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猜想陳述

給定一個整體域上的(de)阿貝(bei)爾(er)簇，猜想(xiang)它的(de)莫代(dai)爾(er)群的(de)秩等(deng)于它的(de)L函(han)數(shu)在1處(chu)的(de)零點階數(shu)，且它的(de)L函(han)數(shu)在1處(chu)的(de)泰勒展(zhan)開的(de)首項系數(shu)與莫代(dai)爾(er)群的(de)有限(xian)部(bu)分(fen)大(da)小、自由部(bu)分(fen)體積、所有素位的(de)周期(qi)以及沙群有精確(que)的(de)等(deng)式關系。

前(qian)半部分(fen)通常稱為弱BSD猜(cai)想。BSD猜(cai)想是分(fen)圓域的(de)類數公式的(de)推廣。格羅斯提(ti)出了一個細化的(de)BSD猜(cai)想。布(bu)洛克和加藤(teng)提(ti)出了更一般的(de)對于motif的(de)Bloch-Kato猜(cai)想。

已知結果

BSD猜(cai)想(xiang)的陳述(shu)依賴于莫代爾定理：整體域(yu)上(shang)的阿(a)貝爾簇的有理點形成一個有限生成交換群。精確的部(bu)分依賴于沙群的有限性猜(cai)想(xiang)。

對于解(jie)析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，并且精確的BSD猜想在2以外均成(cheng)立(li)。

對于解析(xi)秩為1的情形(xing)，Gross，Zagier等人(ren)證明了(le)弱(ruo)BSD猜想，并且(qie)精確的BSD猜想在2和導子(zi)以外均成立。

猜想的推論

由BSD猜(cai)(cai)想可(ke)以推(tui)出奇偶(ou)性猜(cai)(cai)想、西爾維斯特等(deng)很多(duo)猜(cai)(cai)想。其中著名的是與(yu)同(tong)余數問題的關系，從BSD猜(cai)(cai)想可(ke)以推(tui)出模8余5，6，7的無平方因子的正整數一(yi)定可(ke)以成為某個(ge)有理邊長直角(jiao)三角(jiao)形的面積。