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基本介紹

《周髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)》原名《周髀(bi)(bi)》，算(suan)經(jing)的十書之一，是(shi)中國(guo)最古老的天文學和(he)數學著作，約成(cheng)書于公元前1世紀，主要闡明(ming)當時的蓋天說(shuo)和(he)四分(fen)歷法。唐初規定它為國(guo)子監明(ming)算(suan)科的教材之一，故改名《周髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)》。

《周髀算經》在數(shu)學上的主(zhu)要成就是(shi)介(jie)紹(shao)了勾股定理(li)（據說(shuo)原書沒有對勾股定理(li)進行(xing)證明，其證明是(shi)三國時東吳(wu)人趙爽在《周髀注(zhu)》一書的《勾股圓(yuan)方圖(tu)注(zhu)》中給出的）及其在測量(liang)上的應用以及怎樣引用到天文計(ji)算。）

《周髀算經(jing)》的(de)(de)采用最簡便可行的(de)(de)方法確定天文歷(li)法，揭示(shi)日(ri)月(yue)星辰的(de)(de)運(yun)行規律(lv)，囊括四季更替，氣候變化，包(bao)涵南北有極(ji)，晝夜相推的(de)(de)道理。給后來者(zhe)生(sheng)活作(zuo)息提供有力的(de)(de)保障，自此(ci)以后歷(li)代數學家無不以《周髀算經(jing)》為參考，在(zai)此(ci)基礎上不斷創新和(he)發展。

其他信息

年代

假設(she)我(wo)們把《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》的(de)(de)本文(wen)限定為(wei)(wei)商高(gao)與周(zhou)(zhou)公的(de)(de)問答，似乎(hu)其成(cheng)(cheng)書年代(dai)也(ye)就不難斷定了。可是(shi)，乾(qian)嘉以(yi)后，考(kao)據之學(xue)興起，疑(yi)古之風日盛，到了現代(dai)，幾乎(hu)所(suo)有的(de)(de)中(zhong)外(wai)學(xue)者(zhe)都不得不接受(shou)這樣的(de)(de)推斷：不僅(jin)商高(gao)是(shi)后人(ren)(ren)假托的(de)(de)，甚(shen)至陳子也(ye)是(shi)后人(ren)(ren)虛構出來的(de)(de)。于是(shi)，僅(jin)僅(jin)把商高(gao)問答看作《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》本文(wen)就不再有任何意義了。因此(ci)，許多(duo)學(xue)者(zhe)都將陳子問答以(yi)后的(de)(de)文(wen)字作為(wei)(wei)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》全文(wen)的(de)(de)一(yi)個部分，不再加以(yi)區(qu)分。此(ci)一(yi)來，人(ren)(ren)們開始(shi)根(gen)據《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》中(zhong)的(de)(de)內容推斷它(ta)的(de)(de)成(cheng)(cheng)書年代(dai)。

通常的(de)方法可以(yi)分成兩類(lei)：天(tian)文學(xue)(xue)史專家，喜歡利用現代天(tian)文學(xue)(xue)手段，根(gen)據《周髀算經(jing)》中記(ji)錄的(de)一(yi)些特(te)殊的(de)天(tian)文現象或數據，推(tui)算其應該(gai)出現的(de)年(nian)(nian)代，并以(yi)此來確定其成書時代。例如，日本(ben)學(xue)(xue)者能田忠亮便以(yi)《周髀算經(jing)》中的(de)北極(ji)星（北極(ji)璇璣(ji)）到北天(tian)極(ji)的(de)距離．歸算出其成書年(nian)(nian)代大約在(zai)公元前5到7世(shi)紀之間。

另一種方法則是(shi)(shi)根據《周(zhou)髀(bi)(bi)(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)》涉及的(de)(de)一些(xie)內容，與相對而言年代比較明確的(de)(de)其他歷(li)史典(dian)籍(ji)的(de)(de)比較，推斷其成書年代。錢寶琮（1892年－1974年）在《周(zhou)髀(bi)(bi)(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)考(kao)》中(zhong)對《周(zhou)髀(bi)(bi)(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)》的(de)(de)年代做出(chu)如下(xia)的(de)(de)考(kao)證：第(di)一，《周(zhou)髀(bi)(bi)(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)》主要(yao)分為(wei)兩個部(bu)分，前為(wei)商高(gao)問答，后為(wei)陳子(zi)模型(xing)；第(di)二，由(you)于(yu)懷疑商高(gao)是(shi)(shi)后人的(de)(de)偽(wei)托，因此，認(ren)為(wei)陳子(zi)以下(xia)的(de)(de)文字才是(shi)(shi)《周(zhou)髀(bi)(bi)(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)》的(de)(de)主體，通(tong)過與《淮南(nan)子(zi)·天(tian)文訓(xun)》的(de)(de)比較，從六個方面論(lun)述了陳子(zi)以下(xia)的(de)(de)文字成書在

公元前(qian)100年(nian)左右(you)；第三(san)，“周(zhou)(zhou)(zhou)髀”的(de)(de)(de)意(yi)思以(yi)(yi)陳子之(zhi)(zhi)說為準，同時(shi)也提到其他(ta)一些解(jie)釋(shi)；第四，比較24氣名目及次序與(yu)《三(san)統歷》之(zhi)(zhi)異(yi)同，提到趙爽(shuang)注稱原(yuan)節氣長度15日與(yu)《淮南子》的(de)(de)(de)粗略記法(fa)類似；第五，分數算(suan)(suan)法(fa)的(de)(de)(de)繁復與(yu)《九章算(suan)(suan)術》類似。他(ta)的(de)(de)(de)結論(lun)是，《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算(suan)(suan)經(jing)》成書(shu)在(zai)公元前(qian)100年(nian)左右(you)。在(zai)疑古思潮的(de)(de)(de)影響下(xia)，還有一種傾向也值得人們(men)的(de)(de)(de)注意(yi)，那就是以(yi)(yi)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算(suan)(suan)經(jing)》全(quan)書(shu)中(zhong)所有內容的(de)(de)(de)下(xia)限來判定它的(de)(de)(de)成書(shu)年(nian)代(dai)，古克禮（C．Cullen）大(da)約(yue)可以(yi)(yi)算(suan)(suan)是這(zhe)個(ge)方面(mian)的(de)(de)(de)一個(ge)代(dai)表。

