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基本介紹

《周髀(bi)算經》原名《周髀(bi)》，算經的十(shi)書之一，是中國(guo)最古(gu)老的天文(wen)學(xue)和(he)數學(xue)著作，約成書于公元(yuan)前1世紀，主(zhu)要闡(chan)明(ming)當(dang)時的蓋天說和(he)四分歷法。唐初規定它為國(guo)子監明(ming)算科的教材之一，故改(gai)名《周髀(bi)算經》。

《周髀算(suan)經》在(zai)數學上(shang)的(de)主要成就是介紹(shao)了勾股(gu)定理(li)（據說原(yuan)書沒有對(dui)勾股(gu)定理(li)進行證明，其證明是三(san)國時東(dong)吳(wu)人趙爽在(zai)《周髀注》一書的(de)《勾股(gu)圓(yuan)方圖注》中給出的(de)）及其在(zai)測量上(shang)的(de)應用以及怎樣(yang)引用到(dao)天文計算(suan)。）

《周髀算(suan)(suan)經》的(de)(de)(de)采用最簡便可(ke)行(xing)的(de)(de)(de)方法(fa)確定天文歷法(fa)，揭(jie)示(shi)日月(yue)星辰的(de)(de)(de)運(yun)行(xing)規律，囊括四(si)季(ji)更替(ti)，氣候變化，包涵南北有極，晝夜相推的(de)(de)(de)道理。給后來(lai)者生活作(zuo)息提供(gong)有力的(de)(de)(de)保障，自(zi)此(ci)以(yi)后歷代數(shu)學家無不以(yi)《周髀算(suan)(suan)經》為參(can)考，在此(ci)基礎上不斷創新和發展。

其他信息

年代

假設我們把(ba)《周髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經》的本(ben)文(wen)限定(ding)為商高與周公的問答，似乎(hu)其成(cheng)書年代(dai)也(ye)就不(bu)(bu)難斷定(ding)了(le)。可是，乾(qian)嘉(jia)以后，考據之(zhi)學興起，疑古(gu)之(zhi)風(feng)日盛，到了(le)現代(dai)，幾(ji)乎(hu)所有的中(zhong)外學者都不(bu)(bu)得不(bu)(bu)接(jie)受這樣的推斷：不(bu)(bu)僅商高是后人假托(tuo)的，甚至(zhi)陳(chen)子也(ye)是后人虛構出來的。于是，僅僅把(ba)商高問答看作《周髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經》本(ben)文(wen)就不(bu)(bu)再有任(ren)何意義了(le)。因此，許多學者都將(jiang)陳(chen)子問答以后的文(wen)字作為《周髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經》全文(wen)的一(yi)個部分，不(bu)(bu)再加以區分。此一(yi)來，人們開(kai)始(shi)根據《周髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經》中(zhong)的內容(rong)推斷它的成(cheng)書年代(dai)。

通常的(de)方法可以分成兩類(lei)：天文(wen)學史專家(jia)，喜歡(huan)利用現代天文(wen)學手段，根據(ju)《周髀算經(jing)》中記錄的(de)一(yi)些(xie)特殊的(de)天文(wen)現象(xiang)或(huo)數據(ju)，推算其應該出(chu)現的(de)年代，并以此來確定其成書時代。例如，日(ri)本學者能田(tian)忠亮便以《周髀算經(jing)》中的(de)北極(ji)星(xing)（北極(ji)璇璣(ji)）到(dao)北天極(ji)的(de)距(ju)離．歸算出(chu)其成書年代大(da)約在公元前5到(dao)7世(shi)紀之(zhi)間(jian)。

另一(yi)種方法則是根據《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)》涉及的(de)(de)一(yi)些(xie)內容，與(yu)相對而言年(nian)代比較(jiao)明確的(de)(de)其他歷史(shi)典(dian)籍的(de)(de)比較(jiao)，推斷其成書年(nian)代。錢寶琮（1892年(nian)－1974年(nian)）在《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)考(kao)》中對《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)》的(de)(de)年(nian)代做(zuo)出如下(xia)的(de)(de)考(kao)證：第一(yi)，《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)》主(zhu)要(yao)分為兩個(ge)部分，前為商高問答，后為陳子模型；第二，由于懷疑(yi)商高是后人的(de)(de)偽托，因此，認為陳子以下(xia)的(de)(de)文(wen)字才(cai)是《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)》的(de)(de)主(zhu)體，通過與(yu)《淮(huai)南子·天文(wen)訓》的(de)(de)比較(jiao)，從六個(ge)方面論述了陳子以下(xia)的(de)(de)文(wen)字成書在

公元前100年左右；第(di)三，“周(zhou)(zhou)髀(bi)”的(de)(de)(de)意(yi)(yi)思以(yi)(yi)陳子(zi)之說(shuo)為準，同(tong)時也(ye)提到其他一些解釋；第(di)四，比較24氣(qi)名(ming)目及次序與(yu)《三統歷(li)》之異同(tong)，提到趙(zhao)爽注稱原節氣(qi)長度15日與(yu)《淮南(nan)子(zi)》的(de)(de)(de)粗略記法(fa)類(lei)(lei)似(si)；第(di)五，分數算法(fa)的(de)(de)(de)繁復與(yu)《九章算術》類(lei)(lei)似(si)。他的(de)(de)(de)結論是，《周(zhou)(zhou)髀(bi)算經》成(cheng)書在(zai)公元前100年左右。在(zai)疑(yi)古思潮的(de)(de)(de)影響(xiang)下，還(huan)有一種傾向也(ye)值得人(ren)們的(de)(de)(de)注意(yi)(yi)，那就是以(yi)(yi)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算經》全書中所有內(nei)容的(de)(de)(de)下限來(lai)判定它(ta)的(de)(de)(de)成(cheng)書年代，古克(ke)禮(li)（C．Cullen）大(da)約可(ke)以(yi)(yi)算是這個(ge)(ge)方面的(de)(de)(de)一個(ge)(ge)代表。

