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基本介紹

《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》原名《周(zhou)(zhou)髀》，算(suan)經(jing)的(de)十書之一，是中國最古(gu)老(lao)的(de)天(tian)文學(xue)和數(shu)學(xue)著作，約(yue)成書于公(gong)元前1世紀，主(zhu)要(yao)闡明當(dang)時的(de)蓋天(tian)說和四分歷法(fa)。唐初規定(ding)它為國子監明算(suan)科的(de)教材之一，故改名《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》。

《周髀(bi)算(suan)經(jing)》在數學上的(de)主要成就是介(jie)紹了勾(gou)股定理(li)（據說原書沒(mei)有對勾(gou)股定理(li)進行證明，其證明是三國(guo)時東吳人趙爽(shuang)在《周髀(bi)注(zhu)(zhu)》一(yi)書的(de)《勾(gou)股圓方圖注(zhu)(zhu)》中(zhong)給出的(de)）及其在測量上的(de)應用以及怎(zen)樣引用到天文(wen)計算(suan)。）

《周(zhou)髀算經(jing)》的(de)采用最簡便可行的(de)方(fang)法確定天文歷法，揭示日月(yue)星辰(chen)的(de)運行規律(lv)，囊括四季更替，氣候變化，包涵南(nan)北(bei)有極(ji)，晝夜相推的(de)道(dao)理。給后來者生活作息(xi)提(ti)供(gong)有力(li)的(de)保障，自此(ci)以后歷代數學(xue)家無(wu)不(bu)(bu)以《周(zhou)髀算經(jing)》為參考，在此(ci)基礎上不(bu)(bu)斷(duan)創新和發展。

其他信息

年代

假設我們(men)把《周髀算(suan)經》的(de)(de)(de)本文限定(ding)(ding)為商高(gao)(gao)與周公(gong)的(de)(de)(de)問答(da)(da)，似乎其成書年代(dai)(dai)也就不難(nan)斷定(ding)(ding)了。可是，乾嘉以后，考(kao)據之學興起，疑古之風日盛，到(dao)了現代(dai)(dai)，幾乎所有(you)的(de)(de)(de)中外學者(zhe)都不得不接受這樣(yang)的(de)(de)(de)推斷：不僅商高(gao)(gao)是后人假托的(de)(de)(de)，甚至陳子也是后人虛構出來的(de)(de)(de)。于是，僅僅把商高(gao)(gao)問答(da)(da)看作《周髀算(suan)經》本文就不再有(you)任(ren)何(he)意義(yi)了。因此，許多學者(zhe)都將陳子問答(da)(da)以后的(de)(de)(de)文字(zi)作為《周髀算(suan)經》全文的(de)(de)(de)一(yi)(yi)個部(bu)分(fen)，不再加以區分(fen)。此一(yi)(yi)來，人們(men)開始(shi)根(gen)據《周髀算(suan)經》中的(de)(de)(de)內容推斷它的(de)(de)(de)成書年代(dai)(dai)。

通常的(de)方法(fa)可以分(fen)成(cheng)兩類：天文(wen)(wen)學(xue)史專家，喜(xi)歡利用(yong)現代天文(wen)(wen)學(xue)手段(duan)，根據《周髀算(suan)經》中(zhong)記錄的(de)一些特殊(shu)的(de)天文(wen)(wen)現象或(huo)數(shu)據，推算(suan)其應該出現的(de)年代，并(bing)以此(ci)來確定其成(cheng)書(shu)時代。例如，日本(ben)學(xue)者能田(tian)忠亮便以《周髀算(suan)經》中(zhong)的(de)北(bei)(bei)極星（北(bei)(bei)極璇璣）到北(bei)(bei)天極的(de)距(ju)離(li)．歸算(suan)出其成(cheng)書(shu)年代大約(yue)在公元前(qian)5到7世紀之間。

另(ling)一(yi)種(zhong)方(fang)法則是(shi)(shi)根據(ju)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》涉及的(de)(de)一(yi)些內容(rong)，與相對(dui)而言年代比(bi)較(jiao)明確的(de)(de)其(qi)他歷史典籍的(de)(de)比(bi)較(jiao)，推(tui)斷其(qi)成(cheng)書年代。錢寶琮（1892年－1974年）在(zai)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)考》中對(dui)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)年代做出(chu)如下(xia)的(de)(de)考證(zheng)：第一(yi)，《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》主(zhu)要分為兩個(ge)(ge)部(bu)分，前為商高(gao)問(wen)答，后為陳子模型；第二，由于懷疑商高(gao)是(shi)(shi)后人的(de)(de)偽托，因此，認為陳子以(yi)下(xia)的(de)(de)文(wen)字(zi)才是(shi)(shi)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)主(zhu)體(ti)，通過與《淮南子·天文(wen)訓》的(de)(de)比(bi)較(jiao)，從六個(ge)(ge)方(fang)面論述了(le)陳子以(yi)下(xia)的(de)(de)文(wen)字(zi)成(cheng)書在(zai)

公元前(qian)100年左(zuo)右；第三，“周髀”的(de)(de)意思以(yi)陳子之(zhi)說為準，同(tong)時也(ye)提(ti)到其他一(yi)些解釋；第四，比較24氣名(ming)目(mu)及次序與(yu)《三統(tong)歷》之(zhi)異(yi)同(tong)，提(ti)到趙爽注(zhu)稱原節氣長度15日與(yu)《淮南子》的(de)(de)粗略(lve)記法(fa)類似；第五，分數算法(fa)的(de)(de)繁復與(yu)《九(jiu)章算術》類似。他的(de)(de)結論(lun)是，《周髀算經》成(cheng)書(shu)在公元前(qian)100年左(zuo)右。在疑古(gu)思潮的(de)(de)影響下(xia)，還有一(yi)種傾向(xiang)也(ye)值得人們的(de)(de)注(zhu)意，那就是以(yi)《周髀算經》全書(shu)中所有內容的(de)(de)下(xia)限(xian)來判定它的(de)(de)成(cheng)書(shu)年代，古(gu)克禮（C．Cullen）大約可以(yi)算是這個(ge)方面的(de)(de)一(yi)個(ge)代表。

