朱世杰(jie)“以數學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫若、祖(zu)頤：《四元玉鑒》后(hou)序）。
宋元時(shi)期(qi)，中(zhong)國數(shu)學鼎(ding)盛(sheng)時(shi)期(qi)中(zhong)杰(jie)(jie)出的數(shu)學家(jia)有“秦九(jiu)韶、李冶、楊輝、朱世(shi)杰(jie)(jie)四(si)大家(jia)”，朱世(shi)杰(jie)(jie)就是(shi)其中(zhong)之(zhi)一。朱世(shi)杰(jie)(jie)是(shi)一位(wei)平(ping)民(min)數(shu)學家(jia)和數(shu)學教育家(jia)。朱世(shi)杰(jie)(jie)平(ping)生勤力研習《九(jiu)章(zhang)算術》，旁通(tong)其它各種算法(fa)，成為元代著名數(shu)學家(jia)。
元(yuan)(yuan)統一(yi)中國后，朱世杰曾以數學(xue)家(jia)的(de)身份周游各地20余(yu)年(nian)，向他求(qiu)學(xue)的(de)人(ren)很(hen)多，他到廣陵(今揚州)時“踵門而學(xue)者云集”。他全(quan)面繼承了(le)(le)前(qian)人(ren)數學(xue)成(cheng)果，既吸收了(le)(le)北方(fang)的(de)天元(yuan)(yuan)術，又吸收了(le)(le)南(nan)方(fang)的(de)正(zheng)負開(kai)方(fang)術、各種日用(yong)算(suan)法及(ji)通俗歌訣(jue)，在(zai)此基(ji)礎上進(jin)行(xing)了(le)(le)創造性(xing)的(de)研究，寫成(cheng)以總(zong)結和(he)普及(ji)當時各種數學(xue)知識為宗旨的(de)《算(suan)學(xue)啟蒙(meng)(meng)》(3卷)，又寫成(cheng)四元(yuan)(yuan)術的(de)代(dai)表作--《四元(yuan)(yuan)玉鑒》(3卷)，先后于：1299年(nian)和(he)1303年(nian)刊印(yin)．《算(suan)學(xue)啟蒙(meng)(meng)》由淺入深，從一(yi)位數乘(cheng)法開(kai)始，一(yi)直(zhi)講到當時的(de)最新數學(xue)成(cheng)果――天元(yuan)(yuan)術，形成(cheng)一(yi)個(ge)完整(zheng)體(ti)系。
書中明確提出正負(fu)數(shu)乘法(fa)法(fa)則，給(gei)出倒數(shu)的(de)(de)概念(nian)和(he)基本(ben)性(xing)質，概括出若(ruo)(ruo)干新的(de)(de)乘法(fa)公式和(he)根式運算法(fa)則，總結了(le)若(ruo)(ruo)干乘除捷算口訣(jue)，并(bing)把設輔助未(wei)知數(shu)的(de)(de)方法(fa)用于解線性(xing)方程(cheng)組．《四元(yuan)玉鑒(jian)》的(de)(de)主要(yao)內(nei)容(rong)是四元(yuan)術，即多元(yuan)高次方程(cheng)組的(de)(de)建立和(he)求解方法(fa)．秦(qin)九韶的(de)(de)高次方程(cheng)數(shu)值解法(fa)和(he)李冶的(de)(de)天(tian)元(yuan)術都被包含(han)在(zai)內(nei)．
在宋元(yuan)(yuan)時期的(de)(de)(de)(de)(de)數學群(qun)英中，朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)作(zuo)具有特殊(shu)重要的(de)(de)(de)(de)(de)意義．如果把諸多數學家比作(zuo)群(qun)山，則朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)(jie)是最高大、最雄偉(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)山峰．站在朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)(jie)數學思想的(de)(de)(de)(de)(de)高度(du)俯嫩(nen)傳(chuan)統(tong)數學，會(hui)有"一覽眾山小"之(zhi)(zhi)感．來(lai)世(shi)(shi)杰(jie)(jie)(jie)工(gong)作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)意義就(jiu)在于總(zong)結了(le)宋元(yuan)(yuan)數學，使(shi)之(zhi)(zhi)在理(li)(li)論(lun)上(shang)(shang)達到(dao)新的(de)(de)(de)(de)(de)高度(du)．這(zhe)主要表現在以下三個領域．首(shou)先(xian)是方(fang)(fang)(fang)(fang)程理(li)(li)論(lun)．