《九章算術》約(yue)成書(shu)于(yu)東漢(han)之初，共有246個(ge)問題(ti)的解(jie)法。在許(xu)多方面：如解(jie)聯立方程(cheng)，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計(ji)算等，都屬于(yu)世界(jie)先進(jin)之列。劉徽(hui)在曹魏景初四年注(zhu)《九章算術注(zhu)》。
但因解(jie)(jie)法(fa)(fa)比較原始(shi)，缺乏(fa)必要的(de)(de)(de)(de)證(zheng)明(ming)，劉徽則對此均作(zuo)了(le)(le)(le)補充證(zheng)明(ming)。在這些證(zheng)明(ming)中(zhong)，顯(xian)示(shi)(shi)了(le)(le)(le)他(ta)(ta)在眾多(duo)方(fang)(fang)(fang)面的(de)(de)(de)(de)創造(zao)性貢獻。他(ta)(ta)是世(shi)(shi)界上最早提出(chu)十(shi)進小數(shu)概念(nian)的(de)(de)(de)(de)人，并用(yong)(yong)十(shi)進小數(shu)來表示(shi)(shi)無理數(shu)的(de)(de)(de)(de)立方(fang)(fang)(fang)根。在代數(shu)方(fang)(fang)(fang)面，他(ta)(ta)正確地(di)提出(chu)了(le)(le)(le)正負(fu)數(shu)的(de)(de)(de)(de)概念(nian)及其(qi)加減(jian)運算的(de)(de)(de)(de)法(fa)(fa)則，改進了(le)(le)(le)線(xian)性方(fang)(fang)(fang)程組(zu)的(de)(de)(de)(de)解(jie)(jie)法(fa)(fa)。在幾何方(fang)(fang)(fang)面，提出(chu)了(le)(le)(le)"割圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)"，即(ji)將(jiang)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周用(yong)(yong)內接(jie)或外切(qie)正多(duo)邊形(xing)窮竭的(de)(de)(de)(de)一種求(qiu)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)面積(ji)和圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周長的(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)。他(ta)(ta)利(li)用(yong)(yong)割圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)科(ke)學(xue)地(di)求(qiu)出(chu)了(le)(le)(le)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周率(lv)π=3.1416的(de)(de)(de)(de)結(jie)果。他(ta)(ta)用(yong)(yong)割圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)，從直徑為2尺的(de)(de)(de)(de)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)內接(jie)正六邊形(xing)開始(shi)割圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)，依次得(de)(de)正12邊形(xing)、正24邊形(xing)……，割得(de)(de)越細，正多(duo)邊形(xing)面積(ji)和圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)面積(ji)之差越小，用(yong)(yong)他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)原話說(shuo)是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周合體而無所失矣。”他(ta)(ta)計(ji)算了(le)(le)(le)3072邊形(xing)面積(ji)并驗證(zheng)了(le)(le)(le)這個值(zhi)。劉徽提出(chu)的(de)(de)(de)(de)計(ji)算圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周率(lv)的(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)方(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)，奠(dian)定了(le)(le)(le)此后(hou)千余年來中(zhong)國圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周率(lv)計(ji)算在世(shi)(shi)界上的(de)(de)(de)(de)領先地(di)位。
