《九章算(suan)術》是中國古(gu)代張蒼、耿壽昌所撰寫的(de)(de)一部數(shu)學專(zhuan)著。是《算(suan)經十書(shu)》中最重要的(de)(de)一部，成(cheng)(cheng)(cheng)于公元一世紀左右。其(qi)作者已不可考。一般認為(wei)它是經歷代各(ge)家(jia)的(de)(de)增(zeng)補修訂，而(er)逐漸成(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)現今定本(ben)的(de)(de)，西漢的(de)(de)張蒼、耿壽昌曾經做過增(zeng)補和整理，其(qi)時大(da)體已成(cheng)(cheng)(cheng)定本(ben)。最后成(cheng)(cheng)(cheng)書(shu)最遲在東漢前期，現今流(liu)傳的(de)(de)大(da)多是在三國時期魏元帝景元四年(nian)（263年(nian)），劉徽為(wei)《九章》所作的(de)(de)注本(ben)。
《九(jiu)章算術(shu)》內(nei)容十分豐富，全書總結了戰國(guo)、秦(qin)、漢時(shi)期的(de)(de)數(shu)學成就。同時(shi)，《九(jiu)章算術(shu)》在數(shu)學上(shang)還(huan)有(you)其(qi)(qi)獨到的(de)(de)成就，不僅最(zui)早提(ti)到分數(shu)問題(ti)，也首(shou)(shou)先記錄了盈不足等(deng)問題(ti)，《方程》章還(huan)在世(shi)界數(shu)學史(shi)上(shang)首(shou)(shou)次闡述了負(fu)數(shu)及其(qi)(qi)加減運算法(fa)則(ze)。它是一(yi)本綜(zong)合性的(de)(de)歷史(shi)著作，是當時(shi)世(shi)界上(shang)最(zui)簡練有(you)效的(de)(de)應用(yong)數(shu)學，它的(de)(de)出現標(biao)志中國(guo)古代(dai)數(shu)學形(xing)成了完整的(de)(de)體系。
2020年(nian)4月，列入《教(jiao)育(yu)部基(ji)礎(chu)教(jiao)育(yu)課程教(jiao)材發(fa)展中心中小學生閱讀指導目錄（2020年(nian)版(ban)）》初(chu)中段。
《九(jiu)章算術(shu)》的(de)(de)(de)內容十分豐富(fu)，全(quan)書采用(yong)問題(ti)(ti)集的(de)(de)(de)形式，收(shou)有(you)(you)246個與生(sheng)產、生(sheng)活實踐有(you)(you)聯系的(de)(de)(de)應(ying)用(yong)問題(ti)(ti)，其中每道題(ti)(ti)有(you)(you)問（題(ti)(ti)目）、答（答案(an)）、術(shu)（解題(ti)(ti)的(de)(de)(de)步驟，但沒有(you)(you)證明(ming)），有(you)(you)的(de)(de)(de)是(shi)一題(ti)(ti)一術(shu)，有(you)(you)的(de)(de)(de)是(shi)多題(ti)(ti)一術(shu)或一題(ti)(ti)多術(shu)。這些問題(ti)(ti)依照(zhao)性質和(he)解法分別隸屬(shu)于(yu)方田、粟米、衰(shuai)（音cui）分、少廣、商功、均輸(shu)、盈不足、方程及勾股。共(gong)九(jiu)章如下(xia)所示(shi)。原作(zuo)有(you)(you)插圖，今(jin)傳本已只(zhi)剩下(xia)正(zheng)文了。
《九(jiu)章算術》共(gong)收(shou)有(you)246個(ge)數學問題，分為九(jiu)章。它們的主要(yao)內容分別是：
第一章“方(fang)(fang)田”：主要(yao)講(jiang)述(shu)了(le)平面(mian)幾何圖形(xing)(xing)(xing)面(mian)積的(de)計算(suan)方(fang)(fang)法(fa)。包括長(chang)方(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)、等腰(yao)(yao)三角(jiao)形(xing)(xing)(xing)、直角(jiao)梯(ti)形(xing)(xing)(xing)、等腰(yao)(yao)梯(ti)形(xing)(xing)(xing)、圓(yuan)形(xing)(xing)(xing)、扇形(xing)(xing)(xing)、弓形(xing)(xing)(xing)、圓(yuan)環(huan)這八種圖形(xing)(xing)(xing)面(mian)積的(de)計算(suan)方(fang)(fang)法(fa)。另外還系統地講(jiang)述(shu)了(le)分(fen)數(shu)的(de)四則(ze)運算(suan)法(fa)則(ze)，以及求分(fen)子分(fen)母最大公(gong)約數(shu)等方(fang)(fang)法(fa)。
第(di)二章“粟米”：谷物糧食的(de)按比(bi)例(li)折換；提出(chu)比(bi)例(li)算法(fa)，稱為今有術(shu)；衰(shuai)分章提出(chu)比(bi)例(li)分配法(fa)則，稱為衰(shuai)分術(shu)；
第三章“衰分”：比例分配問題(ti)。
第(di)四章“少廣(guang)”：已知面積、體(ti)積，反求其一邊長和徑長等；介紹了開平方(fang)、開立方(fang)的方(fang)法。
第五章“商(shang)功”：土石工程、體積計(ji)算(suan)；除給出了(le)各種立體體積公式外，還有工程分配方(fang)法；
第六章“均(jun)輸”：合(he)理(li)(li)攤派(pai)賦稅；用衰分(fen)術(shu)解決賦役的(de)(de)合(he)理(li)(li)負擔問題。今(jin)有術(shu)、衰分(fen)術(shu)及其應用方法(fa)，構成(cheng)了包括今(jin)天正、反比(bi)(bi)例(li)、比(bi)(bi)例(li)分(fen)配、復(fu)比(bi)(bi)例(li)、連鎖比(bi)(bi)例(li)在(zai)內(nei)的(de)(de)整套比(bi)(bi)例(li)理(li)(li)論。西方直到(dao)15世紀末以后(hou)才形成(cheng)類似的(de)(de)全(quan)套方法(fa)。
第七章“盈(ying)不足(zu)(zu)”：即雙設法(fa)問題(ti)(ti)；提(ti)出了盈(ying)不足(zu)(zu)、盈(ying)適(shi)(shi)足(zu)(zu)和不足(zu)(zu)適(shi)(shi)足(zu)(zu)、兩盈(ying)和兩不足(zu)(zu)三種類(lei)型的(de)盈(ying)虧問題(ti)(ti)，以及若(ruo)干可以通過兩次假設化為(wei)盈(ying)不足(zu)(zu)問題(ti)(ti)的(de)一般問題(ti)(ti)的(de)解(jie)法(fa)。這也是處(chu)于世界領先地位的(de)成果，傳到西(xi)方(fang)后，影(ying)響極大(da)。
