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算籌計數法

在算(suan)籌(chou)(chou)計數(shu)(shu)法(fa)中(zhong)，以(yi)(yi)縱(zong)橫(heng)(heng)兩種排列方(fang)式(shi)(shi)來表示(shi)單位(wei)(wei)數(shu)(shu)目的，其中(zhong)1-5均分(fen)別(bie)以(yi)(yi)縱(zong)橫(heng)(heng)方(fang)式(shi)(shi)排列相(xiang)(xiang)應(ying)數(shu)(shu)目的算(suan)籌(chou)(chou)來表示(shi)，6-9則以(yi)(yi)上面的算(suan)籌(chou)(chou)再(zai)加(jia)下面相(xiang)(xiang)應(ying)的算(suan)籌(chou)(chou)來表示(shi)。表示(shi)多(duo)位(wei)(wei)數(shu)(shu)時，個位(wei)(wei)用(yong)縱(zong)式(shi)(shi)，十(shi)位(wei)(wei)用(yong)橫(heng)(heng)式(shi)(shi)，百(bai)(bai)位(wei)(wei)用(yong)縱(zong)式(shi)(shi)，千(qian)位(wei)(wei)用(yong)橫(heng)(heng)式(shi)(shi)，以(yi)(yi)此類推(tui)，遇(yu)零則置(zhi)空。這種計數(shu)(shu)法(fa)遵循一百(bai)(bai)進(jin)位(wei)(wei)制。據(ju)《孫子算(suan)經》記(ji)載，算(suan)籌(chou)(chou)記(ji)數(shu)(shu)法(fa)則是：凡算(suan)之法(fa)，先(xian)識其位(wei)(wei)，一縱(zong)十(shi)橫(heng)(heng)，百(bai)(bai)立千(qian)僵，千(qian)十(shi)相(xiang)(xiang)望，萬百(bai)(bai)相(xiang)(xiang)當。《夏陽侯算(suan)經》說：滿六(liu)以(yi)(yi)上，五在上方(fang).六(liu)不(bu)(bu)積算(suan)，五不(bu)(bu)單張。

發明

算(suan)籌(chou)的(de)發(fa)明就(jiu)是在以上這(zhe)些記數方法的(de)歷史發(fa)展中(zhong)逐漸產生的(de)。它(ta)最(zui)早出現在何(he)時，已經(jing)不(bu)可查考(kao)了，但至遲(chi)到(dao)春秋戰國；算(suan)籌(chou)的(de)使用已經(jing)非常普(pu)遍(bian)了。前面說過(guo)，算(suan)籌(chou)是一根根同樣(yang)長(chang)短和粗細的(de)小棍(gun)(gun)子，那么怎樣(yang)用這(zhe)些小棍(gun)(gun)子來表示各(ge)種各(ge)樣(yang)的(de)數目(mu)呢(ni)？

擺法

那么為(wei)什么又要(yao)有縱式(shi)和(he)橫式(shi)兩種不同的擺(bai)法呢？這就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)因(yin)為(wei)十(shi)(shi)(shi)進(jin)(jin)(jin)位(wei)(wei)制(zhi)的需要(yao)了。所謂十(shi)(shi)(shi)進(jin)(jin)(jin)位(wei)(wei)制(zhi)，又稱十(shi)(shi)(shi)進(jin)(jin)(jin)位(wei)(wei)值(zhi)制(zhi)，包含(han)有兩方面的含(han)義。其一是(shi)(shi)"十(shi)(shi)(shi)進(jin)(jin)(jin)制(zhi)"，即每滿十(shi)(shi)(shi)數(shu)(shu)(shu)進(jin)(jin)(jin)一個單位(wei)(wei)，十(shi)(shi)(shi)個一進(jin)(jin)(jin)為(wei)十(shi)(shi)(shi)，十(shi)(shi)(shi)個十(shi)(shi)(shi)進(jin)(jin)(jin)為(wei)百(bai)，十(shi)(shi)(shi)個百(bai)進(jin)(jin)(jin)為(wei)千(qian)……其二是(shi)(shi)"位(wei)(wei)值(zhi)制(zhi)，即每個數(shu)(shu)(shu)碼所表示(shi)的數(shu)(shu)(shu)值(zhi)，不僅取(qu)決(jue)(jue)于這個數(shu)(shu)(shu)碼本(ben)身，而且(qie)取(qu)決(jue)(jue)于它在(zai)記數(shu)(shu)(shu)中所處的位(wei)(wei)置。如同樣是(shi)(shi)一個數(shu)(shu)(shu)碼"2"，放在(zai)個位(wei)(wei)上(shang)表示(shi)2，放在(zai)十(shi)(shi)(shi)位(wei)(wei)上(shang)就(jiu)(jiu)表示(shi)20，放在(zai)百(bai)位(wei)(wei)上(shang)就(jiu)(jiu)表示(shi)200，放在(zai)千(qian)位(wei)(wei)上(shang)就(jiu)(jiu)表示(shi)2000……在(zai)我(wo)國商(shang)代的文字記數(shu)(shu)(shu)系統中，就(jiu)(jiu)已經有了十(shi)(shi)(shi)進(jin)(jin)(jin)位(wei)(wei)值(zhi)制(zhi)的萌芽，到了算籌記數(shu)(shu)(shu)和(he)運(yun)算時，就(jiu)(jiu)更是(shi)(shi)標準的十(shi)(shi)(shi)進(jin)(jin)(jin)位(wei)(wei)值(zhi)制(zhi)了。

