《九(jiu)章算術》是(shi)中國古代(dai)張蒼、耿壽(shou)(shou)昌所(suo)撰寫的(de)(de)一部數學專著。是(shi)《算經十書(shu)》中最(zui)重要的(de)(de)一部，成于公元一世紀(ji)左右。其(qi)作者(zhe)已不可(ke)考。一般認為它是(shi)經歷代(dai)各家的(de)(de)增補(bu)修(xiu)訂，而逐漸成為現今定本(ben)的(de)(de)，西漢的(de)(de)張蒼、耿壽(shou)(shou)昌曾經做過增補(bu)和整理，其(qi)時(shi)(shi)大體已成定本(ben)。最(zui)后成書(shu)最(zui)遲在東漢前(qian)期(qi)(qi)，現今流(liu)傳的(de)(de)大多是(shi)在三國時(shi)(shi)期(qi)(qi)魏元帝景元四年(nian)（263年(nian)），劉徽為《九(jiu)章》所(suo)作的(de)(de)注本(ben)。
《九章算(suan)術》內容十分(fen)豐(feng)富，全書(shu)總結了(le)戰國、秦、漢時(shi)期的(de)數學(xue)(xue)成就(jiu)。同時(shi)，《九章算(suan)術》在數學(xue)(xue)上還(huan)有其獨到的(de)成就(jiu)，不僅最早提到分(fen)數問題，也首先記錄了(le)盈(ying)不足等問題，《方程(cheng)》章還(huan)在世界數學(xue)(xue)史(shi)上首次闡(chan)述了(le)負數及其加減運算(suan)法則。它(ta)是一本綜合性的(de)歷史(shi)著(zhu)作，是當時(shi)世界上最簡練有效的(de)應用數學(xue)(xue)，它(ta)的(de)出現標志中國古代(dai)數學(xue)(xue)形成了(le)完(wan)整的(de)體系。
2020年4月，列入《教育部基礎教育課程教材發展中心中小學生(sheng)閱(yue)讀指導(dao)目錄（2020年版）》初(chu)中段(duan)。
《九(jiu)章(zhang)算術(shu)(shu)》的內容十分(fen)豐富，全(quan)書(shu)采用(yong)問(wen)題集的形式(shi)，收有246個與生(sheng)產、生(sheng)活實踐有聯系的應(ying)用(yong)問(wen)題，其中每(mei)道題有問(wen)（題目）、答（答案）、術(shu)(shu)（解(jie)題的步驟(zou)，但(dan)沒有證明(ming)），有的是一(yi)題一(yi)術(shu)(shu)，有的是多(duo)題一(yi)術(shu)(shu)或(huo)一(yi)題多(duo)術(shu)(shu)。這些問(wen)題依照性質(zhi)和解(jie)法分(fen)別隸屬(shu)于方田、粟米(mi)、衰（音cui）分(fen)、少(shao)廣、商功(gong)、均輸、盈不足、方程及勾股。共九(jiu)章(zhang)如下(xia)所示。原作有插圖(tu)，今傳(chuan)本已(yi)只剩下(xia)正(zheng)文了(le)。
《九(jiu)章算術》共收有246個(ge)數學問題，分為九(jiu)章。它們(men)的(de)主要內容(rong)分別是：
第一(yi)章“方(fang)田”：主要講述(shu)了平面幾何(he)圖(tu)形(xing)面積的計算(suan)方(fang)法(fa)。包括長方(fang)形(xing)、等(deng)(deng)腰三角形(xing)、直角梯形(xing)、等(deng)(deng)腰梯形(xing)、圓(yuan)形(xing)、扇(shan)形(xing)、弓形(xing)、圓(yuan)環這八種圖(tu)形(xing)面積的計算(suan)方(fang)法(fa)。另外(wai)還(huan)系(xi)統地講述(shu)了分(fen)數(shu)的四則運(yun)算(suan)法(fa)則，以(yi)及(ji)求分(fen)子分(fen)母最大公(gong)約數(shu)等(deng)(deng)方(fang)法(fa)。
第(di)二章“粟米(mi)”：谷(gu)物糧食的(de)按比例(li)折換；提出比例(li)算法，稱為今(jin)有術(shu)；衰分章提出比例(li)分配法則，稱為衰分術(shu)；
第三(san)章“衰(shuai)分”：比例分配問題。
第四章“少廣”：已(yi)知面積(ji)、體積(ji)，反求其一邊長(chang)和徑(jing)長(chang)等(deng)；介紹了開平方(fang)、開立(li)方(fang)的方(fang)法。
第(di)五(wu)章“商功”：土石(shi)工程(cheng)、體(ti)積計算；除(chu)給(gei)出了(le)各(ge)種立體(ti)體(ti)積公(gong)式外(wai)，還有工程(cheng)分配(pei)方法；
第(di)六章“均(jun)輸”：合理(li)攤派賦稅；用(yong)衰分(fen)術(shu)解決(jue)賦役的合理(li)負擔問(wen)題。今有術(shu)、衰分(fen)術(shu)及其應用(yong)方法(fa)(fa)，構成(cheng)了包括今天正、反比(bi)例(li)(li)、比(bi)例(li)(li)分(fen)配、復比(bi)例(li)(li)、連(lian)鎖比(bi)例(li)(li)在(zai)內的整套比(bi)例(li)(li)理(li)論。西(xi)方直(zhi)到15世紀末以后才(cai)形成(cheng)類似的全套方法(fa)(fa)。
第七章“盈不(bu)(bu)(bu)足”：即雙設法問題；提出(chu)了盈不(bu)(bu)(bu)足、盈適(shi)足和不(bu)(bu)(bu)足適(shi)足、兩(liang)盈和兩(liang)不(bu)(bu)(bu)足三種類(lei)型(xing)的盈虧問題，以及(ji)若干可以通過兩(liang)次假設化為盈不(bu)(bu)(bu)足問題的一般問題的解(jie)法。這(zhe)也是處(chu)于(yu)世界領先地位的成果，傳到(dao)西方后，影響極(ji)大。
第八章(zhang)“方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)”：一(yi)次方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)(zu)問題；采用(yong)分離系數(shu)的(de)方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)(fa)表(biao)示線(xian)性(xing)(xing)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)(zu)，相(xiang)當(dang)于現(xian)在的(de)矩陣；解(jie)(jie)線(xian)性(xing)(xing)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)(zu)時使用(yong)的(de)直除法(fa)(fa)(fa)，與矩陣的(de)初等(deng)變換一(yi)致。這(zhe)(zhe)是世(shi)(shi)界(jie)上最早(zao)的(de)完整的(de)線(xian)性(xing)(xing)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)(zu)的(de)解(jie)(jie)法(fa)(fa)(fa)。在西方(fang)(fang)(fang)(fang)，直到(dao)17世(shi)(shi)紀才由(you)萊(lai)布尼(ni)茲提出(chu)完整的(de)線(xian)性(xing)(xing)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)的(de)解(jie)(jie)法(fa)(fa)(fa)法(fa)(fa)(fa)則(ze)。這(zhe)(zhe)一(yi)章(zhang)還引進和使用(yong)了(le)負(fu)(fu)數(shu)，并提出(chu)了(le)正(zheng)負(fu)(fu)術——正(zheng)負(fu)(fu)數(shu)的(de)加減法(fa)(fa)(fa)則(ze)，與現(xian)今代數(shu)中(zhong)法(fa)(fa)(fa)則(ze)完全相(xiang)同；解(jie)(jie)線(xian)性(xing)(xing)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)(zu)時實際還施行了(le)正(zheng)負(fu)(fu)數(shu)的(de)乘除法(fa)(fa)(fa)。這(zhe)(zhe)是世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學史上一(yi)項重大的(de)成就，第一(yi)次突破了(le)正(zheng)數(shu)的(de)范圍，擴展了(le)數(shu)系。外國則(ze)到(dao)7世(shi)(shi)紀印度的(de)婆羅摩及多才認識負(fu)(fu)數(shu)。
