芒果视频下载

勾(gou)股(gu)定理(li)，是一(yi)個基本的幾何定理(li)，指直(zhi)角(jiao)三角(jiao)形(xing)的兩條直(zhi)角(jiao)邊(bian)的平(ping)方和等于斜邊(bian)的平(ping)方。中國(guo)古代稱(cheng)直(zhi)角(jiao)三角(jiao)形(xing)為勾(gou)股(gu)形(xing)，并且直(zhi)角(jiao)邊(bian)中較小者為勾(gou)，另一(yi)長直(zhi)角(jiao)邊(bian)為股(gu)，斜邊(bian)為弦，所以(yi)稱(cheng)這個定理(li)為勾(gou)股(gu)定理(li)，也有人稱(cheng)商高定理(li)。

勾(gou)股定(ding)理(li)(li)現(xian)約(yue)有500種證(zheng)明方法(fa)，是(shi)數(shu)學定(ding)理(li)(li)中證(zheng)明方法(fa)最(zui)多的(de)定(ding)理(li)(li)之(zhi)一(yi)。勾(gou)股定(ding)理(li)(li)是(shi)人類早期發(fa)現(xian)并證(zheng)明的(de)重要數(shu)學定(ding)理(li)(li)之(zhi)一(yi)，用代數(shu)思想解決幾何問題(ti)的(de)最(zui)重要的(de)工(gong)具之(zhi)一(yi)，也是(shi)數(shu)形結合的(de)紐帶之(zhi)一(yi)。

在(zai)中國，周朝時期的(de)商高提出了“勾(gou)三股(gu)(gu)四弦(xian)五(wu)”的(de)勾(gou)股(gu)(gu)定理的(de)特例。在(zai)西(xi)方(fang)，最(zui)早(zao)提出并證明此定理的(de)為公元前(qian)6世(shi)紀(ji)古希(xi)臘的(de)畢達哥拉斯學派(pai)，他們(men)用演繹法證明了直(zhi)角(jiao)三角(jiao)形斜邊平(ping)方(fang)等于兩直(zhi)角(jiao)邊平(ping)方(fang)之(zhi)和。

定義

在平面(mian)上的(de)一個直角(jiao)三角(jiao)形中，兩個直角(jiao)邊(bian)邊(bian)長的(de)平方(fang)加起來等于斜邊(bian)長的(de)平方(fang)。如果設直角(jiao)三角(jiao)形的(de)兩條直角(jiao)邊(bian)長度分別是和，斜邊(bian)長度是，那(nei)么可(ke)以用數學語(yu)言(yan)表達：

