數(shu)(shu)學中的(de)轉折點是笛卡爾的(de)變(bian)數(shu)(shu)，有了(le)變(bian)數(shu)(shu)，運動進(jin)入了(le)數(shu)(shu)學，有了(le)變(bian)數(shu)(shu)，辯證(zheng)法進(jin)入了(le)數(shu)(shu)學，有了(le)變(bian)數(shu)(shu)，微分學和(he)積分學也(ye)就立刻成為必要(yao)的(de)了(le)，而它們也(ye)就立刻產生(sheng)，并(bing)且是由牛頓和(he)萊(lai)布尼茲大體上完成的(de)，但(dan)不是由他們發(fa)明的(de)。——恩格斯(si)
從15世(shi)紀初歐洲文藝(yi)復興(xing)時期(qi)起，工業(ye)、農業(ye)、航海事業(ye)與商賈貿(mao)易的(de)大規模發(fa)展(zhan)，形成(cheng)了(le)一個新的(de)經(jing)濟時代，宗(zong)教改(gai)革(ge)與對(dui)教會思想禁(jin)錮的(de)懷(huai)疑，東方先進(jin)的(de)科學(xue)技術(shu)通過阿拉伯的(de)傳入(ru)，以及(ji)拜(bai)占庭帝國覆滅后希臘大量文獻的(de)流入(ru)歐洲，在當時的(de)知(zhi)識階層(ceng)面前呈現(xian)出(chu)一個完(wan)全嶄新的(de)面貌。而十(shi)六世(shi)紀的(de)歐洲，正(zheng)處在資本主義萌芽時期(qi)，生產力得到了(le)很大的(de)發(fa)展(zhan)，生產實踐的(de)發(fa)展(zhan)向自然科學(xue)提出(chu)了(le)新的(de)課題，迫切要求(qiu)力學(xue)、天文學(xue)等基礎學(xue)科的(de)發(fa)展(zhan)，而這(zhe)些學(xue)科都是深刻依賴于數(shu)學(xue)的(de)，因(yin)而也推(tui)動的(de)數(shu)學(xue)的(de)發(fa)展(zhan)。科學(xue)對(dui)數(shu)學(xue)提出(chu)的(de)種種要求(qiu)，最后匯總(zong)成(cheng)多個核心問題：
（1）運動中速(su)度(du)與(yu)距離的互求問題
即，已知物(wu)體(ti)(ti)(ti)移(yi)動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)離(li)(li)表(biao)為時(shi)間(jian)(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)公式(shi)，求物(wu)體(ti)(ti)(ti)在(zai)(zai)(zai)任意(yi)時(shi)刻(ke)(ke)(ke)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)速(su)(su)度和(he)(he)(he)加(jia)速(su)(su)度；反過來，已知物(wu)體(ti)(ti)(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)加(jia)速(su)(su)度表(biao)為時(shi)間(jian)(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)公式(shi)，求速(su)(su)度和(he)(he)(he)距(ju)離(li)(li)。這類問題(ti)是(shi)研究運動(dong)(dong)時(shi)直接(jie)出現的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，困難在(zai)(zai)(zai)于，所(suo)研究的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)速(su)(su)度和(he)(he)(he)加(jia)速(su)(su)度是(shi)每(mei)時(shi)每(mei)刻(ke)(ke)(ke)都在(zai)(zai)(zai)變化(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。比如，計算物(wu)體(ti)(ti)(ti)在(zai)(zai)(zai)某時(shi)刻(ke)(ke)(ke)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)瞬時(shi)速(su)(su)度，就不能象計算平均速(su)(su)度那樣，用(yong)運動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)間(jian)(jian)去除移(yi)動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)離(li)(li)，因(yin)為在(zai)(zai)(zai)給定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)瞬間(jian)(jian)，物(wu)體(ti)(ti)(ti)移(yi)動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)離(li)(li)和(he)(he)(he)所(suo)用(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)間(jian)(jian)是(shi)，而是(shi)無意(yi)義的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。但是(shi)，根(gen)據物(wu)理，每(mei)個(ge)運動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)體(ti)(ti)(ti)在(zai)(zai)(zai)它運動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)每(mei)一時(shi)刻(ke)(ke)(ke)必有速(su)(su)度，這也是(shi)無疑的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。已知速(su)(su)度公式(shi)求移(yi)動(dong)(dong)距(ju)離(li)(li)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問題(ti)，也遇到(dao)同樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)困難。因(yin)為速(su)(su)度每(mei)時(shi)每(mei)刻(ke)(ke)(ke)都在(zai)(zai)(zai)變化(hua)，所(suo)以不能用(yong)運動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)間(jian)(jian)乘(cheng)任意(yi)時(shi)刻(ke)(ke)(ke)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)速(su)(su)度，來得到(dao)物(wu)體(ti)(ti)(ti)移(yi)動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)離(li)(li)。
（2）求曲線的切線問題
