朱(zhu)世(shi)杰“以數學名(ming)家周(zhou)游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫(mo)若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。
宋(song)元(yuan)(yuan)時期，中國數(shu)學(xue)鼎盛時期中杰(jie)出的數(shu)學(xue)家(jia)(jia)有“秦九韶、李冶、楊(yang)輝、朱(zhu)世杰(jie)四大家(jia)(jia)”，朱(zhu)世杰(jie)就是其(qi)中之一。朱(zhu)世杰(jie)是一位平(ping)民數(shu)學(xue)家(jia)(jia)和(he)數(shu)學(xue)教育(yu)家(jia)(jia)。朱(zhu)世杰(jie)平(ping)生勤力(li)研習《九章(zhang)算(suan)術(shu)》，旁通其(qi)它各種(zhong)算(suan)法(fa)，成為元(yuan)(yuan)代著名數(shu)學(xue)家(jia)(jia)。
元(yuan)(yuan)(yuan)統一(yi)中國后，朱世杰曾以數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)家的(de)(de)身份周(zhou)游各(ge)地20余年(nian)，向(xiang)他求學(xue)的(de)(de)人很多，他到廣(guang)陵(今揚州)時“踵(zhong)門(men)而學(xue)者云(yun)集”。他全面繼(ji)承了前(qian)人數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)成(cheng)果，既吸收(shou)了北方的(de)(de)天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)，又吸收(shou)了南方的(de)(de)正(zheng)負(fu)開(kai)方術(shu)、各(ge)種日(ri)用算法及通俗歌訣，在此基(ji)礎上(shang)進(jin)行了創造性的(de)(de)研究(jiu)，寫成(cheng)以總(zong)結(jie)和普及當時各(ge)種數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)知識為宗旨的(de)(de)《算學(xue)啟蒙》(3卷)，又寫成(cheng)四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)的(de)(de)代表作--《四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)玉鑒》(3卷)，先后于：1299年(nian)和1303年(nian)刊(kan)印．《算學(xue)啟蒙》由淺入深(shen)，從(cong)一(yi)位數(shu)(shu)(shu)(shu)乘法開(kai)始，一(yi)直講(jiang)到當時的(de)(de)最新數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)成(cheng)果――天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)，形成(cheng)一(yi)個完整體系(xi)。
書(shu)中明確提出(chu)正負數(shu)乘(cheng)(cheng)法法則(ze)，給出(chu)倒數(shu)的(de)(de)概(gai)念和基本(ben)性質(zhi)，概(gai)括(kuo)出(chu)若干新的(de)(de)乘(cheng)(cheng)法公式(shi)(shi)和根式(shi)(shi)運算法則(ze)，總(zong)結了若干乘(cheng)(cheng)除捷算口訣(jue)，并把設輔(fu)助(zhu)未知數(shu)的(de)(de)方(fang)(fang)法用于解(jie)(jie)線性方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)組．《四(si)元(yuan)玉(yu)鑒》的(de)(de)主(zhu)要內容是四(si)元(yuan)術，即(ji)多元(yuan)高次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)組的(de)(de)建立和求解(jie)(jie)方(fang)(fang)法．秦九韶的(de)(de)高次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)數(shu)值解(jie)(jie)法和李(li)冶的(de)(de)天元(yuan)術都被包含(han)在內．