古克禮(li)認為(wei)以前的(de)(de)(de)(de)學者(zhe)大多錯誤地企圖去發現《周(zhou)髀算(suan)經》作為(wei)一個(ge)整體完成的(de)(de)(de)(de)年代，因此(ci)，它們(men)的(de)(de)(de)(de)結論(lun)是在(zai)一種假象的(de)(de)(de)(de)幻覺中獲得的(de)(de)(de)(de)。他(ta)認為(wei)，這(zhe)部(bu)書是一些志同道合的(de)(de)(de)(de)研(yan)究(jiu)者(zhe)分別撰述的(de)(de)(de)(de)論(lun)文集。他(ta)的(de)(de)(de)(de)做法是，首先，調查《周(zhou)髀算(suan)經》的(de)(de)(de)(de)內(nei)在(zai)結構，并將(jiang)(jiang)其(qi)劃分為(wei)不同的(de)(de)(de)(de)章節，討(tao)論(lun)節與(yu)節之(zhi)間的(de)(de)(de)(de)關系；其(qi)次，討(tao)論(lun)與(yu)各節內(nei)容(rong)有關的(de)(de)(de)(de)外部(bu)世界的(de)(de)(de)(de)資(zi)料與(yu)活動；第三(san)，探討(tao)可能產生與(yu)各節內(nei)容(rong)相(xiang)關的(de)(de)(de)(de)歷史環境。他(ta)將(jiang)(jiang)《周(zhou)髀算(suan)經》的(de)(de)(de)(de)整體編排打亂，把它們(men)劃分為(wei)外篇與(yu)內(nei)篇兩個(ge)部(bu)分。其(qi)中內(nei)篇以陳子(zi)模(mo)型(xing)為(wei)主展開，取(qu)其(qi)下限在(zai)公元1世紀。

在有(you)關外部環境的(de)(de)(de)(de)討(tao)論中(zhong)，指出(chu)作為(wei)皇家的(de)(de)(de)(de)藏書目錄，班(ban)固（32－92年(nian)）編寫的(de)(de)(de)(de)《漢書·藝文志》中(zhong)有(you)《許商(shang)算(suan)術》與《杜忠算(suan)術》而(er)無《周髀算(suan)經(jing)(jing)》；蓋天說在公(gong)元l世(shi)紀已(yi)經(jing)(jing)為(wei)人所熟知(zhi)，蔡邕(yong)在公(gong)元180年(nian)已(yi)經(jing)(jing)明(ming)確(que)將其列為(wei)中(zhong)圈古代(dai)(dai)(dai)的(de)(de)(de)(de)三(san)家宇宙論之(zhi)一。結論是，由(you)于(yu)受到了渾(hun)天說的(de)(de)(de)(de)影響，《周髀算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)成(cheng)(cheng)書時間不可能早于(yu)公(gong)元前l世(shi)紀，但也(ye)不會晚于(yu)公(gong)元200年(nian)。筆者以(yi)為(wei)，判別中(zhong)國古代(dai)(dai)(dai)科學(xue)典籍的(de)(de)(de)(de)完成(cheng)(cheng)年(nian)代(dai)(dai)(dai)，應(ying)該以(yi)書中(zhong)主要的(de)(de)(de)(de)科學(xue)思想或知(zhi)識水平所反映的(de)(de)(de)(de)年(nian)代(dai)(dai)(dai)為(wei)判別標準，而(er)不應(ying)以(yi)書中(zhong)夾(jia)雜的(de)(de)(de)(de)若干(gan)后代(dai)(dai)(dai)摻入的(de)(de)(de)(de)只言片語作為(wei)推斷的(de)(de)(de)(de)條件。由(you)于(yu)早期的(de)(de)(de)(de)科學(xue)典籍通常(chang)都(dou)是人類知(zhi)識逐漸積累的(de)(de)(de)(de)結晶，因此，搞清楚其中(zhong)科學(xue)思想的(de)(de)(de)(de)萌生時期與流傳脈絡，也(ye)許比(bi)單(dan)純判定它(ta)的(de)(de)(de)(de)成(cheng)(cheng)書年(nian)代(dai)(dai)(dai)更(geng)有(you)意義。

科學史已經(jing)(jing)反復地(di)證明(ming)，今天(tian)看來是(shi)(shi)非常顯然的(de)(de)(de)(de)(de)科學真(zhen)理，在人類(lei)認(ren)(ren)識(shi)它的(de)(de)(de)(de)(de)初期(qi)往(wang)往(wang)經(jing)(jing)歷(li)了長期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)懷疑，甚至抵(di)制。例如，歲差(cha)現象在南(nan)北朝(chao)時期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)存廢之(zhi)爭，就是(shi)(shi)一個(ge)典型的(de)(de)(de)(de)(de)事例。因此(ci)，試圖通過(guo)以(yi)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)(suan)經(jing)(jing)》中的(de)(de)(de)(de)(de)內容的(de)(de)(de)(de)(de)完整或正確(que)性介(jie)于(yu)某兩個(ge)古代(dai)(dai)(dai)文獻之(zhi)間，就認(ren)(ren)定其成(cheng)書(shu)(shu)年代(dai)(dai)(dai)也必定介(jie)于(yu)兩者之(zhi)間的(de)(de)(de)(de)(de)方法，是(shi)(shi)靠不(bu)(bu)住(zhu)的(de)(de)(de)(de)(de)。而利用(yong)一些重要數據的(de)(de)(de)(de)(de)理論推算(suan)(suan)來判定其成(cheng)書(shu)(shu)年代(dai)(dai)(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)方法，許多時候也是(shi)(shi)不(bu)(bu)太可行的(de)(de)(de)(de)(de)。有關《周(zhou)(zhou)髀算(suan)(suan)經(jing)(jing)》成(cheng)書(shu)(shu)年代(dai)(dai)(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)討(tao)論，馮禮貴(gui)曾經(jing)(jing)收集了14種不(bu)(bu)同(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)觀點。盡管在《周(zhou)(zhou)髀算(suan)(suan)經(jing)(jing)》成(cheng)書(shu)(shu)年代(dai)(dai)(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)判斷上有很(hen)大的(de)(de)(de)(de)(de)區別，但幾乎所有的(de)(de)(de)(de)(de)研究者都(dou)有一個(ge)共識(shi)，那就是(shi)(shi)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)(suan)經(jing)(jing)》并不(bu)(bu)是(shi)(shi)成(cheng)書(shu)(shu)于(yu)一人一時，它經(jing)(jing)過(guo)了許多朝(chao)代(dai)(dai)(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)流(liu)傳(chuan)進化才得以(yi)完成(cheng)我(wo)們所看到的(de)(de)(de)(de)(de)篇幅與(yu)結構(gou)。

