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簡介

霍奇猜想 (Hodge Conjecture)

在(zai)非奇(qi)異(yi)復射影代數(shu)簇上, 任一霍(huo)奇(qi)類(lei)(lei)是代數(shu)閉鏈(lian)類(lei)(lei)的有理線性組合。

背景

二十世紀的(de)數學家(jia)們發現了(le)研究復雜對象(xiang)的(de)形狀(zhuang)的(de)強有(you)力的(de)辦法。

基(ji)本想法是問在怎(zen)樣(yang)的(de)程度上(shang)(shang)，我(wo)們可(ke)以(yi)把給定對(dui)象的(de)形(xing)(xing)狀(zhuang)通(tong)過把維數不斷增加(jia)的(de)簡單幾何營造塊粘合在一起(qi)來(lai)形(xing)(xing)成。這種(zhong)技(ji)巧是變得(de)如(ru)此有(you)用，使得(de)它可(ke)以(yi)用許多不同的(de)方式(shi)來(lai)推廣；最終導致(zhi)一些強有(you)力的(de)工具，使數學家在對(dui)他們研究中(zhong)所(suo)遇到的(de)形(xing)(xing)形(xing)(xing)色色的(de)對(dui)象進(jin)(jin)行(xing)分類時取得(de)巨大的(de)進(jin)(jin)展。不幸(xing)的(de)是，在這一推廣中(zhong)，程序的(de)幾何出發點變得(de)模糊起(qi)來(lai)。在某種(zhong)意義下，必須加(jia)上(shang)(shang)某些沒有(you)任何幾何解釋的(de)部(bu)(bu)件。霍奇(qi)(qi)猜(cai)想斷言，對(dui)于(yu)所(suo)謂射(she)影代數簇這種(zhong)特別完(wan)美的(de)空間類型來(lai)說，稱(cheng)作霍奇(qi)(qi)閉鏈的(de)部(bu)(bu)件實際上(shang)(shang)是稱(cheng)作代數閉鏈的(de)幾何部(bu)(bu)件的(de)（有(you)理(li)線性）組合。

問題

霍(huo)奇猜想是(shi)代(dai)數幾(ji)(ji)何的(de)(de)一個(ge)重大的(de)(de)懸而未決的(de)(de)問題(ti)。它(ta)是(shi)關(guan)于(yu)非奇異復代(dai)數簇(cu)的(de)(de)代(dai)數拓撲和它(ta)由定(ding)義子簇(cu)的(de)(de)多項式(shi)方程所表述的(de)(de)幾(ji)(ji)何的(de)(de)關(guan)聯的(de)(de)猜想。它(ta)在霍(huo)奇的(de)(de)著述的(de)(de)一個(ge)結(jie)果中(zhong)出現，他在1930至1940年(nian)間通過包含額(e)外(wai)的(de)(de)結(jie)構豐富了(le)德拉姆上同調(diao)的(de)(de)表述，這種結(jie)構出現于(yu)代(dai)數簇(cu)的(de)(de)情況（但(dan)不僅限于(yu)這種情況）。

現狀

黎(li)曼假(jia)設、龐加萊(lai)猜(cai)(cai)想、霍奇猜(cai)(cai)想、貝赫(he)和斯維訥通－戴爾(er)猜(cai)(cai)想、納維葉―斯托克斯方程、楊―米爾(er)理論(lun)、P問(wen)題(ti)對NP問(wen)題(ti)被(bei)稱為21世紀七大數(shu)學(xue)難題(ti)。2000年5月(yue)，美國的克萊(lai)數(shu)學(xue)促進會為每道題(ti)懸賞百萬美元求解。目(mu)前(qian)，這一難題(ti)仍沒有被(bei)破解。

已知的情形

對于(yu)(1,1)類的(de)霍奇猜想已(yi)經在霍奇本(ben)人提出本(ben)猜想前的(de)1924年由 Lefschetz證明。換(huan)句話說(shuo)，霍奇猜想對于(yu)H^2成立。實(shi)際上，這是霍奇提出其猜想的(de)動機之(zhi)一。

除此(ci)以(yi)外(wai)，還成(cheng)(cheng)立以(yi)下(xia)定理(li)：如果(guo)霍(huo)(huo)奇猜(cai)想對(dui)(dui)于度(du)數(shu)(shu)(shu)p的霍(huo)(huo)奇類成(cheng)(cheng)立，其中p<n，n是(shi)上述(shu)射影代數(shu)(shu)(shu)簇的維數(shu)(shu)(shu)，那么對(dui)(dui)于度(du)數(shu)(shu)(shu)為2n-p的霍(huo)(huo)奇類，霍(huo)(huo)奇猜(cai)想也成(cheng)(cheng)立。

