數(shu)(shu)(shu)學中的(de)(de)轉折點是(shi)笛(di)卡爾(er)的(de)(de)變(bian)數(shu)(shu)(shu),有(you)(you)了(le)變(bian)數(shu)(shu)(shu),運動進(jin)入了(le)數(shu)(shu)(shu)學,有(you)(you)了(le)變(bian)數(shu)(shu)(shu),辯證法進(jin)入了(le)數(shu)(shu)(shu)學,有(you)(you)了(le)變(bian)數(shu)(shu)(shu),微分學和積分學也(ye)就立刻成為必(bi)要的(de)(de)了(le),而它們(men)也(ye)就立刻產生,并且(qie)是(shi)由(you)牛(niu)頓和萊布(bu)尼茲大體上完成的(de)(de),但不(bu)是(shi)由(you)他(ta)們(men)發(fa)明(ming)的(de)(de)。——恩格斯
從15世(shi)紀初歐(ou)洲(zhou)文(wen)(wen)藝(yi)復興(xing)時(shi)(shi)期起(qi),工(gong)業(ye)、農業(ye)、航海(hai)事業(ye)與(yu)商賈貿易的(de)(de)(de)(de)(de)大(da)(da)規模發展(zhan),形成了一個新的(de)(de)(de)(de)(de)經濟時(shi)(shi)代(dai),宗教(jiao)改革與(yu)對教(jiao)會(hui)思想禁錮的(de)(de)(de)(de)(de)懷疑,東方先進(jin)的(de)(de)(de)(de)(de)科學(xue)(xue)技術(shu)通過阿拉伯的(de)(de)(de)(de)(de)傳入(ru),以(yi)及(ji)拜占庭帝國(guo)覆滅后希(xi)臘大(da)(da)量文(wen)(wen)獻的(de)(de)(de)(de)(de)流入(ru)歐(ou)洲(zhou),在當時(shi)(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)知識階層面前呈(cheng)現出一個完全(quan)嶄新的(de)(de)(de)(de)(de)面貌。而十(shi)六世(shi)紀的(de)(de)(de)(de)(de)歐(ou)洲(zhou),正處在資本主義萌芽(ya)時(shi)(shi)期,生產(chan)力(li)得到(dao)了很大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)(de)發展(zhan),生產(chan)實踐(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)發展(zhan)向自然科學(xue)(xue)提出了新的(de)(de)(de)(de)(de)課題,迫切要(yao)(yao)求(qiu)力(li)學(xue)(xue)、天文(wen)(wen)學(xue)(xue)等基礎學(xue)(xue)科的(de)(de)(de)(de)(de)發展(zhan),而這些學(xue)(xue)科都是深(shen)刻依賴于數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de),因而也推動的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)發展(zhan)。科學(xue)(xue)對數(shu)學(xue)(xue)提出的(de)(de)(de)(de)(de)種種要(yao)(yao)求(qiu),最后匯總成多個核心問題:
(1)運動中速度(du)與距離的互求(qiu)問題
即,已知物(wu)體(ti)移動(dong)的(de)(de)(de)(de)距(ju)(ju)離表為(wei)時間(jian)(jian)的(de)(de)(de)(de)函(han)數的(de)(de)(de)(de)公式(shi),求(qiu)物(wu)體(ti)在(zai)任(ren)(ren)意(yi)(yi)時刻(ke)的(de)(de)(de)(de)速(su)(su)(su)(su)度(du)和(he)(he)加速(su)(su)(su)(su)度(du);反過來(lai),已知物(wu)體(ti)的(de)(de)(de)(de)加速(su)(su)(su)(su)度(du)表為(wei)時間(jian)(jian)的(de)(de)(de)(de)函(han)數的(de)(de)(de)(de)公式(shi),求(qiu)速(su)(su)(su)(su)度(du)和(he)(he)距(ju)(ju)離。這類問題是(shi)(shi)研究運(yun)動(dong)時直(zhi)接出現的(de)(de)(de)(de),困難(nan)在(zai)于,所(suo)研究的(de)(de)(de)(de)速(su)(su)(su)(su)度(du)和(he)(he)加速(su)(su)(su)(su)度(du)是(shi)(shi)每時每刻(ke)都在(zai)變化的(de)(de)(de)(de)。比(bi)如,計(ji)算物(wu)體(ti)在(zai)某時刻(ke)的(de)(de)(de)(de)瞬(shun)時速(su)(su)(su)(su)度(du),就不(bu)能(neng)象計(ji)算平均速(su)(su)(su)(su)度(du)那樣,用(yong)運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)(de)時間(jian)(jian)去除移動(dong)的(de)(de)(de)(de)距(ju)(ju)離,因(yin)為(wei)在(zai)給(gei)定的(de)(de)(de)(de)瞬(shun)間(jian)(jian),物(wu)體(ti)移動(dong)的(de)(de)(de)(de)距(ju)(ju)離和(he)(he)所(suo)用(yong)的(de)(de)(de)(de)時間(jian)(jian)是(shi)(shi),而是(shi)(shi)無意(yi)(yi)義的(de)(de)(de)(de)。但是(shi)(shi),根據(ju)物(wu)理,每個運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)(de)物(wu)體(ti)在(zai)它運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)(de)每一時刻(ke)必有(you)速(su)(su)(su)(su)度(du),這也是(shi)(shi)無疑(yi)的(de)(de)(de)(de)。已知速(su)(su)(su)(su)度(du)公式(shi)求(qiu)移動(dong)距(ju)(ju)離的(de)(de)(de)(de)問題,也遇(yu)到同樣的(de)(de)(de)(de)困難(nan)。因(yin)為(wei)速(su)(su)(su)(su)度(du)每時每刻(ke)都在(zai)變化,所(suo)以不(bu)能(neng)用(yong)運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)(de)時間(jian)(jian)乘任(ren)(ren)意(yi)(yi)時刻(ke)的(de)(de)(de)(de)速(su)(su)(su)(su)度(du),來(lai)得到物(wu)體(ti)移動(dong)的(de)(de)(de)(de)距(ju)(ju)離。
(2)求(qiu)曲線的(de)切(qie)線問題
