《九(jiu)章算術(shu)》是(shi)中國古代(dai)張蒼、耿壽昌所(suo)撰寫的(de)(de)一部(bu)數學專著。是(shi)《算經(jing)十書》中最重要(yao)的(de)(de)一部(bu)，成于公元一世紀(ji)左(zuo)右。其作(zuo)者已不可考。一般認(ren)為(wei)它是(shi)經(jing)歷代(dai)各家(jia)的(de)(de)增補修訂，而逐(zhu)漸成為(wei)現今(jin)定本的(de)(de)，西(xi)漢的(de)(de)張蒼、耿壽昌曾經(jing)做過(guo)增補和整理(li)，其時(shi)大體已成定本。最后(hou)成書最遲在東漢前(qian)期，現今(jin)流傳的(de)(de)大多是(shi)在三(san)國時(shi)期魏元帝(di)景元四年(nian)（263年(nian)），劉(liu)徽為(wei)《九(jiu)章》所(suo)作(zuo)的(de)(de)注本。
《九章算(suan)術》內容十分(fen)豐富，全書總(zong)結(jie)了(le)戰國(guo)、秦、漢時(shi)期(qi)的(de)數學成就。同時(shi)，《九章算(suan)術》在(zai)(zai)數學上還有(you)(you)其(qi)獨到的(de)成就，不僅最早(zao)提到分(fen)數問(wen)題，也首(shou)先記錄了(le)盈(ying)不足等(deng)問(wen)題，《方(fang)程》章還在(zai)(zai)世界數學史上首(shou)次闡述了(le)負數及其(qi)加減運(yun)算(suan)法則。它是一本綜合性的(de)歷史著作(zuo)，是當時(shi)世界上最簡練有(you)(you)效的(de)應(ying)用數學，它的(de)出現標(biao)志中(zhong)國(guo)古代數學形成了(le)完整的(de)體系。
2020年(nian)4月，列(lie)入《教(jiao)育部基礎教(jiao)育課程(cheng)教(jiao)材(cai)發展(zhan)中(zhong)心中(zhong)小學生閱(yue)讀指導目(mu)錄（2020年(nian)版）》初中(zhong)段(duan)。
《九章(zhang)算術(shu)(shu)》的內容十分(fen)豐富，全書(shu)采用問(wen)(wen)題(ti)(ti)集(ji)的形式，收有246個(ge)與生產(chan)、生活實踐有聯系的應(ying)用問(wen)(wen)題(ti)(ti)，其中(zhong)每(mei)道(dao)題(ti)(ti)有問(wen)(wen)（題(ti)(ti)目）、答（答案）、術(shu)(shu)（解題(ti)(ti)的步驟，但沒有證明），有的是一題(ti)(ti)一術(shu)(shu)，有的是多(duo)題(ti)(ti)一術(shu)(shu)或一題(ti)(ti)多(duo)術(shu)(shu)。這(zhe)些(xie)問(wen)(wen)題(ti)(ti)依照性質和解法分(fen)別(bie)隸屬于方(fang)田(tian)、粟米、衰(shuai)（音cui）分(fen)、少廣、商(shang)功、均輸、盈不足(zu)、方(fang)程及勾(gou)股(gu)。共九章(zhang)如下所(suo)示。原作(zuo)有插圖(tu)，今(jin)傳本已只剩下正(zheng)文了。
《九章(zhang)算術(shu)》共收(shou)有246個數學(xue)問題，分(fen)(fen)為九章(zhang)。它們的主要(yao)內(nei)容分(fen)(fen)別是：
第一章(zhang)“方田”：主要講述了(le)平(ping)面(mian)幾(ji)何圖(tu)形(xing)(xing)(xing)面(mian)積的計算方法(fa)(fa)(fa)。包括長方形(xing)(xing)(xing)、等腰(yao)三角(jiao)形(xing)(xing)(xing)、直角(jiao)梯形(xing)(xing)(xing)、等腰(yao)梯形(xing)(xing)(xing)、圓形(xing)(xing)(xing)、扇形(xing)(xing)(xing)、弓(gong)形(xing)(xing)(xing)、圓環這八種圖(tu)形(xing)(xing)(xing)面(mian)積的計算方法(fa)(fa)(fa)。另(ling)外還(huan)系統(tong)地講述了(le)分數(shu)的四則運算法(fa)(fa)(fa)則，以(yi)及(ji)求分子分母最(zui)大公約數(shu)等方法(fa)(fa)(fa)。
第二章(zhang)“粟(su)米”：谷(gu)物糧食的按比例(li)折換；提出比例(li)算法(fa)，稱為(wei)今有術；衰分章(zhang)提出比例(li)分配法(fa)則，稱為(wei)衰分術；
第三章“衰(shuai)分”：比例分配問題(ti)。
第四章“少廣(guang)”：已知面(mian)積(ji)、體積(ji)，反求其一(yi)邊長和徑長等(deng)；介紹了開平方、開立方的方法。
第(di)五章“商(shang)功”：土石(shi)工程(cheng)、體(ti)(ti)(ti)積計算；除(chu)給出了各種立體(ti)(ti)(ti)體(ti)(ti)(ti)積公式外，還有(you)工程(cheng)分(fen)配(pei)方法(fa)；
第(di)六(liu)章“均輸”：合理(li)(li)攤派(pai)賦稅；用衰分(fen)術解(jie)決賦役的合理(li)(li)負擔(dan)問題。今有(you)術、衰分(fen)術及其應用方法，構成了(le)包括(kuo)今天(tian)正(zheng)、反比(bi)(bi)例(li)(li)(li)、比(bi)(bi)例(li)(li)(li)分(fen)配、復比(bi)(bi)例(li)(li)(li)、連鎖比(bi)(bi)例(li)(li)(li)在內的整套比(bi)(bi)例(li)(li)(li)理(li)(li)論。西方直到15世紀末以(yi)后(hou)才形成類似的全(quan)套方法。
第(di)七章“盈(ying)(ying)不(bu)(bu)足”：即(ji)雙設(she)法問題(ti)(ti)；提出(chu)了盈(ying)(ying)不(bu)(bu)足、盈(ying)(ying)適(shi)足和(he)不(bu)(bu)足適(shi)足、兩(liang)(liang)盈(ying)(ying)和(he)兩(liang)(liang)不(bu)(bu)足三種類(lei)型的盈(ying)(ying)虧(kui)問題(ti)(ti)，以(yi)及(ji)若干可(ke)以(yi)通過兩(liang)(liang)次假設(she)化為盈(ying)(ying)不(bu)(bu)足問題(ti)(ti)的一般(ban)問題(ti)(ti)的解法。這(zhe)也(ye)是處于(yu)世界(jie)領先地位(wei)的成果，傳到西方后，影響極大。
第八章(zhang)(zhang)“方(fang)程(cheng)”：一(yi)次方(fang)程(cheng)組(zu)問題(ti)；采用(yong)分離系數(shu)(shu)的(de)(de)(de)方(fang)法(fa)(fa)表(biao)示(shi)線性方(fang)程(cheng)組(zu)，相(xiang)當于(yu)現在(zai)的(de)(de)(de)矩陣；解(jie)(jie)線性方(fang)程(cheng)組(zu)時(shi)使(shi)(shi)用(yong)的(de)(de)(de)直除法(fa)(fa)，與矩陣的(de)(de)(de)初等變換一(yi)致。這(zhe)是世(shi)界上(shang)最早(zao)的(de)(de)(de)完(wan)整的(de)(de)(de)線性方(fang)程(cheng)組(zu)的(de)(de)(de)解(jie)(jie)法(fa)(fa)。在(zai)西方(fang)，直到17世(shi)紀才由萊布尼茲(zi)提出完(wan)整的(de)(de)(de)線性方(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)解(jie)(jie)法(fa)(fa)法(fa)(fa)則。