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基本介紹

《周髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)》原名《周髀》，算(suan)經(jing)(jing)(jing)的(de)(de)十書之(zhi)一，是中(zhong)國(guo)最古老的(de)(de)天(tian)文(wen)學和數(shu)學著作，約(yue)成書于公元(yuan)前1世紀，主要(yao)闡明當時(shi)的(de)(de)蓋天(tian)說和四分(fen)歷(li)法。唐初規定它為國(guo)子監明算(suan)科的(de)(de)教材之(zhi)一，故(gu)改名《周髀算(suan)經(jing)(jing)(jing)》。

《周髀算經》在數學上(shang)(shang)的(de)主(zhu)要成就是介紹(shao)了(le)勾(gou)股(gu)定理（據說原書沒(mei)有對勾(gou)股(gu)定理進(jin)行(xing)證明，其證明是三國時東(dong)吳人趙爽在《周髀注(zhu)(zhu)》一(yi)書的(de)《勾(gou)股(gu)圓方圖注(zhu)(zhu)》中給出的(de)）及其在測(ce)量上(shang)(shang)的(de)應用以及怎樣引用到(dao)天文計算。）

《周(zhou)髀(bi)算經》的(de)采(cai)用最簡(jian)便可行(xing)的(de)方法確定天(tian)文歷(li)法，揭示日月星(xing)辰(chen)的(de)運行(xing)規律，囊括四(si)季更替，氣候變(bian)化(hua)，包涵南北有極，晝(zhou)夜相推(tui)的(de)道理。給后(hou)來者生(sheng)活(huo)作息提供有力的(de)保障，自(zi)此以后(hou)歷(li)代(dai)數學家(jia)無不以《周(zhou)髀(bi)算經》為(wei)參考，在此基礎上不斷創新和發展。

其他信息

年代

假設我們(men)把(ba)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》的(de)本文限定為商(shang)高與周(zhou)(zhou)公的(de)問(wen)答(da)，似乎其成書年代(dai)也就不(bu)難斷(duan)定了(le)。可是，乾(qian)嘉以后，考據之學興起，疑古(gu)之風日(ri)盛，到了(le)現(xian)代(dai)，幾乎所(suo)有的(de)中(zhong)外(wai)學者(zhe)都不(bu)得(de)不(bu)接受這樣(yang)的(de)推斷(duan)：不(bu)僅商(shang)高是后人假托(tuo)的(de)，甚至陳子也是后人虛構出來(lai)的(de)。于(yu)是，僅僅把(ba)商(shang)高問(wen)答(da)看(kan)作《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》本文就不(bu)再(zai)有任何(he)意義了(le)。因此，許多(duo)學者(zhe)都將陳子問(wen)答(da)以后的(de)文字作為《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》全文的(de)一個部分，不(bu)再(zai)加(jia)以區(qu)分。此一來(lai)，人們(men)開始根據《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》中(zhong)的(de)內容推斷(duan)它的(de)成書年代(dai)。

通常(chang)的(de)(de)方(fang)法可(ke)以(yi)(yi)分成(cheng)兩類(lei)：天文學史專家，喜歡利用現(xian)代(dai)天文學手段，根(gen)據《周髀(bi)算(suan)經》中記錄的(de)(de)一些特殊的(de)(de)天文現(xian)象或數據，推(tui)算(suan)其(qi)(qi)應該出(chu)現(xian)的(de)(de)年代(dai)，并以(yi)(yi)此來確定(ding)其(qi)(qi)成(cheng)書時代(dai)。例如，日本學者能田忠亮便以(yi)(yi)《周髀(bi)算(suan)經》中的(de)(de)北(bei)極星（北(bei)極璇璣）到北(bei)天極的(de)(de)距(ju)離．歸(gui)算(suan)出(chu)其(qi)(qi)成(cheng)書年代(dai)大約在(zai)公元前5到7世紀之(zhi)間。

另一(yi)(yi)種方法則是(shi)根據《周髀(bi)(bi)(bi)算經(jing)》涉及的(de)(de)一(yi)(yi)些(xie)內容，與相對而言年(nian)代比較明確的(de)(de)其他歷(li)史典籍(ji)的(de)(de)比較，推斷其成(cheng)書年(nian)代。錢寶琮（1892年(nian)－1974年(nian)）在《周髀(bi)(bi)(bi)算經(jing)考》中對《周髀(bi)(bi)(bi)算經(jing)》的(de)(de)年(nian)代做出(chu)如(ru)下(xia)(xia)的(de)(de)考證：第一(yi)(yi)，《周髀(bi)(bi)(bi)算經(jing)》主要分為(wei)兩個部(bu)分，前(qian)為(wei)商(shang)高問(wen)答，后(hou)為(wei)陳子(zi)模型；第二，由(you)于懷疑商(shang)高是(shi)后(hou)人(ren)的(de)(de)偽托，因此，認為(wei)陳子(zi)以下(xia)(xia)的(de)(de)文字(zi)才是(shi)《周髀(bi)(bi)(bi)算經(jing)》的(de)(de)主體，通過與《淮(huai)南子(zi)·天文訓》的(de)(de)比較，從六個方面論述(shu)了(le)陳子(zi)以下(xia)(xia)的(de)(de)文字(zi)成(cheng)書在

公(gong)元前(qian)100年(nian)左右；第(di)三，“周(zhou)髀”的(de)(de)意思以陳子之說為準，同(tong)時也提(ti)到其他一(yi)些解釋；第(di)四，比(bi)較24氣(qi)(qi)名目及次序與(yu)《三統歷》之異同(tong)，提(ti)到趙爽注稱原節氣(qi)(qi)長度(du)15日與(yu)《淮南子》的(de)(de)粗略(lve)記法(fa)類(lei)似；第(di)五，分(fen)數算(suan)法(fa)的(de)(de)繁(fan)復與(yu)《九(jiu)章算(suan)術》類(lei)似。他的(de)(de)結論是(shi)，《周(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》成(cheng)書在公(gong)元前(qian)100年(nian)左右。在疑古思潮的(de)(de)影響下，還有(you)一(yi)種傾向也值(zhi)得人們的(de)(de)注意，那就是(shi)以《周(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》全書中所(suo)有(you)內容的(de)(de)下限來(lai)判定它的(de)(de)成(cheng)書年(nian)代，古克禮（C．Cullen）大約可以算(suan)是(shi)這個(ge)方面的(de)(de)一(yi)個(ge)代表。

