羅(luo)素(su)(su)悖論是由羅(luo)素(su)(su)發現(xian)的(de)一個集(ji)合(he)(he)論悖論，其(qi)基本思想是：對于任意(yi)一個集(ji)合(he)(he)A，A要么是自(zi)身(shen)的(de)元素(su)(su)，即(ji)A∈A；A要么不是自(zi)身(shen)的(de)元素(su)(su)，即(ji)A?A。根(gen)據康托爾集(ji)合(he)(he)論的(de)概括原則，可將所有不是自(zi)身(shen)元素(su)(su)的(de)集(ji)合(he)(he)構成一個集(ji)合(he)(he)S1，即(ji)S1={x:x?x}。
20世紀之(zhi)初，數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)界(jie)甚(shen)至整個科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)界(jie)籠罩(zhao)在(zai)一(yi)片喜悅(yue)祥和的(de)氣氛之(zhi)中(zhong)，科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家們普(pu)遍認(ren)為，數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)系統(tong)性(xing)和嚴密性(xing)已經(jing)(jing)達到，科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)大(da)(da)廈已經(jing)(jing)基(ji)本建(jian)成。例如，德(de)國(guo)(guo)物(wu)(wu)理(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家基(ji)爾霍夫（G．R．Kirchhoff）就(jiu)曾經(jing)(jing)說(shuo)過：“物(wu)(wu)理(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)將無(wu)所作(zuo)為了(le)，至多也只(zhi)能在(zai)已知規律的(de)公式的(de)小數點后(hou)面加上幾個數字罷(ba)了(le)。”英國(guo)(guo)物(wu)(wu)理(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家開(kai)(kai)爾文（L．Kelvin）在(zai)1900年回顧(gu)物(wu)(wu)理(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)發(fa)(fa)展時(shi)也說(shuo)：“在(zai)已經(jing)(jing)基(ji)本建(jian)成的(de)科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)大(da)(da)廈中(zhong)，后(hou)輩物(wu)(wu)理(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家只(zhi)能做一(yi)些零碎的(de)修補工作(zuo)了(le)。”法國(guo)(guo)大(da)(da)數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家彭(peng)迦(jia)萊（Poincar6）在(zai)1900年的(de)國(guo)(guo)際數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家大(da)(da)會上也公開(kai)(kai)宣(xuan)稱，數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)嚴格性(xing)，現(xian)在(zai)看來(lai)可以說(shuo)是(shi)實(shi)現(xian)了(le)。然而好(hao)景不長，時(shi)隔不到兩年，科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)界(jie)就(jiu)發(fa)(fa)生(sheng)了(le)一(yi)件大(da)(da)事，這件大(da)(da)事就(jiu)是(shi)羅素（Russell）悖(bei)論(lun)的(de)發(fa)(fa)現(xian)。
在某個城市中有一位(wei)(wei)理發(fa)師，他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)廣告(gao)詞(ci)是這樣(yang)寫的(de)(de)(de)(de)(de)：“本(ben)(ben)人(ren)(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)理發(fa)技藝十(shi)分高超(chao)，譽滿全城。我(wo)將為(wei)本(ben)(ben)城所(suo)有不給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)(de)人(ren)(ren)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)，我(wo)也只(zhi)給(gei)(gei)(gei)這些人(ren)(ren)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)。我(wo)對各位(wei)(wei)表示熱誠歡迎！”來找他(ta)(ta)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)(de)人(ren)(ren)絡繹不絕，自(zi)(zi)(zi)然都(dou)是那(nei)些不給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)(de)人(ren)(ren)。