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基本介紹

《周(zhou)髀算經(jing)》原名《周(zhou)髀》，算經(jing)的十書之一，是中國(guo)最古老的天(tian)文學(xue)和數學(xue)著作(zuo)，約成書于公元前1世紀，主要(yao)闡明當時的蓋天(tian)說和四分歷法。唐初規定它(ta)為國(guo)子監(jian)明算科的教(jiao)材之一，故(gu)改名《周(zhou)髀算經(jing)》。

《周髀(bi)算經》在數學上(shang)的(de)主要成就是介紹了勾股(gu)(gu)定理(li)（據(ju)說原書沒有(you)對勾股(gu)(gu)定理(li)進(jin)行證(zheng)(zheng)明，其證(zheng)(zheng)明是三(san)國時東(dong)吳人(ren)趙爽在《周髀(bi)注(zhu)》一書的(de)《勾股(gu)(gu)圓方圖(tu)注(zhu)》中(zhong)給(gei)出的(de)）及其在測(ce)量(liang)上(shang)的(de)應用以及怎(zen)樣引(yin)用到天文計(ji)算。）

《周(zhou)髀算經》的(de)采用(yong)最簡便可行的(de)方法確定天(tian)文歷(li)法，揭示日月星(xing)辰的(de)運行規律，囊括四季更替，氣候變化，包涵南北(bei)有極，晝(zhou)夜相推的(de)道(dao)理。給后來者生活作(zuo)息(xi)提供有力的(de)保障(zhang)，自此以后歷(li)代(dai)數(shu)學家無不(bu)以《周(zhou)髀算經》為(wei)參考(kao)，在此基(ji)礎上不(bu)斷創新和(he)發(fa)展。

其他信息

年代

假設(she)我(wo)們把(ba)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)(suan)(suan)經(jing)》的(de)本文限定為(wei)商(shang)(shang)高與(yu)周(zhou)(zhou)公的(de)問答(da)，似乎其成書年(nian)代也(ye)就(jiu)不難斷(duan)(duan)(duan)定了(le)。可是，乾嘉以(yi)后(hou)，考據之學(xue)(xue)興起(qi)，疑古(gu)之風日盛，到(dao)了(le)現代，幾乎所有(you)的(de)中外學(xue)(xue)者都(dou)不得不接受這(zhe)樣的(de)推斷(duan)(duan)(duan)：不僅商(shang)(shang)高是后(hou)人(ren)(ren)假托(tuo)的(de)，甚至陳(chen)(chen)子也(ye)是后(hou)人(ren)(ren)虛構出來的(de)。于是，僅僅把(ba)商(shang)(shang)高問答(da)看作《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)(suan)(suan)經(jing)》本文就(jiu)不再有(you)任何意(yi)義(yi)了(le)。因此，許多學(xue)(xue)者都(dou)將陳(chen)(chen)子問答(da)以(yi)后(hou)的(de)文字作為(wei)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)(suan)(suan)經(jing)》全(quan)文的(de)一個部分(fen)，不再加以(yi)區(qu)分(fen)。此一來，人(ren)(ren)們開始根據《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)(suan)(suan)經(jing)》中的(de)內(nei)容推斷(duan)(duan)(duan)它的(de)成書年(nian)代。

通常的(de)(de)(de)方法可以分成兩類(lei)：天(tian)(tian)文學(xue)史專家，喜歡利(li)用現(xian)(xian)代天(tian)(tian)文學(xue)手段，根據《周髀(bi)算(suan)經(jing)》中(zhong)記錄的(de)(de)(de)一些特殊的(de)(de)(de)天(tian)(tian)文現(xian)(xian)象或數據，推算(suan)其應該出現(xian)(xian)的(de)(de)(de)年(nian)代，并以此來確定其成書時(shi)代。例(li)如(ru)，日本(ben)學(xue)者能田忠亮便(bian)以《周髀(bi)算(suan)經(jing)》中(zhong)的(de)(de)(de)北(bei)極(ji)星（北(bei)極(ji)璇璣）到(dao)北(bei)天(tian)(tian)極(ji)的(de)(de)(de)距離．歸算(suan)出其成書年(nian)代大約在(zai)公(gong)元前5到(dao)7世紀之間。

另一種方(fang)法則是(shi)根據《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》涉及的(de)(de)(de)(de)一些內容，與相(xiang)對而言年(nian)代(dai)比較明確的(de)(de)(de)(de)其(qi)(qi)他歷史典籍的(de)(de)(de)(de)比較，推斷(duan)其(qi)(qi)成(cheng)書年(nian)代(dai)。錢寶琮（1892年(nian)－1974年(nian)）在《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經考》中對《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)(de)年(nian)代(dai)做出如下(xia)的(de)(de)(de)(de)考證：第一，《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》主要分(fen)為兩個部分(fen)，前為商高(gao)(gao)問(wen)答(da)，后(hou)為陳子模型；第二(er)，由于懷(huai)疑商高(gao)(gao)是(shi)后(hou)人(ren)的(de)(de)(de)(de)偽托(tuo)，因(yin)此，認為陳子以(yi)下(xia)的(de)(de)(de)(de)文字才是(shi)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)(de)主體，通過與《淮南(nan)子·天文訓》的(de)(de)(de)(de)比較，從(cong)六(liu)個方(fang)面論(lun)述了(le)陳子以(yi)下(xia)的(de)(de)(de)(de)文字成(cheng)書在

公元(yuan)前(qian)100年左右；第三(san)，“周髀(bi)”的(de)(de)意思以陳(chen)子之(zhi)(zhi)說(shuo)為準(zhun)，同時也提到其他(ta)一些(xie)解釋；第四，比(bi)較24氣名(ming)目及次序(xu)與《三(san)統歷》之(zhi)(zhi)異(yi)同，提到趙爽注稱原節(jie)氣長度15日與《淮(huai)南子》的(de)(de)粗(cu)略記法類似(si)；第五，分數算法的(de)(de)繁復與《九章算術》類似(si)。他(ta)的(de)(de)結論是，《周髀(bi)算經(jing)》成(cheng)書(shu)在(zai)公元(yuan)前(qian)100年左右。在(zai)疑(yi)古(gu)思潮的(de)(de)影響下，還有(you)一種傾向也值得人們(men)的(de)(de)注意，那就是以《周髀(bi)算經(jing)》全書(shu)中所有(you)內(nei)容的(de)(de)下限(xian)來判(pan)定它的(de)(de)成(cheng)書(shu)年代，古(gu)克禮（C．Cullen）大(da)約可以算是這(zhe)個(ge)方面(mian)的(de)(de)一個(ge)代表。

