《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽(shou)(shou)昌所撰(zhuan)寫(xie)的一(yi)部數學(xue)專(zhuan)著。是《算經(jing)十書》中最(zui)重要的一(yi)部，成于公(gong)元一(yi)世紀左右。其(qi)作(zuo)者(zhe)已不(bu)可考(kao)。一(yi)般認(ren)為(wei)它是經(jing)歷代各家的增(zeng)補修訂(ding)，而逐漸(jian)成為(wei)現(xian)今定本的，西(xi)漢的張蒼、耿壽(shou)(shou)昌曾經(jing)做過增(zeng)補和整理，其(qi)時(shi)大(da)體已成定本。最(zui)后(hou)成書最(zui)遲在(zai)東漢前(qian)期(qi)，現(xian)今流(liu)傳(chuan)的大(da)多是在(zai)三國時(shi)期(qi)魏元帝(di)景元四年(nian)（263年(nian)），劉徽為(wei)《九章》所作(zuo)的注本。
《九章算(suan)術》內容十分豐富，全書總結了戰國、秦、漢時期(qi)的(de)數學成就(jiu)。同時，《九章算(suan)術》在數學上(shang)還有其獨到的(de)成就(jiu)，不僅最早提到分數問題(ti)，也首先記(ji)錄(lu)了盈不足等問題(ti)，《方程》章還在世界數學史(shi)上(shang)首次闡述(shu)了負數及其加減運(yun)算(suan)法(fa)則。它是一本綜合性的(de)歷史(shi)著作(zuo)，是當時世界上(shang)最簡練有效的(de)應用數學，它的(de)出現(xian)標志中國古代(dai)數學形成了完整(zheng)的(de)體系。
2020年4月，列(lie)入《教(jiao)育部(bu)基(ji)礎教(jiao)育課程(cheng)教(jiao)材發(fa)展中(zhong)(zhong)心中(zhong)(zhong)小學生閱讀指導目錄（2020年版(ban)）》初中(zhong)(zhong)段。
《九章(zhang)算術(shu)》的(de)內容十分豐(feng)富(fu)，全書采用問(wen)題(ti)集(ji)的(de)形式，收(shou)有(you)246個與生(sheng)產、生(sheng)活(huo)實(shi)踐有(you)聯系的(de)應用問(wen)題(ti)，其中每(mei)道題(ti)有(you)問(wen)（題(ti)目）、答（答案）、術(shu)（解題(ti)的(de)步驟，但沒(mei)有(you)證(zheng)明），有(you)的(de)是一(yi)(yi)(yi)(yi)題(ti)一(yi)(yi)(yi)(yi)術(shu)，有(you)的(de)是多題(ti)一(yi)(yi)(yi)(yi)術(shu)或一(yi)(yi)(yi)(yi)題(ti)多術(shu)。這些問(wen)題(ti)依(yi)照(zhao)性(xing)質(zhi)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰（音(yin)cui）分、少廣、商功、均輸、盈不足(zu)、方程及勾股(gu)。共(gong)九章(zhang)如下(xia)所示。原(yuan)作有(you)插圖，今(jin)傳(chuan)本(ben)已只剩下(xia)正文了。
《九(jiu)章(zhang)算術》共收(shou)有246個數學問題，分(fen)為九(jiu)章(zhang)。它(ta)們的(de)主要內容分(fen)別是：
第一(yi)章“方田”：主(zhu)要(yao)講(jiang)(jiang)述了平面幾何圖形(xing)(xing)(xing)面積的(de)計算方法。包括長方形(xing)(xing)(xing)、等腰三角形(xing)(xing)(xing)、直角梯形(xing)(xing)(xing)、等腰梯形(xing)(xing)(xing)、圓形(xing)(xing)(xing)、扇形(xing)(xing)(xing)、弓形(xing)(xing)(xing)、圓環(huan)這八種圖形(xing)(xing)(xing)面積的(de)計算方法。另外還系統地講(jiang)(jiang)述了分(fen)數(shu)的(de)四則運(yun)算法則，以及(ji)求分(fen)子分(fen)母最大公約數(shu)等方法。
第二章“粟(su)米(mi)”：谷物糧食(shi)的按(an)比(bi)例折換；提出比(bi)例算(suan)法(fa)，稱為今有術；衰(shuai)分章提出比(bi)例分配法(fa)則，稱為衰(shuai)分術；
第(di)三章“衰分”：比例分配問題。
第四章“少廣(guang)”：已知面積、體積，反求(qiu)其一(yi)邊長(chang)(chang)和徑長(chang)(chang)等；介紹(shao)了開平方(fang)、開立方(fang)的(de)方(fang)法(fa)。
第五章(zhang)“商功”：土石工(gong)(gong)程、體(ti)積計算(suan)；除給出了各種立體(ti)體(ti)積公式外，還(huan)有(you)工(gong)(gong)程分配方法；
第六章(zhang)“均輸”：合理(li)攤(tan)派(pai)賦稅；用衰分(fen)術解決賦役(yi)的(de)合理(li)負擔問(wen)題。今(jin)有術、衰分(fen)術及其應(ying)用方(fang)法(fa)，構成了包括今(jin)天(tian)正、反(fan)比(bi)(bi)例(li)、比(bi)(bi)例(li)分(fen)配、復(fu)比(bi)(bi)例(li)、連鎖比(bi)(bi)例(li)在內的(de)整套比(bi)(bi)例(li)理(li)論(lun)。西方(fang)直到15世紀末以后才形成類(lei)似的(de)全(quan)套方(fang)法(fa)。
第七章“盈不(bu)(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)”：即(ji)雙設(she)(she)法問(wen)(wen)題；提出了(le)盈不(bu)(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)、盈適(shi)足(zu)(zu)(zu)和不(bu)(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)適(shi)足(zu)(zu)(zu)、兩盈和兩不(bu)(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)三種(zhong)類型的盈虧問(wen)(wen)題，以及若干可以通過(guo)兩次假設(she)(she)化為盈不(bu)(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)問(wen)(wen)題的一般問(wen)(wen)題的解(jie)法。這也是處于世界領(ling)先地位的成果，傳到西方后，影響極(ji)大。