可是，有一天，這位(wei)(wei)理發(fa)師從鏡子(zi)里(li)看見自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)胡(hu)子(zi)長了，他(ta)(ta)本(ben)(ben)能(neng)(neng)地抓起了剃(ti)刀，你們看他(ta)(ta)能(neng)(neng)不能(neng)(neng)給(gei)(gei)(gei)他(ta)(ta)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)呢(ni)？如(ru)果他(ta)(ta)不給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)，他(ta)(ta)就屬(shu)于“不給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)(de)人(ren)(ren)”，他(ta)(ta)就要(yao)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)，而如(ru)果他(ta)(ta)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)呢(ni)？他(ta)(ta)又屬(shu)于“給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)(de)人(ren)(ren)”，他(ta)(ta)就不該給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)(lian)。
理發(fa)師悖論與(yu)羅素悖論是等價(jia)的(de)(de)(de)：如(ru)果把每個(ge)人(ren)看成(cheng)一個(ge)集合，這(zhe)(zhe)個(ge)集合的(de)(de)(de)元素被(bei)定義成(cheng)這(zhe)(zhe)個(ge)人(ren)刮臉(lian)的(de)(de)(de)對象。那么(me)，理發(fa)師宣稱，他(ta)的(de)(de)(de)元素，都(dou)是城里不屬(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)自身的(de)(de)(de)那些集合，并且城里所有不屬(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)自身的(de)(de)(de)集合都(dou)屬(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)他(ta)。那么(me)他(ta)是否屬(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)他(ta)自己？這(zhe)(zhe)樣就(jiu)由理發(fa)師悖論得到了羅素悖論。反過來的(de)(de)(de)變換也是成(cheng)立的(de)(de)(de)。
“理發(fa)師(shi)悖論(lun)”是(shi)很(hen)容易解決的(de)，解決的(de)辦法之一(yi)就(jiu)是(shi)修正理發(fa)師(shi)的(de)規矩，將他自己(ji)排(pai)除(chu)在規矩之外(wai)；可是(shi)嚴格的(de)羅(luo)素悖論(lun)就(jiu)不(bu)是(shi)這(zhe)么(me)容易解決的(de)了。
一個圖書(shu)館編纂了一本書(shu)名詞典，它列出(chu)(chu)這個圖書(shu)館里所有不列出(chu)(chu)自己(ji)書(shu)名的書(shu)。那么它列不列出(chu)(chu)自己(ji)的書(shu)名？這個悖論與理發師悖論基本一致。
十(shi)九世(shi)紀下半葉，德(de)國數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家康(kang)(kang)托爾創(chuang)立了著名的集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)(lun)，在集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)(lun)剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這(zhe)一開創(chuang)性(xing)成(cheng)果就為廣(guang)大數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家所接受了，并且獲得廣(guang)泛而高度(du)的贊(zan)譽(yu)。數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家們發現，從自然數(shu)(shu)(shu)(shu)與(yu)康(kang)(kang)托爾集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)(lun)出發可建立起整(zheng)個數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)大廈。因而集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)(lun)成(cheng)為現代(dai)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的基石。“一切數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)成(cheng)果可建立在集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)(lun)基礎(chu)上(shang)”這(zhe)一發現使數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家們為之陶醉。