古(gu)克禮認為以(yi)前(qian)的(de)(de)(de)學者(zhe)大(da)多錯誤(wu)地企(qi)圖去發現(xian)《周髀算經》作為一個整體完成(cheng)的(de)(de)(de)年代，因此(ci)，它(ta)們的(de)(de)(de)結論是在一種(zhong)假象(xiang)的(de)(de)(de)幻覺中獲得(de)的(de)(de)(de)。他(ta)認為，這部(bu)書是一些志同道合的(de)(de)(de)研究者(zhe)分(fen)(fen)(fen)別撰述的(de)(de)(de)論文集。他(ta)的(de)(de)(de)做法是，首先，調查(cha)《周髀算經》的(de)(de)(de)內(nei)在結構，并將其(qi)(qi)劃分(fen)(fen)(fen)為不同的(de)(de)(de)章(zhang)節(jie)，討論節(jie)與節(jie)之間的(de)(de)(de)關(guan)(guan)系(xi)；其(qi)(qi)次，討論與各(ge)節(jie)內(nei)容有(you)關(guan)(guan)的(de)(de)(de)外(wai)(wai)部(bu)世界的(de)(de)(de)資料(liao)與活(huo)動；第三(san)，探(tan)討可能(neng)產(chan)生與各(ge)節(jie)內(nei)容相關(guan)(guan)的(de)(de)(de)歷史環境。他(ta)將《周髀算經》的(de)(de)(de)整體編排打亂(luan)，把(ba)它(ta)們劃分(fen)(fen)(fen)為外(wai)(wai)篇(pian)與內(nei)篇(pian)兩個部(bu)分(fen)(fen)(fen)。其(qi)(qi)中內(nei)篇(pian)以(yi)陳子模型為主展(zhan)開，取其(qi)(qi)下限在公元1世紀。

在(zai)有(you)關外(wai)部環境的(de)(de)(de)(de)(de)討論中(zhong)，指出作為(wei)皇家(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)藏書(shu)(shu)(shu)目錄，班固（32－92年(nian)(nian)(nian)）編寫的(de)(de)(de)(de)(de)《漢書(shu)(shu)(shu)·藝文志》中(zhong)有(you)《許(xu)商算(suan)術(shu)》與《杜(du)忠算(suan)術(shu)》而無(wu)《周髀(bi)算(suan)經(jing)》；蓋天說(shuo)在(zai)公(gong)(gong)(gong)元(yuan)l世紀已經(jing)為(wei)人所熟知(zhi)，蔡邕在(zai)公(gong)(gong)(gong)元(yuan)180年(nian)(nian)(nian)已經(jing)明確(que)將其列為(wei)中(zhong)圈古代的(de)(de)(de)(de)(de)三(san)家(jia)宇宙論之一。結論是，由(you)于(yu)受到了(le)渾天說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)影響(xiang)，《周髀(bi)算(suan)經(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)成書(shu)(shu)(shu)時間不可能早于(yu)公(gong)(gong)(gong)元(yuan)前l世紀，但也不會晚于(yu)公(gong)(gong)(gong)元(yuan)200年(nian)(nian)(nian)。筆者以(yi)為(wei)，判(pan)別中(zhong)國(guo)古代科學(xue)(xue)典籍的(de)(de)(de)(de)(de)完成年(nian)(nian)(nian)代，應該(gai)以(yi)書(shu)(shu)(shu)中(zhong)主要的(de)(de)(de)(de)(de)科學(xue)(xue)思(si)想(xiang)或知(zhi)識水平(ping)所反(fan)映的(de)(de)(de)(de)(de)年(nian)(nian)(nian)代為(wei)判(pan)別標準(zhun)，而不應以(yi)書(shu)(shu)(shu)中(zhong)夾雜(za)的(de)(de)(de)(de)(de)若干(gan)后代摻入的(de)(de)(de)(de)(de)只言片(pian)語作為(wei)推斷的(de)(de)(de)(de)(de)條件。由(you)于(yu)早期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)科學(xue)(xue)典籍通常都是人類知(zhi)識逐漸積累(lei)的(de)(de)(de)(de)(de)結晶，因此，搞清楚(chu)其中(zhong)科學(xue)(xue)思(si)想(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)萌(meng)生時期(qi)與流傳(chuan)脈絡，也許(xu)比單純判(pan)定它的(de)(de)(de)(de)(de)成書(shu)(shu)(shu)年(nian)(nian)(nian)代更有(you)意義。

科學史已經反復(fu)地證明，今天看來是(shi)非常顯然的(de)(de)(de)科學真理，在(zai)人類認識它的(de)(de)(de)初期往(wang)往(wang)經歷了(le)長期的(de)(de)(de)懷疑，甚至抵制(zhi)。例如，歲差(cha)現象在(zai)南北朝(chao)時期的(de)(de)(de)存廢之爭(zheng)，就(jiu)是(shi)一(yi)個典型的(de)(de)(de)事例。因此，試圖(tu)通過(guo)以《周髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經》中的(de)(de)(de)內容(rong)的(de)(de)(de)完(wan)整(zheng)或正確(que)性介(jie)于(yu)某兩個古代(dai)(dai)文獻之間，就(jiu)認定其(qi)成(cheng)(cheng)書(shu)年代(dai)(dai)也(ye)必定介(jie)于(yu)兩者(zhe)之間的(de)(de)(de)方法，是(shi)靠不(bu)(bu)住的(de)(de)(de)。而利用一(yi)些重要數據的(de)(de)(de)理論推算(suan)(suan)來判(pan)定其(qi)成(cheng)(cheng)書(shu)年代(dai)(dai)的(de)(de)(de)方法，許多(duo)時候(hou)也(ye)是(shi)不(bu)(bu)太可行的(de)(de)(de)。有(you)關(guan)《周髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經》成(cheng)(cheng)書(shu)年代(dai)(dai)的(de)(de)(de)討論，馮禮貴曾(ceng)經收集了(le)14種不(bu)(bu)同的(de)(de)(de)觀點。盡管在(zai)《周髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經》成(cheng)(cheng)書(shu)年代(dai)(dai)的(de)(de)(de)判(pan)斷上有(you)很大的(de)(de)(de)區別，但幾乎所有(you)的(de)(de)(de)研(yan)究者(zhe)都有(you)一(yi)個共識，那(nei)就(jiu)是(shi)《周髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經》并不(bu)(bu)是(shi)成(cheng)(cheng)書(shu)于(yu)一(yi)人一(yi)時，它經過(guo)了(le)許多(duo)朝(chao)代(dai)(dai)的(de)(de)(de)流傳進化才得(de)以完(wan)成(cheng)(cheng)我們(men)所看到的(de)(de)(de)篇幅與(yu)結構。

