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公元前5世紀，芝諾發表了著名的(de)阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)(si)悖(bei)論：他(ta)(ta)提出讓烏龜在阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)(si)前面(mian)1000米(mi)處(chu)開始，和阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)(si)賽(sai)跑，并且假定阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)(si)的(de)速度是(shi)烏龜的(de)10倍(bei)。當比賽(sai)開始后，若阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)(si)跑了1000米(mi)，設所用的(de)時間為(wei)t，此(ci)時烏龜便領(ling)先他(ta)(ta)100米(mi)；當阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)(si)跑完下一(yi)個100米(mi)時，他(ta)(ta)所用的(de)時間為(wei)t/10，烏龜仍然(ran)前于他(ta)(ta)10米(mi)；當阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)(si)跑完下一(yi)個10米(mi)時，他(ta)(ta)所用的(de)時間為(wei)t/100，烏龜仍然(ran)前于他(ta)(ta)1米(mi)……芝諾認為(wei)，阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)(si)能夠繼(ji)續逼近烏龜，但決(jue)不(bu)可能追(zhui)上它。

悖論解釋

關于阿(a)(a)基(ji)里斯(si)(si)悖論的(de)一個(ge)解釋是(shi)：阿(a)(a)基(ji)里斯(si)(si)的(de)確永遠也追不上烏(wu)(wu)龜。雖(sui)然現實中(zhong)我們知道阿(a)(a)基(ji)里斯(si)(si)超越烏(wu)(wu)龜非常簡單，但是(shi)它是(shi)如何超過(guo)烏(wu)(wu)龜的(de)在過(guo)去卻一直存在爭論。

現代(dai)物理學已經(jing)證明了時間和(he)空間不是(shi)可以(yi)無限分割的(de)，所以(yi)總有最為微小的(de)一個(ge)(ge)時間里(li)，阿基里(li)斯和(he)烏(wu)龜共同前進了一個(ge)(ge)空間單(dan)位，從此阿基里(li)斯順(shun)利超過烏(wu)龜。

產生原因

芝諾(nuo)悖論的(de)產生原因，是(shi)在于“芝諾(nuo)時(shi)”不可(ke)能度(du)量阿(a)基(ji)里斯追上(shang)烏龜(gui)后的(de)現(xian)象。在芝諾(nuo)時(shi)達到(dao)無(wu)限后，正常計時(shi)仍可(ke)以進行，只不過芝諾(nuo)的(de)“鐘(zhong)”已經(jing)無(wu)法(fa)度(du)量它們了。這個悖論實際上(shang)是(shi)反映時(shi)空并不是(shi)無(wu)限可(ke)分的(de)，運(yun)動也不是(shi)連續的(de)。

通俗一(yi)(yi)點講(jiang)，我們(men)都知道一(yi)(yi)條線是(shi)(shi)由無(wu)數(shu)個(ge)(ge)點組成的(de)，但這個(ge)(ge)“無(wu)數(shu)個(ge)(ge)點”并不(bu)能說(shuo)我們(men)無(wu)法畫出一(yi)(yi)條線。也就是(shi)(shi)說(shuo)就是(shi)(shi)芝諾(nuo)偷換了(le)概念，（1+0.1+0.01+……）t其實是(shi)(shi)一(yi)(yi)個(ge)(ge)有(you)限(xian)的(de)時(shi)間，但他(ta)認(ren)為這個(ge)(ge)時(shi)間是(shi)(shi)無(wu)限(xian)大的(de)，只要時(shi)間超(chao)過（1+0.1+0.01+……）t阿基里斯就追上了(le)烏龜。

哲學辨析

阿基里斯(si)悖論分離了(le)運動與靜止，夸大(da)了(le)相對(dui)靜止，而否(fou)認(ren)了(le)絕對(dui)運動，是(shi)形(xing)而上(shang)學說。