這(zhe)一(yi)章(zhang)(zhang)還引進和使(shi)(shi)用(yong)了負(fu)數(shu)(shu)，并提出了正(zheng)負(fu)術——正(zheng)負(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)加減法(fa)(fa)則，與現今代數(shu)(shu)中法(fa)(fa)則完(wan)全相(xiang)同；解(jie)(jie)線性方(fang)程(cheng)組(zu)時(shi)實際(ji)還施(shi)行(xing)了正(zheng)負(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)乘除法(fa)(fa)。這(zhe)是世(shi)界數(shu)(shu)學史上(shang)一(yi)項重大的(de)(de)(de)成就，第一(yi)次突破了正(zheng)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)范圍(wei)，擴展了數(shu)(shu)系。外國則到7世(shi)紀印度的(de)(de)(de)婆羅摩及(ji)多(duo)才認識負(fu)數(shu)(shu)。
第九章(zhang)(zhang)“勾股(gu)(gu)(gu)”：利用勾股(gu)(gu)(gu)定理求解(jie)的(de)(de)各(ge)種問(wen)題(ti)(ti)。其中的(de)(de)絕(jue)大多數內容(rong)(rong)是(shi)與當(dang)時的(de)(de)社(she)會生活密切相關的(de)(de)。提出(chu)了(le)勾股(gu)(gu)(gu)數問(wen)題(ti)(ti)的(de)(de)通(tong)解(jie)公式：若a、b、c分別是(shi)勾股(gu)(gu)(gu)形的(de)(de)勾、股(gu)(gu)(gu)、弦，則，m>n。在(zai)西(xi)方，畢達哥拉斯、歐幾里得等僅(jin)得到(dao)了(le)這(zhe)個(ge)公式的(de)(de)幾種特殊情況，直到(dao)3世紀的(de)(de)丟番圖(tu)才(cai)(cai)取得相近的(de)(de)結(jie)果，這(zhe)已(yi)比(bi)《九章(zhang)(zhang)算術》晚約3個(ge)世紀了(le)。勾股(gu)(gu)(gu)章(zhang)(zhang)還(huan)(huan)有些(xie)內容(rong)(rong)，在(zai)西(xi)方卻還(huan)(huan)是(shi)近代的(de)(de)事(shi)。例如勾股(gu)(gu)(gu)章(zhang)(zhang)最后(hou)一題(ti)(ti)給出(chu)的(de)(de)一組(zu)公式，在(zai)國(guo)外到(dao)19世紀末才(cai)(cai)由美(mei)國(guo)的(de)(de)數論學家迪克森得出(chu)。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》確定了中國(guo)古代數學(xue)的(de)(de)(de)框架(jia)，以計算(suan)為中心的(de)(de)(de)特點，密切聯系(xi)實際，以解(jie)決人(ren)們(men)生(sheng)產(chan)、生(sheng)活中的(de)(de)(de)數學(xue)問題(ti)為目的(de)(de)(de)的(de)(de)(de)風(feng)格。其影響之深(shen)，以致以后中國(guo)數學(xue)著(zhu)作大體采取兩種形式(shi)：或為之作注，或仿其體例著(zhu)書；甚至西(xi)算(suan)傳入中國(guo)之后，人(ren)們(men)著(zhu)書立(li)說時(shi)還常常把包括西(xi)算(suan)在內的(de)(de)(de)數學(xue)知識(shi)納入九(jiu)(jiu)章(zhang)的(de)(de)(de)框架(jia)。然而，《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》亦有(you)其不容忽(hu)視(shi)的(de)(de)(de)缺點：沒(mei)有(you)任(ren)何(he)數學(xue)概念的(de)(de)(de)定義，也沒(mei)有(you)給(gei)出任(ren)何(he)推(tui)導和(he)證(zheng)明。魏(wei)景元(yuan)四年(nian)（263年(nian)），劉(liu)徽給(gei)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》作注，才大大彌補了這(zhe)個(ge)缺陷。
劉徽是中(zhong)國數學家之一。他的生平知(zhi)之甚(shen)少(shao)。據(ju)考證，他是山東鄒平人。劉徽定(ding)義了若干數學概念，全(quan)面論證了《九章算術》的公式解(jie)法，提出(chu)了許多(duo)重要的思想(xiang)、方(fang)法和命題，他在數學理論方(fang)面成績(ji)斐然。
劉(liu)徽對數(shu)學概(gai)念(nian)的(de)定義抽(chou)象(xiang)而(er)嚴謹。他(ta)揭示了(le)概(gai)念(nian)的(de)本(ben)質(zhi)，基本(ben)符合現代邏輯學和數(shu)學對概(gai)念(nian)定義的(de)要求。而(er)且他(ta)使用概(gai)念(nian)時亦保持了(le)其同一性。如他(ta)提出(chu)凡數(shu)相(xiang)(xiang)與者謂之率，把(ba)率定義為數(shu)量的(de)相(xiang)(xiang)互關系。又如他(ta)把(ba)正(zheng)負數(shu)定義為今兩(liang)算得失相(xiang)(xiang)反，要令正(zheng)負以名之，擺脫了(le)正(zheng)為余，負為欠的(de)原始觀念(nian)，從(cong)本(ben)質(zhi)上揭示了(le)正(zheng)負數(shu)得失相(xiang)(xiang)反的(de)相(xiang)(xiang)對關系。
《九章算(suan)術(shu)》的(de)算(suan)法盡管抽象，但(dan)相(xiang)互(hu)關(guan)系不明顯，顯得零(ling)亂。劉(liu)徽(hui)大(da)大(da)發展(zhan)深化(hua)了中算(suan)中久已使用的(de)率概念和齊同(tong)原理，把它們看作運算(suan)的(de)綱(gang)紀。許多問題，只(zhi)要找出(chu)其中的(de)各種(zhong)率關(guan)系，通過乘以(yi)散(san)之，約(yue)以(yi)聚(ju)之，齊同(tong)以(yi)通之，都(dou)可以(yi)歸(gui)結為今有術(shu)求解。