勾股定理是余弦定理中的一個特例。

推導

趙爽弦圖

《周(zhou)髀算經》中，趙(zhao)爽描述此圖(tu)：“勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)各自(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)，并(bing)(bing)(bing)(bing)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。開(kai)(kai)方(fang)(fang)除(chu)(chu)(chu)(chu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，即(ji)(ji)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。案玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)圖(tu)有可以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)相(xiang)(xiang)乘(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)朱(zhu)(zhu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)二，倍之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)朱(zhu)(zhu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)四。以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)差(cha)(cha)(cha)自(zi)(zi)相(xiang)(xiang)乘(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)中黃(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。加差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦成玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，半(ban)其(qi)(qi)(qi)余。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)從(cong)法(fa)(fa)(fa)，開(kai)(kai)方(fang)(fang)除(chu)(chu)(chu)(chu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，復得勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)矣(yi)。加差(cha)(cha)(cha)于勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)即(ji)(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。凡并(bing)(bing)(bing)(bing)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，即(ji)(ji)成玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。或矩(ju)于內，或方(fang)(fang)于外(wai)。形詭而(er)量(liang)均，體殊而(er)數(shu)齊。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)矩(ju)以(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣，股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)袤(mao)。而(er)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)(fang)其(qi)(qi)(qi)里。減(jian)(jian)矩(ju)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，開(kai)(kai)其(qi)(qi)(qi)余即(ji)(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。倍股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)在(zai)兩(liang)(liang)(liang)邊為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)從(cong)法(fa)(fa)(fa)，開(kai)(kai)矩(ju)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)角(jiao)即(ji)(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。加股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)除(chu)(chu)(chu)(chu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)(bing)(bing)除(chu)(chu)(chu)(chu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦得股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。令(ling)并(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)與(yu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍并(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)法(fa)(fa)(fa)。所(suo)得亦玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)，如法(fa)(fa)(fa)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)矩(ju)以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣，勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)袤(mao)。而(er)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)(fang)其(qi)(qi)(qi)里，減(jian)(jian)矩(ju)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，開(kai)(kai)其(qi)(qi)(qi)余即(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。倍勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)在(zai)兩(liang)(liang)(liang)邊為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)從(cong)法(fa)(fa)(fa)，開(kai)(kai)矩(ju)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)角(jiao)，即(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。加勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)除(chu)(chu)(chu)(chu)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)(bing)(bing)除(chu)(chu)(chu)(chu)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦得勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。令(ling)并(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)與(yu)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍并(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)法(fa)(fa)(fa)。所(suo)得亦玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)如法(fa)(fa)(fa)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)，兩(liang)(liang)(liang)差(cha)(cha)(cha)相(xiang)(xiang)乘(cheng)(cheng)(cheng)倍而(er)開(kai)(kai)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，所(suo)得以(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)增(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。以(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)增(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。兩(liang)(liang)(liang)差(cha)(cha)(cha)增(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)弦。倍玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)列勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，見并(bing)(bing)(bing)(bing)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)者，以(yi)(yi)(yi)圖(tu)考之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，倍玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)滿外(wai)大方(fang)(fang)而(er)多(duo)黃(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。黃(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)多(duo)，即(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)其(qi)(qi)(qi)余，得外(wai)大方(fang)(fang)。大方(fang)(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)面，即(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)并(bing)(bing)(bing)(bing)也。令(ling)并(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)，倍玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)乃減(jian)(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)其(qi)(qi)(qi)余，得中黃(huang)方(fang)(fang)。黃(huang)方(fang)(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)面，即(ji)(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)減(jian)(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)而(er)半(ban)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。加差(cha)(cha)(cha)于并(bing)(bing)(bing)(bing)而(er)半(ban)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。其(qi)(qi)(qi)倍玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣袤(mao)合。令(ling)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)見者自(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)其(qi)(qi)(qi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。四實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)以(yi)(yi)(yi)減(jian)(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)其(qi)(qi)(qi)余，所(suo)得為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)差(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)減(jian)(jian)合半(ban)其(qi)(qi)(qi)余為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)廣。減(jian)(jian)廣于玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)即(ji)(ji)所(suo)求也。”

用(yong)現代的(de)數(shu)學語言描(miao)述就(jiu)是黃(huang)實的(de)面積等于大正方形的(de)面積減去四個朱實的(de)面積。

2002年第24屆國際數學家大會（ICM）的會標(biao)即為該圖。

加菲爾德證法

加(jia)菲爾德在證(zheng)出此結論5年(nian)后，成為美國(guo)第(di)20任(ren)總統，所以(yi)人們又稱其為“總統證(zheng)法”。

在直角梯形ABDE中(zhong)，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，，

∵

加菲爾德證(zheng)法變式(shi)

該(gai)證(zheng)(zheng)明(ming)為加菲爾(er)德證(zheng)(zheng)法(fa)的變(bian)式。

如果將大正(zheng)方(fang)形(xing)邊長為c的(de)小正(zheng)方(fang)形(xing)沿(yan)對角線切(qie)開(kai)，則(ze)回到了(le)加菲爾德證(zheng)法(fa)。相反(fan)，若將上圖中兩個梯形(xing)拼在一(yi)起，就變為了(le)此證(zheng)明方(fang)法(fa)。

