薛定(ding)(ding)諤(e)方程(cheng)(Schr?dinger equation),又稱(cheng)薛定(ding)(ding)諤(e)波動方程(cheng)(Schrodinger wave equation),是由(you)奧(ao)地利物理學(xue)家薛定(ding)(ding)諤(e)提出的(de)量(liang)子力(li)學(xue)中(zhong)的(de)一個(ge)基本方程(cheng),也是量(liang)子力(li)學(xue)的(de)一個(ge)基本假定(ding)(ding)。
它是(shi)將物質波的(de)(de)概念和(he)波動方(fang)程相(xiang)結合建立(li)的(de)(de)二階(jie)偏微分方(fang)程,可(ke)描述微觀粒(li)子(zi)的(de)(de)運動,每個(ge)微觀系(xi)統都有一個(ge)相(xiang)應的(de)(de)薛定諤方(fang)程式(shi),通過解方(fang)程可(ke)得(de)到波函數的(de)(de)具(ju)體(ti)形式(shi)以及對應的(de)(de)能量,從而了解微觀系(xi)統的(de)(de)性質。在量子(zi)力學中,粒(li)子(zi)以概率(lv)的(de)(de)方(fang)式(shi)出現(xian),具(ju)有不(bu)確定性,宏觀尺度下失(shi)效可(ke)忽略不(bu)計。
薛(xue)定諤(e)方程(cheng)是量子(zi)力(li)學的(de)基本方程(cheng)。是1926年(nian)奧地(di)利理論物理學家薛(xue)定諤(e)提出(chu)的(de)。它描述微(wei)(wei)觀粒子(zi)的(de)狀態隨時間變化的(de)規律。微(wei)(wei)觀系(xi)統的(de)狀態由(you)(you)波(bo)函數來描寫,薛(xue)定諤(e)方程(cheng)即(ji)是波(bo)函數的(de)微(wei)(wei)分方程(cheng)。若給定了(le)初始條(tiao)件和邊界的(de)條(tiao)件,就可由(you)(you)此方程(cheng)解(jie)出(chu)波(bo)函數。
薛(xue)定(ding)諤方程(cheng)(Schrodinger equation)在(zai)量(liang)子(zi)力(li)(li)(li)學(xue)(xue)中(zhong),體系的狀態不能用(yong)(yong)力(li)(li)(li)學(xue)(xue)量(liang)(例如x)的值來(lai)確(que)(que)定(ding),而是(shi)要用(yong)(yong)力(li)(li)(li)學(xue)(xue)量(liang)的函(han)(han)(han)數(shu)Ψ(x,t),即(ji)波函(han)(han)(han)數(shu)(又稱(cheng)概率幅,態函(han)(han)(han)數(shu))來(lai)確(que)(que)定(ding),因此波函(han)(han)(han)數(shu)成為量(liang)子(zi)力(li)(li)(li)學(xue)(xue)研究的主要對象。力(li)(li)(li)學(xue)(xue)量(liang)取值的概率分布如何,這個(ge)分布隨時間如何變化,這些(xie)問題都可以通過(guo)求(qiu)解波函(han)(han)(han)數(shu)的薛(xue)定(ding)諤方程(cheng)得到解答(da)。這個(ge)方程(cheng)是(shi)奧地利(li)物理(li)學(xue)(xue)家薛(xue)定(ding)諤于1926年提(ti)出的,它是(shi)量(liang)子(zi)力(li)(li)(li)學(xue)(xue)最基本(ben)的方程(cheng)之一,在(zai)量(liang)子(zi)力(li)(li)(li)學(xue)(xue)中(zhong)的地位(wei)與牛(niu)頓(dun)方程(cheng)在(zai)經典力(li)(li)(li)學(xue)(xue)中(zhong)的地位(wei)相(xiang)當,超弦理(li)論(lun)(lun)試(shi)圖統一兩種理(li)論(lun)(lun)。
薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)是(shi)(shi)量子力學(xue)(xue)最(zui)基本的方(fang)程(cheng),亦是(shi)(shi)量子力學(xue)(xue)的一個基本假(jia)定(ding),其正確(que)性只能靠(kao)實驗來確(que)定(ding)。
量(liang)子(zi)力學中(zhong)求(qiu)解(jie)粒子(zi)問題常歸結為解(jie)薛(xue)定諤方(fang)程或定態(tai)薛(xue)定諤方(fang)程。薛(xue)定諤方(fang)程廣泛(fan)地用于原子(zi)物理(li)、核物理(li)和固(gu)體物理(li),對(dui)于原子(zi)、分子(zi)、核、固(gu)體等一(yi)系列問題中(zhong)求(qiu)解(jie)的(de)結果都與實際(ji)符合得很好。
薛定諤(e)方(fang)(fang)程(cheng)僅適用于速度不太大(da)的(de)非相對論(lun)粒子,其中也沒有包含關于粒子自旋的(de)描述。當涉及相對論(lun)效應時,薛定諤(e)方(fang)(fang)程(cheng)由相對論(lun)量子力學方(fang)(fang)程(cheng)所(suo)取代,其中自然(ran)包含了粒子的(de)自旋。