這(zhe)個問題本身(shen)是純(chun)幾(ji)何(he)的(de)(de),而(er)且對(dui)于科學應用(yong)有巨大的(de)(de)重(zhong)要性。由于研(yan)究(jiu)天(tian)文的(de)(de)需要,光(guang)(guang)學是十(shi)七世紀的(de)(de)一(yi)門較重(zhong)要的(de)(de)科學研(yan)究(jiu),透鏡的(de)(de)設計(ji)者要研(yan)究(jiu)光(guang)(guang)線(xian)(xian)(xian)通(tong)過透鏡的(de)(de)通(tong)道,必(bi)須知道光(guang)(guang)線(xian)(xian)(xian)入射透鏡的(de)(de)角(jiao)度以(yi)便應用(yong)反射定(ding)律,這(zhe)里(li)重(zhong)要的(de)(de)是光(guang)(guang)線(xian)(xian)(xian)與(yu)曲線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)法線(xian)(xian)(xian)間的(de)(de)夾(jia)角(jiao),而(er)法線(xian)(xian)(xian)是垂直于切(qie)(qie)線(xian)(xian)(xian)的(de)(de),所以(yi)總是就在于求出(chu)法線(xian)(xian)(xian)或切(qie)(qie)線(xian)(xian)(xian);另一(yi)個涉(she)及到曲線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)切(qie)(qie)線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)科學問題出(chu)現(xian)于運動(dong)的(de)(de)研(yan)究(jiu)中,求運動(dong)物(wu)體在它的(de)(de)軌(gui)跡上(shang)任一(yi)點(dian)上(shang)的(de)(de)運動(dong)方向(xiang),即軌(gui)跡的(de)(de)切(qie)(qie)線(xian)(xian)(xian)方向(xiang)。
(3)求長度、面積、體積、與(yu)重心問題等
這些問(wen)題包括,求(qiu)(qiu)曲(qu)線(xian)的(de)(de)長(chang)度(如(ru)行(xing)(xing)星(xing)在(zai)(zai)已知時期(qi)移動的(de)(de)距(ju)離),曲(qu)線(xian)圍成(cheng)的(de)(de)面(mian)積,曲(qu)面(mian)圍成(cheng)的(de)(de)體(ti)積,物體(ti)的(de)(de)重心,一(yi)個相(xiang)當(dang)大的(de)(de)物體(ti)(如(ru)行(xing)(xing)星(xing))作(zuo)(zuo)用(yong)于另一(yi)物體(ti)上(shang)的(de)(de)引力。實際上(shang),關于計算橢(tuo)圓的(de)(de)長(chang)度的(de)(de)問(wen)題,就(jiu)難住數(shu)(shu)學家們(men)(men),以致有一(yi)段時期(qi)數(shu)(shu)學家們(men)(men)對(dui)這個問(wen)題的(de)(de)進一(yi)步工作(zuo)(zuo)失敗(bai)了,直到(dao)下一(yi)世紀(ji)才得到(dao)新的(de)(de)結果。又如(ru)求(qiu)(qiu)面(mian)積問(wen)題,早(zao)在(zai)(zai)古希臘(la)時期(qi)人們(men)(men)就(jiu)用(yong)窮竭(jie)法(fa)(fa)求(qiu)(qiu)出了一(yi)些面(mian)積和(he)體(ti)積,如(ru)求(qiu)(qiu)拋(pao)物線(xian)在(zai)(zai)區間上(shang)與軸(zhou)和(he)直線(xian)所(suo)圍成(cheng)的(de)(de)面(mian)積,他們(men)(men)就(jiu)采用(yong)了窮竭(jie)法(fa)(fa)。當(dang)越(yue)來(lai)越(yue)小(xiao)時,右端的(de)(de)結果就(jiu)越(yue)來(lai)越(yue)接(jie)近所(suo)求(qiu)(qiu)的(de)(de)面(mian)積的(de)(de)精確值。但是,應用(yong)窮竭(jie)法(fa)(fa),必(bi)須添上(shang)許(xu)多技藝,并且缺乏一(yi)般(ban)性,常常得不到(dao)數(shu)(shu)字解。當(dang)阿基米德的(de)(de)工作(zuo)(zuo)在(zai)(zai)歐洲聞(wen)名時,求(qiu)(qiu)長(chang)度、面(mian)積、體(ti)積和(he)重心的(de)(de)興趣復活了。窮竭(jie)法(fa)(fa)先是逐漸地被(bei)修(xiu)(xiu)改,后來(lai)由于微積分的(de)(de)創立而根本地修(xiu)(xiu)改了。
(4)求最(zui)大值和(he)最(zui)小值問題
炮彈(dan)在炮筒(tong)(tong)里射(she)出,它運行的(de)水(shui)平(ping)距(ju)離(li),即(ji)射(she)程,依賴(lai)于炮筒(tong)(tong)對(dui)地面的(de)傾(qing)斜角,即(ji)發(fa)(fa)射(she)角。一個(ge)“實際”的(de)問題(ti)是(shi)(shi)求(qiu)能(neng)獲(huo)得最(zui)大(da)(da)射(she)程的(de)發(fa)(fa)射(she)角。十七(qi)世紀初期,Galileo斷定(在真空中)最(zui)大(da)(da)射(she)程在發(fa)(fa)射(she)角是(shi)(shi)時(shi)達(da)到;他(ta)還得出炮彈(dan)從各(ge)個(ge)不同(tong)角度發(fa)(fa)射(she)后所達(da)到的(de)不同(tong)的(de)最(zui)大(da)(da)高度。研究行星的(de)運動也涉(she)及到最(zui)大(da)(da)值和(he)最(zui)小值的(de)問題(ti),如求(qiu)行星離(li)開太(tai)陽的(de)距(ju)離(li)。
早(zao)在公元(yuan)(yuan)前(qian)7世紀(ji),古希(xi)臘(la)科(ke)學(xue)(xue)家(jia)(jia)、哲(zhe)學(xue)(xue)家(jia)(jia)泰勒斯(si)就(jiu)(jiu)對球的(de)(de)(de)(de)面積(ji)(ji)、體積(ji)(ji)、與長度(du)等(deng)問題(ti)的(de)(de)(de)(de)研(yan)究(jiu)就(jiu)(jiu)含(han)有(you)微積(ji)(ji)分思(si)想(xiang)(xiang)(xiang)。古希(xi)臘(la)數學(xue)(xue)家(jia)(jia)、力學(xue)(xue)家(jia)(jia)阿基米德(de)(公元(yuan)(yuan)前(qian)287~前(qian)212)的(de)(de)(de)(de)著(zhu)作《圓的(de)(de)(de)(de)測(ce)量》和(he)《論球與圓柱》中(zhong)就(jiu)(jiu)已含(han)有(you)積(ji)(ji)分學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)萌芽,他(ta)在研(yan)究(jiu)解決拋物線下(xia)的(de)(de)(de)(de)弓形面積(ji)(ji)、球和(he)球冠面積(ji)(ji)、螺線下(xia)的(de)(de)(de)(de)面積(ji)(ji)和(he)旋轉(zhuan)雙(shuang)曲線所得的(de)(de)(de)(de)體積(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)問題(ti)中(zhong)就(jiu)(jiu)隱含(han)著(zhu)近代積(ji)(ji)分的(de)(de)(de)(de)思(si)想(xiang)(xiang)(xiang)。