公元前(qian)5世紀,芝(zhi)諾發表了著名的(de)(de)阿(a)(a)基(ji)里(li)斯悖論:他(ta)提出讓烏龜(gui)(gui)在阿(a)(a)基(ji)里(li)斯前(qian)面1000米(mi)處開始,和阿(a)(a)基(ji)里(li)斯賽(sai)跑,并(bing)且假定阿(a)(a)基(ji)里(li)斯的(de)(de)速度(du)是烏龜(gui)(gui)的(de)(de)10倍。當(dang)比賽(sai)開始后,若阿(a)(a)基(ji)里(li)斯跑了1000米(mi),設所用(yong)的(de)(de)時間(jian)為(wei)t,此時烏龜(gui)(gui)便領先他(ta)100米(mi);當(dang)阿(a)(a)基(ji)里(li)斯跑完(wan)下(xia)(xia)一個100米(mi)時,他(ta)所用(yong)的(de)(de)時間(jian)為(wei)t/10,烏龜(gui)(gui)仍然前(qian)于他(ta)10米(mi);當(dang)阿(a)(a)基(ji)里(li)斯跑完(wan)下(xia)(xia)一個10米(mi)時,他(ta)所用(yong)的(de)(de)時間(jian)為(wei)t/100,烏龜(gui)(gui)仍然前(qian)于他(ta)1米(mi)……芝(zhi)諾認為(wei),阿(a)(a)基(ji)里(li)斯能夠繼續(xu)逼近烏龜(gui)(gui),但(dan)決不可能追上(shang)它(ta)。
關于(yu)阿(a)基里(li)斯悖論的一個解釋是(shi):阿(a)基里(li)斯的確(que)永遠也追不上(shang)烏(wu)(wu)龜。雖然現(xian)實中我們知道(dao)阿(a)基里(li)斯超(chao)越烏(wu)(wu)龜非常簡(jian)單,但是(shi)它是(shi)如何(he)超(chao)過烏(wu)(wu)龜的在(zai)過去(qu)卻一直存(cun)在(zai)爭(zheng)論。
現代物(wu)理學已經證明了(le)時間(jian)和(he)空間(jian)不是可以無(wu)限分割的,所(suo)以總(zong)有最為微小的一個時間(jian)里,阿基里斯(si)和(he)烏(wu)龜(gui)共同前進了(le)一個空間(jian)單位,從(cong)此(ci)阿基里斯(si)順(shun)利超(chao)過烏(wu)龜(gui)。
芝諾(nuo)悖論的(de)產(chan)生原(yuan)因(yin),是在(zai)于“芝諾(nuo)時(shi)”不可能度(du)量阿基(ji)里斯追上(shang)烏龜后的(de)現(xian)象。在(zai)芝諾(nuo)時(shi)達到(dao)無(wu)限后,正常計時(shi)仍可以進行,只(zhi)不過芝諾(nuo)的(de)“鐘”已(yi)經無(wu)法度(du)量它們了。這個悖論實際上(shang)是反映時(shi)空并不是無(wu)限可分的(de),運動也不是連續(xu)的(de)。
通俗一(yi)點講,我們(men)都知道一(yi)條線是(shi)(shi)由無(wu)數個點組(zu)成的(de)(de),但(dan)這(zhe)個“無(wu)數個點”并不能說(shuo)我們(men)無(wu)法畫出一(yi)條線。也就(jiu)是(shi)(shi)說(shuo)就(jiu)是(shi)(shi)芝諾偷換了概(gai)念,(1+0.1+0.01+……)t其實是(shi)(shi)一(yi)個有限的(de)(de)時間,但(dan)他認為(wei)這(zhe)個時間是(shi)(shi)無(wu)限大的(de)(de),只要時間超過(1+0.1+0.01+……)t阿基(ji)里(li)斯就(jiu)追上了烏龜。
阿(a)基(ji)里斯悖論(lun)分離(li)了運(yun)動與靜(jing)止,夸大了相對(dui)靜(jing)止,而否認了絕對(dui)運(yun)動,是(shi)形而上(shang)學(xue)說。
黑格爾在《小邏輯》中說:“辯(bian)證法(fa)切不可與單純的(de)詭辯(bian)相混淆。詭辯(bian)的(de)本質在于孤立起(qi)來看(kan)事物(wu),把本身片面(mian)的(de)、抽象的(de)規定,認為是(shi)可靠的(de)。”辯(bian)證唯物(wu)主(zhu)義認為,運動與靜(jing)止(zhi)是(shi)對立統一的(de)辯(bian)證關系(xi)。