第八章“方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)”：一(yi)次(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組問題；采用分(fen)離(li)系(xi)(xi)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)表示線性方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組，相(xiang)當(dang)于(yu)現(xian)在的(de)矩陣；解(jie)(jie)線性方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組時(shi)使(shi)(shi)用的(de)直除(chu)法(fa)(fa)，與(yu)矩陣的(de)初(chu)等變換一(yi)致。這是(shi)世(shi)界上最早的(de)完整的(de)線性方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組的(de)解(jie)(jie)法(fa)(fa)。在西(xi)方(fang)(fang)(fang)(fang)，直到17世(shi)紀才由萊(lai)布(bu)尼茲提(ti)出完整的(de)線性方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)的(de)解(jie)(jie)法(fa)(fa)法(fa)(fa)則(ze)(ze)。這一(yi)章還(huan)引進和使(shi)(shi)用了(le)(le)負數(shu)(shu)(shu)(shu)，并提(ti)出了(le)(le)正負術(shu)——正負數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)加減法(fa)(fa)則(ze)(ze)，與(yu)現(xian)今代數(shu)(shu)(shu)(shu)中法(fa)(fa)則(ze)(ze)完全(quan)相(xiang)同；解(jie)(jie)線性方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組時(shi)實際(ji)還(huan)施行了(le)(le)正負數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)乘(cheng)除(chu)法(fa)(fa)。這是(shi)世(shi)界數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)史上一(yi)項重大的(de)成就(jiu)，第一(yi)次(ci)突破了(le)(le)正數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)范(fan)圍，擴展(zhan)了(le)(le)數(shu)(shu)(shu)(shu)系(xi)(xi)。外國則(ze)(ze)到7世(shi)紀印度的(de)婆羅摩及(ji)多才認識負數(shu)(shu)(shu)(shu)。
第(di)九(jiu)章“勾(gou)(gou)股”：利(li)用(yong)勾(gou)(gou)股定理求解的(de)(de)(de)各種(zhong)問題(ti)。其中的(de)(de)(de)絕大多數(shu)內容是(shi)與當時的(de)(de)(de)社會生活密(mi)切相關的(de)(de)(de)。提出(chu)了勾(gou)(gou)股數(shu)問題(ti)的(de)(de)(de)通(tong)解公式：若a、b、c分別是(shi)勾(gou)(gou)股形的(de)(de)(de)勾(gou)(gou)、股、弦，則，m>n。在(zai)西方，畢達哥(ge)拉(la)斯、歐幾里得等(deng)僅得到(dao)了這(zhe)個公式的(de)(de)(de)幾種(zhong)特殊情況，直到(dao)3世(shi)(shi)紀(ji)的(de)(de)(de)丟番圖(tu)才(cai)取得相近(jin)的(de)(de)(de)結果，這(zhe)已比《九(jiu)章算術》晚約(yue)3個世(shi)(shi)紀(ji)了。勾(gou)(gou)股章還(huan)有些內容，在(zai)西方卻還(huan)是(shi)近(jin)代的(de)(de)(de)事。例(li)如勾(gou)(gou)股章最后(hou)一(yi)題(ti)給出(chu)的(de)(de)(de)一(yi)組公式，在(zai)國(guo)外到(dao)19世(shi)(shi)紀(ji)末才(cai)由美國(guo)的(de)(de)(de)數(shu)論學家(jia)迪克(ke)森得出(chu)。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術》確定了中國(guo)(guo)古代數(shu)(shu)學的(de)(de)(de)框架，以計算(suan)(suan)為(wei)(wei)中心的(de)(de)(de)特點，密切聯系(xi)實際，以解決人們生產、生活中的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學問題為(wei)(wei)目的(de)(de)(de)的(de)(de)(de)風格。其影響之深，以致以后中國(guo)(guo)數(shu)(shu)學著(zhu)作大體采取兩種形式：或為(wei)(wei)之作注，或仿其體例著(zhu)書；甚(shen)至西(xi)算(suan)(suan)傳入中國(guo)(guo)之后，人們著(zhu)書立說時還(huan)常(chang)常(chang)把包(bao)括西(xi)算(suan)(suan)在內(nei)的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學知識(shi)納入九(jiu)章(zhang)(zhang)的(de)(de)(de)框架。然而，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術》亦有其不(bu)容忽視的(de)(de)(de)缺點：沒有任何(he)數(shu)(shu)學概念的(de)(de)(de)定義，也(ye)沒有給(gei)出任何(he)推導(dao)和證明。魏景元四年（263年），劉徽給(gei)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術》作注，才大大彌補了這個(ge)缺陷(xian)。
劉(liu)徽是(shi)中國數學(xue)(xue)家之一。他的生(sheng)平知(zhi)之甚(shen)少。據考證，他是(shi)山(shan)東鄒平人(ren)。劉(liu)徽定義了若干數學(xue)(xue)概(gai)念，全面論證了《九章算術》的公式解法，提出了許多重要的思(si)想、方法和(he)命題，他在數學(xue)(xue)理論方面成績(ji)斐然。
劉徽(hui)對(dui)數(shu)(shu)學概念(nian)(nian)的(de)(de)(de)定(ding)義(yi)抽象而(er)(er)嚴謹(jin)。他(ta)揭(jie)示了概念(nian)(nian)的(de)(de)(de)本質，基本符合現(xian)代邏輯學和數(shu)(shu)學對(dui)概念(nian)(nian)定(ding)義(yi)的(de)(de)(de)要求。而(er)(er)且他(ta)使用概念(nian)(nian)時亦保持(chi)了其同一性(xing)。如他(ta)提出凡數(shu)(shu)相(xiang)(xiang)與者謂之率，把率定(ding)義(yi)為數(shu)(shu)量的(de)(de)(de)相(xiang)(xiang)互(hu)關系(xi)(xi)。又(you)如他(ta)把正(zheng)負(fu)數(shu)(shu)定(ding)義(yi)為今(jin)兩算得(de)失(shi)相(xiang)(xiang)反，要令正(zheng)負(fu)以名之，擺脫了正(zheng)為余，負(fu)為欠的(de)(de)(de)原始觀念(nian)(nian)，從本質上(shang)揭(jie)示了正(zheng)負(fu)數(shu)(shu)得(de)失(shi)相(xiang)(xiang)反的(de)(de)(de)相(xiang)(xiang)對(dui)關系(xi)(xi)。
《九章算(suan)術(shu)》的(de)(de)算(suan)法盡管抽象(xiang)，但相互關(guan)系不明顯(xian)，顯(xian)得零亂。劉(liu)徽大(da)(da)大(da)(da)發展(zhan)深(shen)化了(le)中算(suan)中久已(yi)使(shi)用的(de)(de)率概(gai)念和(he)齊(qi)(qi)同(tong)原理(li)，把它(ta)們看作運算(suan)的(de)(de)綱紀。許多問題，只要找出(chu)其中的(de)(de)各種率關(guan)系，通過乘以(yi)散(san)之(zhi)，約以(yi)聚之(zhi)，齊(qi)(qi)同(tong)以(yi)通之(zhi)，都可以(yi)歸結為今有術(shu)求解(jie)。
