質(zhi)能(neng)方程即(ji)描述(shu)質(zhi)量(liang)(liang)與能(neng)量(liang)(liang)之(zhi)間的(de)當量(liang)(liang)關(guan)系的(de)方程。在(zai)經典物理學中,質(zhi)量(liang)(liang)和能(neng)量(liang)(liang)是(shi)兩個完全不同(tong)(tong)的(de)概念,它們之(zhi)間沒有(you)確定的(de)當量(liang)(liang)關(guan)系,一定質(zhi)量(liang)(liang)的(de)物體可(ke)以具有(you)不同(tong)(tong)的(de)能(neng)量(liang)(liang);能(neng)量(liang)(liang)概念也比較(jiao)局限,力學中有(you)動能(neng)、勢能(neng)等。
在狹(xia)義(yi)相(xiang)(xiang)對論(lun)中,能量(liang)(liang)概念有了推廣,質(zhi)(zhi)量(liang)(liang)和能量(liang)(liang)有確定的當量(liang)(liang)關(guan)系(xi),物體的質(zhi)(zhi)量(liang)(liang)為m,則相(xiang)(xiang)應(ying)的能量(liang)(liang)為E=mc2。
質(zhi)(zhi)(zhi)能(neng)方程(cheng)E=mc2,E表示能(neng)量(liang),m代表質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang),而c則表示光速(常(chang)量(liang),c=299792458m/s)。由阿爾伯特·愛因斯(si)坦提出。該(gai)方程(cheng)主要用來解釋核變反應(ying)中的質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)虧損和計(ji)算高能(neng)物理中粒子的能(neng)量(liang)。這也導致了(le)德布羅意波和波動力學(xue)的誕生。
質能(neng)方程表述如下:
其中,E是能量,單位(wei)是焦耳(J)。M是質量,單位(wei)是千克(ke)(kg)。C是真(zhen)空中光(guang)速(m/s),c=299792458m/s
該公式表明(ming)物(wu)體(ti)相(xiang)對于(yu)一個(ge)參照系(xi)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)時仍然有(you)能(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang),這(zhe)(zhe)是(shi)違(wei)反牛(niu)頓系(xi)統(tong)的(de)(de),因為在(zai)牛(niu)頓系(xi)統(tong)中,靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)物(wu)體(ti)是(shi)沒有(you)能(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)的(de)(de)。這(zhe)(zhe)就是(shi)為什么物(wu)體(ti)的(de)(de)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(liang)被稱為靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(liang)。公式中的(de)(de)E可以看(kan)成(cheng)是(shi)物(wu)體(ti)總(zong)能(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang),它(ta)與物(wu)體(ti)總(zong)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(liang)(該質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(liang)包括靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(liang)和(he)運動所帶來的(de)(de)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(liang))成(cheng)正比,只有(you)當物(wu)體(ti)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)時,它(ta)才(cai)與物(wu)體(ti)的(de)(de)(靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi))質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(liang)(牛(niu)頓系(xi)統(tong)中的(de)(de)'質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(liang)')成(cheng)正比。這(zhe)(zhe)也表明(ming)物(wu)體(ti)的(de)(de)總(zong)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(liang)和(he)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(liang)不同。
反過來講,一束光子在真空中傳播(bo),其靜止質量(liang)是0,但由于它(ta)們(men)有運動能量(liang),因此它(ta)們(men)也有質量(liang)。
表達形式1:
上式中(zhong)的(de)為物體的(de)靜止質量(liang),為物體的(de)靜止能(neng)量(liang)。中(zhong)學物理教材中(zhong)所講(jiang)的(de)質能(neng)方程含義與此表達式相同(tong),通常(chang)簡寫為。
表達形式2:
為(wei)隨運動(dong)速(su)度增(zeng)(zeng)大(da)而增(zeng)(zeng)大(da)了的質量(liang)。為(wei)物體運動(dong)時(shi)的能(neng)量(liang),即物體的靜止能(neng)量(liang)和(he)動(dong)能(neng)之和(he)。
表達形式3:
上(shang)(shang)式(shi)中的(de)(de)(de)Δm通常為物體(ti)靜止(zhi)質(zhi)量的(de)(de)(de)變化(hua),即質(zhi)量虧損。ΔE為物體(ti)靜止(zhi)能量的(de)(de)(de)變化(hua)。實際上(shang)(shang)這種(zhong)表(biao)達形(xing)(xing)(xing)式(shi)是表(biao)達形(xing)(xing)(xing)式(shi)1的(de)(de)(de)微分形(xing)(xing)(xing)式(shi).這種(zhong)表(biao)達形(xing)(xing)(xing)式(shi)最常用,也是學生最容易產生誤(wu)解的(de)(de)(de)表(biao)達形(xing)(xing)(xing)式(shi)。
注意:有(you)些術語使用中(zhong),質量單(dan)指靜(jing)(jing)止質量,因為(wei)總質量和(he)能量是等價的概念。若指代靜(jing)(jing)止質量,則公(gong)式(shi)應改寫為(wei)而,因此,也就是總質量的表達式(shi),其中(zhong)為(wei)洛倫茲(zi)因子。
推導1
首先要認可狹義相(xiang)對論(lun)的(de)兩個(ge)假(jia)設:1、任一(yi)光源(yuan)所發之球狀(zhuang)光在一(yi)切(qie)慣(guan)(guan)性參(can)照(zhao)系(xi)中(zhong)的(de)速度都各向(xiang)同性總為c。2、所有慣(guan)(guan)性參(can)考(kao)系(xi)內的(de)物理定律都是相(xiang)同的(de)。
如果你(ni)的行走(zou)速(su)(su)度(du)是(shi)v,你(ni)在(zai)一輛以(yi)速(su)(su)度(du)u行駛的公車(che)上(shang),那么當你(ni)與車(che)同向(xiang)(xiang)走(zou)時(shi)(shi)(shi),你(ni)對地面(mian)的速(su)(su)度(du)為u+v,反向(xiang)(xiang)時(shi)(shi)(shi)為u-v,你(ni)在(zai)車(che)上(shang)過了(le)1分(fen)鐘(zhong),別人在(zai)地上(shang)也(ye)(ye)過了(le)1分(fen)鐘(zhong)——這(zhe)就是(shi)我們腦袋里的常(chang)識(shi)。也(ye)(ye)是(shi)物理學中(zhong)著名的伽(jia)利略變換(huan),整個(ge)經典力學的支(zhi)柱。該理論認為空間是(shi)獨(du)立的,與在(zai)其(qi)中(zhong)運動的各(ge)種物體無關,而時(shi)(shi)(shi)間是(shi)均勻流(liu)逝的,線性(xing)的,在(zai)任(ren)何觀察(cha)者來看都是(shi)相同的。
而以(yi)上(shang)這個變換恰恰與(yu)狹義(yi)相對論的假設相矛盾。
事實(shi)上,在(zai)愛因斯坦提(ti)出(chu)狹義相對論之(zhi)前,人們就觀察到(dao)許多與常識(shi)不符的(de)現(xian)象(xiang)。物(wu)理學家洛倫(lun)茲(zi)為了修正(zheng)將(jiang)要傾倒的(de)經典物(wu)理學大廈,提(ti)出(chu)了洛倫(lun)茲(zi)變換,但他并不能解釋這(zhe)種(zhong)現(xian)象(xiang)為何(he)發生,只是根(gen)據當時的(de)觀察事實(shi)寫出(chu)的(de)經驗公式——洛倫(lun)茲(zi)變換——而它卻可以通過相對論的(de)純(chun)理論推導出(chu)來。
然(ran)后(hou)根(gen)據這個(ge)公(gong)式又(you)可(ke)以推導出質速關系,也就(jiu)是時間會隨(sui)速度(du)增加而(er)變(bian)慢,質量變(bian)大,長度(du)減小。
一(yi)個物體的(de)實際質量(liang)為其(qi)靜止質量(liang)與其(qi)通(tong)過運動多出來的(de)質量(liang)之和。
當外力(li)作用(yong)在靜止(zhi)質量為的自由質點(dian)上時,質點(dian)每經歷位移(yi),其(qi)動能(neng)的增量是,
如果外力與位移同方向,則上式(shi)成(cheng)為,
設(she)外力作用于質點的時間為,則(ze)質點在外力沖量作用下,其動(dong)量增量是,
考慮到,有上兩式(shi)相除,即得質點的速度表達式(shi)為,
亦即,
根據洛(luo)倫茲(zi)變(bian)換,得質量的變(bian)換公式為,兩邊平方得,
對速度求導:得
注意到等式右(you)邊(bian)為(wei)0,即上(shang)式可(ke)化為(wei)
代入上式得。
上(shang)式說明,當質點(dian)的(de)速(su)度v增大(da)時,其質量(liang)m和(he)動(dong)能Ek都在(zai)增加,質量(liang)的(de)增量(liang)dm和(he)動(dong)能的(de)增量(liang)之間(jian)始(shi)終保持所示的(de)量(liang)值上(shang)的(de)正比關系(xi)。
當時,質(zhi)量,動能,
據此,將上式積分,即得。