古克禮認為(wei)(wei)以前的(de)(de)(de)(de)學者大多錯誤地企圖去發現《周(zhou)(zhou)髀算(suan)(suan)經》作為(wei)(wei)一(yi)個(ge)整體(ti)完成的(de)(de)(de)(de)年代，因此，它們(men)的(de)(de)(de)(de)結論是在(zai)一(yi)種假象的(de)(de)(de)(de)幻(huan)覺中獲(huo)得的(de)(de)(de)(de)。他(ta)(ta)認為(wei)(wei)，這(zhe)部(bu)書是一(yi)些志(zhi)同(tong)道(dao)合的(de)(de)(de)(de)研究者分(fen)別撰(zhuan)述的(de)(de)(de)(de)論文集。他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)做法(fa)是，首先(xian)，調查《周(zhou)(zhou)髀算(suan)(suan)經》的(de)(de)(de)(de)內在(zai)結構，并將(jiang)其(qi)劃(hua)分(fen)為(wei)(wei)不同(tong)的(de)(de)(de)(de)章節(jie)(jie)，討論節(jie)(jie)與(yu)節(jie)(jie)之(zhi)間的(de)(de)(de)(de)關系；其(qi)次(ci)，討論與(yu)各節(jie)(jie)內容有關的(de)(de)(de)(de)外(wai)部(bu)世界的(de)(de)(de)(de)資(zi)料與(yu)活動；第三，探(tan)討可能(neng)產(chan)生與(yu)各節(jie)(jie)內容相(xiang)關的(de)(de)(de)(de)歷史環境。他(ta)(ta)將(jiang)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)(suan)經》的(de)(de)(de)(de)整體(ti)編排(pai)打亂(luan)，把它們(men)劃(hua)分(fen)為(wei)(wei)外(wai)篇(pian)與(yu)內篇(pian)兩(liang)個(ge)部(bu)分(fen)。其(qi)中內篇(pian)以陳子模型為(wei)(wei)主展(zhan)開(kai)，取其(qi)下限在(zai)公(gong)元1世紀(ji)。

在(zai)有關外部環境的(de)討論中(zhong)(zhong)，指出作(zuo)為皇(huang)家(jia)的(de)藏書(shu)目(mu)錄，班固（32－92年(nian)(nian)）編寫的(de)《漢書(shu)·藝文志》中(zhong)(zhong)有《許商(shang)算(suan)術(shu)》與(yu)《杜(du)忠算(suan)術(shu)》而(er)無《周髀算(suan)經》；蓋(gai)天說(shuo)(shuo)在(zai)公(gong)元(yuan)(yuan)l世(shi)紀(ji)已經為人所熟知(zhi)，蔡(cai)邕在(zai)公(gong)元(yuan)(yuan)180年(nian)(nian)已經明確將其(qi)(qi)列為中(zhong)(zhong)圈古代(dai)的(de)三(san)家(jia)宇宙論之(zhi)一。結(jie)論是(shi)(shi)，由(you)于(yu)(yu)受到(dao)了渾天說(shuo)(shuo)的(de)影響，《周髀算(suan)經》的(de)成(cheng)書(shu)時間(jian)不可能(neng)早(zao)于(yu)(yu)公(gong)元(yuan)(yuan)前l世(shi)紀(ji)，但也不會晚于(yu)(yu)公(gong)元(yuan)(yuan)200年(nian)(nian)。筆(bi)者以為，判(pan)別中(zhong)(zhong)國古代(dai)科學(xue)典(dian)(dian)籍的(de)完成(cheng)年(nian)(nian)代(dai)，應該以書(shu)中(zhong)(zhong)主要(yao)的(de)科學(xue)思想或知(zhi)識水平所反映的(de)年(nian)(nian)代(dai)為判(pan)別標(biao)準(zhun)，而(er)不應以書(shu)中(zhong)(zhong)夾(jia)雜的(de)若干后代(dai)摻(chan)入的(de)只言片語作(zuo)為推斷的(de)條件。由(you)于(yu)(yu)早(zao)期的(de)科學(xue)典(dian)(dian)籍通常都是(shi)(shi)人類(lei)知(zhi)識逐漸積累的(de)結(jie)晶(jing)，因此，搞清楚其(qi)(qi)中(zhong)(zhong)科學(xue)思想的(de)萌生時期與(yu)流(liu)傳脈絡，也許比(bi)單(dan)純判(pan)定它的(de)成(cheng)書(shu)年(nian)(nian)代(dai)更有意(yi)義。

科學史已經(jing)(jing)反復(fu)地(di)證明，今天看(kan)來(lai)是非常顯然的(de)(de)(de)(de)(de)科學真理(li)，在人(ren)類認識它的(de)(de)(de)(de)(de)初期(qi)往往經(jing)(jing)歷了(le)長期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)懷疑，甚至抵制。例如(ru)，歲(sui)差現象在南北朝(chao)時(shi)期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)存廢之(zhi)爭，就(jiu)是一(yi)個(ge)典型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)事例。因(yin)此(ci)，試圖(tu)通過以(yi)《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》中的(de)(de)(de)(de)(de)內容(rong)的(de)(de)(de)(de)(de)完(wan)整(zheng)或正確性介于某兩個(ge)古代文獻(xian)之(zhi)間(jian)，就(jiu)認定其成(cheng)(cheng)書年代也必定介于兩者(zhe)之(zhi)間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)方法(fa)，是靠不住的(de)(de)(de)(de)(de)。而利用一(yi)些(xie)重要數據的(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論推算(suan)來(lai)判定其成(cheng)(cheng)書年代的(de)(de)(de)(de)(de)方法(fa)，許(xu)多(duo)(duo)時(shi)候(hou)也是不太可行的(de)(de)(de)(de)(de)。有(you)關《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》成(cheng)(cheng)書年代的(de)(de)(de)(de)(de)討論，馮禮貴曾經(jing)(jing)收集了(le)14種不同的(de)(de)(de)(de)(de)觀點。盡管在《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》成(cheng)(cheng)書年代的(de)(de)(de)(de)(de)判斷上有(you)很大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)區別，但幾乎所有(you)的(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究者(zhe)都有(you)一(yi)個(ge)共(gong)識，那就(jiu)是《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》并不是成(cheng)(cheng)書于一(yi)人(ren)一(yi)時(shi)，它經(jing)(jing)過了(le)許(xu)多(duo)(duo)朝(chao)代的(de)(de)(de)(de)(de)流(liu)傳進(jin)化(hua)才得(de)以(yi)完(wan)成(cheng)(cheng)我(wo)們所看(kan)到的(de)(de)(de)(de)(de)篇幅與結構。