這(zhe)個問題本身是純(chun)幾何的(de)(de)(de)(de)，而且對于(yu)科(ke)(ke)學應用有巨大的(de)(de)(de)(de)重要(yao)性。由于(yu)研究(jiu)天文的(de)(de)(de)(de)需要(yao)，光(guang)(guang)學是十七(qi)世紀(ji)的(de)(de)(de)(de)一門較(jiao)重要(yao)的(de)(de)(de)(de)科(ke)(ke)學研究(jiu)，透鏡的(de)(de)(de)(de)設(she)計(ji)者要(yao)研究(jiu)光(guang)(guang)線(xian)(xian)通過透鏡的(de)(de)(de)(de)通道，必須(xu)知(zhi)道光(guang)(guang)線(xian)(xian)入射透鏡的(de)(de)(de)(de)角度以便(bian)應用反射定律，這(zhe)里重要(yao)的(de)(de)(de)(de)是光(guang)(guang)線(xian)(xian)與曲線(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)法線(xian)(xian)間的(de)(de)(de)(de)夾角，而法線(xian)(xian)是垂直于(yu)切線(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)，所以總(zong)是就在于(yu)求出法線(xian)(xian)或切線(xian)(xian)；另一個涉及到曲線(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)切線(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)科(ke)(ke)學問題出現于(yu)運(yun)(yun)動(dong)的(de)(de)(de)(de)研究(jiu)中，求運(yun)(yun)動(dong)物體在它的(de)(de)(de)(de)軌跡上(shang)任一點上(shang)的(de)(de)(de)(de)運(yun)(yun)動(dong)方向，即(ji)軌跡的(de)(de)(de)(de)切線(xian)(xian)方向。
（3）求長度、面積、體積、與重心問題(ti)等
這些問(wen)(wen)題(ti)包括，求曲線的(de)(de)(de)(de)長(chang)(chang)度(du)（如行星在(zai)已知時期移動的(de)(de)(de)(de)距離），曲線圍成(cheng)的(de)(de)(de)(de)面積(ji)(ji)，曲面圍成(cheng)的(de)(de)(de)(de)體積(ji)(ji)，物(wu)(wu)體的(de)(de)(de)(de)重(zhong)心(xin)，一(yi)個(ge)相(xiang)當(dang)大的(de)(de)(de)(de)物(wu)(wu)體（如行星）作用(yong)(yong)于(yu)(yu)另一(yi)物(wu)(wu)體上的(de)(de)(de)(de)引力。實際(ji)上，關于(yu)(yu)計算橢(tuo)圓(yuan)的(de)(de)(de)(de)長(chang)(chang)度(du)的(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)，就(jiu)(jiu)難(nan)住數(shu)學家們(men)(men)，以(yi)致有一(yi)段時期數(shu)學家們(men)(men)對(dui)這個(ge)問(wen)(wen)題(ti)的(de)(de)(de)(de)進一(yi)步工(gong)作失(shi)敗(bai)了(le)(le)(le)(le)，直到下(xia)一(yi)世紀才得到新的(de)(de)(de)(de)結果(guo)。又(you)如求面積(ji)(ji)問(wen)(wen)題(ti)，早在(zai)古希臘時期人們(men)(men)就(jiu)(jiu)用(yong)(yong)窮(qiong)(qiong)竭(jie)法(fa)求出了(le)(le)(le)(le)一(yi)些面積(ji)(ji)和(he)(he)體積(ji)(ji)，如求拋(pao)物(wu)(wu)線在(zai)區間上與(yu)軸和(he)(he)直線所圍成(cheng)的(de)(de)(de)(de)面積(ji)(ji)，他(ta)們(men)(men)就(jiu)(jiu)采用(yong)(yong)了(le)(le)(le)(le)窮(qiong)(qiong)竭(jie)法(fa)。當(dang)越(yue)來(lai)越(yue)小時，右端的(de)(de)(de)(de)結果(guo)就(jiu)(jiu)越(yue)來(lai)越(yue)接近所求的(de)(de)(de)(de)面積(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)精(jing)確值(zhi)。但是，應用(yong)(yong)窮(qiong)(qiong)竭(jie)法(fa)，必須添(tian)上許多技藝(yi)，并且缺乏一(yi)般性，常(chang)常(chang)得不到數(shu)字(zi)解。當(dang)阿基米德的(de)(de)(de)(de)工(gong)作在(zai)歐洲聞名時，求長(chang)(chang)度(du)、面積(ji)(ji)、體積(ji)(ji)和(he)(he)重(zhong)心(xin)的(de)(de)(de)(de)興(xing)趣復活了(le)(le)(le)(le)。窮(qiong)(qiong)竭(jie)法(fa)先是逐漸(jian)地被修改，后來(lai)由于(yu)(yu)微積(ji)(ji)分的(de)(de)(de)(de)創立而(er)根(gen)本地修改了(le)(le)(le)(le)。
（4）求(qiu)最大(da)值和(he)最小值問題
炮彈在(zai)炮筒里(li)射(she)(she)出(chu)，它運(yun)行的(de)(de)水平距離，即射(she)(she)程(cheng)，依賴于炮筒對(dui)地面的(de)(de)傾(qing)斜(xie)角(jiao)(jiao)(jiao)(jiao)，即發(fa)射(she)(she)角(jiao)(jiao)(jiao)(jiao)。一個“實(shi)際”的(de)(de)問題是(shi)求能獲得最(zui)大(da)射(she)(she)程(cheng)的(de)(de)發(fa)射(she)(she)角(jiao)(jiao)(jiao)(jiao)。十七世(shi)紀初期(qi)，Galileo斷(duan)定(ding)（在(zai)真空(kong)中(zhong)）最(zui)大(da)射(she)(she)程(cheng)在(zai)發(fa)射(she)(she)角(jiao)(jiao)(jiao)(jiao)是(shi)時達到(dao)；他還得出(chu)炮彈從各個不同角(jiao)(jiao)(jiao)(jiao)度發(fa)射(she)(she)后所達到(dao)的(de)(de)不同的(de)(de)最(zui)大(da)高度。研究行星(xing)的(de)(de)運(yun)動也涉(she)及到(dao)最(zui)大(da)值和最(zui)小值的(de)(de)問題，如求行星(xing)離開太陽的(de)(de)距離。
