一行（公元(yuan)(yuan)683年(nian)(nian)～公元(yuan)(yuan)727年(nian)(nian)），佛法名號。中(zhong)國(guo)唐代(dai)著名的天文學(xue)家和釋學(xue)家，本名張遂，魏州昌樂(le)（今河南省南樂(le)縣）人(ren)。
張遂的曾(ceng)祖是唐太宗李世民的功臣、襄州都督、郯國公(gong)(gong)張公(gong)(gong)謹。其父張擅為(wei)武功縣(xian)令。張氏家族在(zai)武則(ze)天(tian)時(shi)(shi)代已經衰微。張遂自幼(you)生活在(zai)關中，刻苦學(xue)(xue)(xue)習歷象(xiang)和(he)陰陽五行之學(xue)(xue)(xue)。青年(nian)時(shi)(shi)代即以學(xue)(xue)(xue)識淵博(bo)聞名于長(chang)安。為(wei)避(bi)開武則(ze)天(tian)侄的糾纏，剃度為(wei)僧，取名一行。先后(hou)在(zai)嵩(song)山(shan)、天(tian)臺山(shan)、當陽山(shan)學(xue)(xue)(xue)習釋(shi)教經典和(he)天(tian)文數學(xue)(xue)(xue)。曾(ceng)翻譯(yi)過多種印(yin)度佛經，后(hou)成為(wei)佛教一派(pai)——密(mi)宗的領袖。
唐(tang)朝開元九年(nian)(nian)（公元721年(nian)(nian)），因為李淳風的《麟德歷(li)》幾次預報日(ri)食不準，玄宗(zong)命一(yi)行(xing)主持(chi)修編新歷(li)。一(yi)行(xing)一(yi)生中(zhong)最(zui)主要的成就是編制《大衍歷(li)》，他在制造(zao)天文儀器、觀(guan)測天象和主持(chi)天文大地測量方(fang)面有很大貢獻。
幼(you)年(nian)時，一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)家(jia)庭貧困，經常得到鄰(lin)居王(wang)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)接濟。一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)做(zuo)(zuo)了(le)(le)天(tian)(tian)子(zi)之(zhi)師常想起(qi)王(wang)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)。然(ran)而(er)尚來(lai)不(bu)(bu)(bu)(bu)及報(bao)答，王(wang)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)已找上門(men)來(lai)。兒(er)子(zi)殺(sha)人(ren)(ren)犯(fan)(fan)罪，王(wang)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)想讓一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)出(chu)面求求情(qing)。一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)明白殺(sha)人(ren)(ren)償命，國法難(nan)違。他(ta)(ta)說(shuo)：姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)是一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)的恩人(ren)(ren)，要(yao)(yao)錢要(yao)(yao)物(wu)要(yao)(yao)多(duo)少一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)都應當(dang)滿足，此(ci)事(shi)(shi)一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)卻(que)辦不(bu)(bu)(bu)(bu)到。王(wang)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)聽了(le)(le)大(da)罵(ma)一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)見死不(bu)(bu)(bu)(bu)救忘恩負義。一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)惟(wei)有(you)不(bu)(bu)(bu)(bu)停地在(zai)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)面前謝罪。目送(song)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)離去，一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)把一(yi)(yi)布(bu)袋交給兩個心腹之(zhi)人(ren)(ren)，命他(ta)(ta)們在(zai)指(zhi)定的一(yi)(yi)個地方潛藏，他(ta)(ta)說(shuo)從中(zhong)午到黃昏，會有(you)七(qi)樣東西(xi)進入(ru)布(bu)袋。他(ta)(ta)們照著(zhu)做(zuo)(zuo)了(le)(le)，用(yong)布(bu)袋帶回七(qi)只(zhi)豬(zhu)。一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)把七(qi)只(zhi)豬(zhu)放進已準備好的大(da)甕中(zhong)封蓋。次日一(yi)(yi)早，宮(gong)里來(lai)人(ren)(ren)叩門(men)急切，說(shuo)皇(huang)帝有(you)事(shi)(shi)相商。剛到便(bian)殿，李(li)隆基已迎出(chu)來(lai)，問：昨夜北斗七(qi)星(xing)不(bu)(bu)(bu)(bu)見了(le)(le)，是吉是兇？如何應對？一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)有(you)理有(you)據做(zuo)(zuo)了(le)(le)分析，然(ran)后(hou)建議“莫若(ruo)大(da)赦天(tian)(tian)下(xia)”。李(li)隆基當(dang)即(ji)下(xia)詔大(da)赦天(tian)(tian)下(xia)。當(dang)天(tian)(tian)晚上，七(qi)星(xing)中(zhong)的一(yi)(yi)顆在(zai)天(tian)(tian)空中(zhong)出(chu)現了(le)(le)，七(qi)天(tian)(tian)后(hou)，七(qi)星(xing)全部在(zai)天(tian)(tian)空中(zhong)出(chu)現了(le)(le)…… 恩人(ren)(ren)的兒(er)子(zi)犯(fan)(fan)死罪，一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)要(yao)(yao)報(bao)恩，又要(yao)(yao)不(bu)(bu)(bu)(bu)違犯(fan)(fan)國法，在(zai)此(ci)情(qing)境下(xia)，他(ta)(ta)惟(wei)有(you)用(yong)自(zi)己的“方法”。段成式記述(shu)此(ci)事(shi)(shi)，心中(zhong)亦有(you)疙瘩解(jie)不(bu)(bu)(bu)(bu)開：此(ci)事(shi)(shi)頗(po)怪，然(ran)大(da)傳眾(zhong)口(kou)，不(bu)(bu)(bu)(bu)得不(bu)(bu)(bu)(bu)著(zhu)之(zhi)。