一(yi)平(ping)面（或立體(ti)）圖形經(jing)過(guo)平(ping)移或旋轉(zhuan)，其面積(ji)(ji)（或體(ti)積(ji)(ji)）不(bu)變。把一(yi)個平(ping)面（或立體(ti)）圖形分解成若(ruo)干部(bu)分，各(ge)部(bu)分面積(ji)(ji)（或體(ti)積(ji)(ji)）之和(he)與原圖形面積(ji)(ji)（或體(ti)積(ji)(ji)）相(xiang)等。基于這兩條不(bu)言自明的(de)(de)前提的(de)(de)出入相(xiang)補(bu)原理(li)，是中國古代數學進行幾(ji)何推演和(he)證(zheng)(zheng)明時(shi)最常(chang)用的(de)(de)原理(li)。劉徽發展了出入相(xiang)補(bu)原理(li)，成功地證(zheng)(zheng)明了許(xu)多面積(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)以(yi)及可以(yi)化(hua)為(wei)面積(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)問(wen)題的(de)(de)勾(gou)股、開方的(de)(de)公式和(he)算法的(de)(de)正確性。
《九章(zhang)算(suan)術》是(shi)中國古代的數學(xue)專著，是(shi)“算(suan)經(jing)十(shi)(shi)書(shu)”（漢(han)唐之(zhi)間(jian)出現的十(shi)(shi)部古算(suan)書(shu)）中最(zui)重要(yao)的一種。魏晉時劉徽為《九章(zhang)算(suan)術》作注時說:“周公(gong)制禮(li)而(er)有九數，九數之(zhi)流則《九章(zhang)》是(shi)矣”，又說“漢(han)北平(ping)侯張蒼、大司農中丞(cheng)耿壽(shou)昌皆以善算(suan)命世。蒼等(deng)因舊文之(zhi)遺殘，各稱刪補，故(gu)校其(qi)目則與古或異，而(er)所論(lun)多近語也”。
根據研(yan)究，西漢(han)的張(zhang)蒼(cang)、耿(geng)壽昌曾(ceng)經做過增補。最后成書最遲在東漢(han)前期，但是其(qi)基本(ben)內容在西漢(han)后期已經基本(ben)定型(xing)。
《漢書(shu)藝文志》（班固根(gen)據劉歆《七略(lve)(lve)》寫成者）中(zhong)著錄的數學(xue)書(shu)僅(jin)有(you)《許商(shang)算(suan)術(shu)》、《杜忠(zhong)算(suan)術(shu)》兩種，并無《九(jiu)章算(suan)術(shu)》，可見《九(jiu)章算(suan)術(shu)》的出(chu)現(xian)要晚于(yu)《七略(lve)(lve)》。《后漢書(shu)馬援傳(chuan)》載其侄孫馬續“博覽群書(shu)，善(shan)《九(jiu)章算(suan)術(shu)》”，馬續是(shi)(shi)公元(yuan)1世紀最后二、三十(shi)年時人。再根(gen)據《九(jiu)章算(suan)術(shu)》中(zhong)可供判定(ding)年代(dai)的官名、地(di)名等來推斷(duan)，現(xian)傳(chuan)本《九(jiu)章算(suan)術(shu)》的成書(shu)年代(dai)大約是(shi)(shi)在公元(yuan)1世紀的下半葉(xie)。九(jiu)章算(suan)術(shu)將(jiang)書(shu)中(zhong)的所有(you)數學(xue)問題分(fen)為九(jiu)大類，是(shi)(shi)陳(chen)凱靖編(bian)輯的
1984年(nian)，在湖北(bei)出(chu)土了《算數(shu)書》書簡。據考證，它比《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》要早(zao)一個(ge)半世紀以(yi)上，書中有(you)(you)些(xie)內容(rong)和(he)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》非(fei)常相似(si)，一些(xie)內容(rong)的(de)文句也基本(ben)相同(tong)。有(you)(you)人推測(ce)兩(liang)書具有(you)(you)某些(xie)繼承關系，但(dan)也有(you)(you)不同(tong)的(de)看法認(ren)為《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》沒有(you)(you)直接受到(dao)《算數(shu)書》影響。
后(hou)世(shi)的數(shu)學(xue)家(jia)，大(da)都(dou)(dou)是(shi)從(cong)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》開始學(xue)習和研(yan)究數(shu)學(xue)，許多(duo)(duo)人(ren)曾為(wei)它作(zuo)(zuo)過注(zhu)釋(shi)。其中(zhong)(zhong)最著(zhu)名(ming)的有劉(liu)徽（263）、李(li)淳風（656）等(deng)人(ren)。劉(liu)、李(li)等(deng)人(ren)的注(zhu)釋(shi)和《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》一起流傳至今。唐宋(song)兩代(dai)，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》都(dou)(dou)由國家(jia)明令規(gui)定為(wei)教科(ke)書(shu)(shu)。到了(le)北宋(song)，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》還曾由政府進(jin)行(xing)過刊刻(ke)（1084），這是(shi)世(shi)界上(shang)最早的印(yin)刷本(ben)數(shu)學(xue)書(shu)(shu)。在現傳本(ben)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》中(zhong)(zhong)，最早的版本(ben)乃是(shi)上(shang)述北宋(song)本(ben)的南宋(song)翻刻(ke)本(ben)（1213），現藏于上(shang)海圖(tu)書(shu)(shu)館（孤(gu)本(ben)，殘，只余(yu)前五卷）。清代(dai)戴(dai)震由《永樂大(da)典》中(zhong)(zhong)抄(chao)出《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》全(quan)書(shu)(shu)，并作(zuo)(zuo)了(le)校(xiao)勘。此后(hou)的《四庫全(quan)書(shu)(shu)》本(ben)、武英殿聚(ju)珍本(ben)、孔繼涵刻(ke)的《算(suan)(suan)經十(shi)書(shu)(shu)》本(ben)（1773）等(deng)，大(da)多(duo)(duo)數(shu)都(dou)(dou)是(shi)以戴(dai)校(xiao)本(ben)為(wei)底本(ben)的。
作為一部世界數學(xue)名著(zhu)，《九章算(suan)術》早在隋唐時期即已(yi)傳(chuan)入朝鮮(xian)、日本(ben)。它(ta)已(yi)被譯(yi)成日、俄、德、法等(deng)多種文字(zi)版本(ben)。
《九章算術》中的數學成就是多方面的：
