基本介紹

《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算經(jing)》原名《周(zhou)(zhou)(zhou)髀》，算經(jing)的十書(shu)之(zhi)一(yi)，是中國(guo)(guo)最古老的天文學(xue)和數學(xue)著作，約成(cheng)書(shu)于公元前1世紀，主要闡明當時的蓋天說和四(si)分歷法。唐初規定(ding)它為(wei)國(guo)(guo)子(zi)監(jian)明算科的教材之(zhi)一(yi)，故(gu)改名《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算經(jing)》。

《周髀(bi)算(suan)(suan)經》在(zai)數學上(shang)的(de)主要成就是介紹了勾股定(ding)理(li)（據說原書(shu)沒有對(dui)勾股定(ding)理(li)進行證(zheng)明，其證(zheng)明是三國時東(dong)吳(wu)人趙爽(shuang)在(zai)《周髀(bi)注》一(yi)書(shu)的(de)《勾股圓方圖注》中給出的(de)）及其在(zai)測量上(shang)的(de)應用以及怎樣引用到天文(wen)計算(suan)(suan)。）

《周髀算(suan)經》的采用最簡(jian)便可行的方法確定(ding)天文歷法，揭示(shi)日月(yue)星辰的運行規(gui)律(lv)，囊括四季更替，氣候變化(hua)，包涵南北有(you)極，晝(zhou)夜相推的道理。給后來者生活作息提供(gong)有(you)力的保障，自此以后歷代數(shu)學家(jia)無不以《周髀算(suan)經》為參考，在此基(ji)礎上不斷創(chuang)新和發展。

其他信息

年代

假(jia)(jia)設我們(men)把(ba)《周髀算(suan)(suan)經》的(de)(de)本文(wen)(wen)限定為(wei)商高(gao)與周公的(de)(de)問答(da)(da)，似乎(hu)其成書(shu)年(nian)代(dai)也(ye)就不(bu)難斷定了(le)。可是(shi)，乾嘉以(yi)后(hou)，考據之學興起，疑古(gu)之風日盛，到(dao)了(le)現代(dai)，幾乎(hu)所有的(de)(de)中外學者(zhe)都不(bu)得(de)不(bu)接(jie)受這(zhe)樣(yang)的(de)(de)推斷：不(bu)僅商高(gao)是(shi)后(hou)人假(jia)(jia)托的(de)(de)，甚至陳子也(ye)是(shi)后(hou)人虛(xu)構出來的(de)(de)。于是(shi)，僅僅把(ba)商高(gao)問答(da)(da)看作《周髀算(suan)(suan)經》本文(wen)(wen)就不(bu)再(zai)有任(ren)何(he)意(yi)義了(le)。因此，許多學者(zhe)都將陳子問答(da)(da)以(yi)后(hou)的(de)(de)文(wen)(wen)字作為(wei)《周髀算(suan)(suan)經》全文(wen)(wen)的(de)(de)一(yi)個部分(fen)，不(bu)再(zai)加以(yi)區(qu)分(fen)。此一(yi)來，人們(men)開始根據《周髀算(suan)(suan)經》中的(de)(de)內容推斷它的(de)(de)成書(shu)年(nian)代(dai)。

通常的(de)方(fang)法可以(yi)分(fen)成(cheng)兩(liang)類：天(tian)文(wen)學史專(zhuan)家，喜歡(huan)利用現代(dai)(dai)天(tian)文(wen)學手段，根據(ju)《周髀算(suan)經》中(zhong)(zhong)記錄的(de)一些特殊的(de)天(tian)文(wen)現象或數據(ju)，推算(suan)其應該出(chu)現的(de)年(nian)代(dai)(dai)，并以(yi)此來確定其成(cheng)書時(shi)代(dai)(dai)。例如，日本學者能田忠亮便(bian)以(yi)《周髀算(suan)經》中(zhong)(zhong)的(de)北(bei)極(ji)星（北(bei)極(ji)璇璣）到北(bei)天(tian)極(ji)的(de)距離．歸算(suan)出(chu)其成(cheng)書年(nian)代(dai)(dai)大約在公元前5到7世(shi)紀之間。

另一種(zhong)方(fang)(fang)法則是根(gen)據《周(zhou)髀算(suan)經》涉及的(de)(de)一些內容，與(yu)相對而言年代比較(jiao)明確的(de)(de)其他歷(li)史(shi)典籍的(de)(de)比較(jiao)，推斷其成(cheng)書年代。錢寶(bao)琮（1892年－1974年）在(zai)《周(zhou)髀算(suan)經考》中對《周(zhou)髀算(suan)經》的(de)(de)年代做出如(ru)下(xia)的(de)(de)考證(zheng)：第一，《周(zhou)髀算(suan)經》主要(yao)分(fen)為兩(liang)個(ge)部分(fen)，前為商(shang)高(gao)問答，后為陳子模型；第二，由(you)于(yu)懷疑商(shang)高(gao)是后人的(de)(de)偽托，因此，認為陳子以下(xia)的(de)(de)文字(zi)才(cai)是《周(zhou)髀算(suan)經》的(de)(de)主體(ti)，通(tong)過與(yu)《淮南(nan)子·天文訓》的(de)(de)比較(jiao)，從六個(ge)方(fang)(fang)面論(lun)述了(le)陳子以下(xia)的(de)(de)文字(zi)成(cheng)書在(zai)

公元前100年左右(you)；第(di)三，“周(zhou)髀”的(de)(de)意思以陳(chen)子之說(shuo)為準(zhun)，同時也提(ti)到(dao)其他(ta)一些(xie)解釋(shi)；第(di)四，比較(jiao)24氣(qi)名目及次序與(yu)《三統歷(li)》之異同，提(ti)到(dao)趙爽注(zhu)稱原節(jie)氣(qi)長(chang)度15日與(yu)《淮南子》的(de)(de)粗略記(ji)法(fa)類似(si)；第(di)五(wu)，分數算法(fa)的(de)(de)繁復與(yu)《九章算術》類似(si)。他(ta)的(de)(de)結(jie)論是，《周(zhou)髀算經(jing)(jing)》成書在(zai)公元前100年左右(you)。在(zai)疑古思潮的(de)(de)影響下，還有一種傾向也值得人(ren)們的(de)(de)注(zhu)意，那(nei)就是以《周(zhou)髀算經(jing)(jing)》全書中所(suo)有內(nei)容的(de)(de)下限來(lai)判定它的(de)(de)成書年代，古克禮（C．Cullen）大(da)約可以算是這個(ge)方面的(de)(de)一個(ge)代表(biao)。

