朱世杰“以(yi)數學(xue)名家周游湖海二十(shi)余(yu)年”，“踵門而學(xue)者云集”(莫若、祖(zu)頤：《四元玉鑒(jian)》后序）。
宋元(yuan)時(shi)期(qi)，中國數學鼎盛(sheng)時(shi)期(qi)中杰(jie)(jie)出的數學家(jia)有“秦九韶、李冶、楊輝、朱(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)四大家(jia)”，朱(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)就是其(qi)中之一。朱(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)是一位平(ping)民數學家(jia)和數學教育(yu)家(jia)。朱(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)平(ping)生勤力研習《九章算術(shu)》，旁通其(qi)它(ta)各種(zhong)算法，成為元(yuan)代著名數學家(jia)。
元統一(yi)(yi)中國后(hou)，朱世杰曾以數學(xue)(xue)家的(de)身份周游各(ge)地20余年，向他求學(xue)(xue)的(de)人很多(duo)，他到(dao)廣陵(今(jin)揚州)時(shi)“踵門而學(xue)(xue)者云(yun)集”。他全面繼承了(le)前(qian)人數學(xue)(xue)成(cheng)果(guo)，既吸(xi)收(shou)了(le)北方(fang)的(de)天元術(shu)，又(you)吸(xi)收(shou)了(le)南方(fang)的(de)正負開方(fang)術(shu)、各(ge)種(zhong)日用算(suan)法(fa)及通俗歌訣，在此基礎上進行(xing)了(le)創造性的(de)研究，寫(xie)成(cheng)以總結和普及當時(shi)各(ge)種(zhong)數學(xue)(xue)知識為宗旨的(de)《算(suan)學(xue)(xue)啟蒙》(3卷(juan))，又(you)寫(xie)成(cheng)四元術(shu)的(de)代表作--《四元玉(yu)鑒》(3卷(juan))，先后(hou)于：1299年和1303年刊印．《算(suan)學(xue)(xue)啟蒙》由(you)淺(qian)入深，從(cong)一(yi)(yi)位(wei)數乘法(fa)開始，一(yi)(yi)直講到(dao)當時(shi)的(de)最新(xin)數學(xue)(xue)成(cheng)果(guo)――天元術(shu)，形成(cheng)一(yi)(yi)個完整(zheng)體系。
書(shu)中(zhong)明確提出(chu)(chu)正負數(shu)乘(cheng)(cheng)法(fa)(fa)(fa)法(fa)(fa)(fa)則，給出(chu)(chu)倒數(shu)的概念(nian)和基(ji)本性(xing)質，概括出(chu)(chu)若(ruo)干新的乘(cheng)(cheng)法(fa)(fa)(fa)公式和根式運(yun)算法(fa)(fa)(fa)則，總結了若(ruo)干乘(cheng)(cheng)除(chu)捷算口訣(jue)，并把設輔助未(wei)知數(shu)的方法(fa)(fa)(fa)用于解(jie)線性(xing)方程(cheng)組．《四元玉鑒》的主要內容(rong)是(shi)四元術，即多(duo)元高次方程(cheng)組的建(jian)立和求解(jie)方法(fa)(fa)(fa)．秦九韶的高次方程(cheng)數(shu)值解(jie)法(fa)(fa)(fa)和李冶(ye)的天元術都被包含(han)在內．
在(zai)(zai)宋元(yuan)(yuan)(yuan)時期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)群英中，朱世杰的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)具有(you)(you)特(te)殊重(zhong)要的(de)(de)(de)(de)(de)(de)意(yi)義．如果(guo)把(ba)諸多(duo)(duo)數(shu)學(xue)家比(bi)作(zuo)群山(shan)，則朱世杰是(shi)最高(gao)大、最雄(xiong)偉的(de)(de)(de)(de)(de)(de)山(shan)峰．站在(zai)(zai)朱世杰數(shu)學(xue)思(si)想的(de)(de)(de)(de)(de)(de)高(gao)度俯嫩傳(chuan)統數(shu)學(xue)，會有(you)(you)"一(yi)覽眾山(shan)小"之(zhi)感．來世杰工作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)意(yi)義就(jiu)在(zai)(zai)于(yu)總(zong)結了(le)(le)(le)(le)宋元(yuan)(yuan)(yuan)數(shu)學(xue)，使(shi)之(zhi)在(zai)(zai)理(li)論上達(da)到新的(de)(de)(de)(de)(de)(de)高(gao)度．這(zhe)主要表現(xian)(xian)在(zai)(zai)以下(xia)三個領(ling)域(yu)．首先是(shi)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)理(li)論．