第(di)八(ba)章(zhang)“方(fang)(fang)(fang)程(cheng)”：一次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)問題；采用(yong)分離系數(shu)(shu)的(de)方(fang)(fang)(fang)法(fa)表(biao)示線性方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)，相當(dang)于現(xian)在的(de)矩陣；解線性方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)時使用(yong)的(de)直(zhi)除法(fa)，與(yu)矩陣的(de)初等變換一致。這(zhe)是世界上最早的(de)完整的(de)線性方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)的(de)解法(fa)。在西方(fang)(fang)(fang)，直(zhi)到17世紀(ji)才(cai)由萊布尼茲提(ti)出(chu)完整的(de)線性方(fang)(fang)(fang)程(cheng)的(de)解法(fa)法(fa)則。這(zhe)一章(zhang)還引進(jin)和使用(yong)了負(fu)數(shu)(shu)，并提(ti)出(chu)了正(zheng)(zheng)負(fu)術(shu)——正(zheng)(zheng)負(fu)數(shu)(shu)的(de)加(jia)減(jian)法(fa)則，與(yu)現(xian)今代數(shu)(shu)中法(fa)則完全相同(tong)；解線性方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)時實際還施行了正(zheng)(zheng)負(fu)數(shu)(shu)的(de)乘除法(fa)。這(zhe)是世界數(shu)(shu)學史上一項重大(da)的(de)成就，第(di)一次突破了正(zheng)(zheng)數(shu)(shu)的(de)范圍，擴(kuo)展了數(shu)(shu)系。外(wai)國則到7世紀(ji)印度(du)的(de)婆羅摩(mo)及多才(cai)認識(shi)負(fu)數(shu)(shu)。
第(di)九章“勾(gou)股(gu)(gu)”：利用勾(gou)股(gu)(gu)定理求解的(de)(de)(de)各種(zhong)問(wen)題。其中的(de)(de)(de)絕大多數(shu)內容是與當時的(de)(de)(de)社會生活密切相關(guan)的(de)(de)(de)。提(ti)出(chu)了(le)勾(gou)股(gu)(gu)數(shu)問(wen)題的(de)(de)(de)通解公(gong)式(shi)(shi)：若a、b、c分別是勾(gou)股(gu)(gu)形的(de)(de)(de)勾(gou)、股(gu)(gu)、弦，則，m>n。在(zai)西方，畢達哥拉斯(si)、歐幾里得(de)等(deng)僅(jin)得(de)到了(le)這(zhe)個公(gong)式(shi)(shi)的(de)(de)(de)幾種(zhong)特(te)殊情況(kuang)，直到3世(shi)紀的(de)(de)(de)丟番圖才(cai)(cai)取(qu)得(de)相近(jin)的(de)(de)(de)結果，這(zhe)已比《九章算(suan)術》晚(wan)約3個世(shi)紀了(le)。勾(gou)股(gu)(gu)章還有些內容，在(zai)西方卻還是近(jin)代的(de)(de)(de)事。例如勾(gou)股(gu)(gu)章最后一題給出(chu)的(de)(de)(de)一組(zu)公(gong)式(shi)(shi)，在(zai)國(guo)外到19世(shi)紀末才(cai)(cai)由美國(guo)的(de)(de)(de)數(shu)論學家迪克森得(de)出(chu)。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術》確定了中(zhong)(zhong)國古代數(shu)學(xue)(xue)的框架(jia)，以計(ji)算(suan)(suan)為(wei)中(zhong)(zhong)心的特點，密切聯(lian)系實際，以解決人們生產(chan)、生活中(zhong)(zhong)的數(shu)學(xue)(xue)問題為(wei)目(mu)的的風格。其(qi)影響之深，以致以后(hou)中(zhong)(zhong)國數(shu)學(xue)(xue)著作大體采(cai)取(qu)兩種形式：或為(wei)之作注(zhu)，或仿其(qi)體例著書；甚至西算(suan)(suan)傳入(ru)中(zhong)(zhong)國之后(hou)，人們著書立說時還常常把包括西算(suan)(suan)在內的數(shu)學(xue)(xue)知識納入(ru)九(jiu)(jiu)章(zhang)的框架(jia)。然而，《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術》亦有其(qi)不容忽視的缺(que)點：沒有任何數(shu)學(xue)(xue)概念(nian)的定義，也(ye)沒有給出(chu)任何推導(dao)和證明。魏(wei)景元四年(nian)（263年(nian)），劉徽給《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術》作注(zhu)，才(cai)大大彌補了這個缺(que)陷(xian)。
劉徽是中國數學家(jia)之一。他(ta)(ta)的(de)生(sheng)平知之甚(shen)少。據考證(zheng)，他(ta)(ta)是山東(dong)鄒(zou)平人。劉徽定義了(le)若干(gan)數學概念(nian)，全面(mian)論證(zheng)了(le)《九(jiu)章(zhang)算術》的(de)公式解(jie)法(fa)，提出了(le)許多重(zhong)要的(de)思(si)想、方法(fa)和命題，他(ta)(ta)在數學理論方面(mian)成績斐然(ran)。
劉徽對數(shu)(shu)(shu)學概(gai)(gai)念的(de)定(ding)義(yi)(yi)抽(chou)象而嚴謹。他揭示了概(gai)(gai)念的(de)本質，基本符合現代邏輯學和(he)數(shu)(shu)(shu)學對概(gai)(gai)念定(ding)義(yi)(yi)的(de)要(yao)求(qiu)。而且他使用概(gai)(gai)念時亦(yi)保持了其(qi)同一性。如(ru)他提出凡數(shu)(shu)(shu)相與者謂(wei)之(zhi)率，把率定(ding)義(yi)(yi)為(wei)數(shu)(shu)(shu)量的(de)相互關系。又(you)如(ru)他把正負數(shu)(shu)(shu)定(ding)義(yi)(yi)為(wei)今兩算得失相反(fan)，要(yao)令正負以名之(zhi)，擺脫了正為(wei)余(yu)，負為(wei)欠的(de)原始觀念，從(cong)本質上揭示了正負數(shu)(shu)(shu)得失相反(fan)的(de)相對關系。
《九章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術》的算(suan)(suan)(suan)法(fa)盡管抽象，但相(xiang)互(hu)關系(xi)不(bu)明顯(xian)，顯(xian)得零亂。劉(liu)徽大(da)大(da)發展(zhan)深(shen)化了中(zhong)算(suan)(suan)(suan)中(zhong)久已使用的率概念和齊(qi)同原理，把它(ta)們看作運(yun)算(suan)(suan)(suan)的綱紀(ji)。許多問題，只要(yao)找(zhao)出其中(zhong)的各種率關系(xi)，通過乘以散之，約以聚(ju)之，齊(qi)同以通之，都可以歸結(jie)為今(jin)有(you)術求解。