古克禮認為(wei)(wei)以前的(de)(de)(de)(de)(de)學者大多錯(cuo)誤地企(qi)圖(tu)去發現《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》作為(wei)(wei)一個整體完成的(de)(de)(de)(de)(de)年(nian)代，因此(ci)，它們(men)的(de)(de)(de)(de)(de)結論(lun)是(shi)在(zai)一種假象(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)幻覺中獲得的(de)(de)(de)(de)(de)。他(ta)認為(wei)(wei)，這(zhe)部書是(shi)一些志同道合的(de)(de)(de)(de)(de)研究(jiu)者分(fen)別撰(zhuan)述的(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)文(wen)集。他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)做法是(shi)，首(shou)先，調查(cha)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)(de)(de)內在(zai)結構，并將其(qi)劃(hua)分(fen)為(wei)(wei)不同的(de)(de)(de)(de)(de)章節(jie)，討論(lun)節(jie)與節(jie)之間的(de)(de)(de)(de)(de)關系；其(qi)次，討論(lun)與各節(jie)內容(rong)有關的(de)(de)(de)(de)(de)外(wai)部世(shi)界的(de)(de)(de)(de)(de)資料(liao)與活(huo)動；第三，探討可能產生與各節(jie)內容(rong)相關的(de)(de)(de)(de)(de)歷史環境。他(ta)將《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)(de)(de)整體編(bian)排打亂，把(ba)它們(men)劃(hua)分(fen)為(wei)(wei)外(wai)篇(pian)與內篇(pian)兩個部分(fen)。其(qi)中內篇(pian)以陳子模型(xing)為(wei)(wei)主展開(kai)，取其(qi)下限(xian)在(zai)公(gong)元1世(shi)紀。

在有(you)關外部(bu)環境(jing)的(de)(de)(de)(de)討論中(zhong)，指出作為皇家的(de)(de)(de)(de)藏書(shu)(shu)目錄，班固(gu)（32－92年(nian)）編寫的(de)(de)(de)(de)《漢書(shu)(shu)·藝文(wen)志(zhi)》中(zhong)有(you)《許(xu)(xu)商算(suan)術(shu)》與《杜忠算(suan)術(shu)》而無《周(zhou)髀算(suan)經(jing)》；蓋天說在公元l世(shi)紀已經(jing)為人(ren)所(suo)熟(shu)知，蔡邕在公元180年(nian)已經(jing)明確將其列為中(zhong)圈古代的(de)(de)(de)(de)三家宇宙論之一。結(jie)論是，由于(yu)受到(dao)了渾天說的(de)(de)(de)(de)影(ying)響，《周(zhou)髀算(suan)經(jing)》的(de)(de)(de)(de)成書(shu)(shu)時間不可能早于(yu)公元前l世(shi)紀，但也不會晚(wan)于(yu)公元200年(nian)。筆者(zhe)以(yi)(yi)為，判別(bie)中(zhong)國古代科學(xue)典籍(ji)的(de)(de)(de)(de)完成年(nian)代，應(ying)(ying)該以(yi)(yi)書(shu)(shu)中(zhong)主要的(de)(de)(de)(de)科學(xue)思想或(huo)知識(shi)水平所(suo)反映的(de)(de)(de)(de)年(nian)代為判別(bie)標準，而不應(ying)(ying)以(yi)(yi)書(shu)(shu)中(zhong)夾(jia)雜的(de)(de)(de)(de)若(ruo)干后(hou)代摻(chan)入的(de)(de)(de)(de)只言片語作為推(tui)斷的(de)(de)(de)(de)條件。由于(yu)早期(qi)(qi)的(de)(de)(de)(de)科學(xue)典籍(ji)通常都是人(ren)類知識(shi)逐漸積(ji)累(lei)的(de)(de)(de)(de)結(jie)晶，因此，搞(gao)清楚(chu)其中(zhong)科學(xue)思想的(de)(de)(de)(de)萌生時期(qi)(qi)與流傳脈絡，也許(xu)(xu)比(bi)單純判定它的(de)(de)(de)(de)成書(shu)(shu)年(nian)代更有(you)意義。

科(ke)學史已(yi)經(jing)(jing)(jing)反復地證(zheng)明，今天(tian)看來是(shi)非常顯然的(de)(de)(de)(de)科(ke)學真理(li)，在(zai)人(ren)類(lei)認識它(ta)的(de)(de)(de)(de)初期(qi)往(wang)往(wang)經(jing)(jing)(jing)歷了(le)長期(qi)的(de)(de)(de)(de)懷疑，甚至抵制。例如，歲差現象在(zai)南北朝時(shi)(shi)期(qi)的(de)(de)(de)(de)存廢(fei)之爭，就(jiu)是(shi)一個(ge)典型的(de)(de)(de)(de)事(shi)例。因此，試圖通過以《周髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)》中的(de)(de)(de)(de)內容的(de)(de)(de)(de)完整或正確性介(jie)(jie)于(yu)某(mou)兩個(ge)古代(dai)文獻之間，就(jiu)認定(ding)(ding)其成(cheng)書年(nian)(nian)代(dai)也必定(ding)(ding)介(jie)(jie)于(yu)兩者之間的(de)(de)(de)(de)方法(fa)，是(shi)靠不(bu)住的(de)(de)(de)(de)。而利用一些重要數據的(de)(de)(de)(de)理(li)論推算(suan)來判定(ding)(ding)其成(cheng)書年(nian)(nian)代(dai)的(de)(de)(de)(de)方法(fa)，許多(duo)時(shi)(shi)候也是(shi)不(bu)太(tai)可行的(de)(de)(de)(de)。有(you)關(guan)《周髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)》成(cheng)書年(nian)(nian)代(dai)的(de)(de)(de)(de)討論，馮禮貴(gui)曾(ceng)經(jing)(jing)(jing)收集了(le)14種不(bu)同(tong)的(de)(de)(de)(de)觀(guan)點。盡管(guan)在(zai)《周髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)》成(cheng)書年(nian)(nian)代(dai)的(de)(de)(de)(de)判斷上有(you)很大(da)的(de)(de)(de)(de)區(qu)別，但幾乎所有(you)的(de)(de)(de)(de)研究(jiu)者都有(you)一個(ge)共(gong)識，那就(jiu)是(shi)《周髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)》并不(bu)是(shi)成(cheng)書于(yu)一人(ren)一時(shi)(shi)，它(ta)經(jing)(jing)(jing)過了(le)許多(duo)朝代(dai)的(de)(de)(de)(de)流傳(chuan)進化才得以完成(cheng)我(wo)們(men)所看到的(de)(de)(de)(de)篇幅與結構。

