羅素悖(bei)論(lun)是(shi)由羅素發(fa)現的(de)一(yi)個集合(he)論(lun)悖(bei)論(lun)，其基本思(si)想是(shi)：對于任意一(yi)個集合(he)A，A要么是(shi)自(zi)身的(de)元素，即A∈A；A要么不(bu)是(shi)自(zi)身的(de)元素，即A?A。根據康托爾集合(he)論(lun)的(de)概括原則，可將所有不(bu)是(shi)自(zi)身元素的(de)集合(he)構成一(yi)個集合(he)S1，即S1={x:x?x}。
20世紀之初，數(shu)學(xue)(xue)界(jie)(jie)甚至整(zheng)個(ge)科(ke)學(xue)(xue)界(jie)(jie)籠(long)罩在一片喜悅祥和(he)的(de)(de)(de)氣氛(fen)之中(zhong)，科(ke)學(xue)(xue)家(jia)(jia)們普遍認為(wei)，數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)系(xi)統性和(he)嚴密性已(yi)經(jing)達到(dao)，科(ke)學(xue)(xue)大(da)(da)廈(sha)已(yi)經(jing)基本(ben)建(jian)成(cheng)。例如，德國物(wu)理(li)學(xue)(xue)家(jia)(jia)基爾(er)霍夫（G．R．Kirchhoff）就(jiu)曾經(jing)說(shuo)過：“物(wu)理(li)學(xue)(xue)將無所作為(wei)了(le)，至多也只(zhi)能在已(yi)知規律的(de)(de)(de)公式的(de)(de)(de)小數(shu)點后面加上(shang)幾(ji)個(ge)數(shu)字罷了(le)。”英國物(wu)理(li)學(xue)(xue)家(jia)(jia)開爾(er)文（L．Kelvin）在1900年(nian)(nian)回顧物(wu)理(li)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)發展時也說(shuo)：“在已(yi)經(jing)基本(ben)建(jian)成(cheng)的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)大(da)(da)廈(sha)中(zhong)，后輩物(wu)理(li)學(xue)(xue)家(jia)(jia)只(zhi)能做一些(xie)零碎的(de)(de)(de)修補(bu)工作了(le)。”法國大(da)(da)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)(jia)彭迦(jia)萊（Poincar6）在1900年(nian)(nian)的(de)(de)(de)國際數(shu)學(xue)(xue)家(jia)(jia)大(da)(da)會上(shang)也公開宣稱(cheng)，數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)嚴格性，現在看來(lai)可以(yi)說(shuo)是(shi)實現了(le)。然而(er)好景不長，時隔不到(dao)兩年(nian)(nian)，科(ke)學(xue)(xue)界(jie)(jie)就(jiu)發生了(le)一件大(da)(da)事，這件大(da)(da)事就(jiu)是(shi)羅素（Russell）悖論的(de)(de)(de)發現。
在某個(ge)城市中有(you)一位理發(fa)師，他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)廣告詞是這(zhe)樣寫的(de)(de)(de)(de)：“本人的(de)(de)(de)(de)理發(fa)技藝十(shi)分(fen)高超，譽滿全(quan)城。我(wo)將為本城所(suo)有(you)不(bu)(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)人刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)，我(wo)也只給(gei)(gei)這(zhe)些人刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)。我(wo)對(dui)各(ge)位表示熱誠(cheng)歡迎！”來找他(ta)(ta)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)人絡繹不(bu)(bu)(bu)(bu)絕，自(zi)然都(dou)是那些不(bu)(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)人。可(ke)是，有(you)一天(tian)，這(zhe)位理發(fa)師從鏡子里看見自(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)胡子長了(le)，他(ta)(ta)本能(neng)地抓起了(le)剃(ti)刀，你們看他(ta)(ta)能(neng)不(bu)(bu)(bu)(bu)能(neng)給(gei)(gei)他(ta)(ta)自(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)呢？