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歷史背景

數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學中的(de)(de)轉折點是(shi)(shi)笛卡爾的(de)(de)變數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，有了(le)變數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，運(yun)動進(jin)入(ru)了(le)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學，有了(le)變數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，辯證法進(jin)入(ru)了(le)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學，有了(le)變數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，微分學和積(ji)分學也就(jiu)立刻成為必要的(de)(de)了(le)，而它們也就(jiu)立刻產(chan)生(sheng)，并(bing)且是(shi)(shi)由(you)牛(niu)頓和萊布(bu)尼茲(zi)大(da)體上(shang)完成的(de)(de)，但不是(shi)(shi)由(you)他們發明的(de)(de)。——恩格(ge)斯

從15世紀初歐洲文藝復興時(shi)(shi)(shi)期(qi)(qi)起(qi)，工業、農業、航海事(shi)業與商(shang)賈(jia)貿(mao)易(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)大(da)規模發(fa)展(zhan)，形成了(le)一個(ge)新的(de)(de)(de)(de)(de)經濟時(shi)(shi)(shi)代，宗教(jiao)改革與對(dui)教(jiao)會思(si)想禁(jin)錮的(de)(de)(de)(de)(de)懷疑，東方先進的(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)(ke)(ke)學(xue)技(ji)術通過(guo)阿拉(la)伯的(de)(de)(de)(de)(de)傳入，以及(ji)拜(bai)占庭帝國覆滅后(hou)希臘(la)大(da)量(liang)文獻(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)流入歐洲，在當時(shi)(shi)(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)知(zhi)識(shi)階層面前呈現(xian)出(chu)一個(ge)完全嶄新的(de)(de)(de)(de)(de)面貌。而十六(liu)世紀的(de)(de)(de)(de)(de)歐洲，正(zheng)處在資(zi)本(ben)主義萌(meng)芽時(shi)(shi)(shi)期(qi)(qi)，生產力得(de)到(dao)了(le)很大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)發(fa)展(zhan)，生產實踐的(de)(de)(de)(de)(de)發(fa)展(zhan)向自然科(ke)(ke)(ke)學(xue)提出(chu)了(le)新的(de)(de)(de)(de)(de)課(ke)題，迫切(qie)要求(qiu)力學(xue)、天(tian)文學(xue)等(deng)基礎學(xue)科(ke)(ke)(ke)的(de)(de)(de)(de)(de)發(fa)展(zhan)，而這些學(xue)科(ke)(ke)(ke)都(dou)是深刻依賴于(yu)數(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)，因而也推動的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)發(fa)展(zhan)。科(ke)(ke)(ke)學(xue)對(dui)數(shu)學(xue)提出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)種(zhong)種(zhong)要求(qiu)，最后(hou)匯總成多個(ge)核心問題：

（1）運(yun)動中速度與距離的互求(qiu)問題

即，已(yi)知(zhi)(zhi)物(wu)(wu)體(ti)(ti)移(yi)動(dong)(dong)的(de)(de)距(ju)離(li)(li)表為(wei)時(shi)(shi)(shi)(shi)間(jian)的(de)(de)函數的(de)(de)公(gong)式，求物(wu)(wu)體(ti)(ti)在任(ren)意時(shi)(shi)(shi)(shi)刻(ke)(ke)的(de)(de)速(su)度(du)和加(jia)速(su)度(du)；反過來(lai)，已(yi)知(zhi)(zhi)物(wu)(wu)體(ti)(ti)的(de)(de)加(jia)速(su)度(du)表為(wei)時(shi)(shi)(shi)(shi)間(jian)的(de)(de)函數的(de)(de)公(gong)式，求速(su)度(du)和距(ju)離(li)(li)。這類(lei)問題是(shi)(shi)研究運(yun)動(dong)(dong)時(shi)(shi)(shi)(shi)直接(jie)出現的(de)(de)，困難在于，所研究的(de)(de)速(su)度(du)和加(jia)速(su)度(du)是(shi)(shi)每時(shi)(shi)(shi)(shi)每刻(ke)(ke)都在變化的(de)(de)。比如(ru)，計(ji)算(suan)物(wu)(wu)體(ti)(ti)在某時(shi)(shi)(shi)(shi)刻(ke)(ke)的(de)(de)瞬(shun)時(shi)(shi)(shi)(shi)速(su)度(du)，就不(bu)能象計(ji)算(suan)平均速(su)度(du)那樣，用運(yun)動(dong)(dong)的(de)(de)時(shi)(shi)(shi)(shi)間(jian)去(qu)除(chu)移(yi)動(dong)(dong)的(de)(de)距(ju)離(li)(li)，因為(wei)在給定的(de)(de)瞬(shun)間(jian)，物(wu)(wu)體(ti)(ti)移(yi)動(dong)(dong)的(de)(de)距(ju)離(li)(li)和所用的(de)(de)時(shi)(shi)(shi)(shi)間(jian)是(shi)(shi)，而是(shi)(shi)無意義的(de)(de)。但是(shi)(shi)，根據物(wu)(wu)理(li)，每個運(yun)動(dong)(dong)的(de)(de)物(wu)(wu)體(ti)(ti)在它運(yun)動(dong)(dong)的(de)(de)每一時(shi)(shi)(shi)(shi)刻(ke)(ke)必有速(su)度(du)，這也是(shi)(shi)無疑的(de)(de)。已(yi)知(zhi)(zhi)速(su)度(du)公(gong)式求移(yi)動(dong)(dong)距(ju)離(li)(li)的(de)(de)問題，也遇到同樣的(de)(de)困難。因為(wei)速(su)度(du)每時(shi)(shi)(shi)(shi)每刻(ke)(ke)都在變化，所以不(bu)能用運(yun)動(dong)(dong)的(de)(de)時(shi)(shi)(shi)(shi)間(jian)乘任(ren)意時(shi)(shi)(shi)(shi)刻(ke)(ke)的(de)(de)速(su)度(du)，來(lai)得到物(wu)(wu)體(ti)(ti)移(yi)動(dong)(dong)的(de)(de)距(ju)離(li)(li)。

（2）求曲線的切線問題(ti)