章鴻釗(zhao)曾(ceng)經(jing)(jing)(jing)(jing)明(ming)確地將(jiang)(jiang)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)成劃分(fen)為(wei)(wei)(wei)三(san)個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)：第(di)一(yi)期(qi)，商高(gao)問(wen)(wen)(wen)答(da)(da)；第(di)二期(qi)，陳子問(wen)(wen)(wen)答(da)(da)；第(di)三(san)期(qi)，陳子以后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)文(wen)字。這(zhe)(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃分(fen)，是(shi)(shi)許多人(ren)都默(mo)認(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)個(ge)(ge)事(shi)實。正如陳方(fang)正在(zai)(zai)(zai)總結前人(ren)對《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)(jing)》成書(shu)過程的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)討(tao)論(lun)時(shi)(shi)所說：《周(zhou)(zhou)髀》不但不是(shi)(shi)個(ge)(ge)人(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作，甚至(zhi)也(ye)未必是(shi)(shi)單一(yi)性(xing)質的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作，而(er)可能是(shi)(shi)由多個(ge)(ge)在(zai)(zai)(zai)不同歷(li)史時(shi)(shi)期(qi)出(chu)(chu)(chu)現，相關、相類但并不相同的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)學(xue)(xue)說、理(li)論(lun)，逐漸累積而(er)成。因(yin)此，將(jiang)(jiang)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)(jing)》單純(chun)視(shi)為(wei)(wei)(wei)表述蓋天(tian)(tian)說的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自洽體系，而(er)忽視(shi)它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)層積性(xing)質，是(shi)(shi)不甚恰當的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。筆者也(ye)贊同將(jiang)(jiang)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)成劃分(fen)為(wei)(wei)(wei)三(san)個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)。具體而(er)言，上(shang)卷之(zhi)(zhi)(zhi)一(yi)，商高(gao)與周(zhou)(zhou)公的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)答(da)(da)，應該(gai)是(shi)(shi)《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原始文(wen)字，它反映了(le)早期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)以商高(gao)為(wei)(wei)(wei)代表的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)中國古代數(shu)(shu)學(xue)(xue)家對數(shu)(shu)學(xue)(xue)以及數(shu)(shu)學(xue)(xue)之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)用的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)認(ren)識。商高(gao)答(da)(da)周(zhou)(zhou)公問(wen)(wen)(wen)企圖(tu)說明(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)題是(shi)(shi)解決(jue)幾何測(ce)(ce)量學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)方(fang)法，這(zhe)(zhe)一(yi)點他做到了(le)。這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)方(fang)法包含(han)勾股定理(li)與用矩(ju)之(zhi)(zhi)(zhi)道(dao)。按照商高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)說法，這(zhe)(zhe)些數(shu)(shu)學(xue)(xue)內容(rong)在(zai)(zai)(zai)大(da)(da)禹治水的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)候(hou)已經(jing)(jing)(jing)(jing)具備，應該(gai)是(shi)(shi)可信(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。第(di)二個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)，陳子模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提(ti)出(chu)(chu)(chu)，其內容(rong)為(wei)(wei)(wei)上(shang)卷之(zhi)(zhi)(zhi)二陳子與容(rong)方(fang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)答(da)(da)，這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)部分(fen)大(da)(da)約(yue)在(zai)(zai)(zai)戰國時(shi)(shi)期(qi)已經(jing)(jing)(jing)(jing)形(xing)成。這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)，陳子將(jiang)(jiang)商高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩(ju)之(zhi)(zhi)(zhi)道(dao)進一(yi)步(bu)(bu)發展成為(wei)(wei)(wei)測(ce)(ce)望日(ri)高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)重(zhong)差術。也(ye)是(shi)(shi)可以相信(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。陳子問(wen)(wen)(wen)答(da)(da)中試圖(tu)解決(jue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)題是(shi)(shi)，利用影差原理(li)與日(ri)高(gao)術，在(zai)(zai)(zai)商高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩(ju)之(zhi)(zhi)(zhi)道(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎上(shang)，進一(yi)步(bu)(bu)完善更加宏大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)測(ce)(ce)天(tian)(tian)量地的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論(lun)與實踐。陳子模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提(ti)出(chu)(chu)(chu)，事(shi)實上(shang)是(shi)(shi)在(zai)(zai)(zai)向(xiang)著(zhu)(zhu)這(zhe)(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標邁出(chu)(chu)(chu)了(le)關鍵的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)步(bu)(bu)：把商高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)髀》轉化為(wei)(wei)(wei)蓋天(tian)(tian)說的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)髀》，把一(yi)部比較單純(chun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作轉化為(wei)(wei)(wei)一(yi)部純(chun)粹的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)理(li)天(tian)(tian)文(wen)學(xue)(xue)論(lun)著(zhu)(zhu)。