（1）、在(zai)算(suan)術方面的(de)主要成就有(you)分(fen)數(shu)運算(suan)、比(bi)例問題(ti)和“盈不足(zu)”算(suan)法(fa)(fa)。《九(jiu)章算(suan)術》是世界上(shang)最早(zao)系統敘(xu)述了分(fen)數(shu)運算(suan)的(de)著(zhu)作，在(zai)第二、三、六章中(zhong)有(you)許多比(bi)例問題(ti)，在(zai)世界上(shang)也是比(bi)較早(zao)的(de)。“盈不足(zu)”的(de)算(suan)法(fa)(fa)需要給出兩(liang)次假設(she)，是一項創造，中(zhong)世紀歐洲稱(cheng)它為“雙設(she)法(fa)(fa)”，有(you)人認為它是由中(zhong)國經中(zhong)世紀阿拉(la)伯(bo)國家傳(chuan)去的(de)。
《九章(zhang)算術》中有比較完整的分數(shu)計算方法，包括(kuo)四則運算，通(tong)分、約分、化帶分數(shu)為假分數(shu)（我國(guo)古代(dai)稱(cheng)為通(tong)分內(nei)(nei)子，“內(nei)(nei)”讀為納）等等。其步驟與方法大體與現代(dai)的雷同(tong)。
分(fen)(fen)數(shu)(shu)加(jia)減運(yun)(yun)算(suan)，《九章算(suan)術》已明確提(ti)出先通分(fen)(fen)，使兩分(fen)(fen)數(shu)(shu)的(de)(de)分(fen)(fen)母(mu)相同(tong)，然后進行(xing)(xing)加(jia)減。加(jia)法(fa)的(de)(de)步驟是“母(mu)互乘(cheng)子，并以(yi)為實，母(mu)相乘(cheng)為法(fa)，實如法(fa)而(er)一(yi)(yi)”這(zhe)里“實”是分(fen)(fen)子。“法(fa)”是分(fen)(fen)母(mu)，“實如法(fa)而(er)一(yi)(yi)”也(ye)就(jiu)是用法(fa)去(qu)除實，進行(xing)(xing)除法(fa)運(yun)(yun)算(suan)，《九章算(suan)術》還注意到兩點：其(qi)一(yi)(yi)是運(yun)(yun)算(suan)結果如出現“不(bu)滿法(fa)者，以(yi)法(fa)命之”。就(jiu)是分(fen)(fen)子小于分(fen)(fen)母(mu)時便以(yi)分(fen)(fen)數(shu)(shu)形式保(bao)留。其(qi)二是“其(qi)母(mu)同(tong)者，直(zhi)相從之”，就(jiu)是分(fen)(fen)母(mu)相同(tong)的(de)(de)分(fen)(fen)數(shu)(shu)進行(xing)(xing)加(jia)減，運(yun)(yun)算(suan)時不(bu)必通分(fen)(fen)，使分(fen)(fen)子直(zhi)接加(jia)減即可。
《九章算術》中還有求最(zui)大公約數(shu)(shu)(shu)和約分(fen)的方法。求最(zui)大公約數(shu)(shu)(shu)的方法稱為(wei)“更相減(jian)(jian)(jian)損(sun)”法，其(qi)(qi)具體步驟(zou)是“可(ke)(ke)半者半之(zhi)，不可(ke)(ke)半者，副(fu)置分(fen)母子之(zhi)數(shu)(shu)(shu)，以少減(jian)(jian)(jian)多(duo)，更相減(jian)(jian)(jian)損(sun)，求其(qi)(qi)等(deng)也。以等(deng)數(shu)(shu)(shu)約之(zhi)。”這里所說(shuo)的“等(deng)數(shu)(shu)(shu)”就是我們現在的最(zui)大公約數(shu)(shu)(shu)。可(ke)(ke)半者是指分(fen)子分(fen)母都(dou)是偶數(shu)(shu)(shu)，可(ke)(ke)以折(zhe)(zhe)半的先把它們折(zhe)(zhe)半，即(ji)(ji)可(ke)(ke)先約去2。不都(dou)是偶數(shu)(shu)(shu)了，則另外(wai)擺（即(ji)(ji)副(fu)置）分(fen)子分(fen)母算籌進行計(ji)算，從大數(shu)(shu)(shu)中減(jian)(jian)(jian)去小數(shu)(shu)(shu)，輾轉相減(jian)(jian)(jian)，減(jian)(jian)(jian)到余數(shu)(shu)(shu)和減(jian)(jian)(jian)數(shu)(shu)(shu)相等(deng)，即(ji)(ji)得等(deng)數(shu)(shu)(shu)。
在《九章(zhang)算術》的(de)(de)第(di)二(er)、三、六等章(zhang)內，廣泛地使用(yong)了各種(zhong)比例解應(ying)用(yong)問(wen)題。粟(su)米(mi)(mi)章(zhang)的(de)(de)開始就列舉(ju)了各種(zhong)糧食(shi)間互換的(de)(de)比率如(ru)下：“粟(su)米(mi)(mi)之法：粟(su)率五十，糲(li)米(mi)(mi)三十，粺米(mi)(mi)二(er)十七，糳米(mi)(mi)二(er)十四，……”這是(shi)(shi)說(shuo)：谷(gu)子五斗(dou)去皮(pi)可得(de)糙米(mi)(mi)三斗(dou)，又(you)可舂得(de)九折米(mi)(mi)二(er)斗(dou)七升(sheng)，或八拆(chai)米(mi)(mi)二(er)斗(dou)四升(sheng)，……。例如(ru)，粟(su)米(mi)(mi)章(zhang)第(di)一(yi)題：“今有(you)粟(su)米(mi)(mi)一(yi)斗(dou)，欲(yu)為糲(li)米(mi)(mi)，問(wen)得(de)幾何”。它的(de)(de)解法是(shi)(shi)：“以所(suo)(suo)有(you)數乘(cheng)所(suo)(suo)求率為實，以所(suo)(suo)有(you)率為法，實如(ru)法而一(yi)”。
《九章(zhang)算術(shu)》第(di)七章(zhang)“盈(ying)(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)”專講盈(ying)(ying)虧問(wen)(wen)題及其解法(fa)(fa)其中(zhong)第(di)一(yi)題：“今有(you)（人）共買物(wu)，（每）人出(chu)(chu)八（錢），盈(ying)(ying)（余(yu)）三(san)錢；人出(chu)(chu)七（錢），不(bu)(bu)足(zu)(zu)四（錢），問(wen)(wen)人數(shu)、物(wu)價各幾(ji)何”，“答(da)曰(yue)：七人，物(wu)價53（錢）。”“盈(ying)(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)術(shu)曰(yue)：置所(suo)(suo)出(chu)(chu)率(lv)，盈(ying)(ying)、不(bu)(bu)足(zu)(zu)各居(ju)其下(xia)。令維乘(cheng)（即交錯相乘(cheng)）所(suo)(suo)出(chu)(chu)率(lv)，并以(yi)為(wei)(wei)實(shi)，并盈(ying)(ying)，不(bu)(bu)足(zu)(zu)為(wei)(wei)法(fa)(fa)，實(shi)如法(fa)(fa)而一(yi)……置所(suo)(suo)出(chu)(chu)率(lv)，以(yi)少減多(duo)，余(yu)，以(yi)約法(fa)(fa)、實(shi)。實(shi)為(wei)(wei)物(wu)價，法(fa)(fa)為(wei)(wei)人數(shu)”。盈(ying)(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)術(shu)是(shi)中(zhong)國(guo)(guo)(guo)數(shu)學(xue)(xue)史上解應用問(wen)(wen)題的(de)一(yi)種別(bie)開生面的(de)創(chuang)造，它在(zai)我國(guo)(guo)(guo)古(gu)代算法(fa)(fa)中(zhong)占有(you)相當重(zhong)(zhong)要的(de)地位。盈(ying)(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)術(shu)還(huan)經過絲綢之(zhi)路西傳中(zhong)亞阿拉伯(bo)國(guo)(guo)(guo)家，受到特別(bie)重(zhong)(zhong)視(shi)，被稱(cheng)為(wei)(wei)“契丹算法(fa)(fa)”，后(hou)來又傳入歐(ou)洲，中(zhong)世(shi)紀(ji)時期“雙設法(fa)(fa)”曾長期統治了他們的(de)數(shu)學(xue)(xue)王(wang)國(guo)(guo)(guo)。