1903年，一個震(zhen)驚數學(xue)界(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)消(xiao)息傳出(chu)：集合論(lun)是(shi)有漏(lou)洞的(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)(zhe)就是(shi)英國(guo)數學(xue)家羅(luo)(luo)(luo)素(su)提(ti)出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)(de)羅(luo)(luo)(luo)素(su)悖(bei)論(lun)。羅(luo)(luo)(luo)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)這(zhe)(zhe)條(tiao)悖(bei)論(lun)使集合論(lun)產生了危(wei)機(ji)。它非常(chang)淺顯易懂，而且所(suo)涉(she)及的(de)(de)(de)(de)(de)只是(shi)集合論(lun)中最(zui)(zui)基本的(de)(de)(de)(de)(de)東西。所(suo)以，羅(luo)(luo)(luo)素(su)悖(bei)論(lun)一提(ti)出(chu)就在當時的(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)界(jie)與邏(luo)輯學(xue)界(jie)內引起了極(ji)大震(zhen)動。德國(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)名邏(luo)輯學(xue)家弗雷格在他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)關于集合的(de)(de)(de)(de)(de)基礎(chu)理論(lun)完(wan)稿付印時，收到了羅(luo)(luo)(luo)素(su)關于這(zhe)(zhe)一悖(bei)論(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)信。他(ta)立刻(ke)發現，自己忙了很久得(de)出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)一系(xi)列結果卻(que)(que)被這(zhe)(zhe)條(tiao)悖(bei)論(lun)攪得(de)一團糟。他(ta)只能(neng)在自己著(zhu)作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)末尾寫道：“一個科學(xue)家所(suo)碰到的(de)(de)(de)(de)(de)最(zui)(zui)倒霉的(de)(de)(de)(de)(de)事，莫過于是(shi)在他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)即將(jiang)完(wan)成時卻(que)(que)發現所(suo)干的(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)基礎(chu)崩潰了。”
公(gong)理化集合論(lun)的(de)(de)(de)(de)建立，成功排除了(le)(le)(le)集合論(lun)中出(chu)現的(de)(de)(de)(de)悖論(lun)，從而(er)(er)(er)比較圓滿地(di)解決了(le)(le)(le)第三(san)(san)次(ci)數(shu)(shu)(shu)學(xue)危(wei)機。但在另一(yi)方面(mian)，羅素悖論(lun)對數(shu)(shu)(shu)學(xue)而(er)(er)(er)言(yan)有著(zhu)(zhu)更為深刻的(de)(de)(de)(de)影(ying)響。它使(shi)得數(shu)(shu)(shu)學(xue)基(ji)礎問(wen)題第一(yi)次(ci)以最迫切的(de)(de)(de)(de)需要(yao)的(de)(de)(de)(de)姿(zi)態(tai)擺到(dao)數(shu)(shu)(shu)學(xue)家面(mian)前(qian)，導(dao)致了(le)(le)(le)數(shu)(shu)(shu)學(xue)家對數(shu)(shu)(shu)學(xue)基(ji)礎的(de)(de)(de)(de)研究。而(er)(er)(er)這方面(mian)的(de)(de)(de)(de)進(jin)(jin)一(yi)步發展又極其深刻地(di)影(ying)響了(le)(le)(le)整(zheng)個數(shu)(shu)(shu)學(xue)。如圍繞著(zhu)(zhu)數(shu)(shu)(shu)學(xue)基(ji)礎之(zhi)爭，形成了(le)(le)(le)現代數(shu)(shu)(shu)學(xue)史上著(zhu)(zhu)名的(de)(de)(de)(de)三(san)(san)大數(shu)(shu)(shu)學(xue)流派，而(er)(er)(er)各派的(de)(de)(de)(de)工(gong)作又都(dou)促進(jin)(jin)了(le)(le)(le)數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)大發展。
于是，數(shu)學(xue)的(de)基礎被(bei)動搖了(le)，這就是所(suo)謂的(de)第三次(ci)數(shu)學(xue)危機(ji)。
羅素的悖(bei)論(lun)發表(biao)之后，接著又發現一(yi)系列(lie)悖(bei)論(lun)（后來(lai)歸入(ru)所謂(wei)語義(yi)悖(bei)論(lun)）：
1.理查(cha)德悖論
2.培里悖論
3.格瑞林和納爾遜悖論