劉徽(hui)在(zai)(zai)(zai)數(shu)學上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)貢獻極多，在(zai)(zai)(zai)開方(fang)(fang)(fang)不(bu)(bu)盡的(de)(de)(de)(de)(de)(de)問題中(zhong)提(ti)出“求徽(hui)數(shu)”的(de)(de)(de)(de)(de)(de)思想，這(zhe)方(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)與(yu)后來求無理(li)根的(de)(de)(de)(de)(de)(de)近似值的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)一致，它不(bu)(bu)僅是(shi)圓周率精確計(ji)算的(de)(de)(de)(de)(de)(de)必要條件，而(er)且(qie)促進了(le)十進小數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)產生；在(zai)(zai)(zai)線性(xing)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組解(jie)(jie)法(fa)(fa)(fa)(fa)中(zhong)，他(ta)創造了(le)比直除法(fa)(fa)(fa)(fa)更簡便的(de)(de)(de)(de)(de)(de)互乘相(xiang)消法(fa)(fa)(fa)(fa)，與(yu)現今(jin)解(jie)(jie)法(fa)(fa)(fa)(fa)基本一致；并(bing)在(zai)(zai)(zai)中(zhong)國數(shu)學史上(shang)(shang)第一次(ci)提(ti)出了(le)“不(bu)(bu)定方(fang)(fang)(fang)程(cheng)問題”；他(ta)還建(jian)立了(le)等差級數(shu)前n項和公(gong)式；提(ti)出并(bing)定義了(le)許(xu)多數(shu)學概念：如冪（面積）；方(fang)(fang)(fang)程(cheng)（線性(xing)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組）；正負數(shu)等等．劉徽(hui)還提(ti)出了(le)許(xu)多公(gong)認正確的(de)(de)(de)(de)(de)(de)判(pan)斷作為(wei)證明的(de)(de)(de)(de)(de)(de)前提(ti)．他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)大多數(shu)推(tui)理(li)、證明都(dou)合乎邏輯，十分嚴謹，從(cong)而(er)把《九章(zhang)算術》及他(ta)自己提(ti)出的(de)(de)(de)(de)(de)(de)解(jie)(jie)法(fa)(fa)(fa)(fa)、公(gong)式建(jian)立在(zai)(zai)(zai)必然性(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎(chu)之上(shang)(shang)。雖(sui)然劉徽(hui)沒有寫出自成(cheng)(cheng)體系的(de)(de)(de)(de)(de)(de)著作，但(dan)他(ta)注《九章(zhang)算術》所運(yun)用的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學知識，實際上(shang)(shang)已經形成(cheng)(cheng)了(le)一個(ge)獨具特色、包括概念和判(pan)斷、并(bing)以數(shu)學證明為(wei)其(qi)聯系紐帶的(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論體系。
劉徽在割(ge)圓(yuan)(yuan)術中提(ti)出的"割(ge)之彌(mi)細，所(suo)失(shi)(shi)彌(mi)少，割(ge)之又割(ge)以至于不可(ke)割(ge)，則與圓(yuan)(yuan)合體而(er)無(wu)所(suo)失(shi)(shi)矣(yi)"，這可(ke)視(shi)為中國(guo)古(gu)代(dai)極限觀(guan)念的佳作。《海島(dao)算(suan)經》一書中，劉徽精心選編了九(jiu)個測量問題，這些題目的創(chuang)造性(xing)、復(fu)雜性(xing)和富有代(dai)表(biao)性(xing)，都在當(dang)時(shi)為西方(fang)(fang)所(suo)矚目。劉徽思想敏捷，方(fang)(fang)法靈活，既提(ti)倡推理又主(zhu)(zhu)張直觀(guan)。他是我(wo)國(guo)最早明確(que)主(zhu)(zhu)張用邏輯推理的方(fang)(fang)式來論證數(shu)(shu)學(xue)命題的人(ren)。精確(que)到了小數(shu)(shu)點后(hou)5位。