一(yi)平(ping)面(mian)（或(huo)立體）圖形經過(guo)平(ping)移或(huo)旋轉(zhuan)，其面(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)（或(huo)體積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)）不(bu)變。把一(yi)個平(ping)面(mian)（或(huo)立體）圖形分(fen)解成若干部(bu)(bu)分(fen)，各部(bu)(bu)分(fen)面(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)（或(huo)體積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)）之和與原(yuan)圖形面(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)（或(huo)體積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)）相等。基于(yu)這兩條不(bu)言自明的(de)前提的(de)出(chu)入相補原(yuan)理(li)，是中國古代(dai)數學進行幾何推演和證(zheng)明時(shi)最常用的(de)原(yuan)理(li)。劉徽發(fa)展了出(chu)入相補原(yuan)理(li)，成功地證(zheng)明了許多面(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)、體積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)以及可以化為面(mian)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)、體積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)問題(ti)的(de)勾(gou)股(gu)、開方的(de)公式(shi)和算法的(de)正(zheng)確性。
《九(jiu)章算(suan)(suan)術》是中國古(gu)(gu)代的數(shu)學(xue)專著，是“算(suan)(suan)經十書”（漢唐之(zhi)間(jian)出現(xian)的十部古(gu)(gu)算(suan)(suan)書）中最重要的一種。魏晉時劉徽(hui)為《九(jiu)章算(suan)(suan)術》作注(zhu)時說(shuo):“周公制禮(li)而有九(jiu)數(shu)，九(jiu)數(shu)之(zhi)流則(ze)《九(jiu)章》是矣”，又說(shuo)“漢北(bei)平侯(hou)張蒼(cang)、大司農(nong)中丞耿(geng)壽(shou)昌(chang)皆以(yi)善算(suan)(suan)命世。蒼(cang)等因舊文(wen)之(zhi)遺殘，各稱刪補，故校(xiao)其目(mu)則(ze)與古(gu)(gu)或異，而所論(lun)多近語也(ye)”。
根據研究，西(xi)漢的張蒼、耿壽(shou)昌曾經做過增補(bu)。最(zui)后成書(shu)最(zui)遲在東漢前期(qi)，但是其基本內容在西(xi)漢后期(qi)已(yi)經基本定型。
《漢書藝(yi)文志》（班固(gu)根(gen)據(ju)劉歆(xin)《七略》寫(xie)成者）中著錄的(de)(de)數學(xue)書僅(jin)有《許商算(suan)術(shu)(shu)(shu)》、《杜忠算(suan)術(shu)(shu)(shu)》兩種，并無(wu)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》，可見《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》的(de)(de)出現要(yao)晚于(yu)《七略》。《后(hou)漢書馬援(yuan)傳(chuan)》載其侄孫馬續“博(bo)覽群書，善《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》”，馬續是公元1世紀最后(hou)二、三(san)十年時人。再根(gen)據(ju)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》中可供判定(ding)年代(dai)的(de)(de)官名、地(di)名等來推斷，現傳(chuan)本《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》的(de)(de)成書年代(dai)大約是在公元1世紀的(de)(de)下半葉(xie)。九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)將書中的(de)(de)所(suo)有數學(xue)問題分為(wei)九(jiu)(jiu)大類，是陳凱(kai)靖編(bian)輯的(de)(de)
1984年(nian)，在(zai)湖(hu)北出土了《算(suan)(suan)數書(shu)(shu)》書(shu)(shu)簡。據(ju)考(kao)證，它比(bi)《九章算(suan)(suan)術》要早(zao)一(yi)個(ge)半世紀(ji)以上，書(shu)(shu)中有(you)些內(nei)容和《九章算(suan)(suan)術》非常相似，一(yi)些內(nei)容的文(wen)句也基本相同(tong)。有(you)人推(tui)測兩書(shu)(shu)具有(you)某些繼承(cheng)關系(xi)，但也有(you)不(bu)同(tong)的看(kan)法(fa)認為《九章算(suan)(suan)術》沒有(you)直接受到《算(suan)(suan)數書(shu)(shu)》影響。
后(hou)世(shi)的(de)(de)數學(xue)家(jia)，大(da)都(dou)是(shi)從《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》開始學(xue)習和(he)研究數學(xue)，許多人(ren)曾為它作(zuo)過注(zhu)釋(shi)。其中最(zui)著名的(de)(de)有劉徽(hui)（263）、李淳(chun)風（656）等人(ren)。劉、李等人(ren)的(de)(de)注(zhu)釋(shi)和(he)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》一起流傳至今。唐宋兩代，《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》都(dou)由國家(jia)明令規定為教科(ke)書(shu)。到了北宋，《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》還曾由政(zheng)府進行(xing)過刊刻（1084），這是(shi)世(shi)界(jie)上(shang)最(zui)早的(de)(de)印刷本數學(xue)書(shu)。在現傳本《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》中，最(zui)早的(de)(de)版本乃是(shi)上(shang)述(shu)北宋本的(de)(de)南宋翻刻本（1213），現藏于上(shang)海(hai)圖書(shu)館（孤本，殘，只余前五卷）。清代戴(dai)震由《永樂(le)大(da)典(dian)》中抄(chao)出《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》全(quan)書(shu)，并作(zuo)了校勘。此后(hou)的(de)(de)《四庫(ku)全(quan)書(shu)》本、武英殿聚珍本、孔繼涵刻的(de)(de)《算(suan)經十書(shu)》本（1773）等，大(da)多數都(dou)是(shi)以戴(dai)校本為底本的(de)(de)。
作(zuo)為一部世界數(shu)學名著，《九章算(suan)術》早在隋唐(tang)時期即已傳(chuan)入朝鮮、日本。它(ta)已被譯成日、俄、德、法(fa)等多(duo)種文字版本。
《九章(zhang)算術(shu)》中的數學(xue)成(cheng)就是多(duo)方(fang)面的：
（1）、在(zai)算術方面的(de)(de)主要(yao)成就有分數(shu)運(yun)算、比(bi)例(li)問題(ti)和“盈不(bu)(bu)足(zu)”算法(fa)。《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》是(shi)世界上(shang)最(zui)早系統敘述(shu)了分數(shu)運(yun)算的(de)(de)著(zhu)作(zuo)，在(zai)第二、三(san)、六章(zhang)(zhang)中(zhong)有許多比(bi)例(li)問題(ti)，在(zai)世界上(shang)也(ye)是(shi)比(bi)較早的(de)(de)。“盈不(bu)(bu)足(zu)”的(de)(de)算法(fa)需要(yao)給(gei)出(chu)兩次(ci)假設(she)，是(shi)一項創造，中(zhong)世紀(ji)歐洲稱它為(wei)“雙設(she)法(fa)”，有人認為(wei)它是(shi)由中(zhong)國(guo)經(jing)中(zhong)世紀(ji)阿拉伯國(guo)家傳去的(de)(de)。