章(zhang)鴻釗(zhao)曾經(jing)(jing)明確地(di)將(jiang)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)(suan)(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)劃(hua)分(fen)為(wei)三個時(shi)(shi)(shi)期(qi)(qi)(qi)(qi)：第一(yi)(yi)期(qi)(qi)(qi)(qi)，商(shang)(shang)高(gao)問(wen)答(da)；第二(er)期(qi)(qi)(qi)(qi)，陳(chen)子問(wen)答(da)；第三期(qi)(qi)(qi)(qi)，陳(chen)子以后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)文(wen)字(zi)。這樣(yang)(yang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃(hua)分(fen)，是(shi)(shi)(shi)(shi)許多人都(dou)默認的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)個事實(shi)(shi)。正如陳(chen)方(fang)正在(zai)(zai)總結前人對《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)(suan)(suan)經(jing)(jing)》成(cheng)書過程的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)討(tao)論(lun)(lun)時(shi)(shi)(shi)所說(shuo)：《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)》不(bu)但不(bu)是(shi)(shi)(shi)(shi)個人的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作(zuo)，甚至也未必是(shi)(shi)(shi)(shi)單一(yi)(yi)性質(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作(zuo)，而可(ke)(ke)能是(shi)(shi)(shi)(shi)由多個在(zai)(zai)不(bu)同(tong)(tong)歷(li)史(shi)時(shi)(shi)(shi)期(qi)(qi)(qi)(qi)出現，相(xiang)關、相(xiang)類但并不(bu)相(xiang)同(tong)(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)學(xue)說(shuo)、理(li)論(lun)(lun)，逐漸累(lei)積而成(cheng)。因此，將(jiang)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)(suan)(suan)經(jing)(jing)》單純視為(wei)表述蓋天(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自洽體系，而忽(hu)視它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)層(ceng)積性質(zhi)，是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)甚恰當(dang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。筆(bi)者(zhe)也贊同(tong)(tong)將(jiang)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)(suan)(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)劃(hua)分(fen)為(wei)三個時(shi)(shi)(shi)期(qi)(qi)(qi)(qi)。具體而言，上(shang)卷之(zhi)一(yi)(yi)，商(shang)(shang)高(gao)與周(zhou)(zhou)(zhou)公的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)答(da)，應(ying)該是(shi)(shi)(shi)(shi)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)(suan)(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原(yuan)始文(wen)字(zi)，它反映(ying)了早期(qi)(qi)(qi)(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)以商(shang)(shang)高(gao)為(wei)代(dai)(dai)表的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)中國(guo)古代(dai)(dai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)家對數(shu)(shu)(shu)學(xue)以及(ji)數(shu)(shu)(shu)學(xue)之(zhi)為(wei)用(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)認識。商(shang)(shang)高(gao)答(da)周(zhou)(zhou)(zhou)公問(wen)企圖(tu)說(shuo)明的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)題(ti)是(shi)(shi)(shi)(shi)解決幾何測(ce)量學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)方(fang)法(fa)，這一(yi)(yi)點他做到了。這個方(fang)法(fa)包含(han)勾股定理(li)與用(yong)矩(ju)之(zhi)道。按照商(shang)(shang)高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)說(shuo)法(fa)，這些數(shu)(shu)(shu)學(xue)內容(rong)在(zai)(zai)大(da)禹治水(shui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)(shi)候(hou)已經(jing)(jing)具備，應(ying)該是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。第二(er)個時(shi)(shi)(shi)期(qi)(qi)(qi)(qi)，陳(chen)子模型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提出，其內容(rong)為(wei)上(shang)卷之(zhi)二(er)陳(chen)子與容(rong)方(fang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)答(da)，這個部(bu)分(fen)大(da)約(yue)在(zai)(zai)戰國(guo)時(shi)(shi)(shi)期(qi)(qi)(qi)(qi)已經(jing)(jing)形成(cheng)。這個時(shi)(shi)(shi)期(qi)(qi)(qi)(qi)，陳(chen)子將(jiang)商(shang)(shang)高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用(yong)矩(ju)之(zhi)道進(jin)一(yi)(yi)步(bu)(bu)發展成(cheng)為(wei)測(ce)望(wang)日高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)重差(cha)術(shu)。也是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)以相(xiang)信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。陳(chen)子問(wen)答(da)中試圖(tu)解決的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)題(ti)是(shi)(shi)(shi)(shi)，利(li)用(yong)影(ying)差(cha)原(yuan)理(li)與日高(gao)術(shu)，在(zai)(zai)商(shang)(shang)高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用(yong)矩(ju)之(zhi)道的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎上(shang)，進(jin)一(yi)(yi)步(bu)(bu)完善更加宏(hong)大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)測(ce)天(tian)量地(di)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論(lun)(lun)與實(shi)(shi)踐。陳(chen)子模型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提出，事實(shi)(shi)上(shang)是(shi)(shi)(shi)(shi)在(zai)(zai)向著(zhu)(zhu)這樣(yang)(yang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標邁(mai)出了關鍵(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)步(bu)(bu)：把商(shang)(shang)高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)》轉化(hua)為(wei)蓋天(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)》，把一(yi)(yi)部(bu)比(bi)較單純的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)著(zhu)(zhu)作(zuo)轉化(hua)為(wei)一(yi)(yi)部(bu)純粹的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)理(li)天(tian)文(wen)學(xue)論(lun)(lun)著(zhu)(zhu)。