劉(liu)徽其代表作《九(jiu)章算(suan)術注》是對《九(jiu)章算(suan)術》一書的(de)(de)(de)注解。《九(jiu)章算(suan)術》是中國流傳至今最古(gu)老的(de)(de)(de)數學專著之一，它成(cheng)(cheng)書于西(xi)漢(han)時(shi)期。這部書的(de)(de)(de)完成(cheng)(cheng)經過(guo)了一段歷(li)史過(guo)程(cheng)，書中所(suo)收集的(de)(de)(de)各(ge)種(zhong)數學問題，有些是秦以前流傳的(de)(de)(de)問題，長期以來經過(guo)多人刪補、修訂，最后由(you)西(xi)漢(han)時(shi)期的(de)(de)(de)數學家整理完成(cheng)(cheng)。現今流傳的(de)(de)(de)定本的(de)(de)(de)內容在(zai)東(dong)漢(han)之前已(yi)經形(xing)成(cheng)(cheng)。
《九章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》是(shi)中(zhong)(zhong)國最重(zhong)要(yao)的(de)一部(bu)經典數學著作，它的(de)完成奠定了(le)中(zhong)(zhong)國古代數學發展的(de)基礎，在中(zhong)(zhong)國數學史(shi)上占有極(ji)為重(zhong)要(yao)的(de)地位。現傳本《九章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》共(gong)收集了(le)246個應用問題和各(ge)種(zhong)問題的(de)解(jie)法，分(fen)(fen)別隸屬于(yu)方田、粟(su)米、衰分(fen)(fen)、少(shao)廣(guang)、商(shang)功(gong)、均輸、盈不足、方程、勾股九章(zhang)。
《九(jiu)(jiu)章算術》的(de)產生是社(she)會發展和(he)數(shu)(shu)(shu)學(xue)知識(shi)長(chang)期積(ji)累的(de)結果，它匯集了不同時(shi)期數(shu)(shu)(shu)學(xue)家的(de)勞動成果。三國時(shi)的(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)家劉(liu)(liu)徽(hui)認為：“周(zhou)公(gong)制禮有(you)九(jiu)(jiu)數(shu)(shu)(shu)，九(jiu)(jiu)數(shu)(shu)(shu)之(zhi)流(liu)，則《九(jiu)(jiu)章》是矣。……漢(han)北平侯(hou)張蒼(cang)、大司農中丞耿壽(shou)昌皆以(yi)善算命世。蒼(cang)等因舊文之(zhi)遺殘，各稱刪(shan)補(bu)。故校其目則與古或異，而所論多(duo)近語也。”根據劉(liu)(liu)徽(hui)的(de)考證結果，《九(jiu)(jiu)章算術》源于周(zhou)公(gong)時(shi)代的(de)“九(jiu)(jiu)數(shu)(shu)(shu)”，而他(ta)所見到(dao)的(de)《九(jiu)(jiu)章算術》是西漢(han)時(shi)的(de)張蒼(cang)、耿壽(shou)昌在先秦遺文的(de)基(ji)礎上刪(shan)補(bu)而成的(de)，其中包括了大量西漢(han)時(shi)補(bu)充的(de)內(nei)容。根據歷史(shi)文獻和(he)出(chu)土(tu)文物資料來分析，劉(liu)(liu)徽(hui)所言是可(ke)信(xin)的(de)。
《九章算(suan)(suan)(suan)術(shu)》所(suo)包含的(de)(de)(de)各(ge)種算(suan)(suan)(suan)法是(shi)漢朝(chao)數學家們在(zai)秦(qin)以(yi)前(qian)(qian)流傳下(xia)來(lai)的(de)(de)(de)數學基礎上，適應當(dang)時(shi)(shi)的(de)(de)(de)需要補(bu)(bu)充修訂而成的(de)(de)(de)。按照劉徽的(de)(de)(de)考證，張蒼和耿(geng)壽(shou)昌(chang)(chang)都(dou)是(shi)參(can)加過修訂工作的(de)(de)(de)主要數學家。《史(shi)記(ji)·張丞相列傳》記(ji)載，張蒼（約公(gong)(gong)元(yuan)前(qian)(qian)250～公(gong)(gong)元(yuan)前(qian)(qian)152）經歷了秦(qin)、漢兩個朝(chao)代，他(ta)在(zai)高帝六年（公(gong)(gong)元(yuan)前(qian)(qian)201年）以(yi)攻藏茶(cha)有功封為(wei)(wei)北平侯。“自(zi)(zi)秦(qin)時(shi)(shi)為(wei)(wei)柱下(xia)史(shi)，明(ming)天下(xia)圖書計籍。又善(shan)用算(suan)(suan)(suan)律歷。”他(ta)還“著書18篇，言陰陽律歷事(shi)。”