傅里葉變換，表(biao)示能(neng)將滿足一定條(tiao)件(jian)的某個函數(shu)表(biao)示成三角(jiao)函數(shu)（正弦(xian)和/或余(yu)弦(xian)函數(shu)）或者它們的積分的線(xian)性組合。
在不(bu)同(tong)的(de)研究(jiu)領域，傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換具有多(duo)種不(bu)同(tong)的(de)變(bian)體(ti)形式，如連續傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換和(he)離散傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換。最初傅里(li)(li)葉(xie)(xie)分(fen)析是(shi)作為熱過程的(de)解析分(fen)析的(de)工具被提出的(de)。
設f∈，則(ze)其(qi)傅里葉(xie)變(bian)換為(wei)上的函數，定義為(wei)
且稱為傅里葉(xie)級數。
收斂性
f到的傅(fu)里葉(xie)映射為(wei)，且，且f的傅(fu)里葉(xie)級(ji)數(shu)在L2范數(shu)下收斂于f。
對稱性質
若 ，則。
奇偶性質
若 ，且 ，其(qi)中 表示 的實部， 表示 的虛部，則 是(shi)關于(yu) 的偶(ou)函數，的模是(shi)關于(yu)的偶(ou)函數，輻角是(shi)關于(yu)的奇函數。
線性性質
若，，則
其中α和(he)β為常數(shu)。
時移性質
若，則。
頻移性質
若，則。
尺度變換性質
若，則。
卷積定理
時(shi)域(yu)卷積定理：若，，則；
頻域卷(juan)積(ji)定(ding)理(li)：若(ruo)，，則(ze)。
時域微積分
微分性質(zhi)：若，則，；
積分性質(zhi)：若(ruo)，則。
頻域微積分
微分性質：若(ruo)，則；
積分性質：若，則。
盡管最初傅里(li)葉(xie)分析(xi)是(shi)作為熱過(guo)程的(de)(de)(de)(de)解析(xi)分析(xi)的(de)(de)(de)(de)工具(ju)，但是(shi)其思想方法仍然具(ju)有典型(xing)的(de)(de)(de)(de)還原論(lun)和分析(xi)主(zhu)義(yi)的(de)(de)(de)(de)特征。"任(ren)意(yi)"的(de)(de)(de)(de)函數通過(guo)一定的(de)(de)(de)(de)分解，都(dou)能夠表示為正(zheng)弦函數的(de)(de)(de)(de)線(xian)性組合的(de)(de)(de)(de)形式(shi)，而(er)正(zheng)弦函數在物理上(shang)是(shi)被充分研究而(er)相對簡單的(de)(de)(de)(de)函數類(lei)，這一想法跟化學上(shang)的(de)(de)(de)(de)原子論(lun)想法何其相似！奇妙的(de)(de)(de)(de)是(shi)，現代數學發現傅里(li)葉(xie)變換具(ju)有非常好的(de)(de)(de)(de)性質，使得它如此的(de)(de)(de)(de)好用(yong)和有用(yong)，讓人不(bu)得不(bu)感嘆造(zao)物的(de)(de)(de)(de)神奇：
傅(fu)里葉變換是(shi)線(xian)性(xing)算子，若賦予適當的范數，它還是(shi)酉算子；
傅里葉變換的逆變換容(rong)易求出，而且形式(shi)與(yu)正變換非常類似；
正弦(xian)基函數是微(wei)分(fen)(fen)運(yun)算的(de)(de)(de)本征函數，從而(er)使得線性(xing)(xing)微(wei)分(fen)(fen)方程(cheng)的(de)(de)(de)求(qiu)解(jie)可(ke)以(yi)(yi)轉化(hua)為常(chang)系數的(de)(de)(de)代數方程(cheng)的(de)(de)(de)求(qiu)解(jie).在線性(xing)(xing)時不變(bian)的(de)(de)(de)物理系統內，頻率(lv)是個不變(bian)的(de)(de)(de)性(xing)(xing)質，從而(er)系統對于復雜激勵(li)的(de)(de)(de)響應(ying)可(ke)以(yi)(yi)通過組合其對不同頻率(lv)正弦(xian)信號的(de)(de)(de)響應(ying)來(lai)獲取；
著(zhu)名的卷(juan)積定理(li)指出(chu)：傅里(li)葉變換可以化復雜(za)的卷(juan)積運算為簡(jian)單的乘(cheng)積運算，從(cong)而(er)提供了計算卷(juan)積的一種簡(jian)單手(shou)段；
離(li)散形式的傅里葉變換可以利用數字計算機快(kuai)速(su)的算出（其算法(fa)稱為(wei)快(kuai)速(su)傅里葉變換算法(fa)（FFT)).
正是由于(yu)上述(shu)的良好性質，傅里(li)葉變換(huan)在物理(li)學(xue)、數論(lun)、組合數學(xue)、信號處理(li)、概率、統計、密碼學(xue)、聲學(xue)、光學(xue)等領(ling)域都有著(zhu)廣泛的應用(yong)。
傅(fu)里葉(xie)變(bian)換是(shi)(shi)數字信號處理中的(de)基(ji)本操作，廣泛應用于(yu)表述(shu)及分析離散時(shi)域信號領域。但由于(yu)其運算(suan)(suan)量與變(bian)換點(dian)(dian)數N的(de)平方成正比關系(xi)，因此，在(zai)N較(jiao)大(da)時(shi)，直接應用DFT算(suan)(suan)法(fa)進行譜變(bian)換是(shi)(shi)不切(qie)合實(shi)際的(de)。然而(er)，快速傅(fu)里葉(xie)變(bian)換技術的(de)出現使情況發生了根本性的(de)變(bian)化。本文主要描述(shu)了采用FPGA來(lai)實(shi)現2k/4k/8k點(dian)(dian)FFT的(de)設計方法(fa)。
一般情況下，N點的傅里葉變換對為：
其中(zhong)，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和(he)x(n）都(dou)為(wei)復數(shu)。與之(zhi)相對的(de)(de)快速(su)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換有很多(duo)(duo)種，如(ru)DIT（時(shi)域抽取(qu)法(fa)）、DIF（頻域抽取(qu)法(fa)）、Cooley－Tukey和(he)Winograd等。對于2n傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換，Cooley－Tukey算(suan)(suan)法(fa)可(ke)導出DIT和(he)DIF算(suan)(suan)法(fa)。本(ben)文運用的(de)(de)基(ji)本(ben)思(si)想是Cooley－Tukey算(suan)(suan)法(fa)，即將高點(dian)數(shu)的(de)(de)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換通過(guo)多(duo)(duo)重低點(dian)數(shu)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換來實現。雖然(ran)DIT與DIF有差別，但由(you)于它們在(zai)本(ben)質上都(dou)是一種基(ji)于標號(hao)分(fen)(fen)解(jie)的(de)(de)算(suan)(suan)法(fa)，故(gu)在(zai)運算(suan)(suan)量(liang)和(he)算(suan)(suan)法(fa)復雜性等方面完全一樣，而(er)沒有性能上的(de)(de)優劣之(zhi)分(fen)(fen)，所以(yi)可(ke)以(yi)根據需要任取(qu)其中(zhong)一種，本(ben)文主要以(yi)DIT方法(fa)為(wei)對象(xiang)來討論。
N=8192點DFT的運算表達式為：
式中(zhong)，m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2，k=2048k1+k2）其中(zhong)n1和(he)(he)k2可(ke)取0,1，．．．，2047,k1和(he)(he)n2可(ke)取0,1,2,3。