從(cong)上卷之(zhi)三(san)開(kai)(kai)始(shi)，是對蓋(gai)(gai)天說(shuo)理論的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)擴張與(yu)完(wan)善。首先是在陳(chen)子模(mo)型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)本假設(she)下，建立七(qi)衡六間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)宇宙模(mo)型(xing)，并以術文(wen)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)式給出每日(ri)太陽運(yun)行(xing)軌(gui)道(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)計算方(fang)法，使七(qi)衡圖成(cheng)(cheng)為(wei)一個可(ke)以操(cao)作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)真正的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)活動式星盤。在此基(ji)礎(chu)上，進一步(bu)引(yin)(yin)入(ru)新的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)天地形(xing)(xing)狀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)模(mo)式，給出了地理五帶的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃分、寒暑成(cheng)(cheng)因(yin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)解(jie)釋、日(ri)出日(ri)落的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)位，并建立了蓋(gai)(gai)天說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)天體(ti)測(ce)量學，引(yin)(yin)入(ru)了去(qu)極度的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概念，制作(zuo)了比(bi)較完(wan)整的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《四分歷》等(deng)等(deng)。這些雖(sui)然(ran)大(da)大(da)地豐富(fu)了陳(chen)子模(mo)型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理論內(nei)涵(han)，但同時(shi)也制造了蓋(gai)(gai)天說(shuo)系統內(nei)部(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一些無(wu)法完(wan)全自洽的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)矛盾，成(cheng)(cheng)為(wei)后世學者不斷批(pi)評(ping)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目(mu)標。這個部(bu)分的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)成(cheng)(cheng)，意味著(zhu)《周髀算經》作(zuo)為(wei)一部(bu)論述(shu)蓋(gai)(gai)天說(shuo)理論的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)專(zhuan)著(zhu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)完(wan)成(cheng)(cheng)。從(cong)《周髀算經》上卷之(zhi)三(san)開(kai)(kai)始(shi)，出現(xian)了大(da)量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“術曰(yue)”，這一點與(yu)商高問答及陳(chen)子問答的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)行(xing)文(wen)風(feng)格形(xing)(xing)成(cheng)(cheng)明顯的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)反(fan)差，從(cong)一個側面反(fan)映(ying)出其形(xing)(xing)成(cheng)(cheng)時(shi)期應(ying)該(gai)是比(bi)前(qian)兩個部(bu)分更加晚近的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)事實。

綜上所述，《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)第(di)一部分商高問答，曾經(jing)(jing)作(zuo)(zuo)為《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》獨立的(de)(de)本(ben)文，其完(wan)成(cheng)時(shi)間(jian)應該是(shi)在西周(zhou)初期，約公(gong)元(yuan)前(qian)(qian)11世紀。陳(chen)子問答中的(de)(de)數學理(li)論與(yu)(yu)(yu)(yu)宇宙模(mo)型(xing)完(wan)成(cheng)的(de)(de)時(shi)間(jian)，大(da)約在公(gong)元(yuan)前(qian)(qian)4、5世紀。作(zuo)(zuo)為一部闡(chan)釋蓋天(tian)說理(li)論的(de)(de)數理(li)天(tian)文學著(zhu)作(zuo)(zuo)，《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》從上卷之(zhi)三(san)(san)開(kai)始，是(shi)對陳(chen)子模(mo)型(xing)的(de)(de)完(wan)善(shan)和擴充，其中的(de)(de)一些基本(ben)數據與(yu)(yu)(yu)(yu)結(jie)構(gou)，如七衡(heng)圖與(yu)(yu)(yu)(yu)去極度等，應該是(shi)在陳(chen)子模(mo)型(xing)提(ti)出后就已(yi)經(jing)(jing)確定(ding)了(le)(le)的(de)(de)，但是(shi)，陳(chen)子假(jia)設的(de)(de)平(ping)(ping)行平(ping)(ping)面的(de)(de)天(tian)地模(mo)型(xing)，則得到了(le)(le)一定(ding)的(de)(de)修(xiu)正(zheng)，并且加入了(le)(le)一些新的(de)(de)東(dong)西，如寒暑成(cheng)因與(yu)(yu)(yu)(yu)歷法等內容(rong)，總(zong)而言(yan)之(zhi)，《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》第(di)三(san)(san)部分的(de)(de)成(cheng)型(xing)，按照錢寶琮與(yu)(yu)(yu)(yu)劉朝陽的(de)(de)考(kao)證，應該不(bu)會晚于公(gong)元(yuan)前(qian)(qian)100年。

質疑

根據《周髀算經》原文(wen)中(zhong)(zhong)的(de)(de)明確交待(dai)，以及在(zai)文(wen)獻中(zhong)(zhong)對幾(ji)個關鍵問題的(de)(de)詳細(xi)論證(zheng)，我們已經知道《周髀算經》中(zhong)(zhong)的(de)(de)蓋天(tian)宇宙(zhou)有如下特(te)征∶

一、大(da)地與(yu)天為(wei)相(xiang)距80,000里的平(ping)行(xing)圓形(xing)平(ping)面。

二、大地中央有高(gao)大柱形(xing)物（高(gao)60,000里的“璇璣”，其底面(mian)直(zhi)徑為23,000里）。

三、該宇宙(zhou)模型的(de)構造(zao)者(zhe)在(zai)圓形大地上為(wei)自己的(de)居息之處確定了位置(zhi)，并且這(zhe)位置(zhi)不在(zai)中央而是(shi)偏(pian)南。

四、大(da)地(di)中央的柱形延(yan)伸至天處(chu)為北極(ji)。

五(wu)、日月星辰在(zai)天(tian)上(shang)環繞北極(ji)作平面圓周運動。

六、太(tai)陽在這種圓周運動中(zhong)有著多重同心軌道，并且以半(ban)年為周期作規律性的(de)軌道遷移(一年往返(fan)一遍)。

七、太陽的上(shang)述(shu)運行模(mo)式可(ke)以(yi)在(zai)相(xiang)當(dang)程度上(shang)說明晝夜(ye)成(cheng)因(yin)和太陽周年視運動中(zhong)的一(yi)些天象。

令人極為驚訝(ya)的(de)是，筆者發現(xian)上述七項特征竟與古代(dai)印度(du)的(de)宇(yu)宙模型全都吻合(he)！這樣的(de)現(xian)象恐非偶然，值(zhi)得(de)加以注意和(he)研究。下(xia)面先(xian)報道筆者初步(bu)比較的(de)結果，更深入的(de)研究或(huo)當(dang)俟諸異(yi)日(ri)。