在(zai)(zai)列方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)方(fang)(fang)(fang)面，蔣周(zhou)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)演段法為天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)作(zuo)了(le)(le)(le)(le)準備工作(zuo)，他(ta)已(yi)(yi)具有(you)(you)尋找(zhao)等值多(duo)(duo)項(xiang)式的(de)(de)(de)(de)(de)(de)思(si)想，洞淵馬(ma)與信道是(shi)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)先驅，但他(ta)們推導方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)仍受幾何思(si)維的(de)(de)(de)(de)(de)(de)束(shu)縛，李(li)冶基本上擺脫了(le)(le)(le)(le)這(zhe)種束(shu)縛，總(zong)結出(chu)(chu)(chu)(chu)一(yi)套固定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)程(cheng)(cheng)序，使(shi)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)進入成熟階段．在(zai)(zai)解方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)方(fang)(fang)(fang)面，賈憲(xian)給出(chu)(chu)(chu)(chu)增(zeng)乘開方(fang)(fang)(fang)法，劉益則用正負(fu)開方(fang)(fang)(fang)術(shu)(shu)求(qiu)出(chu)(chu)(chu)(chu)四(si)(si)次(ci)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)正根，秦九韶在(zai)(zai)此(ci)基礎上解決了(le)(le)(le)(le)高(gao)次(ci)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)值解法問題．至此(ci)，一(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)次(ci)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)建立和求(qiu)解都(dou)已(yi)(yi)實現(xian)(xian)．而(er)線(xian)性方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)組古已(yi)(yi)有(you)(you)之(zhi)，所(suo)以具備了(le)(le)(le)(le)多(duo)(duo)元(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)次(ci)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)組產(chan)生的(de)(de)(de)(de)(de)(de)條件．李(li)德載的(de)(de)(de)(de)(de)(de)二(er)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)和劉大鑒的(de)(de)(de)(de)(de)(de)三元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)相繼(ji)出(chu)(chu)(chu)(chu)現(xian)(xian)，朱世杰的(de)(de)(de)(de)(de)(de)四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)正是(shi)對二(er)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)、三元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)總(zong)結與提高(gao)．由于(yu)四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)已(yi)(yi)把(ba)常數(shu)項(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)上下(xia)左右占滿，方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)理(li)論發展(zhan)到這(zhe)里，顯(xian)然(ran)就(jiu)告(gao)一(yi)段落了(le)(le)(le)(le)．從方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)種類看，天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)產(chan)生之(zhi)前的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)都(dou)是(shi)整(zheng)式方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)。