羅素(su)構造了一個(ge)集合(he)S：S由一切(qie)不(bu)屬(shu)于(yu)(yu)(yu)自身的集合(he)所組成。然(ran)后羅素(su)問：s是否屬(shu)于(yu)(yu)(yu)S呢？根據排中律，一個(ge)元素(su)或者屬(shu)于(yu)(yu)(yu)某個(ge)集合(he)，或者不(bu)屬(shu)于(yu)(yu)(yu)某個(ge)集合(he)。因此，對于(yu)(yu)(yu)一個(ge)給定集合(he)，問是否屬(shu)于(yu)(yu)(yu)它自己是有意義(yi)的。但(dan)對這個(ge)看似合(he)理的問題的回答(da)卻會(hui)陷(xian)入兩難境地(di)。如果(guo)s屬(shu)于(yu)(yu)(yu)S，根據S的定義(yi)，s就(jiu)(jiu)不(bu)屬(shu)于(yu)(yu)(yu)S；反之，如果(guo)s不(bu)屬(shu)于(yu)(yu)(yu)S，同樣根據定義(yi)，s就(jiu)(jiu)屬(shu)于(yu)(yu)(yu)S。無論(lun)如何都(dou)是矛(mao)盾的。
羅(luo)素悖(bei)論(lun)提(ti)(ti)出(chu)后，數學家們紛紛提(ti)(ti)出(chu)自己的(de)解(jie)決方案。人們希(xi)望能(neng)夠(gou)通過對康(kang)托(tuo)爾的(de)集合(he)論(lun)進行改(gai)造，通過對集合(he)定義加以限制(zhi)來排(pai)除悖(bei)論(lun)，這(zhe)就需(xu)要(yao)建(jian)立新的(de)原(yuan)則。“這(zhe)些原(yuan)則必須(xu)足夠(gou)狹窄(zhai)，以保證排(pai)除一切矛盾(dun)；另一方面又必須(xu)充分廣闊，使康(kang)托(tuo)爾集合(he)論(lun)中(zhong)一切有價值的(de)內容得(de)以保存下來。”解(jie)決這(zhe)一悖(bei)論(lun)主要(yao)有兩種選擇(ze)，ZF公理(li)系統和NBG公理(li)系統。
1908年，策梅羅(luo)（Ernst Zermelo）在(zai)(zai)(zai)自己(ji)這一(yi)原則基礎上(shang)提出第一(yi)個(ge)公(gong)理化集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)(he)論體系(xi)，后來這一(yi)公(gong)理化集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)(he)系(xi)統(tong)(tong)(tong)很大程度上(shang)彌補了康托爾(er)樸素集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)(he)論的缺陷(xian)。這一(yi)公(gong)理系(xi)統(tong)(tong)(tong)在(zai)(zai)(zai)通過(guo)弗蘭(lan)克爾(er)（Abraham Fraenkel）的改進(jin)后被(bei)稱為ZF公(gong)理系(xi)統(tong)(tong)(tong)。在(zai)(zai)(zai)該(gai)(gai)公(gong)理系(xi)統(tong)(tong)(tong)中，由于分類公(gong)理（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)(shi)x的一(yi)個(ge)性質，對任意(yi)已知集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)(he)A，存在(zai)(zai)(zai)一(yi)個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)(he)B使得對所有元素x∈B當且僅當x∈A且P(x)；因(yin)此{x∣x是(shi)(shi)一(yi)個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)(he)}并(bing)不能在(zai)(zai)(zai)該(gai)(gai)系(xi)統(tong)(tong)(tong)中寫(xie)成一(yi)個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)(he)，由于它(ta)并(bing)不是(shi)(shi)任何(he)已知集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)(he)的子集(ji)；并(bing)且通過(guo)該(gai)(gai)公(gong)理，存在(zai)(zai)(zai)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)(he)A={x∣x是(shi)(shi)一(yi)個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)(he)}在(zai)(zai)(zai)ZF系(xi)統(tong)(tong)(tong)中能被(bei)證明(ming)是(shi)(shi)矛(mao)盾的，因(yin)此羅(luo)素悖(bei)論在(zai)(zai)(zai)該(gai)(gai)系(xi)統(tong)(tong)(tong)中被(bei)避(bi)免了。
除ZF系(xi)(xi)(xi)統外，集合論的公理系(xi)(xi)(xi)統還有(you)多種，如(ru)馮·諾伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系(xi)(xi)(xi)統等。在該公理系(xi)(xi)(xi)統中，所(suo)有(you)包含集合的"collection"都能(neng)(neng)被稱(cheng)為(wei)類(lei)(class)，凡(fan)是(shi)集合也能(neng)(neng)被稱(cheng)為(wei)類(lei)，但是(shi)某些collection太大(da)了（比(bi)如(ru)一個collection包含所(suo)有(you)集合）以至于不能(neng)(neng)是(shi)一個集合，因此只能(neng)(neng)是(shi)個類(lei)。這同樣也避免了羅素悖論。
精靈世界
】編輯上傳提供，當前頁面所展(zhan)示的詞條介(jie)紹(shao)涉(she)及(ji)宣傳內容屬于注冊用戶個人編輯行為(wei)，網站(zhan)不(bu)完全保證內容信息的準確性、真實性，也不(bu)代表本(ben)站(zhan)立場。
