薛定(ding)諤方程（Schr?dinger equation），又(you)稱薛定(ding)諤波動方程（Schrodinger wave equation），是(shi)由奧地(di)利物(wu)理學(xue)家薛定(ding)諤提出的量子(zi)(zi)力學(xue)中的一(yi)個基本方程，也是(shi)量子(zi)(zi)力學(xue)的一(yi)個基本假定(ding)。
它是(shi)將物質波的(de)概念和波動方程(cheng)相結合建立(li)的(de)二階偏(pian)微分方程(cheng)，可(ke)描述微觀(guan)粒子的(de)運動，每個微觀(guan)系統都有一個相應(ying)的(de)薛定(ding)諤方程(cheng)式(shi)，通過(guo)解方程(cheng)可(ke)得到波函數的(de)具(ju)體形式(shi)以(yi)及對應(ying)的(de)能量(liang)，從而(er)了解微觀(guan)系統的(de)性(xing)質。在量(liang)子力學中，粒子以(yi)概率的(de)方式(shi)出現，具(ju)有不確(que)定(ding)性(xing)，宏(hong)觀(guan)尺度下(xia)失效(xiao)可(ke)忽略不計。
薛(xue)定諤(e)方(fang)程(cheng)是量子(zi)力學(xue)的(de)(de)基本(ben)方(fang)程(cheng)。是1926年奧地(di)利理論物理學(xue)家薛(xue)定諤(e)提出的(de)(de)。它描(miao)述微(wei)(wei)觀粒(li)子(zi)的(de)(de)狀(zhuang)態隨時間變(bian)化的(de)(de)規律。微(wei)(wei)觀系統的(de)(de)狀(zhuang)態由波函數來描(miao)寫(xie)，薛(xue)定諤(e)方(fang)程(cheng)即(ji)是波函數的(de)(de)微(wei)(wei)分方(fang)程(cheng)。若給(gei)定了初始(shi)條件和邊界的(de)(de)條件，就可由此方(fang)程(cheng)解出波函數。
薛(xue)(xue)(xue)定(ding)諤(e)(e)方(fang)程(cheng)(cheng)（Schrodinger equation）在量(liang)子(zi)(zi)力學(xue)中，體系(xi)的(de)(de)(de)狀態不能(neng)用力學(xue)量(liang)（例如(ru)x）的(de)(de)(de)值來(lai)確定(ding)，而是要(yao)用力學(xue)量(liang)的(de)(de)(de)函數(shu)(shu)Ψ（x,t），即波函數(shu)(shu)（又(you)稱概(gai)率幅(fu)，態函數(shu)(shu)）來(lai)確定(ding)，因此波函數(shu)(shu)成為量(liang)子(zi)(zi)力學(xue)研究(jiu)的(de)(de)(de)主要(yao)對象。力學(xue)量(liang)取值的(de)(de)(de)概(gai)率分布如(ru)何，這個(ge)(ge)分布隨時間如(ru)何變(bian)化(hua)，這些問題都可以通過(guo)求解波函數(shu)(shu)的(de)(de)(de)薛(xue)(xue)(xue)定(ding)諤(e)(e)方(fang)程(cheng)(cheng)得到(dao)解答。這個(ge)(ge)方(fang)程(cheng)(cheng)是奧地利物理學(xue)家薛(xue)(xue)(xue)定(ding)諤(e)(e)于1926年提(ti)出的(de)(de)(de)，它是量(liang)子(zi)(zi)力學(xue)最基(ji)本的(de)(de)(de)方(fang)程(cheng)(cheng)之一(yi)，在量(liang)子(zi)(zi)力學(xue)中的(de)(de)(de)地位與牛頓方(fang)程(cheng)(cheng)在經典力學(xue)中的(de)(de)(de)地位相(xiang)當，超弦(xian)理論試圖(tu)統一(yi)兩種理論。
薛定(ding)諤(e)方程(cheng)是量(liang)子(zi)力(li)學最基(ji)本(ben)(ben)的方程(cheng)，亦是量(liang)子(zi)力(li)學的一個基(ji)本(ben)(ben)假定(ding)，其正(zheng)確性只能靠實驗來確定(ding)。
量(liang)子(zi)力學中(zhong)求解(jie)粒子(zi)問(wen)題常歸結為解(jie)薛(xue)定諤(e)方(fang)程或定態(tai)薛(xue)定諤(e)方(fang)程。薛(xue)定諤(e)方(fang)程廣泛(fan)地(di)用于原(yuan)子(zi)物理(li)、核(he)物理(li)和固體物理(li)，對于原(yuan)子(zi)、分子(zi)、核(he)、固體等一(yi)系(xi)列問(wen)題中(zhong)求解(jie)的結果都與實際符合得很好。