在列方(fang)(fang)(fang)(fang)程方(fang)(fang)(fang)(fang)面，蔣周的(de)(de)(de)(de)(de)演段法為天元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)作(zuo)了(le)準(zhun)備(bei)工(gong)作(zuo)，他(ta)已具有尋找(zhao)等值(zhi)多項式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)思想，洞(dong)淵馬與(yu)信道是天元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)先(xian)驅，但他(ta)們推導方(fang)(fang)(fang)(fang)程仍受幾何思維的(de)(de)(de)(de)(de)束(shu)(shu)縛(fu)，李冶基(ji)(ji)本(ben)上(shang)(shang)擺脫了(le)這(zhe)種束(shu)(shu)縛(fu)，總(zong)結出(chu)(chu)一套固定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)天元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)程序，使(shi)天元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)進入(ru)成熟階段．在解方(fang)(fang)(fang)(fang)程方(fang)(fang)(fang)(fang)面，賈憲給出(chu)(chu)增乘(cheng)開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)法，劉益則用正負開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)術(shu)(shu)(shu)求出(chu)(chu)四(si)次方(fang)(fang)(fang)(fang)程正根，秦九(jiu)韶在此(ci)基(ji)(ji)礎上(shang)(shang)解決了(le)高次方(fang)(fang)(fang)(fang)程的(de)(de)(de)(de)(de)數值(zhi)解法問(wen)題．至此(ci)，一元(yuan)(yuan)高次方(fang)(fang)(fang)(fang)程的(de)(de)(de)(de)(de)建立和求解都已實現．而線性(xing)方(fang)(fang)(fang)(fang)程組古已有之(zhi)(zhi)，所(suo)以具備(bei)了(le)多元(yuan)(yuan)高次方(fang)(fang)(fang)(fang)程組產生的(de)(de)(de)(de)(de)條件．李德載的(de)(de)(de)(de)(de)二元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)和劉大鑒(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)三元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)相繼出(chu)(chu)現，朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)四(si)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)正是對(dui)二元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)、三元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)總(zong)結與(yu)提高．由于四(si)元(yuan)(yuan)已把常數項的(de)(de)(de)(de)(de)上(shang)(shang)下左右占滿，方(fang)(fang)(fang)(fang)程理(li)(li)論(lun)發展到(dao)這(zhe)里，顯然(ran)就(jiu)告一段落了(le)．從方(fang)(fang)(fang)(fang)程種類(lei)看，天元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)產生之(zhi)(zhi)前的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)(fang)程都是整式(shi)方(fang)(fang)(fang)(fang)程。
從(cong)洞(dong)淵到(dao)(dao)李冶，分式(shi)方程(cheng)逐(zhu)漸(jian)得(de)(de)到(dao)(dao)發(fa)展．而朱(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)，則突破了(le)有(you)理(li)(li)式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)限制，開始(shi)處理(li)(li)無理(li)(li)方程(cheng)．其(qi)次(ci)(ci)是高(gao)階(jie)(jie)等(deng)差(cha)(cha)級(ji)(ji)數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)．