公(gong)元前5世紀，芝(zhi)諾發表了著名的阿(a)基里斯(si)(si)(si)(si)悖論：他提(ti)出讓烏(wu)(wu)(wu)龜在阿(a)基里斯(si)(si)(si)(si)前面1000米(mi)(mi)處(chu)開(kai)(kai)始(shi)(shi)，和阿(a)基里斯(si)(si)(si)(si)賽跑，并且假定阿(a)基里斯(si)(si)(si)(si)的速(su)度(du)是烏(wu)(wu)(wu)龜的10倍。當(dang)(dang)比賽開(kai)(kai)始(shi)(shi)后，若阿(a)基里斯(si)(si)(si)(si)跑了1000米(mi)(mi)，設所用(yong)的時(shi)間(jian)為(wei)t，此時(shi)烏(wu)(wu)(wu)龜便領先(xian)他100米(mi)(mi)；當(dang)(dang)阿(a)基里斯(si)(si)(si)(si)跑完下一個(ge)100米(mi)(mi)時(shi)，他所用(yong)的時(shi)間(jian)為(wei)t/10，烏(wu)(wu)(wu)龜仍(reng)然前于他10米(mi)(mi)；當(dang)(dang)阿(a)基里斯(si)(si)(si)(si)跑完下一個(ge)10米(mi)(mi)時(shi)，他所用(yong)的時(shi)間(jian)為(wei)t/100，烏(wu)(wu)(wu)龜仍(reng)然前于他1米(mi)(mi)……芝(zhi)諾認為(wei)，阿(a)基里斯(si)(si)(si)(si)能夠(gou)繼續逼(bi)近烏(wu)(wu)(wu)龜，但決不(bu)可能追上它。
關于阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)悖論(lun)的一(yi)個(ge)解釋是：阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)的確永遠也追不上烏(wu)龜。雖然(ran)現(xian)實中我們知道阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)超越烏(wu)龜非常簡單，但是它是如(ru)何超過烏(wu)龜的在(zai)過去卻一(yi)直存在(zai)爭論(lun)。
現代物(wu)理(li)學已經證明了時間和空(kong)間不是可以無限(xian)分(fen)割的，所以總有最(zui)為微(wei)小的一個時間里，阿基里斯和烏龜(gui)(gui)共同前進了一個空(kong)間單(dan)位，從(cong)此阿基里斯順利超過烏龜(gui)(gui)。
芝諾(nuo)(nuo)(nuo)悖論的(de)(de)產生原因(yin)，是(shi)在于“芝諾(nuo)(nuo)(nuo)時”不(bu)可(ke)能度量(liang)阿基(ji)里斯追(zhui)上(shang)烏龜后的(de)(de)現象。在芝諾(nuo)(nuo)(nuo)時達(da)到無(wu)(wu)限(xian)(xian)后，正常(chang)計時仍可(ke)以進行，只不(bu)過芝諾(nuo)(nuo)(nuo)的(de)(de)“鐘”已經無(wu)(wu)法度量(liang)它們了。這個悖論實際上(shang)是(shi)反(fan)映(ying)時空并不(bu)是(shi)無(wu)(wu)限(xian)(xian)可(ke)分的(de)(de)，運動也不(bu)是(shi)連續的(de)(de)。
通俗一點(dian)講，我(wo)們都知道(dao)一條線是由無(wu)數個(ge)點(dian)組成的(de)，但這(zhe)個(ge)“無(wu)數個(ge)點(dian)”并不能說我(wo)們無(wu)法畫出(chu)一條線。也就是說就是芝(zhi)諾偷換(huan)了(le)(le)概念(nian)，（1+0.1+0.01+……）t其實(shi)是一個(ge)有限的(de)時(shi)間，但他認為這(zhe)個(ge)時(shi)間是無(wu)限大的(de)，只(zhi)要時(shi)間超過（1+0.1+0.01+……）t阿基里斯就追上了(le)(le)烏龜(gui)。
阿(a)基里斯悖論分離了運(yun)動與靜止，夸大了相對(dui)(dui)靜止，而否認(ren)了絕(jue)對(dui)(dui)運(yun)動，是形而上學說。
黑(hei)格(ge)爾在《小邏輯》中說：“辯(bian)證法切不(bu)可與(yu)單(dan)純(chun)的(de)詭(gui)辯(bian)相混淆。詭(gui)辯(bian)的(de)本質在于孤(gu)立(li)起來看事物(wu)，把本身片面(mian)的(de)、抽(chou)象的(de)規定(ding)，認為是可靠的(de)。”辯(bian)證唯物(wu)主義認為，運動與(yu)靜止是對立(li)統一的(de)辯(bian)證關系。
一方面，運動(dong)(dong)與靜止(zhi)的(de)(de)對(dui)立表(biao)現在：運動(dong)(dong)是(shi)(shi)(shi)絕(jue)對(dui)的(de)(de)，靜止(zhi)是(shi)(shi)(shi)相(xiang)對(dui)的(de)(de)，二者相(xiang)互區別，不可混淆。所(suo)(suo)謂(wei)運動(dong)(dong)是(shi)(shi)(shi)絕(jue)對(dui)的(de)(de)是(shi)(shi)(shi)說，運動(dong)(dong)是(shi)(shi)(shi)物(wu)質的(de)(de)根(gen)本屬性(xing)，任何事物(wu)在任何條(tiao)(tiao)件下(xia)都是(shi)(shi)(shi)永恒運動(dong)(dong)的(de)(de)，是(shi)(shi)(shi)無條(tiao)(tiao)件的(de)(de)。所(suo)(suo)謂(wei)靜止(zhi)是(shi)(shi)(shi)相(xiang)對(dui)的(de)(de)是(shi)(shi)(shi)說，靜止(zhi)是(shi)(shi)(shi)運動(dong)(dong)在特定(ding)條(tiao)(tiao)件下(xia)的(de)(de)特殊狀(zhuang)態，是(shi)(shi)(shi)有條(tiao)(tiao)件的(de)(de)。
另一方面，運(yun)(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)的(de)統一表現在：運(yun)(yun)動(dong)(dong)和靜(jing)止(zhi)是相互依存、相互貫通(tong)的(de)，即所謂動(dong)(dong)中有(you)靜(jing)、靜(jing)中有(you)動(dong)(dong)。在運(yun)(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)關系上有(you)兩種形而(er)上學的(de)錯(cuo)誤：一種是割裂運(yun)(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)的(de)關系，否認運(yun)(yun)動(dong)(dong)，只(zhi)(zhi)講靜(jing)止(zhi)，將靜(jing)止(zhi)絕(jue)對(dui)化(hua)的(de)形而(er)上學不動(dong)(dong)論；一種是割裂運(yun)(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)的(de)關系，只(zhi)(zhi)講運(yun)(yun)動(dong)(dong)，否認靜(jing)止(zhi)的(de)形而(er)上學相對(dui)主義和詭辯論。
關于阿基里(li)斯追(zhui)龜的問題，我(wo)們可以很簡單地證明阿基里(li)斯追(zhui)上了烏龜。
我(wo)們(men)設烏(wu)龜(gui)(gui)先(xian)前所(suo)走(zou)過的(de)(de)(de)(de)所(suo)有的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)屬于集(ji)合(he)B，烏(wu)龜(gui)(gui)現在(zai)(zai)(zai)所(suo)在(zai)(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)標志為b，烏(wu)龜(gui)(gui)所(suo)走(zou)過的(de)(de)(de)(de)所(suo)有的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)是(shi)(shi)(shi)(shi)集(ji)合(he)A，A由集(ji)合(he)B中所(suo)有的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)加上b點(dian)(dian)構成。只(zhi)要是(shi)(shi)(shi)(shi)烏(wu)龜(gui)(gui)先(xian)前所(suo)在(zai)(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)，都是(shi)(shi)(shi)(shi)阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)(si)可(ke)以走(zou)到的(de)(de)(de)(de)，因而(er)阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)(si)可(ke)以走(zou)到集(ji)合(he)B中所(suo)有的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)。