芒果视频下载

勾(gou)股(gu)定(ding)理，是一(yi)個(ge)基(ji)本的幾(ji)何定(ding)理，指直(zhi)(zhi)角(jiao)三(san)(san)角(jiao)形(xing)的兩條直(zhi)(zhi)角(jiao)邊(bian)(bian)的平方和等(deng)于(yu)斜(xie)邊(bian)(bian)的平方。中(zhong)國古代稱(cheng)直(zhi)(zhi)角(jiao)三(san)(san)角(jiao)形(xing)為(wei)(wei)勾(gou)股(gu)形(xing)，并且直(zhi)(zhi)角(jiao)邊(bian)(bian)中(zhong)較(jiao)小者為(wei)(wei)勾(gou)，另一(yi)長直(zhi)(zhi)角(jiao)邊(bian)(bian)為(wei)(wei)股(gu)，斜(xie)邊(bian)(bian)為(wei)(wei)弦(xian)，所以稱(cheng)這個(ge)定(ding)理為(wei)(wei)勾(gou)股(gu)定(ding)理，也(ye)有(you)人(ren)稱(cheng)商高定(ding)理。

勾股定理(li)(li)(li)現約(yue)有500種(zhong)證(zheng)明(ming)方法(fa)，是(shi)(shi)數(shu)學(xue)定理(li)(li)(li)中證(zheng)明(ming)方法(fa)最多的(de)(de)定理(li)(li)(li)之一(yi)(yi)。勾股定理(li)(li)(li)是(shi)(shi)人類早期發現并證(zheng)明(ming)的(de)(de)重要數(shu)學(xue)定理(li)(li)(li)之一(yi)(yi)，用(yong)代數(shu)思想解決幾何(he)問題(ti)的(de)(de)最重要的(de)(de)工具(ju)之一(yi)(yi)，也(ye)是(shi)(shi)數(shu)形(xing)結合的(de)(de)紐帶(dai)之一(yi)(yi)。

在(zai)(zai)中國，周朝時期的商高提出(chu)了(le)“勾三(san)股四弦五(wu)”的勾股定理(li)的特例。在(zai)(zai)西方(fang)，最早(zao)提出(chu)并(bing)證(zheng)明此定理(li)的為公元前6世紀古希臘的畢(bi)達(da)哥拉斯(si)學派，他們用(yong)演繹法(fa)證(zheng)明了(le)直(zhi)(zhi)角(jiao)三(san)角(jiao)形斜(xie)邊(bian)平(ping)方(fang)等于兩直(zhi)(zhi)角(jiao)邊(bian)平(ping)方(fang)之和。

定義

在(zai)平(ping)(ping)面上的(de)一個(ge)直(zhi)(zhi)角(jiao)(jiao)三角(jiao)(jiao)形中，兩個(ge)直(zhi)(zhi)角(jiao)(jiao)邊(bian)(bian)邊(bian)(bian)長(chang)的(de)平(ping)(ping)方(fang)加起(qi)來(lai)等(deng)于斜(xie)邊(bian)(bian)長(chang)的(de)平(ping)(ping)方(fang)。如果設直(zhi)(zhi)角(jiao)(jiao)三角(jiao)(jiao)形的(de)兩條直(zhi)(zhi)角(jiao)(jiao)邊(bian)(bian)長(chang)度(du)分(fen)別(bie)是和，斜(xie)邊(bian)(bian)長(chang)度(du)是，那么(me)可(ke)以用(yong)數學語言表(biao)達：

勾股定(ding)理(li)(li)是余弦(xian)定(ding)理(li)(li)中的一(yi)個特例。

推導

趙爽弦圖

《周髀算經(jing)》中，趙爽描述(shu)此圖(tu)：“勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)各(ge)自(zi)乘，并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。開(kai)(kai)方(fang)除(chu)之(zhi)(zhi)(zhi)，即(ji)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。案玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)圖(tu)有(you)可以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)相(xiang)乘為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)朱實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)二，倍(bei)之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)朱實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)四。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)差(cha)(cha)(cha)(cha)自(zi)相(xiang)乘為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)中黃(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。加(jia)(jia)差(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦(yi)成(cheng)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)(jian)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，半其(qi)余(yu)(yu)(yu)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)從法(fa)，開(kai)(kai)方(fang)除(chu)之(zhi)(zhi)(zhi)，復得(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)矣。加(jia)(jia)差(cha)(cha)(cha)(cha)于(yu)(yu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)即(ji)股(gu)(gu)(gu)。凡并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，即(ji)成(cheng)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。或矩(ju)于(yu)(yu)內，或方(fang)于(yu)(yu)外(wai)。形詭而(er)量均，體殊而(er)數齊。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)矩(ju)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)，股(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)袤(mao)。而(er)股(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)其(qi)里(li)(li)。減(jian)(jian)(jian)矩(ju)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于(yu)(yu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，開(kai)(kai)其(qi)余(yu)(yu)(yu)即(ji)股(gu)(gu)(gu)。倍(bei)股(gu)(gu)(gu)在兩(liang)邊(bian)(bian)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)從法(fa)，開(kai)(kai)矩(ju)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)角即(ji)股(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)。加(jia)(jia)股(gu)(gu)(gu)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)除(chu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得(de)股(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)除(chu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦(yi)得(de)股(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)。令并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)乘與勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍(bei)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)法(fa)。所得(de)亦(yi)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)乘，如(ru)法(fa)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)。股(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)矩(ju)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)，勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)袤(mao)。而(er)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)其(qi)里(li)(li)，減(jian)(jian)(jian)矩(ju)股(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于(yu)(yu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，開(kai)(kai)其(qi)余(yu)(yu)(yu)即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。倍(bei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)在兩(liang)邊(bian)(bian)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)從法(fa)，開(kai)(kai)矩(ju)股(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)角，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)。加(jia)(jia)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)除(chu)股(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)除(chu)股(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦(yi)得(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)。令并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)乘與股(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍(bei)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)法(fa)。所得(de)亦(yi)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。股(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)乘如(ru)法(fa)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)，兩(liang)差(cha)(cha)(cha)(cha)相(xiang)乘倍(bei)而(er)開(kai)(kai)之(zhi)(zhi)(zhi)，所得(de)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)增(zeng)(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)增(zeng)(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)。兩(liang)差(cha)(cha)(cha)(cha)增(zeng)(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)弦。倍(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)列(lie)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，見并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)者，以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)圖(tu)考(kao)之(zhi)(zhi)(zhi)，倍(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)滿(man)外(wai)大(da)方(fang)而(er)多(duo)黃(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。黃(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)多(duo)，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)其(qi)余(yu)(yu)(yu)，得(de)外(wai)大(da)方(fang)。大(da)方(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)面，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)也(ye)(ye)。令并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)乘，倍(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)乃減(jian)(jian)(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)其(qi)余(yu)(yu)(yu)，得(de)中黃(huang)方(fang)。黃(huang)方(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)面，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)減(jian)(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)而(er)半之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。加(jia)(jia)差(cha)(cha)(cha)(cha)于(yu)(yu)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)而(er)半之(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)。其(qi)倍(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)袤(mao)合。令勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)見者自(zi)乘為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)其(qi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。四實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)減(jian)(jian)(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)其(qi)余(yu)(yu)(yu)，所得(de)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)差(cha)(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)減(jian)(jian)(jian)合半其(qi)余(yu)(yu)(yu)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)。減(jian)(jian)(jian)廣(guang)(guang)于(yu)(yu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)即(ji)所求也(ye)(ye)。”

用現(xian)代的數學語言(yan)描述(shu)就是黃(huang)實的面積等于大正方形的面積減去(qu)四個朱實的面積。

2002年第24屆(jie)國際數學家大會（ICM）的會標即(ji)為該圖。

加菲爾德證法

加菲爾德在證(zheng)(zheng)出此結論5年后，成(cheng)為美國第20任(ren)總(zong)統，所以人(ren)們又稱其(qi)為“總(zong)統證(zheng)(zheng)法”。

在直角梯(ti)形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，，

∵

加菲(fei)爾德證法變式

該證明為加菲爾德證法的(de)變式。

如果(guo)將大正方(fang)形邊(bian)長為(wei)c的小正方(fang)形沿對角線切開，則回到了加菲(fei)爾德證法(fa)。相反(fan)，若將上(shang)圖中兩個梯形拼在一起，就變為(wei)了此證明方(fang)法(fa)。

大正方(fang)形(xing)的面(mian)積等(deng)于中間正方(fang)形(xing)的面(mian)積加上四個三角形(xing)的面(mian)積，即：

青朱出入圖

青朱(zhu)出入(ru)圖，是東漢末(mo)年(nian)數學(xue)家劉徽根據(ju)“割(ge)補術(shu)”運用數形關系證明(ming)勾(gou)股定理的(de)幾何證明(ming)法，特(te)色鮮明(ming)、通俗易懂。

劉徽描(miao)述此(ci)圖，“勾自乘(cheng)為朱方(fang)(fang)，股(gu)自乘(cheng)為青(qing)(qing)方(fang)(fang)，令出入(ru)相(xiang)補(bu)，各從(cong)其(qi)類，因(yin)就(jiu)其(qi)余不動(dong)也(ye)(ye)，合成弦(xian)方(fang)(fang)之冪。開(kai)方(fang)(fang)除之，即弦(xian)也(ye)(ye)。”其(qi)大意為，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方(fang)(fang)形即朱方(fang)(fang)，以股(gu)長作青(qing)(qing)色正方(fang)(fang)形即青(qing)(qing)方(fang)(fang)。將朱方(fang)(fang)、青(qing)(qing)方(fang)(fang)兩個正方(fang)(fang)形對齊底邊排(pai)列，再(zai)以盈補(bu)虛，分割線(xian)內不動(dong)，線(xian)外則“各從(cong)其(qi)類”，以合成弦(xian)的(de)正方(fang)(fang)形即弦(xian)方(fang)(fang)，弦(xian)方(fang)(fang)開(kai)方(fang)(fang)即為弦(xian)長。

歐幾里得證法

在歐幾(ji)里(li)得的(de)《幾(ji)何原本(ben)》一(yi)書中給(gei)出(chu)勾股定理的(de)以下證明(ming)。設(she)△ABC為一(yi)直角(jiao)三角(jiao)形(xing)，其中A為直角(jiao)。從A點畫一(yi)直線至對邊，使其垂直于(yu)對邊。延長此線把(ba)對邊上的(de)正(zheng)(zheng)方形(xing)一(yi)分(fen)為二，其面積(ji)分(fen)別與其余兩個正(zheng)(zheng)方形(xing)相等。

在這個(ge)定理(li)的證明(ming)中，我們需要如下四(si)個(ge)輔(fu)助定理(li)：

如果兩(liang)個三(san)角(jiao)形有兩(liang)組(zu)對應(ying)邊和這兩(liang)組(zu)邊所夾(jia)的角(jiao)相等(deng)，則(ze)兩(liang)三(san)角(jiao)形全等(deng)。（SAS）

三角形面(mian)積(ji)(ji)是任一(yi)同底同高之平行四邊形面(mian)積(ji)(ji)的一(yi)半(ban)。

任意一個(ge)正方形的(de)面積等于其二邊長(chang)的(de)乘(cheng)積。

任意一個矩形的面積等于其(qi)二(er)邊長的乘積（據輔助定理3）。

證明(ming)的思路為：從(cong)A點(dian)畫一直(zhi)線(xian)至對邊，使(shi)其垂直(zhi)于(yu)對邊。延長此線(xian)把(ba)對邊上的正(zheng)方形一分為二，把(ba)上方的兩個正(zheng)方形，通過等高同底的三角形，以其面(mian)積(ji)關系，轉換成下方兩個同等面(mian)積(ji)的長方形。

設(she)△ABC為(wei)一(yi)直(zhi)角(jiao)(jiao)三角(jiao)(jiao)形，其直(zhi)角(jiao)(jiao)為(wei)∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成(cheng)四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點(dian)A之BD、CE的平行線，分別垂直(zhi)BC和DE于K、L。

分別連(lian)接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是(shi)直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角(jiao)，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A與K和L在同一直線上，所以四(si)邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一直線上，所(suo)以正方形BAGF=2△FBC。

因此(ci)四邊形(xing)BDLK=BAGF=AB2。

同理可(ke)證(zheng)，四(si)邊(bian)形(xing)CKLE=ACIH=AC2。

把這(zhe)兩個結果相加(jia)，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于(yu)CBDE是個正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

此(ci)證明是于(yu)歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。

由于這(zhe)個(ge)定理(li)(li)的(de)證明依(yi)賴于平行(xing)(xing)公(gong)理(li)(li)，而且從這(zhe)個(ge)定理(li)(li)可以推出(chu)平行(xing)(xing)公(gong)理(li)(li)，很多人(ren)質疑平行(xing)(xing)公(gong)理(li)(li)是這(zhe)個(ge)定理(li)(li)的(de)必要條件，一直(zhi)到十(shi)九世紀(ji)嘗試否(fou)定第五公(gong)理(li)(li)的(de)非歐(ou)幾何出(chu)現。

推廣

勾股數組

勾股(gu)數(shu)組(zu)是滿足勾股(gu)定理的(de)正(zheng)整(zheng)數(shu)組(zu)，其中的(de)稱為勾股(gu)數(shu)。例(li)如就是一組(zu)勾股(gu)數(shu)組(zu)。

任意(yi)一組勾股數可(ke)以表示(shi)為如(ru)下形(xing)式：，，，其中均為正(zheng)整數，且。

定理用途

已知直(zhi)角(jiao)(jiao)(jiao)三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)兩邊(bian)求解(jie)第(di)三(san)(san)邊(bian)，或者已知三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)的三(san)(san)邊(bian)長度，證明(ming)該三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)為直(zhi)角(jiao)(jiao)(jiao)三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)或用來證明(ming)該三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)內(nei)兩邊(bian)垂直(zhi)。利(li)用勾(gou)股定(ding)(ding)理求線段長度這是勾(gou)股定(ding)(ding)理的最(zui)基本運用。

簡史

中國

公(gong)元(yuan)前(qian)(qian)十一世紀，數(shu)學家商(shang)(shang)高(gao)(gao)（西周初年人）就提出“勾(gou)三、股(gu)(gu)(gu)四、弦五(wu)”。編寫(xie)于公(gong)元(yuan)前(qian)(qian)一世紀以前(qian)(qian)的《周髀算經(jing)》中(zhong)記錄(lu)著商(shang)(shang)高(gao)(gao)與周公(gong)的一段對(dui)話。商(shang)(shang)高(gao)(gao)說(shuo)：“……故(gu)折矩，勾(gou)廣三，股(gu)(gu)(gu)修四，經(jing)隅(yu)(yu)五(wu)。”意為：當直角(jiao)三角(jiao)形的兩條直角(jiao)邊分別為3（勾(gou)）和(he)4（股(gu)(gu)(gu)）時，徑隅(yu)(yu)（弦）則為5。以后人們就簡單(dan)地把(ba)這個(ge)事實說(shuo)成“勾(gou)三股(gu)(gu)(gu)四弦五(wu)”，根據該典故(gu)稱(cheng)勾(gou)股(gu)(gu)(gu)定(ding)理(li)為商(shang)(shang)高(gao)(gao)定(ding)理(li)。

公元(yuan)三世(shi)紀，三國時代的趙(zhao)爽對《周髀算經》內(nei)的勾(gou)股(gu)定(ding)理作出了(le)(le)詳細(xi)注釋，記錄于《九章算術》中(zhong)“勾(gou)股(gu)各自乘，并而開方除之(zhi)，即弦(xian)”，趙(zhao)爽創制了(le)(le)一幅“勾(gou)股(gu)圓方圖”，用(yong)數形(xing)結(jie)合(he)得到方法，給出了(le)(le)勾(gou)股(gu)定(ding)理的詳細(xi)證明。后劉徽在(zai)劉徽注中(zhong)亦證明了(le)(le)勾(gou)股(gu)定(ding)理。

在中國清朝末(mo)年，數學家華蘅芳提(ti)出了二十多種對于(yu)勾股定(ding)理證法。

外國

遠在(zai)公元前約(yue)三千年的(de)古(gu)巴(ba)比倫(lun)(lun)人就知道和(he)應用勾股定(ding)理，他們還知道許多勾股數組。美國哥倫(lun)(lun)比亞(ya)大學圖書館內收藏著一塊編號(hao)為“普林頓(dun)322”的(de)古(gu)巴(ba)比倫(lun)(lun)泥板，上面就記(ji)載了(le)很多勾股數。古(gu)埃及人在(zai)建(jian)筑(zhu)宏偉(wei)的(de)金字塔和(he)測量尼羅河泛濫后的(de)土地時，也(ye)應用過勾股定(ding)理。

公(gong)元前六世紀，希臘數學(xue)家畢(bi)達哥拉斯證明(ming)了(le)勾(gou)股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為(wei)畢(bi)達哥拉斯定理。

公(gong)元前4世紀(ji)，希臘(la)數學家歐幾(ji)里得(de)在《幾(ji)何(he)原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出(chu)一個證明。

1876年4月1日，加菲爾德在《新英格(ge)蘭教(jiao)育日志》上發表了他對勾股定理的一個證(zheng)法。

1940年《畢(bi)達哥拉斯(si)命題》出版，收集了367種不(bu)同的證法。

意義

1．勾股定理的(de)證明是論證幾(ji)何的(de)發端。

2．勾(gou)股定理(li)是(shi)歷史上第(di)一(yi)個把數與形聯系起(qi)來的定理(li)，即它是(shi)第(di)一(yi)個把幾何(he)與代(dai)數聯系起(qi)來的定理(li)。

3．勾股定理(li)導致了無理(li)數(shu)(shu)的發現，引起第一次數(shu)(shu)學危機，大大加深(shen)了人(ren)們對數(shu)(shu)的理(li)解。

4．勾股定(ding)理是歷史(shi)上第一個給出(chu)了(le)完全解答的不(bu)定(ding)方(fang)程，它引出(chu)了(le)費馬大(da)定(ding)理。

5．勾股(gu)定(ding)(ding)理是(shi)(shi)歐氏幾(ji)何的(de)(de)(de)基礎(chu)定(ding)(ding)理，并有巨(ju)大的(de)(de)(de)實用價(jia)值(zhi)。這條定(ding)(ding)理不僅在幾(ji)何學(xue)中是(shi)(shi)一顆光彩奪目(mu)的(de)(de)(de)明珠，被譽為“幾(ji)何學(xue)的(de)(de)(de)基石”，而且在高(gao)等數(shu)(shu)學(xue)和(he)其他科學(xue)領域也(ye)有著(zhu)廣泛的(de)(de)(de)應用。1971年5月15日，尼加拉瓜(gua)發行(xing)了一套題(ti)為“改變世(shi)界面貌的(de)(de)(de)十(shi)個數(shu)(shu)學(xue)公式”郵票(piao)，這十(shi)個數(shu)(shu)學(xue)公式由著(zhu)名(ming)數(shu)(shu)學(xue)家選出(chu)的(de)(de)(de)，勾股(gu)定(ding)(ding)理是(shi)(shi)其中之首(shou)。