朱世杰“以數學名家周(zhou)游湖海(hai)二(er)十(shi)余年”,“踵門而學者云集”(莫若、祖頤(yi):《四(si)元玉鑒(jian)》后序)。
宋元時(shi)期(qi),中國(guo)數(shu)學(xue)(xue)鼎盛時(shi)期(qi)中杰出(chu)的(de)數(shu)學(xue)(xue)家有“秦(qin)九韶、李冶、楊(yang)輝、朱世(shi)杰四大家”,朱世(shi)杰就是(shi)其中之(zhi)一。朱世(shi)杰是(shi)一位(wei)平(ping)民數(shu)學(xue)(xue)家和數(shu)學(xue)(xue)教育家。朱世(shi)杰平(ping)生勤力(li)研習(xi)《九章算術》,旁通其它各種算法,成為元代著名數(shu)學(xue)(xue)家。
元(yuan)統一(yi)(yi)中(zhong)國后(hou),朱世(shi)杰曾以數(shu)學(xue)(xue)家(jia)的身(shen)份周游各(ge)(ge)地20余(yu)年(nian),向他求學(xue)(xue)的人很多(duo),他到(dao)廣陵(ling)(今揚州(zhou))時“踵門而學(xue)(xue)者云集”。他全面繼承了前人數(shu)學(xue)(xue)成(cheng)果(guo),既吸收(shou)了北方(fang)的天(tian)(tian)元(yuan)術(shu),又(you)吸收(shou)了南方(fang)的正負開方(fang)術(shu)、各(ge)(ge)種日用(yong)算法(fa)及通(tong)俗歌訣,在此基礎上進(jin)行了創造性的研究,寫成(cheng)以總結和普及當(dang)時各(ge)(ge)種數(shu)學(xue)(xue)知(zhi)識為宗(zong)旨的《算學(xue)(xue)啟(qi)蒙》(3卷),又(you)寫成(cheng)四(si)元(yuan)術(shu)的代表(biao)作--《四(si)元(yuan)玉鑒》(3卷),先后(hou)于:1299年(nian)和1303年(nian)刊印.《算學(xue)(xue)啟(qi)蒙》由淺入深,從一(yi)(yi)位數(shu)乘法(fa)開始(shi),一(yi)(yi)直講到(dao)當(dang)時的最新數(shu)學(xue)(xue)成(cheng)果(guo)――天(tian)(tian)元(yuan)術(shu),形成(cheng)一(yi)(yi)個(ge)完整體系。
書中明(ming)確提(ti)出正負數(shu)(shu)乘法(fa)(fa)法(fa)(fa)則,給出倒數(shu)(shu)的(de)概(gai)(gai)念和(he)基本(ben)性質,概(gai)(gai)括出若(ruo)(ruo)干(gan)新的(de)乘法(fa)(fa)公式和(he)根式運算法(fa)(fa)則,總結(jie)了若(ruo)(ruo)干(gan)乘除捷算口訣,并把設(she)輔助未知數(shu)(shu)的(de)方(fang)法(fa)(fa)用于(yu)解線性方(fang)程組.《四元(yuan)玉鑒》的(de)主要內(nei)(nei)容是四元(yuan)術,即多元(yuan)高(gao)次方(fang)程組的(de)建立和(he)求解方(fang)法(fa)(fa).秦九韶的(de)高(gao)次方(fang)程數(shu)(shu)值解法(fa)(fa)和(he)李冶(ye)的(de)天元(yuan)術都被包(bao)含在內(nei)(nei).