章鴻(hong)釗曾(ceng)經(jing)(jing)明確(que)地(di)將《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成劃(hua)分(fen)為(wei)(wei)三個(ge)時(shi)(shi)(shi)期(qi)：第一(yi)(yi)(yi)期(qi)，商(shang)高(gao)(gao)(gao)問(wen)(wen)答；第二期(qi)，陳(chen)(chen)(chen)子(zi)(zi)問(wen)(wen)答；第三期(qi)，陳(chen)(chen)(chen)子(zi)(zi)以(yi)后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)文字(zi)。這(zhe)樣(yang)(yang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃(hua)分(fen)，是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)許多(duo)人(ren)都默認(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)個(ge)事實。正如(ru)陳(chen)(chen)(chen)方(fang)(fang)正在(zai)總結前人(ren)對《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》成書過程的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)討論(lun)時(shi)(shi)(shi)所說(shuo)(shuo)：《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)》不(bu)(bu)但不(bu)(bu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)個(ge)人(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作，甚至(zhi)也未必是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)單一(yi)(yi)(yi)性(xing)質(zhi)(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作，而可(ke)(ke)能是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)由多(duo)個(ge)在(zai)不(bu)(bu)同(tong)歷史時(shi)(shi)(shi)期(qi)出現，相關、相類但并不(bu)(bu)相同(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)學(xue)(xue)(xue)說(shuo)(shuo)、理(li)論(lun)，逐(zhu)漸累積(ji)而成。因此，將《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》單純(chun)視為(wei)(wei)表述(shu)蓋天(tian)(tian)說(shuo)(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自洽體系，而忽視它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)層積(ji)性(xing)質(zhi)(zhi)，是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)(bu)甚恰當的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。筆(bi)者也贊同(tong)將《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成劃(hua)分(fen)為(wei)(wei)三個(ge)時(shi)(shi)(shi)期(qi)。具(ju)體而言，上(shang)卷之(zhi)(zhi)(zhi)一(yi)(yi)(yi)，商(shang)高(gao)(gao)(gao)與周(zhou)(zhou)公的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)答，應(ying)該是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原(yuan)始文字(zi)，它反映了早期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)以(yi)商(shang)高(gao)(gao)(gao)為(wei)(wei)代表的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)中(zhong)國(guo)古(gu)代數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家對數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)以(yi)及數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)用的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)認(ren)識。商(shang)高(gao)(gao)(gao)答周(zhou)(zhou)公問(wen)(wen)企圖說(shuo)(shuo)明的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)解決(jue)幾(ji)何(he)測(ce)量學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)方(fang)(fang)法，這(zhe)一(yi)(yi)(yi)點他(ta)做到了。這(zhe)個(ge)方(fang)(fang)法包(bao)含勾股定理(li)與用矩(ju)之(zhi)(zhi)(zhi)道(dao)。按(an)照商(shang)高(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)說(shuo)(shuo)法，這(zhe)些數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)內容在(zai)大(da)禹治水(shui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)(shi)候已經(jing)(jing)具(ju)備，應(ying)該是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)信(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。第二個(ge)時(shi)(shi)(shi)期(qi)，陳(chen)(chen)(chen)子(zi)(zi)模型(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提(ti)出，其內容為(wei)(wei)上(shang)卷之(zhi)(zhi)(zhi)二陳(chen)(chen)(chen)子(zi)(zi)與容方(fang)(fang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)答，這(zhe)個(ge)部分(fen)大(da)約(yue)在(zai)戰國(guo)時(shi)(shi)(shi)期(qi)已經(jing)(jing)形成。這(zhe)個(ge)時(shi)(shi)(shi)期(qi)，陳(chen)(chen)(chen)子(zi)(zi)將商(shang)高(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩(ju)之(zhi)(zhi)(zhi)道(dao)進(jin)一(yi)(yi)(yi)步(bu)發展成為(wei)(wei)測(ce)望日高(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)重(zhong)差術。也是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)以(yi)相信(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。陳(chen)(chen)(chen)子(zi)(zi)問(wen)(wen)答中(zhong)試(shi)圖解決(jue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，利用影(ying)差原(yuan)理(li)與日高(gao)(gao)(gao)術，在(zai)商(shang)高(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩(ju)之(zhi)(zhi)(zhi)道(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎上(shang)，進(jin)一(yi)(yi)(yi)步(bu)完善更加(jia)宏大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)測(ce)天(tian)(tian)量地(di)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論(lun)與實踐。陳(chen)(chen)(chen)子(zi)(zi)模型(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提(ti)出，事實上(shang)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)在(zai)向(xiang)著(zhu)這(zhe)樣(yang)(yang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標邁出了關鍵的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)步(bu)：把(ba)商(shang)高(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)》轉化為(wei)(wei)蓋天(tian)(tian)說(shuo)(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)(bi)》，把(ba)一(yi)(yi)(yi)部比較單純(chun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)著(zhu)作轉化為(wei)(wei)一(yi)(yi)(yi)部純(chun)粹的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)理(li)天(tian)(tian)文學(xue)(xue)(xue)論(lun)著(zhu)。