古克禮認為(wei)(wei)以前(qian)的(de)(de)(de)學者大(da)多錯誤地企(qi)圖去(qu)發現《周髀(bi)算(suan)經》作為(wei)(wei)一(yi)個(ge)整體完(wan)成(cheng)的(de)(de)(de)年代，因此，它(ta)們的(de)(de)(de)結(jie)論是在一(yi)種假(jia)象的(de)(de)(de)幻覺中(zhong)獲得(de)的(de)(de)(de)。他認為(wei)(wei)，這部書是一(yi)些(xie)志同道合的(de)(de)(de)研究者分(fen)別撰述的(de)(de)(de)論文集。他的(de)(de)(de)做法是，首先，調查(cha)《周髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)內(nei)在結(jie)構，并(bing)將其(qi)(qi)劃(hua)分(fen)為(wei)(wei)不同的(de)(de)(de)章節(jie)(jie)，討論節(jie)(jie)與(yu)節(jie)(jie)之間的(de)(de)(de)關(guan)系；其(qi)(qi)次，討論與(yu)各(ge)節(jie)(jie)內(nei)容有關(guan)的(de)(de)(de)外(wai)部世界的(de)(de)(de)資(zi)料與(yu)活動(dong)；第三，探討可能(neng)產生與(yu)各(ge)節(jie)(jie)內(nei)容相關(guan)的(de)(de)(de)歷史(shi)環境。他將《周髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)整體編(bian)排打(da)亂，把它(ta)們劃(hua)分(fen)為(wei)(wei)外(wai)篇與(yu)內(nei)篇兩個(ge)部分(fen)。其(qi)(qi)中(zhong)內(nei)篇以陳子模型為(wei)(wei)主展開，取(qu)其(qi)(qi)下限在公元(yuan)1世紀。

在有關(guan)外部環境(jing)的(de)(de)討(tao)論(lun)中(zhong)，指出作(zuo)為(wei)皇家(jia)的(de)(de)藏書(shu)目錄(lu)，班固（32－92年）編寫的(de)(de)《漢書(shu)·藝文志》中(zhong)有《許商算(suan)(suan)術(shu)》與《杜忠算(suan)(suan)術(shu)》而無(wu)《周髀算(suan)(suan)經(jing)(jing)》；蓋天說在公(gong)元(yuan)l世(shi)紀已經(jing)(jing)為(wei)人(ren)所(suo)熟知，蔡邕在公(gong)元(yuan)180年已經(jing)(jing)明確將其(qi)列為(wei)中(zhong)圈(quan)古代的(de)(de)三家(jia)宇宙論(lun)之(zhi)一。結論(lun)是，由于(yu)(yu)受(shou)到了(le)渾天說的(de)(de)影響，《周髀算(suan)(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)成(cheng)書(shu)時間不(bu)(bu)可能早于(yu)(yu)公(gong)元(yuan)前l世(shi)紀，但也不(bu)(bu)會晚于(yu)(yu)公(gong)元(yuan)200年。筆(bi)者以為(wei)，判(pan)別中(zhong)國古代科(ke)學(xue)典(dian)籍的(de)(de)完成(cheng)年代，應該以書(shu)中(zhong)主要(yao)的(de)(de)科(ke)學(xue)思想或(huo)知識水平(ping)所(suo)反映的(de)(de)年代為(wei)判(pan)別標準，而不(bu)(bu)應以書(shu)中(zhong)夾雜(za)的(de)(de)若干后代摻(chan)入的(de)(de)只言片語作(zuo)為(wei)推斷(duan)的(de)(de)條件(jian)。由于(yu)(yu)早期(qi)的(de)(de)科(ke)學(xue)典(dian)籍通常都是人(ren)類知識逐漸積(ji)累的(de)(de)結晶(jing)，因此(ci)，搞(gao)清楚其(qi)中(zhong)科(ke)學(xue)思想的(de)(de)萌(meng)生(sheng)時期(qi)與流(liu)傳(chuan)脈絡(luo)，也許比單純判(pan)定它的(de)(de)成(cheng)書(shu)年代更有意(yi)義。

科學(xue)史已經(jing)(jing)(jing)反復(fu)地證明，今天(tian)看來是(shi)(shi)非常(chang)顯然的(de)(de)科學(xue)真理(li)，在人類認識(shi)它的(de)(de)初期(qi)往往經(jing)(jing)(jing)歷了(le)長期(qi)的(de)(de)懷疑，甚至抵制。例如，歲差現(xian)象在南(nan)北朝時(shi)期(qi)的(de)(de)存廢之(zhi)爭，就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)一(yi)個典型(xing)的(de)(de)事例。因此，試圖通過以《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)(jing)》中的(de)(de)內容的(de)(de)完整或正確性介(jie)于某兩個古(gu)代文獻之(zhi)間，就(jiu)(jiu)認定其(qi)(qi)成(cheng)書(shu)(shu)(shu)年代也(ye)必定介(jie)于兩者之(zhi)間的(de)(de)方(fang)法，是(shi)(shi)靠不(bu)(bu)住的(de)(de)。而利用一(yi)些(xie)重要數據的(de)(de)理(li)論推算來判定其(qi)(qi)成(cheng)書(shu)(shu)(shu)年代的(de)(de)方(fang)法，許多時(shi)候也(ye)是(shi)(shi)不(bu)(bu)太(tai)可行的(de)(de)。有關《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)(jing)》成(cheng)書(shu)(shu)(shu)年代的(de)(de)討論，馮禮貴曾經(jing)(jing)(jing)收(shou)集(ji)了(le)14種不(bu)(bu)同的(de)(de)觀點。盡管在《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)(jing)》成(cheng)書(shu)(shu)(shu)年代的(de)(de)判斷上有很(hen)大的(de)(de)區別，但幾乎所(suo)有的(de)(de)研究者都有一(yi)個共識(shi)，那就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)(jing)》并不(bu)(bu)是(shi)(shi)成(cheng)書(shu)(shu)(shu)于一(yi)人一(yi)時(shi)，它經(jing)(jing)(jing)過了(le)許多朝代的(de)(de)流傳進(jin)化才得(de)以完成(cheng)我(wo)們所(suo)看到的(de)(de)篇幅與結構。