早在兩千多年前，我國古代勞動人(ren)民就發明了乘法(fa)的(de)計算方法(fa)。不過，當(dang)時的(de)方法(fa)與現(xian)在的(de)不一(yi)樣，用算籌來進行計算的(de)。算籌就是用竹子或其他材料做成的(de)一(yi)根根小棒。當(dang)時用小棒表示數(shu)的(de)方法(fa)有橫(heng)式(shi)和縱(zong)式(shi)兩種(表示多位(wei)數(shu)時，個位(wei)用縱(zong)式(shi)，十(shi)位(wei)用橫(heng)式(shi)，百位(wei)用縱(zong)式(shi)，千位(wei)用橫(heng)式(shi)，依此類推，遇零則置空(kong))。

用(yong)算(suan)籌進行乘(cheng)法(fa)計算(suan)，先擺(bai)乘(cheng)數(shu)(shu)(shu)于(yu)上(shang)(shang)，再(zai)擺(bai)被乘(cheng)數(shu)(shu)(shu)于(yu)下(xia)(xia)，并(bing)使上(shang)(shang)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)首(shou)位(wei)(wei)(wei)與下(xia)(xia)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)末位(wei)(wei)(wei)對齊，按從左到右(you)的(de)(de)順序用(yong)上(shang)(shang)數(shu)(shu)(shu)首(shou)位(wei)(wei)(wei)乘(cheng)下(xia)(xia)數(shu)(shu)(shu)各位(wei)(wei)(wei)，把(ba)乘(cheng)得的(de)(de)積擺(bai)在上(shang)(shang)下(xia)(xia)兩數(shu)(shu)(shu)中(zhong)(zhong)(zhong)間，然(ran)后將上(shang)(shang)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)首(shou)位(wei)(wei)(wei)去(qu)掉、下(xia)(xia)數(shu)(shu)(shu)向右(you)移動(dong)一位(wei)(wei)(wei)，再(zai)以上(shang)(shang)數(shu)(shu)(shu)第二位(wei)(wei)(wei)乘(cheng)下(xia)(xia)數(shu)(shu)(shu)各位(wei)(wei)(wei)，加(jia)入(ru)中(zhong)(zhong)(zhong)間的(de)(de)乘(cheng)積，并(bing)去(qu)掉上(shang)(shang)數(shu)(shu)(shu)第二位(wei)(wei)(wei)。直(zhi)到上(shang)(shang)數(shu)(shu)(shu)各位(wei)(wei)(wei)用(yong)完(wan)，中(zhong)(zhong)(zhong)間的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)便是結果。下(xia)(xia)面以183×26為例(li)具(ju)體說明一下(xia)(xia)：

1．把乘(cheng)數(shu)26擺(bai)在上面，被乘(cheng)數(shu)183擺(bai)在下面，被乘(cheng)數(shu)的個位與乘(cheng)數(shu)的十位對齊，中(zhong)間留有空余，準備(bei)擺(bai)乘(cheng)得的積(如圖2)；

2．從(cong)高(gao)位(wei)(wei)(wei)乘(cheng)起(qi)，用(yong)乘(cheng)數(shu)(shu)(shu)十(shi)位(wei)(wei)(wei)上的2乘(cheng)被乘(cheng)數(shu)(shu)(shu)183，得(de)3660，擺在(zai)中間(jian)，積的數(shu)(shu)(shu)位(wei)(wei)(wei)與被乘(cheng)數(shu)(shu)(shu)對齊(如(ru)圖3，積的個位(wei)(wei)(wei)0用(yong)空位(wei)(wei)(wei)表示)；

3．去掉(diao)已(yi)乘(cheng)過的(de)(de)乘(cheng)數十位(wei)上的(de)(de)數字2，把乘(cheng)數個位(wei)6移至與被乘(cheng)數的(de)(de)個位(wei)對齊的(de)(de)位(wei)置(如圖(tu)4)；

4．用乘(cheng)(cheng)數個位6乘(cheng)(cheng)被乘(cheng)(cheng)數183，所得的積與(yu)3660相加，最后得積4758(如圖5)。