章(zhang)鴻釗曾經明(ming)確地(di)將(jiang)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)形(xing)成劃(hua)分為(wei)(wei)(wei)三(san)個(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)：第(di)一(yi)(yi)(yi)期(qi)(qi)(qi)，商(shang)高(gao)問(wen)(wen)答；第(di)二(er)期(qi)(qi)(qi)，陳子問(wen)(wen)答；第(di)三(san)期(qi)(qi)(qi)，陳子以后的(de)(de)(de)文字。這(zhe)樣的(de)(de)(de)劃(hua)分，是(shi)(shi)許多人(ren)都(dou)默認(ren)的(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)事實(shi)(shi)。正如陳方正在總結(jie)前人(ren)對《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》成書過程的(de)(de)(de)討論時所說(shuo)：《周(zhou)(zhou)髀(bi)》不(bu)但不(bu)是(shi)(shi)個(ge)(ge)人(ren)的(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作，甚至也未必是(shi)(shi)單一(yi)(yi)(yi)性質的(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作，而可能是(shi)(shi)由多個(ge)(ge)在不(bu)同(tong)(tong)歷(li)史時期(qi)(qi)(qi)出(chu)現，相(xiang)關(guan)、相(xiang)類但并不(bu)相(xiang)同(tong)(tong)的(de)(de)(de)學(xue)(xue)說(shuo)、理論，逐漸累(lei)積而成。因此，將(jiang)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》單純(chun)視為(wei)(wei)(wei)表(biao)述蓋(gai)天(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)自洽體(ti)系，而忽(hu)視它的(de)(de)(de)層積性質，是(shi)(shi)不(bu)甚恰(qia)當(dang)的(de)(de)(de)。筆者也贊同(tong)(tong)將(jiang)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)形(xing)成劃(hua)分為(wei)(wei)(wei)三(san)個(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)。具(ju)體(ti)而言，上(shang)(shang)卷之(zhi)一(yi)(yi)(yi)，商(shang)高(gao)與(yu)周(zhou)(zhou)公(gong)的(de)(de)(de)問(wen)(wen)答，應該是(shi)(shi)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)原始(shi)文字，它反映了(le)早期(qi)(qi)(qi)的(de)(de)(de)以商(shang)高(gao)為(wei)(wei)(wei)代(dai)表(biao)的(de)(de)(de)中國(guo)古代(dai)數(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)對數(shu)(shu)學(xue)(xue)以及(ji)數(shu)(shu)學(xue)(xue)之(zhi)為(wei)(wei)(wei)用的(de)(de)(de)認(ren)識。商(shang)高(gao)答周(zhou)(zhou)公(gong)問(wen)(wen)企圖(tu)(tu)說(shuo)明(ming)的(de)(de)(de)問(wen)(wen)題是(shi)(shi)解決幾何測(ce)量(liang)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)方法，這(zhe)一(yi)(yi)(yi)點他做到(dao)了(le)。這(zhe)個(ge)(ge)方法包含勾股定(ding)理與(yu)用矩之(zhi)道(dao)。按照商(shang)高(gao)的(de)(de)(de)說(shuo)法，這(zhe)些(xie)數(shu)(shu)學(xue)(xue)內容(rong)(rong)在大(da)(da)禹治水的(de)(de)(de)時候已經具(ju)備，應該是(shi)(shi)可信的(de)(de)(de)。第(di)二(er)個(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)，陳子模(mo)型(xing)的(de)(de)(de)提(ti)(ti)出(chu)，其內容(rong)(rong)為(wei)(wei)(wei)上(shang)(shang)卷之(zhi)二(er)陳子與(yu)容(rong)(rong)方的(de)(de)(de)問(wen)(wen)答，這(zhe)個(ge)(ge)部(bu)分大(da)(da)約在戰國(guo)時期(qi)(qi)(qi)已經形(xing)成。這(zhe)個(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)，陳子將(jiang)商(shang)高(gao)的(de)(de)(de)用矩之(zhi)道(dao)進一(yi)(yi)(yi)步發展成為(wei)(wei)(wei)測(ce)望日(ri)高(gao)的(de)(de)(de)重差(cha)術。也是(shi)(shi)可以相(xiang)信的(de)(de)(de)。陳子問(wen)(wen)答中試(shi)圖(tu)(tu)解決的(de)(de)(de)問(wen)(wen)題是(shi)(shi)，利用影(ying)差(cha)原理與(yu)日(ri)高(gao)術，在商(shang)高(gao)的(de)(de)(de)用矩之(zhi)道(dao)的(de)(de)(de)基礎上(shang)(shang)，進一(yi)(yi)(yi)步完善更加(jia)宏大(da)(da)的(de)(de)(de)測(ce)天(tian)量(liang)地(di)的(de)(de)(de)理論與(yu)實(shi)(shi)踐(jian)。陳子模(mo)型(xing)的(de)(de)(de)提(ti)(ti)出(chu)，事實(shi)(shi)上(shang)(shang)是(shi)(shi)在向(xiang)著(zhu)(zhu)這(zhe)樣的(de)(de)(de)目標(biao)邁出(chu)了(le)關(guan)鍵的(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)步：把商(shang)高(gao)的(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)髀(bi)》轉化(hua)為(wei)(wei)(wei)蓋(gai)天(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)髀(bi)》，把一(yi)(yi)(yi)部(bu)比較單純(chun)的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作轉化(hua)為(wei)(wei)(wei)一(yi)(yi)(yi)部(bu)純(chun)粹的(de)(de)(de)數(shu)(shu)理天(tian)文學(xue)(xue)論著(zhu)(zhu)。