章鴻釗曾經(jing)(jing)明(ming)確地將(jiang)(jiang)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)成(cheng)劃(hua)分(fen)(fen)為(wei)三個(ge)時(shi)期(qi)(qi)：第(di)一(yi)(yi)(yi)(yi)期(qi)(qi)，商(shang)高(gao)(gao)(gao)問(wen)答；第(di)二(er)期(qi)(qi)，陳子(zi)(zi)(zi)(zi)問(wen)答；第(di)三期(qi)(qi)，陳子(zi)(zi)(zi)(zi)以(yi)(yi)后的(de)(de)(de)(de)文(wen)字。這(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)劃(hua)分(fen)(fen)，是(shi)(shi)許多(duo)(duo)人都(dou)默認(ren)的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)事(shi)實(shi)。正(zheng)如陳方(fang)正(zheng)在(zai)總結前人對《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》成(cheng)書過程的(de)(de)(de)(de)討論時(shi)所說(shuo)(shuo)：《周(zhou)(zhou)髀》不但不是(shi)(shi)個(ge)人的(de)(de)(de)(de)著(zhu)作，甚至(zhi)也(ye)未(wei)必(bi)是(shi)(shi)單一(yi)(yi)(yi)(yi)性質的(de)(de)(de)(de)著(zhu)作，而可(ke)能是(shi)(shi)由多(duo)(duo)個(ge)在(zai)不同歷史(shi)時(shi)期(qi)(qi)出(chu)現，相關、相類(lei)但并不相同的(de)(de)(de)(de)學(xue)(xue)說(shuo)(shuo)、理(li)(li)論，逐漸累積而成(cheng)。因此，將(jiang)(jiang)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》單純(chun)(chun)視為(wei)表述蓋天說(shuo)(shuo)的(de)(de)(de)(de)自洽(qia)體系，而忽視它(ta)的(de)(de)(de)(de)層積性質，是(shi)(shi)不甚恰當的(de)(de)(de)(de)。筆者也(ye)贊同將(jiang)(jiang)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)成(cheng)劃(hua)分(fen)(fen)為(wei)三個(ge)時(shi)期(qi)(qi)。具體而言，上卷之(zhi)(zhi)一(yi)(yi)(yi)(yi)，商(shang)高(gao)(gao)(gao)與周(zhou)(zhou)公的(de)(de)(de)(de)問(wen)答，應(ying)(ying)該是(shi)(shi)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)原始(shi)文(wen)字，它(ta)反映了早期(qi)(qi)的(de)(de)(de)(de)以(yi)(yi)商(shang)高(gao)(gao)(gao)為(wei)代(dai)表的(de)(de)(de)(de)中(zhong)國古(gu)代(dai)數學(xue)(xue)家對數學(xue)(xue)以(yi)(yi)及數學(xue)(xue)之(zhi)(zhi)為(wei)用(yong)(yong)(yong)的(de)(de)(de)(de)認(ren)識。商(shang)高(gao)(gao)(gao)答周(zhou)(zhou)公問(wen)企(qi)圖說(shuo)(shuo)明(ming)的(de)(de)(de)(de)問(wen)題是(shi)(shi)解決(jue)幾何測量學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)數學(xue)(xue)方(fang)法(fa)，這(zhe)一(yi)(yi)(yi)(yi)點他做到(dao)了。這(zhe)個(ge)方(fang)法(fa)包含勾股定理(li)(li)與用(yong)(yong)(yong)矩之(zhi)(zhi)道。按(an)照商(shang)高(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)說(shuo)(shuo)法(fa)，這(zhe)些數學(xue)(xue)內容在(zai)大禹治水的(de)(de)(de)(de)時(shi)候已(yi)經(jing)(jing)具備，應(ying)(ying)該是(shi)(shi)可(ke)信的(de)(de)(de)(de)。第(di)二(er)個(ge)時(shi)期(qi)(qi)，陳子(zi)(zi)(zi)(zi)模型的(de)(de)(de)(de)提(ti)出(chu)，其內容為(wei)上卷之(zhi)(zhi)二(er)陳子(zi)(zi)(zi)(zi)與容方(fang)的(de)(de)(de)(de)問(wen)答，這(zhe)個(ge)部分(fen)(fen)大約在(zai)戰國時(shi)期(qi)(qi)已(yi)經(jing)(jing)形(xing)(xing)成(cheng)。這(zhe)個(ge)時(shi)期(qi)(qi)，陳子(zi)(zi)(zi)(zi)將(jiang)(jiang)商(shang)高(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)用(yong)(yong)(yong)矩之(zhi)(zhi)道進(jin)一(yi)(yi)(yi)(yi)步發展成(cheng)為(wei)測望日高(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)重差(cha)術。也(ye)是(shi)(shi)可(ke)以(yi)(yi)相信的(de)(de)(de)(de)。陳子(zi)(zi)(zi)(zi)問(wen)答中(zhong)試圖解決(jue)的(de)(de)(de)(de)問(wen)題是(shi)(shi)，利用(yong)(yong)(yong)影差(cha)原理(li)(li)與日高(gao)(gao)(gao)術，在(zai)商(shang)高(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)用(yong)(yong)(yong)矩之(zhi)(zhi)道的(de)(de)(de)(de)基(ji)礎上，進(jin)一(yi)(yi)(yi)(yi)步完(wan)善更加宏(hong)大的(de)(de)(de)(de)測天量地的(de)(de)(de)(de)理(li)(li)論與實(shi)踐。陳子(zi)(zi)(zi)(zi)模型的(de)(de)(de)(de)提(ti)出(chu)，事(shi)實(shi)上是(shi)(shi)在(zai)向著(zhu)這(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)目標邁出(chu)了關鍵的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)步：把商(shang)高(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)髀》轉(zhuan)(zhuan)化為(wei)蓋天說(shuo)(shuo)的(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)髀》，把一(yi)(yi)(yi)(yi)部比較(jiao)單純(chun)(chun)的(de)(de)(de)(de)數學(xue)(xue)著(zhu)作轉(zhuan)(zhuan)化為(wei)一(yi)(yi)(yi)(yi)部純(chun)(chun)粹的(de)(de)(de)(de)數理(li)(li)天文(wen)學(xue)(xue)論著(zhu)。