由(you)(you)式（3）可(ke)知，8k傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)可(ke)由(you)(you)4×2k的(de)(de)傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)。同理，4k傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)可(ke)由(you)(you)2×2k的(de)(de)傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)。而2k傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)可(ke)由(you)(you)128×16的(de)(de)傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)。128的(de)(de)傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)可(ke)進一步(bu)由(you)(you)16×8的(de)(de)傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)，歸根結底(di)，整(zheng)個(ge)(ge)傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)可(ke)由(you)(you)基(ji)(ji)2、基(ji)(ji)4的(de)(de)傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)。2k的(de)(de)FFT可(ke)以(yi)通過(guo)5個(ge)(ge)基(ji)(ji)4和1個(ge)(ge)基(ji)(ji)2變(bian)換(huan)來實現；4k的(de)(de)FFT變(bian)換(huan)可(ke)通過(guo)6個(ge)(ge)基(ji)(ji)4變(bian)換(huan)來實現；8k的(de)(de)FFT可(ke)以(yi)通過(guo)6個(ge)(ge)基(ji)(ji)4和1個(ge)(ge)基(ji)(ji)2變(bian)換(huan)來實現。也就(jiu)是說：FFT的(de)(de)基(ji)(ji)本結構(gou)(gou)可(ke)由(you)(you)基(ji)(ji)2/4模塊、復數乘法器(qi)、存儲(chu)單元和存儲(chu)器(qi)控制模塊構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)，其(qi)整(zheng)體(ti)結構(gou)(gou)如(ru)圖1所示。
RAM用(yong)來存(cun)儲(chu)(chu)輸入數據、運(yun)算(suan)過(guo)程中的中間(jian)結(jie)果(guo)以及(ji)(ji)運(yun)算(suan)完成后(hou)(hou)的數據，ROM用(yong)來存(cun)儲(chu)(chu)旋轉(zhuan)因子表。蝶形運(yun)算(suan)單元即為基2/4模塊，控制(zhi)模塊可用(yong)于產生控制(zhi)時(shi)序及(ji)(ji)地址信號(hao)，以控制(zhi)中間(jian)運(yun)算(suan)過(guo)程及(ji)(ji)最(zui)后(hou)(hou)輸出結(jie)果(guo)。
基(ji)4和基(ji)2的信號流如圖(tu)2所示。圖(tu)中，若A=r0+j*i0，B=r1+j*i1，C=r2+j*i2，D=r3+j*i3是要進(jin)行變換的信號，Wk0=c0+j*s0=1，Wk1=c1+j*s1，Wk2=c2+j*s2，Wk3=c3+j*s3為(wei)旋轉因子，將其分別代(dai)入圖(tu)2中的基(ji)4蝶形運(yun)算單元，則(ze)有：
A′=[r0+(r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2)+(r3×c3－i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? （4）
B′=[r0+(i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2）－（i3×c3+r3×s3)]+j[i0－（r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2)+(r3×c3－i3×s3)] (5）
C′=[r0－（r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]+j[i0－（i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2）－（i3×c3+r3×s3)] （6）
D′=[r0－（i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]? （7）
而在基(ji)2蝶形(xing)中，Wk0和(he)Wk2的值(zhi)均為(wei)1，這樣，將A，B，C和(he)D的表達式代(dai)入圖2中的基(ji)2運算(suan)的四個等式中，則(ze)有(you)：
A′=r0+(r1×c1－i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? （8）
B′=r0－ (r1×c1－i1×s1)+j[i0－（i1×c1+r1×s1)] （9）
C′=r2+(r3×c3－i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? （10）
D′=r2－（r3×c3－i3×s3)+j[i0－（i3×c3+r3×s3)]? （11）
在(zai)(zai)上述(shu)式(shi)（4）～（11）中有很多類(lei)同(tong)(tong)項，如i1×c1+r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它們僅(jin)(jin)僅(jin)(jin)是(shi)加減號的(de)不同(tong)(tong)，其結(jie)構(gou)和運算(suan)均類(lei)似(si)，這(zhe)就為簡化電路(lu)提(ti)供了(le)可能。同(tong)(tong)時(shi)，在(zai)(zai)蝶形運算(suan)中，復(fu)數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)可以由實數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)以一定的(de)格式(shi)來表示，這(zhe)也為設計復(fu)數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)器提(ti)供了(le)一種實現的(de)途徑(jing)。
以基(ji)4為例，在其(qi)運算單元中，實際上只(zhi)需做三(san)個(ge)復(fu)數乘法(fa)運算，即只(zhi)須計算BWk1、CWk2和(he)DWk3的值即可，這樣在一(yi)個(ge)基(ji)4蝶形單元里面，最多只(zhi)需要(yao)3個(ge)復(fu)數乘法(fa)器就(jiu)可以了。在實際過(guo)程中，在不(bu)提高時鐘頻(pin)率下(xia)，只(zhi)要(yao)將時序控制好?便(bian)可利用流水(shui)線（Pipeline）技(ji)術并只(zhi)用一(yi)個(ge)復(fu)數乘法(fa)器就(jiu)可完(wan)成這三(san)個(ge)復(fu)數乘法(fa)，大大節(jie)省(sheng)了硬件資源。
FFT變(bian)換后輸出的結果(guo)通(tong)常為一(yi)特定(ding)的倒(dao)序。因此(ci)，幾級變(bian)換后對地址的控制(zhi)必須準確無誤。
倒序的規(gui)律是和分解的方式密切相關的，以基8為例，其基本倒序規(gui)則(ze)如下：
基(ji)8可(ke)(ke)以用(yong)2×2×2三級基(ji)2變(bian)換來表(biao)(biao)示，則其輸(shu)入順序則可(ke)(ke)用(yong)二(er)進制序列(lie)（n1 n2 n3）來表(biao)(biao)示，變(bian)換結束后，其順序將(jiang)變(bian)為（n3 n2 n1），如：X?011 → x?110 ，即輸(shu)入順序為3，輸(shu)出時(shi)順序變(bian)為6。
更進(jin)一步(bu)，對(dui)(dui)于基16的(de)變換(huan)，可(ke)由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式來(lai)構成，相對(dui)(dui)于不同(tong)的(de)分解(jie)形式，往往會有不同(tong)的(de)倒序方式。以4×4為(wei)例，其輸(shu)入順序可(ke)以用二進(jin)制序列（n1 n2 n3n4）來(lai)表示變換(huan)結束后，其順序可(ke)變為(wei)（（n3 n4）（n1 n2）），如：X?0111 → x?1101 。即(ji)輸(shu)入順序為(wei)7，輸(shu)出時順序變為(wei)13。
在2k/4k/8k的(de)傅里葉變換中，由于(yu)要經過(guo)多次(ci)的(de)基(ji)4和基(ji)2運算(suan)(suan)，因此(ci)，從每次(ci)運算(suan)(suan)完成后(hou)到進入(ru)下一(yi)次(ci)運算(suan)(suan)前，應對運算(suan)(suan)的(de)結果(guo)進行(xing)倒序，以保(bao)證運算(suan)(suan)的(de)正確性。
N點傅(fu)里葉(xie)變(bian)換(huan)的旋(xuan)轉因子有著明顯的周期性和對稱性。其周期性表現為：
FFT之所以(yi)可(ke)使運算效率得到提(ti)高，就(jiu)是利用(yong)了對稱(cheng)性和(he)周期性把長序(xu)列的DFT逐級(ji)分解(jie)成幾(ji)個序(xu)列的DFT，并最終以(yi)短點數變換來實(shi)現長點數變換。
根據旋(xuan)轉(zhuan)因子(zi)的對(dui)稱性(xing)和(he)周期性(xing)，在利用(yong)ROM存儲(chu)(chu)旋(xuan)轉(zhuan)因子(zi)時(shi)，可(ke)以只存儲(chu)(chu)旋(xuan)轉(zhuan)因子(zi)表的一部(bu)分，而在讀出時(shi)增加(jia)讀出地址及符號(hao)的控制(zhi)，這樣可(ke)以正確實現FFT。因此(ci)，充分利用(yong)旋(xuan)轉(zhuan)因子(zi)的性(xing)質，可(ke)節(jie)省70%以上存儲(chu)(chu)單(dan)元。