沈(shen)括的(de)(de)(de)(de)(de)(de)隙積術(shu)開研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)高(gao)階(jie)(jie)等(deng)差(cha)(cha)級(ji)(ji)數之(zhi)先河，楊輝給出(chu)包括隙積術(shu)在(zai)內(nei)(nei)(nei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)系(xi)(xi)列(lie)二階(jie)(jie)等(deng)差(cha)(cha)級(ji)(ji)數求和公(gong)式(shi)．朱(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)則在(zai)此(ci)基(ji)礎(chu)上(shang)依次(ci)(ci)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)了(le)二階(jie)(jie)、三(san)(san)階(jie)(jie)、四階(jie)(jie)乃(nai)至五(wu)階(jie)(jie)等(deng)差(cha)(cha)級(ji)(ji)數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)求和問(wen)題，從(cong)而發(fa)現(xian)其(qi)規(gui)律(lv)，掌握了(le)三(san)(san)角垛統一(yi)公(gong)式(shi)．他還發(fa)現(xian)了(le)垛積術(shu)與內(nei)(nei)(nei)插(cha)法(fa)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)內(nei)(nei)(nei)在(zai)聯系(xi)(xi)，利用(yong)垛積公(gong)式(shi)給出(chu)規(gui)范的(de)(de)(de)(de)(de)(de)四次(ci)(ci)內(nei)(nei)(nei)插(cha)公(gong)式(shi)．第三(san)(san)是幾(ji)何(he)學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)．宋代以前，幾(ji)何(he)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)離不(bu)開勾股和面(mian)積、體(ti)(ti)積．蔣周(zhou)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)《益古集(ji)》也(ye)是以面(mian)積問(wen)題為研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)對象(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)．李冶開始(shi)注意到(dao)(dao)圓城因式(shi)中(zhong)各元素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi)，得(de)(de)到(dao)(dao)一(yi)些定理(li)(li)，但未(wei)能推廣到(dao)(dao)更(geng)一(yi)般的(de)(de)(de)(de)(de)(de)情形(xing)(xing)．朱(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)不(bu)僅(jin)總結(jie)了(le)前人(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)勾股及(ji)求積理(li)(li)論(lun)，而且(qie)在(zai)李冶思想的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎(chu)上(shang)更(geng)進一(yi)步，深(shen)入研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)了(le)勾股形(xing)(xing)內(nei)(nei)(nei)及(ji)圓內(nei)(nei)(nei)各幾(ji)何(he)元素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數量關系(xi)(xi)，發(fa)現(xian)了(le)兩個(ge)重要定理(li)(li)--射影定理(li)(li)和弦冪(mi)定理(li)(li)．他在(zai)立體(ti)(ti)幾(ji)何(he)中(zhong)也(ye)開始(shi)注意到(dao)(dao)圖形(xing)(xing)內(nei)(nei)(nei)各元素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi)．朱(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作，使得(de)(de)幾(ji)何(he)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)對象(xiang)由(you)圖形(xing)(xing)整(zheng)體(ti)(ti)深(shen)入到(dao)(dao)圖形(xing)(xing)內(nei)(nei)(nei)部，體(ti)(ti)現(xian)了(le)數學思想的(de)(de)(de)(de)(de)(de)進步。