薛(xue)定諤方(fang)程(cheng)僅(jin)適用于(yu)速(su)度不太大(da)的非相對(dui)論粒子(zi)，其中(zhong)也沒有包含(han)(han)關于(yu)粒子(zi)自(zi)旋(xuan)的描述。當涉(she)及相對(dui)論效應時，薛(xue)定諤方(fang)程(cheng)由相對(dui)論量子(zi)力(li)學方(fang)程(cheng)所取(qu)代，其中(zhong)自(zi)然包含(han)(han)了粒子(zi)的自(zi)旋(xuan)。
.薛定(ding)(ding)諤提出的(de)(de)量子力學(xue)基(ji)本方(fang)程(cheng)(cheng)。建立(li)于(yu)1926年(nian)。它(ta)是一(yi)個非相對論的(de)(de)波(bo)(bo)動方(fang)程(cheng)(cheng)。它(ta)反映(ying)了(le)描(miao)述(shu)微(wei)觀(guan)(guan)粒子的(de)(de)狀(zhuang)(zhuang)態(tai)(tai)隨時間變化的(de)(de)規(gui)律(lv)，它(ta)在量子力學(xue)中(zhong)的(de)(de)地位相當(dang)于(yu)牛頓定(ding)(ding)律(lv)對于(yu)經典力學(xue)一(yi)樣(yang)，是量子力學(xue)的(de)(de)基(ji)本假設之(zhi)一(yi)。設描(miao)述(shu)微(wei)觀(guan)(guan)粒子狀(zhuang)(zhuang)態(tai)(tai)的(de)(de)波(bo)(bo)函數為(wei)Ψ（r，t），質量為(wei)m的(de)(de)微(wei)觀(guan)(guan)粒子在勢場V（r，t）中(zhong)運(yun)動的(de)(de)薛定(ding)(ding)諤方(fang)程(cheng)(cheng)。在給(gei)定(ding)(ding)初始條件和邊界條件以及波(bo)(bo)函數所滿(man)足(zu)的(de)(de)單值(zhi)、有限、連(lian)續的(de)(de)條件下(xia)，可(ke)解(jie)出波(bo)(bo)函數Ψ（r，t）。由此可(ke)計算粒子的(de)(de)分布概率和任(ren)何可(ke)能實驗(yan)的(de)(de)平均(jun)值(zhi)（期望值(zhi)）。當(dang)勢函數V不(bu)依賴于(yu)時間t時，粒子具有確(que)定(ding)(ding)的(de)(de)能量，粒子的(de)(de)狀(zhuang)(zhuang)態(tai)(tai)稱(cheng)(cheng)為(wei)定(ding)(ding)態(tai)(tai)。定(ding)(ding)態(tai)(tai)時的(de)(de)波(bo)(bo)函數可(ke)寫成式中(zhong)Ψ（r）稱(cheng)(cheng)為(wei)定(ding)(ding)態(tai)(tai)波(bo)(bo)函數，滿(man)足(zu)定(ding)(ding)態(tai)(tai)薛定(ding)(ding)諤方(fang)程(cheng)(cheng)，這一(yi)方(fang)程(cheng)(cheng)在數學(xue)上稱(cheng)(cheng)為(wei)本征方(fang)程(cheng)(cheng)，式中(zhong)E為(wei)本征值(zhi)，它(ta)是定(ding)(ding)態(tai)(tai)能量，Ψ（r）又稱(cheng)(cheng)為(wei)屬于(yu)本征值(zhi)E的(de)(de)本征函數。
薛定(ding)(ding)諤方程(cheng)是(shi)量子力學(xue)的(de)基本(ben)方程(cheng)，它(ta)揭(jie)示了微觀物理(li)世界物質運動(dong)的(de)基本(ben)規(gui)律，如牛(niu)頓定(ding)(ding)律在(zai)經典力學(xue)中(zhong)所(suo)起的(de)作(zuo)用一樣(yang)，它(ta)是(shi)原子物理(li)學(xue)中(zhong)處理(li)一切非(fei)相(xiang)對論問題(ti)的(de)有(you)力工具，在(zai)原子、分子、固體(ti)物理(li)、核物理(li)、化(hua)學(xue)等領域中(zhong)被(bei)廣泛應用。
1900年(nian)，馬克斯(si)·普(pu)朗(lang)克在研究黑體輻(fu)射(she)中作出將電磁(ci)輻(fu)射(she)能量量子化的(de)假(jia)設，因此(ci)發現將能量與(yu)(yu)頻(pin)率關(guan)(guan)(guan)聯(lian)在一起的(de)普(pu)朗(lang)克關(guan)(guan)(guan)系(xi)式(shi)(shi)。1905年(nian)，阿爾伯特·愛因斯(si)坦從對(dui)于光電效(xiao)應的(de)研究又給予這(zhe)關(guan)(guan)(guan)系(xi)式(shi)(shi)嶄(zhan)新的(de)詮釋：頻(pin)率為ν的(de)光子擁有(you)的(de)能量為hν；其中，因子h是普(pu)朗(lang)克常數。這(zhe)一點子成(cheng)為后(hou)來波(bo)粒二象性(xing)概念的(de)早期路標之(zhi)一。由于在狹義相對(dui)論里，能量與(yu)(yu)動量的(de)關(guan)(guan)(guan)聯(lian)方式(shi)(shi)類似頻(pin)率與(yu)(yu)波(bo)數的(de)關(guan)(guan)(guan)聯(lian)方式(shi)(shi)，因此(ci)可以(yi)揣測，光子的(de)動量與(yu)(yu)波(bo)長(chang)成(cheng)反(fan)比(bi)，與(yu)(yu)波(bo)數成(cheng)正比(bi)，以(yi)方程(cheng)來表示這(zhe)關(guan)(guan)(guan)系(xi)式(shi)(shi)。