在(zai)(zai)宋元(yuan)(yuan)時期的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數學群(qun)英中,朱(zhu)世(shi)杰(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)作(zuo)具有特(te)殊重要(yao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)意義.如果把諸多(duo)(duo)數學家比作(zuo)群(qun)山(shan)(shan),則(ze)朱(zhu)世(shi)杰(jie)是(shi)最(zui)高大(da)、最(zui)雄偉的(de)(de)(de)(de)(de)(de)山(shan)(shan)峰.站在(zai)(zai)朱(zhu)世(shi)杰(jie)數學思(si)想的(de)(de)(de)(de)(de)(de)高度俯嫩(nen)傳統數學,會(hui)有"一(yi)(yi)覽(lan)眾山(shan)(shan)小"之感.來世(shi)杰(jie)工(gong)作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)意義就在(zai)(zai)于(yu)總結(jie)(jie)了(le)宋元(yuan)(yuan)數學,使之在(zai)(zai)理論上(shang)(shang)達(da)到新的(de)(de)(de)(de)(de)(de)高度.這主要(yao)表現(xian)在(zai)(zai)以下三個領(ling)域.首(shou)先是(shi)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)理論.在(zai)(zai)列方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)面,蔣(jiang)周(zhou)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)演段(duan)法(fa)為天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)作(zuo)了(le)準備工(gong)作(zuo),他已(yi)具有尋找等值多(duo)(duo)項式的(de)(de)(de)(de)(de)(de)思(si)想,洞淵馬與(yu)信道是(shi)天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)先驅(qu),但他們推導方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)仍受幾何思(si)維的(de)(de)(de)(de)(de)(de)束(shu)縛(fu)(fu),李(li)(li)冶基(ji)本(ben)上(shang)(shang)擺脫(tuo)了(le)這種(zhong)(zhong)束(shu)縛(fu)(fu),總結(jie)(jie)出一(yi)(yi)套固定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)序,使天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)進入成熟階段(duan).在(zai)(zai)解(jie)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)面,賈憲(xian)給出增(zeng)乘開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa),劉益則(ze)用(yong)正(zheng)負開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)術(shu)(shu)求(qiu)出四(si)次(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)正(zheng)根,秦九韶在(zai)(zai)此基(ji)礎上(shang)(shang)解(jie)決了(le)高次(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數值解(jie)法(fa)問題.至(zhi)此,一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)高次(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)建(jian)立和求(qiu)解(jie)都已(yi)實現(xian).而線性方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)組古已(yi)有之,所以具備了(le)多(duo)(duo)元(yuan)(yuan)高次(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)組產生的(de)(de)(de)(de)(de)(de)條件.