李(li)善(shan)蘭(lan)，原名(ming)李(li)心(xin)蘭(lan)，字竟芳，號秋紉，別號壬叔。出生于(yu)1811年1月22日，逝世于(yu)1882年12月9日，浙江海(hai)寧人，是中國近代著名(ming)的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)、天文學(xue)(xue)、力學(xue)(xue)和(he)(he)植物學(xue)(xue)家，創立了二(er)次平(ping)方根的(de)(de)(de)冪級數(shu)(shu)展(zhan)開式(shi)，研究各(ge)種三角函數(shu)(shu)，反(fan)三角函數(shu)(shu)和(he)(he)對數(shu)(shu)函數(shu)(shu)的(de)(de)(de)冪級數(shu)(shu)展(zhan)開式(shi)（現(xian)稱(cheng)“自然數(shu)(shu)冪求和(he)(he)公式(shi)”），這是李(li)善(shan)蘭(lan)也是19世紀(ji)中國數(shu)(shu)學(xue)(xue)界最重大的(de)(de)(de)成就。
李善(shan)(shan)(shan)蘭(lan)(lan)（1811年1月(yue)22日(ri)—1882年12月(yue)9日(ri)）出(chu)身(shen)于讀書(shu)(shu)世家，其先祖(zu)(zu)可上(shang)溯至南(nan)宋末(mo)年京都汴(bian)梁（今河南(nan)開封）人李伯翼(yi)。伯翼(yi)一(yi)生(sheng)讀書(shu)(shu)論(lun)道(dao)、不(bu)樂仕進。元(yuan)初(chu)，其子(zi)李衍(yan)舉賢良方正，援(yuan)朝(chao)請大夫嘉興路(lu)總管府同知，全家定居海寧縣硤(xia)石鎮(zhen)。500年來，傳(chuan)宗接代至17世孫，名叫李祖(zu)(zu)烈，號虛(xu)谷先生(sheng)，治(zhi)經學(xue)(xue)。祖(zu)(zu)烈初(chu)娶望海縣知縣許(xu)季溪(xi)的孫女(nv)(nv)為(wei)妻，不(bu)幸(xing)許(xu)氏(shi)早(zao)殤；繼(ji)娶妻妹填房，又(you)病故。后續弦崔氏(shi)，系名儒崔景遠之女(nv)(nv)。崔氏(shi)生(sheng)三子(zi)：心(xin)蘭(lan)(lan)（善(shan)(shan)(shan)蘭(lan)(lan)）、心(xin)梅(mei)(mei)、心(xin)葵，并一(yi)女(nv)(nv)。心(xin)梅(mei)(mei)亦通曉數學(xue)(xue)。李善(shan)(shan)(shan)蘭(lan)(lan)早(zao)年在(zai)家鄉娶妻許(xu)氏(shi)，無子(zi)；晚年在(zai)北京納妾米氏(shi)，仍未得子(zi)；乃過繼(ji)外甥崔敬昌(chang)為(wei)嗣(si)。敬昌(chang)字吟梅(mei)(mei)，曾任江海關文牘。
李善蘭自(zi)幼就讀(du)于私塾，受到了良好的家庭教育。他(ta)資稟穎異，勤奮好學，于所讀(du)之詩書，過(guo)目即能成誦。
9歲時，李善(shan)蘭發現父親的(de)書架上(shang)有一本中國古代(dai)數學名(ming)著——《九章(zhang)算(suan)術》，感到十分新奇(qi)有趣，從此迷上(shang)了數學。
14歲時，李善蘭又靠自(zi)(zi)學(xue)讀懂了歐(ou)幾里(li)得《幾何原(yuan)本》前六卷，這是明(ming)末(mo)徐光啟（1562—1633）、利瑪竇（M．Ricci，1522—1610）合譯的(de)(de)(de)古希臘數學(xue)名著。歐(ou)氏幾何嚴(yan)密的(de)(de)(de)邏輯體系，清晰(xi)的(de)(de)(de)數學(xue)推(tui)理，與(yu)偏重(zhong)實用解法和(he)計(ji)算技巧(qiao)的(de)(de)(de)中國古代傳統數學(xue)思(si)路迥異，自(zi)(zi)有它的(de)(de)(de)特色和(he)長處(chu)。李善蘭在《九章算術(shu)》的(de)(de)(de)基礎上，又吸取了《幾何原(yuan)本》的(de)(de)(de)新(xin)思(si)想，這使他(ta)的(de)(de)(de)數學(xue)造詣日趨(qu)精深。
幾(ji)年后(hou)，作為州(zhou)縣的(de)(de)生員，李善蘭到省府杭州(zhou)參加鄉試。因為他(ta)“于(yu)辭章(zhang)訓(xun)詁之學(xue)(xue)，雖皆涉(she)獵(lie)，然(ran)好(hao)之總不及算學(xue)(xue)，故于(yu)算學(xue)(xue)用心極深”（李善蘭《則(ze)古昔齋算學(xue)(xue)》自序），結果(guo)八股文章(zhang)做得(de)不好(hao)，落第。但他(ta)卻(que)毫不介(jie)意，而是利(li)用在杭州(zhou)的(de)(de)機(ji)會，留意搜尋各種數學(xue)(xue)書籍，買回了李冶的(de)(de)《測(ce)圓海鏡》和戴震的(de)(de)《勾股割圓記(ji)》，仔細研(yan)讀，使他(ta)的(de)(de)數學(xue)(xue)水平(ping)有(you)了更大提(ti)高。