一(yi)方面,運(yun)動(dong)與靜止的(de)(de)對立(li)表現在(zai)(zai):運(yun)動(dong)是(shi)絕對的(de)(de),靜止是(shi)相對的(de)(de),二者相互區別(bie),不可混淆。所謂運(yun)動(dong)是(shi)絕對的(de)(de)是(shi)說,運(yun)動(dong)是(shi)物質的(de)(de)根本屬性,任(ren)何(he)事物在(zai)(zai)任(ren)何(he)條(tiao)件下(xia)都是(shi)永恒運(yun)動(dong)的(de)(de),是(shi)無條(tiao)件的(de)(de)。所謂靜止是(shi)相對的(de)(de)是(shi)說,靜止是(shi)運(yun)動(dong)在(zai)(zai)特(te)定(ding)條(tiao)件下(xia)的(de)(de)特(te)殊狀(zhuang)態,是(shi)有條(tiao)件的(de)(de)。
另一方面,運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)止的(de)(de)統(tong)一表現在(zai):運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)和靜(jing)止是相(xiang)互依存、相(xiang)互貫通的(de)(de),即所謂動(dong)(dong)(dong)中有(you)靜(jing)、靜(jing)中有(you)動(dong)(dong)(dong)。在(zai)運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)止關系(xi)上(shang)有(you)兩種(zhong)形而上(shang)學的(de)(de)錯誤:一種(zhong)是割裂運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)止的(de)(de)關系(xi),否認(ren)運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong),只講靜(jing)止,將靜(jing)止絕對化(hua)的(de)(de)形而上(shang)學不動(dong)(dong)(dong)論;一種(zhong)是割裂運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)止的(de)(de)關系(xi),只講運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong),否認(ren)靜(jing)止的(de)(de)形而上(shang)學相(xiang)對主義和詭辯論。
關于阿基里斯追龜(gui)的問題,我們可以很簡單地證明阿基里斯追上了烏龜(gui)。
我們設(she)烏(wu)龜先前(qian)所(suo)(suo)走過的(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)點(dian)屬(shu)于(yu)集(ji)(ji)合(he)B,烏(wu)龜現在(zai)所(suo)(suo)在(zai)的(de)點(dian)標志(zhi)為b,烏(wu)龜所(suo)(suo)走過的(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)點(dian)是集(ji)(ji)合(he)A,A由集(ji)(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)點(dian)加上b點(dian)構成。只要是烏(wu)龜先前(qian)所(suo)(suo)在(zai)的(de)點(dian),都是阿基里(li)(li)(li)斯可以走到的(de),因而阿基里(li)(li)(li)斯可以走到集(ji)(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)點(dian)。