早在公(gong)元前7世紀，古(gu)希臘(la)科學家、哲(zhe)學家泰(tai)勒斯就(jiu)(jiu)對球的(de)(de)(de)面積(ji)(ji)(ji)、體(ti)(ti)積(ji)(ji)(ji)、與長度等問(wen)(wen)題(ti)的(de)(de)(de)研究就(jiu)(jiu)含(han)有微積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)思想(xiang)。古(gu)希臘(la)數學家、力學家阿基米德（公(gong)元前287~前212）的(de)(de)(de)著作(zuo)《圓(yuan)的(de)(de)(de)測量》和《論球與圓(yuan)柱》中(zhong)就(jiu)(jiu)已含(han)有積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)學的(de)(de)(de)萌芽，他在研究解(jie)決拋物線下的(de)(de)(de)弓形面積(ji)(ji)(ji)、球和球冠(guan)面積(ji)(ji)(ji)、螺線下的(de)(de)(de)面積(ji)(ji)(ji)和旋(xuan)轉(zhuan)雙曲線所得的(de)(de)(de)體(ti)(ti)積(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)中(zhong)就(jiu)(jiu)隱含(han)著近(jin)代積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)(de)思想(xiang)。中(zhong)國古(gu)代數學家也產生過積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)學的(de)(de)(de)萌芽思想(xiang)，例(li)如三國時期(qi)的(de)(de)(de)劉徽，他對積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)學的(de)(de)(de)思想(xiang)主要有兩點(dian)：割(ge)圓(yuan)術及求體(ti)(ti)積(ji)(ji)(ji)問(wen)(wen)題(ti)的(de)(de)(de)設想(xiang)。
在(zai)3世(shi)紀，中國數(shu)學家劉徽創立的(de)割圓(yuan)術(shu)用(yong)圓(yuan)內接正(zheng)九(jiu)十六邊形的(de)面積近似代替圓(yuan)面積，求出圓(yuan)周率的(de)近似值，并指出：“割之彌(mi)細，所(suo)失彌(mi)少，割之又(you)割，以至不可割，則與圓(yuan)合體(ti)而無(wu)所(suo)失矣”。劉徽對面積的(de)深(shen)刻認識和他的(de)割圓(yuan)術(shu)方法，正(zheng)是極(ji)限(xian)(xian)思(si)想(xiang)的(de)具體(ti)體(ti)現(xian)。數(shu)列(lie)(lie)極(ji)限(xian)(xian)是函(han)數(shu)極(ji)限(xian)(xian)的(de)基礎，一個(ge)數(shu)列(lie)(lie)如果當無(wu)限(xian)(xian)增大時，與某(mou)一實數(shu)無(wu)限(xian)(xian)接近，就稱(cheng)之為收斂數(shu)列(lie)(lie)，為數(shu)列(lie)(lie)的(de)極(ji)限(xian)(xian)。
客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙(zhou)，始終(zhong)都在運(yun)動和變(bian)化著。因(yin)此在數學(xue)中引入了變(bian)量的概念后，就有可能把運(yun)動現象用數學(xue)來加以描述了。
由于函數(shu)概(gai)念的(de)產(chan)生(sheng)和運用的(de)加深(shen)，也由于科學(xue)(xue)技術發展的(de)需要，一門新的(de)數(shu)學(xue)(xue)分(fen)支就(jiu)繼解析幾(ji)何(he)之后(hou)產(chan)生(sheng)了，這就(jiu)是(shi)微(wei)積分(fen)學(xue)(xue)。微(wei)積分(fen)學(xue)(xue)這門學(xue)(xue)科在數(shu)學(xue)(xue)發展中(zhong)的(de)地位是(shi)十分(fen)重要的(de)，可(ke)以說它是(shi)繼歐氏(shi)幾(ji)何(he)后(hou)，全(quan)部(bu)數(shu)學(xue)(xue)中(zhong)的(de)最大的(de)一個創造。
微積(ji)(ji)分(fen)的(de)(de)(de)產生一般分(fen)為三個階(jie)段：極限概念(nian)；求(qiu)積(ji)(ji)的(de)(de)(de)無(wu)限小方(fang)法；積(ji)(ji)分(fen)與微分(fen)的(de)(de)(de)互逆關系(xi)。最后一步是由牛頓(dun)、萊布(bu)尼茲完成的(de)(de)(de)。前兩階(jie)段的(de)(de)(de)工作(zuo)，歐洲的(de)(de)(de)大批數學家一直追溯到古希臘(la)的(de)(de)(de)阿基米德都(dou)作(zuo)出了各自的(de)(de)(de)貢獻。對(dui)于(yu)這方(fang)面的(de)(de)(de)工作(zuo)，古代(dai)中國(guo)(guo)毫不遜色于(yu)西方(fang)，微積(ji)(ji)分(fen)思想在古代(dai)中國(guo)(guo)也(ye)有萌芽(ya)，甚至(zhi)不次于(yu)古希臘(la)。
早在(zai)公(gong)元前7世(shi)紀，古希臘(la)科(ke)學(xue)(xue)家(jia)(jia)、哲學(xue)(xue)家(jia)(jia)泰勒斯就(jiu)對球(qiu)(qiu)的(de)(de)面(mian)積(ji)、體(ti)積(ji)、與長(chang)度等(deng)問題(ti)的(de)(de)研究(jiu)就(jiu)含(han)有微積(ji)分(fen)思想(xiang)。古希臘(la)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)(jia)、力學(xue)(xue)家(jia)(jia)阿基米德（公(gong)元前287~前212）的(de)(de)著(zhu)作《圓的(de)(de)測量(liang)》和《論球(qiu)(qiu)與圓柱(zhu)》中就(jiu)已含(han)有積(ji)分(fen)學(xue)(xue)的(de)(de)萌芽(ya)，他在(zai)研究(jiu)解決拋物線(xian)下的(de)(de)弓形面(mian)積(ji)、球(qiu)(qiu)和球(qiu)(qiu)冠面(mian)積(ji)、螺線(xian)下的(de)(de)面(mian)積(ji)和旋轉雙曲線(xian)所得(de)的(de)(de)體(ti)積(ji)的(de)(de)問題(ti)中就(jiu)隱含(han)著(zhu)近代積(ji)分(fen)的(de)(de)思想(xiang)。
早(zao)在公元(yuan)(yuan)前7世(shi)紀，古希臘科(ke)學(xue)家、哲學(xue)家泰(tai)勒斯就對球的(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)、體積(ji)(ji)、與長度等(deng)(deng)問題(ti)的(de)(de)研究就含有(you)微(wei)積(ji)(ji)分思(si)(si)想。公元(yuan)(yuan)前4世(shi)紀《墨(mo)經》中有(you)了有(you)窮、無(wu)(wu)(wu)窮、無(wu)(wu)(wu)限小（最小無(wu)(wu)(wu)內(nei)）、無(wu)(wu)(wu)窮大(da)(da)（最大(da)(da)無(wu)(wu)(wu)外）的(de)(de)定(ding)義和(he)極限、瞬時等(deng)(deng)概念。劉徽公元(yuan)(yuan)263年首創的(de)(de)割圓術求圓面(mian)積(ji)(ji)和(he)方錐體積(ji)(ji)，求得圓周率(lv)約(yue)等(deng)(deng)于3.1416，他的(de)(de)極限思(si)(si)想和(he)無(wu)(wu)(wu)窮小方法，是世(shi)界古代極限思(si)(si)想的(de)(de)深刻體現。