第九章(zhang)“勾(gou)(gou)股(gu)(gu)”：利用勾(gou)(gou)股(gu)(gu)定理求解的(de)(de)各(ge)種問題(ti)。其中(zhong)的(de)(de)絕大多(duo)數(shu)內(nei)(nei)容是(shi)與(yu)當時的(de)(de)社會生活密(mi)切相關的(de)(de)。提(ti)出了(le)(le)勾(gou)(gou)股(gu)(gu)數(shu)問題(ti)的(de)(de)通(tong)解公(gong)(gong)式：若a、b、c分(fen)別是(shi)勾(gou)(gou)股(gu)(gu)形(xing)的(de)(de)勾(gou)(gou)、股(gu)(gu)、弦，則(ze)，m>n。在(zai)西(xi)方(fang)，畢達哥(ge)拉(la)斯、歐幾里得等僅得到了(le)(le)這個公(gong)(gong)式的(de)(de)幾種特(te)殊情況(kuang)，直到3世紀的(de)(de)丟番圖才取(qu)得相近的(de)(de)結(jie)果，這已比《九章(zhang)算術》晚約3個世紀了(le)(le)。勾(gou)(gou)股(gu)(gu)章(zhang)還有些(xie)內(nei)(nei)容，在(zai)西(xi)方(fang)卻還是(shi)近代(dai)的(de)(de)事。例如勾(gou)(gou)股(gu)(gu)章(zhang)最(zui)后一(yi)題(ti)給出的(de)(de)一(yi)組公(gong)(gong)式，在(zai)國(guo)外到19世紀末(mo)才由美(mei)國(guo)的(de)(de)數(shu)論學家(jia)迪克(ke)森得出。
《九章算(suan)術(shu)(shu)》確定了中國古代數(shu)學的(de)框架，以(yi)計算(suan)為(wei)中心(xin)的(de)特點，密切聯系實際，以(yi)解決(jue)人(ren)們生產、生活中的(de)數(shu)學問題為(wei)目的(de)的(de)風格。其影響之深，以(yi)致以(yi)后(hou)中國數(shu)學著作大(da)體采(cai)取兩種形式：或(huo)為(wei)之作注(zhu)，或(huo)仿其體例著書；甚至西算(suan)傳入中國之后(hou)，人(ren)們著書立(li)說(shuo)時還(huan)常常把包括西算(suan)在內的(de)數(shu)學知識納入九章的(de)框架。然(ran)而，《九章算(suan)術(shu)(shu)》亦有(you)(you)其不容忽(hu)視的(de)缺(que)(que)點：沒有(you)(you)任(ren)何數(shu)學概念的(de)定義，也沒有(you)(you)給出任(ren)何推導和證明。魏景元四(si)年（263年），劉徽給《九章算(suan)術(shu)(shu)》作注(zhu)，才大(da)大(da)彌補了這個缺(que)(que)陷。
劉徽是(shi)中國(guo)數學(xue)家之一。他(ta)的生平(ping)知之甚少。據(ju)考證，他(ta)是(shi)山東鄒平(ping)人。劉徽定義了(le)(le)若干數學(xue)概(gai)念，全面(mian)論證了(le)(le)《九章(zhang)算術》的公式解法，提出了(le)(le)許多重要的思想、方(fang)法和命題，他(ta)在數學(xue)理論方(fang)面(mian)成績斐然。
劉(liu)徽對數學(xue)概(gai)念(nian)的(de)(de)定(ding)(ding)義抽象而嚴謹。他(ta)揭示(shi)了(le)概(gai)念(nian)的(de)(de)本質(zhi)，基(ji)本符合現代邏輯學(xue)和數學(xue)對概(gai)念(nian)定(ding)(ding)義的(de)(de)要(yao)求。而且他(ta)使(shi)用(yong)概(gai)念(nian)時亦(yi)保持了(le)其同一性(xing)。如(ru)他(ta)提出凡數相(xiang)(xiang)(xiang)與者謂之(zhi)率(lv)，把(ba)率(lv)定(ding)(ding)義為(wei)(wei)數量的(de)(de)相(xiang)(xiang)(xiang)互關系。又(you)如(ru)他(ta)把(ba)正(zheng)負(fu)數定(ding)(ding)義為(wei)(wei)今兩算得(de)失相(xiang)(xiang)(xiang)反，要(yao)令正(zheng)負(fu)以名(ming)之(zhi)，擺脫了(le)正(zheng)為(wei)(wei)余，負(fu)為(wei)(wei)欠的(de)(de)原始觀念(nian)，從本質(zhi)上(shang)揭示(shi)了(le)正(zheng)負(fu)數得(de)失相(xiang)(xiang)(xiang)反的(de)(de)相(xiang)(xiang)(xiang)對關系。
《九章(zhang)算(suan)(suan)術》的(de)算(suan)(suan)法盡(jin)管抽象，但相互關系(xi)不明顯(xian)，顯(xian)得(de)零亂。劉徽大大發展深(shen)化了中算(suan)(suan)中久已使用(yong)的(de)率概(gai)念和齊(qi)(qi)同(tong)原理(li)，把它們(men)看作運算(suan)(suan)的(de)綱紀。許多問題(ti)，只要找出其(qi)中的(de)各(ge)種率關系(xi)，通過(guo)乘以(yi)散之，約(yue)以(yi)聚之，齊(qi)(qi)同(tong)以(yi)通之，都可以(yi)歸結為今有術求解。
一(yi)平(ping)面(mian)(mian)（或(huo)(huo)立(li)(li)體(ti)）圖(tu)(tu)形經過平(ping)移或(huo)(huo)旋轉，其面(mian)(mian)積(ji)（或(huo)(huo)體(ti)積(ji)）不變。把一(yi)個(ge)平(ping)面(mian)(mian)（或(huo)(huo)立(li)(li)體(ti)）圖(tu)(tu)形分(fen)解成若干部分(fen)，各部分(fen)面(mian)(mian)積(ji)（或(huo)(huo)體(ti)積(ji)）之和(he)與原(yuan)圖(tu)(tu)形面(mian)(mian)積(ji)（或(huo)(huo)體(ti)積(ji)）相(xiang)等。基于(yu)這兩條不言自明的(de)前提(ti)的(de)出(chu)入相(xiang)補原(yuan)理，是中國古(gu)代數學進行(xing)幾何(he)推演(yan)和(he)證(zheng)明時最(zui)常用(yong)的(de)原(yuan)理。劉徽(hui)發展了出(chu)入相(xiang)補原(yuan)理，成功(gong)地(di)證(zheng)明了許多面(mian)(mian)積(ji)、體(ti)積(ji)以及可(ke)以化為面(mian)(mian)積(ji)、體(ti)積(ji)問題的(de)勾(gou)股、開方的(de)公式和(he)算法的(de)正確性。
《九章算術(shu)》是(shi)中(zhong)國古(gu)代(dai)的數學(xue)專著，是(shi)“算經(jing)十(shi)書(shu)”（漢唐之間出現的十(shi)部古(gu)算書(shu)）中(zhong)最重要的一(yi)種。魏晉(jin)時劉徽為《九章算術(shu)》作注時說(shuo):“周公制禮(li)而(er)有(you)九數，九數之流(liu)則《九章》是(shi)矣(yi)”，又說(shuo)“漢北平侯張蒼、大(da)司農中(zhong)丞耿(geng)壽(shou)昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補，故校(xiao)其目(mu)則與古(gu)或異，而(er)所(suo)論多近語也”。