這個問題(ti)本身(shen)是純幾(ji)何的(de)(de)(de)，而且(qie)對于(yu)(yu)科(ke)學(xue)應用(yong)有巨大(da)的(de)(de)(de)重(zhong)(zhong)要(yao)性(xing)。由于(yu)(yu)研究天文的(de)(de)(de)需(xu)要(yao)，光(guang)學(xue)是十七世紀的(de)(de)(de)一門較重(zhong)(zhong)要(yao)的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)研究，透鏡的(de)(de)(de)設計者要(yao)研究光(guang)線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)通(tong)過透鏡的(de)(de)(de)通(tong)道(dao)，必須知道(dao)光(guang)線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)入射(she)透鏡的(de)(de)(de)角度(du)以便(bian)應用(yong)反射(she)定(ding)律，這里(li)重(zhong)(zhong)要(yao)的(de)(de)(de)是光(guang)線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)與曲(qu)線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)法線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)間的(de)(de)(de)夾角，而法線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)是垂直于(yu)(yu)切(qie)線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)，所(suo)以總是就在(zai)于(yu)(yu)求出法線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)或切(qie)線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)；另一個涉及到曲(qu)線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)切(qie)線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)問題(ti)出現于(yu)(yu)運動(dong)(dong)的(de)(de)(de)研究中，求運動(dong)(dong)物體在(zai)它的(de)(de)(de)軌跡上任一點上的(de)(de)(de)運動(dong)(dong)方(fang)向，即軌跡的(de)(de)(de)切(qie)線(xian)(xian)(xian)(xian)(xian)方(fang)向。

（3）求(qiu)長度、面(mian)積、體積、與(yu)重心問題等

這些問(wen)題包括，求(qiu)(qiu)(qiu)曲(qu)線的(de)(de)(de)長度(du)(du)（如(ru)(ru)(ru)行星在已知時(shi)期移動(dong)的(de)(de)(de)距離），曲(qu)線圍成的(de)(de)(de)面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)，曲(qu)面(mian)(mian)(mian)圍成的(de)(de)(de)體(ti)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)，物(wu)(wu)體(ti)的(de)(de)(de)重心(xin)，一個相當(dang)(dang)(dang)大的(de)(de)(de)物(wu)(wu)體(ti)（如(ru)(ru)(ru)行星）作(zuo)用于(yu)另一物(wu)(wu)體(ti)上的(de)(de)(de)引力。實際上，關于(yu)計算(suan)橢圓的(de)(de)(de)長度(du)(du)的(de)(de)(de)問(wen)題，就(jiu)難(nan)住數(shu)學家(jia)們(men)，以(yi)致有(you)一段時(shi)期數(shu)學家(jia)們(men)對這個問(wen)題的(de)(de)(de)進一步工作(zuo)失敗了(le)(le)，直(zhi)到(dao)下一世紀才得到(dao)新的(de)(de)(de)結(jie)果(guo)。又如(ru)(ru)(ru)求(qiu)(qiu)(qiu)面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)問(wen)題，早在古希臘時(shi)期人們(men)就(jiu)用窮竭(jie)法(fa)(fa)求(qiu)(qiu)(qiu)出了(le)(le)一些面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)和(he)體(ti)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)，如(ru)(ru)(ru)求(qiu)(qiu)(qiu)拋(pao)物(wu)(wu)線在區間上與軸和(he)直(zhi)線所圍成的(de)(de)(de)面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)，他們(men)就(jiu)采用了(le)(le)窮竭(jie)法(fa)(fa)。當(dang)(dang)(dang)越來(lai)越小時(shi)，右(you)端的(de)(de)(de)結(jie)果(guo)就(jiu)越來(lai)越接近所求(qiu)(qiu)(qiu)的(de)(de)(de)面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)精確值(zhi)。但(dan)是，應用窮竭(jie)法(fa)(fa)，必(bi)須添上許多(duo)技藝，并(bing)且缺乏一般性，常常得不(bu)到(dao)數(shu)字(zi)解。當(dang)(dang)(dang)阿基(ji)米德(de)的(de)(de)(de)工作(zuo)在歐(ou)洲聞名(ming)時(shi)，求(qiu)(qiu)(qiu)長度(du)(du)、面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)和(he)重心(xin)的(de)(de)(de)興(xing)趣復活了(le)(le)。窮竭(jie)法(fa)(fa)先是逐(zhu)漸地被(bei)修改，后來(lai)由于(yu)微積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)分的(de)(de)(de)創立(li)而根本(ben)地修改了(le)(le)。

（4）求最大值和最小值問題

炮(pao)彈在炮(pao)筒里(li)射(she)(she)(she)出，它運行的(de)(de)水平距離，即(ji)射(she)(she)(she)程(cheng)，依賴于炮(pao)筒對地(di)面(mian)的(de)(de)傾斜角(jiao)，即(ji)發(fa)(fa)射(she)(she)(she)角(jiao)。一個“實際(ji)”的(de)(de)問題是(shi)(shi)求(qiu)能(neng)獲得(de)最大(da)(da)射(she)(she)(she)程(cheng)的(de)(de)發(fa)(fa)射(she)(she)(she)角(jiao)。十七(qi)世紀初期，Galileo斷定（在真空中）最大(da)(da)射(she)(she)(she)程(cheng)在發(fa)(fa)射(she)(she)(she)角(jiao)是(shi)(shi)時達到(dao)；他還得(de)出炮(pao)彈從各個不(bu)同(tong)角(jiao)度發(fa)(fa)射(she)(she)(she)后所(suo)達到(dao)的(de)(de)不(bu)同(tong)的(de)(de)最大(da)(da)高度。研究行星(xing)的(de)(de)運動(dong)也涉及到(dao)最大(da)(da)值和最小值的(de)(de)問題，如求(qiu)行星(xing)離開太陽的(de)(de)距離。

創立過程

早期思想

早在(zai)公元前(qian)7世紀，古(gu)希(xi)臘(la)科學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)、哲學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)泰勒斯就對(dui)(dui)球的(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)(ji)、與(yu)長度等問(wen)題(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)研究(jiu)就含(han)(han)有(you)微(wei)積(ji)(ji)(ji)分(fen)思想。古(gu)希(xi)臘(la)數學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)、力學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)阿基米德（公元前(qian)287~前(qian)212）的(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作《圓的(de)(de)(de)(de)(de)測量》和(he)(he)《論球與(yu)圓柱》中就已含(han)(han)有(you)積(ji)(ji)(ji)分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)萌芽，他在(zai)研究(jiu)解(jie)決(jue)拋物線(xian)下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)弓形面(mian)積(ji)(ji)(ji)、球和(he)(he)球冠面(mian)積(ji)(ji)(ji)、螺(luo)線(xian)下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)(ji)和(he)(he)旋轉(zhuan)雙曲線(xian)所得的(de)(de)(de)(de)(de)體(ti)積(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)題(ti)中就隱含(han)(han)著(zhu)近代(dai)積(ji)(ji)(ji)分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)思想。中國(guo)古(gu)代(dai)數學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)也產生過積(ji)(ji)(ji)分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)萌芽思想，例(li)如三(san)國(guo)時(shi)期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)劉(liu)徽，他對(dui)(dui)積(ji)(ji)(ji)分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)思想主要(yao)有(you)兩(liang)點：割(ge)圓術及求體(ti)積(ji)(ji)(ji)問(wen)題(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)設想。