李(li)(li)德(de)載的(de)(de)(de)(de)(de)(de)二元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)和劉大(da)鑒的(de)(de)(de)(de)(de)(de)三元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)相繼(ji)出現(xian),朱(zhu)世(shi)杰(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)四(si)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)正(zheng)是(shi)對二元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)、三元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)總結(jie)(jie)與(yu)提高.由于(yu)四(si)元(yuan)(yuan)已(yi)把常(chang)數項的(de)(de)(de)(de)(de)(de)上(shang)(shang)下左右占(zhan)滿(man),方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)理論發(fa)展到這里(li),顯然就告一(yi)(yi)段(duan)落了(le).從方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)種(zhong)(zhong)類(lei)看,天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)產生之前的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)都是(shi)整式方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)。
從洞淵到李(li)冶(ye)(ye),分式(shi)方程逐漸(jian)得(de)到發(fa)展.而(er)朱世杰,則(ze)突破了(le)有理式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)限制,開(kai)(kai)始(shi)處理無理方程.其(qi)次(ci)是(shi)高階(jie)(jie)等(deng)(deng)差(cha)(cha)(cha)級(ji)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)(yan)(yan)(yan)究(jiu)(jiu).沈括(kuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)隙積(ji)(ji)術開(kai)(kai)研(yan)(yan)(yan)(yan)究(jiu)(jiu)高階(jie)(jie)等(deng)(deng)差(cha)(cha)(cha)級(ji)數(shu)(shu)之先河,楊輝給出(chu)包括(kuo)隙積(ji)(ji)術在(zai)(zai)內(nei)(nei)(nei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)系(xi)(xi)列二(er)階(jie)(jie)等(deng)(deng)差(cha)(cha)(cha)級(ji)數(shu)(shu)求(qiu)和(he)公(gong)式(shi).朱世杰則(ze)在(zai)(zai)此基礎上依次(ci)研(yan)(yan)(yan)(yan)究(jiu)(jiu)了(le)二(er)階(jie)(jie)、三階(jie)(jie)、四階(jie)(jie)乃至五(wu)階(jie)(jie)等(deng)(deng)差(cha)(cha)(cha)級(ji)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)求(qiu)和(he)問題(ti),從而(er)發(fa)現(xian)(xian)其(qi)規(gui)律,掌握了(le)三角垛(duo)統(tong)一(yi)公(gong)式(shi).他還發(fa)現(xian)(xian)了(le)垛(duo)積(ji)(ji)術與內(nei)(nei)(nei)插法的(de)(de)(de)(de)(de)(de)內(nei)(nei)(nei)在(zai)(zai)聯系(xi)(xi),利用垛(duo)積(ji)(ji)公(gong)式(shi)給出(chu)規(gui)范的(de)(de)(de)(de)(de)(de)四次(ci)內(nei)(nei)(nei)插公(gong)式(shi).第三是(shi)幾(ji)何(he)學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)(yan)(yan)(yan)究(jiu)(jiu).宋(song)代(dai)以(yi)前,幾(ji)何(he)研(yan)(yan)(yan)(yan)究(jiu)(jiu)離不開(kai)(kai)勾(gou)股和(he)面積(ji)(ji)、體積(ji)(ji).蔣周(zhou)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)《益古集》也是(shi)以(yi)面積(ji)(ji)問題(ti)為研(yan)(yan)(yan)(yan)究(jiu)(jiu)對象的(de)(de)(de)(de)(de)(de).李(li)冶(ye)(ye)開(kai)(kai)始(shi)注意到圓城因式(shi)中(zhong)(zhong)各元(yuan)素(su)(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi),得(de)到一(yi)些定(ding)理,但(dan)未能推(tui)廣到更(geng)一(yi)般的(de)(de)(de)(de)(de)(de)情形(xing).