（2）、《九章(zhang)算術》總結了生產、生活實(shi)踐中大量的幾何知識(shi)，在方田、商功和勾(gou)股章(zhang)中提(ti)出了很多面(mian)積、體(ti)積的計算公式和勾(gou)股定理的應(ying)用。
《九章算(suan)術》方(fang)(fang)田(tian)章主要論(lun)述平(ping)面圖(tu)形直線形和圓的面積(ji)計算(suan)方(fang)(fang)法。《九章算(suan)術》方(fang)(fang)田(tian)章第一題“今有田(tian)廣十五步(bu)，從（音(yin)縱zong）十六步(bu)。問(wen)為(wei)田(tian)幾何。”“答曰(yue)(yue)：一畝(mu)”。這(zhe)里“廣”就(jiu)是(shi)寬，“從”即(ji)縱，指(zhi)其(qi)長度，“方(fang)(fang)田(tian)術曰(yue)(yue)：廣從步(bu)數(shu)相乘(cheng)(cheng)得積(ji)步(bu)，（得積(ji)步(bu)就(jiu)是(shi)得到(dao)乘(cheng)(cheng)積(ji)的平(ping)方(fang)(fang)步(bu)數(shu)）以畝(mu)法二(er)百四十步(bu)（實(shi)質應為(wei)積(ji)步(bu)）除(chu)之，即(ji)畝(mu)數(shu)。百畝(mu)為(wei)一頃。”當時稱長方(fang)(fang)形為(wei)方(fang)(fang)田(tian)或直田(tian)。稱三(san)(san)角形為(wei)圭田(tian)，面積(ji)公式為(wei)“術曰(yue)(yue)：半廣以乘(cheng)(cheng)正從”。這(zhe)里廣是(shi)指(zhi)三(san)(san)角形的底(di)邊(bian)(bian)，正從是(shi)指(zhi)底(di)邊(bian)(bian)上的
高，劉徽在注文(wen)中對這(zhe)(zhe)一計算(suan)公(gong)式實質上作了(le)(le)證明(ming)：“半廣(guang)者(zhe)，以(yi)(yi)盈(ying)補虛(xu)，為直田也。”“亦可以(yi)(yi)半正(zheng)從(cong)以(yi)(yi)乘廣(guang)”（圖(tu)1－30）。盈(ying)是(shi)多余(yu)，虛(xu)乃不足。“以(yi)(yi)盈(ying)補虛(xu)”就(jiu)是(shi)以(yi)(yi)多余(yu)部分填補不足的(de)(de)部分，這(zhe)(zhe)就(jiu)是(shi)我國古代數(shu)學(xue)推導平(ping)面圖(tu)形面積(ji)公(gong)式所用的(de)(de)傳(chuan)統的(de)(de)“出入相補”的(de)(de)方(fang)法(fa)，由上圖(tu)“以(yi)(yi)盈(ying)補虛(xu)”變圭田為與之等積(ji)的(de)(de)直田，于是(shi)得到了(le)(le)圭田的(de)(de)面積(ji)計算(suan)公(gong)式。
方(fang)田(tian)(tian)章第二十七、二十八(ba)題把(ba)直角梯形稱為(wei)“邪(xie)田(tian)(tian)”（即(ji)斜田(tian)(tian)）它的(de)(de)面積公式(shi)是：“術(shu)曰(yue)：并兩(liang)(liang)邪(xie)（即(ji)兩(liang)(liang)斜，應(ying)理解為(wei)梯形兩(liang)(liang)底）而半之，以乘(cheng)正(zheng)從(cong)……，又可半正(zheng)從(cong)……以乘(cheng)并。”劉(liu)徽在注(zhu)中說(shuo)明他的(de)(de)證法仍(reng)是“出(chu)入相(xiang)補”法。在方(fang)田(tian)(tian)章第二十九、三十題把(ba)一般梯形稱為(wei)“箕田(tian)(tian)”，上、下底分別稱為(wei)“舌(she)”、“踵”，面積公式(shi)是：“術(shu)曰(yue)：并踵舌(she)而半之，以乘(cheng)正(zheng)從(cong)”。
至于圓(yuan)面(mian)(mian)(mian)積(ji)，在《九章算(suan)(suan)術》方田章第三(san)十一(yi)、三(san)十二題(ti)中，它(ta)的面(mian)(mian)(mian)積(ji)計算(suan)(suan)公(gong)式(shi)為：“半周(zhou)半徑(jing)相乘得(de)積(ji)步”。這(zhe)里“周(zhou)”是圓(yuan)周(zhou)長，“徑(jing)”是指直徑(jing)。這(zhe)個圓(yuan)面(mian)(mian)(mian)積(ji)計算(suan)(suan)公(gong)式(shi)是正確的。只是當時取徑(jing)一(yi)周(zhou)三(san)（即π≈3）。于是由此(ci)計算(suan)(suan)所得(de)的圓(yuan)面(mian)(mian)(mian)積(ji)就(jiu)不夠精(jing)密。
《九章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》商功章(zhang)(zhang)收集的(de)(de)都(dou)是一些有(you)關體(ti)(ti)積(ji)計(ji)算(suan)的(de)(de)問題(ti)。但是商功章(zhang)(zhang)并(bing)沒有(you)論述長(chang)方體(ti)(ti)或(huo)正方體(ti)(ti)的(de)(de)體(ti)(ti)積(ji)算(suan)法。看來(lai)《九章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》是在長(chang)方體(ti)(ti)或(huo)正方體(ti)(ti)體(ti)(ti)積(ji)計(ji)算(suan)公式(shi)：V=abc的(de)(de)基礎上來(lai)計(ji)算(suan)其他立體(ti)(ti)圖形體(ti)(ti)積(ji)的(de)(de)。
《九(jiu)章算(suan)術》商(shang)功(gong)章提到城(cheng)、垣(yuan)、堤(di)、溝、塹、渠，因(yin)其(qi)(qi)功(gong)用(yong)不同因(yin)而(er)名稱各(ge)異，其(qi)(qi)實質都是(shi)(shi)正(zheng)截面為等腰梯(ti)形的直(zhi)棱(leng)柱，他們(men)的體(ti)積(ji)(ji)計算(suan)方法：“術曰：并上、下(xia)廣而(er)半之，以高若(ruo)深乘(cheng)(cheng)之，又以袤乘(cheng)(cheng)之，即積(ji)(ji)尺”。這里(li)上、下(xia)廣指橫截面的上、下(xia)底（a，b）高或(huo)深（h），袤是(shi)(shi)指城(cheng)垣(yuan)……的長（l）。因(yin)此城(cheng)、垣(yuan)…的體(ti)積(ji)(ji)計算(suan)術公式V=1/2（a+b）h.
