朱世杰“以數學名(ming)家周游湖海二(er)十余年”，“踵門而學者云集”(莫(mo)若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。
宋元時期，中國數(shu)學鼎盛(sheng)時期中杰(jie)(jie)出的(de)數(shu)學家有(you)“秦九韶、李冶、楊輝、朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)四大家”，朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)就是其(qi)中之一。朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)是一位(wei)平(ping)民數(shu)學家和數(shu)學教育家。朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)平(ping)生(sheng)勤力研(yan)習《九章(zhang)算術》，旁通其(qi)它各種(zhong)算法，成為元代著名(ming)數(shu)學家。
元(yuan)(yuan)(yuan)統一(yi)中國后(hou)，朱(zhu)世(shi)杰曾以數(shu)學(xue)家(jia)的(de)(de)(de)身份周游各地(di)20余年(nian)，向他求學(xue)的(de)(de)(de)人(ren)很多，他到廣陵(今揚(yang)州)時“踵門而學(xue)者(zhe)云集(ji)”。他全面繼承了(le)前人(ren)數(shu)學(xue)成果(guo)，既吸收了(le)北方的(de)(de)(de)天元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)，又吸收了(le)南方的(de)(de)(de)正負開(kai)方術(shu)、各種日用(yong)算法及通俗歌訣，在此基礎上進(jin)行了(le)創造性的(de)(de)(de)研究(jiu)，寫(xie)成以總結(jie)和(he)(he)普及當時各種數(shu)學(xue)知(zhi)識為宗旨的(de)(de)(de)《算學(xue)啟蒙》(3卷)，又寫(xie)成四元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)的(de)(de)(de)代(dai)表(biao)作--《四元(yuan)(yuan)(yuan)玉鑒》(3卷)，先后(hou)于：1299年(nian)和(he)(he)1303年(nian)刊印．《算學(xue)啟蒙》由淺入深，從一(yi)位數(shu)乘法開(kai)始，一(yi)直講(jiang)到當時的(de)(de)(de)最(zui)新數(shu)學(xue)成果(guo)――天元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)，形成一(yi)個(ge)完整體系。
書中明(ming)確提出正負數(shu)乘(cheng)法(fa)(fa)法(fa)(fa)則(ze)，給出倒數(shu)的(de)概念和基本性質，概括出若干新的(de)乘(cheng)法(fa)(fa)公式(shi)和根式(shi)運算法(fa)(fa)則(ze)，總結了若干乘(cheng)除捷算口(kou)訣，并把(ba)設(she)輔助未知數(shu)的(de)方法(fa)(fa)用于解線性方程(cheng)組．《四元玉鑒》的(de)主要內容是四元術(shu)(shu)，即多元高(gao)次(ci)方程(cheng)組的(de)建立和求解方法(fa)(fa)．秦(qin)九韶的(de)高(gao)次(ci)方程(cheng)數(shu)值解法(fa)(fa)和李冶的(de)天元術(shu)(shu)都被包含在(zai)內．
在(zai)(zai)(zai)宋元(yuan)(yuan)(yuan)時期(qi)的(de)(de)(de)數學(xue)群英中，朱世(shi)杰(jie)(jie)的(de)(de)(de)工(gong)作(zuo)具有(you)特殊重(zhong)要的(de)(de)(de)意義．如果把(ba)諸(zhu)多(duo)數學(xue)家比作(zuo)群山(shan)，則朱世(shi)杰(jie)(jie)是最高大(da)、最雄偉的(de)(de)(de)山(shan)峰．站在(zai)(zai)(zai)朱世(shi)杰(jie)(jie)數學(xue)思(si)想的(de)(de)(de)高度俯嫩傳統數學(xue)，會有(you)"一(yi)覽眾山(shan)小"之感(gan)．來世(shi)杰(jie)(jie)工(gong)作(zuo)的(de)(de)(de)意義就在(zai)(zai)(zai)于(yu)總(zong)(zong)結了(le)(le)(le)宋元(yuan)(yuan)(yuan)數學(xue)，使(shi)之在(zai)(zai)(zai)理(li)論上(shang)達到(dao)新的(de)(de)(de)高度．