中(zhong)國古代數學(xue)(xue)家(jia)(jia)也產(chan)生(sheng)過積(ji)(ji)分學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)萌芽思(si)想(xiang)(xiang)(xiang),例如(ru)三國時期的(de)(de)(de)(de)劉(liu)徽,他(ta)對積(ji)(ji)分學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)思(si)想(xiang)(xiang)(xiang)主(zhu)要(yao)有(you)兩點:割圓術及求體積(ji)(ji)問題(ti)的(de)(de)(de)(de)設(she)想(xiang)(xiang)(xiang)。
在3世紀,中國數學家劉徽創立(li)的(de)割(ge)(ge)(ge)(ge)圓(yuan)術用圓(yuan)內接正(zheng)九十(shi)六邊形的(de)面積近似代替圓(yuan)面積,求出(chu)圓(yuan)周(zhou)率的(de)近似值,并指出(chu):“割(ge)(ge)(ge)(ge)之(zhi)彌細,所失彌少,割(ge)(ge)(ge)(ge)之(zhi)又(you)割(ge)(ge)(ge)(ge),以至不可(ke)割(ge)(ge)(ge)(ge),則與(yu)圓(yuan)合體而無(wu)所失矣”。劉徽對面積的(de)深刻認(ren)識和他的(de)割(ge)(ge)(ge)(ge)圓(yuan)術方法,正(zheng)是極限(xian)思想的(de)具體體現。數列極限(xian)是函數極限(xian)的(de)基礎,一(yi)個數列如果當無(wu)限(xian)增大時,與(yu)某一(yi)實數無(wu)限(xian)接近,就(jiu)稱之(zhi)為收(shou)斂數列,為數列的(de)極限(xian)。
客觀世界的(de)一切事(shi)物(wu),小至粒子,大至宇宙(zhou),始終(zhong)都在(zai)(zai)運(yun)動和變化著(zhu)。因此(ci)在(zai)(zai)數學(xue)中引入了變量的(de)概念后,就有可能把運(yun)動現(xian)象用數學(xue)來加以(yi)描述了。
由于函(han)數(shu)(shu)概念的(de)(de)(de)產(chan)生和運(yun)用(yong)的(de)(de)(de)加深,也由于科(ke)學技術(shu)發展(zhan)的(de)(de)(de)需要,一門(men)(men)新的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學分支(zhi)就繼(ji)解析幾何之后產(chan)生了,這(zhe)就是微積分學。微積分學這(zhe)門(men)(men)學科(ke)在數(shu)(shu)學發展(zhan)中的(de)(de)(de)地位(wei)是十分重要的(de)(de)(de),可以說它是繼(ji)歐氏幾何后,全部數(shu)(shu)學中的(de)(de)(de)最(zui)大的(de)(de)(de)一個創造。
微積分的(de)產(chan)生一般分為三個階(jie)段:極限概念;求積的(de)無限小方(fang)法;積分與微分的(de)互逆(ni)關系。最后一步是由(you)牛頓、萊(lai)布尼茲完成的(de)。前兩階(jie)段的(de)工作,歐洲的(de)大批數學(xue)家一直(zhi)追(zhui)溯到古(gu)希(xi)臘(la)的(de)阿基米德都作出了各自的(de)貢(gong)獻。對于(yu)這方(fang)面的(de)工作,古(gu)代(dai)中(zhong)國毫不遜色于(yu)西方(fang),微積分思想在(zai)古(gu)代(dai)中(zhong)國也有萌芽,甚(shen)至不次于(yu)古(gu)希(xi)臘(la)。
早在公(gong)元前7世紀(ji),古(gu)希臘科學(xue)(xue)家(jia)(jia)(jia)、哲學(xue)(xue)家(jia)(jia)(jia)泰勒斯就(jiu)(jiu)對球的(de)(de)(de)面(mian)積(ji)、體(ti)積(ji)、與長度等(deng)問題(ti)的(de)(de)(de)研(yan)(yan)究(jiu)就(jiu)(jiu)含有(you)(you)微積(ji)分思想。古(gu)希臘數(shu)學(xue)(xue)家(jia)(jia)(jia)、力學(xue)(xue)家(jia)(jia)(jia)阿基米德(公(gong)元前287~前212)的(de)(de)(de)著作《圓(yuan)的(de)(de)(de)測(ce)量》和《論球與圓(yuan)柱(zhu)》中就(jiu)(jiu)已含有(you)(you)積(ji)分學(xue)(xue)的(de)(de)(de)萌芽,他(ta)在研(yan)(yan)究(jiu)解決拋物線下(xia)的(de)(de)(de)弓形面(mian)積(ji)、球和球冠面(mian)積(ji)、螺線下(xia)的(de)(de)(de)面(mian)積(ji)和旋轉雙(shuang)曲線所得(de)的(de)(de)(de)體(ti)積(ji)的(de)(de)(de)問題(ti)中就(jiu)(jiu)隱含著近代積(ji)分的(de)(de)(de)思想。
早在公(gong)元(yuan)前(qian)7世紀(ji),古(gu)希臘(la)科學(xue)家、哲學(xue)家泰勒斯就(jiu)對球的(de)面積(ji)(ji)、體積(ji)(ji)、與長度等問(wen)題的(de)研究(jiu)就(jiu)含有(you)(you)微積(ji)(ji)分思(si)想(xiang)。公(gong)元(yuan)前(qian)4世紀(ji)《墨經》中有(you)(you)了有(you)(you)窮(qiong)、無(wu)(wu)窮(qiong)、無(wu)(wu)限(xian)小(xiao)(最小(xiao)無(wu)(wu)內)、無(wu)(wu)窮(qiong)大(最大無(wu)(wu)外)的(de)定義(yi)和極(ji)限(xian)、瞬時等概念。劉徽公(gong)元(yuan)263年(nian)首創的(de)割圓術求圓面積(ji)(ji)和方錐體積(ji)(ji),求得圓周率約等于3.1416,他的(de)極(ji)限(xian)思(si)想(xiang)和無(wu)(wu)窮(qiong)小(xiao)方法(fa),是世界(jie)古(gu)代極(ji)限(xian)思(si)想(xiang)的(de)深(shen)刻體現。