大正方形的面(mian)積(ji)(ji)等于中(zhong)間正方形的面(mian)積(ji)(ji)加上(shang)四個三角形的面(mian)積(ji)(ji)，即：

青朱出入圖

青朱出入圖，是東漢末(mo)年(nian)數學家劉(liu)徽根據“割補術”運(yun)用數形關系證(zheng)明(ming)勾(gou)股(gu)定理的幾何證(zheng)明(ming)法(fa)，特色鮮明(ming)、通俗易(yi)懂。

劉徽描述此(ci)圖，“勾自乘為(wei)朱(zhu)方(fang)(fang)，股(gu)(gu)自乘為(wei)青(qing)(qing)方(fang)(fang)，令出入(ru)相補(bu)，各從(cong)其(qi)(qi)類，因就其(qi)(qi)余不(bu)動也，合(he)(he)成弦方(fang)(fang)之(zhi)(zhi)冪(mi)。開方(fang)(fang)除(chu)之(zhi)(zhi)，即弦也。”其(qi)(qi)大意為(wei)，一個任意直(zhi)角三角形(xing)，以(yi)勾寬作(zuo)紅(hong)色(se)正方(fang)(fang)形(xing)即朱(zhu)方(fang)(fang)，以(yi)股(gu)(gu)長作(zuo)青(qing)(qing)色(se)正方(fang)(fang)形(xing)即青(qing)(qing)方(fang)(fang)。將朱(zhu)方(fang)(fang)、青(qing)(qing)方(fang)(fang)兩個正方(fang)(fang)形(xing)對(dui)齊底(di)邊排列，再以(yi)盈(ying)補(bu)虛，分割線內不(bu)動，線外則“各從(cong)其(qi)(qi)類”，以(yi)合(he)(he)成弦的正方(fang)(fang)形(xing)即弦方(fang)(fang)，弦方(fang)(fang)開方(fang)(fang)即為(wei)弦長。

歐幾里得證法

在(zai)歐幾里得的(de)《幾何原本(ben)》一(yi)書中(zhong)給(gei)出勾(gou)股定(ding)理(li)的(de)以下證明。設(she)△ABC為一(yi)直(zhi)角(jiao)三角(jiao)形(xing)，其中(zhong)A為直(zhi)角(jiao)。從A點畫一(yi)直(zhi)線至對(dui)(dui)邊(bian)，使其垂直(zhi)于對(dui)(dui)邊(bian)。延(yan)長此線把對(dui)(dui)邊(bian)上(shang)的(de)正方形(xing)一(yi)分(fen)為二，其面積分(fen)別與其余兩(liang)個正方形(xing)相等(deng)。

在這(zhe)個定理的(de)證明中，我們需要如(ru)下四個輔助定理：

如果兩個(ge)三(san)角(jiao)(jiao)形有(you)兩組對(dui)應邊和(he)這兩組邊所夾的角(jiao)(jiao)相(xiang)等，則兩三(san)角(jiao)(jiao)形全等。（SAS）

三角形(xing)面積是任(ren)一同底同高之(zhi)平行四邊形(xing)面積的一半。

任(ren)意(yi)一個正方(fang)形的面積等(deng)于其二(er)邊長的乘積。

任意一個矩形的(de)(de)面積等于其(qi)二邊長的(de)(de)乘(cheng)積（據輔助定理(li)3）。

證明的(de)(de)思(si)路為(wei)：從(cong)A點畫一直線至對邊，使其垂直于(yu)對邊。延長此線把(ba)(ba)對邊上(shang)的(de)(de)正(zheng)方形一分為(wei)二(er)，把(ba)(ba)上(shang)方的(de)(de)兩個正(zheng)方形，通過等(deng)高同底(di)的(de)(de)三角形，以其面積(ji)關系，轉換成下(xia)方兩個同等(deng)面積(ji)的(de)(de)長方形。