公(gong)元前三世(shi)紀，古希臘的(de)(de)阿基(ji)米德在(zai)研究解決拋物(wu)弓形的(de)(de)面(mian)積、球(qiu)和(he)球(qiu)冠面(mian)積、螺(luo)線下面(mian)積和(he)旋轉(zhuan)雙(shuang)曲體(ti)的(de)(de)體(ti)積的(de)(de)問題中(zhong)，就隱(yin)含著(zhu)近代(dai)積分學(xue)的(de)(de)思想。作為微分學(xue)基(ji)礎(chu)的(de)(de)極(ji)限理(li)論來說，在(zai)古代(dai)以有比較清楚(chu)的(de)(de)論述(shu)。比如我(wo)國的(de)(de)莊(zhuang)周所(suo)著(zhu)的(de)(de)《莊(zhuang)子》一(yi)書的(de)(de)“天下篇”中(zhong)，記有“一(yi)尺之棰(chui)，日取其(qi)半，萬世(shi)不竭(jie)”。三國時期的(de)(de)劉徽(hui)在(zai)他的(de)(de)割(ge)(ge)圓術中(zhong)提到(dao)“割(ge)(ge)之彌細，所(suo)失彌小，割(ge)(ge)之又(you)割(ge)(ge)，以至于不可割(ge)(ge)，則與(yu)圓周和(he)體(ti)而無所(suo)失矣。”這些(xie)都是樸素(su)的(de)(de)、也是很典型的(de)(de)極(ji)限概(gai)念(nian)。
微積分思想(xiang)雖然(ran)可追溯到古希(xi)臘(la)，但它的(de)(de)(de)概念和(he)(he)法(fa)則卻是16世紀(ji)下半葉，開普勒、卡瓦列利等(deng)求(qiu)積的(de)(de)(de)不可分量思想(xiang)和(he)(he)方法(fa)基礎上(shang)產生和(he)(he)發展起來的(de)(de)(de)。而(er)這些思想(xiang)和(he)(he)方法(fa)從劉(liu)徽對圓(yuan)(yuan)錐(zhui)、圓(yuan)(yuan)臺(tai)、圓(yuan)(yuan)柱(zhu)的(de)(de)(de)體(ti)積公式的(de)(de)(de)證明(ming)到公元5世紀(ji)祖恒求(qiu)球(qiu)體(ti)積的(de)(de)(de)方法(fa)中都可找到。北宋大科學家沈括的(de)(de)(de)《夢(meng)溪筆(bi)談》獨創了(le)(le)“隙積術”、“會圓(yuan)(yuan)術”和(he)(he)“棋局都數(shu)術”開創了(le)(le)對高階等(deng)差級數(shu)求(qiu)和(he)(he)的(de)(de)(de)研(yan)究。
特別是13世(shi)紀(ji)(ji)40年代到14世(shi)紀(ji)(ji)初，在(zai)(zai)主要領域都(dou)(dou)達(da)到了(le)(le)中(zhong)國(guo)(guo)(guo)古(gu)代數學(xue)(xue)的(de)(de)(de)高(gao)(gao)峰，出現了(le)(le)現通稱賈憲三角形的(de)(de)(de)“開(kai)方(fang)(fang)作法(fa)(fa)本源圖”和(he)(he)增乘開(kai)方(fang)(fang)法(fa)(fa)、“正(zheng)負開(kai)方(fang)(fang)術(shu)(shu)”、“大(da)(da)衍求一(yi)術(shu)(shu)”、“大(da)(da)衍總數術(shu)(shu)”（一(yi)次同余式組解法(fa)(fa)）、“垛積術(shu)(shu)”（高(gao)(gao)階等(deng)差級數求和(he)(he)）、“招差術(shu)(shu)”（高(gao)(gao)次差內(nei)差法(fa)(fa)）、“天元術(shu)(shu)”（數字(zi)高(gao)(gao)次方(fang)(fang)程一(yi)般解法(fa)(fa)）、“四元術(shu)(shu)”（四元高(gao)(gao)次方(fang)(fang)程組解法(fa)(fa)）、勾股數學(xue)(xue)、弧矢割圓(yuan)術(shu)(shu)、組合(he)數學(xue)(xue)、計算技術(shu)(shu)改革和(he)(he)珠算等(deng)都(dou)(dou)是在(zai)(zai)世(shi)界數學(xue)(xue)史上有(you)重要地位(wei)的(de)(de)(de)杰(jie)出成果，中(zhong)國(guo)(guo)(guo)古(gu)代數學(xue)(xue)有(you)了(le)(le)微(wei)積分(fen)前兩階段的(de)(de)(de)出色工作，其中(zhong)許多(duo)都(dou)(dou)是微(wei)積分(fen)得以(yi)創(chuang)立的(de)(de)(de)關鍵(jian)。中(zhong)國(guo)(guo)(guo)已具(ju)備(bei)了(le)(le)17世(shi)紀(ji)(ji)發明(ming)微(wei)積分(fen)前夕(xi)的(de)(de)(de)全(quan)部內(nei)在(zai)(zai)條件，已經接近了(le)(le)微(wei)積分(fen)的(de)(de)(de)大(da)(da)門。可惜中(zhong)國(guo)(guo)(guo)元朝以(yi)后，八股取士制(zhi)造(zao)成了(le)(le)學(xue)(xue)術(shu)(shu)上的(de)(de)(de)大(da)(da)倒退，封建統治(zhi)的(de)(de)(de)文化專(zhuan)制(zhi)和(he)(he)盲(mang)目(mu)排外致使包括(kuo)數學(xue)(xue)在(zai)(zai)內(nei)的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)日漸衰落，在(zai)(zai)微(wei)積分(fen)創(chuang)立的(de)(de)(de)最關鍵(jian)一(yi)步落伍了(le)(le)。
到(dao)了十七(qi)世紀，有許多(duo)科學問(wen)(wen)題(ti)需要(yao)解決(jue)，這(zhe)些問(wen)(wen)題(ti)也就成了促使微積(ji)分(fen)產(chan)生的(de)(de)(de)(de)因素(su)。歸結起來，大(da)約有四種主要(yao)類(lei)型的(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)：第一(yi)類(lei)是(shi)研究運動的(de)(de)(de)(de)時候直接(jie)出現的(de)(de)(de)(de)，也就是(shi)求(qiu)即時速度的(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)。第二類(lei)問(wen)(wen)題(ti)是(shi)求(qiu)曲(qu)線(xian)的(de)(de)(de)(de)切線(xian)的(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)。第三類(lei)問(wen)(wen)題(ti)是(shi)求(qiu)函數的(de)(de)(de)(de)最(zui)大(da)值和(he)最(zui)小值問(wen)(wen)題(ti)。第四類(lei)問(wen)(wen)題(ti)是(shi)求(qiu)曲(qu)線(xian)長、曲(qu)線(xian)圍(wei)成的(de)(de)(de)(de)面(mian)積(ji)、曲(qu)面(mian)圍(wei)成的(de)(de)(de)(de)體(ti)(ti)積(ji)、物(wu)(wu)(wu)體(ti)(ti)的(de)(de)(de)(de)重心(xin)、一(yi)個體(ti)(ti)積(ji)相當大(da)的(de)(de)(de)(de)物(wu)(wu)(wu)體(ti)(ti)作用于另一(yi)物(wu)(wu)(wu)體(ti)(ti)上的(de)(de)(de)(de)引力(li)。
