勾(gou)股定(ding)理(li),是一個基本的幾何定(ding)理(li),指直角(jiao)(jiao)三角(jiao)(jiao)形(xing)的兩條直角(jiao)(jiao)邊(bian)(bian)的平方和等于斜(xie)邊(bian)(bian)的平方。中國古代稱直角(jiao)(jiao)三角(jiao)(jiao)形(xing)為(wei)(wei)勾(gou)股形(xing),并(bing)且直角(jiao)(jiao)邊(bian)(bian)中較小者為(wei)(wei)勾(gou),另一長直角(jiao)(jiao)邊(bian)(bian)為(wei)(wei)股,斜(xie)邊(bian)(bian)為(wei)(wei)弦(xian),所以稱這個定(ding)理(li)為(wei)(wei)勾(gou)股定(ding)理(li),也有人稱商高定(ding)理(li)。
勾(gou)股(gu)定理(li)現(xian)約有500種證明方法(fa),是(shi)(shi)數學(xue)定理(li)中(zhong)證明方法(fa)最多(duo)的(de)(de)定理(li)之(zhi)一(yi)(yi)。勾(gou)股(gu)定理(li)是(shi)(shi)人類早期發現(xian)并證明的(de)(de)重(zhong)要(yao)(yao)數學(xue)定理(li)之(zhi)一(yi)(yi),用代數思(si)想解決幾(ji)何問(wen)題的(de)(de)最重(zhong)要(yao)(yao)的(de)(de)工具之(zhi)一(yi)(yi),也是(shi)(shi)數形結合的(de)(de)紐帶之(zhi)一(yi)(yi)。
在中國,周朝時期的(de)商高提出了“勾三股(gu)四弦(xian)五”的(de)勾股(gu)定理的(de)特例。在西方,最早(zao)提出并證明此定理的(de)為公元(yuan)前6世紀古希臘的(de)畢達哥(ge)拉斯學派,他們用(yong)演(yan)繹法證明了直(zhi)角(jiao)(jiao)三角(jiao)(jiao)形斜邊平方等于兩直(zhi)角(jiao)(jiao)邊平方之和。
在平面上的(de)一個直(zhi)角三(san)角形中,兩(liang)個直(zhi)角邊(bian)邊(bian)長(chang)的(de)平方加起來等于斜邊(bian)長(chang)的(de)平方。如果設直(zhi)角三(san)角形的(de)兩(liang)條直(zhi)角邊(bian)長(chang)度(du)分(fen)別是和,斜邊(bian)長(chang)度(du)是,那么可以(yi)用(yong)數學語(yu)言(yan)表(biao)達(da):
勾(gou)股定理(li)是(shi)余(yu)弦定理(li)中的(de)一(yi)個特(te)例。
《周(zhou)髀算經》中,趙爽描(miao)述此圖(tu):“勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)各自乘(cheng),并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。開方除之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),即(ji)(ji)玄(xuan)(xuan)。案玄(xuan)(xuan)圖(tu)有可以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)相乘(cheng)為(wei)(wei)(wei)朱(zhu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)二,倍(bei)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)朱(zhu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)四(si)。以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)自相乘(cheng)為(wei)(wei)(wei)中黃(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。加(jia)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦成玄(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)玄(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi),半其(qi)(qi)余(yu)(yu)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)從法(fa),開方除之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),復得(de)(de)(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)矣。加(jia)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)于勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)即(ji)(ji)股(gu)(gu)。凡(fan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi),即(ji)(ji)成玄(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。或(huo)(huo)矩(ju)于內(nei),或(huo)(huo)方于外(wai)。形詭而(er)(er)(er)(er)量均(jun),體(ti)殊(shu)而(er)(er)(er)(er)數齊。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)矩(ju)以(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)廣(guang),股(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)袤(mao)。而(er)(er)(er)(er)股(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方其(qi)(qi)里。減(jian)矩(ju)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于玄(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi),開其(qi)(qi)余(yu)(yu)即(ji)(ji)股(gu)(gu)。倍(bei)股(gu)(gu)在兩(liang)邊(bian)為(wei)(wei)(wei)從法(fa),開矩(ju)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)角即(ji)(ji)股(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)。加(jia)股(gu)(gu)為(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)除勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得(de)(de)(de)股(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)除勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦得(de)(de)(de)股(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)。令并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自乘(cheng)與勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍(bei)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)法(fa)。所(suo)得(de)(de)(de)亦玄(xuan)(xuan)。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自乘(cheng),如法(fa)為(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)。股(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)矩(ju)以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)廣(guang),勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)袤(mao)。而(er)(er)(er)(er)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方其(qi)(qi)里,減(jian)矩(ju)股(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于玄(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi),開其(qi)(qi)余(yu)(yu)即(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。倍(bei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)在兩(liang)邊(bian)為(wei)(wei)(wei)從法(fa),開矩(ju)股(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)角,即(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)。加(jia)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)為(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)除股(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得(de)(de)(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)除股(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦得(de)(de)(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)。令并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自乘(cheng)與股(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍(bei)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)法(fa)。所(suo)得(de)(de)(de)亦玄(xuan)(xuan)。股(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自乘(cheng)如法(fa)為(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou),兩(liang)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)相乘(cheng)倍(bei)而(er)(er)(er)(er)開之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),所(suo)得(de)(de)(de)以(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)增(zeng)(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)增(zeng)(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)。兩(liang)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)增(zeng)(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)弦。倍(bei)玄(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)列勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi),見并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)者,以(yi)(yi)(yi)圖(tu)考之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),倍(bei)玄(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)滿外(wai)大(da)方而(er)(er)(er)(er)多黃(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。黃(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)多,即(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),開其(qi)(qi)余(yu)(yu),得(de)(de)(de)外(wai)大(da)方。大(da)方之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)面,即(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)也(ye)(ye)。令并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自乘(cheng),倍(bei)玄(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)乃減(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),開其(qi)(qi)余(yu)(yu),得(de)(de)(de)中黃(huang)方。黃(huang)方之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)面,即(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)減(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)而(er)(er)(er)(er)半之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。加(jia)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)于并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)而(er)(er)(er)(er)半之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)。其(qi)(qi)倍(bei)玄(xuan)(xuan)為(wei)(wei)(wei)廣(guang)袤(mao)合(he)。令勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)見者自乘(cheng)為(wei)(wei)(wei)其(qi)(qi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。四(si)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)以(yi)(yi)(yi)減(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),開其(qi)(qi)余(yu)(yu),所(suo)得(de)(de)(de)為(wei)(wei)(wei)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)減(jian)合(he)半其(qi)(qi)余(yu)(yu)為(wei)(wei)(wei)廣(guang)。減(jian)廣(guang)于玄(xuan)(xuan)即(ji)(ji)所(suo)求也(ye)(ye)。”
用(yong)現(xian)代的(de)數學語(yu)言描述就是(shi)黃(huang)實(shi)的(de)面(mian)積等于大正方形的(de)面(mian)積減去四個朱實(shi)的(de)面(mian)積。
2002年第24屆國(guo)際數學(xue)家大會(hui)(ICM)的會(hui)標即為(wei)該圖。
加菲(fei)爾德在證出(chu)此結論5年后,成為(wei)美國第(di)20任總(zong)統,所以人們又稱其為(wei)“總(zong)統證法”。
在直角(jiao)梯形ABDE中,∠AEC=∠CDB=90°,△AEC≌△CDB,,,
∵
加菲爾德(de)證法變式
該證(zheng)明為加菲爾(er)德證(zheng)法的變式。
如果將大(da)正(zheng)方形(xing)(xing)邊長為(wei)c的小正(zheng)方形(xing)(xing)沿(yan)對角線切開,則回到(dao)了(le)加菲爾德證(zheng)法(fa)。相反,若(ruo)將上圖(tu)中兩個(ge)梯形(xing)(xing)拼在一起,就變為(wei)了(le)此證(zheng)明方法(fa)。
大正方形(xing)的(de)面(mian)(mian)(mian)積等(deng)于中間正方形(xing)的(de)面(mian)(mian)(mian)積加上四個三角形(xing)的(de)面(mian)(mian)(mian)積,即:
青朱出入圖,是東漢末年(nian)數學(xue)家(jia)劉(liu)徽根據“割補術”運用(yong)數形關(guan)系(xi)證明(ming)勾股定理的(de)幾何證明(ming)法(fa),特(te)色鮮明(ming)、通俗(su)易懂。
劉徽描述此圖,“勾自(zi)乘為朱(zhu)方(fang)(fang)(fang),股自(zi)乘為青方(fang)(fang)(fang),令出入相補(bu),各從其(qi)類(lei),因就其(qi)余不動(dong)也,合成(cheng)弦(xian)方(fang)(fang)(fang)之冪。開(kai)方(fang)(fang)(fang)除(chu)之,即(ji)(ji)弦(xian)也。”其(qi)大(da)意為,一(yi)個(ge)任意直(zhi)角(jiao)(jiao)三(san)角(jiao)(jiao)形,以(yi)勾寬作紅色(se)(se)正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形即(ji)(ji)朱(zhu)方(fang)(fang)(fang),以(yi)股長作青色(se)(se)正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形即(ji)(ji)青方(fang)(fang)(fang)。將朱(zhu)方(fang)(fang)(fang)、青方(fang)(fang)(fang)兩個(ge)正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形對齊(qi)底邊排列,再以(yi)盈補(bu)虛,分割(ge)線(xian)內不動(dong),線(xian)外則“各從其(qi)類(lei)”,以(yi)合成(cheng)弦(xian)的(de)正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形即(ji)(ji)弦(xian)方(fang)(fang)(fang),弦(xian)方(fang)(fang)(fang)開(kai)方(fang)(fang)(fang)即(ji)(ji)為弦(xian)長。
在歐幾(ji)里得的《幾(ji)何原(yuan)本》一書(shu)中給出勾股(gu)定理(li)的以下(xia)證明。設△ABC為(wei)一直(zhi)(zhi)角三角形(xing),其(qi)(qi)(qi)中A為(wei)直(zhi)(zhi)角。從A點畫一直(zhi)(zhi)線(xian)至對(dui)邊,使其(qi)(qi)(qi)垂(chui)直(zhi)(zhi)于(yu)對(dui)邊。延長(chang)此線(xian)把對(dui)邊上的正方形(xing)一分(fen)為(wei)二(er),其(qi)(qi)(qi)面積分(fen)別與其(qi)(qi)(qi)余兩個正方形(xing)相(xiang)等。
在這個(ge)定(ding)理的證明中,我們需要如下四(si)個(ge)輔助定(ding)理:
如果兩(liang)個(ge)三(san)(san)角形有兩(liang)組(zu)對應(ying)邊和這兩(liang)組(zu)邊所夾的角相等,則兩(liang)三(san)(san)角形全(quan)等。(SAS)
三角形(xing)(xing)面(mian)積(ji)是任(ren)一(yi)同底(di)同高之平行四邊形(xing)(xing)面(mian)積(ji)的(de)一(yi)半。
任(ren)意一(yi)個(ge)正(zheng)方形的面積等于其(qi)二邊長的乘積。
任(ren)意一個矩形的(de)面積等于(yu)其(qi)二邊長的(de)乘(cheng)積(據輔(fu)助(zhu)定(ding)理3)。
證明的(de)思(si)路為(wei):從A點畫一(yi)直(zhi)線至對(dui)邊,使其垂直(zhi)于對(dui)邊。延長此線把(ba)對(dui)邊上的(de)正方(fang)(fang)(fang)形(xing)一(yi)分為(wei)二,把(ba)上方(fang)(fang)(fang)的(de)兩(liang)個(ge)正方(fang)(fang)(fang)形(xing),通過等高同底的(de)三角(jiao)形(xing),以其面積(ji)關系(xi),轉換(huan)成下方(fang)(fang)(fang)兩(liang)個(ge)同等面積(ji)的(de)長方(fang)(fang)(fang)形(xing)。
設(she)△ABC為(wei)(wei)一(yi)直角三角形(xing),其直角為(wei)(wei)∠CAB。
其邊為BC、AB和CA,依序繪成四方(fang)形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過(guo)點A之BD、CE的平行線(xian),分別垂(chui)直BC和DE于K、L。
分別連(lian)接CF、AD,形(xing)成△BCF、△BDA。
∠CAB和(he)(he)∠BAG都是直角,因(yin)此C、A和(he)(he)G共線(xian),同理可證(zheng)B、A和(he)(he)H共線(xian)。
∠CBD和(he)∠FBA都是直角(jiao),所以∠ABD=∠FBC。
因為AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。
因(yin)為(wei)A與(yu)K和L在同一直線上,所以(yi)四邊形(xing)BDLK=2△ABD。
因為C、A和G在(zai)同一直(zhi)線上,所以正(zheng)方(fang)形(xing)BAGF=2△FBC。
因(yin)此(ci)四邊形(xing)BDLK=BAGF=AB2。
同理可證(zheng),四邊形CKLE=ACIH=AC2。
把這(zhe)兩(liang)個(ge)結果相加,AB2+AC2=BD×BK+KL×KC
由于(yu)BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是個(ge)正(zheng)方形,因此AB2+AC2=BC2,即a2+b2=c2。
此證明是于歐(ou)幾里得《幾何原本》一書第(di)1.47節(jie)所提出的。
由(you)于(yu)這(zhe)(zhe)個定理(li)的(de)證明(ming)依賴于(yu)平行(xing)(xing)(xing)公理(li),而且從這(zhe)(zhe)個定理(li)可以推出平行(xing)(xing)(xing)公理(li),很(hen)多(duo)人(ren)質疑平行(xing)(xing)(xing)公理(li)是這(zhe)(zhe)個定理(li)的(de)必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理(li)的(de)非(fei)歐幾何出現。
勾(gou)(gou)股(gu)(gu)數(shu)(shu)組是(shi)滿足(zu)勾(gou)(gou)股(gu)(gu)定理(li)的(de)正整數(shu)(shu)組,其中的(de)稱(cheng)為勾(gou)(gou)股(gu)(gu)數(shu)(shu)。例如(ru)就(jiu)是(shi)一(yi)組勾(gou)(gou)股(gu)(gu)數(shu)(shu)組。
任意一組勾股數可(ke)以表示(shi)為(wei)如下形式:,,,其中(zhong)均為(wei)正整數,且。
已知(zhi)直(zhi)角(jiao)(jiao)(jiao)三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)兩(liang)邊(bian)求解第三(san)(san)邊(bian),或(huo)(huo)者已知(zhi)三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)的三(san)(san)邊(bian)長度,證明該三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)為直(zhi)角(jiao)(jiao)(jiao)三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)或(huo)(huo)用來(lai)證明該三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)內兩(liang)邊(bian)垂直(zhi)。利(li)用勾股(gu)定理求線段長度這是勾股(gu)定理的最(zui)基本運用。
公(gong)元前十一世(shi)紀,數學家商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)(西周(zhou)初(chu)年(nian)人)就(jiu)(jiu)提出“勾(gou)(gou)三、股(gu)(gu)四(si)、弦五(wu)”。編寫于公(gong)元前一世(shi)紀以前的《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》中記錄著商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)與周(zhou)公(gong)的一段對話。商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)說(shuo):“……故折矩,勾(gou)(gou)廣(guang)三,股(gu)(gu)修四(si),經(jing)隅(yu)(yu)五(wu)。”意(yi)為(wei):當直(zhi)角(jiao)(jiao)三角(jiao)(jiao)形的兩條直(zhi)角(jiao)(jiao)邊(bian)分別為(wei)3(勾(gou)(gou))和4(股(gu)(gu))時,徑隅(yu)(yu)(弦)則為(wei)5。以后人們就(jiu)(jiu)簡單地把這(zhe)個事實說(shuo)成“勾(gou)(gou)三股(gu)(gu)四(si)弦五(wu)”,根(gen)據該(gai)典故稱(cheng)勾(gou)(gou)股(gu)(gu)定理(li)(li)為(wei)商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)定理(li)(li)。
公(gong)元三世紀,三國時代的(de)趙爽(shuang)對(dui)《周髀算經》內的(de)勾(gou)股定理(li)(li)作(zuo)出了(le)詳細注釋(shi),記錄于《九章(zhang)算術》中(zhong)“勾(gou)股各自乘,并而開方除之,即弦”,趙爽(shuang)創制(zhi)了(le)一幅“勾(gou)股圓(yuan)方圖”,用數形(xing)結(jie)合得到方法,給出了(le)勾(gou)股定理(li)(li)的(de)詳細證明(ming)。后劉徽在劉徽注中(zhong)亦證明(ming)了(le)勾(gou)股定理(li)(li)。
在中國清(qing)朝末年,數學(xue)家華蘅(heng)芳提出了二十多種對于勾(gou)股定理證法。
遠在(zai)公元前約三千年的(de)古(gu)巴比倫(lun)人(ren)就(jiu)知道(dao)和(he)應用(yong)勾(gou)股(gu)定理,他們還知道(dao)許多勾(gou)股(gu)數組。美國哥倫(lun)比亞(ya)大學圖書館內收藏著一塊編(bian)號為“普林頓(dun)322”的(de)古(gu)巴比倫(lun)泥板,上面(mian)就(jiu)記載了很(hen)多勾(gou)股(gu)數。古(gu)埃及(ji)人(ren)在(zai)建(jian)筑宏偉(wei)的(de)金字(zi)塔和(he)測量尼羅河(he)泛濫后的(de)土地時,也(ye)應用(yong)過勾(gou)股(gu)定理。
公(gong)元前六世(shi)紀,希(xi)臘數學家畢(bi)達哥拉(la)斯證明了勾股(gu)定理,因而西方人都習慣地稱這個(ge)定理為畢(bi)達哥拉(la)斯定理。
公元前4世紀,希臘數學家歐(ou)幾(ji)里得在《幾(ji)何原本(ben)》(第Ⅰ卷(juan),命題47)中給出一個證明。
1876年4月1日,加菲爾德(de)在《新英格蘭教育日志》上發(fa)表(biao)了(le)他對勾股定理的一個證法。
1940年(nian)《畢達哥拉斯(si)命(ming)題(ti)》出版,收(shou)集了367種不(bu)同的證法。
1.勾股定(ding)理的(de)(de)證明是論證幾(ji)何的(de)(de)發端。
2.勾股定理(li)是歷史上第一個把數與形聯(lian)系(xi)起(qi)來(lai)的定理(li),即它是第一個把幾何與代數聯(lian)系(xi)起(qi)來(lai)的定理(li)。
3.勾股定理(li)導(dao)致了無(wu)理(li)數的發(fa)現,引起第(di)一次數學危機,大大加深了人們對(dui)數的理(li)解(jie)。
4.勾股(gu)定(ding)理是歷史(shi)上(shang)第一個(ge)給出(chu)(chu)了完全解答的不定(ding)方程(cheng),它引出(chu)(chu)了費馬大定(ding)理。
5.勾股定(ding)理是(shi)歐(ou)氏幾何的(de)(de)(de)基礎定(ding)理,并有(you)巨大的(de)(de)(de)實(shi)用(yong)價(jia)值。這(zhe)條(tiao)定(ding)理不僅在幾何學(xue)中是(shi)一(yi)顆光彩奪目的(de)(de)(de)明珠,被譽(yu)為(wei)“幾何學(xue)的(de)(de)(de)基石”,而且在高等數(shu)學(xue)和其他科學(xue)領域也有(you)著廣(guang)泛的(de)(de)(de)應(ying)用(yong)。1971年(nian)5月(yue)15日(ri),尼加拉瓜發(fa)行了一(yi)套(tao)題為(wei)“改變世界面貌的(de)(de)(de)十(shi)個數(shu)學(xue)公式(shi)”郵(you)票,這(zhe)十(shi)個數(shu)學(xue)公式(shi)由(you)著名數(shu)學(xue)家選出的(de)(de)(de),勾股定(ding)理是(shi)其中之首。