從(cong)上(shang)卷之三開始(shi)，是(shi)對蓋天(tian)(tian)說(shuo)理論的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)擴張與完善。首先是(shi)在陳(chen)子(zi)模(mo)(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)(ji)本假設下，建(jian)立七(qi)衡六間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)宇宙(zhou)模(mo)(mo)型，并以術文的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形式給(gei)(gei)出每日(ri)(ri)(ri)太陽運(yun)行(xing)軌道的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)計算方法，使七(qi)衡圖成(cheng)(cheng)為(wei)一(yi)(yi)(yi)個(ge)可以操作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)真正的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)活(huo)動(dong)式星盤。在此基(ji)(ji)礎上(shang)，進一(yi)(yi)(yi)步引入新(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)地(di)形狀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)模(mo)(mo)式，給(gei)(gei)出了地(di)理五帶的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃分(fen)、寒暑成(cheng)(cheng)因的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)解釋、日(ri)(ri)(ri)出日(ri)(ri)(ri)落的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)方位，并建(jian)立了蓋天(tian)(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)體(ti)測量學，引入了去極度的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概念(nian)，制(zhi)作(zuo)了比(bi)較完整的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《四分(fen)歷》等(deng)等(deng)。這些雖然大(da)大(da)地(di)豐富了陳(chen)子(zi)模(mo)(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理論內(nei)涵(han)，但(dan)同時(shi)(shi)也(ye)制(zhi)造(zao)了蓋天(tian)(tian)說(shuo)系統內(nei)部的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)些無(wu)法完全自(zi)洽的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)矛盾，成(cheng)(cheng)為(wei)后世學者不斷批評的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標。這個(ge)部分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)(cheng)，意味著《周髀(bi)算經》作(zuo)為(wei)一(yi)(yi)(yi)部論述(shu)蓋天(tian)(tian)說(shuo)理論的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)專著的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)完成(cheng)(cheng)。從(cong)《周髀(bi)算經》上(shang)卷之三開始(shi)，出現(xian)了大(da)量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“術曰(yue)”，這一(yi)(yi)(yi)點與商(shang)高問答(da)(da)及(ji)陳(chen)子(zi)問答(da)(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)行(xing)文風格(ge)形成(cheng)(cheng)明顯的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)反差(cha)，從(cong)一(yi)(yi)(yi)個(ge)側面反映(ying)出其(qi)形成(cheng)(cheng)時(shi)(shi)期應該(gai)是(shi)比(bi)前兩個(ge)部分(fen)更加(jia)晚近的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)事實。

綜上(shang)所(suo)述，《周(zhou)髀(bi)算經》的(de)(de)(de)第一(yi)部(bu)分(fen)商(shang)高(gao)問答(da)，曾經作為《周(zhou)髀(bi)算經》獨立的(de)(de)(de)本文(wen)(wen)，其(qi)完(wan)成(cheng)時(shi)間應(ying)(ying)該是在西(xi)周(zhou)初期，約公元(yuan)(yuan)前11世紀。陳子問答(da)中的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)理論與(yu)宇宙(zhou)模(mo)(mo)型完(wan)成(cheng)的(de)(de)(de)時(shi)間，大(da)約在公元(yuan)(yuan)前4、5世紀。作為一(yi)部(bu)闡釋蓋(gai)天說理論的(de)(de)(de)數(shu)理天文(wen)(wen)學(xue)著作，《周(zhou)髀(bi)算經》從上(shang)卷(juan)之三(san)開始，是對陳子模(mo)(mo)型的(de)(de)(de)完(wan)善(shan)和擴充，其(qi)中的(de)(de)(de)一(yi)些(xie)基本數(shu)據與(yu)結構(gou)，如七衡圖與(yu)去極度等，應(ying)(ying)該是在陳子模(mo)(mo)型提出后就(jiu)已(yi)經確定了(le)的(de)(de)(de)，但是，陳子假(jia)設的(de)(de)(de)平行平面的(de)(de)(de)天地(di)模(mo)(mo)型，則得(de)到了(le)一(yi)定的(de)(de)(de)修正，并且加(jia)入(ru)了(le)一(yi)些(xie)新的(de)(de)(de)東西(xi)，如寒暑成(cheng)因與(yu)歷法(fa)等內容，總而言之，《周(zhou)髀(bi)算經》第三(san)部(bu)分(fen)的(de)(de)(de)成(cheng)型，按照錢寶琮與(yu)劉朝陽的(de)(de)(de)考證，應(ying)(ying)該不會(hui)晚于公元(yuan)(yuan)前100年。

質疑

根據《周髀算(suan)經(jing)》原文中(zhong)(zhong)的明確交待(dai)，以及在文獻(xian)中(zhong)(zhong)對(dui)幾個關鍵問(wen)題的詳(xiang)細論證，我們已經(jing)知道(dao)《周髀算(suan)經(jing)》中(zhong)(zhong)的蓋(gai)天宇宙有如下特(te)征(zheng)∶

一(yi)、大地與天(tian)為相距80,000里的平行圓形平面。

二(er)、大地(di)中央有高(gao)大柱形物（高(gao)60,000里的“璇璣”，其底面直徑為23,000里）。

三、該宇宙模型的(de)構造者在(zai)圓形大地上為自己(ji)的(de)居息(xi)之(zhi)處確定了位置(zhi)(zhi)，并且這(zhe)位置(zhi)(zhi)不在(zai)中央而是偏南(nan)。

四、大地中央(yang)的柱形(xing)延伸(shen)至天處為北極(ji)。

五、日月星辰在天上環繞北極作平面圓(yuan)周運動。

六、太陽在這種圓周(zhou)(zhou)運動中有著多重同心(xin)軌道，并且以半年為周(zhou)(zhou)期(qi)作規律性(xing)的(de)軌道遷移(一(yi)年往(wang)返一(yi)遍)。

七(qi)、太(tai)陽的(de)上述(shu)運行模式(shi)可以在相當程度上說明晝夜成因和太(tai)陽周(zhou)年視(shi)運動中的(de)一些(xie)天象(xiang)。

