公元前5世紀，芝(zhi)諾發(fa)表了(le)著名(ming)的(de)(de)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)(si)悖論：他(ta)提出讓(rang)烏龜(gui)在阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)(si)前面1000米(mi)(mi)(mi)處開始，和阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)(si)賽跑(pao)，并且(qie)假定阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)(si)的(de)(de)速(su)度是烏龜(gui)的(de)(de)10倍。當(dang)比賽開始后，若阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)(si)跑(pao)了(le)1000米(mi)(mi)(mi)，設(she)所用(yong)(yong)的(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)為(wei)(wei)t，此時(shi)(shi)烏龜(gui)便領先他(ta)100米(mi)(mi)(mi)；當(dang)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)(si)跑(pao)完(wan)(wan)下一(yi)個100米(mi)(mi)(mi)時(shi)(shi)，他(ta)所用(yong)(yong)的(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)為(wei)(wei)t/10，烏龜(gui)仍然前于他(ta)10米(mi)(mi)(mi)；當(dang)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)(si)跑(pao)完(wan)(wan)下一(yi)個10米(mi)(mi)(mi)時(shi)(shi)，他(ta)所用(yong)(yong)的(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)為(wei)(wei)t/100，烏龜(gui)仍然前于他(ta)1米(mi)(mi)(mi)……芝(zhi)諾認為(wei)(wei)，阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)(si)能夠繼(ji)續(xu)逼近烏龜(gui)，但決不(bu)可能追上(shang)它(ta)。
關于阿(a)基里(li)斯(si)悖(bei)論(lun)的(de)一(yi)(yi)個(ge)解(jie)釋是(shi)：阿(a)基里(li)斯(si)的(de)確永(yong)遠也追不上烏(wu)龜(gui)。雖然現(xian)實(shi)中我們知道(dao)阿(a)基里(li)斯(si)超(chao)越(yue)烏(wu)龜(gui)非常簡單，但是(shi)它(ta)是(shi)如何(he)超(chao)過(guo)(guo)烏(wu)龜(gui)的(de)在過(guo)(guo)去卻一(yi)(yi)直存在爭論(lun)。
現代(dai)物理學(xue)已經證明(ming)了時(shi)間和(he)空間不(bu)是可以無限分割的(de)，所以總有最為微小的(de)一(yi)個時(shi)間里，阿基里斯和(he)烏(wu)龜共同前進了一(yi)個空間單位，從此阿基里斯順(shun)利超過烏(wu)龜。
芝諾悖論的產生原(yuan)因，是在(zai)于(yu)“芝諾時”不(bu)可能度量阿(a)基(ji)里(li)斯追上(shang)烏(wu)龜后(hou)的現象。在(zai)芝諾時達到無(wu)限(xian)后(hou)，正常計(ji)時仍可以進行，只不(bu)過芝諾的“鐘”已(yi)經無(wu)法度量它們了。這(zhe)個(ge)悖論實(shi)際上(shang)是反映時空并不(bu)是無(wu)限(xian)可分的，運動也(ye)不(bu)是連續的。
通(tong)俗一(yi)點講，我們都知(zhi)道一(yi)條(tiao)線(xian)(xian)是(shi)由無(wu)數個點組成的，但這個“無(wu)數個點”并不能說(shuo)我們無(wu)法畫出一(yi)條(tiao)線(xian)(xian)。也(ye)就(jiu)是(shi)說(shuo)就(jiu)是(shi)芝諾偷換了概念，（1+0.1+0.01+……）t其實是(shi)一(yi)個有限的時間，但他認為(wei)這個時間是(shi)無(wu)限大的，只(zhi)要時間超過（1+0.1+0.01+……）t阿基里斯就(jiu)追上了烏(wu)龜。
阿基里(li)斯悖論分(fen)離(li)了(le)運動與(yu)靜止，夸(kua)大了(le)相對(dui)靜止，而否認了(le)絕對(dui)運動，是形而上學說(shuo)。
黑(hei)格爾(er)在《小邏輯》中說：“辯(bian)證(zheng)法(fa)切不可與單(dan)純的詭(gui)辯(bian)相混淆。詭(gui)辯(bian)的本質(zhi)在于孤立(li)起(qi)來看事物，把本身(shen)片面的、抽象的規(gui)定，認為是(shi)可靠的。”辯(bian)證(zheng)唯物主義(yi)認為，運動與靜(jing)止是(shi)對立(li)統一的辯(bian)證(zheng)關系(xi)。
一方面，運(yun)(yun)動(dong)與靜(jing)止(zhi)(zhi)的(de)(de)(de)(de)對立表現在(zai)：運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)(shi)絕(jue)對的(de)(de)(de)(de)，靜(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)相對的(de)(de)(de)(de)，二者相互區別，不可混淆。所(suo)謂運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)(shi)絕(jue)對的(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)(shi)說，運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)(shi)物質的(de)(de)(de)(de)根本屬性，任何事物在(zai)任何條件下都是(shi)(shi)(shi)永恒運(yun)(yun)動(dong)的(de)(de)(de)(de)，是(shi)(shi)(shi)無條件的(de)(de)(de)(de)。所(suo)謂靜(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)相對的(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)(shi)說，靜(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)運(yun)(yun)動(dong)在(zai)特定條件下的(de)(de)(de)(de)特殊狀態，是(shi)(shi)(shi)有條件的(de)(de)(de)(de)。