根(gen)據(ju)研究(jiu)，西漢(han)的張蒼、耿壽昌(chang)曾(ceng)經(jing)做(zuo)過增補。最(zui)后成書最(zui)遲在東漢(han)前期，但是(shi)其基本內容在西漢(han)后期已經(jing)基本定型。
《漢(han)書(shu)(shu)藝文(wen)志》（班固根(gen)據劉歆《七略(lve)》寫成者(zhe)）中著錄的(de)數學(xue)書(shu)(shu)僅有(you)《許商算(suan)術(shu)(shu)》、《杜忠算(suan)術(shu)(shu)》兩種，并無《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》，可見(jian)《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》的(de)出現要晚于《七略(lve)》。《后漢(han)書(shu)(shu)馬(ma)(ma)援(yuan)傳(chuan)》載其侄孫馬(ma)(ma)續“博覽群(qun)書(shu)(shu)，善《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》”，馬(ma)(ma)續是公元1世紀(ji)最后二(er)、三十年(nian)時人(ren)。再根(gen)據《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》中可供(gong)判定年(nian)代的(de)官(guan)名、地名等來推斷，現傳(chuan)本《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》的(de)成書(shu)(shu)年(nian)代大約是在公元1世紀(ji)的(de)下半(ban)葉。九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)將書(shu)(shu)中的(de)所有(you)數學(xue)問(wen)題分為九(jiu)(jiu)大類(lei)，是陳(chen)凱(kai)靖編輯的(de)
1984年，在湖(hu)北出(chu)土(tu)了(le)《算(suan)數書》書簡。據考證(zheng)，它比《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》要早(zao)一個半世紀以上(shang)，書中(zhong)有(you)(you)些內(nei)容和《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》非常(chang)相(xiang)似，一些內(nei)容的文句也(ye)基本相(xiang)同。有(you)(you)人推測兩書具有(you)(you)某些繼承關系，但也(ye)有(you)(you)不同的看法認為(wei)《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》沒有(you)(you)直接受到《算(suan)數書》影響(xiang)。
后(hou)世的數學家，大(da)都是從《九(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》開始學習和研究數學，許多(duo)人(ren)(ren)曾(ceng)為(wei)它作(zuo)過注釋。其中最著名(ming)的有劉徽（263）、李(li)淳風（656）等人(ren)(ren)。劉、李(li)等人(ren)(ren)的注釋和《九(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》一(yi)起(qi)流傳至今(jin)。唐宋(song)兩代，《九(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》都由(you)國家明令規定為(wei)教科(ke)書。到了北宋(song)，《九(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》還曾(ceng)由(you)政府進行過刊刻(ke)（1084），這是世界上最早的印刷(shua)本(ben)(ben)(ben)數學書。在現傳本(ben)(ben)(ben)《九(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》中，最早的版本(ben)(ben)(ben)乃是上述北宋(song)本(ben)(ben)(ben)的南宋(song)翻刻(ke)本(ben)(ben)(ben)（1213），現藏于上海圖書館（孤本(ben)(ben)(ben)，殘，只余前五(wu)卷）。清代戴(dai)震由(you)《永(yong)樂大(da)典》中抄出《九(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》全(quan)書，并作(zuo)了校勘。此(ci)后(hou)的《四庫全(quan)書》本(ben)(ben)(ben)、武英(ying)殿聚(ju)珍本(ben)(ben)(ben)、孔繼涵(han)刻(ke)的《算(suan)(suan)經十書》本(ben)(ben)(ben)（1773）等，大(da)多(duo)數都是以戴(dai)校本(ben)(ben)(ben)為(wei)底本(ben)(ben)(ben)的。
作為(wei)一部世界數學名著，《九章(zhang)算術》早在隋唐時期即已傳入朝鮮、日(ri)本。它已被(bei)譯成日(ri)、俄、德、法等多種文字版(ban)本。
《九章算術》中的數(shu)學成就是多方(fang)面的：
（1）、在算(suan)術(shu)方面的主要(yao)成(cheng)就有分(fen)(fen)數運(yun)(yun)算(suan)、比例(li)問題和“盈(ying)不(bu)足(zu)”算(suan)法。《九章算(suan)術(shu)》是(shi)(shi)(shi)世(shi)(shi)界(jie)上最早系統敘述了分(fen)(fen)數運(yun)(yun)算(suan)的著(zhu)作，在第(di)二(er)、三、六(liu)章中有許多比例(li)問題，在世(shi)(shi)界(jie)上也是(shi)(shi)(shi)比較早的。“盈(ying)不(bu)足(zu)”的算(suan)法需(xu)要(yao)給(gei)出兩次假設，是(shi)(shi)(shi)一項創造，中世(shi)(shi)紀(ji)歐洲稱它為(wei)(wei)“雙設法”，有人認為(wei)(wei)它是(shi)(shi)(shi)由中國(guo)經(jing)中世(shi)(shi)紀(ji)阿拉(la)伯(bo)國(guo)家傳(chuan)去(qu)的。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術》中有(you)比較(jiao)完整的分(fen)數(shu)計算(suan)(suan)方法(fa)，包括(kuo)四則運算(suan)(suan)，通分(fen)、約分(fen)、化帶分(fen)數(shu)為(wei)(wei)假(jia)分(fen)數(shu)（我(wo)國古(gu)代稱為(wei)(wei)通分(fen)內子，“內”讀為(wei)(wei)納）等(deng)等(deng)。其步(bu)驟與方法(fa)大(da)體(ti)與現代的雷同。