.薛定(ding)(ding)(ding)諤(e)提(ti)出(chu)的(de)(de)(de)(de)量子(zi)力學(xue)(xue)基本(ben)(ben)(ben)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)。建(jian)立于(yu)1926年。它(ta)是一個非相對論的(de)(de)(de)(de)波(bo)(bo)動方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)。它(ta)反(fan)映了描(miao)述(shu)微觀(guan)粒(li)子(zi)的(de)(de)(de)(de)狀(zhuang)(zhuang)態(tai)(tai)隨時間變化(hua)的(de)(de)(de)(de)規律,它(ta)在量子(zi)力學(xue)(xue)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)地位相當(dang)于(yu)牛頓定(ding)(ding)(ding)律對于(yu)經典力學(xue)(xue)一樣,是量子(zi)力學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)基本(ben)(ben)(ben)假設(she)之一。設(she)描(miao)述(shu)微觀(guan)粒(li)子(zi)狀(zhuang)(zhuang)態(tai)(tai)的(de)(de)(de)(de)波(bo)(bo)函數(shu)為(wei)(wei)(wei)Ψ(r,t),質量為(wei)(wei)(wei)m的(de)(de)(de)(de)微觀(guan)粒(li)子(zi)在勢場V(r,t)中(zhong)運動的(de)(de)(de)(de)薛定(ding)(ding)(ding)諤(e)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)。在給定(ding)(ding)(ding)初(chu)始條件和邊界條件以及波(bo)(bo)函數(shu)所滿足的(de)(de)(de)(de)單值、有限、連(lian)續的(de)(de)(de)(de)條件下,可(ke)(ke)解出(chu)波(bo)(bo)函數(shu)Ψ(r,t)。由此可(ke)(ke)計算粒(li)子(zi)的(de)(de)(de)(de)分布概率和任何(he)可(ke)(ke)能(neng)(neng)實驗的(de)(de)(de)(de)平均值(期望值)。當(dang)勢函數(shu)V不依(yi)賴于(yu)時間t時,粒(li)子(zi)具(ju)有確定(ding)(ding)(ding)的(de)(de)(de)(de)能(neng)(neng)量,粒(li)子(zi)的(de)(de)(de)(de)狀(zhuang)(zhuang)態(tai)(tai)稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)定(ding)(ding)(ding)態(tai)(tai)。定(ding)(ding)(ding)態(tai)(tai)時的(de)(de)(de)(de)波(bo)(bo)函數(shu)可(ke)(ke)寫(xie)成式中(zhong)Ψ(r)稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)定(ding)(ding)(ding)態(tai)(tai)波(bo)(bo)函數(shu),滿足定(ding)(ding)(ding)態(tai)(tai)薛定(ding)(ding)(ding)諤(e)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng),這一方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)在數(shu)學(xue)(xue)上稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)本(ben)(ben)(ben)征方(fang)(fang)程(cheng)(cheng),式中(zhong)E為(wei)(wei)(wei)本(ben)(ben)(ben)征值,它(ta)是定(ding)(ding)(ding)態(tai)(tai)能(neng)(neng)量,Ψ(r)又稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)屬于(yu)本(ben)(ben)(ben)征值E的(de)(de)(de)(de)本(ben)(ben)(ben)征函數(shu)。