朱世杰不僅總結了(le)前人的(de)(de)(de)(de)(de)(de)勾(gou)股及求(qiu)積(ji)(ji)理論,而(er)且在(zai)(zai)李(li)冶(ye)(ye)思想(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎上更(geng)進(jin)一(yi)步,深入(ru)研(yan)(yan)(yan)(yan)究(jiu)(jiu)了(le)勾(gou)股形(xing)內(nei)(nei)(nei)及圓內(nei)(nei)(nei)各幾(ji)何(he)元(yuan)素(su)(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)量關系(xi)(xi),發(fa)現(xian)(xian)了(le)兩個重(zhong)要(yao)定(ding)理--射影定(ding)理和(he)弦冪定(ding)理.他在(zai)(zai)立體幾(ji)何(he)中(zhong)(zhong)也開(kai)(kai)始(shi)注意到圖形(xing)內(nei)(nei)(nei)各元(yuan)素(su)(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi).朱世杰的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作,使得(de)幾(ji)何(he)研(yan)(yan)(yan)(yan)究(jiu)(jiu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)對象由圖形(xing)整體深入(ru)到圖形(xing)內(nei)(nei)(nei)部,體現(xian)(xian)了(le)數(shu)(shu)學思想(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)進(jin)步。
朱(zhu)世杰(jie)長期從(cong)事(shi)數(shu)學(xue)研究(jiu)和教育(yu)事(shi)業,以數(shu)學(xue)名家周游各地(di)20多年,四方(fang)登門(men)來(lai)學(xue)習的人很多。朱(zhu)世杰(jie)數(shu)學(xue)代表作有(you)《算學(xue)啟(qi)(qi)蒙》(1299)和《四元(yuan)(yuan)玉鑒(jian)》(1303)。《算學(xue)啟(qi)(qi)蒙》是一(yi)部通俗數(shu)學(xue)名著,曾流傳海外,影(ying)響了朝(chao)鮮、日本(ben)數(shu)學(xue)的發展。《四元(yuan)(yuan)玉鑒(jian)》則是中(zhong)國宋元(yuan)(yuan)數(shu)學(xue)高(gao)(gao)峰的又一(yi)個標(biao)志,其中(zhong)最杰(jie)出的數(shu)學(xue)創作有(you)“四元(yuan)(yuan)術”(多元(yuan)(yuan)高(gao)(gao)次(ci)方(fang)程(cheng)列(lie)式與消(xiao)元(yuan)(yuan)解法)、“垛積法”(高(gao)(gao)階等差數(shu)列(lie)求和)與“招差術”(高(gao)(gao)次(ci)內插(cha)法)。
朱世(shi)杰在數(shu)學(xue)科(ke)學(xue)上,全(quan)面(mian)(mian)地繼承了(le)(le)秦九韶(shao)、李冶、楊輝的數(shu)學(xue)成(cheng)就,并(bing)給予創造性(xing)的發展,寫出了(le)(le)《算(suan)(suan)學(xue)啟蒙(meng)》、《四(si)元玉鑒》等著名作品(pin),把(ba)我國古代數(shu)學(xue)推(tui)向更(geng)高的境界,形成(cheng)宋元時(shi)(shi)期(qi)中國數(shu)學(xue)的最(zui)高峰。《算(suan)(suan)學(xue)啟蒙(meng)》是(shi)朱世(shi)杰在元成(cheng)宗大德三年(1299)刊(kan)印的,全(quan)書(shu)共三卷,20門(men),總計(ji)259個問題和(he)相應的解(jie)答。這部書(shu)從乘除運算(suan)(suan)起,一直講(jiang)到當時(shi)(shi)數(shu)學(xue)發展的最(zui)高成(cheng)就“天元術”,全(quan)面(mian)(mian)介紹了(le)(le)當時(shi)(shi)數(shu)學(xue)所包(bao)含的各(ge)方面(mian)(mian)內容(rong)。
它(ta)的體系完整,內容深入(ru)淺出(chu),通俗(su)易懂,是(shi)(shi)一(yi)部很著(zhu)名(ming)的啟蒙讀物。這部著(zhu)作后來流傳到朝鮮(xian)、日本(ben)等(deng)國,出(chu)版(ban)過翻刻本(ben)和(he)(he)注釋本(ben),產生過一(yi)定的影響。而(er)《四(si)元玉鑒》更(geng)是(shi)(shi)一(yi)部成(cheng)(cheng)就輝煌的數(shu)學(xue)(xue)名(ming)著(zhu)。它(ta)受到近(jin)代數(shu)學(xue)(xue)史研(yan)究者的高(gao)度評價,認為(wei)是(shi)(shi)中國古代數(shu)學(xue)(xue)科(ke)學(xue)(xue)著(zhu)作中最重要的、最有貢(gong)獻(xian)的一(yi)部數(shu)學(xue)(xue)名(ming)著(zhu)。《四(si)元玉鑒》成(cheng)(cheng)書于大(da)德七年(1303),共(gong)三卷(juan),24門,288問,介紹了朱世杰在多元高(gao)次方程組的解法——四(si)元術,以及高(gao)階等(deng)差級數(shu)的計算——垛積術、招差術等(deng)方面(mian)的研(yan)究和(he)(he)成(cheng)(cheng)果。