如(ru)(ru)果他(ta)(ta)不(bu)(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)，他(ta)(ta)就(jiu)屬(shu)于(yu)“不(bu)(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)人”，他(ta)(ta)就(jiu)要(yao)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)，而如(ru)(ru)果他(ta)(ta)給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)呢？他(ta)(ta)又屬(shu)于(yu)“給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)人”，他(ta)(ta)就(jiu)不(bu)(bu)(bu)(bu)該給(gei)(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)。
理發師悖論與羅素(su)悖論是(shi)(shi)(shi)等價的：如(ru)果把每個人(ren)看成一個集合，這(zhe)個集合的元素(su)被(bei)定義成這(zhe)個人(ren)刮臉的對象(xiang)。那么，理發師宣稱，他(ta)的元素(su)，都是(shi)(shi)(shi)城(cheng)里不(bu)屬于(yu)自(zi)身的那些集合，并(bing)且城(cheng)里所有不(bu)屬于(yu)自(zi)身的集合都屬于(yu)他(ta)。那么他(ta)是(shi)(shi)(shi)否屬于(yu)他(ta)自(zi)己(ji)？這(zhe)樣就(jiu)由理發師悖論得到了羅素(su)悖論。反過來的變換也是(shi)(shi)(shi)成立(li)的。
“理發師悖(bei)論”是很(hen)容(rong)易(yi)解決的(de)，解決的(de)辦法之一(yi)就是修正理發師的(de)規矩，將他自己排(pai)除(chu)在規矩之外；可是嚴格的(de)羅(luo)素悖(bei)論就不是這么容(rong)易(yi)解決的(de)了。
一個(ge)圖書館編纂了一本書名詞典，它(ta)列出(chu)(chu)這個(ge)圖書館里(li)所有不列出(chu)(chu)自己(ji)書名的書。那么它(ta)列不列出(chu)(chu)自己(ji)的書名？這個(ge)悖論(lun)與理發師悖論(lun)基本一致(zhi)。
十九世紀下半葉，德國數學家(jia)康托爾創立了(le)著名的集合(he)論(lun)(lun)，在集合(he)論(lun)(lun)剛產生時，曾遭(zao)到許(xu)多人的猛烈攻擊。但不(bu)久(jiu)這(zhe)一開創性成(cheng)果(guo)(guo)就為廣(guang)大數學家(jia)所接受了(le)，并且獲得廣(guang)泛而高度的贊譽。數學家(jia)們(men)發現，從(cong)自然數與康托爾集合(he)論(lun)(lun)出發可(ke)(ke)建立起整個數學大廈。因而集合(he)論(lun)(lun)成(cheng)為現代數學的基(ji)石(shi)。“一切數學成(cheng)果(guo)(guo)可(ke)(ke)建立在集合(he)論(lun)(lun)基(ji)礎上”這(zhe)一發現使(shi)數學家(jia)們(men)為之陶(tao)醉。
1903年，一個震驚數(shu)學界的(de)消(xiao)息傳出(chu)(chu)：集(ji)合論(lun)(lun)(lun)是有漏洞的(de)。這就(jiu)是英國(guo)數(shu)學家羅(luo)(luo)素(su)提出(chu)(chu)的(de)著(zhu)名的(de)羅(luo)(luo)素(su)悖(bei)論(lun)(lun)(lun)。羅(luo)(luo)素(su)的(de)這條悖(bei)論(lun)(lun)(lun)使集(ji)合論(lun)(lun)(lun)產生(sheng)了(le)(le)危機。它(ta)非常(chang)淺(qian)顯易懂，而且所(suo)涉及的(de)只(zhi)是集(ji)合論(lun)(lun)(lun)中最(zui)基(ji)本的(de)東西。所(suo)以(yi)，羅(luo)(luo)素(su)悖(bei)論(lun)(lun)(lun)一提出(chu)(chu)就(jiu)在(zai)當時的(de)數(shu)學界與(yu)邏(luo)輯學界內引起(qi)了(le)(le)極大震動(dong)。德(de)國(guo)的(de)著(zhu)名邏(luo)輯學家弗(fu)雷(lei)格在(zai)他(ta)的(de)關于(yu)集(ji)合的(de)基(ji)礎理論(lun)(lun)(lun)完稿付印時，收到了(le)(le)羅(luo)(luo)素(su)關于(yu)這一悖(bei)論(lun)(lun)(lun)的(de)信。他(ta)立(li)刻發現(xian)，自(zi)己忙了(le)(le)很久得出(chu)(chu)的(de)一系列結果卻被(bei)這條悖(bei)論(lun)(lun)(lun)攪(jiao)得一團糟。他(ta)只(zhi)能在(zai)自(zi)己著(zhu)作的(de)末尾寫(xie)道：“一個科學家所(suo)碰到的(de)最(zui)倒霉的(de)事，莫過(guo)于(yu)是在(zai)他(ta)的(de)工(gong)作即將完成時卻發現(xian)所(suo)干的(de)工(gong)作的(de)基(ji)礎崩潰了(le)(le)。”
