公(gong)元(yuan)前5世紀，芝諾發(fa)表(biao)了著名的(de)阿基(ji)里(li)斯(si)(si)悖論：他提(ti)出讓烏(wu)龜(gui)在(zai)阿基(ji)里(li)斯(si)(si)前面1000米(mi)(mi)處開始，和阿基(ji)里(li)斯(si)(si)賽跑，并(bing)且(qie)假(jia)定(ding)阿基(ji)里(li)斯(si)(si)的(de)速度是烏(wu)龜(gui)的(de)10倍。當(dang)(dang)比賽開始后，若阿基(ji)里(li)斯(si)(si)跑了1000米(mi)(mi)，設所用的(de)時(shi)間(jian)(jian)為(wei)t，此(ci)時(shi)烏(wu)龜(gui)便領先他100米(mi)(mi)；當(dang)(dang)阿基(ji)里(li)斯(si)(si)跑完下(xia)(xia)一個100米(mi)(mi)時(shi)，他所用的(de)時(shi)間(jian)(jian)為(wei)t/10，烏(wu)龜(gui)仍然前于(yu)他10米(mi)(mi)；當(dang)(dang)阿基(ji)里(li)斯(si)(si)跑完下(xia)(xia)一個10米(mi)(mi)時(shi)，他所用的(de)時(shi)間(jian)(jian)為(wei)t/100，烏(wu)龜(gui)仍然前于(yu)他1米(mi)(mi)……芝諾認為(wei)，阿基(ji)里(li)斯(si)(si)能(neng)夠繼續(xu)逼近烏(wu)龜(gui)，但決不可能(neng)追(zhui)上它(ta)。
關于阿基(ji)里(li)斯(si)(si)悖論的一(yi)個解釋是(shi)：阿基(ji)里(li)斯(si)(si)的確(que)永遠也(ye)追不上(shang)烏(wu)龜。雖然(ran)現實中我(wo)們知道阿基(ji)里(li)斯(si)(si)超越烏(wu)龜非常(chang)簡單，但(dan)是(shi)它(ta)是(shi)如何超過(guo)烏(wu)龜的在(zai)過(guo)去卻一(yi)直存在(zai)爭論。
現代物(wu)理學已經證明(ming)了時間和空間不是可以無限(xian)分割的，所以總有最為(wei)微小的一個時間里(li)，阿基里(li)斯(si)和烏龜共同前(qian)進了一個空間單(dan)位，從(cong)此阿基里(li)斯(si)順利(li)超過烏龜。
芝(zhi)諾(nuo)(nuo)悖論的(de)產生(sheng)原(yuan)因，是(shi)在(zai)于“芝(zhi)諾(nuo)(nuo)時(shi)”不(bu)可能度(du)量阿基里斯(si)追上烏龜后的(de)現象。在(zai)芝(zhi)諾(nuo)(nuo)時(shi)達到無限后，正常計(ji)時(shi)仍可以進行(xing)，只不(bu)過(guo)芝(zhi)諾(nuo)(nuo)的(de)“鐘”已經無法(fa)度(du)量它們了。這(zhe)個悖論實際上是(shi)反映時(shi)空(kong)并不(bu)是(shi)無限可分的(de)，運動也(ye)不(bu)是(shi)連續的(de)。
通(tong)俗一(yi)點講，我(wo)們(men)都知(zhi)道(dao)一(yi)條(tiao)(tiao)線是(shi)由無(wu)(wu)數個點組成的，但這個“無(wu)(wu)數個點”并不能說我(wo)們(men)無(wu)(wu)法畫出一(yi)條(tiao)(tiao)線。也就是(shi)說就是(shi)芝諾偷換了概念，（1+0.1+0.01+……）t其實是(shi)一(yi)個有(you)限的時間(jian)(jian)，但他(ta)認為這個時間(jian)(jian)是(shi)無(wu)(wu)限大的，只要(yao)時間(jian)(jian)超過（1+0.1+0.01+……）t阿(a)基里斯就追上(shang)了烏龜。
阿基里斯悖(bei)論分(fen)離了(le)運(yun)動與(yu)靜止，夸大了(le)相對(dui)靜止，而否(fou)認了(le)絕對(dui)運(yun)動，是形而上學說。
黑格爾在《小邏(luo)輯(ji)》中說(shuo)：“辯(bian)證法切不可與單純的詭辯(bian)相混淆。詭辯(bian)的本質在于孤(gu)立起來看事物，把本身片面的、抽象的規定，認為(wei)是可靠的。”辯(bian)證唯(wei)物主義認為(wei)，運動與靜止是對立統一(yi)的辯(bian)證關系(xi)。