這(zhe)主要表現在(zai)(zai)(zai)以(yi)下三個(ge)領域．首(shou)先是方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)理(li)論．在(zai)(zai)(zai)列方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)面，蔣(jiang)周的(de)(de)(de)演段法(fa)為(wei)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)作(zuo)了(le)(le)(le)準備(bei)工(gong)作(zuo)，他已具有(you)尋找(zhao)等值多(duo)項式的(de)(de)(de)思(si)想，洞淵馬與信道是天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)的(de)(de)(de)先驅(qu)，但他們推導方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)仍受幾何思(si)維的(de)(de)(de)束縛，李冶基本上(shang)擺脫了(le)(le)(le)這(zhe)種(zhong)(zhong)束縛，總(zong)(zong)結出一(yi)套固定的(de)(de)(de)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)程(cheng)序，使(shi)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)進入(ru)成(cheng)熟階段．在(zai)(zai)(zai)解方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)面，賈(jia)憲給出增乘(cheng)開方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)，劉益則用正(zheng)負開方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)術(shu)求(qiu)出四(si)次(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)正(zheng)根，秦九韶在(zai)(zai)(zai)此基礎(chu)上(shang)解決了(le)(le)(le)高次(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)數值解法(fa)問題．至此，一(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)高次(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)建立和求(qiu)解都已實現．而線性方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組古已有(you)之，所以(yi)具備(bei)了(le)(le)(le)多(duo)元(yuan)(yuan)(yuan)高次(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組產(chan)生的(de)(de)(de)條(tiao)件(jian)．李德(de)載的(de)(de)(de)二元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)和劉大(da)鑒的(de)(de)(de)三元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)相繼出現，朱世(shi)杰(jie)(jie)的(de)(de)(de)四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)正(zheng)是對二元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)、三元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)的(de)(de)(de)總(zong)(zong)結與提高．由于(yu)四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)已把(ba)常數項的(de)(de)(de)上(shang)下左右占滿，方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)理(li)論發展到(dao)這(zhe)里，顯然就告(gao)一(yi)段落了(le)(le)(le)．從方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)種(zhong)(zhong)類看(kan)，天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)產(chan)生之前的(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)都是整式方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)。