朱(zhu)世杰長期從(cong)事數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)研究和教育事業(ye)，以數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)名家周(zhou)游各地20多年，四(si)(si)方登門來(lai)學(xue)(xue)習的(de)人很多。朱(zhu)世杰數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)代表(biao)作有《算學(xue)(xue)啟(qi)蒙》（1299）和《四(si)(si)元(yuan)(yuan)玉鑒》（1303）。《算學(xue)(xue)啟(qi)蒙》是(shi)一部通俗數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)名著，曾流傳(chuan)海外，影(ying)響了(le)朝鮮、日(ri)本(ben)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)發展。《四(si)(si)元(yuan)(yuan)玉鑒》則是(shi)中國宋元(yuan)(yuan)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)高(gao)峰(feng)的(de)又(you)一個標志，其中最杰出(chu)的(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)創作有“四(si)(si)元(yuan)(yuan)術”（多元(yuan)(yuan)高(gao)次方程列式與(yu)消元(yuan)(yuan)解法(fa)(fa)(fa)）、“垛積(ji)法(fa)(fa)(fa)”（高(gao)階等差數(shu)(shu)(shu)列求和）與(yu)“招差術”（高(gao)次內插(cha)法(fa)(fa)(fa)）。
朱世杰在數學(xue)(xue)(xue)科學(xue)(xue)(xue)上，全面地(di)繼承了秦九韶、李冶、楊輝的(de)數學(xue)(xue)(xue)成(cheng)就(jiu)，并(bing)給(gei)予創(chuang)造性的(de)發展(zhan)，寫(xie)出(chu)了《算(suan)學(xue)(xue)(xue)啟蒙》、《四元(yuan)玉鑒》等著名作品，把(ba)我國(guo)古代(dai)數學(xue)(xue)(xue)推向更高(gao)的(de)境界(jie)，形成(cheng)宋元(yuan)時期中國(guo)數學(xue)(xue)(xue)的(de)最高(gao)峰。《算(suan)學(xue)(xue)(xue)啟蒙》是朱世杰在元(yuan)成(cheng)宗大(da)德三(san)年（1299）刊印的(de)，全書共(gong)三(san)卷，20門，總計259個問題和相應的(de)解答。這部書從乘除運算(suan)起，一(yi)直講到當時數學(xue)(xue)(xue)發展(zhan)的(de)最高(gao)成(cheng)就(jiu)“天(tian)元(yuan)術”，全面介紹(shao)了當時數學(xue)(xue)(xue)所包含的(de)各方面內容(rong)。
它(ta)的(de)(de)(de)(de)體系完整，內容深入淺出(chu)，通俗易懂，是一部(bu)(bu)很著(zhu)(zhu)名的(de)(de)(de)(de)啟蒙(meng)讀物。這部(bu)(bu)著(zhu)(zhu)作后來流傳到(dao)(dao)朝鮮、日(ri)本(ben)等(deng)(deng)國(guo)，出(chu)版過翻(fan)刻本(ben)和注釋(shi)本(ben)，產生過一定(ding)的(de)(de)(de)(de)影(ying)響。而(er)《四(si)元(yuan)玉鑒》更是一部(bu)(bu)成(cheng)就輝煌的(de)(de)(de)(de)數(shu)學名著(zhu)(zhu)。它(ta)受(shou)到(dao)(dao)近(jin)代數(shu)學史研究者(zhe)的(de)(de)(de)(de)高(gao)度評價，認為是中(zhong)國(guo)古(gu)代數(shu)學科學著(zhu)(zhu)作中(zhong)最(zui)重要的(de)(de)(de)(de)、最(zui)有貢獻的(de)(de)(de)(de)一部(bu)(bu)數(shu)學名著(zhu)(zhu)。《四(si)元(yuan)玉鑒》成(cheng)書(shu)于大德七年(nian)（1303），共三卷，24門(men)，288問，介(jie)紹了朱世杰在(zai)多元(yuan)高(gao)次方程組的(de)(de)(de)(de)解(jie)法——四(si)元(yuan)術，以及高(gao)階(jie)等(deng)(deng)差級數(shu)的(de)(de)(de)(de)計算——垛積術、招(zhao)差術等(deng)(deng)方面的(de)(de)(de)(de)研究和成(cheng)果(guo)。