實(shi)際上，由(you)于旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)因(yin)(yin)子(zi)可(ke)分解為正(zheng)、余弦函(han)數的組合，故ROM中(zhong)存的值為正(zheng)、余弦函(han)數值的組合。對2k/4k/8k的傅里(li)葉變換(huan)來說，只是對一個周期進行不(bu)同的分割。由(you)于8k變換(huan)的旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)因(yin)(yin)子(zi)包括(kuo)了(le)2k/4k的所有因(yin)(yin)子(zi)，因(yin)(yin)此，實(shi)現時只要對讀ROM的地址進行控制，即可(ke)實(shi)現2k/4k/8k變換(huan)的通(tong)用。
因(yin)FFT是為時序電路而設(she)計的(de)(de)(de)，因(yin)此，控(kong)制信號(hao)要(yao)包(bao)括時序的(de)(de)(de)控(kong)制信號(hao)及存儲器的(de)(de)(de)讀寫(xie)地址，并產(chan)生各種輔助的(de)(de)(de)指示(shi)信號(hao)。同時在(zai)計算模塊的(de)(de)(de)內部，為保證(zheng)高速，所有的(de)(de)(de)乘法器都須始終保持(chi)較(jiao)高的(de)(de)(de)利用率。這意(yi)味著在(zai)每一(yi)個時鐘(zhong)來(lai)臨時都要(yao)向這些單元輸入新(xin)的(de)(de)(de)操作(zuo)數，而這一(yi)切都需要(yao)控(kong)制信號(hao)的(de)(de)(de)緊(jin)密配合。
為了實(shi)現FFT的(de)流形運算，在(zai)運算的(de)同時(shi)，存(cun)儲器(qi)也要接(jie)收數據(ju)。這可以采用乒乓RAM的(de)方(fang)法(fa)來完成。這種(zhong)方(fang)式決定了實(shi)現FFT運算的(de)最大(da)時(shi)間。對于4k操作，其接(jie)收時(shi)間為4096個數據(ju)周期,這樣FFT的(de)最大(da)運算時(shi)間就是4096個數據(ju)周期。另外，由于輸(shu)入數據(ju)是以一定的(de)時(shi)鐘為周期依(yi)(yi)次(ci)輸(shu)入的(de)，故在(zai)進行內部運算時(shi)，可以用較高(gao)的(de)內部時(shi)鐘進行運算，然后再存(cun)入RAM依(yi)(yi)次(ci)輸(shu)出。
為節省資(zi)源，可(ke)對(dui)存(cun)儲數據(ju)RAM采用原址讀(du)出(chu)原址寫入的(de)(de)方法，即在進行(xing)下一級變換的(de)(de)同時，首先(xian)應將結果回寫到(dao)讀(du)出(chu)數據(ju)的(de)(de)RAM存(cun)貯(zhu)器中；而對(dui)于ROM，則應采用與運算的(de)(de)數據(ju)相對(dui)應的(de)(de)方法來讀(du)出(chu)存(cun)儲器中旋轉因子的(de)(de)值。
在2k/4k/8k傅(fu)里葉變換中，要實現通用(yong)性(xing)，控制(zhi)器是最(zui)主(zhu)要的(de)(de)模塊(kuai)。2k、4k、8k變換具有(you)(you)不(bu)(bu)同(tong)的(de)(de)內(nei)部運(yun)算時間和存(cun)(cun)儲器地(di)址，在設(she)計(ji)中，針對(dui)(dui)不(bu)(bu)同(tong)的(de)(de)點數應設(she)計(ji)不(bu)(bu)同(tong)的(de)(de)存(cun)(cun)儲器存(cun)(cun)取(qu)地(di)址，同(tong)時，在完(wan)成變換后，還要對(dui)(dui)開(kai)始輸(shu)出有(you)(you)用(yong)信號的(de)(de)時刻進行指示。
Fourier transform或(huo)Transformée de Fourier有(you)多個中文譯名，常見的有(you)“傅(fu)里葉(xie)變換(huan)(huan)(huan)”、“付立葉(xie)變換(huan)(huan)(huan)”、“傅(fu)立葉(xie)轉(zhuan)換(huan)(huan)(huan)”、“傅(fu)氏(shi)轉(zhuan)換(huan)(huan)(huan)”、“傅(fu)氏(shi)變換(huan)(huan)(huan)”、等(deng)等(deng)。
傅里(li)葉變換是一種(zhong)分析(xi)(xi)信號(hao)(hao)的方法，它可(ke)分析(xi)(xi)信號(hao)(hao)的成(cheng)分，也可(ke)用這些成(cheng)分合成(cheng)信號(hao)(hao)。許多(duo)波(bo)形可(ke)作為(wei)信號(hao)(hao)的成(cheng)分，比如正(zheng)弦波(bo)、方波(bo)、鋸齒波(bo)等，傅里(li)葉變換用正(zheng)弦波(bo)作為(wei)信號(hao)(hao)的成(cheng)分。
f(t)是t的(de)周(zhou)期(qi)(qi)函數(shu)，如(ru)果t滿足狄利克雷(lei)條件：在一(yi)個(ge)以2T為周(zhou)期(qi)(qi)內(nei)f(X)連續或只有(you)(you)(you)有(you)(you)(you)限個(ge)第一(yi)類(lei)間斷(duan)點，附(fu)f（x）單調或可劃分(fen)成(cheng)有(you)(you)(you)限個(ge)單調區間，則F（x）以2T為周(zhou)期(qi)(qi)的(de)傅里(li)葉級數(shu)收(shou)斂(lian)，和函數(shu)S（x）也(ye)是以2T為周(zhou)期(qi)(qi)的(de)周(zhou)期(qi)(qi)函數(shu)，且在這(zhe)些間斷(duan)點上，函數(shu)是有(you)(you)(you)限值；在一(yi)個(ge)周(zhou)期(qi)(qi)內(nei)具(ju)有(you)(you)(you)有(you)(you)(you)限個(ge)極(ji)值點；絕對(dui)可積(ji)。則有(you)(you)(you)下圖①式(shi)成(cheng)立。稱(cheng)為積(ji)分(fen)運算(suan)f(t)的(de)傅里(li)葉變換，
②式的(de)積(ji)分運算叫(jiao)做F(ω)的(de)傅里葉逆(ni)變換。F(ω)叫(jiao)做f(t)的(de)象(xiang)函數，f(t)叫(jiao)做
F(ω)的(de)象原函數。F(ω)是(shi)f(t)的(de)象。f(t)是(shi)F(ω)原象。
①傅里葉變換
②傅里葉逆變換
傅里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)在物理學(xue)、電子類學(xue)科、數論(lun)、組合數學(xue)、信號處理、概率(lv)論(lun)、統(tong)計(ji)學(xue)、密碼(ma)學(xue)、聲學(xue)、光學(xue)、海洋學(xue)、結構動力學(xue)等領(ling)域都有(you)著(zhu)廣泛的應(ying)用（例如在信號處理中，傅里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)的典型用途是(shi)將信號分(fen)解成(cheng)頻(pin)率(lv)譜(pu)——顯示與頻(pin)率(lv)對應(ying)的幅(fu)值(zhi)大小）。
* 傅(fu)里葉變換屬于諧波(bo)分析。
* 傅里葉變(bian)(bian)換的逆(ni)變(bian)(bian)換容易求出(chu)，而且形式(shi)與正變(bian)(bian)換非常(chang)類似;
* 正(zheng)弦基(ji)函(han)數(shu)是(shi)微分運算的(de)(de)(de)本(ben)征函(han)數(shu)，從(cong)而使得線(xian)性(xing)微分方程的(de)(de)(de)求解可以(yi)轉化為常(chang)系(xi)數(shu)的(de)(de)(de)代數(shu)方程的(de)(de)(de)求解.在線(xian)性(xing)時不(bu)變(bian)的(de)(de)(de)物理系(xi)統內，頻率是(shi)個不(bu)變(bian)的(de)(de)(de)性(xing)質，從(cong)而系(xi)統對于復(fu)雜激(ji)勵的(de)(de)(de)響應可以(yi)通過組合其對不(bu)同頻率正(zheng)弦信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)響應來(lai)獲取；
*卷(juan)積定理指出：傅(fu)里葉變換(huan)可以化復雜的卷(juan)積運算為簡(jian)單(dan)(dan)的乘(cheng)積運算，從而提供了計(ji)算卷(juan)積的一種簡(jian)單(dan)(dan)手段(duan)；
* 離散形式的(de)傅(fu)里葉(xie)變(bian)換可以利用數(shu)字計算(suan)機快速(su)地算(suan)出（其算(suan)法稱為快速(su)傅(fu)里葉(xie)變(bian)換算(suan)法（FFT)).
