羅素(su)(su)悖論是由羅素(su)(su)發現的一(yi)個(ge)集(ji)(ji)合論悖論,其基(ji)本思想是:對于任意一(yi)個(ge)集(ji)(ji)合A,A要么是自(zi)身的元(yuan)素(su)(su),即A∈A;A要么不(bu)是自(zi)身的元(yuan)素(su)(su),即A?A。根據康托爾(er)集(ji)(ji)合論的概括原(yuan)則,可將所有不(bu)是自(zi)身元(yuan)素(su)(su)的集(ji)(ji)合構(gou)成(cheng)一(yi)個(ge)集(ji)(ji)合S1,即S1={x:x?x}。
20世紀之(zhi)初,數(shu)(shu)學(xue)(xue)界(jie)甚至整個科(ke)學(xue)(xue)界(jie)籠罩在(zai)一片喜悅祥(xiang)和(he)的氣氛之(zhi)中,科(ke)學(xue)(xue)家們普遍認為(wei),數(shu)(shu)學(xue)(xue)的系統性和(he)嚴(yan)密性已(yi)(yi)經達到,科(ke)學(xue)(xue)大(da)廈(sha)(sha)已(yi)(yi)經基(ji)本建成。例如(ru),德(de)國物理學(xue)(xue)家基(ji)爾霍夫(fu)(G.R.Kirchhoff)就曾經說(shuo)(shuo)(shuo)過:“物理學(xue)(xue)將無所作為(wei)了(le),至多(duo)也(ye)只(zhi)能在(zai)已(yi)(yi)知規律的公(gong)式的小(xiao)數(shu)(shu)點后面(mian)加(jia)上(shang)幾個數(shu)(shu)字罷了(le)。”英國物理學(xue)(xue)家開(kai)爾文(L.Kelvin)在(zai)1900年回(hui)顧物理學(xue)(xue)的發展(zhan)時也(ye)說(shuo)(shuo)(shuo):“在(zai)已(yi)(yi)經基(ji)本建成的科(ke)學(xue)(xue)大(da)廈(sha)(sha)中,后輩(bei)物理學(xue)(xue)家只(zhi)能做(zuo)一些零碎的修補工作了(le)。”法國大(da)數(shu)(shu)學(xue)(xue)家彭迦萊(Poincar6)在(zai)1900年的國際(ji)數(shu)(shu)學(xue)(xue)家大(da)會(hui)上(shang)也(ye)公(gong)開(kai)宣稱,數(shu)(shu)學(xue)(xue)的嚴(yan)格(ge)性,現在(zai)看來可以說(shuo)(shuo)(shuo)是實(shi)現了(le)。然而(er)好景不長,時隔不到兩年,科(ke)學(xue)(xue)界(jie)就發生了(le)一件(jian)大(da)事,這件(jian)大(da)事就是羅素(Russell)悖(bei)論的發現。
在(zai)某個城(cheng)市中有(you)一位(wei)理(li)發師(shi),他(ta)(ta)的(de)(de)(de)廣告詞是這樣(yang)寫的(de)(de)(de):“本(ben)人(ren)的(de)(de)(de)理(li)發技藝十分高超,譽(yu)滿全城(cheng)。我(wo)將為(wei)本(ben)城(cheng)所(suo)有(you)不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)的(de)(de)(de)人(ren)刮(gua)(gua)臉(lian),我(wo)也只給(gei)(gei)這些(xie)人(ren)刮(gua)(gua)臉(lian)。我(wo)對各位(wei)表示熱誠歡迎!”來找他(ta)(ta)刮(gua)(gua)臉(lian)的(de)(de)(de)人(ren)絡繹(yi)不(bu)(bu)(bu)絕,自(zi)(zi)(zi)然都(dou)是那些(xie)不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)的(de)(de)(de)人(ren)。可是,有(you)一天,這位(wei)理(li)發師(shi)從鏡子里看見自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)的(de)(de)(de)胡子長了(le)(le),他(ta)(ta)本(ben)能地抓起了(le)(le)剃刀,你們(men)看他(ta)(ta)能不(bu)(bu)(bu)能給(gei)(gei)他(ta)(ta)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)呢?如果(guo)他(ta)(ta)不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian),他(ta)(ta)就(jiu)屬于(yu)“不(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)的(de)(de)(de)人(ren)”,他(ta)(ta)就(jiu)要給(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian),而如果(guo)他(ta)(ta)給(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)呢?他(ta)(ta)又屬于(yu)“給(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)的(de)(de)(de)人(ren)”,他(ta)(ta)就(jiu)不(bu)(bu)(bu)該給(gei)(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)。