公(gong)元前(qian)三(san)世(shi)(shi)紀,古希(xi)臘的(de)(de)阿基米德(de)在(zai)研究解決(jue)拋物弓形的(de)(de)面(mian)(mian)積(ji)、球(qiu)和(he)球(qiu)冠面(mian)(mian)積(ji)、螺線(xian)下面(mian)(mian)積(ji)和(he)旋轉(zhuan)雙曲體(ti)的(de)(de)體(ti)積(ji)的(de)(de)問(wen)題中,就(jiu)隱含著近代積(ji)分學的(de)(de)思想。作為微(wei)分學基礎的(de)(de)極限理論(lun)來說,在(zai)古代以(yi)有比較清楚的(de)(de)論(lun)述。比如我國的(de)(de)莊周(zhou)所(suo)著的(de)(de)《莊子》一書的(de)(de)“天下篇”中,記有“一尺(chi)之棰(chui),日取(qu)其半,萬世(shi)(shi)不竭”。三(san)國時(shi)期(qi)的(de)(de)劉徽在(zai)他的(de)(de)割(ge)圓術中提到“割(ge)之彌細,所(suo)失(shi)彌小,割(ge)之又(you)割(ge),以(yi)至(zhi)于(yu)不可割(ge),則與(yu)圓周(zhou)和(he)體(ti)而無所(suo)失(shi)矣。”這些都是樸素的(de)(de)、也是很典型的(de)(de)極限概念。
微(wei)積(ji)分思想雖然(ran)可追溯(su)到(dao)古希臘,但它的(de)(de)(de)概念和法則(ze)卻是(shi)16世紀下半葉(xie),開普勒、卡瓦列利等求(qiu)積(ji)的(de)(de)(de)不可分量思想和方(fang)(fang)法基(ji)礎上產生和發展起來(lai)的(de)(de)(de)。而這些思想和方(fang)(fang)法從劉徽(hui)對圓錐、圓臺、圓柱的(de)(de)(de)體(ti)積(ji)公(gong)式的(de)(de)(de)證明(ming)到(dao)公(gong)元5世紀祖恒求(qiu)球體(ti)積(ji)的(de)(de)(de)方(fang)(fang)法中都可找到(dao)。北宋大科學家沈括的(de)(de)(de)《夢溪筆談》獨創了(le)“隙積(ji)術”、“會圓術”和“棋局都數(shu)(shu)術”開創了(le)對高(gao)階等差級數(shu)(shu)求(qiu)和的(de)(de)(de)研究(jiu)。
特別是13世(shi)(shi)紀(ji)40年(nian)代到(dao)14世(shi)(shi)紀(ji)初(chu),在(zai)(zai)主要領(ling)域都(dou)達到(dao)了(le)(le)(le)中國古(gu)代數(shu)(shu)(shu)學的(de)高(gao)(gao)峰(feng),出(chu)現(xian)了(le)(le)(le)現(xian)通稱賈憲(xian)三角形(xing)的(de)“開(kai)(kai)(kai)方(fang)作法(fa)(fa)本(ben)源圖”和(he)增乘開(kai)(kai)(kai)方(fang)法(fa)(fa)、“正負開(kai)(kai)(kai)方(fang)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”、“大(da)衍求一術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”、“大(da)衍總數(shu)(shu)(shu)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”(一次(ci)(ci)同(tong)余式組解法(fa)(fa))、“垛積(ji)(ji)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”(高(gao)(gao)階等差(cha)級數(shu)(shu)(shu)求和(he))、“招差(cha)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”(高(gao)(gao)次(ci)(ci)差(cha)內(nei)(nei)差(cha)法(fa)(fa))、“天元(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”(數(shu)(shu)(shu)字高(gao)(gao)次(ci)(ci)方(fang)程一般解法(fa)(fa))、“四元(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”(四元(yuan)高(gao)(gao)次(ci)(ci)方(fang)程組解法(fa)(fa))、勾股數(shu)(shu)(shu)學、弧(hu)矢割圓術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)、組合數(shu)(shu)(shu)學、計算技術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)改革和(he)珠算等都(dou)是在(zai)(zai)世(shi)(shi)界數(shu)(shu)(shu)學史上(shang)(shang)有重(zhong)要地位的(de)杰(jie)出(chu)成(cheng)果(guo),中國古(gu)代數(shu)(shu)(shu)學有了(le)(le)(le)微積(ji)(ji)分前兩階段(duan)的(de)出(chu)色工(gong)作,其中許多都(dou)是微積(ji)(ji)分得(de)以(yi)創(chuang)(chuang)立的(de)關鍵(jian)。中國已(yi)具備(bei)了(le)(le)(le)17世(shi)(shi)紀(ji)發(fa)明微積(ji)(ji)分前夕的(de)全部內(nei)(nei)在(zai)(zai)條件,已(yi)經接近了(le)(le)(le)微積(ji)(ji)分的(de)大(da)門。可(ke)惜中國元(yuan)朝以(yi)后,八(ba)股取士(shi)制造成(cheng)了(le)(le)(le)學術(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)上(shang)(shang)的(de)大(da)倒退,封建統(tong)治的(de)文化(hua)專制和(he)盲目排(pai)外致使包括數(shu)(shu)(shu)學在(zai)(zai)內(nei)(nei)的(de)科學日漸衰落,在(zai)(zai)微積(ji)(ji)分創(chuang)(chuang)立的(de)最關鍵(jian)一步落伍了(le)(le)(le)。
到(dao)了十(shi)七世紀,有許多科學問(wen)(wen)(wen)題(ti)需要解決,這些問(wen)(wen)(wen)題(ti)也(ye)就成了促使微(wei)積(ji)分產生(sheng)的(de)(de)(de)(de)因素。歸(gui)結起來,大約有四種主要類(lei)型的(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)題(ti):第(di)(di)一(yi)類(lei)是(shi)(shi)研究運動的(de)(de)(de)(de)時(shi)候直接出現的(de)(de)(de)(de),也(ye)就是(shi)(shi)求即時(shi)速度的(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)題(ti)。第(di)(di)二類(lei)問(wen)(wen)(wen)題(ti)是(shi)(shi)求曲線(xian)的(de)(de)(de)(de)切線(xian)的(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)題(ti)。第(di)(di)三類(lei)問(wen)(wen)(wen)題(ti)是(shi)(shi)求函數(shu)的(de)(de)(de)(de)最大值和最小(xiao)值問(wen)(wen)(wen)題(ti)。第(di)(di)四類(lei)問(wen)(wen)(wen)題(ti)是(shi)(shi)求曲線(xian)長、曲線(xian)圍(wei)成的(de)(de)(de)(de)面積(ji)、曲面圍(wei)成的(de)(de)(de)(de)體(ti)(ti)積(ji)、物體(ti)(ti)的(de)(de)(de)(de)重(zhong)心、一(yi)個體(ti)(ti)積(ji)相當大的(de)(de)(de)(de)物體(ti)(ti)作(zuo)用于另一(yi)物體(ti)(ti)上的(de)(de)(de)(de)引(yin)力。
