公元(yuan)前(qian)5世紀，芝(zhi)諾發表了(le)著名的(de)阿(a)(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)悖論：他(ta)提出(chu)讓烏(wu)龜(gui)(gui)(gui)在阿(a)(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)前(qian)面1000米(mi)(mi)處開始(shi)，和阿(a)(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)賽跑(pao)(pao)，并且假(jia)定(ding)阿(a)(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)的(de)速度是烏(wu)龜(gui)(gui)(gui)的(de)10倍。當(dang)比(bi)賽開始(shi)后，若阿(a)(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)跑(pao)(pao)了(le)1000米(mi)(mi)，設所用的(de)時(shi)(shi)(shi)間(jian)為t，此時(shi)(shi)(shi)烏(wu)龜(gui)(gui)(gui)便(bian)領先他(ta)100米(mi)(mi)；當(dang)阿(a)(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)跑(pao)(pao)完下(xia)一(yi)個(ge)100米(mi)(mi)時(shi)(shi)(shi)，他(ta)所用的(de)時(shi)(shi)(shi)間(jian)為t/10，烏(wu)龜(gui)(gui)(gui)仍然前(qian)于他(ta)10米(mi)(mi)；當(dang)阿(a)(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)跑(pao)(pao)完下(xia)一(yi)個(ge)10米(mi)(mi)時(shi)(shi)(shi)，他(ta)所用的(de)時(shi)(shi)(shi)間(jian)為t/100，烏(wu)龜(gui)(gui)(gui)仍然前(qian)于他(ta)1米(mi)(mi)……芝(zhi)諾認為，阿(a)(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)能(neng)夠(gou)繼續逼(bi)近烏(wu)龜(gui)(gui)(gui)，但決不可(ke)能(neng)追(zhui)上它。
關于(yu)阿(a)基(ji)(ji)里斯悖論的(de)一(yi)個解釋是：阿(a)基(ji)(ji)里斯的(de)確永遠也追不上(shang)烏(wu)(wu)龜(gui)。雖然現實中我們(men)知道阿(a)基(ji)(ji)里斯超越(yue)烏(wu)(wu)龜(gui)非(fei)常簡(jian)單(dan)，但(dan)是它是如(ru)何超過烏(wu)(wu)龜(gui)的(de)在(zai)過去卻一(yi)直存(cun)在(zai)爭論。
現代物(wu)理學(xue)已經(jing)證(zheng)明了(le)時間(jian)(jian)和空間(jian)(jian)不是可以(yi)無限分割(ge)的(de)，所(suo)以(yi)總有(you)最為微小的(de)一個(ge)時間(jian)(jian)里，阿(a)基里斯(si)和烏龜(gui)共同前進了(le)一個(ge)空間(jian)(jian)單位，從此(ci)阿(a)基里斯(si)順利超過烏龜(gui)。
芝諾(nuo)(nuo)悖論的產生(sheng)原因(yin)，是在于“芝諾(nuo)(nuo)時(shi)”不可能度量阿基里斯追上烏龜后(hou)的現象。在芝諾(nuo)(nuo)時(shi)達到無(wu)限(xian)后(hou)，正常計時(shi)仍可以進行，只不過芝諾(nuo)(nuo)的“鐘”已經無(wu)法度量它(ta)們(men)了。這(zhe)個悖論實際上是反映時(shi)空并不是無(wu)限(xian)可分的，運動也(ye)不是連續的。
通俗一點講，我們都知(zhi)道一條線是(shi)(shi)由無(wu)數(shu)個點組(zu)成的(de)，但(dan)這(zhe)個“無(wu)數(shu)個點”并不能說我們無(wu)法畫出一條線。也就(jiu)是(shi)(shi)說就(jiu)是(shi)(shi)芝諾偷換了概念，（1+0.1+0.01+……）t其實(shi)是(shi)(shi)一個有限(xian)的(de)時間(jian)(jian)，但(dan)他認(ren)為這(zhe)個時間(jian)(jian)是(shi)(shi)無(wu)限(xian)大(da)的(de)，只要時間(jian)(jian)超過（1+0.1+0.01+……）t阿基里斯就(jiu)追(zhui)上了烏龜。