那(nei)么，我(wo)們(men)能不(bu)(bu)(bu)能在(zai)(zai)(zai)集(ji)合(he)A中找到一個(ge)點(dian)(dian)，它既不(bu)(bu)(bu)屬于B，也不(bu)(bu)(bu)是(shi)(shi)(shi)(shi)b，回答是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)(bu)(bu)能的(de)(de)(de)(de)。因而(er)如果阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)(si)走(zou)過了(le)集(ji)合(he)B中所(suo)有的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)，阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)(si)與b點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)距離就(jiu)已(yi)經(jing)是(shi)(shi)(shi)(shi)0（如果不(bu)(bu)(bu)是(shi)(shi)(shi)(shi)0，則應該(gai)在(zai)(zai)(zai)阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)(si)與b點(dian)(dian)之間(jian)還會存在(zai)(zai)(zai)著一個(ge)點(dian)(dian)，但這個(ge)點(dian)(dian)并不(bu)(bu)(bu)存在(zai)(zai)(zai)），也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)說，阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)(si)已(yi)經(jing)追上了(le)烏(wu)龜(gui)(gui)。
而按照我們(men)悖論(lun)所(suo)設定的(de)(de)條件，阿基里斯是(shi)可(ke)以走(zou)到(dao)烏(wu)龜(gui)先前(qian)所(suo)走(zou)過的(de)(de)所(suo)有的(de)(de)點(dian)的(de)(de)。因而阿基里斯追到(dao)了(le)烏(wu)龜(gui)。但在(zai)上面的(de)(de)分析中，我們(men)發現了(le)一個有趣的(de)(de)矛盾，這就是(shi)b既(ji)屬(shu)于B又不(bu)屬(shu)于B，也就是(shi)說，b既(ji)是(shi)現在(zai)又是(shi)先前(qian)。而且這是(shi)阿基里斯得(de)以追上烏(wu)龜(gui)的(de)(de)前(qian)提和條件。這樣的(de)(de)一個有趣的(de)(de)結論(lun)，是(shi)決(jue)不(bu)可(ke)能為具有形而上學頭腦(nao)的(de)(de)那些數學家(jia)們(men)所(suo)接受的(de)(de)。
此(ci)悖論(lun)假(jia)設阿基(ji)(ji)里斯永(yong)遠只能到達(da)龜前一個時間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)到達(da)的(de)(de)地方，即(ji)追上的(de)(de)前一個時間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)，此(ci)時條件未發生(sheng)變化，并(bing)先承認(ren)此(ci)時間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)兩者間(jian)(jian)仍(reng)有差異，然后(hou)用(yong)不同(tong)的(de)(de)時間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)進行(xing)重復換(huan)算，假(jia)設條件仍(reng)未變化。而(er)在此(ci)時間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)的(de)(de)下(xia)一個口(kou)徑相同(tong)的(de)(de)時間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)里，阿基(ji)(ji)米斯就會追上。
相反觀點(dian)：這證(zheng)明是(shi)錯誤的。因為(wei)證(zheng)明假設了阿(a)基(ji)里斯(si)可以(yi)走一(yi)個點(dian)，在事實上回避了悖論中無法找(zhao)第1點(dian)問題(ti)實質。故此證(zheng)明和悖論無關，只(zhi)是(shi)把小(xiao)學應用題(ti)用集合論復述了一(yi)遍(bian)。
其實，我(wo)們根據中(zhong)學所學過的無窮等比(bi)遞縮數列求和的知識，只需列一個方程就(jiu)可以輕而易舉地推翻芝諾的悖論：阿基里斯在跑了
