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猜想陳述

給定一(yi)個整(zheng)體域上的(de)(de)阿貝爾(er)(er)簇，猜想它的(de)(de)莫代爾(er)(er)群的(de)(de)秩等于它的(de)(de)L函(han)數(shu)在1處(chu)的(de)(de)零點階數(shu)，且它的(de)(de)L函(han)數(shu)在1處(chu)的(de)(de)泰勒展開(kai)的(de)(de)首項系(xi)數(shu)與莫代爾(er)(er)群的(de)(de)有(you)限部(bu)分大小、自由部(bu)分體積(ji)、所有(you)素位的(de)(de)周(zhou)期(qi)以及(ji)沙群有(you)精確的(de)(de)等式關系(xi)。

前半部分(fen)(fen)通常稱(cheng)為弱BSD猜(cai)(cai)想(xiang)(xiang)。BSD猜(cai)(cai)想(xiang)(xiang)是分(fen)(fen)圓域的(de)(de)類數公式的(de)(de)推廣。格羅斯提(ti)出了一個細化的(de)(de)BSD猜(cai)(cai)想(xiang)(xiang)。布洛(luo)克和加藤提(ti)出了更(geng)一般的(de)(de)對于(yu)motif的(de)(de)Bloch-Kato猜(cai)(cai)想(xiang)(xiang)。

已知結果

BSD猜想(xiang)的陳述(shu)依賴于莫代爾定理：整體(ti)域上的阿貝爾簇的有(you)理點形(xing)成一個(ge)有(you)限生(sheng)成交換(huan)群(qun)。精確的部分(fen)依賴于沙群(qun)的有(you)限性(xing)猜想(xiang)。

對于解析秩為(wei)0的情(qing)形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證(zheng)明了弱BSD猜(cai)想(xiang)，并且精確的BSD猜(cai)想(xiang)在(zai)2以外(wai)均成立。

對于解(jie)析秩為(wei)1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想，并且精確(que)的BSD猜想在2和導子以外(wai)均(jun)成立。

猜想的推論

由BSD猜(cai)(cai)想可(ke)以(yi)推出(chu)奇偶性猜(cai)(cai)想、西(xi)爾維斯特等很(hen)多猜(cai)(cai)想。其中著名的是與同余數問題的關系，從BSD猜(cai)(cai)想可(ke)以(yi)推出(chu)模8余5，6，7的無平方(fang)因(yin)子的正整數一(yi)定(ding)可(ke)以(yi)成為某個有理邊長直角三角形的面(mian)積。