羅素悖(bei)(bei)論(lun)是(shi)(shi)由(you)羅素發現(xian)的一個(ge)集(ji)合論(lun)悖(bei)(bei)論(lun)，其基(ji)本思想(xiang)是(shi)(shi)：對于任意(yi)一個(ge)集(ji)合A，A要(yao)么(me)是(shi)(shi)自身(shen)的元素，即A∈A；A要(yao)么(me)不是(shi)(shi)自身(shen)的元素，即A?A。根據康托(tuo)爾集(ji)合論(lun)的概括原則，可將(jiang)所有不是(shi)(shi)自身(shen)元素的集(ji)合構成一個(ge)集(ji)合S1，即S1={x:x?x}。
20世紀之初，數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)界(jie)甚(shen)至整(zheng)個科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)界(jie)籠罩在一(yi)片(pian)喜悅祥和的(de)(de)(de)氣氛之中(zhong)，科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)們普遍(bian)認(ren)為，數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)系(xi)統性(xing)和嚴(yan)密性(xing)已(yi)經(jing)(jing)達到(dao)，科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)大廈已(yi)經(jing)(jing)基本建(jian)成(cheng)。例如，德國(guo)(guo)物(wu)(wu)理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)基爾霍夫（G．R．Kirchhoff）就(jiu)曾(ceng)經(jing)(jing)說過：“物(wu)(wu)理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)將無所作為了(le)(le)，至多也只(zhi)能在已(yi)知規(gui)律(lv)的(de)(de)(de)公式(shi)的(de)(de)(de)小數(shu)(shu)點后面(mian)加上(shang)(shang)幾個數(shu)(shu)字罷了(le)(le)。”英(ying)國(guo)(guo)物(wu)(wu)理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)開爾文（L．Kelvin）在1900年(nian)回顧物(wu)(wu)理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)發(fa)展時也說：“在已(yi)經(jing)(jing)基本建(jian)成(cheng)的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)大廈中(zhong)，后輩物(wu)(wu)理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)只(zhi)能做一(yi)些零碎(sui)的(de)(de)(de)修補工作了(le)(le)。”法(fa)國(guo)(guo)大數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)彭迦萊(lai)（Poincar6）在1900年(nian)的(de)(de)(de)國(guo)(guo)際數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)家(jia)大會上(shang)(shang)也公開宣稱，數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)嚴(yan)格性(xing)，現在看來(lai)可以說是(shi)實現了(le)(le)。然而(er)好景不長，時隔不到(dao)兩年(nian)，科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)界(jie)就(jiu)發(fa)生(sheng)了(le)(le)一(yi)件大事，這件大事就(jiu)是(shi)羅素(su)（Russell）悖論的(de)(de)(de)發(fa)現。
在(zai)某個城(cheng)市中有(you)(you)一位理(li)(li)發師，他(ta)的(de)廣告(gao)詞是這樣寫的(de)：“本人(ren)的(de)理(li)(li)發技藝(yi)十分高超，譽滿全城(cheng)。我(wo)將(jiang)為本城(cheng)所有(you)(you)不(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)人(ren)刮(gua)臉(lian)(lian)，我(wo)也只給(gei)(gei)(gei)這些(xie)人(ren)刮(gua)臉(lian)(lian)。我(wo)對各位表示熱誠歡迎(ying)！”來找他(ta)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)人(ren)絡(luo)繹不(bu)絕(jue)，自(zi)(zi)(zi)然都是那些(xie)不(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)人(ren)。