一平(ping)面(mian)(mian)(mian)（或(huo)立體(ti)）圖(tu)形(xing)(xing)經過平(ping)移或(huo)旋轉(zhuan)，其面(mian)(mian)(mian)積(ji)（或(huo)體(ti)積(ji)）不變。把(ba)一個平(ping)面(mian)(mian)(mian)（或(huo)立體(ti)）圖(tu)形(xing)(xing)分解成若干部分，各部分面(mian)(mian)(mian)積(ji)（或(huo)體(ti)積(ji)）之和與原(yuan)圖(tu)形(xing)(xing)面(mian)(mian)(mian)積(ji)（或(huo)體(ti)積(ji)）相(xiang)等。基(ji)于這兩條不言(yan)自明的(de)(de)前提的(de)(de)出入相(xiang)補原(yuan)理(li)，是中國古代數學進行幾(ji)何推(tui)演和證明時最常(chang)用的(de)(de)原(yuan)理(li)。劉徽發展了出入相(xiang)補原(yuan)理(li)，成功地(di)證明了許多面(mian)(mian)(mian)積(ji)、體(ti)積(ji)以及可以化為面(mian)(mian)(mian)積(ji)、體(ti)積(ji)問題的(de)(de)勾股、開(kai)方的(de)(de)公式(shi)和算(suan)法(fa)的(de)(de)正確性。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》是(shi)(shi)中國古代的數(shu)學專著，是(shi)(shi)“算(suan)經十書(shu)”（漢唐之(zhi)間出現的十部(bu)古算(suan)書(shu)）中最重要的一種。魏晉時(shi)劉徽為《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》作注時(shi)說(shuo):“周公制禮而(er)(er)有九(jiu)數(shu)，九(jiu)數(shu)之(zhi)流則《九(jiu)章(zhang)》是(shi)(shi)矣”，又說(shuo)“漢北(bei)平侯張蒼、大(da)司農中丞耿壽昌皆以(yi)善算(suan)命世。蒼等(deng)因舊(jiu)文之(zhi)遺殘(can)，各(ge)稱刪補，故(gu)校其目(mu)則與古或(huo)異，而(er)(er)所論多近語也”。
根據(ju)研(yan)究，西(xi)漢的張(zhang)蒼、耿壽昌(chang)曾經(jing)做過增補。最(zui)(zui)后(hou)成書最(zui)(zui)遲在(zai)東(dong)漢前期(qi)，但(dan)是(shi)其(qi)基本(ben)內容(rong)在(zai)西(xi)漢后(hou)期(qi)已經(jing)基本(ben)定型。
《漢書藝文(wen)志》（班固根據(ju)劉(liu)歆《七略(lve)(lve)》寫(xie)成者）中(zhong)(zhong)著錄的(de)數(shu)學書僅有《許商算(suan)術》、《杜忠算(suan)術》兩種，并(bing)無(wu)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》，可見《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》的(de)出現(xian)(xian)要晚于《七略(lve)(lve)》。《后漢書馬援傳》載其侄孫馬續“博覽群書，善(shan)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》”，馬續是(shi)公元1世紀(ji)最后二(er)、三十年(nian)時(shi)人。再根據(ju)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》中(zhong)(zhong)可供判定年(nian)代的(de)官名(ming)、地(di)名(ming)等來推斷，現(xian)(xian)傳本(ben)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》的(de)成書年(nian)代大約是(shi)在公元1世紀(ji)的(de)下半(ban)葉(xie)。九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術將書中(zhong)(zhong)的(de)所有數(shu)學問(wen)題分為九(jiu)(jiu)大類，是(shi)陳凱靖編輯的(de)
1984年，在湖北出土了《算(suan)數書》書簡。據(ju)考證，它比《九章(zhang)算(suan)術(shu)》要早一(yi)個半(ban)世紀以上，書中有(you)些內(nei)容和(he)《九章(zhang)算(suan)術(shu)》非(fei)常(chang)相似(si)，一(yi)些內(nei)容的文句也基本相同。有(you)人(ren)推測(ce)兩書具(ju)有(you)某些繼承關系，但也有(you)不同的看法認為《九章(zhang)算(suan)術(shu)》沒有(you)直接受(shou)到《算(suan)數書》影(ying)響。
后世(shi)的(de)(de)(de)數學(xue)家(jia)，大都(dou)是從(cong)《九章(zhang)算(suan)術(shu)》開始(shi)學(xue)習和研究數學(xue)，許多人曾為它作過注(zhu)釋。其(qi)中(zhong)最著(zhu)名的(de)(de)(de)有劉徽(hui)（263）、李淳(chun)風(feng)（656）等人。劉、李等人的(de)(de)(de)注(zhu)釋和《九章(zhang)算(suan)術(shu)》一起流傳至今。唐宋(song)兩代，《九章(zhang)算(suan)術(shu)》都(dou)由(you)國家(jia)明(ming)令規定(ding)為教科書(shu)(shu)。到了北(bei)宋(song)，《九章(zhang)算(suan)術(shu)》還曾由(you)政府進行過刊刻(ke)(ke)（1084），這是世(shi)界上最早(zao)的(de)(de)(de)印刷本(ben)(ben)(ben)數學(xue)書(shu)(shu)。在現傳本(ben)(ben)(ben)《九章(zhang)算(suan)術(shu)》中(zhong)，最早(zao)的(de)(de)(de)版本(ben)(ben)(ben)乃是上述北(bei)宋(song)本(ben)(ben)(ben)的(de)(de)(de)南宋(song)翻刻(ke)(ke)本(ben)(ben)(ben)（1213），現藏于上海圖書(shu)(shu)館（孤(gu)本(ben)(ben)(ben)，殘(can)，只余前五卷）。清(qing)代戴(dai)震(zhen)由(you)《永樂大典》中(zhong)抄出《九章(zhang)算(suan)術(shu)》全書(shu)(shu)，并作了校(xiao)(xiao)勘。此后的(de)(de)(de)《四庫全書(shu)(shu)》本(ben)(ben)(ben)、武英殿聚(ju)珍本(ben)(ben)(ben)、孔繼涵刻(ke)(ke)的(de)(de)(de)《算(suan)經十書(shu)(shu)》本(ben)(ben)(ben)（1773）等，大多數都(dou)是以戴(dai)校(xiao)(xiao)本(ben)(ben)(ben)為底本(ben)(ben)(ben)的(de)(de)(de)。
作為一(yi)部世(shi)界數學名著，《九章算術》早在隋(sui)唐時期即已(yi)傳入朝鮮(xian)、日本。它已(yi)被譯(yi)成日、俄、德(de)、法(fa)等(deng)多種文字版(ban)本。
《九(jiu)章算術》中的數(shu)學成就是多方(fang)面的：
（1）、在(zai)算(suan)術方面的(de)(de)(de)主要成就有分數(shu)運(yun)算(suan)、比例問題(ti)和“盈不足(zu)”算(suan)法。《九章(zhang)算(suan)術》是(shi)世界上(shang)最早系(xi)統敘述了分數(shu)運(yun)算(suan)的(de)(de)(de)著作(zuo)，在(zai)第二、三、六章(zhang)中(zhong)有許多比例問題(ti)，在(zai)世界上(shang)也是(shi)比較(jiao)早的(de)(de)(de)。“盈不足(zu)”的(de)(de)(de)算(suan)法需(xu)要給出兩次假(jia)設(she)，是(shi)一項(xiang)創造(zao)，中(zhong)世紀(ji)歐洲(zhou)稱(cheng)它(ta)為(wei)“雙設(she)法”，有人(ren)認為(wei)它(ta)是(shi)由中(zhong)國經中(zhong)世紀(ji)阿拉伯國家傳去的(de)(de)(de)。
《九章算術(shu)》中(zhong)有比較完整(zheng)的分(fen)數(shu)計算方法(fa)，包(bao)括四(si)則運算，通分(fen)、約分(fen)、化帶分(fen)數(shu)為(wei)假分(fen)數(shu)（我國古代(dai)稱(cheng)為(wei)通分(fen)內子，“內”讀為(wei)納）等等。其步驟與方法(fa)大體與現代(dai)的雷(lei)同。