從(cong)上(shang)卷(juan)之(zhi)三(san)開始，是(shi)對蓋(gai)(gai)天(tian)(tian)(tian)說理(li)(li)論的(de)(de)(de)(de)(de)(de)擴張(zhang)與完善。首先(xian)是(shi)在陳子模型(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基本假設下，建立(li)七(qi)衡六(liu)間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)宇宙模型(xing)(xing)，并以術文的(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)式給出(chu)(chu)(chu)每日(ri)太陽運行軌道的(de)(de)(de)(de)(de)(de)計算方法(fa)，使(shi)七(qi)衡圖成為(wei)一(yi)個(ge)可(ke)以操作的(de)(de)(de)(de)(de)(de)真正(zheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)活動式星盤。在此基礎上(shang)，進一(yi)步引入新的(de)(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)(tian)地(di)形(xing)狀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)模式，給出(chu)(chu)(chu)了(le)地(di)理(li)(li)五帶的(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃分、寒暑(shu)成因的(de)(de)(de)(de)(de)(de)解釋、日(ri)出(chu)(chu)(chu)日(ri)落的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方位，并建立(li)了(le)蓋(gai)(gai)天(tian)(tian)(tian)說的(de)(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)(tian)體測(ce)量學，引入了(le)去極度的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念，制作了(le)比較完整(zheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)《四(si)分歷》等等。這些雖然大大地(di)豐富(fu)了(le)陳子模型(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)(li)論內涵，但同時也制造了(le)蓋(gai)(gai)天(tian)(tian)(tian)說系統內部的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)些無法(fa)完全自(zi)洽的(de)(de)(de)(de)(de)(de)矛盾，成為(wei)后世(shi)學者不斷(duan)批評(ping)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)目(mu)標。這個(ge)部分的(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)成，意味著《周髀算經》作為(wei)一(yi)部論述蓋(gai)(gai)天(tian)(tian)(tian)說理(li)(li)論的(de)(de)(de)(de)(de)(de)專著的(de)(de)(de)(de)(de)(de)完成。從(cong)《周髀算經》上(shang)卷(juan)之(zhi)三(san)開始，出(chu)(chu)(chu)現(xian)了(le)大量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)“術曰”，這一(yi)點(dian)與商(shang)高問答及陳子問答的(de)(de)(de)(de)(de)(de)行文風格形(xing)成明顯(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)反(fan)差，從(cong)一(yi)個(ge)側面反(fan)映出(chu)(chu)(chu)其形(xing)成時期應該是(shi)比前兩個(ge)部分更(geng)加晚近的(de)(de)(de)(de)(de)(de)事實。

綜上所述，《周(zhou)髀算經(jing)》的(de)(de)第(di)一(yi)部分商高問答(da)，曾經(jing)作(zuo)為《周(zhou)髀算經(jing)》獨立(li)的(de)(de)本(ben)文(wen)，其完(wan)成(cheng)時間(jian)應(ying)該是(shi)在(zai)西(xi)(xi)周(zhou)初期，約(yue)公(gong)元前(qian)11世(shi)紀。陳子(zi)問答(da)中(zhong)的(de)(de)數學理論與宇宙模型(xing)完(wan)成(cheng)的(de)(de)時間(jian)，大約(yue)在(zai)公(gong)元前(qian)4、5世(shi)紀。作(zuo)為一(yi)部闡(chan)釋蓋天說理論的(de)(de)數理天文(wen)學著作(zuo)，《周(zhou)髀算經(jing)》從上卷(juan)之三開(kai)始，是(shi)對陳子(zi)模型(xing)的(de)(de)完(wan)善和擴充，其中(zhong)的(de)(de)一(yi)些基本(ben)數據(ju)與結(jie)構，如(ru)七(qi)衡圖與去極度等，應(ying)該是(shi)在(zai)陳子(zi)模型(xing)提(ti)出后(hou)就已經(jing)確(que)定(ding)了(le)的(de)(de)，但(dan)是(shi)，陳子(zi)假設的(de)(de)平行(xing)平面(mian)的(de)(de)天地模型(xing)，則(ze)得到了(le)一(yi)定(ding)的(de)(de)修正，并(bing)且(qie)加入(ru)了(le)一(yi)些新的(de)(de)東西(xi)(xi)，如(ru)寒暑成(cheng)因(yin)與歷法等內容，總而言之，《周(zhou)髀算經(jing)》第(di)三部分的(de)(de)成(cheng)型(xing)，按照錢(qian)寶琮與劉朝陽的(de)(de)考證，應(ying)該不會晚于公(gong)元前(qian)100年。

質疑

根據《周髀(bi)算經》原(yuan)文中(zhong)的(de)(de)明確交待，以及(ji)在文獻中(zhong)對幾(ji)個關鍵(jian)問題的(de)(de)詳細(xi)論證，我(wo)們已經知道《周髀(bi)算經》中(zhong)的(de)(de)蓋天宇宙(zhou)有如下(xia)特征∶

一(yi)、大地與(yu)天為相距(ju)80,000里(li)的平行圓(yuan)形平面。

二、大地中央有高大柱(zhu)形物（高60,000里的“璇璣(ji)”，其底面直徑(jing)為23,000里）。

三、該宇(yu)宙模型的構造者在圓形大(da)地上為自己的居息之處確定了位(wei)置，并且這位(wei)置不在中央而(er)是偏南。

四、大(da)地中央的柱(zhu)形延(yan)伸至天處為北(bei)極。

五(wu)、日月星辰(chen)在(zai)天上(shang)環繞北極(ji)作(zuo)平(ping)面圓周運動。

六、太(tai)陽(yang)在這種圓(yuan)周運動中有著多重同心軌道(dao)，并且以半年(nian)為周期(qi)作規(gui)律性的(de)軌道(dao)遷移(一(yi)年(nian)往返一(yi)遍)。

七、太陽(yang)的上述運行模式(shi)可以在(zai)相當程度上說明晝夜成因和(he)太陽(yang)周年視運動中的一些天象。

令人極為驚訝的(de)是，筆者(zhe)發現(xian)(xian)上述(shu)七(qi)項特(te)征竟與古代印度的(de)宇(yu)宙模型(xing)全都吻合！這樣的(de)現(xian)(xian)象(xiang)恐(kong)非偶然，值得(de)加(jia)以注意和(he)研(yan)究。下(xia)面先報(bao)道(dao)筆者(zhe)初步比(bi)較的(de)結果，更深入的(de)研(yan)究或當俟諸異日。

