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簡介

霍奇猜(cai)想 (Hodge Conjecture)

在非奇(qi)異(yi)復射影代數簇(cu)上, 任(ren)一霍奇(qi)類是代數閉鏈類的有(you)理線性組合(he)。

背景

二十(shi)世紀的(de)數學家(jia)們發(fa)現了(le)研究復雜對象(xiang)的(de)形狀(zhuang)的(de)強有力的(de)辦法。

基本(ben)想法是問在怎樣的(de)(de)(de)(de)程度(du)上，我們可以把(ba)給定(ding)對象的(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)狀通過(guo)把(ba)維數(shu)(shu)不(bu)(bu)斷增加(jia)的(de)(de)(de)(de)簡(jian)單幾(ji)何(he)營造塊粘合在一(yi)(yi)起(qi)來(lai)(lai)形(xing)(xing)成。這種技巧是變得如此有(you)(you)用，使(shi)得它可以用許多不(bu)(bu)同的(de)(de)(de)(de)方式來(lai)(lai)推廣(guang)；最終導致一(yi)(yi)些強有(you)(you)力的(de)(de)(de)(de)工具，使(shi)數(shu)(shu)學家在對他(ta)們研究中(zhong)(zhong)所遇到的(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)形(xing)(xing)色色的(de)(de)(de)(de)對象進(jin)行分(fen)類時取得巨大的(de)(de)(de)(de)進(jin)展。不(bu)(bu)幸的(de)(de)(de)(de)是，在這一(yi)(yi)推廣(guang)中(zhong)(zhong)，程序的(de)(de)(de)(de)幾(ji)何(he)出發(fa)點變得模(mo)糊起(qi)來(lai)(lai)。在某(mou)種意義(yi)下，必須加(jia)上某(mou)些沒有(you)(you)任何(he)幾(ji)何(he)解釋(shi)的(de)(de)(de)(de)部件(jian)(jian)(jian)。霍(huo)奇(qi)猜(cai)想斷言(yan)，對于所謂射影(ying)代數(shu)(shu)簇這種特別完(wan)美的(de)(de)(de)(de)空間(jian)類型來(lai)(lai)說，稱作(zuo)霍(huo)奇(qi)閉鏈的(de)(de)(de)(de)部件(jian)(jian)(jian)實際上是稱作(zuo)代數(shu)(shu)閉鏈的(de)(de)(de)(de)幾(ji)何(he)部件(jian)(jian)(jian)的(de)(de)(de)(de)（有(you)(you)理線性）組合。

問題

霍(huo)奇(qi)猜想(xiang)是代數(shu)幾何(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)個(ge)重大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)懸而未(wei)決的(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)題。它(ta)(ta)是關于(yu)非奇(qi)異(yi)復代數(shu)簇(cu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)代數(shu)拓撲和(he)它(ta)(ta)由定義子簇(cu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)多項(xiang)式方(fang)程所表述(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關聯的(de)(de)(de)(de)(de)(de)猜想(xiang)。它(ta)(ta)在(zai)(zai)霍(huo)奇(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)著述(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)個(ge)結果(guo)中出現，他在(zai)(zai)1930至1940年間通(tong)過(guo)包含額外的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結構(gou)豐富了(le)德拉姆上同調(diao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)表述(shu)，這(zhe)種(zhong)結構(gou)出現于(yu)代數(shu)簇(cu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)情況（但不僅(jin)限于(yu)這(zhe)種(zhong)情況）。

現狀

黎曼假設(she)、龐加萊猜想(xiang)(xiang)、霍奇(qi)猜想(xiang)(xiang)、貝赫和(he)斯(si)維訥(ne)通－戴爾猜想(xiang)(xiang)、納維葉―斯(si)托(tuo)克(ke)斯(si)方程、楊(yang)―米爾理論、P問題(ti)對NP問題(ti)被稱為(wei)21世(shi)紀(ji)七大數學難題(ti)。2000年(nian)5月(yue)，美(mei)國的克(ke)萊數學促(cu)進會(hui)為(wei)每道題(ti)懸賞(shang)百萬美(mei)元求解(jie)。目前(qian)，這一難題(ti)仍沒(mei)有被破(po)解(jie)。

已知的情形

對于(yu)(yu)(1,1)類的霍(huo)奇(qi)猜(cai)想已(yi)經(jing)在(zai)霍(huo)奇(qi)本人提(ti)出本猜(cai)想前的1924年(nian)由 Lefschetz證明(ming)。換句話說，霍(huo)奇(qi)猜(cai)想對于(yu)(yu)H^2成立。實際上，這是(shi)霍(huo)奇(qi)提(ti)出其猜(cai)想的動機之一。