數(shu)學(xue)首先(xian)從對運動（如(ru)天文、航(hang)海問(wen)題等）的(de)研究中引(yin)出了一(yi)個(ge)(ge)基本概念，在(zai)那以后的(de)二百(bai)年(nian)里(li)，這(zhe)個(ge)(ge)概念在(zai)幾(ji)乎所有(you)的(de)工作中占中心(xin)(xin)位(wei)置，這(zhe)就是(shi)函(han)數(shu)——或變量間(jian)關系——的(de)概念。緊接著(zhu)函(han)數(shu)概念的(de)采用，產生了微積(ji)(ji)分，它是(shi)繼Euclid幾(ji)何之后，全部數(shu)學(xue)中的(de)一(yi)個(ge)(ge)最大(da)的(de)創造。圍繞(rao)著(zhu)解決(jue)上述四個(ge)(ge)核心(xin)(xin)的(de)科(ke)學(xue)問(wen)題，微積(ji)(ji)分問(wen)題至少(shao)被十七世紀十幾(ji)個(ge)(ge)最大(da)的(de)數(shu)學(xue)家(jia)和幾(ji)十個(ge)(ge)小一(yi)些的(de)數(shu)學(xue)家(jia)探索過(guo)。位(wei)于他們(men)全部貢獻頂峰的(de)是(shi)牛頓和萊布尼(ni)茨的(de)成(cheng)就。在(zai)此，我們(men)主要(yao)來介紹(shao)這(zhe)兩位(wei)大(da)師的(de)工作。
實際上，在牛頓和萊(lai)布尼茨作出他(ta)們的(de)(de)(de)(de)(de)沖刺之前，微積(ji)分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)大量知(zhi)識已經積(ji)累起來了(le)。十七世紀的(de)(de)(de)(de)(de)許(xu)多(duo)(duo)著名的(de)(de)(de)(de)(de)數學家(jia)(jia)、天文學家(jia)(jia)、物理學家(jia)(jia)都為(wei)解決(jue)上述幾類問題作了(le)大量的(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究工作，如(ru)法國(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)費馬(ma)、笛(di)(di)卡爾、羅(luo)伯瓦(wa)、笛(di)(di)沙(sha)格(ge)；英國(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)巴羅(luo)、沃利(li)斯；德國(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)開普勒；意(yi)大利(li)的(de)(de)(de)(de)(de)卡瓦(wa)列里等人都提出許(xu)多(duo)(duo)很有建樹的(de)(de)(de)(de)(de)理論。為(wei)微積(ji)分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)創(chuang)立做(zuo)出了(le)貢獻。
例如費馬、巴羅、笛卡爾都對求曲線的(de)切線以(yi)及曲線圍成的(de)面積問題有(you)過深入的(de)研究，并且得到了(le)一些(xie)結果，但是(shi)(shi)他們都沒有(you)意識(shi)到它的(de)重要(yao)性。在十七世紀的(de)前三分之二，微積分的(de)工作沉沒在細節(jie)里，作用(yong)不(bu)大的(de)細微末節(jie)的(de)推理使他們筋疲力盡了(le)。只(zhi)有(you)少數(shu)(shu)幾(ji)個(ge)大學(xue)家意識(shi)到了(le)這個(ge)問題，如James Gregory說過：“數(shu)(shu)學(xue)的(de)真正劃(hua)分不(bu)是(shi)(shi)分成幾(ji)何和算術，而是(shi)(shi)分成普(pu)遍(bian)的(de)和特殊的(de)”。而這普(pu)遍(bian)的(de)東西是(shi)(shi)由兩個(ge)包羅萬象的(de)思想家牛頓和萊布尼茨提供(gong)的(de)。
十(shi)(shi)七世紀下半葉，在(zai)(zai)前人工(gong)作(zuo)的(de)(de)基礎上，英國大科學(xue)家牛頓和德國數學(xue)家萊布尼茨分別在(zai)(zai)自(zi)己(ji)的(de)(de)國度(du)里獨(du)自(zi)研究和完成了微(wei)積分的(de)(de)創立工(gong)作(zuo)，雖(sui)然這只是十(shi)(shi)分初步(bu)的(de)(de)工(gong)作(zuo)。他們的(de)(de)最大功績是把兩(liang)個貌(mao)似毫不相關(guan)的(de)(de)問題(ti)聯(lian)系在(zai)(zai)一(yi)(yi)起(qi)，一(yi)(yi)個是切(qie)線問題(ti)（微(wei)分學(xue)的(de)(de)中心問題(ti)），一(yi)(yi)個是求積問題(ti)（積分學(xue)的(de)(de)中心問題(ti)）。
牛(niu)(niu)頓和(he)萊布尼茨建立微積(ji)分(fen)(fen)的出發點是直觀(guan)的無窮小(xiao)量，因此這門學(xue)(xue)科早期也稱為無窮小(xiao)分(fen)(fen)析(xi)，這正是數學(xue)(xue)中分(fen)(fen)析(xi)學(xue)(xue)這一大分(fen)(fen)支名稱的來(lai)源。牛(niu)(niu)頓研(yan)究微積(ji)分(fen)(fen)著重于從運動(dong)學(xue)(xue)來(lai)考(kao)慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學(xue)(xue)來(lai)考(kao)慮的。
牛(niu)頓在1671年(nian)寫了(le)《流(liu)數(shu)法(fa)和無窮(qiong)級數(shu)》，這本(ben)書直到1736年(nian)才出(chu)版，它在這本(ben)書里指出(chu)，變量(liang)是由點、線(xian)、面的(de)連(lian)續(xu)運動(dong)產生(sheng)的(de)，否定了(le)以前自己認為的(de)變量(liang)是無窮(qiong)小元(yuan)素的(de)靜止集合(he)。他把(ba)連(lian)續(xu)變量(liang)叫做流(liu)動(dong)量(liang)，把(ba)這些流(liu)動(dong)量(liang)的(de)導數(shu)叫做流(liu)數(shu)。牛(niu)頓在流(liu)數(shu)術中所提出(chu)的(de)中心問題是：已(yi)知連(lian)續(xu)運動(dong)的(de)路徑，求給定時(shi)刻(ke)的(de)速(su)(su)度（微分(fen)法(fa)）；已(yi)知運動(dong)的(de)速(su)(su)度求給定時(shi)間內經過(guo)的(de)路程(積分(fen)法(fa))。