一般情(qing)況(kuang)下，若“傅里葉變(bian)(bian)(bian)換”一詞的(de)前(qian)面(mian)未加任何限定語，則指的(de)是“連續傅里葉變(bian)(bian)(bian)換”。“連續傅里葉變(bian)(bian)(bian)換”將平方可積的(de)函數(shu) 表示成(cheng)復指數(shu)函數(shu)的(de)積分形式：
上式其實表示(shi)的(de)(de)(de)是連續(xu)傅(fu)里(li)葉變(bian)(bian)換的(de)(de)(de)逆變(bian)(bian)換，即將(jiang)時(shi)間(jian)域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)表示(shi)為頻(pin)率(lv)域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu) 的(de)(de)(de)積分。反(fan)過(guo)來，其正變(bian)(bian)換恰好(hao)是將(jiang)頻(pin)率(lv)域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu) 表示(shi)為時(shi)間(jian)域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu) 的(de)(de)(de)積分形式。一(yi)般可(ke)稱(cheng)函(han)數(shu)(shu) 為原(yuan)函(han)數(shu)(shu)，而稱(cheng)函(han)數(shu)(shu) 為傅(fu)里(li)葉變(bian)(bian)換的(de)(de)(de)像函(han)數(shu)(shu)，原(yuan)函(han)數(shu)(shu)和像函(han)數(shu)(shu)構成(cheng)一(yi)個傅(fu)里(li)葉變(bian)(bian)換對（transform pair）。
當(dang) 為奇函數（或偶函數）時，其(qi)余弦(xian)（或正弦(xian)）分量(liang)為零，而可(ke)以稱這時的變換(huan)為余弦(xian)變換(huan)（或正弦(xian)變換(huan)）。
主條目：傅里葉級(ji)數
連續形式的(de)傅里葉變(bian)換其實是(shi)傅里葉級(ji)數(shu)的(de)推(tui)廣，因為積分其實是(shi)一種極限形式的(de)求(qiu)和算子而已。對于周期函數(shu)，它的(de)傅里葉級(ji)數(shu)（Fourier series）表示被定義為：
其(qi)中 為函數的周期(qi)， 為傅里葉(xie)展開(kai)系數，它們等于
對于實值函數，函數的傅里葉級(ji)數可(ke)以(yi)寫成：
其中 和 是實頻率分(fen)量的(de)振幅。
主(zhu)條(tiao)目：離(li)散(san)時間傅里葉(xie)變(bian)換(huan)
離散時間(jian)傅(fu)里葉變換（discrete-time Fourier transform, DTFT）針對(dui)的是定義(yi)(yi)域(yu)為Z的數列。設(she) 為某(mou)一(yi)數列，則(ze)其DTFT被定義(yi)(yi)為
DTFT在時域(yu)(yu)上離散，在頻(pin)域(yu)(yu)上則是周期的(de)，它一般用來對離散時間信(xin)號進行頻(pin)譜(pu)分(fen)析。DTFT可以被看作是傅里葉級數的(de)逆。
為(wei)了在科學計(ji)算和數字信號處(chu)理等領域使用計(ji)算機進行(xing)傅(fu)里葉變換(huan)，必須將函數定(ding)義在離散點上而非連續域內，且(qie)須滿足(zu)有限性或周期性條件(jian)。這(zhe)種(zhong)情況下，序(xu)列 的離散傅(fu)里葉變換(huan)（discrete Fourier transform, DFT）為(wei)
直接使用(yong)(yong)DFT的定義(yi)計(ji)(ji)算(suan)的計(ji)(ji)算(suan)復(fu)雜度為(wei)(wei) ，而快速傅里葉變換（fast Fourier transform, FFT）可以(yi)(yi)將復(fu)雜度改(gai)進為(wei)(wei) 。計(ji)(ji)算(suan)復(fu)雜度的降低以(yi)(yi)及(ji)數字電路(lu)計(ji)(ji)算(suan)能力的發展使得(de)DFT成為(wei)(wei)在信號(hao)處理領域(yu)十(shi)分實用(yong)(yong)且重(zhong)要的方法。
在阿(a)貝爾群(qun)上的統一描(miao)述
以(yi)上(shang)各種(zhong)傅(fu)里葉變(bian)換(huan)可以(yi)被更統一(yi)(yi)的(de)表述成任意局部緊致的(de)阿(a)貝爾群(qun)上(shang)的(de)傅(fu)里葉變(bian)換(huan)。這一(yi)(yi)問題屬于(yu)調(diao)和(he)分析的(de)范疇。在調(diao)和(he)分析中，一(yi)(yi)個(ge)(ge)變(bian)換(huan)從(cong)一(yi)(yi)個(ge)(ge)群(qun)變(bian)換(huan)到它的(de)對偶群(qun)（dual group）。此外，將傅(fu)里葉變(bian)換(huan)與卷(juan)積相聯系的(de)卷(juan)積定理在調(diao)和(he)分析中也有類似的(de)結論。
下表列出了傅里葉變換(huan)家(jia)族的(de)(de)(de)成員。容易(yi)發現(xian)，函(han)數(shu)在(zai)(zai)時（頻）域(yu)的(de)(de)(de)離散(san)對(dui)(dui)應于其(qi)像函(han)數(shu)在(zai)(zai)頻（時）域(yu)的(de)(de)(de)周期性，反之連(lian)續則意味著在(zai)(zai)對(dui)(dui)應域(yu)的(de)(de)(de)信號的(de)(de)(de)非(fei)周期性。
傅(fu)里葉是(shi)(shi)一(yi)位法(fa)(fa)國數(shu)學(xue)(xue)家(jia)和物理學(xue)(xue)家(jia)的(de)(de)名字，英(ying)語原名是(shi)(shi)Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，于(yu)1807年(nian)在(zai)(zai)法(fa)(fa)國科(ke)學(xue)(xue)學(xue)(xue)會(hui)(hui)上發(fa)表了一(yi)篇論文，運用(yong)正弦曲(qu)線來描述溫度(du)分布(bu)，論文里有(you)個(ge)在(zai)(zai)當時具有(you)爭議性的(de)(de)決斷(duan)：任(ren)何連(lian)續周期(qi)信號可以由一(yi)組(zu)適當的(de)(de)正弦曲(qu)線組(zu)合(he)而成。當時審(shen)查這(zhe)個(ge)論文的(de)(de)人，其中有(you)兩(liang)位是(shi)(shi)歷(li)史上著名的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)拉格(ge)朗日(ri)(ri)(ri)(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普(pu)拉斯(si)(si)(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普(pu)拉斯(si)(si)和其它審(shen)查者投票(piao)通(tong)過并要發(fa)表這(zhe)個(ge)論文時，拉格(ge)朗日(ri)(ri)(ri)堅(jian)決反對，在(zai)(zai)他此(ci)后(hou)(hou)生命(ming)的(de)(de)六年(nian)中，拉格(ge)朗日(ri)(ri)(ri)堅(jian)持認為(wei)傅(fu)里葉的(de)(de)方法(fa)(fa)無法(fa)(fa)表示帶有(you)棱角的(de)(de)信號，如在(zai)(zai)方波中出現非連(lian)續變化斜(xie)率。法(fa)(fa)國科(ke)學(xue)(xue)學(xue)(xue)會(hui)(hui)屈服于(yu)拉格(ge)朗日(ri)(ri)(ri)的(de)(de)威望，拒絕了傅(fu)里葉的(de)(de)工作(zuo)，幸運的(de)(de)是(shi)(shi)，傅(fu)里葉還有(you)其它事情可忙，他參加(jia)了政治(zhi)運動，隨拿破侖遠(yuan)征埃及，法(fa)(fa)國大革命(ming)后(hou)(hou)因會(hui)(hui)被(bei)推上斷(duan)頭臺而一(yi)直(zhi)在(zai)(zai)逃避(bi)。直(zhi)到拉格(ge)朗日(ri)(ri)(ri)死后(hou)(hou)15年(nian)這(zhe)個(ge)論文才被(bei)發(fa)表出來。
拉格朗(lang)日(ri)是(shi)對(dui)的(de)：正弦曲(qu)線無法組合(he)成一個(ge)帶有(you)棱(leng)角的(de)信號(hao)。但是(shi)，我們可以用正弦曲(qu)線來非常逼近地表(biao)示(shi)它，逼近到(dao)兩種表(biao)示(shi)方法不存在能量差(cha)別，基于(yu)此(ci)，傅里(li)葉是(shi)對(dui)的(de)。
