，以(yi)齊七政，令海內都(dou)(dou)(dou)同。”這(zhe)說明該(gai)書(shu)(shu)在東漢時(shi)期不僅廣為(wei)流傳，而且度量衡研(yan)制涉(she)及的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)問題也要以(yi)書(shu)(shu)中的(de)(de)算法為(wei)依據。許(xu)商(shang)(shang)、杜(du)志可(ke)能是《九(jiu)章(zhang)算書(shu)(shu)》成書(shu)(shu)后(hou)最(zui)早研(yan)究(jiu)過該(gai)書(shu)(shu)的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)家。許(xu)商(shang)(shang)、杜(du)志都(dou)(dou)(dou)是西漢后(hou)期的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)家。《漢書(shu)(shu)·藝文志》著(zhu)錄(lu)有《許(xu)商(shang)(shang)算術(shu)》26卷、《杜(du)志算術(shu)》16卷。這(zhe)兩部(bu)書(shu)(shu)都(dou)(dou)(dou)是漢成帝(di)三年(nian)（前(qian)26）尹(yin)咸校(xiao)對數(shu)(shu)(shu)術(shu)著(zhu)作之前(qian)撰寫的(de)(de)。許(xu)商(shang)(shang)、杜(du)志的(de)(de)著(zhu)作完成年(nian)代與(yu)耿壽昌刪補(bu)《九(jiu)章(zhang)算術(shu)》的(de)(de)年(nian)代相去不遠，他(ta)們的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)著(zhu)作應當(dang)是在研(yan)究(jiu)了(le)(le)《九(jiu)章(zhang)算術(shu)》的(de)(de)基礎上完成的(de)(de)。
《九章算(suan)術》不僅在中國數(shu)(shu)學(xue)(xue)史上占(zhan)有(you)(you)重(zhong)要地(di)位，對世界數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)發展也(ye)有(you)(you)著重(zhong)要的(de)(de)貢獻。分(fen)數(shu)(shu)理論(lun)及其完整的(de)(de)算(suan)法(fa)(fa)，比例(li)和(he)比例(li)分(fen)配算(suan)法(fa)(fa)，面積和(he)體積算(suan)法(fa)(fa)，以及各類應用問題的(de)(de)解(jie)法(fa)(fa)，在書中的(de)(de)方(fang)(fang)田、粟米、衰分(fen)、商功、均輸(shu)等(deng)章已有(you)(you)了相當詳備的(de)(de)敘(xu)述(shu)。而少廣、盈(ying)不足、方(fang)(fang)程、勾股(gu)等(deng)章中的(de)(de)開立方(fang)(fang)法(fa)(fa)、盈(ying)不足術（雙假設(she)法(fa)(fa)）、正(zheng)負數(shu)(shu)概(gai)念、線性(xing)聯(lian)立方(fang)(fang)程組解(jie)法(fa)(fa)、整數(shu)(shu)勾股(gu)弦(xian)的(de)(de)一般公式等(deng)內容都(dou)是世界數(shu)(shu)學(xue)(xue)史上的(de)(de)卓越成就。 傳本《九章算(suan)術》有(you)(you)劉徽注和(he)唐李淳風等(deng)的(de)(de)注釋。
劉徽(hui)是(shi)中國(guo)古(gu)(gu)代杰出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學家(jia)，他生活在三國(guo)時代的(de)(de)(de)(de)(de)(de)魏(wei)國(guo)。《隋書(shu)·律歷志(zhi)》論歷代量制引商功章(zhang)注，說(shuo)“魏(wei)陳留王景元四年（263）劉徽(hui)注《九章(zhang)》。”他的(de)(de)(de)(de)(de)(de)生平不可(ke)詳考(kao)。