在3世(shi)紀，中國數(shu)學家劉(liu)徽創立的(de)割(ge)圓(yuan)術用圓(yuan)內接正九十六邊形的(de)面積近似(si)代替圓(yuan)面積，求出圓(yuan)周(zhou)率的(de)近似(si)值，并指出：“割(ge)之彌(mi)細(xi)，所(suo)(suo)失彌(mi)少，割(ge)之又割(ge)，以至不(bu)可割(ge)，則與圓(yuan)合(he)體而無所(suo)(suo)失矣(yi)”。劉(liu)徽對面積的(de)深刻(ke)認(ren)識(shi)和(he)他的(de)割(ge)圓(yuan)術方(fang)法，正是極限(xian)思想的(de)具體體現。數(shu)列(lie)(lie)(lie)極限(xian)是函數(shu)極限(xian)的(de)基礎，一(yi)個數(shu)列(lie)(lie)(lie)如(ru)果(guo)當無限(xian)增大時，與某一(yi)實(shi)數(shu)無限(xian)接近，就稱之為收斂(lian)數(shu)列(lie)(lie)(lie)，為數(shu)列(lie)(lie)(lie)的(de)極限(xian)。

客觀價值

客(ke)觀世界的一切事物(wu)，小至粒子(zi)，大至宇宙，始(shi)終都(dou)在運動和(he)變化著。因此在數學中引入(ru)了(le)變量的概念后，就有可能把(ba)運動現象用(yong)數學來加以(yi)描述了(le)。

由于函數(shu)(shu)概念的(de)產(chan)生和運用(yong)的(de)加(jia)深(shen)，也由于科學(xue)(xue)(xue)技術發(fa)展的(de)需要，一(yi)門新的(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)分支就繼(ji)(ji)解(jie)析幾何之(zhi)后產(chan)生了，這(zhe)就是微積(ji)分學(xue)(xue)(xue)。微積(ji)分學(xue)(xue)(xue)這(zhe)門學(xue)(xue)(xue)科在數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)發(fa)展中的(de)地位是十分重(zhong)要的(de)，可(ke)以(yi)說它(ta)是繼(ji)(ji)歐氏幾何后，全部數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)中的(de)最(zui)大的(de)一(yi)個創造(zao)。

歷史

微(wei)(wei)積(ji)分(fen)的(de)產生(sheng)一般分(fen)為三個(ge)階段(duan)：極限概念；求積(ji)的(de)無限小(xiao)方(fang)法；積(ji)分(fen)與微(wei)(wei)分(fen)的(de)互逆(ni)關系。最(zui)后一步是由牛頓、萊布尼(ni)茲完成的(de)。前兩階段(duan)的(de)工作，歐洲的(de)大(da)批數(shu)學家(jia)一直追溯到古(gu)希(xi)臘的(de)阿基米德都(dou)作出了(le)各自的(de)貢獻(xian)。對(dui)于(yu)這方(fang)面的(de)工作，古(gu)代中(zhong)國毫不遜色(se)于(yu)西(xi)方(fang)，微(wei)(wei)積(ji)分(fen)思想在古(gu)代中(zhong)國也(ye)有萌芽，甚(shen)至不次于(yu)古(gu)希(xi)臘。

微分早期

早在公元(yuan)(yuan)前7世紀，古(gu)希(xi)(xi)臘科(ke)學(xue)(xue)家、哲學(xue)(xue)家泰勒斯(si)就(jiu)對球(qiu)(qiu)的(de)(de)面積(ji)、體(ti)積(ji)、與長(chang)度等問(wen)題(ti)(ti)的(de)(de)研(yan)究就(jiu)含(han)有(you)微積(ji)分思(si)想。古(gu)希(xi)(xi)臘數學(xue)(xue)家、力學(xue)(xue)家阿基(ji)米德（公元(yuan)(yuan)前287~前212）的(de)(de)著(zhu)作《圓的(de)(de)測(ce)量》和《論球(qiu)(qiu)與圓柱》中(zhong)就(jiu)已含(han)有(you)積(ji)分學(xue)(xue)的(de)(de)萌芽，他在研(yan)究解決拋物(wu)線(xian)下的(de)(de)弓形面積(ji)、球(qiu)(qiu)和球(qiu)(qiu)冠面積(ji)、螺(luo)線(xian)下的(de)(de)面積(ji)和旋(xuan)轉雙曲線(xian)所得的(de)(de)體(ti)積(ji)的(de)(de)問(wen)題(ti)(ti)中(zhong)就(jiu)隱含(han)著(zhu)近代積(ji)分的(de)(de)思(si)想。

極限思想

早在公(gong)(gong)元(yuan)前(qian)(qian)7世紀(ji)，古(gu)(gu)希臘科學家、哲學家泰勒(le)斯(si)就(jiu)對球的面(mian)積、體積、與長度等問(wen)題的研究就(jiu)含有(you)微積分思想(xiang)。公(gong)(gong)元(yuan)前(qian)(qian)4世紀(ji)《墨經》中有(you)了有(you)窮(qiong)、無(wu)(wu)窮(qiong)、無(wu)(wu)限(xian)小(xiao)（最小(xiao)無(wu)(wu)內）、無(wu)(wu)窮(qiong)大(da)（最大(da)無(wu)(wu)外）的定義(yi)和極限(xian)、瞬(shun)時等概念。劉(liu)徽(hui)公(gong)(gong)元(yuan)263年(nian)首創的割圓(yuan)術(shu)求圓(yuan)面(mian)積和方錐體積，求得圓(yuan)周率約等于3.1416，他的極限(xian)思想(xiang)和無(wu)(wu)窮(qiong)小(xiao)方法(fa)，是世界古(gu)(gu)代(dai)極限(xian)思想(xiang)的深刻體現。