阿基里斯悖(bei)論分離(li)了(le)運動(dong)與靜止，夸大了(le)相對(dui)靜止，而否認了(le)絕(jue)對(dui)運動(dong)，是形而上學說(shuo)。
黑格爾在(zai)《小邏輯》中說：“辯(bian)證(zheng)法切不可(ke)與(yu)單純(chun)的(de)(de)(de)詭辯(bian)相(xiang)混淆。詭辯(bian)的(de)(de)(de)本(ben)質在(zai)于孤立起(qi)來(lai)看事物，把本(ben)身片面的(de)(de)(de)、抽象(xiang)的(de)(de)(de)規定，認為是(shi)可(ke)靠的(de)(de)(de)。”辯(bian)證(zheng)唯物主義認為，運動與(yu)靜止是(shi)對(dui)立統(tong)一的(de)(de)(de)辯(bian)證(zheng)關系。
一(yi)方面，運(yun)(yun)動與靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)對立(li)表現在：運(yun)(yun)動是(shi)絕(jue)(jue)對的(de)，靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)相對的(de)，二者相互(hu)區別(bie)，不可(ke)混淆。所謂運(yun)(yun)動是(shi)絕(jue)(jue)對的(de)是(shi)說，運(yun)(yun)動是(shi)物質的(de)根本(ben)屬性，任何事物在任何條件下(xia)(xia)都是(shi)永(yong)恒運(yun)(yun)動的(de)，是(shi)無條件的(de)。所謂靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)相對的(de)是(shi)說，靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)運(yun)(yun)動在特定條件下(xia)(xia)的(de)特殊狀態，是(shi)有條件的(de)。
另一(yi)方面，運(yun)(yun)動(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)止的(de)統一(yi)表(biao)現在(zai)：運(yun)(yun)動(dong)和靜(jing)(jing)(jing)止是(shi)相互(hu)依(yi)存、相互(hu)貫通的(de)，即所謂動(dong)中有(you)靜(jing)(jing)(jing)、靜(jing)(jing)(jing)中有(you)動(dong)。在(zai)運(yun)(yun)動(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)止關(guan)系上有(you)兩(liang)種(zhong)形而(er)上學的(de)錯誤(wu)：一(yi)種(zhong)是(shi)割裂運(yun)(yun)動(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)止的(de)關(guan)系，否認運(yun)(yun)動(dong)，只(zhi)講靜(jing)(jing)(jing)止，將靜(jing)(jing)(jing)止絕對化的(de)形而(er)上學不(bu)動(dong)論；一(yi)種(zhong)是(shi)割裂運(yun)(yun)動(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)止的(de)關(guan)系，只(zhi)講運(yun)(yun)動(dong)，否認靜(jing)(jing)(jing)止的(de)形而(er)上學相對主義(yi)和詭辯(bian)論。
關于阿基(ji)里斯(si)(si)追(zhui)(zhui)龜(gui)的(de)問(wen)題，我們(men)可以(yi)很簡單地證明(ming)阿基(ji)里斯(si)(si)追(zhui)(zhui)上了烏龜(gui)。
我(wo)們(men)設烏龜(gui)先前(qian)所(suo)(suo)走(zou)(zou)過(guo)(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)屬(shu)于集(ji)(ji)合(he)B，烏龜(gui)現在所(suo)(suo)在的(de)(de)(de)(de)點(dian)標志為b，烏龜(gui)所(suo)(suo)走(zou)(zou)過(guo)(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)是(shi)(shi)集(ji)(ji)合(he)A，A由集(ji)(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)加上(shang)b點(dian)構成。