海鹽(yan)人(ren)吳(wu)兆(zhao)(zhao)圻(qi)(qi)《讀疇(chou)人(ren)書有感示李(li)壬叔(shu)》詩(shi)中說：“眾(zhong)流匯一壑(he)，雅志(zhi)(zhi)說算術(shu)。中西有派別，圓徑窮密率．”“三統探漢法，余(yu)(yu)者難具悉．余(yu)(yu)方好茲學，心(xin)志(zhi)(zhi)窮專一。”許祥《硤(xia)川詩(shi)續(xu)鈔》注曰：“秋塍（吳(wu)兆(zhao)(zhao)圻(qi)(qi)）承思亭先生(sheng)家學，于夕桀、重差之術(shu)尤(you)精．同里李(li)壬叔(shu)善蘭師事之。”看來，李(li)善蘭曾拜(bai)吳(wu)兆(zhao)(zhao)圻(qi)(qi)為師，學習過數(shu)學。
李善蘭在(zai)故里與(yu)蔣仁榮(rong)、崔德華等親(qin)朋好友組織“鴛湖(hu)吟社”，常游“東山(shan)別墅”，分(fen)韻唱和，其(qi)時曾利用(yong)(yong)相似(si)勾股形對應邊成比例(li)的(de)(de)(de)原理測算過(guo)東山(shan)的(de)(de)(de)高(gao)度。他(ta)的(de)(de)(de)經學(xue)老(lao)師陳(chen)奐(huan)在(zai)《師友淵源記》中說他(ta)“孰習(xi)九(jiu)數之術，常立表線，用(yong)(yong)長短(duan)式依節(jie)候(hou)以(yi)測日(ri)景，便易稽(ji)考”。余楙在(zai)《白岳詩(shi)話》中說他(ta)“夜嘗(chang)露坐山(shan)頂(ding)，以(yi)測象緯(wei)躊(chou)次”。至今(jin)李善蘭的(de)(de)(de)家(jia)鄉還流傳著(zhu)他(ta)在(zai)新婚之夜探(tan)頭(tou)于閣樓窗外觀測星(xing)宿(su)的(de)(de)(de)故事(shi)。
1840年，鴉片戰爭爆(bao)發，帝國(guo)(guo)(guo)(guo)主義(yi)列(lie)強(qiang)入侵中(zhong)國(guo)(guo)(guo)(guo)的現實，激(ji)發了李善蘭科學救國(guo)(guo)(guo)(guo)的思想。他說：“嗚呼！今歐羅巴各(ge)國(guo)(guo)(guo)(guo)日益強(qiang)盛，為中(zhong)國(guo)(guo)(guo)(guo)邊患。推原其(qi)故，制器精(jing)也，推原制器之精(jing)，算學明也。”“異日（中(zhong)國(guo)(guo)(guo)(guo)）人人習算，制器日精(jing)，以威海外各(ge)國(guo)(guo)(guo)(guo)，令震攝，奉朝貢．”（李善蘭《重學》序）從(cong)此他在家(jia)鄉刻苦從(cong)事(shi)數(shu)學研(yan)究工作。
1845年前后(hou)，李善蘭在嘉興陸(lu)費(fei)家設館授徒，得以(yi)與江浙一(yi)帶的學(xue)者(zhe)（主要是數學(xue)家）顧(gu)觀光(guang)（1799—1862）、張文虎（1808—1885）、汪曰楨（1813—1881）等人相(xiang)識，他們經常在一(yi)起討論數學(xue)問題。此(ci)間，李善蘭有關于“尖(jian)錐(zhui)術”的著(zhu)作(zuo)《方圓闡幽》、《弧(hu)矢啟秘(mi)》、《對數探源》等問世。其后(hou)，又撰(zhuan)《四(si)元解》、（麟德術解》等。
1851年(nian)，李(li)善蘭(lan)與著名數(shu)學家戴煦(xu)（1805—1860）相識．戴煦(xu)于(yu)1852年(nian)稱：“去歲獲(huo)交海昌壬叔(shu)李(li)君(jun)，……緣出(chu)予(yu)未竟殘稿請正，而(er)壬叔(shu)頗賞予(yu)余(yu)弧與切(qie)割二線互求(qiu)之術，再四促成，今歲又(you)寄(ji)扎(zha)詢及，遂謝絕(jue)繁(fan)冗，扃戶抄錄，閱月(yue)乃(nai)竟．嗟乎！友(you)朋之助，曷可少哉(zai)？”（戴煦(xu)《外切(qie)密率》自(zi)序）李(li)善蘭(lan)與友(you)人(ren)在(zai)學術上(shang)相互切(qie)磋，取長補短，他與數(shu)學家羅士琳（1774—1853）、徐有(you)壬（1800—1860）也(ye)“郵遞問難，常朝覆而(er)夕又(you)至”（崔敬(jing)昌《李(li)壬叔(shu)征君(jun)傳》）。