數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)首先從(cong)對運動(如天文、航(hang)海問題(ti)等)的研(yan)究中(zhong)(zhong)(zhong)引出了一個基(ji)本概(gai)念,在(zai)那以(yi)后的二(er)百年里(li),這(zhe)個概(gai)念在(zai)幾(ji)乎所有的工(gong)作中(zhong)(zhong)(zhong)占中(zhong)(zhong)(zhong)心(xin)位(wei)置,這(zhe)就(jiu)是(shi)函(han)數(shu)(shu)(shu)——或變量間關系——的概(gai)念。緊(jin)接著(zhu)函(han)數(shu)(shu)(shu)概(gai)念的采用,產生了微積分(fen),它是(shi)繼Euclid幾(ji)何之后,全部數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)中(zhong)(zhong)(zhong)的一個最大(da)的創造。圍繞著(zhu)解決(jue)上(shang)述四個核心(xin)的科學(xue)(xue)問題(ti),微積分(fen)問題(ti)至少被十七世紀十幾(ji)個最大(da)的數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家和幾(ji)十個小一些的數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家探(tan)索過(guo)。位(wei)于他們全部貢獻頂峰的是(shi)牛頓和萊布尼茨的成(cheng)就(jiu)。在(zai)此,我們主要(yao)來介紹這(zhe)兩位(wei)大(da)師的工(gong)作。
實際上,在牛頓(dun)和(he)萊布尼茨作出他們的(de)沖(chong)刺(ci)之前,微積分的(de)大量知識(shi)已(yi)經積累(lei)起(qi)來了。十(shi)七世紀的(de)許多著名的(de)數學(xue)家、天文學(xue)家、物理(li)學(xue)家都為解決(jue)上述(shu)幾類問題作了大量的(de)研(yan)究工作,如法國的(de)費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格;英國的(de)巴羅、沃利斯;德(de)國的(de)開普勒;意大利的(de)卡瓦列里(li)等人都提出許多很有建樹(shu)的(de)理(li)論。為微積分的(de)創立(li)做出了貢獻(xian)。
例如(ru)(ru)費馬、巴羅、笛卡爾都對求曲線(xian)的(de)(de)切線(xian)以(yi)及曲線(xian)圍成的(de)(de)面積(ji)(ji)問題有(you)(you)過深入(ru)的(de)(de)研究(jiu),并且得到(dao)了一些結果(guo),但是他們(men)都沒有(you)(you)意識到(dao)它的(de)(de)重要性(xing)。在(zai)十七世紀(ji)的(de)(de)前三分之二,微積(ji)(ji)分的(de)(de)工(gong)作沉沒在(zai)細(xi)節里,作用不(bu)大的(de)(de)細(xi)微末節的(de)(de)推理(li)使他們(men)筋(jin)疲力盡了。只有(you)(you)少數(shu)(shu)幾個(ge)大學家意識到(dao)了這(zhe)個(ge)問題,如(ru)(ru)James Gregory說過:“數(shu)(shu)學的(de)(de)真正劃分不(bu)是分成幾何和算術,而是分成普(pu)(pu)遍的(de)(de)和特殊的(de)(de)”。而這(zhe)普(pu)(pu)遍的(de)(de)東西是由(you)兩個(ge)包羅萬象的(de)(de)思想家牛頓和萊布(bu)尼茨(ci)提供的(de)(de)。
十(shi)七世紀下半葉,在前(qian)人工(gong)(gong)作的(de)(de)基礎上,英(ying)國(guo)大科學(xue)家牛(niu)頓和德國(guo)數學(xue)家萊布尼茨(ci)分(fen)(fen)(fen)別在自己(ji)的(de)(de)國(guo)度里獨自研(yan)究和完成了微積(ji)分(fen)(fen)(fen)的(de)(de)創立工(gong)(gong)作,雖然這只是十(shi)分(fen)(fen)(fen)初(chu)步的(de)(de)工(gong)(gong)作。他(ta)們(men)的(de)(de)最大功績是把兩個(ge)貌似毫不相(xiang)關(guan)的(de)(de)問(wen)題聯系在一起(qi),一個(ge)是切線(xian)問(wen)題(微分(fen)(fen)(fen)學(xue)的(de)(de)中(zhong)心問(wen)題),一個(ge)是求積(ji)問(wen)題(積(ji)分(fen)(fen)(fen)學(xue)的(de)(de)中(zhong)心問(wen)題)。
牛頓和萊布尼茨(ci)(ci)建立微積分的(de)(de)出發點是(shi)直觀的(de)(de)無(wu)窮小量,因此這門學(xue)科早期也稱(cheng)為無(wu)窮小分析,這正是(shi)數學(xue)中分析學(xue)這一大分支名稱(cheng)的(de)(de)來(lai)源。牛頓研究微積分著(zhu)重于從運動學(xue)來(lai)考慮,萊布尼茨(ci)(ci)卻(que)是(shi)側重于幾(ji)何學(xue)來(lai)考慮的(de)(de)。
牛頓(dun)在1671年寫(xie)了《流(liu)(liu)(liu)數(shu)(shu)法(fa)和無窮(qiong)級(ji)數(shu)(shu)》,這本(ben)書直到1736年才(cai)出(chu)版,它在這本(ben)書里指出(chu),變量是由(you)點、線、面的(de)(de)(de)連(lian)續(xu)運(yun)動(dong)產(chan)生的(de)(de)(de),否定了以前自(zi)己認為的(de)(de)(de)變量是無窮(qiong)小元素的(de)(de)(de)靜(jing)止集合。他把(ba)(ba)連(lian)續(xu)變量叫做流(liu)(liu)(liu)動(dong)量,把(ba)(ba)這些流(liu)(liu)(liu)動(dong)量的(de)(de)(de)導數(shu)(shu)叫做流(liu)(liu)(liu)數(shu)(shu)。牛頓(dun)在流(liu)(liu)(liu)數(shu)(shu)術中(zhong)所提出(chu)的(de)(de)(de)中(zhong)心(xin)問題是:已知連(lian)續(xu)運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)路徑,求給(gei)定時刻的(de)(de)(de)速度(微分法(fa));已知運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)速度求給(gei)定時間內經(jing)過(guo)的(de)(de)(de)路程(積分法(fa))。