可(ke)是，有(you)(you)一天，這位理(li)(li)發師從(cong)鏡子里看(kan)見(jian)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)的(de)胡子長了，他(ta)本能地抓起了剃刀(dao)，你們(men)看(kan)他(ta)能不(bu)能給(gei)(gei)(gei)他(ta)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)呢(ni)？如果(guo)他(ta)不(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)，他(ta)就(jiu)屬(shu)于“不(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)人(ren)”，他(ta)就(jiu)要給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)，而如果(guo)他(ta)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)呢(ni)？他(ta)又屬(shu)于“給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)人(ren)”，他(ta)就(jiu)不(bu)該給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)。
理(li)發師悖論(lun)(lun)與羅素悖論(lun)(lun)是(shi)等價的：如(ru)果(guo)把每個人看成一個集(ji)(ji)合，這(zhe)個集(ji)(ji)合的元素被定義(yi)成這(zhe)個人刮(gua)臉的對象。那么，理(li)發師宣(xuan)稱，他(ta)的元素，都是(shi)城(cheng)里不屬(shu)于(yu)(yu)自身的那些(xie)集(ji)(ji)合，并且(qie)城(cheng)里所有不屬(shu)于(yu)(yu)自身的集(ji)(ji)合都屬(shu)于(yu)(yu)他(ta)。那么他(ta)是(shi)否屬(shu)于(yu)(yu)他(ta)自己？這(zhe)樣就由理(li)發師悖論(lun)(lun)得到了羅素悖論(lun)(lun)。反過來的變換也是(shi)成立(li)的。
“理發師悖論(lun)”是很容(rong)易解(jie)決的(de)，解(jie)決的(de)辦法之一就是修正(zheng)理發師的(de)規矩(ju)，將他自己(ji)排(pai)除在(zai)規矩(ju)之外(wai)；可是嚴(yan)格(ge)的(de)羅素悖論(lun)就不(bu)是這么容(rong)易解(jie)決的(de)了(le)。
一(yi)個(ge)圖書館編纂(zuan)了一(yi)本書名詞典，它列出(chu)這(zhe)個(ge)圖書館里所有不列出(chu)自己書名的書。那么(me)它列不列出(chu)自己的書名？這(zhe)個(ge)悖論(lun)與理發師悖論(lun)基本一(yi)致。
十九世紀下半葉(xie)，德國數(shu)學(xue)(xue)家康(kang)托爾(er)創立了(le)著名的(de)集(ji)合(he)(he)論(lun)，在(zai)集(ji)合(he)(he)論(lun)剛產生(sheng)時(shi)，曾遭到許多人的(de)猛烈攻擊。但不久這一(yi)開創性(xing)成果(guo)就(jiu)為(wei)廣(guang)大數(shu)學(xue)(xue)家所接受了(le)，并(bing)且獲得廣(guang)泛而高(gao)度的(de)贊(zan)譽。數(shu)學(xue)(xue)家們發現(xian)，從自然數(shu)與康(kang)托爾(er)集(ji)合(he)(he)論(lun)出發可建(jian)立起整個數(shu)學(xue)(xue)大廈。因(yin)而集(ji)合(he)(he)論(lun)成為(wei)現(xian)代數(shu)學(xue)(xue)的(de)基石。“一(yi)切數(shu)學(xue)(xue)成果(guo)可建(jian)立在(zai)集(ji)合(he)(he)論(lun)基礎上”這一(yi)發現(xian)使數(shu)學(xue)(xue)家們為(wei)之陶醉。
1903年，一(yi)(yi)(yi)個震驚數(shu)學(xue)界(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)消息傳出(chu)：集(ji)合論(lun)(lun)是(shi)有漏洞的(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)就是(shi)英(ying)國(guo)數(shu)學(xue)家(jia)(jia)羅(luo)素(su)提出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)(de)羅(luo)素(su)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)。羅(luo)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)這(zhe)條(tiao)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)使(shi)集(ji)合論(lun)(lun)產(chan)生了(le)危(wei)機。