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背景

（二十世紀世界七(qi)大(da)數學難題之(zhi)一）

世界七大數學難(nan)題(ti)這七個(ge)“千(qian)年大獎問(wen)題(ti)”是：NP完全問(wen)題(ti)、霍奇猜想(xiang)、龐加(jia)萊猜想(xiang)、黎(li)曼(man)假(jia)設、楊(yang)米(mi)爾(er)斯(si)(si)理論、納衛爾(er)-斯(si)(si)托可方程、BSD猜想(xiang)。美國麻(ma)州的克雷（Clay）數學研究(jiu)所于2000年5月24日在巴(ba)黎(li)法蘭西學院宣布了一件(jian)被媒(mei)體炒得火熱的大事：對(dui)七個(ge)“千(qian)年數學難(nan)題(ti)”的每一個(ge)懸賞(shang)一百(bai)萬美元。其中(zhong)有一個(ge)已(yi)被解(jie)決（龐加(jia)萊猜想(xiang)，已(yi)由俄羅斯(si)(si)數學家格里(li)戈里(li)·佩雷爾(er)曼(man)破解(jie)）。

方程意義

方程(cheng)建(jian)立(li)了流(liu)體的(de)粒子動量的(de)改變率(lv)(加速(su)度)和作(zuo)(zuo)用在液(ye)體內部(bu)的(de)壓(ya)力(li)的(de)變化和耗散(san)粘(zhan)滯(zhi)力(li)(類似于摩擦力(li))以及重力(li)之間(jian)的(de)關系。這些粘(zhan)滯(zhi)力(li)產(chan)生于分子的(de)相互作(zuo)(zuo)用，能告訴我們液(ye)體有(you)多粘(zhan)。這樣，納維-斯托(tuo)克斯方程(cheng)描述作(zuo)(zuo)用于液(ye)體任意給定區域(yu)的(de)力(li)的(de)動態平衡，這在流(liu)體力(li)學中有(you)十(shi)分重要(yao)的(de)意義。

它們是有(you)用(yong)的(de)(de)(de)一組方程(cheng)之一，因為(wei)它們描述(shu)了大(da)量(liang)對學術和經濟有(you)用(yong)的(de)(de)(de)現象的(de)(de)(de)物理過程(cheng)。它們可(ke)以用(yong)于建模天氣，洋流(liu)，管道(dao)中(zhong)的(de)(de)(de)水流(liu)，星(xing)系中(zhong)恒星(xing)的(de)(de)(de)運動，翼型(xing)周(zhou)圍的(de)(de)(de)氣流(liu)。它們也可(ke)以用(yong)于飛行(xing)器和車輛的(de)(de)(de)設(she)計(ji)，血(xue)液循(xun)環的(de)(de)(de)研究，電站的(de)(de)(de)設(she)計(ji)，污染效應的(de)(de)(de)分析，等等。

方程中的奧秘

起伏的(de)波浪(lang)跟(gen)隨著我們(men)(men)的(de)正在湖(hu)中蜿蜒(yan)穿梭(suo)的(de)小船，湍急的(de)氣(qi)流跟(gen)隨著我們(men)(men)的(de)現代噴氣(qi)式飛機的(de)飛行。數學家(jia)和物理(li)(li)學家(jia)深信，無論是(shi)微風還是(shi)湍流，都(dou)可以通過理(li)(li)解納衛爾-斯托可方程(cheng)(cheng)(cheng)的(de)解，來對(dui)它們(men)(men)進行解釋和預言。雖然(ran)這些方程(cheng)(cheng)(cheng)是(shi)19世紀寫下的(de)，我們(men)(men)對(dui)它們(men)(men)的(de)理(li)(li)解仍然(ran)極少。挑戰在于對(dui)數學理(li)(li)論作出實質性的(de)進展，使我們(men)(men)能解開隱藏在納衛爾-斯托可方程(cheng)(cheng)(cheng)方程(cheng)(cheng)(cheng)中的(de)奧秘。

方程描述

納維-斯(si)(si)托(tuo)克(ke)斯(si)(si)方(fang)程(cheng)依(yi)賴(lai)微分方(fang)程(cheng)來(lai)描(miao)述流(liu)(liu)(liu)體的(de)(de)(de)運動。這些(xie)方(fang)程(cheng)，和(he)(he)代數(shu)方(fang)程(cheng)不同，不尋求建(jian)立(li)所研(yan)究的(de)(de)(de)變(bian)(bian)量（譬(pi)如速(su)度(du)(du)和(he)(he)壓力）的(de)(de)(de)關系(xi)(xi)，而是(shi)建(jian)立(li)這些(xie)量的(de)(de)(de)變(bian)(bian)化(hua)(hua)率(lv)或(huo)(huo)通量之間的(de)(de)(de)關系(xi)(xi)。用數(shu)學術(shu)語來(lai)講(jiang)，這些(xie)變(bian)(bian)化(hua)(hua)率(lv)對應于變(bian)(bian)量的(de)(de)(de)導數(shu)。這樣，簡單情況的(de)(de)(de)0粘滯度(du)(du)的(de)(de)(de)理想流(liu)(liu)(liu)體的(de)(de)(de)納維-斯(si)(si)托(tuo)克(ke)斯(si)(si)方(fang)程(cheng)表明加速(su)度(du)(du)（速(su)度(du)(du)的(de)(de)(de)導數(shu)，或(huo)(huo)者(zhe)說變(bian)(bian)化(hua)(hua)率(lv)）是(shi)和(he)(he)內部壓力的(de)(de)(de)導數(shu)成正比的(de)(de)(de)。這表示(shi)對于給定(ding)的(de)(de)(de)物(wu)理問題的(de)(de)(de)納維-斯(si)(si)托(tuo)克(ke)斯(si)(si)方(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)解必須用微積分的(de)(de)(de)幫助才能取得。實(shi)用上，只有簡單的(de)(de)(de)情況才能用這種方(fang)法解答，而它們的(de)(de)(de)確(que)切(qie)答案(an)是(shi)已知的(de)(de)(de)。這些(xie)情況通常設計穩定(ding)態（流(liu)(liu)(liu)場不隨時間變(bian)(bian)化(hua)(hua)）的(de)(de)(de)非湍流(liu)(liu)(liu)，其(qi)中流(liu)(liu)(liu)體的(de)(de)(de)粘滯系(xi)(xi)數(shu)很大或(huo)(huo)者(zhe)其(qi)速(su)度(du)(du)很小（小的(de)(de)(de)雷諾數(shu)）。

對于更復(fu)雜的情形，例如厄(e)爾尼諾(nuo)這(zhe)(zhe)樣的全球性氣象系統或機翼(yi)的升(sheng)力(li)，納維?斯托克斯方程的解(jie)必須借助(zhu)計算機。這(zhe)(zhe)本身是(shi)一個科學(xue)領域，稱為計算流體力(li)學(xue)。

雖然湍流是日常經驗中就可以(yi)遇到的，但(dan)這(zhe)類問(wen)題(ti)極難求解(jie)。一(yi)個$1,000,000的大(da)獎由(you)克(ke)雷數學(xue)學(xue)院于2000年(nian)5月設(she)立，獎給(gei)對于能夠(gou)幫(bang)助(zhu)理解(jie)這(zhe)一(yi)現(xian)象的數學(xue)理論(lun)作出實質性進展的任何人。