從洞淵(yuan)到(dao)李冶，分式方(fang)程逐漸得(de)到(dao)發展．而朱世(shi)杰(jie)，則突破了(le)(le)(le)有理(li)(li)(li)(li)式的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)限制(zhi)，開(kai)(kai)始(shi)處理(li)(li)(li)(li)無理(li)(li)(li)(li)方(fang)程．其(qi)次(ci)是高階(jie)等(deng)差(cha)(cha)級數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究．沈括的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)隙積(ji)術(shu)開(kai)(kai)研(yan)究高階(jie)等(deng)差(cha)(cha)級數(shu)之先(xian)河，楊輝給出(chu)包(bao)括隙積(ji)術(shu)在(zai)內(nei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)系列二(er)階(jie)等(deng)差(cha)(cha)級數(shu)求(qiu)和公(gong)式．朱世(shi)杰(jie)則在(zai)此基(ji)礎上(shang)依次(ci)研(yan)究了(le)(le)(le)二(er)階(jie)、三階(jie)、四階(jie)乃(nai)至五階(jie)等(deng)差(cha)(cha)級數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)求(qiu)和問題(ti)，從而發現其(qi)規律，掌握了(le)(le)(le)三角(jiao)垛(duo)統一(yi)(yi)公(gong)式．他還(huan)發現了(le)(le)(le)垛(duo)積(ji)術(shu)與內(nei)插法的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)內(nei)在(zai)聯系，利用垛(duo)積(ji)公(gong)式給出(chu)規范的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)四次(ci)內(nei)插公(gong)式．第三是幾何(he)(he)(he)學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究．宋代以(yi)(yi)前，幾何(he)(he)(he)研(yan)究離不開(kai)(kai)勾股(gu)和面(mian)(mian)積(ji)、體(ti)(ti)積(ji)．蔣周的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《益古集》也(ye)是以(yi)(yi)面(mian)(mian)積(ji)問題(ti)為研(yan)究對象的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)．李冶開(kai)(kai)始(shi)注(zhu)意到(dao)圓城因式中各元(yuan)(yuan)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系，得(de)到(dao)一(yi)(yi)些(xie)定(ding)(ding)理(li)(li)(li)(li)，但(dan)未能推廣(guang)到(dao)更(geng)一(yi)(yi)般(ban)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情(qing)形(xing)．朱世(shi)杰(jie)不僅總結了(le)(le)(le)前人的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)勾股(gu)及(ji)求(qiu)積(ji)理(li)(li)(li)(li)論(lun)，而且在(zai)李冶思想(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎上(shang)更(geng)進一(yi)(yi)步(bu)，深入(ru)研(yan)究了(le)(le)(le)勾股(gu)形(xing)內(nei)及(ji)圓內(nei)各幾何(he)(he)(he)元(yuan)(yuan)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)量關系，發現了(le)(le)(le)兩個(ge)重要定(ding)(ding)理(li)(li)(li)(li)--射影定(ding)(ding)理(li)(li)(li)(li)和弦冪(mi)定(ding)(ding)理(li)(li)(li)(li)．他在(zai)立體(ti)(ti)幾何(he)(he)(he)中也(ye)開(kai)(kai)始(shi)注(zhu)意到(dao)圖形(xing)內(nei)各元(yuan)(yuan)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系．朱世(shi)杰(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)作，使得(de)幾何(he)(he)(he)研(yan)究的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)對象由(you)圖形(xing)整體(ti)(ti)深入(ru)到(dao)圖形(xing)內(nei)部，體(ti)(ti)現了(le)(le)(le)數(shu)學思想(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)進步(bu)。
