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起源

黎(li)曼(man)猜(cai)想(xiang)是波恩哈德·黎(li)曼(man)1859年提出的(de)(de)，這位數(shu)學家于1826年出生在當時(shi)屬于漢諾威王(wang)國的(de)(de)名(ming)叫布(bu)列斯倫(lun)茨(ci)的(de)(de)小鎮。1859年，黎(li)曼(man)被選為(wei)了(le)柏(bo)林科學院的(de)(de)通信院士。作為(wei)對這一崇高榮(rong)譽的(de)(de)回報，他(ta)向柏(bo)林科學院提交了(le)一篇題為(wei)“論(lun)小于給(gei)定(ding)數(shu)值的(de)(de)素數(shu)個(ge)數(shu)”的(de)(de)論(lun)文。這篇只有短短八(ba)頁的(de)(de)論(lun)文就(jiu)是黎(li)曼(man)猜(cai)想(xiang)的(de)(de)“誕生地”。

黎曼(man)那篇論(lun)文所研(yan)究的是(shi)一(yi)個數(shu)(shu)學(xue)家(jia)們(men)(men)長期以(yi)來就很感興趣的問(wen)題，即素(su)數(shu)(shu)的分(fen)布。素(su)數(shu)(shu)又稱質數(shu)(shu)。質數(shu)(shu)是(shi)像2、3、5、7、11、13、17、19那樣大于1且除了1和自身(shen)以(yi)外不能被其他正整(zheng)數(shu)(shu)整(zheng)除的自然數(shu)(shu)。這(zhe)些數(shu)(shu)在(zai)數(shu)(shu)論(lun)研(yan)究中(zhong)有(you)著極大的重要性，因為所有(you)大于1的正整(zheng)數(shu)(shu)都可以(yi)表示成它(ta)們(men)(men)的合。從某種意(yi)義上(shang)講，它(ta)們(men)(men)在(zai)數(shu)(shu)論(lun)中(zhong)的地(di)位類(lei)似(si)于物(wu)理(li)世界(jie)中(zhong)用(yong)以(yi)構筑(zhu)萬物(wu)的原子(zi)。質數(shu)(shu)的定義簡單得(de)可以(yi)在(zai)中(zhong)學(xue)甚至小學(xue)課上(shang)進行講授，但它(ta)們(men)(men)的分(fen)布卻奧妙得(de)異(yi)乎尋(xun)常(chang)，數(shu)(shu)學(xue)家(jia)們(men)(men)付出了極大的心力(li)，卻迄今仍未能徹底(di)了解(jie)。

黎曼論文的(de)(de)一(yi)個重(zhong)大(da)的(de)(de)成果(guo)，就是(shi)發(fa)現了質(zhi)數(shu)(shu)分(fen)布的(de)(de)奧(ao)秘(mi)完(wan)全蘊藏(zang)在一(yi)個特(te)殊的(de)(de)函數(shu)(shu)之中，尤其是(shi)使那個函數(shu)(shu)取值為零(ling)的(de)(de)一(yi)系(xi)列(lie)(lie)特(te)殊的(de)(de)點對質(zhi)數(shu)(shu)分(fen)布的(de)(de)細致規律有著決(jue)定性的(de)(de)影響。那個函數(shu)(shu)如今被稱為黎曼ζ函數(shu)(shu)，那一(yi)系(xi)列(lie)(lie)特(te)殊的(de)(de)點則被稱為黎曼ζ函數(shu)(shu)的(de)(de)非平凡零(ling)點。

有意思的(de)(de)是，黎(li)曼(man)那篇文(wen)(wen)章的(de)(de)成果雖然重大(da)，文(wen)(wen)字(zi)卻(que)極(ji)為(wei)(wei)簡練，甚至簡練得(de)有些過分，因為(wei)(wei)它包括(kuo)了(le)很(hen)多(duo)“證(zheng)明(ming)(ming)(ming)從略(lve)”的(de)(de)地方。而(er)要命的(de)(de)是，“證(zheng)明(ming)(ming)(ming)從略(lve)”原(yuan)本是應該用來省略(lve)那些顯(xian)而(er)易(yi)見的(de)(de)證(zheng)明(ming)(ming)(ming)的(de)(de)，黎(li)曼(man)的(de)(de)論文(wen)(wen)卻(que)并非如此，他那些“證(zheng)明(ming)(ming)(ming)從略(lve)”的(de)(de)地方有些花費了(le)后世數(shu)(shu)學家(jia)們幾十年的(de)(de)努力(li)才(cai)得(de)以補全，有些甚至直到今天仍是空(kong)白。但黎(li)曼(man)的(de)(de)論文(wen)(wen)在為(wei)(wei)數(shu)(shu)不少的(de)(de)“證(zheng)明(ming)(ming)(ming)從略(lve)”之(zhi)外，卻(que)引人注目地包含了(le)一個(ge)他明(ming)(ming)(ming)確承認了(le)自己無(wu)法證(zheng)明(ming)(ming)(ming)的(de)(de)命題，那個(ge)命題就(jiu)是黎(li)曼(man)猜(cai)想。黎(li)曼(man)猜(cai)想自1859年“誕生”以來，已過了(le)161個(ge)春秋，在這期間，它就(jiu)像一座巍峨的(de)(de)山峰，吸引了(le)無(wu)數(shu)(shu)數(shu)(shu)學家(jia)前去(qu)攀登，卻(que)誰也沒能登頂(ding)。

