人物簡介

高斯是德國數學家，也是科學家，他和牛頓、阿基米德，被譽為有史以來的三大數學家。高斯是近代數學奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和(he)阿基米德(de)、牛(niu)頓、歐拉并列，有“數學王子”之稱。

他幼年時就表現出超人的數學天才。1795年進入格丁根大學學習。第二年他就發現正十七邊(bian)形的(de)尺(chi)規(gui)(gui)作圖法(fa)。并給出可用尺(chi)規(gui)(gui)作出的(de)正多邊(bian)形的(de)條件(jian)，解(jie)決了(le)歐(ou)幾里(li)得以來懸而(er)未決的(de)問題。

高斯的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、復變函數和微分幾何等方(fang)面(mian)都做(zuo)出(chu)了(le)(le)(le)開創(chuang)性(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)貢(gong)(gong)獻。他(ta)(ta)還把數(shu)(shu)學(xue)(xue)應用于(yu)天文學(xue)(xue)、大地測量學(xue)(xue)和(he)磁學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)，發明了(le)(le)(le)最小二乘(cheng)法原理(li)。高(gao)理(li)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)論(lun)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)總結在(zai)《算(suan)術(shu)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)》（1801）中，這(zhe)本(ben)書奠定(ding)了(le)(le)(le)近代數(shu)(shu)論(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎(chu)，它不(bu)僅是(shi)數(shu)(shu)論(lun)方(fang)面(mian)的(de)(de)(de)(de)(de)劃時代之(zhi)作(zuo)，也是(shi)數(shu)(shu)學(xue)(xue)史上不(bu)可多得(de)的(de)(de)(de)(de)(de)經典著(zhu)作(zuo)之(zhi)一(yi)(yi)。高(gao)斯(si)對代數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)重要貢(gong)(gong)獻是(shi)證明了(le)(le)(le)代數(shu)(shu)基(ji)本(ben)定(ding)理(li)，他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)存在(zai)性(xing)證明開創(chuang)了(le)(le)(le)數(shu)(shu)學(xue)(xue)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)的(de)(de)(de)(de)(de)新途徑。高(gao)斯(si)在(zai)1816年左右就(jiu)得(de)到非(fei)歐幾何(he)的(de)(de)(de)(de)(de)原理(li)。他(ta)(ta)還深入研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)復變函數(shu)(shu)，建(jian)立了(le)(le)(le)一(yi)(yi)些(xie)基(ji)本(ben)概念發現(xian)了(le)(le)(le)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)(de)柯西積分定(ding)理(li)。他(ta)(ta)還發現(xian)橢圓(yuan)函數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)雙周(zhou)期(qi)性(xing)，但這(zhe)些(xie)工作(zuo)在(zai)他(ta)(ta)生前都沒發表出(chu)來。1828年高(gao)斯(si)出(chu)版了(le)(le)(le)《關于(yu)曲(qu)(qu)面(mian)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)般研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)》，全面(mian)系統地闡述了(le)(le)(le)空間曲(qu)(qu)面(mian)的(de)(de)(de)(de)(de)微分幾何(he)學(xue)(xue)，并提出(chu)內蘊(yun)曲(qu)(qu)面(mian)理(li)論(lun)。高(gao)斯(si)的(de)(de)(de)(de)(de)曲(qu)(qu)面(mian)理(li)論(lun)后來由黎曼發展。

高斯一生共發表155篇論文，他(ta)(ta)對待學問(wen)十分嚴謹，只是把他(ta)(ta)自己認(ren)為是十分成熟的(de)作品發表出(chu)來。其著作還有《地磁概(gai)念(nian)》和(he)《論與距離(li)平方成反比的(de)引力和(he)斥(chi)力的(de)普(pu)遍定(ding)律》等(deng)。