分(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)加(jia)減(jian)(jian)運(yun)算(suan)，《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》已明(ming)確(que)提出先通(tong)分(fen)(fen)(fen)，使(shi)兩分(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)的分(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)(mu)相(xiang)(xiang)同，然(ran)后進(jin)(jin)行(xing)加(jia)減(jian)(jian)。加(jia)法(fa)的步驟是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)“母(mu)(mu)(mu)互乘子，并以為(wei)實(shi)，母(mu)(mu)(mu)相(xiang)(xiang)乘為(wei)法(fa)，實(shi)如(ru)(ru)法(fa)而(er)一(yi)”這里“實(shi)”是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)子。“法(fa)”是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)(mu)，“實(shi)如(ru)(ru)法(fa)而(er)一(yi)”也(ye)就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)用法(fa)去除實(shi)，進(jin)(jin)行(xing)除法(fa)運(yun)算(suan)，《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》還注意到兩點：其(qi)一(yi)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)運(yun)算(suan)結果如(ru)(ru)出現“不滿(man)法(fa)者(zhe)，以法(fa)命之”。就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)子小于分(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)(mu)時便以分(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)形式保留。其(qi)二是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)“其(qi)母(mu)(mu)(mu)同者(zhe)，直相(xiang)(xiang)從之”，就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)(mu)相(xiang)(xiang)同的分(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)進(jin)(jin)行(xing)加(jia)減(jian)(jian)，運(yun)算(suan)時不必(bi)通(tong)分(fen)(fen)(fen)，使(shi)分(fen)(fen)(fen)子直接加(jia)減(jian)(jian)即可。
《九章(zhang)算術(shu)》中(zhong)還有求最大(da)公(gong)約(yue)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)和約(yue)分(fen)(fen)的(de)(de)(de)方(fang)法(fa)。求最大(da)公(gong)約(yue)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)方(fang)法(fa)稱(cheng)為“更(geng)相(xiang)減(jian)(jian)損”法(fa)，其具體(ti)步驟是(shi)“可(ke)半者(zhe)半之，不(bu)(bu)可(ke)半者(zhe)，副置(zhi)分(fen)(fen)母子之數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，以少(shao)減(jian)(jian)多，更(geng)相(xiang)減(jian)(jian)損，求其等(deng)也。以等(deng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)約(yue)之。”這里所說的(de)(de)(de)“等(deng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”就是(shi)我們(men)現(xian)在的(de)(de)(de)最大(da)公(gong)約(yue)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。可(ke)半者(zhe)是(shi)指分(fen)(fen)子分(fen)(fen)母都是(shi)偶數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，可(ke)以折半的(de)(de)(de)先把它們(men)折半，即(ji)可(ke)先約(yue)去2。不(bu)(bu)都是(shi)偶數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)了，則另外擺（即(ji)副置(zhi)）分(fen)(fen)子分(fen)(fen)母算籌(chou)進行計算，從(cong)大(da)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)中(zhong)減(jian)(jian)去小數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，輾轉(zhuan)相(xiang)減(jian)(jian)，減(jian)(jian)到(dao)余數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)和減(jian)(jian)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)相(xiang)等(deng)，即(ji)得等(deng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。
在《九章算術》的第二(er)、三(san)(san)、六等(deng)章內，廣泛地使用了各(ge)種比例解應用問題。粟(su)米(mi)章的開始(shi)就列(lie)舉了各(ge)種糧食間互換的比率如(ru)(ru)下：“粟(su)米(mi)之法：粟(su)率五十，糲米(mi)三(san)(san)十，粺米(mi)二(er)十七(qi)(qi)，糳米(mi)二(er)十四，……”這是(shi)說：谷子五斗(dou)(dou)去皮(pi)可得(de)(de)糙米(mi)三(san)(san)斗(dou)(dou)，又可舂得(de)(de)九折(zhe)米(mi)二(er)斗(dou)(dou)七(qi)(qi)升(sheng)(sheng)，或八拆米(mi)二(er)斗(dou)(dou)四升(sheng)(sheng)，……。例如(ru)(ru)，粟(su)米(mi)章第一題：“今有(you)粟(su)米(mi)一斗(dou)(dou)，欲為(wei)糲米(mi)，問得(de)(de)幾何”。它的解法是(shi)：“以所(suo)(suo)有(you)數乘(cheng)所(suo)(suo)求率為(wei)實(shi)，以所(suo)(suo)有(you)率為(wei)法，實(shi)如(ru)(ru)法而(er)一”。
《九章算術(shu)》第七章“盈(ying)不(bu)足(zu)”專講盈(ying)虧問(wen)題及其(qi)(qi)解法其(qi)(qi)中第一(yi)題：“今有（人(ren)(ren)）共買物，（每）人(ren)(ren)出(chu)(chu)八(ba)（錢），盈(ying)（余）三錢；人(ren)(ren)出(chu)(chu)七（錢），不(bu)足(zu)四（錢），問(wen)人(ren)(ren)數(shu)、物價各幾何”，“答曰(yue)：七人(ren)(ren)，物價53（錢）。”“盈(ying)不(bu)足(zu)術(shu)曰(yue)：置所出(chu)(chu)率，盈(ying)、不(bu)足(zu)各居其(qi)(qi)下(xia)。令維乘(cheng)（即交錯相乘(cheng)）所出(chu)(chu)率，并以(yi)為實，并盈(ying)，不(bu)足(zu)為法，實如法而一(yi)……置所出(chu)(chu)率，以(yi)少減多(duo)，余，以(yi)約法、實。實為物價，法為人(ren)(ren)數(shu)”。盈(ying)不(bu)足(zu)術(shu)是中國(guo)數(shu)學(xue)史上解應用問(wen)題的一(yi)種別開(kai)生面的創造，它在我國(guo)古代算法中占有相當重要的地位。盈(ying)不(bu)足(zu)術(shu)還經過絲綢之路西傳(chuan)中亞阿拉伯國(guo)家，受(shou)到特(te)別重視，被稱為“契丹算法”，后來又傳(chuan)入歐洲，中世紀(ji)時期“雙設法”曾長期統治了他們的數(shu)學(xue)王國(guo)。
