羅素(su)(su)悖論(lun)(lun)是(shi)由羅素(su)(su)發現(xian)的一(yi)(yi)個集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)(lun)悖論(lun)(lun)，其(qi)基本思想(xiang)是(shi)：對(dui)于任(ren)意一(yi)(yi)個集(ji)(ji)合(he)(he)A，A要么是(shi)自(zi)身(shen)的元(yuan)素(su)(su)，即A∈A；A要么不是(shi)自(zi)身(shen)的元(yuan)素(su)(su)，即A?A。根據康托爾集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)(lun)的概括(kuo)原則(ze)，可將所有不是(shi)自(zi)身(shen)元(yuan)素(su)(su)的集(ji)(ji)合(he)(he)構成(cheng)一(yi)(yi)個集(ji)(ji)合(he)(he)S1，即S1={x:x?x}。
20世紀之初，數(shu)(shu)學(xue)(xue)界甚至整(zheng)個科(ke)學(xue)(xue)界籠罩(zhao)在(zai)(zai)一(yi)片喜悅祥(xiang)和(he)的(de)(de)氣(qi)氛之中，科(ke)學(xue)(xue)家(jia)們(men)普遍認為，數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)系統性和(he)嚴密性已(yi)(yi)經達到(dao)，科(ke)學(xue)(xue)大(da)廈已(yi)(yi)經基(ji)本建成(cheng)。例如，德國物(wu)理學(xue)(xue)家(jia)基(ji)爾霍夫（G．R．Kirchhoff）就(jiu)(jiu)曾經說過(guo)：“物(wu)理學(xue)(xue)將無所作為了(le)，至多也只能在(zai)(zai)已(yi)(yi)知規律的(de)(de)公式(shi)的(de)(de)小數(shu)(shu)點后面加上幾個數(shu)(shu)字(zi)罷了(le)。”英國物(wu)理學(xue)(xue)家(jia)開爾文（L．Kelvin）在(zai)(zai)1900年(nian)回顧物(wu)理學(xue)(xue)的(de)(de)發(fa)展時也說：“在(zai)(zai)已(yi)(yi)經基(ji)本建成(cheng)的(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)大(da)廈中，后輩物(wu)理學(xue)(xue)家(jia)只能做一(yi)些(xie)零碎(sui)的(de)(de)修補工(gong)作了(le)。”法國大(da)數(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)彭迦(jia)萊（Poincar6）在(zai)(zai)1900年(nian)的(de)(de)國際(ji)數(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)大(da)會(hui)上也公開宣(xuan)稱，數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)嚴格性，現在(zai)(zai)看來可(ke)以說是(shi)實現了(le)。然而好景不長，時隔不到(dao)兩年(nian)，科(ke)學(xue)(xue)界就(jiu)(jiu)發(fa)生了(le)一(yi)件大(da)事，這(zhe)件大(da)事就(jiu)(jiu)是(shi)羅素（Russell）悖論(lun)的(de)(de)發(fa)現。
在某個城(cheng)市中有(you)一位(wei)理發(fa)師，他(ta)的(de)廣告詞是(shi)這樣(yang)寫的(de)：“本(ben)人(ren)(ren)的(de)理發(fa)技(ji)藝十(shi)分高超，譽滿全城(cheng)。我(wo)(wo)將(jiang)為本(ben)城(cheng)所(suo)有(you)不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)的(de)人(ren)(ren)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)，我(wo)(wo)也(ye)只給(gei)(gei)(gei)這些(xie)人(ren)(ren)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)。我(wo)(wo)對各位(wei)表示熱誠歡迎！”來找他(ta)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)的(de)人(ren)(ren)絡繹不(bu)(bu)(bu)絕，自(zi)然(ran)都是(shi)那些(xie)不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)的(de)人(ren)(ren)。可(ke)是(shi)，有(you)一天，這位(wei)理發(fa)師從鏡子(zi)里(li)看見自(zi)己(ji)的(de)胡子(zi)長了，他(ta)本(ben)能(neng)地(di)抓(zhua)起(qi)了剃刀，你(ni)們看他(ta)能(neng)不(bu)(bu)(bu)能(neng)給(gei)(gei)(gei)他(ta)自(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)呢(ni)(ni)？