1852年夏，李善蘭(lan)到(dao)上海墨海書館(guan)，將自己的(de)(de)數學著作(zuo)給來華的(de)(de)外國傳教士展閱、受到(dao)偉烈亞力（A．Wylie，1815—1887）等人(ren)的(de)(de)贊賞，從此開始了(le)他與外國人(ren)合作(zuo)翻譯(yi)西方科學著作(zuo)的(de)(de)生涯。
李善(shan)蘭與(yu)偉烈亞(ya)力(li)翻譯(yi)(yi)(yi)的第一(yi)部書，是歐(ou)幾(ji)里得(de)《幾(ji)何原(yuan)(yuan)本(ben)》后(hou)九卷(juan)．在譯(yi)(yi)(yi)《幾(ji)何原(yuan)(yuan)本(ben)》的同時，他(ta)又與(yu)艾約(yue)瑟（J．Edkins，1823—1905）合譯(yi)(yi)(yi)了《重學(xue)》20卷(juan)。其后(hou)，還與(yu)偉烈亞(ya)力(li)合譯(yi)(yi)(yi)了《談天(tian)》18卷(juan)、《代(dai)數(shu)學(xue)》13卷(juan)、《代(dai)微積拾級》18卷(juan)，與(yu)韋廉(lian)臣（A．William－son，1829—1890）合譯(yi)(yi)(yi)了《植物學(xue)》8卷(juan)。以上(shang)幾(ji)種書均于1857至1859年間由(you)上(shang)海(hai)墨海(hai)書館刊行。此(ci)外，他(ta)還與(yu)偉烈亞(ya)力(li)、傅蘭雅（J．Fryer）合譯(yi)(yi)(yi)過《奈端數(shu)理(li)(li)》（即牛(niu)頓《自然哲(zhe)學(xue)的數(shu)學(xue)原(yuan)(yuan)理(li)(li)》），可惜沒有譯(yi)(yi)(yi)完，未(wei)能(neng)刊行。
1860年(nian)，李善蘭(lan)在江蘇(su)(su)巡撫徐有壬幕下作幕賓．太平軍占領蘇(su)(su)州后(hou)，他(ta)留在那兒的(de)行篋(qie)，包(bao)括各種著作手稿(gao)，散失以盡．從(cong)此他(ta)“絕意(yi)時事(shi)”，避亂上(shang)海，埋頭從(cong)事(shi)數學(xue)(xue)研究，重新(xin)著書立說。其間，他(ta)與數學(xue)(xue)家吳嘉善、劉彝程(cheng)等人(ren)都有過學(xue)(xue)術(shu)上(shang)的(de)交往。
1861年(nian)秋(qiu)，洋(yang)務派首領(ling)、兩江總(zong)督曾國藩（1811—1872）在(zai)安(an)徽籌建安(an)慶(qing)(qing)內軍(jun)械(xie)所，并(bing)邀著名(ming)化學(xue)家徐(xu)壽（1811—1884）、數學(xue)家華蘅芳（1833—1902）入(ru)(ru)幕(mu)。李(li)善蘭(lan)也于(yu)1862年(nian)被“聘入(ru)(ru)戎幄，兼主書(shu)局(ju)”。他一到安(an)慶(qing)(qing)，就拿出“印(yin)行無幾而板毀”于(yu)戰火的《幾何(he)原(yuan)本(ben)》等數學(xue)書(shu)籍(ji)請(qing)求(qiu)曾國藩重印(yin)刊行，并(bing)推薦張(zhang)(zhang)文虎(hu)、張(zhang)(zhang)斯桂等人入(ru)(ru)幕(mu)。他們(men)同住一處，經(jing)常進行學(xue)術討論(lun)，積(ji)極參與洋(yang)務新(xin)政(zheng)中有關科學(xue)技術方(fang)面的活動。
1864年夏(xia)，曾國(guo)藩攻陷(xian)太(tai)平(ping)天(tian)國(guo)首都天(tian)京(jing)(jing)（今南京(jing)(jing)），李(li)善蘭(lan)等也跟著到了南京(jing)(jing)，他再次向曾國(guo)藩提出刻(ke)印他所譯所著的數學書籍(ji)，得到曾國(guo)藩的支持和資(zi)(zi)助(zhu)，于是有1865年金陵刊本《幾(ji)何原本》15卷(juan)和1867年金陵刊本《則古(gu)昔齋算(suan)學》24卷(juan)問世(shi)．與此同時(shi)（1866），在(zai)南京(jing)(jing)開辦金陵機(ji)器局的李(li)鴻章(zhang)（1823—1901）也資(zi)(zi)助(zhu)李(li)善蘭(lan)重刻(ke)《重學》20卷(juan)并附《圓錐曲(qu)線說》3卷(juan)出版。