另(ling)一方(fang)面，運(yun)動(dong)與靜止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)統(tong)一表現(xian)在：運(yun)動(dong)和靜止(zhi)(zhi)(zhi)是相(xiang)互(hu)依存、相(xiang)互(hu)貫通的(de)，即所謂(wei)動(dong)中有靜、靜中有動(dong)。在運(yun)動(dong)與靜止(zhi)(zhi)(zhi)關(guan)系上有兩種形而(er)上學(xue)的(de)錯誤：一種是割裂(lie)運(yun)動(dong)與靜止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)關(guan)系，否(fou)認(ren)(ren)運(yun)動(dong)，只講靜止(zhi)(zhi)(zhi)，將靜止(zhi)(zhi)(zhi)絕(jue)對化的(de)形而(er)上學(xue)不動(dong)論；一種是割裂(lie)運(yun)動(dong)與靜止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)關(guan)系，只講運(yun)動(dong)，否(fou)認(ren)(ren)靜止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)形而(er)上學(xue)相(xiang)對主義(yi)和詭(gui)辯論。
關于阿基里(li)斯(si)追(zhui)龜的問題，我(wo)們可以很簡單地證(zheng)明阿基里(li)斯(si)追(zhui)上了烏龜。
我們設烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)(gui)先前(qian)所(suo)(suo)(suo)走(zou)過的(de)(de)(de)(de)所(suo)(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)屬于集合(he)(he)B，烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)(gui)現在(zai)所(suo)(suo)(suo)在(zai)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)標志為b，烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)(gui)所(suo)(suo)(suo)走(zou)過的(de)(de)(de)(de)所(suo)(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)是(shi)(shi)(shi)集合(he)(he)A，A由集合(he)(he)B中所(suo)(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)加(jia)上b點(dian)(dian)(dian)構成。只(zhi)要是(shi)(shi)(shi)烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)(gui)先前(qian)所(suo)(suo)(suo)在(zai)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)，都是(shi)(shi)(shi)阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)可以走(zou)到(dao)的(de)(de)(de)(de)，因(yin)(yin)而阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)可以走(zou)到(dao)集合(he)(he)B中所(suo)(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)。那么，我們能不能在(zai)集合(he)(he)A中找到(dao)一個點(dian)(dian)(dian)，它既不屬于B，也不是(shi)(shi)(shi)b，回答是(shi)(shi)(shi)不能的(de)(de)(de)(de)。因(yin)(yin)而如果阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)走(zou)過了(le)集合(he)(he)B中所(suo)(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)，阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)與(yu)b點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)距離就已(yi)經是(shi)(shi)(shi)0（如果不是(shi)(shi)(shi)0，則應該在(zai)阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)與(yu)b點(dian)(dian)(dian)之間還會存(cun)在(zai)著一個點(dian)(dian)(dian)，但這(zhe)個點(dian)(dian)(dian)并不存(cun)在(zai)），也就是(shi)(shi)(shi)說，阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)已(yi)經追上了(le)烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)(gui)。
而按(an)照我們悖論所設(she)定的(de)(de)(de)條(tiao)件，阿基(ji)(ji)里斯是(shi)(shi)可(ke)以走到烏(wu)龜先(xian)前(qian)所走過(guo)的(de)(de)(de)所有(you)的(de)(de)(de)點的(de)(de)(de)。因而阿基(ji)(ji)里斯追到了烏(wu)龜。但在上面的(de)(de)(de)分析中，我們發現了一(yi)個有(you)趣的(de)(de)(de)矛盾，這就(jiu)是(shi)(shi)b既屬(shu)(shu)于(yu)B又(you)不屬(shu)(shu)于(yu)B，也就(jiu)是(shi)(shi)說，b既是(shi)(shi)現在又(you)是(shi)(shi)先(xian)前(qian)。而且這是(shi)(shi)阿基(ji)(ji)里斯得以追上烏(wu)龜的(de)(de)(de)前(qian)提和條(tiao)件。這樣(yang)的(de)(de)(de)一(yi)個有(you)趣的(de)(de)(de)結(jie)論，是(shi)(shi)決不可(ke)能為(wei)具有(you)形而上學頭腦的(de)(de)(de)那些數(shu)學家們所接受(shou)的(de)(de)(de)。
此悖論假(jia)設阿基里(li)斯永遠(yuan)只能(neng)到達(da)龜(gui)前一個時間段到達(da)的(de)地方，即追上的(de)前一個時間段，此時條(tiao)件未發生(sheng)變化，并先承(cheng)認此時間段兩者間仍(reng)有差異，然后用不同的(de)時間段進行重(zhong)復換(huan)算，假(jia)設條(tiao)件仍(reng)未變化。而(er)在此時間段的(de)下一個口徑相同的(de)時間段里(li)，阿基米斯就(jiu)會(hui)追上。
相(xiang)反觀點(dian)：這證明是錯誤的。因為證明假設(she)了(le)阿基(ji)里斯(si)可以走一個點(dian)，在事實上(shang)回避了(le)悖(bei)論(lun)中無(wu)法找(zhao)第(di)1點(dian)問題實質。故此(ci)證明和(he)悖(bei)論(lun)無(wu)關，只(zhi)是把小學應用題用集合論(lun)復述了(le)一遍。
其實(shi)，我們(men)根據中學(xue)所學(xue)過的(de)無窮等比遞(di)縮數列求和的(de)知(zhi)識，只需列一個(ge)方(fang)程就(jiu)可以輕而易舉地推翻芝(zhi)諾的(de)悖論：阿基(ji)里斯在跑了
1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時便可(ke)趕上烏龜(gui)。
人們認為數列1+0.1+0.01+…………是(shi)永遠也不(bu)能窮盡的。這只(zhi)不(bu)過是(shi)一個錯覺。
我(wo)們不妨來(lai)計算一(yi)下阿基里斯能夠(gou)追上烏龜的時間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9
芝(zhi)諾所說的阿基里斯不(bu)可能(neng)追上烏(wu)龜，就隱藏著時間(jian)必須小于10t/9這樣(yang)一個條件。
由于阿基里(li)(li)斯和(he)烏龜是在不(bu)斷地運動的，對時間是沒(mei)有限制(zhi)的，時間很(hen)容易突(tu)破(po)10t/9這樣一(yi)個條件(jian)。一(yi)旦突(tu)破(po)10t/9這樣一(yi)個條件(jian)，阿基里(li)(li)斯就追上(shang)了或超過了烏龜。
人(ren)們被距離(li)數列(lie)1+0.1+0.01+…………好像(xiang)是永遠也(ye)不(bu)能窮盡(jin)的假象迷惑了，沒有考(kao)慮到時間數列(lie)1+0.1+0.01+…………是很容(rong)易(yi)達到和超過的了。
但是不(bu)(bu)(bu)是所(suo)有(you)的數列(lie)都能達(da)到，所(suo)以(yi)，我們看問題不(bu)(bu)(bu)能太(tai)極(ji)端。例(li)如無論多少(shao)個點(dian)也(ye)不(bu)(bu)(bu)能組成直線，對于點(dian)的個數來說，我們就(jiu)永遠無法(fa)窮盡它。
其(qi)實(shi)，以上的(de)證明(ming)是(shi)無(wu)法推(tui)翻這(zhe)個悖論(lun)的(de)。因為這(zhe)個證明(ming)用到了極限這(zhe)個概(gai)念。然而(er)，極限這(zhe)個概(gai)念，正是(shi)為了解決(jue)阿(a)基里斯悖論(lun)而(er)定義出來的(de)一個概(gai)念。用這(zhe)個概(gai)念再反證這(zhe)個悖論(lun)很(hen)明(ming)顯是(shi)不合理的(de)。
無限的細分(fen)并不代表不會(hui)從時間1流入(ru)時間2，否則你的時鐘將(jiang)永遠停留在59分(fen)59.9999............秒。
阿基里(li)斯能(neng)夠繼續逼(bi)近烏龜，在某一時間(jian)點之前無法追上(shang)。但永遠追不上(shang)這(zhe)一結果并不成立(li)，因(yin)為這(zhe)一悖論(lun)只引(yin)導(dao)去考慮追上(shang)之前的(de)距離，而不是追上(shang)的(de)這(zhe)一距離。
悖論隱含(han)的(de)假設就是(shi)阿(a)基(ji)里斯(si)沒有(you)追上龜(gui)，為什么呢？阿(a)基(ji)里斯(si)的(de)每一段(duan)，都(dou)是(shi)烏龜(gui)跑完了，才讓阿(a)基(ji)里斯(si)才跑的(de)。只是(shi)想當然的(de)用了一開(kai)始的(de)距離差(cha)，而這個(ge)距離差(cha)為逐段(duan)變小。
而這個(ge)趨近(jin)過程又想用時(shi)間衡(heng)量，恰好時(shi)間和距(ju)離，都可以(yi)無限(xian)劃(hua)分。靜止也存在(zai)這樣(yang)(yang)的(de)接近(jin)過程，舉個(ge)例子(zi)(zi)：假(jia)設烏龜是(shi)(shi)靜止的(de)，讓阿基里斯以(yi)這樣(yang)(yang)的(de)方式跑。900米(mi)(mi)，90米(mi)(mi)，9米(mi)(mi)，0.9米(mi)(mi)……，這樣(yang)(yang)他也追不上烏龜啊，也同樣(yang)(yang)變不成零，因為你的(de)假(jia)設就(jiu)是(shi)(shi)距(ju)離的(de)無限(xian)小，這只是(shi)(shi)在(zai)尋找(zhao)最短的(de)距(ju)離。這個(ge)就(jiu)關系到極(ji)限(xian)了(le)。就(jiu)像在(zai)找(zhao)最小的(de)物(wu)質(zhi)粒子(zi)(zi)一樣(yang)(yang)。
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