從上卷之三開始，是對(dui)蓋天(tian)(tian)(tian)說(shuo)理論的(de)(de)(de)(de)(de)擴張與完(wan)善。首(shou)先是在(zai)陳(chen)子(zi)模(mo)(mo)型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)基本假設下，建立七衡(heng)六間的(de)(de)(de)(de)(de)宇(yu)宙(zhou)模(mo)(mo)型(xing)，并以(yi)(yi)術(shu)文的(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)式(shi)給出(chu)每日太(tai)陽運行軌道的(de)(de)(de)(de)(de)計算方(fang)法，使七衡(heng)圖成(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)一(yi)個(ge)可以(yi)(yi)操(cao)作(zuo)(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)真正的(de)(de)(de)(de)(de)活(huo)動式(shi)星(xing)盤。在(zai)此基礎上，進一(yi)步引入新的(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)(tian)地形(xing)狀的(de)(de)(de)(de)(de)模(mo)(mo)式(shi)，給出(chu)了(le)(le)地理五帶(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)劃(hua)分、寒暑成(cheng)(cheng)(cheng)因的(de)(de)(de)(de)(de)解釋(shi)、日出(chu)日落的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)位，并建立了(le)(le)蓋天(tian)(tian)(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)(tian)體測量學，引入了(le)(le)去極度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)概念，制(zhi)(zhi)作(zuo)(zuo)了(le)(le)比較完(wan)整的(de)(de)(de)(de)(de)《四(si)分歷》等等。這(zhe)些(xie)(xie)雖然(ran)大大地豐富了(le)(le)陳(chen)子(zi)模(mo)(mo)型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)理論內涵(han)，但同時也制(zhi)(zhi)造了(le)(le)蓋天(tian)(tian)(tian)說(shuo)系統(tong)內部(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)些(xie)(xie)無法完(wan)全自(zi)洽的(de)(de)(de)(de)(de)矛盾，成(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)后(hou)世學者不(bu)斷(duan)批(pi)評的(de)(de)(de)(de)(de)目標。這(zhe)個(ge)部(bu)分的(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)成(cheng)(cheng)(cheng)，意(yi)味(wei)著《周(zhou)髀算經(jing)(jing)》作(zuo)(zuo)為(wei)一(yi)部(bu)論述蓋天(tian)(tian)(tian)說(shuo)理論的(de)(de)(de)(de)(de)專(zhuan)著的(de)(de)(de)(de)(de)完(wan)成(cheng)(cheng)(cheng)。從《周(zhou)髀算經(jing)(jing)》上卷之三開始，出(chu)現了(le)(le)大量的(de)(de)(de)(de)(de)“術(shu)曰”，這(zhe)一(yi)點(dian)與商高問(wen)答及陳(chen)子(zi)問(wen)答的(de)(de)(de)(de)(de)行文風格形(xing)成(cheng)(cheng)(cheng)明顯的(de)(de)(de)(de)(de)反(fan)差，從一(yi)個(ge)側面反(fan)映出(chu)其形(xing)成(cheng)(cheng)(cheng)時期應該是比前兩個(ge)部(bu)分更加(jia)晚近的(de)(de)(de)(de)(de)事實(shi)。

綜上(shang)所述(shu)，《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)第(di)一(yi)(yi)部(bu)分商(shang)高(gao)問答，曾(ceng)經(jing)(jing)作(zuo)為《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》獨立的(de)(de)本(ben)文，其(qi)完成時間(jian)(jian)應(ying)該(gai)是在西(xi)周(zhou)(zhou)初期，約公元前(qian)11世紀。陳(chen)(chen)子(zi)問答中的(de)(de)數學(xue)(xue)理論與(yu)宇宙模(mo)型(xing)(xing)(xing)完成的(de)(de)時間(jian)(jian)，大約在公元前(qian)4、5世紀。作(zuo)為一(yi)(yi)部(bu)闡釋蓋天說理論的(de)(de)數理天文學(xue)(xue)著作(zuo)，《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》從上(shang)卷之三開始，是對陳(chen)(chen)子(zi)模(mo)型(xing)(xing)(xing)的(de)(de)完善和擴充，其(qi)中的(de)(de)一(yi)(yi)些基本(ben)數據(ju)與(yu)結構(gou)，如(ru)七衡圖(tu)與(yu)去極度等(deng)，應(ying)該(gai)是在陳(chen)(chen)子(zi)模(mo)型(xing)(xing)(xing)提出后就已經(jing)(jing)確定了的(de)(de)，但是，陳(chen)(chen)子(zi)假設的(de)(de)平行平面(mian)的(de)(de)天地模(mo)型(xing)(xing)(xing)，則得到了一(yi)(yi)定的(de)(de)修(xiu)正，并且加入了一(yi)(yi)些新的(de)(de)東(dong)西(xi)，如(ru)寒(han)暑成因與(yu)歷法等(deng)內容，總而言(yan)之，《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》第(di)三部(bu)分的(de)(de)成型(xing)(xing)(xing)，按照錢寶琮與(yu)劉朝陽的(de)(de)考證，應(ying)該(gai)不(bu)會晚(wan)于公元前(qian)100年。

質疑

根據《周(zhou)髀算(suan)經(jing)》原文中的明(ming)確交待，以及在文獻中對(dui)幾個關鍵問(wen)題的詳(xiang)細論(lun)證(zheng)，我們已(yi)經(jing)知道(dao)《周(zhou)髀算(suan)經(jing)》中的蓋天宇宙有如下(xia)特(te)征(zheng)∶

一、大(da)地與天為相(xiang)距80,000里的平(ping)行圓(yuan)形平(ping)面。

二、大地(di)中央有高大柱(zhu)形物（高60,000里(li)的(de)“璇璣”，其(qi)底(di)面直徑為23,000里(li)）。

三、該宇(yu)宙(zhou)模型的(de)構造者在圓形大地上為自己的(de)居息之處確定了位(wei)置，并且這(zhe)位(wei)置不在中央而是偏(pian)南(nan)。

四、大地中央的柱(zhu)形延伸(shen)至天處為北極。

五(wu)、日月星辰在天上環繞北極(ji)作(zuo)平面圓周運動。

六、太陽(yang)在這種圓周運動(dong)中有著多重(zhong)同心軌(gui)道，并且以半(ban)年為周期作規律性的(de)軌(gui)道遷移(一年往返一遍)。

七、太(tai)陽(yang)的(de)上(shang)述運行(xing)模式可以在相(xiang)當程度上(shang)說明晝夜(ye)成因和太(tai)陽(yang)周年視運動中的(de)一些天象。

令(ling)人極為驚訝(ya)的(de)(de)(de)是，筆者發(fa)現(xian)(xian)上(shang)述七項特征竟與古代印度的(de)(de)(de)宇宙(zhou)模型(xing)全都吻合！這樣的(de)(de)(de)現(xian)(xian)象恐(kong)非偶(ou)然(ran)，值得加以注意和研究。下面先報道筆者初步比(bi)較的(de)(de)(de)結果，更深入的(de)(de)(de)研究或當俟諸(zhu)異(yi)日(ri)。

關(guan)于古代印(yin)(yin)度宇宙(zhou)(zhou)模(mo)(mo)型(xing)的記載(zai)，主要保(bao)存在一些《往(wang)世書(shu)(shu)》（Puranas）中(zhong)。《往(wang)世書(shu)(shu)》是印(yin)(yin)度教的圣典(dian)，同時又是古代史籍，帶有百科全書(shu)(shu)性(xing)質。它們的確(que)切成(cheng)書(shu)(shu)年代難以判(pan)定(ding)，但其中(zhong)關(guan)于宇宙(zhou)(zhou)模(mo)(mo)式的一套(tao)概念，學者們相信(xin)可(ke)以追溯到吠(fei)陀時代----約公元前1000年之前，因而(er)是非(fei)常古老的。《往(wang)世書(shu)(shu)》中(zhong)的宇宙(zhou)(zhou)模(mo)(mo)式可(ke)以概述如下:

大(da)地象平底的圓盤，在(zai)大(da)地中(zhong)央聳立著巍(wei)峨的高山(shan)，名為(wei)迷盧(lu)(lu)(Meru，也(ye)即漢譯(yi)(yi)佛(fo)經中(zhong)的“須彌山(shan)”，或作Sumeru，譯(yi)(yi)成(cheng)“蘇迷盧(lu)(lu)”)。迷盧(lu)(lu)山(shan)外圍繞著環(huan)形陸地，此陸地又為(wei)環(huan)形大(da)海(hai)所(suo)圍繞，……如(ru)此遞相環(huan)繞向外延展，共有七圈大(da)陸和七圈海(hai)洋。

印度在迷(mi)盧山的南方。

與大地平行的天(tian)(tian)上(shang)有著一系列天(tian)(tian)輪(lun)，這(zhe)些天(tian)(tian)輪(lun)的共同軸心就(jiu)是迷(mi)盧(lu)山(shan)；迷(mi)盧(lu)山(shan)的頂端就(jiu)是北極星(xing)(xing)(xing)(Dhruva)所在之處(chu)，諸天(tian)(tian)輪(lun)攜帶著各種天(tian)(tian)體繞之旋(xuan)轉；這(zhe)些天(tian)(tian)體包括日、月、恒(heng)星(xing)(xing)(xing)、……以及五(wu)大行星(xing)(xing)(xing)----依次為水星(xing)(xing)(xing)、金星(xing)(xing)(xing)、火星(xing)(xing)(xing)、木星(xing)(xing)(xing)和土星(xing)(xing)(xing)。

利用迷(mi)盧山可以解釋黑夜與(yu)白晝的(de)交替。攜(xie)帶太(tai)陽(yang)的(de)天(tian)輪上有(you)180條軌道，太(tai)陽(yang)每天(tian)遷(qian)移一軌，半年后(hou)反向重復(fu)，以此(ci)來描述(shu)日出方位角(jiao)的(de)周年變化。……

又唐代(dai)釋(shi)道宣《釋(shi)迦方志》卷上(shang)也記述(shu)了古代(dai)印度的宇宙(zhou)模型，細節上(shang)恰可(ke)與上(shang)述(shu)記載相互(hu)補充∶

……蘇迷盧山(shan)，即(ji)經(jing)所謂須彌(mi)山(shan)也，在大海(hai)中，據金輪(lun)表，半出海(hai)上八萬由旬(xun)，日月回薄于其腰也。外有金山(shan)七重圍(wei)之，中各海(hai)水，具八功德。

根據(ju)這些記載(zai)，古(gu)代印度宇(yu)宙(zhou)(zhou)模型與《周髀(bi)算經》蓋天宇(yu)宙(zhou)(zhou)模型卻(que)是有驚人(ren)的(de)相(xiang)似之(zhi)處，在細節上幾乎處處吻(wen)合∶

一、兩(liang)者的天、地都是圓形的平(ping)行平(ping)面；

二、“璇璣”和“迷盧(lu)山”同樣扮演了大地中(zhong)央的“天(tian)柱”角色；

三、周地和印度都(dou)被置于各自(zi)宇(yu)宙中(zhong)大地的南半部分(fen)；

四、“璇璣(ji)”和“迷盧(lu)上”的正上方都是各(ge)種(zhong)天(tian)體旋轉的樞軸----北極；

五、日月(yue)星辰在(zai)天上(shang)環(huan)繞北極(ji)作平面圓(yuan)周(zhou)運動。

六(liu)、如果說印(yin)(yin)度(du)迷盧山外的(de)“七(qi)(qi)山七(qi)(qi)海”在數字上(shang)使(shi)人聯想(xiang)到(dao)《周髀算經》的(de)“七(qi)(qi)衡(heng)(heng)六(liu)間(jian)(jian)”的(de)話，那么印(yin)(yin)度(du)宇宙中太(tai)(tai)陽天輪的(de)180條軌道(dao)無論(lun)從(cong)性質還是功能來說都(dou)與七(qi)(qi)衡(heng)(heng)六(liu)間(jian)(jian)完全一(yi)致(太(tai)(tai)陽在七(qi)(qi)衡(heng)(heng)之間(jian)(jian)的(de)往返(fan)也是每天連續移動的(de))。

七(qi)、特別(bie)值得指出，《周髀算經》中天(tian)與地的(de)距(ju)離(li)是(shi)(shi)(shi)八(ba)(ba)萬(wan)里，而迷盧山也是(shi)(shi)(shi)高出海上(shang)“八(ba)(ba)萬(wan)由旬”，其(qi)上(shang)即諸(zhu)天(tian)輪所在，是(shi)(shi)(shi)其(qi)天(tian)地距(ju)離(li)恰好同為八(ba)(ba)萬(wan)單位，難道純屬偶(ou)然?

在(zai)人類文(wen)明發(fa)(fa)展(zhan)史(shi)上(shang)，文(wen)化的多元自發(fa)(fa)生(sheng)成是完(wan)全可能的，因此許多不同文(wen)明中相似(si)之處，也可能是偶然(ran)巧合(he)。但是《周髀算經》的蓋天宇宙模型與古代印度宇宙模型之間的相似(si)程度實在(zai)太高(gao)----從(cong)整個格局(ju)到(dao)許多細節都(dou)一(yi)一(yi)吻(wen)合(he)，如(ru)果仍用“偶然(ran)巧合(he)”去(qu)解釋，無論(lun)如(ru)何總顯得過于勉強(qiang)。

當然，如果我(wo)們就此立刻進入(ru)關于“誰(shui)源(yuan)于誰(shui)”的(de)考據之中，那(nei)又(you)將(jiang)遠遠超出本文的(de)范圍。

2寒暑五(wu)帶的知識來(lai)自何處(chu)?

