薛(xue)定(ding)(ding)諤方(fang)(fang)程（Schr?dinger equation），又稱薛(xue)定(ding)(ding)諤波動方(fang)(fang)程（Schrodinger wave equation），是由奧地利物理(li)學(xue)家薛(xue)定(ding)(ding)諤提出的(de)量子力學(xue)中的(de)一(yi)個基本方(fang)(fang)程，也是量子力學(xue)的(de)一(yi)個基本假(jia)定(ding)(ding)。
它是將物質波(bo)的概(gai)念和波(bo)動方(fang)程(cheng)相(xiang)結合建立的二階偏微(wei)分方(fang)程(cheng)，可描述微(wei)觀(guan)(guan)粒(li)(li)子的運動，每個微(wei)觀(guan)(guan)系(xi)統都有一個相(xiang)應的薛(xue)定(ding)諤方(fang)程(cheng)式(shi)，通過解方(fang)程(cheng)可得到(dao)波(bo)函數的具(ju)體形(xing)式(shi)以及對應的能量，從而了解微(wei)觀(guan)(guan)系(xi)統的性(xing)(xing)質。在量子力學中，粒(li)(li)子以概(gai)率的方(fang)式(shi)出現，具(ju)有不(bu)確定(ding)性(xing)(xing)，宏觀(guan)(guan)尺度下失效可忽略不(bu)計。
薛(xue)(xue)定諤(e)方程是(shi)量子力學的(de)基本方程。是(shi)1926年奧地利理論物理學家薛(xue)(xue)定諤(e)提出(chu)(chu)的(de)。它描述微(wei)觀粒子的(de)狀態隨時(shi)間變(bian)化的(de)規律(lv)。微(wei)觀系統的(de)狀態由(you)波函(han)(han)數(shu)來描寫，薛(xue)(xue)定諤(e)方程即是(shi)波函(han)(han)數(shu)的(de)微(wei)分(fen)方程。若給定了初始條件(jian)和邊界(jie)的(de)條件(jian)，就可由(you)此方程解出(chu)(chu)波函(han)(han)數(shu)。
薛(xue)定(ding)(ding)諤方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)（Schrodinger equation）在量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)力(li)(li)學(xue)(xue)中(zhong)，體系的(de)(de)(de)狀態(tai)不能用力(li)(li)學(xue)(xue)量(liang)(liang)(liang)（例如(ru)x）的(de)(de)(de)值來(lai)確(que)定(ding)(ding)，而是要(yao)(yao)用力(li)(li)學(xue)(xue)量(liang)(liang)(liang)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)Ψ（x,t），即波函(han)數(shu)（又稱概率幅，態(tai)函(han)數(shu)）來(lai)確(que)定(ding)(ding)，因此波函(han)數(shu)成為量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)力(li)(li)學(xue)(xue)研(yan)究的(de)(de)(de)主要(yao)(yao)對象。力(li)(li)學(xue)(xue)量(liang)(liang)(liang)取(qu)值的(de)(de)(de)概率分布如(ru)何，這(zhe)個分布隨時間如(ru)何變(bian)化，這(zhe)些問題都可以通過求解波函(han)數(shu)的(de)(de)(de)薛(xue)定(ding)(ding)諤方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)得(de)到解答。這(zhe)個方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)是奧地利物理學(xue)(xue)家薛(xue)定(ding)(ding)諤于1926年提出的(de)(de)(de)，它是量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)力(li)(li)學(xue)(xue)最基本的(de)(de)(de)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)之一，在量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)力(li)(li)學(xue)(xue)中(zhong)的(de)(de)(de)地位(wei)與牛頓方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)在經典(dian)力(li)(li)學(xue)(xue)中(zhong)的(de)(de)(de)地位(wei)相(xiang)當，超弦理論(lun)試圖(tu)統一兩種理論(lun)。
