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算籌計數法

在(zai)算(suan)(suan)(suan)(suan)籌(chou)(chou)計(ji)數(shu)(shu)法(fa)(fa)中，以(yi)縱(zong)橫兩(liang)種(zhong)排列方(fang)式(shi)(shi)來(lai)表(biao)(biao)示單(dan)位數(shu)(shu)目的，其(qi)中1-5均分(fen)別以(yi)縱(zong)橫方(fang)式(shi)(shi)排列相應數(shu)(shu)目的算(suan)(suan)(suan)(suan)籌(chou)(chou)來(lai)表(biao)(biao)示，6-9則(ze)以(yi)上面的算(suan)(suan)(suan)(suan)籌(chou)(chou)再加下面相應的算(suan)(suan)(suan)(suan)籌(chou)(chou)來(lai)表(biao)(biao)示。表(biao)(biao)示多(duo)位數(shu)(shu)時，個位用縱(zong)式(shi)(shi)，十位用橫式(shi)(shi)，百(bai)(bai)位用縱(zong)式(shi)(shi)，千(qian)(qian)位用橫式(shi)(shi)，以(yi)此類推(tui)，遇(yu)零(ling)則(ze)置(zhi)空。這種(zhong)計(ji)數(shu)(shu)法(fa)(fa)遵(zun)循一(yi)(yi)百(bai)(bai)進位制(zhi)。據《孫子算(suan)(suan)(suan)(suan)經》記載(zai)，算(suan)(suan)(suan)(suan)籌(chou)(chou)記數(shu)(shu)法(fa)(fa)則(ze)是：凡算(suan)(suan)(suan)(suan)之法(fa)(fa)，先識其(qi)位，一(yi)(yi)縱(zong)十橫，百(bai)(bai)立千(qian)(qian)僵，千(qian)(qian)十相望，萬(wan)百(bai)(bai)相當。《夏陽侯算(suan)(suan)(suan)(suan)經》說：滿六(liu)以(yi)上，五在(zai)上方(fang).六(liu)不(bu)積算(suan)(suan)(suan)(suan)，五不(bu)單(dan)張(zhang)。

發明

算籌的(de)發(fa)明(ming)就是(shi)在以上這些(xie)(xie)記數(shu)方(fang)法的(de)歷(li)史發(fa)展中逐漸產(chan)生的(de)。它最早出現在何時(shi)，已(yi)經(jing)不可查考了，但至遲(chi)到春(chun)秋戰(zhan)國；算籌的(de)使用(yong)已(yi)經(jing)非常普(pu)遍了。前面(mian)說過(guo)，算籌是(shi)一(yi)根(gen)根(gen)同(tong)樣長短和(he)粗細(xi)的(de)小(xiao)棍(gun)子，那么怎樣用(yong)這些(xie)(xie)小(xiao)棍(gun)子來表示各種各樣的(de)數(shu)目呢？