“天元(yuan)(yuan)術(shu)”是設(she)“天元(yuan)(yuan)為(wei)某某”，即某某為(wei)x。但當未知(zhi)數(shu)(shu)不止一(yi)個的(de)時候，除設(she)未知(zhi)數(shu)(shu)天元(yuan)(yuan)（x）外，還需設(she)地(di)元(yuan)(yuan)（y）、人元(yuan)(yuan)（z）及物(wu)元(yuan)(yuan)（u），再(zai)列(lie)出(chu)二元(yuan)(yuan)、三(san)元(yuan)(yuan)甚至四元(yuan)(yuan)的(de)高次(ci)聯方程(cheng)組，然后求(qiu)解。這在歐洲(zhou)，解聯立(li)一(yi)次(ci)方程(cheng)開始于(yu)(yu)16世紀(ji)，關于(yu)(yu)多元(yuan)(yuan)高次(ci)聯立(li)方程(cheng)的(de)研(yan)(yan)究還是18至19世紀(ji)的(de)事了。朱世杰的(de)另一(yi)重大貢獻是對于(yu)(yu)“垛(duo)(duo)積術(shu)”的(de)研(yan)(yan)究。他對于(yu)(yu)一(yi)系列(lie)新(xin)的(de)垛(duo)(duo)形的(de)級(ji)數(shu)(shu)求(qiu)和問題作了研(yan)(yan)究，從中(zhong)歸納為(wei)“三(san)角垛(duo)(duo)”的(de)公(gong)(gong)式(shi)，實(shi)際(ji)上得到了這一(yi)類任(ren)意高階等差(cha)級(ji)數(shu)(shu)求(qiu)和問題的(de)系統、普遍的(de)解法。朱世杰還把三(san)角垛(duo)(duo)公(gong)(gong)式(shi)引用到“招差(cha)術(shu)”中(zhong)，指出(chu)招差(cha)公(gong)(gong)式(shi)中(zhong)的(de)系數(shu)(shu)恰好依次(ci)是各三(san)角垛(duo)(duo)的(de)積，這樣就得到了包(bao)含有四次(ci)差(cha)的(de)招差(cha)公(gong)(gong)式(shi)。
他(ta)還(huan)把這(zhe)個招差(cha)公式(shi)推廣為(wei)(wei)包(bao)含任意高(gao)次差(cha)的(de)(de)(de)招差(cha)公式(shi)，這(zhe)在世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)史上是第一次，比(bi)歐洲(zhou)牛頓(dun)的(de)(de)(de)同樣成就要(yao)早近(jin)4個世(shi)(shi)紀。正(zheng)因為(wei)(wei)如此，朱世(shi)(shi)杰(jie)和他(ta)的(de)(de)(de)著(zhu)作(zuo)《四元(yuan)玉(yu)鑒》才享(xiang)有(you)巨(ju)大的(de)(de)(de)國際聲譽。近(jin)代日(ri)本、法國、美國、比(bi)利時(shi)(shi)(shi)(shi)以及亞(ya)、歐、美許多國家都有(you)人向本國介紹《四元(yuan)玉(yu)鑒》。美國已故(gu)的(de)(de)(de)著(zhu)名的(de)(de)(de)科學(xue)史家薩頓(dun)是這(zhe)樣評說朱世(shi)(shi)杰(jie)的(de)(de)(de)：“（朱世(shi)(shi)杰(jie)）是中華民(min)族(zu)的(de)(de)(de)、他(ta)所(suo)生活(huo)的(de)(de)(de)時(shi)(shi)(shi)(shi)代的(de)(de)(de)、同時(shi)(shi)(shi)(shi)也(ye)是貫穿(chuan)古今的(de)(de)(de)一位最杰(jie)出的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)科學(xue)家。”“《四元(yuan)玉(yu)鑒》是中國數(shu)學(xue)著(zhu)作(zuo)中最重(zhong)要(yao)的(de)(de)(de)，同時(shi)(shi)(shi)(shi)也(ye)是中世(shi)(shi)紀最杰(jie)出的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)著(zhu)作(zuo)之一。它(ta)是世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)寶庫中不可(ke)多得(de)的(de)(de)(de)瑰寶。”從此中可(ke)以看出，宋元(yuan)時(shi)(shi)(shi)(shi)期的(de)(de)(de)科學(xue)家及其著(zhu)作(zuo)，在世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)史上起(qi)到了(le)不可(ke)估量的(de)(de)(de)作(zuo)用(yong)。