“天(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)”是(shi)(shi)設“天(tian)元(yuan)(yuan)為(wei)某(mou)(mou)某(mou)(mou)”,即(ji)某(mou)(mou)某(mou)(mou)為(wei)x。但當未知數(shu)(shu)不止(zhi)一個(ge)的(de)(de)(de)(de)(de)時候,除設未知數(shu)(shu)天(tian)元(yuan)(yuan)(x)外,還(huan)需設地元(yuan)(yuan)(y)、人元(yuan)(yuan)(z)及物元(yuan)(yuan)(u),再列(lie)出二(er)元(yuan)(yuan)、三(san)(san)(san)元(yuan)(yuan)甚至(zhi)(zhi)四(si)元(yuan)(yuan)的(de)(de)(de)(de)(de)高(gao)次(ci)聯(lian)方程(cheng)組(zu),然后求(qiu)解(jie)(jie)。這在歐洲,解(jie)(jie)聯(lian)立一次(ci)方程(cheng)開始于16世(shi)(shi)紀,關于多(duo)元(yuan)(yuan)高(gao)次(ci)聯(lian)立方程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究還(huan)是(shi)(shi)18至(zhi)(zhi)19世(shi)(shi)紀的(de)(de)(de)(de)(de)事了(le)。朱世(shi)(shi)杰的(de)(de)(de)(de)(de)另一重(zhong)大貢獻是(shi)(shi)對(dui)于“垛(duo)積術(shu)”的(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究。他(ta)對(dui)于一系(xi)列(lie)新的(de)(de)(de)(de)(de)垛(duo)形的(de)(de)(de)(de)(de)級(ji)數(shu)(shu)求(qiu)和問(wen)題(ti)作(zuo)了(le)研(yan)究,從中歸納為(wei)“三(san)(san)(san)角垛(duo)”的(de)(de)(de)(de)(de)公(gong)(gong)式(shi)(shi),實(shi)際上得(de)到了(le)這一類任意高(gao)階等差(cha)(cha)級(ji)數(shu)(shu)求(qiu)和問(wen)題(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)系(xi)統、普遍的(de)(de)(de)(de)(de)解(jie)(jie)法。朱世(shi)(shi)杰還(huan)把(ba)三(san)(san)(san)角垛(duo)公(gong)(gong)式(shi)(shi)引用(yong)到“招(zhao)(zhao)差(cha)(cha)術(shu)”中,指出招(zhao)(zhao)差(cha)(cha)公(gong)(gong)式(shi)(shi)中的(de)(de)(de)(de)(de)系(xi)數(shu)(shu)恰(qia)好依次(ci)是(shi)(shi)各三(san)(san)(san)角垛(duo)的(de)(de)(de)(de)(de)積,這樣就得(de)到了(le)包含有四(si)次(ci)差(cha)(cha)的(de)(de)(de)(de)(de)招(zhao)(zhao)差(cha)(cha)公(gong)(gong)式(shi)(shi)。
他(ta)還把這個(ge)招差公式(shi)推(tui)廣(guang)為包(bao)含(han)任意高(gao)次差的(de)(de)招差公式(shi),這在(zai)世(shi)(shi)界數(shu)(shu)學(xue)(xue)史上(shang)是(shi)(shi)第一次,比歐(ou)洲(zhou)牛頓的(de)(de)同樣(yang)成就要早近4個(ge)世(shi)(shi)紀。正因為如此(ci),朱(zhu)世(shi)(shi)杰和他(ta)的(de)(de)著(zhu)作《四元玉(yu)(yu)鑒(jian)(jian)》才享有(you)巨大(da)的(de)(de)國(guo)(guo)際聲(sheng)譽。近代日本(ben)(ben)、法國(guo)(guo)、美(mei)國(guo)(guo)、比利時以及(ji)亞、歐(ou)、美(mei)許多國(guo)(guo)家(jia)(jia)都(dou)有(you)人向本(ben)(ben)國(guo)(guo)介紹《四元玉(yu)(yu)鑒(jian)(jian)》。美(mei)國(guo)(guo)已(yi)故的(de)(de)著(zhu)名的(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)史家(jia)(jia)薩頓是(shi)(shi)這樣(yang)評(ping)說朱(zhu)世(shi)(shi)杰的(de)(de):“(朱(zhu)世(shi)(shi)杰)是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)華民族的(de)(de)、他(ta)所生(sheng)活的(de)(de)時代的(de)(de)、同時也是(shi)(shi)貫(guan)穿古今的(de)(de)一位(wei)最(zui)杰出的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)科(ke)學(xue)(xue)家(jia)(jia)。”