那么,我們能(neng)不能(neng)在(zai)集(ji)(ji)合(he)A中找到一(yi)(yi)個(ge)點(dian),它既不屬(shu)于(yu)B,也不是b,回答是不能(neng)的(de)。因而如果阿基里(li)(li)(li)斯走過了集(ji)(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)點(dian),阿基里(li)(li)(li)斯與(yu)b點(dian)的(de)距(ju)離就已(yi)經是0(如果不是0,則應該(gai)在(zai)阿基里(li)(li)(li)斯與(yu)b點(dian)之間還會存(cun)在(zai)著(zhu)一(yi)(yi)個(ge)點(dian),但這個(ge)點(dian)并不存(cun)在(zai)),也就是說,阿基里(li)(li)(li)斯已(yi)經追上了烏(wu)龜。
而按照我們悖論(lun)所設(she)定的(de)(de)(de)條(tiao)件(jian),阿(a)基里斯是(shi)可以走到(dao)烏龜先前(qian)所走過的(de)(de)(de)所有的(de)(de)(de)點的(de)(de)(de)。因而阿(a)基里斯追到(dao)了烏龜。但(dan)在上面的(de)(de)(de)分析(xi)中,我們發現了一(yi)個有趣的(de)(de)(de)矛盾(dun),這(zhe)就是(shi)b既屬于(yu)B又不屬于(yu)B,也就是(shi)說,b既是(shi)現在又是(shi)先前(qian)。而且這(zhe)是(shi)阿(a)基里斯得以追上烏龜的(de)(de)(de)前(qian)提(ti)和條(tiao)件(jian)。這(zhe)樣的(de)(de)(de)一(yi)個有趣的(de)(de)(de)結論(lun),是(shi)決不可能(neng)為具有形而上學頭腦的(de)(de)(de)那些數(shu)學家們所接受的(de)(de)(de)。
此悖(bei)論(lun)假(jia)設(she)阿基(ji)里斯(si)(si)永(yong)遠只能(neng)到達龜前(qian)一(yi)個時(shi)(shi)間段到達的地方,即追上(shang)的前(qian)一(yi)個時(shi)(shi)間段,此時(shi)(shi)條(tiao)件(jian)未發生變(bian)化(hua),并先(xian)承(cheng)認此時(shi)(shi)間段兩者間仍(reng)(reng)有差異(yi),然后用不同(tong)的時(shi)(shi)間段進行重(zhong)復換算,假(jia)設(she)條(tiao)件(jian)仍(reng)(reng)未變(bian)化(hua)。而在此時(shi)(shi)間段的下(xia)一(yi)個口(kou)徑相同(tong)的時(shi)(shi)間段里,阿基(ji)米斯(si)(si)就會(hui)追上(shang)。
相反觀點(dian):這證明(ming)是(shi)錯誤(wu)的。因為證明(ming)假設(she)了阿(a)基里斯(si)可(ke)以走一個點(dian),在事實上(shang)回避了悖(bei)論(lun)(lun)中無法找第1點(dian)問題(ti)實質。故此證明(ming)和(he)悖(bei)論(lun)(lun)無關,只是(shi)把小學(xue)應用題(ti)用集合論(lun)(lun)復述了一遍。
其實,我們(men)根據中學所(suo)學過的無窮(qiong)等(deng)比遞縮數(shu)列求和的知識,只(zhi)需列一個方程(cheng)就可以輕而易舉地推翻(fan)芝(zhi)諾(nuo)的悖論:阿基里(li)斯在跑了
1000(1+0.1+0.01+…………)=1000(1+1/9)=10000/9米時便可(ke)趕上烏(wu)龜。
人們認為數列1+0.1+0.01+…………是永遠也不能窮(qiong)盡的。這只不過是一個錯覺(jue)。
我們不妨來計(ji)算一下阿基里斯能夠(gou)追(zhui)上烏(wu)龜的時(shi)間為t(1+0.1+0.01+…………)=t (1+1/9)=10t/9
芝諾(nuo)所(suo)說的阿基里斯(si)不可能追上烏龜,就隱(yin)藏(zang)著時間(jian)必須小(xiao)于10t/9這樣一個條件(jian)。