從(cong)上(shang)卷之三(san)開始(shi)(shi)，是對(dui)蓋天(tian)(tian)說理論的(de)(de)(de)(de)擴張與完善。首先是在陳(chen)子(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)基本(ben)假(jia)設下(xia)，建立(li)七衡六間的(de)(de)(de)(de)宇宙(zhou)模(mo)型，并(bing)以術文的(de)(de)(de)(de)形式(shi)給(gei)出每日太陽運行軌道的(de)(de)(de)(de)計算方法，使七衡圖(tu)成(cheng)(cheng)為一(yi)個可(ke)以操(cao)作的(de)(de)(de)(de)真正(zheng)的(de)(de)(de)(de)活動式(shi)星盤。在此基礎上(shang)，進一(yi)步引(yin)入新的(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)地(di)形狀的(de)(de)(de)(de)模(mo)式(shi)，給(gei)出了(le)地(di)理五(wu)帶的(de)(de)(de)(de)劃分、寒暑成(cheng)(cheng)因的(de)(de)(de)(de)解(jie)釋(shi)、日出日落(luo)的(de)(de)(de)(de)方位，并(bing)建立(li)了(le)蓋天(tian)(tian)說的(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)體測量(liang)學，引(yin)入了(le)去極度的(de)(de)(de)(de)概念(nian)，制作了(le)比較完整的(de)(de)(de)(de)《四分歷(li)》等等。這些雖然大(da)大(da)地(di)豐(feng)富了(le)陳(chen)子(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)理論內(nei)(nei)涵，但同時(shi)也制造了(le)蓋天(tian)(tian)說系統內(nei)(nei)部(bu)(bu)的(de)(de)(de)(de)一(yi)些無法完全(quan)自洽的(de)(de)(de)(de)矛盾，成(cheng)(cheng)為后(hou)世學者(zhe)不斷批評(ping)的(de)(de)(de)(de)目標。這個部(bu)(bu)分的(de)(de)(de)(de)形成(cheng)(cheng)，意味著《周髀算經》作為一(yi)部(bu)(bu)論述蓋天(tian)(tian)說理論的(de)(de)(de)(de)專著的(de)(de)(de)(de)完成(cheng)(cheng)。從(cong)《周髀算經》上(shang)卷之三(san)開始(shi)(shi)，出現了(le)大(da)量(liang)的(de)(de)(de)(de)“術曰”，這一(yi)點(dian)與商高問(wen)答及(ji)陳(chen)子(zi)問(wen)答的(de)(de)(de)(de)行文風(feng)格形成(cheng)(cheng)明顯的(de)(de)(de)(de)反(fan)差，從(cong)一(yi)個側面反(fan)映出其形成(cheng)(cheng)時(shi)期應(ying)該是比前兩個部(bu)(bu)分更(geng)加晚(wan)近的(de)(de)(de)(de)事實。

綜上所述，《周髀算(suan)(suan)經(jing)》的(de)(de)第(di)一(yi)部(bu)分商高問答(da)，曾經(jing)作(zuo)為《周髀算(suan)(suan)經(jing)》獨(du)立的(de)(de)本文(wen)，其完(wan)成時間應該(gai)是(shi)在(zai)(zai)西(xi)(xi)周初期，約(yue)公(gong)元前(qian)11世紀。陳子(zi)問答(da)中(zhong)的(de)(de)數學(xue)(xue)理(li)(li)論與宇(yu)宙模(mo)型(xing)(xing)完(wan)成的(de)(de)時間，大約(yue)在(zai)(zai)公(gong)元前(qian)4、5世紀。作(zuo)為一(yi)部(bu)闡釋蓋(gai)天說理(li)(li)論的(de)(de)數理(li)(li)天文(wen)學(xue)(xue)著作(zuo)，《周髀算(suan)(suan)經(jing)》從(cong)上卷之三開始，是(shi)對陳子(zi)模(mo)型(xing)(xing)的(de)(de)完(wan)善和(he)擴充，其中(zhong)的(de)(de)一(yi)些(xie)基(ji)本數據與結(jie)構，如七(qi)衡圖與去(qu)極度等(deng)，應該(gai)是(shi)在(zai)(zai)陳子(zi)模(mo)型(xing)(xing)提(ti)出(chu)后(hou)就已經(jing)確定了的(de)(de)，但是(shi)，陳子(zi)假設的(de)(de)平(ping)行平(ping)面的(de)(de)天地模(mo)型(xing)(xing)，則(ze)得到了一(yi)定的(de)(de)修(xiu)正，并且加入了一(yi)些(xie)新的(de)(de)東西(xi)(xi)，如寒(han)暑(shu)成因(yin)與歷法等(deng)內容，總而言之，《周髀算(suan)(suan)經(jing)》第(di)三部(bu)分的(de)(de)成型(xing)(xing)，按照(zhao)錢寶琮與劉朝陽(yang)的(de)(de)考(kao)證，應該(gai)不會晚于公(gong)元前(qian)100年。

質疑

根據《周髀算經(jing)(jing)》原文(wen)(wen)中的明確交待，以(yi)及在(zai)文(wen)(wen)獻中對幾個關鍵問題的詳細論證，我們已經(jing)(jing)知道《周髀算經(jing)(jing)》中的蓋(gai)天宇宙有如下特征∶

一、大地與天為相距(ju)80,000里的(de)平(ping)行圓形平(ping)面。

二、大地中央有高大柱(zhu)形物（高60,000里的“璇璣”，其底面直徑為23,000里）。

三、該(gai)宇宙模(mo)型(xing)的構造者(zhe)在圓形大地上為自己(ji)的居息之(zhi)處確定了(le)位(wei)置，并(bing)且這位(wei)置不在中(zhong)央(yang)而是偏南。

四(si)、大(da)地中央的柱形延伸至天處為(wei)北極。

五、日月(yue)星辰在(zai)天上環(huan)繞北極作平面圓周運動。

六、太陽在(zai)這種(zhong)圓周(zhou)運(yun)動(dong)中(zhong)有著(zhu)多重同心軌(gui)道(dao)，并且以半年為周(zhou)期作規律(lv)性(xing)的軌(gui)道(dao)遷移(yi)(一年往返一遍(bian))。