僧一(yi)行(xing)(xing)博覽無不(bu)知(zhi)，尤善(shan)于數(shu)(shu)，鉤(gou)深(shen)藏往，當時學者(zhe)莫(mo)(mo)能測。幼(you)時家貧，鄰(lin)有(you)(you)王(wang)姥(lao)，前后濟之(zhi)(zhi)數(shu)(shu)十(shi)萬，及一(yi)行(xing)(xing)開元中(zhong)承上(shang)敬遇(yu)，言(yan)無不(bu)可(ke)，常思(si)報(bao)之(zhi)(zhi)。尋王(wang)姥(lao)兒犯殺人(ren)罪，獄未具，姥(lao)訪(fang)一(yi)行(xing)(xing)求救(jiu)，一(yi)行(xing)(xing)曰：“姥(lao)要金帛，當十(shi)倍酬也。明君執法，難以請(qing)求，如(ru)(ru)何？”王(wang)姥(lao)戟手(shou)大(da)(da)(da)(da)罵曰：“何用識此(ci)僧！”一(yi)行(xing)(xing)從而謝之(zhi)(zhi)，終不(bu)顧。一(yi)行(xing)(xing)心計(ji)渾天寺中(zhong)工(gong)役數(shu)(shu)百(bai)，乃命空其(qi)(qi)室內，徙(xi)大(da)(da)(da)(da)甕(weng)于中(zhong)，又(you)密選常住(zhu)奴二人(ren)，授以布囊(nang)，謂曰：“某(mou)坊某(mou)角有(you)(you)廢園(yuan)，汝(ru)向中(zhong)潛伺，從午至昏，當有(you)(you)物(wu)入來。其(qi)(qi)數(shu)(shu)七(qi)，可(ke)盡(jin)掩之(zhi)(zhi)。失一(yi)則杖汝(ru)。”奴如(ru)(ru)言(yan)而往，至酉(you)后，果有(you)(you)群豕至，奴悉(xi)獲而歸。一(yi)行(xing)(xing)大(da)(da)(da)(da)喜(xi)，令(ling)置甕(weng)中(zhong)，覆以木(mu)蓋，封(feng)于六一(yi)泥(ni)，朱題梵字(zi)數(shu)(shu)寸，其(qi)(qi)徒莫(mo)(mo)測。詰朝，中(zhong)使(shi)叩門急召。至便殿(dian)，玄(xuan)宗(zong)迎問曰：“太史(shi)奏(zou)昨夜北(bei)斗(dou)不(bu)見，是何祥也，師(shi)有(you)(you)以禳(rang)之(zhi)(zhi)乎？”一(yi)行(xing)(xing)曰：“后魏時，失熒惑，至今(jin)帝車不(bu)見，古所無者(zhe)，天將大(da)(da)(da)(da)警于陛下也。如(ru)(ru)臣曲見，莫(mo)(mo)若(ruo)大(da)(da)(da)(da)赦(she)天下。”玄(xuan)宗(zong)從之(zhi)(zhi)。又(you)，其(qi)(qi)夕，太史(shi)奏(zou)北(bei)斗(dou)一(yi)星(xing)見，凡七(qi)日而復。成(cheng)式以此(ci)事頗(po)怪，然大(da)(da)(da)(da)傳眾口，不(bu)得(de)不(bu)著之(zhi)(zhi)。
據明正德本《大(da)名(ming)(ming)(ming)府志》及今(jin)本《南(nan)(nan)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)志》記(ji)載：西(xi)漢置(zhi)樂(le)昌(chang)(chang)縣(xian)(xian)(xian)(xian)，屬(shu)(shu)東郡(jun)(jun)。樂(le)昌(chang)(chang)縣(xian)(xian)(xian)(xian)在東漢初(chu)年(nian)(nian)(nian)(nian)廢置(zhi)。西(xi)晉于原(yuan)樂(le)昌(chang)(chang)縣(xian)(xian)(xian)(xian)故地(di)復設縣(xian)(xian)(xian)(xian)，更名(ming)(ming)(ming)昌(chang)(chang)樂(le)，屬(shu)(shu)魏郡(jun)(jun)。隋開皇(huang)三年(nian)(nian)(nian)(nian)(公元583年(nian)(nian)(nian)(nian))，從昌(chang)(chang)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)西(xi)北部分置(zhi)繁(fan)(fan)水(shui)縣(xian)(xian)(xian)(xian)，同屬(shu)(shu)魏州(zhou)。大(da)業元年(nian)(nian)(nian)(nian)(公元605年(nian)(nian)(nian)(nian))，昌(chang)(chang)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)并入繁(fan)(fan)水(shui)縣(xian)(xian)(xian)(xian)。唐(tang)貞觀十六(liu)年(nian)(nian)(nian)(nian)(公元643年(nian)(nian)(nian)(nian))，改(gai)繁(fan)(fan)水(shui)縣(xian)(xian)(xian)(xian)為昌(chang)(chang)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)。五代后(hou)梁貞明二年(nian)(nian)(nian)(nian)(公元916年(nian)(nian)(nian)(nian))，昌(chang)(chang)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)更名(ming)(ming)(ming)南(nan)(nan)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)，仍屬(shu)(shu)魏州(zhou)。再查(cha)考魏州(zhou)，原(yuan)名(ming)(ming)(ming)魏郡(jun)(jun)，北周(zhou)改(gai)之，五代又更名(ming)(ming)(ming)興唐(tang)府、廣晉府、大(da)名(ming)(ming)(ming)府。南(nan)(nan)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)從五代到民國初(chu)年(nian)(nian)(nian)(nian)，長期為大(da)名(ming)(ming)(ming)府所轄(xia)。由上可見(jian)，南(nan)(nan)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)是由樂(le)昌(chang)(chang)、昌(chang)(chang)樂(le)、繁(fan)(fan)水(shui)沿革而來(lai)，唐(tang)時(shi)的魏州(zhou)繁(fan)(fan)水(shui)、昌(chang)(chang)樂(le)即今(jin)河南(nan)(nan)南(nan)(nan)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)。