1866年(nian)(nian)，在(zai)北(bei)京(jing)(jing)的(de)京(jing)(jing)師同文(wen)館內添設了(le)天文(wen)算(suan)學(xue)館，廣(guang)東巡(xun)撫郭嵩燾(dao)（1817—1891）上(shang)疏舉(ju)薦李善(shan)蘭為天文(wen)算(suan)學(xue)總教(jiao)習，但(dan)李善(shan)蘭忙(mang)于在(zai)南(nan)京(jing)(jing)出書，到1868年(nian)(nian)才北(bei)上(shang)就任。從此(ci)他(ta)完(wan)全(quan)轉向于數學(xue)教(jiao)育和(he)研究工作(zuo)，直(zhi)至1882年(nian)(nian)去世。其間(jian)所(suo)教(jiao)授的(de)學(xue)生“先后約百(bai)余人(ren)。口講指畫，十余年(nian)(nian)如一日。諸生以學(xue)有成(cheng)效，或官外(wai)省，或使(shi)重(zhong)洋”（崔敬昌《李壬叔征(zheng)君傳》），知名者(zhe)有席淦、貴榮、熊方柏、陳壽田、胡(hu)玉麟、李逢春等。晚年(nian)(nian)，獲得(de)意門生江槐庭、蔡錫勇二人(ren)，即致函華蘅芳，稱“近(jin)(jin)日之事可喜者(zhe)，無過于此(ci)，急(ji)欲告之閣下(xia)也”。這些人(ren)在(zai)傳播近(jin)(jin)代科學(xue)特別是數學(xue)知識方面(mian)都起過重(zhong)要作(zuo)用。
李(li)善蘭到同文館后，第二年(nian)（1869）即(ji)被(bei)“欽(qin)賜中書(shu)科中書(shu)”（從七品(pin)卿(qing)(qing)銜），1871年(nian)加(jia)(jia)內閣侍讀銜，1874年(nian)升戶部(bu)主事，加(jia)(jia)六品(pin)卿(qing)(qing)員(yuan)外銜，1876年(nian)升員(yuan)外郎（五品(pin)卿(qing)(qing)銜），1879年(nian)加(jia)(jia)四(si)品(pin)卿(qing)(qing)銜，1882年(nian)授三品(pin)卿(qing)(qing)銜戶部(bu)正郎、廣(guang)東司行走、總理各國事務衙(ya)門章京。一(yi)時間，京師各“名公鉅卿(qing)(qing)，皆折節與之交，聲譽益(yi)噪”（蔣學堅《懷亭詩話》）。但他依然孜(zi)孜(zi)不倦從事同文館教學工(gong)作，并埋頭進行學術著述，1872年(nian)發表《考數(shu)根法》，1877年(nian)演(yan)算《代數(shu)難題》，1882年(nian)去世(shi)前幾個月，“猶手著《級數(shu)勾(gou)股》二卷，老(lao)而勤(qin)學如此”（崔敬昌《李(li)壬(ren)叔征君(jun)傳(chuan)》）。
李善蘭在數學方面的研究成果主要見于其所著《則古昔齋算學》13種24卷和題為“《則古昔齋算學》十四”的《考數根法》。1867年刊行的《則古昔齋算學》收錄他20多年來的各種天算(suan)著作，計有(you)《方圓(yuan)(yuan)闡(chan)幽》1卷(juan)(juan)（1845）、《弧矢啟秘》2卷(juan)(juan)（1845）、《對數(shu)探源》2卷(juan)(juan)（1845）、《垛積比類》4卷(juan)(juan)、《四元解(jie)》2卷(juan)(juan)（1845）、《麟德術(shu)解(jie)》3卷(juan)(juan)（1848）、《橢圓(yuan)(yuan)正(zheng)術(shu)解(jie)》2卷(juan)(juan)、《橢圓(yuan)(yuan)新術(shu)》1卷(juan)(juan)、《橢圓(yuan)(yuan)拾遺》3卷(juan)(juan)、《火(huo)器真訣》1卷(juan)(juan)（1858）、《對數(shu)尖錐變法(fa)釋》1卷(juan)(juan)、《級數(shu)回(hui)求》1卷(juan)(juan)、《天算(suan)或問》1卷(juan)(juan)．《考數(shu)根法(fa)》則發表于1872年的《中(zhong)西聞見錄》第二、三、四號上(shang)。李善蘭的其(qi)他數(shu)學著述(shu)還有(you)《測圓(yuan)(yuan)海鏡(jing)解(jie)》、《測圓(yuan)(yuan)海鏡(jing)圖表》、《九容圖表》、《粟布演草》、《同文館(guan)(guan)算(suan)學課藝》和《同文館(guan)(guan)珠算(suan)金躊針》等(deng)多種。
李善(shan)蘭的數學成(cheng)就主要有尖錐(zhui)術、垛積術、素(su)數論三個(ge)方面。
道(dao)光(guang)間，陸(lu)續撰成《四元解》、《麟德術解》、《弧矢啟秘》、《方園(yuan)闡幽》及《對數(shu)探源(yuan)》等(deng)，聲名(ming)大起。咸豐初完成明(ming)末徐(xu)光(guang)啟、利瑪竇未竟之業(ye)。又與(yu)偉烈亞力、艾約瑟等(deng)合譯《代微(wei)積拾級》、《重(zhong)學》、《談天》等(deng)多種西(xi)方數(shu)學及自(zi)然科學書籍。
咸(xian)同(tong)之際，他以《測圓海(hai)鏡》為基本教(jiao)材，培養人才甚多。他學(xue)(xue)通古今，融中西數學(xue)(xue)于一(yi)堂。1860年起參(can)與洋務運動中的科技(ji)活動。