公元前(qian)三世(shi)紀，古希臘(la)的(de)(de)(de)阿(a)基(ji)米德在(zai)研究解決拋(pao)物(wu)弓(gong)形的(de)(de)(de)面(mian)(mian)積(ji)、球和(he)球冠面(mian)(mian)積(ji)、螺線(xian)下面(mian)(mian)積(ji)和(he)旋(xuan)轉雙曲體(ti)的(de)(de)(de)體(ti)積(ji)的(de)(de)(de)問題(ti)中(zhong)(zhong)，就隱含著(zhu)近代(dai)積(ji)分學的(de)(de)(de)思想。作(zuo)為微分學基(ji)礎的(de)(de)(de)極限理論來說(shuo)，在(zai)古代(dai)以(yi)有(you)比(bi)較清楚的(de)(de)(de)論述。比(bi)如我國的(de)(de)(de)莊(zhuang)周所(suo)(suo)著(zhu)的(de)(de)(de)《莊(zhuang)子》一書的(de)(de)(de)“天下篇(pian)”中(zhong)(zhong)，記有(you)“一尺之棰(chui)，日(ri)取(qu)其半，萬世(shi)不竭”。三國時期(qi)的(de)(de)(de)劉徽在(zai)他的(de)(de)(de)割圓術中(zhong)(zhong)提到“割之彌細(xi)，所(suo)(suo)失(shi)彌小，割之又割，以(yi)至于不可割，則與圓周和(he)體(ti)而無所(suo)(suo)失(shi)矣。”這些都是樸素的(de)(de)(de)、也(ye)是很典型的(de)(de)(de)極限概念。

微積分思想

微(wei)積分思想(xiang)雖然可追(zhui)溯到古(gu)希臘，但它的(de)(de)(de)概(gai)念(nian)和(he)法則卻(que)是16世紀下半(ban)葉，開普勒、卡瓦列利等求(qiu)積的(de)(de)(de)不可分量思想(xiang)和(he)方(fang)法基礎上產生和(he)發展起來的(de)(de)(de)。而這些思想(xiang)和(he)方(fang)法從劉(liu)徽對(dui)圓(yuan)錐(zhui)、圓(yuan)臺(tai)、圓(yuan)柱的(de)(de)(de)體(ti)積公式的(de)(de)(de)證明(ming)到公元5世紀祖恒(heng)求(qiu)球體(ti)積的(de)(de)(de)方(fang)法中都(dou)可找到。北宋大科學家沈括的(de)(de)(de)《夢(meng)溪(xi)筆談》獨創了“隙積術(shu)”、“會圓(yuan)術(shu)”和(he)“棋局都(dou)數術(shu)”開創了對(dui)高階(jie)等差級數求(qiu)和(he)的(de)(de)(de)研(yan)究。

特(te)別是13世(shi)(shi)紀(ji)40年代到14世(shi)(shi)紀(ji)初，在主要(yao)領域(yu)都達到了中(zhong)國(guo)古(gu)代數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)高(gao)峰(feng)，出(chu)(chu)現(xian)了現(xian)通稱賈(jia)憲三(san)角形的(de)(de)“開方(fang)作法(fa)本源圖”和增乘(cheng)開方(fang)法(fa)、“正(zheng)負開方(fang)術(shu)”、“大(da)衍求一(yi)(yi)術(shu)”、“大(da)衍總數(shu)(shu)術(shu)”（一(yi)(yi)次同(tong)余式組解(jie)法(fa)）、“垛積(ji)(ji)(ji)術(shu)”（高(gao)階等差級(ji)數(shu)(shu)求和）、“招差術(shu)”（高(gao)次差內(nei)差法(fa)）、“天元(yuan)術(shu)”（數(shu)(shu)字高(gao)次方(fang)程(cheng)一(yi)(yi)般解(jie)法(fa)）、“四元(yuan)術(shu)”（四元(yuan)高(gao)次方(fang)程(cheng)組解(jie)法(fa)）、勾股數(shu)(shu)學(xue)、弧矢割圓術(shu)、組合數(shu)(shu)學(xue)、計算(suan)技術(shu)改(gai)革(ge)和珠算(suan)等都是在世(shi)(shi)界數(shu)(shu)學(xue)史上有(you)重要(yao)地(di)位(wei)的(de)(de)杰出(chu)(chu)成果，中(zhong)國(guo)古(gu)代數(shu)(shu)學(xue)有(you)了微(wei)積(ji)(ji)(ji)分(fen)前兩階段的(de)(de)出(chu)(chu)色工作，其中(zhong)許多(duo)都是微(wei)積(ji)(ji)(ji)分(fen)得以創立的(de)(de)關(guan)鍵。中(zhong)國(guo)已(yi)具備了17世(shi)(shi)紀(ji)發明微(wei)積(ji)(ji)(ji)分(fen)前夕的(de)(de)全(quan)部內(nei)在條件，已(yi)經接近了微(wei)積(ji)(ji)(ji)分(fen)的(de)(de)大(da)門。可惜中(zhong)國(guo)元(yuan)朝以后，八股取(qu)士制造成了學(xue)術(shu)上的(de)(de)大(da)倒退(tui)，封建(jian)統治(zhi)的(de)(de)文化專制和盲目(mu)排外(wai)致使包括數(shu)(shu)學(xue)在內(nei)的(de)(de)科學(xue)日漸衰落(luo)，在微(wei)積(ji)(ji)(ji)分(fen)創立的(de)(de)最關(guan)鍵一(yi)(yi)步落(luo)伍了。

十七世紀

到了十七世紀，有許(xu)多科學問(wen)(wen)題(ti)(ti)需要解(jie)決，這些問(wen)(wen)題(ti)(ti)也(ye)就(jiu)(jiu)成(cheng)(cheng)了促使微(wei)積(ji)分產生(sheng)的(de)(de)(de)因素。歸(gui)結起來(lai)，大約有四種主要類(lei)型(xing)的(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)(ti)：第(di)一(yi)類(lei)是(shi)研究(jiu)運動的(de)(de)(de)時候直接出現的(de)(de)(de)，也(ye)就(jiu)(jiu)是(shi)求(qiu)(qiu)即時速度的(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)(ti)。第(di)二類(lei)問(wen)(wen)題(ti)(ti)是(shi)求(qiu)(qiu)曲線(xian)(xian)的(de)(de)(de)切線(xian)(xian)的(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)(ti)。第(di)三類(lei)問(wen)(wen)題(ti)(ti)是(shi)求(qiu)(qiu)函數的(de)(de)(de)最(zui)大值和最(zui)小(xiao)值問(wen)(wen)題(ti)(ti)。第(di)四類(lei)問(wen)(wen)題(ti)(ti)是(shi)求(qiu)(qiu)曲線(xian)(xian)長、曲線(xian)(xian)圍成(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)面(mian)積(ji)、曲面(mian)圍成(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)體(ti)積(ji)、物(wu)體(ti)的(de)(de)(de)重心、一(yi)個體(ti)積(ji)相當(dang)大的(de)(de)(de)物(wu)體(ti)作(zuo)用(yong)于另(ling)一(yi)物(wu)體(ti)上的(de)(de)(de)引力。

