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簡介

霍奇猜想 (Hodge Conjecture)

在非(fei)奇異復射影代數簇上, 任一霍奇類是代數閉鏈(lian)類的有理線性(xing)組合。

背景

二十世紀的數學家們發現了(le)研究復(fu)雜(za)對象的形狀的強有力(li)的辦法。

基本(ben)想(xiang)法(fa)是(shi)問在怎樣的(de)(de)(de)(de)程度(du)上，我們(men)可以(yi)把給(gei)定對(dui)象的(de)(de)(de)(de)形(xing)狀(zhuang)通過把維數(shu)不斷增加的(de)(de)(de)(de)簡單幾(ji)何(he)(he)(he)營(ying)造塊粘合在一起(qi)來(lai)形(xing)成(cheng)。這(zhe)種(zhong)(zhong)技(ji)巧是(shi)變得如此有(you)(you)用(yong)，使(shi)得它可以(yi)用(yong)許多(duo)不同的(de)(de)(de)(de)方式(shi)來(lai)推廣(guang)；最終(zhong)導致一些強有(you)(you)力的(de)(de)(de)(de)工具，使(shi)數(shu)學家在對(dui)他(ta)們(men)研究中所遇到的(de)(de)(de)(de)形(xing)形(xing)色(se)色(se)的(de)(de)(de)(de)對(dui)象進行分類時取得巨大的(de)(de)(de)(de)進展(zhan)。不幸的(de)(de)(de)(de)是(shi)，在這(zhe)一推廣(guang)中，程序(xu)的(de)(de)(de)(de)幾(ji)何(he)(he)(he)出發點變得模糊起(qi)來(lai)。在某種(zhong)(zhong)意義下(xia)，必須加上某些沒有(you)(you)任何(he)(he)(he)幾(ji)何(he)(he)(he)解釋的(de)(de)(de)(de)部件(jian)。霍(huo)奇猜想(xiang)斷言，對(dui)于(yu)所謂射(she)影代(dai)數(shu)簇這(zhe)種(zhong)(zhong)特別完美的(de)(de)(de)(de)空間類型來(lai)說，稱(cheng)作霍(huo)奇閉(bi)鏈的(de)(de)(de)(de)部件(jian)實際上是(shi)稱(cheng)作代(dai)數(shu)閉(bi)鏈的(de)(de)(de)(de)幾(ji)何(he)(he)(he)部件(jian)的(de)(de)(de)(de)（有(you)(you)理線性）組合。

問題

霍(huo)奇(qi)(qi)猜(cai)想(xiang)是代(dai)數幾何的(de)(de)(de)一(yi)個重大的(de)(de)(de)懸(xuan)而未決(jue)的(de)(de)(de)問題。它是關(guan)(guan)于非奇(qi)(qi)異復代(dai)數簇的(de)(de)(de)代(dai)數拓(tuo)撲和它由定義子(zi)簇的(de)(de)(de)多項式方(fang)程(cheng)所表(biao)述的(de)(de)(de)幾何的(de)(de)(de)關(guan)(guan)聯的(de)(de)(de)猜(cai)想(xiang)。它在霍(huo)奇(qi)(qi)的(de)(de)(de)著(zhu)述的(de)(de)(de)一(yi)個結果中出(chu)現(xian)，他在1930至1940年間(jian)通過包含額外的(de)(de)(de)結構豐富(fu)了德拉姆上同調(diao)的(de)(de)(de)表(biao)述，這(zhe)種(zhong)結構出(chu)現(xian)于代(dai)數簇的(de)(de)(de)情況(kuang)（但(dan)不(bu)僅限于這(zhe)種(zhong)情況(kuang)）。

現狀

黎曼假設、龐加(jia)萊猜想、霍奇猜想、貝赫和(he)斯維訥通(tong)－戴(dai)爾(er)猜想、納維葉―斯托克(ke)斯方(fang)程、楊―米爾(er)理論、P問題(ti)對NP問題(ti)被(bei)(bei)稱為(wei)21世紀七大數學(xue)難題(ti)。2000年(nian)5月，美國(guo)的克(ke)萊數學(xue)促進會為(wei)每道題(ti)懸賞百萬美元求解。目前(qian)，這一(yi)難題(ti)仍沒有被(bei)(bei)破解。

已知的情形

對于(1,1)類的(de)霍奇(qi)猜想(xiang)(xiang)已(yi)經在霍奇(qi)本(ben)(ben)人提出本(ben)(ben)猜想(xiang)(xiang)前的(de)1924年由 Lefschetz證(zheng)明。換句話(hua)說，霍奇(qi)猜想(xiang)(xiang)對于H^2成立。實際上，這是霍奇(qi)提出其猜想(xiang)(xiang)的(de)動機之一。