薛定諤方(fang)程(cheng)是量子(zi)(zi)力學(xue)(xue)的(de)(de)基(ji)本方(fang)程(cheng),它(ta)揭示了微觀(guan)物(wu)(wu)理(li)(li)世界物(wu)(wu)質(zhi)運動(dong)的(de)(de)基(ji)本規律,如(ru)牛頓定律在經典力學(xue)(xue)中所(suo)起的(de)(de)作(zuo)用一(yi)樣,它(ta)是原子(zi)(zi)物(wu)(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)中處理(li)(li)一(yi)切非(fei)相對論問(wen)題的(de)(de)有力工具(ju),在原子(zi)(zi)、分子(zi)(zi)、固體(ti)物(wu)(wu)理(li)(li)、核物(wu)(wu)理(li)(li)、化(hua)學(xue)(xue)等領域中被廣泛應用。
1900年(nian),馬克斯·普朗(lang)克在(zai)研(yan)究(jiu)(jiu)黑體(ti)輻射中(zhong)作出(chu)將電磁輻射能(neng)量量子(zi)(zi)化的(de)假設,因(yin)此發現將能(neng)量與(yu)頻(pin)(pin)率關(guan)聯在(zai)一起的(de)普朗(lang)克關(guan)系式(shi)(shi)。1905年(nian),阿爾(er)伯特·愛因(yin)斯坦從對(dui)于光電效應的(de)研(yan)究(jiu)(jiu)又給予這關(guan)系式(shi)(shi)嶄(zhan)新(xin)的(de)詮釋:頻(pin)(pin)率為ν的(de)光子(zi)(zi)擁有的(de)能(neng)量為hν;其中(zhong),因(yin)子(zi)(zi)h是普朗(lang)克常(chang)數(shu)。這一點子(zi)(zi)成為后來波粒(li)二象性概念的(de)早期路標之一。由(you)于在(zai)狹義相對(dui)論里,能(neng)量與(yu)動量的(de)關(guan)聯方式(shi)(shi)類(lei)似頻(pin)(pin)率與(yu)波數(shu)的(de)關(guan)聯方式(shi)(shi),因(yin)此可以揣測(ce),光子(zi)(zi)的(de)動量與(yu)波長成反比(bi),與(yu)波數(shu)成正比(bi),以方程(cheng)來表示這關(guan)系式(shi)(shi)。
路易·德(de)布羅(luo)意認為,不單(dan)光子(zi)遵(zun)守這(zhe)關(guan)系(xi)式,所有粒(li)(li)子(zi)都(dou)(dou)遵(zun)守這(zhe)關(guan)系(xi)式。他于1924年進(jin)一步提(ti)出的(de)德(de)布羅(luo)意假(jia)說表明,每(mei)一種微觀(guan)粒(li)(li)子(zi)都(dou)(dou)具有波(bo)動(dong)性與(yu)粒(li)(li)子(zi)性,這(zhe)性質稱(cheng)為波(bo)粒(li)(li)二象性。電(dian)子(zi)也不例外的(de)具有這(zhe)種性質。電(dian)子(zi)是一種物質波(bo),稱(cheng)為“電(dian)子(zi)波(bo)”。電(dian)子(zi)的(de)能(neng)(neng)量(liang)與(yu)動(dong)量(liang)分別決定了伴隨它的(de)物質波(bo)所具有的(de)頻率與(yu)波(bo)數。在(zai)原子(zi)里,束縛電(dian)子(zi)形成(cheng)駐波(bo);這(zhe)意味著(zhu)他的(de)旋(xuan)轉頻率只能(neng)(neng)呈某些(xie)(xie)(xie)離散(san)數值。這(zhe)些(xie)(xie)(xie)量(liang)子(zi)化軌道對應(ying)于離散(san)能(neng)(neng)級。從這(zhe)些(xie)(xie)(xie)點子(zi),德(de)布羅(luo)意復制出玻爾模型的(de)能(neng)(neng)級。
在1925年,瑞士蘇黎世每(mei)兩周(zhou)會舉辦一(yi)場物(wu)理(li)學術研討(tao)會。有(you)一(yi)次,主辦者彼得·德拜(bai)邀請(qing)薛定諤(e)講述(shu)關于德布羅意(yi)的(de)(de)波(bo)粒(li)二象性(xing)博(bo)士論(lun)(lun)文。那段時期(qi),薛定諤(e)正在研究(jiu)氣體理(li)論(lun)(lun),他從閱(yue)讀(du)愛因斯(si)坦關于玻(bo)色(se)-愛因斯(si)坦統計的(de)(de)論(lun)(lun)述(shu)中(zhong),接觸德布羅意(yi)的(de)(de)博(bo)士論(lun)(lun)文,在這(zhe)(zhe)方(fang)(fang)(fang)面有(you)很精深的(de)(de)理(li)解。在研討(tao)會里,他將波(bo)粒(li)二象性(xing)闡(chan)述(shu)的(de)(de)淋漓盡致,大家都聽的(de)(de)津津有(you)味。德拜(bai)指出(chu),既然粒(li)子具有(you)波(bo)動性(xing),應該有(you)一(yi)種(zhong)能夠正確描述(shu)這(zhe)(zhe)種(zhong)量子性(xing)質的(de)(de)波(bo)動方(fang)(fang)(fang)程(cheng)。他的(de)(de)意(yi)見(jian)給予薛定諤(e)極大的(de)(de)啟發與鼓(gu)舞,他開始尋(xun)找這(zhe)(zhe)波(bo)動方(fang)(fang)(fang)程(cheng)。檢試此方(fang)(fang)(fang)程(cheng)最簡單(dan)與基本的(de)(de)方(fang)(fang)(fang)法(fa)就是,用此方(fang)(fang)(fang)程(cheng)來描述(shu)氫原子內部束縛電子的(de)(de)物(wu)理(li)行為(wei),而必(bi)能復制出(chu)玻(bo)爾模(mo)型(xing)的(de)(de)理(li)論(lun)(lun)結果,另外,這(zhe)(zhe)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)還必(bi)須能解釋索末菲模(mo)型(xing)給出(chu)的(de)(de)精細結構(gou)。