（2）、《九章算術》總結了生產(chan)、生活實踐中(zhong)大(da)量的幾何(he)知識(shi)，在方田、商(shang)功和勾股章中(zhong)提出(chu)了很多面積(ji)、體積(ji)的計算公式(shi)和勾股定理(li)的應(ying)用(yong)。
《九章算術》方(fang)田(tian)(tian)(tian)(tian)章主要論述(shu)平面(mian)圖形(xing)(xing)直線形(xing)(xing)和(he)圓的面(mian)積計算方(fang)法(fa)。《九章算術》方(fang)田(tian)(tian)(tian)(tian)章第一題“今有田(tian)(tian)(tian)(tian)廣(guang)(guang)(guang)十五(wu)步(bu)(bu)(bu)，從(cong)（音縱(zong)zong）十六步(bu)(bu)(bu)。問為(wei)田(tian)(tian)(tian)(tian)幾何(he)。”“答曰(yue)：一畝(mu)”。這里(li)“廣(guang)(guang)(guang)”就是(shi)寬，“從(cong)”即縱(zong)，指(zhi)(zhi)其長度(du)，“方(fang)田(tian)(tian)(tian)(tian)術曰(yue)：廣(guang)(guang)(guang)從(cong)步(bu)(bu)(bu)數(shu)相乘得(de)積步(bu)(bu)(bu)，（得(de)積步(bu)(bu)(bu)就是(shi)得(de)到乘積的平方(fang)步(bu)(bu)(bu)數(shu)）以(yi)畝(mu)法(fa)二百(bai)四十步(bu)(bu)(bu)（實(shi)質應為(wei)積步(bu)(bu)(bu)）除之，即畝(mu)數(shu)。百(bai)畝(mu)為(wei)一頃。”當(dang)時稱長方(fang)形(xing)(xing)為(wei)方(fang)田(tian)(tian)(tian)(tian)或直田(tian)(tian)(tian)(tian)。稱三(san)角形(xing)(xing)為(wei)圭田(tian)(tian)(tian)(tian)，面(mian)積公式(shi)為(wei)“術曰(yue)：半廣(guang)(guang)(guang)以(yi)乘正(zheng)從(cong)”。這里(li)廣(guang)(guang)(guang)是(shi)指(zhi)(zhi)三(san)角形(xing)(xing)的底邊(bian)，正(zheng)從(cong)是(shi)指(zhi)(zhi)底邊(bian)上的
高，劉徽在(zai)注(zhu)文中對這(zhe)一計算公(gong)式實質上(shang)作(zuo)了證(zheng)明：“半廣者，以盈補(bu)虛(xu)，為(wei)直(zhi)田也。”“亦可以半正(zheng)從以乘(cheng)廣”（圖(tu)(tu)1－30）。盈是(shi)多(duo)余，虛(xu)乃不(bu)足。“以盈補(bu)虛(xu)”就是(shi)以多(duo)余部分(fen)填補(bu)不(bu)足的(de)部分(fen)，這(zhe)就是(shi)我國古(gu)代數(shu)學推導平面圖(tu)(tu)形面積(ji)公(gong)式所(suo)用的(de)傳(chuan)統的(de)“出入相(xiang)補(bu)”的(de)方(fang)法，由上(shang)圖(tu)(tu)“以盈補(bu)虛(xu)”變圭(gui)田為(wei)與之等積(ji)的(de)直(zhi)田，于(yu)是(shi)得到了圭(gui)田的(de)面積(ji)計算公(gong)式。
方田(tian)章(zhang)第二十七、二十八(ba)題把(ba)直(zhi)角梯(ti)形(xing)稱為“邪田(tian)”（即(ji)斜(xie)田(tian)）它的面積公式是：“術曰：并兩(liang)邪（即(ji)兩(liang)斜(xie)，應(ying)理解為梯(ti)形(xing)兩(liang)底）而(er)半之(zhi)，以(yi)乘(cheng)正(zheng)從……，又可半正(zheng)從……以(yi)乘(cheng)并。”劉徽在注中說明(ming)他的證(zheng)法仍是“出入相(xiang)補”法。在方田(tian)章(zhang)第二十九(jiu)、三(san)十題把(ba)一般梯(ti)形(xing)稱為“箕田(tian)”，上、下底分(fen)別(bie)稱為“舌(she)”、“踵”，面積公式是：“術曰：并踵舌(she)而(er)半之(zhi)，以(yi)乘(cheng)正(zheng)從”。
至于圓(yuan)(yuan)面(mian)積(ji)(ji)，在《九章算(suan)術(shu)》方田章第(di)三(san)十(shi)一(yi)、三(san)十(shi)二題中，它的面(mian)積(ji)(ji)計算(suan)公(gong)式(shi)為(wei)：“半周(zhou)(zhou)半徑(jing)(jing)相乘(cheng)得積(ji)(ji)步”。這(zhe)里“周(zhou)(zhou)”是(shi)圓(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)長，“徑(jing)(jing)”是(shi)指直(zhi)徑(jing)(jing)。這(zhe)個圓(yuan)(yuan)面(mian)積(ji)(ji)計算(suan)公(gong)式(shi)是(shi)正(zheng)確(que)的。只是(shi)當時取徑(jing)(jing)一(yi)周(zhou)(zhou)三(san)（即π≈3）。于是(shi)由此計算(suan)所得的圓(yuan)(yuan)面(mian)積(ji)(ji)就(jiu)不夠(gou)精密(mi)。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》商功(gong)章(zhang)收集的(de)都是(shi)一些有關體(ti)積(ji)計(ji)(ji)算(suan)的(de)問題(ti)。但是(shi)商功(gong)章(zhang)并沒有論述長(chang)方(fang)(fang)體(ti)或正(zheng)方(fang)(fang)體(ti)的(de)體(ti)積(ji)算(suan)法。看來《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》是(shi)在長(chang)方(fang)(fang)體(ti)或正(zheng)方(fang)(fang)體(ti)體(ti)積(ji)計(ji)(ji)算(suan)公式：V=abc的(de)基礎(chu)上(shang)來計(ji)(ji)算(suan)其(qi)他立體(ti)圖形體(ti)積(ji)的(de)。
《九章(zhang)算(suan)術(shu)》商功(gong)章(zhang)提到城、垣(yuan)、堤、溝、塹、渠，因(yin)其功(gong)用不同因(yin)而名稱各異，其實質(zhi)都是(shi)正(zheng)截(jie)面為等腰梯形的(de)(de)直棱柱，他(ta)們的(de)(de)體積(ji)計(ji)算(suan)方法：“術(shu)曰：并上、下廣而半之(zhi)，以高(gao)(gao)若深乘(cheng)之(zhi)，又(you)以袤乘(cheng)之(zhi)，即積(ji)尺”。這里(li)上、下廣指橫截(jie)面的(de)(de)上、下底（a，b）高(gao)(gao)或(huo)深（h），袤是(shi)指城垣(yuan)……的(de)(de)長（l）。因(yin)此(ci)城、垣(yuan)…的(de)(de)體積(ji)計(ji)算(suan)術(shu)公式V=1/2（a+b）h.