僧一行，姓張氏，先名遂，魏州昌樂人，襄州都督、郯(tan)國公公謹之孫也。父擅，武功(gong)令。
一(yi)行少聰(cong)敏，博(bo)覽經史(shi)，尤精歷象(xiang)、陰陽、五行之(zhi)學。時道士尹崇(chong)(chong)(chong)博(bo)學先達，素多(duo)墳籍。一(yi)行詣崇(chong)(chong)(chong)，借(jie)揚雄(xiong)《太玄(xuan)經》，將(jiang)歸讀(du)之(zhi)。數日，復詣崇(chong)(chong)(chong)，還(huan)其書。崇(chong)(chong)(chong)曰：“此書意(yi)指(zhi)稍(shao)深，吾尋(xun)之(zhi)積年，尚(shang)不能曉，吾子試(shi)更研(yan)求(qiu)，何(he)遽見還(huan)也(ye)？”一(yi)行曰：“究(jiu)其義(yi)矣。”因出(chu)(chu)所撰《大衍玄(xuan)圖(tu)》及《義(yi)決》一(yi)卷以示崇(chong)(chong)(chong)。崇(chong)(chong)(chong)大驚，因與(yu)一(yi)行談其奧賾，甚嗟伏之(zhi)。謂人(ren)曰：“此后生(sheng)顏子也(ye)。”一(yi)行由是大知名。武三(san)思慕其學行，就請與(yu)結交(jiao)，一(yi)行逃匿以避之(zhi)。尋(xun)出(chu)(chu)家為僧，隱于嵩山，師(shi)事沙門(men)(men)普寂。睿宗即位(wei)，敕東都留守韋(wei)安石以禮征。一(yi)行固辭以疾，不應命(ming)。后步往荊州當陽山，依沙門(men)(men)悟(wu)真(zhen)以習梵律。
癲(dian)坷(ke)開(kai)元(yuan)五年，玄宗令其族叔禮(li)部郎中洽赍敕(chi)書就荊州強起之(zhi)。一行至(zhi)京(jing)，置于(yu)光太殿，數就之(zhi)，訪(fang)以安國撫人之(zhi)道，言皆切直，無有所(suo)隱。開(kai)元(yuan)十年，永穆(mu)公(gong)主(zhu)出(chu)降，敕(chi)有司優厚發遣，依(yi)太平(ping)公(gong)主(zhu)故事。一行以為高(gao)宗末年，唯有一女，所(suo)以特加其禮(li)。又太平(ping)驕僭，竟以得罪，不(bu)應引以為例(li)。上納其言，遽追敕(chi)不(bu)行，但依(yi)常禮(li)。其諫諍皆此類也。
卷，一行(xing)尤明(ming)著述，撰《大(da)(da)衍(yan)(yan)(yan)論》三(san)卷，《攝調伏藏》十卷，《天一太一經》及《太一局遁(dun)甲經》、《釋氏系錄》各一卷。時《麟德(de)歷(li)(li)經》推(tui)步漸(jian)疏，敕一行(xing)考前代(dai)諸(zhu)家歷(li)(li)法(fa)，改(gai)撰新歷(li)(li)，又令率府(fu)長(chang)史(shi)梁令瓚等(deng)與工人創造黃道(dao)游儀，以考七曜行(xing)度，互相證明(ming)。于(yu)是一行(xing)推(tui)《周易》大(da)(da)衍(yan)(yan)(yan)之(zhi)數，立衍(yan)(yan)(yan)以應之(zhi)，改(gai)撰《開元大(da)(da)衍(yan)(yan)(yan)歷(li)(li)經》。至(zhi)十五年卒，年四十五，賜謚(shi)曰“大(da)(da)慧禪師”。
魏書(shu)初(chu)，一行從祖東臺(tai)舍人太(tai)素，撰《后魏書(shu)》一百(bai)卷，其(qi)《天文志》未成，一行續而(er)成之。上為(wei)一行制(zhi)碑文，親書(shu)于石，出(chu)內庫錢五(wu)(wu)十萬(wan)，為(wei)起塔于銅人之原。明(ming)年(nian)，幸溫湯(tang)，過其(qi)塔前(qian)，又駐騎(qi)徘徊，令品官就(jiu)塔以告(gao)其(qi)出(chu)豫之意；更賜絹五(wu)(wu)十匹(pi)，以蒔塔前(qian)松柏(bo)焉。
逅攏(long)初，一(yi)(yi)(yi)行(xing)求訪師資，以窮大(da)衍，至天臺山國清寺，見一(yi)(yi)(yi)院(yuan)(yuan)，古松(song)十數，門有流(liu)水(shui)(shui)。一(yi)(yi)(yi)行(xing)立于門屏間，聞院(yuan)(yuan)僧(seng)于庭布(bu)算聲，而謂(wei)(wei)其徒曰(yue)(yue)：“今日當有弟子(zi)自(zi)遠求吾(wu)算法，已合到門，豈(qi)無(wu)人導達也？”即除一(yi)(yi)(yi)算。又謂(wei)(wei)曰(yue)(yue)：“門前(qian)水(shui)(shui)當卻(que)西(xi)流(liu)，弟子(zi)亦至。”一(yi)(yi)(yi)行(xing)承其言而趨(qu)入，稽(ji)首請法，盡受(shou)其術(shu)焉，而門前(qian)水(shui)(shui)果(guo)卻(que)西(xi)流(liu)。道士邢和璞嘗謂(wei)(wei)尹愔(yin)曰(yue)(yue)：“一(yi)(yi)(yi)行(xing)其圣(sheng)人乎？漢之洛下閎造(zao)(zao)歷，云(yun)：‘后八百歲當差(cha)一(yi)(yi)(yi)日，必有圣(sheng)人正之。’今年(nian)期畢矣，而一(yi)(yi)(yi)行(xing)造(zao)(zao)《大(da)衍》正其差(cha)謬，則洛下閎之言，信(xin)矣！非圣(sheng)人而何(he)？
為之時又有黃州僧泓者，善葬法。每(mei)行視山原，即為之圖，張說(shuo)深信重(zhong)之。
說，桑道(dao)(dao)茂者，大歷(li)中游京師，善(shan)太一遁(dun)甲五行災異之(zhi)(zhi)說，言事無不(bu)中。代宗召之(zhi)(zhi)禁中，待詔翰(han)林。建中初，神策(ce)軍修奉天城，道(dao)(dao)茂請高其(qi)垣(yuan)墻，大為制度，德宗不(bu)之(zhi)(zhi)省。及朱(zhu)泚之(zhi)(zhi)亂，帝(di)蒼(cang)卒(zu)出幸，至奉天，方思道(dao)(dao)茂之(zhi)(zhi)言。時道(dao)(dao)茂已(yi)卒(zu)，命(ming)祭之(zhi)(zhi)。
贊(zan)曰：術數(shu)之(zhi)精，事必前知。粲(can)如垂象，變告(gao)無疑。怪誕(dan)之(zhi)夫，誣罔蓍龜。致彼庸妄(wang)，幸時艱(jian)危(wei)。