德國的(de)(de)(de)(de)(de)(de)萊(lai)布尼(ni)茨是一個(ge)博才(cai)多學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)學(xue)者(zhe),1684年(nian),他(ta)發表了現在世界上(shang)認(ren)為(wei)是最(zui)早的(de)(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)積分(fen)(fen)文獻(xian),這(zhe)(zhe)篇文章有(you)一個(ge)很長而(er)且很古怪的(de)(de)(de)(de)(de)(de)名字《一種(zhong)求極(ji)大(da)極(ji)小(xiao)和切線的(de)(de)(de)(de)(de)(de)新方法,它也(ye)適用(yong)(yong)于(yu)分(fen)(fen)式和無理量(liang),以及這(zhe)(zhe)種(zhong)新方法的(de)(de)(de)(de)(de)(de)奇妙類型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)計算》。就(jiu)(jiu)是這(zhe)(zhe)樣一片說理也(ye)頗含糊的(de)(de)(de)(de)(de)(de)文章,卻有(you)劃時代(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)意義。他(ta)以含有(you)現代(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)分(fen)(fen)符(fu)(fu)號和基(ji)本(ben)微(wei)(wei)分(fen)(fen)法則。1686年(nian),萊(lai)布尼(ni)茨發表了第一篇積分(fen)(fen)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)文獻(xian)。他(ta)是歷史上(shang)最(zui)偉大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)符(fu)(fu)號學(xue)者(zhe)之一,他(ta)所創設的(de)(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)積分(fen)(fen)符(fu)(fu)號,遠遠優(you)于(yu)牛頓的(de)(de)(de)(de)(de)(de)符(fu)(fu)號,這(zhe)(zhe)對微(wei)(wei)積分(fen)(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)發展有(you)極(ji)大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)影響。我們使(shi)用(yong)(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)積分(fen)(fen)通用(yong)(yong)符(fu)(fu)號就(jiu)(jiu)是當時萊(lai)布尼(ni)茨精心(xin)選用(yong)(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。
從幼年(nian)時(shi)代(dai)起,萊布(bu)尼茨就明顯展露出(chu)一(yi)顆燦爛的(de)(de)(de)(de)(de)思想明星的(de)(de)(de)(de)(de)跡象。他13歲時(shi)就像(xiang)其(qi)他孩子讀小說一(yi)樣輕松地(di)閱讀經院(yuan)學者的(de)(de)(de)(de)(de)艱深的(de)(de)(de)(de)(de)論文了。他提出(chu)無窮小的(de)(de)(de)(de)(de)微積(ji)分算法,并且他發(fa)(fa)表自(zi)己(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)成果比艾薩克·牛頓(dun)爵士將(jiang)它的(de)(de)(de)(de)(de)手(shou)稿(gao)付(fu)梓早三年(nian),而(er)后者宣(xuan)稱自(zi)己(ji)第(di)一(yi)個做(zuo)出(chu)了這項發(fa)(fa)現。
萊(lai)布尼茨是(shi)一個世故的人(ren),取悅于宮廷(ting)并得(de)到知(zhi)名人(ren)士的庇護。他(ta)(ta)與斯(si)賓諾(nuo)莎有私交,后(hou)者(zhe)的哲學給他(ta)(ta)以深刻(ke)的印象,雖(sui)然(ran)他(ta)(ta)斷然(ran)與斯(si)賓諾(nuo)莎的觀念(nian)分道揚鑣了。
萊布尼茨與哲學(xue)(xue)家、神(shen)學(xue)(xue)家和文(wen)人們進(jin)行著廣泛的(de)(de)通信(xin)交往(wang)。在(zai)他的(de)(de)宏大計劃中曾(ceng)嘗試(shi)達成新教和天主教之間的(de)(de)一個和解以及(ji)基督教國家之間的(de)(de)聯合,這種聯合在(zai)他那(nei)個時代意味著歐洲聯盟。他還(huan)做過后來成為普魯士科學(xue)(xue)院的(de)(de)柏林(lin)科學(xue)(xue)協會(hui)的(de)(de)第一會(hui)長(chang)。
他曾服務于(yu)漢諾威宮廷,但當(dang)喬治一世(shi)成為英格(ge)蘭國王時(shi),萊布尼茨(ci)沒有被邀(yao)請同去,也許(xu)是由(you)于(yu)他與牛(niu)頓的(de)爭(zheng)端。他的(de)公眾影響(xiang)力(li)下(xia)降了(le),而在(zai)1716年,他再無(wu)人(ren)注意,甚至被他所創(chuang)立的(de)學會忽視的(de)情況下(xia)去世(shi),終年70歲(sui)。
微積分學(xue)(xue)的(de)(de)創立,極大地推(tui)動了數學(xue)(xue)的(de)(de)發展,過去很多(duo)初(chu)等(deng)數學(xue)(xue)束手無(wu)策的(de)(de)問(wen)題,運用微積分,往往迎刃而(er)解(jie),顯示出(chu)微積分學(xue)(xue)的(de)(de)非凡威(wei)力(li)。
前面已經(jing)提到,一門科學的(de)創立決不是某(mou)(mou)一個人的(de)業(ye)績,他必定是經(jing)過多(duo)少人的(de)努力后,在積累了大量成果的(de)基礎上,最后由某(mou)(mou)個人或(huo)幾個人總結完成的(de)。微積分(fen)也是這樣。
不幸的(de)(de)是(shi),由(you)于人們在(zai)欣賞微(wei)積分的(de)(de)宏偉功(gong)效之余,在(zai)提出(chu)誰(shui)是(shi)這門學(xue)(xue)科的(de)(de)創立者(zhe)的(de)(de)時候,竟然引起了一場悍(han)然大波,造(zao)成了歐洲大陸的(de)(de)數學(xue)(xue)家和(he)英國(guo)數學(xue)(xue)家的(de)(de)長期(qi)對立。英國(guo)數學(xue)(xue)在(zai)一個(ge)時期(qi)里閉關鎖國(guo),囿于民族(zu)偏見(jian),過(guo)于拘泥在(zai)牛頓(dun)的(de)(de)“流(liu)數術”中停步不前,因而數學(xue)(xue)發展整(zheng)整(zheng)落后了一百年。