《九章(zhang)算(suan)術》中有比(bi)較完整的分(fen)數計算(suan)方法(fa)(fa)，包(bao)括四則運算(suan)，通分(fen)、約分(fen)、化(hua)帶分(fen)數為假分(fen)數（我國古代(dai)稱為通分(fen)內子，“內”讀為納(na)）等等。其步驟與(yu)方法(fa)(fa)大體與(yu)現代(dai)的雷同。
分(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)加(jia)減(jian)運(yun)算(suan)(suan)，《九章(zhang)算(suan)(suan)術》已(yi)明確提出先通分(fen)(fen)(fen)，使(shi)兩分(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)的分(fen)(fen)(fen)母(mu)相(xiang)(xiang)同(tong)(tong)，然(ran)后進(jin)行(xing)加(jia)減(jian)。加(jia)法(fa)(fa)(fa)的步驟是(shi)(shi)“母(mu)互乘子(zi)，并以(yi)為實(shi)(shi)，母(mu)相(xiang)(xiang)乘為法(fa)(fa)(fa)，實(shi)(shi)如(ru)法(fa)(fa)(fa)而(er)一(yi)”這里“實(shi)(shi)”是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)子(zi)。“法(fa)(fa)(fa)”是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)母(mu)，“實(shi)(shi)如(ru)法(fa)(fa)(fa)而(er)一(yi)”也就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)用(yong)法(fa)(fa)(fa)去除實(shi)(shi)，進(jin)行(xing)除法(fa)(fa)(fa)運(yun)算(suan)(suan)，《九章(zhang)算(suan)(suan)術》還注意到兩點：其(qi)一(yi)是(shi)(shi)運(yun)算(suan)(suan)結果如(ru)出現“不(bu)滿(man)法(fa)(fa)(fa)者(zhe)，以(yi)法(fa)(fa)(fa)命之”。就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)子(zi)小于分(fen)(fen)(fen)母(mu)時便(bian)以(yi)分(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)形式保留。其(qi)二是(shi)(shi)“其(qi)母(mu)同(tong)(tong)者(zhe)，直相(xiang)(xiang)從之”，就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)母(mu)相(xiang)(xiang)同(tong)(tong)的分(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)進(jin)行(xing)加(jia)減(jian)，運(yun)算(suan)(suan)時不(bu)必通分(fen)(fen)(fen)，使(shi)分(fen)(fen)(fen)子(zi)直接(jie)加(jia)減(jian)即可。
《九章算術》中(zhong)還有求最大(da)公約(yue)數(shu)和約(yue)分(fen)的(de)方法(fa)。求最大(da)公約(yue)數(shu)的(de)方法(fa)稱為“更(geng)相(xiang)減(jian)(jian)(jian)損(sun)”法(fa)，其具體步驟是(shi)“可半者(zhe)半之，不(bu)可半者(zhe)，副(fu)置分(fen)母子之數(shu)，以少減(jian)(jian)(jian)多(duo)，更(geng)相(xiang)減(jian)(jian)(jian)損(sun)，求其等也。以等數(shu)約(yue)之。”這(zhe)里所說的(de)“等數(shu)”就是(shi)我們(men)現在的(de)最大(da)公約(yue)數(shu)。可半者(zhe)是(shi)指分(fen)子分(fen)母都(dou)是(shi)偶(ou)(ou)數(shu)，可以折半的(de)先把它們(men)折半，即(ji)可先約(yue)去2。不(bu)都(dou)是(shi)偶(ou)(ou)數(shu)了，則另(ling)外擺(bai)（即(ji)副(fu)置）分(fen)子分(fen)母算籌進行計算，從(cong)大(da)數(shu)中(zhong)減(jian)(jian)(jian)去小(xiao)數(shu)，輾(zhan)轉相(xiang)減(jian)(jian)(jian)，減(jian)(jian)(jian)到(dao)余(yu)數(shu)和減(jian)(jian)(jian)數(shu)相(xiang)等，即(ji)得等數(shu)。
在《九章(zhang)算術》的(de)(de)(de)第二、三(san)、六等章(zhang)內，廣泛地使用了各種比例(li)解應用問題(ti)。粟(su)米(mi)(mi)(mi)章(zhang)的(de)(de)(de)開始(shi)就列舉了各種糧食間互換的(de)(de)(de)比率(lv)如(ru)(ru)下：“粟(su)米(mi)(mi)(mi)之法(fa)：粟(su)率(lv)五十，糲(li)米(mi)(mi)(mi)三(san)十，粺(bai)米(mi)(mi)(mi)二十七，糳米(mi)(mi)(mi)二十四，……”這是說(shuo)：谷子五斗(dou)(dou)去皮(pi)可得糙米(mi)(mi)(mi)三(san)斗(dou)(dou)，又可舂得九折米(mi)(mi)(mi)二斗(dou)(dou)七升，或八拆米(mi)(mi)(mi)二斗(dou)(dou)四升，……。例(li)如(ru)(ru)，粟(su)米(mi)(mi)(mi)章(zhang)第一(yi)(yi)題(ti)：“今有粟(su)米(mi)(mi)(mi)一(yi)(yi)斗(dou)(dou)，欲為(wei)糲(li)米(mi)(mi)(mi)，問得幾何”。它(ta)的(de)(de)(de)解法(fa)是：“以所(suo)有數乘所(suo)求(qiu)率(lv)為(wei)實，以所(suo)有率(lv)為(wei)法(fa)，實如(ru)(ru)法(fa)而一(yi)(yi)”。