“《四元玉(yu)(yu)鑒(jian)(jian)》是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)(guo)數(shu)(shu)學(xue)(xue)著(zhu)作中(zhong)(zhong)最(zui)重要的(de)(de),同時也是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)世(shi)(shi)紀最(zui)杰出的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)著(zhu)作之一。它是(shi)(shi)世(shi)(shi)界數(shu)(shu)學(xue)(xue)寶庫中(zhong)(zhong)不(bu)可多得的(de)(de)瑰寶。”從此(ci)中(zhong)(zhong)可以看出,宋元時期的(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)家(jia)(jia)及(ji)其著(zhu)作,在(zai)世(shi)(shi)界數(shu)(shu)學(xue)(xue)史上(shang)起到了不(bu)可估量的(de)(de)作用。
朱(zhu)世(shi)(shi)杰的(de)主(zhu)要(yao)(yao)貢獻是創造了(le)(le)一(yi)套完整的(de)消(xiao)未知數(shu)(shu)(shu)方(fang)法,稱(cheng)為(wei)(wei)四元消(xiao)法.這種方(fang)法在世(shi)(shi)界上(shang)長期處于領先(xian)地(di)位,直到18世(shi)(shi)紀,法國(guo)數(shu)(shu)(shu)學(xue)家(jia)(jia)貝祖(Bezout)提出(chu)一(yi)般的(de)高次(ci)方(fang)程組解法,才(cai)超過朱(zhu)世(shi)(shi)杰。除了(le)(le)四元術(shu)以外,《四元玉鑒(jian)》中還有兩項重(zhong)(zhong)要(yao)(yao)成(cheng)就,即創立了(le)(le)一(yi)般的(de)高階等(deng)差(cha)級數(shu)(shu)(shu)求和公式及等(deng)間(jian)距四次(ci)內插(cha)法公式,后(hou)者通常(chang)稱(cheng)為(wei)(wei)招差(cha)術(shu).此書代表著(zhu)(zhu)(zhu)宋元數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)最高水平(ping),美國(guo)科學(xue)史家(jia)(jia)薩頓(dun)(G.Sarton)稱(cheng)贊它“是中國(guo)數(shu)(shu)(shu)學(xue)著(zhu)(zhu)(zhu)作(zuo)中最重(zhong)(zhong)要(yao)(yao)的(de)一(yi)部,同時也是中世(shi)(shi)紀的(de)杰出(chu)數(shu)(shu)(shu)學(xue)著(zhu)(zhu)(zhu)作(zuo)之(zhi)一(yi)”。朱(zhu)世(shi)(shi)杰處于中國(guo)傳統數(shu)(shu)(shu)學(xue)發展(zhan)的(de)鼎盛時期,當時社會上(shang)“尊崇算(suan)學(xue),科目漸(jian)興(xing)”,數(shu)(shu)(shu)學(xue)著(zhu)(zhu)(zhu)作(zuo)廣為(wei)(wei)傳播。
對多(duo)元(yuan)高(gao)次(ci)方(fang)程組解法(fa)(fa)(fa)、高(gao)階等差級數(shu)求和(he)(he),高(gao)次(ci)內插法(fa)(fa)(fa)都(dou)有(you)深入研究,他著有(you)《算學啟蒙》(1299年)、《四(si)元(yuan)玉鑒(jian)(jian)》(1303年)各3卷,在(zai)后者中(zhong)討論了多(duo)達(da)四(si)元(yuan)的高(gao)次(ci)聯(lian)立方(fang)程組解法(fa)(fa)(fa),聯(lian)系在(zai)一起的多(duo)項式的表(biao)達(da)和(he)(he)運算以及消去法(fa)(fa)(fa),已(yi)接(jie)近近世(shi)代數(shu)學,處于世(shi)界(jie)領先地(di)位,他通曉(xiao)高(gao)次(ci)招差法(fa)(fa)(fa)公式,比西方(fang)早四(si)百年,中(zhong)外數(shu)學史家(jia)都(dou)高(gao)度評價朱世(shi)杰和(he)(he)他的名著《四(si)元(yuan)玉鑒(jian)(jian)》。