在(zai)宋(song)元(yuan)(yuan)時期的(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)群英中，朱世(shi)(shi)杰的(de)(de)(de)(de)工作具有(you)特殊重要(yao)的(de)(de)(de)(de)意義．如果把(ba)諸(zhu)多數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家比作群山，則(ze)朱世(shi)(shi)杰是(shi)最高(gao)(gao)大(da)、最雄(xiong)偉(wei)的(de)(de)(de)(de)山峰．站在(zai)朱世(shi)(shi)杰數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)思想的(de)(de)(de)(de)高(gao)(gao)度俯嫩傳統數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)，會有(you)"一覽眾山小"之(zhi)(zhi)感．來世(shi)(shi)杰工作的(de)(de)(de)(de)意義就在(zai)于總結了(le)宋(song)元(yuan)(yuan)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)，使之(zhi)(zhi)在(zai)理(li)(li)論(lun)上(shang)達到新(xin)的(de)(de)(de)(de)高(gao)(gao)度．這主要(yao)表現(xian)在(zai)以(yi)下(xia)三個領域(yu)．首先是(shi)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)理(li)(li)論(lun)．在(zai)列方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)方(fang)(fang)面(mian)，蔣周的(de)(de)(de)(de)演段法為天(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)作了(le)準備工作，他已具有(you)尋找等值(zhi)多項式(shi)的(de)(de)(de)(de)思想，洞淵馬與信(xin)道是(shi)天(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)先驅，但他們推(tui)導方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)仍受幾(ji)何(he)思維的(de)(de)(de)(de)束(shu)縛(fu)，李(li)冶(ye)基本上(shang)擺脫了(le)這種(zhong)(zhong)束(shu)縛(fu)，總結出一套固定(ding)的(de)(de)(de)(de)天(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)程(cheng)(cheng)(cheng)序(xu)，使天(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)進(jin)入成熟階段．在(zai)解(jie)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)方(fang)(fang)面(mian)，賈憲給(gei)出增乘開(kai)方(fang)(fang)法，劉益則(ze)用(yong)正(zheng)負開(kai)方(fang)(fang)術(shu)(shu)(shu)(shu)求出四次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)正(zheng)根，秦九韶在(zai)此(ci)基礎上(shang)解(jie)決了(le)高(gao)(gao)次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)值(zhi)解(jie)法問題．至此(ci)，一元(yuan)(yuan)高(gao)(gao)次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)建立和(he)求解(jie)都已實(shi)現(xian)．而線性方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)組古已有(you)之(zhi)(zhi)，所以(yi)具備了(le)多元(yuan)(yuan)高(gao)(gao)次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)組產生的(de)(de)(de)(de)條件．李(li)德載(zai)的(de)(de)(de)(de)二元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)和(he)劉大(da)鑒的(de)(de)(de)(de)三元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)相(xiang)繼(ji)出現(xian)，朱世(shi)(shi)杰的(de)(de)(de)(de)四元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)正(zheng)是(shi)對二元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)、三元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)總結與提高(gao)(gao)．由(you)于四元(yuan)(yuan)已把(ba)常(chang)數(shu)(shu)(shu)項的(de)(de)(de)(de)上(shang)下(xia)左右(you)占滿，方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)理(li)(li)論(lun)發展(zhan)到這里，顯然就告一段落(luo)了(le)．從(cong)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)種(zhong)(zhong)類看，天(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)產生之(zhi)(zhi)前的(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)都是(shi)整式(shi)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)。