理(li)(li)發師悖(bei)(bei)論與羅素悖(bei)(bei)論是(shi)等價的(de):如果把(ba)每(mei)個(ge)人看成(cheng)一個(ge)集(ji)合,這(zhe)個(ge)集(ji)合的(de)元(yuan)(yuan)素被定義成(cheng)這(zhe)個(ge)人刮臉(lian)的(de)對象(xiang)。那么,理(li)(li)發師宣稱(cheng),他的(de)元(yuan)(yuan)素,都(dou)是(shi)城里不(bu)屬(shu)(shu)于(yu)自(zi)身的(de)那些(xie)集(ji)合,并且城里所有不(bu)屬(shu)(shu)于(yu)自(zi)身的(de)集(ji)合都(dou)屬(shu)(shu)于(yu)他。那么他是(shi)否屬(shu)(shu)于(yu)他自(zi)己?這(zhe)樣就由理(li)(li)發師悖(bei)(bei)論得到了羅素悖(bei)(bei)論。反(fan)過來的(de)變換(huan)也是(shi)成(cheng)立的(de)。
“理(li)發(fa)(fa)師悖論”是(shi)很(hen)容(rong)易解(jie)(jie)決(jue)(jue)的(de),解(jie)(jie)決(jue)(jue)的(de)辦法之一就(jiu)是(shi)修正(zheng)理(li)發(fa)(fa)師的(de)規矩,將(jiang)他自己(ji)排(pai)除在規矩之外;可是(shi)嚴格的(de)羅素(su)悖論就(jiu)不是(shi)這(zhe)么容(rong)易解(jie)(jie)決(jue)(jue)的(de)了(le)。
一個圖(tu)書館編纂了一本書名(ming)詞典(dian),它列出這個圖(tu)書館里所有(you)不(bu)列出自(zi)己書名(ming)的書。那么它列不(bu)列出自(zi)己的書名(ming)?這個悖(bei)論與理發(fa)師(shi)悖(bei)論基(ji)本一致。
十九世紀下(xia)半葉,德國數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)家(jia)康托爾創立了著名的(de)集(ji)合論(lun),在(zai)集(ji)合論(lun)剛產生時,曾遭(zao)到(dao)許多人的(de)猛烈攻(gong)擊。但(dan)不久這一(yi)開創性(xing)成果就為(wei)廣大數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)家(jia)所接受了,并且(qie)獲得廣泛(fan)而(er)高度的(de)贊譽。數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)家(jia)們(men)發(fa)現(xian),從自然數(shu)(shu)(shu)(shu)與康托爾集(ji)合論(lun)出發(fa)可建立起整(zheng)個數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)大廈(sha)。因而(er)集(ji)合論(lun)成為(wei)現(xian)代數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)基石。“一(yi)切數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)成果可建立在(zai)集(ji)合論(lun)基礎(chu)上”這一(yi)發(fa)現(xian)使(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)家(jia)們(men)為(wei)之(zhi)陶醉。
1903年,一(yi)(yi)(yi)個震驚數(shu)學界(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)消息傳出(chu):集合(he)(he)(he)論(lun)是(shi)有(you)漏洞(dong)的(de)(de)(de)(de)。這就是(shi)英國(guo)數(shu)學家(jia)羅(luo)素(su)(su)(su)提(ti)出(chu)的(de)(de)(de)(de)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)羅(luo)素(su)(su)(su)悖論(lun)。羅(luo)素(su)(su)(su)的(de)(de)(de)(de)這條悖論(lun)使集合(he)(he)(he)論(lun)產生了危(wei)機。它(ta)非常淺顯易懂,而且所(suo)涉及的(de)(de)(de)(de)只是(shi)集合(he)(he)(he)論(lun)中(zhong)最(zui)基本的(de)(de)(de)(de)東西。所(suo)以,羅(luo)素(su)(su)(su)悖論(lun)一(yi)(yi)(yi)提(ti)出(chu)就在(zai)當時的(de)(de)(de)(de)數(shu)學界(jie)(jie)與邏(luo)(luo)輯(ji)學界(jie)(jie)內引起了極大震動。德國(guo)的(de)(de)(de)(de)著(zhu)名邏(luo)(luo)輯(ji)學家(jia)弗雷格(ge)在(zai)他(ta)的(de)(de)(de)(de)關于集合(he)(he)(he)的(de)(de)(de)(de)基礎(chu)理論(lun)完(wan)(wan)稿付印時,收到了羅(luo)素(su)(su)(su)關于這一(yi)(yi)(yi)悖論(lun)的(de)(de)(de)(de)信。