薛(xue)定(ding)諤(e)方(fang)程（Schr?dinger equation），又稱(cheng)薛(xue)定(ding)諤(e)波動方(fang)程（Schrodinger wave equation），是由(you)奧地利物理(li)學家薛(xue)定(ding)諤(e)提出(chu)的(de)量(liang)子(zi)力學中的(de)一個(ge)基(ji)本方(fang)程，也是量(liang)子(zi)力學的(de)一個(ge)基(ji)本假定(ding)。
它是(shi)將物(wu)質波(bo)的(de)概念和波(bo)動(dong)方程相結合(he)建立(li)的(de)二階偏(pian)微分方程，可描述(shu)微觀(guan)粒(li)子的(de)運動(dong)，每個微觀(guan)系統(tong)都(dou)有(you)一(yi)個相應(ying)的(de)薛定諤方程式(shi)(shi)，通(tong)過解(jie)(jie)方程可得到波(bo)函數的(de)具體形式(shi)(shi)以(yi)及對應(ying)的(de)能量，從而了解(jie)(jie)微觀(guan)系統(tong)的(de)性(xing)質。在量子力學(xue)中(zhong)，粒(li)子以(yi)概率的(de)方式(shi)(shi)出現，具有(you)不(bu)確定性(xing)，宏觀(guan)尺度(du)下失效可忽(hu)略(lve)不(bu)計。
薛定諤方(fang)程是量子力(li)學(xue)的(de)基(ji)本(ben)方(fang)程。是1926年奧地利(li)理論物理學(xue)家(jia)薛定諤提出的(de)。它描(miao)述微(wei)觀(guan)粒子的(de)狀態隨(sui)時間變化(hua)的(de)規(gui)律。微(wei)觀(guan)系統的(de)狀態由波(bo)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)來描(miao)寫，薛定諤方(fang)程即是波(bo)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)的(de)微(wei)分(fen)方(fang)程。若給(gei)定了初始條件和邊界的(de)條件，就可由此方(fang)程解出波(bo)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)。
薛定(ding)諤(e)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)（Schrodinger equation）在(zai)量子力(li)(li)學(xue)中(zhong)(zhong)，體系的(de)(de)(de)狀態(tai)(tai)不能用力(li)(li)學(xue)量（例如(ru)x）的(de)(de)(de)值來確定(ding)，而(er)是(shi)要用力(li)(li)學(xue)量的(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)Ψ（x,t），即波(bo)(bo)函(han)(han)數(shu)（又稱概(gai)率(lv)幅，態(tai)(tai)函(han)(han)數(shu)）來確定(ding)，因(yin)此波(bo)(bo)函(han)(han)數(shu)成為量子力(li)(li)學(xue)研究(jiu)的(de)(de)(de)主要對象。力(li)(li)學(xue)量取值的(de)(de)(de)概(gai)率(lv)分布如(ru)何(he)，這個分布隨(sui)時間如(ru)何(he)變化，這些問題都可以通過(guo)求解(jie)波(bo)(bo)函(han)(han)數(shu)的(de)(de)(de)薛定(ding)諤(e)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)得(de)到解(jie)答。這個方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)是(shi)奧地利物理(li)學(xue)家(jia)薛定(ding)諤(e)于1926年提出的(de)(de)(de)，它是(shi)量子力(li)(li)學(xue)最(zui)基本的(de)(de)(de)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)之一，在(zai)量子力(li)(li)學(xue)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)地位與牛頓方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)在(zai)經典力(li)(li)學(xue)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)地位相當，超弦理(li)論試圖統(tong)一兩種(zhong)理(li)論。