從(cong)洞淵(yuan)到(dao)李冶，分式(shi)(shi)方(fang)(fang)程(cheng)逐漸得到(dao)發(fa)展．而(er)朱(zhu)世(shi)(shi)(shi)杰，則突破了(le)有(you)理(li)式(shi)(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)限(xian)制(zhi)，開(kai)始(shi)(shi)處理(li)無理(li)方(fang)(fang)程(cheng)．其(qi)次(ci)(ci)是高階等差(cha)級(ji)(ji)數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)(yan)究．沈括的(de)(de)(de)(de)(de)(de)隙(xi)積(ji)術(shu)(shu)開(kai)研(yan)(yan)究高階等差(cha)級(ji)(ji)數(shu)之(zhi)先河，楊輝給出包括隙(xi)積(ji)術(shu)(shu)在(zai)內(nei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一系列二階等差(cha)級(ji)(ji)數(shu)求和公(gong)式(shi)(shi)．朱(zhu)世(shi)(shi)(shi)杰則在(zai)此基(ji)礎(chu)上依次(ci)(ci)研(yan)(yan)究了(le)二階、三階、四(si)階乃至五階等差(cha)級(ji)(ji)數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)求和問題(ti)，從(cong)而(er)發(fa)現其(qi)規(gui)律，掌(zhang)握了(le)三角垛(duo)(duo)統一公(gong)式(shi)(shi)．他還(huan)發(fa)現了(le)垛(duo)(duo)積(ji)術(shu)(shu)與內(nei)插(cha)法的(de)(de)(de)(de)(de)(de)內(nei)在(zai)聯(lian)系，利用(yong)垛(duo)(duo)積(ji)公(gong)式(shi)(shi)給出規(gui)范的(de)(de)(de)(de)(de)(de)四(si)次(ci)(ci)內(nei)插(cha)公(gong)式(shi)(shi)．第三是幾(ji)(ji)(ji)何(he)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)(yan)究．宋(song)代(dai)以前，幾(ji)(ji)(ji)何(he)研(yan)(yan)究離不開(kai)勾股(gu)和面積(ji)、體(ti)(ti)(ti)積(ji)．蔣周(zhou)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)《益古集》也是以面積(ji)問題(ti)為研(yan)(yan)究對象(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)．李冶開(kai)始(shi)(shi)注(zhu)意到(dao)圓城因式(shi)(shi)中各元(yuan)素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系，得到(dao)一些定理(li)，但(dan)未能(neng)推廣到(dao)更一般的(de)(de)(de)(de)(de)(de)情形(xing)．朱(zhu)世(shi)(shi)(shi)杰不僅總結了(le)前人的(de)(de)(de)(de)(de)(de)勾股(gu)及(ji)求積(ji)理(li)論，而(er)且在(zai)李冶思(si)想的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎(chu)上更進一步，深(shen)入研(yan)(yan)究了(le)勾股(gu)形(xing)內(nei)及(ji)圓內(nei)各幾(ji)(ji)(ji)何(he)元(yuan)素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)量關系，發(fa)現了(le)兩(liang)個重要定理(li)--射影定理(li)和弦冪定理(li)．他在(zai)立體(ti)(ti)(ti)幾(ji)(ji)(ji)何(he)中也開(kai)始(shi)(shi)注(zhu)意到(dao)圖(tu)形(xing)內(nei)各元(yuan)素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系．朱(zhu)世(shi)(shi)(shi)杰的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作，使得幾(ji)(ji)(ji)何(he)研(yan)(yan)究的(de)(de)(de)(de)(de)(de)對象(xiang)由(you)圖(tu)形(xing)整體(ti)(ti)(ti)深(shen)入到(dao)圖(tu)形(xing)內(nei)部，體(ti)(ti)(ti)現了(le)數(shu)學(xue)思(si)想的(de)(de)(de)(de)(de)(de)進步。
