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簡介

霍奇猜想 (Hodge Conjecture)

在非奇(qi)(qi)異復射影代數簇上, 任一(yi)霍(huo)奇(qi)(qi)類(lei)是代數閉鏈(lian)類(lei)的有(you)理線(xian)性組合。

背景

二十世紀(ji)的(de)數學家們(men)發現了研究復雜(za)對象的(de)形狀的(de)強有力的(de)辦法。

基本想法是(shi)問在怎樣的(de)程(cheng)度上，我們可以把給定(ding)對象(xiang)的(de)形狀通(tong)過把維數不(bu)斷增加的(de)簡單幾何(he)(he)(he)營造塊粘合在一起(qi)來形成。這種(zhong)技巧是(shi)變得(de)如此有用(yong)，使(shi)得(de)它可以用(yong)許多不(bu)同的(de)方式來推(tui)廣；最終導致一些強有力的(de)工具，使(shi)數學(xue)家在對他(ta)們研究(jiu)中所(suo)遇到的(de)形形色色的(de)對象(xiang)進行(xing)分類時取得(de)巨大的(de)進展(zhan)。不(bu)幸的(de)是(shi)，在這一推(tui)廣中，程(cheng)序的(de)幾何(he)(he)(he)出發(fa)點(dian)變得(de)模糊起(qi)來。在某(mou)種(zhong)意義下，必(bi)須加上某(mou)些沒(mei)有任(ren)何(he)(he)(he)幾何(he)(he)(he)解釋的(de)部件(jian)(jian)。霍(huo)(huo)奇(qi)猜想斷言，對于所(suo)謂射影代(dai)數簇這種(zhong)特別完美的(de)空間類型(xing)來說，稱(cheng)(cheng)作霍(huo)(huo)奇(qi)閉(bi)鏈的(de)部件(jian)(jian)實際上是(shi)稱(cheng)(cheng)作代(dai)數閉(bi)鏈的(de)幾何(he)(he)(he)部件(jian)(jian)的(de)（有理線(xian)性）組合。

問題

霍奇(qi)猜(cai)想是代(dai)數幾(ji)何的(de)一(yi)個重大的(de)懸(xuan)而未決的(de)問題。它是關(guan)(guan)于(yu)非(fei)奇(qi)異復代(dai)數簇的(de)代(dai)數拓撲和它由(you)定(ding)義子簇的(de)多項式方程所表述(shu)的(de)幾(ji)何的(de)關(guan)(guan)聯的(de)猜(cai)想。它在霍奇(qi)的(de)著述(shu)的(de)一(yi)個結果中出(chu)現，他(ta)在1930至1940年間通過包(bao)含額(e)外的(de)結構豐富了德(de)拉姆上同調的(de)表述(shu)，這(zhe)種結構出(chu)現于(yu)代(dai)數簇的(de)情(qing)況（但不僅限于(yu)這(zhe)種情(qing)況）。

現狀

黎曼假設、龐加萊猜想、霍奇猜想、貝赫(he)和(he)斯(si)維訥通－戴爾猜想、納維葉―斯(si)托克(ke)斯(si)方(fang)程、楊―米爾理論、P問題(ti)對NP問題(ti)被稱(cheng)為(wei)21世紀七大數學難題(ti)。2000年5月，美(mei)國的克(ke)萊數學促進會(hui)為(wei)每(mei)道(dao)題(ti)懸賞百(bai)萬美(mei)元(yuan)求解(jie)。目前，這一(yi)難題(ti)仍沒有被破解(jie)。

已知的情形

對于(1,1)類的霍奇猜(cai)想(xiang)已經在霍奇本(ben)人提出本(ben)猜(cai)想(xiang)前的1924年由 Lefschetz證(zheng)明。換句(ju)話(hua)說(shuo)，霍奇猜(cai)想(xiang)對于H^2成(cheng)立。實(shi)際上，這是霍奇提出其猜(cai)想(xiang)的動機之一。

除此(ci)以外，還成(cheng)立以下定理：如果霍奇(qi)(qi)猜想對(dui)(dui)于(yu)度數(shu)p的霍奇(qi)(qi)類成(cheng)立，其中p<n，n是上述射影代數(shu)簇(cu)的維數(shu)，那么對(dui)(dui)于(yu)度數(shu)為2n-p的霍奇(qi)(qi)類，霍奇(qi)(qi)猜想也成(cheng)立。