薛(xue)定諤方程(cheng)是量子力學最基本(ben)的(de)方程(cheng)，亦是量子力學的(de)一個基本(ben)假定，其正確性只能靠實驗來(lai)確定。
量子力學中(zhong)求(qiu)解粒子問題(ti)常歸結為解薛定(ding)(ding)諤(e)方(fang)程(cheng)或定(ding)(ding)態薛定(ding)(ding)諤(e)方(fang)程(cheng)。薛定(ding)(ding)諤(e)方(fang)程(cheng)廣泛地用于(yu)原子物理、核物理和固體(ti)物理，對于(yu)原子、分子、核、固體(ti)等一(yi)系列問題(ti)中(zhong)求(qiu)解的結果(guo)都(dou)與實際(ji)符合得很好。
薛(xue)定諤方程(cheng)僅適用于速(su)度(du)不太大(da)的(de)非(fei)相(xiang)對論粒子，其中也沒有(you)包含關(guan)于粒子自(zi)旋(xuan)的(de)描述。當涉(she)及(ji)相(xiang)對論效應(ying)時(shi)，薛(xue)定諤方程(cheng)由相(xiang)對論量子力學方程(cheng)所取代(dai)，其中自(zi)然包含了粒子的(de)自(zi)旋(xuan)。
.薛定(ding)諤提出的(de)量(liang)子(zi)(zi)力(li)學基本(ben)方(fang)程(cheng)。建立于(yu)(yu)1926年。它(ta)是一(yi)個非(fei)相對(dui)(dui)論的(de)波動方(fang)程(cheng)。它(ta)反映了(le)描述(shu)微觀(guan)粒(li)(li)子(zi)(zi)的(de)狀(zhuang)態(tai)(tai)隨時(shi)間變化的(de)規律，它(ta)在(zai)量(liang)子(zi)(zi)力(li)學中(zhong)的(de)地(di)位相當于(yu)(yu)牛頓定(ding)律對(dui)(dui)于(yu)(yu)經典力(li)學一(yi)樣，是量(liang)子(zi)(zi)力(li)學的(de)基本(ben)假(jia)設(she)之一(yi)。設(she)描述(shu)微觀(guan)粒(li)(li)子(zi)(zi)狀(zhuang)態(tai)(tai)的(de)波函(han)(han)數(shu)(shu)為(wei)(wei)Ψ（r，t），質量(liang)為(wei)(wei)m的(de)微觀(guan)粒(li)(li)子(zi)(zi)在(zai)勢(shi)場V（r，t）中(zhong)運(yun)動的(de)薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)。在(zai)給定(ding)初始條件和邊界(jie)條件以及波函(han)(han)數(shu)(shu)所滿足的(de)單值(zhi)、有(you)限、連續(xu)的(de)條件下(xia)，可(ke)解出波函(han)(han)數(shu)(shu)Ψ（r，t）。由此可(ke)計算粒(li)(li)子(zi)(zi)的(de)分布概(gai)率和任何可(ke)能實(shi)驗的(de)平均值(zhi)（期望值(zhi)）。當勢(shi)函(han)(han)數(shu)(shu)V不依賴于(yu)(yu)時(shi)間t時(shi)，粒(li)(li)子(zi)(zi)具有(you)確定(ding)的(de)能量(liang)，粒(li)(li)子(zi)(zi)的(de)狀(zhuang)態(tai)(tai)稱(cheng)為(wei)(wei)定(ding)態(tai)(tai)。定(ding)態(tai)(tai)時(shi)的(de)波函(han)(han)數(shu)(shu)可(ke)寫成式中(zhong)Ψ（r）稱(cheng)為(wei)(wei)定(ding)態(tai)(tai)波函(han)(han)數(shu)(shu)，滿足定(ding)態(tai)(tai)薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)，這(zhe)一(yi)方(fang)程(cheng)在(zai)數(shu)(shu)學上稱(cheng)為(wei)(wei)本(ben)征(zheng)方(fang)程(cheng)，式中(zhong)E為(wei)(wei)本(ben)征(zheng)值(zhi)，它(ta)是定(ding)態(tai)(tai)能量(liang)，Ψ（r）又稱(cheng)為(wei)(wei)屬于(yu)(yu)本(ben)征(zheng)值(zhi)E的(de)本(ben)征(zheng)函(han)(han)數(shu)(shu)。