朱(zhu)世(shi)杰長(chang)期(qi)從事數學(xue)研究和(he)教育事業(ye)，以(yi)數學(xue)名家周游各地(di)20多(duo)(duo)年，四方(fang)登門來學(xue)習(xi)的(de)(de)人很多(duo)(duo)。朱(zhu)世(shi)杰數學(xue)代表作有《算學(xue)啟(qi)蒙》（1299）和(he)《四元(yuan)(yuan)玉鑒》（1303）。《算學(xue)啟(qi)蒙》是一部通俗數學(xue)名著，曾流傳(chuan)海外(wai)，影響了朝鮮(xian)、日本數學(xue)的(de)(de)發展。《四元(yuan)(yuan)玉鑒》則(ze)是中(zhong)國宋元(yuan)(yuan)數學(xue)高峰(feng)的(de)(de)又一個標志，其(qi)中(zhong)最(zui)杰出的(de)(de)數學(xue)創作有“四元(yuan)(yuan)術(shu)”（多(duo)(duo)元(yuan)(yuan)高次方(fang)程列式與消元(yuan)(yuan)解法）、“垛(duo)積法”（高階等差(cha)(cha)數列求和(he)）與“招(zhao)差(cha)(cha)術(shu)”（高次內插(cha)法）。
朱世(shi)杰在數學(xue)科(ke)學(xue)上，全面(mian)地繼承了秦九韶、李(li)冶、楊輝(hui)的(de)(de)數學(xue)成就(jiu)，并給予(yu)創造性的(de)(de)發展(zhan)，寫出了《算(suan)學(xue)啟蒙(meng)》、《四元(yuan)玉鑒》等著名(ming)作品，把(ba)我國古代數學(xue)推向更高(gao)(gao)的(de)(de)境(jing)界，形成宋元(yuan)時期中國數學(xue)的(de)(de)最高(gao)(gao)峰。《算(suan)學(xue)啟蒙(meng)》是朱世(shi)杰在元(yuan)成宗(zong)大(da)德三(san)年（1299）刊印的(de)(de)，全書共(gong)三(san)卷(juan)，20門，總計259個問(wen)題和相應的(de)(de)解答。這(zhe)部書從乘除(chu)運算(suan)起，一直講到當(dang)時數學(xue)發展(zhan)的(de)(de)最高(gao)(gao)成就(jiu)“天元(yuan)術”，全面(mian)介紹了當(dang)時數學(xue)所(suo)包含的(de)(de)各(ge)方面(mian)內容(rong)。
它的(de)體系完(wan)整，內容深入淺(qian)出(chu)，通俗易懂(dong)，是(shi)(shi)一(yi)部(bu)很著名的(de)啟蒙讀(du)物(wu)。這部(bu)著作后來流(liu)傳到朝鮮、日本等國，出(chu)版過翻刻本和(he)注釋本，產生(sheng)過一(yi)定的(de)影響(xiang)。而《四(si)元(yuan)玉鑒》更是(shi)(shi)一(yi)部(bu)成(cheng)就(jiu)輝煌(huang)的(de)數學(xue)名著。它受到近代(dai)數學(xue)史研究(jiu)者的(de)高(gao)度評(ping)價，認為是(shi)(shi)中(zhong)國古代(dai)數學(xue)科(ke)學(xue)著作中(zhong)最重要的(de)、最有貢獻的(de)一(yi)部(bu)數學(xue)名著。《四(si)元(yuan)玉鑒》成(cheng)書于大德七(qi)年（1303），共三卷，24門(men)，288問，介紹(shao)了朱世杰(jie)在(zai)多元(yuan)高(gao)次方(fang)程組的(de)解法(fa)——四(si)元(yuan)術，以及高(gao)階等差(cha)級數的(de)計算(suan)——垛(duo)積術、招(zhao)差(cha)術等方(fang)面的(de)研究(jiu)和(he)成(cheng)果。
“天元(yuan)(yuan)術”是(shi)(shi)設“天元(yuan)(yuan)為某(mou)某(mou)”，即(ji)某(mou)某(mou)為x。但當未知數不止一個的(de)(de)(de)(de)(de)時候，除設未知數天元(yuan)(yuan)（x）外，還需(xu)設地元(yuan)(yuan)（y）、人元(yuan)(yuan)（z）及物元(yuan)(yuan)（u），再列(lie)出(chu)二元(yuan)(yuan)、三(san)(san)元(yuan)(yuan)甚至(zhi)四(si)(si)元(yuan)(yuan)的(de)(de)(de)(de)(de)高(gao)(gao)次聯(lian)(lian)方(fang)程組，然后求(qiu)解。這(zhe)在歐洲，解聯(lian)(lian)立一次方(fang)程開始于(yu)16世(shi)(shi)紀，關于(yu)多元(yuan)(yuan)高(gao)(gao)次聯(lian)(lian)立方(fang)程的(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究還是(shi)(shi)18至(zhi)19世(shi)(shi)紀的(de)(de)(de)(de)(de)事(shi)了。