古克禮(li)認為(wei)以(yi)前的(de)(de)(de)(de)學者大多(duo)錯(cuo)誤地企圖去(qu)發(fa)現《周(zhou)(zhou)髀算經(jing)(jing)》作為(wei)一個(ge)整(zheng)體完成的(de)(de)(de)(de)年代，因(yin)此，它們的(de)(de)(de)(de)結論是(shi)在(zai)(zai)一種假(jia)象(xiang)的(de)(de)(de)(de)幻(huan)覺(jue)中獲得的(de)(de)(de)(de)。他(ta)(ta)認為(wei)，這部(bu)書(shu)是(shi)一些志(zhi)同(tong)道合的(de)(de)(de)(de)研究者分別撰述(shu)的(de)(de)(de)(de)論文(wen)集。他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)做(zuo)法是(shi)，首先，調查《周(zhou)(zhou)髀算經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)內(nei)在(zai)(zai)結構，并將(jiang)其(qi)劃分為(wei)不同(tong)的(de)(de)(de)(de)章節(jie)(jie)，討論節(jie)(jie)與節(jie)(jie)之間的(de)(de)(de)(de)關系；其(qi)次，討論與各節(jie)(jie)內(nei)容(rong)有(you)關的(de)(de)(de)(de)外部(bu)世界(jie)的(de)(de)(de)(de)資料(liao)與活動；第三(san)，探討可能產(chan)生與各節(jie)(jie)內(nei)容(rong)相關的(de)(de)(de)(de)歷史(shi)環境。他(ta)(ta)將(jiang)《周(zhou)(zhou)髀算經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)整(zheng)體編(bian)排打亂，把它們劃分為(wei)外篇(pian)與內(nei)篇(pian)兩個(ge)部(bu)分。其(qi)中內(nei)篇(pian)以(yi)陳(chen)子模型為(wei)主展開，取其(qi)下限在(zai)(zai)公元1世紀(ji)。

在有關(guan)外部環境的(de)(de)(de)(de)(de)討論(lun)中(zhong)，指出作為(wei)(wei)皇(huang)家(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)藏書(shu)(shu)目錄，班固（32－92年(nian)(nian)(nian)(nian)）編寫的(de)(de)(de)(de)(de)《漢書(shu)(shu)·藝文志》中(zhong)有《許商(shang)算(suan)術》與(yu)《杜忠算(suan)術》而無《周(zhou)髀算(suan)經(jing)》；蓋(gai)天(tian)說(shuo)在公元(yuan)l世紀已經(jing)為(wei)(wei)人所(suo)熟知(zhi)，蔡邕(yong)在公元(yuan)180年(nian)(nian)(nian)(nian)已經(jing)明確將(jiang)其列為(wei)(wei)中(zhong)圈古代(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)三家(jia)宇宙(zhou)論(lun)之一。結論(lun)是，由(you)(you)于受到了渾天(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)影響(xiang)，《周(zhou)髀算(suan)經(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)成書(shu)(shu)時間不可(ke)能早(zao)于公元(yuan)前l世紀，但也不會晚于公元(yuan)200年(nian)(nian)(nian)(nian)。筆者以為(wei)(wei)，判別中(zhong)國古代(dai)科(ke)(ke)(ke)學(xue)典(dian)籍(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)完成年(nian)(nian)(nian)(nian)代(dai)，應(ying)該以書(shu)(shu)中(zhong)主要的(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)(ke)(ke)學(xue)思想或知(zhi)識水平所(suo)反映(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)年(nian)(nian)(nian)(nian)代(dai)為(wei)(wei)判別標準，而不應(ying)以書(shu)(shu)中(zhong)夾雜的(de)(de)(de)(de)(de)若干后代(dai)摻入的(de)(de)(de)(de)(de)只言片語(yu)作為(wei)(wei)推(tui)斷(duan)的(de)(de)(de)(de)(de)條件。由(you)(you)于早(zao)期的(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)(ke)(ke)學(xue)典(dian)籍(ji)通常都是人類知(zhi)識逐漸(jian)積累的(de)(de)(de)(de)(de)結晶，因此，搞清(qing)楚其中(zhong)科(ke)(ke)(ke)學(xue)思想的(de)(de)(de)(de)(de)萌生(sheng)時期與(yu)流傳脈(mo)絡(luo)，也許比單純判定它的(de)(de)(de)(de)(de)成書(shu)(shu)年(nian)(nian)(nian)(nian)代(dai)更有意義(yi)。

科(ke)學史已(yi)經(jing)(jing)反復地證明，今天看來(lai)是(shi)(shi)非常顯然(ran)的(de)(de)(de)(de)科(ke)學真(zhen)理，在(zai)人類認識它的(de)(de)(de)(de)初期(qi)往(wang)往(wang)經(jing)(jing)歷了長期(qi)的(de)(de)(de)(de)懷疑，甚至抵制。例如(ru)，歲差現(xian)象在(zai)南北朝時期(qi)的(de)(de)(de)(de)存(cun)廢之爭(zheng)，就是(shi)(shi)一(yi)(yi)個(ge)典型的(de)(de)(de)(de)事例。因(yin)此，試圖通過以(yi)《周髀(bi)算經(jing)(jing)》中的(de)(de)(de)(de)內容的(de)(de)(de)(de)完整或正確性(xing)介于某兩個(ge)古代(dai)文獻(xian)之間(jian)(jian)，就認定(ding)(ding)其成(cheng)(cheng)書年代(dai)也必定(ding)(ding)介于兩者之間(jian)(jian)的(de)(de)(de)(de)方法，是(shi)(shi)靠不(bu)住(zhu)的(de)(de)(de)(de)。而利用一(yi)(yi)些重要數據的(de)(de)(de)(de)理論推(tui)算來(lai)判定(ding)(ding)其成(cheng)(cheng)書年代(dai)的(de)(de)(de)(de)方法，許多時候也是(shi)(shi)不(bu)太(tai)可行的(de)(de)(de)(de)。有關《周髀(bi)算經(jing)(jing)》成(cheng)(cheng)書年代(dai)的(de)(de)(de)(de)討(tao)論，馮(feng)禮貴(gui)曾經(jing)(jing)收集了14種不(bu)同的(de)(de)(de)(de)觀(guan)點(dian)。盡管在(zai)《周髀(bi)算經(jing)(jing)》成(cheng)(cheng)書年代(dai)的(de)(de)(de)(de)判斷上有很大的(de)(de)(de)(de)區別，但幾(ji)乎所有的(de)(de)(de)(de)研究者都有一(yi)(yi)個(ge)共識，那就是(shi)(shi)《周髀(bi)算經(jing)(jing)》并不(bu)是(shi)(shi)成(cheng)(cheng)書于一(yi)(yi)人一(yi)(yi)時，它經(jing)(jing)過了許多朝代(dai)的(de)(de)(de)(de)流傳進化才(cai)得以(yi)完成(cheng)(cheng)我們(men)所看到的(de)(de)(de)(de)篇幅(fu)與結構。