薛定諤方程(cheng)是量子(zi)力學的基本方程(cheng)，它揭示了(le)微(wei)觀物(wu)(wu)理(li)世(shi)界物(wu)(wu)質運動的基本規律，如牛頓定律在(zai)(zai)經(jing)典力學中(zhong)(zhong)所起的作用一(yi)樣(yang)，它是原子(zi)物(wu)(wu)理(li)學中(zhong)(zhong)處(chu)理(li)一(yi)切非相(xiang)對論問題的有力工(gong)具，在(zai)(zai)原子(zi)、分子(zi)、固(gu)體物(wu)(wu)理(li)、核物(wu)(wu)理(li)、化學等(deng)領域中(zhong)(zhong)被廣(guang)泛應用。
1900年，馬(ma)克斯(si)·普(pu)朗(lang)克在(zai)研(yan)究(jiu)黑體輻(fu)射(she)中作出將(jiang)電磁輻(fu)射(she)能量(liang)(liang)量(liang)(liang)子化的(de)(de)(de)假設，因(yin)此發現將(jiang)能量(liang)(liang)與(yu)頻率(lv)關(guan)聯(lian)(lian)在(zai)一(yi)(yi)起的(de)(de)(de)普(pu)朗(lang)克關(guan)系(xi)式(shi)(shi)。1905年，阿爾伯特·愛因(yin)斯(si)坦從對于光(guang)電效(xiao)應的(de)(de)(de)研(yan)究(jiu)又給予這關(guan)系(xi)式(shi)(shi)嶄新的(de)(de)(de)詮釋：頻率(lv)為(wei)ν的(de)(de)(de)光(guang)子擁有的(de)(de)(de)能量(liang)(liang)為(wei)hν；其(qi)中，因(yin)子h是普(pu)朗(lang)克常數(shu)。這一(yi)(yi)點子成(cheng)為(wei)后來波(bo)粒二象性概念的(de)(de)(de)早(zao)期路標之(zhi)一(yi)(yi)。由于在(zai)狹(xia)義相對論里，能量(liang)(liang)與(yu)動(dong)量(liang)(liang)的(de)(de)(de)關(guan)聯(lian)(lian)方式(shi)(shi)類似(si)頻率(lv)與(yu)波(bo)數(shu)的(de)(de)(de)關(guan)聯(lian)(lian)方式(shi)(shi)，因(yin)此可以(yi)揣測(ce)，光(guang)子的(de)(de)(de)動(dong)量(liang)(liang)與(yu)波(bo)長成(cheng)反比，與(yu)波(bo)數(shu)成(cheng)正比，以(yi)方程(cheng)來表示(shi)這關(guan)系(xi)式(shi)(shi)。
路易·德(de)(de)布(bu)羅(luo)意(yi)認為，不(bu)(bu)單光(guang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)遵守這(zhe)關系式，所有粒(li)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)都遵守這(zhe)關系式。他于1924年進一(yi)步提(ti)出(chu)的(de)(de)(de)德(de)(de)布(bu)羅(luo)意(yi)假說(shuo)表明，每一(yi)種微觀(guan)粒(li)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)都具有波(bo)(bo)動性(xing)與粒(li)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)性(xing)，這(zhe)性(xing)質稱(cheng)(cheng)為波(bo)(bo)粒(li)二(er)象性(xing)。電子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)也不(bu)(bu)例外(wai)的(de)(de)(de)具有這(zhe)種性(xing)質。電子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)是(shi)一(yi)種物質波(bo)(bo)，稱(cheng)(cheng)為“電子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)波(bo)(bo)”。電子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)的(de)(de)(de)能(neng)量與動量分別決定(ding)了伴隨它的(de)(de)(de)物質波(bo)(bo)所具有的(de)(de)(de)頻率與波(bo)(bo)數(shu)。在原子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)里，束縛電子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)形(xing)成駐波(bo)(bo)；這(zhe)意(yi)味著(zhu)他的(de)(de)(de)旋轉(zhuan)頻率只能(neng)呈某些離(li)散數(shu)值(zhi)。這(zhe)些量子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)化(hua)軌道對應(ying)于離(li)散能(neng)級。從這(zhe)些點子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)，德(de)(de)布(bu)羅(luo)意(yi)復制(zhi)出(chu)玻(bo)爾模型的(de)(de)(de)能(neng)級。
