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算籌計數法

在(zai)算(suan)(suan)(suan)(suan)籌(chou)(chou)計(ji)數(shu)(shu)法(fa)(fa)中(zhong)，以(yi)縱(zong)橫兩種排列(lie)方式來(lai)(lai)表示單位(wei)數(shu)(shu)目的，其中(zhong)1-5均分別以(yi)縱(zong)橫方式排列(lie)相(xiang)(xiang)應數(shu)(shu)目的算(suan)(suan)(suan)(suan)籌(chou)(chou)來(lai)(lai)表示，6-9則(ze)以(yi)上面(mian)的算(suan)(suan)(suan)(suan)籌(chou)(chou)再加下(xia)面(mian)相(xiang)(xiang)應的算(suan)(suan)(suan)(suan)籌(chou)(chou)來(lai)(lai)表示。表示多(duo)位(wei)數(shu)(shu)時，個位(wei)用(yong)(yong)(yong)縱(zong)式，十(shi)位(wei)用(yong)(yong)(yong)橫式，百位(wei)用(yong)(yong)(yong)縱(zong)式，千位(wei)用(yong)(yong)(yong)橫式，以(yi)此(ci)類推(tui)，遇零(ling)則(ze)置空(kong)。這種計(ji)數(shu)(shu)法(fa)(fa)遵循一(yi)百進位(wei)制。據《孫(sun)子算(suan)(suan)(suan)(suan)經》記載，算(suan)(suan)(suan)(suan)籌(chou)(chou)記數(shu)(shu)法(fa)(fa)則(ze)是：凡算(suan)(suan)(suan)(suan)之法(fa)(fa)，先識其位(wei)，一(yi)縱(zong)十(shi)橫，百立千僵，千十(shi)相(xiang)(xiang)望，萬百相(xiang)(xiang)當(dang)。《夏(xia)陽(yang)侯算(suan)(suan)(suan)(suan)經》說(shuo)：滿六以(yi)上，五(wu)在(zai)上方.六不(bu)積算(suan)(suan)(suan)(suan)，五(wu)不(bu)單張。

發明

算籌的(de)(de)(de)發明就是(shi)在以上這些記數(shu)方法的(de)(de)(de)歷史發展中(zhong)逐(zhu)漸產生的(de)(de)(de)。它最早(zao)出現在何時，已(yi)經(jing)不可(ke)查(cha)考了，但(dan)至(zhi)遲到春秋戰國；算籌的(de)(de)(de)使用已(yi)經(jing)非常普遍了。前面說過(guo)，算籌是(shi)一(yi)根(gen)根(gen)同樣長短和(he)粗(cu)細的(de)(de)(de)小棍子(zi)，那么怎樣用這些小棍子(zi)來表示各種各樣的(de)(de)(de)數(shu)目呢？

