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猜想陳述

給(gei)定(ding)一個整(zheng)體域上的(de)阿貝爾簇，猜想(xiang)它的(de)莫(mo)代爾群的(de)秩等于它的(de)L函數(shu)在1處的(de)零點階數(shu)，且它的(de)L函數(shu)在1處的(de)泰勒展(zhan)開的(de)首項系(xi)數(shu)與莫(mo)代爾群的(de)有限部(bu)分(fen)大小(xiao)、自由部(bu)分(fen)體積、所有素(su)位的(de)周期以及沙群有精(jing)確的(de)等式關(guan)系(xi)。

前半部分(fen)通(tong)常稱(cheng)為弱BSD猜想(xiang)。BSD猜想(xiang)是分(fen)圓域的(de)類數公(gong)式的(de)推廣。格羅斯(si)提(ti)(ti)出(chu)了(le)一個(ge)細化(hua)的(de)BSD猜想(xiang)。布洛克和加(jia)藤提(ti)(ti)出(chu)了(le)更一般的(de)對于motif的(de)Bloch-Kato猜想(xiang)。

已知結果

BSD猜(cai)想(xiang)的(de)陳述依(yi)賴于(yu)莫代爾定理：整(zheng)體域上(shang)的(de)阿貝爾簇的(de)有理點形成一(yi)個有限生成交換群。精確的(de)部分依(yi)賴于(yu)沙群的(de)有限性(xing)猜(cai)想(xiang)。

對(dui)于解(jie)析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等(deng)人證明(ming)了弱BSD猜想(xiang)，并且精確的BSD猜想(xiang)在(zai)2以(yi)外均成立。

對于解(jie)析秩為1的情形，Gross，Zagier等人(ren)證明(ming)了弱BSD猜想(xiang)，并且精確的BSD猜想(xiang)在(zai)2和導子以外均(jun)成(cheng)立。

猜想的推論

由(you)BSD猜想可以(yi)(yi)推(tui)(tui)出奇偶性猜想、西爾維斯特等(deng)很多猜想。其中著名的是與同(tong)余(yu)數問(wen)題的關系(xi)，從BSD猜想可以(yi)(yi)推(tui)(tui)出模8余(yu)5，6，7的無平(ping)方因子的正整數一定可以(yi)(yi)成為某(mou)個有理(li)邊長直角三角形的面積。