分(fen)(fen)(fen)數加(jia)(jia)減(jian)運算，《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術(shu)》已明確(que)提(ti)出先通分(fen)(fen)(fen)，使兩(liang)分(fen)(fen)(fen)數的(de)分(fen)(fen)(fen)母(mu)相(xiang)同(tong)，然后進行(xing)加(jia)(jia)減(jian)。加(jia)(jia)法(fa)的(de)步驟是(shi)“母(mu)互乘(cheng)(cheng)子(zi)，并以為實(shi)，母(mu)相(xiang)乘(cheng)(cheng)為法(fa)，實(shi)如(ru)(ru)法(fa)而一(yi)”這里“實(shi)”是(shi)分(fen)(fen)(fen)子(zi)。“法(fa)”是(shi)分(fen)(fen)(fen)母(mu)，“實(shi)如(ru)(ru)法(fa)而一(yi)”也就(jiu)是(shi)用法(fa)去(qu)除實(shi)，進行(xing)除法(fa)運算，《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術(shu)》還注意(yi)到(dao)兩(liang)點：其(qi)一(yi)是(shi)運算結果如(ru)(ru)出現“不(bu)滿法(fa)者，以法(fa)命之”。就(jiu)是(shi)分(fen)(fen)(fen)子(zi)小于分(fen)(fen)(fen)母(mu)時便以分(fen)(fen)(fen)數形式保(bao)留。其(qi)二是(shi)“其(qi)母(mu)同(tong)者，直相(xiang)從之”，就(jiu)是(shi)分(fen)(fen)(fen)母(mu)相(xiang)同(tong)的(de)分(fen)(fen)(fen)數進行(xing)加(jia)(jia)減(jian)，運算時不(bu)必通分(fen)(fen)(fen)，使分(fen)(fen)(fen)子(zi)直接(jie)加(jia)(jia)減(jian)即可。
《九章算(suan)術》中還有求最(zui)大公(gong)約(yue)(yue)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)和(he)約(yue)(yue)分(fen)(fen)的方法。求最(zui)大公(gong)約(yue)(yue)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的方法稱為“更相(xiang)(xiang)減(jian)(jian)損(sun)”法，其(qi)(qi)具(ju)體步驟是“可(ke)(ke)半(ban)者(zhe)(zhe)半(ban)之(zhi)，不可(ke)(ke)半(ban)者(zhe)(zhe)，副置分(fen)(fen)母(mu)子(zi)之(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，以(yi)少減(jian)(jian)多(duo)，更相(xiang)(xiang)減(jian)(jian)損(sun)，求其(qi)(qi)等(deng)也。以(yi)等(deng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)約(yue)(yue)之(zhi)。”這里(li)所(suo)說的“等(deng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”就是我(wo)們(men)現在的最(zui)大公(gong)約(yue)(yue)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。可(ke)(ke)半(ban)者(zhe)(zhe)是指分(fen)(fen)子(zi)分(fen)(fen)母(mu)都(dou)是偶(ou)(ou)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，可(ke)(ke)以(yi)折半(ban)的先把它(ta)們(men)折半(ban)，即可(ke)(ke)先約(yue)(yue)去(qu)2。不都(dou)是偶(ou)(ou)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)了，則另外擺（即副置）分(fen)(fen)子(zi)分(fen)(fen)母(mu)算(suan)籌(chou)進(jin)行計算(suan)，從大數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)中減(jian)(jian)去(qu)小數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，輾轉(zhuan)相(xiang)(xiang)減(jian)(jian)，減(jian)(jian)到余(yu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)和(he)減(jian)(jian)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)相(xiang)(xiang)等(deng)，即得(de)等(deng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。
在《九章算術》的(de)(de)第二、三、六等章內，廣泛地(di)使用(yong)了各種(zhong)比例解(jie)(jie)應用(yong)問題。粟(su)(su)(su)米(mi)(mi)章的(de)(de)開始(shi)就列舉(ju)了各種(zhong)糧食間互換的(de)(de)比率(lv)如下(xia)：“粟(su)(su)(su)米(mi)(mi)之法(fa)：粟(su)(su)(su)率(lv)五十(shi)，糲米(mi)(mi)三十(shi)，粺米(mi)(mi)二十(shi)七，糳米(mi)(mi)二十(shi)四(si)(si)，……”這是(shi)說：谷子五斗(dou)去皮可得(de)(de)糙(cao)米(mi)(mi)三斗(dou)，又可舂得(de)(de)九折米(mi)(mi)二斗(dou)七升(sheng)，或八拆米(mi)(mi)二斗(dou)四(si)(si)升(sheng)，……。例如，粟(su)(su)(su)米(mi)(mi)章第一(yi)(yi)題：“今(jin)有(you)粟(su)(su)(su)米(mi)(mi)一(yi)(yi)斗(dou)，欲(yu)為糲米(mi)(mi)，問得(de)(de)幾(ji)何”。它的(de)(de)解(jie)(jie)法(fa)是(shi)：“以(yi)所有(you)數乘所求率(lv)為實(shi)，以(yi)所有(you)率(lv)為法(fa)，實(shi)如法(fa)而(er)一(yi)(yi)”。
