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簡介

霍奇猜想(xiang) (Hodge Conjecture)

在(zai)非奇異復射影代數簇上, 任一(yi)霍奇類是代數閉鏈類的有(you)理線性組合。

背景

二十世紀的數學家(jia)們(men)發現了(le)研究(jiu)復雜對象的形狀的強有力的辦法。

基本想法是(shi)(shi)(shi)問在(zai)(zai)怎樣的(de)(de)(de)程度上，我們(men)可以把給定對象的(de)(de)(de)形狀通過把維數(shu)不斷增加的(de)(de)(de)簡單(dan)幾何營造塊粘合在(zai)(zai)一(yi)(yi)起來(lai)形成。這(zhe)種(zhong)(zhong)技巧是(shi)(shi)(shi)變得如此有(you)用(yong)，使得它可以用(yong)許多(duo)不同的(de)(de)(de)方式來(lai)推廣；最(zui)終導致一(yi)(yi)些強有(you)力的(de)(de)(de)工具，使數(shu)學家在(zai)(zai)對他(ta)們(men)研究中所(suo)遇到的(de)(de)(de)形形色色的(de)(de)(de)對象進行(xing)分類(lei)時取得巨(ju)大的(de)(de)(de)進展。不幸的(de)(de)(de)是(shi)(shi)(shi)，在(zai)(zai)這(zhe)一(yi)(yi)推廣中，程序的(de)(de)(de)幾何出發點變得模糊起來(lai)。在(zai)(zai)某(mou)種(zhong)(zhong)意(yi)義下(xia)，必須加上某(mou)些沒有(you)任(ren)何幾何解釋(shi)的(de)(de)(de)部(bu)件。霍(huo)(huo)奇猜想斷言(yan)，對于所(suo)謂射影代數(shu)簇這(zhe)種(zhong)(zhong)特別完美的(de)(de)(de)空間類(lei)型來(lai)說，稱作霍(huo)(huo)奇閉(bi)鏈(lian)的(de)(de)(de)部(bu)件實際上是(shi)(shi)(shi)稱作代數(shu)閉(bi)鏈(lian)的(de)(de)(de)幾何部(bu)件的(de)(de)(de)（有(you)理(li)線性）組合。

問題

霍奇猜(cai)想(xiang)是(shi)代(dai)數幾何(he)的(de)一個(ge)重大的(de)懸而(er)未決的(de)問(wen)題。它(ta)是(shi)關于非奇異復(fu)代(dai)數簇(cu)(cu)的(de)代(dai)數拓撲和它(ta)由定義子簇(cu)(cu)的(de)多項式方程(cheng)所表(biao)述的(de)幾何(he)的(de)關聯的(de)猜(cai)想(xiang)。它(ta)在霍奇的(de)著述的(de)一個(ge)結果中出(chu)現，他在1930至(zhi)1940年間(jian)通過包含額外的(de)結構豐(feng)富了德拉姆上同(tong)調的(de)表(biao)述，這(zhe)種(zhong)結構出(chu)現于代(dai)數簇(cu)(cu)的(de)情況（但不(bu)僅(jin)限(xian)于這(zhe)種(zhong)情況）。

現狀

黎曼假(jia)設(she)、龐加萊(lai)猜想、霍奇猜想、貝赫和(he)斯(si)維訥通－戴爾(er)猜想、納(na)維葉―斯(si)托(tuo)克斯(si)方(fang)程、楊―米爾(er)理論、P問(wen)題(ti)對NP問(wen)題(ti)被(bei)稱為21世紀七大數(shu)學難(nan)題(ti)。2000年5月，美國的(de)克萊(lai)數(shu)學促進會為每道題(ti)懸賞百萬(wan)美元求(qiu)解。目前(qian)，這(zhe)一難(nan)題(ti)仍沒有被(bei)破解。

已知的情形

對(dui)于(1,1)類的霍奇猜想已經在霍奇本人提(ti)出本猜想前的1924年由 Lefschetz證明。換句話說，霍奇猜想對(dui)于H^2成立(li)。實際上，這是霍奇提(ti)出其猜想的動(dong)機(ji)之一。

除(chu)此(ci)以外，還成立(li)以下定理：如果霍(huo)(huo)奇猜想對(dui)于度(du)數p的霍(huo)(huo)奇類(lei)(lei)成立(li)，其中p<n，n是(shi)上述(shu)射影代(dai)數簇的維(wei)數，那么對(dui)于度(du)數為(wei)2n-p的霍(huo)(huo)奇類(lei)(lei)，霍(huo)(huo)奇猜想也成立(li)。