路(lu)易·德布羅意(yi)認(ren)為，不(bu)單光(guang)子(zi)(zi)(zi)遵(zun)守(shou)這(zhe)(zhe)關(guan)系(xi)式(shi)(shi)，所(suo)有(you)(you)粒子(zi)(zi)(zi)都(dou)遵(zun)守(shou)這(zhe)(zhe)關(guan)系(xi)式(shi)(shi)。他于(yu)1924年進(jin)一步提出的德布羅意(yi)假說表(biao)明，每一種微觀粒子(zi)(zi)(zi)都(dou)具(ju)有(you)(you)波(bo)(bo)動性(xing)與(yu)粒子(zi)(zi)(zi)性(xing)，這(zhe)(zhe)性(xing)質稱為波(bo)(bo)粒二象性(xing)。電子(zi)(zi)(zi)也不(bu)例外的具(ju)有(you)(you)這(zhe)(zhe)種性(xing)質。電子(zi)(zi)(zi)是一種物質波(bo)(bo)，稱為“電子(zi)(zi)(zi)波(bo)(bo)”。電子(zi)(zi)(zi)的能(neng)量與(yu)動量分別決定了伴(ban)隨它的物質波(bo)(bo)所(suo)具(ju)有(you)(you)的頻(pin)率與(yu)波(bo)(bo)數(shu)。在原子(zi)(zi)(zi)里(li)，束縛電子(zi)(zi)(zi)形成(cheng)駐波(bo)(bo)；這(zhe)(zhe)意(yi)味著他的旋轉(zhuan)頻(pin)率只能(neng)呈某些離(li)散(san)數(shu)值。這(zhe)(zhe)些量子(zi)(zi)(zi)化軌道對應于(yu)離(li)散(san)能(neng)級(ji)。從這(zhe)(zhe)些點子(zi)(zi)(zi)，德布羅意(yi)復制(zhi)出玻(bo)爾模型的能(neng)級(ji)。
在(zai)1925年，瑞士(shi)蘇黎世每兩周(zhou)會(hui)(hui)舉辦一(yi)場物理學術研(yan)(yan)討會(hui)(hui)。有(you)(you)一(yi)次，主辦者彼得·德(de)(de)拜邀請(qing)薛定(ding)諤講述(shu)(shu)關(guan)于德(de)(de)布(bu)羅意的(de)(de)(de)(de)波粒(li)二象性(xing)(xing)博士(shi)論(lun)文。那(nei)段時期，薛定(ding)諤正在(zai)研(yan)(yan)究氣(qi)體(ti)理論(lun)，他(ta)從(cong)閱讀愛(ai)因斯(si)坦關(guan)于玻(bo)色-愛(ai)因斯(si)坦統計(ji)的(de)(de)(de)(de)論(lun)述(shu)(shu)中，接觸德(de)(de)布(bu)羅意的(de)(de)(de)(de)博士(shi)論(lun)文，在(zai)這(zhe)方(fang)(fang)面有(you)(you)很精深的(de)(de)(de)(de)理解。在(zai)研(yan)(yan)討會(hui)(hui)里，他(ta)將波粒(li)二象性(xing)(xing)闡述(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)淋漓盡致，大家都聽的(de)(de)(de)(de)津(jin)津(jin)有(you)(you)味。德(de)(de)拜指出，既(ji)然粒(li)子具有(you)(you)波動性(xing)(xing)，應(ying)該有(you)(you)一(yi)種能夠(gou)正確描述(shu)(shu)這(zhe)種量子性(xing)(xing)質的(de)(de)(de)(de)波動方(fang)(fang)程。他(ta)的(de)(de)(de)(de)意見給予薛定(ding)諤極大的(de)(de)(de)(de)啟(qi)發與鼓舞，他(ta)開始(shi)尋找這(zhe)波動方(fang)(fang)程。檢試(shi)此方(fang)(fang)程最簡單與基(ji)本的(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)法就是，用此方(fang)(fang)程來(lai)描述(shu)(shu)氫原子內(nei)部束縛電子的(de)(de)(de)(de)物理行為，而必能復制出玻(bo)爾模型的(de)(de)(de)(de)理論(lun)結果，另外，這(zhe)方(fang)(fang)程還必須能解釋索末(mo)菲模型給出的(de)(de)(de)(de)精細(xi)結構(gou)。