章鴻釗(zhao)曾經(jing)(jing)明確(que)地(di)將(jiang)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)成(cheng)劃(hua)分為(wei)(wei)三(san)個時(shi)期(qi)(qi)(qi)：第(di)一(yi)(yi)期(qi)(qi)(qi)，商(shang)(shang)(shang)高(gao)(gao)問(wen)(wen)答；第(di)二期(qi)(qi)(qi)，陳(chen)子(zi)問(wen)(wen)答；第(di)三(san)期(qi)(qi)(qi)，陳(chen)子(zi)以(yi)后(hou)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)文(wen)字。這(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃(hua)分，是(shi)許多(duo)人都默認的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)個事(shi)實(shi)。正(zheng)如陳(chen)方(fang)(fang)正(zheng)在(zai)總(zong)結前人對(dui)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)》成(cheng)書過程的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)討論(lun)(lun)時(shi)所說(shuo)：《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)》不(bu)但不(bu)是(shi)個人的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作(zuo)，甚(shen)至也(ye)未必是(shi)單一(yi)(yi)性質(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作(zuo)，而(er)可(ke)能是(shi)由多(duo)個在(zai)不(bu)同(tong)歷史時(shi)期(qi)(qi)(qi)出(chu)(chu)現，相(xiang)關(guan)、相(xiang)類(lei)但并不(bu)相(xiang)同(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)學(xue)(xue)說(shuo)、理(li)論(lun)(lun)，逐(zhu)漸累(lei)積而(er)成(cheng)。因此，將(jiang)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)》單純(chun)視為(wei)(wei)表(biao)述蓋天(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自洽體系，而(er)忽視它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)層積性質(zhi)，是(shi)不(bu)甚(shen)恰當的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。筆者也(ye)贊(zan)同(tong)將(jiang)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)成(cheng)劃(hua)分為(wei)(wei)三(san)個時(shi)期(qi)(qi)(qi)。具(ju)體而(er)言，上(shang)(shang)卷之(zhi)一(yi)(yi)，商(shang)(shang)(shang)高(gao)(gao)與(yu)周(zhou)(zhou)(zhou)公的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)答，應該(gai)是(shi)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原(yuan)始(shi)文(wen)字，它反映了早期(qi)(qi)(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)以(yi)商(shang)(shang)(shang)高(gao)(gao)為(wei)(wei)代表(biao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)中國古(gu)代數(shu)(shu)學(xue)(xue)家對(dui)數(shu)(shu)學(xue)(xue)以(yi)及數(shu)(shu)學(xue)(xue)之(zhi)為(wei)(wei)用的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)認識。商(shang)(shang)(shang)高(gao)(gao)答周(zhou)(zhou)(zhou)公問(wen)(wen)企(qi)圖說(shuo)明的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題是(shi)解決(jue)幾何測量學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)方(fang)(fang)法(fa)，這(zhe)一(yi)(yi)點他做到了。這(zhe)個方(fang)(fang)法(fa)包含勾(gou)股定(ding)理(li)與(yu)用矩之(zhi)道(dao)。按照商(shang)(shang)(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)說(shuo)法(fa)，這(zhe)些(xie)數(shu)(shu)學(xue)(xue)內(nei)容(rong)(rong)在(zai)大禹(yu)治水的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)候已經(jing)(jing)具(ju)備(bei)，應該(gai)是(shi)可(ke)信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。第(di)二個時(shi)期(qi)(qi)(qi)，陳(chen)子(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提(ti)出(chu)(chu)，其內(nei)容(rong)(rong)為(wei)(wei)上(shang)(shang)卷之(zhi)二陳(chen)子(zi)與(yu)容(rong)(rong)方(fang)(fang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)答，這(zhe)個部分大約在(zai)戰國時(shi)期(qi)(qi)(qi)已經(jing)(jing)形(xing)成(cheng)。這(zhe)個時(shi)期(qi)(qi)(qi)，陳(chen)子(zi)將(jiang)商(shang)(shang)(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩之(zhi)道(dao)進(jin)一(yi)(yi)步(bu)發(fa)展成(cheng)為(wei)(wei)測望(wang)日(ri)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)重差術。也(ye)是(shi)可(ke)以(yi)相(xiang)信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。陳(chen)子(zi)問(wen)(wen)答中試圖解決(jue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題是(shi)，利用影差原(yuan)理(li)與(yu)日(ri)高(gao)(gao)術，在(zai)商(shang)(shang)(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩之(zhi)道(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎(chu)上(shang)(shang)，進(jin)一(yi)(yi)步(bu)完善(shan)更加宏(hong)大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)測天(tian)量地(di)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論(lun)(lun)與(yu)實(shi)踐。陳(chen)子(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提(ti)出(chu)(chu)，事(shi)實(shi)上(shang)(shang)是(shi)在(zai)向著(zhu)這(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標邁出(chu)(chu)了關(guan)鍵的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)步(bu)：把(ba)商(shang)(shang)(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)》轉化為(wei)(wei)蓋天(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀(bi)》，把(ba)一(yi)(yi)部比(bi)較單純(chun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)著(zhu)作(zuo)轉化為(wei)(wei)一(yi)(yi)部純(chun)粹的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)理(li)天(tian)文(wen)學(xue)(xue)論(lun)(lun)著(zhu)。

