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背景

（二十世紀(ji)世界(jie)七大數學難題之一）

世界七大數(shu)學(xue)(xue)(xue)難題(ti)這七個(ge)(ge)“千年(nian)(nian)(nian)大獎問題(ti)”是：NP完全問題(ti)、霍奇猜(cai)(cai)想(xiang)(xiang)、龐加萊猜(cai)(cai)想(xiang)(xiang)、黎曼假設、楊米(mi)爾(er)斯(si)理論、納衛爾(er)-斯(si)托可方程、BSD猜(cai)(cai)想(xiang)(xiang)。美(mei)國麻州的(de)克雷(lei)（Clay）數(shu)學(xue)(xue)(xue)研(yan)究所于2000年(nian)(nian)(nian)5月24日在巴黎法蘭(lan)西學(xue)(xue)(xue)院(yuan)宣布了(le)一件被媒體炒(chao)得火(huo)熱的(de)大事：對七個(ge)(ge)“千年(nian)(nian)(nian)數(shu)學(xue)(xue)(xue)難題(ti)”的(de)每一個(ge)(ge)懸(xuan)賞(shang)一百(bai)萬美(mei)元。其中有一個(ge)(ge)已被解決（龐加萊猜(cai)(cai)想(xiang)(xiang)，已由俄羅(luo)斯(si)數(shu)學(xue)(xue)(xue)家(jia)格(ge)里戈里·佩雷(lei)爾(er)曼破(po)解）。

方程意義

方程(cheng)(cheng)建立了流體(ti)的粒子(zi)動量(liang)的改變率(lv)(加(jia)速度(du))和(he)作(zuo)用在(zai)液體(ti)內部的壓力(li)(li)(li)的變化和(he)耗散粘(zhan)滯力(li)(li)(li)(類似(si)于(yu)(yu)摩擦力(li)(li)(li))以(yi)及重(zhong)力(li)(li)(li)之間的關系。這些粘(zhan)滯力(li)(li)(li)產(chan)生于(yu)(yu)分(fen)子(zi)的相互(hu)作(zuo)用，能告訴我(wo)們液體(ti)有多(duo)粘(zhan)。這樣，納維-斯(si)托克斯(si)方程(cheng)(cheng)描述作(zuo)用于(yu)(yu)液體(ti)任意給定(ding)區域的力(li)(li)(li)的動態平衡(heng)，這在(zai)流體(ti)力(li)(li)(li)學中有十(shi)分(fen)重(zhong)要的意義。

它(ta)們是(shi)有(you)(you)用(yong)的一組方程(cheng)之一，因為它(ta)們描述(shu)了大量對學術和經濟有(you)(you)用(yong)的現象的物理過程(cheng)。它(ta)們可以用(yong)于建模天(tian)氣(qi)，洋流，管(guan)道中的水(shui)流，星(xing)系中恒星(xing)的運(yun)動，翼型周(zhou)圍(wei)的氣(qi)流。它(ta)們也可以用(yong)于飛(fei)行器和車輛的設計，血(xue)液循環的研究，電站(zhan)的設計，污染效應的分析，等等。

方程中的奧秘

起伏(fu)的(de)波浪跟隨著我(wo)們(men)的(de)正在(zai)湖中(zhong)蜿(wan)蜒穿梭(suo)的(de)小船，湍(tuan)急的(de)氣流跟隨著我(wo)們(men)的(de)現代噴氣式(shi)飛機的(de)飛行。數(shu)學家和物理學家深信，無(wu)論是微(wei)風(feng)還(huan)是湍(tuan)流，都可(ke)以(yi)通過理解納(na)衛(wei)爾(er)-斯托可(ke)方(fang)(fang)程的(de)解，來對它(ta)們(men)進(jin)行解釋和預(yu)言。雖然這(zhe)些方(fang)(fang)程是19世紀寫下的(de)，我(wo)們(men)對它(ta)們(men)的(de)理解仍然極少(shao)。挑戰在(zai)于對數(shu)學理論作出實質性的(de)進(jin)展，使我(wo)們(men)能解開隱藏在(zai)納(na)衛(wei)爾(er)-斯托可(ke)方(fang)(fang)程方(fang)(fang)程中(zhong)的(de)奧秘。

方程描述

納(na)維-斯(si)(si)托克(ke)斯(si)(si)方(fang)程依賴微(wei)(wei)分方(fang)程來描(miao)述流(liu)(liu)體的(de)(de)(de)(de)(de)運動。這些(xie)方(fang)程，和代數(shu)方(fang)程不(bu)同，不(bu)尋求(qiu)建(jian)立所(suo)研究的(de)(de)(de)(de)(de)變(bian)量（譬如速(su)(su)度(du)(du)和壓力(li)）的(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi)，而是(shi)建(jian)立這些(xie)量的(de)(de)(de)(de)(de)變(bian)化(hua)率或(huo)通(tong)量之間的(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi)。用數(shu)學術語來講(jiang)，這些(xie)變(bian)化(hua)率對應于變(bian)量的(de)(de)(de)(de)(de)導(dao)(dao)數(shu)。這樣，簡單(dan)情(qing)況(kuang)的(de)(de)(de)(de)(de)0粘滯度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)理想流(liu)(liu)體的(de)(de)(de)(de)(de)納(na)維-斯(si)(si)托克(ke)斯(si)(si)方(fang)程表明加速(su)(su)度(du)(du)（速(su)(su)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)導(dao)(dao)數(shu)，或(huo)者(zhe)(zhe)說變(bian)化(hua)率）是(shi)和內(nei)部壓力(li)的(de)(de)(de)(de)(de)導(dao)(dao)數(shu)成正比的(de)(de)(de)(de)(de)。這表示對于給定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)物理問題的(de)(de)(de)(de)(de)納(na)維-斯(si)(si)托克(ke)斯(si)(si)方(fang)程的(de)(de)(de)(de)(de)解必(bi)須(xu)用微(wei)(wei)積分的(de)(de)(de)(de)(de)幫助才(cai)能(neng)取(qu)得。實用上，只有簡單(dan)的(de)(de)(de)(de)(de)情(qing)況(kuang)才(cai)能(neng)用這種方(fang)法解答，而它們的(de)(de)(de)(de)(de)確(que)切答案是(shi)已(yi)知的(de)(de)(de)(de)(de)。這些(xie)情(qing)況(kuang)通(tong)常設(she)計穩(wen)定(ding)態（流(liu)(liu)場不(bu)隨(sui)時(shi)間變(bian)化(hua)）的(de)(de)(de)(de)(de)非湍流(liu)(liu)，其中(zhong)流(liu)(liu)體的(de)(de)(de)(de)(de)粘滯系(xi)(xi)數(shu)很(hen)大或(huo)者(zhe)(zhe)其速(su)(su)度(du)(du)很(hen)小（小的(de)(de)(de)(de)(de)雷諾數(shu)）。

對于更復(fu)雜的情形，例(li)如厄(e)爾尼(ni)諾這樣(yang)的全球性氣象(xiang)系統(tong)或機(ji)翼的升力，納(na)維?斯托克(ke)斯方程的解必須借助計算機(ji)。這本身(shen)是一個科學(xue)領域，稱為計算流體力學(xue)。

雖然湍流是日常經驗中就可以(yi)遇(yu)到的，但這類問題極難(nan)求解。一(yi)個$1,000,000的大獎由(you)克(ke)雷數學(xue)學(xue)院于2000年5月設立，獎給對于能夠幫助理(li)解這一(yi)現象的數學(xue)理(li)論作出實質(zhi)性進(jin)展的任何人。