其(qi)實,牛(niu)頓(dun)和萊布(bu)(bu)尼(ni)茨(ci)分(fen)(fen)別是自己獨立研究,在(zai)大體上相(xiang)近的時(shi)間里先后完成的。比(bi)較特殊的是牛(niu)頓(dun)創(chuang)立微(wei)(wei)積分(fen)(fen)要比(bi)萊布(bu)(bu)尼(ni)茨(ci)早10年左右(you),但是正式公開發表微(wei)(wei)積分(fen)(fen)這一理論(lun),萊布(bu)(bu)尼(ni)茨(ci)卻要比(bi)牛(niu)頓(dun)發表早三年。他們的研究各有長處,也(ye)都各有短處。那時(shi)候(hou),由于民族偏見,關于發明(ming)優先權(quan)的爭論(lun)竟從1699年始延續了一百(bai)多(duo)年。
應該(gai)指(zhi)出,這(zhe)是(shi)(shi)和(he)歷史上任何一(yi)項重大(da)理論的(de)(de)完成都要經歷一(yi)段時(shi)間一(yi)樣,牛(niu)頓和(he)萊布尼茨的(de)(de)工作(zuo)也都是(shi)(shi)很不(bu)完善的(de)(de)。他們(men)在(zai)無(wu)窮(qiong)和(he)無(wu)窮(qiong)小(xiao)量(liang)這(zhe)個問題上,其說不(bu)一(yi),十分(fen)含糊。牛(niu)頓的(de)(de)無(wu)窮(qiong)小(xiao)量(liang),有時(shi)候(hou)是(shi)(shi)零(ling),有時(shi)候(hou)不(bu)是(shi)(shi)零(ling)而是(shi)(shi)有限的(de)(de)小(xiao)量(liang);萊布尼茨的(de)(de)也不(bu)能自圓(yuan)其說。這(zhe)些基礎方面的(de)(de)缺陷,最(zui)終導(dao)致了第(di)二次數學危機(ji)的(de)(de)產生。
直到19世紀初,法國(guo)科(ke)學學院的(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)學家(jia)以柯(ke)西為(wei)首,對微積分的(de)(de)(de)(de)(de)理論(lun)進(jin)行了(le)認真研究,建立了(le)極(ji)限理論(lun),後來(lai)又(you)經(jing)過德國(guo)數(shu)學家(jia)維(wei)爾斯特拉(la)斯進(jin)一步(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)嚴格(ge)化,使(shi)極(ji)限理論(lun)成(cheng)為(wei)了(le)微積分的(de)(de)(de)(de)(de)堅(jian)定基礎(chu)。才使(shi)微積分進(jin)一步(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)發展開來(lai)。任(ren)何新興的(de)(de)(de)(de)(de)、具有(you)無量前途(tu)的(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)學成(cheng)就都吸引著廣大的(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)學工作者。在微積分的(de)(de)(de)(de)(de)歷(li)史(shi)上也閃爍著這樣(yang)的(de)(de)(de)(de)(de)一些明星:瑞(rui)士(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)雅(ya)科(ke)布·貝努(nu)利和他的(de)(de)(de)(de)(de)兄弟約翰·貝努(nu)利、歐(ou)拉(la)、法國(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)拉(la)格(ge)朗(lang)日、柯(ke)西……
歐氏(shi)幾(ji)何也(ye)(ye)好(hao),上古和(he)中世紀的(de)(de)代數(shu)學(xue)(xue)(xue)也(ye)(ye)好(hao),都是(shi)(shi)一種常量數(shu)學(xue)(xue)(xue),微(wei)積(ji)分才是(shi)(shi)真(zhen)正的(de)(de)變量數(shu)學(xue)(xue)(xue),是(shi)(shi)數(shu)學(xue)(xue)(xue)中的(de)(de)大(da)革命。微(wei)積(ji)分是(shi)(shi)高等數(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)主要分支,不(bu)只是(shi)(shi)局(ju)限在(zai)解決力學(xue)(xue)(xue)中的(de)(de)變速問題,它馳騁在(zai)近代和(he)現代科學(xue)(xue)(xue)技(ji)術(shu)園地里,建立了數(shu)不(bu)清的(de)(de)豐功(gong)偉績。
微積(ji)分(fen)(fen)(Calculus)是高等(deng)(deng)數(shu)(shu)學中研究函(han)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)微分(fen)(fen)(Differentiation)、積(ji)分(fen)(fen)(Integration)以(yi)及有關(guan)概(gai)念(nian)和(he)應用的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學分(fen)(fen)支(zhi)。它(ta)是數(shu)(shu)學的(de)(de)(de)一個基礎學科。內容主要包括極限、微分(fen)(fen)學、積(ji)分(fen)(fen)學及其應用。微分(fen)(fen)學包括求導(dao)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)運算,是一套關(guan)于變化率的(de)(de)(de)理論(lun)(lun)。它(ta)使得函(han)數(shu)(shu)、速度、加速度和(he)曲線的(de)(de)(de)斜率等(deng)(deng)均可用一套通(tong)用的(de)(de)(de)符號(hao)進行討論(lun)(lun)。積(ji)分(fen)(fen)學,包括求積(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)(de)運算,為定義和(he)計算面積(ji)、體積(ji)等(deng)(deng)提(ti)供一套通(tong)用的(de)(de)(de)方法。