很快,薛(xue)定(ding)諤(e)就通過(guo)德布羅(luo)意論(lun)(lun)文的(de)相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)(lun)性理論(lun)(lun),推(tui)導(dao)(dao)出(chu)一(yi)個相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)(lun)性波動方(fang)(fang)(fang)程,他(ta)將這(zhe)(zhe)方(fang)(fang)(fang)程應用于氫原(yuan)(yuan)子(zi),計(ji)算出(chu)束縛電(dian)子(zi)的(de)波函(han)數。因(yin)為薛(xue)定(ding)諤(e)沒有將電(dian)子(zi)的(de)自(zi)旋納(na)入考量,所(suo)以從這(zhe)(zhe)方(fang)(fang)(fang)程推(tui)導(dao)(dao)出(chu)的(de)精細結(jie)構公式(shi)(shi)不符合索末菲(fei)模型。他(ta)只好將這(zhe)(zhe)方(fang)(fang)(fang)程加以修改,除去相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)(lun)性部(bu)分(fen),并用剩(sheng)下(xia)的(de)非(fei)相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)(lun)性方(fang)(fang)(fang)程來計(ji)算氫原(yuan)(yuan)子(zi)的(de)譜線。解析這(zhe)(zhe)微分(fen)方(fang)(fang)(fang)程的(de)工作相(xiang)(xiang)(xiang)當困(kun)難,在其好朋友數學家(jia)赫爾(er)曼(man)·外爾(er)鼎(ding)力相(xiang)(xiang)(xiang)助下(xia),他(ta)復(fu)制出(chu)了(le)與(yu)玻爾(er)模型完(wan)全(quan)相(xiang)(xiang)(xiang)同(tong)的(de)答案。因(yin)此,他(ta)決定(ding)暫(zan)且不發表(biao)相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)(lun)性部(bu)分(fen),只把非(fei)相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)(lun)性波動方(fang)(fang)(fang)程與(yu)氫原(yuan)(yuan)子(zi)光譜分(fen)析結(jie)果,寫為一(yi)篇論(lun)(lun)文。1926年,他(ta)正式(shi)(shi)發表(biao)了(le)這(zhe)(zhe)論(lun)(lun)文。
這篇論(lun)(lun)文迅速在量子學(xue)術界(jie)引起(qi)震(zhen)撼。普朗克表示“他已閱讀完畢整(zheng)篇論(lun)(lun)文,就(jiu)像被一(yi)個迷語困惑多時,渴慕知道答案的(de)孩童,現在終于(yu)聽到了解答”。愛因(yin)(yin)斯坦稱贊,這著(zhu)作(zuo)的(de)靈感如同泉水般(ban)源(yuan)自一(yi)位真正的(de)天才。愛因(yin)(yin)斯坦覺(jue)得,薛定(ding)諤(e)已做出決定(ding)性貢獻。由于(yu)薛定(ding)諤(e)所創建(jian)的(de)波動力學(xue)涉及到眾所熟悉的(de)波動概念與數學(xue),而不是(shi)矩陣(zhen)力學(xue)中既抽象又陌生的(de)矩陣(zhen)代數,量子學(xue)者都很樂意地開(kai)始(shi)學(xue)習與應用波動力學(xue)。自旋的(de)發現者喬治·烏(wu)倫貝克驚嘆,“薛定(ding)諤(e)方程給我(wo)們帶(dai)來(lai)極大的(de)解救!”沃爾夫岡·泡(pao)利認(ren)為,這論(lun)(lun)文應可算是(shi)最重要的(de)著(zhu)作(zuo)之一(yi)。