數(shu)學(xue)首先從對運(yun)動（如天文、航(hang)海問題(ti)等）的(de)(de)研(yan)究中(zhong)(zhong)引(yin)出了(le)一(yi)(yi)個(ge)基本概(gai)(gai)念(nian)，在(zai)那(nei)以后(hou)的(de)(de)二百(bai)年(nian)里，這(zhe)個(ge)概(gai)(gai)念(nian)在(zai)幾(ji)乎(hu)所有的(de)(de)工(gong)作中(zhong)(zhong)占中(zhong)(zhong)心(xin)位(wei)置，這(zhe)就是函數(shu)——或(huo)變量間(jian)關(guan)系——的(de)(de)概(gai)(gai)念(nian)。緊(jin)接著函數(shu)概(gai)(gai)念(nian)的(de)(de)采用，產生(sheng)了(le)微積分，它是繼Euclid幾(ji)何之后(hou)，全部數(shu)學(xue)中(zhong)(zhong)的(de)(de)一(yi)(yi)個(ge)最(zui)大(da)的(de)(de)創造。圍繞著解決上述四(si)個(ge)核(he)心(xin)的(de)(de)科(ke)學(xue)問題(ti)，微積分問題(ti)至少被十七世紀十幾(ji)個(ge)最(zui)大(da)的(de)(de)數(shu)學(xue)家(jia)和(he)幾(ji)十個(ge)小(xiao)一(yi)(yi)些的(de)(de)數(shu)學(xue)家(jia)探索過。位(wei)于他(ta)們(men)全部貢獻(xian)頂峰的(de)(de)是牛頓(dun)和(he)萊布尼茨的(de)(de)成就。在(zai)此(ci)，我們(men)主要來介紹(shao)這(zhe)兩(liang)位(wei)大(da)師的(de)(de)工(gong)作。

實際上，在牛(niu)頓和萊布尼茨作(zuo)出他們(men)的(de)沖刺之前，微(wei)積分(fen)的(de)大量知(zhi)識已(yi)經積累起來了(le)。十七世紀(ji)的(de)許多著名的(de)數(shu)學(xue)家、天(tian)文學(xue)家、物理學(xue)家都(dou)為解決上述幾類問題作(zuo)了(le)大量的(de)研究工(gong)作(zuo)，如法國的(de)費(fei)馬(ma)、笛(di)(di)卡爾、羅伯瓦(wa)、笛(di)(di)沙格；英國的(de)巴羅、沃(wo)利斯；德國的(de)開普勒；意大利的(de)卡瓦(wa)列里等人都(dou)提出許多很有(you)建樹的(de)理論。為微(wei)積分(fen)的(de)創立做出了(le)貢獻。

例(li)如費馬(ma)、巴羅、笛卡爾(er)都(dou)對(dui)求曲(qu)線的(de)(de)(de)切線以及(ji)曲(qu)線圍(wei)成的(de)(de)(de)面(mian)積問(wen)(wen)題有(you)(you)過深(shen)入的(de)(de)(de)研究(jiu)，并且得(de)到了(le)(le)一些結(jie)果，但是(shi)他們都(dou)沒有(you)(you)意(yi)識到它的(de)(de)(de)重要(yao)性。在十七世紀的(de)(de)(de)前三分(fen)之二(er)，微積分(fen)的(de)(de)(de)工作沉沒在細(xi)節里，作用不大的(de)(de)(de)細(xi)微末節的(de)(de)(de)推(tui)理使他們筋疲力盡了(le)(le)。只(zhi)有(you)(you)少數幾個大學(xue)家(jia)(jia)意(yi)識到了(le)(le)這(zhe)個問(wen)(wen)題，如James Gregory說過：“數學(xue)的(de)(de)(de)真正劃(hua)分(fen)不是(shi)分(fen)成幾何(he)和算術，而(er)是(shi)分(fen)成普遍的(de)(de)(de)和特殊的(de)(de)(de)”。而(er)這(zhe)普遍的(de)(de)(de)東(dong)西是(shi)由兩個包羅萬象(xiang)的(de)(de)(de)思想家(jia)(jia)牛頓和萊布尼(ni)茨提供的(de)(de)(de)。

十七世紀(ji)下半葉，在前人工(gong)作(zuo)的(de)(de)(de)基礎上，英國大科學(xue)家牛(niu)頓和德國數學(xue)家萊布(bu)尼茨分(fen)(fen)別(bie)在自己的(de)(de)(de)國度里獨自研(yan)究和完成(cheng)了微積(ji)(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)(de)創立工(gong)作(zuo)，雖然這(zhe)只是(shi)(shi)十分(fen)(fen)初步(bu)的(de)(de)(de)工(gong)作(zuo)。他們的(de)(de)(de)最大功(gong)績是(shi)(shi)把兩(liang)個(ge)貌似毫不(bu)相(xiang)關的(de)(de)(de)問(wen)題聯系在一起，一個(ge)是(shi)(shi)切線問(wen)題（微分(fen)(fen)學(xue)的(de)(de)(de)中(zhong)心問(wen)題），一個(ge)是(shi)(shi)求積(ji)(ji)問(wen)題（積(ji)(ji)分(fen)(fen)學(xue)的(de)(de)(de)中(zhong)心問(wen)題）。

牛頓和萊布(bu)尼(ni)(ni)茨(ci)建立(li)微積分(fen)的(de)出發點是(shi)(shi)直觀的(de)無窮(qiong)小量，因(yin)此這門(men)學(xue)(xue)科早期也稱為無窮(qiong)小分(fen)析，這正是(shi)(shi)數學(xue)(xue)中分(fen)析學(xue)(xue)這一(yi)大分(fen)支名稱的(de)來(lai)源。牛頓研(yan)究(jiu)微積分(fen)著重于從運動學(xue)(xue)來(lai)考(kao)慮，萊布(bu)尼(ni)(ni)茨(ci)卻是(shi)(shi)側重于幾何學(xue)(xue)來(lai)考(kao)慮的(de)。