他(ta)立刻(ke)發現(xian),自己忙(mang)了很久(jiu)得(de)出(chu)的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)系列結果卻被這條悖論(lun)攪(jiao)得(de)一(yi)(yi)(yi)團糟。他(ta)只能在(zai)自己著(zhu)作的(de)(de)(de)(de)末尾寫道:“一(yi)(yi)(yi)個科學家(jia)所(suo)碰到的(de)(de)(de)(de)最(zui)倒霉的(de)(de)(de)(de)事,莫過于是(shi)在(zai)他(ta)的(de)(de)(de)(de)工(gong)作即(ji)將完(wan)(wan)成時卻發現(xian)所(suo)干(gan)的(de)(de)(de)(de)工(gong)作的(de)(de)(de)(de)基礎(chu)崩潰(kui)了。”
公理(li)化(hua)集合論的(de)(de)(de)建立,成功排除了(le)(le)集合論中出現的(de)(de)(de)悖論,從而比較(jiao)圓滿地(di)解決(jue)了(le)(le)第(di)三次(ci)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)危機(ji)。但在另一方面(mian),羅(luo)素悖論對數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)而言有(you)著(zhu)(zhu)更為深(shen)刻的(de)(de)(de)影(ying)響(xiang)。它使得數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)基(ji)(ji)礎(chu)問(wen)題第(di)一次(ci)以最迫切的(de)(de)(de)需(xu)要的(de)(de)(de)姿態擺到數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家面(mian)前(qian),導(dao)致了(le)(le)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家對數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)基(ji)(ji)礎(chu)的(de)(de)(de)研究。而這方面(mian)的(de)(de)(de)進一步發展又(you)極(ji)其深(shen)刻地(di)影(ying)響(xiang)了(le)(le)整個數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)。如(ru)圍繞著(zhu)(zhu)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)基(ji)(ji)礎(chu)之(zhi)爭,形成了(le)(le)現代數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)史上著(zhu)(zhu)名的(de)(de)(de)三大數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)流(liu)派,而各派的(de)(de)(de)工作又(you)都促進了(le)(le)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)大發展。
于(yu)是,數學的基礎被動(dong)搖(yao)了,這就是所謂的第三(san)次數學危機(ji)。
羅(luo)素的悖(bei)論發表之(zhi)后,接著(zhu)又發現一系列悖(bei)論(后來歸入所謂語義悖(bei)論):
1.理查德悖(bei)論
2.培(pei)里(li)悖論
3.格瑞林和納爾(er)遜悖論
羅(luo)素(su)構造了一(yi)個(ge)(ge)集(ji)合(he)S:S由(you)一(yi)切不(bu)屬(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)(yu)自身(shen)的集(ji)合(he)所組成。然后羅(luo)素(su)問(wen):s是否屬(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)(yu)S呢?根(gen)據排中律,一(yi)個(ge)(ge)元(yuan)素(su)或(huo)者(zhe)屬(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)(yu)某個(ge)(ge)集(ji)合(he),或(huo)者(zhe)不(bu)屬(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)(yu)某個(ge)(ge)集(ji)合(he)。因此,對(dui)于(yu)(yu)(yu)(yu)一(yi)個(ge)(ge)給定(ding)集(ji)合(he),問(wen)是否屬(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)(yu)它自己(ji)是有意義(yi)的。但對(dui)這個(ge)(ge)看(kan)似合(he)理的問(wen)題的回答卻(que)會陷入兩難(nan)境地。如(ru)(ru)(ru)果s屬(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)(yu)S,根(gen)據S的定(ding)義(yi),s就(jiu)不(bu)屬(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)(yu)S;反之,如(ru)(ru)(ru)果s不(bu)屬(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)(yu)S,同樣根(gen)據定(ding)義(yi),s就(jiu)屬(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)(yu)S。無(wu)論如(ru)(ru)(ru)何都是矛盾的。