主要經歷

早年生活

高(gao)(gao)斯(si)于1777年4月30日出生(sheng)于不倫瑞(rui)克(ke)。高(gao)(gao)斯(si)是一對普(pu)通夫婦的(de)(de)兒子(zi)。他(ta)的(de)(de)母親是一個貧窮石匠(jiang)的(de)(de)女兒，雖然(ran)十分(fen)聰明，但(dan)卻沒有接受過(guo)教(jiao)育(yu)，近似于文盲。在(zai)她(ta)成為高(gao)(gao)斯(si)父(fu)親的(de)(de)第二個妻子(zi)之前，她(ta)從事女傭工作。他(ta)的(de)(de)父(fu)親曾(ceng)做過(guo)園(yuan)丁，工頭，商人(ren)的(de)(de)助手和一個小保(bao)險公司的(de)(de)評估師(shi)。他(ta)曾(ceng)說(shuo)，他(ta)能夠(gou)在(zai)腦袋(dai)中進(jin)行復雜的(de)(de)計(ji)算。

小時候高(gao)斯(si)家里很窮(qiong)，且他父親不認為學問有何用，但高(gao)斯(si)依舊喜歡看(kan)書，話說在小時候，冬天吃完飯后他父親就會(hui)要他上(shang)床睡(shui)覺，以(yi)節省燃油，但當(dang)他上(shang)床睡(shui)覺時，他會(hui)將蕪菁的(de)內部(bu)挖(wa)空，里面塞(sai)入棉布卷，當(dang)成燈來使用，以(yi)繼續讀書。

天賦異稟

當高(gao)斯12歲時(shi)，已經開始懷(huai)疑(yi)元素幾(ji)何學中(zhong)的(de)基礎證明(ming)。當他16歲時(shi)，預(yu)測在歐(ou)氏幾(ji)何之外必(bi)然會產生一門完全不(bu)同的(de)幾(ji)何學，即非歐(ou)幾(ji)里得幾(ji)何學。他導出了(le)二(er)項式定(ding)理的(de)一般形式，將(jiang)其(qi)成(cheng)功的(de)運用在無窮級數(shu)，并發展了(le)數(shu)學分析的(de)理論。

高(gao)斯的(de)(de)老師Bruettner與(yu)(yu)他助手 Martin Bartels很早(zao)就(jiu)認(ren)識到(dao)了(le)高(gao)斯在(zai)數學(xue)上異乎(hu)尋常的(de)(de)天(tian)賦(fu)，同時(shi)Herzog Carl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig也對這(zhe)個天(tian)才兒(er)童留(liu)下了(le)深刻印象。于是他們(men)從(cong)高(gao)斯14歲(sui)起便資助其(qi)學(xue)習與(yu)(yu)生活。這(zhe)也使高(gao)斯能夠(gou)在(zai)公(gong)元1792-1795年在(zai)Carolinum學(xue)院(yuan)（布倫(lun)瑞克工業大學(xue)的(de)(de)前身）學(xue)習。18歲(sui)時(shi)，高(gao)斯轉(zhuan)入(ru)哥廷根大學(xue)學(xue)習。在(zai)他19歲(sui)時(shi)，第一個成功的(de)(de)證明(ming)了(le)正十七邊(bian)形(xing)可(ke)以用尺規(gui)作圖(tu)。

婚姻生活

高斯于公元(yuan)1805年(nian)10月(yue)5日(ri)與來(lai)自Braunschweig的Johanna Elisabeth Rosina Osthoff小(xiao)姐(1780-1809)結(jie)婚(hun)。在(zai)公元(yuan)1806年(nian)8月(yue)21日(ri)迎來(lai)了他(ta)生命中的第一個(ge)孩(hai)子(zi)喬(qiao)瑟夫。此后，他(ta)又有(you)兩個(ge)孩(hai)子(zi)。Wilhelmine（1809－1840）和Louis（1809－1810）。

教授臺長

1807年(nian)高斯成為哥(ge)廷根大(da)學的(de)(de)教授和當地天文(wen)臺(tai)的(de)(de)臺(tai)長(chang)。1833年(nian)高斯從(cong)他的(de)(de)天文(wen)臺(tai)拉了(le)一(yi)條長(chang)八千尺的(de)(de)電(dian)(dian)線，跨(kua)過(guo)許多人家的(de)(de)屋(wu)頂，一(yi)直到(dao)韋伯的(de)(de)實驗室(shi)，以伏特電(dian)(dian)池為電(dian)(dian)源，構造了(le)世界第一(yi)個電(dian)(dian)報(bao)機。

