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猜想陳述

給定一(yi)個整體域上(shang)的(de)阿貝爾簇，猜想它(ta)的(de)莫(mo)代爾群的(de)秩(zhi)等于它(ta)的(de)L函數(shu)(shu)在1處的(de)零點階(jie)數(shu)(shu)，且它(ta)的(de)L函數(shu)(shu)在1處的(de)泰(tai)勒展開的(de)首項系數(shu)(shu)與(yu)莫(mo)代爾群的(de)有(you)限部分(fen)大小、自由部分(fen)體積(ji)、所有(you)素位的(de)周期以及(ji)沙群有(you)精確(que)的(de)等式關系。

前半部分(fen)通常稱為(wei)弱BSD猜想(xiang)。BSD猜想(xiang)是(shi)分(fen)圓域的(de)類數(shu)公(gong)式(shi)的(de)推廣。格(ge)羅(luo)斯提出了(le)一個細化(hua)的(de)BSD猜想(xiang)。布(bu)洛(luo)克和加藤提出了(le)更一般(ban)的(de)對于(yu)motif的(de)Bloch-Kato猜想(xiang)。

已知結果

BSD猜(cai)想(xiang)的陳述依賴(lai)于莫代(dai)爾(er)定理(li)(li)：整體(ti)域上的阿貝爾(er)簇的有理(li)(li)點形成一個(ge)有限(xian)生成交換群。精確的部分依賴(lai)于沙群的有限(xian)性猜(cai)想(xiang)。

對于解析秩(zhi)為0的(de)情(qing)形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了(le)弱BSD猜想，并且精(jing)確的(de)BSD猜想在2以外均(jun)成立。

對于解析(xi)秩為1的(de)情(qing)形，Gross，Zagier等(deng)人(ren)證明了弱(ruo)BSD猜想(xiang)，并且精確的(de)BSD猜想(xiang)在(zai)2和導子以外(wai)均成立。

猜想的推論

由BSD猜(cai)想可(ke)以推(tui)出(chu)奇(qi)偶性猜(cai)想、西(xi)爾維(wei)斯特等很(hen)多猜(cai)想。其中著名(ming)的(de)是(shi)與同余數問題的(de)關系，從BSD猜(cai)想可(ke)以推(tui)出(chu)模8余5，6，7的(de)無平方(fang)因子的(de)正(zheng)整數一定可(ke)以成為(wei)某個有理邊長直角(jiao)三角(jiao)形的(de)面(mian)積。