朱(zhu)世(shi)(shi)(shi)杰(jie)的(de)(de)(de)主要(yao)(yao)貢獻是創造(zao)了一套完(wan)整的(de)(de)(de)消(xiao)未知數(shu)方(fang)法，稱為(wei)四元(yuan)消(xiao)法．這種方(fang)法在世(shi)(shi)(shi)界上長期(qi)處(chu)于領(ling)先地(di)位，直到18世(shi)(shi)(shi)紀，法國數(shu)學(xue)(xue)(xue)家貝祖(Bezout)提(ti)出一般(ban)的(de)(de)(de)高次(ci)(ci)方(fang)程組(zu)解法，才(cai)超過朱(zhu)世(shi)(shi)(shi)杰(jie)。除(chu)了四元(yuan)術(shu)以外，《四元(yuan)玉鑒(jian)》中(zhong)(zhong)還有兩項重(zhong)要(yao)(yao)成就，即創立(li)了一般(ban)的(de)(de)(de)高階等差(cha)級數(shu)求和公(gong)式及等間距四次(ci)(ci)內(nei)插法公(gong)式，后者通常稱為(wei)招差(cha)術(shu)．此(ci)書代表著(zhu)(zhu)宋元(yuan)數(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)最(zui)高水平，美國科學(xue)(xue)(xue)史(shi)家薩頓(G．Sarton)稱贊它“是中(zhong)(zhong)國數(shu)學(xue)(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作中(zhong)(zhong)最(zui)重(zhong)要(yao)(yao)的(de)(de)(de)一部，同時也是中(zhong)(zhong)世(shi)(shi)(shi)紀的(de)(de)(de)杰(jie)出數(shu)學(xue)(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作之一”。朱(zhu)世(shi)(shi)(shi)杰(jie)處(chu)于中(zhong)(zhong)國傳統數(shu)學(xue)(xue)(xue)發展的(de)(de)(de)鼎(ding)盛時期(qi)，當時社會上“尊(zun)崇算學(xue)(xue)(xue)，科目漸興”，數(shu)學(xue)(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作廣(guang)為(wei)傳播。
對多元高(gao)(gao)次(ci)方(fang)(fang)程組解法、高(gao)(gao)階等差級數(shu)(shu)求和，高(gao)(gao)次(ci)內(nei)插法都有深入研(yan)究，他著(zhu)有《算學(xue)啟蒙》(1299年(nian))、《四元玉(yu)鑒(jian)》(1303年(nian))各3卷，在后(hou)者中(zhong)討論了多達四元的(de)高(gao)(gao)次(ci)聯立方(fang)(fang)程組解法，聯系在一起的(de)多項式(shi)的(de)表達和運算以及消去法，已接近(jin)近(jin)世(shi)代數(shu)(shu)學(xue)，處(chu)于世(shi)界領先地位(wei)，他通曉高(gao)(gao)次(ci)招(zhao)差法公式(shi)，比西(xi)方(fang)(fang)早四百年(nian)，中(zhong)外數(shu)(shu)學(xue)史家都高(gao)(gao)度評價(jia)朱世(shi)杰(jie)和他的(de)名著(zhu)《四元玉(yu)鑒(jian)》。
從(cong)天元(yuan)術推(tui)廣到二(er)元(yuan)、三元(yuan)和(he)四(si)元(yuan)的(de)(de)(de)高(gao)(gao)次聯立(li)方程組，是(shi)(shi)宋元(yuan)數學家的(de)(de)(de)又一(yi)項杰出的(de)(de)(de)創(chuang)造。留(liu)傳至(zhi)今(jin)，并對(dui)這一(yi)杰出創(chuang)造進行系(xi)統論(lun)述(shu)的(de)(de)(de)是(shi)(shi)朱世(shi)杰的(de)(de)(de)《四(si)元(yuan)玉鑒(jian)》。《四(si)元(yuan)玉鑒(jian)》成(cheng)書于(yu)1303年。全書共3卷，24門，288問(wen)，主要論(lun)述(shu)高(gao)(gao)次方程組的(de)(de)(de)解法(fa)（這也是(shi)(shi)朱世(shi)杰的(de)(de)(de)最大(da)貢獻(xian)）、高(gao)(gao)階等差(cha)級數求和(he)以及高(gao)(gao)次內插法(fa)等內容。是(shi)(shi)流傳至(zhi)今(jin)且對(dui)四(si)元(yuan)術進行系(xi)統論(lun)述(shu)的(de)(de)(de)重要代(dai)表作。