關于(yu)古代(dai)印(yin)度宇宙(zhou)模(mo)(mo)型的(de)(de)記載，主要保存在(zai)一(yi)些《往(wang)世書(shu)》（Puranas）中(zhong)。《往(wang)世書(shu)》是印(yin)度教的(de)(de)圣典，同時又是古代(dai)史籍，帶有百(bai)科全書(shu)性質。它們(men)的(de)(de)確(que)切(qie)成書(shu)年(nian)代(dai)難以(yi)(yi)判定(ding)，但其中(zhong)關于(yu)宇宙(zhou)模(mo)(mo)式的(de)(de)一(yi)套(tao)概念，學(xue)者(zhe)們(men)相信可(ke)以(yi)(yi)追(zhui)溯到吠陀時代(dai)----約公元前1000年(nian)之前，因而(er)是非常古老的(de)(de)。《往(wang)世書(shu)》中(zhong)的(de)(de)宇宙(zhou)模(mo)(mo)式可(ke)以(yi)(yi)概述如(ru)下:

大地(di)象平底的(de)(de)圓盤，在大地(di)中(zhong)央聳立著(zhu)巍峨的(de)(de)高山(shan)(shan)，名為迷(mi)盧(Meru，也(ye)即(ji)漢譯佛經中(zhong)的(de)(de)“須彌(mi)山(shan)(shan)”，或(huo)作Sumeru，譯成“蘇迷(mi)盧”)。迷(mi)盧山(shan)(shan)外(wai)圍繞(rao)著(zhu)環形陸(lu)地(di)，此陸(lu)地(di)又為環形大海所圍繞(rao)，……如此遞相環繞(rao)向(xiang)外(wai)延(yan)展，共有(you)七圈(quan)大陸(lu)和七圈(quan)海洋。

印度在迷盧山的南方。

與大(da)地平行(xing)的(de)天(tian)(tian)(tian)上有著一系列天(tian)(tian)(tian)輪，這(zhe)些天(tian)(tian)(tian)輪的(de)共同軸心就(jiu)是迷盧山(shan)；迷盧山(shan)的(de)頂端就(jiu)是北極星(xing)(Dhruva)所在之處，諸(zhu)天(tian)(tian)(tian)輪攜帶(dai)著各(ge)種天(tian)(tian)(tian)體繞(rao)之旋轉；這(zhe)些天(tian)(tian)(tian)體包(bao)括日(ri)、月(yue)、恒星(xing)、……以(yi)及五大(da)行(xing)星(xing)----依次為水星(xing)、金(jin)星(xing)、火(huo)星(xing)、木星(xing)和土(tu)星(xing)。

利用迷(mi)盧山可以解釋黑夜與(yu)白(bai)晝的(de)交替。攜帶(dai)太陽的(de)天(tian)輪上有180條軌道，太陽每(mei)天(tian)遷移一軌，半年后(hou)反向重復，以此來(lai)描述日出(chu)方位角(jiao)的(de)周年變化(hua)。……

又唐(tang)代(dai)釋道(dao)宣《釋迦方志》卷上也(ye)記述了(le)古(gu)代(dai)印度的宇宙模型，細節上恰可與(yu)上述記載相(xiang)互補充(chong)∶

……蘇迷(mi)盧山(shan)，即經所(suo)謂(wei)須(xu)彌山(shan)也，在大海(hai)中，據金輪表，半出(chu)海(hai)上(shang)八萬(wan)由旬，日月回薄(bo)于其腰也。外(wai)有金山(shan)七重圍之，中各海(hai)水，具八功德。

根據這些記(ji)載，古(gu)代印度宇宙(zhou)(zhou)模(mo)型(xing)與《周髀算經》蓋天(tian)宇宙(zhou)(zhou)模(mo)型(xing)卻是有驚人(ren)的相似之處，在細節(jie)上幾乎處處吻合∶

一、兩者的(de)天、地(di)都是圓(yuan)形(xing)的(de)平(ping)行平(ping)面；

二、“璇璣(ji)”和“迷盧山”同樣扮演了大地中央的“天柱”角(jiao)色；

三、周地(di)和(he)印度都被置于各自宇宙中大地(di)的南半部分(fen)；

四、“璇璣(ji)”和(he)“迷盧上”的正(zheng)上方都是各種天體旋轉的樞(shu)軸----北(bei)極；

五、日月(yue)星辰在(zai)天(tian)上(shang)環繞北(bei)極作平(ping)面(mian)圓周(zhou)運動。

六(liu)、如果說印度迷盧山外的(de)“七(qi)山七(qi)海”在數(shu)字上使(shi)人(ren)聯想到《周髀算經》的(de)“七(qi)衡六(liu)間(jian)(jian)”的(de)話，那么印度宇宙中太(tai)陽(yang)天輪的(de)180條軌道無論從性質還是(shi)(shi)功能來說都(dou)與七(qi)衡六(liu)間(jian)(jian)完全一致(太(tai)陽(yang)在七(qi)衡之間(jian)(jian)的(de)往返(fan)也是(shi)(shi)每天連續移動的(de))。

七、特(te)別值得指出，《周髀算經(jing)》中天(tian)與地的距離是(shi)八萬里，而迷盧山(shan)也(ye)是(shi)高出海上“八萬由旬”，其上即諸天(tian)輪所(suo)在，是(shi)其天(tian)地距離恰好(hao)同(tong)為八萬單(dan)位，難道(dao)純屬(shu)偶(ou)然?

在(zai)人類文(wen)明(ming)發展(zhan)史上(shang)，文(wen)化的(de)多(duo)元自發生成是(shi)完全(quan)可能的(de)，因此許多(duo)不同文(wen)明(ming)中相(xiang)(xiang)似之(zhi)處，也可能是(shi)偶(ou)然(ran)巧合。但是(shi)《周髀算經》的(de)蓋天(tian)宇宙模型與(yu)古代印度宇宙模型之(zhi)間的(de)相(xiang)(xiang)似程度實在(zai)太高----從整個格局到(dao)許多(duo)細節都一一吻合，如果仍用“偶(ou)然(ran)巧合”去解釋，無論如何總顯得(de)過于(yu)勉強。

當(dang)然(ran)，如果我們就此立刻進(jin)入關于(yu)“誰源于(yu)誰”的(de)考(kao)據(ju)之(zhi)中，那又將遠遠超出本文的(de)范圍。

2寒暑(shu)五帶的知識(shi)來自(zi)何處?