從(cong)(cong)(cong)上(shang)卷之(zhi)三(san)開始，是對蓋(gai)天說理(li)論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)擴張與完(wan)善(shan)。首(shou)先(xian)是在陳子(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)基本假設下(xia)，建(jian)(jian)立七(qi)(qi)衡(heng)六間的(de)(de)(de)(de)(de)宇(yu)宙模(mo)型，并以(yi)術文的(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)式(shi)給出(chu)(chu)(chu)每日(ri)太陽(yang)運行(xing)軌道(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)計算(suan)(suan)方(fang)(fang)法，使七(qi)(qi)衡(heng)圖(tu)成(cheng)為一(yi)(yi)個(ge)(ge)可(ke)以(yi)操(cao)作的(de)(de)(de)(de)(de)真(zhen)正的(de)(de)(de)(de)(de)活動式(shi)星盤。在此基礎上(shang)，進一(yi)(yi)步引入新(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)天地形(xing)狀的(de)(de)(de)(de)(de)模(mo)式(shi)，給出(chu)(chu)(chu)了(le)地理(li)五帶(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)劃分(fen)、寒暑成(cheng)因的(de)(de)(de)(de)(de)解釋(shi)、日(ri)出(chu)(chu)(chu)日(ri)落的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)位，并建(jian)(jian)立了(le)蓋(gai)天說的(de)(de)(de)(de)(de)天體測量(liang)學，引入了(le)去極度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)概念，制(zhi)作了(le)比較完(wan)整的(de)(de)(de)(de)(de)《四分(fen)歷》等等。這(zhe)些雖然大(da)大(da)地豐富了(le)陳子(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論(lun)(lun)內涵(han)，但(dan)同(tong)時(shi)也(ye)制(zhi)造了(le)蓋(gai)天說系統內部的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)些無法完(wan)全自洽的(de)(de)(de)(de)(de)矛盾(dun)，成(cheng)為后世學者不斷批評(ping)的(de)(de)(de)(de)(de)目標(biao)。這(zhe)個(ge)(ge)部分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)成(cheng)，意味著《周(zhou)髀算(suan)(suan)經》作為一(yi)(yi)部論(lun)(lun)述蓋(gai)天說理(li)論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)專著的(de)(de)(de)(de)(de)完(wan)成(cheng)。從(cong)(cong)(cong)《周(zhou)髀算(suan)(suan)經》上(shang)卷之(zhi)三(san)開始，出(chu)(chu)(chu)現了(le)大(da)量(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)“術曰”，這(zhe)一(yi)(yi)點與商高(gao)問答(da)及陳子(zi)問答(da)的(de)(de)(de)(de)(de)行(xing)文風格形(xing)成(cheng)明顯的(de)(de)(de)(de)(de)反差(cha)，從(cong)(cong)(cong)一(yi)(yi)個(ge)(ge)側面(mian)反映出(chu)(chu)(chu)其形(xing)成(cheng)時(shi)期應(ying)該(gai)是比前兩(liang)個(ge)(ge)部分(fen)更(geng)加晚(wan)近(jin)的(de)(de)(de)(de)(de)事實。

綜(zong)上(shang)所(suo)述，《周(zhou)髀算經(jing)》的(de)第一(yi)部(bu)分商(shang)高問(wen)答，曾經(jing)作為《周(zhou)髀算經(jing)》獨立的(de)本(ben)文，其(qi)完成(cheng)時(shi)間應該是(shi)(shi)在(zai)西周(zhou)初(chu)期，約公元(yuan)前11世紀。陳(chen)(chen)(chen)子問(wen)答中的(de)數(shu)學(xue)(xue)理(li)論與(yu)(yu)宇宙模(mo)型(xing)完成(cheng)的(de)時(shi)間，大約在(zai)公元(yuan)前4、5世紀。作為一(yi)部(bu)闡(chan)釋蓋天(tian)(tian)說理(li)論的(de)數(shu)理(li)天(tian)(tian)文學(xue)(xue)著作，《周(zhou)髀算經(jing)》從上(shang)卷(juan)之三開(kai)始，是(shi)(shi)對(dui)陳(chen)(chen)(chen)子模(mo)型(xing)的(de)完善(shan)和(he)擴充，其(qi)中的(de)一(yi)些(xie)基本(ben)數(shu)據與(yu)(yu)結(jie)構(gou)，如七衡圖(tu)與(yu)(yu)去(qu)極度等(deng)，應該是(shi)(shi)在(zai)陳(chen)(chen)(chen)子模(mo)型(xing)提出后就(jiu)已經(jing)確(que)定(ding)了(le)的(de)，但是(shi)(shi)，陳(chen)(chen)(chen)子假設(she)的(de)平行平面的(de)天(tian)(tian)地模(mo)型(xing)，則得到了(le)一(yi)定(ding)的(de)修正，并且加入了(le)一(yi)些(xie)新的(de)東(dong)西，如寒暑成(cheng)因與(yu)(yu)歷法等(deng)內容，總(zong)而(er)言之，《周(zhou)髀算經(jing)》第三部(bu)分的(de)成(cheng)型(xing)，按照錢寶(bao)琮(cong)與(yu)(yu)劉朝陽的(de)考證，應該不會(hui)晚于(yu)公元(yuan)前100年。

質疑

根(gen)據(ju)《周髀算經》原文中(zhong)(zhong)的明確(que)交待，以及(ji)在文獻中(zhong)(zhong)對(dui)幾個(ge)關(guan)鍵問(wen)題的詳(xiang)細(xi)論證，我們已經知道《周髀算經》中(zhong)(zhong)的蓋天宇(yu)宙有如下特(te)征∶

一、大地與天為(wei)相距(ju)80,000里(li)的平行(xing)圓形平面(mian)。

二、大地(di)中央有高大柱形(xing)物（高60,000里(li)(li)的(de)“璇璣”，其底(di)面直(zhi)徑為23,000里(li)(li)）。

三(san)、該宇宙模型的構(gou)造者在圓(yuan)形大地上為自己的居息之處確定(ding)了位置，并且(qie)這位置不在中央而是偏南(nan)。

四、大(da)地中央的(de)柱(zhu)形延(yan)伸至天處為北極。

五、日月(yue)星(xing)辰在天上環繞北極(ji)作平面圓周運動。

六、太(tai)陽(yang)在這種圓周運動中有著(zhu)多重同心軌道，并且以半(ban)年為周期作規律性的軌道遷(qian)移(一(yi)年往返一(yi)遍)。