它非常淺顯易(yi)懂，而且所涉及(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)只(zhi)是(shi)集(ji)合論(lun)(lun)中(zhong)最基本(ben)的(de)(de)(de)(de)(de)東西。所以(yi)，羅(luo)素(su)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)一(yi)(yi)(yi)提出(chu)就在(zai)(zai)當時(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)界(jie)與(yu)邏(luo)輯學(xue)界(jie)內引起了(le)極大震動。德國(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)名邏(luo)輯學(xue)家(jia)(jia)弗(fu)雷格在(zai)(zai)他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)關于集(ji)合的(de)(de)(de)(de)(de)基礎(chu)理(li)論(lun)(lun)完(wan)稿付印時(shi)，收到(dao)(dao)了(le)羅(luo)素(su)關于這(zhe)一(yi)(yi)(yi)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)信。他(ta)立刻發現，自己(ji)忙了(le)很久得(de)(de)出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)系列結果卻(que)被這(zhe)條(tiao)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)攪得(de)(de)一(yi)(yi)(yi)團糟。他(ta)只(zhi)能在(zai)(zai)自己(ji)著(zhu)作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)末尾寫道(dao)：“一(yi)(yi)(yi)個科學(xue)家(jia)(jia)所碰到(dao)(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)最倒霉的(de)(de)(de)(de)(de)事，莫過于是(shi)在(zai)(zai)他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)即將完(wan)成時(shi)卻(que)發現所干的(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)基礎(chu)崩潰了(le)。”
公理化集合(he)論(lun)的(de)(de)建(jian)立，成(cheng)功排除了(le)(le)集合(he)論(lun)中出現的(de)(de)悖論(lun)，從而比較(jiao)圓(yuan)滿地解決了(le)(le)第(di)三次(ci)數(shu)學危機。但在另一方(fang)面(mian)(mian)，羅(luo)素悖論(lun)對數(shu)學而言有著更為深刻(ke)的(de)(de)影響(xiang)。它使得數(shu)學基礎問(wen)題第(di)一次(ci)以(yi)最迫切的(de)(de)需要的(de)(de)姿(zi)態擺到(dao)數(shu)學家面(mian)(mian)前，導致了(le)(le)數(shu)學家對數(shu)學基礎的(de)(de)研究。而這方(fang)面(mian)(mian)的(de)(de)進一步發展又極(ji)其深刻(ke)地影響(xiang)了(le)(le)整個數(shu)學。如圍繞著數(shu)學基礎之爭，形成(cheng)了(le)(le)現代數(shu)學史上著名的(de)(de)三大(da)數(shu)學流(liu)派，而各派的(de)(de)工(gong)作又都促進了(le)(le)數(shu)學的(de)(de)大(da)發展。
于是(shi)，數學(xue)的基礎被動搖(yao)了(le)，這(zhe)就(jiu)是(shi)所謂的第三次數學(xue)危機。
羅素的悖(bei)論(lun)發表(biao)之后，接著又發現一系(xi)列悖(bei)論(lun)（后來歸入所謂語義(yi)悖(bei)論(lun)）：
1.理查德悖論
2.培(pei)里悖論
3.格瑞林和納爾(er)遜悖論
羅素構造了一(yi)(yi)(yi)個(ge)集合(he)(he)(he)S：S由一(yi)(yi)(yi)切不屬(shu)于(yu)(yu)自(zi)身的(de)(de)集合(he)(he)(he)所(suo)組成。然后羅素問(wen)：s是(shi)(shi)否屬(shu)于(yu)(yu)S呢？根據排中律，一(yi)(yi)(yi)個(ge)元素或者屬(shu)于(yu)(yu)某(mou)個(ge)集合(he)(he)(he)，或者不屬(shu)于(yu)(yu)某(mou)個(ge)集合(he)(he)(he)。因(yin)此，對于(yu)(yu)一(yi)(yi)(yi)個(ge)給定(ding)(ding)集合(he)(he)(he)，問(wen)是(shi)(shi)否屬(shu)于(yu)(yu)它自(zi)己是(shi)(shi)有意義(yi)的(de)(de)。但對這個(ge)看似合(he)(he)(he)理的(de)(de)問(wen)題的(de)(de)回答卻會(hui)陷入兩難境(jing)地。如果(guo)(guo)s屬(shu)于(yu)(yu)S，根據S的(de)(de)定(ding)(ding)義(yi)，s就(jiu)不屬(shu)于(yu)(yu)S；反(fan)之，如果(guo)(guo)s不屬(shu)于(yu)(yu)S，同樣(yang)根據定(ding)(ding)義(yi)，s就(jiu)屬(shu)于(yu)(yu)S。無(wu)論如何都是(shi)(shi)矛盾的(de)(de)。