薛定(ding)諤方程(cheng)是量子(zi)力(li)學最基本的方程(cheng)，亦是量子(zi)力(li)學的一個基本假定(ding)，其正確性只能靠實驗來確定(ding)。
量子(zi)(zi)力學中求(qiu)解(jie)粒子(zi)(zi)問題常歸結為解(jie)薛(xue)定諤方(fang)程(cheng)或(huo)定態薛(xue)定諤方(fang)程(cheng)。薛(xue)定諤方(fang)程(cheng)廣泛地(di)用于原(yuan)子(zi)(zi)物(wu)理、核物(wu)理和固(gu)體物(wu)理，對(dui)于原(yuan)子(zi)(zi)、分子(zi)(zi)、核、固(gu)體等(deng)一系列問題中求(qiu)解(jie)的(de)結果(guo)都(dou)與實際符合得很(hen)好。
薛(xue)定(ding)諤(e)方程(cheng)(cheng)僅(jin)適用于速度不太大(da)的(de)非相對(dui)(dui)論粒子(zi)(zi)(zi)，其(qi)(qi)中也沒有包(bao)(bao)含關于粒子(zi)(zi)(zi)自旋(xuan)的(de)描(miao)述。當涉及相對(dui)(dui)論效應(ying)時，薛(xue)定(ding)諤(e)方程(cheng)(cheng)由相對(dui)(dui)論量(liang)子(zi)(zi)(zi)力學方程(cheng)(cheng)所取代，其(qi)(qi)中自然包(bao)(bao)含了粒子(zi)(zi)(zi)的(de)自旋(xuan)。
.薛定諤提出(chu)的(de)(de)(de)量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)力學(xue)(xue)(xue)基本方程(cheng)。建立于1926年(nian)。它(ta)(ta)是一個非相對論(lun)的(de)(de)(de)波動(dong)方程(cheng)。它(ta)(ta)反映了描述微(wei)觀(guan)粒(li)(li)子(zi)(zi)的(de)(de)(de)狀(zhuang)態(tai)(tai)隨時(shi)間(jian)(jian)變(bian)化的(de)(de)(de)規律(lv)，它(ta)(ta)在(zai)(zai)量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)力學(xue)(xue)(xue)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)地位相當于牛頓定律(lv)對于經典力學(xue)(xue)(xue)一樣，是量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)力學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)基本假(jia)設(she)之一。設(she)描述微(wei)觀(guan)粒(li)(li)子(zi)(zi)狀(zhuang)態(tai)(tai)的(de)(de)(de)波函(han)(han)(han)(han)數為(wei)Ψ（r，t），質量(liang)(liang)(liang)為(wei)m的(de)(de)(de)微(wei)觀(guan)粒(li)(li)子(zi)(zi)在(zai)(zai)勢場(chang)V（r，t）中(zhong)(zhong)運動(dong)的(de)(de)(de)薛定諤方程(cheng)。在(zai)(zai)給定初始條件和邊界條件以(yi)及波函(han)(han)(han)(han)數所滿足(zu)的(de)(de)(de)單值、有(you)限、連續的(de)(de)(de)條件下，可解(jie)出(chu)波函(han)(han)(han)(han)數Ψ（r，t）。由此可計算粒(li)(li)子(zi)(zi)的(de)(de)(de)分(fen)布概率和任(ren)何可能(neng)實驗(yan)的(de)(de)(de)平均值（期望(wang)值）。當勢函(han)(han)(han)(han)數V不(bu)依賴于時(shi)間(jian)(jian)t時(shi)，粒(li)(li)子(zi)(zi)具有(you)確定的(de)(de)(de)能(neng)量(liang)(liang)(liang)，粒(li)(li)子(zi)(zi)的(de)(de)(de)狀(zhuang)態(tai)(tai)稱(cheng)(cheng)為(wei)定態(tai)(tai)。定態(tai)(tai)時(shi)的(de)(de)(de)波函(han)(han)(han)(han)數可寫成(cheng)式(shi)中(zhong)(zhong)Ψ（r）稱(cheng)(cheng)為(wei)定態(tai)(tai)波函(han)(han)(han)(han)數，滿足(zu)定態(tai)(tai)薛定諤方程(cheng)，這一方程(cheng)在(zai)(zai)數學(xue)(xue)(xue)上稱(cheng)(cheng)為(wei)本征(zheng)方程(cheng)，式(shi)中(zhong)(zhong)E為(wei)本征(zheng)值，它(ta)(ta)是定態(tai)(tai)能(neng)量(liang)(liang)(liang)，Ψ（r）又稱(cheng)(cheng)為(wei)屬于本征(zheng)值E的(de)(de)(de)本征(zheng)函(han)(han)(han)(han)數。