耿(geng)壽(shou)昌(chang)(chang)的(de)(de)(de)生年年代不詳，漢宣帝時(shi)(shi)官至大司農(nong)中(zhong)丞，“以(yi)善(shan)為(wei)(wei)算(suan)(suan)(suan)，能商功利”得寵于皇(huang)帝（見(jian)《漢書·食貨志》）。他(ta)于天文學主張渾天說，甘露二年（公(gong)(gong)元(yuan)前(qian)(qian)52年）奏“以(yi)圓儀度日月行，考驗天運狀”（見(jian)《后漢書·律歷志》）。張蒼和耿(geng)壽(shou)昌(chang)(chang)都(dou)是(shi)數學名(ming)家，又身居(ju)高位，由(you)他(ta)們主持修訂先秦(qin)流傳下(xia)來(lai)的(de)(de)(de)《算(suan)(suan)(suan)術(shu)》是(shi)很自(zi)(zi)然的(de)(de)(de)事(shi)情。根據劉徽的(de)(de)(de)記(ji)載，他(ta)所(suo)注釋(shi)的(de)(de)(de)《九章算(suan)(suan)(suan)術(shu)》最(zui)后是(shi)由(you)耿(geng)壽(shou)昌(chang)(chang)刪定(ding)(ding)的(de)(de)(de)。我(wo)們認為(wei)(wei)耿(geng)壽(shou)昌(chang)(chang)刪補(bu)(bu)《九章算(suan)(suan)(suan)術(shu)》的(de)(de)(de)年代可以(yi)定(ding)(ding)為(wei)(wei)這部書完成的(de)(de)(de)年代。
《九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)》是(shi)(shi)由國(guo)家組織(zhi)力量(liang)編纂的(de)(de)一(yi)(yi)部官方性數(shu)學(xue)(xue)教科書，對兩漢(han)(han)(han)(han)時期(qi)數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)發展產生了(le)很大的(de)(de)影響。《廣韻》卷四有(you)“九(jiu)(jiu)(jiu)章術(shu)(shu)(shu)(shu)，漢(han)(han)(han)(han)許(xu)商(shang)、杜志、吳陳熾、王粲并(bing)善(shan)之(zhi)”，《后漢(han)(han)(han)(han)書·馬(ma)援(yuan)傳(chuan)》有(you)馬(ma)續(xu)（約70～141年(nian)）“博觀群籍(ji)，善(shan)九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)”負記(ji)載。此外，史(shi)書中(zhong)還有(you)鄭玄（127～200年(nian)）、劉洪等人“通九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)”的(de)(de)記(ji)述。可知(zhi)該書是(shi)(shi)當時學(xue)(xue)習(xi)數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)重要教材，在東漢(han)(han)(han)(han)光(guang)和(he)二年(nian)（179）一(yi)(yi)塊銅版上的(de)(de)銘(ming)文(wen)規(gui)定(ding)：“大司農(nong)以(yi)戊寅（138？）詔書，……特(te)更為(wei)(wei)諸(zhu)州(zhou)作銅斗、斜、稱。依黃鐘律歷，《九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)》以(yi)均長(chang)短(duan)、輕(qing)重、大小，以(yi)齊七政，令海內都同(tong)。”這說明該書在東漢(han)(han)(han)(han)時期(qi)不(bu)僅(jin)廣為(wei)(wei)流傳(chuan)，而且度量(liang)衡研制涉及的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)問題(ti)也要以(yi)書中(zhong)的(de)(de)算(suan)法為(wei)(wei)依據。許(xu)商(shang)、杜志可能是(shi)(shi)《九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)書》成書后最早研究過該書的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)家。許(xu)商(shang)、杜志都是(shi)(shi)西漢(han)(han)(han)(han)后期(qi)的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)家。《漢(han)(han)(han)(han)書·藝文(wen)志》著(zhu)(zhu)錄有(you)《許(xu)商(shang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)》26卷、《杜志算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)》16卷。