擺法

那么(me)為(wei)什么(me)又要有(you)縱式和(he)橫(heng)式兩種不(bu)同的(de)擺法呢(ni)？這就(jiu)是(shi)(shi)因為(wei)十(shi)(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)的(de)需要了。所(suo)謂十(shi)(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)，又稱十(shi)(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)(wei)(wei)值(zhi)制(zhi)，包含有(you)兩方面的(de)含義(yi)。其一(yi)是(shi)(shi)"十(shi)(shi)(shi)進(jin)制(zhi)"，即每滿十(shi)(shi)(shi)數(shu)(shu)(shu)進(jin)一(yi)個(ge)單位(wei)(wei)(wei)(wei)，十(shi)(shi)(shi)個(ge)一(yi)進(jin)為(wei)十(shi)(shi)(shi)，十(shi)(shi)(shi)個(ge)十(shi)(shi)(shi)進(jin)為(wei)百，十(shi)(shi)(shi)個(ge)百進(jin)為(wei)千(qian)……其二是(shi)(shi)"位(wei)(wei)(wei)(wei)值(zhi)制(zhi)，即每個(ge)數(shu)(shu)(shu)碼(ma)所(suo)表示的(de)數(shu)(shu)(shu)值(zhi)，不(bu)僅(jin)取決于這個(ge)數(shu)(shu)(shu)碼(ma)本(ben)身(shen)，而且取決于它(ta)在(zai)記(ji)數(shu)(shu)(shu)中(zhong)所(suo)處的(de)位(wei)(wei)(wei)(wei)置(zhi)。如(ru)同樣(yang)是(shi)(shi)一(yi)個(ge)數(shu)(shu)(shu)碼(ma)"2"，放(fang)在(zai)個(ge)位(wei)(wei)(wei)(wei)上(shang)(shang)表示2，放(fang)在(zai)十(shi)(shi)(shi)位(wei)(wei)(wei)(wei)上(shang)(shang)就(jiu)表示20，放(fang)在(zai)百位(wei)(wei)(wei)(wei)上(shang)(shang)就(jiu)表示200，放(fang)在(zai)千(qian)位(wei)(wei)(wei)(wei)上(shang)(shang)就(jiu)表示2000……在(zai)我國商代的(de)文字記(ji)數(shu)(shu)(shu)系統中(zhong)，就(jiu)已經有(you)了十(shi)(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)(wei)(wei)值(zhi)制(zhi)的(de)萌芽，到了算籌(chou)記(ji)數(shu)(shu)(shu)和(he)運算時，就(jiu)更是(shi)(shi)標準的(de)十(shi)(shi)(shi)進(jin)位(wei)(wei)(wei)(wei)值(zhi)制(zhi)了。

早(zao)在兩千多年前，我國(guo)古代勞動人(ren)民就發(fa)明了乘法的(de)計算方(fang)法。不過，當(dang)時(shi)的(de)方(fang)法與現在的(de)不一樣，用算籌來進行(xing)計算的(de)。算籌就是(shi)用竹子或(huo)其他(ta)材料(liao)做成的(de)一根(gen)根(gen)小棒。當(dang)時(shi)用小棒表示數(shu)的(de)方(fang)法有橫(heng)式(shi)和縱(zong)式(shi)兩種(表示多位(wei)數(shu)時(shi)，個位(wei)用縱(zong)式(shi)，十位(wei)用橫(heng)式(shi)，百(bai)位(wei)用縱(zong)式(shi)，千位(wei)用橫(heng)式(shi)，依此類推，遇零則置空)。

用算(suan)籌進行乘法計(ji)算(suan)，先擺乘數(shu)(shu)于上(shang)(shang)(shang)(shang)，再擺被乘數(shu)(shu)于下(xia)(xia)(xia)(xia)，并使上(shang)(shang)(shang)(shang)數(shu)(shu)的(de)(de)首位(wei)(wei)與下(xia)(xia)(xia)(xia)數(shu)(shu)的(de)(de)末位(wei)(wei)對齊，按從左到(dao)右(you)的(de)(de)順序用上(shang)(shang)(shang)(shang)數(shu)(shu)首位(wei)(wei)乘下(xia)(xia)(xia)(xia)數(shu)(shu)各(ge)(ge)位(wei)(wei)，把乘得的(de)(de)積擺在(zai)上(shang)(shang)(shang)(shang)下(xia)(xia)(xia)(xia)兩數(shu)(shu)中間，然后將(jiang)上(shang)(shang)(shang)(shang)數(shu)(shu)的(de)(de)首位(wei)(wei)去掉、下(xia)(xia)(xia)(xia)數(shu)(shu)向右(you)移(yi)動(dong)一(yi)位(wei)(wei)，再以(yi)上(shang)(shang)(shang)(shang)數(shu)(shu)第二位(wei)(wei)乘下(xia)(xia)(xia)(xia)數(shu)(shu)各(ge)(ge)位(wei)(wei)，加入中間的(de)(de)乘積，并去掉上(shang)(shang)(shang)(shang)數(shu)(shu)第二位(wei)(wei)。直到(dao)上(shang)(shang)(shang)(shang)數(shu)(shu)各(ge)(ge)位(wei)(wei)用完(wan)，中間的(de)(de)數(shu)(shu)便是結果(guo)。下(xia)(xia)(xia)(xia)面以(yi)183×26為例具體(ti)說明(ming)一(yi)下(xia)(xia)(xia)(xia)：