主要著(zhu)作都匯集在《則(ze)古昔齋(zhai)算學(xue)》內，13種24卷。其中對(dui)尖錐求積術的(de)探討，已初具積分思想，對(dui)三角函數（李氏三角恒等式(shi)）與對(dui)數的(de)冪級(ji)數展開式(shi)、高階(jie)等差(cha)級(ji)數求和（自然數冪求和公(gong)式(shi)）等題解的(de)研究，皆達到中國傳統數學(xue)的(de)很(hen)高水平。
咸豐九年，《幾何原本》后七卷(juan)一(yi)起刊(kan)行于世，因戰爭，原版被(bei)毀﹐后又(you)于同治五年由李(li)鴻章(zhang)重刊(kan)，光緒(xu)十(shi)四年上海六(liu)合書(shu)局又(you)石印出(chu)版。《重學(xue)(xue)》一(yi)書(shu)的(de)(de)翻譯(yi)出(chu)版較(jiao)系統地把牛(niu)(niu)頓(dun)(dun)運動定律等經典力(li)學(xue)(xue)知(zhi)識介(jie)紹到中(zhong)國。李(li)善蘭又(you)和偉烈亞力(li)合譯(yi)了侯失勒（今(jin)譯(yi)J.赫歇耳）的(de)(de)《談天》一(yi)書(shu)，第一(yi)次把萬(wan)有引力(li)定律及天體(ti)力(li)學(xue)(xue)知(zhi)識介(jie)紹到中(zhong)國。不久，李(li)善蘭又(you)譯(yi)了奈端的(de)(de)《數理格致》（即牛(niu)(niu)頓(dun)(dun)的(de)(de)《自然(ran)哲學(xue)(xue)的(de)(de)數學(xue)(xue)原理》）一(yi)書(shu)的(de)(de)前3卷(juan)，后因故(gu)中(zhong)斷。
1867年他(ta)在(zai)南京出(chu)版《則古(gu)昔齋算(suan)(suan)學(xue)(xue)》，匯集了二十(shi)多年來(lai)在(zai)數(shu)學(xue)(xue)、天文學(xue)(xue)和(he)彈(dan)道學(xue)(xue)等(deng)(deng)方面的(de)著(zhu)作(zuo)，計有(you)《方圓(yuan)闡幽》、《弧(hu)矢(shi)啟秘》、《對數(shu)探源(yuan)》、《垛積比類》、《四元(yuan)解》、《麟(lin)德術(shu)解》、《橢(tuo)圓(yuan)正術(shu)解》、《橢(tuo)圓(yuan)新(xin)術(shu)》、《橢(tuo)圓(yuan)拾遺》、《火(huo)器真訣》、《對數(shu)尖(jian)錐變法釋》、《級數(shu)回(hui)求》和(he)《天算(suan)(suan)或(huo)問》等(deng)(deng)13種24卷，共約15萬字。他(ta)的(de)數(shu)學(xue)(xue)著(zhu)作(zuo)，除《則古(gu)昔齋算(suan)(suan)學(xue)(xue)》外,尚有(you)《考(kao)數(shu)根法》、《粟布(bu)演(yan)草(cao)》、《測圓(yuan)海鏡解》、《九容圖表》，而未刊(kan)行者，有(you)《造整數(shu)勾股級數(shu)法》、《開方古(gu)義》、《群經算(suan)(suan)學(xue)(xue)考(kao)》、《代數(shu)難題解》等(deng)(deng)。
1840年著成(cheng)《天算或問》一書，這是他最早(zao)的數學著作。
1845年發(fa)表了《方圓闡(chan)幽》、《弧矢啟(qi)秘》和《對(dui)數探源》。
1846年發(fa)表(biao)了《四元解》2卷，并由顧觀光作序。
1848年(nian)又自(zi)序發表了(le)《麟德歷(li)解》3卷(juan)。
1852年，他到上海，與(yu)英國傳教士偉烈亞力(li)等人合(he)作，開(kai)始(shi)從事西方(fang)數學(xue)書(shu)籍(ji)的(de)翻譯(yi)工(gong)作，間或也翻譯(yi)一些有(you)關力(li)學(xue)、天文學(xue)和其他學(xue)科(ke)的(de)書(shu)籍(ji)。與(yu)英國人偉烈亞力(li)合(he)譯(yi)了《幾何原本(ben)》后9卷，于1856年完成。
1856年后(hou)，他先后(hou)著有《橢圓正術解》2卷(juan)(juan)、《橢圓新(xin)術》1卷(juan)(juan)、《橢圓拾遺》3卷(juan)(juan)、《史器真決》1卷(juan)(juan)、《尖錐變法(fa)解》1卷(juan)(juan)、《級數(shu)四術》1卷(juan)(juan)、《垛(duo)積比類》4卷(juan)(juan)。