薛(xue)定(ding)(ding)諤給出的(de)(de)薛(xue)定(ding)(ding)諤方(fang)(fang)程(cheng)能夠(gou)正確地描(miao)述波(bo)函數(shu)的(de)(de)量子行為。在那時,物(wu)理(li)學(xue)者尚不清楚如何詮釋(shi)(shi)波(bo)函數(shu),薛(xue)定(ding)(ding)諤試圖以電(dian)荷密度來(lai)詮釋(shi)(shi)波(bo)函數(shu)的(de)(de)絕對(dui)值平方(fang)(fang),可并不成功。1926年,玻恩提出概率(lv)幅(fu)的(de)(de)概念(nian),成功地詮釋(shi)(shi)了波(bo)函數(shu)的(de)(de)物(wu)理(li)意義。但是薛(xue)定(ding)(ding)諤與愛因斯坦觀點相同,都不贊同這種統計或概率(lv)方(fang)(fang)法(fa),以及(ji)它(ta)所伴(ban)隨的(de)(de)非連(lian)續(xu)性波(bo)函數(shu)坍縮。愛因斯坦主張(zhang),量子力(li)學(xue)是個(ge)決(jue)定(ding)(ding)性理(li)論的(de)(de)統計近似。在薛(xue)定(ding)(ding)諤有(you)生的(de)(de)最后(hou)一年,寫給玻恩的(de)(de)一封信(xin)中,他(ta)清楚地表示他(ta)不接(jie)受哥本(ben)哈根詮釋(shi)(shi)。
埃爾溫·薛(xue)定(ding)諤(Erwin Schrodinger,1887年(nian)(nian)—1961年(nian)(nian))1887年(nian)(nian)8月(yue)12日出生于奧地利首都維也(ye)(ye)納(na)。1906年(nian)(nian)至1910年(nian)(nian),他(ta)就學(xue)于維也(ye)(ye)納(na)大(da)學(xue)物(wu)(wu)(wu)理系。1910年(nian)(nian)獲得(de)博士學(xue)位。畢業后,在(zai)維也(ye)(ye)納(na)大(da)學(xue)第二物(wu)(wu)(wu)理研(yan)究所從事實驗物(wu)(wu)(wu)理的(de)(de)工作。第一(yi)次世(shi)界大(da)戰期間,他(ta)應征服(fu)役于一(yi)個(ge)偏僻的(de)(de)炮兵要塞,利用閑暇時間研(yan)究理論物(wu)(wu)(wu)理。
戰后(hou)他(ta)(ta)仍回到(dao)第(di)二(er)物理研究所。1920年(nian)他(ta)(ta)到(dao)耶拿(na)大(da)(da)學協助維恩(en)工作。1921年(nian)薛(xue)定諤(e)受(shou)聘到(dao)瑞士的(de)蘇黎(li)世大(da)(da)學任數學物理教授,在那里工作了6年(nian),薛(xue)定諤(e)方程就是在這(zhe)一(yi)期間(jian)提(ti)出(chu)的(de)。1927年(nian)薛(xue)定諤(e)接(jie)替普朗克(ke)到(dao)柏林大(da)(da)學擔任理論物理教授。1933年(nian)希特勒上(shang)臺后(hou),薛(xue)定諤(e)對(dui)于納粹政權迫害(hai)愛因斯坦等杰出(chu)科學家的(de)法西斯行(xing)為(wei)深為(wei)憤慨,移居(ju)牛津(jin),在馬達倫學院任訪問教授。同年(nian)他(ta)(ta)與狄拉(la)克(ke)共同獲得諾貝爾物理學獎(jiang)。
1936年(nian)(nian)他(ta)(ta)回(hui)到(dao)奧(ao)(ao)(ao)地(di)(di)利任格拉茨大學理(li)(li)論物理(li)(li)教授。不到(dao)兩年(nian)(nian),奧(ao)(ao)(ao)地(di)(di)利被納粹(cui)并(bing)吞后(hou),他(ta)(ta)又陷入(ru)了(le)(le)逆境。1939年(nian)(nian)10月流亡(wang)到(dao)愛爾(er)蘭首府都柏林(lin),就任都柏林(lin)高(gao)級研究所所長,從事理(li)(li)論物理(li)(li)研究。在此期間還進行了(le)(le)科學哲學、生物物理(li)(li)研究,頗有建樹。出版了(le)(le)《生命(ming)(ming)是什么》一書(shu),試圖用量子物理(li)(li)闡明(ming)遺(yi)傳結構的(de)(de)穩(wen)定性。1956年(nian)(nian)薛定諤(e)回(hui)到(dao)了(le)(le)奧(ao)(ao)(ao)地(di)(di)利,被聘為維也(ye)納大學理(li)(li)論物理(li)(li)教授,奧(ao)(ao)(ao)地(di)(di)利政府給予他(ta)(ta)極大的(de)(de)榮(rong)譽(yu),設定了(le)(le)以薛定諤(e)命(ming)(ming)名(ming)的(de)(de)國家獎金,由奧(ao)(ao)(ao)地(di)(di)利科學院授予。
一維薛定諤方程
三維薛定諤方程
定態薛定諤方程
單粒子薛(xue)定(ding)諤方程的數學表達形式
這是一(yi)個(ge)二階線(xian)性偏微分(fen)方(fang)程,ψ(x,y,z)是待求(qiu)函(han)數,它(ta)是x,y,z三(san)個(ge)變量的復數函(han)數(就是說(shuo)函(han)數值不(bu)一(yi)定是實數,也可能是虛數)。式子最左邊的倒三(san)角是拉(la)普拉(la)斯算符(fu),意(yi)思(si)是分(fen)別對(dui)ψ(x,y,z)的梯度求(qiu)散度。