從洞淵到(dao)(dao)李冶(ye)(ye)，分式(shi)(shi)方程逐漸得(de)(de)到(dao)(dao)發(fa)展．而朱世杰(jie)，則突破了有理(li)(li)式(shi)(shi)的(de)(de)限(xian)制，開(kai)(kai)始(shi)(shi)處理(li)(li)無理(li)(li)方程．其次是(shi)高(gao)階等(deng)差(cha)(cha)級(ji)數(shu)(shu)的(de)(de)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)．沈(shen)括的(de)(de)隙積(ji)術(shu)(shu)開(kai)(kai)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)高(gao)階等(deng)差(cha)(cha)級(ji)數(shu)(shu)之先河，楊(yang)輝給出包括隙積(ji)術(shu)(shu)在(zai)內(nei)的(de)(de)一(yi)(yi)系列(lie)二(er)階等(deng)差(cha)(cha)級(ji)數(shu)(shu)求(qiu)和(he)(he)公式(shi)(shi)．朱世杰(jie)則在(zai)此(ci)基礎上(shang)依次研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)了二(er)階、三(san)階、四階乃至五階等(deng)差(cha)(cha)級(ji)數(shu)(shu)的(de)(de)求(qiu)和(he)(he)問(wen)題(ti)，從而發(fa)現(xian)(xian)其規律，掌握了三(san)角垛統一(yi)(yi)公式(shi)(shi)．他還發(fa)現(xian)(xian)了垛積(ji)術(shu)(shu)與內(nei)插(cha)法的(de)(de)內(nei)在(zai)聯系，利用垛積(ji)公式(shi)(shi)給出規范的(de)(de)四次內(nei)插(cha)公式(shi)(shi)．第(di)三(san)是(shi)幾(ji)何(he)學的(de)(de)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)．宋代以前，幾(ji)何(he)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)離不開(kai)(kai)勾股(gu)和(he)(he)面積(ji)、體(ti)積(ji)．蔣周(zhou)的(de)(de)《益(yi)古集》也是(shi)以面積(ji)問(wen)題(ti)為研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)對象(xiang)的(de)(de)．李冶(ye)(ye)開(kai)(kai)始(shi)(shi)注(zhu)意到(dao)(dao)圓(yuan)城因式(shi)(shi)中各(ge)(ge)元(yuan)素的(de)(de)關(guan)系，得(de)(de)到(dao)(dao)一(yi)(yi)些定(ding)理(li)(li)，但(dan)未能(neng)推廣(guang)到(dao)(dao)更(geng)一(yi)(yi)般的(de)(de)情形(xing)．朱世杰(jie)不僅(jin)總結了前人的(de)(de)勾股(gu)及求(qiu)積(ji)理(li)(li)論，而且在(zai)李冶(ye)(ye)思想的(de)(de)基礎上(shang)更(geng)進一(yi)(yi)步，深入研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)了勾股(gu)形(xing)內(nei)及圓(yuan)內(nei)各(ge)(ge)幾(ji)何(he)元(yuan)素的(de)(de)數(shu)(shu)量關(guan)系，發(fa)現(xian)(xian)了兩(liang)個重要定(ding)理(li)(li)--射影定(ding)理(li)(li)和(he)(he)弦冪定(ding)理(li)(li)．