令人(ren)極為驚訝(ya)的(de)是，筆(bi)者發現(xian)上述七(qi)項(xiang)特征竟與古代印(yin)度的(de)宇(yu)宙模型全都吻合！這樣的(de)現(xian)象恐非偶然，值得加以注(zhu)意和研(yan)究。下面(mian)先報道筆(bi)者初步(bu)比較的(de)結果(guo)，更(geng)深(shen)入(ru)的(de)研(yan)究或當俟諸異日。

關于古代(dai)(dai)印(yin)度(du)宇宙模型的(de)記載，主要保存在一(yi)些《往(wang)(wang)世(shi)書(shu)》（Puranas）中。《往(wang)(wang)世(shi)書(shu)》是(shi)(shi)印(yin)度(du)教的(de)圣典，同時(shi)又是(shi)(shi)古代(dai)(dai)史籍(ji)，帶有百科全書(shu)性質。它(ta)們的(de)確切成書(shu)年(nian)代(dai)(dai)難(nan)以(yi)判定(ding)，但其中關于宇宙模式的(de)一(yi)套概(gai)念，學者(zhe)們相信可以(yi)追溯到吠陀時(shi)代(dai)(dai)----約公元前1000年(nian)之前，因而是(shi)(shi)非常古老的(de)。《往(wang)(wang)世(shi)書(shu)》中的(de)宇宙模式可以(yi)概(gai)述如下:

大地(di)象平底(di)的圓(yuan)盤，在大地(di)中(zhong)央聳立著巍峨的高山，名為迷盧(Meru，也(ye)即漢(han)譯佛經中(zhong)的“須(xu)彌山”，或(huo)作Sumeru，譯成(cheng)“蘇迷盧”)。迷盧山外圍(wei)繞(rao)著環形陸地(di)，此陸地(di)又(you)為環形大海(hai)所圍(wei)繞(rao)，……如此遞相環繞(rao)向外延展，共有七(qi)圈大陸和七(qi)圈海(hai)洋。

印度在迷盧(lu)山的南方。

與大(da)地平行的(de)天(tian)(tian)上有著一系列天(tian)(tian)輪，這些(xie)天(tian)(tian)輪的(de)共同軸心(xin)就是迷盧(lu)山；迷盧(lu)山的(de)頂端就是北極星(xing)(xing)(xing)(Dhruva)所在之(zhi)(zhi)處，諸(zhu)天(tian)(tian)輪攜帶著各(ge)種(zhong)天(tian)(tian)體(ti)繞(rao)之(zhi)(zhi)旋轉(zhuan)；這些(xie)天(tian)(tian)體(ti)包(bao)括(kuo)日、月、恒星(xing)(xing)(xing)、……以(yi)及五大(da)行星(xing)(xing)(xing)----依次為水星(xing)(xing)(xing)、金星(xing)(xing)(xing)、火(huo)星(xing)(xing)(xing)、木星(xing)(xing)(xing)和土星(xing)(xing)(xing)。

利用迷盧山可以解(jie)釋黑夜與白(bai)晝的(de)交替。攜帶太陽(yang)的(de)天輪上(shang)有180條軌(gui)道，太陽(yang)每天遷移一軌(gui)，半(ban)年后反向重復，以此來描述日(ri)出方位角(jiao)的(de)周年變化。……

又唐代(dai)釋道宣《釋迦方(fang)志(zhi)》卷上(shang)也記(ji)述了古代(dai)印度的宇宙(zhou)模型，細節上(shang)恰可與上(shang)述記(ji)載相互補充∶

……蘇(su)迷盧山(shan)，即經所謂須(xu)彌山(shan)也，在大海(hai)中，據金(jin)輪表，半出海(hai)上(shang)八萬由(you)旬，日月回薄于(yu)其(qi)腰也。外有金(jin)山(shan)七重圍之，中各海(hai)水(shui)，具八功德。

根據這些(xie)記載，古(gu)代印度(du)宇宙模(mo)型與《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》蓋天宇宙模(mo)型卻是有(you)驚(jing)人(ren)的(de)相似之(zhi)處，在細節上幾乎處處吻合∶

一、兩(liang)者的(de)天(tian)、地都是圓形(xing)的(de)平行平面；

二、“璇璣”和“迷盧山”同樣(yang)扮(ban)演了大(da)地中央(yang)的“天柱”角色；

三、周地(di)和(he)印度都被置于各自宇(yu)宙中大地(di)的南(nan)半部分；

四、“璇璣”和(he)“迷盧(lu)上”的(de)正(zheng)上方(fang)都是各種天體(ti)旋轉的(de)樞軸----北(bei)極；

五(wu)、日月星辰在天上環繞北極作平面(mian)圓周(zhou)運動。

六、如果說印(yin)度迷盧山(shan)外的(de)“七山(shan)七海”在(zai)數字上使人聯想到《周髀算(suan)經》的(de)“七衡六間(jian)”的(de)話，那么印(yin)度宇(yu)宙中太(tai)陽天輪的(de)180條軌道無論從(cong)性(xing)質還(huan)是功能(neng)來說都與七衡六間(jian)完全(quan)一致(太(tai)陽在(zai)七衡之間(jian)的(de)往返(fan)也是每天連(lian)續移動的(de))。

七、特(te)別值得(de)指出，《周(zhou)髀算(suan)經》中天與地(di)(di)的距離(li)是八萬里，而迷(mi)盧山也(ye)是高出海上“八萬由旬”，其上即諸天輪所(suo)在(zai)，是其天地(di)(di)距離(li)恰好(hao)同為八萬單位，難道純屬偶然(ran)?

在(zai)人(ren)類文(wen)(wen)明發展(zhan)史上，文(wen)(wen)化的多(duo)元自(zi)發生成(cheng)是(shi)完全可能的，因此(ci)許(xu)多(duo)不(bu)同(tong)文(wen)(wen)明中(zhong)相(xiang)似之處，也可能是(shi)偶然巧合(he)(he)。但是(shi)《周髀算經》的蓋天宇宙模(mo)型(xing)與古代印度宇宙模(mo)型(xing)之間的相(xiang)似程度實在(zai)太高----從整個格局到許(xu)多(duo)細節都一一吻合(he)(he)，如果仍用“偶然巧合(he)(he)”去解釋(shi)，無論如何總顯得過于(yu)勉強。

當然，如(ru)果我們就此立刻(ke)進(jin)入關(guan)于“誰源于誰”的考(kao)據之(zhi)中，那又將遠遠超出本(ben)文的范圍。

2寒暑(shu)五帶的知識(shi)來自(zi)何處?