劉徽在注釋中把對于(yu)平(ping)面圖(tu)形的出(chu)入相補原理推廣(guang)應用到空間圖(tu)形，成為“損廣(guang)補狹”以證明幾何體體積公式。
劉徽(hui)還用棋(qi)驗法(fa)(fa)來推(tui)導比較復雜(za)的(de)幾(ji)(ji)何體(ti)(ti)體(ti)(ti)積(ji)計(ji)算公式。所謂棋(qi)驗法(fa)(fa)，“棋(qi)”是(shi)指某些(xie)幾(ji)(ji)何體(ti)(ti)模型即用幾(ji)(ji)何體(ti)(ti)模型驗證的(de)方法(fa)(fa)，例如長(chang)方體(ti)(ti)本身就是(shi)“棋(qi)”[圖(tu)1－32（1）]斜解一個(ge)長(chang)方體(ti)(ti)，得兩(liang)個(ge)兩(liang)底面(mian)為(wei)直(zhi)角(jiao)三角(jiao)形(xing)的(de)直(zhi)三棱柱，我國古代稱(cheng)為(wei)“塹堵(du)”（如圖(tu)），所以塹堵(du)的(de)體(ti)(ti)積(ji)是(shi)長(chang)方體(ti)(ti)體(ti)(ti)積(ji)的(de)二分之一。
《九(jiu)章算(suan)(suan)術》商功(gong)章還有圓錐、圓臺（古代稱“圓亭”）的體積計算(suan)(suan)公式。甚(shen)至對三個側面(mian)是等(deng)腰梯形(xing)，其他兩面(mian)為勾股形(xing)的五面(mian)體[圖1－33（1）]，上、下底為矩形(xing)的擬
柱體（古代(dai)稱(cheng)“芻童”）以(yi)及上底(di)為(wei)一(yi)線段，下(xia)底(di)為(wei)一(yi)矩形的(de)擬柱體（古代(dai)稱(cheng)“芻甍”）（“甍”音“夢”）等(deng)都可(ke)以(yi)計算其體積(ji)。
（3）、《九章算(suan)術》中(zhong)的代數內容同樣很(hen)豐富，具有當時世界(jie)的先(xian)進水平。
1．開平方和(he)開立方
《九章算術》中講了開(kai)平(ping)方(fang)(fang)(fang)、開(kai)立(li)方(fang)(fang)(fang)的(de)方(fang)(fang)(fang)法，而且計算步驟(zou)(zou)基本一樣。所不同的(de)是(shi)古代用籌算進行(xing)演算，現以少(shao)廣(guang)章第12題為例(li)，說明古代開(kai)平(ping)方(fang)(fang)(fang)演算的(de)步驟(zou)(zou)，“今(jin)有積(ji)五(wu)(wu)萬五(wu)(wu)千二(er)百二(er)十(shi)五(wu)(wu)步。問為方(fang)(fang)(fang)幾何”。“答曰(yue)：二(er)百三十(shi)五(wu)(wu)步”。這里所說的(de)步是(shi)我國古代的(de)長度(du)單(dan)位。
“開方（是指開平方，由正方形面積求其一邊之長。）術曰：置積為實（即指籌算中把被開方數放置于第二行，稱為實）借一算（指借用一算籌放置于最后一行，如圖1－25（1）所示用以定位）。步之（指所借的算籌一步一步移動）超一等（指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節相當如圖1－25（2）所示）。議所得（指議得初商，由于實的萬位數字是5，而且22<5<32，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2于百位，如圖1－25（3）所示）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置于“實”下為“法”，如圖1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“實”減去得：55225-40000=15225，如圖1－25（5）所示）除已，倍法為定法，其復除，折法而下（指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因為要求平方根的十位數字，需要把“借算”移至百位，如圖1－25（6）所示）。復置借算步之如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算于百位。因“實”的千位數字為15，且4×3<15<4×4，于是再議得次商為3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實”減去得：15225－12900=2325。如圖1－25（7）所示，以所得副從定法，復除折下如前（這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位，如圖1－25（8）所示；又議得三商應為5，再置5于商的個位如圖1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經計算恰盡如圖1－25（10）所示，因此得平方根為235。）
上述由圖1－25（1）—（10）是(shi)按(an)算(suan)籌(chou)進行演算(suan)的(de)，看起來似乎很(hen)繁(fan)瑣，實際上步(bu)驟(zou)十分清(qing)楚，易(yi)于操(cao)作。它(ta)的(de)開(kai)平方原理(li)與現(xian)代開(kai)平方原理(li)相(xiang)同。其中“借(jie)算(suan)”的(de)右移(yi)、左移(yi)在現(xian)代的(de)觀(guan)點下可(ke)以理(li)解為一次(ci)變換和代換。《九章算(suan)術》時(shi)(shi)代并沒有(you)(you)理(li)解到變換和代換，但是(shi)這對以后宋、元時(shi)(shi)期高(gao)次(ci)方程的(de)解法是(shi)有(you)(you)深(shen)遠影響的(de)。
《九章算(suan)(suan)術(shu)》方(fang)程(cheng)章中(zhong)(zhong)的(de)“方(fang)程(cheng)”是專指多(duo)元(yuan)一(yi)次方(fang)程(cheng)組而言，與(yu)“方(fang)程(cheng)”的(de)含義并不相同。《九章算(suan)(suan)術(shu)》中(zhong)(zhong)多(duo)元(yuan)一(yi)次方(fang)程(cheng)組的(de)解法，是將它們的(de)系數和常數項用算(suan)(suan)籌擺成“方(fang)陣(zhen)”（所以稱之(zhi)謂“方(fang)程(cheng)”）。消元(yuan)的(de)過程(cheng)相當(dang)于(yu)現代大學課程(cheng)高(gao)等代數中(zhong)(zhong)的(de)線性變換。