七、太陽的上述運(yun)行(xing)模式可以在相當(dang)程度(du)上說明晝(zhou)夜(ye)成因和太陽周年視運(yun)動中的一些天象。

令(ling)人極為(wei)驚(jing)訝(ya)的(de)是，筆(bi)者(zhe)發現(xian)上述(shu)七項特征竟與(yu)古代(dai)印度的(de)宇宙模型(xing)全(quan)都吻合！這樣的(de)現(xian)象恐(kong)非偶然，值得(de)加(jia)以(yi)注(zhu)意和(he)研(yan)究。下面先報(bao)道(dao)筆(bi)者(zhe)初步比較(jiao)的(de)結果，更深入的(de)研(yan)究或當俟諸(zhu)異日。

關(guan)于古代(dai)印度宇(yu)(yu)宙模(mo)型的(de)記載，主要保(bao)存在(zai)一些《往世(shi)書(shu)》（Puranas）中。《往世(shi)書(shu)》是印度教的(de)圣典，同時又是古代(dai)史籍，帶有(you)百科(ke)全書(shu)性質。它們(men)的(de)確切成書(shu)年(nian)代(dai)難(nan)以(yi)判定，但其中關(guan)于宇(yu)(yu)宙模(mo)式的(de)一套概念(nian)，學(xue)者(zhe)們(men)相信可(ke)以(yi)追溯到(dao)吠陀(tuo)時代(dai)----約公(gong)元前(qian)1000年(nian)之前(qian)，因而(er)是非常(chang)古老(lao)的(de)。《往世(shi)書(shu)》中的(de)宇(yu)(yu)宙模(mo)式可(ke)以(yi)概述如下:

大地象平底的(de)圓盤，在(zai)大地中央(yang)聳立(li)著巍峨(e)的(de)高山，名為迷(mi)盧(Meru，也即(ji)漢譯(yi)佛經中的(de)“須彌山”，或作Sumeru，譯(yi)成(cheng)“蘇迷(mi)盧”)。迷(mi)盧山外(wai)圍繞著環(huan)形陸地，此陸地又為環(huan)形大海(hai)所圍繞，……如此遞相(xiang)環(huan)繞向外(wai)延(yan)展，共有七圈(quan)大陸和七圈(quan)海(hai)洋。

印(yin)度在迷盧山(shan)的南方。

與大(da)地平(ping)行的(de)天(tian)(tian)(tian)上有著一系列天(tian)(tian)(tian)輪，這些天(tian)(tian)(tian)輪的(de)共同軸心就(jiu)是迷盧山；迷盧山的(de)頂端就(jiu)是北極星(xing)(Dhruva)所在之(zhi)處，諸天(tian)(tian)(tian)輪攜帶著各種天(tian)(tian)(tian)體(ti)繞(rao)之(zhi)旋轉；這些天(tian)(tian)(tian)體(ti)包括(kuo)日、月、恒星(xing)、……以(yi)及五大(da)行星(xing)----依次為(wei)水星(xing)、金星(xing)、火星(xing)、木星(xing)和(he)土星(xing)。

利(li)用迷盧山可(ke)以解釋黑夜與白晝的交(jiao)替。攜帶太(tai)陽的天輪上有180條軌道，太(tai)陽每天遷(qian)移一(yi)軌，半年(nian)后反向重復，以此來描(miao)述日出方位(wei)角(jiao)的周年(nian)變(bian)化。……

又唐代釋(shi)道宣(xuan)《釋(shi)迦方志》卷上(shang)(shang)也記(ji)(ji)述了古代印(yin)度的(de)宇(yu)宙模型，細節上(shang)(shang)恰可與(yu)上(shang)(shang)述記(ji)(ji)載相互補充∶

……蘇迷盧山(shan)，即經所(suo)謂須彌山(shan)也，在(zai)大(da)海(hai)中，據金輪(lun)表，半出海(hai)上八萬由旬，日月回薄于其(qi)腰也。外有(you)金山(shan)七重圍之，中各海(hai)水(shui)，具(ju)八功(gong)德。

根據這些記載，古代印(yin)度宇(yu)宙(zhou)模(mo)型與《周髀算(suan)經》蓋天宇(yu)宙(zhou)模(mo)型卻是有(you)驚人的(de)相似之處，在細(xi)節上(shang)幾乎處處吻合∶

一、兩者的天(tian)、地都(dou)是(shi)圓形的平行平面；

二、“璇璣(ji)”和“迷盧山”同樣扮(ban)演了大地中央的(de)“天柱”角色(se)；

三、周地和印(yin)度都被(bei)置于各自(zi)宇宙中大地的(de)南半部分；

四、“璇璣”和(he)“迷盧(lu)上(shang)”的正上(shang)方都是各(ge)種天體旋(xuan)轉的樞軸----北極；

五、日月星辰在(zai)天上環繞北(bei)極(ji)作(zuo)平面圓周運動。

六(liu)、如果說印(yin)度迷盧山(shan)外的(de)(de)(de)“七(qi)(qi)(qi)山(shan)七(qi)(qi)(qi)海”在數字(zi)上使人聯想到《周髀(bi)算經》的(de)(de)(de)“七(qi)(qi)(qi)衡六(liu)間”的(de)(de)(de)話，那么印(yin)度宇宙中太(tai)陽(yang)天輪的(de)(de)(de)180條軌道(dao)無論(lun)從性質還是功能(neng)來說都與七(qi)(qi)(qi)衡六(liu)間完(wan)全一(yi)致(zhi)(太(tai)陽(yang)在七(qi)(qi)(qi)衡之間的(de)(de)(de)往返(fan)也是每天連續移動(dong)的(de)(de)(de))。

七、特(te)別值得(de)指(zhi)出，《周髀算經(jing)》中天(tian)(tian)與地(di)的距離(li)是八萬里，而迷盧山也是高出海上“八萬由旬(xun)”，其(qi)上即諸(zhu)天(tian)(tian)輪所(suo)在，是其(qi)天(tian)(tian)地(di)距離(li)恰好(hao)同為八萬單位(wei)，難(nan)道純屬偶然?