關(guan)于古(gu)(gu)代印度(du)宇宙模(mo)型的(de)(de)(de)記(ji)載，主(zhu)要保存在一些《往(wang)世(shi)書》（Puranas）中(zhong)。《往(wang)世(shi)書》是印度(du)教的(de)(de)(de)圣典，同時又是古(gu)(gu)代史(shi)籍，帶(dai)有百科全書性質。它們的(de)(de)(de)確切成(cheng)書年代難以(yi)判定，但其中(zhong)關(guan)于宇宙模(mo)式的(de)(de)(de)一套概(gai)念，學(xue)者(zhe)們相信可以(yi)追溯到吠陀時代----約公元前(qian)1000年之前(qian)，因而是非常古(gu)(gu)老的(de)(de)(de)。《往(wang)世(shi)書》中(zhong)的(de)(de)(de)宇宙模(mo)式可以(yi)概(gai)述如下:

大(da)地(di)象平(ping)底的圓盤，在大(da)地(di)中(zhong)央(yang)聳立(li)著巍峨的高山，名為迷(mi)盧(lu)(Meru，也(ye)即漢譯(yi)佛經中(zhong)的“須彌山”，或作Sumeru，譯(yi)成“蘇迷(mi)盧(lu)”)。迷(mi)盧(lu)山外圍繞(rao)著環形陸地(di)，此陸地(di)又為環形大(da)海(hai)所圍繞(rao)，……如此遞相環繞(rao)向(xiang)外延展，共(gong)有七圈大(da)陸和七圈海(hai)洋。

印(yin)度在迷盧(lu)山的南方。

與大地平(ping)行的天(tian)(tian)(tian)上有著一系列(lie)天(tian)(tian)(tian)輪(lun)，這(zhe)些天(tian)(tian)(tian)輪(lun)的共(gong)同軸心就是迷盧(lu)山(shan)；迷盧(lu)山(shan)的頂端就是北極(ji)星(xing)(Dhruva)所在之(zhi)處，諸天(tian)(tian)(tian)輪(lun)攜(xie)帶著各種(zhong)天(tian)(tian)(tian)體繞之(zhi)旋轉(zhuan)；這(zhe)些天(tian)(tian)(tian)體包括日(ri)、月、恒星(xing)、……以(yi)及(ji)五大行星(xing)----依次(ci)為水星(xing)、金星(xing)、火星(xing)、木星(xing)和土(tu)星(xing)。

利用迷盧山可以解釋黑夜與(yu)白晝的(de)交替。攜帶太陽的(de)天(tian)輪上有180條軌道，太陽每天(tian)遷移一軌，半(ban)年(nian)后反(fan)向重復，以此來(lai)描述日出方位角的(de)周年(nian)變(bian)化。……

又唐代(dai)釋道宣《釋迦方志》卷上也記(ji)述了(le)古代(dai)印(yin)度的宇宙(zhou)模(mo)型，細節上恰(qia)可(ke)與上述記(ji)載相互(hu)補充∶

……蘇(su)迷(mi)盧山(shan)，即經所謂須(xu)彌山(shan)也，在大海中，據(ju)金輪(lun)表，半出海上八萬(wan)由旬，日月(yue)回薄(bo)于其腰(yao)也。外(wai)有金山(shan)七(qi)重圍之，中各海水，具八功德。

根據這(zhe)些(xie)記載，古代印度(du)宇宙(zhou)模型與《周髀算經》蓋(gai)天宇宙(zhou)模型卻(que)是有驚人的相(xiang)似之處(chu)，在細節上幾乎處(chu)處(chu)吻合(he)∶

一、兩者的(de)(de)天、地都是(shi)圓形的(de)(de)平行平面；

二(er)、“璇(xuan)璣”和“迷盧山”同樣扮(ban)演了大(da)地中央的(de)“天柱”角色(se)；

三、周地(di)和印度都被置于各自(zi)宇(yu)宙中大地(di)的南半部分(fen)；

四、“璇(xuan)璣(ji)”和“迷盧上(shang)”的正上(shang)方都(dou)是各種天體旋轉的樞軸----北(bei)極；

五(wu)、日月星(xing)辰(chen)在天上(shang)環繞北極(ji)作平面圓周運(yun)動(dong)。

六(liu)、如果說印度迷盧(lu)山外的(de)(de)“七(qi)(qi)山七(qi)(qi)海”在數字上(shang)使人聯(lian)想到《周(zhou)髀算經》的(de)(de)“七(qi)(qi)衡六(liu)間(jian)”的(de)(de)話，那么(me)印度宇宙中太陽天輪(lun)的(de)(de)180條軌(gui)道無論(lun)從(cong)性質(zhi)還是功能來說都與(yu)七(qi)(qi)衡六(liu)間(jian)完(wan)全一致(太陽在七(qi)(qi)衡之間(jian)的(de)(de)往返也是每(mei)天連續移動的(de)(de))。

七、特別值得指出(chu)，《周(zhou)髀(bi)算經》中(zhong)天與地(di)的距離(li)是八(ba)萬里，而(er)迷盧山也是高出(chu)海上“八(ba)萬由旬”，其上即諸天輪(lun)所在，是其天地(di)距離(li)恰(qia)好同為八(ba)萬單(dan)位，難道純屬偶然?

在(zai)人類文(wen)明(ming)發(fa)展史上，文(wen)化的(de)(de)多元自(zi)發(fa)生成是(shi)(shi)完全(quan)可(ke)能的(de)(de)，因此許(xu)多不(bu)同(tong)文(wen)明(ming)中相(xiang)似之處，也可(ke)能是(shi)(shi)偶然(ran)巧(qiao)(qiao)合(he)。但是(shi)(shi)《周髀算經》的(de)(de)蓋天宇宙(zhou)模(mo)型與古代(dai)印度宇宙(zhou)模(mo)型之間的(de)(de)相(xiang)似程度實(shi)在(zai)太高----從整個格局到(dao)許(xu)多細節都一一吻合(he)，如(ru)果仍用“偶然(ran)巧(qiao)(qiao)合(he)”去解(jie)釋，無論(lun)如(ru)何總顯得過于勉強。

當然，如果我們就此(ci)立刻進入關于“誰源于誰”的考據(ju)之中(zhong)，那又將遠遠超出本文(wen)的范圍。

2寒(han)暑(shu)五(wu)帶的知識來(lai)自(zi)何(he)處?