《周髀算經》中(zhong)有(you)相(xiang)當(dang)于(yu)現代人(ren)熟知的(de)關(guan)于(yu)地球上寒(han)暑五帶的(de)知識(shi)。這(zhe)是一個非常令人(ren)驚異(yi)的(de)現象----因為這(zhe)類知識(shi)是以(yi)往兩千(qian)年間，中(zhong)國(guo)傳統天文學說中(zhong)所沒有(you)、而且不相(xiang)信的(de)。

這些知識在(zai)《周髀算經》中主(zhu)要見于(yu)卷下第9節∶

極(ji)下(xia)不生萬物，何以(yi)知之?……北極(ji)左右，夏有不釋之冰(bing)。

中(zhong)衡去(qu)周七(qi)萬(wan)五(wu)千五(wu)百里。中(zhong)衡左右，冬有不死之(zhi)草(cao)，夏(xia)長之(zhi)類(lei)。此陽彰陰微，故萬(wan)物不死，五(wu)谷(gu)一歲(sui)再熟(shu)。

凡(fan)北極之(zhi)左右，物(wu)有朝生暮獲，冬生之(zhi)類(lei)。

這里需要先作一些說明∶

上引第二則中(zhong)，所(suo)謂(wei)“中(zhong)衡(heng)左右”即趙爽注文中(zhong)所(suo)認為的(de)“內衡(heng)之外(wai)，外(wai)衡(heng)之內”；這一(yi)區域正好對應于地球寒暑五帶中(zhong)的(de)熱(re)帶(南緯(wei)23°30′至北緯(wei)23°30′之間(jian))----盡管《周髀算經》中(zhong)并無地球的(de)觀念。

上(shang)引第三則中(zhong)，說(shuo)北(bei)極(ji)(ji)(ji)(ji)左(zuo)右“物有朝生暮獲”，這就必須(xu)聯系到《周髀算(suan)經(jing)》蓋天宇(yu)宙模型(xing)對于(yu)極(ji)(ji)(ji)(ji)晝、極(ji)(ji)(ji)(ji)夜(ye)(ye)現(xian)象的演繹和(he)描(miao)述(shu)能力。據前(qian)所述(shu)，圓形大(da)地中(zhong)央的“璇璣(ji)”之(zhi)底面直徑為(wei)23,000里(li)，則半徑為(wei)11,500里(li)，而《周髀算(suan)經(jing)》所設定的太陽(yang)光(guang)(guang)芒向其四周照射(she)的極(ji)(ji)(ji)(ji)限距離是(shi)167,000里(li)；于(yu)是(shi)，由本(ben)文圖1清楚可見，每年從(cong)春(chun)分(fen)(fen)(fen)至(zhi)秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)期間(jian)，在“璇璣(ji)”范圍內(nei)(nei)將出現(xian)極(ji)(ji)(ji)(ji)晝----晝夜(ye)(ye)始終(zhong)在陽(yang)光(guang)(guang)之(zhi)下；而從(cong)秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)到春(chun)分(fen)(fen)(fen)期間(jian)則出現(xian)極(ji)(ji)(ji)(ji)夜(ye)(ye)----陽(yang)光(guang)(guang)在此期間(jian)的任(ren)何(he)時刻都照射(she)不(bu)到“璇璣(ji)”范圍之(zhi)內(nei)(nei)。這也就是(shi)趙爽注文中(zhong)所說(shuo)的“北(bei)極(ji)(ji)(ji)(ji)之(zhi)下，從(cong)春(chun)分(fen)(fen)(fen)至(zhi)秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)為(wei)晝，從(cong)秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)至(zhi)春(chun)分(fen)(fen)(fen)為(wei)夜(ye)(ye)”，因為(wei)是(shi)以半年為(wei)晝、半年為(wei)夜(ye)(ye)。

《周髀算經(jing)》中上述關(guan)于(yu)寒(han)暑(shu)五帶的知(zhi)識，其準確性是沒有(you)疑(yi)問的。然而(er)這些知(zhi)識卻并不是以(yi)(yi)往(wang)兩千年間中國傳統天文學中的組(zu)成(cheng)部分。對于(yu)這一現象，可以(yi)(yi)從幾(ji)方面來加(jia)以(yi)(yi)討論。

首先(xian)，為《周髀(bi)算經》作注的(de)(de)(de)趙爽(shuang)(shuang)(shuang)(shuang)，竟然就表(biao)示不(bu)(bu)相(xiang)信(xin)書中的(de)(de)(de)這些(xie)(xie)知(zhi)(zhi)識(shi)。例(li)如對(dui)于(yu)北(bei)極(ji)附近(jin)(jin)“夏(xia)有(you)(you)不(bu)(bu)釋之(zhi)(zhi)(zhi)冰”，趙爽(shuang)(shuang)(shuang)(shuang)注稱∶“冰凍不(bu)(bu)解，是(shi)(shi)以(yi)推之(zhi)(zhi)(zhi)，夏(xia)至之(zhi)(zhi)(zhi)日(ri)外(wai)衡(heng)(heng)之(zhi)(zhi)(zhi)下為冬矣，萬物當(dang)死(si)----此日(ri)遠近(jin)(jin)為冬夏(xia),非陰(yin)陽(yang)之(zhi)(zhi)(zhi)氣，爽(shuang)(shuang)(shuang)(shuang)或疑(yi)(yi)焉。”又如對(dui)于(yu)“冬有(you)(you)不(bu)(bu)死(si)之(zhi)(zhi)(zhi)草(cao)”、“陽(yang)彰(zhang)陰(yin)微”、“五(wu)谷一歲再熟”的(de)(de)(de)熱(re)帶(dai)，趙爽(shuang)(shuang)(shuang)(shuang)表(biao)示“此欲以(yi)內(nei)衡(heng)(heng)之(zhi)(zhi)(zhi)外(wai)、外(wai)衡(heng)(heng)之(zhi)(zhi)(zhi)內(nei)，常為夏(xia)也。然其修廣(guang)，爽(shuang)(shuang)(shuang)(shuang)未(wei)之(zhi)(zhi)(zhi)前聞”----他從未(wei)聽說過(guo)。我們從趙爽(shuang)(shuang)(shuang)(shuang)為《周髀(bi)算經》全(quan)書所(suo)作的(de)(de)(de)注釋來(lai)判斷(duan)，他毫無(wu)疑(yi)(yi)問是(shi)(shi)那個時代(dai)夠格(ge)的(de)(de)(de)天(tian)文學(xue)家之(zhi)(zhi)(zhi)一，為什么竟從未(wei)聽說過(guo)這些(xie)(xie)寒暑五(wu)帶(dai)知(zhi)(zhi)識(shi)?比較合理(li)的(de)(de)(de)解釋似乎只能是(shi)(shi)∶這些(xie)(xie)知(zhi)(zhi)識(shi)不(bu)(bu)是(shi)(shi)中國傳統天(tian)文學(xue)體系中的(de)(de)(de)組成部分(fen)，所(suo)以(yi)對(dui)于(yu)當(dang)時大部分(fen)中國天(tian)文學(xue)家來(lai)說，這些(xie)(xie)知(zhi)(zhi)識(shi)是(shi)(shi)新奇的(de)(de)(de)、與舊有(you)(you)知(zhi)(zhi)識(shi)背景(jing)格(ge)格(ge)不(bu)(bu)入的(de)(de)(de)，因而也是(shi)(shi)難以(yi)置信(xin)的(de)(de)(de)。