《周髀(bi)算經》中(zhong)有相(xiang)當(dang)于(yu)現代人(ren)(ren)熟知(zhi)(zhi)的關于(yu)地球上寒暑五帶的知(zhi)(zhi)識。這是一個非常令(ling)人(ren)(ren)驚異的現象----因(yin)為這類(lei)知(zhi)(zhi)識是以往(wang)兩(liang)千(qian)年(nian)間(jian)，中(zhong)國傳統天文學說中(zhong)所沒(mei)有、而且不相(xiang)信(xin)的。

這(zhe)些知識在《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》中主要(yao)見于卷下第(di)9節(jie)∶

極(ji)下不(bu)生萬物(wu)，何以知之?……北極(ji)左右，夏(xia)有不(bu)釋之冰。

中(zhong)衡去周(zhou)七萬五千五百里。中(zhong)衡左右，冬有不(bu)死之草，夏長之類。此(ci)陽(yang)彰陰(yin)微(wei)，故萬物不(bu)死，五谷(gu)一歲再熟。

凡(fan)北極之(zhi)左右(you)，物有朝生暮獲，冬生之(zhi)類。

這里需要先作一些說(shuo)明∶

上引第二則中(zhong)，所謂“中(zhong)衡(heng)(heng)左右”即趙爽注文中(zhong)所認為(wei)的“內(nei)衡(heng)(heng)之外，外衡(heng)(heng)之內(nei)”；這一區域(yu)正好對應于地(di)球(qiu)寒暑五帶中(zhong)的熱帶(南(nan)緯(wei)23°30′至北(bei)緯(wei)23°30′之間)----盡管《周髀算(suan)經》中(zhong)并無(wu)地(di)球(qiu)的觀念。

上引第(di)三則中(zhong)，說(shuo)北(bei)極(ji)左右“物(wu)有朝生暮獲”，這(zhe)就必須聯系到《周髀算(suan)(suan)經》蓋天宇宙模型對于極(ji)晝(zhou)、極(ji)夜(ye)(ye)(ye)現象的(de)(de)(de)(de)演繹和描述能(neng)力。據前所(suo)(suo)述，圓形大地中(zhong)央的(de)(de)(de)(de)“璇(xuan)璣”之底(di)面直徑為(wei)23,000里，則半徑為(wei)11,500里，而(er)《周髀算(suan)(suan)經》所(suo)(suo)設定的(de)(de)(de)(de)太(tai)陽光芒向其四周照射(she)的(de)(de)(de)(de)極(ji)限距離是(shi)167,000里；于是(shi)，由本文(wen)圖1清楚可見，每年從(cong)春分(fen)(fen)至秋(qiu)(qiu)分(fen)(fen)期間(jian)，在“璇(xuan)璣”范圍內(nei)將出現極(ji)晝(zhou)----晝(zhou)夜(ye)(ye)(ye)始終在陽光之下；而(er)從(cong)秋(qiu)(qiu)分(fen)(fen)到春分(fen)(fen)期間(jian)則出現極(ji)夜(ye)(ye)(ye)----陽光在此期間(jian)的(de)(de)(de)(de)任何時刻都照射(she)不(bu)到“璇(xuan)璣”范圍之內(nei)。這(zhe)也(ye)就是(shi)趙爽(shuang)注(zhu)文(wen)中(zhong)所(suo)(suo)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)“北(bei)極(ji)之下，從(cong)春分(fen)(fen)至秋(qiu)(qiu)分(fen)(fen)為(wei)晝(zhou)，從(cong)秋(qiu)(qiu)分(fen)(fen)至春分(fen)(fen)為(wei)夜(ye)(ye)(ye)”，因為(wei)是(shi)以半年為(wei)晝(zhou)、半年為(wei)夜(ye)(ye)(ye)。

《周髀算經》中上述關于寒暑五帶的知(zhi)(zhi)識，其準確性(xing)是沒(mei)有疑問的。然(ran)而(er)這些(xie)知(zhi)(zhi)識卻并不(bu)是以往兩千年間中國(guo)傳統天文(wen)學中的組成部分。對于這一現象，可以從幾方面(mian)來加以討論。

首先，為《周髀(bi)算經》作注的(de)(de)趙(zhao)爽(shuang)，竟然就(jiu)表(biao)示不(bu)(bu)(bu)相信書中的(de)(de)這些知(zhi)識(shi)。例如對于北極附近“夏(xia)有(you)不(bu)(bu)(bu)釋(shi)之(zhi)冰(bing)”，趙(zhao)爽(shuang)注稱∶“冰(bing)凍不(bu)(bu)(bu)解，是(shi)以推之(zhi)，夏(xia)至(zhi)之(zhi)日外(wai)衡(heng)之(zhi)下(xia)為冬矣，萬(wan)物當死(si)----此日遠(yuan)近為冬夏(xia),非陰陽(yang)之(zhi)氣，爽(shuang)或疑焉。”又如對于“冬有(you)不(bu)(bu)(bu)死(si)之(zhi)草”、“陽(yang)彰陰微”、“五谷一(yi)歲(sui)再熟”的(de)(de)熱帶(dai)，趙(zhao)爽(shuang)表(biao)示“此欲以內(nei)衡(heng)之(zhi)外(wai)、外(wai)衡(heng)之(zhi)內(nei)，常(chang)為夏(xia)也。然其修廣(guang)，爽(shuang)未之(zhi)前聞”----他從(cong)未聽說(shuo)過(guo)。我們從(cong)趙(zhao)爽(shuang)為《周髀(bi)算經》全(quan)書所作的(de)(de)注釋(shi)來判斷，他毫無疑問是(shi)那(nei)個時(shi)代(dai)夠格的(de)(de)天文學家(jia)之(zhi)一(yi)，為什么竟從(cong)未聽說(shuo)過(guo)這些寒暑(shu)五帶(dai)知(zhi)識(shi)?比較合理(li)的(de)(de)解釋(shi)似乎只能(neng)是(shi)∶這些知(zhi)識(shi)不(bu)(bu)(bu)是(shi)中國傳統天文學體系中的(de)(de)組成部(bu)分，所以對于當時(shi)大部(bu)分中國天文學家(jia)來說(shuo)，這些知(zhi)識(shi)是(shi)新(xin)奇的(de)(de)、與舊有(you)知(zhi)識(shi)背景格格不(bu)(bu)(bu)入的(de)(de)，因(yin)而也是(shi)難以置信的(de)(de)。