除此(ci)以(yi)外，還成立以(yi)下定理：如果(guo)霍(huo)奇猜想(xiang)對于(yu)度(du)數(shu)(shu)p的(de)(de)霍(huo)奇類(lei)(lei)成立，其中p<n，n是上(shang)述射影代(dai)數(shu)(shu)簇的(de)(de)維數(shu)(shu)，那么(me)對于(yu)度(du)數(shu)(shu)為2n-p的(de)(de)霍(huo)奇類(lei)(lei)，霍(huo)奇猜想(xiang)也(ye)成立。

霍奇的想法

蘇(su)格蘭數(shu)學家(jia)威(wei)廉·霍(huo)(huo)奇：怎么能(neng)知道哪些類的(de)(de)(de)(de)(de)同源性(xing)在(zai)任何給(gei)定歧管，相當于(yu)(yu)(yu)一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)代(dai)(dai)數(shu)周期？一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)偉(wei)大的(de)(de)(de)(de)(de)想(xiang)法(fa)。 只是他不能(neng)證明(ming)。 我(wo)們(men)(men)有一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)小的(de)(de)(de)(de)(de)平(ping)滑的(de)(de)(de)(de)(de)“空間(jian)”（在(zai)每個(ge)(ge)(ge)(ge)鄰域類似于(yu)(yu)(yu)歐(ou)幾里(li)德空間(jian)，但在(zai)更大的(de)(de)(de)(de)(de)規模上(shang)，“空間(jian)”是不同的(de)(de)(de)(de)(de)），這是由一(yi)群(qun)方程描(miao)述，使得這個(ge)(ge)(ge)(ge)空間(jian)具有均勻的(de)(de)(de)(de)(de)維度(du)。 然后(hou)我(wo)們(men)(men)獲取基本的(de)(de)(de)(de)(de)“拓撲(pu)”信息，并(bing)將其分解成(cheng)更小的(de)(de)(de)(de)(de)幾何部(bu)(bu)分（由數(shu)字對標記）。幾何部(bu)(bu)分內的(de)(de)(de)(de)(de)理性(xing)東(dong)西被稱為“Hodge循(xun)環”。 每個(ge)(ge)(ge)(ge)較小的(de)(de)(de)(de)(de)幾何部(bu)(bu)分是稱為代(dai)(dai)數(shu)循(xun)環的(de)(de)(de)(de)(de)幾何部(bu)(bu)分的(de)(de)(de)(de)(de)組(zu)合(he)。 基本上(shang)我(wo)們(men)(men)有一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)“樁”。我(wo)們(men)(men)仔細看看它(ta)，看看它(ta)是由許多(duo)“切(qie)碎的(de)(de)(de)(de)(de)木材(cai)”組(zu)成(cheng)。“切(qie)碎的(de)(de)(de)(de)(de)木材(cai)”里(li)面有“twigs”（霍(huo)(huo)奇循(xun)環）。霍(huo)(huo)奇猜想(xiang)斷言，對于(yu)(yu)(yu)成(cheng)堆的(de)(de)(de)(de)(de)切(qie)碎的(de)(de)(de)(de)(de)木材(cai)，樹枝實際上(shang)是被稱為原子（代(dai)(dai)數(shu)循(xun)環）的(de)(de)(de)(de)(de)幾何部(bu)(bu)分的(de)(de)(de)(de)(de)組(zu)合(he)。

這個(ge)叫霍(huo)(huo)奇(qi)猜想(xiang)(xiang)的(de)(de)東(dong)東(dong)，用通俗(su)的(de)(de)話說(shuo)，就(jiu)是(shi)(shi)“再好再復雜的(de)(de)一(yi)座宮殿，都(dou)可(ke)以(yi)由一(yi)堆積(ji)木壘成”。用文人的(de)(de)話說(shuo)就(jiu)是(shi)(shi): 任何一(yi)個(ge)形(xing)狀的(de)(de)幾(ji)何圖形(xing)，不管(guan)它有多復雜(只要你能想(xiang)(xiang)得出來)，它都(dou)可(ke)以(yi)用一(yi)堆簡單的(de)(de)幾(ji)何圖形(xing)拼成。在(zai)實際工作(zuo)中，我們(men)無(wu)法(fa)在(zai)二維平(ping)面的(de)(de)紙上(shang)繪(hui)畫出來一(yi)種復雜的(de)(de)多維圖形(xing)，霍(huo)(huo)奇(qi)猜想(xiang)(xiang)就(jiu)是(shi)(shi)把(ba)復雜的(de)(de)拓(tuo)撲圖形(xing)分拆成為一(yi)個(ge)個(ge)構(gou)件(jian)，我們(men)只要按照規(gui)則安裝就(jiu)可(ke)以(yi)理解設計者的(de)(de)思(si)想(xiang)(xiang)。霍(huo)(huo)奇(qi)猜想(xiang)(xiang)提出已經(jing)快80年了，至(zhi)今有了第一(yi)個(ge)例(li)子。