他在(zai)立(li)體(ti)幾(ji)何(he)中也開(kai)(kai)始(shi)(shi)注(zhu)意到(dao)(dao)圖形(xing)內(nei)各(ge)(ge)元(yuan)素的(de)(de)關(guan)系．朱世杰(jie)的(de)(de)工作，使得(de)(de)幾(ji)何(he)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)的(de)(de)對象(xiang)由圖形(xing)整體(ti)深入到(dao)(dao)圖形(xing)內(nei)部，體(ti)現(xian)(xian)了數(shu)(shu)學思想的(de)(de)進步。
朱世杰長(chang)期(qi)從事數(shu)學(xue)研究和(he)教育(yu)事業，以數(shu)學(xue)名家周(zhou)游各(ge)地20多(duo)(duo)年，四(si)方登門來(lai)學(xue)習的(de)(de)人很多(duo)(duo)。朱世杰數(shu)學(xue)代表作有《算學(xue)啟蒙(meng)》（1299）和(he)《四(si)元玉鑒》（1303）。《算學(xue)啟蒙(meng)》是一部通俗數(shu)學(xue)名著，曾流傳海外，影響(xiang)了朝鮮、日本數(shu)學(xue)的(de)(de)發展。《四(si)元玉鑒》則(ze)是中(zhong)國宋元數(shu)學(xue)高(gao)峰的(de)(de)又一個標(biao)志，其(qi)中(zhong)最杰出的(de)(de)數(shu)學(xue)創作有“四(si)元術”（多(duo)(duo)元高(gao)次(ci)方程列(lie)式與消元解法）、“垛(duo)積法”（高(gao)階等(deng)差數(shu)列(lie)求(qiu)和(he)）與“招差術”（高(gao)次(ci)內(nei)插法）。
朱世杰(jie)(jie)在數(shu)(shu)學(xue)(xue)科學(xue)(xue)上，全(quan)面地繼承了(le)(le)秦九韶、李冶、楊(yang)輝(hui)的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)成(cheng)就，并給(gei)予創(chuang)造性的(de)(de)發(fa)展，寫出(chu)了(le)(le)《算學(xue)(xue)啟(qi)蒙》、《四元玉鑒》等著名作品，把我國(guo)古代數(shu)(shu)學(xue)(xue)推向(xiang)更(geng)高的(de)(de)境界，形成(cheng)宋元時期中國(guo)數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)最(zui)高峰(feng)。《算學(xue)(xue)啟(qi)蒙》是朱世杰(jie)(jie)在元成(cheng)宗大德三(san)年（1299）刊印(yin)的(de)(de)，全(quan)書(shu)共三(san)卷，20門，總計(ji)259個(ge)問(wen)題和相(xiang)應的(de)(de)解答。這(zhe)部書(shu)從乘除運算起，一(yi)直講到當(dang)(dang)時數(shu)(shu)學(xue)(xue)發(fa)展的(de)(de)最(zui)高成(cheng)就“天元術”，全(quan)面介紹了(le)(le)當(dang)(dang)時數(shu)(shu)學(xue)(xue)所(suo)包含(han)的(de)(de)各方面內容。
它的(de)(de)體(ti)系完整，內容深入淺(qian)出，通俗易懂，是(shi)(shi)一(yi)部(bu)很(hen)著名的(de)(de)啟蒙讀物(wu)。這部(bu)著作(zuo)后來流傳到(dao)朝鮮(xian)、日本(ben)等(deng)國，出版過(guo)(guo)翻刻本(ben)和(he)注(zhu)釋本(ben)，產生過(guo)(guo)一(yi)定的(de)(de)影(ying)響。而《四元玉(yu)鑒(jian)》更是(shi)(shi)一(yi)部(bu)成就輝(hui)煌的(de)(de)數(shu)學(xue)名著。它受到(dao)近(jin)代數(shu)學(xue)史研(yan)究者(zhe)的(de)(de)高(gao)度評(ping)價，認為是(shi)(shi)中國古代數(shu)學(xue)科學(xue)著作(zuo)中最重要的(de)(de)、最有貢(gong)獻(xian)的(de)(de)一(yi)部(bu)數(shu)學(xue)名著。《四元玉(yu)鑒(jian)》成書(shu)于大德七年（1303），共三卷，24門，288問，介紹了朱世杰在多(duo)元高(gao)次方(fang)程(cheng)組的(de)(de)解法——四元術，以(yi)及高(gao)階等(deng)差(cha)級數(shu)的(de)(de)計(ji)算——垛積術、招(zhao)差(cha)術等(deng)方(fang)面的(de)(de)研(yan)究和(he)成果。