七、太陽的上(shang)述運行模式可以(yi)在相(xiang)當程度上(shang)說明晝夜(ye)成因和太陽周(zhou)年視運動中(zhong)的一些(xie)天象。

令(ling)人極為驚訝的是，筆者(zhe)發現上述七項特征竟與古代印(yin)度(du)的宇宙模型(xing)全都吻合！這樣(yang)的現象恐非偶然，值得加以(yi)注意和研究。下面(mian)先(xian)報道(dao)筆者(zhe)初步(bu)比較的結果，更深入的研究或(huo)當俟諸(zhu)異日。

關于古代印度宇(yu)(yu)宙模(mo)型的(de)(de)記載(zai)，主要保存在一(yi)些《往(wang)世書》（Puranas）中(zhong)。《往(wang)世書》是(shi)印度教的(de)(de)圣典，同時又是(shi)古代史籍，帶有(you)百科全書性質。它(ta)們的(de)(de)確切成書年代難以判定，但其中(zhong)關于宇(yu)(yu)宙模(mo)式的(de)(de)一(yi)套概(gai)(gai)念，學者們相信(xin)可(ke)以追溯到吠陀時代----約公元前(qian)1000年之前(qian)，因而是(shi)非(fei)常古老(lao)的(de)(de)。《往(wang)世書》中(zhong)的(de)(de)宇(yu)(yu)宙模(mo)式可(ke)以概(gai)(gai)述如(ru)下:

大地象平(ping)底的(de)圓盤，在(zai)大地中央聳立著巍峨的(de)高山，名為迷盧(lu)(Meru，也(ye)即漢(han)譯佛經中的(de)“須彌山”，或作Sumeru，譯成“蘇迷盧(lu)”)。迷盧(lu)山外(wai)圍繞(rao)著環(huan)形陸地，此陸地又為環(huan)形大海(hai)所圍繞(rao)，……如此遞相(xiang)環(huan)繞(rao)向(xiang)外(wai)延展，共(gong)有七(qi)圈(quan)大陸和(he)七(qi)圈(quan)海(hai)洋。

印度在迷(mi)盧(lu)山的南方。

與(yu)大地平行的(de)(de)天(tian)(tian)(tian)上有著(zhu)一系列天(tian)(tian)(tian)輪(lun)，這些(xie)天(tian)(tian)(tian)輪(lun)的(de)(de)共同軸(zhou)心就是(shi)迷盧(lu)山；迷盧(lu)山的(de)(de)頂端就是(shi)北極星(xing)(xing)(xing)(Dhruva)所在(zai)之處，諸天(tian)(tian)(tian)輪(lun)攜帶著(zhu)各種天(tian)(tian)(tian)體繞之旋轉；這些(xie)天(tian)(tian)(tian)體包(bao)括日、月、恒星(xing)(xing)(xing)、……以(yi)及五大行星(xing)(xing)(xing)----依次為(wei)水星(xing)(xing)(xing)、金星(xing)(xing)(xing)、火星(xing)(xing)(xing)、木星(xing)(xing)(xing)和土星(xing)(xing)(xing)。

利(li)用(yong)迷盧山可以(yi)(yi)解(jie)釋(shi)黑夜(ye)與(yu)白晝的交替。攜(xie)帶(dai)太(tai)陽的天(tian)輪上有(you)180條軌道，太(tai)陽每天(tian)遷移一(yi)軌，半年后反向重復，以(yi)(yi)此(ci)來描述日(ri)出方位角的周(zhou)年變化。……

又唐代釋(shi)道宣《釋(shi)迦(jia)方志》卷(juan)上也記述了古代印度的宇(yu)宙模型，細節上恰可與(yu)上述記載相互補(bu)充∶

……蘇迷盧(lu)山，即經(jing)所謂須彌山也，在大(da)海(hai)中，據金(jin)輪(lun)表，半(ban)出海(hai)上八萬由旬，日(ri)月回薄(bo)于其(qi)腰也。外有金(jin)山七重圍之，中各海(hai)水，具八功(gong)德。

根(gen)據這些記(ji)載，古代(dai)印度宇宙模型與《周髀算經》蓋天宇宙模型卻(que)是有(you)驚(jing)人的相似之處，在(zai)細節(jie)上幾(ji)乎處處吻合∶

一(yi)、兩者的(de)天(tian)、地(di)都(dou)是圓形(xing)的(de)平行(xing)平面(mian)；

二、“璇璣(ji)”和“迷盧山”同樣扮演了大地中央的“天柱”角色；

三、周地和印度都被置于各自宇宙中大地的南半部分(fen)；

四、“璇璣”和“迷盧上”的(de)正上方(fang)都是各種(zhong)天體旋轉(zhuan)的(de)樞軸----北極；

五(wu)、日月星辰(chen)在天上環繞北極作平面圓周運動。

六、如果(guo)說印度迷盧(lu)山外的(de)“七山七海”在(zai)數字(zi)上使(shi)人聯想到(dao)《周(zhou)髀算經(jing)》的(de)“七衡(heng)(heng)六間(jian)”的(de)話，那么印度宇(yu)宙中(zhong)太陽天輪的(de)180條軌道無論從性質(zhi)還(huan)是功(gong)能來(lai)說都(dou)與七衡(heng)(heng)六間(jian)完全(quan)一致(太陽在(zai)七衡(heng)(heng)之間(jian)的(de)往返也是每天連續移動(dong)的(de))。

七、特別值得指出，《周(zhou)髀算經》中天(tian)與地的(de)距離是(shi)八(ba)萬里，而迷(mi)盧山也是(shi)高(gao)出海上“八(ba)萬由旬”，其(qi)(qi)上即諸天(tian)輪所在，是(shi)其(qi)(qi)天(tian)地距離恰(qia)好同為八(ba)萬單(dan)位(wei)，難道純(chun)屬偶(ou)然?