其次，在(zai)古代中(zhong)(zhong)國(guo)居傳統地位的(de)(de)(de)天文(wen)(wen)學說(shuo)(shuo)----渾天說(shuo)(shuo)中(zhong)(zhong)，由于沒有正(zheng)確的(de)(de)(de)地球(qiu)概念，是不可能提出(chu)寒(han)暑(shu)(shu)五帶(dai)之類的(de)(de)(de)問題來的(de)(de)(de)。因此直到明朝末年，來華的(de)(de)(de)耶(ye)穌會傳教士(shi)在(zai)他(ta)(ta)們(men)的(de)(de)(de)中(zhong)(zhong)文(wen)(wen)著作(zuo)中(zhong)(zhong)向中(zhong)(zhong)國(guo)讀(du)者(zhe)(zhe)介紹寒(han)暑(shu)(shu)五帶(dai)知識時，仍被中(zhong)(zhong)國(guo)人目為(wei)未之前(qian)聞的(de)(de)(de)新奇學說(shuo)(shuo)。正(zheng)式這(zhe)些耶(ye)穌會傳教士(shi)的(de)(de)(de)中(zhong)(zhong)文(wen)(wen)著作(zuo)才使(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)學者(zhe)(zhe)接(jie)受了地球(qiu)寒(han)暑(shu)(shu)五帶(dai)之說(shuo)(shuo)。而當清(qing)朝初年“西學中(zhong)(zhong)源(yuan)”說(shuo)(shuo)甚(shen)囂塵上時，梅(mei)文(wen)(wen)鼎等(deng)人為(wei)寒(han)暑(shu)(shu)五帶(dai)之說(shuo)(shuo)尋找(zhao)中(zhong)(zhong)國(guo)源(yuan)頭，找(zhao)到的(de)(de)(de)正(zheng)是《周髀(bi)算經(jing)》----他(ta)(ta)們(men)認(ren)為(wei)是《周髀(bi)算經(jing)》等(deng)中(zhong)(zhong)國(guo)學說(shuo)(shuo)在(zai)上古時期傳入西方，才教會了希臘人、羅馬(ma)人和阿(a)拉伯(bo)人掌握(wo)天文(wen)(wen)學知識的(de)(de)(de)。

我們面臨(lin)一系列尖銳的(de)問(wen)題(ti)∶既然在渾天(tian)(tian)學說中(zhong)因(yin)沒有(you)地球(qiu)概(gai)念(nian)(nian)而(er)不(bu)(bu)可(ke)能(neng)提(ti)出寒暑五帶(dai)的(de)問(wen)題(ti)，那么《周髀算(suan)經(jing)(jing)》中(zhong)同(tong)樣沒有(you)地球(qiu)概(gai)念(nian)(nian)，何(he)以卻能(neng)記載這(zhe)些知(zhi)識(shi)?如果說《周髀算(suan)經(jing)(jing)》的(de)作者身(shen)處北(bei)溫帶(dai)之(zhi)中(zhong)，只是根(gen)據(ju)越向北(bei)越冷、越往(wang)南越熱，就能(neng)推(tui)衍出北(bei)極(ji)“夏有(you)不(bu)(bu)釋(shi)之(zhi)冰”、熱帶(dai)“五谷一歲再(zai)熟”之(zhi)類的(de)現象，那渾天(tian)(tian)家何(he)以偏就不(bu)(bu)能(neng)?再(zai)說趙爽為(wei)《周髀算(suan)經(jing)(jing)》作注(zhu)，他(ta)總該是接受(shou)蓋天(tian)(tian)學說之(zhi)人，何(he)以連(lian)他(ta)都對這(zhe)些知(zhi)識(shi)不(bu)(bu)能(neng)相(xiang)信?這(zhe)樣看來，有(you)必要(yao)考慮這(zhe)些知(zhi)識(shi)來自異域的(de)可(ke)能(neng)性。

勾股定理

首先，《周(zhou)髀算經》中(zhong)明確記載了勾股(gu)定理的公(gong)式：“若求邪至日(ri)者，以日(ri)下為勾，日(ri)高為股(gu)，勾股(gu)各自乘，并而開方除之，得邪至日(ri)。”（《周(zhou)髀算經》上卷二(er)）

而勾股定理的(de)證明(ming)呢，就在《周(zhou)髀算經》上(shang)卷一——

昔者周公問于商高曰(yue)：“竊聞乎(hu)大夫善數也，請(qing)問昔者包犧立周天歷度——夫天可(ke)不(bu)階而(er)升(sheng)，地不(bu)可(ke)得(de)尺寸(cun)而(er)度，請(qing)問數安從出？”

商高曰：“數之(zhi)(zhi)法出(chu)于(yu)圓(yuan)方(fang)，圓(yuan)出(chu)于(yu)方(fang)，方(fang)出(chu)于(yu)矩(ju)(ju)(ju)，矩(ju)(ju)(ju)出(chu)于(yu)九九八(ba)十一。故(gu)折矩(ju)(ju)(ju)，以(yi)為勾廣三(san)，股修四，徑隅五。既方(fang)之(zhi)(zhi)，外半其一矩(ju)(ju)(ju)，環而共盤，得成三(san)四五。兩矩(ju)(ju)(ju)共長二十有五，是謂積矩(ju)(ju)(ju)。故(gu)禹之(zhi)(zhi)所(suo)以(yi)治天下(xia)者(zhe)，此數之(zhi)(zhi)所(suo)生也(ye)。”