用正(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)來(lai)代替(ti)原(yuan)來(lai)的(de)(de)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)而不(bu)用方(fang)(fang)波或三(san)角(jiao)波來(lai)表(biao)(biao)示的(de)(de)原(yuan)因(yin)在于，分解信(xin)(xin)號(hao)(hao)的(de)(de)方(fang)(fang)法是無窮(qiong)的(de)(de)，但分解信(xin)(xin)號(hao)(hao)的(de)(de)目的(de)(de)是為(wei)了更加簡(jian)(jian)單地(di)處理原(yuan)來(lai)的(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)。用正(zheng)余弦(xian)來(lai)表(biao)(biao)示原(yuan)信(xin)(xin)號(hao)(hao)會更加簡(jian)(jian)單，因(yin)為(wei)正(zheng)余弦(xian)擁有(you)(you)原(yuan)信(xin)(xin)號(hao)(hao)所不(bu)具有(you)(you)的(de)(de)性質：正(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)保真(zhen)度。一(yi)個正(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)信(xin)(xin)號(hao)(hao)輸入后，輸出的(de)(de)仍是正(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)，只有(you)(you)幅度和相位(wei)可能發(fa)生變(bian)化(hua)，但是頻率和波的(de)(de)形狀仍是一(yi)樣(yang)的(de)(de)。且(qie)只有(you)(you)正(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)才(cai)擁有(you)(you)這樣(yang)的(de)(de)性質，正(zheng)因(yin)如此我們才(cai)不(bu)用方(fang)(fang)波或三(san)角(jiao)波來(lai)表(biao)(biao)示。
為什么偏偏選(xuan)擇三角函(han)數(shu)(shu)而(er)不用其(qi)他(ta)函(han)數(shu)(shu)進行分(fen)解？我(wo)們從(cong)物理系(xi)統(tong)(tong)的(de)(de)(de)特征(zheng)(zheng)(zheng)信(xin)號(hao)(hao)(hao)角度(du)來解釋(shi)。我(wo)們知(zhi)道(dao)：大自(zi)然(ran)中很(hen)多(duo)現象可(ke)以(yi)抽象成(cheng)一(yi)個線(xian)性(xing)時不變(bian)系(xi)統(tong)(tong)來研究，無論(lun)你用微分(fen)方程還是(shi)(shi)(shi)傳遞函(han)數(shu)(shu)或(huo)者狀態空間描述(shu)。線(xian)性(xing)時不變(bian)系(xi)統(tong)(tong)可(ke)以(yi)這樣(yang)(yang)理解：輸(shu)入(ru)輸(shu)出(chu)信(xin)號(hao)(hao)(hao)滿足線(xian)性(xing)關(guan)系(xi)，而(er)且系(xi)統(tong)(tong)參數(shu)(shu)不隨時間變(bian)換。對于(yu)大自(zi)然(ran)界(jie)的(de)(de)(de)很(hen)多(duo)系(xi)統(tong)(tong)，一(yi)個正(zheng)弦(xian)曲線(xian)信(xin)號(hao)(hao)(hao)輸(shu)入(ru)后，輸(shu)出(chu)的(de)(de)(de)仍(reng)是(shi)(shi)(shi)正(zheng)弦(xian)曲線(xian)，只(zhi)有幅度(du)和相位(wei)可(ke)能發(fa)生變(bian)化，但是(shi)(shi)(shi)頻率(lv)和波(bo)的(de)(de)(de)形(xing)狀仍(reng)是(shi)(shi)(shi)一(yi)樣(yang)(yang)的(de)(de)(de)。也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)說正(zheng)弦(xian)信(xin)號(hao)(hao)(hao)是(shi)(shi)(shi)系(xi)統(tong)(tong)的(de)(de)(de)特征(zheng)(zheng)(zheng)向量！當然(ran)，指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)信(xin)號(hao)(hao)(hao)也是(shi)(shi)(shi)系(xi)統(tong)(tong)的(de)(de)(de)特征(zheng)(zheng)(zheng)向量，表示能量的(de)(de)(de)衰減或(huo)積聚。自(zi)然(ran)界(jie)的(de)(de)(de)衰減或(huo)者擴散(san)現象大多(duo)是(shi)(shi)(shi)指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)形(xing)式(shi)的(de)(de)(de)，或(huo)者既有波(bo)動又有指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)衰減（復指(zhi)(zhi)數(shu)(shu) 形(xing)式(shi)），因此具有特征(zheng)(zheng)(zheng)的(de)(de)(de)基函(han)數(shu)(shu)就(jiu)由(you)三角函(han)數(shu)(shu)變(bian)成(cheng)復指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)函(han)數(shu)(shu)。但是(shi)(shi)(shi)，如(ru)果輸(shu)入(ru)是(shi)(shi)(shi)方波(bo)、三角波(bo)或(huo)者其(qi)他(ta)什么波(bo)形(xing)，那輸(shu)出(chu)就(jiu)不一(yi)定(ding)是(shi)(shi)(shi)什么樣(yang)(yang)子了(le)。所以(yi)，除了(le)指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)信(xin)號(hao)(hao)(hao)和正(zheng)弦(xian)信(xin)號(hao)(hao)(hao)以(yi)外的(de)(de)(de)其(qi)他(ta)波(bo)形(xing)都不是(shi)(shi)(shi)線(xian)性(xing)系(xi)統(tong)(tong)的(de)(de)(de)特征(zheng)(zheng)(zheng)信(xin)號(hao)(hao)(hao)。
用正弦曲(qu)線來(lai)(lai)代(dai)替(ti)原來(lai)(lai)的(de)(de)(de)曲(qu)線而不(bu)用方波或(huo)三角波或(huo)者其他什(shen)么函(han)數來(lai)(lai)表示的(de)(de)(de)原因(yin)在于：正弦信號(hao)恰好是(shi)(shi)很(hen)多線性(xing)時不(bu)變(bian)系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)特征向(xiang)(xiang)量(liang)。于是(shi)(shi)就(jiu)有(you)了傅里(li)葉變(bian)換。對(dui)于更(geng)一般(ban)的(de)(de)(de)線性(xing)時不(bu)變(bian)系(xi)統(tong)，復指數信號(hao)(表示耗散(san)或(huo)衰(shuai)減)是(shi)(shi)系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)“特征向(xiang)(xiang)量(liang)”。于是(shi)(shi)就(jiu)有(you)了拉(la)普拉(la)斯(si)變(bian)換。z變(bian)換也(ye)是(shi)(shi)同樣的(de)(de)(de)道理，這(zhe)(zhe)時是(shi)(shi)離散(san)系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)“特征向(xiang)(xiang)量(liang)”。這(zhe)(zhe)里(li)沒有(you)區分特征函(han)數和特征向(xiang)(xiang)量(liang)的(de)(de)(de)概念，主要想(xiang)(xiang)表達二(er)者的(de)(de)(de)思想(xiang)(xiang)是(shi)(shi)相同的(de)(de)(de)，只(zhi)不(bu)過(guo)一個(ge)是(shi)(shi)有(you)限維(wei)向(xiang)(xiang)量(liang)，一個(ge)是(shi)(shi)無(wu)限維(wei)函(han)數。
傅(fu)里葉級數和傅(fu)里葉變換其實就是我們之前討(tao)論的(de)特(te)征值與特(te)征向量的(de)問(wen)題。分(fen)解(jie)信(xin)(xin)(xin)號的(de)方法(fa)是無(wu)窮的(de)，但分(fen)解(jie)信(xin)(xin)(xin)號的(de)目的(de)是為(wei)了更加簡單地處理原(yuan)(yuan)來的(de)信(xin)(xin)(xin)號。這樣，用正余(yu)弦(xian)來表(biao)示原(yuan)(yuan)信(xin)(xin)(xin)號會更加簡單，因為(wei)正余(yu)弦(xian)擁有(you)原(yuan)(yuan)信(xin)(xin)(xin)號所不具有(you)的(de)性質(zhi)：正弦(xian)曲(qu)線保(bao)真度。且(qie)只(zhi)有(you)正弦(xian)曲(qu)線才(cai)擁有(you)這樣的(de)性質(zhi)。
這(zhe)也解釋了為什(shen)么(me)我們一(yi)碰到信號就想方(fang)設(she)法的把(ba)它表(biao)示成正(zheng)弦(xian)量(liang)或者(zhe)復指數量(liang)的形式；為什(shen)么(me)方(fang)波或者(zhe)三角(jiao)波如(ru)此“簡單”，我們非(fei)(fei)要展開的如(ru)此“麻(ma)煩”；為什(shen)么(me)對于一(yi)個沒有什(shen)么(me)規律(lv)的“非(fei)(fei)周期”信號，我們都(dou)絞(jiao)盡(jin)腦汁的用正(zheng)弦(xian)量(liang)展開。就因為正(zheng)弦(xian)量(liang)(或復指數)是(shi)特(te)征向(xiang)量(liang)。