微(wei)(wei)積分是(shi)與應(ying)用(yong)聯系(xi)著發(fa)(fa)展(zhan)起來(lai)的(de)(de)(de)(de),最初牛頓(dun)應(ying)用(yong)微(wei)(wei)積分學(xue)(xue)及(ji)微(wei)(wei)分方程為了從萬有引力(li)定(ding)律導出了開普勒行星運動(dong)(dong)三定(ding)律。此后,微(wei)(wei)積分學(xue)(xue)極大的(de)(de)(de)(de)推(tui)(tui)動(dong)(dong)了數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)發(fa)(fa)展(zhan),同時也極大的(de)(de)(de)(de)推(tui)(tui)動(dong)(dong)了天文學(xue)(xue)、力(li)學(xue)(xue)、物理學(xue)(xue)、化學(xue)(xue)、生物學(xue)(xue)、工程學(xue)(xue)、經濟(ji)學(xue)(xue)等(deng)自然科學(xue)(xue)、社會科學(xue)(xue)及(ji)應(ying)用(yong)科學(xue)(xue)各個分支中的(de)(de)(de)(de)發(fa)(fa)展(zhan)。并在(zai)(zai)這些(xie)學(xue)(xue)科中有越來(lai)越廣泛的(de)(de)(de)(de)應(ying)用(yong),特(te)別是(shi)計算機的(de)(de)(de)(de)出現更有助于這些(xie)應(ying)用(yong)的(de)(de)(de)(de)不斷發(fa)(fa)展(zhan)。微(wei)(wei)積分作(zuo)為一(yi)門(men)交叉(cha)性(xing)很強(qiang)的(de)(de)(de)(de)科目,除了在(zai)(zai)物理等(deng)自然科學(xue)(xue)上(shang)有強(qiang)實用(yong)性(xing)外,在(zai)(zai)經濟(ji)學(xue)(xue)上(shang)也有很強(qiang)的(de)(de)(de)(de)推(tui)(tui)動(dong)(dong)作(zuo)用(yong)。
微積分學(xue)(xue)的(de)發(fa)展與(yu)應用(yong)幾乎(hu)影響了(le)現(xian)代生活的(de)所有領域。它與(yu)大部分科學(xue)(xue)分支關系密切,包括醫藥、護理(li)、工業(ye)工程、商業(ye)管(guan)理(li)、精(jing)算、計(ji)(ji)算機、統計(ji)(ji)、人口統計(ji)(ji),特別(bie)是物理(li)學(xue)(xue);經濟學(xue)(xue)亦經常(chang)會(hui)用(yong)到微積分學(xue)(xue)。幾乎(hu)所有現(xian)代科學(xue)(xue)技術,如:機械、土木、建筑、航空及航海(hai)等工業(ye)工程都(dou)以微積分學(xue)(xue)作為基本(ben)數學(xue)(xue)工具。微積分使得數學(xue)(xue)可以在變量(liang)和常(chang)量(liang)之(zhi)間互相轉化,讓我們可以已知一種方(fang)式時推導出(chu)來另一種方(fang)式。
物理學(xue)大量(liang)(liang)應用(yong)微(wei)積(ji)分;經典力學(xue)、熱傳(chuan)和電磁學(xue)都(dou)(dou)與微(wei)積(ji)分有密切聯系(xi)。已知密度的(de)物體(ti)質量(liang)(liang),動摩擦(ca)力,保守(shou)力場的(de)總能量(liang)(liang)都(dou)(dou)可用(yong)微(wei)積(ji)分來(lai)計算(suan)。例如:將微(wei)積(ji)分應用(yong)到牛頓第二定律中(zhong),史料(liao)一(yi)般將導(dao)數(shu)(shu)稱為(wei)“變化率(lv)”。物體(ti)動量(liang)(liang)的(de)變化率(lv)等于(yu)向(xiang)物體(ti)以同一(yi)方向(xiang)所施的(de)力。今 天(tian)常用(yong)的(de)表達方式(shi)是(shi) extbf{emph{F}}=m extbf{emph{a}},它(ta)包括了微(wei)分,因為(wei)加速(su)度是(shi)速(su)度的(de)導(dao)數(shu)(shu),或是(shi)位置(zhi)矢量(liang)(liang)的(de)二階導(dao)數(shu)(shu)。已知物體(ti)的(de)加速(su)度,我們就可以得出它(ta)的(de)路徑。
生物學(xue)用(yong)微積(ji)分來(lai)計算種群動態,輸入繁(fan)殖和死亡率來(lai)模擬(ni)種群改變。
化學使用微積分來計算反應速(su)率,放射性衰(shuai)退。
麥(mai)克斯(si)韋爾的電磁學和(he)愛因斯(si)坦的廣(guang)義(yi)相(xiang)對(dui)論都應用了微分。
微(wei)積(ji)分可(ke)以(yi)與其他數學(xue)分支交叉混合(he)。例如,混合(he)線(xian)性代數來(lai)(lai)求得(de)值(zhi)域(yu)中(zhong)一(yi)組數列(lie)的“最佳”線(xian)性近(jin)似(si)。它也可(ke)以(yi)用在概率論(lun)中(zhong)來(lai)(lai)確定由假設密度(du)方程產生(sheng)的連(lian)續(xu)隨機變量的概率。在解(jie)析幾何對方程圖像的研(yan)究(jiu)中(zhong),微(wei)積(ji)分可(ke)以(yi)求得(de)最大值(zhi)、最小值(zhi)、斜率、凹度(du)、拐點(dian)等。
格林公(gong)式連接了一(yi)個(ge)封(feng)閉曲線(xian)上的線(xian)積分與一(yi)個(ge)邊(bian)界為C且平面區(qu)域為D的雙重(zhong)積分。它被設計(ji)為求積儀工具,用以量度不(bu)規(gui)則的平面面積。例如:它可以在設計(ji)時計(ji)算不(bu)規(gui)則的花瓣床、游泳池的面積。
在醫療領域,微積(ji)(ji)分(fen)可(ke)以(yi)計(ji)算血管最(zui)優支角,將血流最(zui)大化。通過藥(yao)物(wu)在體(ti)內的(de)衰退數據,微積(ji)(ji)分(fen)可(ke)以(yi)推(tui)導(dao)出服用量。在核(he)醫學中,它可(ke)以(yi)為治療腫瘤建(jian)立放射輸(shu)送(song)模型。
在經(jing)濟學中,微積分可以通過(guo)計算邊(bian)際成本和邊(bian)際利潤來確定最大收益。
微積分也被用(yong)(yong)(yong)(yong)于尋(xun)找(zhao)方程的(de)近(jin)(jin)似(si)(si)值;實踐中,它用(yong)(yong)(yong)(yong)于解(jie)微分方程,計算相(xiang)關的(de)應(ying)用(yong)(yong)(yong)(yong)題,如:牛(niu)頓法、定點(dian)循環(huan)、線性近(jin)(jin)似(si)(si)等。比(bi)如:宇宙飛船利用(yong)(yong)(yong)(yong)歐拉(la)方法來求得零(ling)重力環(huan)境下的(de)近(jin)(jin)似(si)(si)曲(qu)線。
在大(da)學(xue)的數理、工程(cheng)、商管教學(xue)中,微積(ji)分(fen)是“高等數學(xue)”的主要內容(rong)之(zhi)一(yi)。其(qi)教學(xue)法由學(xue)科(ke)創立(li)一(yi)開始就(jiu)受到人們重視(shi)。在美國大(da)學(xue)先(xian)修課程(cheng)中,AP微積(ji)分(fen)AB、BC分(fen)別為對應大(da)學(xue)一(yi)元微積(ji)分(fen)半年(nian)、全(quan)年(nian)課程(cheng)。
在(zai)香港,微積分是新(xin)高(gao)中課程(cheng)數學(延展部分)的一部分,這部分是選修的。