德國的(de)(de)(de)(de)萊布尼茨是(shi)一個博才(cai)多學(xue)的(de)(de)(de)(de)學(xue)者，1684年，他(ta)發表(biao)了現在世界上(shang)認為是(shi)最(zui)早的(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)積(ji)分(fen)文(wen)獻，這(zhe)篇文(wen)章有(you)一個很(hen)長而且很(hen)古怪的(de)(de)(de)(de)名字《一種求極(ji)大(da)(da)極(ji)小和切(qie)線的(de)(de)(de)(de)新(xin)方法，它也(ye)適用于(yu)分(fen)式和無理(li)量，以(yi)及這(zhe)種新(xin)方法的(de)(de)(de)(de)奇妙類型的(de)(de)(de)(de)計算》。就(jiu)是(shi)這(zhe)樣一片說(shuo)理(li)也(ye)頗含糊(hu)的(de)(de)(de)(de)文(wen)章，卻有(you)劃(hua)時代的(de)(de)(de)(de)意義。他(ta)以(yi)含有(you)現代的(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)分(fen)符號和基本(ben)微(wei)(wei)分(fen)法則。1686年，萊布尼茨發表(biao)了第一篇積(ji)分(fen)學(xue)的(de)(de)(de)(de)文(wen)獻。他(ta)是(shi)歷史上(shang)最(zui)偉大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)符號學(xue)者之(zhi)一，他(ta)所創設的(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)積(ji)分(fen)符號，遠(yuan)遠(yuan)優于(yu)牛頓的(de)(de)(de)(de)符號，這(zhe)對(dui)微(wei)(wei)積(ji)分(fen)的(de)(de)(de)(de)發展有(you)極(ji)大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)影響。我們(men)使用的(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)積(ji)分(fen)通用符號就(jiu)是(shi)當時萊布尼茨精心(xin)選用的(de)(de)(de)(de)。
從幼年(nian)時代(dai)起，萊(lai)布尼茨(ci)就(jiu)明顯(xian)展露(lu)出一顆燦爛的思想明星(xing)的跡(ji)象。他13歲時就(jiu)像(xiang)其他孩子讀小說一樣(yang)輕松(song)地閱讀經院學者的艱深(shen)的論文了(le)。他提出無窮小的微積分算法(fa)，并(bing)且(qie)他發表(biao)自己(ji)的成果比艾薩克·牛(niu)頓爵士(shi)將它的手(shou)稿付梓早三年(nian)，而后者宣稱(cheng)自己(ji)第一個(ge)做(zuo)出了(le)這項發現。
萊布尼(ni)茨是(shi)一(yi)個世故的(de)人，取悅于宮廷并(bing)得(de)到(dao)知名人士(shi)的(de)庇護。他(ta)與(yu)斯賓諾莎有私交，后者的(de)哲(zhe)學(xue)給(gei)他(ta)以深(shen)刻的(de)印象，雖然他(ta)斷然與(yu)斯賓諾莎的(de)觀念分道(dao)揚鑣了。
萊布尼茨與哲學家、神學家和(he)文人們進行著(zhu)廣泛的(de)通信交(jiao)往(wang)。在他(ta)的(de)宏大(da)計劃中曾嘗試達成(cheng)新教(jiao)和(he)天主教(jiao)之間的(de)一個和(he)解以及(ji)基(ji)督教(jiao)國(guo)家之間的(de)聯合，這(zhe)種聯合在他(ta)那個時代(dai)意(yi)味著(zhu)歐洲聯盟。他(ta)還做過后來(lai)成(cheng)為(wei)普魯(lu)士科學院的(de)柏(bo)林科學協(xie)會的(de)第一會長(chang)。
他(ta)(ta)曾服(fu)務于(yu)漢諾威宮廷，但當喬治一世(shi)成為英格蘭國王時，萊布尼茨沒(mei)有被邀(yao)請同去，也(ye)許(xu)是由(you)于(yu)他(ta)(ta)與牛頓的爭端。他(ta)(ta)的公眾影響(xiang)力下(xia)(xia)降了，而在1716年，他(ta)(ta)再無人(ren)注意，甚(shen)至被他(ta)(ta)所創立的學會(hui)忽視(shi)的情況下(xia)(xia)去世(shi)，終年70歲。
微(wei)積(ji)分(fen)學(xue)的創立，極大地(di)推動了數學(xue)的發展，過去(qu)很多初等數學(xue)束手(shou)無策的問題，運用微(wei)積(ji)分(fen)，往往迎刃而解(jie)，顯示出微(wei)積(ji)分(fen)學(xue)的非(fei)凡威(wei)力。
前面已經提到，一門科學的(de)(de)創立(li)決(jue)不是某一個(ge)人的(de)(de)業績，他必(bi)定是經過多(duo)少人的(de)(de)努力后，在積累了大量成果的(de)(de)基(ji)礎上，最后由(you)某個(ge)人或幾個(ge)人總結(jie)完(wan)成的(de)(de)。微積分也(ye)是這樣。
不幸的(de)(de)是(shi)，由(you)于人(ren)們在欣賞微積(ji)分的(de)(de)宏偉(wei)功效之(zhi)余，在提(ti)出誰是(shi)這門學(xue)科的(de)(de)創立者的(de)(de)時候，竟然引起了(le)一場悍然大(da)波(bo)，造成了(le)歐(ou)洲大(da)陸的(de)(de)數(shu)學(xue)家和英(ying)國數(shu)學(xue)家的(de)(de)長期(qi)對立。英(ying)國數(shu)學(xue)在一個時期(qi)里(li)閉關(guan)鎖(suo)國，囿于民族偏(pian)見(jian)，過于拘泥在牛(niu)頓的(de)(de)“流數(shu)術”中停步不前，因而數(shu)學(xue)發展整整落后了(le)一百年(nian)。
其實，牛(niu)(niu)頓(dun)和萊布(bu)尼茨(ci)分別是自己(ji)獨立研究，在(zai)大體上相近的(de)時間里先(xian)(xian)后完成的(de)。比較特(te)殊的(de)是牛(niu)(niu)頓(dun)創立微(wei)積分要比萊布(bu)尼茨(ci)早(zao)(zao)10年左(zuo)右(you)，但是正式公開(kai)發(fa)表(biao)微(wei)積分這一理論，萊布(bu)尼茨(ci)卻要比牛(niu)(niu)頓(dun)發(fa)表(biao)早(zao)(zao)三年。他們(men)的(de)研究各有長處，也都(dou)各有短處。那時候，由于(yu)民族(zu)偏見，關于(yu)發(fa)明優先(xian)(xian)權的(de)爭論竟從1699年始(shi)延(yan)續了(le)一百多年。