牛頓

牛(niu)頓在1671年寫了《流數(shu)(shu)法(fa)和無(wu)窮級數(shu)(shu)》，這(zhe)本(ben)書(shu)直到1736年才出版，它(ta)在這(zhe)本(ben)書(shu)里(li)指出，變(bian)(bian)量是(shi)由(you)點、線、面的(de)(de)(de)連續運動產生(sheng)的(de)(de)(de)，否定了以前自己認(ren)為的(de)(de)(de)變(bian)(bian)量是(shi)無(wu)窮小元素的(de)(de)(de)靜(jing)止集合。他把連續變(bian)(bian)量叫做流動量，把這(zhe)些流動量的(de)(de)(de)導數(shu)(shu)叫做流數(shu)(shu)。牛(niu)頓在流數(shu)(shu)術中所(suo)提(ti)出的(de)(de)(de)中心(xin)問題是(shi)：已(yi)知連續運動的(de)(de)(de)路徑，求(qiu)給定時(shi)刻的(de)(de)(de)速度（微分法(fa)）；已(yi)知運動的(de)(de)(de)速度求(qiu)給定時(shi)間內(nei)經(jing)過的(de)(de)(de)路程(積分法(fa))。

萊布尼茨

德國的(de)(de)萊(lai)布(bu)(bu)尼茨(ci)是(shi)一(yi)(yi)個(ge)博才多學(xue)的(de)(de)學(xue)者(zhe)，1684年，他(ta)發表了(le)現(xian)在世界(jie)上認(ren)為(wei)是(shi)最早的(de)(de)微(wei)積分文(wen)獻，這篇文(wen)章(zhang)有(you)一(yi)(yi)個(ge)很長而且很古怪的(de)(de)名字《一(yi)(yi)種求極大極小和切線的(de)(de)新方法，它也適用(yong)于分式和無理量(liang)，以(yi)及這種新方法的(de)(de)奇妙類型的(de)(de)計算》。就是(shi)這樣(yang)一(yi)(yi)片說理也頗含糊的(de)(de)文(wen)章(zhang)，卻有(you)劃(hua)時代的(de)(de)意義。他(ta)以(yi)含有(you)現(xian)代的(de)(de)微(wei)分符號(hao)和基本微(wei)分法則(ze)。1686年，萊(lai)布(bu)(bu)尼茨(ci)發表了(le)第一(yi)(yi)篇積分學(xue)的(de)(de)文(wen)獻。他(ta)是(shi)歷(li)史上最偉大的(de)(de)符號(hao)學(xue)者(zhe)之一(yi)(yi)，他(ta)所(suo)創設的(de)(de)微(wei)積分符號(hao)，遠(yuan)遠(yuan)優于牛頓的(de)(de)符號(hao)，這對微(wei)積分的(de)(de)發展有(you)極大的(de)(de)影響。我們(men)使用(yong)的(de)(de)微(wei)積分通用(yong)符號(hao)就是(shi)當時萊(lai)布(bu)(bu)尼茨(ci)精心選(xuan)用(yong)的(de)(de)。

從(cong)幼年時代(dai)起，萊布(bu)尼(ni)茨就明(ming)顯(xian)展露出(chu)(chu)(chu)一顆燦(can)爛的(de)思想明(ming)星的(de)跡象。他13歲時就像其他孩(hai)子讀(du)小說一樣輕松地閱讀(du)經院學者(zhe)的(de)艱(jian)深(shen)的(de)論文(wen)了。他提出(chu)(chu)(chu)無窮小的(de)微積分算(suan)法，并且他發表自己(ji)(ji)的(de)成果比艾(ai)薩(sa)克·牛頓爵士將它的(de)手稿(gao)付(fu)梓早三年，而后(hou)者(zhe)宣稱自己(ji)(ji)第一個做(zuo)出(chu)(chu)(chu)了這項發現。

萊布尼茨是一個世故的人，取悅于宮廷并得到知名人士的庇(bi)護。他(ta)與(yu)斯(si)賓(bin)諾莎有私交，后者的哲學給他(ta)以深(shen)刻的印象，雖然他(ta)斷然與(yu)斯(si)賓(bin)諾莎的觀(guan)念分道揚鑣了。

萊布(bu)尼茨與哲學(xue)家(jia)(jia)、神學(xue)家(jia)(jia)和文人們進行著(zhu)廣泛的(de)(de)通信交往。在(zai)他的(de)(de)宏大(da)計劃中曾(ceng)嘗試達(da)成(cheng)新教(jiao)和天主(zhu)教(jiao)之間的(de)(de)一個和解以及基督教(jiao)國家(jia)(jia)之間的(de)(de)聯(lian)合，這種聯(lian)合在(zai)他那個時(shi)代意味(wei)著(zhu)歐洲聯(lian)盟。他還(huan)做(zuo)過后來成(cheng)為普魯士科學(xue)院的(de)(de)柏林(lin)科學(xue)協會的(de)(de)第一會長。

他(ta)曾(ceng)服務于漢諾威宮(gong)廷，但當喬治一世成為英(ying)格蘭國王時，萊布(bu)尼茨沒有被(bei)邀請(qing)同(tong)去，也(ye)許是(shi)由于他(ta)與(yu)牛頓的爭端。他(ta)的公眾影(ying)響力下降了，而在1716年(nian)，他(ta)再無人注意(yi)，甚至被(bei)他(ta)所(suo)創立的學會忽視(shi)的情況(kuang)下去世，終年(nian)70歲。

創立期爭議

微(wei)(wei)積分(fen)學(xue)的(de)創立，極(ji)大地推(tui)動(dong)了數學(xue)的(de)發展，過去很(hen)多(duo)初等數學(xue)束手(shou)無策的(de)問題，運用微(wei)(wei)積分(fen)，往往迎刃而解，顯示出(chu)微(wei)(wei)積分(fen)學(xue)的(de)非凡威(wei)力。

前面已經提到，一門(men)科學的創立決不是某一個人(ren)的業績(ji)，他必定是經過多少人(ren)的努力(li)后，在積累了大(da)量成果的基礎上，最(zui)后由某個人(ren)或(huo)幾個人(ren)總結完(wan)成的。微積分也(ye)是這樣。

不幸的(de)(de)(de)(de)是，由于人們在欣賞微積分的(de)(de)(de)(de)宏偉功效之余，在提出誰是這(zhe)門學(xue)(xue)科(ke)的(de)(de)(de)(de)創立者的(de)(de)(de)(de)時(shi)候，竟然引起(qi)了一場悍然大(da)波，造成了歐洲大(da)陸的(de)(de)(de)(de)數學(xue)(xue)家和英國(guo)數學(xue)(xue)家的(de)(de)(de)(de)長期對立。英國(guo)數學(xue)(xue)在一個(ge)時(shi)期里閉關鎖(suo)國(guo)，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的(de)(de)(de)(de)“流數術”中停步不前(qian)，因(yin)而數學(xue)(xue)發展整(zheng)整(zheng)落(luo)后了一百年。