一(yi)行(xing)主張在實(shi)測(ce)的(de)基礎上編訂歷法。為此，首先需要(yao)有(you)測(ce)量(liang)天體(ti)位置(zhi)的(de)儀(yi)器。他于(yu)開元(yuan)(yuan)九年(nian)(nian)（公元(yuan)(yuan)721年(nian)(nian)）率(lv)府兵曹參軍梁令瓚設計黃道(dao)游儀(yi)，并制成木模。一(yi)行(xing)決定(ding)用(yong)銅(tong)鐵(tie)鑄造，于(yu)開元(yuan)(yuan)十一(yi)年(nian)(nian)（公元(yuan)(yuan)723年(nian)(nian)）完(wan)成。這架儀(yi)器的(de)黃道(dao)不(bu)是固(gu)定(ding)的(de)，可以在赤(chi)道(dao)上移位，以符合歲差現象(xiang)（當時認為歲差是黃道(dao)沿赤(chi)道(dao)西退，實(shi)則(ze)相反）。
后(hou)來，一行和梁令(ling)瓚等又(you)設(she)計制(zhi)造水(shui)(shui)(shui)(shui)運渾(hun)象。這(zhe)(zhe)個以水(shui)(shui)(shui)(shui)力推動(dong)(dong)而(er)(er)(er)運轉(zhuan)的渾(hun)象，附有報(bao)時(shi)(shi)裝置，可(ke)以自動(dong)(dong)報(bao)時(shi)(shi)，稱為"水(shui)(shui)(shui)(shui)運渾(hun)天"或"開元水(shui)(shui)(shui)(shui)運渾(hun)天俯視圖"。水(shui)(shui)(shui)(shui)運渾(hun)天儀(yi)(yi)是(shi)一具依靠水(shui)(shui)(shui)(shui)力而(er)(er)(er)使(shi)其運轉(zhuan)，能(neng)模(mo)仿(fang)天體運行的儀(yi)(yi)器，并可(ke)以測(ce)定時(shi)(shi)間(jian)。這(zhe)(zhe)個渾(hun)天儀(yi)(yi)改進了(le)漢代(dai)科學家張衡(heng)的設(she)計，注水(shui)(shui)(shui)(shui)激輪，令(ling)其自轉(zhuan)，晝夜(ye)一周，除了(le)表現星宿(su)的運動(dong)(dong)以外，還能(neng)表現日(ri)升月(yue)落，當(dang)然(ran)比張衡(heng)的水(shui)(shui)(shui)(shui)運渾(hun)象儀(yi)(yi)更加精(jing)(jing)巧、復雜了(le)。所以，當(dang)水(shui)(shui)(shui)(shui)運渾(hun)天儀(yi)(yi)造成之后(hou)，置于(yu)武成殿前，文(wen)武百僚觀看后(hou)，無不為其制(zhi)作精(jing)(jing)妙，測(ce)定朔望、報(bao)告時(shi)(shi)辰準確而(er)(er)(er)嘆服，共稱其妙。
特別(bie)是在(zai)水(shui)運(yun)(yun)渾天儀上，還設有兩(liang)個(ge)(ge)木人(ren)(ren)（相關的(de)(de)商(shang)州銅(tong)佛龕文物遺址仍存），用齒輪帶動(dong)，一個(ge)(ge)木人(ren)(ren)每(mei)刻（古代(dai)(dai)把一晝夜分為一百刻）自動(dong)擊鼓(gu)，一個(ge)(ge)木人(ren)(ren)每(mei)辰（合現在(zai)兩(liang)個(ge)(ge)小時）自動(dong)撞鐘(zhong)。這(zhe)(zhe)兩(liang)個(ge)(ge)木人(ren)(ren)是運(yun)(yun)用機(ji)(ji)械原(yuan)理而制成(cheng)的(de)(de)古代(dai)(dai)機(ji)(ji)器人(ren)(ren)。這(zhe)(zhe)是一個(ge)(ge)十分巧妙的(de)(de)計時機(ji)(ji)械，是世界上最(zui)早(zao)的(de)(de)機(ji)(ji)械時鐘(zhong)裝(zhuang)置，是現代(dai)(dai)機(ji)(ji)械類(lei)鐘(zhong)表的(de)(de)祖先，比公元1370年西方才出現的(de)(de)威克鐘(zhong)要(yao)早(zao)六個(ge)(ge)世紀，這(zhe)(zhe)充分顯(xian)示了中國古代(dai)(dai)勞(lao)動(dong)人(ren)(ren)民和(he)科(ke)學家的(de)(de)聰明才智。
盡管這架水運(yun)渾天儀在使用了一(yi)(yi)(yi)段時(shi)間(jian)后，便因(yin)銅鐵漸澀，不(bu)能自轉而(er)(er)進入博(bo)物館了。但是，一(yi)(yi)(yi)行(xing)和梁(liang)令瓚卻以(yi)獲得(de)天文鐘(zhong)的(de)發明(ming)權而(er)(er)永垂史冊。英國(guo)(guo)著名科(ke)技(ji)史家(jia)李(li)約瑟博(bo)士(shi)在《中(zhong)國(guo)(guo)科(ke)學技(ji)術(shu)史》第(di)四卷中(zhong)說：高僧一(yi)(yi)(yi)行(xing)和梁(liang)令瓚所(suo)發明(ming)的(de)平行(xing)聯動裝(zhuang)置，實質上就是最早的(de)機械時(shi)鐘(zhong)，是一(yi)(yi)(yi)切擒(qin)縱器的(de)祖(zu)先，走在歐洲14世紀第(di)一(yi)(yi)(yi)具機械時(shi)鐘(zhong)的(de)前面；
水運渾(hun)(hun)天(tian)(tian)儀上刻(ke)有(you)二(er)(er)十八(ba)宿，注水激輪，每(mei)天(tian)(tian)一(yi)周(zhou)，恰(qia)恰(qia)與天(tian)(tian)體周(zhou)日視運動一(yi)致(zhi)。水運渾(hun)(hun)天(tian)(tian)儀一(yi)半(ban)在(zai)水柜里，柜的上框，有(you)如地則自然撞鐘。整個水運渾(hun)(hun)天(tian)(tian)儀既能(neng)演示日、月(yue)、星辰(chen)的視運動，又能(neng)自動報時(shi),有(you)二(er)(er)木人(ren)，每(mei)刻(ke)(古代(dai)把一(yi)晝夜(ye)分做(zuo)一(yi)百(bai)刻(ke)=0.24小時(shi)=14,4分鐘)擊鼓，每(mei)時(shi)辰(chen)（合現(xian)在(zai)兩小時(shi)）撞鐘。這(zhe)是世界上最早將擒縱應用于報時(shi)的裝置，比外國自鳴(ming)鐘的出現(xian)早了六百(bai)多(duo)年。
一行(xing)等以新(xin)制(zhi)的黃道(dao)(dao)游儀(yi)觀測日(ri)月五星(xing)的運動，測量一些恒(heng)星(xing)的赤道(dao)(dao)坐(zuo)標和對黃道(dao)(dao)的相(xiang)對位(wei)置，發(fa)現這些恒(heng)星(xing)的位(wei)置同漢代所測結果有很大變動。