《九章(zhang)算術(shu)》第七章(zhang)“盈(ying)不(bu)(bu)(bu)足(zu)”專講盈(ying)虧問(wen)題及(ji)其解法(fa)(fa)(fa)(fa)其中(zhong)第一(yi)題：“今有（人(ren)）共買(mai)物(wu)，（每）人(ren)出八(ba)（錢），盈(ying)（余）三錢；人(ren)出七（錢），不(bu)(bu)(bu)足(zu)四（錢），問(wen)人(ren)數(shu)、物(wu)價各幾何”，“答曰：七人(ren)，物(wu)價53（錢）。”“盈(ying)不(bu)(bu)(bu)足(zu)術(shu)曰：置所出率，盈(ying)、不(bu)(bu)(bu)足(zu)各居其下。令維乘(cheng)（即交錯相(xiang)乘(cheng)）所出率，并(bing)以為(wei)(wei)實(shi)，并(bing)盈(ying)，不(bu)(bu)(bu)足(zu)為(wei)(wei)法(fa)(fa)(fa)(fa)，實(shi)如(ru)法(fa)(fa)(fa)(fa)而一(yi)……置所出率，以少減多，余，以約法(fa)(fa)(fa)(fa)、實(shi)。實(shi)為(wei)(wei)物(wu)價，法(fa)(fa)(fa)(fa)為(wei)(wei)人(ren)數(shu)”。盈(ying)不(bu)(bu)(bu)足(zu)術(shu)是中(zhong)國數(shu)學史上解應用問(wen)題的(de)一(yi)種別開生(sheng)面的(de)創造，它(ta)在我國古代(dai)算法(fa)(fa)(fa)(fa)中(zhong)占有相(xiang)當重要的(de)地位。盈(ying)不(bu)(bu)(bu)足(zu)術(shu)還經過絲綢之路西(xi)傳(chuan)中(zhong)亞阿拉伯國家(jia)，受到特(te)別重視，被稱為(wei)(wei)“契丹(dan)算法(fa)(fa)(fa)(fa)”，后(hou)來又傳(chuan)入(ru)歐洲，中(zhong)世紀時(shi)期(qi)“雙設法(fa)(fa)(fa)(fa)”曾長期(qi)統治了他們(men)的(de)數(shu)學王國。
（2）、《九章算術》總(zong)結了(le)生產、生活實踐中大量(liang)的(de)幾何知(zhi)識，在(zai)方田、商功和勾股章中提出了(le)很多面(mian)積、體積的(de)計(ji)算公式和勾股定理的(de)應用。
《九(jiu)章算術》方(fang)田(tian)(tian)章主要論述平面(mian)圖形(xing)(xing)直線形(xing)(xing)和圓的(de)面(mian)積(ji)計算方(fang)法(fa)(fa)。《九(jiu)章算術》方(fang)田(tian)(tian)章第一(yi)題“今(jin)有田(tian)(tian)廣(guang)十五(wu)步(bu)(bu)(bu)，從(cong)（音縱zong）十六步(bu)(bu)(bu)。問為(wei)田(tian)(tian)幾(ji)何。”“答(da)曰(yue)：一(yi)畝”。這里“廣(guang)”就是寬，“從(cong)”即縱，指其長(chang)度(du)，“方(fang)田(tian)(tian)術曰(yue)：廣(guang)從(cong)步(bu)(bu)(bu)數(shu)(shu)相乘(cheng)得積(ji)步(bu)(bu)(bu)，（得積(ji)步(bu)(bu)(bu)就是得到乘(cheng)積(ji)的(de)平方(fang)步(bu)(bu)(bu)數(shu)(shu)）以畝法(fa)(fa)二百(bai)四(si)十步(bu)(bu)(bu)（實質應為(wei)積(ji)步(bu)(bu)(bu)）除之，即畝數(shu)(shu)。百(bai)畝為(wei)一(yi)頃。”當(dang)時稱長(chang)方(fang)形(xing)(xing)為(wei)方(fang)田(tian)(tian)或直田(tian)(tian)。稱三角形(xing)(xing)為(wei)圭田(tian)(tian)，面(mian)積(ji)公式為(wei)“術曰(yue)：半廣(guang)以乘(cheng)正(zheng)從(cong)”。這里廣(guang)是指三角形(xing)(xing)的(de)底邊(bian)(bian)，正(zheng)從(cong)是指底邊(bian)(bian)上的(de)
高，劉徽在注文中對這一計(ji)算公(gong)式實質上(shang)作了(le)證(zheng)明(ming)：“半廣(guang)者，以盈補(bu)虛，為(wei)直田(tian)(tian)也(ye)。”“亦可以半正從以乘廣(guang)”（圖1－30）。盈是多余，虛乃不足。“以盈補(bu)虛”就是以多余部分填補(bu)不足的(de)部分，這就是我國(guo)古代(dai)數學推導平(ping)面圖形面積(ji)公(gong)式所用的(de)傳統的(de)“出(chu)入(ru)相補(bu)”的(de)方(fang)法，由上(shang)圖“以盈補(bu)虛”變圭田(tian)(tian)為(wei)與之等(deng)積(ji)的(de)直田(tian)(tian)，于是得到了(le)圭田(tian)(tian)的(de)面積(ji)計(ji)算公(gong)式。
方(fang)田(tian)章第二十(shi)七、二十(shi)八題把直角梯形(xing)稱(cheng)為“邪田(tian)”（即斜(xie)田(tian)）它的(de)面(mian)積公式是：“術曰：并兩(liang)邪（即兩(liang)斜(xie)，應理解為梯形(xing)兩(liang)底）而(er)半(ban)之(zhi)，以乘正從……，又可半(ban)正從……以乘并。”劉(liu)徽在注中(zhong)說明(ming)他(ta)的(de)證法(fa)仍是“出入相補”法(fa)。在方(fang)田(tian)章第二十(shi)九、三十(shi)題把一(yi)般梯形(xing)稱(cheng)為“箕田(tian)”，上、下底分別稱(cheng)為“舌”、“踵”，面(mian)積公式是：“術曰：并踵舌而(er)半(ban)之(zhi)，以乘正從”。
至于(yu)圓面積(ji)，在(zai)《九章算(suan)術》方田(tian)章第(di)三(san)十一(yi)、三(san)十二題(ti)中，它的面積(ji)計(ji)算(suan)公(gong)式為(wei)：“半(ban)周(zhou)(zhou)半(ban)徑(jing)相乘得(de)積(ji)步”。這里“周(zhou)(zhou)”是(shi)圓周(zhou)(zhou)長(chang)，“徑(jing)”是(shi)指直(zhi)徑(jing)。這個圓面積(ji)計(ji)算(suan)公(gong)式是(shi)正確(que)的。只是(shi)當時取徑(jing)一(yi)周(zhou)(zhou)三(san)（即π≈3）。于(yu)是(shi)由此(ci)計(ji)算(suan)所得(de)的圓面積(ji)就(jiu)不夠精(jing)密。
《九章算(suan)(suan)術》商功章收集(ji)的(de)(de)(de)都是一些(xie)有(you)關體(ti)(ti)積計(ji)算(suan)(suan)的(de)(de)(de)問題(ti)。但(dan)是商功章并沒有(you)論述(shu)長(chang)方(fang)體(ti)(ti)或正方(fang)體(ti)(ti)的(de)(de)(de)體(ti)(ti)積算(suan)(suan)法。看來(lai)《九章算(suan)(suan)術》是在長(chang)方(fang)體(ti)(ti)或正方(fang)體(ti)(ti)體(ti)(ti)積計(ji)算(suan)(suan)公式：V=abc的(de)(de)(de)基礎上來(lai)計(ji)算(suan)(suan)其他立(li)體(ti)(ti)圖形體(ti)(ti)積的(de)(de)(de)。
《九章(zhang)算術》商功章(zhang)提到(dao)城(cheng)、垣(yuan)、堤、溝、塹、渠，因其功用不同因而(er)名稱(cheng)各(ge)異(yi)，其實(shi)質都(dou)是正(zheng)截(jie)面為等腰梯(ti)形的(de)(de)直棱柱，他們的(de)(de)體積(ji)計算方法：“術曰(yue)：并上、下廣而(er)半之(zhi)，以(yi)高若深乘(cheng)之(zhi)，又以(yi)袤(mao)乘(cheng)之(zhi)，即(ji)積(ji)尺”。這里上、下廣指橫(heng)截(jie)面的(de)(de)上、下底（a，b）高或(huo)深（h），袤(mao)是指城(cheng)垣(yuan)……的(de)(de)長（l）。因此(ci)城(cheng)、垣(yuan)…的(de)(de)體積(ji)計算術公式V=1/2（a+b）h.