“天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術”是設(she)“天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)為某(mou)某(mou)”，即某(mou)某(mou)為x。但當未知數(shu)(shu)不止一個的(de)時候，除(chu)設(she)未知數(shu)(shu)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)（x）外，還(huan)需設(she)地元(yuan)(yuan)(yuan)（y）、人(ren)元(yuan)(yuan)(yuan)（z）及物元(yuan)(yuan)(yuan)（u），再列出(chu)(chu)二(er)元(yuan)(yuan)(yuan)、三(san)元(yuan)(yuan)(yuan)甚至四元(yuan)(yuan)(yuan)的(de)高次(ci)(ci)(ci)聯(lian)方(fang)程(cheng)組，然后求(qiu)(qiu)解(jie)。這(zhe)在歐洲，解(jie)聯(lian)立一次(ci)(ci)(ci)方(fang)程(cheng)開始于(yu)(yu)16世(shi)紀(ji)(ji)，關(guan)于(yu)(yu)多元(yuan)(yuan)(yuan)高次(ci)(ci)(ci)聯(lian)立方(fang)程(cheng)的(de)研(yan)(yan)究(jiu)還(huan)是18至19世(shi)紀(ji)(ji)的(de)事(shi)了(le)。朱(zhu)世(shi)杰的(de)另一重大貢獻是對于(yu)(yu)“垛積術”的(de)研(yan)(yan)究(jiu)。他(ta)對于(yu)(yu)一系列新的(de)垛形的(de)級數(shu)(shu)求(qiu)(qiu)和問題作了(le)研(yan)(yan)究(jiu)，從中歸納為“三(san)角(jiao)(jiao)垛”的(de)公式(shi)(shi)，實(shi)際上得到(dao)了(le)這(zhe)一類任意高階等差(cha)級數(shu)(shu)求(qiu)(qiu)和問題的(de)系統、普(pu)遍的(de)解(jie)法。朱(zhu)世(shi)杰還(huan)把三(san)角(jiao)(jiao)垛公式(shi)(shi)引用到(dao)“招差(cha)術”中，指出(chu)(chu)招差(cha)公式(shi)(shi)中的(de)系數(shu)(shu)恰好(hao)依次(ci)(ci)(ci)是各三(san)角(jiao)(jiao)垛的(de)積，這(zhe)樣就(jiu)得到(dao)了(le)包含(han)有四次(ci)(ci)(ci)差(cha)的(de)招差(cha)公式(shi)(shi)。
他還把這個招(zhao)差公(gong)式推廣為(wei)包含任(ren)意高(gao)次差的(de)(de)(de)(de)招(zhao)差公(gong)式，這在世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)(xue)史上是(shi)第(di)一次，比歐洲牛頓的(de)(de)(de)(de)同(tong)樣成就(jiu)要(yao)早近4個世(shi)(shi)紀。正(zheng)因為(wei)如(ru)此，朱世(shi)(shi)杰和他的(de)(de)(de)(de)著作(zuo)《四(si)(si)元(yuan)玉鑒》才享有巨(ju)大(da)的(de)(de)(de)(de)國(guo)際聲譽。近代(dai)日本、法(fa)國(guo)、美國(guo)、比利時(shi)以(yi)及(ji)亞、歐、美許多國(guo)家都有人向(xiang)本國(guo)介(jie)紹(shao)《四(si)(si)元(yuan)玉鑒》。美國(guo)已故(gu)的(de)(de)(de)(de)著名的(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)史家薩(sa)頓是(shi)這樣評(ping)說(shuo)朱世(shi)(shi)杰的(de)(de)(de)(de)：“（朱世(shi)(shi)杰）是(shi)中(zhong)(zhong)華民族的(de)(de)(de)(de)、他所生活(huo)的(de)(de)(de)(de)時(shi)代(dai)的(de)(de)(de)(de)、同(tong)時(shi)也是(shi)貫(guan)穿古今(jin)的(de)(de)(de)(de)一位(wei)最(zui)杰出(chu)的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)科(ke)學(xue)(xue)家。”