什么是時域？從我(wo)們(men)出生，我(wo)們(men)看到的(de)(de)(de)世界都(dou)以時間貫(guan)穿，股票的(de)(de)(de)走勢、人的(de)(de)(de)身(shen)高(gao)、汽車的(de)(de)(de)軌跡(ji)都(dou)會(hui)隨著(zhu)(zhu)時間發生改(gai)變。這種以時間作為參(can)照來(lai)觀察(cha)動(dong)態(tai)世界的(de)(de)(de)方法(fa)我(wo)們(men)稱(cheng)其為時域分析。而我(wo)們(men)也想當然的(de)(de)(de)認為，世間萬物都(dou)在隨著(zhu)(zhu)時間不停的(de)(de)(de)改(gai)變，并且永遠(yuan)不會(hui)靜止下來(lai)。
什(shen)么是(shi)頻(pin)域(yu)(yu)(yu)？頻(pin)域(yu)(yu)(yu)(frequency domain)是(shi)描述信號在頻(pin)率方面特(te)性(xing)時用到的(de)(de)一種坐標系(xi)。用線性(xing)代數的(de)(de)語(yu)言就是(shi)裝著正弦(xian)(xian)函數的(de)(de)空間(jian)。頻(pin)域(yu)(yu)(yu)最(zui)重要(yao)的(de)(de)性(xing)質是(shi)：它不是(shi)真實(shi)的(de)(de)，而是(shi)一個(ge)數學(xue)構造。頻(pin)域(yu)(yu)(yu)是(shi)一個(ge)遵循特(te)定規則的(de)(de)數學(xue)范疇(chou)。正弦(xian)(xian)波是(shi)頻(pin)域(yu)(yu)(yu)中唯(wei)一存(cun)在的(de)(de)波形，這(zhe)是(shi)頻(pin)域(yu)(yu)(yu)中最(zui)重要(yao)的(de)(de)規則，即正弦(xian)(xian)波是(shi)對頻(pin)域(yu)(yu)(yu)的(de)(de)描述，因為時域(yu)(yu)(yu)中的(de)(de)任何波形都(dou)可用正弦(xian)(xian)波合成。
對于一個信(xin)號(hao)(hao)來(lai)說(shuo)，信(xin)號(hao)(hao)強(qiang)度隨時間的變化規律就是時域特性(xing)，信(xin)號(hao)(hao)是由哪些單一頻率的信(xin)號(hao)(hao)合成(cheng)的就是頻域特性(xing)。
時(shi)(shi)域(yu)(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)(xi)與(yu)頻域(yu)(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)(xi)是(shi)對信號(hao)(hao)的(de)兩個觀(guan)察面。時(shi)(shi)域(yu)(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)(xi)是(shi)以(yi)時(shi)(shi)間軸(zhou)為(wei)(wei)坐(zuo)標表示(shi)動態信號(hao)(hao)的(de)關(guan)系；頻域(yu)(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)(xi)是(shi)把信號(hao)(hao)變(bian)為(wei)(wei)以(yi)頻率軸(zhou)為(wei)(wei)坐(zuo)標表示(shi)出(chu)來。一般來說，時(shi)(shi)域(yu)(yu)(yu)的(de)表示(shi)較(jiao)為(wei)(wei)形象與(yu)直觀(guan)，頻域(yu)(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)(xi)則更為(wei)(wei)簡練(lian)，剖(pou)析(xi)(xi)問題(ti)更為(wei)(wei)深刻和方便。目前，信號(hao)(hao)分(fen)(fen)析(xi)(xi)的(de)趨勢是(shi)從時(shi)(shi)域(yu)(yu)(yu)向頻域(yu)(yu)(yu)發(fa)展(zhan)。然而(er)，它們是(shi)互(hu)相(xiang)(xiang)聯(lian)系，缺一不可，相(xiang)(xiang)輔相(xiang)(xiang)成的(de)。貫(guan)穿時(shi)(shi)域(yu)(yu)(yu)與(yu)頻域(yu)(yu)(yu)的(de)方法之一，就(jiu)是(shi)傳說中的(de)傅(fu)里葉(xie)分(fen)(fen)析(xi)(xi)。傅(fu)里葉(xie)分(fen)(fen)析(xi)(xi)可分(fen)(fen)為(wei)(wei)傅(fu)里葉(xie)級數（Fourier Serie）和傅(fu)里葉(xie)變(bian)換(huan)(Fourier Transformation)。
根據原信號的(de)不同(tong)類型，我們(men)可以把傅里葉變換(huan)分為四種(zhong)類別：
1非周期性連續(xu)信號傅(fu)里(li)葉變換（Fourier Transform）
2周期性連續信號傅里葉級(ji)數(Fourier Series)
3非周(zhou)期(qi)性離(li)散信號離(li)散時(shi)域(yu)傅里葉變換(huan)（Discrete Time Fourier Transform）
4周(zhou)期性離散信號離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)
下圖是四種(zhong)原(yuan)信號圖例(li)：
這(zhe)四種(zhong)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)都是(shi)(shi)針(zhen)對(dui)(dui)正無(wu)(wu)窮(qiong)大和負無(wu)(wu)窮(qiong)大的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，即信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)的(de)(de)(de)(de)(de)長(chang)度(du)(du)是(shi)(shi)無(wu)(wu)窮(qiong)大的(de)(de)(de)(de)(de)，我(wo)(wo)們(men)(men)知道這(zhe)對(dui)(dui)于(yu)計算(suan)機(ji)處(chu)理來說是(shi)(shi)不(bu)可(ke)能(neng)的(de)(de)(de)(de)(de)，那(nei)么有(you)沒有(you)針(zhen)對(dui)(dui)長(chang)度(du)(du)有(you)限(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)呢？沒有(you)。因為正余弦波被定義成(cheng)(cheng)(cheng)從(cong)負無(wu)(wu)窮(qiong)大到正無(wu)(wu)窮(qiong)大，我(wo)(wo)們(men)(men)無(wu)(wu)法把一個長(chang)度(du)(du)無(wu)(wu)限(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)組(zu)合成(cheng)(cheng)(cheng)長(chang)度(du)(du)有(you)限(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)。面(mian)對(dui)(dui)這(zhe)種(zhong)困(kun)難，方法是(shi)(shi)把長(chang)度(du)(du)有(you)限(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)表示成(cheng)(cheng)(cheng)長(chang)度(du)(du)無(wu)(wu)限(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，可(ke)以把信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)無(wu)(wu)限(xian)(xian)地(di)從(cong)左(zuo)右進(jin)(jin)行延(yan)(yan)伸，延(yan)(yan)伸的(de)(de)(de)(de)(de)部(bu)分用零(ling)來表示，這(zhe)樣，這(zhe)個信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)就可(ke)以被看成(cheng)(cheng)(cheng)是(shi)(shi)非周期性(xing)離(li)(li)散(san)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，我(wo)(wo)們(men)(men)就可(ke)以用到離(li)(li)散(san)時(shi)域傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)方法。還有(you)，也可(ke)以把信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)用復制的(de)(de)(de)(de)(de)方法進(jin)(jin)行延(yan)(yan)伸，這(zhe)樣信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)就變(bian)(bian)成(cheng)(cheng)(cheng)了(le)周期性(xing)離(li)(li)散(san)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，這(zhe)時(shi)我(wo)(wo)們(men)(men)就可(ke)以用離(li)(li)散(san)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)方法進(jin)(jin)行變(bian)(bian)換(huan)(huan)。這(zhe)里我(wo)(wo)們(men)(men)要學的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)離(li)(li)散(san)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，對(dui)(dui)于(yu)連(lian)續信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)我(wo)(wo)們(men)(men)不(bu)作(zuo)討論，因為計算(suan)機(ji)只能(neng)處(chu)理離(li)(li)散(san)的(de)(de)(de)(de)(de)數值信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，我(wo)(wo)們(men)(men)的(de)(de)(de)(de)(de)最(zui)終目的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)運(yun)用計算(suan)機(ji)來處(chu)理信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)。