從天元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)推廣(guang)到(dao)二元(yuan)(yuan)(yuan)、三元(yuan)(yuan)(yuan)和(he)四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)的(de)(de)(de)(de)高次(ci)聯立(li)方(fang)程組(zu),是(shi)宋元(yuan)(yuan)(yuan)數學家的(de)(de)(de)(de)又一(yi)項杰出的(de)(de)(de)(de)創造。留(liu)傳(chuan)(chuan)至(zhi)今,并對這(zhe)一(yi)杰出創造進行系統(tong)論(lun)述(shu)的(de)(de)(de)(de)是(shi)朱(zhu)世杰的(de)(de)(de)(de)《四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)玉鑒》。《四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)玉鑒》成(cheng)書(shu)于1303年(nian)。全書(shu)共(gong)3卷(juan),24門,288問,主(zhu)要(yao)論(lun)述(shu)高次(ci)方(fang)程組(zu)的(de)(de)(de)(de)解法(這(zhe)也是(shi)朱(zhu)世杰的(de)(de)(de)(de)最大貢獻)、高階等差級數求和(he)以及高次(ci)內插法等內容(rong)。是(shi)流(liu)傳(chuan)(chuan)至(zhi)今且對四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)進行系統(tong)論(lun)述(shu)的(de)(de)(de)(de)重要(yao)代表(biao)作(zuo)。
在天元(yuan)(yuan)術的(de)(de)基礎(chu)上(shang),朱世杰(jie)建立了(le)“四(si)元(yuan)(yuan)高次方程理論”,他把常數項放在中央(即“太”),然后“立天元(yuan)(yuan)一于下,地元(yuan)(yuan)一于左,人元(yuan)(yuan)一于右,物元(yuan)(yuan)一于上(shang)”,“天、地、人、物”這四(si)“元(yuan)(yuan)”代表未知數,(即相(xiang)當于如(ru)今(jin)的(de)(de)x、y、z、w,)四(si)元(yuan)(yuan)的(de)(de)各次冪放在上(shang)、下、左、右四(si)個(ge)方向上(shang),其它各項放在四(si)個(ge)象(xiang)限中。如(ru)果用現(xian)代的(de)(de)x、y、z、w表示天、地、人、物,那我們可以把朱世杰(jie)列高次多元(yuan)(yuan)方程的(de)(de)方法表示:而上(shang)面的(de)(de)兩個(ge)圖形“四(si)元(yuan)(yuan)一次籌(chou)式”與(yu)“四(si)元(yuan)(yuan)二次籌(chou)式”所表示的(de)(de)方程分別為(wei):x+y+z+w=0
用上述(shu)方(fang)法(fa)列出(chu)四元(yuan)高(gao)次(ci)方(fang)程(cheng)(cheng)后,再(zai)聯(lian)立(li)方(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)(zu)進行解方(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)(zu),方(fang)法(fa)是用消元(yuan)方(fang)法(fa)解答,先擇一(yi)(yi)(yi)元(yuan)為(wei)未(wei)(wei)知數(shu),其(qi)它(ta)元(yuan)組(zu)(zu)成(cheng)的(de)多項(xiang)式(shi)(shi)(shi)作為(wei)這(zhe)(zhe)未(wei)(wei)知數(shu)的(de)系(xi)數(shu),然(ran)后把四元(yuan)四式(shi)(shi)(shi)消去(qu)(qu)一(yi)(yi)(yi)元(yuan),變成(cheng)三(san)元(yuan)三(san)式(shi)(shi)(shi),再(zai)消去(qu)(qu)一(yi)(yi)(yi)元(yuan)變二元(yuan)二式(shi)(shi)(shi),再(zai)消去(qu)(qu)一(yi)(yi)(yi)元(yuan),就得到只(zhi)含(han)一(yi)(yi)(yi)元(yuan)的(de)天(tian)元(yuan)開(kai)方(fang)式(shi)(shi)(shi),然(ran)后用增(zeng)乘(cheng)開(kai)方(fang)法(fa)求(qiu)得正根(gen)。這(zhe)(zhe)是線性方(fang)法(fa)組(zu)(zu)解法(fa)的(de)重大發展,在西方(fang),較有系(xi)統地研究多元(yuan)方(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)(zu)要等(deng)到16世紀。高(gao)階等(deng)差(cha)(cha)級(ji)數(shu)求(qiu)和(he)與高(gao)次(ci)內插法(fa)也(ye)是《四元(yuan)玉鑒》的(de)重要內容。由許(xu)多求(qiu)和(he)問題中的(de)一(yi)(yi)(yi)系(xi)列三(san)角垛公(gong)(gong)式(shi)(shi)(shi)可歸納(na)得公(gong)(gong)式(shi)(shi)(shi)。朱世杰(jie)給出(chu)了上式(shi)(shi)(shi)中當(dang)p=1,2,……6時(shi)的(de)公(gong)(gong)式(shi)(shi)(shi)。此外,還(huan)有其(qi)它(ta)高(gao)階等(deng)差(cha)(cha)級(ji)數(shu)求(qiu)和(he)公(gong)(gong)式(shi)(shi)(shi)。在招差(cha)(cha)法(fa)方(fang)面(mian),朱世杰(jie)相當(dang)于給出(chu)了招差(cha)(cha)公(gong)(gong)式(shi)(shi)(shi),這(zhe)(zhe)比西方(fang)要早400多年(nian)。