朱世(shi)(shi)杰長期從事(shi)數(shu)(shu)學(xue)(xue)研(yan)究(jiu)和教(jiao)育事(shi)業，以數(shu)(shu)學(xue)(xue)名家周游各(ge)地(di)20多年，四方(fang)(fang)登門來(lai)學(xue)(xue)習的(de)(de)人很多。朱世(shi)(shi)杰數(shu)(shu)學(xue)(xue)代表作有《算學(xue)(xue)啟(qi)蒙》（1299）和《四元(yuan)玉鑒》（1303）。《算學(xue)(xue)啟(qi)蒙》是一(yi)部通俗數(shu)(shu)學(xue)(xue)名著，曾流傳海外(wai)，影響了朝鮮、日本數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)發展。《四元(yuan)玉鑒》則是中國(guo)宋元(yuan)數(shu)(shu)學(xue)(xue)高峰的(de)(de)又一(yi)個(ge)標志(zhi)，其(qi)中最杰出(chu)的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)創(chuang)作有“四元(yuan)術”（多元(yuan)高次方(fang)(fang)程列(lie)式與消元(yuan)解法）、“垛積法”（高階等差(cha)(cha)數(shu)(shu)列(lie)求和）與“招差(cha)(cha)術”（高次內插法）。
朱(zhu)世杰(jie)在(zai)數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)科學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)上，全面地繼(ji)承了(le)秦九韶(shao)、李冶、楊輝的(de)(de)(de)數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)成(cheng)(cheng)就，并(bing)給予創造(zao)性的(de)(de)(de)發展(zhan)，寫出了(le)《算學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)啟蒙(meng)》、《四元(yuan)玉鑒》等著名作品，把(ba)我國古代數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)推向(xiang)更高的(de)(de)(de)境(jing)界，形成(cheng)(cheng)宋元(yuan)時期中國數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)最高峰。《算學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)啟蒙(meng)》是(shi)朱(zhu)世杰(jie)在(zai)元(yuan)成(cheng)(cheng)宗(zong)大德三年（1299）刊印的(de)(de)(de)，全書共三卷，20門，總計259個問(wen)題(ti)和(he)相(xiang)應的(de)(de)(de)解答。這(zhe)部(bu)書從(cong)乘除運算起，一直講(jiang)到當時數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)發展(zhan)的(de)(de)(de)最高成(cheng)(cheng)就“天元(yuan)術”，全面介紹了(le)當時數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)所包(bao)含的(de)(de)(de)各(ge)方面內(nei)容。
它(ta)的(de)體系完整，內容深入淺出，通俗易懂，是(shi)(shi)一(yi)部(bu)(bu)很著名(ming)的(de)啟(qi)蒙(meng)讀物(wu)。這部(bu)(bu)著作后來流(liu)傳到朝(chao)鮮、日本(ben)等國，出版過(guo)翻刻本(ben)和(he)注釋本(ben)，產生過(guo)一(yi)定的(de)影響(xiang)。而《四元玉(yu)鑒》更是(shi)(shi)一(yi)部(bu)(bu)成就(jiu)輝煌的(de)數學(xue)名(ming)著。它(ta)受到近代(dai)數學(xue)史研(yan)究(jiu)者(zhe)的(de)高(gao)度評價，認(ren)為是(shi)(shi)中國古代(dai)數學(xue)科學(xue)著作中最(zui)重要的(de)、最(zui)有貢獻的(de)一(yi)部(bu)(bu)數學(xue)名(ming)著。《四元玉(yu)鑒》成書于大德七年（1303），共(gong)三卷，24門(men)，288問(wen)，介紹了(le)朱世杰在多元高(gao)次方程(cheng)組的(de)解法——四元術(shu)，以及高(gao)階等差級數的(de)計算(suan)——垛積術(shu)、招差術(shu)等方面的(de)研(yan)究(jiu)和(he)成果。
“天元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術”是(shi)設“天元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)為(wei)(wei)某某”，即(ji)某某為(wei)(wei)x。但(dan)當未知(zhi)數(shu)(shu)不止一個(ge)的(de)時候，除設未知(zhi)數(shu)(shu)天元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)（x）外，還需設地(di)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)（y）、人元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)（z）及物元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)（u），再列出二(er)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)、三元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)甚(shen)至(zhi)四元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)的(de)高(gao)次(ci)(ci)(ci)聯方程(cheng)組，然后求(qiu)解。