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背景

（二十世紀世界七大數(shu)學難題之(zhi)一）

世界七(qi)大數(shu)學難題這(zhe)七(qi)個“千(qian)年大獎問題”是：NP完全問題、霍奇猜(cai)想(xiang)(xiang)(xiang)、龐(pang)加萊猜(cai)想(xiang)(xiang)(xiang)、黎(li)曼假設、楊米爾(er)斯理(li)論、納衛爾(er)-斯托可方程、BSD猜(cai)想(xiang)(xiang)(xiang)。美國麻州的(de)(de)克雷（Clay）數(shu)學研究(jiu)所于2000年5月24日(ri)在巴黎(li)法蘭西學院宣(xuan)布了一件被(bei)媒體炒(chao)得火熱(re)的(de)(de)大事(shi)：對七(qi)個“千(qian)年數(shu)學難題”的(de)(de)每一個懸賞(shang)一百萬(wan)美元。其(qi)中有一個已(yi)被(bei)解(jie)(jie)決（龐(pang)加萊猜(cai)想(xiang)(xiang)(xiang)，已(yi)由(you)俄(e)羅斯數(shu)學家格(ge)里戈里·佩(pei)雷爾(er)曼破(po)解(jie)(jie)）。

方程意義

方程建(jian)立(li)了流(liu)體的(de)粒子動量的(de)改變(bian)率(加(jia)速(su)度)和(he)作用(yong)在(zai)液體內部的(de)壓力(li)的(de)變(bian)化和(he)耗散粘滯力(li)(類(lei)似于摩擦力(li))以及重力(li)之間的(de)關(guan)系。這(zhe)些粘滯力(li)產生于分子的(de)相(xiang)互作用(yong)，能(neng)告訴我們(men)液體有多粘。這(zhe)樣，納維(wei)-斯(si)托克斯(si)方程描述作用(yong)于液體任意給定區域的(de)力(li)的(de)動態(tai)平衡，這(zhe)在(zai)流(liu)體力(li)學中有十分重要(yao)的(de)意義。

它(ta)(ta)(ta)們(men)(men)是有用(yong)的(de)一組(zu)方(fang)程之一，因為(wei)它(ta)(ta)(ta)們(men)(men)描述(shu)了大量對學(xue)術和經濟有用(yong)的(de)現象的(de)物理過程。它(ta)(ta)(ta)們(men)(men)可(ke)以(yi)用(yong)于(yu)建模天氣(qi)，洋流(liu)，管道中(zhong)的(de)水流(liu)，星(xing)系(xi)中(zhong)恒星(xing)的(de)運動，翼(yi)型周圍的(de)氣(qi)流(liu)。它(ta)(ta)(ta)們(men)(men)也可(ke)以(yi)用(yong)于(yu)飛(fei)行器(qi)和車(che)輛的(de)設(she)計，血(xue)液循環的(de)研究，電(dian)站(zhan)的(de)設(she)計，污染(ran)效應的(de)分析，等等。

方程中的奧秘

起伏的(de)波(bo)浪跟隨著我(wo)們的(de)正在(zai)湖中(zhong)(zhong)蜿蜒穿梭的(de)小船(chuan)，湍(tuan)急的(de)氣(qi)流跟隨著我(wo)們的(de)現代噴(pen)氣(qi)式飛機(ji)的(de)飛行(xing)。數學(xue)家(jia)和物理學(xue)家(jia)深信，無論(lun)是微風還是湍(tuan)流，都可(ke)以通(tong)過(guo)理解納(na)(na)衛爾(er)-斯托可(ke)方程(cheng)的(de)解，來對它(ta)(ta)們進行(xing)解釋和預言。雖然這些方程(cheng)是19世紀寫下(xia)的(de)，我(wo)們對它(ta)(ta)們的(de)理解仍然極少。挑戰在(zai)于對數學(xue)理論(lun)作(zuo)出實質性的(de)進展，使(shi)我(wo)們能解開隱藏在(zai)納(na)(na)衛爾(er)-斯托可(ke)方程(cheng)方程(cheng)中(zhong)(zhong)的(de)奧(ao)秘。

方程描述

納(na)維(wei)-斯(si)托克(ke)斯(si)方程(cheng)依賴(lai)微(wei)分(fen)方程(cheng)來描述(shu)流(liu)(liu)(liu)體(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)運動。這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)方程(cheng)，和代數方程(cheng)不(bu)同(tong)，不(bu)尋求(qiu)建(jian)立所研究的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)變(bian)(bian)(bian)量（譬如速度和壓力(li)）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系(xi)，而(er)是(shi)(shi)建(jian)立這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)變(bian)(bian)(bian)化(hua)率或(huo)通量之(zhi)間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系(xi)。用(yong)(yong)數學(xue)術(shu)語(yu)來講，這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)變(bian)(bian)(bian)化(hua)率對應于變(bian)(bian)(bian)量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)導(dao)數。這(zhe)(zhe)(zhe)樣，簡單情(qing)況的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)0粘滯(zhi)(zhi)度的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)(li)想流(liu)(liu)(liu)體(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)納(na)維(wei)-斯(si)托克(ke)斯(si)方程(cheng)表明加速度（速度的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)導(dao)數，或(huo)者說(shuo)變(bian)(bian)(bian)化(hua)率）是(shi)(shi)和內部壓力(li)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)導(dao)數成(cheng)正(zheng)比(bi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)(zhe)(zhe)表示對于給(gei)定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)物理(li)(li)問題的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)納(na)維(wei)-斯(si)托克(ke)斯(si)方程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)解必(bi)須用(yong)(yong)微(wei)積分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)幫助才能(neng)(neng)取得(de)。實用(yong)(yong)上，只(zhi)有簡單的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情(qing)況才能(neng)(neng)用(yong)(yong)這(zhe)(zhe)(zhe)種方法解答，而(er)它們的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)確切答案是(shi)(shi)已知(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)情(qing)況通常設計穩定態（流(liu)(liu)(liu)場不(bu)隨時間變(bian)(bian)(bian)化(hua)）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)非湍流(liu)(liu)(liu)，其中流(liu)(liu)(liu)體(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)粘滯(zhi)(zhi)系(xi)數很大或(huo)者其速度很小（小的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)雷諾數）。

對于更復雜的(de)(de)情(qing)形(xing)，例如厄爾尼諾這(zhe)樣的(de)(de)全球性氣象(xiang)系統或機翼的(de)(de)升力(li)，納維(wei)?斯(si)托克斯(si)方(fang)程的(de)(de)解必(bi)須借(jie)助計算(suan)機。這(zhe)本身是一(yi)個科學(xue)領域，稱為(wei)計算(suan)流(liu)體力(li)學(xue)。

雖(sui)然湍流是日常經驗(yan)中就可以(yi)遇到(dao)的(de)，但這(zhe)類問題極難(nan)求解。一個$1,000,000的(de)大(da)獎由(you)克(ke)雷數(shu)(shu)學(xue)學(xue)院于2000年5月設立(li)，獎給對(dui)于能夠幫(bang)助理解這(zhe)一現象的(de)數(shu)(shu)學(xue)理論作出實質(zhi)性進(jin)展的(de)任何人。