這是(shi)(shi)(shi)一個描述一個粒(li)子(zi)在三維勢(shi)場(chang)中(zhong)的(de)定(ding)(ding)(ding)態薛(xue)定(ding)(ding)(ding)諤(e)方程(cheng)。所謂(wei)勢(shi)場(chang),就(jiu)是(shi)(shi)(shi)粒(li)子(zi)在其(qi)中(zhong)會有勢(shi)能(neng)的(de)場(chang),比如電場(chang)就(jiu)是(shi)(shi)(shi)一個帶電粒(li)子(zi)的(de)勢(shi)場(chang);所謂(wei)定(ding)(ding)(ding)態,就(jiu)是(shi)(shi)(shi)假(jia)設波函(han)數(shu)不隨時(shi)間(jian)(jian)變(bian)化(hua)。其(qi)中(zhong),E是(shi)(shi)(shi)粒(li)子(zi)本身的(de)能(neng)量;U(x,y,z)是(shi)(shi)(shi)描述勢(shi)場(chang)的(de)函(han)數(shu),假(jia)設不隨時(shi)間(jian)(jian)變(bian)化(hua)。薛(xue)定(ding)(ding)(ding)諤(e)方程(cheng)有一個很好的(de)性質,就(jiu)是(shi)(shi)(shi)時(shi)間(jian)(jian)和空間(jian)(jian)部(bu)(bu)分是(shi)(shi)(shi)相互分立的(de),求出定(ding)(ding)(ding)態波函(han)數(shu)的(de)空間(jian)(jian)部(bu)(bu)分后再乘上時(shi)間(jian)(jian)部(bu)(bu)分以后就(jiu)成了完(wan)整(zheng)的(de)波函(han)數(shu)了。
簡單系(xi)統,如氫原(yuan)子(zi)(zi)中電子(zi)(zi)的(de)薛定諤方程才能(neng)求解,對(dui)于(yu)復雜系(xi)統必(bi)須(xu)近似求解。因為對(dui)于(yu)有(you)Z個(ge)電子(zi)(zi)的(de)原(yuan)子(zi)(zi),其電子(zi)(zi)由于(yu)屏蔽效(xiao)應相互作用(yong)勢能(neng)會發生改(gai)變,所以(yi)只(zhi)能(neng)近似求解。近似求解的(de)方法主要(yao)有(you)變分法和微擾法。
在束縛態邊界條件下(xia)并不是(shi)(shi)E值(zhi)對(dui)應(ying)的(de)所有解(jie)(jie)在物理上都是(shi)(shi)可以接受(shou)的(de)。主(zhu)量(liang)子(zi)(zi)數、角量(liang)子(zi)(zi)數、磁量(liang)子(zi)(zi)數都是(shi)(shi)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方(fang)程的(de)解(jie)(jie)。要完整描述電子(zi)(zi)狀態,必須(xu)要四個量(liang)子(zi)(zi)數。自旋磁量(liang)子(zi)(zi)數不是(shi)(shi)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方(fang)程的(de)解(jie)(jie),而是(shi)(shi)作為(wei)實驗事實接受(shou)下(xia)來的(de)。
主量(liang)子(zi)數(shu)(shu)n和(he)能量(liang)有關的(de)量(liang)子(zi)數(shu)(shu)。原子(zi)具有分立(li)能級(ji),能量(liang)只(zhi)能取一系列(lie)值,每一個(ge)波函數(shu)(shu)都對應(ying)相應(ying)的(de)能量(liang)。氫原子(zi)以及(ji)類氫原子(zi)的(de)分立(li)值為:
,n越大(da)能量越高電子(zi)層(ceng)離(li)核(he)越遠。主量子(zi)數決定(ding)了電子(zi)出(chu)現的最大(da)幾(ji)率的區域離(li)核(he)遠近,決定(ding)了電子(zi)的能量。N=1,2,3,……;常用K、L、M、N……表示(shi)。
角(jiao)量(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)l和(he)能(neng)量(liang)(liang)有關的(de)(de)(de)量(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)。電(dian)子(zi)(zi)(zi)在原子(zi)(zi)(zi)中具有確定(ding)的(de)(de)(de)角(jiao)動(dong)量(liang)(liang)L,它(ta)的(de)(de)(de)取值(zhi)不是任意的(de)(de)(de),只能(neng)取一系列分(fen)立(li)值(zhi),稱為(wei)角(jiao)動(dong)量(liang)(liang)量(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)化。。l越大,角(jiao)動(dong)量(liang)(liang)越大,能(neng)量(liang)(liang)越高,電(dian)子(zi)(zi)(zi)云的(de)(de)(de)形(xing)(xing)狀(zhuang)也(ye)不同。