如果他(ta)不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)，他(ta)就(jiu)(jiu)屬于“不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)的(de)人(ren)(ren)”，他(ta)就(jiu)(jiu)要(yao)給(gei)(gei)(gei)自(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)，而如果他(ta)給(gei)(gei)(gei)自(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)呢(ni)(ni)？他(ta)又屬于“給(gei)(gei)(gei)自(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)的(de)人(ren)(ren)”，他(ta)就(jiu)(jiu)不(bu)(bu)(bu)該給(gei)(gei)(gei)自(zi)己(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)。
理發師(shi)悖(bei)論(lun)與羅(luo)素(su)悖(bei)論(lun)是等(deng)價的：如(ru)果(guo)把每個(ge)(ge)人(ren)看成一(yi)個(ge)(ge)集合，這個(ge)(ge)集合的元素(su)被定義成這個(ge)(ge)人(ren)刮臉的對象(xiang)。那(nei)么，理發師(shi)宣(xuan)稱，他(ta)的元素(su)，都是城里(li)不(bu)(bu)屬于(yu)(yu)自身(shen)的那(nei)些(xie)集合，并且城里(li)所有不(bu)(bu)屬于(yu)(yu)自身(shen)的集合都屬于(yu)(yu)他(ta)。那(nei)么他(ta)是否屬于(yu)(yu)他(ta)自己(ji)？這樣就由理發師(shi)悖(bei)論(lun)得到了羅(luo)素(su)悖(bei)論(lun)。反過來的變(bian)換也是成立的。
“理(li)發師悖論”是很容(rong)易(yi)解決的(de)，解決的(de)辦法之(zhi)(zhi)一就(jiu)是修(xiu)正理(li)發師的(de)規(gui)(gui)矩，將他(ta)自己排除在規(gui)(gui)矩之(zhi)(zhi)外(wai)；可(ke)是嚴(yan)格的(de)羅素(su)悖論就(jiu)不(bu)是這(zhe)么容(rong)易(yi)解決的(de)了。
一(yi)個圖(tu)書(shu)館編纂(zuan)了一(yi)本書(shu)名(ming)(ming)詞典，它(ta)列出(chu)這個圖(tu)書(shu)館里所有不列出(chu)自己書(shu)名(ming)(ming)的(de)書(shu)。那(nei)么(me)它(ta)列不列出(chu)自己的(de)書(shu)名(ming)(ming)？這個悖論與理發師悖論基本一(yi)致。
十(shi)九世紀下半(ban)葉，德國數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家康托(tuo)(tuo)爾創立(li)了(le)著名的集(ji)合論(lun)，在集(ji)合論(lun)剛產生時(shi)，曾遭(zao)到許多(duo)人的猛烈攻(gong)擊。但不久這一開創性成果就為(wei)廣大(da)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家所(suo)接受了(le)，并且獲得廣泛而高度的贊(zan)譽。數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家們(men)發現(xian)，從自然數(shu)(shu)(shu)與康托(tuo)(tuo)爾集(ji)合論(lun)出發可建立(li)起(qi)整個數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)大(da)廈。因而集(ji)合論(lun)成為(wei)現(xian)代數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的基石(shi)。“一切數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)成果可建立(li)在集(ji)合論(lun)基礎上”這一發現(xian)使數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家們(men)為(wei)之陶醉。
1903年，一(yi)(yi)個(ge)震(zhen)驚(jing)數學(xue)(xue)界(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)消(xiao)息傳出：集合論(lun)(lun)是有(you)漏(lou)洞(dong)的(de)(de)(de)(de)。這(zhe)(zhe)就是英國數學(xue)(xue)家(jia)羅(luo)(luo)素提出的(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)名(ming)的(de)(de)(de)(de)羅(luo)(luo)素悖論(lun)(lun)。羅(luo)(luo)素的(de)(de)(de)(de)這(zhe)(zhe)條悖論(lun)(lun)使集合論(lun)(lun)產生了(le)(le)危機。它(ta)非(fei)常淺顯(xian)易懂，而且所涉(she)及的(de)(de)(de)(de)只是集合論(lun)(lun)中最(zui)基本的(de)(de)(de)(de)東(dong)西。