一行受詔改歷(li)后組織發(fa)起(qi)了(le)一次(ci)大(da)規模的(de)天文大(da)地測(ce)量(liang)工作(zuo)。這次(ci)測(ce)量(liang)，用實(shi)測(ce)數據徹(che)底地否定了(le)歷(li)史上的(de)“日影一寸，地差千(qian)里”的(de)錯誤理論，提(ti)供了(le)相當精(jing)確的(de)地球(qiu)子(zi)午線(xian)一度弧的(de)長度。
一(yi)(yi)行(xing)發起(qi)這(zhe)次大規模的天(tian)文測(ce)(ce)量主要目的有(you)二。其(qi)一(yi)(yi)，中國古代有(you)一(yi)(yi)種傳統理(li)論(lun)：“日影(ying)一(yi)(yi)寸，地(di)(di)差(cha)千里(li)。”劉(liu)宋時期的天(tian)算(suan)家何承天(tian)根據(ju)當時在交(jiao)州(zhou)（今(jin)越南河內一(yi)(yi)帶）的測(ce)(ce)量數(shu)據(ju)，開始對此提出(chu)了懷疑，但(dan)長期未能(neng)得到證(zheng)實(shi)(shi)。隋(sui)朝天(tian)算(suan)家劉(liu)焯則(ze)提出(chu)了用實(shi)(shi)測(ce)(ce)結(jie)果來(lai)否定(ding)這(zhe)一(yi)(yi)錯誤說法的具(ju)體計(ji)(ji)劃，他(ta)說：“交(jiao)愛之州(zhou)，表北無(wu)(wu)影(ying)，計(ji)(ji)無(wu)(wu)萬里(li)，南過(guo)戴日，是(shi)千里(li)一(yi)(yi)寸，非其(qi)實(shi)(shi)差(cha)。”他(ta)建議：“請一(yi)(yi)水工，并解(jie)算(suan)術士，取河南北平(ping)地(di)(di)之所，可(ke)量數(shu)百里(li)，南北使(shi)正。審時以(yi)漏(lou)，平(ping)地(di)(di)以(yi)繩，隨氣(qi)至分，同日度影(ying)。得其(qi)差(cha)率，里(li)即可(ke)知(zhi)。則(ze)天(tian)地(di)(di)無(wu)(wu)所匿其(qi)形，辰象無(wu)(wu)所逃(tao)其(qi)數(shu)，超前顯圣，效象除疑。”但(dan)這(zhe)個建議在隋(sui)朝沒(mei)有(you)被采(cai)納。一(yi)(yi)行(xing)的測(ce)(ce)量則(ze)實(shi)(shi)現(xian)了這(zhe)一(yi)(yi)計(ji)(ji)劃。其(qi)二，當時發現(xian)，觀測(ce)(ce)地(di)(di)點不同，日食發生的時刻和所見食象都不同，各節氣(qi)的日影(ying)長度和漏(lou)刻晝(zhou)夜分也不相同。這(zhe)種現(xian)象是(shi)過(guo)去(qu)的歷法所沒(mei)有(you)考慮到的。這(zhe)就需要到各地(di)(di)進行(xing)實(shi)(shi)地(di)(di)測(ce)(ce)量。
這次測(ce)(ce)量(liang)過程中(zhong)，由太史監南(nan)宮說及(ji)太史官(guan)大相元太等人分赴(fu)各地，“測(ce)(ce)候日(ri)影，回日(ri)奏聞”。而(er)一行“則以南(nan)北日(ri)影較量(liang)，用(yong)勾股法算(suan)之”。可見(jian)，一行不僅負責組織領導了這次測(ce)(ce)量(liang)工作(zuo)，而(er)且親自承擔了測(ce)(ce)量(liang)數據的分析計算(suan)工作(zuo)。
當時測量的(de)(de)范圍很(hen)廣，北到(dao)北緯(wei)(wei)51度(du)左右的(de)(de)鐵勒回紇(he)部（今(jin)蒙古烏蘭巴托西(xi)南(nan)(nan)），南(nan)(nan)到(dao)約(yue)北緯(wei)(wei)18度(du)的(de)(de)林邑(yi)（今(jin)越南(nan)(nan)的(de)(de)中(zhong)部）等十三處(chu)，超出了現(xian)在中(zhong)國南(nan)(nan)北的(de)(de)陸(lu)地疆界。這樣(yang)的(de)(de)規模(mo)在世界科學史上都(dou)是空前的(de)(de)。
其(qi)中最值得注意的(de)是由(you)南(nan)(nan)宮說親(qin)自率(lv)領(ling)的(de)測量隊，按劉焯的(de)計劃(hua)在黃河(he)兩(liang)岸平原地區(qu)測量的(de)四個點，由(you)北向南(nan)(nan)有滑州(zhou)白(bai)馬（今(jin)(jin)河(he)南(nan)(nan)滑縣）、汴州(zhou)浚(jun)儀太岳(yue)臺(tai)（今(jin)(jin)開封(feng)西北）、許州(zhou)扶溝(gou)（今(jin)(jin)河(he)南(nan)(nan)扶溝(gou)）、豫州(zhou)上(shang)(shang)蔡(cai)武津(jin)館（今(jin)(jin)河(he)南(nan)(nan)上(shang)(shang)蔡(cai)）。其(qi)中白(bai)馬在黃河(he)北，其(qi)他(ta)三點都在黃河(he)以南(nan)(nan)。它們均介于(yu)東經114.2度(du)(du)—114.5度(du)(du)之間，差不多在同一(yi)經度(du)(du)上(shang)(shang)（即劉焯所說的(de)“南(nan)(nan)北使(shi)正”）。總計白(bai)馬至上(shang)(shang)蔡(cai)526里(li)270步，北極高度(du)(du)相差1.5度(du)(du)，從而得出(chu)大約三百五十一(yi)里(li)八十步，北極高度(du)(du)相差一(yi)度(du)(du)的(de)結(jie)論。這(zhe)實際上(shang)(shang)給出(chu)了地球(qiu)子(zi)午線(xian)一(yi)度(du)(du)的(de)長度(du)(du)。
由于對(dui)唐尺數值(zhi)的(de)大(da)小(xiao)，人們目(mu)前(qian)的(de)看法還(huan)不一(yi)致(zhi)，故(gu)評價一(yi)行(xing)這次(ci)子午(wu)線測(ce)量(liang)的(de)精度(du)受(shou)到限制。初步的(de)估(gu)計結果(guo)是，一(yi)行(xing)的(de)測(ce)量(liang)值(zhi)與現代值(zhi)相(xiang)比，相(xiang)對(dui)誤差(cha)大(da)約為(wei)11.8%。
國(guo)外最早根據日影長度(du)計算(suan)(suan)地(di)球周長的(de)(de)是(shi)古希(xi)臘(la)(la)科(ke)學家埃(ai)拉(la)托斯特尼(ni)，約公(gong)元(yuan)前240年，他(ta)根據亞(ya)歷山(shan)大港與阿(a)斯旺之間不同(tong)的(de)(de)正午時(shi)分的(de)(de)太陽高線及三角學計算(suan)(suan)，以斯塔蒂亞(ya)（stadia）為(wei)單位出地(di)球的(de)(de)直(zhi)徑。斯塔蒂亞(ya)乃是(shi)古希(xi)臘(la)(la)的(de)(de)長度(du)單位，各地(di)不一(yi)。如(ru)按雅典的(de)(de)長度(du)算(suan)(suan)，則地(di)球周長為(wei)46620公(gong)里，多了16.3%，若(ruo)按埃(ai)及的(de)(de)長度(du)算(suan)(suan)，則地(di)球周長為(wei)39690公(gong)里，其誤差小于2%。