很快，薛(xue)定(ding)諤就通過(guo)德布羅(luo)意(yi)論(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)的(de)(de)相(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)(xing)理論(lun)(lun)(lun)(lun)，推導(dao)出(chu)一(yi)個相(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)(xing)波動方程，他(ta)(ta)將(jiang)這方程應用于氫原子(zi)，計算(suan)出(chu)束縛電(dian)子(zi)的(de)(de)波函數。因為(wei)薛(xue)定(ding)諤沒(mei)有(you)將(jiang)電(dian)子(zi)的(de)(de)自旋納入考量，所以(yi)從這方程推導(dao)出(chu)的(de)(de)精細結(jie)構公式不符合索(suo)末(mo)菲模型。他(ta)(ta)只(zhi)好將(jiang)這方程加(jia)以(yi)修改，除(chu)去相(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)(xing)部分(fen)，并用剩下(xia)的(de)(de)非(fei)相(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)(xing)方程來計算(suan)氫原子(zi)的(de)(de)譜(pu)線。解析(xi)這微分(fen)方程的(de)(de)工作相(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)當困難，在其好朋友數學家(jia)赫爾(er)曼(man)·外爾(er)鼎力相(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)助下(xia)，他(ta)(ta)復(fu)制(zhi)出(chu)了(le)與玻(bo)爾(er)模型完全相(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)同(tong)的(de)(de)答案。因此，他(ta)(ta)決定(ding)暫且不發表相(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)(xing)部分(fen)，只(zhi)把非(fei)相(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)(xing)波動方程與氫原子(zi)光譜(pu)分(fen)析(xi)結(jie)果，寫為(wei)一(yi)篇論(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)。1926年，他(ta)(ta)正式發表了(le)這論(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)。
這(zhe)(zhe)篇(pian)論文迅速(su)在量(liang)(liang)子(zi)學(xue)(xue)術(shu)界引起震撼(han)。普朗克表示“他已(yi)閱讀完畢整(zheng)篇(pian)論文，就像被一個(ge)迷(mi)語困(kun)惑多時，渴(ke)慕(mu)知道答案(an)的(de)(de)孩童(tong)，現在終(zhong)于聽到(dao)了解答”。愛因(yin)斯坦(tan)稱贊，這(zhe)(zhe)著(zhu)作(zuo)的(de)(de)靈感如同(tong)泉水般(ban)源自一位真(zhen)正(zheng)的(de)(de)天(tian)才。愛因(yin)斯坦(tan)覺得，薛(xue)定諤已(yi)做出決定性(xing)貢獻。由(you)于薛(xue)定諤所(suo)創建的(de)(de)波(bo)(bo)動(dong)(dong)力(li)學(xue)(xue)涉(she)及到(dao)眾所(suo)熟悉的(de)(de)波(bo)(bo)動(dong)(dong)概念與數(shu)學(xue)(xue)，而不是矩陣(zhen)力(li)學(xue)(xue)中既抽象又陌生的(de)(de)矩陣(zhen)代(dai)數(shu)，量(liang)(liang)子(zi)學(xue)(xue)者都很樂意地(di)開始(shi)學(xue)(xue)習與應用波(bo)(bo)動(dong)(dong)力(li)學(xue)(xue)。自旋的(de)(de)發現者喬治·烏(wu)倫貝克驚嘆，“薛(xue)定諤方程給我們帶(dai)來(lai)極大的(de)(de)解救(jiu)！”沃爾夫岡(gang)·泡利(li)認(ren)為，這(zhe)(zhe)論文應可(ke)算是最重要的(de)(de)著(zhu)作(zuo)之一。