在(zai)(zai)1925年，瑞士蘇黎世每兩(liang)周會(hui)舉(ju)辦一場物(wu)理(li)學(xue)術研(yan)討(tao)會(hui)。有(you)(you)一次，主(zhu)辦者彼得·德拜邀請薛定諤(e)講述(shu)(shu)關(guan)于德布羅意(yi)的(de)波(bo)粒二象性(xing)博士論(lun)文。那段時(shi)期，薛定諤(e)正(zheng)在(zai)(zai)研(yan)究氣體理(li)論(lun)，他(ta)從閱讀(du)愛(ai)因(yin)斯坦關(guan)于玻色-愛(ai)因(yin)斯坦統(tong)計的(de)論(lun)述(shu)(shu)中(zhong)，接觸德布羅意(yi)的(de)博士論(lun)文，在(zai)(zai)這(zhe)方(fang)面有(you)(you)很精深(shen)的(de)理(li)解。在(zai)(zai)研(yan)討(tao)會(hui)里，他(ta)將波(bo)粒二象性(xing)闡述(shu)(shu)的(de)淋(lin)漓盡致，大(da)家(jia)都聽的(de)津(jin)(jin)津(jin)(jin)有(you)(you)味。德拜指出，既(ji)然粒子具(ju)有(you)(you)波(bo)動性(xing)，應該(gai)有(you)(you)一種能(neng)夠正(zheng)確描述(shu)(shu)這(zhe)種量子性(xing)質(zhi)的(de)波(bo)動方(fang)程。他(ta)的(de)意(yi)見給(gei)予薛定諤(e)極大(da)的(de)啟發與鼓舞(wu)，他(ta)開(kai)始尋找(zhao)這(zhe)波(bo)動方(fang)程。檢試(shi)此方(fang)程最(zui)簡單(dan)與基本的(de)方(fang)法就是，用此方(fang)程來描述(shu)(shu)氫(qing)原(yuan)子內部束縛電子的(de)物(wu)理(li)行為，而必能(neng)復制出玻爾模型(xing)的(de)理(li)論(lun)結(jie)果，另外，這(zhe)方(fang)程還必須能(neng)解釋(shi)索末菲模型(xing)給(gei)出的(de)精細(xi)結(jie)構。
很快(kuai)，薛定諤(e)就通過德布羅意論(lun)(lun)文的(de)相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)性理論(lun)(lun)，推導出一個(ge)相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)性波動方(fang)程(cheng)(cheng)，他將這(zhe)(zhe)方(fang)程(cheng)(cheng)應(ying)用(yong)于氫原子(zi)(zi)，計算(suan)出束縛電(dian)子(zi)(zi)的(de)波函(han)數(shu)。因為薛定諤(e)沒(mei)有將電(dian)子(zi)(zi)的(de)自旋納入考量，所以從這(zhe)(zhe)方(fang)程(cheng)(cheng)推導出的(de)精細結(jie)構(gou)公式(shi)不(bu)符合(he)索末菲(fei)模(mo)型。他只(zhi)(zhi)好(hao)將這(zhe)(zhe)方(fang)程(cheng)(cheng)加以修改，除去(qu)相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)性部分，并(bing)用(yong)剩下的(de)非相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)性方(fang)程(cheng)(cheng)來計算(suan)氫原子(zi)(zi)的(de)譜線(xian)。解析這(zhe)(zhe)微分方(fang)程(cheng)(cheng)的(de)工作相(xiang)當困難，在(zai)其好(hao)朋友數(shu)學家赫爾曼·外爾鼎(ding)力相(xiang)助下，他復制(zhi)出了與玻爾模(mo)型完全(quan)相(xiang)同的(de)答案。因此(ci)，他決(jue)定暫且不(bu)發表相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)性部分，只(zhi)(zhi)把非相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)性波動方(fang)程(cheng)(cheng)與氫原子(zi)(zi)光譜分析結(jie)果，寫為一篇論(lun)(lun)文。1926年，他正式(shi)發表了這(zhe)(zhe)論(lun)(lun)文。