由于《九章算(suan)術》在(zai)用直除法(fa)(fa)解一(yi)次方(fang)(fang)程組過程中(zhong)，不可避免地(di)要出(chu)現正(zheng)(zheng)(zheng)負數(shu)(shu)(shu)的問題，于是在(zai)方(fang)(fang)程章第三題中(zhong)明確提出(chu)了(le)正(zheng)(zheng)(zheng)負術。劉徽在(zai)該術的注文里(li)實質上(shang)給出(chu)了(le)正(zheng)(zheng)(zheng)、負數(shu)(shu)(shu)的定義：“兩(liang)算(suan)得失相(xiang)反，要令(ling)‘正(zheng)(zheng)(zheng)’、‘負’以名(ming)之”。并在(zai)計算(suan)工具(ju)即算(suan)籌(chou)上(shang)加以區(qu)別“正(zheng)(zheng)(zheng)算(suan)赤，負算(suan)黑(hei)，否則以邪(xie)正(zheng)(zheng)(zheng)為異”。這(zhe)就是規定正(zheng)(zheng)(zheng)數(shu)(shu)(shu)用紅色(se)(se)(se)算(suan)籌(chou)，負數(shu)(shu)(shu)用黑(hei)色(se)(se)(se)算(suan)籌(chou)。如果只(zhi)有同色(se)(se)(se)算(suan)籌(chou)的話(hua)，則遇到正(zheng)(zheng)(zheng)數(shu)(shu)(shu)將籌(chou)正(zheng)(zheng)(zheng)放，負數(shu)(shu)(shu)時邪(xie)（同斜）放。宋(song)代以后出(chu)現筆算(suan)也相(xiang)應地(di)用紅、黑(hei)色(se)(se)(se)數(shu)(shu)(shu)碼字(zi)(zi)以區(qu)別正(zheng)(zheng)(zheng)、負數(shu)(shu)(shu)，或在(zai)個(ge)位數(shu)(shu)(shu)上(shang)記斜劃以表示負數(shu)(shu)(shu)，如（即—1824），后來(lai)這(zhe)種包(bao)括負數(shu)(shu)(shu)寫法(fa)(fa)在(zai)內的中(zhong)國數(shu)(shu)(shu)碼字(zi)(zi)還(huan)傳到日(ri)本。
關于正(zheng)、負(fu)(fu)(fu)數的(de)加減運算法則，“正(zheng)負(fu)(fu)(fu)術(shu)曰：同(tong)(tong)名相(xiang)(xiang)(xiang)益(yi)(yi)，異(yi)(yi)名相(xiang)(xiang)(xiang)除，正(zheng)無(wu)入負(fu)(fu)(fu)之，負(fu)(fu)(fu)無(wu)入正(zheng)之。其異(yi)(yi)名相(xiang)(xiang)(xiang)除，同(tong)(tong)名相(xiang)(xiang)(xiang)益(yi)(yi)，正(zheng)無(wu)入正(zheng)之，負(fu)(fu)(fu)無(wu)入負(fu)(fu)(fu)之”。這里(li)所說的(de)“同(tong)(tong)名”、“異(yi)(yi)名”分別相(xiang)(xiang)(xiang)當于所說的(de)同(tong)(tong)號、異(yi)(yi)號。“相(xiang)(xiang)(xiang)益(yi)(yi)”、“相(xiang)(xiang)(xiang)除”是指二數相(xiang)(xiang)(xiang)加、相(xiang)(xiang)(xiang)減。術(shu)文前四句是減法運算法則：
（1）如果被減(jian)數(shu)絕(jue)對值(zhi)大于減(jian)數(shu)絕(jue)對值(zhi)，即a>b≥0，
則同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），
異名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。
（2）如果被減數(shu)絕(jue)對值(zhi)小于減數(shu)絕(jue)對值(zhi)，即b>a≥0。
①如果兩數皆正
則a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。
中間一式的a和a對(dui)消，而（b-a）無可對(dui)消，則改“正(zheng)”為“負”，即“正(zheng)無入(ru)負之”。“無入(ru)”就是無對(dui)，也(ye)就是無可對(dui)消（或不夠減或對(dui)方為零）。
②如果兩數皆負
則(ze)（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在(zai)中(zhong)間(jian)的式子(zi)里(li)（-a）和（-a）對消(xiao)，而-（b-a）無可對消(xiao)，則(ze)改(gai)“負(fu)”為“正”所以說“負(fu)無入正之”。
③如果兩(liang)數一正一負。則仍同（1）的(de)異(yi)名相(xiang)益(yi)。
術(shu)文的后四句是指正負數加法運(yun)算法則。
（1）同號兩數相(xiang)加，即同名相(xiang)益，其和的(de)絕對值等(deng)于兩數絕對值和。
如果a>0，b>0，
則(ze)a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）
（2）異號兩數(shu)相加(jia)，實為(wei)相減，即異名相除。如果正(zheng)數(shu)的絕對值(zhi)較(jiao)大(da)，其和(he)為(wei)正(zheng)，即“正(zheng)無(wu)入(ru)正(zheng)之(zhi)”。如果負數(shu)的絕對值(zhi)較(jiao)大(da)，其和(he)為(wei)負，即“負無(wu)入(ru)負之(zhi)”。用(yong)符號表示為(wei)
①如果a>b≥0，
則(ze)a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，
或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。
②如果b>a≥0，
則a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），
或（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。
關于正負(fu)數的乘除法(fa)則(ze)，在(zai)《九章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》時代或許會遇到有(you)(you)關正負(fu)數的乘除運算(suan)(suan)。可(ke)惜書中(zhong)并(bing)未(wei)論及(ji)，直到元代朱(zhu)世杰于《算(suan)(suan)學啟蒙》（1299年）中(zhong)才有(you)(you)明(ming)確的記(ji)載：“同名(ming)相乘為(wei)正，異名(ming)相乘為(wei)負(fu)”，“同名(ming)相除所得(de)為(wei)正，異名(ming)相除所得(de)為(wei)負(fu)”，因此(ci)至遲(chi)于13世紀(ji)(ji)末(mo)我國(guo)對有(you)(you)理數四則(ze)運算(suan)(suan)法(fa)則(ze)已經全面作了(le)總結。至于正負(fu)數概念的引入，正負(fu)數加減運算(suan)(suan)法(fa)則(ze)的形成的歷史記(ji)錄，我國(guo)更是(shi)遙(yao)遙(yao)領(ling)先。國(guo)外首先承(cheng)認(ren)負(fu)數的是(shi)七世紀(ji)(ji)印(yin)度數學家(jia)婆(po)羅(luo)門岌多(duo)（約598-？）歐洲到16世紀(ji)(ji)才承(cheng)認(ren)負(fu)數。
