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起源

黎(li)曼(man)猜想(xiang)是(shi)波恩(en)哈德·黎(li)曼(man)1859年提(ti)出(chu)的，這位數(shu)學家于1826年出(chu)生(sheng)(sheng)在(zai)當時屬于漢諾(nuo)威(wei)王(wang)國的名叫布列斯倫茨的小鎮。1859年，黎(li)曼(man)被選為了柏林科學院(yuan)的通信院(yuan)士。作為對這一(yi)崇高榮譽的回報，他向(xiang)柏林科學院(yuan)提(ti)交了一(yi)篇(pian)題為“論小于給定數(shu)值的素數(shu)個數(shu)”的論文(wen)。這篇(pian)只有短短八頁(ye)的論文(wen)就是(shi)黎(li)曼(man)猜想(xiang)的“誕生(sheng)(sheng)地”。

黎曼那篇論文所研(yan)究的(de)(de)是(shi)一個數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學家們長期以(yi)(yi)(yi)來就(jiu)很感興趣(qu)的(de)(de)問題，即素數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)分布(bu)。素數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)又(you)稱(cheng)質(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。質(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)是(shi)像2、3、5、7、11、13、17、19那樣大(da)于1且(qie)除了1和自(zi)身以(yi)(yi)(yi)外(wai)不能被其他正整數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)整除的(de)(de)自(zi)然數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。這些數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)在(zai)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)論研(yan)究中有(you)(you)著(zhu)極(ji)大(da)的(de)(de)重要(yao)性(xing)，因(yin)為(wei)所有(you)(you)大(da)于1的(de)(de)正整數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)都可以(yi)(yi)(yi)表示(shi)成它們的(de)(de)合。從某種意義上(shang)講，它們在(zai)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)論中的(de)(de)地位類似(si)于物理世界(jie)中用以(yi)(yi)(yi)構筑萬物的(de)(de)原(yuan)子。質(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)定義簡單得(de)可以(yi)(yi)(yi)在(zai)中學甚至小學課上(shang)進行講授，但它們的(de)(de)分布(bu)卻奧妙得(de)異(yi)乎尋常(chang)，數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學家們付出(chu)了極(ji)大(da)的(de)(de)心(xin)力，卻迄今仍未(wei)能徹(che)底了解(jie)。

黎(li)曼論(lun)文(wen)的一(yi)個(ge)(ge)重大(da)的成果(guo)，就(jiu)是發現了(le)質(zhi)數(shu)分布的奧秘完全蘊藏在一(yi)個(ge)(ge)特殊的函(han)數(shu)之中，尤(you)其是使那個(ge)(ge)函(han)數(shu)取值為零(ling)的一(yi)系列(lie)特殊的點對質(zhi)數(shu)分布的細致規律有著決定性(xing)的影響。那個(ge)(ge)函(han)數(shu)如今(jin)被(bei)(bei)稱為黎(li)曼ζ函(han)數(shu)，那一(yi)系列(lie)特殊的點則被(bei)(bei)稱為黎(li)曼ζ函(han)數(shu)的非平凡零(ling)點。

有意思(si)的(de)(de)(de)是(shi)，黎(li)曼那篇文(wen)(wen)章的(de)(de)(de)成果雖然重大，文(wen)(wen)字(zi)卻極為簡(jian)練(lian)，甚至簡(jian)練(lian)得有些(xie)(xie)過分(fen)，因(yin)為它包(bao)括(kuo)了(le)很多“證(zheng)明從(cong)略(lve)(lve)”的(de)(de)(de)地(di)方。而(er)要命的(de)(de)(de)是(shi)，“證(zheng)明從(cong)略(lve)(lve)”原本是(shi)應該(gai)用來省略(lve)(lve)那些(xie)(xie)顯而(er)易(yi)見的(de)(de)(de)證(zheng)明的(de)(de)(de)，黎(li)曼的(de)(de)(de)論文(wen)(wen)卻并(bing)非如此(ci)，他那些(xie)(xie)“證(zheng)明從(cong)略(lve)(lve)”的(de)(de)(de)地(di)方有些(xie)(xie)花費了(le)后世(shi)數(shu)學家(jia)們幾十年的(de)(de)(de)努力(li)才得以補(bu)全，有些(xie)(xie)甚至直到今天仍是(shi)空白。但(dan)黎(li)曼的(de)(de)(de)論文(wen)(wen)在(zai)為數(shu)不少的(de)(de)(de)“證(zheng)明從(cong)略(lve)(lve)”之外，卻引人(ren)注目地(di)包(bao)含了(le)一個他明確(que)承(cheng)認了(le)自己無(wu)法證(zheng)明的(de)(de)(de)命題(ti)，那個命題(ti)就是(shi)黎(li)曼猜想(xiang)。黎(li)曼猜想(xiang)自1859年“誕生”以來，已(yi)過了(le)161個春秋，在(zai)這期間，它就像一座巍(wei)峨(e)的(de)(de)(de)山峰，吸(xi)引了(le)無(wu)數(shu)數(shu)學家(jia)前去攀登，卻誰也沒(mei)能登頂(ding)。

