羅(luo)素悖(bei)論是(shi)(shi)由羅(luo)素發現的(de)一(yi)個集(ji)合論悖(bei)論，其(qi)基本思(si)想是(shi)(shi)：對于任意(yi)一(yi)個集(ji)合A，A要么是(shi)(shi)自(zi)身(shen)的(de)元素，即(ji)A∈A；A要么不是(shi)(shi)自(zi)身(shen)的(de)元素，即(ji)A?A。根據(ju)康托爾(er)集(ji)合論的(de)概括原則，可將所有(you)不是(shi)(shi)自(zi)身(shen)元素的(de)集(ji)合構成一(yi)個集(ji)合S1，即(ji)S1={x:x?x}。
20世紀(ji)之初，數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)界甚至整個(ge)科學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)界籠(long)罩在(zai)(zai)一(yi)片喜悅祥和的氣氛之中，科學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家們(men)普遍認為(wei)，數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的系統性(xing)和嚴(yan)密性(xing)已(yi)經達到，科學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)大(da)廈(sha)已(yi)經基(ji)本(ben)建(jian)成(cheng)。例如，德國(guo)物理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家基(ji)爾(er)霍夫（G．R．Kirchhoff）就曾經說(shuo)(shuo)過(guo)：“物理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)將無所作(zuo)為(wei)了，至多(duo)也(ye)只能在(zai)(zai)已(yi)知規(gui)律的公式(shi)的小數(shu)點后(hou)面加(jia)上幾個(ge)數(shu)字罷了。”英國(guo)物理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家開爾(er)文(wen)（L．Kelvin）在(zai)(zai)1900年(nian)回顧物理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的發(fa)(fa)展時(shi)(shi)也(ye)說(shuo)(shuo)：“在(zai)(zai)已(yi)經基(ji)本(ben)建(jian)成(cheng)的科學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)大(da)廈(sha)中，后(hou)輩物理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家只能做一(yi)些零碎的修補工作(zuo)了。”法國(guo)大(da)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家彭迦萊(lai)（Poincar6）在(zai)(zai)1900年(nian)的國(guo)際數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家大(da)會上也(ye)公開宣(xuan)稱(cheng)，數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的嚴(yan)格性(xing)，現(xian)在(zai)(zai)看來(lai)可以說(shuo)(shuo)是實現(xian)了。然而(er)好景不長，時(shi)(shi)隔不到兩年(nian)，科學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)界就發(fa)(fa)生了一(yi)件(jian)大(da)事(shi)，這件(jian)大(da)事(shi)就是羅素（Russell）悖(bei)論(lun)的發(fa)(fa)現(xian)。
在某個(ge)城市中有一位理(li)發(fa)(fa)師，他的(de)廣(guang)告詞是這(zhe)樣寫的(de)：“本(ben)人的(de)理(li)發(fa)(fa)技藝十(shi)分高超，譽滿全城。我將為(wei)本(ben)城所(suo)有不(bu)(bu)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)的(de)人刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)，我也只(zhi)給(gei)這(zhe)些人刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)。我對各位表示熱(re)誠歡迎(ying)！”來找他刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)的(de)人絡繹(yi)不(bu)(bu)絕，自(zi)然(ran)都是那些不(bu)(bu)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)的(de)人。