朱世(shi)(shi)杰的(de)(de)(de)(de)(de)另(ling)一重大貢(gong)獻(xian)是(shi)(shi)對(dui)于(yu)“垛(duo)(duo)積(ji)術”的(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究。他對(dui)于(yu)一系(xi)(xi)(xi)列(lie)新的(de)(de)(de)(de)(de)垛(duo)(duo)形(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)級(ji)數求(qiu)和問題作了研(yan)究，從中歸納(na)為“三(san)(san)角(jiao)垛(duo)(duo)”的(de)(de)(de)(de)(de)公式，實際上得到(dao)了這(zhe)一類任意高(gao)(gao)階等(deng)差級(ji)數求(qiu)和問題的(de)(de)(de)(de)(de)系(xi)(xi)(xi)統、普(pu)遍的(de)(de)(de)(de)(de)解法。朱世(shi)(shi)杰還把三(san)(san)角(jiao)垛(duo)(duo)公式引(yin)用到(dao)“招差術”中，指出(chu)招差公式中的(de)(de)(de)(de)(de)系(xi)(xi)(xi)數恰好依(yi)次是(shi)(shi)各三(san)(san)角(jiao)垛(duo)(duo)的(de)(de)(de)(de)(de)積(ji)，這(zhe)樣就得到(dao)了包含(han)有四(si)(si)次差的(de)(de)(de)(de)(de)招差公式。
他(ta)還把這(zhe)(zhe)個招差(cha)公(gong)式(shi)推廣為包含(han)任(ren)意高(gao)次差(cha)的(de)(de)(de)(de)(de)招差(cha)公(gong)式(shi)，這(zhe)(zhe)在世(shi)(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)史上是(shi)第一次，比(bi)歐(ou)洲(zhou)牛頓的(de)(de)(de)(de)(de)同樣成就要早近4個世(shi)(shi)(shi)紀。正(zheng)因為如此，朱(zhu)世(shi)(shi)(shi)杰和他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)著作(zuo)《四(si)(si)(si)元(yuan)玉(yu)鑒(jian)(jian)》才(cai)享有巨大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)國(guo)際聲譽。近代日本(ben)、法國(guo)、美(mei)國(guo)、比(bi)利(li)時(shi)(shi)以及亞、歐(ou)、美(mei)許多(duo)國(guo)家(jia)(jia)都有人向本(ben)國(guo)介紹《四(si)(si)(si)元(yuan)玉(yu)鑒(jian)(jian)》。美(mei)國(guo)已故的(de)(de)(de)(de)(de)著名(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)科學(xue)史家(jia)(jia)薩(sa)頓是(shi)這(zhe)(zhe)樣評說(shuo)朱(zhu)世(shi)(shi)(shi)杰的(de)(de)(de)(de)(de)：“（朱(zhu)世(shi)(shi)(shi)杰）是(shi)中(zhong)華民族的(de)(de)(de)(de)(de)、他(ta)所生活的(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)代的(de)(de)(de)(de)(de)、同時(shi)(shi)也是(shi)貫穿(chuan)古今的(de)(de)(de)(de)(de)一位最杰出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)科學(xue)家(jia)(jia)。”“《四(si)(si)(si)元(yuan)玉(yu)鑒(jian)(jian)》是(shi)中(zhong)國(guo)數(shu)學(xue)著作(zuo)中(zhong)最重(zhong)要的(de)(de)(de)(de)(de)，同時(shi)(shi)也是(shi)中(zhong)世(shi)(shi)(shi)紀最杰出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)著作(zuo)之(zhi)一。它是(shi)世(shi)(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)寶(bao)庫中(zhong)不(bu)可(ke)多(duo)得的(de)(de)(de)(de)(de)瑰寶(bao)。”從此中(zhong)可(ke)以看出(chu)，宋元(yuan)時(shi)(shi)期的(de)(de)(de)(de)(de)科學(xue)家(jia)(jia)及其著作(zuo)，在世(shi)(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)史上起(qi)到了不(bu)可(ke)估(gu)量的(de)(de)(de)(de)(de)作(zuo)用(yong)。
朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)的(de)(de)主要貢(gong)獻是(shi)創造了一(yi)套(tao)完整的(de)(de)消(xiao)未知數(shu)方法，稱為四(si)元消(xiao)法．這種方法在世(shi)界上長(chang)期處于(yu)領先地(di)位(wei)，直(zhi)到(dao)18世(shi)紀，法國(guo)(guo)數(shu)學(xue)(xue)家貝祖(zu)(Bezout)提出一(yi)般的(de)(de)高次(ci)方程(cheng)組解法，才超過朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)。除了四(si)元術以外，《四(si)元玉鑒》中還有兩項重要成就，即創立了一(yi)般的(de)(de)高階等(deng)差(cha)級數(shu)求和公(gong)式及等(deng)間(jian)距四(si)次(ci)內插法公(gong)式，后者通常稱為招差(cha)術．此書(shu)代表(biao)著(zhu)宋元數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)最高水平，美國(guo)(guo)科(ke)學(xue)(xue)史家薩頓(G．Sarton)稱贊它“是(shi)中國(guo)(guo)數(shu)學(xue)(xue)著(zhu)作(zuo)中最重要的(de)(de)一(yi)部，同(tong)時(shi)也是(shi)中世(shi)紀的(de)(de)杰(jie)(jie)出數(shu)學(xue)(xue)著(zhu)作(zuo)之一(yi)”。朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)處于(yu)中國(guo)(guo)傳(chuan)統數(shu)學(xue)(xue)發(fa)展的(de)(de)鼎盛時(shi)期，當時(shi)社(she)會上“尊崇算學(xue)(xue)，科(ke)目漸興”，數(shu)學(xue)(xue)著(zhu)作(zuo)廣(guang)為傳(chuan)播。
對多(duo)元(yuan)高次(ci)(ci)方程組解法(fa)、高階(jie)等差(cha)級數求和(he)，高次(ci)(ci)內(nei)插法(fa)都(dou)有深入研究(jiu)，他著(zhu)有《算學(xue)啟蒙》(1299年(nian))、《四元(yuan)玉鑒》(1303年(nian))各3卷，在后者中討論了多(duo)達四元(yuan)的(de)高次(ci)(ci)聯(lian)(lian)立方程組解法(fa)，聯(lian)(lian)系在一起的(de)多(duo)項式的(de)表(biao)達和(he)運算以及消(xiao)去法(fa)，已(yi)接近近世(shi)代數學(xue)，處于世(shi)界領先地位，他通曉高次(ci)(ci)招差(cha)法(fa)公(gong)式，比西方早四百(bai)年(nian)，中外數學(xue)史家(jia)都(dou)高度評(ping)價朱世(shi)杰和(he)他的(de)名(ming)著(zhu)《四元(yuan)玉鑒》。
從天元(yuan)(yuan)(yuan)術推(tui)廣(guang)到(dao)二元(yuan)(yuan)(yuan)、三元(yuan)(yuan)(yuan)和四元(yuan)(yuan)(yuan)的(de)高(gao)(gao)次聯立方程組，是宋(song)元(yuan)(yuan)(yuan)數學家的(de)又一項杰(jie)出的(de)創造。留傳至今，并對這一杰(jie)出創造進行系統(tong)論述的(de)是朱(zhu)世杰(jie)的(de)《四元(yuan)(yuan)(yuan)玉鑒(jian)(jian)》。《四元(yuan)(yuan)(yuan)玉鑒(jian)(jian)》成書(shu)于1303年。全書(shu)共(gong)3卷(juan)，24門，288問，主要論述高(gao)(gao)次方程組的(de)解法(fa)（這也是朱(zhu)世杰(jie)的(de)最大貢獻）、高(gao)(gao)階等差級數求和以(yi)及(ji)高(gao)(gao)次內插(cha)法(fa)等內容。是流傳至今且對四元(yuan)(yuan)(yuan)術進行系統(tong)論述的(de)重要代表作。
在(zai)天元(yuan)(yuan)術的(de)基(ji)礎(chu)上(shang)，朱世(shi)杰建立(li)了(le)“四(si)元(yuan)(yuan)高(gao)(gao)次(ci)方(fang)(fang)(fang)程理論”，他(ta)把常數(shu)項放在(zai)中(zhong)央(yang)（即“太(tai)”），然后(hou)“立(li)天元(yuan)(yuan)一(yi)于下，地(di)元(yuan)(yuan)一(yi)于左，人(ren)(ren)(ren)元(yuan)(yuan)一(yi)于右，物元(yuan)(yuan)一(yi)于上(shang)”，“天、地(di)、人(ren)(ren)(ren)、物”這四(si)“元(yuan)(yuan)”代(dai)表(biao)(biao)未知數(shu)，(即相當(dang)于如今的(de)x、y、z、w，)四(si)元(yuan)(yuan)的(de)各次(ci)冪(mi)放在(zai)上(shang)、下、左、右四(si)個方(fang)(fang)(fang)向上(shang)，其它(ta)各項放在(zai)四(si)個象限中(zhong)。