l=0,1,2,……常用(yong)s,p,d,f,g表(biao)示,簡單的(de)(de)(de)說就是前面說的(de)(de)(de)電(dian)子(zi)(zi)(zi)亞層。角(jiao)量(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)決定(ding)了軌(gui)道形(xing)(xing)狀(zhuang),所以也(ye)稱為(wei)軌(gui)道形(xing)(xing)狀(zhuang)量(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)。s為(wei)球(qiu)型(xing),p為(wei)啞鈴型(xing),d為(wei)花(hua)瓣,f軌(gui)道更(geng)為(wei)復雜。
磁(ci)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數m是(shi)和電子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)能(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)無關的(de)(de)(de)(de)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數。原子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)中電子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)繞(rao)核(he)運動的(de)(de)(de)(de)軌(gui)(gui)(gui)道角(jiao)(jiao)動量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang),在外(wai)磁(ci)場方向(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)上的(de)(de)(de)(de)分(fen)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)是(shi)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)化的(de)(de)(de)(de),并由量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數m決定(ding),m稱為磁(ci)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數。對于任意選定(ding)的(de)(de)(de)(de)外(wai)磁(ci)場方向(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)Z,角(jiao)(jiao)動量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)L在此方向(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)上的(de)(de)(de)(de)分(fen)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)Lz只(zhi)能(neng)取(qu)一(yi)系列分(fen)立值,這(zhe)種現(xian)象(xiang)稱為空間量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)化。。磁(ci)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)數決定(ding)了原子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)(gui)道空間伸展方向(xiang)(xiang)(xiang)(xiang),即原子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)(gui)道在空間的(de)(de)(de)(de)取(qu)向(xiang)(xiang)(xiang)(xiang),s軌(gui)(gui)(gui)道一(yi)個(ge)方向(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(球),p軌(gui)(gui)(gui)道3個(ge)方向(xiang)(xiang)(xiang)(xiang),d軌(gui)(gui)(gui)道5個(ge),f軌(gui)(gui)(gui)道7個(ge)……。l相同(tong)(tong)(tong),m不(bu)同(tong)(tong)(tong)即形狀相同(tong)(tong)(tong)空間取(qu)向(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)不(bu)同(tong)(tong)(tong)的(de)(de)(de)(de)原子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)(gui)道能(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)是(shi)相同(tong)(tong)(tong)的(de)(de)(de)(de)。