1．把(ba)乘(cheng)數(shu)(shu)26擺(bai)在上面，被乘(cheng)數(shu)(shu)183擺(bai)在下面，被乘(cheng)數(shu)(shu)的個位與乘(cheng)數(shu)(shu)的十位對齊，中間留有(you)空余，準備(bei)擺(bai)乘(cheng)得(de)的積(如圖2)；

2．從(cong)高位(wei)(wei)乘起，用乘數(shu)(shu)十位(wei)(wei)上的2乘被乘數(shu)(shu)183，得(de)3660，擺在中間，積的數(shu)(shu)位(wei)(wei)與被乘數(shu)(shu)對齊(如圖3，積的個位(wei)(wei)0用空位(wei)(wei)表示)；

3．去掉已(yi)乘過的(de)(de)乘數十位上的(de)(de)數字2，把乘數個位6移至與被乘數的(de)(de)個位對齊的(de)(de)位置(如圖4)；

4．用乘數(shu)個(ge)位(wei)6乘被乘數(shu)183，所(suo)得的積與3660相(xiang)加，最(zui)后得積4758(如圖5)。

規則

按照中(zhong)國(guo)古代(dai)的(de)(de)籌(chou)算(suan)(suan)規則，算(suan)(suan)籌(chou)記(ji)(ji)數的(de)(de)表示(shi)方法(fa)(fa)為：個(ge)位(wei)(wei)(wei)(wei)用(yong)縱式(shi)(shi)(shi)，十位(wei)(wei)(wei)(wei)用(yong)橫式(shi)(shi)(shi)，百位(wei)(wei)(wei)(wei)再用(yong)縱式(shi)(shi)(shi)，千位(wei)(wei)(wei)(wei)再用(yong)橫式(shi)(shi)(shi)，萬位(wei)(wei)(wei)(wei)再用(yong)縱式(shi)(shi)(shi)等(deng)等(deng)（到(dao)搜狗可以(yi)查）這樣從右到(dao)左，縱橫相間，以(yi)此類推，就可以(yi)用(yong)算(suan)(suan)籌(chou)表示(shi)出任意大(da)的(de)(de)自然數了。由于它位(wei)(wei)(wei)(wei)與位(wei)(wei)(wei)(wei)之間的(de)(de)縱橫變換(huan)，且每一(yi)位(wei)(wei)(wei)(wei)都有固定的(de)(de)擺法(fa)(fa)，所(suo)以(yi)既不(bu)會(hui)(hui)混淆，也不(bu)會(hui)(hui)錯位(wei)(wei)(wei)(wei)。毫無疑(yi)問，這樣一(yi)種算(suan)(suan)籌(chou)記(ji)(ji)數法(fa)(fa)和現代(dai)通行的(de)(de)十進位(wei)(wei)(wei)(wei)制記(ji)(ji)數法(fa)(fa)是完全一(yi)致(zhi)的(de)(de)。