劉徽(hui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)《九章(zhang)》注不僅在整理(li)古(gu)(gu)代數(shu)學體(ti)系(xi)和完(wan)善(shan)古(gu)(gu)算(suan)(suan) 理(li)論方(fang)(fang)面(mian)(mian)取得了(le)(le)(le)(le)(le)重要成就，而且提出(chu)了(le)(le)(le)(le)(le)豐富多(duo)彩的(de)(de)(de)(de)(de)(de)創見和發(fa)明。劉徽(hui)在算(suan)(suan)術(shu)、代數(shu)、幾何等方(fang)(fang)面(mian)(mian)都有(you)杰出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)貢獻。例如，他用比率理(li)論建(jian)立(li)(li)了(le)(le)(le)(le)(le)數(shu)與式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)統一(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論基礎，他應用了(le)(le)(le)(le)(le)出(chu)入(ru)相補原理(li)和極限方(fang)(fang)法解決了(le)(le)(le)(le)(le)許多(duo)面(mian)(mian)積和體(ti)積問題，建(jian)立(li)(li)了(le)(le)(le)(le)(le)獨(du)具風(feng)格的(de)(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)(mian)積和體(ti)積理(li)論。他對(dui)《九章(zhang)》中的(de)(de)(de)(de)(de)(de)許多(duo)結論給出(chu)了(le)(le)(le)(le)(le)嚴格的(de)(de)(de)(de)(de)(de)證明，他的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)些方(fang)(fang)法對(dui)后(hou)世有(you)很大啟發(fa)，即使對(dui)現今數(shu)學也有(you)可(ke)借鑒之(zhi)處。
劉徽(hui)的數學成就大致為兩(liang)方(fang)面：
一是整(zheng)理中國古代數(shu)學體(ti)系(xi)并(bing)奠定(ding)了(le)它的理論基礎，這方面集中體(ti)現在《九章算術注(zhu)》中。它實已形成為一個比較(jiao)完整(zheng)的理論體(ti)系(xi)：
數系理論
用(yong)數的(de)(de)同類與異類闡述了(le)(le)通分、約分、四(si)則運(yun)算，以及繁分數化簡(jian)等的(de)(de)運(yun)算法則；在(zai)開(kai)方術 的(de)(de)注釋(shi)中，他從開(kai)方不盡的(de)(de)意義出(chu)發，論述了(le)(le)無理方根的(de)(de)存在(zai)，并(bing)引進了(le)(le)新數，創造了(le)(le)用(yong)十(shi)進分數無限逼近無理根的(de)(de)方法。
在(zai)籌式(shi)演算(suan)理論方(fang)面， 先給率以比(bi)較明確的(de)定義(yi)，又以遍乘(cheng)、通約、齊同等三種(zhong)基(ji)本運(yun)算(suan)為基(ji)礎，建立了數(shu)與(yu)式(shi)運(yun)算(suan)的(de)統一的(de)理論基(ji)礎，他還用(yong)“率”來(lai)定義(yi)中國古代(dai)數(shu)學中的(de)“方(fang)程”，即現代(dai)數(shu)學中線性方(fang)程組的(de)增廣矩陣。
在勾(gou)(gou)(gou)股(gu)理(li)論(lun)(lun)方面(mian)逐一論(lun)(lun)證了(le)有(you)關(guan)勾(gou)(gou)(gou)股(gu)定理(li)與解勾(gou)(gou)(gou)股(gu)形(xing)(xing)的計算原理(li)，建立了(le)相似勾(gou)(gou)(gou)股(gu)形(xing)(xing)理(li)論(lun)(lun)，發展了(le)勾(gou)(gou)(gou)股(gu)測量術，通過對(dui)“勾(gou)(gou)(gou)中(zhong)容(rong)橫(heng)”與“股(gu)中(zhong)容(rong)直”之類(lei)的典型圖形(xing)(xing)的論(lun)(lun)析，形(xing)(xing)成了(le)中(zhong)國(guo)特色的相似理(li)論(lun)(lun)。