擺法

那么為(wei)什么又(you)要有縱式和橫式兩種不同的(de)擺(bai)法呢(ni)？這(zhe)就(jiu)(jiu)是(shi)因(yin)為(wei)十(shi)(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)的(de)需要了(le)。所(suo)謂(wei)十(shi)(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)，又(you)稱十(shi)(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)值制(zhi)(zhi)(zhi)，包含有兩方面的(de)含義。其一是(shi)"十(shi)(shi)(shi)進(jin)制(zhi)(zhi)(zhi)"，即每滿十(shi)(shi)(shi)數(shu)(shu)(shu)進(jin)一個(ge)(ge)(ge)單位(wei)(wei)，十(shi)(shi)(shi)個(ge)(ge)(ge)一進(jin)為(wei)十(shi)(shi)(shi)，十(shi)(shi)(shi)個(ge)(ge)(ge)十(shi)(shi)(shi)進(jin)為(wei)百(bai)，十(shi)(shi)(shi)個(ge)(ge)(ge)百(bai)進(jin)為(wei)千……其二是(shi)"位(wei)(wei)值制(zhi)(zhi)(zhi)，即每個(ge)(ge)(ge)數(shu)(shu)(shu)碼所(suo)表(biao)(biao)示的(de)數(shu)(shu)(shu)值，不僅取決(jue)(jue)于(yu)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)數(shu)(shu)(shu)碼本(ben)身，而且取決(jue)(jue)于(yu)它(ta)在(zai)記數(shu)(shu)(shu)中所(suo)處的(de)位(wei)(wei)置(zhi)。如同樣是(shi)一個(ge)(ge)(ge)數(shu)(shu)(shu)碼"2"，放在(zai)個(ge)(ge)(ge)位(wei)(wei)上(shang)(shang)表(biao)(biao)示2，放在(zai)十(shi)(shi)(shi)位(wei)(wei)上(shang)(shang)就(jiu)(jiu)表(biao)(biao)示20，放在(zai)百(bai)位(wei)(wei)上(shang)(shang)就(jiu)(jiu)表(biao)(biao)示200，放在(zai)千位(wei)(wei)上(shang)(shang)就(jiu)(jiu)表(biao)(biao)示2000……在(zai)我國(guo)商代(dai)的(de)文字記數(shu)(shu)(shu)系統中，就(jiu)(jiu)已經有了(le)十(shi)(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)值制(zhi)(zhi)(zhi)的(de)萌芽，到(dao)了(le)算籌記數(shu)(shu)(shu)和運算時，就(jiu)(jiu)更是(shi)標準的(de)十(shi)(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)值制(zhi)(zhi)(zhi)了(le)。

早在(zai)兩(liang)千多年(nian)前，我國古代勞動人民(min)就(jiu)發明了(le)乘法(fa)的(de)計(ji)算(suan)方法(fa)。不過，當時的(de)方法(fa)與(yu)現在(zai)的(de)不一(yi)樣，用(yong)(yong)(yong)算(suan)籌(chou)來進行計(ji)算(suan)的(de)。算(suan)籌(chou)就(jiu)是用(yong)(yong)(yong)竹子或其(qi)他材料做成(cheng)的(de)一(yi)根根小(xiao)棒。當時用(yong)(yong)(yong)小(xiao)棒表(biao)示(shi)數的(de)方法(fa)有橫式(shi)和(he)縱式(shi)兩(liang)種(表(biao)示(shi)多位(wei)數時，個(ge)位(wei)用(yong)(yong)(yong)縱式(shi)，十位(wei)用(yong)(yong)(yong)橫式(shi)，百位(wei)用(yong)(yong)(yong)縱式(shi)，千位(wei)用(yong)(yong)(yong)橫式(shi)，依此類推(tui)，遇零則置(zhi)空)。

用(yong)算籌進行乘(cheng)法計算，先擺乘(cheng)數(shu)(shu)(shu)于上(shang)，再(zai)擺被乘(cheng)數(shu)(shu)(shu)于下(xia)(xia)，并(bing)使(shi)上(shang)數(shu)(shu)(shu)的(de)首(shou)位(wei)(wei)與下(xia)(xia)數(shu)(shu)(shu)的(de)末位(wei)(wei)對齊，按從左到右(you)的(de)順(shun)序用(yong)上(shang)數(shu)(shu)(shu)首(shou)位(wei)(wei)乘(cheng)下(xia)(xia)數(shu)(shu)(shu)各(ge)位(wei)(wei)，把(ba)乘(cheng)得的(de)積(ji)擺在上(shang)下(xia)(xia)兩數(shu)(shu)(shu)中間，然(ran)后將上(shang)數(shu)(shu)(shu)的(de)首(shou)位(wei)(wei)去掉(diao)、下(xia)(xia)數(shu)(shu)(shu)向右(you)移動一位(wei)(wei)，再(zai)以上(shang)數(shu)(shu)(shu)第二位(wei)(wei)乘(cheng)下(xia)(xia)數(shu)(shu)(shu)各(ge)位(wei)(wei)，加入中間的(de)乘(cheng)積(ji)，并(bing)去掉(diao)上(shang)數(shu)(shu)(shu)第二位(wei)(wei)。直(zhi)到上(shang)數(shu)(shu)(shu)各(ge)位(wei)(wei)用(yong)完，中間的(de)數(shu)(shu)(shu)便(bian)是結果(guo)。下(xia)(xia)面以183×26為例具體(ti)說明一下(xia)(xia)：