如果用現代(dai)的(de)x、y、z、w表(biao)(biao)示天、地(di)、人(ren)(ren)(ren)、物，那我們可以把朱世(shi)杰列高(gao)(gao)次(ci)多元(yuan)(yuan)方(fang)(fang)(fang)程的(de)方(fang)(fang)(fang)法表(biao)(biao)示：而(er)上(shang)面的(de)兩個圖形“四(si)元(yuan)(yuan)一(yi)次(ci)籌(chou)式(shi)(shi)”與“四(si)元(yuan)(yuan)二次(ci)籌(chou)式(shi)(shi)”所表(biao)(biao)示的(de)方(fang)(fang)(fang)程分別為：x+y+z+w=0
用上(shang)述方(fang)(fang)法(fa)列出(chu)四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)(gao)次(ci)方(fang)(fang)程后，再(zai)聯(lian)立方(fang)(fang)程組進(jin)行解方(fang)(fang)程組，方(fang)(fang)法(fa)是用消元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)方(fang)(fang)法(fa)解答,先擇一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)為(wei)未知數(shu)，其它元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)組成的(de)(de)多(duo)項式作(zuo)為(wei)這(zhe)未知數(shu)的(de)(de)系(xi)數(shu)，然后把四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)四(si)(si)式消去(qu)一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)，變(bian)成三元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)三式，再(zai)消去(qu)一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)變(bian)二元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)二式，再(zai)消去(qu)一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)，就得(de)(de)到(dao)只含一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)的(de)(de)天元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)開(kai)方(fang)(fang)式，然后用增乘(cheng)開(kai)方(fang)(fang)法(fa)求(qiu)得(de)(de)正根(gen)。這(zhe)是線性(xing)方(fang)(fang)法(fa)組解法(fa)的(de)(de)重(zhong)大(da)發展，在西(xi)方(fang)(fang)，較有(you)系(xi)統地(di)研究多(duo)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)方(fang)(fang)程組要(yao)等(deng)到(dao)16世(shi)紀。高(gao)(gao)階(jie)等(deng)差級數(shu)求(qiu)和(he)(he)與高(gao)(gao)次(ci)內插法(fa)也(ye)是《四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)玉鑒》的(de)(de)重(zhong)要(yao)內容。由許多(duo)求(qiu)和(he)(he)問題中的(de)(de)一(yi)(yi)系(xi)列三角垛(duo)公(gong)式可歸納得(de)(de)公(gong)式。朱世(shi)杰(jie)給出(chu)了上(shang)式中當p=1，2，……6時的(de)(de)公(gong)式。此外，還有(you)其它高(gao)(gao)階(jie)等(deng)差級數(shu)求(qiu)和(he)(he)公(gong)式。在招差法(fa)方(fang)(fang)面，朱世(shi)杰(jie)相(xiang)當于給出(chu)了招差公(gong)式，這(zhe)比西(xi)方(fang)(fang)要(yao)早400多(duo)年。