其實(shi)，牛(niu)(niu)頓(dun)和萊布尼茨(ci)分(fen)別是自己獨立研究，在(zai)大體上相近的(de)時(shi)間里先后完成的(de)。比(bi)較特殊(shu)的(de)是牛(niu)(niu)頓(dun)創立微積(ji)分(fen)要比(bi)萊布尼茨(ci)早10年左右(you)，但是正式公(gong)開發表微積(ji)分(fen)這(zhe)一理論(lun)，萊布尼茨(ci)卻(que)要比(bi)牛(niu)(niu)頓(dun)發表早三年。他們(men)的(de)研究各有長處，也(ye)都各有短(duan)處。那時(shi)候，由于民(min)族(zu)偏見(jian)，關于發明優先權的(de)爭(zheng)論(lun)竟(jing)從1699年始延續了一百多年。

應該(gai)指(zhi)出，這是(shi)和(he)(he)歷史上任何一項(xiang)重大(da)理(li)論的(de)(de)完成都(dou)要經(jing)歷一段時(shi)間一樣，牛頓和(he)(he)萊布尼茨的(de)(de)工作也(ye)都(dou)是(shi)很不完善的(de)(de)。他(ta)們在無窮(qiong)和(he)(he)無窮(qiong)小量這個問(wen)題(ti)上，其說不一，十分含糊(hu)。牛頓的(de)(de)無窮(qiong)小量，有(you)時(shi)候是(shi)零(ling)，有(you)時(shi)候不是(shi)零(ling)而是(shi)有(you)限的(de)(de)小量；萊布尼茨的(de)(de)也(ye)不能(neng)自圓其說。這些基礎方(fang)面(mian)的(de)(de)缺陷，最終導(dao)致了第二次數(shu)學(xue)危(wei)機的(de)(de)產(chan)生(sheng)。

完善邏輯基礎

直(zhi)到(dao)19世紀初，法(fa)國(guo)科學(xue)(xue)學(xue)(xue)院的科學(xue)(xue)家以柯西為首，對(dui)微(wei)積(ji)(ji)分的理(li)論(lun)進行了(le)認真(zhen)研究，建立(li)了(le)極(ji)限理(li)論(lun)，後(hou)來又經過(guo)德國(guo)數學(xue)(xue)家維爾(er)斯(si)特(te)拉斯(si)進一(yi)步的嚴格化(hua)，使極(ji)限理(li)論(lun)成為了(le)微(wei)積(ji)(ji)分的堅定基礎。才使微(wei)積(ji)(ji)分進一(yi)步的發展(zhan)開來。任何(he)新(xin)興的、具有無量前途的科學(xue)(xue)成就都(dou)吸引著廣大(da)的科學(xue)(xue)工作者。在微(wei)積(ji)(ji)分的歷(li)史上(shang)也(ye)閃爍著這樣的一(yi)些明星：瑞士(shi)的雅(ya)科布·貝努利和(he)他的兄弟約翰·貝努利、歐(ou)拉、法(fa)國(guo)的拉格朗(lang)日(ri)、柯西……

歐氏幾何也好，上古和中世(shi)紀的代(dai)(dai)數(shu)(shu)學也好，都是一種常量(liang)數(shu)(shu)學，微(wei)積分才是真正的變量(liang)數(shu)(shu)學，是數(shu)(shu)學中的大革(ge)命。微(wei)積分是高等數(shu)(shu)學的主要分支，不(bu)只是局限(xian)在解決力(li)學中的變速問題(ti)，它馳騁在近(jin)代(dai)(dai)和現代(dai)(dai)科學技術園地里，建立了(le)數(shu)(shu)不(bu)清的豐功偉(wei)績。

微積分介紹

微(wei)積(ji)分(fen)(fen)(fen)(fen)（Calculus）是(shi)高等(deng)數(shu)(shu)學(xue)中研究函數(shu)(shu)的(de)(de)微(wei)分(fen)(fen)(fen)(fen)（Differentiation）、積(ji)分(fen)(fen)(fen)(fen)(Integration)以及(ji)有關(guan)概念和(he)應用(yong)的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)分(fen)(fen)(fen)(fen)支。它(ta)是(shi)數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)一(yi)個基(ji)礎(chu)學(xue)科。內容主要(yao)包(bao)(bao)括(kuo)(kuo)極(ji)限、微(wei)分(fen)(fen)(fen)(fen)學(xue)、積(ji)分(fen)(fen)(fen)(fen)學(xue)及(ji)其應用(yong)。微(wei)分(fen)(fen)(fen)(fen)學(xue)包(bao)(bao)括(kuo)(kuo)求導數(shu)(shu)的(de)(de)運算，是(shi)一(yi)套關(guan)于變(bian)化(hua)率(lv)的(de)(de)理論(lun)。它(ta)使得函數(shu)(shu)、速度、加速度和(he)曲線的(de)(de)斜(xie)率(lv)等(deng)均可用(yong)一(yi)套通用(yong)的(de)(de)符號進行討(tao)論(lun)。積(ji)分(fen)(fen)(fen)(fen)學(xue)，包(bao)(bao)括(kuo)(kuo)求積(ji)分(fen)(fen)(fen)(fen)的(de)(de)運算，為定(ding)義和(he)計算面積(ji)、體積(ji)等(deng)提供一(yi)套通用(yong)的(de)(de)方法。

微積分(fen)是與(yu)應(ying)(ying)(ying)用(yong)(yong)聯系著(zhu)發展(zhan)起(qi)來的(de)，最初牛頓應(ying)(ying)(ying)用(yong)(yong)微積分(fen)學(xue)(xue)及微分(fen)方程為了從萬有引(yin)力定(ding)律導出了開(kai)普(pu)勒(le)行星運動三定(ding)律。此后，微積分(fen)學(xue)(xue)極大的(de)推動了數學(xue)(xue)的(de)發展(zhan)，同時也極大的(de)推動了天(tian)文(wen)學(xue)(xue)、力學(xue)(xue)、物(wu)(wu)理(li)學(xue)(xue)、化學(xue)(xue)、生物(wu)(wu)學(xue)(xue)、工程學(xue)(xue)、經濟(ji)學(xue)(xue)等自(zi)然科(ke)(ke)(ke)(ke)學(xue)(xue)、社會科(ke)(ke)(ke)(ke)學(xue)(xue)及應(ying)(ying)(ying)用(yong)(yong)科(ke)(ke)(ke)(ke)學(xue)(xue)各(ge)個分(fen)支(zhi)中的(de)發展(zhan)。并在這(zhe)些(xie)學(xue)(xue)科(ke)(ke)(ke)(ke)中有越來越廣泛的(de)應(ying)(ying)(ying)用(yong)(yong)，特別是計算機的(de)出現更有助于(yu)這(zhe)些(xie)應(ying)(ying)(ying)用(yong)(yong)的(de)不斷發展(zhan)。微積分(fen)作為一門交叉(cha)性(xing)很強的(de)科(ke)(ke)(ke)(ke)目，除了在物(wu)(wu)理(li)等自(zi)然科(ke)(ke)(ke)(ke)學(xue)(xue)上有強實用(yong)(yong)性(xing)外，在經濟(ji)學(xue)(xue)上也有很強的(de)推動作用(yong)(yong)。