《周髀(bi)算(suan)經》中有相當于現代人熟知的(de)(de)關于地球上寒暑五帶(dai)的(de)(de)知識。這(zhe)是一個(ge)非常令人驚異的(de)(de)現象----因為這(zhe)類(lei)知識是以往兩千年間，中國傳統天文學(xue)說中所(suo)沒有、而且(qie)不(bu)相信的(de)(de)。

這(zhe)些知(zhi)識在《周髀算經》中主要見于卷下第9節∶

極(ji)下不生萬物，何(he)以知之?……北極(ji)左右，夏有不釋之冰。

中衡(heng)去周七(qi)萬五(wu)千(qian)五(wu)百里。中衡(heng)左右(you)，冬有不(bu)死(si)(si)之草，夏長(chang)之類。此陽彰(zhang)陰微，故萬物不(bu)死(si)(si)，五(wu)谷一歲再熟。

凡北極(ji)之左右(you)，物有朝生暮(mu)獲，冬生之類。

這里需要先作(zuo)一些說(shuo)明∶

上引第二則中(zhong)，所謂“中(zhong)衡(heng)左右(you)”即(ji)趙爽注文(wen)中(zhong)所認(ren)為的“內衡(heng)之(zhi)外(wai)，外(wai)衡(heng)之(zhi)內”；這一區域正(zheng)好對應(ying)于(yu)地球寒暑(shu)五帶中(zhong)的熱帶(南緯(wei)23°30′至(zhi)北緯(wei)23°30′之(zhi)間)----盡管(guan)《周髀算經》中(zhong)并(bing)無(wu)地球的觀念。

上引(yin)第(di)三則(ze)中，說北極(ji)(ji)左右“物有朝生暮獲”，這就必須聯系到《周(zhou)(zhou)髀(bi)算經》蓋天宇(yu)宙(zhou)模(mo)型對于極(ji)(ji)晝、極(ji)(ji)夜現(xian)象的(de)(de)演繹和描述能力。據前所(suo)(suo)述，圓形(xing)大地中央的(de)(de)“璇璣”之底(di)面直徑為(wei)(wei)23,000里，則(ze)半(ban)徑為(wei)(wei)11,500里，而《周(zhou)(zhou)髀(bi)算經》所(suo)(suo)設(she)定的(de)(de)太陽光芒(mang)向(xiang)其四周(zhou)(zhou)照射的(de)(de)極(ji)(ji)限距離是(shi)167,000里；于是(shi)，由本(ben)文圖(tu)1清楚(chu)可見，每年從春分(fen)(fen)(fen)至秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)期(qi)間，在“璇璣”范圍內將出現(xian)極(ji)(ji)晝----晝夜始終在陽光之下(xia)；而從秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)到春分(fen)(fen)(fen)期(qi)間則(ze)出現(xian)極(ji)(ji)夜----陽光在此期(qi)間的(de)(de)任何時刻都照射不到“璇璣”范圍之內。這也就是(shi)趙爽注文中所(suo)(suo)說的(de)(de)“北極(ji)(ji)之下(xia)，從春分(fen)(fen)(fen)至秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)為(wei)(wei)晝，從秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)至春分(fen)(fen)(fen)為(wei)(wei)夜”，因為(wei)(wei)是(shi)以(yi)半(ban)年為(wei)(wei)晝、半(ban)年為(wei)(wei)夜。

《周(zhou)髀算(suan)經》中(zhong)上述關于寒暑五帶的知識(shi)，其準確性是沒有疑問的。然(ran)而(er)這些知識(shi)卻并不是以(yi)往兩(liang)千年間中(zhong)國傳統(tong)天文(wen)學中(zhong)的組成部分。對于這一(yi)現象，可以(yi)從(cong)幾方面來(lai)加以(yi)討論。

首先，為(wei)(wei)《周(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》作注的(de)(de)(de)(de)趙(zhao)爽(shuang)，竟然就表示不相信書(shu)中的(de)(de)(de)(de)這(zhe)(zhe)些(xie)知(zhi)(zhi)識。例(li)如對(dui)(dui)于(yu)北(bei)極附近“夏(xia)有不釋(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)冰”，趙(zhao)爽(shuang)注稱(cheng)∶“冰凍不解，是(shi)以推之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，夏(xia)至之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)日外衡之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)下(xia)為(wei)(wei)冬(dong)矣(yi)，萬物當死----此日遠近為(wei)(wei)冬(dong)夏(xia),非陰陽之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)氣，爽(shuang)或疑焉(yan)。”又如對(dui)(dui)于(yu)“冬(dong)有不死之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)草(cao)”、“陽彰陰微”、“五(wu)谷一歲再熟”的(de)(de)(de)(de)熱帶，趙(zhao)爽(shuang)表示“此欲以內衡之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)外、外衡之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)內，常(chang)為(wei)(wei)夏(xia)也(ye)。然其修廣，爽(shuang)未(wei)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)前聞”----他從(cong)未(wei)聽說(shuo)過。我(wo)們從(cong)趙(zhao)爽(shuang)為(wei)(wei)《周(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》全書(shu)所作的(de)(de)(de)(de)注釋(shi)來判斷(duan)，他毫無疑問是(shi)那個時(shi)代夠格(ge)的(de)(de)(de)(de)天(tian)文(wen)學(xue)家之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)一，為(wei)(wei)什么竟從(cong)未(wei)聽說(shuo)過這(zhe)(zhe)些(xie)寒暑五(wu)帶知(zhi)(zhi)識?比較合理的(de)(de)(de)(de)解釋(shi)似(si)乎只能是(shi)∶這(zhe)(zhe)些(xie)知(zhi)(zhi)識不是(shi)中國傳統天(tian)文(wen)學(xue)體系中的(de)(de)(de)(de)組(zu)成部(bu)分(fen)，所以對(dui)(dui)于(yu)當時(shi)大(da)部(bu)分(fen)中國天(tian)文(wen)學(xue)家來說(shuo)，這(zhe)(zhe)些(xie)知(zhi)(zhi)識是(shi)新奇的(de)(de)(de)(de)、與(yu)舊有知(zhi)(zhi)識背景(jing)格(ge)格(ge)不入(ru)的(de)(de)(de)(de)，因而(er)也(ye)是(shi)難以置信的(de)(de)(de)(de)。