上式是相對論(lun)中(zhong)(zhong)的動能表達式。愛因斯坦在這里引入了(le)經(jing)典力學(xue)中(zhong)(zhong)從未有過的獨特見解,他把叫做(zuo)物體的靜止(zhi)能量(liang),把叫做(zuo)運動時(shi)的能量(liang),我們分別(bie)用(yong)和表示:,。
推導:
首先是狹義相對(dui)論得到
洛倫茲因子
所以,運動物體(ti)的質量
然后(hou)利用泰勒展(zhan)開(展(zhan)開后(hou)第二項(xiang)為(wei)(wei)零,此處為(wei)(wei)第一項(xiang)和第三項(xiang)):
得到
其中為靜止能,就是我們平時(shi)見到的在低速情況(kuang)下的動(dong)能,后(hou)面的是高階的能量。
(當可以測出時,由此公式可以計算出物體運動的(de)絕對速度。)
推導2
根(gen)據公式,運動時(shi)(shi)物體質(zhi)量(liang)(liang)增(zeng)(zeng)大,同時(shi)(shi)運動時(shi)(shi)將會有動能,質(zhi)量(liang)(liang)與動能均隨速度增(zeng)(zeng)大而(er)增(zeng)(zeng)大。
根(gen)據,得,因為,所(suo)以(yi),由易得。
將該式對(dui)和進行微分,得,代入得,對(dui)其積分,。
這就是相(xiang)對(dui)論下的動能公(gong)式。當速度為(wei)0,,動能為(wei)0。為(wei)物體(ti)靜止時的能量(liang),而總能量(liang)=靜止能量(liang)+動能,因(yin)此(ci)總能量(liang)。
這個等(deng)式源(yuan)于(yu)(yu)阿爾伯特(te)·愛因斯坦對(dui)于(yu)(yu)物體(ti)慣性和(he)它自身(shen)能(neng)(neng)量(liang)關系的(de)研(yan)究。研(yan)究的(de)著名結論就(jiu)是物體(ti)質量(liang)實際上就(jiu)是它自身(shen)能(neng)(neng)量(liang)的(de)量(liang)度(du)。為了(le)便于(yu)(yu)理解(jie)此(ci)關系的(de)重要(yao)性,可以(yi)比較一下電(dian)(dian)磁(ci)力(li)和(he)引力(li)。電(dian)(dian)磁(ci)學理論認為,能(neng)(neng)量(liang)包含于(yu)(yu)與力(li)相關而與電(dian)(dian)荷無關的(de)場(chang)(電(dian)(dian)場(chang)和(he)磁(ci)場(chang))中。在(zai)萬有(you)引力(li)理論中,能(neng)(neng)量(liang)包含于(yu)(yu)物質本(ben)身(shen)。因此(ci)物質質量(liang)能(neng)(neng)夠使時空扭(niu)曲,但其(qi)它三種基本(ben)相互作用(yong)(yong)(電(dian)(dian)磁(ci)相互作用(yong)(yong),強相互作用(yong)(yong),弱相互作用(yong)(yong))的(de)粒子卻不(bu)能(neng)(neng),這并不(bu)是偶然的(de)。
這個方程(cheng)對(dui)于原子彈的(de)(de)發展是關鍵性的(de)(de)。這不僅顯(xian)示(shi)可能通過輕(qing)核(he)的(de)(de)核(he)聚變和重核(he)的(de)(de)核(he)裂變釋放這個結合能,也(ye)可用于估算會(hui)釋放的(de)(de)結合能的(de)(de)量(liang)(liang)。注意質(zhi)子和中子的(de)(de)質(zhi)量(liang)(liang)還在那里(li),它們也(ye)代(dai)表了一個能量(liang)(liang)值。
一個著名的花絮(xu)是(shi)愛因斯坦最初將(jiang)方程寫為(用了一個“L",而不是(shi)“E"來表示(shi)能量,而E在其(qi)它地方也用來表示(shi)能量)。
重(zhong)要(yao)的(de)是(shi)要(yao)注意實(shi)際(ji)的(de)靜(jing)質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)到(dao)能(neng)量(liang)的(de)轉換(huan)不(bu)大可能(neng)是(shi)百分之百有效的(de)。一(yi)個(ge)理(li)論上(shang)完(wan)美的(de)轉化是(shi)物質(zhi)(zhi)(zhi)和(he)反物質(zhi)(zhi)(zhi)的(de)湮滅;對(dui)于多數情況(kuang),有很多帶靜(jing)質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)的(de)副產(chan)品(pin)而(er)不(bu)是(shi)能(neng)量(liang),因而(er)只有少量(liang)的(de)靜(jing)質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)真(zhen)正被轉換(huan)。在(zai)該方程(cheng)中(zhong),質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)就是(shi)能(neng)量(liang),但(dan)是(shi)為了簡明(ming)起(qi)見,轉換(huan)這個(ge)詞常(chang)常(chang)被用(yong)于代替質(zhi)(zhi)(zhi)能(neng)等價(jia)關系,實(shi)際(ji)上(shang)通常(chang)所(suo)指的(de)一(yi)般是(shi)靜(jing)質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)和(he)能(neng)量(liang)的(de)轉換(huan)。