霍奇的想法

蘇格蘭數學家(jia)威廉(lian)·霍(huo)奇(qi)：怎么能(neng)知道哪(na)些(xie)類(lei)的(de)(de)(de)(de)同源(yuan)性在(zai)任何(he)給(gei)定歧管(guan)，相(xiang)當于一個代(dai)數周期？一個偉大(da)的(de)(de)(de)(de)想法。 只是(shi)他不能(neng)證(zheng)明。 我們(men)有一個小的(de)(de)(de)(de)平滑的(de)(de)(de)(de)“空(kong)間(jian)”（在(zai)每個鄰域類(lei)似于歐幾里德空(kong)間(jian)，但(dan)在(zai)更大(da)的(de)(de)(de)(de)規模上，“空(kong)間(jian)”是(shi)不同的(de)(de)(de)(de)），這(zhe)是(shi)由一群方(fang)程描述(shu)，使得這(zhe)個空(kong)間(jian)具有均勻的(de)(de)(de)(de)維度(du)。 然后我們(men)獲(huo)取基(ji)本(ben)的(de)(de)(de)(de)“拓(tuo)撲”信息，并將其分(fen)解成更小的(de)(de)(de)(de)幾何(he)部(bu)(bu)分(fen)（由數字(zi)對標記）。幾何(he)部(bu)(bu)分(fen)內的(de)(de)(de)(de)理性東西(xi)被(bei)稱為“Hodge循(xun)(xun)(xun)環(huan)”。 每個較小的(de)(de)(de)(de)幾何(he)部(bu)(bu)分(fen)是(shi)稱為代(dai)數循(xun)(xun)(xun)環(huan)的(de)(de)(de)(de)幾何(he)部(bu)(bu)分(fen)的(de)(de)(de)(de)組合(he)。 基(ji)本(ben)上我們(men)有一個“樁”。我們(men)仔細看(kan)看(kan)它，看(kan)看(kan)它是(shi)由許多“切碎(sui)的(de)(de)(de)(de)木材”組成。“切碎(sui)的(de)(de)(de)(de)木材”里面有“twigs”（霍(huo)奇(qi)循(xun)(xun)(xun)環(huan)）。霍(huo)奇(qi)猜想斷言，對于成堆的(de)(de)(de)(de)切碎(sui)的(de)(de)(de)(de)木材，樹枝實(shi)際上是(shi)被(bei)稱為原子（代(dai)數循(xun)(xun)(xun)環(huan)）的(de)(de)(de)(de)幾何(he)部(bu)(bu)分(fen)的(de)(de)(de)(de)組合(he)。

這個(ge)(ge)叫霍(huo)奇猜想的(de)(de)東(dong)東(dong)，用(yong)通俗的(de)(de)話(hua)說(shuo)，就是“再好再復(fu)(fu)雜(za)的(de)(de)一座(zuo)宮殿，都可以由一堆積(ji)木壘成(cheng)”。用(yong)文人的(de)(de)話(hua)說(shuo)就是: 任何一個(ge)(ge)形(xing)(xing)狀的(de)(de)幾(ji)何圖形(xing)(xing)，不管它有多復(fu)(fu)雜(za)(只(zhi)要你能想得出來(lai))，它都可以用(yong)一堆簡單的(de)(de)幾(ji)何圖形(xing)(xing)拼成(cheng)。在實際(ji)工作(zuo)中，我(wo)們(men)無法在二維(wei)平(ping)面的(de)(de)紙上(shang)繪(hui)畫出來(lai)一種復(fu)(fu)雜(za)的(de)(de)多維(wei)圖形(xing)(xing)，霍(huo)奇猜想就是把(ba)復(fu)(fu)雜(za)的(de)(de)拓撲圖形(xing)(xing)分拆成(cheng)為一個(ge)(ge)個(ge)(ge)構件(jian)，我(wo)們(men)只(zhi)要按照(zhao)規則安(an)裝就可以理解設計者的(de)(de)思(si)想。霍(huo)奇猜想提出已經(jing)快80年了，至今有了第一個(ge)(ge)例(li)子。