周(zhou)公對古代伏羲(xi)（庖犧）構造周(zhou)天(tian)歷(li)度的事跡(ji)感到不(bu)可思議（天(tian)不(bu)可階而升，地(di)不(bu)可得(de)尺(chi)寸(cun)而度），就請教商(shang)高(gao)數(shu)學知識從何而來(lai)。于(yu)(yu)是商(shang)高(gao)以勾股(gu)定理的證明為例，解釋數(shu)學知識的由來(lai)。“數(shu)之法(fa)出(chu)(chu)于(yu)(yu)圓(yuan)方(fang)(fang)，圓(yuan)出(chu)(chu)于(yu)(yu)方(fang)(fang)，方(fang)(fang)出(chu)(chu)于(yu)(yu)矩，矩出(chu)(chu)于(yu)(yu)九(jiu)九(jiu)八(ba)(ba)十(shi)一。”解釋發展脈絡——數(shu)之法(fa)出(chu)(chu)于(yu)(yu)圓(yuan)（圓(yuan)周(zhou)率(lv)三）方(fang)(fang)（四方(fang)(fang)），圓(yuan)出(chu)(chu)于(yu)(yu)方(fang)(fang)（圓(yuan)形面(mian)積(ji)=外接正方(fang)(fang)形面(mian)積(ji)*圓(yuan)周(zhou)率(lv)/4），方(fang)(fang)出(chu)(chu)于(yu)(yu)矩（正方(fang)(fang)形源自(zi)兩邊相等(deng)的矩），矩出(chu)(chu)于(yu)(yu)九(jiu)九(jiu)八(ba)(ba)十(shi)一（長乘寬面(mian)積(ji)計算依(yi)自(zi)九(jiu)九(jiu)乘法(fa)表）。

“故折矩①，以為(wei)勾廣(guang)三(san)，股修四(si)(si)，徑(jing)(jing)隅五(wu)。”開始做圖——選擇一個勾三(san)（圓周率(lv)三(san)）、股四(si)(si)（四(si)(si)方）的矩，矩的兩條邊終點的連(lian)線應為(wei)5（徑(jing)(jing)隅五(wu)）。

“②既方之，外半其(qi)一矩(ju)，環(huan)而共盤，得成三(san)(san)四(si)五。”這就是關鍵的(de)(de)證明過(guo)程——以矩(ju)的(de)(de)兩條邊畫正(zheng)方形(xing)（勾方、股方），根據矩(ju)的(de)(de)弦外面再畫一個(ge)矩(ju)（曲尺，實(shi)際上用(yong)作(zuo)直角三(san)(san)角形(xing)），將“外半其(qi)一矩(ju)”得到(dao)的(de)(de)三(san)(san)角形(xing)剪下環(huan)繞復制形(xing)成一個(ge)大正(zheng)方形(xing)，可看到(dao)其(qi)中有(you)邊長三(san)(san)勾方、邊長四(si)股方、邊長五弦方三(san)(san)個(ge)正(zheng)方形(xing)。

“兩(liang)矩共(gong)長(chang)(chang)③二十有五，是謂積(ji)矩。”此(ci)為驗算(suan)——勾(gou)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)、股方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)的(de)面(mian)(mian)(mian)積(ji)之和，與弦(xian)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)的(de)面(mian)(mian)(mian)積(ji)二十五相等——從圖形上(shang)來(lai)看，大正方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)形減去四(si)個(ge)(ge)(ge)三(san)角(jiao)形面(mian)(mian)(mian)積(ji)后(hou)為弦(xian)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)，再是大正方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)形減去右上(shang)、左(zuo)下兩(liang)個(ge)(ge)(ge)長(chang)(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)形面(mian)(mian)(mian)積(ji)后(hou)為勾(gou)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)股方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)之和。因三(san)角(jiao)形為長(chang)(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)形面(mian)(mian)(mian)積(ji)的(de)一半，可推出四(si)個(ge)(ge)(ge)三(san)角(jiao)形面(mian)(mian)(mian)積(ji)等于右上(shang)、左(zuo)下兩(liang)個(ge)(ge)(ge)長(chang)(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)形面(mian)(mian)(mian)積(ji)，所(suo)以(yi)勾(gou)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)+股方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)=弦(xian)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)。

注意：①矩，又稱(cheng)曲尺(chi)，L型的(de)木(mu)匠工具，由長(chang)短兩根木(mu)條(tiao)組成的(de)直角。古代“矩”指(zhi)L型曲尺(chi)，“矩形”才是(shi)“矩”衍生的(de)長(chang)方(fang)形。

②“既方(fang)之，外半(ban)(ban)其(qi)一(yi)矩(ju)”此句有爭議(yi)。清代四庫全書版定為“既方(fang)其(qi)外半(ban)(ban)之一(yi)矩(ju)”，而之前版本多為“既方(fang)之外半(ban)(ban)其(qi)一(yi)矩(ju)”。經陳良佐(zuo)、李國(guo)偉、李繼閔(min)、曲安京等學者研究，“既方(fang)之，外半(ban)(ban)其(qi)一(yi)矩(ju)”更符(fu)合邏(luo)輯。

③長(chang)指(zhi)的是面(mian)積。古代對不同維度的量綱比較，并沒有發明(ming)新的術(shu)語，而(er)統稱(cheng)“長(chang)”。趙爽(shuang)注(zhu)稱(cheng)：“兩(liang)矩者，句股各(ge)自乘之(zhi)實(shi)。共長(chang)者，并實(shi)之(zhi)數。

由于(yu)年代久遠，周公弦(xian)圖失傳，傳世版本只印了(le)(le)趙爽(shuang)弦(xian)圖（造(zao)紙術在漢代才發明(ming)(ming)）。所以某些學者誤以為(wei)商高沒有證(zheng)明(ming)(ming)（只是說了(le)(le)一段(duan)莫名其妙的話），后來趙爽(shuang)才給出證(zheng)明(ming)(ming)。其實不然(ran)，摘錄趙爽(shuang)注釋《周髀算經》時所做的《勾股(gu)圓方圖》——“句(ju)股(gu)各(ge)自乘，并之(zhi)(zhi)為(wei)弦(xian)實，開方除之(zhi)(zhi)即弦(xian)。案：弦(xian)圖又可(ke)以句(ju)股(gu)相乘為(wei)朱實二，倍之(zhi)(zhi)為(wei)朱實四，以句(ju)股(gu)之(zhi)(zhi)差自相乘為(wei)中黃實，加差實亦成弦(xian)實。