逝世

1849年(nian)舉辦了(le)(le)(le)高(gao)斯(si)獲博士學(xue)位50周年(nian)慶(qing)祝會，為此高(gao)斯(si)準(zhun)備(bei)了(le)(le)(le)他(ta)(ta)早(zao)期對代數(shu)基本(ben)定理(li)證(zheng)明的(de)一個(ge)新版本(ben)。由于健康狀況愈來愈差，這成(cheng)(cheng)了(le)(le)(le)他(ta)(ta)最后(hou)的(de)著作。給他(ta)(ta)帶來最大(da)歡樂和(he)榮譽(yu)的(de)還是哥廷根(gen)市贈與他(ta)(ta)的(de)榮譽(yu)公民頭銜。由于他(ta)(ta)在數(shu)學(xue)、天文學(xue)、大(da)地測量學(xue)和(he)物理(li)學(xue)中(zhong)的(de)杰出研究成(cheng)(cheng)就，他(ta)(ta)被選為許多科學(xue)院和(he)學(xue)術(shu)團體(ti)的(de)成(cheng)(cheng)員。他(ta)(ta)謝絕了(le)(le)(le)許多大(da)學(xue)請他(ta)(ta)當(dang)教授(shou)的(de)邀(yao)請而一直留在哥廷根(gen)大(da)學(xue)的(de)院系中(zhong)，直至(zhi)1855年(nian)2月(yue)23日逝世。逝世后(hou)不久就鑄造了(le)(le)(le)紀念他(ta)(ta)的(de)錢幣。

主要作品

《算術研究》，1801年

《天體運動(dong)理(li)論》，1809年

《曲面的一般研究(jiu)》，1827年

《高等大地測量學理論》上(shang)，1843/44年

《高等大(da)地測量學理論(lun)》下(xia)，1846/47年

《地磁的一般理論》，1839年(nian)

《地磁概念》，1840年(nian)

《論與距離平方(fang)成反比的引力(li)和斥力(li)的普(pu)遍(bian)定(ding)律》，1840年

貢獻影響

17歲的(de)(de)高(gao)斯(si)(si)發(fa)現了質數分(fen)布(bu)定理(li)和(he)最小二乘法。通過對足夠多的(de)(de)測(ce)量(liang)數據的(de)(de)處理(li)后，可以得(de)到一個新的(de)(de)、概(gai)率(lv)性質的(de)(de)測(ce)量(liang)結果。在(zai)這(zhe)些(xie)基礎(chu)之上(shang)，高(gao)斯(si)(si)隨(sui)后專注于(yu)曲(qu)(qu)面與曲(qu)(qu)線(xian)的(de)(de)計算，并成功得(de)到高(gao)斯(si)(si)鐘形(xing)曲(qu)(qu)線(xian)(正(zheng)態分(fen)布(bu)曲(qu)(qu)線(xian))。其函數被(bei)命名為標準正(zheng)態分(fen)布(bu)（或高(gao)斯(si)(si)分(fen)布(bu)），并在(zai)概(gai)率(lv)計算中大(da)量(liang)使用。

次(ci)年，證(zheng)明(ming)出(chu)僅(jin)用尺規(gui)便可以(yi)構造(zao)出(chu)17邊形。并為流傳了2000年的歐(ou)氏(shi)幾何提供了自古希臘時代以(yi)來的第一次(ci)重要補(bu)充(chong)。

高斯總結了(le)復(fu)數(shu)的(de)應用，并且嚴格證(zheng)明(ming)了(le)每(mei)一個(ge)n階的(de)代數(shu)方程(cheng)必有n個(ge)實數(shu)或者(zhe)復(fu)數(shu)解。在(zai)他的(de)第一本著(zhu)名(ming)的(de)著(zhu)作《算術研究(jiu)》中，做出了(le)二次互反律的(de)證(zheng)明(ming)，成為(wei)數(shu)論繼續發展的(de)重(zhong)要(yao)基礎。在(zai)這部著(zhu)作的(de)第一章，導出了(le)三角形全等定理的(de)概念。