1859年由(you)墨海書館出版了他們(men)合(he)譯的(de)《代數學(xue)(xue)》13卷(juan)、《代微積(ji)拾級》18卷(juan)、《談天》18卷(juan)。同時(shi)，他又與艾約(yue)瑟共譯《重學(xue)(xue)》20卷(juan)、《圓(yuan)錐曲(qu)線說》3卷(juan)。期間，他還與偉烈(lie)亞(ya)力、傅蘭雅合(he)譯了牛(niu)頓的(de)名著《自然哲學(xue)(xue)的(de)數學(xue)(xue)原理》若干卷(juan)。
他的這些工作與隨(sui)后的華蘅芳、夏鸞翔等人對西方(fang)數學所作的有價值的研究，構成了(le)繼徐光啟之后在中國(guo)(guo)的第二次西方(fang)數學的引進，對中國(guo)(guo)近代(dai)數學的發展起(qi)了(le)積極的作用。
他在(zai)譯作中創造了許多(duo)數(shu)學名詞和術語，如微(wei)分、函數(shu)等(deng)，都譯得相(xiang)當貼切，相(xiang)當多(duo)的(de)名詞一(yi)直沿用至今。
1860年起(qi)，他先后在徐有壬(ren)、曾國藩軍中(zhong)作(zuo)幕(mu)僚，與化學(xue)家徐壽(shou)、數學(xue)家華(hua)蘅芳等人一起(qi)，積極參與洋(yang)務(wu)運動中(zhong)的科技學(xue)術活動。
在(zai)(zai)19世紀(ji)把西方(fang)近代(dai)(dai)物理學(xue)知識翻譯為(wei)(wei)中(zhong)文(wen)的傳播工(gong)作(zuo)中(zhong)﹐李善(shan)蘭(lan)作(zuo)出了重(zhong)大貢(gong)獻(xian)(xian)。他的譯書也為(wei)(wei)中(zhong)國(guo)近代(dai)(dai)物理學(xue)的發展起了啟(qi)蒙作(zuo)用。同治七年(nian)，李善(shan)蘭(lan)到北京擔任同文(wen)館天文(wen)﹑算(suan)學(xue)部長﹐執教達13年(nian)之久(jiu)﹐為(wei)(wei)造(zao)就(jiu)中(zhong)國(guo)近代(dai)(dai)第一代(dai)(dai)科學(xue)人才(cai)作(zuo)出了貢(gong)獻(xian)(xian)。李善(shan)蘭(lan)為(wei)(wei)近代(dai)(dai)科學(xue)在(zai)(zai)中(zhong)國(guo)的傳播和發展作(zuo)出了開創(chuang)性的貢(gong)獻(xian)(xian)。
繼梅(mei)文(wen)鼎之后，李善蘭(lan)成(cheng)為清(qing)代數(shu)學史(shi)上的(de)(de)又一杰出代表(biao)。他一生(sheng)翻譯西方科(ke)(ke)技(ji)書(shu)籍甚多，將近代科(ke)(ke)學最(zui)主要(yao)的(de)(de)幾門知(zhi)識從天文(wen)學到植(zhi)物細胞學的(de)(de)最(zui)新成(cheng)果介紹(shao)傳入中國，對促進近代科(ke)(ke)學的(de)(de)發展(zhan)作出卓越貢獻。
自20世紀30年代以來，李(li)善(shan)蘭受到國際數學界(jie)的普遍關注和(he)贊賞(shang)。
1868年，李(li)善蘭被薦任(ren)北京同(tong)(tong)文館(guan)天(tian)文算學(xue)總教習，直至(zhi)1882年他逝世為止，從事數(shu)(shu)學(xue)教育十余年，其間(jian)審定了《同(tong)(tong)文館(guan)算學(xue)課(ke)藝》、《同(tong)(tong)文館(guan)珠算金躊針》等數(shu)(shu)學(xue)教材，培養了一(yi)大批(pi)數(shu)(shu)學(xue)人才，是中國近代數(shu)(shu)學(xue)教育的鼻祖。
李(li)善蘭在數(shu)學研究方面的(de)成就，主要(yao)有(you)尖錐(zhui)術(shu)、垛積(ji)術(shu)和素數(shu)論(lun)三(san)項。尖錐(zhui)術(shu)理論(lun)主要(yao)見于(yu)《方圓闡幽》、《弧矢(shi)啟秘(mi)》、《對數(shu)探源(yuan)》三(san)種(zhong)著作,成書年代約(yue)為1845年,當時(shi)解析幾何與微積(ji)分學尚未傳入中國(guo)。李(li)善蘭創立的(de)“尖錐(zhui)”概念(nian)，是一種(zhong)處理代數(shu)問題的(de)幾何模型(xing)，他對“尖錐(zhui)曲(qu)線(xian)”的(de)描述(shu)實質上相當于(yu)給出了直線(xian)、拋(pao)物線(xian)、立方拋(pao)物線(xian)等(deng)方程。