在人類(lei)文(wen)明(ming)發展史上，文(wen)化(hua)的多(duo)元自發生成是完全可能的，因此許(xu)多(duo)不(bu)同文(wen)明(ming)中相似(si)之處，也可能是偶(ou)然(ran)巧合(he)(he)。但是《周髀算經》的蓋天宇宙模型與(yu)古(gu)代印度宇宙模型之間(jian)的相似(si)程度實(shi)在太高----從整個格局到許(xu)多(duo)細節都一一吻合(he)(he)，如(ru)果仍用“偶(ou)然(ran)巧合(he)(he)”去解釋，無(wu)論如(ru)何總顯得過于勉強。

當然，如果我們(men)就此(ci)立刻進(jin)入(ru)關(guan)于“誰(shui)源于誰(shui)”的(de)考據之中，那又將遠(yuan)(yuan)遠(yuan)(yuan)超出本(ben)文(wen)的(de)范(fan)圍。

2寒暑五帶的(de)知識來(lai)自何處?

《周(zhou)髀算經(jing)》中有相(xiang)(xiang)當于現(xian)代人熟知的(de)關于地球上寒(han)暑五帶的(de)知識(shi)。這是一個非常令(ling)人驚(jing)異的(de)現(xian)象----因(yin)為這類知識(shi)是以往(wang)兩千年(nian)間，中國傳(chuan)統天文(wen)學說中所(suo)沒有、而且不相(xiang)(xiang)信的(de)。

這些知識在《周髀算經》中主要見于卷下第9節∶

極下不生萬物，何以知之(zhi)?……北極左右，夏(xia)有不釋之(zhi)冰(bing)。

中衡去周七萬五千五百(bai)里(li)。中衡左右，冬有不(bu)(bu)死(si)之草，夏(xia)長之類。此陽(yang)彰陰微，故萬物不(bu)(bu)死(si)，五谷一歲再熟。

凡(fan)北(bei)極之左右，物有朝生暮獲，冬生之類。

這里需(xu)要先作一些說明∶

上引第二則中(zhong)，所謂“中(zhong)衡(heng)左(zuo)右”即趙爽注文中(zhong)所認為的“內(nei)(nei)衡(heng)之外，外衡(heng)之內(nei)(nei)”；這一(yi)區域正好對應于地(di)球寒(han)暑五帶中(zhong)的熱帶(南緯(wei)23°30′至北(bei)緯(wei)23°30′之間)----盡管《周髀算經》中(zhong)并(bing)無地(di)球的觀念。

上(shang)引第(di)三(san)則中，說(shuo)北極(ji)左右(you)“物有(you)朝生暮獲”，這就(jiu)必須聯系(xi)到(dao)《周髀算經》蓋天宇宙模(mo)型對于極(ji)晝、極(ji)夜現象的演繹和描述能(neng)力。據(ju)前所述，圓(yuan)形大(da)地中央(yang)的“璇璣”之(zhi)底面直徑(jing)為(wei)(wei)23,000里(li)(li)，則半(ban)徑(jing)為(wei)(wei)11,500里(li)(li)，而《周髀算經》所設定的太陽光芒向其(qi)四周照射的極(ji)限距離是167,000里(li)(li)；于是，由(you)本文圖1清楚可見，每年從春(chun)分(fen)(fen)至(zhi)秋分(fen)(fen)期間(jian)，在“璇璣”范圍內將出現極(ji)晝----晝夜始終在陽光之(zhi)下；而從秋分(fen)(fen)到(dao)春(chun)分(fen)(fen)期間(jian)則出現極(ji)夜----陽光在此期間(jian)的任何時刻都照射不到(dao)“璇璣”范圍之(zhi)內。這也(ye)就(jiu)是趙爽注文中所說(shuo)的“北極(ji)之(zhi)下，從春(chun)分(fen)(fen)至(zhi)秋分(fen)(fen)為(wei)(wei)晝，從秋分(fen)(fen)至(zhi)春(chun)分(fen)(fen)為(wei)(wei)夜”，因為(wei)(wei)是以半(ban)年為(wei)(wei)晝、半(ban)年為(wei)(wei)夜。

《周髀算(suan)經》中上述關于寒暑(shu)五(wu)帶的知(zhi)(zhi)識，其準確性是(shi)沒有疑問的。然而(er)這(zhe)些知(zhi)(zhi)識卻并(bing)不是(shi)以往兩(liang)千年(nian)間中國傳統天(tian)文學中的組(zu)成部(bu)分。對于這(zhe)一現(xian)象，可以從(cong)幾方面來加(jia)以討論。

首先，為(wei)(wei)《周髀算(suan)(suan)經》作注(zhu)的趙(zhao)爽(shuang)，竟(jing)然(ran)就表示不相(xiang)信書中(zhong)(zhong)的這些知(zhi)識(shi)。例如對于(yu)北極附近“夏(xia)(xia)有(you)(you)不釋之(zhi)(zhi)(zhi)冰”，趙(zhao)爽(shuang)注(zhu)稱∶“冰凍(dong)不解，是以(yi)推之(zhi)(zhi)(zhi)，夏(xia)(xia)至之(zhi)(zhi)(zhi)日(ri)外(wai)衡(heng)之(zhi)(zhi)(zhi)下為(wei)(wei)冬矣，萬物當(dang)死----此日(ri)遠(yuan)近為(wei)(wei)冬夏(xia)(xia),非陰陽之(zhi)(zhi)(zhi)氣，爽(shuang)或疑焉。”又如對于(yu)“冬有(you)(you)不死之(zhi)(zhi)(zhi)草”、“陽彰陰微”、“五(wu)谷一歲再(zai)熟”的熱帶，趙(zhao)爽(shuang)表示“此欲(yu)以(yi)內衡(heng)之(zhi)(zhi)(zhi)外(wai)、外(wai)衡(heng)之(zhi)(zhi)(zhi)內，常(chang)為(wei)(wei)夏(xia)(xia)也。然(ran)其修廣，爽(shuang)未之(zhi)(zhi)(zhi)前(qian)聞”----他(ta)從(cong)未聽說(shuo)過。我們從(cong)趙(zhao)爽(shuang)為(wei)(wei)《周髀算(suan)(suan)經》全書所作的注(zhu)釋來判(pan)斷，他(ta)毫(hao)無疑問是那個時代夠格的天文(wen)學(xue)家(jia)(jia)之(zhi)(zhi)(zhi)一，為(wei)(wei)什么竟(jing)從(cong)未聽說(shuo)過這些寒暑五(wu)帶知(zhi)識(shi)?比(bi)較合理的解釋似(si)乎只(zhi)能是∶這些知(zhi)識(shi)不是中(zhong)(zhong)國(guo)傳統天文(wen)學(xue)體系中(zhong)(zhong)的組成部(bu)分，所以(yi)對于(yu)當(dang)時大部(bu)分中(zhong)(zhong)國(guo)天文(wen)學(xue)家(jia)(jia)來說(shuo)，這些知(zhi)識(shi)是新奇的、與舊(jiu)有(you)(you)知(zhi)識(shi)背景格格不入(ru)的，因而也是難以(yi)置信的。