由于(yu)阿基里斯和烏龜是(shi)在(zai)不斷地運動的,對(dui)時間是(shi)沒有限(xian)制的,時間很容易突破10t/9這(zhe)樣一(yi)個條(tiao)件。一(yi)旦(dan)突破10t/9這(zhe)樣一(yi)個條(tiao)件,阿基里斯就追上了或超過了烏龜。
人們(men)被距離(li)數(shu)列1+0.1+0.01+…………好(hao)像是(shi)永遠也(ye)不能(neng)窮盡的假(jia)象迷惑了(le),沒有考慮到時間數(shu)列1+0.1+0.01+…………是(shi)很容(rong)易達到和超過的了(le)。
但是(shi)不是(shi)所(suo)有的數列(lie)都能(neng)達(da)到(dao),所(suo)以,我們看問題不能(neng)太極端。例如無論多(duo)少個(ge)點也不能(neng)組成直線,對于點的個(ge)數來(lai)說,我們就(jiu)永遠無法窮盡它(ta)。
其實(shi),以上的(de)(de)證(zheng)明(ming)是無法推翻這(zhe)個(ge)悖(bei)論(lun)的(de)(de)。因為(wei)這(zhe)個(ge)證(zheng)明(ming)用到了極(ji)限這(zhe)個(ge)概(gai)念。然(ran)而,極(ji)限這(zhe)個(ge)概(gai)念,正是為(wei)了解(jie)決阿基里斯悖(bei)論(lun)而定義出來的(de)(de)一個(ge)概(gai)念。用這(zhe)個(ge)概(gai)念再反(fan)證(zheng)這(zhe)個(ge)悖(bei)論(lun)很明(ming)顯是不合(he)理的(de)(de)。
無(wu)限的(de)細(xi)分并不代表不會從時(shi)間(jian)1流入時(shi)間(jian)2,否則你的(de)時(shi)鐘將永遠(yuan)停留在59分59.9999............秒。
阿基(ji)里斯能夠(gou)繼續(xu)逼近(jin)烏龜,在(zai)某一(yi)時(shi)間點之前(qian)無法追(zhui)(zhui)上(shang)。但永遠(yuan)追(zhui)(zhui)不上(shang)這一(yi)結果并不成立(li),因為這一(yi)悖論只(zhi)引導去考慮追(zhui)(zhui)上(shang)之前(qian)的(de)距離(li),而不是追(zhui)(zhui)上(shang)的(de)這一(yi)距離(li)。
悖論隱含的假設就是阿基(ji)里(li)(li)斯(si)沒有追上龜,為(wei)(wei)什(shen)么呢?阿基(ji)里(li)(li)斯(si)的每一段(duan),都是烏(wu)龜跑完了,才讓阿基(ji)里(li)(li)斯(si)才跑的。只是想(xiang)當然的用了一開始的距離(li)差(cha),而(er)這個(ge)距離(li)差(cha)為(wei)(wei)逐(zhu)段(duan)變(bian)小(xiao)。
而這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)趨(qu)近(jin)過程又(you)想用時間(jian)衡(heng)量(liang),恰好時間(jian)和距離(li),都可以(yi)無限劃(hua)分。靜止(zhi)也(ye)存在這(zhe)(zhe)(zhe)樣(yang)的(de)(de)接近(jin)過程,舉個(ge)例子(zi):假設烏龜是靜止(zhi)的(de)(de),讓阿基里斯以(yi)這(zhe)(zhe)(zhe)樣(yang)的(de)(de)方式跑。900米(mi),90米(mi),9米(mi),0.9米(mi)……,這(zhe)(zhe)(zhe)樣(yang)他也(ye)追(zhui)不(bu)上烏龜啊,也(ye)同樣(yang)變不(bu)成(cheng)零,因為你的(de)(de)假設就是距離(li)的(de)(de)無限小(xiao),這(zhe)(zhe)(zhe)只是在尋(xun)找最短的(de)(de)距離(li)。這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)就關(guan)系到極限了。就像在找最小(xiao)的(de)(de)物質粒子(zi)一樣(yang)。