可(ke)是，有一天(tian)，這(zhe)位理(li)發(fa)(fa)師從鏡子里看(kan)見自(zi)己(ji)(ji)(ji)的(de)胡子長(chang)了，他本(ben)能地(di)抓(zhua)起了剃(ti)刀，你們看(kan)他能不(bu)(bu)能給(gei)他自(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)呢？如果(guo)他不(bu)(bu)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)，他就(jiu)屬于(yu)“不(bu)(bu)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)的(de)人”，他就(jiu)要給(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)，而(er)如果(guo)他給(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)呢？他又屬于(yu)“給(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)的(de)人”，他就(jiu)不(bu)(bu)該給(gei)自(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)。
理發(fa)師(shi)悖(bei)論與羅(luo)素悖(bei)論是(shi)等(deng)價的(de)：如果把每個(ge)人(ren)看成一個(ge)集合，這個(ge)集合的(de)元(yuan)素被(bei)定義成這個(ge)人(ren)刮臉的(de)對象(xiang)。那么，理發(fa)師(shi)宣稱，他的(de)元(yuan)素，都是(shi)城里不(bu)屬(shu)于(yu)自(zi)身的(de)那些集合，并且城里所有不(bu)屬(shu)于(yu)自(zi)身的(de)集合都屬(shu)于(yu)他。那么他是(shi)否(fou)屬(shu)于(yu)他自(zi)己？這樣就由(you)理發(fa)師(shi)悖(bei)論得到(dao)了羅(luo)素悖(bei)論。反(fan)過來的(de)變換也是(shi)成立的(de)。
“理(li)發師悖(bei)論”是(shi)(shi)很容(rong)易(yi)解(jie)(jie)決的(de)，解(jie)(jie)決的(de)辦法(fa)之一(yi)就是(shi)(shi)修正理(li)發師的(de)規(gui)矩，將他(ta)自己(ji)排除在規(gui)矩之外；可是(shi)(shi)嚴格的(de)羅(luo)素悖(bei)論就不是(shi)(shi)這么容(rong)易(yi)解(jie)(jie)決的(de)了。
一(yi)個圖(tu)書(shu)館編纂了一(yi)本(ben)書(shu)名(ming)詞典(dian)，它列(lie)(lie)出這個圖(tu)書(shu)館里所有(you)不列(lie)(lie)出自己書(shu)名(ming)的書(shu)。那么它列(lie)(lie)不列(lie)(lie)出自己的書(shu)名(ming)？這個悖論與(yu)理發(fa)師悖論基本(ben)一(yi)致(zhi)。
十(shi)九世紀下(xia)半葉(xie)，德國數學(xue)(xue)家康托(tuo)爾創立了(le)著名(ming)的(de)集合(he)論，在(zai)(zai)集合(he)論剛產生時，曾遭(zao)到許多(duo)人的(de)猛(meng)烈(lie)攻擊。但(dan)不(bu)久(jiu)這一開創性成果(guo)就為(wei)廣大數學(xue)(xue)家所(suo)接(jie)受了(le)，并且獲得廣泛而高度的(de)贊譽。數學(xue)(xue)家們發(fa)現(xian)，從(cong)自然數與康托(tuo)爾集合(he)論出發(fa)可(ke)建立起整個數學(xue)(xue)大廈。因而集合(he)論成為(wei)現(xian)代數學(xue)(xue)的(de)基石。“一切數學(xue)(xue)成果(guo)可(ke)建立在(zai)(zai)集合(he)論基礎上”這一發(fa)現(xian)使數學(xue)(xue)家們為(wei)之陶醉。
1903年(nian)，一(yi)(yi)(yi)個(ge)震驚(jing)數(shu)(shu)學(xue)界的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)消息傳出(chu)：集合論(lun)是(shi)有漏洞的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)就是(shi)英國數(shu)(shu)學(xue)家(jia)羅(luo)素提出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)羅(luo)素悖(bei)論(lun)。羅(luo)素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)這(zhe)條(tiao)悖(bei)論(lun)使集合論(lun)產生了危(wei)機。它非常淺(qian)顯易懂，而(er)且所(suo)涉及的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)只是(shi)集合論(lun)中(zhong)最基(ji)(ji)本的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)東西。