所以，羅(luo)(luo)素悖論(lun)(lun)一(yi)(yi)提出就在(zai)當時(shi)(shi)的(de)(de)(de)(de)數學(xue)(xue)界(jie)(jie)與邏(luo)輯(ji)學(xue)(xue)界(jie)(jie)內引起(qi)了(le)(le)極大震(zhen)動。德國的(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)名(ming)邏(luo)輯(ji)學(xue)(xue)家(jia)弗雷格在(zai)他的(de)(de)(de)(de)關于(yu)集合的(de)(de)(de)(de)基礎理論(lun)(lun)完稿付印(yin)時(shi)(shi)，收到了(le)(le)羅(luo)(luo)素關于(yu)這(zhe)(zhe)一(yi)(yi)悖論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)信。他立刻發現，自己忙了(le)(le)很(hen)久得出的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)系列(lie)結果卻(que)被這(zhe)(zhe)條悖論(lun)(lun)攪(jiao)得一(yi)(yi)團糟(zao)。他只能在(zai)自己著(zhu)(zhu)作的(de)(de)(de)(de)末尾寫道：“一(yi)(yi)個(ge)科學(xue)(xue)家(jia)所碰到的(de)(de)(de)(de)最(zui)倒霉的(de)(de)(de)(de)事，莫(mo)過(guo)于(yu)是在(zai)他的(de)(de)(de)(de)工(gong)作即將完成(cheng)時(shi)(shi)卻(que)發現所干(gan)的(de)(de)(de)(de)工(gong)作的(de)(de)(de)(de)基礎崩(beng)潰了(le)(le)。”
公理化(hua)集合論(lun)的(de)(de)(de)建立，成功排除了(le)集合論(lun)中出現的(de)(de)(de)悖論(lun)，從而(er)(er)比較圓滿地(di)解(jie)決(jue)了(le)第三(san)次數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)危(wei)機。但在另一(yi)(yi)方面(mian)，羅(luo)素悖論(lun)對數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)而(er)(er)言有著(zhu)更為深(shen)(shen)刻的(de)(de)(de)影(ying)響。它使得數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)基(ji)礎(chu)(chu)問題第一(yi)(yi)次以最迫切的(de)(de)(de)需要(yao)的(de)(de)(de)姿態(tai)擺到數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)家面(mian)前(qian)，導(dao)致了(le)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)家對數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)基(ji)礎(chu)(chu)的(de)(de)(de)研究。而(er)(er)這方面(mian)的(de)(de)(de)進一(yi)(yi)步發展又極其深(shen)(shen)刻地(di)影(ying)響了(le)整個數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)。如圍繞著(zhu)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)基(ji)礎(chu)(chu)之爭，形成了(le)現代數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)史上著(zhu)名的(de)(de)(de)三(san)大數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)流(liu)派(pai)，而(er)(er)各派(pai)的(de)(de)(de)工作又都促進了(le)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)大發展。
于是，數學的(de)基礎被動搖了，這就是所(suo)謂(wei)的(de)第三次數學危機。
羅素的悖論發(fa)表(biao)之后，接著又發(fa)現(xian)一系列悖論（后來(lai)歸(gui)入(ru)所謂語義悖論）：
1.理查德悖論
2.培里悖論(lun)
3.格瑞林(lin)和納(na)爾遜悖論(lun)
羅素構造(zao)了一(yi)個(ge)(ge)集合(he)S：S由一(yi)切不(bu)屬(shu)(shu)于自身的集合(he)所組成。然(ran)后羅素問：s是否屬(shu)(shu)于S呢(ni)？根(gen)據(ju)排(pai)中(zhong)律，一(yi)個(ge)(ge)元素或者屬(shu)(shu)于某個(ge)(ge)集合(he)，或者不(bu)屬(shu)(shu)于某個(ge)(ge)集合(he)。因(yin)此，對于一(yi)個(ge)(ge)給定(ding)集合(he)，問是否屬(shu)(shu)于它自己是有意義(yi)的。但對這個(ge)(ge)看似(si)合(he)理(li)的問題的回(hui)答(da)卻(que)會陷入兩(liang)難(nan)境地。如果(guo)s屬(shu)(shu)于S，根(gen)據(ju)S的定(ding)義(yi)，s就不(bu)屬(shu)(shu)于S；反(fan)之，如果(guo)s不(bu)屬(shu)(shu)于S，同樣(yang)根(gen)據(ju)定(ding)義(yi)，s就屬(shu)(shu)于S。無(wu)論如何都是矛盾的。