這篇論文迅速在量(liang)(liang)子(zi)學(xue)(xue)術界引起震撼。普(pu)朗克表示“他已閱讀完畢整(zheng)篇論文，就像(xiang)被一個迷語(yu)困惑多時，渴慕知道答(da)案(an)的(de)(de)(de)孩童，現(xian)(xian)在終(zhong)于(yu)聽到(dao)了解(jie)答(da)”。愛因(yin)斯坦(tan)稱贊(zan)，這著(zhu)作的(de)(de)(de)靈感(gan)如同(tong)泉水(shui)般(ban)源自(zi)一位真正(zheng)的(de)(de)(de)天才。愛因(yin)斯坦(tan)覺得(de)，薛(xue)定(ding)(ding)(ding)諤已做出決定(ding)(ding)(ding)性貢獻。由(you)于(yu)薛(xue)定(ding)(ding)(ding)諤所(suo)創建的(de)(de)(de)波動力學(xue)(xue)涉及到(dao)眾所(suo)熟悉的(de)(de)(de)波動概念與數學(xue)(xue)，而不是矩陣(zhen)力學(xue)(xue)中既抽象又陌生的(de)(de)(de)矩陣(zhen)代數，量(liang)(liang)子(zi)學(xue)(xue)者都很樂意地開始學(xue)(xue)習與應(ying)用波動力學(xue)(xue)。自(zi)旋的(de)(de)(de)發(fa)現(xian)(xian)者喬治(zhi)·烏倫(lun)貝克驚嘆(tan)，“薛(xue)定(ding)(ding)(ding)諤方(fang)程給我(wo)們帶來極大(da)的(de)(de)(de)解(jie)救！”沃爾夫岡·泡利認為，這論文應(ying)可算是最重(zhong)要的(de)(de)(de)著(zhu)作之一。
薛(xue)定(ding)諤(e)給(gei)出的(de)薛(xue)定(ding)諤(e)方(fang)(fang)程能夠(gou)正確地描述波函(han)(han)數(shu)的(de)量子行為。在那時，物理學者尚不清(qing)楚(chu)如何詮(quan)釋(shi)波函(han)(han)數(shu)，薛(xue)定(ding)諤(e)試圖以電(dian)荷密(mi)度來詮(quan)釋(shi)波函(han)(han)數(shu)的(de)絕對值平方(fang)(fang)，可并不成(cheng)功。1926年(nian)，玻(bo)恩提出概率幅的(de)概念，成(cheng)功地詮(quan)釋(shi)了波函(han)(han)數(shu)的(de)物理意(yi)義。但是(shi)薛(xue)定(ding)諤(e)與愛因斯坦(tan)觀點相同，都不贊同這種統計或概率方(fang)(fang)法(fa)，以及它(ta)所伴(ban)隨的(de)非(fei)連續性(xing)波函(han)(han)數(shu)坍縮(suo)。愛因斯坦(tan)主張，量子力學是(shi)個(ge)決(jue)定(ding)性(xing)理論的(de)統計近似。在薛(xue)定(ding)諤(e)有生的(de)最后一年(nian)，寫給(gei)玻(bo)恩的(de)一封信(xin)中，他清(qing)楚(chu)地表(biao)示他不接受(shou)哥本哈根詮(quan)釋(shi)。
埃爾溫·薛定諤（Erwin Schrodinger，1887年(nian)(nian)—1961年(nian)(nian)）1887年(nian)(nian)8月12日出(chu)生于(yu)奧(ao)地利首(shou)都維也納。1906年(nian)(nian)至(zhi)1910年(nian)(nian)，他(ta)就學(xue)于(yu)維也納大(da)學(xue)物理系。1910年(nian)(nian)獲得博士學(xue)位。畢業后，在維也納大(da)學(xue)第二物理研究(jiu)所從事實驗物理的(de)工作。第一(yi)次(ci)世界大(da)戰期間(jian)，他(ta)應征服役于(yu)一(yi)個偏僻的(de)炮兵(bing)要(yao)塞(sai)，利用閑暇時間(jian)研究(jiu)理論(lun)物理。
戰(zhan)后他(ta)仍回到(dao)第二物(wu)理(li)研(yan)究所。1920年(nian)(nian)他(ta)到(dao)耶拿(na)大(da)學協助維恩工作。1921年(nian)(nian)薛定諤受(shou)聘到(dao)瑞士的(de)(de)蘇黎世大(da)學任數學物(wu)理(li)教(jiao)授(shou)，在(zai)(zai)那里工作了6年(nian)(nian)，薛定諤方(fang)程就是在(zai)(zai)這(zhe)一期間提出的(de)(de)。1927年(nian)(nian)薛定諤接替普朗克到(dao)柏(bo)林(lin)大(da)學擔任理(li)論(lun)物(wu)理(li)教(jiao)授(shou)。1933年(nian)(nian)希(xi)特勒上臺后，薛定諤對于(yu)納(na)粹政權(quan)迫害(hai)愛因(yin)斯(si)坦等(deng)杰出科(ke)學家(jia)的(de)(de)法西斯(si)行(xing)為深為憤慨，移(yi)居(ju)牛津，在(zai)(zai)馬達倫(lun)學院任訪問教(jiao)授(shou)。同年(nian)(nian)他(ta)與狄拉克共同獲得諾(nuo)貝爾物(wu)理(li)學獎。
