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背景

（二十世紀世界七大數學難題之一）

世界七大(da)數學(xue)(xue)難題(ti)這(zhe)七個(ge)“千年大(da)獎問(wen)題(ti)”是(shi)：NP完全問(wen)題(ti)、霍奇猜(cai)想、龐加萊猜(cai)想、黎(li)曼假設、楊米爾(er)(er)斯(si)理論、納衛爾(er)(er)-斯(si)托可(ke)方(fang)程、BSD猜(cai)想。美國麻(ma)州(zhou)的(de)克雷（Clay）數學(xue)(xue)研究所于2000年5月24日在巴黎(li)法蘭西學(xue)(xue)院宣(xuan)布了一(yi)(yi)件被(bei)媒體(ti)炒得火熱的(de)大(da)事(shi)：對七個(ge)“千年數學(xue)(xue)難題(ti)”的(de)每一(yi)(yi)個(ge)懸(xuan)賞一(yi)(yi)百(bai)萬美元(yuan)。其中有一(yi)(yi)個(ge)已被(bei)解決（龐加萊猜(cai)想，已由俄羅斯(si)數學(xue)(xue)家格里戈里·佩(pei)雷爾(er)(er)曼破解）。

方程意義

方程建立(li)了流(liu)體(ti)的(de)粒子動量的(de)改變率(lv)(加速度)和(he)作(zuo)用在液體(ti)內部的(de)壓力(li)(li)(li)(li)(li)的(de)變化和(he)耗(hao)散(san)粘滯(zhi)力(li)(li)(li)(li)(li)(類似于(yu)摩擦力(li)(li)(li)(li)(li))以及重力(li)(li)(li)(li)(li)之間(jian)的(de)關(guan)系。這(zhe)些(xie)粘滯(zhi)力(li)(li)(li)(li)(li)產生于(yu)分子的(de)相互作(zuo)用，能告訴我們液體(ti)有多(duo)粘。這(zhe)樣，納(na)維-斯托(tuo)克(ke)斯方程描述作(zuo)用于(yu)液體(ti)任意給定區域的(de)力(li)(li)(li)(li)(li)的(de)動態平衡，這(zhe)在流(liu)體(ti)力(li)(li)(li)(li)(li)學中有十分重要的(de)意義。

它(ta)們是有(you)(you)用的(de)(de)(de)一(yi)組(zu)方程之一(yi)，因為它(ta)們描述了大量對學(xue)術和經(jing)濟有(you)(you)用的(de)(de)(de)現象的(de)(de)(de)物(wu)理過程。它(ta)們可以(yi)用于建模天氣(qi)，洋流，管道中(zhong)的(de)(de)(de)水流，星系中(zhong)恒星的(de)(de)(de)運動，翼型周圍的(de)(de)(de)氣(qi)流。它(ta)們也可以(yi)用于飛行(xing)器和車輛的(de)(de)(de)設計(ji)，血液循環的(de)(de)(de)研究，電(dian)站的(de)(de)(de)設計(ji)，污(wu)染效應的(de)(de)(de)分析，等等。

方程中的奧秘

起伏的(de)(de)波浪跟隨著我(wo)們(men)(men)的(de)(de)正在湖中蜿蜒穿梭的(de)(de)小船(chuan)，湍急的(de)(de)氣流跟隨著我(wo)們(men)(men)的(de)(de)現代噴氣式飛機的(de)(de)飛行。數學家和物理(li)學家深信，無論是微風還(huan)是湍流，都可以(yi)通過理(li)解(jie)納衛爾(er)-斯托可方(fang)程(cheng)的(de)(de)解(jie)，來對(dui)它(ta)們(men)(men)進(jin)行解(jie)釋和預言。雖然(ran)(ran)這些(xie)方(fang)程(cheng)是19世紀寫下的(de)(de)，我(wo)們(men)(men)對(dui)它(ta)們(men)(men)的(de)(de)理(li)解(jie)仍然(ran)(ran)極少。挑戰在于對(dui)數學理(li)論作出(chu)實(shi)質性的(de)(de)進(jin)展(zhan)，使我(wo)們(men)(men)能解(jie)開隱藏在納衛爾(er)-斯托可方(fang)程(cheng)方(fang)程(cheng)中的(de)(de)奧秘。

方程描述

納(na)維(wei)-斯(si)(si)托(tuo)克斯(si)(si)方(fang)(fang)程(cheng)依賴微分方(fang)(fang)程(cheng)來(lai)描述(shu)流(liu)體(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)運動。這(zhe)些方(fang)(fang)程(cheng)，和(he)代數(shu)方(fang)(fang)程(cheng)不(bu)(bu)同，不(bu)(bu)尋(xun)求(qiu)建立所研究的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)變(bian)(bian)(bian)(bian)量(liang)（譬(pi)如速(su)(su)度(du)(du)和(he)壓力）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系，而是建立這(zhe)些量(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)變(bian)(bian)(bian)(bian)化(hua)率(lv)或通量(liang)之間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系。用數(shu)學術語來(lai)講(jiang)，這(zhe)些變(bian)(bian)(bian)(bian)化(hua)率(lv)對(dui)應(ying)于(yu)變(bian)(bian)(bian)(bian)量(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)導數(shu)。這(zhe)樣(yang)，簡單(dan)情(qing)(qing)況的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)0粘滯(zhi)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)想流(liu)體(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)納(na)維(wei)-斯(si)(si)托(tuo)克斯(si)(si)方(fang)(fang)程(cheng)表明(ming)加速(su)(su)度(du)(du)（速(su)(su)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)導數(shu)，或者(zhe)說變(bian)(bian)(bian)(bian)化(hua)率(lv)）是和(he)內部壓力的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)導數(shu)成(cheng)正(zheng)比的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)表示對(dui)于(yu)給定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)物理(li)問題(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)納(na)維(wei)-斯(si)(si)托(tuo)克斯(si)(si)方(fang)(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)解必須用微積(ji)分的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)幫助才能取得。實用上，只有(you)簡單(dan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情(qing)(qing)況才能用這(zhe)種方(fang)(fang)法解答(da)，而它們的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)確(que)切答(da)案是已知的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)些情(qing)(qing)況通常(chang)設計穩(wen)定(ding)態（流(liu)場不(bu)(bu)隨時間變(bian)(bian)(bian)(bian)化(hua)）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)非湍(tuan)流(liu)，其中流(liu)體(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)粘滯(zhi)系數(shu)很(hen)大或者(zhe)其速(su)(su)度(du)(du)很(hen)小（小的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)雷諾數(shu)）。

對于更復雜的情形，例如(ru)厄爾尼諾這(zhe)樣的全(quan)球性氣象系統或機(ji)翼的升力(li)，納(na)維?斯(si)托克斯(si)方程(cheng)的解必須借助(zhu)計算機(ji)。這(zhe)本身是一(yi)個(ge)科學(xue)領域，稱為計算流體力(li)學(xue)。

雖(sui)然湍流是日常經驗中就(jiu)可(ke)以遇到(dao)的，但這類(lei)問題(ti)極難(nan)求解。一個$1,000,000的大獎由克雷數(shu)學(xue)學(xue)院(yuan)于2000年(nian)5月設立，獎給(gei)對(dui)于能夠幫助理(li)解這一現(xian)象的數(shu)學(xue)理(li)論(lun)作出實質性(xing)進展的任何人(ren)。