劉徽(hui)在注(zhu)釋中把(ba)對(dui)于平面圖形的出入(ru)相(xiang)補原(yuan)理推廣(guang)應用到空(kong)間圖形，成為“損(sun)廣(guang)補狹”以證明幾(ji)何體(ti)體(ti)積公式。
劉徽還用棋(qi)驗法來推(tui)導比較復雜的(de)幾(ji)(ji)何(he)體(ti)(ti)體(ti)(ti)積計(ji)算公式(shi)。所謂棋(qi)驗法，“棋(qi)”是(shi)指某些幾(ji)(ji)何(he)體(ti)(ti)模型即用幾(ji)(ji)何(he)體(ti)(ti)模型驗證的(de)方法，例(li)如(ru)長方體(ti)(ti)本身就是(shi)“棋(qi)”[圖1－32（1）]斜解一個(ge)長方體(ti)(ti)，得兩個(ge)兩底面為(wei)直(zhi)角(jiao)三(san)角(jiao)形(xing)的(de)直(zhi)三(san)棱柱，我(wo)國古(gu)代稱為(wei)“塹(qian)堵”（如(ru)圖），所以(yi)塹(qian)堵的(de)體(ti)(ti)積是(shi)長方體(ti)(ti)體(ti)(ti)積的(de)二分(fen)之一。
《九(jiu)章(zhang)算術》商(shang)功章(zhang)還(huan)有圓(yuan)錐、圓(yuan)臺（古代(dai)稱“圓(yuan)亭”）的體(ti)積計算公式。甚至對(dui)三個側面(mian)是(shi)等腰梯形(xing)(xing)(xing)，其(qi)他(ta)兩面(mian)為(wei)勾股形(xing)(xing)(xing)的五面(mian)體(ti)[圖(tu)1－33（1）]，上、下底為(wei)矩(ju)形(xing)(xing)(xing)的擬
柱體（古(gu)代(dai)稱(cheng)“芻童”）以及上底為(wei)一線(xian)段，下底為(wei)一矩(ju)形的擬(ni)柱體（古(gu)代(dai)稱(cheng)“芻甍”）（“甍”音“夢”）等(deng)都(dou)可以計(ji)算其體積。
（3）、《九(jiu)章算術》中(zhong)的(de)代數內容同樣很豐富，具有當時世(shi)界(jie)的(de)先進水平。
1．開(kai)平方和(he)開(kai)立方
《九章算(suan)術》中講了(le)開平方(fang)、開立方(fang)的方(fang)法，而且計算(suan)步(bu)(bu)驟基本一樣。所(suo)不(bu)同(tong)的是古(gu)(gu)代(dai)用籌算(suan)進行演算(suan)，現以(yi)少廣章第12題為例，說(shuo)明古(gu)(gu)代(dai)開平方(fang)演算(suan)的步(bu)(bu)驟，“今(jin)有積五(wu)萬(wan)五(wu)千二(er)百(bai)二(er)十五(wu)步(bu)(bu)。問為方(fang)幾何”。“答曰：二(er)百(bai)三十五(wu)步(bu)(bu)”。這里(li)所(suo)說(shuo)的步(bu)(bu)是我國古(gu)(gu)代(dai)的長度單位。
“開方（是指開平方，由正方形面積求其一邊之長。）術曰：置積為實（即指籌算中把被開方數放置于第二行，稱為實）借一算（指借用一算籌放置于最后一行，如圖1－25（1）所示用以定位）。步之（指所借的算籌一步一步移動）超一等（指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節相當如圖1－25（2）所示）。議所得（指議得初商，由于實的萬位數字是5，而且22<5<32，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2于百位，如圖1－25（3）所示）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置于“實”下為“法”，如圖1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“實”減去得：55225-40000=15225，如圖1－25（5）所示）除已，倍法為定法，其復除，折法而下（指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因為要求平方根的十位數字，需要把“借算”移至百位，如圖1－25（6）所示）。復置借算步之如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算于百位。因“實”的千位數字為15，且4×3<15<4×4，于是再議得次商為3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實”減去得：15225－12900=2325。如圖1－25（7）所示，以所得副從定法，復除折下如前（這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位，如圖1－25（8）所示；又議得三商應為5，再置5于商的個位如圖1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經計算恰盡如圖1－25（10）所示，因此得平方根為235。）
上(shang)述(shu)由圖1－25（1）—（10）是(shi)按算(suan)籌(chou)進行演算(suan)的，看起(qi)來似乎很(hen)繁瑣，實際上(shang)步(bu)驟十分清楚，易于(yu)操作。它的開(kai)(kai)平(ping)方(fang)原理與現代(dai)開(kai)(kai)平(ping)方(fang)原理相(xiang)同。其(qi)中“借算(suan)”的右移(yi)、左移(yi)在(zai)現代(dai)的觀點下可以理解(jie)(jie)為(wei)一次變換(huan)和代(dai)換(huan)。《九章算(suan)術》時代(dai)并沒有理解(jie)(jie)到(dao)變換(huan)和代(dai)換(huan)，但是(shi)這(zhe)對以后宋、元時期高(gao)次方(fang)程的解(jie)(jie)法是(shi)有深(shen)遠影響的。
《九章(zhang)算(suan)(suan)術》方程章(zhang)中的(de)“方程”是專指多元一(yi)次(ci)方程組(zu)而言，與“方程”的(de)含義并(bing)不相同。《九章(zhang)算(suan)(suan)術》中多元一(yi)次(ci)方程組(zu)的(de)解法，是將(jiang)它們的(de)系數(shu)(shu)(shu)和常數(shu)(shu)(shu)項用算(suan)(suan)籌擺成“方陣”（所以稱之謂(wei)“方程”）。消元的(de)過程相當于現(xian)代大學(xue)課程高等代數(shu)(shu)(shu)中的(de)線性變換。