這在歐洲，解聯立(li)一次(ci)(ci)(ci)方程(cheng)開(kai)始于(yu)(yu)16世(shi)(shi)(shi)紀(ji)，關于(yu)(yu)多(duo)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)次(ci)(ci)(ci)聯立(li)方程(cheng)的(de)研究(jiu)還是(shi)18至(zhi)19世(shi)(shi)(shi)紀(ji)的(de)事了(le)。朱世(shi)(shi)(shi)杰的(de)另(ling)一重大(da)貢獻是(shi)對于(yu)(yu)“垛(duo)積(ji)(ji)術”的(de)研究(jiu)。他對于(yu)(yu)一系(xi)(xi)列新的(de)垛(duo)形的(de)級數(shu)(shu)求(qiu)和問(wen)題(ti)(ti)作了(le)研究(jiu)，從中(zhong)歸納為(wei)(wei)“三角垛(duo)”的(de)公(gong)式(shi)，實際上得(de)到了(le)這一類任意高(gao)階等差級數(shu)(shu)求(qiu)和問(wen)題(ti)(ti)的(de)系(xi)(xi)統、普遍的(de)解法。朱世(shi)(shi)(shi)杰還把三角垛(duo)公(gong)式(shi)引用到“招差術”中(zhong)，指出招差公(gong)式(shi)中(zhong)的(de)系(xi)(xi)數(shu)(shu)恰好依(yi)次(ci)(ci)(ci)是(shi)各三角垛(duo)的(de)積(ji)(ji)，這樣就得(de)到了(le)包(bao)含有四次(ci)(ci)(ci)差的(de)招差公(gong)式(shi)。
他還把這個招差(cha)公式(shi)推廣為包含任意高次(ci)差(cha)的(de)(de)招差(cha)公式(shi)，這在(zai)世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)(xue)(xue)史上(shang)是(shi)(shi)第一次(ci)，比歐(ou)洲牛頓(dun)的(de)(de)同(tong)樣成就要早近(jin)4個世(shi)(shi)紀。正因為如此(ci)，朱世(shi)(shi)杰(jie)和(he)他的(de)(de)著(zhu)(zhu)作(zuo)《四元(yuan)玉鑒》才享(xiang)有(you)巨大的(de)(de)國際聲譽。近(jin)代(dai)日本(ben)、法國、美(mei)國、比利時(shi)以及亞、歐(ou)、美(mei)許(xu)多(duo)國家都有(you)人向本(ben)國介紹(shao)《四元(yuan)玉鑒》。美(mei)國已故的(de)(de)著(zhu)(zhu)名(ming)的(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)(xue)史家薩頓(dun)是(shi)(shi)這樣評說(shuo)朱世(shi)(shi)杰(jie)的(de)(de)：“（朱世(shi)(shi)杰(jie)）是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)華民族的(de)(de)、他所生活的(de)(de)時(shi)代(dai)的(de)(de)、同(tong)時(shi)也是(shi)(shi)貫(guan)穿(chuan)古今的(de)(de)一位最(zui)杰(jie)出(chu)(chu)的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)科(ke)學(xue)(xue)(xue)家。”“《四元(yuan)玉鑒》是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)國數(shu)學(xue)(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作(zuo)中(zhong)(zhong)最(zui)重要的(de)(de)，同(tong)時(shi)也是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)世(shi)(shi)紀最(zui)杰(jie)出(chu)(chu)的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作(zuo)之一。它是(shi)(shi)世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)(xue)(xue)寶(bao)庫中(zhong)(zhong)不(bu)可(ke)(ke)多(duo)得的(de)(de)瑰寶(bao)。”從此(ci)中(zhong)(zhong)可(ke)(ke)以看(kan)出(chu)(chu)，宋元(yuan)時(shi)期(qi)的(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)(xue)家及其著(zhu)(zhu)作(zuo)，在(zai)世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)(xue)(xue)史上(shang)起到了(le)不(bu)可(ke)(ke)估量(liang)的(de)(de)作(zuo)用。
朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)的(de)主要貢獻是(shi)創造了一套完整的(de)消(xiao)未知(zhi)數(shu)(shu)方法(fa)，稱(cheng)為四(si)元消(xiao)法(fa)．這種方法(fa)在世(shi)(shi)界上長(chang)期處于領先地位，直(zhi)到18世(shi)(shi)紀，法(fa)國數(shu)(shu)學(xue)家貝祖(Bezout)提出一般的(de)高(gao)次(ci)方程(cheng)組(zu)解法(fa)，才(cai)超過朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)。除了四(si)元術以外，《四(si)元玉鑒》中(zhong)(zhong)還有兩項(xiang)重要成就(jiu)，即創立了一般的(de)高(gao)階等(deng)差(cha)級數(shu)(shu)求和公式及等(deng)間距(ju)四(si)次(ci)內插(cha)法(fa)公式，后(hou)者(zhe)通常稱(cheng)為招差(cha)術．此書代(dai)表著(zhu)宋元數(shu)(shu)學(xue)的(de)最高(gao)水平，美國科學(xue)史家薩頓(dun)(G．Sarton)稱(cheng)贊它(ta)“是(shi)中(zhong)(zhong)國數(shu)(shu)學(xue)著(zhu)作(zuo)中(zhong)(zhong)最重要的(de)一部，同時也是(shi)中(zhong)(zhong)世(shi)(shi)紀的(de)杰(jie)出數(shu)(shu)學(xue)著(zhu)作(zuo)之一”。朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)處于中(zhong)(zhong)國傳(chuan)統數(shu)(shu)學(xue)發展的(de)鼎盛時期，當時社會(hui)上“尊崇算學(xue)，科目漸興”，數(shu)(shu)學(xue)著(zhu)作(zuo)廣為傳(chuan)播(bo)。
對多元(yuan)(yuan)高(gao)次(ci)方(fang)程組解法、高(gao)階等(deng)差(cha)(cha)級(ji)數(shu)(shu)求和(he)，高(gao)次(ci)內插法都有(you)深入研究，他著(zhu)有(you)《算(suan)學(xue)啟蒙》(1299年(nian))、《四(si)元(yuan)(yuan)玉鑒(jian)》(1303年(nian))各3卷，在后者中討(tao)論了多達四(si)元(yuan)(yuan)的高(gao)次(ci)聯立方(fang)程組解法，聯系在一起(qi)的多項式的表達和(he)運算(suan)以及(ji)消去(qu)法，已(yi)接近近世(shi)代數(shu)(shu)學(xue)，處于世(shi)界(jie)領先地位，他通曉(xiao)高(gao)次(ci)招(zhao)差(cha)(cha)法公(gong)式，比西方(fang)早四(si)百年(nian)，中外數(shu)(shu)學(xue)史家(jia)都高(gao)度評價朱世(shi)杰(jie)和(he)他的名著(zhu)《四(si)元(yuan)(yuan)玉鑒(jian)》。
從天(tian)元(yuan)術推(tui)廣到(dao)二元(yuan)、三元(yuan)和四元(yuan)的(de)高(gao)(gao)次(ci)聯立方程(cheng)組(zu)，是宋元(yuan)數學家的(de)又(you)一項杰出的(de)創(chuang)造(zao)。留傳(chuan)至(zhi)今，并對(dui)這一杰出創(chuang)造(zao)進行系統論述(shu)的(de)是朱世杰的(de)《四元(yuan)玉鑒(jian)》。《四元(yuan)玉鑒(jian)》成書于1303年(nian)。全(quan)書共(gong)3卷，24門，288問，主要論述(shu)高(gao)(gao)次(ci)方程(cheng)組(zu)的(de)解(jie)法(fa)（這也是朱世杰的(de)最大貢獻）、高(gao)(gao)階(jie)等差級數求和以(yi)及高(gao)(gao)次(ci)內(nei)插法(fa)等內(nei)容。是流傳(chuan)至(zhi)今且對(dui)四元(yuan)術進行系統論述(shu)的(de)重要代表(biao)作。
在天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術的(de)(de)基礎上，朱(zhu)世(shi)杰建立了“四元(yuan)(yuan)高(gao)次(ci)方程理論(lun)”，他把常數項(xiang)放(fang)在中央(yang)（即“太”），然后“立天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)一(yi)(yi)于下，地元(yuan)(yuan)一(yi)(yi)于左，人元(yuan)(yuan)一(yi)(yi)于右(you)(you)，物元(yuan)(yuan)一(yi)(yi)于上”，“天(tian)(tian)、地、人、物”這四“元(yuan)(yuan)”代表(biao)(biao)未知數，(即相(xiang)當于如今的(de)(de)x、y、z、w，)四元(yuan)(yuan)的(de)(de)各(ge)次(ci)冪放(fang)在上、下、左、右(you)(you)四個方向上，其它各(ge)項(xiang)放(fang)在四個象(xiang)限中。如果用現代的(de)(de)x、y、z、w表(biao)(biao)示(shi)(shi)天(tian)(tian)、地、人、物，那(nei)我們可以(yi)把朱(zhu)世(shi)杰列高(gao)次(ci)多元(yuan)(yuan)方程的(de)(de)方法表(biao)(biao)示(shi)(shi)：而上面的(de)(de)兩個圖(tu)形“四元(yuan)(yuan)一(yi)(yi)次(ci)籌(chou)(chou)式”與“四元(yuan)(yuan)二次(ci)籌(chou)(chou)式”所表(biao)(biao)示(shi)(shi)的(de)(de)方程分別(bie)為：x+y+z+w=0