1936年(nian)他(ta)回到(dao)奧地(di)利(li)(li)任(ren)(ren)格拉茨大(da)學理(li)論(lun)物理(li)教(jiao)授(shou)。不到(dao)兩(liang)年(nian)，奧地(di)利(li)(li)被(bei)納粹并(bing)吞(tun)后，他(ta)又陷入(ru)了逆境。1939年(nian)10月流(liu)亡(wang)到(dao)愛爾蘭首府都柏林，就任(ren)(ren)都柏林高級(ji)研(yan)究所(suo)所(suo)長，從事(shi)理(li)論(lun)物理(li)研(yan)究。在(zai)此期間還進行(xing)了科學哲(zhe)學、生物物理(li)研(yan)究，頗有(you)建樹。出(chu)版了《生命是什么》一書，試圖用量子物理(li)闡明遺傳結構(gou)的穩定(ding)性(xing)。1956年(nian)薛(xue)(xue)定(ding)諤(e)回到(dao)了奧地(di)利(li)(li)，被(bei)聘(pin)為維也納大(da)學理(li)論(lun)物理(li)教(jiao)授(shou)，奧地(di)利(li)(li)政府給予他(ta)極大(da)的榮譽，設(she)定(ding)了以薛(xue)(xue)定(ding)諤(e)命名的國(guo)家獎金，由奧地(di)利(li)(li)科學院授(shou)予。
一維薛定諤方程
三維薛定諤方程
定態薛定諤方程
單粒子薛定(ding)諤方程的數(shu)學表達形式(shi)
這是(shi)一(yi)個二(er)階線性偏微分方程，ψ(x，y，z)是(shi)待求函(han)數，它是(shi)x,y,z三個變(bian)量的(de)復數函(han)數（就是(shi)說(shuo)函(han)數值不一(yi)定是(shi)實數，也可能是(shi)虛數）。式(shi)子最左(zuo)邊(bian)的(de)倒三角(jiao)是(shi)拉(la)普拉(la)斯算符(fu)，意思是(shi)分別對ψ(x，y，z)的(de)梯度(du)求散度(du)。
這是(shi)(shi)(shi)(shi)一個描(miao)述(shu)一個粒子(zi)在三維(wei)勢(shi)(shi)場中的(de)定(ding)態(tai)薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)。所謂勢(shi)(shi)場，就(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)粒子(zi)在其中會有勢(shi)(shi)能的(de)場，比如電(dian)場就(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)一個帶電(dian)粒子(zi)的(de)勢(shi)(shi)場；所謂定(ding)態(tai)，就(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)假(jia)(jia)設(she)(she)波(bo)函(han)(han)數(shu)不隨時間(jian)變化。其中，E是(shi)(shi)(shi)(shi)粒子(zi)本身的(de)能量；U（x，y，z）是(shi)(shi)(shi)(shi)描(miao)述(shu)勢(shi)(shi)場的(de)函(han)(han)數(shu)，假(jia)(jia)設(she)(she)不隨時間(jian)變化。薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)有一個很好的(de)性質，就(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)時間(jian)和空間(jian)部分(fen)是(shi)(shi)(shi)(shi)相互分(fen)立的(de)，求出(chu)定(ding)態(tai)波(bo)函(han)(han)數(shu)的(de)空間(jian)部分(fen)后再乘上時間(jian)部分(fen)以后就(jiu)(jiu)(jiu)成了(le)完整的(de)波(bo)函(han)(han)數(shu)了(le)。
簡單(dan)系統，如氫原子(zi)中電子(zi)的薛定諤(e)方程才能求解，對于(yu)(yu)(yu)復雜系統必須近似(si)(si)求解。因為對于(yu)(yu)(yu)有(you)Z個電子(zi)的原子(zi)，其(qi)電子(zi)由于(yu)(yu)(yu)屏蔽效應相(xiang)互(hu)作用(yong)勢能會發生改(gai)變，所(suo)以只能近似(si)(si)求解。近似(si)(si)求解的方法(fa)主要有(you)變分法(fa)和微擾法(fa)。