《周髀算經》中(zhong)有相當于現代人熟(shu)知(zhi)的(de)關于地球上寒暑五(wu)帶的(de)知(zhi)識(shi)。這是(shi)一(yi)個(ge)非(fei)常令(ling)人驚異的(de)現象----因為這類知(zhi)識(shi)是(shi)以往兩千年(nian)間，中(zhong)國(guo)傳統天文學(xue)說中(zhong)所沒有、而且不(bu)相信的(de)。

這些知識(shi)在(zai)《周髀(bi)算經(jing)》中主要見于卷(juan)下第9節(jie)∶

極下不生萬物(wu)，何以知之(zhi)(zhi)?……北極左右(you)，夏(xia)有不釋之(zhi)(zhi)冰。

中衡去周七(qi)萬五千(qian)五百里。中衡左右，冬有不死(si)之(zhi)草，夏長之(zhi)類。此陽(yang)彰陰微，故萬物不死(si)，五谷一歲再熟。

凡(fan)北極(ji)之左右(you)，物有朝生(sheng)暮獲，冬生(sheng)之類。

這里(li)需要先(xian)作一些說明∶

上引第二則(ze)中，所謂(wei)“中衡左右”即趙爽注文中所認(ren)為的“內衡之(zhi)外，外衡之(zhi)內”；這(zhe)一區域正(zheng)好對應(ying)于地球寒暑五帶中的熱帶(南緯23°30′至北緯23°30′之(zhi)間)----盡管《周髀算(suan)經(jing)》中并(bing)無地球的觀念。

上(shang)引第(di)三則(ze)中(zhong)，說(shuo)(shuo)北極左(zuo)右“物有朝(chao)生(sheng)暮獲”，這就必須聯系到《周髀算經》蓋(gai)天宇宙(zhou)模型(xing)對于極晝(zhou)、極夜現(xian)象的演繹(yi)和描述能力。據前(qian)所(suo)(suo)述，圓形大地中(zhong)央(yang)的“璇(xuan)璣(ji)”之(zhi)底面直徑為23,000里(li)，則(ze)半(ban)徑為11,500里(li)，而(er)(er)《周髀算經》所(suo)(suo)設(she)定的太陽(yang)光芒向其四(si)周照射的極限(xian)距離是167,000里(li)；于是，由本文(wen)圖1清楚可見(jian)，每(mei)年從春分(fen)至秋分(fen)期間，在(zai)“璇(xuan)璣(ji)”范圍內將出現(xian)極晝(zhou)----晝(zhou)夜始終在(zai)陽(yang)光之(zhi)下；而(er)(er)從秋分(fen)到春分(fen)期間則(ze)出現(xian)極夜----陽(yang)光在(zai)此期間的任何時刻都照射不到“璇(xuan)璣(ji)”范圍之(zhi)內。這也就是趙爽注文(wen)中(zhong)所(suo)(suo)說(shuo)(shuo)的“北極之(zhi)下，從春分(fen)至秋分(fen)為晝(zhou)，從秋分(fen)至春分(fen)為夜”，因(yin)為是以半(ban)年為晝(zhou)、半(ban)年為夜。

《周髀(bi)算(suan)經》中上述關(guan)于寒暑五(wu)帶(dai)的(de)知識(shi)，其準確性是沒有疑問的(de)。然而這(zhe)些(xie)知識(shi)卻并不是以往兩千年間(jian)中國傳統天(tian)文學中的(de)組成部分(fen)。對于這(zhe)一(yi)現象，可(ke)以從幾方(fang)面來加(jia)以討(tao)論。

首先，為(wei)《周髀算經(jing)》作注(zhu)的(de)(de)趙(zhao)爽(shuang)，竟然就表示(shi)不相信書中(zhong)的(de)(de)這些知(zhi)識(shi)(shi)。例如對于北(bei)極附近“夏有不釋之(zhi)(zhi)冰”，趙(zhao)爽(shuang)注(zhu)稱(cheng)∶“冰凍不解，是(shi)(shi)以(yi)推之(zhi)(zhi)，夏至(zhi)之(zhi)(zhi)日(ri)外衡(heng)之(zhi)(zhi)下為(wei)冬矣，萬物當死(si)----此日(ri)遠近為(wei)冬夏,非陰陽之(zhi)(zhi)氣，爽(shuang)或疑(yi)(yi)焉。”又如對于“冬有不死(si)之(zhi)(zhi)草”、“陽彰陰微”、“五谷一歲再熟”的(de)(de)熱(re)帶(dai)(dai)，趙(zhao)爽(shuang)表示(shi)“此欲以(yi)內衡(heng)之(zhi)(zhi)外、外衡(heng)之(zhi)(zhi)內，常為(wei)夏也。然其(qi)修廣，爽(shuang)未之(zhi)(zhi)前聞”----他從(cong)(cong)未聽說(shuo)過。我們從(cong)(cong)趙(zhao)爽(shuang)為(wei)《周髀算經(jing)》全(quan)書所作的(de)(de)注(zhu)釋來(lai)判(pan)斷，他毫無(wu)疑(yi)(yi)問是(shi)(shi)那個(ge)時(shi)代夠格(ge)(ge)的(de)(de)天文(wen)學(xue)家(jia)之(zhi)(zhi)一，為(wei)什么竟從(cong)(cong)未聽說(shuo)過這些寒暑五帶(dai)(dai)知(zhi)識(shi)(shi)?比較合理的(de)(de)解釋似乎只(zhi)能是(shi)(shi)∶這些知(zhi)識(shi)(shi)不是(shi)(shi)中(zhong)國傳統(tong)天文(wen)學(xue)體系中(zhong)的(de)(de)組(zu)成部分(fen)，所以(yi)對于當時(shi)大部分(fen)中(zhong)國天文(wen)學(xue)家(jia)來(lai)說(shuo)，這些知(zhi)識(shi)(shi)是(shi)(shi)新奇(qi)的(de)(de)、與舊有知(zhi)識(shi)(shi)背景格(ge)(ge)格(ge)(ge)不入的(de)(de)，因而也是(shi)(shi)難(nan)以(yi)置信的(de)(de)。