其次，在古代中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國(guo)居(ju)傳(chuan)統地(di)(di)位的(de)(de)天文(wen)(wen)學(xue)說(shuo)(shuo)----渾天說(shuo)(shuo)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)，由于沒(mei)有(you)正確的(de)(de)地(di)(di)球概念(nian)，是(shi)不(bu)可能提出寒(han)暑(shu)五(wu)(wu)帶(dai)之(zhi)類(lei)的(de)(de)問題來的(de)(de)。因此直到(dao)明朝末年，來華的(de)(de)耶穌(su)會(hui)(hui)(hui)傳(chuan)教士在他(ta)們的(de)(de)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)文(wen)(wen)著作中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)向中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國(guo)讀者介紹寒(han)暑(shu)五(wu)(wu)帶(dai)知識時(shi)，仍被中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國(guo)人目為(wei)未(wei)之(zhi)前聞(wen)的(de)(de)新奇學(xue)說(shuo)(shuo)。正式這些耶穌(su)會(hui)(hui)(hui)傳(chuan)教士的(de)(de)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)文(wen)(wen)著作才使中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國(guo)學(xue)者接(jie)受(shou)了(le)地(di)(di)球寒(han)暑(shu)五(wu)(wu)帶(dai)之(zhi)說(shuo)(shuo)。而(er)當清朝初年“西學(xue)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)源”說(shuo)(shuo)甚囂(xiao)塵上時(shi)，梅(mei)文(wen)(wen)鼎(ding)等人為(wei)寒(han)暑(shu)五(wu)(wu)帶(dai)之(zhi)說(shuo)(shuo)尋找中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國(guo)源頭，找到(dao)的(de)(de)正是(shi)《周(zhou)髀算經(jing)》----他(ta)們認(ren)為(wei)是(shi)《周(zhou)髀算經(jing)》等中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國(guo)學(xue)說(shuo)(shuo)在上古時(shi)期傳(chuan)入西方，才教會(hui)(hui)(hui)了(le)希臘人、羅(luo)馬(ma)人和阿拉伯人掌握天文(wen)(wen)學(xue)知識的(de)(de)。

我(wo)們面臨一(yi)系列尖銳的(de)問題∶既然在渾(hun)天(tian)學說中(zhong)因沒有地(di)球概念而不(bu)可能(neng)提出寒暑五(wu)帶(dai)的(de)問題，那么《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》中(zhong)同樣沒有地(di)球概念，何(he)以卻(que)能(neng)記(ji)載這些(xie)知識(shi)(shi)?如(ru)果說《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》的(de)作者身處北(bei)溫帶(dai)之(zhi)中(zhong)，只是(shi)根(gen)據越(yue)(yue)向北(bei)越(yue)(yue)冷(leng)、越(yue)(yue)往南越(yue)(yue)熱(re)，就能(neng)推衍出北(bei)極“夏有不(bu)釋之(zhi)冰(bing)”、熱(re)帶(dai)“五(wu)谷一(yi)歲再(zai)熟”之(zhi)類的(de)現象，那渾(hun)天(tian)家何(he)以偏就不(bu)能(neng)?再(zai)說趙爽(shuang)為《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》作注，他總該是(shi)接受(shou)蓋(gai)天(tian)學說之(zhi)人，何(he)以連(lian)他都(dou)對(dui)這些(xie)知識(shi)(shi)不(bu)能(neng)相(xiang)信?這樣看(kan)來，有必要考慮這些(xie)知識(shi)(shi)來自異域的(de)可能(neng)性。

勾股定理

首先，《周(zhou)髀算經》中明確記(ji)載(zai)了(le)勾股(gu)(gu)定理的公式：“若求邪至日(ri)(ri)者，以日(ri)(ri)下為勾，日(ri)(ri)高為股(gu)(gu)，勾股(gu)(gu)各自乘(cheng)，并而開方除之，得(de)邪至日(ri)(ri)。”（《周(zhou)髀算經》上卷(juan)二）

而(er)勾股定理的證明呢，就在《周(zhou)髀算經》上卷一——

昔者周公問于商(shang)高曰：“竊聞乎(hu)大夫善(shan)數(shu)也(ye)，請問昔者包犧立周天(tian)歷度——夫天(tian)可不(bu)階(jie)而升，地不(bu)可得尺寸而度，請問數(shu)安從出？”

商高曰：“數之法出(chu)于(yu)(yu)圓(yuan)方(fang)(fang)，圓(yuan)出(chu)于(yu)(yu)方(fang)(fang)，方(fang)(fang)出(chu)于(yu)(yu)矩，矩出(chu)于(yu)(yu)九九八十一。故(gu)折(zhe)矩，以為勾(gou)廣三(san)，股修四，徑隅五。既方(fang)(fang)之，外(wai)半其一矩，環而(er)共(gong)盤，得成三(san)四五。兩矩共(gong)長二十有五，是謂積矩。故(gu)禹之所以治(zhi)天下(xia)者，此數之所生也。”

周公對(dui)古代(dai)伏羲（庖犧）構造周天歷(li)度(du)的事跡感到不可思議（天不可階而升，地不可得尺寸而度(du)），就請教商高數(shu)(shu)學(xue)知識從(cong)何而來。于(yu)(yu)(yu)是商高以(yi)勾股定(ding)理的證明為例，解釋數(shu)(shu)學(xue)知識的由來。“數(shu)(shu)之(zhi)(zhi)法出(chu)于(yu)(yu)(yu)圓(yuan)方(fang)，圓(yuan)出(chu)于(yu)(yu)(yu)方(fang)，方(fang)出(chu)于(yu)(yu)(yu)矩(ju)，矩(ju)出(chu)于(yu)(yu)(yu)九(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)八十(shi)(shi)一。”解釋發展脈絡——數(shu)(shu)之(zhi)(zhi)法出(chu)于(yu)(yu)(yu)圓(yuan)（圓(yuan)周率三）方(fang)（四方(fang)），圓(yuan)出(chu)于(yu)(yu)(yu)方(fang)（圓(yuan)形面(mian)(mian)積=外(wai)接正方(fang)形面(mian)(mian)積*圓(yuan)周率/4），方(fang)出(chu)于(yu)(yu)(yu)矩(ju)（正方(fang)形源自(zi)兩邊相等的矩(ju)），矩(ju)出(chu)于(yu)(yu)(yu)九(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)八十(shi)(shi)一（長乘寬面(mian)(mian)積計算依自(zi)九(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)乘法表）。