他創造(zao)的(de)(de)“尖(jian)錐(zhui)求積(ji)(ji)術(shu)”。相當于冪函(han)(han)數(shu)(shu)的(de)(de)定積(ji)(ji)分公式和逐項(xiang)積(ji)(ji)分法則。他用“分離元數(shu)(shu)法”獨(du)立地得出(chu)了二(er)項(xiang)平方根(gen)的(de)(de)冪級數(shu)(shu)展(zhan)開(kai)式結(jie)合(he)“尖(jian)錐(zhui)求積(ji)(ji)術(shu)”，得到了π的(de)(de)無窮(qiong)級數(shu)(shu)表達式。各種三(san)(san)角(jiao)函(han)(han)數(shu)(shu)和反(fan)三(san)(san)角(jiao)函(han)(han)數(shu)(shu)的(de)(de)展(zhan)開(kai)式，以及對(dui)數(shu)(shu)函(han)(han)數(shu)(shu)的(de)(de)展(zhan)開(kai)式。
在使(shi)用微積(ji)(ji)分方(fang)法處理數學(xue)(xue)問題方(fang)面取得(de)了創造性的(de)成就(jiu)。垛(duo)積(ji)(ji)術理論主要見于《垛(duo)積(ji)(ji)比類(lei)》,寫于1859～1867年間(jian)，這是有關高階(jie)等差級(ji)數的(de)著作。李(li)善(shan)蘭(lan)從(cong)研究中(zhong)國(guo)傳(chuan)統的(de)垛(duo)積(ji)(ji)問題入手，獲得(de)了一些(xie)相當于現代組合數學(xue)(xue)中(zhong)的(de)成果。例如，“三(san)角垛(duo)有積(ji)(ji)求高開方(fang)廉隅表”和(he)“乘方(fang)垛(duo)各廉表”實質上就(jiu)是組合數學(xue)(xue)中(zhong)著名(ming)的(de)第一種斯特林數和(he)歐拉數。馳名(ming)中(zhong)外的(de)“李(li)善(shan)蘭(lan)恒等式(shi)”。
自(zi)(zi)20世紀30年代以來，受到國(guo)際數(shu)(shu)學界的(de)普遍關注(zhu)和贊賞。可以認為，《垛積比(bi)類》是早期(qi)組合論(lun)的(de)杰作(zuo)。素數(shu)(shu)論(lun)主(zhu)要見(jian)于《考(kao)數(shu)(shu)根法(fa)》，發表于1872年，這是中國(guo)素數(shu)(shu)論(lun)方面最早的(de)著作(zuo)。在判別(bie)一個自(zi)(zi)然數(shu)(shu)是否(fou)為素數(shu)(shu)時，李善蘭證(zheng)明(ming)了著名的(de)費(fei)馬素數(shu)(shu)定(ding)理，并指(zhi)出了它的(de)逆定(ding)理不真(zhen)。
李善蘭對經典力(li)學在中國(guo)的(de)傳(chuan)播作出卓越的(de)貢獻(xian)。他將(jiang)英國(guo)人W．胡威立的(de)《初等力(li)學教程》(1833年第2版(ban)(ban))筆譯(經艾約瑟口述)為中文，1859年由(you)上海(hai)(hai)墨海(hai)(hai)書(shu)館以《重學》的(de)書(shu)名出版(ban)(ban)，共20卷(juan)。這是(shi)第一(yi)本(ben)系統(tong)介紹力(li)學的(de)中譯本(ben)。
李善(shan)(shan)蘭在《重(zhong)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)》一書所(suo)(suo)寫的(de)(de)序(xu)言中(zhong)(zhong)(zhong)。特別強調了(le)動(dong)(dong)力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)內容：“推(tui)其暫如飛炮(pao)擊敵，動(dong)(dong)重(zhong)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)也(ye)；推(tui)其久(jiu)如五星繞太(tai)陽、月繞地，動(dong)(dong)重(zhong)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)也(ye)。”“動(dong)(dong)重(zhong)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)之率凡三：曰力(li)、曰質(zhi)(zhi)、曰速(su)(su)。力(li)同(tong)，則(ze)質(zhi)(zhi)小(xiao)者(zhe)速(su)(su)大，質(zhi)(zhi)太(tai)者(zhe)速(su)(su)小(xiao)；質(zhi)(zhi)同(tong)，則(ze)力(li)小(xiao)者(zhe)謎小(xiao)，力(li)大者(zhe)速(su)(su)大。”“動(dong)(dong)重(zhong)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)所(suo)(suo)推(tui)者(zhe)力(li)生速(su)(su)。