設△ABC為(wei)一直(zhi)(zhi)角三角形，其(qi)直(zhi)(zhi)角為(wei)∠CAB。

其邊(bian)為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之(zhi)BD、CE的(de)平行線(xian)，分別(bie)垂直BC和DE于K、L。

分別(bie)連(lian)接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直(zhi)角，因此C、A和G共線(xian)，同理可證B、A和H共線(xian)。

∠CBD和∠FBA都是直(zhi)角，所以∠ABD=∠FBC。

因(yin)為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A與K和(he)L在同一直(zhi)線上，所以四(si)邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同(tong)一直線上，所以(yi)正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。

同(tong)理可證，四(si)邊形(xing)CKLE=ACIH=AC2。

把這兩個(ge)結(jie)果相加(jia)，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于(yu)CBDE是個正方形，因(yin)此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

此證明是于歐幾(ji)里得《幾(ji)何原本》一(yi)書(shu)第(di)1.47節所提出的。

由于這個定理(li)(li)的(de)證明依(yi)賴于平行公(gong)理(li)(li)，而且(qie)從這個定理(li)(li)可(ke)以推出平行公(gong)理(li)(li)，很多人質(zhi)疑平行公(gong)理(li)(li)是這個定理(li)(li)的(de)必要條件，一直到十(shi)九世(shi)紀嘗試否定第(di)五公(gong)理(li)(li)的(de)非歐(ou)幾何出現。

推廣

勾股數組

勾(gou)股(gu)數組(zu)是滿(man)足(zu)勾(gou)股(gu)定(ding)理(li)的正整數組(zu)，其中(zhong)的稱(cheng)為勾(gou)股(gu)數。例如(ru)就是一組(zu)勾(gou)股(gu)數組(zu)。

任意一(yi)組勾(gou)股數(shu)可以表示為如下(xia)形式：，，，其(qi)中均為正整數(shu)，且。

定理用途

已(yi)知(zhi)直角三(san)(san)(san)角形(xing)兩邊(bian)(bian)求(qiu)解第(di)三(san)(san)(san)邊(bian)(bian)，或(huo)(huo)者已(yi)知(zhi)三(san)(san)(san)角形(xing)的三(san)(san)(san)邊(bian)(bian)長度，證(zheng)明該(gai)三(san)(san)(san)角形(xing)為直角三(san)(san)(san)角形(xing)或(huo)(huo)用(yong)來(lai)證(zheng)明該(gai)三(san)(san)(san)角形(xing)內兩邊(bian)(bian)垂直。利用(yong)勾股定(ding)理求(qiu)線段長度這是(shi)勾股定(ding)理的最(zui)基本運用(yong)。

簡史

中國

公(gong)元(yuan)前(qian)十一(yi)(yi)世紀(ji)，數學家商高（西周初(chu)年人）就提出“勾三(san)、股(gu)四、弦五”。編(bian)寫于公(gong)元(yuan)前(qian)一(yi)(yi)世紀(ji)以前(qian)的《周髀算經(jing)》中(zhong)記(ji)錄著商高與(yu)周公(gong)的一(yi)(yi)段對(dui)話。商高說：“……故(gu)(gu)折矩，勾廣(guang)三(san)，股(gu)修四，經(jing)隅五。”意為(wei)：當(dang)直(zhi)(zhi)角(jiao)三(san)角(jiao)形的兩條直(zhi)(zhi)角(jiao)邊分別(bie)為(wei)3（勾）和4（股(gu)）時(shi)，徑隅（弦）則為(wei)5。以后人們(men)就簡單地把(ba)這個事實說成“勾三(san)股(gu)四弦五”，根據該典(dian)故(gu)(gu)稱勾股(gu)定理(li)為(wei)商高定理(li)。

