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猜想陳述

給(gei)定一個整體(ti)域(yu)上的(de)阿(a)貝爾(er)簇(cu)，猜想(xiang)它(ta)的(de)莫(mo)代爾(er)群的(de)秩(zhi)等(deng)于(yu)它(ta)的(de)L函(han)數在1處的(de)零點(dian)階(jie)數，且它(ta)的(de)L函(han)數在1處的(de)泰勒(le)展開的(de)首項系數與莫(mo)代爾(er)群的(de)有限部(bu)分大小、自由部(bu)分體(ti)積、所有素(su)位的(de)周(zhou)期以(yi)及(ji)沙群有精確的(de)等(deng)式關(guan)系。

前(qian)半(ban)部分通常稱為弱BSD猜想(xiang)。BSD猜想(xiang)是分圓域的類(lei)數(shu)公式的推(tui)廣(guang)。格羅斯提出了(le)一(yi)個細化的BSD猜想(xiang)。布洛克和(he)加藤提出了(le)更(geng)一(yi)般的對于(yu)motif的Bloch-Kato猜想(xiang)。

已知結果

BSD猜想的陳述(shu)依賴于莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有(you)理點形成(cheng)一個有(you)限(xian)生(sheng)成(cheng)交換群(qun)。精確的部分依賴于沙群(qun)的有(you)限(xian)性猜想。

對于解(jie)析(xi)秩為(wei)0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證(zheng)明了弱BSD猜(cai)想，并且精確的BSD猜(cai)想在(zai)2以外均成立(li)。

對于解析秩為(wei)1的情形，Gross，Zagier等人(ren)證(zheng)明了弱BSD猜(cai)想，并且精確的BSD猜(cai)想在2和導子以(yi)外均成立。

猜想的推論

由(you)BSD猜想可以(yi)(yi)推出(chu)奇偶性猜想、西爾(er)維(wei)斯(si)特等很(hen)多猜想。其中著名的(de)是與同余(yu)數問題的(de)關系，從BSD猜想可以(yi)(yi)推出(chu)模8余(yu)5，6，7的(de)無平方因子的(de)正整數一定可以(yi)(yi)成為某個有(you)理邊(bian)長(chang)直角三角形的(de)面積。