《九章(zhang)算術》第(di)(di)七章(zhang)“盈(ying)(ying)不(bu)(bu)(bu)足”專(zhuan)講盈(ying)(ying)虧問題及其解法(fa)(fa)(fa)其中第(di)(di)一題：“今有（人(ren)(ren)(ren)）共買物，（每）人(ren)(ren)(ren)出(chu)(chu)(chu)八（錢），盈(ying)(ying)（余）三錢；人(ren)(ren)(ren)出(chu)(chu)(chu)七（錢），不(bu)(bu)(bu)足四（錢），問人(ren)(ren)(ren)數、物價(jia)各幾何”，“答曰(yue)：七人(ren)(ren)(ren)，物價(jia)53（錢）。”“盈(ying)(ying)不(bu)(bu)(bu)足術曰(yue)：置所(suo)出(chu)(chu)(chu)率，盈(ying)(ying)、不(bu)(bu)(bu)足各居其下。令維乘（即交(jiao)錯(cuo)相乘）所(suo)出(chu)(chu)(chu)率，并以為(wei)(wei)實，并盈(ying)(ying)，不(bu)(bu)(bu)足為(wei)(wei)法(fa)(fa)(fa)，實如法(fa)(fa)(fa)而(er)一……置所(suo)出(chu)(chu)(chu)率，以少減多，余，以約法(fa)(fa)(fa)、實。實為(wei)(wei)物價(jia)，法(fa)(fa)(fa)為(wei)(wei)人(ren)(ren)(ren)數”。盈(ying)(ying)不(bu)(bu)(bu)足術是中國(guo)數學(xue)史上解應用問題的一種(zhong)別開生面的創造，它在我(wo)國(guo)古代(dai)算法(fa)(fa)(fa)中占(zhan)有相當重要的地位(wei)。盈(ying)(ying)不(bu)(bu)(bu)足術還經過絲綢(chou)之(zhi)路(lu)西(xi)傳中亞(ya)阿(a)拉伯國(guo)家，受到特別重視(shi)，被稱為(wei)(wei)“契丹算法(fa)(fa)(fa)”，后來又傳入歐洲，中世紀時(shi)期(qi)“雙(shuang)設法(fa)(fa)(fa)”曾長期(qi)統治了(le)他們(men)的數學(xue)王國(guo)。
（2）、《九章算(suan)術》總(zong)結了(le)生產、生活實踐(jian)中大量的幾何知識，在方田、商功(gong)和勾股(gu)章中提(ti)出(chu)了(le)很(hen)多面積、體積的計算(suan)公式和勾股(gu)定理的應用。
《九章(zhang)算(suan)術(shu)》方田(tian)(tian)(tian)章(zhang)主要論述平(ping)面(mian)(mian)(mian)圖形直線形和圓的面(mian)(mian)(mian)積計算(suan)方法(fa)。《九章(zhang)算(suan)術(shu)》方田(tian)(tian)(tian)章(zhang)第(di)一(yi)題“今有田(tian)(tian)(tian)廣(guang)十(shi)五(wu)步(bu)，從(cong)（音縱zong）十(shi)六(liu)步(bu)。問為(wei)田(tian)(tian)(tian)幾何(he)。”“答曰(yue)：一(yi)畝(mu)”。這(zhe)(zhe)里(li)“廣(guang)”就是(shi)(shi)寬，“從(cong)”即(ji)縱，指(zhi)其長(chang)度，“方田(tian)(tian)(tian)術(shu)曰(yue)：廣(guang)從(cong)步(bu)數(shu)相乘得(de)(de)積步(bu)，（得(de)(de)積步(bu)就是(shi)(shi)得(de)(de)到乘積的平(ping)方步(bu)數(shu)）以(yi)(yi)畝(mu)法(fa)二(er)百四十(shi)步(bu)（實質應(ying)為(wei)積步(bu)）除(chu)之，即(ji)畝(mu)數(shu)。百畝(mu)為(wei)一(yi)頃(qing)。”當時(shi)稱長(chang)方形為(wei)方田(tian)(tian)(tian)或直田(tian)(tian)(tian)。稱三角形為(wei)圭田(tian)(tian)(tian)，面(mian)(mian)(mian)積公(gong)式為(wei)“術(shu)曰(yue)：半廣(guang)以(yi)(yi)乘正從(cong)”。這(zhe)(zhe)里(li)廣(guang)是(shi)(shi)指(zhi)三角形的底(di)邊，正從(cong)是(shi)(shi)指(zhi)底(di)邊上的
高，劉徽在注文中對這一(yi)計算公式(shi)實(shi)質上作了(le)證明：“半廣者(zhe)，以(yi)盈(ying)補虛，為直(zhi)田(tian)也。”“亦可以(yi)半正從(cong)以(yi)乘(cheng)廣”（圖(tu)(tu)1－30）。盈(ying)是多余，虛乃不足。“以(yi)盈(ying)補虛”就(jiu)是以(yi)多余部(bu)分(fen)(fen)填補不足的部(bu)分(fen)(fen)，這就(jiu)是我國古代數(shu)學推導平面(mian)圖(tu)(tu)形面(mian)積公式(shi)所用的傳統的“出入(ru)相(xiang)補”的方(fang)法(fa)，由上圖(tu)(tu)“以(yi)盈(ying)補虛”變(bian)圭(gui)田(tian)為與之(zhi)等(deng)積的直(zhi)田(tian)，于(yu)是得到(dao)了(le)圭(gui)田(tian)的面(mian)積計算公式(shi)。
方田章第(di)二十七、二十八題(ti)把(ba)直角梯形稱(cheng)為(wei)“邪(xie)(xie)田”（即斜田）它的(de)面積公式是(shi)：“術曰(yue)：并(bing)(bing)兩(liang)邪(xie)(xie)（即兩(liang)斜，應理解為(wei)梯形兩(liang)底(di)）而半(ban)之，以乘(cheng)正從(cong)……，又可(ke)半(ban)正從(cong)……以乘(cheng)并(bing)(bing)。”劉徽在注中說明他的(de)證法(fa)仍是(shi)“出入相(xiang)補”法(fa)。在方田章第(di)二十九、三(san)十題(ti)把(ba)一般梯形稱(cheng)為(wei)“箕田”，上、下底(di)分別稱(cheng)為(wei)“舌”、“踵”，面積公式是(shi)：“術曰(yue)：并(bing)(bing)踵舌而半(ban)之，以乘(cheng)正從(cong)”。
至于圓(yuan)面積(ji)，在《九章算(suan)術》方(fang)田章第三十一(yi)、三十二(er)題中，它的面積(ji)計算(suan)公式為：“半周半徑相乘得積(ji)步”。這里“周”是(shi)圓(yuan)周長(chang)，“徑”是(shi)指直(zhi)徑。這個圓(yuan)面積(ji)計算(suan)公式是(shi)正確的。只是(shi)當時取徑一(yi)周三（即π≈3）。于是(shi)由此計算(suan)所(suo)得的圓(yuan)面積(ji)就不夠精密。
《九章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術(shu)》商功(gong)章(zhang)收集的(de)都是(shi)一(yi)些(xie)有關體(ti)(ti)(ti)積(ji)計算(suan)(suan)(suan)的(de)問(wen)題。但是(shi)商功(gong)章(zhang)并(bing)沒有論述長方體(ti)(ti)(ti)或(huo)正方體(ti)(ti)(ti)的(de)體(ti)(ti)(ti)積(ji)算(suan)(suan)(suan)法。看來《九章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術(shu)》是(shi)在長方體(ti)(ti)(ti)或(huo)正方體(ti)(ti)(ti)體(ti)(ti)(ti)積(ji)計算(suan)(suan)(suan)公式：V=abc的(de)基(ji)礎上(shang)來計算(suan)(suan)(suan)其他立體(ti)(ti)(ti)圖形體(ti)(ti)(ti)積(ji)的(de)。
《九章算(suan)術(shu)(shu)(shu)》商功章提到城、垣、堤、溝、塹、渠，因其功用不同(tong)因而名稱(cheng)各異(yi)，其實質都是正截(jie)面為等腰梯形的(de)直棱柱，他們的(de)體積計算(suan)方法：“術(shu)(shu)(shu)曰(yue)：并上(shang)、下廣而半(ban)之，以高(gao)若深(shen)乘(cheng)之，又以袤乘(cheng)之，即積尺”。這里上(shang)、下廣指橫截(jie)面的(de)上(shang)、下底(di)（a，b）高(gao)或深(shen)（h），袤是指城垣……的(de)長（l）。因此城、垣…的(de)體積計算(suan)術(shu)(shu)(shu)公式V=1/2（a+b）h.
