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起源

黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提(ti)出的(de)(de)(de)，這(zhe)位數(shu)學(xue)家于1826年出生在當時屬(shu)于漢諾(nuo)威王國的(de)(de)(de)名叫布列斯倫茨的(de)(de)(de)小(xiao)(xiao)鎮。1859年，黎曼被選(xuan)為(wei)(wei)了柏林科學(xue)院(yuan)(yuan)的(de)(de)(de)通信(xin)院(yuan)(yuan)士。作為(wei)(wei)對這(zhe)一崇高榮譽的(de)(de)(de)回(hui)報，他向柏林科學(xue)院(yuan)(yuan)提(ti)交了一篇題為(wei)(wei)“論(lun)小(xiao)(xiao)于給定數(shu)值的(de)(de)(de)素數(shu)個數(shu)”的(de)(de)(de)論(lun)文(wen)。這(zhe)篇只有(you)短短八頁的(de)(de)(de)論(lun)文(wen)就是黎曼猜想的(de)(de)(de)“誕(dan)生地”。

黎曼那篇論文所研(yan)究的(de)(de)(de)(de)是(shi)一個數(shu)學(xue)家們(men)長期(qi)以來就(jiu)很感興趣(qu)的(de)(de)(de)(de)問題，即素(su)(su)數(shu)的(de)(de)(de)(de)分布。素(su)(su)數(shu)又稱質(zhi)數(shu)。質(zhi)數(shu)是(shi)像2、3、5、7、11、13、17、19那樣大(da)(da)于1且除了1和(he)自身以外不能被其他正整(zheng)數(shu)整(zheng)除的(de)(de)(de)(de)自然數(shu)。這(zhe)些數(shu)在(zai)數(shu)論研(yan)究中(zhong)有著(zhu)極大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)重要性，因為(wei)所有大(da)(da)于1的(de)(de)(de)(de)正整(zheng)數(shu)都可以表示成它(ta)們(men)的(de)(de)(de)(de)合。從(cong)某種意義上(shang)講，它(ta)們(men)在(zai)數(shu)論中(zhong)的(de)(de)(de)(de)地位類似(si)于物理世(shi)界中(zhong)用(yong)以構筑萬物的(de)(de)(de)(de)原子。質(zhi)數(shu)的(de)(de)(de)(de)定義簡(jian)單得可以在(zai)中(zhong)學(xue)甚(shen)至小學(xue)課上(shang)進行講授，但(dan)它(ta)們(men)的(de)(de)(de)(de)分布卻(que)奧妙(miao)得異乎尋常，數(shu)學(xue)家們(men)付(fu)出了極大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)心力(li)，卻(que)迄(qi)今(jin)仍未(wei)能徹底了解。

黎(li)曼論文的(de)(de)一(yi)個(ge)重大的(de)(de)成果(guo)，就是發(fa)現了質數(shu)(shu)分布的(de)(de)奧秘完全蘊藏(zang)在一(yi)個(ge)特(te)殊(shu)的(de)(de)函數(shu)(shu)之中，尤其(qi)是使那(nei)個(ge)函數(shu)(shu)取值為零的(de)(de)一(yi)系(xi)列(lie)(lie)特(te)殊(shu)的(de)(de)點對質數(shu)(shu)分布的(de)(de)細致規律有著(zhu)決定性的(de)(de)影響。那(nei)個(ge)函數(shu)(shu)如今(jin)被稱為黎(li)曼ζ函數(shu)(shu)，那(nei)一(yi)系(xi)列(lie)(lie)特(te)殊(shu)的(de)(de)點則被稱為黎(li)曼ζ函數(shu)(shu)的(de)(de)非(fei)平凡零點。

有(you)意思的(de)(de)(de)是(shi)，黎(li)(li)曼那(nei)(nei)篇文章的(de)(de)(de)成(cheng)果(guo)雖然重(zhong)大(da)，文字卻極為(wei)簡練，甚至簡練得有(you)些(xie)(xie)過分，因為(wei)它包(bao)括(kuo)了(le)很多“證(zheng)明(ming)(ming)從略(lve)”的(de)(de)(de)地(di)方。而要(yao)命(ming)的(de)(de)(de)是(shi)，“證(zheng)明(ming)(ming)從略(lve)”原本是(shi)應該用來(lai)省略(lve)那(nei)(nei)些(xie)(xie)顯而易見(jian)的(de)(de)(de)證(zheng)明(ming)(ming)的(de)(de)(de)，黎(li)(li)曼的(de)(de)(de)論(lun)文卻并(bing)非如(ru)此，他那(nei)(nei)些(xie)(xie)“證(zheng)明(ming)(ming)從略(lve)”的(de)(de)(de)地(di)方有(you)些(xie)(xie)花費(fei)了(le)后世數(shu)學家們幾十(shi)年(nian)的(de)(de)(de)努(nu)力才得以(yi)補全，有(you)些(xie)(xie)甚至直到今(jin)天(tian)仍是(shi)空(kong)白。但黎(li)(li)曼的(de)(de)(de)論(lun)文在為(wei)數(shu)不少的(de)(de)(de)“證(zheng)明(ming)(ming)從略(lve)”之外，卻引人注目地(di)包(bao)含了(le)一(yi)個(ge)他明(ming)(ming)確(que)承認了(le)自(zi)己無法(fa)證(zheng)明(ming)(ming)的(de)(de)(de)命(ming)題，那(nei)(nei)個(ge)命(ming)題就(jiu)是(shi)黎(li)(li)曼猜想。黎(li)(li)曼猜想自(zi)1859年(nian)“誕生(sheng)”以(yi)來(lai)，已(yi)過了(le)161個(ge)春秋，在這(zhe)期間，它就(jiu)像一(yi)座巍(wei)峨的(de)(de)(de)山峰，吸引了(le)無數(shu)數(shu)學家前去(qu)攀登(deng)，卻誰也沒能登(deng)頂(ding)。

