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簡介

霍奇猜想 (Hodge Conjecture)

在非(fei)奇(qi)異復射影代(dai)數簇上, 任一霍(huo)奇(qi)類(lei)是代(dai)數閉(bi)鏈(lian)類(lei)的有理(li)線性組合。

背景

二十(shi)世紀的(de)數學家們發現了研究復雜(za)對象的(de)形狀的(de)強有力的(de)辦法。

基本想法(fa)是問在(zai)(zai)(zai)怎樣的(de)(de)程度上，我們(men)可(ke)(ke)以把給定對象(xiang)的(de)(de)形(xing)狀通(tong)過把維(wei)數(shu)不斷(duan)增(zeng)加的(de)(de)簡單幾何(he)營造塊粘(zhan)合在(zai)(zai)(zai)一起來(lai)形(xing)成。這種(zhong)技(ji)巧是變得(de)(de)(de)如此有用(yong)，使得(de)(de)(de)它(ta)可(ke)(ke)以用(yong)許(xu)多不同的(de)(de)方(fang)式來(lai)推(tui)廣；最終導致一些強有力的(de)(de)工具(ju)，使數(shu)學家在(zai)(zai)(zai)對他(ta)們(men)研(yan)究(jiu)中所遇到(dao)的(de)(de)形(xing)形(xing)色(se)色(se)的(de)(de)對象(xiang)進(jin)(jin)行分類(lei)時(shi)取得(de)(de)(de)巨大的(de)(de)進(jin)(jin)展。不幸的(de)(de)是，在(zai)(zai)(zai)這一推(tui)廣中，程序的(de)(de)幾何(he)出發點變得(de)(de)(de)模糊起來(lai)。在(zai)(zai)(zai)某種(zhong)意義下，必須加上某些沒有任何(he)幾何(he)解釋的(de)(de)部(bu)(bu)(bu)件(jian)。霍奇猜(cai)想斷(duan)言(yan)，對于所謂射影(ying)代(dai)數(shu)簇(cu)這種(zhong)特(te)別(bie)完美的(de)(de)空間類(lei)型來(lai)說，稱作霍奇閉鏈的(de)(de)部(bu)(bu)(bu)件(jian)實(shi)際上是稱作代(dai)數(shu)閉鏈的(de)(de)幾何(he)部(bu)(bu)(bu)件(jian)的(de)(de)（有理(li)線性）組合。

問題

霍奇猜(cai)想是代數(shu)幾(ji)(ji)何的一(yi)個重(zhong)大的懸(xuan)而未決(jue)的問題。它是關(guan)于(yu)非(fei)奇異復代數(shu)簇的代數(shu)拓撲(pu)和它由定義子簇的多(duo)項式(shi)方程(cheng)所(suo)表述的幾(ji)(ji)何的關(guan)聯的猜(cai)想。它在霍奇的著述的一(yi)個結(jie)果中出現(xian)，他在1930至1940年間通過包含額(e)外的結(jie)構豐(feng)富了德拉姆上同調的表述，這(zhe)種(zhong)結(jie)構出現(xian)于(yu)代數(shu)簇的情況(kuang)（但(dan)不僅限于(yu)這(zhe)種(zhong)情況(kuang)）。

現狀

黎曼假設、龐加萊猜想(xiang)、霍奇猜想(xiang)、貝赫(he)和斯(si)(si)維訥(ne)通－戴爾(er)猜想(xiang)、納維葉(xie)―斯(si)(si)托克斯(si)(si)方程、楊―米爾(er)理(li)論(lun)、P問題(ti)(ti)對NP問題(ti)(ti)被(bei)稱為21世(shi)紀七(qi)大數學(xue)難(nan)題(ti)(ti)。2000年5月(yue)，美國(guo)的克萊數學(xue)促進(jin)會為每道題(ti)(ti)懸賞百萬美元求解(jie)。目前(qian)，這一難(nan)題(ti)(ti)仍(reng)沒有被(bei)破(po)解(jie)。

已知的情形

對于(1,1)類(lei)的(de)霍(huo)奇(qi)猜(cai)(cai)想(xiang)已(yi)經(jing)在霍(huo)奇(qi)本(ben)人提出本(ben)猜(cai)(cai)想(xiang)前的(de)1924年由 Lefschetz證明。換句話說，霍(huo)奇(qi)猜(cai)(cai)想(xiang)對于H^2成立。實際上，這是霍(huo)奇(qi)提出其猜(cai)(cai)想(xiang)的(de)動機之(zhi)一。