1．把乘(cheng)數(shu)26擺(bai)在上面，被乘(cheng)數(shu)183擺(bai)在下面，被乘(cheng)數(shu)的個(ge)位(wei)與乘(cheng)數(shu)的十位(wei)對齊，中間留(liu)有空余，準備(bei)擺(bai)乘(cheng)得的積(如圖2)；

2．從高位乘(cheng)起(qi)，用乘(cheng)數(shu)(shu)十位上(shang)的2乘(cheng)被乘(cheng)數(shu)(shu)183，得3660，擺在中間(jian)，積(ji)的數(shu)(shu)位與被乘(cheng)數(shu)(shu)對齊(如圖3，積(ji)的個位0用空位表示)；

3．去(qu)掉已乘(cheng)過的(de)乘(cheng)數(shu)十位(wei)(wei)上的(de)數(shu)字2，把乘(cheng)數(shu)個位(wei)(wei)6移至與(yu)被乘(cheng)數(shu)的(de)個位(wei)(wei)對齊(qi)的(de)位(wei)(wei)置(如(ru)圖4)；

4．用(yong)乘數(shu)個(ge)位6乘被(bei)乘數(shu)183，所(suo)得(de)的積與3660相加，最后得(de)積4758(如(ru)圖5)。

規則

按照中(zhong)國古代(dai)的(de)籌(chou)(chou)算(suan)規則(ze)，算(suan)籌(chou)(chou)記(ji)數(shu)(shu)的(de)表示方(fang)法為：個(ge)位(wei)用(yong)(yong)縱(zong)(zong)(zong)式(shi)，十位(wei)用(yong)(yong)橫(heng)式(shi)，百位(wei)再(zai)用(yong)(yong)縱(zong)(zong)(zong)式(shi)，千位(wei)再(zai)用(yong)(yong)橫(heng)式(shi)，萬位(wei)再(zai)用(yong)(yong)縱(zong)(zong)(zong)式(shi)等等（到(dao)搜狗可(ke)以(yi)(yi)查）這樣(yang)從(cong)右到(dao)左(zuo)，縱(zong)(zong)(zong)橫(heng)相間，以(yi)(yi)此類(lei)推，就(jiu)可(ke)以(yi)(yi)用(yong)(yong)算(suan)籌(chou)(chou)表示出任意大的(de)自然數(shu)(shu)了。由于它位(wei)與位(wei)之間的(de)縱(zong)(zong)(zong)橫(heng)變換，且每一位(wei)都有(you)固定(ding)的(de)擺法，所以(yi)(yi)既(ji)不會混淆，也不會錯位(wei)。毫無疑問(wen)，這樣(yang)一種算(suan)籌(chou)(chou)記(ji)數(shu)(shu)法和現代(dai)通行的(de)十進位(wei)制記(ji)數(shu)(shu)法是完全一致的(de)。