霍奇的想法

蘇格蘭數(shu)學(xue)家威廉·霍奇(qi)：怎么能(neng)(neng)知(zhi)道哪些類的(de)(de)(de)同源(yuan)性(xing)在(zai)任何給定(ding)歧管，相當于(yu)一(yi)個(ge)(ge)(ge)代(dai)數(shu)周期(qi)？一(yi)個(ge)(ge)(ge)偉(wei)大(da)的(de)(de)(de)想法。 只是他不(bu)能(neng)(neng)證明。 我們(men)有(you)一(yi)個(ge)(ge)(ge)小的(de)(de)(de)平滑的(de)(de)(de)“空(kong)(kong)間(jian)”（在(zai)每(mei)個(ge)(ge)(ge)鄰域類似(si)于(yu)歐幾(ji)(ji)里德空(kong)(kong)間(jian)，但在(zai)更大(da)的(de)(de)(de)規(gui)模(mo)上，“空(kong)(kong)間(jian)”是不(bu)同的(de)(de)(de)），這是由(you)一(yi)群方程描述，使得這個(ge)(ge)(ge)空(kong)(kong)間(jian)具有(you)均勻的(de)(de)(de)維度。 然后我們(men)獲(huo)取基本的(de)(de)(de)“拓撲”信息(xi)，并(bing)將(jiang)其分解成(cheng)(cheng)更小的(de)(de)(de)幾(ji)(ji)何部分（由(you)數(shu)字對(dui)標記）。幾(ji)(ji)何部分內的(de)(de)(de)理性(xing)東西被稱(cheng)為(wei)(wei)“Hodge循環(huan)”。 每(mei)個(ge)(ge)(ge)較小的(de)(de)(de)幾(ji)(ji)何部分是稱(cheng)為(wei)(wei)代(dai)數(shu)循環(huan)的(de)(de)(de)幾(ji)(ji)何部分的(de)(de)(de)組合。 基本上我們(men)有(you)一(yi)個(ge)(ge)(ge)“樁”。我們(men)仔細看看它(ta)，看看它(ta)是由(you)許(xu)多“切(qie)碎(sui)(sui)的(de)(de)(de)木(mu)材(cai)”組成(cheng)(cheng)。“切(qie)碎(sui)(sui)的(de)(de)(de)木(mu)材(cai)”里面(mian)有(you)“twigs”（霍奇(qi)循環(huan)）。霍奇(qi)猜想斷言，對(dui)于(yu)成(cheng)(cheng)堆的(de)(de)(de)切(qie)碎(sui)(sui)的(de)(de)(de)木(mu)材(cai)，樹枝實際(ji)上是被稱(cheng)為(wei)(wei)原子（代(dai)數(shu)循環(huan)）的(de)(de)(de)幾(ji)(ji)何部分的(de)(de)(de)組合。

這個(ge)叫霍(huo)奇猜想的(de)東東，用(yong)通(tong)俗的(de)話說，就是(shi)“再好再復雜的(de)一(yi)(yi)座宮(gong)殿(dian)，都可以(yi)由一(yi)(yi)堆積木壘成(cheng)”。用(yong)文(wen)人的(de)話說就是(shi): 任(ren)何一(yi)(yi)個(ge)形(xing)狀的(de)幾(ji)何圖(tu)形(xing)，不管它有(you)多(duo)復雜(只(zhi)要(yao)你能想得(de)出來)，它都可以(yi)用(yong)一(yi)(yi)堆簡單的(de)幾(ji)何圖(tu)形(xing)拼成(cheng)。在實際(ji)工作中(zhong)，我們(men)無法(fa)在二維平面(mian)的(de)紙(zhi)上繪畫出來一(yi)(yi)種(zhong)復雜的(de)多(duo)維圖(tu)形(xing)，霍(huo)奇猜想就是(shi)把復雜的(de)拓撲圖(tu)形(xing)分拆成(cheng)為一(yi)(yi)個(ge)個(ge)構件，我們(men)只(zhi)要(yao)按照規則安裝就可以(yi)理解設計(ji)者的(de)思(si)想。霍(huo)奇猜想提出已經快(kuai)80年了，至今有(you)了第一(yi)(yi)個(ge)例子。