有人統計(ji)過(guo)，在(zai)當今數學文(wen)獻中已有超過(guo)一千條數學命(ming)題以(yi)黎(li)(li)曼(man)猜(cai)想(或其推(tui)廣形式(shi))的成(cheng)(cheng)立(li)為(wei)前(qian)提。如(ru)果黎(li)(li)曼(man)猜(cai)想被(bei)證明，所有那些數學命(ming)題就全(quan)都(dou)可以(yi)榮升為(wei)定理(li)；反(fan)之(zhi)，如(ru)果黎(li)(li)曼(man)猜(cai)想被(bei)否證，則那些數學命(ming)題中起碼(ma)有一部分將成(cheng)(cheng)為(wei)陪葬(zang)。

具體內容

黎曼觀察到，素數(shu)的頻率緊密相關于一(yi)個精(jing)心構造的所謂黎曼zeta函數(shu)ζ(s)的性態。黎曼假設(she)斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義(yi)的解都在(zai)一(yi)條直線上。這點已經對于開(kai)始(shi)的1,500,000,000個解驗證(zheng)過(guo)。

之所以(yi)要對(dui)這一(yi)表(biao)達式(shi)進行解(jie)析延(yan)(yan)拓， 是(shi)因為這一(yi)表(biao)達式(shi)只(zhi)適用(yong)于復平面上 s 的(de)(de)(de)實(shi)部(bu) Re(s) > 1 的(de)(de)(de)區域 （否則級數(shu)不收斂）。黎(li)曼找到了這一(yi)表(biao)達式(shi)的(de)(de)(de)解(jie)析延(yan)(yan)拓（當然黎(li)曼沒有使用(yong) “解(jie)析延(yan)(yan)拓” 這樣的(de)(de)(de)現代復變函數(shu)論(lun)術語(yu)）。運(yun)用(yong)路徑積分，解(jie)析延(yan)(yan)拓后(hou)的(de)(de)(de)黎(li)曼ζ 函數(shu)可(ke)以(yi)表(biao)示為：

這(zhe)里我(wo)們采用的是歷史文獻中的記號(hao)， 式(shi)中的積(ji)分(fen)實(shi)際(ji)是一個(ge)環繞正實(shi)軸(zhou)進行(xing)的圍道積(ji)分(fen)（即從(cong) +∞ 出發， 沿(yan)實(shi)軸(zhou)上方積(ji)分(fen)至(zhi)(zhi)原點(dian)附近， 環繞原點(dian)積(ji)分(fen)至(zhi)(zhi)實(shi)軸(zhou)下(xia)方， 再沿(yan)實(shi)軸(zhou)下(xia)方積(ji)分(fen)至(zhi)(zhi) +∞ ，而且離實(shi)軸(zhou)的距離及環繞原點(dian)的半徑(jing)均(jun)趨于(yu) 0)，按照(zhao)現代數學記號(hao)應記成：

從這(zhe)個關系式中不難發(fa)現，黎(li)(li)(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)在 s=-2n (n 為(wei)正整(zheng)數(shu)） 取值為(wei)零(ling)(ling)(ling) - 因(yin)為(wei) sin(πs/2) 為(wei)零(ling)(ling)(ling)。復平面上的(de)(de)(de)這(zhe)種使黎(li)(li)(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)取值為(wei)零(ling)(ling)(ling)的(de)(de)(de)點(dian)被稱(cheng)(cheng)為(wei)黎(li)(li)(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)的(de)(de)(de)零(ling)(ling)(ling)點(dian)。因(yin)此 s=-2n （n 為(wei)正整(zheng)數(shu)）是(shi)黎(li)(li)(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)的(de)(de)(de)零(ling)(ling)(ling)點(dian)。這(zhe)些零(ling)(ling)(ling)點(dian)分布(bu)有序、 性質簡單， 被稱(cheng)(cheng)為(wei)黎(li)(li)(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)的(de)(de)(de)平凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian) (trivial zero)。除了這(zhe)些平凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian)外，黎(li)(li)(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)還(huan)有許多(duo)其(qi)它零(ling)(ling)(ling)點(dian)， 它們的(de)(de)(de)性質遠比那些平凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian)來得(de)復雜， 被稱(cheng)(cheng)為(wei)非(fei)平凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian) (non-trivial zeros)。

黎(li)曼ζ 函數的所(suo)有非平凡(fan)零點都位(wei)于(yu)復(fu)平面上 Re(s)=1/2 的直(zhi)線上，也即方程ζ(s)=0的解的實部都是1/2。

在(zai)黎(li)曼(man)猜想(xiang)的研究中， 數學家(jia)們把復平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為(wei) critical line（臨界線）。運用這一術語，黎(li)曼(man)猜想(xiang)也可以表述為(wei)：黎(li)曼(man)ζ 函數的所有非平凡零點(dian)都(dou)位于 critical line 上。