劉徽(hui)在注釋中把對(dui)于平面圖形(xing)的出入相(xiang)補(bu)原(yuan)理推廣應用(yong)到(dao)空間圖形(xing)，成為(wei)“損(sun)廣補(bu)狹(xia)”以證明幾何(he)體體積公式。
劉徽還用棋(qi)驗法(fa)來推(tui)導比較復雜的(de)(de)幾(ji)何體(ti)(ti)(ti)體(ti)(ti)(ti)積計算(suan)公式。所(suo)謂棋(qi)驗法(fa)，“棋(qi)”是(shi)指某些幾(ji)何體(ti)(ti)(ti)模型(xing)即用幾(ji)何體(ti)(ti)(ti)模型(xing)驗證的(de)(de)方(fang)(fang)法(fa)，例如長(chang)(chang)方(fang)(fang)體(ti)(ti)(ti)本身(shen)就是(shi)“棋(qi)”[圖(tu)(tu)1－32（1）]斜解一(yi)個(ge)長(chang)(chang)方(fang)(fang)體(ti)(ti)(ti)，得兩個(ge)兩底面為直角三(san)(san)角形的(de)(de)直三(san)(san)棱柱，我國古代稱為“塹(qian)堵(du)(du)”（如圖(tu)(tu)），所(suo)以塹(qian)堵(du)(du)的(de)(de)體(ti)(ti)(ti)積是(shi)長(chang)(chang)方(fang)(fang)體(ti)(ti)(ti)體(ti)(ti)(ti)積的(de)(de)二分之一(yi)。
《九章算(suan)術》商功(gong)章還有圓(yuan)錐、圓(yuan)臺(tai)（古代稱“圓(yuan)亭”）的(de)(de)體(ti)積計算(suan)公式。甚至對三個側(ce)面是等(deng)腰梯形，其他(ta)兩面為(wei)勾股形的(de)(de)五面體(ti)[圖1－33（1）]，上、下底為(wei)矩(ju)形的(de)(de)擬(ni)
柱(zhu)體（古(gu)代稱“芻童”）以及上底為一線段，下底為一矩形的擬(ni)柱(zhu)體（古(gu)代稱“芻甍(meng)”）（“甍(meng)”音“夢”）等都可以計算其體積。
（3）、《九章算術》中的(de)代數(shu)內(nei)容同樣很豐富，具有當(dang)時世界的(de)先進水平(ping)。
1．開(kai)平方(fang)和(he)開(kai)立方(fang)
《九章(zhang)算術》中(zhong)講了開(kai)平方、開(kai)立方的方法，而且計算步(bu)驟基(ji)本(ben)一(yi)樣。所不同(tong)的是(shi)古(gu)(gu)代用(yong)籌算進行演(yan)算，現以少廣章(zhang)第12題為例，說(shuo)明古(gu)(gu)代開(kai)平方演(yan)算的步(bu)驟，“今(jin)有(you)積五(wu)萬五(wu)千(qian)二(er)百二(er)十五(wu)步(bu)。問為方幾何”。“答曰：二(er)百三十五(wu)步(bu)”。這里所說(shuo)的步(bu)是(shi)我國古(gu)(gu)代的長度單位(wei)。
“開方（是指開平方，由正方形面積求其一邊之長。）術曰：置積為實（即指籌算中把被開方數放置于第二行，稱為實）借一算（指借用一算籌放置于最后一行，如圖1－25（1）所示用以定位）。步之（指所借的算籌一步一步移動）超一等（指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節相當如圖1－25（2）所示）。議所得（指議得初商，由于實的萬位數字是5，而且22<5<32，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2于百位，如圖1－25（3）所示）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置于“實”下為“法”，如圖1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“實”減去得：55225-40000=15225，如圖1－25（5）所示）除已，倍法為定法，其復除，折法而下（指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因為要求平方根的十位數字，需要把“借算”移至百位，如圖1－25（6）所示）。復置借算步之如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算于百位。因“實”的千位數字為15，且4×3<15<4×4，于是再議得次商為3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實”減去得：15225－12900=2325。如圖1－25（7）所示，以所得副從定法，復除折下如前（這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位，如圖1－25（8）所示；又議得三商應為5，再置5于商的個位如圖1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經計算恰盡如圖1－25（10）所示，因此得平方根為235。）
上(shang)述由圖1－25（1）—（10）是按算籌(chou)進(jin)行演(yan)算的(de)(de)，看起來(lai)似乎(hu)很繁瑣，實際上(shang)步驟十分清(qing)楚，易于操作。它的(de)(de)開(kai)平方原(yuan)理(li)與現代(dai)(dai)開(kai)平方原(yuan)理(li)相同。其中“借算”的(de)(de)右移、左移在現代(dai)(dai)的(de)(de)觀點下可以(yi)理(li)解(jie)(jie)為一次(ci)變(bian)(bian)換和代(dai)(dai)換。《九章算術(shu)》時代(dai)(dai)并沒有理(li)解(jie)(jie)到(dao)變(bian)(bian)換和代(dai)(dai)換，但是這(zhe)對以(yi)后宋(song)、元時期高次(ci)方程的(de)(de)解(jie)(jie)法是有深遠(yuan)影響(xiang)的(de)(de)。
《九章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》方(fang)程(cheng)(cheng)章(zhang)中的(de)“方(fang)程(cheng)(cheng)”是專指多元(yuan)一次(ci)方(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)而言，與(yu)“方(fang)程(cheng)(cheng)”的(de)含義并(bing)不(bu)相(xiang)同。《九章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》中多元(yuan)一次(ci)方(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)的(de)解法，是將它(ta)們的(de)系數和常數項用算(suan)(suan)籌(chou)擺成“方(fang)陣”（所以稱之謂(wei)“方(fang)程(cheng)(cheng)”）。消元(yuan)的(de)過(guo)程(cheng)(cheng)相(xiang)當于現代大(da)學課程(cheng)(cheng)高等代數中的(de)線(xian)性變換。