美國著(zhu)名(ming)的(de)科學(xue)(xue)史(shi)家(jia)薩頓評論說：“朱(zhu)世(shi)杰(jie)是(shi)他所生存時(shi)代(dai)的(de)，同(tong)時(shi)也是(shi)貫穿古今的(de)一(yi)位(wei)最杰(jie)出(chu)的(de)數學(xue)(xue)家(jia)”，《四元玉(yu)鑒》是(shi)“中國數學(xue)(xue)著(zhu)作中最重要的(de)一(yi)部，同(tong)時(shi)也是(shi)整個中世(shi)紀最杰(jie)出(chu)的(de)數學(xue)(xue)著(zhu)作之一(yi)。”朱(zhu)世(shi)杰(jie)不僅是(shi)一(yi)名(ming)杰(jie)出(chu)的(de)數學(xue)(xue)家(jia)，他還(huan)是(shi)一(yi)位(wei)數學(xue)(xue)教育家(jia)，曾周游(you)四方各(ge)地，教授生徒(tu)20余年。并親(qin)自編(bian)著(zhu)數學(xue)(xue)入(ru)門書，稱為《算學(xue)(xue)啟蒙(meng)》。在《算學(xue)(xue)啟蒙(meng)》卷下中，朱(zhu)世(shi)杰(jie)提出(chu)已知勾(gou)弦和(he)、股弦和(he)求(qiu)解勾(gou)股形的(de)方法，補(bu)充了《九(jiu)章(zhang)算術》的(de)不足。
“燕山朱(zhu)(zhu)松庭(ting)先生”，是(shi)元朝時代的(de)(de)(de)一位(wei)杰出的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家。所寫的(de)(de)(de)《四元玉鑒》和《算學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙》，是(shi)中(zhong)國古(gu)代數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)發展(zhan)進程中(zhong)的(de)(de)(de)一個重要的(de)(de)(de)里程碑，是(shi)中(zhong)國古(gu)代數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)一份寶貴(gui)的(de)(de)(de)遺(yi)產。13世紀中(zhong)葉，朱(zhu)(zhu)世杰除了(le)接受北方的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)成就(jiu)之外(wai)，他也吸收了(le)南方的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)成就(jiu)，尤其是(shi)各種日用算法、商用算術和通(tong)俗化的(de)(de)(de)歌訣等(deng)等(deng)。
朱世杰(jie)曾(ceng)“周(zhou)游(you)四方(fang)”，莫若(ruo)（古代數(shu)學(xue)家(jia)）序(xu)中(zhong)有“燕山松庭朱先(xian)生以(yi)(yi)數(shu)學(xue)名(ming)家(jia)周(zhou)游(you)湖海(hai)二十余(yu)年(nian)矣。四方(fang)之(zhi)來學(xue)者日(ri)眾(zhong)，先(xian)生遂發明《九章》之(zhi)妙(miao)，以(yi)(yi)淑后圖學(xue)，為書(shu)(shu)三卷(juan)……名(ming)曰《四元玉鑒(jian)(jian)》”，祖(zu)頤后序(xu)中(zhong)亦有“漢卿名(ming)世杰(jie)，松庭其自號也。周(zhou)流四方(fang)，復游(you)廣陵，踵門而學(xue)者云集”。經過長期的(de)(de)游(you)學(xue)、講學(xue)等活動(dong)，終于在(zai)1299年(nian)和1303年(nian)，在(zai)揚州，刊刻了(le)他的(de)(de)兩部(bu)數(shu)學(xue)杰(jie)作——《算學(xue)啟蒙(meng)》和《四元玉鑒(jian)(jian)》。楊輝書(shu)(shu)中(zhong)的(de)(de)歸除(chu)歌(ge)訣在(zai)朱世杰(jie)所(suo)著《算學(xue)啟蒙(meng)》中(zhong)有了(le)進一步(bu)的(de)(de)發展。
清(qing)羅士琳認為(wei)：“漢卿(qing)(qing)在宋元(yuan)間，與秦道(dao)古（即秦九(jiu)韶）、李(li)(li)仁卿(qing)(qing)可稱(cheng)鼎足而(er)(er)三。道(dao)古正負開方(fang)，漢卿(qing)(qing)天元(yuan)如積皆(jie)足上下(xia)千古，漢卿(qing)(qing)又兼包眾有，充類(lei)盡(jin)量，神而(er)(er)明之(zhi)，尤(you)超越乎秦、李(li)(li)之(zhi)上”。清(qing)代數學(xue)家王鑒也說：“朱松(song)庭先生兼秦、李(li)(li)之(zhi)所長，成一家之(zhi)著(zhu)作”。朱世杰全面繼承了(le)并(bing)創造性地(di)發揚(yang)了(le)天元(yuan)術(shu)、正負開方(fang)法等秦、李(li)(li)書中(zhong)所載(zai)的(de)數學(xue)成就之(zhi)外，還(huan)囊括了(le)楊輝書中(zhong)的(de)日(ri)用(yong)、商(shang)用(yong)、歸除歌訣(jue)之(zhi)類(lei)與當時(shi)社會生活密切相(xiang)關(guan)的(de)各種(zhong)算(suan)法，并(bing)作了(le)新的(de)發展。