但是(shi)(shi)(shi)對于(yu)(yu)非(fei)周期性的(de)信(xin)號(hao)，我們需要用無(wu)窮多不同頻率(lv)的(de)正(zheng)弦曲線(xian)來表示(shi)，這對于(yu)(yu)計算(suan)機(ji)來說是(shi)(shi)(shi)不可能(neng)實現的(de)。所(suo)以對于(yu)(yu)離(li)散信(xin)號(hao)的(de)變(bian)換只(zhi)有(you)(you)離(li)散傅里葉(xie)變(bian)換（DFT）才能(neng)被(bei)適用，對于(yu)(yu)計算(suan)機(ji)來說只(zhi)有(you)(you)離(li)散的(de)和(he)有(you)(you)限長度的(de)數據才能(neng)被(bei)處理(li)，對于(yu)(yu)其它(ta)的(de)變(bian)換類(lei)型只(zhi)有(you)(you)在(zai)數學演算(suan)中才能(neng)用到，在(zai)計算(suan)機(ji)面前(qian)我們只(zhi)能(neng)用DFT方法，后面我們要理(li)解(jie)(jie)的(de)也正(zheng)是(shi)(shi)(shi)DFT方法。這里要理(li)解(jie)(jie)的(de)是(shi)(shi)(shi)我們使用周期性的(de)信(xin)號(hao)目(mu)的(de)是(shi)(shi)(shi)為(wei)了能(neng)夠用數學方法來解(jie)(jie)決問題，至于(yu)(yu)考(kao)慮(lv)周期性信(xin)號(hao)是(shi)(shi)(shi)從(cong)哪里得到或怎樣得到是(shi)(shi)(shi)無(wu)意義的(de)。
每種(zhong)傅(fu)(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)都(dou)分成實(shi)數(shu)(shu)(shu)和復(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)兩(liang)種(zhong)方法(fa)(fa)，對(dui)于實(shi)數(shu)(shu)(shu)方法(fa)(fa)是最好(hao)理(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)的(de)，但是復(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)方法(fa)(fa)就(jiu)相對(dui)復(fu)(fu)(fu)雜許多(duo)了(le)，需要懂得有關(guan)復(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)的(de)理(li)(li)(li)論知識，不過，如果(guo)理(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)了(le)實(shi)數(shu)(shu)(shu)離(li)散傅(fu)(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(real DFT)，再(zai)(zai)去理(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)復(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)就(jiu)更容易了(le)，所以我們(men)先把復(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)的(de)傅(fu)(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)放(fang)到一邊(bian)去，先來理(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)實(shi)數(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)，在后面我們(men)會先講講關(guan)于復(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)的(de)基本理(li)(li)(li)論，然后在理(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)了(le)實(shi)數(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)的(de)基礎上(shang)再(zai)(zai)來理(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)復(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)換(huan)。
還有，這里(li)(li)我們所要說的(de)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(transform)雖然是數(shu)(shu)學(xue)意義上的(de)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)，但跟函數(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)是不同的(de)，函數(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)是符合一(yi)一(yi)映射準則(ze)的(de)，對于離散數(shu)(shu)字信(xin)號處理（DSP），有許多的(de)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)：傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)、拉(la)普拉(la)斯變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)、Z變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)、希爾伯特變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)、離散余(yu)弦變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)等，這些都(dou)擴展了函數(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)的(de)定義，允許輸入和(he)輸出有多種的(de)值，簡單地說變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)就(jiu)是把一(yi)堆的(de)數(shu)(shu)據(ju)變(bian)(bian)(bian)成另一(yi)堆的(de)數(shu)(shu)據(ju)的(de)方法。
傅里(li)(li)葉變換是數(shu)字信(xin)號(hao)處理(li)(li)領域一種很重要的(de)(de)(de)算(suan)(suan)法。要知道傅里(li)(li)葉變換算(suan)(suan)法的(de)(de)(de)意(yi)義，首先要了(le)解傅里(li)(li)葉原(yuan)(yuan)理(li)(li)的(de)(de)(de)意(yi)義。傅里(li)(li)葉原(yuan)(yuan)理(li)(li)表明：任(ren)何連續測量的(de)(de)(de)時序或(huo)信(xin)號(hao)，都可以表示為不(bu)同頻率的(de)(de)(de)正弦(xian)波信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)無(wu)限疊加。而根據該原(yuan)(yuan)理(li)(li)創(chuang)立的(de)(de)(de)傅里(li)(li)葉變換算(suan)(suan)法利(li)用直接測量到的(de)(de)(de)原(yuan)(yuan)始信(xin)號(hao)，以累(lei)加方式來計算(suan)(suan)該信(xin)號(hao)中不(bu)同正弦(xian)波信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)頻率、振幅和相(xiang)位。