在(zai)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術的(de)(de)基礎上(shang)，朱(zhu)世杰(jie)建立了“四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)高次(ci)(ci)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)理論(lun)”，他把常數項放(fang)(fang)(fang)在(zai)中央(yang)（即(ji)“太”），然(ran)后“立天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)一(yi)于(yu)下，地(di)(di)元(yuan)(yuan)(yuan)一(yi)于(yu)左(zuo)，人(ren)元(yuan)(yuan)(yuan)一(yi)于(yu)右(you)(you)，物元(yuan)(yuan)(yuan)一(yi)于(yu)上(shang)”，“天(tian)、地(di)(di)、人(ren)、物”這四(si)(si)“元(yuan)(yuan)(yuan)”代表(biao)未知數，(即(ji)相當于(yu)如今的(de)(de)x、y、z、w，)四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)的(de)(de)各(ge)次(ci)(ci)冪放(fang)(fang)(fang)在(zai)上(shang)、下、左(zuo)、右(you)(you)四(si)(si)個方(fang)(fang)向(xiang)上(shang)，其(qi)它各(ge)項放(fang)(fang)(fang)在(zai)四(si)(si)個象限中。如果用現代的(de)(de)x、y、z、w表(biao)示天(tian)、地(di)(di)、人(ren)、物，那(nei)我們可以把朱(zhu)世杰(jie)列高次(ci)(ci)多(duo)元(yuan)(yuan)(yuan)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)的(de)(de)方(fang)(fang)法(fa)表(biao)示：而上(shang)面的(de)(de)兩個圖形“四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)一(yi)次(ci)(ci)籌式”與“四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)二次(ci)(ci)籌式”所表(biao)示的(de)(de)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)分別為：x+y+z+w=0
用上述方(fang)(fang)法(fa)(fa)列出四(si)(si)元高(gao)次方(fang)(fang)程后(hou)，再聯立方(fang)(fang)程組(zu)進行解(jie)方(fang)(fang)程組(zu)，方(fang)(fang)法(fa)(fa)是(shi)用消元方(fang)(fang)法(fa)(fa)解(jie)答,先擇一(yi)元為未知數(shu)，其它元組(zu)成(cheng)的(de)(de)(de)多(duo)項式(shi)(shi)作為這(zhe)未知數(shu)的(de)(de)(de)系數(shu)，然后(hou)把四(si)(si)元四(si)(si)式(shi)(shi)消去(qu)一(yi)元，變成(cheng)三元三式(shi)(shi)，再消去(qu)一(yi)元變二元二式(shi)(shi)，再消去(qu)一(yi)元，就(jiu)得到只含一(yi)元的(de)(de)(de)天元開方(fang)(fang)式(shi)(shi)，然后(hou)用增乘開方(fang)(fang)法(fa)(fa)求(qiu)得正(zheng)根(gen)。這(zhe)是(shi)線性方(fang)(fang)法(fa)(fa)組(zu)解(jie)法(fa)(fa)的(de)(de)(de)重大(da)發展，在西方(fang)(fang)，較有系統地研究多(duo)元方(fang)(fang)程組(zu)要(yao)等(deng)(deng)到16世紀。高(gao)階(jie)等(deng)(deng)差(cha)級數(shu)求(qiu)和(he)(he)與高(gao)次內插法(fa)(fa)也是(shi)《四(si)(si)元玉鑒》的(de)(de)(de)重要(yao)內容。由許多(duo)求(qiu)和(he)(he)問題(ti)中(zhong)的(de)(de)(de)一(yi)系列三角垛(duo)公(gong)(gong)式(shi)(shi)可(ke)歸納得公(gong)(gong)式(shi)(shi)。朱世杰給出了(le)上式(shi)(shi)中(zhong)當(dang)p=1，2，……6時的(de)(de)(de)公(gong)(gong)式(shi)(shi)。此外，還(huan)有其它高(gao)階(jie)等(deng)(deng)差(cha)級數(shu)求(qiu)和(he)(he)公(gong)(gong)式(shi)(shi)。在招差(cha)法(fa)(fa)方(fang)(fang)面，朱世杰相當(dang)于給出了(le)招差(cha)公(gong)(gong)式(shi)(shi)，這(zhe)比西方(fang)(fang)要(yao)早400多(duo)年。