在(zai)人類(lei)文明發(fa)展史(shi)上(shang)，文化的(de)(de)多(duo)元(yuan)自發(fa)生成是(shi)完(wan)全可能的(de)(de)，因此許多(duo)不(bu)同(tong)文明中相似(si)之處(chu)，也可能是(shi)偶然巧合。但是(shi)《周髀算經》的(de)(de)蓋天宇宙模型與古代印度宇宙模型之間(jian)的(de)(de)相似(si)程(cheng)度實在(zai)太高----從整(zheng)個格局(ju)到許多(duo)細節都一(yi)一(yi)吻合，如果仍用“偶然巧合”去解釋(shi)，無論如何總顯得(de)過于勉(mian)強。

當然(ran)，如果(guo)我們就(jiu)此立刻進(jin)入關于“誰(shui)源(yuan)于誰(shui)”的(de)考(kao)據之中，那又將遠(yuan)遠(yuan)超出本文的(de)范圍。

2寒暑五帶的知識來自何處(chu)?

《周(zhou)髀算經》中有相當于現代人熟知的關于地球上(shang)寒暑五帶的知識(shi)。這是一個(ge)非(fei)常令人驚(jing)異(yi)的現象(xiang)----因為這類(lei)知識(shi)是以往兩千年間，中國(guo)傳統天(tian)文學說中所沒有、而(er)且(qie)不相信的。

這(zhe)些知識在《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》中主要見于(yu)卷下第(di)9節(jie)∶

極下不(bu)(bu)生(sheng)萬物，何以知之(zhi)?……北極左(zuo)右，夏(xia)有不(bu)(bu)釋(shi)之(zhi)冰。

中衡(heng)去周七萬(wan)(wan)五千五百里。中衡(heng)左右，冬有(you)不(bu)死之草(cao)，夏長之類。此陽彰陰微，故萬(wan)(wan)物不(bu)死，五谷一歲再熟。

凡(fan)北極之左(zuo)右，物有(you)朝生(sheng)暮(mu)獲(huo)，冬生(sheng)之類。

這里需(xu)要先(xian)作(zuo)一些說明∶

上引第二則中(zhong)(zhong)，所謂“中(zhong)(zhong)衡(heng)左右”即趙爽注文中(zhong)(zhong)所認(ren)為的(de)(de)“內(nei)衡(heng)之(zhi)外(wai)，外(wai)衡(heng)之(zhi)內(nei)”；這一區(qu)域正好(hao)對應于地(di)球(qiu)寒暑五帶(dai)(dai)中(zhong)(zhong)的(de)(de)熱帶(dai)(dai)(南緯23°30′至北緯23°30′之(zhi)間)----盡管(guan)《周髀算經(jing)》中(zhong)(zhong)并(bing)無(wu)地(di)球(qiu)的(de)(de)觀念。

上(shang)引第三則(ze)中(zhong)，說北(bei)(bei)極左右“物有(you)朝生暮(mu)獲”，這就必須聯系到(dao)《周(zhou)髀算(suan)經》蓋(gai)天(tian)宇(yu)宙模型對于(yu)極晝(zhou)(zhou)、極夜(ye)(ye)(ye)現象的(de)(de)演(yan)繹和描述(shu)能力(li)。據前所(suo)述(shu)，圓形大地(di)中(zhong)央(yang)的(de)(de)“璇(xuan)璣(ji)”之底面直徑為23,000里(li)，則(ze)半(ban)徑為11,500里(li)，而(er)《周(zhou)髀算(suan)經》所(suo)設定的(de)(de)太陽光芒向其四(si)周(zhou)照射(she)的(de)(de)極限距離是167,000里(li)；于(yu)是，由(you)本文圖1清楚可見，每年(nian)從(cong)春(chun)分(fen)(fen)(fen)至秋分(fen)(fen)(fen)期(qi)間，在(zai)“璇(xuan)璣(ji)”范圍內將(jiang)出現極晝(zhou)(zhou)----晝(zhou)(zhou)夜(ye)(ye)(ye)始(shi)終在(zai)陽光之下；而(er)從(cong)秋分(fen)(fen)(fen)到(dao)春(chun)分(fen)(fen)(fen)期(qi)間則(ze)出現極夜(ye)(ye)(ye)----陽光在(zai)此期(qi)間的(de)(de)任(ren)何時刻都照射(she)不(bu)到(dao)“璇(xuan)璣(ji)”范圍之內。這也就是趙爽注文中(zhong)所(suo)說的(de)(de)“北(bei)(bei)極之下，從(cong)春(chun)分(fen)(fen)(fen)至秋分(fen)(fen)(fen)為晝(zhou)(zhou)，從(cong)秋分(fen)(fen)(fen)至春(chun)分(fen)(fen)(fen)為夜(ye)(ye)(ye)”，因為是以(yi)半(ban)年(nian)為晝(zhou)(zhou)、半(ban)年(nian)為夜(ye)(ye)(ye)。

《周髀算經》中(zhong)(zhong)上述關于(yu)寒暑五帶(dai)的(de)知識(shi)，其準確(que)性是沒(mei)有疑問的(de)。然而這(zhe)些知識(shi)卻并不是以往兩千年間中(zhong)(zhong)國傳統天(tian)文學中(zhong)(zhong)的(de)組成部(bu)分。對于(yu)這(zhe)一現象，可以從幾方面來加以討論。

首先，為(wei)《周(zhou)髀(bi)算經》作(zuo)注的(de)趙爽(shuang)(shuang)，竟然就表示不(bu)相信書中(zhong)的(de)這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)知識(shi)(shi)。例(li)如對于(yu)(yu)北極附近“夏(xia)有不(bu)釋之(zhi)冰”，趙爽(shuang)(shuang)注稱∶“冰凍不(bu)解，是以(yi)推(tui)之(zhi)，夏(xia)至之(zhi)日(ri)外(wai)衡(heng)之(zhi)下為(wei)冬(dong)(dong)矣，萬物(wu)當死----此(ci)日(ri)遠近為(wei)冬(dong)(dong)夏(xia),非陰陽(yang)之(zhi)氣，爽(shuang)(shuang)或疑焉。”又(you)如對于(yu)(yu)“冬(dong)(dong)有不(bu)死之(zhi)草”、“陽(yang)彰陰微”、“五谷一歲再熟”的(de)熱帶(dai)(dai)，趙爽(shuang)(shuang)表示“此(ci)欲以(yi)內(nei)衡(heng)之(zhi)外(wai)、外(wai)衡(heng)之(zhi)內(nei)，常為(wei)夏(xia)也(ye)(ye)。然其修(xiu)廣，爽(shuang)(shuang)未之(zhi)前聞”----他從未聽說(shuo)過(guo)。我們從趙爽(shuang)(shuang)為(wei)《周(zhou)髀(bi)算經》全書所(suo)作(zuo)的(de)注釋來判(pan)斷，他毫無疑問是那個(ge)時(shi)代夠(gou)格(ge)的(de)天(tian)文學(xue)家之(zhi)一，為(wei)什(shen)么竟從未聽說(shuo)過(guo)這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)寒暑五帶(dai)(dai)知識(shi)(shi)?比較合(he)理的(de)解釋似(si)乎(hu)只能是∶這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)知識(shi)(shi)不(bu)是中(zhong)國傳統天(tian)文學(xue)體系中(zhong)的(de)組成部(bu)分(fen)，所(suo)以(yi)對于(yu)(yu)當時(shi)大部(bu)分(fen)中(zhong)國天(tian)文學(xue)家來說(shuo)，這(zhe)(zhe)(zhe)些(xie)知識(shi)(shi)是新(xin)奇的(de)、與舊有知識(shi)(shi)背景格(ge)格(ge)不(bu)入的(de)，因(yin)而也(ye)(ye)是難(nan)以(yi)置信的(de)。