公理化(hua)集(ji)合論(lun)的(de)(de)(de)(de)建立，成功排(pai)除了集(ji)合論(lun)中出(chu)現(xian)的(de)(de)(de)(de)悖論(lun)，從而(er)比較圓滿地解決(jue)了第(di)三(san)次數學(xue)(xue)(xue)(xue)危機。但在(zai)另一(yi)方面，羅素悖論(lun)對(dui)數學(xue)(xue)(xue)(xue)而(er)言有著(zhu)更為深刻(ke)的(de)(de)(de)(de)影響。它使得數學(xue)(xue)(xue)(xue)基(ji)礎問題第(di)一(yi)次以最迫切的(de)(de)(de)(de)需(xu)要的(de)(de)(de)(de)姿態擺到數學(xue)(xue)(xue)(xue)家面前(qian)，導致了數學(xue)(xue)(xue)(xue)家對(dui)數學(xue)(xue)(xue)(xue)基(ji)礎的(de)(de)(de)(de)研究(jiu)。而(er)這方面的(de)(de)(de)(de)進(jin)一(yi)步發展又(you)極其(qi)深刻(ke)地影響了整個(ge)數學(xue)(xue)(xue)(xue)。如圍繞著(zhu)數學(xue)(xue)(xue)(xue)基(ji)礎之爭，形成了現(xian)代數學(xue)(xue)(xue)(xue)史(shi)上著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)三(san)大(da)數學(xue)(xue)(xue)(xue)流派(pai)，而(er)各派(pai)的(de)(de)(de)(de)工作(zuo)又(you)都促(cu)進(jin)了數學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)大(da)發展。
于是(shi)，數學(xue)的(de)(de)基礎被(bei)動搖了，這就是(shi)所謂的(de)(de)第三次數學(xue)危機。
羅素的悖論(lun)發表之后，接(jie)著又發現一系列悖論(lun)（后來歸(gui)入所謂語(yu)義(yi)悖論(lun)）：
1.理查德悖論
2.培(pei)里悖論
3.格瑞林和納(na)爾遜(xun)悖(bei)論
羅(luo)素構(gou)造了(le)一個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)S：S由一切不(bu)屬(shu)于(yu)自(zi)身的(de)集(ji)(ji)(ji)合(he)所組成。然后羅(luo)素問(wen)(wen)：s是(shi)否屬(shu)于(yu)S呢？根據(ju)(ju)排中律(lv)，一個(ge)元(yuan)素或者(zhe)屬(shu)于(yu)某個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)，或者(zhe)不(bu)屬(shu)于(yu)某個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)。因(yin)此(ci)，對于(yu)一個(ge)給定(ding)集(ji)(ji)(ji)合(he)，問(wen)(wen)是(shi)否屬(shu)于(yu)它自(zi)己(ji)是(shi)有意義的(de)。但對這(zhe)個(ge)看似合(he)理的(de)問(wen)(wen)題的(de)回(hui)答卻會陷入兩(liang)難境地(di)。如果s屬(shu)于(yu)S，根據(ju)(ju)S的(de)定(ding)義，s就不(bu)屬(shu)于(yu)S；反之，如果s不(bu)屬(shu)于(yu)S，同樣根據(ju)(ju)定(ding)義，s就屬(shu)于(yu)S。無論如何(he)都是(shi)矛(mao)盾的(de)。
羅(luo)素(su)悖論提(ti)出(chu)(chu)后(hou)，數學(xue)家們紛紛提(ti)出(chu)(chu)自(zi)己的解(jie)決(jue)方案。人們希望(wang)能(neng)夠通過(guo)對康托爾(er)的集合(he)論進(jin)行改造，通過(guo)對集合(he)定義加以(yi)(yi)限制(zhi)來(lai)排(pai)除(chu)(chu)悖論，這就(jiu)需要(yao)建立(li)新的原則(ze)。“這些原則(ze)必(bi)須足夠狹窄，以(yi)(yi)保(bao)證排(pai)除(chu)(chu)一(yi)(yi)切矛(mao)盾；另一(yi)(yi)方面(mian)又必(bi)須充分廣闊，使康托爾(er)集合(he)論中一(yi)(yi)切有價值的內(nei)容得(de)以(yi)(yi)保(bao)存下(xia)來(lai)。”解(jie)決(jue)這一(yi)(yi)悖論主(zhu)要(yao)有兩種選擇，ZF公(gong)理系統(tong)和NBG公(gong)理系統(tong)。