1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時(shi)便可趕上烏龜(gui)。
人們認為(wei)數列1+0.1+0.01+…………是永(yong)遠也不能窮盡的。這只不過(guo)是一(yi)個錯覺。
我們不妨來計算(suan)一下阿基(ji)里(li)斯能夠追(zhui)上烏龜的(de)時間(jian)為(wei)t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9
芝(zhi)諾所(suo)說的阿基(ji)里斯(si)不可能追上烏龜，就隱藏(zang)著時間必須小于10t/9這樣一(yi)個條件。
由于阿基里斯和烏(wu)龜(gui)是在不(bu)斷(duan)地運動的(de)(de)，對時間(jian)是沒有限制的(de)(de)，時間(jian)很容易突(tu)破(po)10t/9這(zhe)樣一(yi)(yi)個條件(jian)。一(yi)(yi)旦突(tu)破(po)10t/9這(zhe)樣一(yi)(yi)個條件(jian)，阿基里斯就追上了(le)或超過了(le)烏(wu)龜(gui)。
人們被距離數列1+0.1+0.01+…………好像是(shi)永遠(yuan)也不能窮(qiong)盡(jin)的(de)(de)假象迷惑了，沒有考慮(lv)到時間(jian)數列1+0.1+0.01+…………是(shi)很容易達(da)到和超過的(de)(de)了。
但(dan)是不是所(suo)(suo)有的(de)數列都能達到，所(suo)(suo)以(yi)，我(wo)們(men)(men)看問題不能太極端。例如無(wu)論多少個點也不能組成直線，對(dui)于點的(de)個數來說，我(wo)們(men)(men)就永(yong)遠無(wu)法窮盡(jin)它。
其(qi)實，以上的證(zheng)明(ming)是(shi)無法推翻這(zhe)(zhe)個(ge)悖論(lun)的。因為這(zhe)(zhe)個(ge)證(zheng)明(ming)用(yong)到了極限這(zhe)(zhe)個(ge)概(gai)念。然而，極限這(zhe)(zhe)個(ge)概(gai)念，正(zheng)是(shi)為了解決阿基里斯悖論(lun)而定義出來(lai)的一個(ge)概(gai)念。用(yong)這(zhe)(zhe)個(ge)概(gai)念再反證(zheng)這(zhe)(zhe)個(ge)悖論(lun)很明(ming)顯是(shi)不合(he)理的。
無(wu)限的細分(fen)(fen)并(bing)不代表不會從時(shi)間1流入時(shi)間2，否則你的時(shi)鐘將永遠(yuan)停留在(zai)59分(fen)(fen)59.9999............秒。
阿基里(li)斯能夠繼(ji)續逼(bi)近烏(wu)龜，在某一(yi)時間點之前(qian)(qian)無(wu)法追(zhui)(zhui)上(shang)。但永遠追(zhui)(zhui)不(bu)上(shang)這(zhe)一(yi)結果并不(bu)成立，因(yin)為這(zhe)一(yi)悖論只引導去考慮追(zhui)(zhui)上(shang)之前(qian)(qian)的距離，而不(bu)是(shi)追(zhui)(zhui)上(shang)的這(zhe)一(yi)距離。
悖論隱(yin)含的(de)(de)假(jia)設就是阿基里斯(si)沒有追上龜，為什(shen)么呢？阿基里斯(si)的(de)(de)每一段，都是烏龜跑(pao)完了，才讓(rang)阿基里斯(si)才跑(pao)的(de)(de)。只是想當然(ran)的(de)(de)用(yong)了一開始的(de)(de)距離(li)差(cha)，而這個距離(li)差(cha)為逐段變(bian)小。
而這(zhe)個(ge)趨近過(guo)程又(you)想用時(shi)間衡量，恰(qia)好時(shi)間和距(ju)離，都可以(yi)無限劃分(fen)。靜(jing)止也存在(zai)這(zhe)樣(yang)的(de)(de)接近過(guo)程，舉個(ge)例子：假設烏(wu)龜(gui)是靜(jing)止的(de)(de)，讓阿(a)基里斯以(yi)這(zhe)樣(yang)的(de)(de)方式(shi)跑(pao)。900米，90米，9米，0.9米……，這(zhe)樣(yang)他也追不(bu)上(shang)烏(wu)龜(gui)啊，也同樣(yang)變(bian)不(bu)成(cheng)零，因為你的(de)(de)假設就是距(ju)離的(de)(de)無限小，這(zhe)只是在(zai)尋(xun)找最短的(de)(de)距(ju)離。這(zhe)個(ge)就關系到極限了。就像在(zai)找最小的(de)(de)物(wu)質(zhi)粒子一樣(yang)。
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