其次，在古代中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國居傳統地位的(de)(de)(de)天(tian)文學(xue)(xue)說(shuo)----渾天(tian)說(shuo)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)，由(you)于沒(mei)有正確的(de)(de)(de)地球(qiu)概(gai)念，是(shi)(shi)不可能提出寒暑五帶之(zhi)(zhi)類的(de)(de)(de)問題來(lai)的(de)(de)(de)。因此直(zhi)到(dao)明朝(chao)末年，來(lai)華的(de)(de)(de)耶(ye)穌會(hui)傳教士在他們的(de)(de)(de)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)文著作(zuo)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)向(xiang)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國讀(du)者介紹(shao)寒暑五帶知(zhi)識時，仍被中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國人(ren)目為未之(zhi)(zhi)前聞的(de)(de)(de)新(xin)奇學(xue)(xue)說(shuo)。正式這些耶(ye)穌會(hui)傳教士的(de)(de)(de)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)文著作(zuo)才使(shi)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國學(xue)(xue)者接受(shou)了地球(qiu)寒暑五帶之(zhi)(zhi)說(shuo)。而當清朝(chao)初(chu)年“西學(xue)(xue)中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)源”說(shuo)甚囂塵上時，梅文鼎等人(ren)為寒暑五帶之(zhi)(zhi)說(shuo)尋(xun)找中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國源頭，找到(dao)的(de)(de)(de)正是(shi)(shi)《周(zhou)髀(bi)(bi)算經(jing)》----他們認為是(shi)(shi)《周(zhou)髀(bi)(bi)算經(jing)》等中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國學(xue)(xue)說(shuo)在上古時期傳入(ru)西方，才教會(hui)了希臘人(ren)、羅馬人(ren)和阿拉伯人(ren)掌握天(tian)文學(xue)(xue)知(zhi)識的(de)(de)(de)。

我們面臨(lin)一系列尖銳的問題∶既(ji)然在渾天(tian)(tian)(tian)學說中因沒有(you)地球概(gai)念而(er)不可能(neng)(neng)(neng)提出寒暑五(wu)帶的問題，那么《周髀(bi)算(suan)經(jing)》中同樣(yang)沒有(you)地球概(gai)念，何以(yi)卻能(neng)(neng)(neng)記(ji)載這些知識(shi)?如果說《周髀(bi)算(suan)經(jing)》的作者身處北(bei)溫帶之中，只是根據越向北(bei)越冷、越往(wang)南越熱，就(jiu)能(neng)(neng)(neng)推衍(yan)出北(bei)極“夏(xia)有(you)不釋(shi)之冰”、熱帶“五(wu)谷一歲再熟”之類的現象，那渾天(tian)(tian)(tian)家何以(yi)偏就(jiu)不能(neng)(neng)(neng)?再說趙爽為《周髀(bi)算(suan)經(jing)》作注，他(ta)(ta)總該(gai)是接受蓋天(tian)(tian)(tian)學說之人，何以(yi)連他(ta)(ta)都對這些知識(shi)不能(neng)(neng)(neng)相信?這樣(yang)看(kan)來(lai)，有(you)必(bi)要考慮這些知識(shi)來(lai)自(zi)異域(yu)的可能(neng)(neng)(neng)性。

勾股定理

首先，《周髀算經》中明確記載了勾(gou)(gou)股(gu)定理(li)的公式：“若求(qiu)邪至日(ri)者(zhe)，以日(ri)下為(wei)勾(gou)(gou)，日(ri)高為(wei)股(gu)，勾(gou)(gou)股(gu)各自乘，并(bing)而開方除(chu)之，得邪至日(ri)。”（《周髀算經》上(shang)卷二）

而勾股定理(li)的證明(ming)呢，就在《周(zhou)髀算經》上卷一——

昔(xi)者周公問(wen)(wen)于商高曰：“竊聞(wen)乎大夫善數也，請問(wen)(wen)昔(xi)者包犧立周天歷度(du)——夫天可(ke)不(bu)階而升，地(di)不(bu)可(ke)得(de)尺寸而度(du)，請問(wen)(wen)數安從出？”

商(shang)高曰：“數(shu)之(zhi)法出(chu)于(yu)圓方，圓出(chu)于(yu)方，方出(chu)于(yu)矩(ju)，矩(ju)出(chu)于(yu)九(jiu)九(jiu)八十一。故(gu)折矩(ju)，以(yi)為勾(gou)廣(guang)三，股修四，徑隅五。既方之(zhi)，外半其一矩(ju)，環(huan)而(er)共盤，得成三四五。兩矩(ju)共長二十有五，是謂積矩(ju)。故(gu)禹(yu)之(zhi)所以(yi)治天下者，此數(shu)之(zhi)所生(sheng)也。”