1908年，策梅(mei)羅（Ernst Zermelo）在(zai)(zai)(zai)自己這(zhe)一(yi)原則(ze)基(ji)礎上(shang)提出第一(yi)個(ge)公(gong)理(li)(li)(li)(li)化(hua)(hua)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)論(lun)體系(xi)(xi)，后來(lai)這(zhe)一(yi)公(gong)理(li)(li)(li)(li)化(hua)(hua)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)系(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)很(hen)大程度上(shang)彌(mi)補了康托爾樸素集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)論(lun)的缺陷。這(zhe)一(yi)公(gong)理(li)(li)(li)(li)系(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)在(zai)(zai)(zai)通過弗蘭(lan)克爾（Abraham Fraenkel）的改進后被稱(cheng)為ZF公(gong)理(li)(li)(li)(li)系(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)。在(zai)(zai)(zai)該公(gong)理(li)(li)(li)(li)系(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)中(zhong)，由于分(fen)類公(gong)理(li)(li)(li)(li)（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)x的一(yi)個(ge)性質，對(dui)任(ren)意已知集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)A，存在(zai)(zai)(zai)一(yi)個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)B使得對(dui)所有(you)元素x∈B當且(qie)僅當x∈A且(qie)P(x)；因此{x∣x是(shi)一(yi)個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)}并(bing)不(bu)能(neng)在(zai)(zai)(zai)該系(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)中(zhong)寫成一(yi)個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)，由于它并(bing)不(bu)是(shi)任(ren)何已知集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)的子(zi)集(ji)；并(bing)且(qie)通過該公(gong)理(li)(li)(li)(li)，存在(zai)(zai)(zai)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)A={x∣x是(shi)一(yi)個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)(he)(he)}在(zai)(zai)(zai)ZF系(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)中(zhong)能(neng)被證明(ming)是(shi)矛(mao)盾的，因此羅素悖論(lun)在(zai)(zai)(zai)該系(xi)(xi)統(tong)(tong)(tong)中(zhong)被避免了。
除ZF系(xi)統(tong)外(wai)，集合論(lun)的公理系(xi)統(tong)還有(you)多種，如(ru)馮(feng)·諾伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系(xi)統(tong)等。在該公理系(xi)統(tong)中，所有(you)包含集合的"collection"都能被稱(cheng)為類(class)，凡是(shi)集合也能被稱(cheng)為類，但是(shi)某些collection太大了(le)（比如(ru)一個collection包含所有(you)集合）以(yi)至于不(bu)能是(shi)一個集合，因此(ci)只能是(shi)個類。這(zhe)同(tong)樣(yang)也避免了(le)羅素(su)悖論(lun)。
精靈世界(jie)
】編(bian)輯(ji)上傳(chuan)提(ti)供，當前(qian)頁面所展(zhan)示的(de)詞條介紹涉及(ji)宣傳(chuan)內容屬于注冊用戶個人(ren)編(bian)輯(ji)行(xing)為，網站不完全保(bao)證內容信息的(de)準確性、真實性，也(ye)不代(dai)表本站立場。