其次，在古(gu)代中(zhong)國(guo)居傳統(tong)地位的(de)天(tian)(tian)文學說(shuo)(shuo)(shuo)----渾天(tian)(tian)說(shuo)(shuo)(shuo)中(zhong)，由于(yu)沒有正確的(de)地球(qiu)概(gai)念(nian)，是(shi)(shi)不(bu)可能提出寒暑五帶之類的(de)問題來(lai)的(de)。因此直到明(ming)朝末(mo)年(nian)，來(lai)華的(de)耶穌會傳教(jiao)士在他(ta)(ta)們的(de)中(zhong)文著作中(zhong)向(xiang)中(zhong)國(guo)讀者介紹寒暑五帶知(zhi)識(shi)(shi)時，仍被中(zhong)國(guo)人(ren)目為未(wei)之前聞(wen)的(de)新(xin)奇學說(shuo)(shuo)(shuo)。正式這些耶穌會傳教(jiao)士的(de)中(zhong)文著作才使(shi)中(zhong)國(guo)學者接受(shou)了地球(qiu)寒暑五帶之說(shuo)(shuo)(shuo)。而當清(qing)朝初年(nian)“西學中(zhong)源”說(shuo)(shuo)(shuo)甚囂(xiao)塵上時，梅文鼎等人(ren)為寒暑五帶之說(shuo)(shuo)(shuo)尋找中(zhong)國(guo)源頭，找到的(de)正是(shi)(shi)《周髀(bi)算經》----他(ta)(ta)們認為是(shi)(shi)《周髀(bi)算經》等中(zhong)國(guo)學說(shuo)(shuo)(shuo)在上古(gu)時期傳入西方，才教(jiao)會了希(xi)臘人(ren)、羅馬人(ren)和阿拉伯人(ren)掌握天(tian)(tian)文學知(zhi)識(shi)(shi)的(de)。

我們面臨一(yi)系列(lie)尖(jian)銳的問(wen)題∶既然在渾天(tian)學(xue)說中因沒(mei)有地球(qiu)概念而不(bu)可(ke)能(neng)(neng)提(ti)出寒暑五帶的問(wen)題，那(nei)么《周髀算(suan)經》中同(tong)樣沒(mei)有地球(qiu)概念，何(he)(he)(he)以卻能(neng)(neng)記載這(zhe)些(xie)知(zhi)識(shi)?如果(guo)說《周髀算(suan)經》的作(zuo)者身處北(bei)溫(wen)帶之(zhi)中，只是(shi)根據越向(xiang)北(bei)越冷(leng)、越往南越熱，就能(neng)(neng)推衍出北(bei)極(ji)“夏有不(bu)釋(shi)之(zhi)冰(bing)”、熱帶“五谷(gu)一(yi)歲再熟(shu)”之(zhi)類的現象(xiang)，那(nei)渾天(tian)家何(he)(he)(he)以偏(pian)就不(bu)能(neng)(neng)?再說趙爽為《周髀算(suan)經》作(zuo)注，他總該是(shi)接受蓋天(tian)學(xue)說之(zhi)人(ren)，何(he)(he)(he)以連他都(dou)對(dui)這(zhe)些(xie)知(zhi)識(shi)不(bu)能(neng)(neng)相信(xin)?這(zhe)樣看來，有必要考(kao)慮這(zhe)些(xie)知(zhi)識(shi)來自異域(yu)的可(ke)能(neng)(neng)性。

勾股定理

首先，《周(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》中明確記載了勾(gou)股定理的公(gong)式：“若求邪至(zhi)日者，以日下(xia)為勾(gou)，日高為股，勾(gou)股各自乘，并而(er)開方除之，得邪至(zhi)日。”（《周(zhou)髀算(suan)經(jing)(jing)》上卷二）

而(er)勾股定理的證明呢，就(jiu)在(zai)《周髀算(suan)經》上卷一——

昔者周公問于商(shang)高曰：“竊聞乎大夫善數也，請(qing)問昔者包犧立周天(tian)(tian)歷度——夫天(tian)(tian)可不階(jie)而(er)升(sheng)，地不可得(de)尺(chi)寸而(er)度，請(qing)問數安從出(chu)？”

商高曰：“數之(zhi)法出于(yu)圓方(fang)，圓出于(yu)方(fang)，方(fang)出于(yu)矩(ju)(ju)，矩(ju)(ju)出于(yu)九九八十(shi)一(yi)。故折矩(ju)(ju)，以為勾廣三(san)，股(gu)修四，徑隅五。既方(fang)之(zhi)，外半其一(yi)矩(ju)(ju)，環而共盤，得成三(san)四五。兩矩(ju)(ju)共長二十(shi)有(you)五，是謂(wei)積矩(ju)(ju)。故禹(yu)之(zhi)所以治天下者，此數之(zhi)所生(sheng)也。”

周(zhou)(zhou)公對古代伏羲（庖(pao)犧）構造周(zhou)(zhou)天歷度的(de)事跡感到(dao)不(bu)可(ke)(ke)思議（天不(bu)可(ke)(ke)階(jie)而升，地不(bu)可(ke)(ke)得尺寸(cun)而度），就(jiu)請教商(shang)(shang)高數(shu)學知識從何而來(lai)。于(yu)(yu)(yu)是商(shang)(shang)高以(yi)勾股定理的(de)證明為例(li)，解(jie)釋數(shu)學知識的(de)由來(lai)。“數(shu)之法出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)圓(yuan)方(fang)(fang)(fang)，圓(yuan)出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)方(fang)(fang)(fang)，方(fang)(fang)(fang)出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)矩，矩出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)九(jiu)(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)(jiu)八十(shi)一。”解(jie)釋發展(zhan)脈絡(luo)——數(shu)之法出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)圓(yuan)（圓(yuan)周(zhou)(zhou)率三）方(fang)(fang)(fang)（四方(fang)(fang)(fang)），圓(yuan)出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)方(fang)(fang)(fang)（圓(yuan)形面(mian)積(ji)=外接正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形面(mian)積(ji)*圓(yuan)周(zhou)(zhou)率/4），方(fang)(fang)(fang)出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)矩（正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形源自兩邊(bian)相(xiang)等的(de)矩），矩出(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)九(jiu)(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)(jiu)八十(shi)一（長(chang)乘寬(kuan)面(mian)積(ji)計算依自九(jiu)(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)(jiu)乘法表）。