高斯(si)在最小二(er)乘法(fa)基礎(chu)上創立的測(ce)(ce)量平差理論(lun)的幫助下(xia)，測(ce)(ce)算天體的運(yun)行軌跡(ji)。他(ta)用(yong)這種方法(fa)，測(ce)(ce)算出(chu)了(le)小行星谷(gu)神(shen)星的運(yun)行軌跡(ji)。

谷神(shen)星(xing)于1801年被意大利(li)天文(wen)學(xue)家皮亞齊發(fa)現，但(dan)因病他耽誤了(le)觀(guan)測，從而失(shi)去了(le)這顆小行(xing)星(xing)的(de)(de)(de)(de)軌(gui)跡(ji)。皮亞齊以(yi)希(xi)臘神(shen)話中(zhong)的(de)(de)(de)(de)“豐收女神(shen)”(Ceres)對(dui)它(ta)命(ming)名，稱(cheng)為谷神(shen)星(xing)(Planetoiden Ceres)，并將(jiang)自(zi)己以(yi)前(qian)觀(guan)測的(de)(de)(de)(de)數(shu)據發(fa)表出(chu)(chu)來，希(xi)望全球的(de)(de)(de)(de)天文(wen)學(xue)家一起尋找(zhao)。高(gao)斯通過(guo)以(yi)前(qian)3次的(de)(de)(de)(de)觀(guan)測數(shu)據，計(ji)算(suan)出(chu)(chu)了(le)谷神(shen)星(xing)的(de)(de)(de)(de)運行(xing)軌(gui)跡(ji)。奧地利(li)天文(wen)學(xue)家 Heinrich Olbers根據高(gao)斯計(ji)算(suan)出(chu)(chu)的(de)(de)(de)(de)軌(gui)道成功地發(fa)現了(le)谷神(shen)星(xing)。高(gao)斯將(jiang)這種方法發(fa)表在其著作《天體(ti)運動論(lun)》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium)中(zhong)。

為(wei)了獲(huo)知每年復活節的日期(qi)，高斯推導(dao)了復活節日期(qi)的計算公式(shi)。

1818年至(zhi)1826年間，高斯主導了(le)漢(han)諾威(wei)公國的(de)(de)大(da)地(di)測量工作。通過最小二乘法為基礎的(de)(de)測量平(ping)差的(de)(de)方(fang)法和求解線(xian)性(xing)方(fang)程組的(de)(de)方(fang)法，顯著地(di)提高了(le)測量的(de)(de)精度(du)。

高斯(si)親(qin)自參加野外測(ce)(ce)(ce)量(liang)工作(zuo)。他(ta)白天觀(guan)測(ce)(ce)(ce)，夜晚計(ji)算(suan)。在五六(liu)年間，經他(ta)親(qin)自計(ji)算(suan)過(guo)的大地測(ce)(ce)(ce)量(liang)數據超過(guo)100萬個。當(dang)高斯(si)領導的三角(jiao)測(ce)(ce)(ce)量(liang)外場觀(guan)測(ce)(ce)(ce)走上(shang)(shang)正軌后，高斯(si)把主要精力轉移到處理(li)觀(guan)測(ce)(ce)(ce)成果(guo)的計(ji)算(suan)上(shang)(shang)，寫出了(le)近(jin)20篇對現(xian)代大地測(ce)(ce)(ce)量(liang)學具有重大意義的論文。在這(zhe)些論文中，他(ta)推(tui)導了(le)由橢圓面向圓球(qiu)面投影時(shi)的公式，并作(zuo)出了(le)詳細證明。這(zhe)個理(li)論仍有應用的價值(zhi)。

漢諾威(wei)公國的(de)大(da)(da)地(di)測量工作至1848年結束。這項大(da)(da)地(di)測量史上(shang)(shang)的(de)巨大(da)(da)工程，如果(guo)沒有(you)高斯在(zai)理論上(shang)(shang)的(de)仔細推敲，在(zai)觀測上(shang)(shang)力圖合理和精確(que)(que)，在(zai)數據處理上(shang)(shang)盡量周密(mi)和細致，就(jiu)不能(neng)圓(yuan)滿的(de)完成。在(zai)當時(shi)的(de)不發達的(de)條(tiao)件下，布設了大(da)(da)規模的(de)大(da)(da)地(di)控(kong)制網(wang)，精確(que)(que)地(di)確(que)(que)定2578個三角(jiao)點(dian)的(de)大(da)(da)地(di)坐標。

