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猜想陳述

給定一(yi)個整體域上的(de)(de)阿貝爾簇，猜想它(ta)的(de)(de)莫(mo)(mo)代爾群(qun)的(de)(de)秩等于它(ta)的(de)(de)L函數(shu)(shu)在(zai)1處(chu)的(de)(de)零點階數(shu)(shu)，且它(ta)的(de)(de)L函數(shu)(shu)在(zai)1處(chu)的(de)(de)泰勒(le)展(zhan)開(kai)的(de)(de)首項系數(shu)(shu)與(yu)莫(mo)(mo)代爾群(qun)的(de)(de)有(you)(you)限部分大(da)小、自由部分體積(ji)、所有(you)(you)素位的(de)(de)周期以及沙群(qun)有(you)(you)精確(que)的(de)(de)等式關系。

前半部(bu)分通常稱為弱BSD猜想(xiang)。BSD猜想(xiang)是分圓(yuan)域的(de)(de)類數公式的(de)(de)推廣。格羅斯提出了一個細化的(de)(de)BSD猜想(xiang)。布(bu)洛克(ke)和(he)加藤提出了更一般(ban)的(de)(de)對(dui)于motif的(de)(de)Bloch-Kato猜想(xiang)。

已知結果

BSD猜想的(de)(de)(de)陳(chen)述依賴(lai)于莫代爾定理：整體(ti)域上的(de)(de)(de)阿貝爾簇的(de)(de)(de)有理點形成一(yi)個(ge)有限(xian)生成交換(huan)群(qun)。精確的(de)(de)(de)部分依賴(lai)于沙群(qun)的(de)(de)(de)有限(xian)性猜想。

對于解析秩(zhi)為0的(de)情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等(deng)人證(zheng)明了弱BSD猜想(xiang)，并且精確的(de)BSD猜想(xiang)在(zai)2以外均成立。

對于解(jie)析秩為1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱(ruo)BSD猜想，并(bing)且精確的BSD猜想在2和導子以外(wai)均成立。

猜想的推論

由BSD猜(cai)想可(ke)以推出奇(qi)偶性猜(cai)想、西爾(er)維斯(si)特等(deng)很多(duo)猜(cai)想。其中著名的(de)(de)是與(yu)同余數問(wen)題的(de)(de)關系，從BSD猜(cai)想可(ke)以推出模8余5，6，7的(de)(de)無平方因(yin)子(zi)的(de)(de)正整數一(yi)定可(ke)以成為(wei)某個有(you)理邊長直角三(san)角形(xing)的(de)(de)面積。