只要是(shi)(shi)烏龜(gui)先前(qian)所(suo)(suo)在的(de)(de)(de)(de)點(dian)，都是(shi)(shi)阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)可(ke)以走(zou)(zou)到的(de)(de)(de)(de)，因而阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)可(ke)以走(zou)(zou)到集(ji)(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)。那么，我(wo)們(men)能不(bu)(bu)(bu)(bu)能在集(ji)(ji)合(he)A中找到一個點(dian)，它既不(bu)(bu)(bu)(bu)屬(shu)于B，也不(bu)(bu)(bu)(bu)是(shi)(shi)b，回答(da)是(shi)(shi)不(bu)(bu)(bu)(bu)能的(de)(de)(de)(de)。因而如(ru)果阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)走(zou)(zou)過(guo)(guo)(guo)了(le)(le)集(ji)(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)，阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)與(yu)b點(dian)的(de)(de)(de)(de)距離(li)就已(yi)經是(shi)(shi)0（如(ru)果不(bu)(bu)(bu)(bu)是(shi)(shi)0，則(ze)應該在阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)與(yu)b點(dian)之(zhi)間還會(hui)存(cun)(cun)在著一個點(dian)，但這個點(dian)并不(bu)(bu)(bu)(bu)存(cun)(cun)在），也就是(shi)(shi)說，阿(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)斯(si)(si)已(yi)經追上(shang)了(le)(le)烏龜(gui)。
而按照(zhao)我(wo)們(men)悖論(lun)所設定的(de)條件，阿基(ji)里斯(si)是(shi)(shi)可以(yi)走到烏龜先(xian)前所走過的(de)所有(you)的(de)點的(de)。因而阿基(ji)里斯(si)追到了烏龜。但在上(shang)面的(de)分析中，我(wo)們(men)發現(xian)了一個(ge)有(you)趣的(de)矛盾，這(zhe)就是(shi)(shi)b既屬于(yu)B又(you)不屬于(yu)B，也就是(shi)(shi)說，b既是(shi)(shi)現(xian)在又(you)是(shi)(shi)先(xian)前。而且這(zhe)是(shi)(shi)阿基(ji)里斯(si)得以(yi)追上(shang)烏龜的(de)前提和條件。這(zhe)樣的(de)一個(ge)有(you)趣的(de)結論(lun)，是(shi)(shi)決不可能為具有(you)形而上(shang)學(xue)頭腦(nao)的(de)那(nei)些數學(xue)家們(men)所接受的(de)。
此悖(bei)論假設(she)阿基里(li)斯永遠只(zhi)能(neng)到達(da)龜前(qian)一個(ge)(ge)時(shi)(shi)間(jian)段到達(da)的地方，即(ji)追上(shang)的前(qian)一個(ge)(ge)時(shi)(shi)間(jian)段，此時(shi)(shi)條件未發生變(bian)化，并先承認此時(shi)(shi)間(jian)段兩(liang)者間(jian)仍有差異，然后用不同的時(shi)(shi)間(jian)段進行重復換算，假設(she)條件仍未變(bian)化。而在此時(shi)(shi)間(jian)段的下(xia)一個(ge)(ge)口(kou)徑相同的時(shi)(shi)間(jian)段里(li)，阿基米斯就會追上(shang)。
相反觀點：這(zhe)證(zheng)明(ming)是錯誤的。因為(wei)證(zheng)明(ming)假(jia)設了阿(a)基里(li)斯(si)可(ke)以(yi)走一個點，在事實(shi)上回(hui)避了悖論中無(wu)法(fa)找第(di)1點問(wen)題實(shi)質。故此證(zheng)明(ming)和悖論無(wu)關，只是把小學應用題用集(ji)合論復述了一遍。
其(qi)實，我們根(gen)據中學所學過的(de)無窮等比遞(di)縮數列求和的(de)知識，只需列一個方程(cheng)就可以輕(qing)而(er)易舉地(di)推翻芝諾的(de)悖論：阿基里斯在跑了