這兩部書都是(shi)(shi)漢(han)(han)(han)(han)成帝(di)三年(nian)（前26）尹咸校對數(shu)術(shu)(shu)(shu)(shu)著(zhu)(zhu)作之(zhi)前撰寫(xie)的(de)(de)。許(xu)商(shang)、杜志的(de)(de)著(zhu)(zhu)作完成年(nian)代與耿壽昌(chang)刪補《九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)》的(de)(de)年(nian)代相去(qu)不(bu)遠(yuan)，他們的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作應(ying)當是(shi)(shi)在研究了(le)《九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)(shu)(shu)》的(de)(de)基礎上完成的(de)(de)。
《九章(zhang)(zhang)算術(shu)(shu)》不僅在中(zhong)(zhong)國數(shu)(shu)學史上占有重要地位，對世(shi)界數(shu)(shu)學的(de)(de)發展也(ye)有著重要的(de)(de)貢(gong)獻。分數(shu)(shu)理(li)論及其完整的(de)(de)算法(fa)(fa)(fa)(fa)，比例和(he)比例分配(pei)算法(fa)(fa)(fa)(fa)，面積和(he)體積算法(fa)(fa)(fa)(fa)，以及各類應用問題的(de)(de)解法(fa)(fa)(fa)(fa)，在書(shu)中(zhong)(zhong)的(de)(de)方(fang)(fang)田、粟米(mi)、衰分、商(shang)功、均輸等(deng)章(zhang)(zhang)已有了相(xiang)當詳備(bei)的(de)(de)敘述。而少廣、盈不足、方(fang)(fang)程、勾股等(deng)章(zhang)(zhang)中(zhong)(zhong)的(de)(de)開(kai)立(li)(li)方(fang)(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)、盈不足術(shu)(shu)（雙假設(she)法(fa)(fa)(fa)(fa)）、正(zheng)負數(shu)(shu)概念、線性聯立(li)(li)方(fang)(fang)程組(zu)解法(fa)(fa)(fa)(fa)、整數(shu)(shu)勾股弦(xian)的(de)(de)一般公(gong)式等(deng)內容都是(shi)世(shi)界數(shu)(shu)學史上的(de)(de)卓(zhuo)越成就(jiu)。 傳本《九章(zhang)(zhang)算術(shu)(shu)》有劉徽注和(he)唐李淳風等(deng)的(de)(de)注釋。
劉徽是中國古代(dai)(dai)杰出(chu)的(de)數學家，他(ta)生(sheng)活(huo)在(zai)(zai)三國時代(dai)(dai)的(de)魏國。《隋書·律歷志(zhi)》論歷代(dai)(dai)量制(zhi)引商功(gong)章(zhang)注(zhu)(zhu)(zhu)，說“魏陳留王景元四年(nian)（263）劉徽注(zhu)(zhu)(zhu)《九(jiu)章(zhang)》。”他(ta)的(de)生(sheng)平不可(ke)(ke)詳考。劉徽的(de)《九(jiu)章(zhang)》注(zhu)(zhu)(zhu)不僅在(zai)(zai)整理古代(dai)(dai)數學體系和(he)(he)完善(shan)古算 理論方面取得了(le)(le)重要成就，而且提出(chu)了(le)(le)豐(feng)富多(duo)彩的(de)創見和(he)(he)發明。劉徽在(zai)(zai)算術、代(dai)(dai)數、幾何等方面都有杰出(chu)的(de)貢獻。例(li)如，他(ta)用比率(lv)理論建立(li)了(le)(le)數與式(shi)的(de)統一的(de)理論基礎，他(ta)應用了(le)(le)出(chu)入(ru)相補原理和(he)(he)極限方法解(jie)決了(le)(le)許(xu)多(duo)面積和(he)(he)體積問題，建立(li)了(le)(le)獨(du)具風格(ge)的(de)面積和(he)(he)體積理論。他(ta)對(dui)《九(jiu)章(zhang)》中的(de)許(xu)多(duo)結論給出(chu)了(le)(le)嚴格(ge)的(de)證明，他(ta)的(de)一些方法對(dui)后世(shi)有很大(da)啟(qi)發，即(ji)使對(dui)現今(jin)數學也有可(ke)(ke)借鑒之(zhi)處。
劉徽的數學成就大致為兩方面(mian)：
一是整理(li)中國古代數學體(ti)系并奠(dian)定了它的理(li)論基礎，這方面(mian)集中體(ti)現(xian)在《九(jiu)章算術注》中。它實(shi)已形成為一個比較完整的理(li)論體(ti)系：
數系理論