面積與體積理論
用出入相補(bu)、以(yi)盈補(bu)虛的(de)原(yuan)理及(ji)“割圓術”的(de)極限方(fang)法提出了劉徽(hui)原(yuan)理，并(bing)解(jie)決了多(duo)種幾何形、幾何體(ti)(ti)的(de)面(mian)(mian)積、體(ti)(ti)積計算問(wen)題(ti)。這些方(fang)面(mian)(mian)的(de)理論(lun)價值至今仍(reng)閃(shan)爍著余輝。
二是在(zai)繼承的基礎上(shang)提(ti)出了自己(ji)的創見(jian)。這方面主要體現為以下幾項有代表性的創見(jian)：
割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)術與圓(yuan)(yuan)(yuan)周率(lv)， 他(ta)在(zai)《九章算(suan)術 圓(yuan)(yuan)(yuan)田術》注(zhu)中，用割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)術證明(ming)了(le)圓(yuan)(yuan)(yuan)面(mian)(mian)積的精確(que)公式，并給出(chu)了(le)計算(suan)圓(yuan)(yuan)(yuan)周率(lv)的科(ke)學方法(fa)。他(ta)首先(xian)從圓(yuan)(yuan)(yuan)內(nei)接六邊(bian)形(xing)(xing)開始割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)，每次邊(bian)數倍增，算(suan)到(dao)192邊(bian)形(xing)(xing)的面(mian)(mian)積，得(de)到(dao)π=157/50=3.14，又算(suan)到(dao)3072邊(bian)形(xing)(xing)的面(mian)(mian)積，得(de)到(dao)π=3927/1250=3.1416，稱為“徽(hui)率(lv)”。
劉徽(hui)原理(li)在《九(jiu)章算術(shu)陽(yang)馬術(shu)》注(zhu)中，他在用無限(xian)分(fen)割的(de)方法(fa)解決錐體體積時，提(ti)出了關于多(duo)面體體積計算的(de)劉徽(hui)原理(li)。
“牟合方蓋”說
在《九章算術開立圓術》注中，他指出了(le)(le)球(qiu)(qiu)體積公式V=9D3/16(D為球(qiu)(qiu)直(zhi)徑)的不精確性，并引入了(le)(le)“牟(mou)合方蓋”這一著(zhu)名的幾何模型(xing)。“牟(mou)合方蓋”是指正方體的兩個軸互(hu)相垂(chui)直(zhi)的內切圓柱(zhu)體的貫(guan)交(jiao)部分(fen)。
方程新術
在(zai)《九(jiu)章(zhang)算術方(fang)程術》注中，他提(ti)出(chu)了解(jie)線性方(fang)程組的新方(fang)法(fa)，運(yun)用(yong)了比(bi)率算法(fa)的思想。
重差術
在自(zi)撰(zhuan)《海(hai)島算經》中，他提出(chu)了重(zhong)差術，采用(yong)(yong)了重(zhong)表、連索和(he)累(lei)矩等測(ce)高測(ce)遠方法(fa)。他還運(yun)用(yong)(yong)“類推(tui)衍化”的方法(fa)，使重(zhong)差術由兩(liang)次(ci)測(ce)望(wang)(wang)(wang)，發展(zhan)為(wei)“三望(wang)(wang)(wang)”、“四(si)望(wang)(wang)(wang)”。而印度在7世(shi)紀，歐洲在15～16世(shi)紀才開始研究兩(liang)次(ci)測(ce)望(wang)(wang)(wang)的問(wen)題。劉徽的工作，不僅對中國古(gu)代數(shu)學發展(zhan)產生(sheng)了深遠影(ying)響(xiang)，而且在世(shi)界數(shu)學史(shi)(shi)上(shang)也確立了崇高的歷史(shi)(shi)地位(wei)。鑒(jian)于劉徽的巨大貢(gong)獻，所以不少(shao)書上(shang)把他稱作“中國數(shu)學史(shi)(shi)上(shang)的牛頓”。