在(zai)束縛(fu)態邊界條件(jian)下并不是(shi)E值對應的(de)(de)所有解(jie)在(zai)物理上都是(shi)可(ke)以(yi)接(jie)(jie)受的(de)(de)。主(zhu)量子(zi)(zi)數(shu)、角(jiao)量子(zi)(zi)數(shu)、磁量子(zi)(zi)數(shu)都是(shi)薛定諤方程的(de)(de)解(jie)。要完整描述電子(zi)(zi)狀(zhuang)態，必須要四個量子(zi)(zi)數(shu)。自旋磁量子(zi)(zi)數(shu)不是(shi)薛定諤方程的(de)(de)解(jie)，而是(shi)作為實驗事實接(jie)(jie)受下來(lai)的(de)(de)。
主量子(zi)數n和能(neng)(neng)量有(you)關的(de)量子(zi)數。原子(zi)具有(you)分立(li)能(neng)(neng)級(ji)，能(neng)(neng)量只能(neng)(neng)取一系列值，每一個波函數都(dou)對應相應的(de)能(neng)(neng)量。氫原子(zi)以及(ji)類氫原子(zi)的(de)分立(li)值為：
，n越大能(neng)量越高電子(zi)層離(li)核(he)越遠(yuan)。主(zhu)量子(zi)數決定了(le)電子(zi)出(chu)現的最大幾率的區域離(li)核(he)遠(yuan)近，決定了(le)電子(zi)的能(neng)量。N=1，2，3，……；常用K、L、M、N……表示(shi)。
角(jiao)量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)l和能量(liang)(liang)(liang)有(you)關的量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)。電子(zi)(zi)在原子(zi)(zi)中(zhong)具有(you)確定的角(jiao)動量(liang)(liang)(liang)L，它的取值(zhi)不是任意的，只能取一系列(lie)分立(li)值(zhi)，稱為(wei)角(jiao)動量(liang)(liang)(liang)量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)化。。l越大(da)，角(jiao)動量(liang)(liang)(liang)越大(da)，能量(liang)(liang)(liang)越高，電子(zi)(zi)云的形(xing)狀(zhuang)也不同。l=0，1，2，……常用s，p，d，f，g表示，簡(jian)單(dan)的說就(jiu)是前面(mian)說的電子(zi)(zi)亞層。角(jiao)量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)決定了軌道(dao)形(xing)狀(zhuang)，所以(yi)也稱為(wei)軌道(dao)形(xing)狀(zhuang)量(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)。s為(wei)球型，p為(wei)啞鈴(ling)型，d為(wei)花瓣(ban)，f軌道(dao)更為(wei)復(fu)雜。
磁(ci)量(liang)(liang)子(zi)數(shu)m是和電子(zi)能(neng)(neng)量(liang)(liang)無(wu)關的(de)(de)量(liang)(liang)子(zi)數(shu)。原子(zi)中電子(zi)繞核運動(dong)的(de)(de)軌(gui)(gui)(gui)道角(jiao)動(dong)量(liang)(liang)，在外磁(ci)場(chang)方向(xiang)上(shang)的(de)(de)分量(liang)(liang)是量(liang)(liang)子(zi)化(hua)的(de)(de)，并由量(liang)(liang)子(zi)數(shu)m決定，m稱為磁(ci)量(liang)(liang)子(zi)數(shu)。對(dui)于任意選定的(de)(de)外磁(ci)場(chang)方向(xiang)Z，角(jiao)動(dong)量(liang)(liang)L在此方向(xiang)上(shang)的(de)(de)分量(liang)(liang)Lz只(zhi)能(neng)(neng)取(qu)一(yi)系列分立值，這種現象稱為空(kong)間(jian)量(liang)(liang)子(zi)化(hua)。。磁(ci)量(liang)(liang)子(zi)數(shu)決定了原子(zi)軌(gui)(gui)(gui)道空(kong)間(jian)伸展方向(xiang)，即原子(zi)軌(gui)(gui)(gui)道在空(kong)間(jian)的(de)(de)取(qu)向(xiang)，s軌(gui)(gui)(gui)道一(yi)個(ge)方向(xiang)（球），p軌(gui)(gui)(gui)道3個(ge)方向(xiang)，d軌(gui)(gui)(gui)道5個(ge)，f軌(gui)(gui)(gui)道7個(ge)……。