美國著(zhu)名(ming)的(de)(de)(de)科學(xue)(xue)(xue)史家(jia)薩頓評論說：“朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)是(shi)他所生存時(shi)代的(de)(de)(de)，同(tong)時(shi)也(ye)是(shi)貫穿古今的(de)(de)(de)一(yi)位最杰(jie)(jie)出的(de)(de)(de)數學(xue)(xue)(xue)家(jia)”，《四元玉鑒》是(shi)“中(zhong)國數學(xue)(xue)(xue)著(zhu)作中(zhong)最重要的(de)(de)(de)一(yi)部，同(tong)時(shi)也(ye)是(shi)整個中(zhong)世(shi)(shi)紀(ji)最杰(jie)(jie)出的(de)(de)(de)數學(xue)(xue)(xue)著(zhu)作之一(yi)。”朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)不僅是(shi)一(yi)名(ming)杰(jie)(jie)出的(de)(de)(de)數學(xue)(xue)(xue)家(jia)，他還是(shi)一(yi)位數學(xue)(xue)(xue)教(jiao)育家(jia)，曾(ceng)周游四方各地，教(jiao)授(shou)生徒20余年。并親自編著(zhu)數學(xue)(xue)(xue)入門書，稱為《算學(xue)(xue)(xue)啟蒙》。在《算學(xue)(xue)(xue)啟蒙》卷下中(zhong)，朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)提出已知(zhi)勾(gou)弦和、股(gu)弦和求解勾(gou)股(gu)形的(de)(de)(de)方法，補充了《九(jiu)章算術》的(de)(de)(de)不足。
“燕山朱松庭(ting)先生”，是(shi)(shi)元朝時代的(de)一位(wei)杰出的(de)數(shu)學家。所寫的(de)《四(si)元玉鑒》和《算學啟蒙》，是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)古代數(shu)學發展進程中(zhong)(zhong)的(de)一個重(zhong)要的(de)里程碑，是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)古代數(shu)學的(de)一份寶貴的(de)遺(yi)產。13世(shi)紀(ji)中(zhong)(zhong)葉，朱世(shi)杰除了(le)接受北(bei)方的(de)數(shu)學成(cheng)就之外(wai)，他也吸收了(le)南方的(de)數(shu)學成(cheng)就，尤其是(shi)(shi)各種日用算法、商用算術(shu)和通俗化的(de)歌訣等(deng)等(deng)。
朱世杰(jie)曾“周(zhou)游(you)(you)四方”，莫若(ruo)（古代數(shu)學(xue)家）序中(zhong)(zhong)有(you)(you)“燕(yan)山松庭朱先(xian)生以(yi)數(shu)學(xue)名(ming)(ming)家周(zhou)游(you)(you)湖海二十(shi)余年矣(yi)。四方之(zhi)來(lai)學(xue)者(zhe)日眾，先(xian)生遂發明(ming)《九章》之(zhi)妙，以(yi)淑后圖學(xue)，為書三卷……名(ming)(ming)曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中(zhong)(zhong)亦有(you)(you)“漢(han)卿名(ming)(ming)世杰(jie)，松庭其自(zi)號(hao)也。周(zhou)流四方，復(fu)游(you)(you)廣陵，踵門而學(xue)者(zhe)云集”。經過(guo)長期的游(you)(you)學(xue)、講(jiang)學(xue)等活動，終于在1299年和(he)1303年，在揚州，刊刻了(le)他的兩部數(shu)學(xue)杰(jie)作——《算學(xue)啟蒙》和(he)《四元玉鑒》。楊輝書中(zhong)(zhong)的歸(gui)除歌(ge)訣在朱世杰(jie)所著《算學(xue)啟蒙》中(zhong)(zhong)有(you)(you)了(le)進(jin)一步的發展。
清(qing)(qing)羅士琳認為：“漢卿在宋(song)元間，與秦(qin)道古（即秦(qin)九韶）、李(li)仁卿可稱鼎足(zu)而三。道古正(zheng)負開方(fang)，漢卿天元如(ru)積皆足(zu)上下千古，漢卿又兼包眾有(you)，充類盡(jin)量(liang)，神(shen)而明之(zhi)，尤超越(yue)乎秦(qin)、李(li)之(zhi)上”。清(qing)(qing)代數學家王鑒也說：“朱松(song)庭先生(sheng)兼秦(qin)、李(li)之(zhi)所(suo)長，成(cheng)一家之(zhi)著作”。朱世(shi)杰全(quan)面繼(ji)承了(le)并創(chuang)造性地發揚了(le)天元術、正(zheng)負開方(fang)法等秦(qin)、李(li)書(shu)中所(suo)載的(de)數學成(cheng)就之(zhi)外，還囊(nang)括了(le)楊輝書(shu)中的(de)日用(yong)、商用(yong)、歸除(chu)歌(ge)訣(jue)之(zhi)類與當時(shi)社會生(sheng)活密切相關的(de)各種算法，并作了(le)新(xin)的(de)發展(zhan)。