由于《九章算(suan)術(shu)》在(zai)用(yong)(yong)直除(chu)法(fa)解一次方程組過程中，不可避免(mian)地(di)(di)要(yao)出現(xian)正(zheng)(zheng)負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)問題，于是(shi)在(zai)方程章第三題中明確提出了正(zheng)(zheng)負(fu)(fu)術(shu)。劉徽在(zai)該術(shu)的(de)注(zhu)文里實(shi)質上(shang)給出了正(zheng)(zheng)、負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)定義：“兩(liang)算(suan)得失相(xiang)反，要(yao)令‘正(zheng)(zheng)’、‘負(fu)(fu)’以(yi)名之”。并在(zai)計(ji)算(suan)工具即算(suan)籌上(shang)加以(yi)區別“正(zheng)(zheng)算(suan)赤，負(fu)(fu)算(suan)黑(hei)(hei)，否則以(yi)邪正(zheng)(zheng)為異”。這就是(shi)規(gui)定正(zheng)(zheng)數(shu)(shu)(shu)(shu)用(yong)(yong)紅色算(suan)籌，負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)用(yong)(yong)黑(hei)(hei)色算(suan)籌。如果只有同色算(suan)籌的(de)話，則遇到(dao)正(zheng)(zheng)數(shu)(shu)(shu)(shu)將籌正(zheng)(zheng)放，負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)時(shi)邪（同斜(xie)）放。宋代以(yi)后出現(xian)筆算(suan)也相(xiang)應地(di)(di)用(yong)(yong)紅、黑(hei)(hei)色數(shu)(shu)(shu)(shu)碼字以(yi)區別正(zheng)(zheng)、負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)，或(huo)在(zai)個位數(shu)(shu)(shu)(shu)上(shang)記(ji)斜(xie)劃以(yi)表示(shi)負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)，如（即—1824），后來這種包括負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)寫法(fa)在(zai)內(nei)的(de)中國數(shu)(shu)(shu)(shu)碼字還(huan)傳到(dao)日(ri)本(ben)。
關于正(zheng)(zheng)、負(fu)(fu)數的加減運算法則(ze)，“正(zheng)(zheng)負(fu)(fu)術曰：同名(ming)相(xiang)益，異名(ming)相(xiang)除，正(zheng)(zheng)無入(ru)負(fu)(fu)之，負(fu)(fu)無入(ru)正(zheng)(zheng)之。其(qi)異名(ming)相(xiang)除，同名(ming)相(xiang)益，正(zheng)(zheng)無入(ru)正(zheng)(zheng)之，負(fu)(fu)無入(ru)負(fu)(fu)之”。這里所說的“同名(ming)”、“異名(ming)”分(fen)別(bie)相(xiang)當于所說的同號(hao)、異號(hao)。“相(xiang)益”、“相(xiang)除”是指二數相(xiang)加、相(xiang)減。術文前四句是減法運算法則(ze)：
（1）如果被減數絕對(dui)(dui)值大于減數絕對(dui)(dui)值，即a>b≥0，
則同名(ming)相益：（±a）-（±b）=±（a-b），
異名相(xiang)除：（±a）-（b）=±（a+b）。
（2）如果被減數(shu)絕對值小于(yu)減數(shu)絕對值，即b>a≥0。
①如果兩數皆正
則(ze)a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。
中間一式的a和a對(dui)(dui)消(xiao)，而（b-a）無(wu)(wu)可(ke)對(dui)(dui)消(xiao)，則改“正”為“負”，即“正無(wu)(wu)入負之”。“無(wu)(wu)入”就(jiu)是(shi)無(wu)(wu)對(dui)(dui)，也就(jiu)是(shi)無(wu)(wu)可(ke)對(dui)(dui)消(xiao)（或不夠減或對(dui)(dui)方為零）。
②如果兩數皆負
則(ze)（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在中(zhong)間的式子里（-a）和（-a）對消(xiao)(xiao)，而-（b-a）無(wu)(wu)可對消(xiao)(xiao)，則(ze)改“負(fu)”為“正”所以說(shuo)“負(fu)無(wu)(wu)入正之”。
③如果兩數(shu)一正一負。則仍同（1）的(de)異名相益(yi)。
術(shu)文的后四句是指正負(fu)數加法運算法則(ze)。
（1）同號兩(liang)數相加，即同名(ming)相益，其和的絕(jue)對值(zhi)等于兩(liang)數絕(jue)對值(zhi)和。
如果a>0，b>0，
則a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）
（2）異號(hao)兩數相(xiang)加，實(shi)為(wei)相(xiang)減，即異名相(xiang)除。如(ru)果正(zheng)(zheng)數的絕對(dui)值(zhi)較(jiao)大，其和(he)為(wei)正(zheng)(zheng)，即“正(zheng)(zheng)無入正(zheng)(zheng)之”。如(ru)果負數的絕對(dui)值(zhi)較(jiao)大，其和(he)為(wei)負，即“負無入負之”。用符號(hao)表示為(wei)
①如果a>b≥0，
則a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，
或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。
②如果(guo)b>a≥0，
則a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），
或（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。
關于(yu)(yu)正負(fu)(fu)(fu)數(shu)的(de)(de)(de)乘除法(fa)則，在《九章(zhang)算(suan)術》時代(dai)或許會遇到有關正負(fu)(fu)(fu)數(shu)的(de)(de)(de)乘除運算(suan)。可惜(xi)書中并未論(lun)及，直到元代(dai)朱世(shi)杰于(yu)(yu)《算(suan)學啟蒙》（1299年）中才(cai)有明確(que)的(de)(de)(de)記(ji)載：“同名(ming)(ming)相(xiang)乘為(wei)(wei)(wei)正，異(yi)名(ming)(ming)相(xiang)乘為(wei)(wei)(wei)負(fu)(fu)(fu)”，“同名(ming)(ming)相(xiang)除所(suo)(suo)得(de)為(wei)(wei)(wei)正，異(yi)名(ming)(ming)相(xiang)除所(suo)(suo)得(de)為(wei)(wei)(wei)負(fu)(fu)(fu)”，因此(ci)至遲于(yu)(yu)13世(shi)紀(ji)末我國(guo)對有理數(shu)四則運算(suan)法(fa)則已經全(quan)面作了總結。至于(yu)(yu)正負(fu)(fu)(fu)數(shu)概念(nian)的(de)(de)(de)引入，正負(fu)(fu)(fu)數(shu)加減運算(suan)法(fa)則的(de)(de)(de)形(xing)成的(de)(de)(de)歷(li)史記(ji)錄，我國(guo)更是遙(yao)遙(yao)領先。國(guo)外首先承認(ren)負(fu)(fu)(fu)數(shu)的(de)(de)(de)是七世(shi)紀(ji)印度數(shu)學家婆羅門(men)岌多（約598-？）歐(ou)洲到16世(shi)紀(ji)才(cai)承認(ren)負(fu)(fu)(fu)數(shu)。