伊斯(si)蘭世(shi)界最(zui)早的子午(wu)線(xian)實測是在公(gong)元814年(nian)，在一行之(zhi)后九十年(nian)，由天(tian)文學家阿爾·花剌子米（約(yue)783—850）參(can)與組織(zhi)，在幼(you)發拉底河平原進行了一次(ci)大地測量，測算結果得出子午(wu)線(xian)一度長為111.815公(gong)里(li)（現代理論值為110.6公(gong)里(li)），相當精(jing)確。
從開(kai)元(yuan)十三年(nian)(nian)(nian)（公元(yuan)725年(nian)(nian)(nian)）起(qi)，一行(xing)(xing)開(kai)始編(bian)歷(li)(li)。經(jing)過兩年(nian)(nian)(nian)時間，編(bian)成(cheng)草稿，定名為(wei)《大衍(yan)(yan)歷(li)(li)》。《大衍(yan)(yan)歷(li)(li)》后經(jing)張(zhang)說和歷(li)(li)官陳玄景等人整(zheng)理成(cheng)書(shu)。從開(kai)元(yuan)十七年(nian)(nian)(nian)起(qi)，根(gen)據《大衍(yan)(yan)歷(li)(li)》編(bian)算成(cheng)的(de)每年(nian)(nian)(nian)的(de)歷(li)(li)書(shu)頒(ban)行(xing)(xing)全國。經(jing)過檢驗，《大衍(yan)(yan)歷(li)(li)》比唐代已(yi)有的(de)其他(ta)歷(li)(li)法都更精密。開(kai)元(yuan)二十一年(nian)(nian)(nian)（公元(yuan)733年(nian)(nian)(nian)）傳入日(ri)本(ben)，行(xing)(xing)用(yong)近(jin)百年(nian)(nian)(nian)。
《大衍歷》的九服晷影算法及其正切函數表
中國古代歷法從東漢《四分歷》開始，就有各節氣初日晷影長度和太陽去極度的觀測記錄，漏刻、晷影成為古代歷法的重要計算項目。隋朝劉焯發明二次等間距插值法之后，李淳風首先將二次插值法引入到漏刻計算中，由每氣初日的漏刻、晷影長度數求該氣各日的漏刻、晷影數。但是，各歷法中所記載和計算的漏刻和晷影大多是陽城（今河南登封東南告成鎮）的數值。一行在編制《大衍歷》時，曾進行了大規模的天文測量，通過觀測知道，隨去極度變化的影長，又因地方而異，但同太陽的天頂距有固定的對應關系。一行在《大衍歷》中發明了求任何地方每日影長和去極度的計算方法，稱做“九服晷影”。歷法中已給出(chu)陽城各(ge)氣(qi)初日(ri)的(de)(de)太(tai)陽去極度(du)，則各(ge)氣(qi)的(de)(de)去極度(du)差(cha)(cha)即為已知，同樣(yang)各(ge)氣(qi)的(de)(de)太(tai)陽天(tian)頂(ding)距(ju)差(cha)(cha)亦為已知，而(er)這(zhe)(zhe)個(ge)差(cha)(cha)數(shu)對于任(ren)一(yi)(yi)地點都是(shi)相等的(de)(de)。這(zhe)(zhe)樣(yang)一(yi)(yi)來(lai)(lai)，對于任(ren)一(yi)(yi)地方(fang)，只要知道(dao)某一(yi)(yi)節氣(qi)（如夏(xia)至(zhi)(zhi)）的(de)(de)太(tai)陽天(tian)頂(ding)距(ju)，其(qi)他各(ge)氣(qi)的(de)(de)太(tai)陽天(tian)頂(ding)距(ju)都可以(yi)通過(guo)加減(jian)這(zhe)(zhe)個(ge)差(cha)(cha)數(shu)求(qiu)出(chu)。剩(sheng)下還要解決以(yi)下兩個(ge)問題：其(qi)一(yi)(yi)，如何求(qiu)某地夏(xia)至(zhi)(zhi)（或冬至(zhi)(zhi)）的(de)(de)太(tai)陽天(tian)頂(ding)距(ju)；其(qi)二(er)，已知天(tian)頂(ding)距(ju)如何換算出(chu)晷影(ying)長(chang)。這(zhe)(zhe)兩個(ge)問題都可以(yi)通過(guo)建立一(yi)(yi)個(ge)影(ying)長(chang)與太(tai)陽天(tian)頂(ding)距(ju)的(de)(de)對應(ying)數(shu)表來(lai)(lai)解決。
如果列出(chu)一張(zhang)以(yi)天頂(ding)距(ju)為引(yin)數，每(mei)隔一度的影(ying)(ying)長的數值表(biao)，則以(yi)上(shang)兩個問題(ti)都可以(yi)解決：先在(zai)(zai)所測地(di)測出(chu)（冬(dong)）夏至晷影(ying)(ying)長度（在(zai)(zai)一行(xing)領導(dao)的大地(di)測量中(zhong)，在(zai)(zai)每(mei)處都進行(xing)了(le)這(zhe)樣的測量），由影(ying)(ying)長查表(biao)得(de)出(chu)太(tai)陽天頂(ding)距(ju)，再加減一個如前所述的差(cha)數即可求(qiu)出(chu)該地(di)各氣(qi)的天頂(ding)距(ju)，返回再查表(biao)得(de)影(ying)(ying)長。一行(xing)在(zai)(zai)《大衍歷》“步晷漏術”中(zhong)就建(jian)立了(le)這(zhe)樣一個從0度到80度的每(mei)度影(ying)(ying)長與太(tai)陽天頂(ding)距(ju)對應數表(biao)，這(zhe)是世界數學(xue)史上(shang)最早的一張(zhang)正切(qie)函數表(biao)。
在國外，大(da)約(yue)920年(nian)(nian)左(zuo)右，阿(a)拉(la)伯(bo)學者阿(a)爾(er)(er)(er)(er)·巴坦(tan)尼(ni)(ni)（al-Battani，約(yue)858年(nian)(nian)—929年(nian)(nian)）根據影長與(yu)太(tai)陽仰(yang)角(jiao)之間(jian)的(de)關系，編制(zhi)了(le)(le)0度—90度每隔一(yi)度時12尺竿子的(de)影長表(biao)，這實際(ji)上是一(yi)個12ctgα的(de)數(shu)(shu)表(biao)。另一(yi)位阿(a)拉(la)伯(bo)學者阿(a)爾(er)(er)(er)(er)·威發（Abul-Wafa，940—998）在980年(nian)(nian)左(zuo)右編成(cheng)了(le)(le)正(zheng)切(qie)和(he)(he)余(yu)切(qie)函(han)數(shu)(shu)表(biao)，每隔15度和(he)(he)10度給出(chu)一(yi)個值。他還(huan)首次引(yin)進了(le)(le)正(zheng)割(ge)和(he)(he)余(yu)割(ge)函(han)數(shu)(shu)。