十進位制的算籌

中(zhong)國(guo)古代十(shi)(shi)進(jin)(jin)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)的(de)(de)(de)算(suan)(suan)籌記(ji)(ji)數(shu)法(fa)，在世界數(shu)學(xue)史上是(shi)(shi)一(yi)(yi)(yi)個偉(wei)大的(de)(de)(de)創造(zao)。把它與世界其他(ta)古老民(min)族的(de)(de)(de)記(ji)(ji)數(shu)法(fa)作一(yi)(yi)(yi)比(bi)(bi)較(jiao)，其優越性是(shi)(shi)顯而易見的(de)(de)(de)。古羅(luo)馬的(de)(de)(de)數(shu)字系統沒(mei)有位(wei)(wei)(wei)值制(zhi)，只有七個基本符號，如要記(ji)(ji)稍大一(yi)(yi)(yi)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)數(shu)目(mu)就相(xiang)當繁(fan)難。古美洲瑪雅人(ren)雖然懂得位(wei)(wei)(wei)值制(zhi)，但用(yong)的(de)(de)(de)是(shi)(shi)20進(jin)(jin)位(wei)(wei)(wei)；古巴比(bi)(bi)倫人(ren)也知(zhi)道位(wei)(wei)(wei)值制(zhi)，但用(yong)的(de)(de)(de)是(shi)(shi)60進(jin)(jin)位(wei)(wei)(wei)。20進(jin)(jin)位(wei)(wei)(wei)至少需要19個數(shu)碼(ma)(ma)，60進(jin)(jin)位(wei)(wei)(wei)則需要59個數(shu)碼(ma)(ma)，這(zhe)就使記(ji)(ji)數(shu)和運算(suan)(suan)變(bian)得十(shi)(shi)分(fen)繁(fan)復，遠(yuan)不(bu)如只用(yong)9個數(shu)碼(ma)(ma)便可表示任意自(zi)然數(shu)的(de)(de)(de)十(shi)(shi)進(jin)(jin)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)來得簡捷方便。中(zhong)國(guo)古代數(shu)學(xue)之所(suo)以在計算(suan)(suan)方面(mian)取得許多卓越的(de)(de)(de)成就，在一(yi)(yi)(yi)定程度(du)上應該歸功于(yu)這(zhe)一(yi)(yi)(yi)符合十(shi)(shi)進(jin)(jin)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)的(de)(de)(de)算(suan)(suan)籌記(ji)(ji)數(shu)法(fa)。馬克思在他(ta)的(de)(de)(de)《數(shu)學(xue)手稿》一(yi)(yi)(yi)書中(zhong)稱十(shi)(shi)進(jin)(jin)位(wei)(wei)(wei)記(ji)(ji)數(shu)法(fa)為(wei)"最妙的(de)(de)(de)發明之一(yi)(yi)(yi)"，當然是(shi)(shi)一(yi)(yi)(yi)點(dian)(dian)也不(bu)過分(fen)。

古代數學成就

在(zai)(zai)算(suan)(suan)(suan)籌(chou)計(ji)數(shu)法(fa)中，以(yi)縱(zong)(zong)橫(heng)兩種(zhong)排列方式(shi)(shi)(shi)來表示(shi)(shi)單位數(shu)目(mu)的(de)，其(qi)中1-5均分別以(yi)縱(zong)(zong)橫(heng)方式(shi)(shi)(shi)排列相應數(shu)目(mu)的(de)算(suan)(suan)(suan)籌(chou)來表示(shi)(shi)，6-9則以(yi)上面(mian)的(de)算(suan)(suan)(suan)籌(chou)再加下面(mian)相應的(de)算(suan)(suan)(suan)籌(chou)來表示(shi)(shi)。表示(shi)(shi)多位數(shu)時，個位用(yong)縱(zong)(zong)式(shi)(shi)(shi)，十位用(yong)橫(heng)式(shi)(shi)(shi)，百位用(yong)縱(zong)(zong)式(shi)(shi)(shi)，千(qian)位用(yong)橫(heng)式(shi)(shi)(shi)，以(yi)此類(lei)推(tui)，遇零則置空(kong)。這種(zhong)計(ji)數(shu)法(fa)遵循十進位制(zhi)。算(suan)(suan)(suan)籌(chou)的(de)出現年代已經不可考，但(dan)據史料推(tui)測，算(suan)(suan)(suan)籌(chou)最晚出現在(zai)(zai)春(chun)秋(qiu)晚期(qi)戰國初(chu)年（公(gong)元前722年～公(gong)元前221年）。

兩(liang)千(qian)多年(nian)前(qian)我(wo)們的祖(zu)先就(jiu)懂得(de)了這樣精妙的計算(suan)(suan)，真是神奇！在這當中，算(suan)(suan)籌功不可沒，它是在珠算(suan)(suan)發(fa)明以前(qian)中國(guo)獨創并且是最有效的計算(suan)(suan)工具。中國(guo)古代數(shu)學的早(zao)期發(fa)達與(yu)持(chi)續發(fa)展都是受惠(hui)于(yu)算(suan)(suan)籌的。