現(xian)傳本《九章算(suan)術(shu)(shu)》成(cheng)書于何時(shi)，眾說紛紜，多(duo)數認為(wei)在(zai)西漢末到東漢初之間(jian)，約公元一世紀前后(hou)，《九章算(suan)術(shu)(shu)》的(de)作(zuo)者(zhe)不(bu)詳。很可能是在(zai)成(cheng)書前一段歷(li)史(shi)時(shi)期內(nei)通過多(duo)人之手(shou)逐次(ci)整理、修改(gai)、補充而成(cheng)的(de)集體創作(zuo)結晶。由于二(er)千年(nian)來(lai)經過輾轉手(shou)抄、刻印，難免會出現(xian)差(cha)錯和遺漏，加上《九章算(suan)術(shu)(shu)》文字簡(jian)略有(you)些內(nei)容(rong)不(bu)易理解(jie)，因(yin)此歷(li)史(shi)上有(you)過多(duo)次(ci)校正和注(zhu)釋。
關(guan)于對《九章(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)術(shu)》所做的(de)校注主要有：西漢張(zhang)蒼增訂、刪(shan)補，三國時曹(cao)魏(wei)劉徽注，唐李淳風注，南宋楊輝著《詳解九章(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)》選(xuan)用《九章(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)術(shu)》中80道典(dian)型(xing)的(de)題作過(guo)詳解并(bing)分類，清(qing)李潢(huang)（？—1811年）所著《九章(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)術(shu)細草(cao)(cao)圖(tu)說》對《九章(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)術(shu)》進行了校訂、列算(suan)(suan)(suan)(suan)草(cao)(cao)、補插圖(tu)、加說明，尤其(qi)是圖(tu)文并(bing)茂之作。
現代(dai)(dai)錢寶琮（1892—1974年）曾對(dui)包(bao)括《九章(zhang)算(suan)術》在內的《算(suan)經十書》進行(xing)了校點(dian)，用通(tong)俗語言、近代(dai)(dai)數(shu)學術語對(dui)《九章(zhang)算(suan)術》及(ji)劉、李注(zhu)文詳加注(zhu)釋。80年代(dai)(dai)以(yi)來，今人白(bai)尚恕、郭書春(chun)、李繼閔等都有(you)校注(zhu)本(ben)出版。
《九(jiu)章算(suan)(suan)術》是(shi)世(shi)(shi)界(jie)上(shang)(shang)最早系(xi)統敘述了分數運算(suan)(suan)的(de)(de)著作；其中盈不足的(de)(de)算(suan)(suan)法(fa)更(geng)是(shi)一項令(ling)人(ren)驚(jing)奇的(de)(de)創(chuang)造；“方(fang)程”章還在世(shi)(shi)界(jie)數學(xue)史上(shang)(shang)首(shou)次闡述了負(fu)數及其加減運算(suan)(suan)法(fa)則。在代數方(fang)面(mian)，《九(jiu)章算(suan)(suan)術》在世(shi)(shi)界(jie)數學(xue)史上(shang)(shang)最早提出(chu)負(fu)數概(gai)念及正負(fu)數加減法(fa)法(fa)則；中學(xue)講授的(de)(de)線性方(fang)程組(zu)的(de)(de)解法(fa)和《九(jiu)章算(suan)(suan)術》介紹的(de)(de)方(fang)法(fa)大體相同。注重實際應用是(shi)《九(jiu)章算(suan)(suan)術》的(de)(de)一個顯著特(te)點(dian)。該書的(de)(de)一些知識(shi)還傳播(bo)至(zhi)印度(du)和阿拉(la)伯，甚至(zhi)經過(guo)這些地區(qu)遠至(zhi)歐洲。
《九章(zhang)算術(shu)》是幾代人共同勞動的(de)(de)結晶，它的(de)(de)出現標志著中(zhong)(zhong)國(guo)古代數學(xue)體(ti)系的(de)(de)形成．后世的(de)(de)數學(xue)家，大都是從《九章(zhang)算術(shu)》開始學(xue)習(xi)和研(yan)究數學(xue)知識的(de)(de)。唐宋兩(liang)代都由國(guo)家明(ming)令(ling)規定為教科書。1084年由當時的(de)(de)北(bei)宋朝廷(ting)進行刊刻(ke)，這是世界上最早的(de)(de)印刷本數學(xue)書。可以說，《九章(zhang)算術(shu)》是中(zhong)(zhong)國(guo)為數學(xue)發展做出的(de)(de)又一杰出貢獻。
在(zai)九章算術中(zhong)有許多數學問(wen)(wen)題都是(shi)世(shi)界(jie)上記載最早的(de)。例(li)(li)如(ru)，關(guan)于比例(li)(li)算法的(de)問(wen)(wen)題，它和后(hou)來(lai)在(zai)16世(shi)紀西(xi)(xi)歐(ou)出現的(de)三分律(lv)的(de)算法一樣(yang)。關(guan)于雙設法的(de)問(wen)(wen)題，在(zai)阿拉(la)伯曾稱為契丹算法，13世(shi)紀以后(hou)的(de)歐(ou)洲(zhou)數學著作中(zhong)也(ye)有如(ru)此(ci)稱呼的(de)，這也(ye)是(shi)中(zhong)國古代數學知識向西(xi)(xi)方傳播的(de)一個證據。
《九章算(suan)術》對(dui)中(zhong)國(guo)古代(dai)的數(shu)學發展有很大影(ying)響，這種影(ying)響一直持續到了清朝中(zhong)葉(xie)。《九章算(suan)術》的敘(xu)述(shu)方(fang)(fang)式(shi)以(yi)歸納為(wei)(wei)主(zhu)，先給出(chu)若干例題(ti)，再給出(chu)解法，不同(tong)于西方(fang)(fang)以(yi)演繹為(wei)(wei)主(zhu)的敘(xu)述(shu)方(fang)(fang)式(shi)，中(zhong)國(guo)后來的數(shu)學著作也都(dou)是采用敘(xu)述(shu)方(fang)(fang)式(shi)為(wei)(wei)主(zhu)。歷(li)代(dai)數(shu)學家有不少(shao)人曾經注(zhu)釋過這本書，其(qi)中(zhong)以(yi)劉徽和李淳風(feng)的注(zhu)釋最有名(ming)。
《九章算術(shu)》還流傳(chuan)到了日本和(he)朝鮮，對其古(gu)代的數(shu)學發展(zhan)也產生了很大的影響。
2020年(nian)4月(yue)，列入《教(jiao)育部基礎教(jiao)育課(ke)程教(jiao)材發展中心中小學(xue)生閱讀指導目錄（2020年(nian)版）》初(chu)中段。
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