用(yong)上述方(fang)(fang)(fang)法(fa)列出(chu)四元(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)(gao)次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)后，再聯立方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組進行(xing)解(jie)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組，方(fang)(fang)(fang)法(fa)是用(yong)消(xiao)元(yuan)(yuan)(yuan)方(fang)(fang)(fang)法(fa)解(jie)答(da),先擇一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)為未(wei)知(zhi)數(shu)，其(qi)它元(yuan)(yuan)(yuan)組成的(de)多(duo)(duo)項式(shi)(shi)(shi)作為這(zhe)未(wei)知(zhi)數(shu)的(de)系(xi)數(shu)，然(ran)(ran)后把四元(yuan)(yuan)(yuan)四式(shi)(shi)(shi)消(xiao)去一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)，變(bian)(bian)成三(san)元(yuan)(yuan)(yuan)三(san)式(shi)(shi)(shi)，再消(xiao)去一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)變(bian)(bian)二元(yuan)(yuan)(yuan)二式(shi)(shi)(shi)，再消(xiao)去一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)，就得到(dao)只含一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)的(de)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)開(kai)方(fang)(fang)(fang)式(shi)(shi)(shi)，然(ran)(ran)后用(yong)增乘開(kai)方(fang)(fang)(fang)法(fa)求(qiu)(qiu)(qiu)得正根(gen)。這(zhe)是線性方(fang)(fang)(fang)法(fa)組解(jie)法(fa)的(de)重(zhong)大發展，在西方(fang)(fang)(fang)，較有系(xi)統地(di)研究多(duo)(duo)元(yuan)(yuan)(yuan)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組要(yao)等(deng)到(dao)16世(shi)紀。高(gao)(gao)階等(deng)差(cha)級數(shu)求(qiu)(qiu)(qiu)和(he)與高(gao)(gao)次內(nei)插法(fa)也是《四元(yuan)(yuan)(yuan)玉鑒》的(de)重(zhong)要(yao)內(nei)容。由(you)許多(duo)(duo)求(qiu)(qiu)(qiu)和(he)問題中(zhong)(zhong)的(de)一(yi)(yi)系(xi)列三(san)角垛公式(shi)(shi)(shi)可歸納得公式(shi)(shi)(shi)。朱世(shi)杰給出(chu)了(le)上式(shi)(shi)(shi)中(zhong)(zhong)當p=1，2，……6時的(de)公式(shi)(shi)(shi)。此外(wai)，還有其(qi)它高(gao)(gao)階等(deng)差(cha)級數(shu)求(qiu)(qiu)(qiu)和(he)公式(shi)(shi)(shi)。在招(zhao)差(cha)法(fa)方(fang)(fang)(fang)面，朱世(shi)杰相(xiang)當于(yu)給出(chu)了(le)招(zhao)差(cha)公式(shi)(shi)(shi)，這(zhe)比西方(fang)(fang)(fang)要(yao)早(zao)400多(duo)(duo)年(nian)。
美(mei)國(guo)著(zhu)(zhu)名(ming)的(de)(de)(de)科學(xue)(xue)(xue)史(shi)家薩頓評論說：“朱(zhu)世杰是(shi)(shi)他(ta)所生(sheng)存時(shi)(shi)代的(de)(de)(de)，同時(shi)(shi)也是(shi)(shi)貫穿古今的(de)(de)(de)一位最(zui)杰出的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家”，《四元玉鑒(jian)》是(shi)(shi)“中(zhong)國(guo)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作(zuo)中(zhong)最(zui)重要的(de)(de)(de)一部，同時(shi)(shi)也是(shi)(shi)整個中(zhong)世紀最(zui)杰出的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作(zuo)之(zhi)一。”