由于《九章算(suan)(suan)術(shu)(shu)》在(zai)用(yong)(yong)(yong)直除法(fa)解一次方程(cheng)組過程(cheng)中，不可(ke)避(bi)免(mian)地要出現正負(fu)數(shu)的(de)問題，于是(shi)在(zai)方程(cheng)章第三(san)題中明確提出了正負(fu)術(shu)(shu)。劉徽在(zai)該術(shu)(shu)的(de)注文里(li)實(shi)質上(shang)給出了正、負(fu)數(shu)的(de)定(ding)義(yi)：“兩算(suan)(suan)得失相(xiang)(xiang)反，要令‘正’、‘負(fu)’以(yi)名之”。并(bing)在(zai)計(ji)算(suan)(suan)工(gong)具即算(suan)(suan)籌(chou)上(shang)加以(yi)區(qu)(qu)別“正算(suan)(suan)赤，負(fu)算(suan)(suan)黑(hei)，否(fou)則以(yi)邪正為異”。這(zhe)就是(shi)規定(ding)正數(shu)用(yong)(yong)(yong)紅(hong)色(se)算(suan)(suan)籌(chou)，負(fu)數(shu)用(yong)(yong)(yong)黑(hei)色(se)算(suan)(suan)籌(chou)。如果只有(you)同色(se)算(suan)(suan)籌(chou)的(de)話(hua)，則遇到正數(shu)將籌(chou)正放(fang)，負(fu)數(shu)時邪（同斜(xie)）放(fang)。宋(song)代以(yi)后出現筆算(suan)(suan)也相(xiang)(xiang)應地用(yong)(yong)(yong)紅(hong)、黑(hei)色(se)數(shu)碼字以(yi)區(qu)(qu)別正、負(fu)數(shu)，或在(zai)個位數(shu)上(shang)記斜(xie)劃以(yi)表示負(fu)數(shu)，如（即—1824），后來這(zhe)種(zhong)包括負(fu)數(shu)寫(xie)法(fa)在(zai)內的(de)中國數(shu)碼字還傳到日本。
關(guan)于正(zheng)、負數的(de)加減(jian)運算(suan)法則，“正(zheng)負術(shu)曰：同(tong)(tong)名(ming)(ming)相(xiang)(xiang)益，異名(ming)(ming)相(xiang)(xiang)除(chu)，正(zheng)無(wu)入(ru)(ru)負之，負無(wu)入(ru)(ru)正(zheng)之。其異名(ming)(ming)相(xiang)(xiang)除(chu)，同(tong)(tong)名(ming)(ming)相(xiang)(xiang)益，正(zheng)無(wu)入(ru)(ru)正(zheng)之，負無(wu)入(ru)(ru)負之”。這(zhe)里所(suo)說的(de)“同(tong)(tong)名(ming)(ming)”、“異名(ming)(ming)”分別相(xiang)(xiang)當于所(suo)說的(de)同(tong)(tong)號、異號。“相(xiang)(xiang)益”、“相(xiang)(xiang)除(chu)”是(shi)指二數相(xiang)(xiang)加、相(xiang)(xiang)減(jian)。術(shu)文前四句(ju)是(shi)減(jian)法運算(suan)法則：
（1）如(ru)果被減數絕對值大(da)于減數絕對值，即a>b≥0，
則同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），
異名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。
（2）如(ru)果(guo)被減數絕對值小于減數絕對值，即(ji)b>a≥0。
①如果兩數皆正
則(ze)a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。
中間一(yi)式的(de)a和a對消，而(er)（b-a）無(wu)可對消，則改“正”為“負”，即“正無(wu)入負之”。“無(wu)入”就(jiu)是無(wu)對，也就(jiu)是無(wu)可對消（或不(bu)夠(gou)減或對方為零）。
②如果兩數皆負
則（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在中間的(de)式子里（-a）和（-a）對消，而(er)-（b-a）無可(ke)對消，則改(gai)“負(fu)”為“正”所以說(shuo)“負(fu)無入正之(zhi)”。
③如果兩(liang)數(shu)一正一負(fu)。則仍同（1）的異名相益。
術文的后四句是指(zhi)正(zheng)負數加法(fa)運算(suan)法(fa)則。
（1）同號兩數相(xiang)加，即(ji)同名相(xiang)益，其和的絕(jue)對值等于兩數絕(jue)對值和。
如(ru)果a>0，b>0，
則a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）
（2）異號兩(liang)數相(xiang)加(jia)，實為相(xiang)減，即異名相(xiang)除。如(ru)果正(zheng)數的絕(jue)對(dui)值(zhi)較大，其和為正(zheng)，即“正(zheng)無(wu)入(ru)正(zheng)之”。如(ru)果負(fu)數的絕(jue)對(dui)值(zhi)較大，其和為負(fu)，即“負(fu)無(wu)入(ru)負(fu)之”。用符號表示為
①如果a>b≥0，
則(ze)a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，
或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。
②如果b>a≥0，
則a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），
或（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。
關于(yu)(yu)正(zheng)負數(shu)(shu)(shu)的(de)乘(cheng)除法(fa)(fa)則(ze)，在(zai)《九章算(suan)術》時代或許會遇(yu)到有關正(zheng)負數(shu)(shu)(shu)的(de)乘(cheng)除運(yun)算(suan)。可惜書(shu)中并未論及，直到元代朱(zhu)世杰于(yu)(yu)《算(suan)學啟(qi)蒙》（1299年）中才有明確的(de)記(ji)載：“同名相(xiang)乘(cheng)為(wei)(wei)正(zheng)，異名相(xiang)乘(cheng)為(wei)(wei)負”，“同名相(xiang)除所(suo)得為(wei)(wei)正(zheng)，異名相(xiang)除所(suo)得為(wei)(wei)負”，因此至遲于(yu)(yu)13世紀末(mo)我(wo)國(guo)對(dui)有理數(shu)(shu)(shu)四則(ze)運(yun)算(suan)法(fa)(fa)則(ze)已經全面作了總結(jie)。至于(yu)(yu)正(zheng)負數(shu)(shu)(shu)概念的(de)引入，正(zheng)負數(shu)(shu)(shu)加減運(yun)算(suan)法(fa)(fa)則(ze)的(de)形成的(de)歷史(shi)記(ji)錄，我(wo)國(guo)更是遙(yao)遙(yao)領先。國(guo)外首先承(cheng)(cheng)認負數(shu)(shu)(shu)的(de)是七世紀印(yin)度數(shu)(shu)(shu)學家婆羅門岌(ji)多（約598-？）歐(ou)洲到16世紀才承(cheng)(cheng)認負數(shu)(shu)(shu)。