除此(ci)以(yi)外，還成立以(yi)下定理：如(ru)果霍(huo)(huo)奇(qi)(qi)猜想對于(yu)度數(shu)p的霍(huo)(huo)奇(qi)(qi)類(lei)成立，其(qi)中(zhong)p<n，n是(shi)上(shang)述(shu)射影(ying)代數(shu)簇的維(wei)數(shu)，那么對于(yu)度數(shu)為2n-p的霍(huo)(huo)奇(qi)(qi)類(lei)，霍(huo)(huo)奇(qi)(qi)猜想也成立。

霍奇的想法

蘇(su)格蘭數學家威廉(lian)·霍奇：怎(zen)么能(neng)知道(dao)哪些類的(de)(de)(de)同(tong)源性(xing)在(zai)任(ren)何給(gei)定歧管，相當于一(yi)個(ge)(ge)代(dai)數周期？一(yi)個(ge)(ge)偉大(da)的(de)(de)(de)想法。 只是(shi)(shi)他不(bu)能(neng)證明。 我們有一(yi)個(ge)(ge)小(xiao)的(de)(de)(de)平滑的(de)(de)(de)“空間(jian)”（在(zai)每個(ge)(ge)鄰域類似于歐幾(ji)(ji)里德空間(jian)，但在(zai)更大(da)的(de)(de)(de)規(gui)模上，“空間(jian)”是(shi)(shi)不(bu)同(tong)的(de)(de)(de)），這是(shi)(shi)由一(yi)群(qun)方程(cheng)描述，使得這個(ge)(ge)空間(jian)具有均勻的(de)(de)(de)維(wei)度。 然(ran)后我們獲取基(ji)本(ben)的(de)(de)(de)“拓撲”信息，并(bing)將其分解(jie)成更小(xiao)的(de)(de)(de)幾(ji)(ji)何部(bu)分（由數字對標記）。幾(ji)(ji)何部(bu)分內(nei)的(de)(de)(de)理性(xing)東西被(bei)稱為(wei)“Hodge循環(huan)(huan)”。 每個(ge)(ge)較小(xiao)的(de)(de)(de)幾(ji)(ji)何部(bu)分是(shi)(shi)稱為(wei)代(dai)數循環(huan)(huan)的(de)(de)(de)幾(ji)(ji)何部(bu)分的(de)(de)(de)組合。 基(ji)本(ben)上我們有一(yi)個(ge)(ge)“樁(zhuang)”。我們仔(zi)細(xi)看看它(ta)，看看它(ta)是(shi)(shi)由許(xu)多“切碎的(de)(de)(de)木材(cai)”組成。“切碎的(de)(de)(de)木材(cai)”里面有“twigs”（霍奇循環(huan)(huan)）。霍奇猜想斷(duan)言，對于成堆的(de)(de)(de)切碎的(de)(de)(de)木材(cai)，樹枝(zhi)實(shi)際(ji)上是(shi)(shi)被(bei)稱為(wei)原子（代(dai)數循環(huan)(huan)）的(de)(de)(de)幾(ji)(ji)何部(bu)分的(de)(de)(de)組合。

這個(ge)叫霍(huo)(huo)奇猜想的(de)(de)東東，用通俗的(de)(de)話(hua)說(shuo)，就(jiu)是(shi)“再好再復(fu)雜(za)(za)的(de)(de)一(yi)座宮殿，都(dou)可(ke)以由一(yi)堆積木壘成(cheng)”。用文人的(de)(de)話(hua)說(shuo)就(jiu)是(shi): 任何(he)一(yi)個(ge)形狀(zhuang)的(de)(de)幾(ji)何(he)圖(tu)形，不管它有多(duo)復(fu)雜(za)(za)(只要你能想得(de)出來(lai))，它都(dou)可(ke)以用一(yi)堆簡單的(de)(de)幾(ji)何(he)圖(tu)形拼成(cheng)。在實際工作中，我(wo)們無(wu)法在二維(wei)平面的(de)(de)紙上繪畫出來(lai)一(yi)種復(fu)雜(za)(za)的(de)(de)多(duo)維(wei)圖(tu)形，霍(huo)(huo)奇猜想就(jiu)是(shi)把復(fu)雜(za)(za)的(de)(de)拓(tuo)撲圖(tu)形分拆成(cheng)為一(yi)個(ge)個(ge)構件(jian)，我(wo)們只要按照規(gui)則(ze)安裝就(jiu)可(ke)以理解設計者的(de)(de)思想。霍(huo)(huo)奇猜想提(ti)出已經(jing)快(kuai)80年了(le)，至(zhi)今有了(le)第一(yi)個(ge)例子。