霍奇的想法

蘇格蘭數(shu)(shu)學家(jia)威廉·霍奇：怎么能知道哪些類的(de)(de)同(tong)源性(xing)在(zai)(zai)任何(he)(he)給定歧(qi)管，相當于一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)代數(shu)(shu)周期？一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)偉大的(de)(de)想法。 只(zhi)是(shi)(shi)(shi)他(ta)不能證明。 我(wo)們(men)(men)有(you)(you)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)小(xiao)的(de)(de)平滑的(de)(de)“空間(jian)”（在(zai)(zai)每個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)鄰(lin)域類似于歐幾(ji)(ji)里德空間(jian)，但在(zai)(zai)更(geng)大的(de)(de)規模上(shang)，“空間(jian)”是(shi)(shi)(shi)不同(tong)的(de)(de)），這是(shi)(shi)(shi)由一(yi)(yi)群方(fang)程描述，使得這個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)空間(jian)具有(you)(you)均勻(yun)的(de)(de)維度。 然后(hou)我(wo)們(men)(men)獲取(qu)基本的(de)(de)“拓撲(pu)”信息，并將其(qi)分(fen)(fen)解成(cheng)更(geng)小(xiao)的(de)(de)幾(ji)(ji)何(he)(he)部分(fen)(fen)（由數(shu)(shu)字(zi)對(dui)標記）。幾(ji)(ji)何(he)(he)部分(fen)(fen)內的(de)(de)理性(xing)東西(xi)被(bei)稱為(wei)“Hodge循(xun)(xun)環”。 每個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)較小(xiao)的(de)(de)幾(ji)(ji)何(he)(he)部分(fen)(fen)是(shi)(shi)(shi)稱為(wei)代數(shu)(shu)循(xun)(xun)環的(de)(de)幾(ji)(ji)何(he)(he)部分(fen)(fen)的(de)(de)組合。 基本上(shang)我(wo)們(men)(men)有(you)(you)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)“樁(zhuang)”。我(wo)們(men)(men)仔(zi)細看(kan)看(kan)它，看(kan)看(kan)它是(shi)(shi)(shi)由許多“切(qie)(qie)碎(sui)的(de)(de)木材”組成(cheng)。“切(qie)(qie)碎(sui)的(de)(de)木材”里面有(you)(you)“twigs”（霍奇循(xun)(xun)環）。霍奇猜(cai)想斷言，對(dui)于成(cheng)堆的(de)(de)切(qie)(qie)碎(sui)的(de)(de)木材，樹(shu)枝實際上(shang)是(shi)(shi)(shi)被(bei)稱為(wei)原子（代數(shu)(shu)循(xun)(xun)環）的(de)(de)幾(ji)(ji)何(he)(he)部分(fen)(fen)的(de)(de)組合。

這(zhe)個(ge)(ge)叫霍(huo)奇(qi)猜(cai)想的(de)(de)(de)(de)東東，用通俗的(de)(de)(de)(de)話(hua)說，就(jiu)是“再好再復(fu)雜(za)(za)的(de)(de)(de)(de)一座(zuo)宮殿，都(dou)可以(yi)由一堆積木壘成(cheng)”。用文人的(de)(de)(de)(de)話(hua)說就(jiu)是: 任(ren)何(he)一個(ge)(ge)形(xing)狀的(de)(de)(de)(de)幾何(he)圖形(xing)，不管它有多復(fu)雜(za)(za)(只(zhi)要(yao)(yao)你能(neng)想得出來)，它都(dou)可以(yi)用一堆簡(jian)單(dan)的(de)(de)(de)(de)幾何(he)圖形(xing)拼成(cheng)。在實際工作(zuo)中，我們(men)無法在二(er)維平面的(de)(de)(de)(de)紙(zhi)上繪畫出來一種復(fu)雜(za)(za)的(de)(de)(de)(de)多維圖形(xing)，霍(huo)奇(qi)猜(cai)想就(jiu)是把復(fu)雜(za)(za)的(de)(de)(de)(de)拓(tuo)撲圖形(xing)分拆成(cheng)為一個(ge)(ge)個(ge)(ge)構件(jian)，我們(men)只(zhi)要(yao)(yao)按照規則安裝就(jiu)可以(yi)理解設(she)計者的(de)(de)(de)(de)思想。霍(huo)奇(qi)猜(cai)想提出已經快80年了，至今(jin)有了第一個(ge)(ge)例(li)子。