其(qi)次，在(zai)古代中(zhong)(zhong)國(guo)居傳(chuan)統地(di)位的(de)(de)(de)天(tian)文(wen)(wen)(wen)學(xue)說(shuo)(shuo)----渾天(tian)說(shuo)(shuo)中(zhong)(zhong)，由于沒有正確的(de)(de)(de)地(di)球概念，是不可能提出(chu)寒(han)(han)(han)暑五帶之類的(de)(de)(de)問題來(lai)的(de)(de)(de)。因(yin)此(ci)直到明朝(chao)末年，來(lai)華的(de)(de)(de)耶(ye)穌(su)會傳(chuan)教士在(zai)他們(men)的(de)(de)(de)中(zhong)(zhong)文(wen)(wen)(wen)著作中(zhong)(zhong)向(xiang)中(zhong)(zhong)國(guo)讀者介(jie)紹(shao)寒(han)(han)(han)暑五帶知(zhi)識時，仍被中(zhong)(zhong)國(guo)人(ren)目為(wei)未之前聞(wen)的(de)(de)(de)新奇(qi)學(xue)說(shuo)(shuo)。正式這些耶(ye)穌(su)會傳(chuan)教士的(de)(de)(de)中(zhong)(zhong)文(wen)(wen)(wen)著作才(cai)使中(zhong)(zhong)國(guo)學(xue)者接受(shou)了(le)地(di)球寒(han)(han)(han)暑五帶之說(shuo)(shuo)。而當(dang)清朝(chao)初年“西學(xue)中(zhong)(zhong)源(yuan)”說(shuo)(shuo)甚囂塵(chen)上(shang)時，梅文(wen)(wen)(wen)鼎等人(ren)為(wei)寒(han)(han)(han)暑五帶之說(shuo)(shuo)尋找中(zhong)(zhong)國(guo)源(yuan)頭，找到的(de)(de)(de)正是《周髀算經(jing)》----他們(men)認為(wei)是《周髀算經(jing)》等中(zhong)(zhong)國(guo)學(xue)說(shuo)(shuo)在(zai)上(shang)古時期傳(chuan)入西方，才(cai)教會了(le)希(xi)臘人(ren)、羅馬人(ren)和阿拉伯人(ren)掌握天(tian)文(wen)(wen)(wen)學(xue)知(zhi)識的(de)(de)(de)。

我們(men)面臨一系列尖銳的(de)問題∶既然在渾天(tian)學說中因沒有地球概念而不可能(neng)提(ti)出寒(han)暑五帶的(de)問題，那么《周髀算(suan)經(jing)》中同樣沒有地球概念，何(he)以卻能(neng)記(ji)載這些知識?如果(guo)說《周髀算(suan)經(jing)》的(de)作者身(shen)處北溫帶之(zhi)中，只是(shi)根據越(yue)向北越(yue)冷、越(yue)往(wang)南越(yue)熱，就能(neng)推(tui)衍出北極“夏有不釋(shi)之(zhi)冰”、熱帶“五谷一歲再熟”之(zhi)類的(de)現(xian)象，那渾天(tian)家何(he)以偏就不能(neng)?再說趙爽為《周髀算(suan)經(jing)》作注(zhu)，他總該是(shi)接受(shou)蓋天(tian)學說之(zhi)人，何(he)以連他都(dou)對這些知識不能(neng)相信?這樣看來，有必要考(kao)慮這些知識來自異域的(de)可能(neng)性。

勾股定理

首先，《周髀算經》中明確記(ji)載了(le)勾股(gu)定理的公(gong)式(shi)：“若求邪至(zhi)日(ri)者，以日(ri)下為(wei)勾，日(ri)高為(wei)股(gu)，勾股(gu)各自乘，并(bing)而開方除之(zhi)，得邪至(zhi)日(ri)。”（《周髀算經》上卷二(er)）

而勾股定理的證明(ming)呢，就(jiu)在《周髀算經》上(shang)卷一(yi)——

昔者周公問(wen)于商高曰：“竊聞乎大夫(fu)善數也，請(qing)(qing)問(wen)昔者包犧立周天(tian)歷度(du)——夫(fu)天(tian)可不階而(er)升，地不可得尺寸而(er)度(du)，請(qing)(qing)問(wen)數安從出？”

商高曰：“數之(zhi)(zhi)法出于(yu)(yu)圓(yuan)方(fang)(fang)，圓(yuan)出于(yu)(yu)方(fang)(fang)，方(fang)(fang)出于(yu)(yu)矩(ju)(ju)，矩(ju)(ju)出于(yu)(yu)九九八十一(yi)。故折矩(ju)(ju)，以(yi)為勾(gou)廣三，股修四(si)，徑(jing)隅五。既方(fang)(fang)之(zhi)(zhi)，外半其一(yi)矩(ju)(ju)，環而共盤，得成三四(si)五。兩矩(ju)(ju)共長(chang)二十有五，是謂積(ji)矩(ju)(ju)。故禹之(zhi)(zhi)所(suo)以(yi)治(zhi)天下者(zhe)，此數之(zhi)(zhi)所(suo)生也。”