所(suo)以，羅(luo)素悖(bei)論(lun)一(yi)(yi)(yi)提出(chu)就在(zai)(zai)(zai)當時(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)界與邏輯(ji)學(xue)界內引起了極大震動(dong)。德國的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著名邏輯(ji)學(xue)家(jia)弗雷格在(zai)(zai)(zai)他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關于集合的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)(ji)礎(chu)理論(lun)完稿付印時(shi)，收到了羅(luo)素關于這(zhe)一(yi)(yi)(yi)悖(bei)論(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)。他(ta)立(li)刻發(fa)現(xian)，自(zi)己(ji)忙(mang)了很久得(de)出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)系列結果卻被(bei)這(zhe)條(tiao)悖(bei)論(lun)攪得(de)一(yi)(yi)(yi)團(tuan)糟(zao)。他(ta)只能在(zai)(zai)(zai)自(zi)己(ji)著作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)末尾寫道：“一(yi)(yi)(yi)個(ge)科學(xue)家(jia)所(suo)碰到的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)最倒霉的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)事，莫過(guo)于是(shi)在(zai)(zai)(zai)他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)(gong)作(zuo)即將完成時(shi)卻發(fa)現(xian)所(suo)干的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)(gong)作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)(ji)礎(chu)崩(beng)潰了。”
公(gong)理化集合(he)論(lun)的(de)建立，成功排除(chu)了(le)集合(he)論(lun)中出現的(de)悖(bei)論(lun)，從而比較圓滿地解(jie)決了(le)第三(san)次(ci)數(shu)學(xue)(xue)危(wei)機。但在另一方(fang)面(mian)，羅(luo)素(su)悖(bei)論(lun)對數(shu)學(xue)(xue)而言(yan)有著更為深刻的(de)影響。它(ta)使得數(shu)學(xue)(xue)基(ji)礎問(wen)題第一次(ci)以最迫切(qie)的(de)需要的(de)姿態擺到(dao)數(shu)學(xue)(xue)家面(mian)前，導致了(le)數(shu)學(xue)(xue)家對數(shu)學(xue)(xue)基(ji)礎的(de)研究。而這方(fang)面(mian)的(de)進一步發展又極其深刻地影響了(le)整個數(shu)學(xue)(xue)。如圍繞著數(shu)學(xue)(xue)基(ji)礎之爭(zheng)，形(xing)成了(le)現代數(shu)學(xue)(xue)史上著名的(de)三(san)大數(shu)學(xue)(xue)流(liu)派，而各派的(de)工作(zuo)又都(dou)促(cu)進了(le)數(shu)學(xue)(xue)的(de)大發展。
于是(shi)，數(shu)學(xue)的基礎被動搖了，這就是(shi)所謂的第三次(ci)數(shu)學(xue)危機(ji)。
羅素的悖(bei)論發(fa)表之(zhi)后(hou)，接著(zhu)又發(fa)現一系列悖(bei)論（后(hou)來(lai)歸入所(suo)謂語義悖(bei)論）：
1.理查(cha)德悖論
2.培里悖論
3.格(ge)瑞林和納爾遜悖論(lun)
羅素(su)(su)構造了一(yi)(yi)個集合(he)(he)S：S由一(yi)(yi)切不(bu)(bu)屬(shu)于自身的集合(he)(he)所(suo)組成。然(ran)后羅素(su)(su)問(wen)：s是(shi)否(fou)屬(shu)于S呢？根(gen)據排中(zhong)律，一(yi)(yi)個元素(su)(su)或(huo)者屬(shu)于某個集合(he)(he)，或(huo)者不(bu)(bu)屬(shu)于某個集合(he)(he)。因(yin)此，對于一(yi)(yi)個給定(ding)(ding)集合(he)(he)，問(wen)是(shi)否(fou)屬(shu)于它自己是(shi)有意義的。但對這個看似合(he)(he)理(li)的問(wen)題(ti)的回答卻會陷入兩難境(jing)地。如(ru)果s屬(shu)于S，根(gen)據S的定(ding)(ding)義，s就(jiu)不(bu)(bu)屬(shu)于S；反之(zhi)，如(ru)果s不(bu)(bu)屬(shu)于S，同(tong)樣根(gen)據定(ding)(ding)義，s就(jiu)屬(shu)于S。無論(lun)如(ru)何都是(shi)矛盾的。