為(wei)了(le)用橢圓在球面上的(de)(de)正(zheng)形投影(ying)理(li)(li)論(lun)解(jie)決大地測量中出(chu)現的(de)(de)問題，在這段時間內(nei)高(gao)斯亦從事了(le)曲面和(he)投影(ying)理(li)(li)論(lun)的(de)(de)研究(jiu)，這項成果(guo)成為(wei)了(le)微(wei)分幾(ji)何的(de)(de)重要(yao)理(li)(li)論(lun)基礎。他獨立地提出(chu)了(le)不(bu)能(neng)證明歐(ou)(ou)氏幾(ji)何的(de)(de)平行公設具有‘物理(li)(li)的(de)(de)’必然性，至(zhi)少(shao)不(bu)能(neng)用人類的(de)(de)理(li)(li)智給出(chu)這種證明。但他的(de)(de)非(fei)歐(ou)(ou)幾(ji)何理(li)(li)論(lun)并(bing)未(wei)發表。也許他是出(chu)于(yu)對同時代的(de)(de)人不(bu)能(neng)理(li)(li)解(jie)這種超常(chang)理(li)(li)論(lun)的(de)(de)擔憂。相對論(lun)證明了(le)宇宙空(kong)間實際(ji)上是非(fei)歐(ou)(ou)幾(ji)何的(de)(de)空(kong)間。高(gao)斯的(de)(de)思想(xiang)被近100年后的(de)(de)物理(li)(li)學接受了(le)。

高(gao)斯(si)(si)(si)試圖在(zai)漢諾威(wei)公(gong)國的(de)(de)(de)(de)(de)大地測量(liang)中通(tong)過測量(liang)Harz的(de)(de)(de)(de)(de)Brocken——Thuringer Wald的(de)(de)(de)(de)(de)Inselsberg——哥廷(ting)根(gen)的(de)(de)(de)(de)(de)Hohen Hagen三個山(shan)頭所構成的(de)(de)(de)(de)(de)三角(jiao)形的(de)(de)(de)(de)(de)內角(jiao)和，以(yi)驗證(zheng)非歐(ou)幾(ji)何(he)的(de)(de)(de)(de)(de)正確性，但未成功。高(gao)斯(si)(si)(si)的(de)(de)(de)(de)(de)朋(peng)友鮑耶的(de)(de)(de)(de)(de)兒子(zi)雅(ya)諾斯(si)(si)(si)在(zai)1823年(nian)證(zheng)明了(le)非歐(ou)幾(ji)何(he)的(de)(de)(de)(de)(de)存在(zai)。高(gao)斯(si)(si)(si)對(dui)他勇于(yu)探索的(de)(de)(de)(de)(de)精神表示了(le)贊(zan)揚(yang)。1840年(nian)，羅(luo)巴切夫(fu)斯(si)(si)(si)基(ji)(ji)用德文寫了(le)《平行(xing)線理論(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)幾(ji)何(he)研究(jiu)》一(yi)文。這篇論(lun)文的(de)(de)(de)(de)(de)發表引(yin)起了(le)高(gao)斯(si)(si)(si)的(de)(de)(de)(de)(de)注意。他非常重(zhong)視這一(yi)論(lun)證(zheng)，積(ji)極建議哥廷(ting)根(gen)大學(xue)聘請羅(luo)巴切夫(fu)斯(si)(si)(si)基(ji)(ji)為通(tong)信院(yuan)士。為了(le)能(neng)直接閱讀他的(de)(de)(de)(de)(de)著作，從(cong)這一(yi)年(nian)開始，63歲的(de)(de)(de)(de)(de)高(gao)斯(si)(si)(si)開始學(xue)習俄語，并最終掌握了(le)這門外(wai)語。高(gao)斯(si)(si)(si)最終成為微(wei)分幾(ji)何(he)的(de)(de)(de)(de)(de)始祖(zu)（高(gao)斯(si)(si)(si)、雅(ya)諾斯(si)(si)(si)和羅(luo)巴切夫(fu)斯(si)(si)(si)基(ji)(ji)）之一(yi)。