一(yi)行(xing)和(he)(he)阿(a)爾(er)(er)(er)(er)·巴坦(tan)尼(ni)(ni)差不多(duo)沿(yan)著相同(tong)的(de)途徑編成(cheng)正(zheng)切(qie)和(he)(he)余(yu)切(qie)函(han)數(shu)(shu)表(biao)。一(yi)行(xing)用太(tai)陽天頂(ding)距，阿(a)爾(er)(er)(er)(er)·巴坦(tan)尼(ni)(ni)用太(tai)陽仰(yang)角(jiao)，兩(liang)(liang)者互為(wei)余(yu)角(jiao)，所以(yi)他們兩(liang)(liang)人的(de)發現是相同(tong)的(de)。而一(yi)行(xing)的(de)正(zheng)切(qie)函(han)數(shu)(shu)表(biao)比(bi)阿(a)爾(er)(er)(er)(er)·巴坦(tan)尼(ni)(ni)的(de)余(yu)切(qie)函(han)數(shu)(shu)表(biao)早(zao)(zao)近兩(liang)(liang)百年(nian)(nian)，比(bi)阿(a)爾(er)(er)(er)(er)·威發的(de)正(zheng)切(qie)表(biao)要早(zao)(zao)二百五十年(nian)(nian)。盡管一(yi)行(xing)的(de)正(zheng)切(qie)函(han)數(shu)(shu)表(biao)只從0度到80度，誤差也相應大(da)一(yi)些，但它畢(bi)竟是世界上最早(zao)(zao)的(de)正(zheng)切(qie)函(han)數(shu)(shu)表(biao)。
《大衍歷》的插值算法
今(jin)天(tian)(tian)(tian)常用的(de)(de)(de)牛頓插值(zhi)公式，其不(bu)等(deng)間距的(de)(de)(de)形式比等(deng)間距的(de)(de)(de)形式要復雜得多。天(tian)(tian)(tian)算(suan)(suan)史界(jie)有(you)一種流行(xing)的(de)(de)(de)看法(fa)(fa)(fa)，認(ren)為(wei)在(zai)中國古(gu)(gu)代，唐朝天(tian)(tian)(tian)文學(xue)家、數(shu)學(xue)家一行(xing)在(zai)其《大衍歷》中發明(ming)了二(er)次(ci)不(bu)等(deng)間距插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)，且一行(xing)還有(you)意(yi)識地應用了三次(ci)差內插法(fa)(fa)(fa)近似公式。因此，一行(xing)在(zai)插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)方面的(de)(de)(de)貢獻備受中外(wai)天(tian)(tian)(tian)算(suan)(suan)史研究(jiu)者(zhe)的(de)(de)(de)關注。中國古(gu)(gu)代非線性插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)，是(shi)(shi)劉焯在(zai)其《皇極歷》（604年(nian)）中考慮到太(tai)陽運(yun)動不(bu)均勻(yun)性為(wei)計算(suan)(suan)太(tai)陽行(xing)度改正(zheng)值(zhi)時首創的(de)(de)(de)。有(you)關中國古(gu)(gu)代插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)算(suan)(suan)理(li)(li)研究(jiu)的(de)(de)(de)新成(cheng)果表明(ming)，劉焯二(er)次(ci)等(deng)間距插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)造術原理(li)(li)建立在(zai)源于《九(jiu)章算(suan)(suan)術》描述(shu)勻(yun)變速(su)運(yun)動的(de)(de)(de)模型基礎之(zhi)上(shang)(shang)，認(ren)為(wei)太(tai)陽每日的(de)(de)(de)運(yun)行(xing)速(su)度之(zhi)值(zhi)構(gou)成(cheng)一等(deng)差數(shu)列。質(zhi)(zhi)言之(zhi)，所(suo)(suo)用數(shu)學(xue)方法(fa)(fa)(fa)就(jiu)是(shi)(shi)構(gou)造一等(deng)差數(shu)列并求(qiu)其前若干項和。一行(xing)的(de)(de)(de)插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)并沒有(you)人(ren)們所(suo)(suo)想象那樣(yang)的(de)(de)(de)推廣(guang)意(yi)義。就(jiu)插值(zhi)算(suan)(suan)法(fa)(fa)(fa)本身，一行(xing)算(suan)(suan)法(fa)(fa)(fa)與(yu)劉焯算(suan)(suan)法(fa)(fa)(fa)實質(zhi)(zhi)完(wan)全(quan)相同。所(suo)(suo)不(bu)同的(de)(de)(de)是(shi)(shi)，《皇極歷》是(shi)(shi)在(zai)以平氣(qi)為(wei)間隔的(de)(de)(de)日躔表基礎上(shang)(shang)插值(zhi)。而《大衍歷》是(shi)(shi)在(zai)以定氣(qi)為(wei)間隔的(de)(de)(de)日躔表上(shang)(shang)插值(zhi)。
《太初歷(li)》以后(hou)，各歷(li)都以平(ping)分(fen)一(yi)回歸年365.25日(ri)為24等(deng)份(fen)而得每(mei)(mei)(mei)節(jie)氣長(chang)15.22日(ri)，這(zhe)樣規定(ding)(ding)(ding)的(de)二(er)十(shi)四(si)氣稱(cheng)為“常氣”，或叫“平(ping)氣”。張(zhang)子信指(zhi)出“日(ri)行(xing)春(chun)(chun)分(fen)后(hou)則(ze)遲，秋(qiu)分(fen)后(hou)則(ze)速(su)”，于是(shi)劉(liu)(liu)焯造(zao)《皇(huang)極歷(li)》時(shi)(shi)體會到二(er)十(shi)四(si)氣皆應(ying)有(you)(you)“定(ding)(ding)(ding)日(ri)”，他說：“春(chun)(chun)、秋(qiu)分(fen)定(ding)(ding)(ding)日(ri)去冬(dong)至各八(ba)(ba)十(shi)八(ba)(ba)日(ri)有(you)(you)奇，去夏(xia)至各九十(shi)三日(ri)有(you)(you)奇。”但劉(liu)(liu)焯并沒有(you)(you)搞清楚太陽(yang)速(su)度(du)的(de)加減(jian)和季節(jie)的(de)關系(xi)，他的(de)日(ri)躔表是(shi)把(ba)秋(qiu)分(fen)定(ding)(ding)(ding)日(ri)后(hou)到春(chun)(chun)分(fen)定(ding)(ding)(ding)日(ri)前平(ping)均分(fen)為12段，每(mei)(mei)(mei)氣14.54日(ri)；春(chun)(chun)分(fen)定(ding)(ding)(ding)日(ri)后(hou)到秋(qiu)分(fen)定(ding)(ding)(ding)日(ri)前也平(ping)分(fen)為12段，每(mei)(mei)(mei)氣15.45日(ri)。