劉徽在注釋中把對于平面圖形(xing)的出入相補(bu)原理(li)推廣應用到空間圖形(xing)，成為“損廣補(bu)狹”以證明幾何體體積(ji)公式。
劉徽還用棋驗(yan)法來(lai)推導(dao)比較復雜的(de)幾(ji)(ji)何(he)(he)體(ti)體(ti)積(ji)計算公式。所謂棋驗(yan)法，“棋”是(shi)指某(mou)些幾(ji)(ji)何(he)(he)體(ti)模(mo)型(xing)即(ji)用幾(ji)(ji)何(he)(he)體(ti)模(mo)型(xing)驗(yan)證(zheng)的(de)方法，例如長方體(ti)本身就是(shi)“棋”[圖(tu)1－32（1）]斜解一(yi)(yi)個長方體(ti)，得兩(liang)個兩(liang)底(di)面為直(zhi)角三(san)角形的(de)直(zhi)三(san)棱柱(zhu)，我國古代(dai)稱為“塹(qian)堵(du)”（如圖(tu)），所以塹(qian)堵(du)的(de)體(ti)積(ji)是(shi)長方體(ti)體(ti)積(ji)的(de)二分之一(yi)(yi)。
《九章算(suan)術》商功章還有圓(yuan)錐、圓(yuan)臺（古(gu)代稱“圓(yuan)亭”）的體積計算(suan)公式。甚至對三個(ge)側面是等腰梯形(xing)，其他兩(liang)面為(wei)勾股形(xing)的五面體[圖1－33（1）]，上、下底為(wei)矩形(xing)的擬
柱體（古代(dai)稱(cheng)(cheng)“芻童”）以(yi)及上底為一線(xian)段，下底為一矩形的擬柱體（古代(dai)稱(cheng)(cheng)“芻甍”）（“甍”音“夢”）等都可以(yi)計算其體積。
（3）、《九章算術》中(zhong)的(de)代數內容同樣(yang)很豐富，具有當時世界的(de)先(xian)進(jin)水平。
1．開平方和開立方
《九章(zhang)算(suan)術》中講了開平(ping)方(fang)、開立方(fang)的(de)方(fang)法(fa)，而(er)且計算(suan)步驟基本(ben)一(yi)樣。所(suo)不同的(de)是古代(dai)用籌(chou)算(suan)進行演算(suan)，現以(yi)少廣章(zhang)第12題(ti)為(wei)例，說明古代(dai)開平(ping)方(fang)演算(suan)的(de)步驟，“今有積五萬(wan)五千二(er)百(bai)二(er)十(shi)五步。問為(wei)方(fang)幾何”。“答曰：二(er)百(bai)三十(shi)五步”。這里所(suo)說的(de)步是我國古代(dai)的(de)長(chang)度單(dan)位。
“開方（是指開平方，由正方形面積求其一邊之長。）術曰：置積為實（即指籌算中把被開方數放置于第二行，稱為實）借一算（指借用一算籌放置于最后一行，如圖1－25（1）所示用以定位）。步之（指所借的算籌一步一步移動）超一等（指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節相當如圖1－25（2）所示）。議所得（指議得初商，由于實的萬位數字是5，而且22<5<32，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2于百位，如圖1－25（3）所示）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置于“實”下為“法”，如圖1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“實”減去得：55225-40000=15225，如圖1－25（5）所示）除已，倍法為定法，其復除，折法而下（指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因為要求平方根的十位數字，需要把“借算”移至百位，如圖1－25（6）所示）。復置借算步之如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算于百位。因“實”的千位數字為15，且4×3<15<4×4，于是再議得次商為3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實”減去得：15225－12900=2325。如圖1－25（7）所示，以所得副從定法，復除折下如前（這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位，如圖1－25（8）所示；又議得三商應為5，再置5于商的個位如圖1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經計算恰盡如圖1－25（10）所示，因此得平方根為235。）
上述(shu)由圖1－25（1）—（10）是(shi)按算(suan)籌進行演算(suan)的(de)，看起來(lai)似乎很繁瑣，實際上步驟十(shi)分清楚，易于操作。它的(de)開(kai)平方(fang)原(yuan)理與現(xian)(xian)代開(kai)平方(fang)原(yuan)理相同(tong)。其中“借算(suan)”的(de)右移(yi)、左移(yi)在現(xian)(xian)代的(de)觀點下可以(yi)理解為(wei)一次變換和代換。《九章算(suan)術(shu)》時代并沒有理解到變換和代換，但是(shi)這對以(yi)后宋、元時期(qi)高次方(fang)程的(de)解法是(shi)有深遠(yuan)影(ying)響(xiang)的(de)。
《九章算(suan)術》方(fang)(fang)(fang)程(cheng)章中的“方(fang)(fang)(fang)程(cheng)”是(shi)專指多元一次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組而言，與“方(fang)(fang)(fang)程(cheng)”的含義并(bing)不相同。《九章算(suan)術》中多元一次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組的解法(fa)，是(shi)將(jiang)它們的系數和常數項用算(suan)籌擺成“方(fang)(fang)(fang)陣(zhen)”（所以(yi)稱之謂“方(fang)(fang)(fang)程(cheng)”）。消(xiao)元的過程(cheng)相當于(yu)現代(dai)大學課程(cheng)高等代(dai)數中的線性變換。
由(you)于《九章(zhang)算(suan)(suan)術》在(zai)用(yong)直除法解一次(ci)方(fang)程組過程中(zhong)(zhong)，不可避(bi)免地(di)要出(chu)現(xian)正(zheng)負(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)問(wen)題(ti)，于是(shi)在(zai)方(fang)程章(zhang)第三題(ti)中(zhong)(zhong)明確(que)提(ti)出(chu)了正(zheng)負(fu)術。劉(liu)徽在(zai)該術的(de)(de)注文里實質上給出(chu)了正(zheng)、負(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)定義：“兩算(suan)(suan)得失相反，要令‘正(zheng)’、‘負(fu)’以(yi)(yi)(yi)(yi)名之(zhi)”。并(bing)在(zai)計算(suan)(suan)工具即算(suan)(suan)籌(chou)(chou)上加以(yi)(yi)(yi)(yi)區別(bie)“正(zheng)算(suan)(suan)赤(chi)，負(fu)算(suan)(suan)黑(hei)，否則以(yi)(yi)(yi)(yi)邪正(zheng)為(wei)異”。