應(ying)該指出，這(zhe)是(shi)(shi)和歷(li)史上任何一項重大理論(lun)的(de)(de)(de)(de)完成(cheng)都要經歷(li)一段(duan)時(shi)間一樣，牛(niu)頓和萊布尼(ni)茨(ci)的(de)(de)(de)(de)工作(zuo)也(ye)都是(shi)(shi)很(hen)不完善的(de)(de)(de)(de)。他(ta)們在無(wu)窮(qiong)和無(wu)窮(qiong)小(xiao)(xiao)量(liang)這(zhe)個問(wen)題上，其說(shuo)(shuo)不一，十分含糊。牛(niu)頓的(de)(de)(de)(de)無(wu)窮(qiong)小(xiao)(xiao)量(liang)，有(you)時(shi)候是(shi)(shi)零，有(you)時(shi)候不是(shi)(shi)零而是(shi)(shi)有(you)限(xian)的(de)(de)(de)(de)小(xiao)(xiao)量(liang)；萊布尼(ni)茨(ci)的(de)(de)(de)(de)也(ye)不能自圓其說(shuo)(shuo)。這(zhe)些基礎方面(mian)的(de)(de)(de)(de)缺陷，最終導致了第二次數(shu)學(xue)危機的(de)(de)(de)(de)產生。
直到19世紀初，法國(guo)科(ke)學(xue)學(xue)院的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)家以柯(ke)(ke)西為(wei)首，對微(wei)積(ji)(ji)分(fen)的(de)(de)(de)理(li)(li)論(lun)進(jin)行了認真(zhen)研究，建立(li)了極(ji)限(xian)理(li)(li)論(lun)，後來又經(jing)過德(de)國(guo)數學(xue)家維爾(er)斯特拉(la)斯進(jin)一(yi)步的(de)(de)(de)嚴格化，使(shi)極(ji)限(xian)理(li)(li)論(lun)成(cheng)為(wei)了微(wei)積(ji)(ji)分(fen)的(de)(de)(de)堅定基礎。才(cai)使(shi)微(wei)積(ji)(ji)分(fen)進(jin)一(yi)步的(de)(de)(de)發展開(kai)來。任何新興的(de)(de)(de)、具有無(wu)量(liang)前途(tu)的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)成(cheng)就都(dou)吸引著廣大的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)工作(zuo)者。在(zai)微(wei)積(ji)(ji)分(fen)的(de)(de)(de)歷史上也閃爍著這樣的(de)(de)(de)一(yi)些(xie)明星：瑞士的(de)(de)(de)雅科(ke)布(bu)·貝努(nu)利(li)和(he)他(ta)的(de)(de)(de)兄弟約翰(han)·貝努(nu)利(li)、歐拉(la)、法國(guo)的(de)(de)(de)拉(la)格朗日、柯(ke)(ke)西……
歐氏幾何也(ye)好，上古和(he)中(zhong)世紀的(de)代數學(xue)也(ye)好，都是(shi)(shi)一種常(chang)量數學(xue)，微積分才(cai)是(shi)(shi)真正的(de)變量數學(xue)，是(shi)(shi)數學(xue)中(zhong)的(de)大(da)革命。微積分是(shi)(shi)高等(deng)數學(xue)的(de)主要分支，不只是(shi)(shi)局限在解決力學(xue)中(zhong)的(de)變速問題，它馳(chi)騁在近代和(he)現代科學(xue)技術(shu)園地里，建(jian)立了數不清的(de)豐功偉(wei)績。
微(wei)積(ji)分(fen)（Calculus）是(shi)高等(deng)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)中研究函數(shu)(shu)的(de)微(wei)分(fen)（Differentiation）、積(ji)分(fen)(Integration)以(yi)及(ji)有(you)關概(gai)念(nian)和(he)應用(yong)的(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)分(fen)支。它(ta)是(shi)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)一個基礎(chu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)科。內容主要包(bao)括(kuo)極限、微(wei)分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)、積(ji)分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)及(ji)其應用(yong)。微(wei)分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)包(bao)括(kuo)求(qiu)導數(shu)(shu)的(de)運算，是(shi)一套關于變化率(lv)的(de)理(li)論(lun)。它(ta)使得(de)函數(shu)(shu)、速(su)度、加速(su)度和(he)曲線的(de)斜率(lv)等(deng)均可用(yong)一套通用(yong)的(de)符號進行討(tao)論(lun)。積(ji)分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)，包(bao)括(kuo)求(qiu)積(ji)分(fen)的(de)運算，為定(ding)義和(he)計(ji)算面積(ji)、體積(ji)等(deng)提供(gong)一套通用(yong)的(de)方法。
微(wei)(wei)(wei)積分(fen)(fen)是與(yu)應(ying)用(yong)(yong)聯系著發(fa)展起來(lai)的(de)(de)(de)，最初牛頓應(ying)用(yong)(yong)微(wei)(wei)(wei)積分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)及微(wei)(wei)(wei)分(fen)(fen)方(fang)程(cheng)(cheng)為(wei)了從萬(wan)有(you)引力定律(lv)導出(chu)了開普勒行(xing)星運動三(san)定律(lv)。此后(hou)，微(wei)(wei)(wei)積分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)極大的(de)(de)(de)推動了數學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)發(fa)展，同時也極大的(de)(de)(de)推動了天文學(xue)(xue)(xue)、力學(xue)(xue)(xue)、物理學(xue)(xue)(xue)、化學(xue)(xue)(xue)、生物學(xue)(xue)(xue)、工程(cheng)(cheng)學(xue)(xue)(xue)、經濟學(xue)(xue)(xue)等(deng)自然科學(xue)(xue)(xue)、社會科學(xue)(xue)(xue)及應(ying)用(yong)(yong)科學(xue)(xue)(xue)各個分(fen)(fen)支中的(de)(de)(de)發(fa)展。并在這(zhe)些學(xue)(xue)(xue)科中有(you)越來(lai)越廣泛的(de)(de)(de)應(ying)用(yong)(yong)，特別是計算機的(de)(de)(de)出(chu)現更有(you)助(zhu)于這(zhe)些應(ying)用(yong)(yong)的(de)(de)(de)不(bu)斷發(fa)展。微(wei)(wei)(wei)積分(fen)(fen)作(zuo)為(wei)一門交叉性很強的(de)(de)(de)科目，除了在物理等(deng)自然科學(xue)(xue)(xue)上(shang)有(you)強實用(yong)(yong)性外，在經濟學(xue)(xue)(xue)上(shang)也有(you)很強的(de)(de)(de)推動作(zuo)用(yong)(yong)。