規則

按照中(zhong)國(guo)古代的(de)(de)籌(chou)算規則，算籌(chou)記(ji)數的(de)(de)表示方法為(wei)：個位(wei)(wei)(wei)用(yong)縱(zong)式(shi)(shi)，十位(wei)(wei)(wei)用(yong)橫式(shi)(shi)，百位(wei)(wei)(wei)再(zai)用(yong)縱(zong)式(shi)(shi)，千位(wei)(wei)(wei)再(zai)用(yong)橫式(shi)(shi)，萬位(wei)(wei)(wei)再(zai)用(yong)縱(zong)式(shi)(shi)等(deng)等(deng)（到搜狗可以(yi)查(cha)）這(zhe)(zhe)樣(yang)從右(you)到左，縱(zong)橫相(xiang)間(jian)，以(yi)此類推，就可以(yi)用(yong)算籌(chou)表示出(chu)任意大的(de)(de)自然數了。由于(yu)它位(wei)(wei)(wei)與位(wei)(wei)(wei)之(zhi)間(jian)的(de)(de)縱(zong)橫變(bian)換，且(qie)每一位(wei)(wei)(wei)都有(you)固(gu)定的(de)(de)擺(bai)法，所以(yi)既不會混淆(xiao)，也不會錯位(wei)(wei)(wei)。毫無(wu)疑問，這(zhe)(zhe)樣(yang)一種算籌(chou)記(ji)數法和現(xian)代通行(xing)的(de)(de)十進位(wei)(wei)(wei)制記(ji)數法是完全一致的(de)(de)。

十進位制的算籌

中國古(gu)代十(shi)進(jin)位制(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)算籌(chou)記(ji)數(shu)(shu)法，在世界數(shu)(shu)學(xue)史上(shang)是(shi)一(yi)個(ge)偉大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)創造。把它與世界其他古(gu)老(lao)民族的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)記(ji)數(shu)(shu)法作一(yi)比(bi)(bi)較，其優越(yue)性是(shi)顯而易見的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。古(gu)羅馬的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)字系(xi)統(tong)沒有(you)位值(zhi)(zhi)制(zhi)，只有(you)七個(ge)基本(ben)符號，如(ru)要記(ji)稍大(da)一(yi)點的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)目(mu)就相當繁難。古(gu)美(mei)洲瑪雅(ya)人雖然懂(dong)得位值(zhi)(zhi)制(zhi)，但用(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)20進(jin)位；古(gu)巴比(bi)(bi)倫(lun)人也知(zhi)道位值(zhi)(zhi)制(zhi)，但用(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)60進(jin)位。20進(jin)位至少(shao)需要19個(ge)數(shu)(shu)碼(ma)，60進(jin)位則(ze)需要59個(ge)數(shu)(shu)碼(ma)，這(zhe)就使記(ji)數(shu)(shu)和運算變得十(shi)分(fen)繁復(fu)，遠不如(ru)只用(yong)9個(ge)數(shu)(shu)碼(ma)便(bian)可表示任意自然數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)十(shi)進(jin)位制(zhi)來得簡捷方便(bian)。中國古(gu)代數(shu)(shu)學(xue)之所以在計(ji)算方面取得許多(duo)卓越(yue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)成就，在一(yi)定程度上(shang)應該(gai)歸功(gong)于這(zhe)一(yi)符合十(shi)進(jin)位制(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)算籌(chou)記(ji)數(shu)(shu)法。馬克思在他的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《數(shu)(shu)學(xue)手稿》一(yi)書(shu)中稱十(shi)進(jin)位記(ji)數(shu)(shu)法為(wei)"最妙的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)發(fa)明之一(yi)"，當然是(shi)一(yi)點也不過分(fen)。

古代數學成就

在(zai)算(suan)(suan)籌(chou)(chou)(chou)計(ji)數法(fa)中，以(yi)縱(zong)橫(heng)兩種排列(lie)方(fang)式(shi)(shi)來表(biao)示(shi)單(dan)位(wei)(wei)數目的(de)(de)，其中1-5均分別以(yi)縱(zong)橫(heng)方(fang)式(shi)(shi)排列(lie)相應數目的(de)(de)算(suan)(suan)籌(chou)(chou)(chou)來表(biao)示(shi)，6-9則(ze)以(yi)上面的(de)(de)算(suan)(suan)籌(chou)(chou)(chou)再加(jia)下面相應的(de)(de)算(suan)(suan)籌(chou)(chou)(chou)來表(biao)示(shi)。表(biao)示(shi)多位(wei)(wei)數時，個位(wei)(wei)用(yong)縱(zong)式(shi)(shi)，十位(wei)(wei)用(yong)橫(heng)式(shi)(shi)，百(bai)位(wei)(wei)用(yong)縱(zong)式(shi)(shi)，千(qian)位(wei)(wei)用(yong)橫(heng)式(shi)(shi)，以(yi)此類推，遇零(ling)則(ze)置空。這種計(ji)數法(fa)遵循十進位(wei)(wei)制。算(suan)(suan)籌(chou)(chou)(chou)的(de)(de)出現年代已經不可考，但據史料推測，算(suan)(suan)籌(chou)(chou)(chou)最晚出現在(zai)春(chun)秋晚期戰國初年（公元(yuan)前722年～公元(yuan)前221年）。

兩千多年前(qian)我們(men)的(de)(de)祖先就懂得了這樣精妙(miao)的(de)(de)計(ji)算，真是(shi)神奇！在這當中，算籌功(gong)不(bu)可沒，它是(shi)在珠算發明以前(qian)中國獨創并且是(shi)最有效(xiao)的(de)(de)計(ji)算工(gong)具(ju)。中國古代數學的(de)(de)早(zao)期發達與(yu)持續發展都是(shi)受惠于算籌的(de)(de)。