羅(luo)素(su)悖(bei)論提出后,數學家們紛紛提出自己(ji)的解(jie)決(jue)方案。人們希望能夠(gou)通過對(dui)康(kang)托(tuo)爾的集合論進(jin)行(xing)改(gai)造,通過對(dui)集合定義加以限(xian)制來(lai)排(pai)除悖(bei)論,這就需要建(jian)立(li)新的原(yuan)則。“這些(xie)原(yuan)則必須足夠(gou)狹(xia)窄(zhai),以保證排(pai)除一切矛盾;另一方面(mian)又必須充分廣闊,使康(kang)托(tuo)爾集合論中一切有(you)價(jia)值(zhi)的內容得以保存下(xia)來(lai)。”解(jie)決(jue)這一悖(bei)論主(zhu)要有(you)兩種選擇,ZF公(gong)理系統和(he)NBG公(gong)理系統。
1908年,策梅羅(Ernst Zermelo)在自己這一(yi)(yi)(yi)原則基礎上提出第一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)公(gong)(gong)(gong)理(li)(li)化(hua)集(ji)(ji)合(he)論體系(xi),后(hou)來這一(yi)(yi)(yi)公(gong)(gong)(gong)理(li)(li)化(hua)集(ji)(ji)合(he)系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)很(hen)大程度(du)上彌補了康托爾樸(pu)素集(ji)(ji)合(he)論的缺陷(xian)。這一(yi)(yi)(yi)公(gong)(gong)(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)在通過弗蘭克爾(Abraham Fraenkel)的改進后(hou)被稱為ZF公(gong)(gong)(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)。在該公(gong)(gong)(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)中,由于(yu)分(fen)類(lei)公(gong)(gong)(gong)理(li)(li)(Axiom schema of specification):P(x)是(shi)x的一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)性(xing)質,對任意已(yi)(yi)知集(ji)(ji)合(he)A,存(cun)在一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)B使得對所有(you)元(yuan)素x∈B當且僅當x∈A且P(x);因此(ci)(ci){x∣x是(shi)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)}并(bing)不能在該系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)中寫成(cheng)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he),由于(yu)它(ta)并(bing)不是(shi)任何(he)已(yi)(yi)知集(ji)(ji)合(he)的子集(ji)(ji);并(bing)且通過該公(gong)(gong)(gong)理(li)(li),存(cun)在集(ji)(ji)合(he)A={x∣x是(shi)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)}在ZF系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)中能被證明(ming)是(shi)矛盾的,因此(ci)(ci)羅素悖(bei)論在該系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)中被避免了。
除ZF系(xi)統外,集合論的公(gong)理系(xi)統還有(you)多種(zhong),如馮·諾(nuo)伊曼(man)(von Neumann)等人提出的NBG系(xi)統等。在該公(gong)理系(xi)統中,所(suo)有(you)包(bao)含集合的"collection"都(dou)能(neng)被(bei)稱為類(lei)(class),凡(fan)是(shi)集合也能(neng)被(bei)稱為類(lei),但(dan)是(shi)某些collection太大了(le)(比如一個collection包(bao)含所(suo)有(you)集合)以至于不能(neng)是(shi)一個集合,因此(ci)只能(neng)是(shi)個類(lei)。這同樣也避免了(le)羅(luo)素悖論。