一方面，運(yun)(yun)動(dong)與(yu)靜(jing)(jing)止的(de)(de)(de)(de)對立表(biao)現(xian)在：運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)絕(jue)對的(de)(de)(de)(de)，靜(jing)(jing)止是(shi)(shi)相(xiang)對的(de)(de)(de)(de)，二者(zhe)相(xiang)互區別，不可(ke)混淆。所(suo)謂(wei)運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)絕(jue)對的(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)說，運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)物(wu)質的(de)(de)(de)(de)根本屬性(xing)，任(ren)何事物(wu)在任(ren)何條(tiao)件下都是(shi)(shi)永恒運(yun)(yun)動(dong)的(de)(de)(de)(de)，是(shi)(shi)無條(tiao)件的(de)(de)(de)(de)。所(suo)謂(wei)靜(jing)(jing)止是(shi)(shi)相(xiang)對的(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)說，靜(jing)(jing)止是(shi)(shi)運(yun)(yun)動(dong)在特(te)定(ding)條(tiao)件下的(de)(de)(de)(de)特(te)殊狀態，是(shi)(shi)有條(tiao)件的(de)(de)(de)(de)。
另一(yi)方面(mian)，運(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)統一(yi)表現在：運(yun)動(dong)(dong)和靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)是相(xiang)(xiang)互(hu)依存、相(xiang)(xiang)互(hu)貫通的(de)，即所謂(wei)動(dong)(dong)中(zhong)有靜(jing)(jing)、靜(jing)(jing)中(zhong)有動(dong)(dong)。在運(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)關(guan)系(xi)上有兩種(zhong)(zhong)形而(er)上學的(de)錯誤：一(yi)種(zhong)(zhong)是割裂(lie)運(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)關(guan)系(xi)，否認(ren)運(yun)動(dong)(dong)，只講靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)，將靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)絕對化(hua)的(de)形而(er)上學不動(dong)(dong)論；一(yi)種(zhong)(zhong)是割裂(lie)運(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)關(guan)系(xi)，只講運(yun)動(dong)(dong)，否認(ren)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)形而(er)上學相(xiang)(xiang)對主義和詭辯論。
關于阿基里(li)斯(si)追龜(gui)的問(wen)題，我們可以(yi)很簡單地證(zheng)明阿基里(li)斯(si)追上了烏(wu)龜(gui)。
我(wo)們(men)設烏(wu)(wu)龜先前所(suo)走過(guo)的(de)(de)所(suo)有(you)的(de)(de)點(dian)(dian)屬于集(ji)合(he)(he)(he)B，烏(wu)(wu)龜現在(zai)所(suo)在(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)標志為b，烏(wu)(wu)龜所(suo)走過(guo)的(de)(de)所(suo)有(you)的(de)(de)點(dian)(dian)是(shi)(shi)集(ji)合(he)(he)(he)A，A由集(ji)合(he)(he)(he)B中(zhong)(zhong)所(suo)有(you)的(de)(de)點(dian)(dian)加上(shang)(shang)b點(dian)(dian)構成。只要是(shi)(shi)烏(wu)(wu)龜先前所(suo)在(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)，都是(shi)(shi)阿(a)(a)(a)(a)基(ji)里(li)(li)(li)(li)斯(si)可以走到的(de)(de)，因而阿(a)(a)(a)(a)基(ji)里(li)(li)(li)(li)斯(si)可以走到集(ji)合(he)(he)(he)B中(zhong)(zhong)所(suo)有(you)的(de)(de)點(dian)(dian)。那么，我(wo)們(men)能不(bu)能在(zai)集(ji)合(he)(he)(he)A中(zhong)(zhong)找到一個(ge)(ge)點(dian)(dian)，它既(ji)不(bu)屬于B，也不(bu)是(shi)(shi)b，回答是(shi)(shi)不(bu)能的(de)(de)。因而如(ru)果(guo)阿(a)(a)(a)(a)基(ji)里(li)(li)(li)(li)斯(si)走過(guo)了(le)集(ji)合(he)(he)(he)B中(zhong)(zhong)所(suo)有(you)的(de)(de)點(dian)(dian)，阿(a)(a)(a)(a)基(ji)里(li)(li)(li)(li)斯(si)與b點(dian)(dian)的(de)(de)距離就(jiu)已(yi)經是(shi)(shi)0（如(ru)果(guo)不(bu)是(shi)(shi)0，則應該在(zai)阿(a)(a)(a)(a)基(ji)里(li)(li)(li)(li)斯(si)與b點(dian)(dian)之間還會存(cun)在(zai)著一個(ge)(ge)點(dian)(dian)，但這個(ge)(ge)點(dian)(dian)并(bing)不(bu)存(cun)在(zai)），也就(jiu)是(shi)(shi)說，阿(a)(a)(a)(a)基(ji)里(li)(li)(li)(li)斯(si)已(yi)經追(zhui)上(shang)(shang)了(le)烏(wu)(wu)龜。
而按照(zhao)我(wo)們(men)悖論(lun)所(suo)設定(ding)的(de)(de)條(tiao)(tiao)件(jian)，阿(a)(a)(a)基里(li)斯是(shi)(shi)可(ke)以走到烏龜先(xian)(xian)前所(suo)走過的(de)(de)所(suo)有(you)的(de)(de)點的(de)(de)。因(yin)而阿(a)(a)(a)基里(li)斯追(zhui)到了(le)烏龜。但在上面的(de)(de)分(fen)析中(zhong)，我(wo)們(men)發現了(le)一(yi)個(ge)有(you)趣(qu)的(de)(de)矛盾，這就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)b既屬(shu)于B又(you)不屬(shu)于B，也(ye)就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)說，b既是(shi)(shi)現在又(you)是(shi)(shi)先(xian)(xian)前。而且這是(shi)(shi)阿(a)(a)(a)基里(li)斯得以追(zhui)上烏龜的(de)(de)前提和條(tiao)(tiao)件(jian)。這樣的(de)(de)一(yi)個(ge)有(you)趣(qu)的(de)(de)結論(lun)，是(shi)(shi)決不可(ke)能為具有(you)形而上學頭腦的(de)(de)那些數學家們(men)所(suo)接(jie)受(shou)的(de)(de)。
此(ci)悖論假(jia)設阿基里斯永遠只能到達龜前(qian)一(yi)個時(shi)間(jian)段(duan)到達的(de)(de)地(di)方，即追上(shang)的(de)(de)前(qian)一(yi)個時(shi)間(jian)段(duan)，此(ci)時(shi)條件未發生變化，并先承(cheng)認此(ci)時(shi)間(jian)段(duan)兩者間(jian)仍有(you)差異，然后用(yong)不同的(de)(de)時(shi)間(jian)段(duan)進(jin)行重復換算，假(jia)設條件仍未變化。而在此(ci)時(shi)間(jian)段(duan)的(de)(de)下一(yi)個口徑相同的(de)(de)時(shi)間(jian)段(duan)里，阿基米斯就會追上(shang)。
相(xiang)反觀點：這證(zheng)明是(shi)錯誤的。因為證(zheng)明假設了阿基里斯可(ke)以走(zou)一(yi)個點，在事實上回避了悖論中(zhong)無法找第(di)1點問題(ti)實質(zhi)。故此證(zheng)明和悖論無關，只是(shi)把小學應(ying)用題(ti)用集合論復述了一(yi)遍。
其實，我們(men)根據中學所(suo)學過(guo)的無窮等比遞縮數(shu)列求和(he)的知識，只需(xu)列一個(ge)方(fang)程就可以輕而(er)易舉地(di)推翻芝諾(nuo)的悖論：阿基(ji)里斯(si)在跑了
1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米(mi)時便可(ke)趕上烏龜。
人們認為數列(lie)1+0.1+0.01+…………是永遠(yuan)也(ye)不能窮盡的。這只不過是一個錯(cuo)覺。
我(wo)們不妨(fang)來計算一下阿(a)基里斯(si)能夠追上(shang)烏龜的時間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9
芝諾(nuo)所說的阿基里斯(si)不可能追上烏龜，就隱藏著時間必須小于10t/9這樣一個(ge)條(tiao)件。
由于阿基里斯和烏龜(gui)是(shi)在不斷地運動(dong)的，對(dui)時間是(shi)沒有限制的，時間很容易(yi)突(tu)破10t/9這樣(yang)一個條件。一旦突(tu)破10t/9這樣(yang)一個條件，阿基里斯就追上了(le)或超(chao)過了(le)烏龜(gui)。
人們被(bei)距離(li)數列(lie)1+0.1+0.01+…………好像是永遠也不能窮(qiong)盡的假(jia)象(xiang)迷惑了(le)，沒有考(kao)慮(lv)到時間數列(lie)1+0.1+0.01+…………是很容(rong)易達到和超(chao)過的了(le)。
但是不(bu)(bu)是所有的(de)數(shu)列都能(neng)達到，所以(yi)，我們(men)看問題不(bu)(bu)能(neng)太極(ji)端。例如無論多少(shao)個(ge)點(dian)也不(bu)(bu)能(neng)組成直線，對于點(dian)的(de)個(ge)數(shu)來說，我們(men)就永遠無法(fa)窮盡它。
其實，以上的(de)證明(ming)(ming)是無法推翻這個(ge)(ge)悖論的(de)。因為這個(ge)(ge)證明(ming)(ming)用到了極限(xian)這個(ge)(ge)概(gai)念。然而，極限(xian)這個(ge)(ge)概(gai)念，正是為了解(jie)決(jue)阿基里斯悖論而定義出來的(de)一個(ge)(ge)概(gai)念。用這個(ge)(ge)概(gai)念再反證這個(ge)(ge)悖論很(hen)明(ming)(ming)顯是不合理的(de)。
無限的細分(fen)并不代表不會從時(shi)間(jian)1流入時(shi)間(jian)2，否(fou)則你的時(shi)鐘將永遠停留在(zai)59分(fen)59.9999............秒(miao)。
阿基里(li)斯能夠繼續逼近烏龜(gui)，在某一時(shi)間點(dian)之(zhi)前(qian)無(wu)法追(zhui)上(shang)。但永(yong)遠追(zhui)不(bu)上(shang)這一結果并不(bu)成(cheng)立，因為(wei)這一悖論只引(yin)導去考(kao)慮追(zhui)上(shang)之(zhi)前(qian)的(de)距離，而(er)不(bu)是(shi)追(zhui)上(shang)的(de)這一距離。
悖論(lun)隱(yin)含的假設就是阿基里斯沒有追(zhui)上龜，為什么(me)呢？阿基里斯的每一(yi)段(duan)，都是烏龜跑(pao)完了，才(cai)讓阿基里斯才(cai)跑(pao)的。只是想(xiang)當(dang)然的用了一(yi)開(kai)始的距(ju)離(li)差(cha)，而這個距(ju)離(li)差(cha)為逐(zhu)段(duan)變(bian)小。
而(er)這(zhe)個趨近(jin)過(guo)程(cheng)又想用時間衡(heng)量，恰好(hao)時間和(he)距(ju)離(li)，都可以無限劃分。靜止也存(cun)在(zai)這(zhe)樣(yang)的(de)(de)接近(jin)過(guo)程(cheng)，舉個例子：假(jia)設(she)(she)烏龜是靜止的(de)(de)，讓阿基里斯以這(zhe)樣(yang)的(de)(de)方式跑。900米(mi)，90米(mi)，9米(mi)，0.9米(mi)……，這(zhe)樣(yang)他也追不上烏龜啊，也同樣(yang)變不成(cheng)零，因(yin)為你的(de)(de)假(jia)設(she)(she)就(jiu)是距(ju)離(li)的(de)(de)無限小，這(zhe)只是在(zai)尋(xun)找最短的(de)(de)距(ju)離(li)。這(zhe)個就(jiu)關系到極限了。就(jiu)像在(zai)找最小的(de)(de)物質粒子一(yi)樣(yang)。
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