這(zhe)就是(shi)規定正(zheng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)用(yong)紅(hong)色(se)算(suan)(suan)籌(chou)(chou)，負(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)用(yong)黑(hei)色(se)算(suan)(suan)籌(chou)(chou)。如果只有(you)同色(se)算(suan)(suan)籌(chou)(chou)的(de)(de)話，則遇(yu)到(dao)正(zheng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)將(jiang)籌(chou)(chou)正(zheng)放(fang)，負(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)時邪（同斜）放(fang)。宋代(dai)以(yi)(yi)(yi)(yi)后出(chu)現(xian)筆算(suan)(suan)也相應地(di)用(yong)紅(hong)、黑(hei)色(se)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)碼(ma)字(zi)以(yi)(yi)(yi)(yi)區別(bie)正(zheng)、負(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，或在(zai)個(ge)位(wei)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)上記斜劃以(yi)(yi)(yi)(yi)表示負(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，如（即—1824），后來這(zhe)種包括負(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)寫法在(zai)內的(de)(de)中(zhong)(zhong)國(guo)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)碼(ma)字(zi)還傳到(dao)日本(ben)。
關于正、負數(shu)的加減(jian)(jian)(jian)運算法則，“正負術(shu)曰(yue)：同(tong)(tong)名(ming)相(xiang)(xiang)(xiang)益(yi)，異名(ming)相(xiang)(xiang)(xiang)除(chu)，正無入負之(zhi)，負無入正之(zhi)。其異名(ming)相(xiang)(xiang)(xiang)除(chu)，同(tong)(tong)名(ming)相(xiang)(xiang)(xiang)益(yi)，正無入正之(zhi)，負無入負之(zhi)”。這里所(suo)說(shuo)的“同(tong)(tong)名(ming)”、“異名(ming)”分別相(xiang)(xiang)(xiang)當于所(suo)說(shuo)的同(tong)(tong)號、異號。“相(xiang)(xiang)(xiang)益(yi)”、“相(xiang)(xiang)(xiang)除(chu)”是(shi)指二(er)數(shu)相(xiang)(xiang)(xiang)加、相(xiang)(xiang)(xiang)減(jian)(jian)(jian)。術(shu)文前(qian)四(si)句是(shi)減(jian)(jian)(jian)法運算法則：
（1）如果被(bei)減(jian)數(shu)絕對(dui)值大(da)于減(jian)數(shu)絕對(dui)值，即a>b≥0，
則(ze)同名相(xiang)益：（±a）-（±b）=±（a-b），
異名(ming)相除：（±a）-（b）=±（a+b）。
（2）如果被減數絕對(dui)值小于減數絕對(dui)值，即(ji)b>a≥0。
①如果兩數皆正
則(ze)a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。
中(zhong)間一式的a和a對消，而（b-a）無(wu)可對消，則(ze)改(gai)“正”為“負(fu)”，即“正無(wu)入(ru)(ru)負(fu)之”。“無(wu)入(ru)(ru)”就(jiu)是無(wu)對，也(ye)就(jiu)是無(wu)可對消（或不(bu)夠(gou)減或對方(fang)為零(ling)）。
②如果兩數皆負
則（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在(zai)中間的式子里（-a）和(he)（-a）對(dui)消(xiao)，而-（b-a）無可對(dui)消(xiao)，則改“負(fu)(fu)”為“正”所(suo)以說“負(fu)(fu)無入(ru)正之”。
③如果兩(liang)數一正一負。則(ze)仍同（1）的異名(ming)相益。
術文(wen)的后四句(ju)是指正負數加法(fa)運算(suan)法(fa)則。
（1）同號兩(liang)數(shu)相加，即同名(ming)相益(yi)，其和(he)的絕(jue)對(dui)值等于(yu)兩(liang)數(shu)絕(jue)對(dui)值和(he)。
如果a>0，b>0，
則a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）
（2）異號(hao)兩數(shu)相加，實為相減(jian)，即異名相除。如果(guo)正(zheng)數(shu)的絕對值較大(da)，其和(he)為正(zheng)，即“正(zheng)無(wu)入(ru)正(zheng)之”。如果(guo)負數(shu)的絕對值較大(da)，其和(he)為負，即“負無(wu)入(ru)負之”。用符號(hao)表示(shi)為
①如果a>b≥0，
則a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，
或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。
②如果b>a≥0，
則a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），
或(huo)（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。
關于(yu)正(zheng)負(fu)(fu)數(shu)的乘除(chu)法(fa)則(ze)(ze)，在《九章(zhang)算術》時代或許會遇到(dao)有(you)關正(zheng)負(fu)(fu)數(shu)的乘除(chu)運算。可惜書中(zhong)(zhong)并未論及(ji)，直到(dao)元代朱(zhu)世杰于(yu)《算學(xue)啟蒙》（1299年）中(zhong)(zhong)才有(you)明確的記載：“同名(ming)相乘為正(zheng)，異(yi)名(ming)相乘為負(fu)(fu)”，“同名(ming)相除(chu)所(suo)得(de)為正(zheng)，異(yi)名(ming)相除(chu)所(suo)得(de)為負(fu)(fu)”，因(yin)此至遲于(yu)13世紀末我國(guo)對(dui)有(you)理數(shu)四則(ze)(ze)運算法(fa)則(ze)(ze)已經全面作(zuo)了總結。至于(yu)正(zheng)負(fu)(fu)數(shu)概念(nian)的引入(ru)，正(zheng)負(fu)(fu)數(shu)加減運算法(fa)則(ze)(ze)的形成的歷史記錄，我國(guo)更是遙遙領(ling)先。國(guo)外首先承認負(fu)(fu)數(shu)的是七世紀印度數(shu)學(xue)家(jia)婆羅門(men)岌(ji)多(duo)（約(yue)598-？）歐洲到(dao)16世紀才承認負(fu)(fu)數(shu)。