薛(xue)(xue)(xue)定(ding)(ding)(ding)諤(e)給出的(de)薛(xue)(xue)(xue)定(ding)(ding)(ding)諤(e)方(fang)程能夠正確地(di)描述波(bo)(bo)函數(shu)(shu)的(de)量(liang)子行為。在那時，物(wu)理(li)(li)學(xue)者尚不(bu)清楚(chu)(chu)如何詮釋(shi)波(bo)(bo)函數(shu)(shu)，薛(xue)(xue)(xue)定(ding)(ding)(ding)諤(e)試(shi)圖以(yi)(yi)電(dian)荷密度來詮釋(shi)波(bo)(bo)函數(shu)(shu)的(de)絕對(dui)值(zhi)平方(fang)，可(ke)并(bing)不(bu)成功。1926年(nian)，玻(bo)恩提出概(gai)(gai)率(lv)(lv)幅的(de)概(gai)(gai)念(nian)，成功地(di)詮釋(shi)了波(bo)(bo)函數(shu)(shu)的(de)物(wu)理(li)(li)意(yi)義(yi)。但是(shi)薛(xue)(xue)(xue)定(ding)(ding)(ding)諤(e)與愛因斯坦觀點相同(tong)(tong)，都(dou)不(bu)贊(zan)同(tong)(tong)這(zhe)種統計或(huo)概(gai)(gai)率(lv)(lv)方(fang)法(fa)，以(yi)(yi)及它(ta)所伴隨的(de)非連續(xu)性(xing)波(bo)(bo)函數(shu)(shu)坍縮。愛因斯坦主張，量(liang)子力學(xue)是(shi)個決定(ding)(ding)(ding)性(xing)理(li)(li)論的(de)統計近(jin)似。在薛(xue)(xue)(xue)定(ding)(ding)(ding)諤(e)有生的(de)最(zui)后一年(nian)，寫給玻(bo)恩的(de)一封信中，他清楚(chu)(chu)地(di)表示他不(bu)接受哥本哈根(gen)詮釋(shi)。
埃爾溫(wen)·薛(xue)定諤（Erwin Schrodinger，1887年—1961年）1887年8月12日出(chu)生于奧(ao)地利首都維(wei)也(ye)納。1906年至1910年，他(ta)就學于維(wei)也(ye)納大學物(wu)理(li)(li)系。1910年獲得博士學位。畢業(ye)后，在維(wei)也(ye)納大學第二物(wu)理(li)(li)研究(jiu)所從(cong)事實驗物(wu)理(li)(li)的(de)工作。第一(yi)次世界大戰期間(jian)，他(ta)應征服役于一(yi)個偏(pian)僻(pi)的(de)炮(pao)兵要塞，利用閑暇時間(jian)研究(jiu)理(li)(li)論物(wu)理(li)(li)。
戰后他仍回到(dao)(dao)第(di)二物(wu)(wu)理研究所。1920年(nian)他到(dao)(dao)耶(ye)拿(na)大學(xue)(xue)協助維(wei)恩(en)工作。1921年(nian)薛(xue)(xue)定諤(e)受聘到(dao)(dao)瑞士的蘇黎世大學(xue)(xue)任數學(xue)(xue)物(wu)(wu)理教(jiao)授，在(zai)(zai)那里工作了(le)6年(nian)，薛(xue)(xue)定諤(e)方(fang)程就是在(zai)(zai)這一期(qi)間提出的。1927年(nian)薛(xue)(xue)定諤(e)接替普朗(lang)克到(dao)(dao)柏林大學(xue)(xue)擔任理論物(wu)(wu)理教(jiao)授。1933年(nian)希特勒(le)上臺(tai)后，薛(xue)(xue)定諤(e)對于納粹(cui)政權迫害愛(ai)因斯坦(tan)等(deng)杰出科學(xue)(xue)家的法西斯行為深為憤慨，移居牛津，在(zai)(zai)馬(ma)達倫(lun)學(xue)(xue)院任訪問(wen)教(jiao)授。同年(nian)他與狄拉克共(gong)同獲得諾貝爾(er)物(wu)(wu)理學(xue)(xue)獎(jiang)。
1936年(nian)他回到奧地(di)利(li)(li)任格拉(la)茨大(da)學(xue)理(li)(li)(li)(li)論物(wu)(wu)理(li)(li)(li)(li)教(jiao)授。不(bu)到兩年(nian)，奧地(di)利(li)(li)被(bei)納粹并吞(tun)后，他又陷入(ru)了(le)逆境。1939年(nian)10月流亡到愛(ai)爾(er)蘭首(shou)府(fu)都(dou)柏(bo)林(lin)，就任都(dou)柏(bo)林(lin)高級研究所所長，從事理(li)(li)(li)(li)論物(wu)(wu)理(li)(li)(li)(li)研究。在此期間還進行了(le)科學(xue)哲學(xue)、生物(wu)(wu)物(wu)(wu)理(li)(li)(li)(li)研究，頗(po)有建(jian)樹(shu)。出版(ban)了(le)《生命是什么(me)》一書，試圖用量子物(wu)(wu)理(li)(li)(li)(li)闡明遺傳結構(gou)的穩定(ding)性(xing)。1956年(nian)薛定(ding)諤(e)回到了(le)奧地(di)利(li)(li)，被(bei)聘為維(wei)也納大(da)學(xue)理(li)(li)(li)(li)論物(wu)(wu)理(li)(li)(li)(li)教(jiao)授，奧地(di)利(li)(li)政府(fu)給(gei)予(yu)他極(ji)大(da)的榮譽，設(she)定(ding)了(le)以(yi)薛定(ding)諤(e)命名的國家獎金，由奧地(di)利(li)(li)科學(xue)院授予(yu)。