這(zhe)顯然(ran)(ran)不是(shi)“定(ding)(ding)(ding)氣”。一(yi)行(xing)則(ze)認為，太陽(yang)在一(yi)回歸年365.2444日(ri)中共(gong)行(xing)365.2444度(du)，每(mei)(mei)(mei)氣行(xing)15.2185度(du)。冬(dong)至附(fu)近日(ri)行(xing)速(su)度(du)最(zui)急(ji)，故二(er)氣間所需(xu)運行(xing)時(shi)(shi)間最(zui)短，夏(xia)至附(fu)近日(ri)行(xing)速(su)度(du)最(zui)緩，故二(er)氣間的(de)時(shi)(shi)間最(zui)長(chang)。實際上，《大衍歷(li)》這(zhe)里首先提出了平(ping)分(fen)黃道為24等(deng)份(fen)，以太陽(yang)實際走完每(mei)(mei)(mei)個等(deng)份(fen)的(de)時(shi)(shi)間長(chang)度(du)為各節(jie)氣長(chang)度(du)，這(zhe)就是(shi)通常所稱(cheng)的(de)“定(ding)(ding)(ding)氣”概念。一(yi)行(xing)提出正確的(de)定(ding)(ding)(ding)氣概念以后(hou)，在計算太陽(yang)改(gai)正時(shi)(shi)自然(ran)(ran)就以定(ding)(ding)(ding)氣為插(cha)值(zhi)間隔。至于插(cha)值(zhi)法(fa)(fa)本(ben)身則(ze)完全是(shi)沿用劉(liu)(liu)焯的(de)方法(fa)(fa)。
值(zhi)得一提的是，劉焯在日躔表中規定(ding)太陽視(shi)運動一年內的變(bian)化規律是：冬(dong)(dong)(dong)至最(zui)(zui)(zui)快，冬(dong)(dong)(dong)至后(hou)(hou)漸慢(man)，到(dao)立(li)春(chun)(chun)時開始加快，春(chun)(chun)分(fen)時又(you)達到(dao)最(zui)(zui)(zui)快，冬(dong)(dong)(dong)至到(dao)春(chun)(chun)分(fen)這(zhe)段時間內日速(su)比平均速(su)度(du)快。春(chun)(chun)分(fen)后(hou)(hou)太陽視(shi)運動的速(su)度(du)突變(bian)為最(zui)(zui)(zui)慢(man)，之后(hou)(hou)逐漸加快，到(dao)立(li)夏(xia)時又(you)開始減慢(man)，夏(xia)至達到(dao)最(zui)(zui)(zui)慢(man)。春(chun)(chun)分(fen)到(dao)夏(xia)至時段內比平均速(su)度(du)慢(man)。夏(xia)至以后(hou)(hou)的變(bian)化情況以夏(xia)至處為鏡面對(dui)稱。
《大(da)衍(yan)歷(li)》盈(ying)縮(suo)分一年內的(de)變化趨(qu)勢將盈(ying)縮(suo)分在冬至附近最大(da)，以后逐漸(jian)(jian)變小(xiao)，夏(xia)至時最小(xiao)，之后又逐漸(jian)(jian)增(zeng)大(da)。這相當于把冬至作為(wei)太陽視運(yun)動的(de)近日(ri)點(dian)，夏(xia)至為(wei)遠(yuan)日(ri)點(dian)。這種認識(shi)是(shi)正確的(de)，而(er)《皇極歷(li)》的(de)規(gui)定是(shi)不符合(he)實際的(de)。
說(shuo)一(yi)行有(you)(you)意識地應用了(le)三(san)次(ci)差(cha)內插(cha)(cha)(cha)法(fa)(fa)的(de)(de)(de)近似公式(shi)，是指《大衍歷(li)(li)》的(de)(de)(de)月亮極黃(huang)緯算法(fa)(fa)和五星中(zhong)(zhong)(zhong)心差(cha)改(gai)正算法(fa)(fa)中(zhong)(zhong)(zhong)所(suo)用的(de)(de)(de)插(cha)(cha)(cha)值法(fa)(fa)。當對中(zhong)(zhong)(zhong)國古代(dai)歷(li)(li)法(fa)(fa)中(zhong)(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)插(cha)(cha)(cha)值法(fa)(fa)的(de)(de)(de)構造原理有(you)(you)了(le)深(shen)入的(de)(de)(de)認識之后(hou)，研(yan)究(jiu)者進一(yi)步通過將這兩(liang)處插(cha)(cha)(cha)值法(fa)(fa)的(de)(de)(de)有(you)(you)關術文(wen)(wen)與(yu)劉焯二(er)次(ci)等間(jian)距插(cha)(cha)(cha)值法(fa)(fa)的(de)(de)(de)術文(wen)(wen)進行對比研(yan)究(jiu)，證明兩(liang)者在(zai)實(shi)質上也是相同的(de)(de)(de)。
人們之所以會認為《大(da)衍歷(li)》使用了三(san)次差插值法(fa)，是(shi)因為《大(da)衍歷(li)》在上(shang)(shang)述兩種算(suan)法(fa)的(de)(de)(de)插值法(fa)中都引入(ru)了“中差”概(gai)念的(de)(de)(de)緣故。但實際上(shang)(shang)一(yi)行(xing)引入(ru)“中差”的(de)(de)(de)原(yuan)因在于，劉焯日躔表中的(de)(de)(de)各氣陟降率之差是(shi)相等的(de)(de)(de)，而《大(da)衍歷(li)》月亮極(ji)(ji)黃緯(wei)等數表相鄰兩欄的(de)(de)(de)差一(yi)般不等。這(zhe)種現(xian)(xian)(xian)(xian)象的(de)(de)(de)出現(xian)(xian)(xian)(xian)，正(zheng)是(shi)一(yi)行(xing)受命改歷(li)時作了大(da)量天文觀測的(de)(de)(de)結果。若仍照搬《皇極(ji)(ji)歷(li)》的(de)(de)(de)做法(fa)，就(jiu)(jiu)會出現(xian)(xian)(xian)(xian)同(tong)一(yi)點處(chu)有可能得到兩個不同(tong)的(de)(de)(de)值的(de)(de)(de)現(xian)(xian)(xian)(xian)象，這(zhe)就(jiu)(jiu)迫使一(yi)行(xing)必(bi)須在計算(suan)方法(fa)上(shang)(shang)進(jin)行(xing)一(yi)點細(xi)節上(shang)(shang)的(de)(de)(de)調整。
巧笑倩兮 