其(qi)次，在(zai)(zai)古代中國居傳(chuan)(chuan)統地(di)位的(de)天文(wen)(wen)學(xue)說(shuo)----渾天說(shuo)中，由于沒(mei)有正確(que)的(de)地(di)球(qiu)概念，是不(bu)可能提(ti)出寒暑(shu)五(wu)帶之類的(de)問題來的(de)。因此直到(dao)(dao)明朝(chao)末年，來華(hua)的(de)耶穌(su)會傳(chuan)(chuan)教(jiao)士在(zai)(zai)他們的(de)中文(wen)(wen)著作中向中國讀者介(jie)紹寒暑(shu)五(wu)帶知(zhi)識時，仍(reng)被(bei)中國人(ren)(ren)(ren)目為未之前聞(wen)的(de)新奇學(xue)說(shuo)。正式這些耶穌(su)會傳(chuan)(chuan)教(jiao)士的(de)中文(wen)(wen)著作才(cai)使中國學(xue)者接受了地(di)球(qiu)寒暑(shu)五(wu)帶之說(shuo)。而當清朝(chao)初年“西學(xue)中源”說(shuo)甚囂塵上(shang)時，梅文(wen)(wen)鼎等人(ren)(ren)(ren)為寒暑(shu)五(wu)帶之說(shuo)尋找中國源頭(tou)，找到(dao)(dao)的(de)正是《周髀算(suan)經》----他們認為是《周髀算(suan)經》等中國學(xue)說(shuo)在(zai)(zai)上(shang)古時期傳(chuan)(chuan)入西方，才(cai)教(jiao)會了希(xi)臘人(ren)(ren)(ren)、羅馬人(ren)(ren)(ren)和(he)阿拉(la)伯(bo)人(ren)(ren)(ren)掌(zhang)握天文(wen)(wen)學(xue)知(zhi)識的(de)。

我們面臨一(yi)(yi)系(xi)列尖銳(rui)的(de)(de)(de)(de)問(wen)題∶既然(ran)在渾天(tian)學(xue)說(shuo)(shuo)中(zhong)因沒(mei)(mei)有地(di)球(qiu)概(gai)念而不(bu)可能(neng)提出寒(han)暑五帶(dai)的(de)(de)(de)(de)問(wen)題，那么《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》中(zhong)同(tong)樣沒(mei)(mei)有地(di)球(qiu)概(gai)念，何(he)以卻能(neng)記載這些(xie)(xie)知(zhi)識(shi)(shi)?如果說(shuo)(shuo)《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》的(de)(de)(de)(de)作者身處(chu)北溫帶(dai)之中(zhong)，只是根據越向北越冷、越往南越熱(re)(re)，就能(neng)推衍(yan)出北極“夏有不(bu)釋之冰(bing)”、熱(re)(re)帶(dai)“五谷一(yi)(yi)歲(sui)再熟(shu)”之類的(de)(de)(de)(de)現象，那渾天(tian)家何(he)以偏就不(bu)能(neng)?再說(shuo)(shuo)趙(zhao)爽為《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》作注(zhu)，他總該(gai)是接受蓋天(tian)學(xue)說(shuo)(shuo)之人，何(he)以連他都對這些(xie)(xie)知(zhi)識(shi)(shi)不(bu)能(neng)相信?這樣看來，有必要考慮這些(xie)(xie)知(zhi)識(shi)(shi)來自異域的(de)(de)(de)(de)可能(neng)性。

勾股定理

首先，《周髀(bi)算經》中明確記(ji)載了勾股定理的公式(shi)：“若(ruo)求邪至日(ri)者，以日(ri)下為勾，日(ri)高為股，勾股各自乘，并而(er)開方除之，得邪至日(ri)。”（《周髀(bi)算經》上(shang)卷(juan)二(er)）

而勾股定理的(de)證明呢，就(jiu)在《周髀(bi)算經》上(shang)卷一——

昔者(zhe)周(zhou)公問于(yu)商(shang)高曰(yue)：“竊聞乎大夫善(shan)數(shu)也，請(qing)(qing)問昔者(zhe)包犧立周(zhou)天歷(li)度——夫天可(ke)不(bu)階(jie)而升(sheng)，地不(bu)可(ke)得尺(chi)寸而度，請(qing)(qing)問數(shu)安從(cong)出？”

商高曰：“數之法出(chu)于圓方，圓出(chu)于方，方出(chu)于矩(ju)，矩(ju)出(chu)于九九八十一。故折(zhe)矩(ju)，以(yi)(yi)為(wei)勾廣(guang)三(san)，股(gu)修四，徑隅五。既(ji)方之，外(wai)半其(qi)一矩(ju)，環(huan)而共盤，得(de)成三(san)四五。兩(liang)矩(ju)共長二十有五，是謂積矩(ju)。故禹(yu)之所(suo)以(yi)(yi)治天(tian)下者，此(ci)數之所(suo)生也。”

周(zhou)公對古代伏羲（庖犧(xi)）構(gou)造(zao)周(zhou)天(tian)歷度的事(shi)跡感到不可(ke)思議(yi)（天(tian)不可(ke)階而(er)升(sheng)，地不可(ke)得尺寸而(er)度），就請教商高(gao)數(shu)(shu)學(xue)知(zhi)識從何而(er)來(lai)。于(yu)是商高(gao)以勾(gou)股定理的證明(ming)為(wei)例，解釋(shi)數(shu)(shu)學(xue)知(zhi)識的由來(lai)。“數(shu)(shu)之(zhi)法(fa)出(chu)(chu)于(yu)圓(yuan)(yuan)方(fang)，圓(yuan)(yuan)出(chu)(chu)于(yu)方(fang)，方(fang)出(chu)(chu)于(yu)矩，矩出(chu)(chu)于(yu)九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)八十一。”解釋(shi)發展(zhan)脈絡——數(shu)(shu)之(zhi)法(fa)出(chu)(chu)于(yu)圓(yuan)(yuan)（圓(yuan)(yuan)周(zhou)率三）方(fang)（四方(fang)），圓(yuan)(yuan)出(chu)(chu)于(yu)方(fang)（圓(yuan)(yuan)形面(mian)積=外接(jie)正方(fang)形面(mian)積*圓(yuan)(yuan)周(zhou)率/4），方(fang)出(chu)(chu)于(yu)矩（正方(fang)形源自兩邊(bian)相(xiang)等的矩），矩出(chu)(chu)于(yu)九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)八十一（長乘寬面(mian)積計算依自九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)乘法(fa)表）。