“故折矩①，以(yi)為勾(gou)廣三(san)，股修四，徑(jing)隅五。”開始做圖——選(xuan)擇一個(ge)勾(gou)三(san)（圓(yuan)周(zhou)率三(san)）、股四（四方(fang)）的矩，矩的兩條邊終點的連線應為5（徑(jing)隅五）。

“②既方(fang)(fang)(fang)之，外半其(qi)一(yi)矩(ju)，環而(er)共盤，得(de)成三(san)(san)四(si)五(wu)。”這(zhe)就是關鍵的(de)證明過程——以矩(ju)的(de)兩(liang)條邊畫正方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)（勾方(fang)(fang)(fang)、股方(fang)(fang)(fang)），根據矩(ju)的(de)弦(xian)(xian)外面再畫一(yi)個矩(ju)（曲尺，實際上用(yong)作直角三(san)(san)角形(xing)(xing)），將“外半其(qi)一(yi)矩(ju)”得(de)到的(de)三(san)(san)角形(xing)(xing)剪下環繞復(fu)制形(xing)(xing)成一(yi)個大(da)正方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)，可看到其(qi)中有邊長(chang)三(san)(san)勾方(fang)(fang)(fang)、邊長(chang)四(si)股方(fang)(fang)(fang)、邊長(chang)五(wu)弦(xian)(xian)方(fang)(fang)(fang)三(san)(san)個正方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)。

“兩矩共長(chang)③二(er)十(shi)有五，是謂積(ji)矩。”此為(wei)驗算——勾方(fang)(fang)(fang)、股(gu)方(fang)(fang)(fang)的(de)面(mian)(mian)積(ji)之(zhi)和(he)(he)，與弦方(fang)(fang)(fang)的(de)面(mian)(mian)積(ji)二(er)十(shi)五相(xiang)等(deng)——從圖形(xing)上(shang)來看，大(da)正方(fang)(fang)(fang)形(xing)減(jian)去四個(ge)三角(jiao)形(xing)面(mian)(mian)積(ji)后(hou)為(wei)弦方(fang)(fang)(fang)，再是大(da)正方(fang)(fang)(fang)形(xing)減(jian)去右(you)上(shang)、左下兩個(ge)長(chang)方(fang)(fang)(fang)形(xing)面(mian)(mian)積(ji)后(hou)為(wei)勾方(fang)(fang)(fang)股(gu)方(fang)(fang)(fang)之(zhi)和(he)(he)。因三角(jiao)形(xing)為(wei)長(chang)方(fang)(fang)(fang)形(xing)面(mian)(mian)積(ji)的(de)一(yi)半，可推出(chu)四個(ge)三角(jiao)形(xing)面(mian)(mian)積(ji)等(deng)于(yu)右(you)上(shang)、左下兩個(ge)長(chang)方(fang)(fang)(fang)形(xing)面(mian)(mian)積(ji)，所以勾方(fang)(fang)(fang)+股(gu)方(fang)(fang)(fang)=弦方(fang)(fang)(fang)。

注意：①矩(ju)，又(you)稱曲(qu)尺，L型(xing)的木匠工具，由長短兩根木條組成的直角。古代“矩(ju)”指(zhi)L型(xing)曲(qu)尺，“矩(ju)形”才是(shi)“矩(ju)”衍生的長方形。

②“既(ji)(ji)方(fang)之(zhi)，外(wai)(wai)半(ban)(ban)其(qi)一(yi)(yi)(yi)矩(ju)”此句(ju)有爭議。清代四庫全書版定為(wei)“既(ji)(ji)方(fang)其(qi)外(wai)(wai)半(ban)(ban)之(zhi)一(yi)(yi)(yi)矩(ju)”，而之(zhi)前版本(ben)多為(wei)“既(ji)(ji)方(fang)之(zhi)外(wai)(wai)半(ban)(ban)其(qi)一(yi)(yi)(yi)矩(ju)”。經陳良佐、李國(guo)偉、李繼閔(min)、曲安京(jing)等學者研究，“既(ji)(ji)方(fang)之(zhi)，外(wai)(wai)半(ban)(ban)其(qi)一(yi)(yi)(yi)矩(ju)”更符合邏輯。

③長指(zhi)的是(shi)面(mian)積。古代對不(bu)同維度的量(liang)綱(gang)比較，并沒(mei)有發明(ming)新的術語，而統稱“長”。趙爽注稱：“兩矩者，句股各(ge)自乘之(zhi)實。共長者，并實之(zhi)數。

由于年代久遠，周公弦(xian)圖(tu)(tu)失傳，傳世(shi)版(ban)本只印了(le)趙爽(shuang)(shuang)弦(xian)圖(tu)(tu)（造紙術在漢代才(cai)發明(ming)(ming)）。所以(yi)某些學者誤以(yi)為(wei)商(shang)高(gao)沒(mei)有證(zheng)明(ming)(ming)（只是說了(le)一段莫名其妙的話），后來(lai)趙爽(shuang)(shuang)才(cai)給出證(zheng)明(ming)(ming)。其實(shi)不然，摘錄趙爽(shuang)(shuang)注釋《周髀算(suan)經》時(shi)所做(zuo)的《勾股(gu)圓方圖(tu)(tu)》——“句(ju)股(gu)各自乘，并之(zhi)為(wei)弦(xian)實(shi)，開方除之(zhi)即弦(xian)。案(an)：弦(xian)圖(tu)(tu)又可以(yi)句(ju)股(gu)相(xiang)乘為(wei)朱實(shi)二，倍(bei)之(zhi)為(wei)朱實(shi)四，以(yi)句(ju)股(gu)之(zhi)差(cha)自相(xiang)乘為(wei)中(zhong)黃(huang)實(shi)，加差(cha)實(shi)亦成弦(xian)實(shi)。