現傳本《九(jiu)章(zhang)算術》成(cheng)書于何時，眾說紛紜(yun)，多(duo)數(shu)認為在(zai)西漢末到東漢初(chu)之間，約公元一世紀(ji)前后(hou)，《九(jiu)章(zhang)算術》的作者不詳。很可能(neng)是(shi)在(zai)成(cheng)書前一段歷(li)史時期內通過(guo)(guo)多(duo)人之手(shou)逐次整理、修改、補充而成(cheng)的集(ji)體創作結晶。由于二(er)千年(nian)來(lai)經過(guo)(guo)輾轉手(shou)抄、刻印，難免會出現差錯和(he)遺漏(lou)，加上《九(jiu)章(zhang)算術》文字(zi)簡略有(you)些內容(rong)不易理解，因此歷(li)史上有(you)過(guo)(guo)多(duo)次校正和(he)注釋。
關于對(dui)《九章(zhang)算術(shu)》所做的(de)校注主要有：西(xi)漢張蒼增訂、刪補(bu)，三國(guo)時曹魏(wei)劉(liu)徽(hui)注，唐(tang)李淳風注，南宋(song)楊(yang)輝著《詳解九章(zhang)算法》選用《九章(zhang)算術(shu)》中(zhong)80道典型的(de)題作過詳解并分(fen)類，清李潢(huang)（？—1811年(nian)）所著《九章(zhang)算術(shu)細草圖(tu)(tu)說(shuo)》對(dui)《九章(zhang)算術(shu)》進行了校訂、列算草、補(bu)插(cha)圖(tu)(tu)、加說(shuo)明，尤其(qi)是圖(tu)(tu)文并茂之作。
現代(dai)(dai)錢寶琮（1892—1974年）曾對(dui)包(bao)括《九章(zhang)算術》在內的《算經(jing)十(shi)書》進行了校點，用通俗語言(yan)、近代(dai)(dai)數(shu)學術語對(dui)《九章(zhang)算術》及劉(liu)、李注文詳加注釋(shi)。80年代(dai)(dai)以(yi)來，今人白尚恕、郭書春、李繼閔等都有校注本出(chu)版。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》是(shi)世(shi)界上最早(zao)系統敘述了分數(shu)(shu)運(yun)算(suan)的(de)(de)(de)著(zhu)作；其中(zhong)盈不足的(de)(de)(de)算(suan)法(fa)更(geng)是(shi)一(yi)項令人驚(jing)奇的(de)(de)(de)創造；“方程”章(zhang)(zhang)還在世(shi)界數(shu)(shu)學史上首次闡述了負數(shu)(shu)及(ji)其加減(jian)運(yun)算(suan)法(fa)則。在代數(shu)(shu)方面，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》在世(shi)界數(shu)(shu)學史上最早(zao)提出負數(shu)(shu)概(gai)念及(ji)正負數(shu)(shu)加減(jian)法(fa)法(fa)則；中(zhong)學講授的(de)(de)(de)線性方程組(zu)的(de)(de)(de)解法(fa)和《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》介(jie)紹(shao)的(de)(de)(de)方法(fa)大體相同。注重實際應用是(shi)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》的(de)(de)(de)一(yi)個顯著(zhu)特(te)點。該(gai)書的(de)(de)(de)一(yi)些(xie)知(zhi)識(shi)還傳播至(zhi)印度和阿拉(la)伯，甚至(zhi)經過(guo)這些(xie)地區遠至(zhi)歐洲。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》是(shi)(shi)幾代人(ren)共同勞動的(de)(de)結晶(jing)，它的(de)(de)出(chu)現標志著中國古代數(shu)學(xue)體系(xi)的(de)(de)形成．后世的(de)(de)數(shu)學(xue)家(jia)(jia)，大(da)都是(shi)(shi)從《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》開始學(xue)習和研究(jiu)數(shu)學(xue)知識的(de)(de)。唐宋(song)兩代都由(you)國家(jia)(jia)明(ming)令規定為教科(ke)書(shu)。1084年由(you)當時(shi)的(de)(de)北(bei)宋(song)朝廷進行刊(kan)刻，這是(shi)(shi)世界上最早(zao)的(de)(de)印刷本(ben)數(shu)學(xue)書(shu)。可以說，《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》是(shi)(shi)中國為數(shu)學(xue)發展做出(chu)的(de)(de)又一杰出(chu)貢獻。
在(zai)(zai)九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術中有(you)許多數學(xue)(xue)(xue)問(wen)題(ti)都是世(shi)界上記載最早的(de)。例(li)如(ru)，關于(yu)比例(li)算(suan)(suan)(suan)法(fa)的(de)問(wen)題(ti)，它和后(hou)來在(zai)(zai)16世(shi)紀西歐出現(xian)的(de)三(san)分律的(de)算(suan)(suan)(suan)法(fa)一(yi)樣(yang)。關于(yu)雙(shuang)設法(fa)的(de)問(wen)題(ti)，在(zai)(zai)阿拉伯曾稱(cheng)為契丹算(suan)(suan)(suan)法(fa)，13世(shi)紀以后(hou)的(de)歐洲數學(xue)(xue)(xue)著作(zuo)中也有(you)如(ru)此稱(cheng)呼的(de)，這(zhe)也是中國(guo)古(gu)代數學(xue)(xue)(xue)知識向西方傳播的(de)一(yi)個證據。
《九章(zhang)算(suan)(suan)術》對(dui)中(zhong)國(guo)(guo)古代的(de)數學發(fa)展(zhan)有很大影響，這種(zhong)影響一直持續到了清朝中(zhong)葉(xie)。《九章(zhang)算(suan)(suan)術》的(de)敘(xu)述方(fang)式(shi)以(yi)歸納為主(zhu)，先(xian)給出(chu)若(ruo)干例(li)題，再給出(chu)解法，不(bu)同(tong)于西方(fang)以(yi)演繹為主(zhu)的(de)敘(xu)述方(fang)式(shi)，中(zhong)國(guo)(guo)后來的(de)數學著作(zuo)也(ye)都是采用敘(xu)述方(fang)式(shi)為主(zhu)。歷代數學家有不(bu)少人曾經注(zhu)釋過這本書，其中(zhong)以(yi)劉徽和(he)李淳風(feng)的(de)注(zhu)釋最(zui)有名。
《九章算(suan)術》還流傳(chuan)到了(le)日本和朝鮮(xian)，對其古代的數學發展也產生了(le)很大(da)的影響。
2020年4月(yue)，列(lie)入《教(jiao)育(yu)(yu)部基礎教(jiao)育(yu)(yu)課程教(jiao)材(cai)發展中(zhong)心中(zhong)小學生閱讀指導目錄（2020年版）》初中(zhong)段。
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