一維薛定諤方程
三維薛定諤方程
定態薛定諤方程
單粒子薛(xue)定(ding)諤方程的數學(xue)表達形式
這是(shi)(shi)一(yi)個(ge)二階線性偏微分方程，ψ(x，y，z)是(shi)(shi)待求(qiu)函數(shu)，它(ta)是(shi)(shi)x,y,z三(san)個(ge)變量的復數(shu)函數(shu)（就是(shi)(shi)說函數(shu)值不一(yi)定(ding)是(shi)(shi)實數(shu)，也(ye)可能是(shi)(shi)虛數(shu)）。式子(zi)最左邊的倒三(san)角(jiao)是(shi)(shi)拉普拉斯(si)算符，意(yi)思(si)是(shi)(shi)分別(bie)對ψ(x，y，z)的梯(ti)度求(qiu)散度。
這(zhe)是(shi)一個(ge)描述一個(ge)粒子在三維(wei)勢場中的(de)(de)(de)(de)定(ding)態薛定(ding)諤方程。所(suo)謂(wei)勢場，就(jiu)(jiu)是(shi)粒子在其(qi)中會有勢能的(de)(de)(de)(de)場，比如電(dian)場就(jiu)(jiu)是(shi)一個(ge)帶(dai)電(dian)粒子的(de)(de)(de)(de)勢場；所(suo)謂(wei)定(ding)態，就(jiu)(jiu)是(shi)假設(she)波(bo)函數(shu)不隨(sui)時間(jian)變化。其(qi)中，E是(shi)粒子本身的(de)(de)(de)(de)能量(liang)；U（x，y，z）是(shi)描述勢場的(de)(de)(de)(de)函數(shu)，假設(she)不隨(sui)時間(jian)變化。薛定(ding)諤方程有一個(ge)很好的(de)(de)(de)(de)性(xing)質，就(jiu)(jiu)是(shi)時間(jian)和空(kong)間(jian)部分(fen)(fen)是(shi)相(xiang)互分(fen)(fen)立的(de)(de)(de)(de)，求出定(ding)態波(bo)函數(shu)的(de)(de)(de)(de)空(kong)間(jian)部分(fen)(fen)后再乘上時間(jian)部分(fen)(fen)以(yi)后就(jiu)(jiu)成了完整的(de)(de)(de)(de)波(bo)函數(shu)了。
簡單系統，如氫原子中電子的(de)薛定諤方程才能(neng)求(qiu)解(jie)，對于復雜系統必須近似(si)求(qiu)解(jie)。因(yin)為對于有Z個電子的(de)原子，其電子由于屏(ping)蔽效應相互(hu)作用勢(shi)能(neng)會發(fa)生改變，所以只能(neng)近似(si)求(qiu)解(jie)。近似(si)求(qiu)解(jie)的(de)方法主要有變分法和微擾法。
在束(shu)縛態邊界條件下并不是(shi)E值對應的(de)(de)(de)所有解在物(wu)理上都是(shi)可以接(jie)受的(de)(de)(de)。主(zhu)量(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)、角量(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)、磁量(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)都是(shi)薛(xue)(xue)定(ding)諤(e)(e)方程(cheng)的(de)(de)(de)解。要完整描述(shu)電(dian)子(zi)(zi)狀態，必(bi)須要四個量(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)。自(zi)旋磁量(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)不是(shi)薛(xue)(xue)定(ding)諤(e)(e)方程(cheng)的(de)(de)(de)解，而(er)是(shi)作為(wei)實(shi)驗(yan)事(shi)實(shi)接(jie)受下來(lai)的(de)(de)(de)。
主(zhu)量(liang)(liang)子數n和(he)能(neng)量(liang)(liang)有(you)關的量(liang)(liang)子數。原(yuan)子具有(you)分(fen)立能(neng)級，能(neng)量(liang)(liang)只能(neng)取一(yi)系列值，每一(yi)個波函數都對應相(xiang)應的能(neng)量(liang)(liang)。氫原(yuan)子以及(ji)類氫原(yuan)子的分(fen)立值為(wei)：
，n越(yue)大能量(liang)越(yue)高電(dian)子(zi)層離核越(yue)遠(yuan)。主量(liang)子(zi)數決定了(le)(le)電(dian)子(zi)出現的最大幾率(lv)的區域離核遠(yuan)近(jin)，決定了(le)(le)電(dian)子(zi)的能量(liang)。N=1，2，3，……；常用K、L、M、N……表示。