微(wei)(wei)積(ji)分(fen)(fen)學(xue)的發展與(yu)應用幾乎影(ying)響了現代生(sheng)活(huo)的所(suo)有(you)領域。它與(yu)大部分(fen)(fen)科學(xue)分(fen)(fen)支關系(xi)密(mi)切，包括醫藥、護理(li)、工(gong)業(ye)工(gong)程、商業(ye)管(guan)理(li)、精算、計(ji)算機、統計(ji)、人口統計(ji)，特別是物(wu)理(li)學(xue)；經濟學(xue)亦經常會用到微(wei)(wei)積(ji)分(fen)(fen)學(xue)。幾乎所(suo)有(you)現代科學(xue)技術，如(ru)：機械、土木、建筑(zhu)、航空(kong)及航海(hai)等工(gong)業(ye)工(gong)程都以微(wei)(wei)積(ji)分(fen)(fen)學(xue)作(zuo)為基(ji)本(ben)數學(xue)工(gong)具。微(wei)(wei)積(ji)分(fen)(fen)使得數學(xue)可(ke)以在變量(liang)和常量(liang)之(zhi)間互相轉化，讓我們可(ke)以已知一(yi)種(zhong)方式時推導出(chu)來另一(yi)種(zhong)方式。
物理學大量應用(yong)微(wei)積分；經(jing)典力學、熱傳和電磁學都與微(wei)積分有密切聯系。已知密度的物體(ti)質量，動(dong)摩擦(ca)力，保守力場的總能量都可(ke)用(yong)微(wei)積分來計算。例如：將微(wei)積分應用(yong)到牛頓第二定律中，史(shi)料一(yi)般將導數(shu)稱為“變(bian)(bian)化率”。物體(ti)動(dong)量的變(bian)(bian)化率等(deng)于向(xiang)物體(ti)以(yi)(yi)同一(yi)方(fang)向(xiang)所施的力。今 天常用(yong)的表達方(fang)式是(shi) extbf{emph{F}}=m extbf{emph{a}}，它包括了微(wei)分，因為加速度是(shi)速度的導數(shu)，或是(shi)位置矢量的二階(jie)導數(shu)。已知物體(ti)的加速度，我(wo)們(men)就(jiu)可(ke)以(yi)(yi)得出(chu)它的路徑。
生物學用微積分來(lai)計(ji)算(suan)種群(qun)動態，輸(shu)入(ru)繁(fan)殖和死亡率來(lai)模擬種群(qun)改(gai)變。
化學(xue)使用微積(ji)分(fen)來計算反(fan)應速率，放射性(xing)衰退。
麥克斯(si)(si)韋爾的(de)電(dian)磁學和愛因斯(si)(si)坦(tan)的(de)廣義(yi)相(xiang)對論(lun)都(dou)應(ying)用(yong)了微分。
微積分(fen)可(ke)以(yi)與其他(ta)數(shu)學分(fen)支交叉混(hun)合。例如(ru)，混(hun)合線(xian)性代數(shu)來求得值域中一組數(shu)列的(de)“最佳”線(xian)性近似(si)。它也可(ke)以(yi)用在概(gai)率論中來確定由假設密度方程(cheng)產生(sheng)的(de)連續(xu)隨機變量的(de)概(gai)率。在解析(xi)幾何(he)對方程(cheng)圖像的(de)研究中，微積分(fen)可(ke)以(yi)求得最大(da)值、最小(xiao)值、斜率、凹度、拐(guai)點(dian)等。
格林公式(shi)連(lian)接了一(yi)(yi)個封(feng)閉(bi)曲線上的(de)線積分(fen)與一(yi)(yi)個邊界為C且平(ping)面(mian)(mian)區(qu)域(yu)為D的(de)雙(shuang)重積分(fen)。它被設(she)計(ji)為求積儀工(gong)具，用以量度不(bu)(bu)規則(ze)的(de)平(ping)面(mian)(mian)面(mian)(mian)積。例如(ru)：它可以在設(she)計(ji)時(shi)計(ji)算(suan)不(bu)(bu)規則(ze)的(de)花瓣床、游(you)泳池的(de)面(mian)(mian)積。
在(zai)(zai)醫療(liao)領域，微積(ji)分(fen)可(ke)以計算血管(guan)最優支角，將血流(liu)最大化(hua)。通過藥物在(zai)(zai)體內的衰(shuai)退數據(ju)，微積(ji)分(fen)可(ke)以推導(dao)出服用量(liang)。在(zai)(zai)核醫學中，它可(ke)以為治療(liao)腫(zhong)瘤建立(li)放射(she)輸送模型。
在經濟學中，微積(ji)分可以通過(guo)計(ji)算邊(bian)際成本和邊(bian)際利潤來確定最大(da)收益。
微積分也被(bei)用于尋找方程的(de)(de)近似(si)值(zhi)；實踐(jian)中，它用于解微分方程，計算相關的(de)(de)應用題，如：牛頓法(fa)、定點循環、線(xian)性近似(si)等。比如：宇宙飛船(chuan)利(li)用歐拉方法(fa)來(lai)求(qiu)得(de)零重力(li)環境下的(de)(de)近似(si)曲(qu)線(xian)。
在大(da)(da)學(xue)(xue)的數理、工程、商管教學(xue)(xue)中，微積分(fen)(fen)是“高等數學(xue)(xue)”的主要內容之一(yi)。其教學(xue)(xue)法由學(xue)(xue)科創(chuang)立一(yi)開(kai)始就受到人們(men)重視(shi)。在美(mei)國大(da)(da)學(xue)(xue)先修課程中，AP微積分(fen)(fen)AB、BC分(fen)(fen)別為對應大(da)(da)學(xue)(xue)一(yi)元微積分(fen)(fen)半年、全年課程。
在香(xiang)港(gang)，微積(ji)分(fen)是(shi)新高中課程數學（延展部(bu)分(fen)）的(de)一部(bu)分(fen)，這部(bu)分(fen)是(shi)選修的(de)。
歲月靜好
】編輯上傳(chuan)提供，詞條屬于開放詞條，當前頁面所(suo)展示的(de)詞條介(jie)紹涉及宣傳(chuan)內(nei)容屬于注冊用戶個人(ren)編輯行(xing)(xing)為(wei)，與(yu)【微(wei)積分學】的(de)所(suo)屬企業(ye)/所(suo)有人(ren)/主(zhu)體無關，網(wang)站不(bu)完全保證內(nei)容信息的(de)準(zhun)確性、真實性，也不(bu)代(dai)表本(ben)站立場，各項數據信息存(cun)在更新不(bu)及時的(de)情(qing)況(kuang)，僅供參考(kao)，請以官(guan)方(fang)發布為(wei)準(zhun)。如果頁面內(nei)容與(yu)實際(ji)情(qing)況(kuang)不(bu)符，可點擊“反饋(kui)”在線向(xiang)網(wang)站提出修(xiu)改，網(wang)站將核(he)實后進行(xing)(xing)更正。
反饋