美國著(zhu)名的(de)科(ke)學(xue)史(shi)家(jia)薩頓評論(lun)說:“朱世杰是(shi)他所生存(cun)時代(dai)的(de),同時也是(shi)貫穿古(gu)今的(de)一位(wei)最(zui)(zui)杰出(chu)(chu)的(de)數學(xue)家(jia)”,《四元玉鑒》是(shi)“中(zhong)國數學(xue)著(zhu)作中(zhong)最(zui)(zui)重(zhong)要的(de)一部(bu),同時也是(shi)整個(ge)中(zhong)世紀最(zui)(zui)杰出(chu)(chu)的(de)數學(xue)著(zhu)作之一。”朱世杰不(bu)僅是(shi)一名杰出(chu)(chu)的(de)數學(xue)家(jia),他還是(shi)一位(wei)數學(xue)教育家(jia),曾(ceng)周(zhou)游四方各地,教授(shou)生徒20余年。并(bing)親自編著(zhu)數學(xue)入門書,稱(cheng)為《算學(xue)啟(qi)蒙》。在《算學(xue)啟(qi)蒙》卷(juan)下中(zhong),朱世杰提(ti)出(chu)(chu)已(yi)知勾弦和、股弦和求解(jie)勾股形的(de)方法,補充了《九章(zhang)算術》的(de)不(bu)足。
“燕山朱松庭先(xian)生”,是(shi)元朝(chao)時代的(de)一(yi)位杰出的(de)數學家。所寫(xie)的(de)《四(si)元玉鑒(jian)》和(he)《算(suan)學啟蒙》,是(shi)中(zhong)國古代數學發展進程中(zhong)的(de)一(yi)個重要的(de)里程碑,是(shi)中(zhong)國古代數學的(de)一(yi)份寶貴(gui)的(de)遺產。13世(shi)紀中(zhong)葉,朱世(shi)杰除了接受北方(fang)的(de)數學成就(jiu)之外,他(ta)也(ye)吸收了南方(fang)的(de)數學成就(jiu),尤其是(shi)各種日(ri)用(yong)算(suan)法、商用(yong)算(suan)術(shu)和(he)通俗化的(de)歌(ge)訣等等。
朱(zhu)世(shi)杰曾“周游(you)(you)四(si)(si)方”,莫若(古代數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家)序中(zhong)(zhong)有(you)(you)“燕山松庭(ting)朱(zhu)先生以數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)名家周游(you)(you)湖(hu)海二十余年(nian)(nian)矣(yi)。四(si)(si)方之(zhi)來學(xue)(xue)(xue)者日眾(zhong),先生遂發明《九章》之(zhi)妙,以淑后圖學(xue)(xue)(xue),為書(shu)三(san)卷(juan)……名曰《四(si)(si)元(yuan)玉鑒(jian)》”,祖頤后序中(zhong)(zhong)亦有(you)(you)“漢卿名世(shi)杰,松庭(ting)其(qi)自號(hao)也。周流(liu)四(si)(si)方,復游(you)(you)廣陵,踵門而(er)學(xue)(xue)(xue)者云集”。經過長(chang)期(qi)的游(you)(you)學(xue)(xue)(xue)、講(jiang)學(xue)(xue)(xue)等活動,終于在(zai)1299年(nian)(nian)和1303年(nian)(nian),在(zai)揚州,刊刻(ke)了他的兩部數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)杰作——《算(suan)學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)(meng)》和《四(si)(si)元(yuan)玉鑒(jian)》。楊輝書(shu)中(zhong)(zhong)的歸除歌(ge)訣在(zai)朱(zhu)世(shi)杰所著(zhu)《算(suan)學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)(meng)》中(zhong)(zhong)有(you)(you)了進(jin)一(yi)步的發展(zhan)。
清羅(luo)士琳認為:“漢卿在宋元間,與(yu)秦道(dao)(dao)古(即(ji)秦九韶)、李(li)仁卿可稱鼎足(zu)而三。道(dao)(dao)古正(zheng)(zheng)負開方,漢卿天元如積(ji)皆足(zu)上下千古,漢卿又兼(jian)包眾有,充類盡量,神(shen)而明之(zhi),尤(you)超越乎秦、李(li)之(zhi)上”。清代數(shu)(shu)學家王鑒也說:“朱(zhu)松庭先生兼(jian)秦、李(li)之(zhi)所(suo)長,成一(yi)家之(zhi)著作”。朱(zhu)世(shi)杰全面繼承了并(bing)創造性地發揚(yang)了天元術、正(zheng)(zheng)負開方法(fa)等(deng)秦、李(li)書中所(suo)載的(de)數(shu)(shu)學成就之(zhi)外(wai),還囊括了楊輝書中的(de)日(ri)用、商用、歸除歌訣之(zhi)類與(yu)當時(shi)社會(hui)生活密切相關的(de)各種算法(fa),并(bing)作了新的(de)發展。