角量(liang)(liang)(liang)子數(shu)l和能量(liang)(liang)(liang)有(you)關的(de)量(liang)(liang)(liang)子數(shu)。電子在原(yuan)子中(zhong)具有(you)確定的(de)角動量(liang)(liang)(liang)L，它的(de)取值不(bu)是任意的(de)，只能取一(yi)系列分立值，稱為(wei)角動量(liang)(liang)(liang)量(liang)(liang)(liang)子化。。l越(yue)大，角動量(liang)(liang)(liang)越(yue)大，能量(liang)(liang)(liang)越(yue)高，電子云的(de)形(xing)(xing)狀(zhuang)(zhuang)也不(bu)同。l=0，1，2，……常用s，p，d，f，g表示，簡單(dan)的(de)說(shuo)就是前(qian)面說(shuo)的(de)電子亞層。角量(liang)(liang)(liang)子數(shu)決定了軌道(dao)形(xing)(xing)狀(zhuang)(zhuang)，所以也稱為(wei)軌道(dao)形(xing)(xing)狀(zhuang)(zhuang)量(liang)(liang)(liang)子數(shu)。s為(wei)球(qiu)型，p為(wei)啞(ya)鈴型，d為(wei)花瓣，f軌道(dao)更為(wei)復雜(za)。
磁(ci)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數(shu)(shu)m是(shi)(shi)和(he)電(dian)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)能(neng)(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)無關(guan)的量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數(shu)(shu)。原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)中(zhong)電(dian)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)繞核運動(dong)的軌(gui)道(dao)角動(dong)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)，在(zai)(zai)外磁(ci)場方向(xiang)(xiang)上(shang)的分(fen)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)是(shi)(shi)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)化的，并(bing)由量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數(shu)(shu)m決定，m稱(cheng)為磁(ci)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數(shu)(shu)。對于任意選定的外磁(ci)場方向(xiang)(xiang)Z，角動(dong)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)L在(zai)(zai)此方向(xiang)(xiang)上(shang)的分(fen)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)Lz只能(neng)(neng)(neng)取(qu)(qu)一(yi)系列分(fen)立值，這種現象(xiang)稱(cheng)為空間(jian)(jian)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)化。。磁(ci)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數(shu)(shu)決定了原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)道(dao)空間(jian)(jian)伸展方向(xiang)(xiang)，即(ji)原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)道(dao)在(zai)(zai)空間(jian)(jian)的取(qu)(qu)向(xiang)(xiang)，s軌(gui)道(dao)一(yi)個(ge)(ge)方向(xiang)(xiang)（球），p軌(gui)道(dao)3個(ge)(ge)方向(xiang)(xiang)，d軌(gui)道(dao)5個(ge)(ge)，f軌(gui)道(dao)7個(ge)(ge)……。