現傳本《九(jiu)章(zhang)算術》成書(shu)(shu)于何時，眾(zhong)說紛紜，多數認為在(zai)西漢(han)末到東漢(han)初(chu)之間，約公元一世紀前(qian)后，《九(jiu)章(zhang)算術》的(de)作(zuo)者不詳。很(hen)可(ke)能是在(zai)成書(shu)(shu)前(qian)一段歷史時期內通(tong)過多人之手逐次整理、修改、補(bu)充(chong)而成的(de)集體創作(zuo)結晶。由于二千年來經過輾轉手抄、刻印，難免會(hui)出現差(cha)錯和遺漏，加上《九(jiu)章(zhang)算術》文(wen)字簡略有(you)些內容不易(yi)理解，因(yin)此歷史上有(you)過多次校正和注釋。
關于對《九章算術(shu)》所(suo)做的校注主要有(you)：西漢張蒼增訂(ding)、刪補，三(san)國時曹魏(wei)劉徽注，唐李(li)(li)淳風注，南宋楊輝著《詳解(jie)九章算法》選用《九章算術(shu)》中80道典型的題(ti)作過詳解(jie)并(bing)分類(lei)，清李(li)(li)潢（？—1811年(nian)）所(suo)著《九章算術(shu)細草(cao)(cao)圖說(shuo)》對《九章算術(shu)》進行(xing)了校訂(ding)、列算草(cao)(cao)、補插圖、加說(shuo)明，尤其是圖文并(bing)茂之作。
現代(dai)錢寶琮（1892—1974年）曾對包括《九章算(suan)術》在(zai)內的《算(suan)經十書》進行了校點，用通俗語言、近代(dai)數學術語對《九章算(suan)術》及劉、李注(zhu)文詳加注(zhu)釋。80年代(dai)以(yi)來，今人白尚(shang)恕、郭書春、李繼閔等都有校注(zhu)本(ben)出(chu)版。
《九章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)(suan)術(shu)》是世(shi)界(jie)上最早系(xi)統敘述了分(fen)數(shu)運(yun)算(suan)(suan)(suan)的(de)(de)著作；其中盈不足的(de)(de)算(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)更(geng)是一項令人驚奇的(de)(de)創造；“方程”章(zhang)(zhang)還在世(shi)界(jie)數(shu)學(xue)史上首次闡述了負數(shu)及其加(jia)減運(yun)算(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)則。在代數(shu)方面，《九章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)(suan)術(shu)》在世(shi)界(jie)數(shu)學(xue)史上最早提出負數(shu)概念及正負數(shu)加(jia)減法(fa)(fa)法(fa)(fa)則；中學(xue)講授的(de)(de)線性(xing)方程組(zu)的(de)(de)解法(fa)(fa)和《九章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)(suan)術(shu)》介紹的(de)(de)方法(fa)(fa)大體相同。注重實際應用是《九章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)(suan)術(shu)》的(de)(de)一個顯(xian)著特點(dian)。該書的(de)(de)一些(xie)(xie)知識還傳播(bo)至(zhi)印度(du)和阿拉伯(bo)，甚至(zhi)經過(guo)這些(xie)(xie)地(di)區遠至(zhi)歐洲。
《九章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》是(shi)幾代人共(gong)同勞動的(de)(de)結晶，它的(de)(de)出(chu)現標(biao)志著中(zhong)國古代數(shu)學體(ti)系的(de)(de)形成．后世的(de)(de)數(shu)學家(jia)，大都(dou)是(shi)從(cong)《九章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》開(kai)始學習和研究(jiu)數(shu)學知識的(de)(de)。唐(tang)宋(song)兩(liang)代都(dou)由(you)國家(jia)明令規(gui)定為(wei)教(jiao)科書。1084年由(you)當時的(de)(de)北宋(song)朝廷進(jin)行刊(kan)刻(ke)，這是(shi)世界(jie)上最早(zao)的(de)(de)印刷本數(shu)學書。可以說(shuo)，《九章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》是(shi)中(zhong)國為(wei)數(shu)學發展做出(chu)的(de)(de)又一杰出(chu)貢獻。
在(zai)(zai)九章算術中有許多數(shu)學(xue)問(wen)題都是(shi)世(shi)界上(shang)記載最(zui)早的(de)(de)。例如，關(guan)于比例算法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)問(wen)題，它(ta)和后(hou)來在(zai)(zai)16世(shi)紀(ji)西(xi)歐出現(xian)的(de)(de)三分律的(de)(de)算法(fa)(fa)(fa)一樣。關(guan)于雙設法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)問(wen)題，在(zai)(zai)阿拉伯曾稱為契丹算法(fa)(fa)(fa)，13世(shi)紀(ji)以(yi)后(hou)的(de)(de)歐洲數(shu)學(xue)著作(zuo)中也有如此稱呼的(de)(de)，這也是(shi)中國古代數(shu)學(xue)知識向(xiang)西(xi)方傳播(bo)的(de)(de)一個證據。
《九章算術》對(dui)中(zhong)國古代的(de)數學(xue)(xue)發展有(you)很大影(ying)(ying)響(xiang)，這種(zhong)影(ying)(ying)響(xiang)一直持續到了清朝中(zhong)葉(xie)。《九章算術》的(de)敘述方(fang)式(shi)以歸納為(wei)主(zhu)，先(xian)給出若(ruo)干例題，再給出解(jie)法(fa)，不同于西方(fang)以演繹為(wei)主(zhu)的(de)敘述方(fang)式(shi)，中(zhong)國后(hou)來的(de)數學(xue)(xue)著作也都是采用敘述方(fang)式(shi)為(wei)主(zhu)。歷代數學(xue)(xue)家有(you)不少人(ren)曾經注釋過(guo)這本書，其中(zhong)以劉徽和(he)李淳風的(de)注釋最有(you)名(ming)。
《九章(zhang)算術》還流(liu)傳(chuan)到了日本和朝鮮(xian)，對其(qi)古代(dai)的(de)(de)數學發展也產生了很大的(de)(de)影(ying)響。
2020年(nian)4月，列入《教(jiao)育部基(ji)礎教(jiao)育課(ke)程教(jiao)材(cai)發展中(zhong)心(xin)中(zhong)小學生閱讀指導目錄（2020年(nian)版）》初(chu)中(zhong)段。
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