1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時便可趕上烏(wu)龜。
人們認為數列1+0.1+0.01+…………是(shi)永(yong)遠也不(bu)能窮(qiong)盡的(de)。這(zhe)只不(bu)過是(shi)一(yi)個錯覺。
我們不妨來計算一下(xia)阿基里斯(si)能夠追上烏龜的時間(jian)為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9
芝諾所說的阿基里(li)斯不(bu)可(ke)能追上烏龜，就隱藏著時間必須(xu)小(xiao)于10t/9這(zhe)樣一個條件。
由(you)于阿基里(li)斯(si)和烏龜是在不斷地運動的(de)，對(dui)時間是沒有限制的(de)，時間很容易突破10t/9這樣(yang)一(yi)個(ge)條(tiao)件(jian)。一(yi)旦突破10t/9這樣(yang)一(yi)個(ge)條(tiao)件(jian)，阿基里(li)斯(si)就追上了或超過了烏龜。
人們被距離數列1+0.1+0.01+…………好像是永(yong)遠也不(bu)能窮盡的假象迷惑(huo)了，沒有考慮到時(shi)間(jian)數列1+0.1+0.01+…………是很(hen)容易達(da)到和超過的了。
但是不(bu)是所有(you)的(de)數(shu)列都能(neng)(neng)達到，所以(yi)，我(wo)們看問題不(bu)能(neng)(neng)太極端。例如無論多少個點也不(bu)能(neng)(neng)組成直線，對于(yu)點的(de)個數(shu)來說，我(wo)們就永遠無法窮盡它。
其實，以上的證明是(shi)無法推翻這(zhe)個(ge)(ge)(ge)悖論的。因為這(zhe)個(ge)(ge)(ge)證明用到了極(ji)限(xian)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概(gai)念(nian)。然而，極(ji)限(xian)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概(gai)念(nian)，正是(shi)為了解決(jue)阿基里斯悖論而定義出來的一個(ge)(ge)(ge)概(gai)念(nian)。用這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概(gai)念(nian)再反證這(zhe)個(ge)(ge)(ge)悖論很明顯是(shi)不合(he)理的。
無限的(de)細分并(bing)不代表不會從時間1流入(ru)時間2，否則你的(de)時鐘(zhong)將永遠(yuan)停留在59分59.9999............秒。
阿基里(li)斯能(neng)夠繼續逼近烏(wu)龜(gui)，在某一(yi)時間點之(zhi)前無法追(zhui)上(shang)。但永遠追(zhui)不(bu)上(shang)這一(yi)結果并不(bu)成立(li)，因(yin)為這一(yi)悖論只引導去考慮追(zhui)上(shang)之(zhi)前的距離(li)，而不(bu)是追(zhui)上(shang)的這一(yi)距離(li)。
悖論隱含(han)的假設就是(shi)阿基(ji)(ji)里斯(si)沒有追(zhui)上龜(gui)，為什么呢？阿基(ji)(ji)里斯(si)的每一段(duan)，都(dou)是(shi)烏龜(gui)跑完(wan)了(le)，才讓(rang)阿基(ji)(ji)里斯(si)才跑的。只(zhi)是(shi)想當(dang)然的用了(le)一開始的距離差，而這(zhe)個距離差為逐段(duan)變小(xiao)。
而這(zhe)個趨近過程又想用時間衡(heng)量(liang)，恰好時間和距(ju)(ju)離，都可以無限(xian)劃(hua)分。靜(jing)(jing)止也存在(zai)這(zhe)樣(yang)的(de)(de)(de)接近過程，舉(ju)個例(li)子：假設烏(wu)龜是(shi)靜(jing)(jing)止的(de)(de)(de)，讓阿(a)基里(li)斯(si)以這(zhe)樣(yang)的(de)(de)(de)方式跑。900米，90米，9米，0.9米……，這(zhe)樣(yang)他也追(zhui)不(bu)(bu)上烏(wu)龜啊，也同樣(yang)變不(bu)(bu)成(cheng)零，因(yin)為你的(de)(de)(de)假設就(jiu)是(shi)距(ju)(ju)離的(de)(de)(de)無限(xian)小，這(zhe)只是(shi)在(zai)尋找最(zui)短(duan)的(de)(de)(de)距(ju)(ju)離。這(zhe)個就(jiu)關(guan)系(xi)到(dao)極限(xian)了(le)。就(jiu)像在(zai)找最(zui)小的(de)(de)(de)物(wu)質粒子一樣(yang)。
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