l相(xiang)同(tong)(tong)(tong)，m不(bu)同(tong)(tong)(tong)即(ji)形狀相(xiang)同(tong)(tong)(tong)空間(jian)(jian)取(qu)(qu)向(xiang)(xiang)不(bu)同(tong)(tong)(tong)的原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)道(dao)能(neng)(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)是(shi)(shi)相(xiang)同(tong)(tong)(tong)的。不(bu)同(tong)(tong)(tong)原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)道(dao)具(ju)有相(xiang)同(tong)(tong)(tong)能(neng)(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)的現象(xiang)稱(cheng)為能(neng)(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)簡并(bing)。
能量相同(tong)的原子軌道(dao)(dao)(dao)稱(cheng)為(wei)簡(jian)并軌道(dao)(dao)(dao)，其數目稱(cheng)為(wei)簡(jian)并度。如p軌道(dao)(dao)(dao)有(you)3個簡(jian)并軌道(dao)(dao)(dao)，簡(jian)并度為(wei)3。簡(jian)并軌道(dao)(dao)(dao)在外磁(ci)場(chang)(chang)作用下會(hui)產生(sheng)能量差(cha)異，這就是線(xian)狀譜在磁(ci)場(chang)(chang)下分(fen)裂的原因。
粒子(zi)(zi)的(de)自(zi)(zi)旋也產生角動(dong)(dong)量(liang)，其大(da)小取(qu)決于自(zi)(zi)旋磁量(liang)子(zi)(zi)數（ms）。電子(zi)(zi)自(zi)(zi)旋角動(dong)(dong)量(liang)是量(liang)子(zi)(zi)化的(de)其值為，s為自(zi)(zi)旋量(liang)子(zi)(zi)數，自(zi)(zi)旋角動(dong)(dong)量(liang)的(de)一個分(fen)量(liang)Lsz應取(qu)下(xia)列(lie)分(fen)立值：。
原子光(guang)譜，在高分辨(bian)光(guang)譜儀下，每一(yi)條光(guang)線都是由兩條非(fei)常接近(jin)的(de)光(guang)譜線組成，為解釋這(zhe)一(yi)現象提出(chu)了(le)粒子的(de)自(zi)旋。電子的(de)自(zi)旋表(biao)示電子的(de)兩種不同狀(zhuang)(zhuang)態，這(zhe)兩種狀(zhuang)(zhuang)態有(you)不同的(de)自(zi)旋角動(dong)量。
電子(zi)的(de)(de)自旋(xuan)不是機(ji)械(xie)的(de)(de)自身旋(xuan)轉，它是本身的(de)(de)內(nei)稟屬性(xing)，也是新的(de)(de)自由度，如質量和電荷一樣是它的(de)(de)內(nei)在屬性(xing)，電子(zi)的(de)(de)自旋(xuan)角動量：?/2。
希爾伯特空間與薛定諤(e)方程
一(yi)般(ban)，物理上(shang)將物理狀態(tai)與(yu)希爾伯特(te)空(kong)間上(shang)的(de)向量（vector），物理量與(yu)希爾伯特(te)空(kong)間上(shang)的(de)算符相對應。這種形式下(xia)的(de)薛定(ding)諤方(fang)程為
H為哈(ha)密頓算(suan)符。這個(ge)方程在(zai)這個(ge)形(xing)式下充分顯示(shi)出了時間(jian)(jian)(jian)(jian)與空間(jian)(jian)(jian)(jian)的對(dui)(dui)(dui)(dui)應性（時間(jian)(jian)(jian)(jian)與能量(liang)相對(dui)(dui)(dui)(dui)應，正(zheng)如空間(jian)(jian)(jian)(jian)與動量(liang)相對(dui)(dui)(dui)(dui)應，后(hou)述）。這種算(suan)符（物理量(liang)）不隨時間(jian)(jian)(jian)(jian)變(bian)化而狀態隨時間(jian)(jian)(jian)(jian)變(bian)化的對(dui)(dui)(dui)(dui)自(zi)然現象的描述方法被稱為薛定諤繪(hui)景，與之對(dui)(dui)(dui)(dui)應的是海森伯繪(hui)景。
空間坐(zuo)標(biao)算符(fu)x與其(qi)對應的動量算符(fu)p滿足(zu)以下(xia)交換(huan)關系(xi)：
所謂的薛(xue)定(ding)諤表示就(jiu)是將空間算符(fu)直接作為(wei)x，而動(dong)量算符(fu)為(wei)下面的包含微(wei)分(fen)的微(wei)分(fen)算符(fu)：
精靈世界
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