“故折矩①，以為勾廣三，股修四(si)，徑(jing)(jing)隅五。”開始做圖——選(xuan)擇一(yi)個勾三（圓周率三）、股四(si)（四(si)方）的矩，矩的兩條邊終(zhong)點的連線(xian)應為5（徑(jing)(jing)隅五）。

“②既方(fang)(fang)(fang)之(zhi)，外(wai)半(ban)(ban)其(qi)一矩，環而(er)共盤，得(de)成(cheng)三四(si)五(wu)。”這就是關鍵的(de)證明(ming)過程(cheng)——以矩的(de)兩(liang)條邊(bian)畫正方(fang)(fang)(fang)形(xing)（勾(gou)方(fang)(fang)(fang)、股方(fang)(fang)(fang)），根據矩的(de)弦外(wai)面再(zai)畫一個矩（曲尺，實(shi)際(ji)上用(yong)作直角(jiao)三角(jiao)形(xing)），將“外(wai)半(ban)(ban)其(qi)一矩”得(de)到的(de)三角(jiao)形(xing)剪(jian)下環繞復(fu)制(zhi)形(xing)成(cheng)一個大正方(fang)(fang)(fang)形(xing)，可看(kan)到其(qi)中有邊(bian)長三勾(gou)方(fang)(fang)(fang)、邊(bian)長四(si)股方(fang)(fang)(fang)、邊(bian)長五(wu)弦方(fang)(fang)(fang)三個正方(fang)(fang)(fang)形(xing)。

“兩矩共長(chang)③二(er)十有五(wu)，是謂積(ji)(ji)矩。”此為(wei)驗算——勾(gou)方(fang)、股方(fang)的(de)面(mian)積(ji)(ji)之(zhi)和(he)(he)，與弦(xian)方(fang)的(de)面(mian)積(ji)(ji)二(er)十五(wu)相等(deng)——從(cong)圖形(xing)(xing)上(shang)來看，大(da)正方(fang)形(xing)(xing)減去四個(ge)三(san)角形(xing)(xing)面(mian)積(ji)(ji)后(hou)為(wei)弦(xian)方(fang)，再是大(da)正方(fang)形(xing)(xing)減去右上(shang)、左下兩個(ge)長(chang)方(fang)形(xing)(xing)面(mian)積(ji)(ji)后(hou)為(wei)勾(gou)方(fang)股方(fang)之(zhi)和(he)(he)。因三(san)角形(xing)(xing)為(wei)長(chang)方(fang)形(xing)(xing)面(mian)積(ji)(ji)的(de)一半(ban)，可推出四個(ge)三(san)角形(xing)(xing)面(mian)積(ji)(ji)等(deng)于右上(shang)、左下兩個(ge)長(chang)方(fang)形(xing)(xing)面(mian)積(ji)(ji)，所以勾(gou)方(fang)+股方(fang)=弦(xian)方(fang)。

注意：①矩，又稱曲尺，L型(xing)的木匠工具，由長短兩根木條組成(cheng)的直角。古(gu)代“矩”指(zhi)L型(xing)曲尺，“矩形”才(cai)是“矩”衍生的長方形。

②“既(ji)(ji)方(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，外(wai)半(ban)(ban)其(qi)一(yi)(yi)矩”此句(ju)有爭議。清代四(si)庫全書版(ban)定為“既(ji)(ji)方(fang)其(qi)外(wai)半(ban)(ban)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)一(yi)(yi)矩”，而之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)前版(ban)本(ben)多為“既(ji)(ji)方(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)外(wai)半(ban)(ban)其(qi)一(yi)(yi)矩”。經陳良(liang)佐(zuo)、李國(guo)偉(wei)、李繼閔(min)、曲安京等學者研(yan)究，“既(ji)(ji)方(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，外(wai)半(ban)(ban)其(qi)一(yi)(yi)矩”更(geng)符合邏(luo)輯(ji)。

③長指的(de)是面(mian)積。古代(dai)對不同維度的(de)量綱(gang)比較，并沒有發(fa)明新(xin)的(de)術語(yu)，而(er)統稱(cheng)“長”。趙爽注(zhu)稱(cheng)：“兩(liang)矩(ju)者(zhe)，句股各(ge)自乘之實。共長者(zhe)，并實之數(shu)。

由(you)于年(nian)代久遠(yuan)，周(zhou)公弦圖(tu)失傳，傳世(shi)版(ban)本(ben)只印了(le)(le)趙(zhao)爽弦圖(tu)（造紙術(shu)在漢代才發明）。所(suo)以(yi)(yi)某(mou)些學者(zhe)誤(wu)以(yi)(yi)為(wei)(wei)商高(gao)沒有(you)證明（只是說了(le)(le)一段莫名其妙的話），后來趙(zhao)爽才給(gei)出證明。其實(shi)(shi)不然，摘錄(lu)趙(zhao)爽注釋《周(zhou)髀(bi)算經》時所(suo)做的《勾股(gu)圓(yuan)方圖(tu)》——“句(ju)股(gu)各自乘(cheng)(cheng)，并之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)弦實(shi)(shi)，開方除(chu)之(zhi)(zhi)(zhi)即弦。案：弦圖(tu)又可以(yi)(yi)句(ju)股(gu)相乘(cheng)(cheng)為(wei)(wei)朱實(shi)(shi)二，倍之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)朱實(shi)(shi)四，以(yi)(yi)句(ju)股(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)差自相乘(cheng)(cheng)為(wei)(wei)中黃實(shi)(shi)，加差實(shi)(shi)亦成弦實(shi)(shi)。