出于對(dui)實際應(ying)(ying)用(yong)的興趣，高斯發明了(le)日光反射(she)儀(yi)。日光反射(she)儀(yi)可以將(jiang)光束(shu)反射(she)至大約450公里外的地方(fang)。高斯后來不止一次地為原先(xian)的設計(ji)作出改進，試(shi)制(zhi)成功了(le)后來被廣泛應(ying)(ying)用(yong)于大地測量的鏡式六分(fen)儀(yi)。

19世(shi)(shi)紀(ji)30年代，高(gao)斯發明了磁強計。他(ta)辭(ci)去了天(tian)文(wen)(wen)臺的(de)(de)工作，而轉(zhuan)向物理的(de)(de)研究。他(ta)與(yu)韋伯(1804－1891)在電(dian)磁學領域共(gong)同工作。他(ta)比韋伯年長(chang)27歲，以亦(yi)師(shi)亦(yi)友的(de)(de)身份與(yu)其(qi)合(he)作。1833年，通過受電(dian)磁影(ying)響的(de)(de)羅盤(pan)指(zhi)針，他(ta)向韋伯發送出電(dian)報。這不(bu)僅是(shi)從(cong)韋伯的(de)(de)實驗室與(yu)天(tian)文(wen)(wen)臺之間的(de)(de)第一個電(dian)話電(dian)報系統(tong)(tong)，也是(shi)世(shi)(shi)界第一個電(dian)話電(dian)報系統(tong)(tong)。盡管線路才(cai)8千米長(chang)。

1840年，他和(he)韋伯畫(hua)出(chu)了(le)世(shi)界第一張地球磁場圖，并且次年，這些位置得到美國科學家(jia)的證實。

高(gao)斯(si)在數個領域進行研究(jiu)，但只把(ba)他(ta)(ta)認為已經(jing)成熟的(de)(de)理論(lun)發(fa)表(biao)出來。他(ta)(ta)經(jing)常對(dui)他(ta)(ta)的(de)(de)同事(shi)表(biao)示，該(gai)同事(shi)的(de)(de)結論(lun)已經(jing)被(bei)自己以(yi)前證(zheng)明過(guo)了，只是因為基礎理論(lun)的(de)(de)不完備而沒有發(fa)表(biao)。批評者說(shuo)他(ta)(ta)這樣做是因為喜歡搶(qiang)出風(feng)頭。事(shi)實(shi)上高(gao)斯(si)把(ba)他(ta)(ta)的(de)(de)研究(jiu)結果都記錄起(qi)來了。他(ta)(ta)死后，他(ta)(ta)的(de)(de)20部(bu)紀錄著他(ta)(ta)的(de)(de)研究(jiu)結果和想(xiang)法的(de)(de)筆記被(bei)發(fa)現，證(zheng)明高(gao)斯(si)所說(shuo)的(de)(de)是事(shi)實(shi)。一般人認為，20部(bu)筆記并非高(gao)斯(si)筆記的(de)(de)全部(bu)。

人物評價

愛(ai)因斯坦曾評論(lun)說：“高斯對于近代物理學(xue)的發展，尤其是對于相對論(lun)的數(shu)學(xue)基礎所作的貢獻（指曲(qu)面(mian)論(lun)），其重(zhong)要性是超越(yue)一切，無與倫比的。”

貝爾曾(ceng)經這樣評論(lun)高斯：在高斯死后，人們才(cai)知(zhi)道他早就預見一(yi)些十九世(shi)(shi)紀的(de)數學，而且(qie)在1800年之前已(yi)經期(qi)待它(ta)們的(de)出現(xian)。如果(guo)他能把他所知(zhi)道的(de)一(yi)些東西泄漏，很可能比(bi)當今數學還要先(xian)進半個世(shi)(shi)紀或更多的(de)時間。