“故折(zhe)矩(ju)①，以為(wei)勾廣三(san)，股修四(si)，徑(jing)隅(yu)五(wu)。”開始(shi)做圖——選擇(ze)一個勾三(san)（圓周率三(san)）、股四(si)（四(si)方）的(de)矩(ju)，矩(ju)的(de)兩條邊終(zhong)點的(de)連線(xian)應(ying)為(wei)5（徑(jing)隅(yu)五(wu)）。

“②既方(fang)(fang)之，外(wai)半其(qi)一(yi)矩(ju)，環而共盤，得成(cheng)三四五。”這就是關(guan)鍵的(de)證明(ming)過(guo)程——以矩(ju)的(de)兩(liang)條邊畫正方(fang)(fang)形(xing)（勾方(fang)(fang)、股(gu)方(fang)(fang)），根據矩(ju)的(de)弦外(wai)面再(zai)畫一(yi)個矩(ju)（曲(qu)尺(chi)，實(shi)際上用作直角(jiao)三角(jiao)形(xing)），將(jiang)“外(wai)半其(qi)一(yi)矩(ju)”得到的(de)三角(jiao)形(xing)剪下環繞(rao)復制形(xing)成(cheng)一(yi)個大正方(fang)(fang)形(xing)，可(ke)看到其(qi)中有邊長(chang)三勾方(fang)(fang)、邊長(chang)四股(gu)方(fang)(fang)、邊長(chang)五弦方(fang)(fang)三個正方(fang)(fang)形(xing)。

“兩矩共長③二(er)十有(you)五，是(shi)(shi)謂積(ji)(ji)(ji)矩。”此(ci)為(wei)驗算——勾方(fang)(fang)、股(gu)方(fang)(fang)的面(mian)積(ji)(ji)(ji)之(zhi)和，與弦(xian)(xian)方(fang)(fang)的面(mian)積(ji)(ji)(ji)二(er)十五相等——從圖形(xing)上來看，大(da)正(zheng)(zheng)方(fang)(fang)形(xing)減(jian)去四(si)個(ge)三角(jiao)形(xing)面(mian)積(ji)(ji)(ji)后為(wei)弦(xian)(xian)方(fang)(fang)，再是(shi)(shi)大(da)正(zheng)(zheng)方(fang)(fang)形(xing)減(jian)去右上、左(zuo)下(xia)兩個(ge)長方(fang)(fang)形(xing)面(mian)積(ji)(ji)(ji)后為(wei)勾方(fang)(fang)股(gu)方(fang)(fang)之(zhi)和。因三角(jiao)形(xing)為(wei)長方(fang)(fang)形(xing)面(mian)積(ji)(ji)(ji)的一半，可推(tui)出四(si)個(ge)三角(jiao)形(xing)面(mian)積(ji)(ji)(ji)等于(yu)右上、左(zuo)下(xia)兩個(ge)長方(fang)(fang)形(xing)面(mian)積(ji)(ji)(ji)，所以勾方(fang)(fang)+股(gu)方(fang)(fang)=弦(xian)(xian)方(fang)(fang)。

注意(yi)：①矩(ju)，又(you)稱曲(qu)尺(chi)，L型的(de)木匠工具，由長(chang)短(duan)兩根(gen)木條組成(cheng)的(de)直角。古代“矩(ju)”指L型曲(qu)尺(chi)，“矩(ju)形”才是(shi)“矩(ju)”衍生的(de)長(chang)方形。

②“既(ji)方之，外(wai)(wai)(wai)半(ban)其(qi)一矩(ju)”此(ci)句有爭(zheng)議。清代(dai)四庫全書版(ban)定(ding)為(wei)“既(ji)方其(qi)外(wai)(wai)(wai)半(ban)之一矩(ju)”，而之前版(ban)本多(duo)為(wei)“既(ji)方之外(wai)(wai)(wai)半(ban)其(qi)一矩(ju)”。經陳(chen)良佐(zuo)、李國偉、李繼閔、曲安京等學(xue)者研究，“既(ji)方之，外(wai)(wai)(wai)半(ban)其(qi)一矩(ju)”更符合邏輯。

③長指的(de)(de)是(shi)面(mian)積。古代對不(bu)同維度的(de)(de)量綱比(bi)較，并(bing)沒有(you)發明新的(de)(de)術語，而(er)統(tong)稱(cheng)(cheng)“長”。趙(zhao)爽注稱(cheng)(cheng)：“兩矩者，句股各自乘之實。共長者，并(bing)實之數。

由于年代久遠，周公弦(xian)(xian)(xian)圖(tu)失傳，傳世(shi)版(ban)本只(zhi)印了(le)趙(zhao)爽(shuang)弦(xian)(xian)(xian)圖(tu)（造紙(zhi)術在漢代才(cai)發(fa)明）。所以(yi)某些(xie)學者誤以(yi)為(wei)(wei)商高(gao)沒(mei)有證(zheng)(zheng)明（只(zhi)是說了(le)一段莫名其妙的話），后來(lai)趙(zhao)爽(shuang)才(cai)給出證(zheng)(zheng)明。其實(shi)不然(ran)，摘錄(lu)趙(zhao)爽(shuang)注(zhu)釋《周髀算經》時(shi)所做的《勾股圓方圖(tu)》——“句(ju)(ju)股各自(zi)(zi)乘，并之(zhi)為(wei)(wei)弦(xian)(xian)(xian)實(shi)，開方除之(zhi)即弦(xian)(xian)(xian)。案：弦(xian)(xian)(xian)圖(tu)又可以(yi)句(ju)(ju)股相(xiang)乘為(wei)(wei)朱(zhu)(zhu)實(shi)二，倍(bei)之(zhi)為(wei)(wei)朱(zhu)(zhu)實(shi)四，以(yi)句(ju)(ju)股之(zhi)差自(zi)(zi)相(xiang)乘為(wei)(wei)中(zhong)黃實(shi)，加差實(shi)亦成弦(xian)(xian)(xian)實(shi)。