周(zhou)公對古代伏羲（庖犧）構造周(zhou)天歷度的(de)事(shi)跡(ji)感(gan)到(dao)不(bu)可思議（天不(bu)可階(jie)而(er)升(sheng)，地(di)不(bu)可得尺(chi)寸(cun)而(er)度），就請教商(shang)高數學(xue)知(zhi)識(shi)從何而(er)來。于是商(shang)高以勾股定(ding)理的(de)證明為例，解釋數學(xue)知(zhi)識(shi)的(de)由來。“數之法出(chu)于圓(yuan)(yuan)方(fang)，圓(yuan)(yuan)出(chu)于方(fang)，方(fang)出(chu)于矩(ju)(ju)，矩(ju)(ju)出(chu)于九(jiu)九(jiu)八十一(yi)。”解釋發(fa)展脈絡——數之法出(chu)于圓(yuan)(yuan)（圓(yuan)(yuan)周(zhou)率三）方(fang)（四(si)方(fang)），圓(yuan)(yuan)出(chu)于方(fang)（圓(yuan)(yuan)形(xing)面積=外(wai)接正方(fang)形(xing)面積*圓(yuan)(yuan)周(zhou)率/4），方(fang)出(chu)于矩(ju)(ju)（正方(fang)形(xing)源自兩邊相等的(de)矩(ju)(ju)），矩(ju)(ju)出(chu)于九(jiu)九(jiu)八十一(yi)（長(chang)乘寬面積計算(suan)依自九(jiu)九(jiu)乘法表）。

“故折矩①，以為勾(gou)廣三(san)(san)，股(gu)修四，徑隅(yu)五。”開始做圖(tu)——選擇一個勾(gou)三(san)(san)（圓周率三(san)(san)）、股(gu)四（四方）的矩，矩的兩條邊終點的連線應為5（徑隅(yu)五）。

“②既方(fang)之，外半其(qi)一矩，環而共盤，得成三四五。”這就是關(guan)鍵的證(zheng)明過程(cheng)——以(yi)矩的兩條邊(bian)畫(hua)正方(fang)形(xing)(xing)（勾方(fang)、股方(fang)），根(gen)據(ju)矩的弦外面再畫(hua)一個矩（曲(qu)尺，實(shi)際上用作直角(jiao)三角(jiao)形(xing)(xing)），將“外半其(qi)一矩”得到的三角(jiao)形(xing)(xing)剪(jian)下環繞復制形(xing)(xing)成一個大正方(fang)形(xing)(xing)，可看到其(qi)中有邊(bian)長三勾方(fang)、邊(bian)長四股方(fang)、邊(bian)長五弦方(fang)三個正方(fang)形(xing)(xing)。

“兩矩共(gong)長(chang)(chang)③二(er)(er)十有五，是謂積(ji)矩。”此為驗算——勾方(fang)(fang)(fang)(fang)、股方(fang)(fang)(fang)(fang)的(de)面積(ji)之和，與弦方(fang)(fang)(fang)(fang)的(de)面積(ji)二(er)(er)十五相(xiang)等——從圖形(xing)(xing)上(shang)(shang)來看(kan)，大(da)正方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)減(jian)去(qu)四個三(san)角形(xing)(xing)面積(ji)后為弦方(fang)(fang)(fang)(fang)，再是大(da)正方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)減(jian)去(qu)右(you)上(shang)(shang)、左下兩個長(chang)(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)面積(ji)后為勾方(fang)(fang)(fang)(fang)股方(fang)(fang)(fang)(fang)之和。因三(san)角形(xing)(xing)為長(chang)(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)面積(ji)的(de)一半，可(ke)推出四個三(san)角形(xing)(xing)面積(ji)等于(yu)右(you)上(shang)(shang)、左下兩個長(chang)(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)面積(ji)，所以勾方(fang)(fang)(fang)(fang)+股方(fang)(fang)(fang)(fang)=弦方(fang)(fang)(fang)(fang)。

注意：①矩(ju)(ju)，又稱曲(qu)尺，L型的木(mu)匠工具，由長短(duan)兩(liang)根(gen)木(mu)條組成的直角。古(gu)代“矩(ju)(ju)”指L型曲(qu)尺，“矩(ju)(ju)形”才是(shi)“矩(ju)(ju)”衍生(sheng)的長方(fang)形。

②“既(ji)方之(zhi)，外(wai)半其一(yi)矩”此(ci)句有爭議。清代四庫全(quan)書版(ban)定為“既(ji)方其外(wai)半之(zhi)一(yi)矩”，而之(zhi)前版(ban)本多(duo)為“既(ji)方之(zhi)外(wai)半其一(yi)矩”。經陳(chen)良佐、李國偉、李繼閔、曲安京(jing)等學者研究，“既(ji)方之(zhi)，外(wai)半其一(yi)矩”更符合邏輯。

③長指的(de)是面積。古代對(dui)不同(tong)維度的(de)量綱比較，并沒有發明新的(de)術語(yu)，而統(tong)稱(cheng)“長”。趙(zhao)爽注(zhu)稱(cheng)：“兩矩者(zhe)，句股各自(zi)乘(cheng)之(zhi)實。共長者(zhe)，并實之(zhi)數。

由于年代久遠，周公弦(xian)圖(tu)(tu)失傳(chuan)(chuan)，傳(chuan)(chuan)世(shi)版(ban)本只(zhi)印了(le)趙爽(shuang)弦(xian)圖(tu)(tu)（造(zao)紙術在漢代才發明）。所(suo)以某(mou)些(xie)學者(zhe)誤以為(wei)(wei)商高沒(mei)有證明（只(zhi)是說了(le)一段莫名其妙(miao)的(de)話），后來(lai)趙爽(shuang)才給出證明。其實(shi)(shi)(shi)不然(ran)，摘錄趙爽(shuang)注釋(shi)《周髀算經》時所(suo)做的(de)《勾股圓方圖(tu)(tu)》——“句股各(ge)自乘，并(bing)之為(wei)(wei)弦(xian)實(shi)(shi)(shi)，開方除之即弦(xian)。案：弦(xian)圖(tu)(tu)又可以句股相(xiang)(xiang)乘為(wei)(wei)朱(zhu)實(shi)(shi)(shi)二，倍之為(wei)(wei)朱(zhu)實(shi)(shi)(shi)四，以句股之差自相(xiang)(xiang)乘為(wei)(wei)中黃實(shi)(shi)(shi)，加(jia)差實(shi)(shi)(shi)亦成弦(xian)實(shi)(shi)(shi)。