“《四(si)(si)元(yuan)玉鑒》是(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)數(shu)學(xue)(xue)著作(zuo)中(zhong)(zhong)最(zui)重要(yao)的(de)(de)(de)(de)，同(tong)時(shi)也是(shi)中(zhong)(zhong)世(shi)(shi)紀最(zui)杰出(chu)的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)著作(zuo)之一。它是(shi)世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)(xue)寶庫中(zhong)(zhong)不(bu)可多得的(de)(de)(de)(de)瑰(gui)寶。”從(cong)此中(zhong)(zhong)可以(yi)看出(chu)，宋(song)元(yuan)時(shi)期的(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)家及(ji)其著作(zuo)，在世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學(xue)(xue)史上起到(dao)了不(bu)可估量的(de)(de)(de)(de)作(zuo)用。
朱(zhu)世杰的(de)主要貢(gong)獻是創造了(le)一(yi)套完(wan)整的(de)消未知數(shu)(shu)方(fang)法(fa)，稱(cheng)為四(si)(si)元(yuan)消法(fa)．這(zhe)種方(fang)法(fa)在世界上長期(qi)處于領先地位，直到18世紀，法(fa)國數(shu)(shu)學家貝祖(Bezout)提出(chu)一(yi)般的(de)高(gao)次方(fang)程組解(jie)法(fa)，才超過朱(zhu)世杰。除了(le)四(si)(si)元(yuan)術(shu)以(yi)外，《四(si)(si)元(yuan)玉鑒》中(zhong)還有兩項(xiang)重要成(cheng)就，即(ji)創立(li)了(le)一(yi)般的(de)高(gao)階等差級(ji)數(shu)(shu)求(qiu)和公式及等間(jian)距四(si)(si)次內插法(fa)公式，后者(zhe)通常稱(cheng)為招差術(shu)．此書代表著(zhu)宋元(yuan)數(shu)(shu)學的(de)最高(gao)水平，美國科學史家薩頓(dun)(G．Sarton)稱(cheng)贊它“是中(zhong)國數(shu)(shu)學著(zhu)作(zuo)(zuo)中(zhong)最重要的(de)一(yi)部，同(tong)時(shi)也是中(zhong)世紀的(de)杰出(chu)數(shu)(shu)學著(zhu)作(zuo)(zuo)之一(yi)”。朱(zhu)世杰處于中(zhong)國傳統數(shu)(shu)學發展的(de)鼎盛時(shi)期(qi)，當時(shi)社(she)會(hui)上“尊崇(chong)算學，科目漸興(xing)”，數(shu)(shu)學著(zhu)作(zuo)(zuo)廣為傳播(bo)。
對(dui)多元高(gao)次(ci)(ci)方程組(zu)解(jie)法(fa)、高(gao)階等差(cha)級數求和，高(gao)次(ci)(ci)內插法(fa)都(dou)(dou)有深入研究，他(ta)(ta)著有《算學啟蒙》(1299年)、《四元玉(yu)鑒(jian)》(1303年)各3卷，在(zai)后者中討論了多達四元的(de)高(gao)次(ci)(ci)聯立(li)方程組(zu)解(jie)法(fa)，聯系在(zai)一起(qi)的(de)多項式的(de)表達和運算以(yi)及消(xiao)去(qu)法(fa)，已接(jie)近近世代數學，處于世界(jie)領先地位，他(ta)(ta)通曉高(gao)次(ci)(ci)招差(cha)法(fa)公式，比西(xi)方早(zao)四百(bai)年，中外數學史家都(dou)(dou)高(gao)度評價朱世杰和他(ta)(ta)的(de)名(ming)著《四元玉(yu)鑒(jian)》。
從天元術推(tui)廣到(dao)二元、三元和(he)四(si)元的高次(ci)聯立方程組，是(shi)宋(song)元數學家的又(you)一項杰出(chu)的創(chuang)造。留(liu)傳(chuan)至今(jin)，并對這(zhe)一杰出(chu)創(chuang)造進行系(xi)統(tong)論(lun)述的是(shi)朱世(shi)杰的《四(si)元玉鑒(jian)》。《四(si)元玉鑒(jian)》成書于1303年。全書共3卷，24門，288問，主要(yao)論(lun)述高次(ci)方程組的解法(fa)（這(zhe)也是(shi)朱世(shi)杰的最(zui)大貢獻）、高階(jie)等差級數求和(he)以(yi)及(ji)高次(ci)內(nei)插法(fa)等內(nei)容。是(shi)流(liu)傳(chuan)至今(jin)且對四(si)元術進行系(xi)統(tong)論(lun)述的重(zhong)要(yao)代表作。