凡物不(bu)能自動(dong)(dong)，力(li)加之而動(dong)(dong)，若(ruo)(ruo)動(dong)(dong)后(hou)(hou)不(bu)復(fu)加力(li)，則(ze)以平速(su)(su)動(dong)(dong)；若(ruo)(ruo)動(dong)(dong)后(hou)(hou)恒加力(li)，則(ze)以漸加速(su)(su)動(dong)(dong)。”“凡物旋(xuan)動(dong)(dong)，必環重(zhong)心，地動(dong)(dong)是也(ye)。二(er)物相(xiang)連(lian)而相(xiang)繞，必環公重(zhong)心，月地相(xiang)攝而動(dong)(dong)是也(ye)。“李善(shan)(shan)蘭與偉烈亞力(li)合譯(yi)英國天(tian)(tian)文(wen)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家J．F．赫歇耳(1792～1871)所(suo)(suo)著《天(tian)(tian)文(wen)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)綱要》一書。中(zhong)(zhong)(zhong)譯(yi)本名為(wei)《談天(tian)(tian)》，于1859年刊行。李善(shan)(shan)蘭執筆時(shi)作了(le)刪略。該(gai)書不(bu)僅把近代天(tian)(tian)文(wen)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)第一次系(xi)(xi)統地介(jie)紹(shao)到(dao)中(zhong)(zhong)(zhong)國。而且引進了(le)有關萬有引力(li)的(de)(de)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)說(shuo)和(he)天(tian)(tian)體力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)內容。有些力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)專門術(shu)語的(de)(de)中(zhong)(zhong)(zhong)文(wen)譯(yi)名，如攝動(dong)(dong)、章動(dong)(dong)等。最早見于《談天(tian)(tian)》。此后(hou)(hou)，李善(shan)(shan)蘭又(you)著手(shou)翻譯(yi)I．牛頓的(de)(de)《自然(ran)哲學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)原(yuan)理》，雖(sui)然(ran)書沒譯(yi)完，譯(yi)稿后(hou)(hou)也(ye)遺(yi)失(shi)，但自李善(shan)(shan)蘭把牛頓力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)介(jie)紹(shao)到(dao)中(zhong)(zhong)(zhong)國后(hou)(hou)，西方(fang)近代科(ke)(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)思想體系(xi)(xi)、觀點和(he)方(fang)法(fa)，以及近代科(ke)(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)史上的(de)(de)若(ruo)(ruo)干(gan)成(cheng)就才為(wei)中(zhong)(zhong)(zhong)國學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)者(zhe)所(suo)(suo)運(yun)新熟(shu)悉(xi)，同(tong)時(shi)也(ye)激起中(zhong)(zhong)(zhong)國學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)者(zhe)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)習自然(ran)科(ke)(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)熱情。
李(li)善蘭在所著《火器(qi)真訣》中按照不計空氣阻(zu)力拋射(she)體在平(ping)面或斜面上射(she)程(cheng)的公式(shi)，提出彈道學的圖解方法。這些結(jie)果雖然低于(yu)當時歐洲(zhou)彈道學水平(ping)，但反(fan)映了自然科學由引(yin)進到消(xiao)化的過(guo)程(cheng)。
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