周(zhou)(zhou)公對古代伏羲（庖犧）構造(zao)周(zhou)(zhou)天歷度(du)的事跡感到不(bu)可思議（天不(bu)可階而(er)升，地不(bu)可得尺寸而(er)度(du)），就請(qing)教商(shang)高(gao)數學知識從何而(er)來。于(yu)(yu)(yu)是商(shang)高(gao)以勾股定(ding)理(li)的證明(ming)為例，解釋數學知識的由(you)來。“數之法出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)圓(yuan)方，圓(yuan)出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)方，方出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)矩(ju)(ju)，矩(ju)(ju)出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)九九八十(shi)一。”解釋發展脈(mo)絡(luo)——數之法出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)圓(yuan)（圓(yuan)周(zhou)(zhou)率三）方（四方），圓(yuan)出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)方（圓(yuan)形(xing)面積(ji)=外接正方形(xing)面積(ji)*圓(yuan)周(zhou)(zhou)率/4），方出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)矩(ju)(ju)（正方形(xing)源自(zi)兩邊相(xiang)等的矩(ju)(ju)），矩(ju)(ju)出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)九九八十(shi)一（長乘(cheng)(cheng)寬面積(ji)計(ji)算(suan)依自(zi)九九乘(cheng)(cheng)法表）。

“故(gu)折(zhe)矩①，以為勾廣三，股(gu)修四(si)，徑(jing)隅五。”開(kai)始(shi)做圖(tu)——選擇(ze)一個(ge)勾三（圓周率三）、股(gu)四(si)（四(si)方）的矩，矩的兩條邊終點的連線應為5（徑(jing)隅五）。

“②既方(fang)之，外半其(qi)一(yi)矩(ju)，環(huan)而共盤，得成(cheng)三(san)四五(wu)。”這就是關鍵(jian)的證明過程——以矩(ju)的兩條邊(bian)畫(hua)正方(fang)形（勾(gou)方(fang)、股方(fang)），根(gen)據矩(ju)的弦外面再(zai)畫(hua)一(yi)個矩(ju)（曲尺，實(shi)際上用作(zuo)直角(jiao)三(san)角(jiao)形），將“外半其(qi)一(yi)矩(ju)”得到的三(san)角(jiao)形剪下(xia)環(huan)繞復制形成(cheng)一(yi)個大正方(fang)形，可看到其(qi)中有邊(bian)長三(san)勾(gou)方(fang)、邊(bian)長四股方(fang)、邊(bian)長五(wu)弦方(fang)三(san)個正方(fang)形。

“兩矩共長(chang)③二(er)十(shi)有五(wu)(wu)，是謂(wei)積(ji)(ji)(ji)矩。”此為(wei)驗算——勾(gou)方(fang)(fang)(fang)、股方(fang)(fang)(fang)的(de)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)之和，與弦方(fang)(fang)(fang)的(de)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)二(er)十(shi)五(wu)(wu)相等(deng)(deng)——從圖(tu)形(xing)(xing)(xing)上(shang)來看(kan)，大(da)正方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)減(jian)去四(si)個(ge)(ge)三角(jiao)(jiao)形(xing)(xing)(xing)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)后為(wei)弦方(fang)(fang)(fang)，再是大(da)正方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)減(jian)去右(you)上(shang)、左下兩個(ge)(ge)長(chang)方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)后為(wei)勾(gou)方(fang)(fang)(fang)股方(fang)(fang)(fang)之和。因三角(jiao)(jiao)形(xing)(xing)(xing)為(wei)長(chang)方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)的(de)一(yi)半，可推出四(si)個(ge)(ge)三角(jiao)(jiao)形(xing)(xing)(xing)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)等(deng)(deng)于右(you)上(shang)、左下兩個(ge)(ge)長(chang)方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)，所以(yi)勾(gou)方(fang)(fang)(fang)+股方(fang)(fang)(fang)=弦方(fang)(fang)(fang)。

注意：①矩(ju)，又稱曲(qu)尺(chi)(chi)，L型的(de)木匠工具，由長短兩根木條組(zu)成的(de)直角。古代“矩(ju)”指(zhi)L型曲(qu)尺(chi)(chi)，“矩(ju)形”才是“矩(ju)”衍生的(de)長方形。

②“既方之(zhi)(zhi)，外(wai)半其(qi)(qi)一(yi)矩(ju)(ju)”此句有爭議。清代四庫全(quan)書(shu)版定(ding)為“既方其(qi)(qi)外(wai)半之(zhi)(zhi)一(yi)矩(ju)(ju)”，而之(zhi)(zhi)前版本(ben)多(duo)為“既方之(zhi)(zhi)外(wai)半其(qi)(qi)一(yi)矩(ju)(ju)”。經陳良(liang)佐、李國偉、李繼閔、曲安(an)京等學(xue)者研(yan)究，“既方之(zhi)(zhi)，外(wai)半其(qi)(qi)一(yi)矩(ju)(ju)”更(geng)符合(he)邏輯。

③長指的是面積。古代對不同(tong)維度的量(liang)綱比較，并沒(mei)有發明新(xin)的術(shu)語(yu)，而統稱(cheng)“長”。趙爽注稱(cheng)：“兩(liang)矩者，句股(gu)各自乘之(zhi)實(shi)。共長者，并實(shi)之(zhi)數。

由于年代久遠，周(zhou)公弦(xian)(xian)圖失傳，傳世版本只(zhi)(zhi)印了趙(zhao)(zhao)爽弦(xian)(xian)圖（造紙術在(zai)漢代才(cai)發明(ming)）。所以某些學者誤以為(wei)(wei)商高沒(mei)有證明(ming)（只(zhi)(zhi)是說了一段莫(mo)名其妙的(de)話），后來趙(zhao)(zhao)爽才(cai)給(gei)出(chu)證明(ming)。其實(shi)(shi)不然，摘錄趙(zhao)(zhao)爽注釋《周(zhou)髀算經》時所做的(de)《勾股(gu)圓方(fang)圖》——“句股(gu)各自乘，并之(zhi)(zhi)為(wei)(wei)弦(xian)(xian)實(shi)(shi)，開方(fang)除之(zhi)(zhi)即弦(xian)(xian)。案：弦(xian)(xian)圖又可以句股(gu)相(xiang)乘為(wei)(wei)朱實(shi)(shi)二，倍之(zhi)(zhi)為(wei)(wei)朱實(shi)(shi)四，以句股(gu)之(zhi)(zhi)差(cha)(cha)自相(xiang)乘為(wei)(wei)中(zhong)黃實(shi)(shi)，加(jia)差(cha)(cha)實(shi)(shi)亦(yi)成弦(xian)(xian)實(shi)(shi)。