用數的同類與(yu)異類闡述(shu)了通分(fen)、約分(fen)、四則(ze)運算(suan)，以(yi)及繁(fan)分(fen)數化(hua)簡等的運算(suan)法則(ze)；在開(kai)方(fang)術 的注釋(shi)中(zhong)，他從開(kai)方(fang)不(bu)盡的意義出(chu)發，論述(shu)了無理方(fang)根的存在，并引進了新數，創造了用十進分(fen)數無限(xian)逼近無理根的方(fang)法。
在(zai)籌式(shi)演(yan)算(suan)理論方(fang)(fang)面， 先給率(lv)(lv)以(yi)比(bi)較明(ming)確的(de)(de)定義，又以(yi)遍乘(cheng)、通約、齊(qi)同等(deng)三種基(ji)本運(yun)算(suan)為基(ji)礎，建立了數與(yu)式(shi)運(yun)算(suan)的(de)(de)統一的(de)(de)理論基(ji)礎，他(ta)還(huan)用“率(lv)(lv)”來(lai)定義中國(guo)古(gu)代數學(xue)中的(de)(de)“方(fang)(fang)程(cheng)”，即現代數學(xue)中線性方(fang)(fang)程(cheng)組的(de)(de)增廣矩陣。
在勾股(gu)(gu)(gu)理(li)(li)論方面逐(zhu)一論證(zheng)了有關勾股(gu)(gu)(gu)定理(li)(li)與(yu)解勾股(gu)(gu)(gu)形(xing)的(de)計算原理(li)(li)，建立了相似勾股(gu)(gu)(gu)形(xing)理(li)(li)論，發展(zhan)了勾股(gu)(gu)(gu)測量術(shu)，通(tong)過對“勾中(zhong)容(rong)橫”與(yu)“股(gu)(gu)(gu)中(zhong)容(rong)直(zhi)”之(zhi)類的(de)典型圖(tu)形(xing)的(de)論析，形(xing)成了中(zhong)國(guo)特(te)色的(de)相似理(li)(li)論。
面積與體積理論
用出(chu)入相補、以(yi)盈(ying)補虛的(de)原(yuan)理及“割圓術(shu)”的(de)極限方(fang)法提出(chu)了劉(liu)徽原(yuan)理，并(bing)解決了多(duo)種幾何形(xing)、幾何體(ti)的(de)面積、體(ti)積計算問題。這些方(fang)面的(de)理論價值至今(jin)仍(reng)閃爍(shuo)著余輝。
二是(shi)在繼承的(de)基(ji)礎上提出了自己的(de)創(chuang)見(jian)。這方(fang)面主要體現為以(yi)下幾項有代表性的(de)創(chuang)見(jian)：
割圓術(shu)與圓周率， 他在《九(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu) 圓田術(shu)》注中，用割圓術(shu)證明了圓面(mian)(mian)積(ji)的(de)精(jing)確(que)公式，并給出(chu)了計算(suan)圓周率的(de)科學方法。他首先(xian)從圓內接(jie)六(liu)邊形開始割圓，每次邊數(shu)倍增，算(suan)到192邊形的(de)面(mian)(mian)積(ji)，得到π=157/50=3.14，又算(suan)到3072邊形的(de)面(mian)(mian)積(ji)，得到π=3927/1250=3.1416，稱為(wei)“徽率”。
劉徽原(yuan)理在《九章算術陽馬術》注(zhu)中，他在用無限分(fen)割的(de)方法解決錐體(ti)體(ti)積時(shi)，提出了關于多面體(ti)體(ti)積計算的(de)劉徽原(yuan)理。
“牟合方蓋”說
在《九章(zhang)算術開(kai)立圓術》注中，他指出(chu)了球體(ti)積(ji)公式V=9D3/16(D為球直(zhi)徑)的不(bu)精確性，并引入了“牟合(he)方(fang)蓋”這一著名的幾何模型(xing)。“牟合(he)方(fang)蓋”是指正方(fang)體(ti)的兩個軸互相垂直(zhi)的內切圓柱(zhu)體(ti)的貫交(jiao)部分。
方程新術
在(zai)《九章算術方程術》注中，他提(ti)出了解線性方程組的新方法(fa)，運用了比率算法(fa)的思想。
重差術
在(zai)(zai)自撰《海島算(suan)經》中，他提出(chu)了重(zhong)差術，采用(yong)了重(zhong)表、連(lian)索(suo)和累矩等測(ce)(ce)高測(ce)(ce)遠(yuan)方法。他還運用(yong)“類推衍化(hua)”的(de)(de)方法，使重(zhong)差術由兩次測(ce)(ce)望(wang)，發(fa)展為“三(san)望(wang)”、“四望(wang)”。而印度在(zai)(zai)7世紀，歐洲在(zai)(zai)15～16世紀才開始研究兩次測(ce)(ce)望(wang)的(de)(de)問題。劉徽的(de)(de)工作，不僅對中國(guo)古代(dai)數學(xue)發(fa)展產生了深遠(yuan)影(ying)響(xiang)，而且在(zai)(zai)世界(jie)數學(xue)史(shi)(shi)上(shang)也(ye)確立了崇高的(de)(de)歷(li)史(shi)(shi)地位。鑒(jian)于劉徽的(de)(de)巨(ju)大貢(gong)獻(xian)，所以不少書上(shang)把(ba)他稱作“中國(guo)數學(xue)史(shi)(shi)上(shang)的(de)(de)牛頓”。