羅素悖論提出后(hou)，數學家們紛紛提出自己的(de)解決方案。人們希望能(neng)夠(gou)通過對康托(tuo)爾(er)的(de)集合論進(jin)行改(gai)造，通過對集合定義(yi)加以(yi)限(xian)制(zhi)來(lai)(lai)排除悖論，這(zhe)就需要(yao)建立新的(de)原(yuan)則。“這(zhe)些原(yuan)則必(bi)須足(zu)夠(gou)狹窄，以(yi)保證排除一切矛盾(dun)；另一方面又必(bi)須充分(fen)廣闊，使(shi)康托(tuo)爾(er)集合論中一切有價值的(de)內容得(de)以(yi)保存(cun)下來(lai)(lai)。”解決這(zhe)一悖論主要(yao)有兩種選擇，ZF公理系統和(he)NBG公理系統。
1908年，策梅羅(luo)（Ernst Zermelo）在(zai)(zai)自己這一(yi)原(yuan)則(ze)基礎上提出第一(yi)個公(gong)理(li)(li)化集(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)體系(xi)，后(hou)來這一(yi)公(gong)理(li)(li)化集(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)系(xi)統(tong)(tong)很大(da)程度上彌(mi)補了康托爾樸素集(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)的(de)(de)缺陷。這一(yi)公(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)(tong)在(zai)(zai)通過弗蘭(lan)克爾（Abraham Fraenkel）的(de)(de)改進后(hou)被(bei)稱為ZF公(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)(tong)。在(zai)(zai)該(gai)公(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)(tong)中(zhong)(zhong)(zhong)，由于分類公(gong)理(li)(li)（Axiom schema of specification）：P(x)是x的(de)(de)一(yi)個性(xing)質(zhi)，對任意已知集(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)A，存在(zai)(zai)一(yi)個集(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)B使得對所(suo)有元素x∈B當且(qie)僅(jin)當x∈A且(qie)P(x)；因(yin)(yin)此(ci)(ci){x∣x是一(yi)個集(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)}并(bing)不能(neng)在(zai)(zai)該(gai)系(xi)統(tong)(tong)中(zhong)(zhong)(zhong)寫成一(yi)個集(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)，由于它(ta)并(bing)不是任何已知集(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)的(de)(de)子集(ji)(ji)；并(bing)且(qie)通過該(gai)公(gong)理(li)(li)，存在(zai)(zai)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)A={x∣x是一(yi)個集(ji)(ji)合(he)(he)(he)(he)}在(zai)(zai)ZF系(xi)統(tong)(tong)中(zhong)(zhong)(zhong)能(neng)被(bei)證明是矛盾的(de)(de)，因(yin)(yin)此(ci)(ci)羅(luo)素悖論(lun)(lun)在(zai)(zai)該(gai)系(xi)統(tong)(tong)中(zhong)(zhong)(zhong)被(bei)避(bi)免了。
除(chu)ZF系(xi)統(tong)外，集合(he)論的公(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)還有多種，如馮·諾伊曼（von Neumann）等人(ren)提(ti)出的NBG系(xi)統(tong)等。在該公(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)中，所有包含集合(he)的"collection"都(dou)能(neng)被(bei)稱(cheng)(cheng)為(wei)類(class)，凡是(shi)集合(he)也(ye)(ye)能(neng)被(bei)稱(cheng)(cheng)為(wei)類，但是(shi)某(mou)些collection太大了(le)（比如一個collection包含所有集合(he)）以至于不能(neng)是(shi)一個集合(he)，因此只能(neng)是(shi)個類。這同樣也(ye)(ye)避免了(le)羅素悖論。
精(jing)靈世界
】編(bian)(bian)輯上(shang)傳提供，當前頁面(mian)所展示(shi)的詞條介紹涉及宣傳內容(rong)屬于注冊用戶個人(ren)編(bian)(bian)輯行為，網站不完全保(bao)證內容(rong)信息(xi)的準確(que)性(xing)、真實性(xing)，也不代表(biao)本站立場。
