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背景

（二(er)十世(shi)紀世(shi)界七大(da)數學難題之(zhi)一(yi)）

世界(jie)七(qi)大數學(xue)難(nan)題(ti)這七(qi)個(ge)(ge)“千年大獎問(wen)題(ti)”是：NP完(wan)全問(wen)題(ti)、霍奇(qi)猜(cai)想、龐加萊猜(cai)想、黎(li)曼(man)假設、楊米爾斯(si)理論、納衛爾-斯(si)托可方程、BSD猜(cai)想。美國麻州(zhou)的(de)克雷（Clay）數學(xue)研究所(suo)于(yu)2000年5月24日在巴黎(li)法(fa)蘭西學(xue)院宣布了一(yi)件被媒體(ti)炒得火熱的(de)大事：對(dui)七(qi)個(ge)(ge)“千年數學(xue)難(nan)題(ti)”的(de)每一(yi)個(ge)(ge)懸賞一(yi)百(bai)萬(wan)美元。其中(zhong)有一(yi)個(ge)(ge)已(yi)(yi)被解決（龐加萊猜(cai)想，已(yi)(yi)由俄羅(luo)斯(si)數學(xue)家格里(li)戈里(li)·佩雷爾曼(man)破解）。

方程意義

方程建立(li)了(le)流體(ti)(ti)的粒子動量的改變率(加速度(du))和作用(yong)在(zai)液(ye)體(ti)(ti)內部的壓力(li)的變化和耗(hao)散粘(zhan)滯(zhi)力(li)(類似于(yu)(yu)摩擦(ca)力(li))以及重力(li)之間的關(guan)系。這些(xie)粘(zhan)滯(zhi)力(li)產生于(yu)(yu)分(fen)子的相(xiang)互作用(yong)，能告訴我(wo)們液(ye)體(ti)(ti)有(you)多粘(zhan)。這樣，納維-斯(si)托(tuo)克斯(si)方程描述(shu)作用(yong)于(yu)(yu)液(ye)體(ti)(ti)任(ren)意給定(ding)區(qu)域的力(li)的動態平衡，這在(zai)流體(ti)(ti)力(li)學(xue)中(zhong)有(you)十(shi)分(fen)重要的意義。

它們(men)是(shi)有用(yong)的(de)(de)一(yi)組方程之一(yi)，因為它們(men)描述了大量對學術和經(jing)濟(ji)有用(yong)的(de)(de)現象的(de)(de)物理過(guo)程。它們(men)可以用(yong)于建(jian)模天氣，洋流，管道中的(de)(de)水流，星系中恒星的(de)(de)運(yun)動(dong)，翼型(xing)周(zhou)圍(wei)的(de)(de)氣流。它們(men)也可以用(yong)于飛行器(qi)和車輛的(de)(de)設(she)計(ji)，血(xue)液(ye)循環的(de)(de)研(yan)究(jiu)，電站的(de)(de)設(she)計(ji)，污染效應的(de)(de)分析，等等。

方程中的奧秘

起(qi)伏(fu)的(de)波(bo)浪跟隨著(zhu)我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)的(de)正在湖中蜿蜒穿梭(suo)的(de)小船，湍(tuan)急的(de)氣流(liu)跟隨著(zhu)我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)的(de)現代(dai)噴氣式(shi)飛機的(de)飛行。數學家和物理學家深(shen)信，無(wu)論是(shi)微風還是(shi)湍(tuan)流(liu)，都可以通過理解納(na)衛爾(er)-斯托(tuo)可方(fang)程(cheng)的(de)解，來(lai)對它們(men)(men)進行解釋和預言。雖然這些方(fang)程(cheng)是(shi)19世(shi)紀寫下的(de)，我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)對它們(men)(men)的(de)理解仍然極少。挑戰在于對數學理論作(zuo)出實(shi)質性的(de)進展，使我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)能解開隱藏在納(na)衛爾(er)-斯托(tuo)可方(fang)程(cheng)方(fang)程(cheng)中的(de)奧秘。

方程描述

納維-斯托(tuo)(tuo)克(ke)斯方(fang)程(cheng)依賴微分方(fang)程(cheng)來描述流(liu)體(ti)的(de)(de)運動。這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)方(fang)程(cheng)，和代數(shu)方(fang)程(cheng)不(bu)同，不(bu)尋求建立所(suo)研究的(de)(de)變(bian)量(liang)（譬如速(su)度和壓力）的(de)(de)關系，而是(shi)(shi)建立這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)量(liang)的(de)(de)變(bian)化(hua)率或(huo)通(tong)量(liang)之(zhi)間(jian)的(de)(de)關系。用(yong)(yong)數(shu)學(xue)術語來講(jiang)，這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)變(bian)化(hua)率對(dui)應于(yu)變(bian)量(liang)的(de)(de)導(dao)數(shu)。這(zhe)(zhe)(zhe)樣(yang)，簡(jian)單(dan)情(qing)況的(de)(de)0粘滯度的(de)(de)理想(xiang)流(liu)體(ti)的(de)(de)納維-斯托(tuo)(tuo)克(ke)斯方(fang)程(cheng)表明加速(su)度（速(su)度的(de)(de)導(dao)數(shu)，或(huo)者說變(bian)化(hua)率）是(shi)(shi)和內部壓力的(de)(de)導(dao)數(shu)成正比的(de)(de)。這(zhe)(zhe)(zhe)表示對(dui)于(yu)給定的(de)(de)物理問題的(de)(de)納維-斯托(tuo)(tuo)克(ke)斯方(fang)程(cheng)的(de)(de)解必須用(yong)(yong)微積分的(de)(de)幫助才(cai)能取得。實(shi)用(yong)(yong)上，只有簡(jian)單(dan)的(de)(de)情(qing)況才(cai)能用(yong)(yong)這(zhe)(zhe)(zhe)種方(fang)法(fa)解答(da)(da)，而它們的(de)(de)確(que)切答(da)(da)案是(shi)(shi)已知的(de)(de)。這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)情(qing)況通(tong)常(chang)設計穩(wen)定態（流(liu)場不(bu)隨時間(jian)變(bian)化(hua)）的(de)(de)非湍流(liu)，其(qi)中(zhong)流(liu)體(ti)的(de)(de)粘滯系數(shu)很大(da)或(huo)者其(qi)速(su)度很小(xiao)（小(xiao)的(de)(de)雷(lei)諾數(shu)）。

對(dui)于(yu)更復雜的情(qing)形，例如(ru)厄(e)爾尼(ni)諾這樣(yang)的全球性氣象系統或機翼的升力，納維?斯(si)托克斯(si)方(fang)程的解必須借助計(ji)算機。這本身是一個科學(xue)領域，稱為(wei)計(ji)算流體力學(xue)。

雖然湍流是日(ri)常經驗中就可以遇到的(de)(de)，但這(zhe)類問題極難求(qiu)解。一(yi)個(ge)$1,000,000的(de)(de)大獎由(you)克雷數(shu)學學院于(yu)(yu)2000年5月設立，獎給對于(yu)(yu)能夠幫助理(li)解這(zhe)一(yi)現象的(de)(de)數(shu)學理(li)論作出實質性進展的(de)(de)任(ren)何人。