有(you)人(ren)統計(ji)過(guo)，在當今數學(xue)(xue)(xue)文獻中(zhong)已有(you)超過(guo)一千條數學(xue)(xue)(xue)命(ming)(ming)題(ti)以(yi)黎(li)曼猜想(或其推(tui)廣形(xing)式)的成(cheng)立為(wei)前(qian)提。如果(guo)黎(li)曼猜想被(bei)證(zheng)明，所有(you)那(nei)(nei)些數學(xue)(xue)(xue)命(ming)(ming)題(ti)就全都可(ke)以(yi)榮升為(wei)定(ding)理；反之，如果(guo)黎(li)曼猜想被(bei)否證(zheng)，則那(nei)(nei)些數學(xue)(xue)(xue)命(ming)(ming)題(ti)中(zhong)起碼有(you)一部(bu)分將成(cheng)為(wei)陪葬(zang)。

具體內容

黎曼觀察(cha)到(dao)，素數(shu)的(de)(de)頻率緊密相關于一個精(jing)心(xin)構造的(de)(de)所(suo)謂黎曼zeta函數(shu)ζ(s)的(de)(de)性態。黎曼假設斷言(yan)，方(fang)程ζ(s)=0的(de)(de)所(suo)有有意義的(de)(de)解都在一條直(zhi)線上。這點已(yi)經對(dui)于開始的(de)(de)1,500,000,000個解驗證過。

之所以(yi)(yi)要(yao)對(dui)這(zhe)一(yi)表(biao)達式進行解(jie)(jie)析延(yan)(yan)拓， 是因為這(zhe)一(yi)表(biao)達式只適用于復平面上(shang) s 的(de)實部 Re(s) > 1 的(de)區域 （否(fou)則級數不收斂）。黎曼找到了這(zhe)一(yi)表(biao)達式的(de)解(jie)(jie)析延(yan)(yan)拓（當然黎曼沒有使(shi)用 “解(jie)(jie)析延(yan)(yan)拓” 這(zhe)樣的(de)現代復變函數論(lun)術(shu)語）。運用路徑積分，解(jie)(jie)析延(yan)(yan)拓后的(de)黎曼ζ 函數可以(yi)(yi)表(biao)示(shi)為：

這里我們采(cai)用的(de)是(shi)歷史(shi)文獻(xian)中的(de)記號， 式(shi)中的(de)積(ji)(ji)分實(shi)際是(shi)一(yi)個環(huan)繞(rao)正實(shi)軸(zhou)進行的(de)圍道積(ji)(ji)分（即從 +∞ 出(chu)發(fa)， 沿實(shi)軸(zhou)上方積(ji)(ji)分至原(yuan)(yuan)點附近(jin)， 環(huan)繞(rao)原(yuan)(yuan)點積(ji)(ji)分至實(shi)軸(zhou)下方， 再沿實(shi)軸(zhou)下方積(ji)(ji)分至 +∞ ，而且離(li)實(shi)軸(zhou)的(de)距離(li)及環(huan)繞(rao)原(yuan)(yuan)點的(de)半徑均趨于 0)，按(an)照現代數學記號應(ying)記成：

從這個關系(xi)式中不(bu)難發現，黎曼(man)(man)ζ 函數(shu)在 s=-2n (n 為(wei)正整(zheng)數(shu)） 取值為(wei)零 - 因(yin)為(wei) sin(πs/2) 為(wei)零。復(fu)(fu)平面上的(de)這種(zhong)使黎曼(man)(man)ζ 函數(shu)取值為(wei)零的(de)點(dian)被稱(cheng)為(wei)黎曼(man)(man)ζ 函數(shu)的(de)零點(dian)。因(yin)此 s=-2n （n 為(wei)正整(zheng)數(shu)）是黎曼(man)(man)ζ 函數(shu)的(de)零點(dian)。這些(xie)零點(dian)分布(bu)有序、 性(xing)質(zhi)簡單， 被稱(cheng)為(wei)黎曼(man)(man)ζ 函數(shu)的(de)平凡零點(dian) (trivial zero)。除了(le)這些(xie)平凡零點(dian)外(wai)，黎曼(man)(man)ζ 函數(shu)還(huan)有許多其它(ta)零點(dian)， 它(ta)們的(de)性(xing)質(zhi)遠比那些(xie)平凡零點(dian)來(lai)得復(fu)(fu)雜， 被稱(cheng)為(wei)非平凡零點(dian) (non-trivial zeros)。

黎(li)曼ζ 函數的(de)(de)(de)所有非平(ping)凡(fan)零點都(dou)位于復平(ping)面上(shang) Re(s)=1/2 的(de)(de)(de)直線上(shang)，也即方程ζ(s)=0的(de)(de)(de)解的(de)(de)(de)實部都(dou)是1/2。

在(zai)黎曼(man)(man)猜想(xiang)的(de)研(yan)究中， 數(shu)學家們把復平(ping)面上 Re(s)=1/2 的(de)直線(xian)稱為 critical line（臨界(jie)線(xian)）。運用這一術(shu)語，黎曼(man)(man)猜想(xiang)也可(ke)以表述為：黎曼(man)(man)ζ 函(han)數(shu)的(de)所有非(fei)平(ping)凡(fan)零點都位于 critical line 上。