薛定(ding)諤(e)方(fang)程是量(liang)子(zi)力學(xue)的基(ji)(ji)本方(fang)程，它(ta)揭示了微(wei)觀物(wu)(wu)理世界(jie)物(wu)(wu)質(zhi)運(yun)動的基(ji)(ji)本規律(lv)，如牛頓定(ding)律(lv)在經(jing)典(dian)力學(xue)中(zhong)(zhong)所起的作用(yong)一(yi)(yi)樣，它(ta)是原子(zi)物(wu)(wu)理學(xue)中(zhong)(zhong)處理一(yi)(yi)切非相對論問(wen)題(ti)的有力工具(ju)，在原子(zi)、分子(zi)、固體物(wu)(wu)理、核物(wu)(wu)理、化學(xue)等領域中(zhong)(zhong)被廣泛(fan)應用(yong)。
1900年(nian)，馬克(ke)斯·普(pu)朗克(ke)在研究(jiu)黑體(ti)輻(fu)射(she)中(zhong)作出(chu)將(jiang)電(dian)磁輻(fu)射(she)能量(liang)量(liang)子化的(de)(de)(de)假設，因(yin)此發現(xian)將(jiang)能量(liang)與頻率關聯(lian)在一(yi)(yi)起的(de)(de)(de)普(pu)朗克(ke)關系式(shi)。1905年(nian)，阿爾伯特(te)·愛(ai)因(yin)斯坦從對于(yu)光電(dian)效應的(de)(de)(de)研究(jiu)又給予這(zhe)關系式(shi)嶄新的(de)(de)(de)詮釋：頻率為(wei)(wei)(wei)ν的(de)(de)(de)光子擁有的(de)(de)(de)能量(liang)為(wei)(wei)(wei)hν；其中(zhong)，因(yin)子h是普(pu)朗克(ke)常數。這(zhe)一(yi)(yi)點(dian)子成(cheng)為(wei)(wei)(wei)后來波(bo)(bo)粒二象(xiang)性概(gai)念(nian)的(de)(de)(de)早期(qi)路標(biao)之一(yi)(yi)。由于(yu)在狹義相(xiang)對論里，能量(liang)與動量(liang)的(de)(de)(de)關聯(lian)方式(shi)類似頻率與波(bo)(bo)數的(de)(de)(de)關聯(lian)方式(shi)，因(yin)此可以(yi)揣測(ce)，光子的(de)(de)(de)動量(liang)與波(bo)(bo)長(chang)成(cheng)反比(bi)，與波(bo)(bo)數成(cheng)正比(bi)，以(yi)方程來表示這(zhe)關系式(shi)。
路易·德(de)布羅(luo)意認(ren)為，不單光子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)遵(zun)守這(zhe)關系(xi)式(shi)(shi)，所(suo)有(you)粒子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)都遵(zun)守這(zhe)關系(xi)式(shi)(shi)。他(ta)于(yu)1924年進一(yi)步提出(chu)的(de)德(de)布羅(luo)意假說表(biao)明(ming)，每一(yi)種微觀粒子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)都具(ju)(ju)(ju)有(you)波(bo)動性與(yu)粒子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)性，這(zhe)性質(zhi)(zhi)稱(cheng)(cheng)為波(bo)粒二象(xiang)性。電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)也不例(li)外(wai)的(de)具(ju)(ju)(ju)有(you)這(zhe)種性質(zhi)(zhi)。電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)是一(yi)種物質(zhi)(zhi)波(bo)，稱(cheng)(cheng)為“電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)波(bo)”。電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)的(de)能(neng)量與(yu)動量分(fen)別決定了伴隨(sui)它(ta)的(de)物質(zhi)(zhi)波(bo)所(suo)具(ju)(ju)(ju)有(you)的(de)頻率與(yu)波(bo)數。在原(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)里，束縛電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)形成駐波(bo)；這(zhe)意味著他(ta)的(de)旋轉頻率只能(neng)呈某些(xie)(xie)離(li)散數值(zhi)。這(zhe)些(xie)(xie)量子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)化軌道對應于(yu)離(li)散能(neng)級。從這(zhe)些(xie)(xie)點子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)，德(de)布羅(luo)意復(fu)制(zhi)出(chu)玻爾(er)模型的(de)能(neng)級。
在1925年，瑞士蘇黎世(shi)每兩周會舉辦一(yi)場物理(li)學術研討會。有(you)(you)一(yi)次，主辦者彼得·德(de)拜(bai)邀請薛定諤(e)講(jiang)述關(guan)于德(de)布(bu)羅意的(de)(de)(de)波(bo)粒(li)(li)二(er)象性(xing)(xing)博士論文(wen)。那段時期，薛定諤(e)正(zheng)在研究氣體理(li)論，他(ta)從閱讀愛因(yin)斯坦(tan)關(guan)于玻(bo)色-愛因(yin)斯坦(tan)統計的(de)(de)(de)論述中，接觸德(de)布(bu)羅意的(de)(de)(de)博士論文(wen)，在這(zhe)方(fang)(fang)(fang)(fang)面有(you)(you)很精(jing)深的(de)(de)(de)理(li)解(jie)。在研討會里，他(ta)將波(bo)粒(li)(li)二(er)象性(xing)(xing)闡述的(de)(de)(de)淋漓盡致，大(da)家(jia)都聽的(de)(de)(de)津津有(you)(you)味(wei)。德(de)拜(bai)指出(chu)，既然(ran)粒(li)(li)子(zi)具(ju)有(you)(you)波(bo)動性(xing)(xing)，應該有(you)(you)一(yi)種(zhong)能(neng)夠正(zheng)確(que)描述這(zhe)種(zhong)量(liang)子(zi)性(xing)(xing)質的(de)(de)(de)波(bo)動方(fang)(fang)(fang)(fang)程。他(ta)的(de)(de)(de)意見給予薛定諤(e)極大(da)的(de)(de)(de)啟發與鼓(gu)舞(wu)，他(ta)開(kai)始(shi)尋(xun)找這(zhe)波(bo)動方(fang)(fang)(fang)(fang)程。檢試(shi)此(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)程最簡(jian)單(dan)與基本的(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)(fang)法就是，用此(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)程來描述氫原子(zi)內(nei)部束(shu)縛電子(zi)的(de)(de)(de)物理(li)行(xing)為，而必能(neng)復制出(chu)玻(bo)爾模型的(de)(de)(de)理(li)論結(jie)(jie)果(guo)，另外，這(zhe)方(fang)(fang)(fang)(fang)程還必須能(neng)解(jie)釋索末菲模型給出(chu)的(de)(de)(de)精(jing)細結(jie)(jie)構。
很快，薛定(ding)諤就通過德布羅意論文的(de)(de)(de)相對(dui)論性(xing)理論，推(tui)導(dao)出(chu)一個相對(dui)論性(xing)波動方(fang)程，他(ta)將這(zhe)方(fang)程應用于(yu)氫原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)，計算出(chu)束縛(fu)電子(zi)(zi)的(de)(de)(de)波函數。因為(wei)(wei)薛定(ding)諤沒有將電子(zi)(zi)的(de)(de)(de)自旋納入(ru)考(kao)量，所以(yi)從這(zhe)方(fang)程推(tui)導(dao)出(chu)的(de)(de)(de)精細結(jie)構公(gong)式不符合索末菲模(mo)型。他(ta)只好(hao)將這(zhe)方(fang)程加以(yi)修改，除去相對(dui)論性(xing)部分，并(bing)用剩(sheng)下的(de)(de)(de)非相對(dui)論性(xing)方(fang)程來計算氫原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)的(de)(de)(de)譜線。解析這(zhe)微分方(fang)程的(de)(de)(de)工作相當困難(nan)，在其好(hao)朋友數學(xue)家赫爾曼·外(wai)爾鼎力(li)相助下，他(ta)復制(zhi)出(chu)了與(yu)玻爾模(mo)型完(wan)全相同(tong)的(de)(de)(de)答案。因此(ci)，他(ta)決定(ding)暫且不發表相對(dui)論性(xing)部分，只把非相對(dui)論性(xing)波動方(fang)程與(yu)氫原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)光(guang)譜分析結(jie)果，寫(xie)為(wei)(wei)一篇論文。1926年，他(ta)正式發表了這(zhe)論文。
這(zhe)篇(pian)論(lun)文(wen)迅(xun)速(su)在(zai)量子(zi)(zi)學(xue)術界(jie)引(yin)起震撼。普朗克(ke)表示“他已閱讀完畢整篇(pian)論(lun)文(wen)，就像被一(yi)個迷語困惑多時，渴(ke)慕知道答案(an)的(de)(de)孩童，現在(zai)終于(yu)聽到了解答”。愛因斯坦(tan)稱(cheng)贊，這(zhe)著作的(de)(de)靈感如同泉水般源自一(yi)位(wei)真正的(de)(de)天才。愛因斯坦(tan)覺(jue)得，薛定諤(e)(e)已做出決定性(xing)貢獻(xian)。由于(yu)薛定諤(e)(e)所(suo)創建的(de)(de)波動(dong)力(li)(li)學(xue)涉及到眾所(suo)熟悉的(de)(de)波動(dong)概念與數學(xue)，而不是矩陣力(li)(li)學(xue)中(zhong)既(ji)抽象又陌生的(de)(de)矩陣代數，量子(zi)(zi)學(xue)者都很樂(le)意(yi)地開始學(xue)習與應用(yong)波動(dong)力(li)(li)學(xue)。自旋的(de)(de)發現者喬治·烏倫貝克(ke)驚嘆(tan)，“薛定諤(e)(e)方程給我們帶來極大的(de)(de)解救！”沃爾夫岡·泡(pao)利(li)認為，這(zhe)論(lun)文(wen)應可算是最(zui)重要的(de)(de)著作之一(yi)。
薛(xue)定(ding)諤(e)(e)給出的(de)(de)薛(xue)定(ding)諤(e)(e)方程能夠正確地(di)描(miao)述波函(han)(han)數(shu)(shu)的(de)(de)量(liang)子(zi)(zi)行為。在那時，物理(li)學者(zhe)尚不(bu)清楚(chu)如何詮(quan)釋波函(han)(han)數(shu)(shu)，薛(xue)定(ding)諤(e)(e)試圖(tu)以電(dian)荷密(mi)度來(lai)詮(quan)釋波函(han)(han)數(shu)(shu)的(de)(de)絕對值平方，可并不(bu)成功。1926年(nian)，玻恩提(ti)出概率幅的(de)(de)概念，成功地(di)詮(quan)釋了波函(han)(han)數(shu)(shu)的(de)(de)物理(li)意(yi)義。但(dan)是薛(xue)定(ding)諤(e)(e)與(yu)愛因(yin)斯坦(tan)觀點相同(tong)，都不(bu)贊同(tong)這(zhe)種統(tong)計(ji)或概率方法，以及它所伴隨的(de)(de)非連續(xu)性(xing)波函(han)(han)數(shu)(shu)坍(tan)縮(suo)。愛因(yin)斯坦(tan)主(zhu)張，量(liang)子(zi)(zi)力學是個決定(ding)性(xing)理(li)論的(de)(de)統(tong)計(ji)近似。在薛(xue)定(ding)諤(e)(e)有生的(de)(de)最(zui)后一年(nian)，寫給玻恩的(de)(de)一封(feng)信(xin)中，他清楚(chu)地(di)表示他不(bu)接受(shou)哥本哈根詮(quan)釋。
埃爾(er)溫·薛定(ding)諤（Erwin Schrodinger，1887年(nian)(nian)—1961年(nian)(nian)）1887年(nian)(nian)8月12日出生于奧地(di)利(li)首(shou)都維(wei)也納(na)。1906年(nian)(nian)至1910年(nian)(nian)，他就學于維(wei)也納(na)大(da)學物理系。1910年(nian)(nian)獲得博(bo)士(shi)學位(wei)。畢(bi)業后，在維(wei)也納(na)大(da)學第(di)二物理研究所從事(shi)實(shi)驗物理的工作。第(di)一次(ci)世界大(da)戰期間(jian)，他應(ying)征(zheng)服役(yi)于一個(ge)偏僻的炮兵要塞，利(li)用閑(xian)暇(xia)時(shi)間(jian)研究理論(lun)物理。
戰后(hou)他仍回到(dao)(dao)第二(er)物(wu)理(li)研究所。1920年(nian)他到(dao)(dao)耶拿大(da)學(xue)協助維(wei)恩工作。1921年(nian)薛定諤(e)(e)受聘到(dao)(dao)瑞士的蘇黎世大(da)學(xue)任(ren)數學(xue)物(wu)理(li)教授(shou)，在那里工作了6年(nian)，薛定諤(e)(e)方(fang)程(cheng)就是在這一期(qi)間提(ti)出的。1927年(nian)薛定諤(e)(e)接替(ti)普(pu)朗克(ke)到(dao)(dao)柏(bo)林(lin)大(da)學(xue)擔任(ren)理(li)論物(wu)理(li)教授(shou)。1933年(nian)希特勒上臺后(hou)，薛定諤(e)(e)對于納粹政(zheng)權迫(po)害愛(ai)因斯坦等(deng)杰出科學(xue)家的法(fa)西斯行為深(shen)為憤慨，移居牛(niu)津，在馬達(da)倫學(xue)院任(ren)訪問教授(shou)。同(tong)年(nian)他與狄拉(la)克(ke)共同(tong)獲得諾貝(bei)爾物(wu)理(li)學(xue)獎。
1936年(nian)(nian)(nian)他(ta)回到奧(ao)(ao)(ao)(ao)(ao)地利(li)任格拉(la)茨大(da)學理論物(wu)理教(jiao)授。不到兩年(nian)(nian)(nian)，奧(ao)(ao)(ao)(ao)(ao)地利(li)被(bei)納(na)(na)粹(cui)并吞后，他(ta)又陷入了(le)(le)(le)(le)逆(ni)境。1939年(nian)(nian)(nian)10月流亡(wang)到愛爾蘭首(shou)府都柏(bo)林，就(jiu)任都柏(bo)林高級研(yan)(yan)究所(suo)所(suo)長，從事(shi)理論物(wu)理研(yan)(yan)究。在此期間還進行了(le)(le)(le)(le)科學哲(zhe)學、生(sheng)物(wu)物(wu)理研(yan)(yan)究，頗有建樹。出版(ban)了(le)(le)(le)(le)《生(sheng)命是什么》一書，試圖用量子物(wu)理闡明遺傳結構的(de)穩定性(xing)。1956年(nian)(nian)(nian)薛定諤回到了(le)(le)(le)(le)奧(ao)(ao)(ao)(ao)(ao)地利(li)，被(bei)聘(pin)為維也納(na)(na)大(da)學理論物(wu)理教(jiao)授，奧(ao)(ao)(ao)(ao)(ao)地利(li)政府給予(yu)他(ta)極(ji)大(da)的(de)榮(rong)譽(yu)，設定了(le)(le)(le)(le)以(yi)薛定諤命名的(de)國家獎金，由奧(ao)(ao)(ao)(ao)(ao)地利(li)科學院授予(yu)。
一維薛定諤方程
三維薛定諤方程
定態薛定諤方程
單粒(li)子薛定諤(e)方程的數學表達形式
這是一(yi)個二階(jie)線性偏微(wei)分(fen)方(fang)程，ψ(x，y，z)是待求函(han)數，它(ta)是x,y,z三個變量的復數函(han)數（就是說函(han)數值不一(yi)定是實數，也可能是虛(xu)數）。式子最左邊(bian)的倒三角是拉(la)普拉(la)斯算符，意思是分(fen)別對ψ(x，y，z)的梯(ti)度(du)求散度(du)。
這(zhe)是(shi)一(yi)個描述(shu)(shu)一(yi)個粒子(zi)在(zai)三(san)維勢場(chang)(chang)中的(de)定(ding)態(tai)薛(xue)定(ding)諤方程(cheng)。所謂勢場(chang)(chang)，就(jiu)(jiu)是(shi)粒子(zi)在(zai)其(qi)中會(hui)有勢能的(de)場(chang)(chang)，比如電(dian)場(chang)(chang)就(jiu)(jiu)是(shi)一(yi)個帶電(dian)粒子(zi)的(de)勢場(chang)(chang)；所謂定(ding)態(tai)，就(jiu)(jiu)是(shi)假設波(bo)函(han)數不隨時(shi)間(jian)變化(hua)。其(qi)中，E是(shi)粒子(zi)本身(shen)的(de)能量(liang)；U（x，y，z）是(shi)描述(shu)(shu)勢場(chang)(chang)的(de)函(han)數，假設不隨時(shi)間(jian)變化(hua)。薛(xue)定(ding)諤方程(cheng)有一(yi)個很(hen)好的(de)性質，就(jiu)(jiu)是(shi)時(shi)間(jian)和空(kong)間(jian)部分是(shi)相互分立的(de)，求出定(ding)態(tai)波(bo)函(han)數的(de)空(kong)間(jian)部分后再乘上時(shi)間(jian)部分以(yi)后就(jiu)(jiu)成了完整的(de)波(bo)函(han)數了。
簡單系統，如氫原子(zi)中(zhong)電(dian)子(zi)的薛定諤方(fang)程(cheng)才能(neng)求(qiu)解，對于(yu)(yu)復雜系統必須近(jin)似(si)求(qiu)解。因為(wei)對于(yu)(yu)有(you)Z個電(dian)子(zi)的原子(zi)，其電(dian)子(zi)由于(yu)(yu)屏(ping)蔽效應相互作用勢能(neng)會(hui)發(fa)生改變，所以只(zhi)能(neng)近(jin)似(si)求(qiu)解。近(jin)似(si)求(qiu)解的方(fang)法(fa)主要有(you)變分法(fa)和微擾法(fa)。
在(zai)束縛態邊界條件下(xia)并(bing)不是E值對(dui)應的(de)(de)所有解在(zai)物理上都(dou)是可以接受的(de)(de)。主量(liang)子(zi)數(shu)(shu)(shu)(shu)、角量(liang)子(zi)數(shu)(shu)(shu)(shu)、磁量(liang)子(zi)數(shu)(shu)(shu)(shu)都(dou)是薛定諤方程(cheng)(cheng)的(de)(de)解。要(yao)(yao)完(wan)整描述電子(zi)狀(zhuang)態，必須要(yao)(yao)四個量(liang)子(zi)數(shu)(shu)(shu)(shu)。自旋磁量(liang)子(zi)數(shu)(shu)(shu)(shu)不是薛定諤方程(cheng)(cheng)的(de)(de)解，而(er)是作為實驗事實接受下(xia)來的(de)(de)。
主(zhu)量子(zi)數n和能(neng)(neng)量有關(guan)的(de)(de)量子(zi)數。原子(zi)具有分立(li)能(neng)(neng)級，能(neng)(neng)量只能(neng)(neng)取一系列值(zhi)，每一個波函(han)數都對應相應的(de)(de)能(neng)(neng)量。氫(qing)原子(zi)以(yi)及類氫(qing)原子(zi)的(de)(de)分立(li)值(zhi)為：
，n越大能量越高(gao)電子(zi)層離核(he)越遠。主量子(zi)數決(jue)定了電子(zi)出(chu)現的(de)(de)最(zui)大幾率的(de)(de)區域離核(he)遠近，決(jue)定了電子(zi)的(de)(de)能量。N=1，2，3，……；常用K、L、M、N……表示。
角(jiao)量(liang)子數(shu)l和能(neng)(neng)量(liang)有(you)關的(de)量(liang)子數(shu)。電(dian)(dian)子在原(yuan)子中具有(you)確定的(de)角(jiao)動(dong)(dong)量(liang)L，它的(de)取(qu)值(zhi)不(bu)是任意的(de)，只能(neng)(neng)取(qu)一系列(lie)分立值(zhi)，稱(cheng)為(wei)(wei)角(jiao)動(dong)(dong)量(liang)量(liang)子化。。l越(yue)大，角(jiao)動(dong)(dong)量(liang)越(yue)大，能(neng)(neng)量(liang)越(yue)高，電(dian)(dian)子云的(de)形狀也不(bu)同。l=0，1，2，……常用(yong)s，p，d，f，g表(biao)示，簡單的(de)說(shuo)就是前(qian)面說(shuo)的(de)電(dian)(dian)子亞層。角(jiao)量(liang)子數(shu)決定了軌(gui)道(dao)形狀，所以也稱(cheng)為(wei)(wei)軌(gui)道(dao)形狀量(liang)子數(shu)。s為(wei)(wei)球型，p為(wei)(wei)啞(ya)鈴型，d為(wei)(wei)花(hua)瓣，f軌(gui)道(dao)更為(wei)(wei)復雜(za)。
磁(ci)量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數(shu)m是和電子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)無關的(de)(de)量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數(shu)。原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)中(zhong)電子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)繞核運動的(de)(de)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)角動量(liang)(liang)(liang)，在(zai)外磁(ci)場方向(xiang)上的(de)(de)分量(liang)(liang)(liang)是量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)化的(de)(de)，并(bing)由量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數(shu)m決(jue)定(ding)，m稱(cheng)(cheng)為(wei)磁(ci)量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數(shu)。對于任意(yi)選定(ding)的(de)(de)外磁(ci)場方向(xiang)Z，角動量(liang)(liang)(liang)L在(zai)此方向(xiang)上的(de)(de)分量(liang)(liang)(liang)Lz只能(neng)(neng)取(qu)一系列(lie)分立(li)值(zhi)，這種(zhong)現象稱(cheng)(cheng)為(wei)空間量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)化。。磁(ci)量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數(shu)決(jue)定(ding)了原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)空間伸(shen)展方向(xiang)，即(ji)原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)在(zai)空間的(de)(de)取(qu)向(xiang)，s軌(gui)(gui)道(dao)(dao)一個方向(xiang)（球），p軌(gui)(gui)道(dao)(dao)3個方向(xiang)，d軌(gui)(gui)道(dao)(dao)5個，f軌(gui)(gui)道(dao)(dao)7個……。l相(xiang)同，m不同即(ji)形狀(zhuang)相(xiang)同空間取(qu)向(xiang)不同的(de)(de)原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)是相(xiang)同的(de)(de)。不同原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)具有相(xiang)同能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)的(de)(de)現象稱(cheng)(cheng)為(wei)能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)簡并(bing)。
能(neng)量相同的(de)原子(zi)軌(gui)(gui)道(dao)稱(cheng)為(wei)簡并(bing)軌(gui)(gui)道(dao)，其(qi)數(shu)目稱(cheng)為(wei)簡并(bing)度。如p軌(gui)(gui)道(dao)有3個簡并(bing)軌(gui)(gui)道(dao)，簡并(bing)度為(wei)3。簡并(bing)軌(gui)(gui)道(dao)在外磁場(chang)作(zuo)用下會產(chan)生能(neng)量差異(yi)，這就是線狀譜在磁場(chang)下分裂的(de)原因。
粒子(zi)的(de)自旋(xuan)也產(chan)生(sheng)角(jiao)動量，其大小取(qu)決于(yu)自旋(xuan)磁(ci)量子(zi)數（ms）。電子(zi)自旋(xuan)角(jiao)動量是量子(zi)化的(de)其值為，s為自旋(xuan)量子(zi)數，自旋(xuan)角(jiao)動量的(de)一個(ge)分量Lsz應取(qu)下列分立值：。
原(yuan)子(zi)(zi)(zi)光(guang)(guang)譜，在高(gao)分辨光(guang)(guang)譜儀下，每一條(tiao)光(guang)(guang)線(xian)(xian)都(dou)是由兩(liang)條(tiao)非常接近的(de)光(guang)(guang)譜線(xian)(xian)組成(cheng)，為解釋這(zhe)一現象提(ti)出(chu)了粒子(zi)(zi)(zi)的(de)自旋(xuan)。電(dian)子(zi)(zi)(zi)的(de)自旋(xuan)表(biao)示電(dian)子(zi)(zi)(zi)的(de)兩(liang)種(zhong)不(bu)同狀(zhuang)(zhuang)態，這(zhe)兩(liang)種(zhong)狀(zhuang)(zhuang)態有不(bu)同的(de)自旋(xuan)角動量。
電(dian)子(zi)的(de)自(zi)旋不是機械(xie)的(de)自(zi)身(shen)旋轉，它是本(ben)身(shen)的(de)內稟屬性，也是新(xin)的(de)自(zi)由度(du)，如質量(liang)和電(dian)荷一樣是它的(de)內在屬性，電(dian)子(zi)的(de)自(zi)旋角動量(liang)：?/2。
希(xi)爾伯特(te)空間與薛(xue)定諤方(fang)程(cheng)
一般，物理(li)(li)上將(jiang)物理(li)(li)狀(zhuang)態與(yu)希爾(er)伯特(te)空(kong)間上的向量（vector），物理(li)(li)量與(yu)希爾(er)伯特(te)空(kong)間上的算符相對應(ying)。這種(zhong)形式下的薛(xue)定諤方(fang)程為
H為哈密頓算符。這個(ge)(ge)方程(cheng)在(zai)這個(ge)(ge)形(xing)式下(xia)充(chong)分顯(xian)示出了時(shi)間(jian)與(yu)空(kong)間(jian)的對(dui)應性（時(shi)間(jian)與(yu)能量相(xiang)對(dui)應，正如空(kong)間(jian)與(yu)動量相(xiang)對(dui)應，后(hou)述(shu)(shu)）。這種(zhong)算符（物理量）不隨時(shi)間(jian)變化(hua)而狀態(tai)隨時(shi)間(jian)變化(hua)的對(dui)自然現象的描述(shu)(shu)方法被稱為薛定諤(e)繪景(jing)，與(yu)之對(dui)應的是海森伯繪景(jing)。
空間坐標算符x與(yu)其對應(ying)的動(dong)量(liang)算符p滿足以下交換關(guan)系：
所謂的薛定諤表示就是將空間算(suan)符直接作為x，而動(dong)量算(suan)符為下面(mian)的包含微分的微分算(suan)符：
精靈世界
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