不(bu)同(tong)(tong)(tong)原子(zi)(zi)(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)(gui)道具有相同(tong)(tong)(tong)能(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)的(de)(de)(de)(de)現(xian)象(xiang)稱為能(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)簡并。
能量相同的(de)原子軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)稱為簡(jian)(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao),其(qi)數(shu)目稱為簡(jian)(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)度(du)。如p軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)有(you)3個(ge)簡(jian)(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao),簡(jian)(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)度(du)為3。簡(jian)(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)在(zai)外磁場作用下(xia)會產生能量差異,這就是線狀譜在(zai)磁場下(xia)分裂的(de)原因。
粒子(zi)的(de)自(zi)(zi)旋(xuan)(xuan)也產生角動量(liang),其大小取決(jue)于自(zi)(zi)旋(xuan)(xuan)磁量(liang)子(zi)數(ms)。電(dian)子(zi)自(zi)(zi)旋(xuan)(xuan)角動量(liang)是(shi)量(liang)子(zi)化的(de)其值為,s為自(zi)(zi)旋(xuan)(xuan)量(liang)子(zi)數,自(zi)(zi)旋(xuan)(xuan)角動量(liang)的(de)一個分量(liang)Lsz應取下列分立值:。
原子光(guang)譜(pu),在高分辨光(guang)譜(pu)儀下(xia),每一(yi)條(tiao)光(guang)線(xian)都是由兩(liang)條(tiao)非常接(jie)近的(de)光(guang)譜(pu)線(xian)組成,為解釋這(zhe)一(yi)現(xian)象提出(chu)了粒子的(de)自旋。電子的(de)自旋表示電子的(de)兩(liang)種(zhong)不(bu)同(tong)狀態(tai),這(zhe)兩(liang)種(zhong)狀態(tai)有不(bu)同(tong)的(de)自旋角動量(liang)。
電子(zi)(zi)的(de)自(zi)旋(xuan)不(bu)是(shi)機械(xie)的(de)自(zi)身旋(xuan)轉,它是(shi)本身的(de)內稟屬(shu)性,也(ye)是(shi)新的(de)自(zi)由度,如質(zhi)量和電荷(he)一樣(yang)是(shi)它的(de)內在屬(shu)性,電子(zi)(zi)的(de)自(zi)旋(xuan)角動量:?/2。
希爾伯特空間與薛定(ding)諤方程
一般,物(wu)(wu)理(li)上(shang)將物(wu)(wu)理(li)狀態與(yu)希爾伯特空(kong)間上(shang)的向量(liang)(vector),物(wu)(wu)理(li)量(liang)與(yu)希爾伯特空(kong)間上(shang)的算符相對應。這種形式下的薛定諤方程為
H為(wei)哈密頓算(suan)符。這(zhe)個(ge)方(fang)程在這(zhe)個(ge)形式下(xia)充(chong)分顯示(shi)出了時間(jian)(jian)與(yu)空間(jian)(jian)的對(dui)應(ying)性(時間(jian)(jian)與(yu)能量(liang)相對(dui)應(ying),正(zheng)如空間(jian)(jian)與(yu)動量(liang)相對(dui)應(ying),后述)。這(zhe)種算(suan)符(物理量(liang))不隨時間(jian)(jian)變化而狀態(tai)隨時間(jian)(jian)變化的對(dui)自然(ran)現象(xiang)的描述方(fang)法被(bei)稱為(wei)薛定諤繪景,與(yu)之對(dui)應(ying)的是海(hai)森伯(bo)繪景。
空間坐標算符x與其對應的動量算符p滿足以下交換關(guan)系:
所謂(wei)的薛定諤表示就是(shi)將空間算符直接作(zuo)為(wei)x,而(er)動量算符為(wei)下面的包含(han)微分(fen)(fen)的微分(fen)(fen)算符: