芒果视频下载

勾(gou)股定(ding)(ding)理(li)，是一(yi)個基本的幾(ji)何定(ding)(ding)理(li)，指直(zhi)角(jiao)三(san)角(jiao)形的兩條直(zhi)角(jiao)邊(bian)(bian)(bian)(bian)的平(ping)方和等于(yu)斜邊(bian)(bian)(bian)(bian)的平(ping)方。中(zhong)國古代稱(cheng)直(zhi)角(jiao)三(san)角(jiao)形為(wei)勾(gou)股形，并且直(zhi)角(jiao)邊(bian)(bian)(bian)(bian)中(zhong)較小者為(wei)勾(gou)，另一(yi)長直(zhi)角(jiao)邊(bian)(bian)(bian)(bian)為(wei)股，斜邊(bian)(bian)(bian)(bian)為(wei)弦，所(suo)以(yi)稱(cheng)這個定(ding)(ding)理(li)為(wei)勾(gou)股定(ding)(ding)理(li)，也(ye)有人稱(cheng)商高(gao)定(ding)(ding)理(li)。

勾(gou)股定(ding)理現約有500種證明(ming)方法(fa)，是(shi)數學定(ding)理中證明(ming)方法(fa)最多的(de)定(ding)理之(zhi)(zhi)(zhi)一(yi)。勾(gou)股定(ding)理是(shi)人類早期發現并(bing)證明(ming)的(de)重要數學定(ding)理之(zhi)(zhi)(zhi)一(yi)，用(yong)代數思想解決幾何問題的(de)最重要的(de)工具之(zhi)(zhi)(zhi)一(yi)，也是(shi)數形結合的(de)紐(niu)帶之(zhi)(zhi)(zhi)一(yi)。

在中國(guo)，周朝時期的(de)商高提出了“勾(gou)三(san)股四弦五”的(de)勾(gou)股定(ding)理(li)的(de)特例。在西方，最(zui)早提出并證明此定(ding)理(li)的(de)為公元前6世紀(ji)古希臘的(de)畢達(da)哥拉斯學派(pai)，他們(men)用演繹法證明了直角(jiao)三(san)角(jiao)形斜邊平方等于(yu)兩直角(jiao)邊平方之和。

定義

在平面上的(de)一個(ge)直(zhi)角(jiao)三角(jiao)形(xing)中，兩個(ge)直(zhi)角(jiao)邊邊長(chang)(chang)的(de)平方加(jia)起來等于斜邊長(chang)(chang)的(de)平方。如果設(she)直(zhi)角(jiao)三角(jiao)形(xing)的(de)兩條直(zhi)角(jiao)邊長(chang)(chang)度分別是和，斜邊長(chang)(chang)度是，那么可以用(yong)數學語言表達：

勾股定(ding)(ding)理是余弦(xian)定(ding)(ding)理中的一個特例。

推導

趙爽弦圖

《周(zhou)髀算(suan)經》中，趙(zhao)爽描述此圖(tu)：“勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)各自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)，并(bing)(bing)(bing)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。開(kai)(kai)(kai)(kai)(kai)方(fang)(fang)除(chu)(chu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，即(ji)(ji)(ji)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。案(an)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)圖(tu)有可(ke)以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)相乘(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)朱實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)二，倍之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)朱實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)四。以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)差(cha)(cha)(cha)自(zi)相乘(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)中黃實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。加(jia)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦成(cheng)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，半其(qi)(qi)余(yu)(yu)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)從(cong)法，開(kai)(kai)(kai)(kai)(kai)方(fang)(fang)除(chu)(chu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，復得(de)(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)矣。加(jia)差(cha)(cha)(cha)于勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)即(ji)(ji)(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)。凡并(bing)(bing)(bing)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，即(ji)(ji)(ji)成(cheng)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。或矩(ju)(ju)于內，或方(fang)(fang)于外。形詭(gui)而量均，體殊(shu)而數齊。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)矩(ju)(ju)以(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣，股(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)袤(mao)。而股(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)(fang)其(qi)(qi)里(li)。減(jian)(jian)矩(ju)(ju)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，開(kai)(kai)(kai)(kai)(kai)其(qi)(qi)余(yu)(yu)即(ji)(ji)(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)。倍股(gu)(gu)(gu)(gu)在兩(liang)邊為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)從(cong)法，開(kai)(kai)(kai)(kai)(kai)矩(ju)(ju)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)角即(ji)(ji)(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。加(jia)股(gu)(gu)(gu)(gu)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)除(chu)(chu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得(de)(de)股(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)(bing)除(chu)(chu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦得(de)(de)股(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。令(ling)并(bing)(bing)(bing)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)與(yu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍并(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)法。所(suo)得(de)(de)亦玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)，如法為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)。股(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)矩(ju)(ju)以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣，勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)袤(mao)。而勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)(fang)其(qi)(qi)里(li)，減(jian)(jian)矩(ju)(ju)股(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，開(kai)(kai)(kai)(kai)(kai)其(qi)(qi)余(yu)(yu)即(ji)(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。倍勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)在兩(liang)邊為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)從(cong)法，開(kai)(kai)(kai)(kai)(kai)矩(ju)(ju)股(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)角，即(ji)(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。加(jia)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)除(chu)(chu)股(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得(de)(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)(bing)除(chu)(chu)股(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦得(de)(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。令(ling)并(bing)(bing)(bing)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)與(yu)股(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍并(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)法。所(suo)得(de)(de)亦玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。股(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)如法為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)，兩(liang)差(cha)(cha)(cha)相乘(cheng)(cheng)(cheng)倍而開(kai)(kai)(kai)(kai)(kai)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，所(suo)得(de)(de)以(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)增之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)增之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)。兩(liang)差(cha)(cha)(cha)增之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)弦(xian)。倍玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)列勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，見并(bing)(bing)(bing)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)者，以(yi)(yi)(yi)圖(tu)考(kao)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，倍玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)滿外大方(fang)(fang)而多(duo)黃實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。黃實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)多(duo)，即(ji)(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)(kai)(kai)(kai)其(qi)(qi)余(yu)(yu)，得(de)(de)外大方(fang)(fang)。大方(fang)(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)面，即(ji)(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)并(bing)(bing)(bing)也(ye)。令(ling)并(bing)(bing)(bing)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)，倍玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)乃減(jian)(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)(kai)(kai)(kai)其(qi)(qi)余(yu)(yu)，得(de)(de)中黃方(fang)(fang)。黃方(fang)(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)面，即(ji)(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)減(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)而半之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。加(jia)差(cha)(cha)(cha)于并(bing)(bing)(bing)而半之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)。其(qi)(qi)倍玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣袤(mao)合。令(ling)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)見者自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)其(qi)(qi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。四實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)以(yi)(yi)(yi)減(jian)(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)(kai)(kai)(kai)其(qi)(qi)余(yu)(yu)，所(suo)得(de)(de)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)差(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)減(jian)(jian)合半其(qi)(qi)余(yu)(yu)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣。減(jian)(jian)廣于玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)即(ji)(ji)(ji)所(suo)求也(ye)。”

用(yong)現代的(de)數學(xue)語言描述就是黃實(shi)的(de)面(mian)積等(deng)于大正(zheng)方(fang)形的(de)面(mian)積減去四個(ge)朱實(shi)的(de)面(mian)積。

2002年(nian)第24屆(jie)國(guo)際(ji)數學(xue)家(jia)大會（ICM）的會標即為該圖。

加菲爾德證法

加菲爾德在證(zheng)出(chu)此(ci)結論5年后，成(cheng)為(wei)美國第20任總(zong)統，所以人們又(you)稱其為(wei)“總(zong)統證(zheng)法”。

在(zai)直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，，

∵

加菲爾(er)德證法變式

該證明為(wei)加菲爾德證法的變式。

如果(guo)將(jiang)大正方(fang)形邊長為c的小正方(fang)形沿對(dui)角線(xian)切開，則回到了加菲爾德證法(fa)。相反，若將(jiang)上圖(tu)中兩個梯形拼在一起，就變(bian)為了此證明方(fang)法(fa)。

大正(zheng)方形的面(mian)積等于中間正(zheng)方形的面(mian)積加上四個三角形的面(mian)積，即：

青朱出入圖

青(qing)朱(zhu)出入(ru)圖，是(shi)東漢末年數學(xue)家劉徽根據“割補術”運用(yong)數形關系證(zheng)明勾股定理的幾(ji)何證(zheng)明法，特色鮮明、通俗易懂。

劉徽描述(shu)此(ci)圖(tu)，“勾自(zi)乘為(wei)朱方(fang)(fang)，股(gu)自(zi)乘為(wei)青(qing)(qing)方(fang)(fang)，令出入相補，各從其(qi)類，因就其(qi)余不動也(ye)，合成弦(xian)方(fang)(fang)之冪。開方(fang)(fang)除(chu)之，即(ji)弦(xian)也(ye)。”其(qi)大(da)意為(wei)，一(yi)個任意直角三角形(xing)，以(yi)(yi)勾寬(kuan)作紅色(se)正(zheng)方(fang)(fang)形(xing)即(ji)朱方(fang)(fang)，以(yi)(yi)股(gu)長作青(qing)(qing)色(se)正(zheng)方(fang)(fang)形(xing)即(ji)青(qing)(qing)方(fang)(fang)。將朱方(fang)(fang)、青(qing)(qing)方(fang)(fang)兩個正(zheng)方(fang)(fang)形(xing)對齊底邊排列，再以(yi)(yi)盈補虛，分割線內不動，線外則(ze)“各從其(qi)類”，以(yi)(yi)合成弦(xian)的正(zheng)方(fang)(fang)形(xing)即(ji)弦(xian)方(fang)(fang)，弦(xian)方(fang)(fang)開方(fang)(fang)即(ji)為(wei)弦(xian)長。

歐幾里得證法

在(zai)歐幾(ji)里得的(de)《幾(ji)何原本》一(yi)書中(zhong)給出勾股定理(li)的(de)以下證明。設△ABC為(wei)(wei)一(yi)直(zhi)(zhi)角(jiao)三(san)角(jiao)形，其(qi)(qi)中(zhong)A為(wei)(wei)直(zhi)(zhi)角(jiao)。從A點畫一(yi)直(zhi)(zhi)線(xian)(xian)至(zhi)對邊(bian)，使其(qi)(qi)垂直(zhi)(zhi)于對邊(bian)。延(yan)長(chang)此線(xian)(xian)把對邊(bian)上的(de)正(zheng)方(fang)形一(yi)分(fen)為(wei)(wei)二，其(qi)(qi)面積(ji)分(fen)別與其(qi)(qi)余(yu)兩(liang)個正(zheng)方(fang)形相(xiang)等。

在(zai)這個定理的證明中，我(wo)們需(xu)要如下四個輔助定理：

如果兩(liang)(liang)個三(san)角形(xing)(xing)有兩(liang)(liang)組對(dui)應邊(bian)和這兩(liang)(liang)組邊(bian)所夾(jia)的(de)角相(xiang)等，則兩(liang)(liang)三(san)角形(xing)(xing)全等。（SAS）

三角形面(mian)積是(shi)任一(yi)同底同高之平行四邊形面(mian)積的一(yi)半。

任意一個正方形的面積等于其二邊(bian)長的乘積。

任意一個矩形的面積(ji)等于其二邊長的乘積(ji)（據輔助定(ding)理(li)3）。

證明的思路為：從A點畫一(yi)直線(xian)至對邊，使其(qi)垂直于對邊。延長此線(xian)把(ba)對邊上的正方(fang)形(xing)一(yi)分為二，把(ba)上方(fang)的兩(liang)個正方(fang)形(xing)，通過等高同底的三角形(xing)，以其(qi)面積關(guan)系(xi)，轉換成(cheng)下方(fang)兩(liang)個同等面積的長方(fang)形(xing)。

設△ABC為(wei)一直角三角形，其直角為(wei)∠CAB。

其邊(bian)為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的平行線，分別(bie)垂直BC和DE于K、L。

分別連接CF、AD，形(xing)成(cheng)△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因(yin)此C、A和G共(gong)線，同理可證B、A和H共(gong)線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以(yi)∠ABD=∠FBC。

因(yin)為AB=FB，BD=BC，所以(yi)△ABD≌△FBC。

因(yin)為A與K和(he)L在同一直(zhi)線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同(tong)一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。

同理可證，四(si)邊形CKLE=ACIH=AC2。

把這兩個結果相(xiang)加(jia)，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是個正方形，因此AB2+AC2=BC2，即(ji)a2+b2=c2。

此證明(ming)是于歐幾里得《幾何原本》一(yi)書(shu)第1.47節所提出(chu)的。

由于這個(ge)(ge)定理(li)(li)的證明依賴于平(ping)(ping)(ping)行(xing)(xing)公(gong)(gong)理(li)(li)，而且(qie)從這個(ge)(ge)定理(li)(li)可(ke)以推出平(ping)(ping)(ping)行(xing)(xing)公(gong)(gong)理(li)(li)，很多人質疑平(ping)(ping)(ping)行(xing)(xing)公(gong)(gong)理(li)(li)是這個(ge)(ge)定理(li)(li)的必要(yao)條(tiao)件，一直(zhi)到(dao)十九(jiu)世(shi)紀嘗試否定第五公(gong)(gong)理(li)(li)的非歐幾何(he)出現。

推廣

勾股數組

勾股數(shu)(shu)組是滿足(zu)勾股定理的正整(zheng)數(shu)(shu)組，其中的稱為(wei)勾股數(shu)(shu)。例如就(jiu)是一(yi)組勾股數(shu)(shu)組。

任意一組勾股數(shu)可以表(biao)示為(wei)如下形式：，，，其(qi)中(zhong)均為(wei)正(zheng)整(zheng)數(shu)，且(qie)。

定理用途

已(yi)知直角(jiao)三(san)(san)角(jiao)形(xing)(xing)兩(liang)邊(bian)求(qiu)解第三(san)(san)邊(bian)，或(huo)者已(yi)知三(san)(san)角(jiao)形(xing)(xing)的三(san)(san)邊(bian)長度，證明該三(san)(san)角(jiao)形(xing)(xing)為直角(jiao)三(san)(san)角(jiao)形(xing)(xing)或(huo)用來(lai)證明該三(san)(san)角(jiao)形(xing)(xing)內兩(liang)邊(bian)垂直。利用勾股定理求(qiu)線段長度這是(shi)勾股定理的最基本運用。

簡史

中國

公元(yuan)前(qian)十一世紀，數學(xue)家商高(gao)(gao)（西周初年人）就提出“勾三、股(gu)(gu)(gu)四(si)、弦(xian)(xian)五(wu)(wu)”。編寫(xie)于公元(yuan)前(qian)一世紀以(yi)前(qian)的《周髀算(suan)經》中記(ji)錄著商高(gao)(gao)與周公的一段對話。商高(gao)(gao)說：“……故折矩，勾廣三，股(gu)(gu)(gu)修四(si)，經隅五(wu)(wu)。”意為(wei)：當(dang)直角(jiao)(jiao)三角(jiao)(jiao)形(xing)的兩條直角(jiao)(jiao)邊(bian)分別為(wei)3（勾）和4（股(gu)(gu)(gu)）時(shi)，徑隅（弦(xian)(xian)）則為(wei)5。以(yi)后人們就簡單(dan)地把這個事(shi)實(shi)說成“勾三股(gu)(gu)(gu)四(si)弦(xian)(xian)五(wu)(wu)”，根據(ju)該(gai)典故稱(cheng)勾股(gu)(gu)(gu)定(ding)理為(wei)商高(gao)(gao)定(ding)理。

公元(yuan)三世紀，三國時(shi)代的趙爽對《周(zhou)髀算經》內(nei)的勾(gou)股定理作出(chu)了詳(xiang)細注釋，記錄于《九章(zhang)算術》中(zhong)“勾(gou)股各自(zi)乘，并(bing)而開方(fang)除(chu)之，即弦”，趙爽創制(zhi)了一幅“勾(gou)股圓方(fang)圖”，用(yong)數形結合得到(dao)方(fang)法，給出(chu)了勾(gou)股定理的詳(xiang)細證明。后劉徽(hui)在劉徽(hui)注中(zhong)亦證明了勾(gou)股定理。

在中國(guo)清朝末(mo)年，數學家華蘅芳提出(chu)了二(er)十多(duo)種對于勾(gou)股定理(li)證法。

外國

遠在公(gong)元前約三千年的(de)(de)(de)古巴比倫人(ren)就(jiu)知道和應用(yong)勾股(gu)定(ding)理，他們還(huan)知道許(xu)多勾股(gu)數組。美國哥倫比亞大(da)學圖(tu)書(shu)館內收藏著一(yi)塊編號為“普林頓(dun)322”的(de)(de)(de)古巴比倫泥板，上面就(jiu)記載了很多勾股(gu)數。古埃及(ji)人(ren)在建筑宏偉(wei)的(de)(de)(de)金字塔和測量尼羅河泛(fan)濫后的(de)(de)(de)土地時，也(ye)應用(yong)過(guo)勾股(gu)定(ding)理。

公元(yuan)前六世紀，希臘(la)數學家畢達(da)哥(ge)拉(la)斯證明了勾股定理，因而西方人(ren)都習慣地(di)稱這個(ge)定理為畢達(da)哥(ge)拉(la)斯定理。

公(gong)元前4世(shi)紀，希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》（第(di)Ⅰ卷，命題47）中給出一(yi)個(ge)證明。

1876年4月1日，加菲爾德在(zai)《新英格蘭教育日志》上(shang)發表了他對(dui)勾股定(ding)理的一個證法。

1940年《畢達(da)哥(ge)拉斯命題》出版(ban)，收集(ji)了367種不(bu)同的證法。

意義

1．勾股定理的證明是(shi)論證幾何的發端(duan)。

2．勾股(gu)定(ding)理(li)是歷史上第一個(ge)把數與形聯(lian)系(xi)起來(lai)的定(ding)理(li)，即(ji)它是第一個(ge)把幾何與代數聯(lian)系(xi)起來(lai)的定(ding)理(li)。

3．勾股定理導致了無理數的(de)發現，引起第一(yi)次(ci)數學危機，大大加深了人們對(dui)數的(de)理解。

4．勾股定理是(shi)歷史上第一(yi)個(ge)給出了完全(quan)解答的(de)不定方程，它引出了費(fei)馬大定理。

5．勾股(gu)定理是歐氏幾(ji)何的(de)(de)(de)基(ji)礎定理，并有巨大的(de)(de)(de)實用價值(zhi)。這條定理不僅在幾(ji)何學中是一顆光彩奪目(mu)的(de)(de)(de)明珠，被譽(yu)為(wei)“幾(ji)何學的(de)(de)(de)基(ji)石”，而(er)且在高等數(shu)學和其(qi)他科(ke)學領域也有著(zhu)廣泛(fan)的(de)(de)(de)應用。1971年5月(yue)15日，尼加拉瓜發(fa)行了一套(tao)題為(wei)“改變(bian)世界面貌的(de)(de)(de)十個(ge)數(shu)學公式”郵票，這十個(ge)數(shu)學公式由著(zhu)名數(shu)學家選出的(de)(de)(de)，勾股(gu)定理是其(qi)中之首(shou)。