l相同(tong)(tong)(tong)，m不同(tong)(tong)(tong)即形狀(zhuang)相同(tong)(tong)(tong)空(kong)間(jian)取(qu)向(xiang)不同(tong)(tong)(tong)的(de)(de)原子(zi)軌(gui)(gui)(gui)道能(neng)(neng)量(liang)(liang)是相同(tong)(tong)(tong)的(de)(de)。不同(tong)(tong)(tong)原子(zi)軌(gui)(gui)(gui)道具有相同(tong)(tong)(tong)能(neng)(neng)量(liang)(liang)的(de)(de)現象稱為能(neng)(neng)量(liang)(liang)簡(jian)并。
能量(liang)相(xiang)同(tong)的(de)(de)原(yuan)子軌(gui)道(dao)稱(cheng)為簡(jian)(jian)并(bing)(bing)軌(gui)道(dao)，其數目稱(cheng)為簡(jian)(jian)并(bing)(bing)度(du)。如p軌(gui)道(dao)有3個簡(jian)(jian)并(bing)(bing)軌(gui)道(dao)，簡(jian)(jian)并(bing)(bing)度(du)為3。簡(jian)(jian)并(bing)(bing)軌(gui)道(dao)在外磁(ci)場作用下會產生能量(liang)差異(yi)，這就是線狀譜在磁(ci)場下分裂的(de)(de)原(yuan)因。
粒子(zi)(zi)的(de)自(zi)(zi)旋(xuan)也(ye)產生角動量，其大小(xiao)取(qu)決(jue)于(yu)自(zi)(zi)旋(xuan)磁量子(zi)(zi)數(shu)（ms）。電子(zi)(zi)自(zi)(zi)旋(xuan)角動量是量子(zi)(zi)化(hua)的(de)其值(zhi)為，s為自(zi)(zi)旋(xuan)量子(zi)(zi)數(shu)，自(zi)(zi)旋(xuan)角動量的(de)一個分(fen)(fen)量Lsz應取(qu)下列分(fen)(fen)立值(zhi)：。
原子(zi)(zi)光(guang)譜，在高分辨光(guang)譜儀下，每一條光(guang)線都是由兩(liang)條非常接近的(de)光(guang)譜線組成，為(wei)解(jie)釋這(zhe)一現象(xiang)提出了粒(li)子(zi)(zi)的(de)自旋(xuan)。電子(zi)(zi)的(de)自旋(xuan)表(biao)示電子(zi)(zi)的(de)兩(liang)種不(bu)同狀態，這(zhe)兩(liang)種狀態有不(bu)同的(de)自旋(xuan)角動量。
電(dian)(dian)子的(de)自(zi)旋(xuan)不是(shi)機(ji)械的(de)自(zi)身旋(xuan)轉，它是(shi)本身的(de)內稟(bing)屬(shu)性(xing)，也是(shi)新的(de)自(zi)由度，如質(zhi)量(liang)和電(dian)(dian)荷一(yi)樣是(shi)它的(de)內在屬(shu)性(xing)，電(dian)(dian)子的(de)自(zi)旋(xuan)角動量(liang)：?/2。
希爾伯特空間與(yu)薛定諤方程
一般，物(wu)理(li)上將物(wu)理(li)狀態(tai)與希爾伯特(te)空(kong)間上的向量(liang)（vector），物(wu)理(li)量(liang)與希爾伯特(te)空(kong)間上的算符相對應。這種形式下的薛(xue)定諤方程為
H為哈密頓(dun)算符。這個方(fang)程(cheng)在這個形(xing)式下充分顯(xian)示出了時(shi)間與(yu)空間的對(dui)(dui)應性（時(shi)間與(yu)能量相對(dui)(dui)應，正如(ru)空間與(yu)動量相對(dui)(dui)應，后述）。這種算符（物理量）不(bu)隨時(shi)間變(bian)(bian)化而狀(zhuang)態隨時(shi)間變(bian)(bian)化的對(dui)(dui)自然現象(xiang)的描述方(fang)法被稱為薛定諤(e)繪(hui)景(jing)，與(yu)之(zhi)對(dui)(dui)應的是海森伯繪(hui)景(jing)。
空間坐(zuo)標算符x與其對應的動量算符p滿足(zu)以下(xia)交(jiao)換關系：
所謂的薛定諤表示就是將空間(jian)算(suan)符直接作為(wei)x，而動量(liang)算(suan)符為(wei)下面的包(bao)含微分(fen)的微分(fen)算(suan)符：
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