十進位制的算籌

中(zhong)國古(gu)代(dai)(dai)十(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)的(de)(de)算(suan)籌(chou)記(ji)(ji)數(shu)(shu)(shu)法(fa)(fa)，在(zai)世界(jie)數(shu)(shu)(shu)學(xue)史上是(shi)(shi)一(yi)(yi)個(ge)偉(wei)大的(de)(de)創造。把它與(yu)世界(jie)其他(ta)古(gu)老民族的(de)(de)記(ji)(ji)數(shu)(shu)(shu)法(fa)(fa)作一(yi)(yi)比較，其優越性是(shi)(shi)顯而易見的(de)(de)。古(gu)羅馬的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)字系(xi)統沒有位(wei)(wei)值制(zhi)(zhi)(zhi)，只(zhi)有七(qi)個(ge)基本符(fu)號，如要(yao)記(ji)(ji)稍大一(yi)(yi)點的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)目就相當(dang)繁(fan)(fan)難。古(gu)美洲瑪雅人雖然懂(dong)得(de)(de)位(wei)(wei)值制(zhi)(zhi)(zhi)，但用(yong)的(de)(de)是(shi)(shi)20進(jin)位(wei)(wei)；古(gu)巴比倫人也知道位(wei)(wei)值制(zhi)(zhi)(zhi)，但用(yong)的(de)(de)是(shi)(shi)60進(jin)位(wei)(wei)。20進(jin)位(wei)(wei)至少需要(yao)19個(ge)數(shu)(shu)(shu)碼，60進(jin)位(wei)(wei)則(ze)需要(yao)59個(ge)數(shu)(shu)(shu)碼，這(zhe)就使記(ji)(ji)數(shu)(shu)(shu)和運算(suan)變得(de)(de)十(shi)(shi)分(fen)繁(fan)(fan)復，遠不如只(zhi)用(yong)9個(ge)數(shu)(shu)(shu)碼便可表(biao)示任意自然數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)十(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)來得(de)(de)簡捷方便。中(zhong)國古(gu)代(dai)(dai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)之(zhi)所以在(zai)計(ji)算(suan)方面取得(de)(de)許(xu)多卓(zhuo)越的(de)(de)成就，在(zai)一(yi)(yi)定程(cheng)度上應(ying)該歸功于這(zhe)一(yi)(yi)符(fu)合十(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)的(de)(de)算(suan)籌(chou)記(ji)(ji)數(shu)(shu)(shu)法(fa)(fa)。馬克思在(zai)他(ta)的(de)(de)《數(shu)(shu)(shu)學(xue)手稿》一(yi)(yi)書中(zhong)稱十(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)記(ji)(ji)數(shu)(shu)(shu)法(fa)(fa)為"最妙的(de)(de)發明之(zhi)一(yi)(yi)"，當(dang)然是(shi)(shi)一(yi)(yi)點也不過分(fen)。

古代數學成就

在(zai)算(suan)籌計數(shu)(shu)法中，以縱(zong)橫兩種(zhong)排列方式(shi)來表(biao)示(shi)單位(wei)數(shu)(shu)目的，其中1-5均分別以縱(zong)橫方式(shi)排列相應數(shu)(shu)目的算(suan)籌來表(biao)示(shi)，6-9則以上面的算(suan)籌再(zai)加下面相應的算(suan)籌來表(biao)示(shi)。表(biao)示(shi)多位(wei)數(shu)(shu)時，個位(wei)用(yong)縱(zong)式(shi)，十位(wei)用(yong)橫式(shi)，百位(wei)用(yong)縱(zong)式(shi)，千位(wei)用(yong)橫式(shi)，以此(ci)類(lei)推(tui)(tui)，遇零(ling)則置空。這種(zhong)計數(shu)(shu)法遵(zun)循十進位(wei)制。算(suan)籌的出現年(nian)代已經不可考，但據史料(liao)推(tui)(tui)測，算(suan)籌最晚出現在(zai)春秋晚期戰(zhan)國(guo)初年(nian)（公元前722年(nian)～公元前221年(nian)）。

兩千多(duo)年前我們(men)的(de)(de)(de)祖先就懂得了這(zhe)(zhe)樣(yang)精妙的(de)(de)(de)計算(suan)，真是神奇！在這(zhe)(zhe)當(dang)中，算(suan)籌功不可(ke)沒，它是在珠算(suan)發(fa)明以前中國獨(du)創并且是最有效的(de)(de)(de)計算(suan)工具。中國古(gu)代數學(xue)的(de)(de)(de)早(zao)期發(fa)達與持(chi)續發(fa)展都是受惠(hui)于(yu)算(suan)籌的(de)(de)(de)。