除(chu)此以外(wai)，還成(cheng)立(li)以下定理：如果(guo)霍(huo)奇(qi)猜想(xiang)對于度數p的霍(huo)奇(qi)類成(cheng)立(li)，其中p<n，n是上述(shu)射影(ying)代數簇的維(wei)數，那(nei)么對于度數為2n-p的霍(huo)奇(qi)類，霍(huo)奇(qi)猜想(xiang)也成(cheng)立(li)。

霍奇的想法

蘇格蘭(lan)數學家威(wei)廉·霍奇(qi)：怎么能知(zhi)道哪些類的(de)同(tong)源性在(zai)(zai)任何(he)(he)給(gei)定歧管，相當(dang)于一個(ge)(ge)代(dai)數周(zhou)期？一個(ge)(ge)偉大(da)的(de)想法。 只是(shi)他不能證明。 我們有(you)(you)一個(ge)(ge)小的(de)平滑的(de)“空(kong)間”（在(zai)(zai)每個(ge)(ge)鄰域類似于歐幾(ji)里(li)德空(kong)間，但在(zai)(zai)更大(da)的(de)規模上，“空(kong)間”是(shi)不同(tong)的(de)），這(zhe)是(shi)由一群方程描(miao)述，使得(de)這(zhe)個(ge)(ge)空(kong)間具(ju)有(you)(you)均勻的(de)維(wei)度。 然后我們獲取基本的(de)“拓撲”信息，并(bing)將(jiang)其分(fen)解成(cheng)更小的(de)幾(ji)何(he)(he)部(bu)分(fen)（由數字(zi)對標記）。幾(ji)何(he)(he)部(bu)分(fen)內的(de)理性東西被(bei)稱為(wei)“Hodge循(xun)環”。 每個(ge)(ge)較(jiao)小的(de)幾(ji)何(he)(he)部(bu)分(fen)是(shi)稱為(wei)代(dai)數循(xun)環的(de)幾(ji)何(he)(he)部(bu)分(fen)的(de)組(zu)合(he)。 基本上我們有(you)(you)一個(ge)(ge)“樁(zhuang)”。我們仔細看(kan)看(kan)它(ta)，看(kan)看(kan)它(ta)是(shi)由許多(duo)“切(qie)碎的(de)木(mu)(mu)材(cai)”組(zu)成(cheng)。“切(qie)碎的(de)木(mu)(mu)材(cai)”里(li)面有(you)(you)“twigs”（霍奇(qi)循(xun)環）。霍奇(qi)猜想斷(duan)言，對于成(cheng)堆的(de)切(qie)碎的(de)木(mu)(mu)材(cai)，樹枝(zhi)實際上是(shi)被(bei)稱為(wei)原子（代(dai)數循(xun)環）的(de)幾(ji)何(he)(he)部(bu)分(fen)的(de)組(zu)合(he)。

這個(ge)叫霍(huo)奇猜想(xiang)的東(dong)東(dong)，用通俗的話說(shuo)，就(jiu)(jiu)是“再(zai)好再(zai)復(fu)(fu)雜的一(yi)座宮(gong)殿，都(dou)可(ke)以(yi)由一(yi)堆積(ji)木壘成”。用文人(ren)的話說(shuo)就(jiu)(jiu)是: 任何(he)(he)一(yi)個(ge)形(xing)狀的幾何(he)(he)圖(tu)形(xing)，不管它有(you)多復(fu)(fu)雜(只要你能想(xiang)得出來)，它都(dou)可(ke)以(yi)用一(yi)堆簡單的幾何(he)(he)圖(tu)形(xing)拼成。在實(shi)際(ji)工(gong)作中，我們(men)無法(fa)在二(er)維(wei)平面的紙(zhi)上繪畫出來一(yi)種復(fu)(fu)雜的多維(wei)圖(tu)形(xing)，霍(huo)奇猜想(xiang)就(jiu)(jiu)是把復(fu)(fu)雜的拓撲圖(tu)形(xing)分(fen)拆成為一(yi)個(ge)個(ge)構(gou)件，我們(men)只要按照規則安裝(zhuang)就(jiu)(jiu)可(ke)以(yi)理解設(she)計者的思(si)想(xiang)。霍(huo)奇猜想(xiang)提(ti)出已經(jing)快80年(nian)了(le)，至今有(you)了(le)第一(yi)個(ge)例子。