現(xian)(xian)傳本《九(jiu)章(zhang)算術》成書(shu)于何時，眾說紛紜(yun)，多(duo)數認(ren)為在西漢末(mo)到東漢初(chu)之間，約公(gong)元一世(shi)紀前后(hou)，《九(jiu)章(zhang)算術》的作(zuo)(zuo)者不(bu)詳。很可(ke)能是在成書(shu)前一段歷史時期內(nei)通過(guo)多(duo)人(ren)之手逐次整理、修改、補充(chong)而(er)成的集體(ti)創作(zuo)(zuo)結晶。由于二千年來經(jing)過(guo)輾轉手抄、刻印(yin)，難免會出(chu)現(xian)(xian)差錯和遺漏(lou)，加上《九(jiu)章(zhang)算術》文字簡(jian)略有(you)(you)些內(nei)容不(bu)易理解，因此(ci)歷史上有(you)(you)過(guo)多(duo)次校正(zheng)和注(zhu)釋。
關于對《九(jiu)章算(suan)術(shu)》所(suo)做的(de)校(xiao)注主(zhu)要有：西漢張蒼增訂、刪補，三國時曹(cao)魏劉徽注，唐李淳風注，南(nan)宋楊輝著(zhu)《詳解九(jiu)章算(suan)法(fa)》選用《九(jiu)章算(suan)術(shu)》中(zhong)80道典型(xing)的(de)題作過詳解并分類，清(qing)李潢（？—1811年(nian)）所(suo)著(zhu)《九(jiu)章算(suan)術(shu)細草圖說》對《九(jiu)章算(suan)術(shu)》進行了校(xiao)訂、列算(suan)草、補插圖、加說明(ming)，尤其是圖文并茂之作。
現代(dai)錢(qian)寶琮（1892—1974年(nian)）曾(ceng)對(dui)包括《九章算術》在內(nei)的《算經十書(shu)》進行(xing)了校點，用通俗語(yu)言(yan)、近代(dai)數學術語(yu)對(dui)《九章算術》及(ji)劉、李注文詳(xiang)加注釋(shi)。80年(nian)代(dai)以來(lai)，今(jin)人(ren)白尚恕、郭(guo)書(shu)春、李繼閔等都有校注本出版。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)術(shu)》是世界(jie)上(shang)最早系(xi)統敘述了分數運算(suan)(suan)(suan)(suan)的著作；其中盈不(bu)足的算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)(fa)更是一項令人驚奇(qi)的創造；“方(fang)程”章(zhang)還在世界(jie)數學史上(shang)首次闡述了負(fu)數及其加(jia)減運算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)(fa)則(ze)(ze)。在代數方(fang)面，《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)術(shu)》在世界(jie)數學史上(shang)最早提出負(fu)數概念及正負(fu)數加(jia)減法(fa)(fa)(fa)法(fa)(fa)(fa)則(ze)(ze)；中學講授的線(xian)性方(fang)程組的解(jie)法(fa)(fa)(fa)和(he)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)術(shu)》介(jie)紹的方(fang)法(fa)(fa)(fa)大體(ti)相(xiang)同。注重實際應用是《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)術(shu)》的一個顯(xian)著特點(dian)。該書的一些(xie)知(zhi)識還傳播至(zhi)印度和(he)阿拉伯，甚至(zhi)經過這些(xie)地(di)區(qu)遠至(zhi)歐洲。
《九章(zhang)算(suan)術(shu)》是(shi)(shi)幾代(dai)人(ren)共(gong)同勞動的(de)結(jie)晶，它的(de)出現標志著(zhu)中(zhong)國(guo)古代(dai)數(shu)學體系的(de)形成(cheng)．后世的(de)數(shu)學家，大(da)都是(shi)(shi)從《九章(zhang)算(suan)術(shu)》開始學習和研(yan)究數(shu)學知識的(de)。唐宋兩代(dai)都由國(guo)家明令規定為教科書(shu)。1084年由當時的(de)北(bei)宋朝廷進行(xing)刊刻，這是(shi)(shi)世界上最早的(de)印刷(shua)本數(shu)學書(shu)。可以說，《九章(zhang)算(suan)術(shu)》是(shi)(shi)中(zhong)國(guo)為數(shu)學發展(zhan)做出的(de)又一杰出貢獻。
在(zai)(zai)(zai)九章(zhang)算術中(zhong)(zhong)有許(xu)多數(shu)學(xue)(xue)(xue)問(wen)題(ti)都(dou)是世界上記(ji)載最(zui)早的(de)(de)。例(li)如(ru)，關于比例(li)算法(fa)的(de)(de)問(wen)題(ti)，它和后來(lai)在(zai)(zai)(zai)16世紀(ji)西歐(ou)出現的(de)(de)三分律的(de)(de)算法(fa)一樣。關于雙設法(fa)的(de)(de)問(wen)題(ti)，在(zai)(zai)(zai)阿拉伯(bo)曾(ceng)稱為契丹算法(fa)，13世紀(ji)以后的(de)(de)歐(ou)洲數(shu)學(xue)(xue)(xue)著作中(zhong)(zhong)也(ye)有如(ru)此(ci)稱呼的(de)(de)，這(zhe)也(ye)是中(zhong)(zhong)國古代數(shu)學(xue)(xue)(xue)知識(shi)向西方傳播的(de)(de)一個證據(ju)。
《九(jiu)章算(suan)術(shu)》對中國古代(dai)的(de)數學發展有很(hen)大影響，這種影響一直持續到了(le)清(qing)朝(chao)中葉(xie)。《九(jiu)章算(suan)術(shu)》的(de)敘(xu)述方(fang)(fang)式(shi)以(yi)歸納(na)為主，先給出若干例題，再給出解(jie)法，不同于西(xi)方(fang)(fang)以(yi)演(yan)繹為主的(de)敘(xu)述方(fang)(fang)式(shi)，中國后來的(de)數學著作(zuo)也都是采(cai)用(yong)敘(xu)述方(fang)(fang)式(shi)為主。歷代(dai)數學家有不少人曾經注(zhu)釋過這本書，其中以(yi)劉徽和李淳風的(de)注(zhu)釋最有名。
《九章算術》還流傳(chuan)到了(le)日本和(he)朝(chao)鮮，對(dui)其古代的數學(xue)發(fa)展(zhan)也產生了(le)很大的影響。
2020年(nian)4月(yue)，列入《教育部基礎教育課程教材發展中心中小學生閱讀指導目錄（2020年(nian)版）》初(chu)中段。
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