公元三(san)世(shi)紀，三(san)國時代(dai)的趙(zhao)爽對《周(zhou)髀算經》內的勾(gou)股(gu)(gu)定理(li)作出了詳(xiang)細注釋，記錄(lu)于《九章算術(shu)》中(zhong)“勾(gou)股(gu)(gu)各自乘，并而開(kai)方(fang)(fang)除之，即(ji)弦”，趙(zhao)爽創(chuang)制(zhi)了一幅“勾(gou)股(gu)(gu)圓(yuan)方(fang)(fang)圖(tu)”，用數(shu)形結合得到方(fang)(fang)法，給出了勾(gou)股(gu)(gu)定理(li)的詳(xiang)細證明。后劉徽(hui)在劉徽(hui)注中(zhong)亦證明了勾(gou)股(gu)(gu)定理(li)。

在中國清朝(chao)末年，數學家華蘅(heng)芳提(ti)出了二(er)十多種對(dui)于勾(gou)股定理證法。

外國

遠在公元前約三千年的古巴(ba)比倫人(ren)就知道和應用勾(gou)股(gu)定理，他們還知道許多勾(gou)股(gu)數組。美國哥倫比亞大學圖書館內收(shou)藏(zang)著一塊編號為“普(pu)林頓322”的古巴(ba)比倫泥板(ban)，上面就記載了(le)很多勾(gou)股(gu)數。古埃及(ji)人(ren)在建筑宏偉(wei)的金字塔和測量尼羅河(he)泛濫后(hou)的土地時(shi)，也應用過勾(gou)股(gu)定理。

公元前(qian)六世紀，希臘數學(xue)家(jia)畢達(da)哥拉斯證明了勾股定(ding)理(li)，因而西方人都習(xi)慣地(di)稱這(zhe)個定(ding)理(li)為畢達(da)哥拉斯定(ding)理(li)。

公元(yuan)前(qian)4世紀，希臘(la)數學家歐幾里得(de)在(zai)《幾何原(yuan)本(ben)》（第Ⅰ卷，命題(ti)47）中(zhong)給出一個證明。

1876年(nian)4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教(jiao)育(yu)日志》上發表了他對勾股定理(li)的一(yi)個證法(fa)。

1940年《畢達哥拉斯命題》出版(ban)，收集了367種不(bu)同的(de)證(zheng)法(fa)。

意義

1．勾(gou)股(gu)定理的證明是論(lun)證幾何的發端(duan)。

2．勾股定理是(shi)歷史上第(di)一個把數與(yu)形聯(lian)系起(qi)來(lai)的(de)定理，即它(ta)是(shi)第(di)一個把幾何與(yu)代(dai)數聯(lian)系起(qi)來(lai)的(de)定理。

3．勾股定理導致了無理數(shu)的發現(xian)，引起(qi)第一次數(shu)學危機(ji)，大(da)大(da)加深了人們對數(shu)的理解。

4．勾股(gu)定(ding)理是(shi)歷(li)史上(shang)第(di)一個給出(chu)了完(wan)全解答的不定(ding)方程，它引出(chu)了費馬大定(ding)理。

5．勾(gou)(gou)股(gu)定理(li)是歐氏(shi)幾何(he)的(de)(de)(de)基礎定理(li)，并有巨大的(de)(de)(de)實用價值。這條定理(li)不僅(jin)在幾何(he)學中是一顆光(guang)彩奪目的(de)(de)(de)明(ming)珠，被譽為“幾何(he)學的(de)(de)(de)基石”，而(er)且在高等數(shu)學和其(qi)他(ta)科學領(ling)域也有著廣泛的(de)(de)(de)應(ying)用。1971年5月(yue)15日，尼加拉(la)瓜發行了(le)一套(tao)題為“改變世界(jie)面貌的(de)(de)(de)十個數(shu)學公式”郵票，這十個數(shu)學公式由著名數(shu)學家選出(chu)的(de)(de)(de)，勾(gou)(gou)股(gu)定理(li)是其(qi)中之首。