黑格爾在(zai)《小邏輯(ji)》中說：“辯(bian)證法(fa)切不可與(yu)單純的(de)(de)詭(gui)(gui)辯(bian)相混(hun)淆。詭(gui)(gui)辯(bian)的(de)(de)本質在(zai)于孤立(li)起來看事物(wu)，把本身片面的(de)(de)、抽(chou)象的(de)(de)規定，認為(wei)是可靠的(de)(de)。”辯(bian)證唯物(wu)主義認為(wei)，運動與(yu)靜(jing)止是對立(li)統一的(de)(de)辯(bian)證關系(xi)。

一方面，運(yun)動與靜止(zhi)(zhi)的(de)對(dui)(dui)立(li)表現在：運(yun)動是(shi)(shi)(shi)(shi)絕對(dui)(dui)的(de)，靜止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)相對(dui)(dui)的(de)，二者相互區(qu)別，不(bu)可混淆。所(suo)謂(wei)運(yun)動是(shi)(shi)(shi)(shi)絕對(dui)(dui)的(de)是(shi)(shi)(shi)(shi)說，運(yun)動是(shi)(shi)(shi)(shi)物(wu)(wu)質的(de)根本屬性，任何(he)(he)事物(wu)(wu)在任何(he)(he)條(tiao)件(jian)下都是(shi)(shi)(shi)(shi)永恒運(yun)動的(de)，是(shi)(shi)(shi)(shi)無條(tiao)件(jian)的(de)。所(suo)謂(wei)靜止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)相對(dui)(dui)的(de)是(shi)(shi)(shi)(shi)說，靜止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)運(yun)動在特定條(tiao)件(jian)下的(de)特殊(shu)狀態，是(shi)(shi)(shi)(shi)有條(tiao)件(jian)的(de)。

另一方面(mian)，運(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜止(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)統一表現在：運(yun)動(dong)(dong)(dong)和(he)靜止(zhi)是相(xiang)(xiang)互依存、相(xiang)(xiang)互貫通的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，即所謂(wei)動(dong)(dong)(dong)中有(you)靜、靜中有(you)動(dong)(dong)(dong)。在運(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜止(zhi)關系(xi)(xi)上(shang)有(you)兩種形(xing)而上(shang)學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)錯誤：一種是割裂運(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜止(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi)，否認運(yun)動(dong)(dong)(dong)，只(zhi)講靜止(zhi)，將靜止(zhi)絕對(dui)化的(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)而上(shang)學不(bu)動(dong)(dong)(dong)論；一種是割裂運(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜止(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi)，只(zhi)講運(yun)動(dong)(dong)(dong)，否認靜止(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)而上(shang)學相(xiang)(xiang)對(dui)主義和(he)詭辯(bian)論。

簡單證明

關(guan)于阿(a)基(ji)里(li)斯追龜(gui)的問題(ti)，我(wo)們可以很簡單地(di)證明阿(a)基(ji)里(li)斯追上了(le)烏龜(gui)。

我們設(she)烏(wu)龜(gui)先前(qian)所走過的(de)(de)(de)(de)所有的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)屬于(yu)集(ji)(ji)合(he)(he)B，烏(wu)龜(gui)現在(zai)(zai)所在(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)標志為b，烏(wu)龜(gui)所走過的(de)(de)(de)(de)所有的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)是(shi)集(ji)(ji)合(he)(he)A，A由集(ji)(ji)合(he)(he)B中(zhong)所有的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)加(jia)上b點(dian)(dian)(dian)構成。只要是(shi)烏(wu)龜(gui)先前(qian)所在(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)，都是(shi)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)可以走到的(de)(de)(de)(de)，因而(er)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)可以走到集(ji)(ji)合(he)(he)B中(zhong)所有的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)。那么，我們能(neng)不(bu)能(neng)在(zai)(zai)集(ji)(ji)合(he)(he)A中(zhong)找到一個點(dian)(dian)(dian)，它既不(bu)屬于(yu)B，也(ye)不(bu)是(shi)b，回答是(shi)不(bu)能(neng)的(de)(de)(de)(de)。因而(er)如果阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)走過了集(ji)(ji)合(he)(he)B中(zhong)所有的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)，阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)與(yu)b點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)距(ju)離就已(yi)(yi)經是(shi)0（如果不(bu)是(shi)0，則應該(gai)在(zai)(zai)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)與(yu)b點(dian)(dian)(dian)之間還會存在(zai)(zai)著一個點(dian)(dian)(dian)，但這個點(dian)(dian)(dian)并不(bu)存在(zai)(zai)），也(ye)就是(shi)說(shuo)，阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)已(yi)(yi)經追上了烏(wu)龜(gui)。

而(er)按(an)照我們(men)(men)悖論所設(she)定的(de)(de)(de)條件，阿(a)基里斯是(shi)可以(yi)走到(dao)烏龜(gui)先前(qian)所走過的(de)(de)(de)所有(you)(you)的(de)(de)(de)點(dian)的(de)(de)(de)。因而(er)阿(a)基里斯追到(dao)了烏龜(gui)。但在上面的(de)(de)(de)分析中(zhong)，我們(men)(men)發現了一(yi)個(ge)有(you)(you)趣的(de)(de)(de)矛盾，這就是(shi)b既屬(shu)于(yu)B又不屬(shu)于(yu)B，也就是(shi)說，b既是(shi)現在又是(shi)先前(qian)。而(er)且(qie)這是(shi)阿(a)基里斯得以(yi)追上烏龜(gui)的(de)(de)(de)前(qian)提和條件。這樣的(de)(de)(de)一(yi)個(ge)有(you)(you)趣的(de)(de)(de)結論，是(shi)決不可能為(wei)具有(you)(you)形而(er)上學頭腦的(de)(de)(de)那些數學家(jia)們(men)(men)所接(jie)受的(de)(de)(de)。

此(ci)悖論假設阿基(ji)(ji)里(li)斯永遠(yuan)只(zhi)能到達龜前一個時(shi)間(jian)段(duan)(duan)到達的(de)地方，即追上的(de)前一個時(shi)間(jian)段(duan)(duan)，此(ci)時(shi)條件未發生變化，并先承認此(ci)時(shi)間(jian)段(duan)(duan)兩(liang)者間(jian)仍有差異，然后用(yong)不(bu)同的(de)時(shi)間(jian)段(duan)(duan)進(jin)行重復換算，假設條件仍未變化。而(er)在此(ci)時(shi)間(jian)段(duan)(duan)的(de)下(xia)一個口徑相同的(de)時(shi)間(jian)段(duan)(duan)里(li)，阿基(ji)(ji)米斯就會(hui)追上。

相反(fan)觀點：這證(zheng)明(ming)(ming)(ming)是錯誤的。因為(wei)證(zheng)明(ming)(ming)(ming)假設了阿基里斯可以走一(yi)個點，在事實上回避了悖論(lun)中無(wu)法找(zhao)第1點問題(ti)實質。故此(ci)證(zheng)明(ming)(ming)(ming)和悖論(lun)無(wu)關，只是把小學(xue)應用(yong)題(ti)用(yong)集合論(lun)復述(shu)了一(yi)遍。

推翻悖論

其實(shi)，我們根據中(zhong)學所學過(guo)的(de)無窮等比遞縮數(shu)列求(qiu)和的(de)知識，只需(xu)列一個方程就可以輕而(er)易舉(ju)地(di)推翻(fan)芝諾的(de)悖論：阿基里斯(si)在跑了

1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時(shi)便可趕(gan)上烏龜。

人們認為數(shu)列1+0.1+0.01+…………是永遠也不(bu)能(neng)窮盡(jin)的(de)。這只不(bu)過是一個錯覺(jue)。

我們不(bu)妨來(lai)計算一下阿基里(li)斯能夠追上烏(wu)龜的時間為(wei)t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9

芝諾所(suo)說(shuo)的(de)阿基(ji)里斯不可(ke)能追(zhui)上烏龜，就隱藏著時間必(bi)須小(xiao)于(yu)10t/9這樣一個條(tiao)件。

由于阿基(ji)里斯和烏龜是(shi)在不(bu)斷地運動的，對時間(jian)是(shi)沒有限(xian)制的，時間(jian)很容易(yi)突(tu)破10t/9這樣一個(ge)條件。一旦突(tu)破10t/9這樣一個(ge)條件，阿基(ji)里斯就追上了或(huo)超過(guo)了烏龜。

人們被距離數(shu)列1+0.1+0.01+…………好像是永遠(yuan)也(ye)不能(neng)窮盡的假象迷惑了(le)，沒有考慮到時間數(shu)列1+0.1+0.01+…………是很容易達到和超過的了(le)。

但(dan)是(shi)(shi)不(bu)(bu)是(shi)(shi)所(suo)有的數(shu)(shu)列都能(neng)達(da)到，所(suo)以，我們(men)看問題不(bu)(bu)能(neng)太(tai)極端。例(li)如無論多(duo)少個點(dian)也(ye)不(bu)(bu)能(neng)組成直線(xian)，對(dui)于點(dian)的個數(shu)(shu)來說，我們(men)就永(yong)遠無法(fa)窮盡它。

其實，以上的證明(ming)(ming)是無(wu)法推翻這個悖(bei)論的。因為(wei)這個證明(ming)(ming)用到了極限這個概(gai)(gai)念(nian)。然而，極限這個概(gai)(gai)念(nian)，正是為(wei)了解(jie)決阿基里斯悖(bei)論而定義出來的一(yi)個概(gai)(gai)念(nian)。用這個概(gai)(gai)念(nian)再反證這個悖(bei)論很明(ming)(ming)顯是不合理的。

無限的細分并(bing)不代表不會從時間1流入(ru)時間2，否則你的時鐘將永遠停留(liu)在59分59.9999............秒。

阿(a)基里斯(si)能夠(gou)繼續(xu)逼近烏龜，在某一時(shi)間點之前(qian)無法追(zhui)(zhui)上。但(dan)永遠追(zhui)(zhui)不(bu)(bu)上這(zhe)一結果并不(bu)(bu)成立(li)，因為這(zhe)一悖論(lun)只引導去考(kao)慮追(zhui)(zhui)上之前(qian)的(de)距(ju)離，而不(bu)(bu)是追(zhui)(zhui)上的(de)這(zhe)一距(ju)離。

悖論正解

悖論隱含(han)的假設就是阿(a)(a)基里(li)(li)斯(si)沒有(you)追上龜，為什么呢(ni)？阿(a)(a)基里(li)(li)斯(si)的每一段，都是烏龜跑完了，才讓(rang)阿(a)(a)基里(li)(li)斯(si)才跑的。只是想(xiang)當然的用了一開始的距離差，而(er)這個距離差為逐段變(bian)小。

而這(zhe)(zhe)個(ge)趨(qu)近過程又想用(yong)時間衡量，恰好時間和距離(li)，都可以無限劃(hua)分。靜(jing)止(zhi)也存在這(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)(yang)的(de)(de)接近過程，舉(ju)個(ge)例(li)子：假設(she)烏龜(gui)是靜(jing)止(zhi)的(de)(de)，讓阿(a)基里斯以這(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)(yang)的(de)(de)方式跑。900米，90米，9米，0.9米……，這(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)(yang)他也追不上烏龜(gui)啊(a)，也同樣(yang)(yang)(yang)變不成零，因(yin)為你的(de)(de)假設(she)就是距離(li)的(de)(de)無限小(xiao)，這(zhe)(zhe)只是在尋找最短的(de)(de)距離(li)。這(zhe)(zhe)個(ge)就關系到極限了(le)。就像(xiang)在找最小(xiao)的(de)(de)物質(zhi)粒(li)子一(yi)樣(yang)(yang)(yang)。