微積分學應用

微(wei)積(ji)(ji)分(fen)學(xue)的發展與應用(yong)幾(ji)乎影響了現代(dai)生活的所有領(ling)域。它與大部(bu)分(fen)科學(xue)分(fen)支(zhi)關系密(mi)切，包括醫藥(yao)、護理、工(gong)(gong)業工(gong)(gong)程(cheng)、商業管理、精算、計(ji)算機(ji)、統計(ji)、人口統計(ji)，特別是物理學(xue)；經濟學(xue)亦經常會用(yong)到微(wei)積(ji)(ji)分(fen)學(xue)。幾(ji)乎所有現代(dai)科學(xue)技術，如：機(ji)械、土木、建(jian)筑、航空及(ji)航海(hai)等工(gong)(gong)業工(gong)(gong)程(cheng)都以(yi)(yi)微(wei)積(ji)(ji)分(fen)學(xue)作為基(ji)本數(shu)學(xue)工(gong)(gong)具。微(wei)積(ji)(ji)分(fen)使得數(shu)學(xue)可以(yi)(yi)在變量(liang)和常量(liang)之間互相轉化，讓我們可以(yi)(yi)已知(zhi)一種(zhong)方式(shi)時推導出來(lai)另一種(zhong)方式(shi)。

物(wu)理學大量應(ying)用(yong)微(wei)積(ji)分；經典力(li)學、熱(re)傳和電磁學都與(yu)微(wei)積(ji)分有密(mi)切(qie)聯系。已知密(mi)度的(de)物(wu)體(ti)質量，動(dong)(dong)摩擦力(li)，保守力(li)場的(de)總能量都可用(yong)微(wei)積(ji)分來(lai)計算。例如：將(jiang)微(wei)積(ji)分應(ying)用(yong)到(dao)牛頓第二(er)定律(lv)中，史料一般將(jiang)導(dao)(dao)數稱為(wei)“變(bian)(bian)化(hua)(hua)率”。物(wu)體(ti)動(dong)(dong)量的(de)變(bian)(bian)化(hua)(hua)率等于(yu)向物(wu)體(ti)以同一方向所(suo)施的(de)力(li)。今 天常用(yong)的(de)表達方式是(shi) extbf{emph{F}}=m extbf{emph{a}}，它包括了(le)微(wei)分，因(yin)為(wei)加(jia)速度是(shi)速度的(de)導(dao)(dao)數，或是(shi)位置(zhi)矢量的(de)二(er)階導(dao)(dao)數。已知物(wu)體(ti)的(de)加(jia)速度，我們就(jiu)可以得(de)出它的(de)路徑。

生物學用微積分(fen)來(lai)計算種群動(dong)態，輸入繁殖和死亡率來(lai)模擬種群改變。

化(hua)學使用微(wei)積分(fen)來計算反應速率，放射性衰退(tui)。

麥克斯(si)韋爾(er)的(de)(de)電磁(ci)學(xue)和愛因斯(si)坦(tan)的(de)(de)廣義相(xiang)對(dui)論都(dou)應(ying)用了微(wei)分。

微積分可以與其他數學分支交叉(cha)混合。例(li)如，混合線(xian)性代(dai)數來求得(de)值(zhi)(zhi)域中(zhong)(zhong)一組數列的“最(zui)佳”線(xian)性近似(si)。它也可以用在(zai)概(gai)率(lv)論中(zhong)(zhong)來確定由假設密度方程產生的連續隨機變量的概(gai)率(lv)。在(zai)解析幾何對方程圖(tu)像的研(yan)究中(zhong)(zhong)，微積分可以求得(de)最(zui)大值(zhi)(zhi)、最(zui)小(xiao)值(zhi)(zhi)、斜率(lv)、凹度、拐點等。

格林公(gong)式連接(jie)了(le)一個(ge)封閉曲線上的(de)線積(ji)(ji)分(fen)(fen)與一個(ge)邊界為C且平面(mian)(mian)區(qu)域(yu)為D的(de)雙重積(ji)(ji)分(fen)(fen)。它被設計為求積(ji)(ji)儀工具，用以量度不(bu)(bu)規(gui)則的(de)平面(mian)(mian)面(mian)(mian)積(ji)(ji)。例如：它可以在設計時計算(suan)不(bu)(bu)規(gui)則的(de)花瓣床(chuang)、游(you)泳池(chi)的(de)面(mian)(mian)積(ji)(ji)。

在醫(yi)療(liao)領(ling)域，微積分(fen)可以(yi)計算血(xue)管最優(you)支角，將血(xue)流最大化。通過藥物(wu)在體內(nei)的衰退數據，微積分(fen)可以(yi)推導出服用量。在核醫(yi)學中，它可以(yi)為治療(liao)腫瘤建立放射輸送模型。

在經(jing)濟學(xue)中，微積(ji)分(fen)可以(yi)通過計算邊際(ji)成本和邊際(ji)利(li)潤(run)來確定(ding)最大收(shou)益。

微(wei)積分也被用(yong)于(yu)尋(xun)找方(fang)程的近似值；實踐(jian)中，它用(yong)于(yu)解微(wei)分方(fang)程，計(ji)算相關的應用(yong)題，如(ru)：牛頓法、定點循環(huan)、線性近似等(deng)。比如(ru)：宇(yu)宙(zhou)飛船(chuan)利用(yong)歐拉(la)方(fang)法來求(qiu)得零重力(li)環(huan)境下的近似曲線。

微積分學課程

在(zai)大學(xue)的(de)數理(li)、工程、商管教(jiao)學(xue)中，微(wei)積分是“高等數學(xue)”的(de)主要內容之(zhi)一。其教(jiao)學(xue)法(fa)由學(xue)科(ke)創立一開始就受到人們重視。在(zai)美國大學(xue)先修課程中，AP微(wei)積分AB、BC分別為對應大學(xue)一元(yuan)微(wei)積分半年(nian)、全年(nian)課程。

在(zai)香港，微積分(fen)是新高中課程數學（延展部(bu)(bu)分(fen)）的一部(bu)(bu)分(fen)，這(zhe)部(bu)(bu)分(fen)是選修的。