有(you)人統(tong)計(ji)過，在當今數學(xue)文(wen)獻中(zhong)已有(you)超過一(yi)千條數學(xue)命(ming)題以黎(li)曼猜想(或其(qi)推廣形式)的成(cheng)立(li)為(wei)前提。如(ru)果(guo)黎(li)曼猜想被(bei)證明(ming)，所有(you)那(nei)些數學(xue)命(ming)題就全都可(ke)以榮升為(wei)定理；反之，如(ru)果(guo)黎(li)曼猜想被(bei)否(fou)證，則那(nei)些數學(xue)命(ming)題中(zhong)起碼有(you)一(yi)部分(fen)將成(cheng)為(wei)陪(pei)葬。

具體內容

黎(li)(li)曼觀察到，素數的頻率緊密相關(guan)于(yu)一個(ge)精心構造的所謂黎(li)(li)曼zeta函數ζ(s)的性態。黎(li)(li)曼假設(she)斷言，方(fang)程(cheng)ζ(s)=0的所有有意(yi)義的解(jie)都在一條直線上。這點已經對于(yu)開始的1,500,000,000個(ge)解(jie)驗證過。

之(zhi)所以要對這一(yi)表(biao)達(da)式(shi)進行解(jie)析(xi)延拓(tuo)， 是(shi)因為這一(yi)表(biao)達(da)式(shi)只適(shi)用于(yu)復平面(mian)上 s 的實(shi)部 Re(s) > 1 的區域 （否(fou)則(ze)級數不收斂）。黎(li)曼(man)找到了這一(yi)表(biao)達(da)式(shi)的解(jie)析(xi)延拓(tuo)（當(dang)然黎(li)曼(man)沒有(you)使(shi)用 “解(jie)析(xi)延拓(tuo)” 這樣的現代復變函(han)數論術語）。運用路徑積分，解(jie)析(xi)延拓(tuo)后(hou)的黎(li)曼(man)ζ 函(han)數可以表(biao)示為：

這里我(wo)們采(cai)用(yong)的(de)是歷史文獻中的(de)記(ji)號， 式中的(de)積(ji)分(fen)實(shi)(shi)際是一個(ge)環(huan)繞(rao)正實(shi)(shi)軸(zhou)進行的(de)圍道積(ji)分(fen)（即從 +∞ 出發， 沿(yan)實(shi)(shi)軸(zhou)上方積(ji)分(fen)至(zhi)原(yuan)點附近， 環(huan)繞(rao)原(yuan)點積(ji)分(fen)至(zhi)實(shi)(shi)軸(zhou)下(xia)(xia)方， 再沿(yan)實(shi)(shi)軸(zhou)下(xia)(xia)方積(ji)分(fen)至(zhi) +∞ ，而且離(li)實(shi)(shi)軸(zhou)的(de)距離(li)及(ji)環(huan)繞(rao)原(yuan)點的(de)半(ban)徑均趨(qu)于 0)，按照現代數學記(ji)號應記(ji)成：

從(cong)這(zhe)(zhe)個關系式中不難發現，黎(li)曼(man)(man)(man)(man)(man)ζ 函(han)數(shu)在(zai) s=-2n (n 為(wei)(wei)正整數(shu)） 取值為(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling)(ling) - 因(yin)為(wei)(wei) sin(πs/2) 為(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling)(ling)。復平面上的(de)這(zhe)(zhe)種使黎(li)曼(man)(man)(man)(man)(man)ζ 函(han)數(shu)取值為(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling)(ling)的(de)點(dian)被稱為(wei)(wei)黎(li)曼(man)(man)(man)(man)(man)ζ 函(han)數(shu)的(de)零(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)。因(yin)此 s=-2n （n 為(wei)(wei)正整數(shu)）是(shi)黎(li)曼(man)(man)(man)(man)(man)ζ 函(han)數(shu)的(de)零(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)。這(zhe)(zhe)些零(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)分布有(you)序(xu)、 性質(zhi)簡(jian)單， 被稱為(wei)(wei)黎(li)曼(man)(man)(man)(man)(man)ζ 函(han)數(shu)的(de)平凡零(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian) (trivial zero)。除(chu)了這(zhe)(zhe)些平凡零(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)外，黎(li)曼(man)(man)(man)(man)(man)ζ 函(han)數(shu)還有(you)許多其它(ta)零(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)， 它(ta)們的(de)性質(zhi)遠比那些平凡零(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)來得復雜， 被稱為(wei)(wei)非平凡零(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian) (non-trivial zeros)。

黎(li)曼ζ 函數(shu)的(de)所有非平凡零點都(dou)位于復平面上 Re(s)=1/2 的(de)直線上，也即方(fang)程ζ(s)=0的(de)解的(de)實部都(dou)是1/2。

在(zai)黎曼猜(cai)想的(de)研究中， 數(shu)學家們(men)把復平面(mian)上(shang) Re(s)=1/2 的(de)直線稱為 critical line（臨界線）。運用這一(yi)術語，黎曼猜(cai)想也可(ke)以表述為：黎曼ζ 函數(shu)的(de)所有(you)非平凡零點都(dou)位于 critical line 上(shang)。