羅素(su)悖(bei)論提(ti)出后，數學家們紛紛提(ti)出自己的(de)解決(jue)(jue)方(fang)案(an)。人們希望能夠通過對康托爾的(de)集合論進行改(gai)造，通過對集合定義加以限制來排除悖(bei)論，這(zhe)就(jiu)需要(yao)建立新的(de)原則。“這(zhe)些原則必須足夠狹窄，以保證排除一(yi)(yi)切矛盾；另一(yi)(yi)方(fang)面又必須充分(fen)廣闊，使康托爾集合論中(zhong)一(yi)(yi)切有(you)(you)價值的(de)內容(rong)得以保存(cun)下來。”解決(jue)(jue)這(zhe)一(yi)(yi)悖(bei)論主要(yao)有(you)(you)兩種(zhong)選擇，ZF公理(li)系統(tong)和NBG公理(li)系統(tong)。
1908年，策梅羅(luo)（Ernst Zermelo）在(zai)自己(ji)這(zhe)一(yi)(yi)原則(ze)基(ji)礎(chu)上提(ti)出第(di)一(yi)(yi)個(ge)公(gong)(gong)理(li)化集(ji)(ji)合(he)(he)論體系，后來這(zhe)一(yi)(yi)公(gong)(gong)理(li)化集(ji)(ji)合(he)(he)系統(tong)(tong)很大程度上彌補了(le)康(kang)托(tuo)爾(er)樸素集(ji)(ji)合(he)(he)論的(de)缺陷(xian)。這(zhe)一(yi)(yi)公(gong)(gong)理(li)系統(tong)(tong)在(zai)通過弗(fu)蘭克爾(er)（Abraham Fraenkel）的(de)改進后被稱為(wei)ZF公(gong)(gong)理(li)系統(tong)(tong)。在(zai)該公(gong)(gong)理(li)系統(tong)(tong)中(zhong)，由于分類(lei)公(gong)(gong)理(li)（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)(shi)x的(de)一(yi)(yi)個(ge)性質，對(dui)(dui)任意已知(zhi)集(ji)(ji)合(he)(he)A，存(cun)(cun)在(zai)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)B使得(de)對(dui)(dui)所(suo)有(you)元素x∈B當且僅當x∈A且P(x)；因(yin)此{x∣x是(shi)(shi)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)}并(bing)(bing)不(bu)能在(zai)該系統(tong)(tong)中(zhong)寫成(cheng)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)，由于它(ta)并(bing)(bing)不(bu)是(shi)(shi)任何(he)已知(zhi)集(ji)(ji)合(he)(he)的(de)子集(ji)(ji)；并(bing)(bing)且通過該公(gong)(gong)理(li)，存(cun)(cun)在(zai)集(ji)(ji)合(he)(he)A={x∣x是(shi)(shi)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)}在(zai)ZF系統(tong)(tong)中(zhong)能被證明是(shi)(shi)矛盾的(de)，因(yin)此羅(luo)素悖論在(zai)該系統(tong)(tong)中(zhong)被避(bi)免了(le)。
除ZF系(xi)(xi)統(tong)外，集合(he)(he)論的(de)(de)公(gong)理系(xi)(xi)統(tong)還有多種(zhong)，如馮·諾伊曼(man)（von Neumann）等(deng)人提出的(de)(de)NBG系(xi)(xi)統(tong)等(deng)。在(zai)該(gai)公(gong)理系(xi)(xi)統(tong)中，所(suo)有包含(han)集合(he)(he)的(de)(de)"collection"都能(neng)被稱為類(class)，凡是(shi)(shi)集合(he)(he)也能(neng)被稱為類，但(dan)是(shi)(shi)某些collection太大了（比(bi)如一個collection包含(han)所(suo)有集合(he)(he)）以至(zhi)于(yu)不能(neng)是(shi)(shi)一個集合(he)(he)，因此只能(neng)是(shi)(shi)個類。這(zhe)同樣也避免了羅素(su)悖論。
精靈世界(jie)
】編(bian)輯(ji)上(shang)傳(chuan)提供，當前頁面所展示的(de)詞條介(jie)紹涉(she)及宣傳(chuan)內容屬(shu)于注冊用戶個人編(bian)輯(ji)行為，網(wang)站(zhan)不(bu)完全(quan)保證(zheng)內容信息的(de)準確(que)性、真實性，也不(bu)代(dai)表本站(zhan)立(li)場。