朱(zhu)世杰不(bu)僅是(shi)(shi)一名(ming)杰出的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家，他(ta)還(huan)是(shi)(shi)一位數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)教(jiao)育家，曾周(zhou)游四方各地(di)，教(jiao)授生(sheng)徒20余年(nian)。并親自編著(zhu)(zhu)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)入(ru)門書，稱為(wei)《算(suan)學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》。在(zai)《算(suan)學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》卷下中(zhong)，朱(zhu)世杰提(ti)出已知勾(gou)弦(xian)(xian)和(he)、股弦(xian)(xian)和(he)求解勾(gou)股形的(de)(de)(de)方法(fa)，補充了《九章算(suan)術》的(de)(de)(de)不(bu)足(zu)。
“燕山(shan)朱松庭先(xian)生”，是(shi)元朝時(shi)代(dai)的(de)(de)(de)一(yi)位杰出的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)家。所寫的(de)(de)(de)《四(si)元玉鑒》和《算學(xue)(xue)(xue)啟蒙》，是(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)古代(dai)數(shu)學(xue)(xue)(xue)發展進程(cheng)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)一(yi)個重要(yao)的(de)(de)(de)里程(cheng)碑，是(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)古代(dai)數(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)一(yi)份寶貴(gui)的(de)(de)(de)遺產(chan)。13世紀中(zhong)(zhong)葉，朱世杰除了(le)接受北方的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)成就之(zhi)外，他也吸收(shou)了(le)南方的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)成就，尤其是(shi)各種日用(yong)算法(fa)、商用(yong)算術和通俗(su)化(hua)的(de)(de)(de)歌訣等(deng)等(deng)。
朱世杰(jie)(jie)曾“周(zhou)游(you)四方”，莫若(ruo)（古代(dai)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家(jia)）序中有“燕山松庭(ting)朱先(xian)生以數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)名(ming)家(jia)周(zhou)游(you)湖海二(er)十(shi)余(yu)年矣。四方之(zhi)來學(xue)(xue)(xue)者日眾，先(xian)生遂發明《九章》之(zhi)妙，以淑后圖學(xue)(xue)(xue)，為(wei)書(shu)三卷(juan)……名(ming)曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿名(ming)世杰(jie)(jie)，松庭(ting)其自(zi)號也。周(zhou)流四方，復游(you)廣(guang)陵，踵(zhong)門(men)而學(xue)(xue)(xue)者云集”。經(jing)過長期的(de)游(you)學(xue)(xue)(xue)、講學(xue)(xue)(xue)等活動，終(zhong)于在1299年和(he)1303年，在揚州，刊刻了(le)他的(de)兩部(bu)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)杰(jie)(jie)作——《算學(xue)(xue)(xue)啟蒙(meng)》和(he)《四元玉鑒》。楊輝書(shu)中的(de)歸除歌訣在朱世杰(jie)(jie)所著(zhu)《算學(xue)(xue)(xue)啟蒙(meng)》中有了(le)進一步的(de)發展。
清羅士琳認為：“漢卿在宋(song)元(yuan)間，與(yu)秦(qin)道古(gu)(gu)（即秦(qin)九(jiu)韶）、李仁(ren)卿可稱鼎足而(er)三。道古(gu)(gu)正(zheng)負開方，漢卿天元(yuan)如積皆足上(shang)下千古(gu)(gu)，漢卿又兼包(bao)眾有(you)，充類盡量，神而(er)明之(zhi)，尤超越乎秦(qin)、李之(zhi)上(shang)”。清代數學家(jia)王鑒也說：“朱(zhu)松(song)庭先生兼秦(qin)、李之(zhi)所長，成一(yi)家(jia)之(zhi)著(zhu)作”。朱(zhu)世杰(jie)全面(mian)繼承了(le)并創造性地(di)發揚(yang)了(le)天元(yuan)術(shu)、正(zheng)負開方法等秦(qin)、李書中所載的(de)(de)數學成就之(zhi)外，還囊括了(le)楊輝書中的(de)(de)日用(yong)(yong)、商用(yong)(yong)、歸(gui)除歌(ge)訣之(zhi)類與(yu)當時社(she)會生活(huo)密切相關的(de)(de)各種算法，并作了(le)新(xin)的(de)(de)發展。