在(zai)(zai)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術的(de)基礎上，朱世(shi)杰(jie)建立了(le)“四元(yuan)(yuan)(yuan)高次方(fang)(fang)程理論(lun)”，他把常(chang)數項放在(zai)(zai)中(zhong)央（即“太”），然后(hou)“立天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)一于下，地元(yuan)(yuan)(yuan)一于左，人(ren)元(yuan)(yuan)(yuan)一于右，物(wu)(wu)(wu)元(yuan)(yuan)(yuan)一于上”，“天(tian)、地、人(ren)、物(wu)(wu)(wu)”這(zhe)四“元(yuan)(yuan)(yuan)”代表未知數，(即相當于如今的(de)x、y、z、w，)四元(yuan)(yuan)(yuan)的(de)各次冪放在(zai)(zai)上、下、左、右四個方(fang)(fang)向上，其它各項放在(zai)(zai)四個象限(xian)中(zhong)。如果(guo)用現代的(de)x、y、z、w表示(shi)(shi)天(tian)、地、人(ren)、物(wu)(wu)(wu)，那我們可以把朱世(shi)杰(jie)列高次多元(yuan)(yuan)(yuan)方(fang)(fang)程的(de)方(fang)(fang)法表示(shi)(shi)：而上面的(de)兩個圖形“四元(yuan)(yuan)(yuan)一次籌(chou)式”與“四元(yuan)(yuan)(yuan)二次籌(chou)式”所表示(shi)(shi)的(de)方(fang)(fang)程分別(bie)為：x+y+z+w=0
用(yong)上述方(fang)(fang)法(fa)(fa)列(lie)出(chu)四(si)元(yuan)(yuan)高(gao)次方(fang)(fang)程后，再聯立方(fang)(fang)程組進(jin)行解方(fang)(fang)程組，方(fang)(fang)法(fa)(fa)是用(yong)消元(yuan)(yuan)方(fang)(fang)法(fa)(fa)解答,先擇一(yi)元(yuan)(yuan)為未知(zhi)數(shu)，其它元(yuan)(yuan)組成的(de)多項(xiang)式(shi)(shi)(shi)作為這(zhe)未知(zhi)數(shu)的(de)系數(shu)，然(ran)后把四(si)元(yuan)(yuan)四(si)式(shi)(shi)(shi)消去(qu)一(yi)元(yuan)(yuan)，變成三(san)元(yuan)(yuan)三(san)式(shi)(shi)(shi)，再消去(qu)一(yi)元(yuan)(yuan)變二元(yuan)(yuan)二式(shi)(shi)(shi)，再消去(qu)一(yi)元(yuan)(yuan)，就得(de)到只含(han)一(yi)元(yuan)(yuan)的(de)天元(yuan)(yuan)開方(fang)(fang)式(shi)(shi)(shi)，然(ran)后用(yong)增乘開方(fang)(fang)法(fa)(fa)求(qiu)得(de)正(zheng)根。這(zhe)是線性(xing)方(fang)(fang)法(fa)(fa)組解法(fa)(fa)的(de)重大發展，在西(xi)方(fang)(fang)，較(jiao)有系統地研究(jiu)多元(yuan)(yuan)方(fang)(fang)程組要(yao)等(deng)到16世紀。高(gao)階等(deng)差級數(shu)求(qiu)和(he)與高(gao)次內插(cha)法(fa)(fa)也是《四(si)元(yuan)(yuan)玉鑒》的(de)重要(yao)內容。由許多求(qiu)和(he)問題中(zhong)的(de)一(yi)系列(lie)三(san)角(jiao)垛(duo)公(gong)式(shi)(shi)(shi)可歸納得(de)公(gong)式(shi)(shi)(shi)。朱世杰給出(chu)了上式(shi)(shi)(shi)中(zhong)當p=1，2，……6時的(de)公(gong)式(shi)(shi)(shi)。此外，還有其它高(gao)階等(deng)差級數(shu)求(qiu)和(he)公(gong)式(shi)(shi)(shi)。在招(zhao)差法(fa)(fa)方(fang)(fang)面，朱世杰相當于給出(chu)了招(zhao)差公(gong)式(shi)(shi)(shi)，這(zhe)比西(xi)方(fang)(fang)要(yao)早400多年。