羅素悖(bei)論提(ti)出(chu)(chu)后，數學家(jia)們紛(fen)紛(fen)提(ti)出(chu)(chu)自己的(de)解決方案。人們希望(wang)能夠通過對康(kang)(kang)托爾(er)的(de)集合(he)(he)論進行改造，通過對集合(he)(he)定(ding)義加以限制(zhi)來排(pai)除(chu)悖(bei)論，這(zhe)就需要(yao)建立新的(de)原則。“這(zhe)些原則必(bi)(bi)須足夠狹窄，以保證排(pai)除(chu)一(yi)(yi)切矛盾(dun)；另一(yi)(yi)方面又必(bi)(bi)須充分廣闊(kuo)，使康(kang)(kang)托爾(er)集合(he)(he)論中(zhong)一(yi)(yi)切有(you)價值的(de)內容得以保存下來。”解決這(zhe)一(yi)(yi)悖(bei)論主(zhu)要(yao)有(you)兩種選擇，ZF公理系統和NBG公理系統。
1908年(nian)，策梅(mei)羅（Ernst Zermelo）在自己(ji)這(zhe)一(yi)原(yuan)則基礎上提出(chu)第一(yi)個(ge)公(gong)(gong)理(li)化(hua)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)論體(ti)系(xi)(xi)，后來這(zhe)一(yi)公(gong)(gong)理(li)化(hua)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)系(xi)(xi)統(tong)很大程度(du)上彌補了康托爾樸(pu)素(su)(su)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)論的(de)(de)缺陷。這(zhe)一(yi)公(gong)(gong)理(li)系(xi)(xi)統(tong)在通過弗(fu)蘭(lan)克(ke)爾（Abraham Fraenkel）的(de)(de)改進后被稱為ZF公(gong)(gong)理(li)系(xi)(xi)統(tong)。在該公(gong)(gong)理(li)系(xi)(xi)統(tong)中(zhong)，由(you)于分類公(gong)(gong)理(li)（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)(shi)x的(de)(de)一(yi)個(ge)性(xing)質，對任意已知(zhi)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)A，存在一(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)B使得對所(suo)有元素(su)(su)x∈B當且僅(jin)當x∈A且P(x)；因(yin)此{x∣x是(shi)(shi)一(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)}并不(bu)能(neng)在該系(xi)(xi)統(tong)中(zhong)寫成一(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)，由(you)于它(ta)并不(bu)是(shi)(shi)任何已知(zhi)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)的(de)(de)子集(ji)(ji)(ji)；并且通過該公(gong)(gong)理(li)，存在集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)A={x∣x是(shi)(shi)一(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)}在ZF系(xi)(xi)統(tong)中(zhong)能(neng)被證(zheng)明是(shi)(shi)矛盾的(de)(de)，因(yin)此羅素(su)(su)悖論在該系(xi)(xi)統(tong)中(zhong)被避(bi)免了。
除ZF系(xi)統(tong)外，集(ji)合論的公理(li)系(xi)統(tong)還(huan)有(you)多種，如(ru)馮·諾伊曼（von Neumann）等(deng)人提出的NBG系(xi)統(tong)等(deng)。在該(gai)公理(li)系(xi)統(tong)中，所(suo)有(you)包含集(ji)合的"collection"都能(neng)被(bei)稱為類(lei)(class)，凡是(shi)(shi)集(ji)合也能(neng)被(bei)稱為類(lei)，但是(shi)(shi)某些collection太大了（比(bi)如(ru)一個collection包含所(suo)有(you)集(ji)合）以至(zhi)于不能(neng)是(shi)(shi)一個集(ji)合，因(yin)此(ci)只能(neng)是(shi)(shi)個類(lei)。這同樣也避免(mian)了羅(luo)素悖論。
精(jing)靈(ling)世界
】編輯(ji)上傳(chuan)提供，當前頁面(mian)所展示(shi)的(de)詞條介紹涉(she)及宣傳(chuan)內容屬于注冊用戶個人(ren)編輯(ji)行(xing)為，網(wang)站(zhan)不完全(quan)保證內容信息的(de)準確性、真實(shi)性，也不代表(biao)本站(zhan)立場(chang)。