美國著名的科學史家薩頓評論說：“朱世(shi)(shi)杰(jie)是他(ta)所生(sheng)存時(shi)(shi)代的，同時(shi)(shi)也是貫穿古今的一位最(zui)杰(jie)出(chu)(chu)的數(shu)(shu)學家”，《四元玉鑒(jian)》是“中國數(shu)(shu)學著作中最(zui)重要(yao)的一部，同時(shi)(shi)也是整個中世(shi)(shi)紀最(zui)杰(jie)出(chu)(chu)的數(shu)(shu)學著作之(zhi)一。”朱世(shi)(shi)杰(jie)不僅是一名杰(jie)出(chu)(chu)的數(shu)(shu)學家，他(ta)還是一位數(shu)(shu)學教育(yu)家，曾(ceng)周游四方各地，教授生(sheng)徒20余年。并親自編著數(shu)(shu)學入門書，稱為《算學啟蒙》。在《算學啟蒙》卷下中，朱世(shi)(shi)杰(jie)提(ti)出(chu)(chu)已(yi)知勾弦和、股(gu)弦和求(qiu)解勾股(gu)形的方法，補(bu)充(chong)了《九(jiu)章算術》的不足。
“燕山朱松庭(ting)先(xian)生”，是(shi)元朝時代的(de)一(yi)位杰出的(de)數(shu)學家(jia)。所寫的(de)《四元玉鑒》和(he)《算學啟蒙(meng)》，是(shi)中國(guo)古(gu)代數(shu)學發展(zhan)進程中的(de)一(yi)個重要的(de)里程碑，是(shi)中國(guo)古(gu)代數(shu)學的(de)一(yi)份寶貴的(de)遺產。13世紀(ji)中葉，朱世杰除了(le)接受(shou)北方的(de)數(shu)學成就(jiu)之(zhi)外，他也吸收了(le)南方的(de)數(shu)學成就(jiu)，尤其是(shi)各種日(ri)用(yong)算法、商(shang)用(yong)算術和(he)通俗化的(de)歌訣(jue)等(deng)等(deng)。
朱世杰曾“周游(you)四(si)方”，莫若（古代數(shu)學(xue)(xue)家）序中(zhong)有(you)“燕山松庭朱先生(sheng)(sheng)以(yi)(yi)數(shu)學(xue)(xue)名(ming)家周游(you)湖海(hai)二(er)十余年(nian)矣。四(si)方之來學(xue)(xue)者日眾(zhong)，先生(sheng)(sheng)遂(sui)發明《九(jiu)章(zhang)》之妙，以(yi)(yi)淑(shu)后圖學(xue)(xue)，為(wei)書三(san)卷……名(ming)曰《四(si)元玉鑒》”，祖頤后序中(zhong)亦有(you)“漢卿名(ming)世杰，松庭其自(zi)號也。周流四(si)方，復游(you)廣陵，踵門而學(xue)(xue)者云集”。經過(guo)長期的(de)(de)游(you)學(xue)(xue)、講學(xue)(xue)等(deng)活動，終于在(zai)1299年(nian)和(he)(he)1303年(nian)，在(zai)揚州，刊刻了他的(de)(de)兩部數(shu)學(xue)(xue)杰作——《算(suan)學(xue)(xue)啟蒙》和(he)(he)《四(si)元玉鑒》。楊輝書中(zhong)的(de)(de)歸除歌訣在(zai)朱世杰所著(zhu)《算(suan)學(xue)(xue)啟蒙》中(zhong)有(you)了進一步的(de)(de)發展。
清(qing)羅士(shi)琳認為：“漢(han)卿(qing)在宋(song)元間(jian)，與秦(qin)(qin)道(dao)古（即秦(qin)(qin)九韶）、李(li)仁卿(qing)可稱鼎足而三(san)。道(dao)古正負開方(fang)，漢(han)卿(qing)天(tian)元如積皆足上下(xia)千古，漢(han)卿(qing)又(you)兼包眾有，充類盡量，神而明之(zhi)，尤超(chao)越乎秦(qin)(qin)、李(li)之(zhi)上”。清(qing)代數學家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦(qin)(qin)、李(li)之(zhi)所長，成(cheng)(cheng)一家之(zhi)著作”。朱世(shi)杰(jie)全面繼(ji)承了并創(chuang)造性地發揚了天(tian)元術、正負開方(fang)法(fa)等秦(qin)(qin)、李(li)書中所載的數學成(cheng)(cheng)就之(zhi)外，還囊括了楊輝書中的日(ri)用、商用、歸除歌(ge)訣之(zhi)類與當時社會生活(huo)密切相關的各種算(suan)法(fa)，并作了新的發展。