和傅(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)算法對(dui)應(ying)的(de)是反(fan)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)算法。該反(fan)變(bian)(bian)換(huan)(huan)從(cong)本質上說也(ye)是一種累加處理，這(zhe)樣(yang)就可以(yi)將單獨改變(bian)(bian)的(de)正弦波信(xin)號轉換(huan)(huan)成(cheng)(cheng)一個信(xin)號。因此(ci)，可以(yi)說，傅(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)將原來難以(yi)處理的(de)時域信(xin)號轉換(huan)(huan)成(cheng)(cheng)了(le)易(yi)于分析的(de)頻域信(xin)號（信(xin)號的(de)頻譜(pu)），可以(yi)利(li)用(yong)一些(xie)工具對(dui)這(zhe)些(xie)頻域信(xin)號進行處理、加工。最后(hou)還可以(yi)利(li)用(yong)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)反(fan)變(bian)(bian)換(huan)(huan)將這(zhe)些(xie)頻域信(xin)號轉換(huan)(huan)成(cheng)(cheng)時域信(xin)號。
從現代(dai)數學(xue)的(de)(de)眼光來看，傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換是一(yi)種特殊的(de)(de)積分變(bian)(bian)換。它(ta)能(neng)將(jiang)滿足一(yi)定條件的(de)(de)某個函(han)數表示成正弦基函(han)數的(de)(de)線性組(zu)合或者(zhe)積分。在不同的(de)(de)研究(jiu)領(ling)域，傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換具有多種不同的(de)(de)變(bian)(bian)體(ti)形(xing)式，如連續傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換和離散傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換。
在(zai)數(shu)(shu)(shu)學領域，盡(jin)管(guan)最初傅(fu)(fu)里(li)葉分析(xi)是(shi)作為(wei)(wei)熱過程的(de)(de)(de)(de)解(jie)析(xi)分析(xi)的(de)(de)(de)(de)工具，但是(shi)其(qi)思想方法(fa)(fa)仍(reng)然具有(you)典型的(de)(de)(de)(de)還原論和分析(xi)主(zhu)義(yi)的(de)(de)(de)(de)特(te)征。"任意(yi)"的(de)(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)通過一定的(de)(de)(de)(de)分解(jie)，都能(neng)夠(gou)表示為(wei)(wei)正(zheng)弦函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)線性組(zu)合的(de)(de)(de)(de)形(xing)式(shi)，而(er)正(zheng)弦函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)在(zai)物理上是(shi)被(bei)充(chong)分研究而(er)相對(dui)簡單(dan)的(de)(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)類(lei)：1. 傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)是(shi)線性算(suan)子(zi),若(ruo)賦予適當的(de)(de)(de)(de)范(fan)數(shu)(shu)(shu)，它還是(shi)酉算(suan)子(zi)；2. 傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)的(de)(de)(de)(de)逆變(bian)換(huan)容易(yi)求(qiu)出(chu)(chu)，而(er)且形(xing)式(shi)與正(zheng)變(bian)換(huan)非常類(lei)似；3. 正(zheng)弦基函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)是(shi)微分運算(suan)的(de)(de)(de)(de)本征函(han)(han)數(shu)(shu)(shu),從(cong)而(er)使得線性微分方程的(de)(de)(de)(de)求(qiu)解(jie)可以轉化為(wei)(wei)常系數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)代數(shu)(shu)(shu)方程的(de)(de)(de)(de)求(qiu)解(jie)。在(zai)線性時復雜(za)(za)的(de)(de)(de)(de)卷積(ji)(ji)運算(suan)為(wei)(wei)簡單(dan)的(de)(de)(de)(de)乘(cheng)積(ji)(ji)運算(suan),從(cong)而(er)提(ti)供了計(ji)算(suan)卷積(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)一種簡單(dan)手段；4. 離(li)散形(xing)式(shi)的(de)(de)(de)(de)傅(fu)(fu)里(li)葉的(de)(de)(de)(de)物理系統內,頻(pin)率(lv)是(shi)個(ge)不變(bian)的(de)(de)(de)(de)性質,從(cong)而(er)系統對(dui)于復雜(za)(za)激勵的(de)(de)(de)(de)響應可以通過組(zu)合其(qi)對(dui)不同頻(pin)率(lv)正(zheng)弦信號的(de)(de)(de)(de)響應來獲取；5. 著名的(de)(de)(de)(de)卷積(ji)(ji)定理指出(chu)(chu):傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)可以化復變(bian)換(huan)可以利用數(shu)(shu)(shu)字計(ji)算(suan)機快(kuai)速的(de)(de)(de)(de)算(suan)出(chu)(chu)(其(qi)算(suan)法(fa)(fa)稱為(wei)(wei)快(kuai)速傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)算(suan)法(fa)(fa)(FFT))。
正是由于上述的良(liang)好性質(zhi),傅(fu)里葉變(bian)換在物理學(xue)(xue)、數論、組合(he)數學(xue)(xue)、信號處理、概率(lv)、統計、密(mi)碼學(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)、光學(xue)(xue)等領域都有著廣泛(fan)的應(ying)用。
圖(tu)(tu)像(xiang)的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)是(shi)(shi)表征圖(tu)(tu)像(xiang)中灰(hui)度(du)變(bian)化劇烈程度(du)的(de)(de)(de)指(zhi)標，是(shi)(shi)灰(hui)度(du)在(zai)(zai)平面空(kong)間(jian)上的(de)(de)(de)梯度(du)。如：大(da)面積(ji)的(de)(de)(de)沙漠在(zai)(zai)圖(tu)(tu)像(xiang)中是(shi)(shi)一(yi)片灰(hui)度(du)變(bian)化緩慢的(de)(de)(de)區域(yu)，對(dui)應(ying)的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)值很低；而(er)對(dui)于地(di)表屬性變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)劇烈的(de)(de)(de)邊緣區域(yu)在(zai)(zai)圖(tu)(tu)像(xiang)中是(shi)(shi)一(yi)片灰(hui)度(du)變(bian)化劇烈的(de)(de)(de)區域(yu)，對(dui)應(ying)的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)值較高。傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)在(zai)(zai)實際(ji)中有非常明顯的(de)(de)(de)物理(li)意義，設f是(shi)(shi)一(yi)個(ge)能量(liang)有限的(de)(de)(de)模擬信號(hao)，則其(qi)傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)就表示f的(de)(de)(de)譜。從(cong)純粹(cui)的(de)(de)(de)數(shu)學意義上看，傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)將一(yi)個(ge)函(han)(han)數(shu)轉換(huan)(huan)(huan)(huan)為(wei)一(yi)系列(lie)周(zhou)期函(han)(han)數(shu)來處理(li)的(de)(de)(de)。從(cong)物理(li)效果看，傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)將圖(tu)(tu)像(xiang)從(cong)空(kong)間(jian)域(yu)轉換(huan)(huan)(huan)(huan)到頻(pin)(pin)率(lv)域(yu)，其(qi)逆變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)將圖(tu)(tu)像(xiang)從(cong)頻(pin)(pin)率(lv)域(yu)轉換(huan)(huan)(huan)(huan)到空(kong)間(jian)域(yu)。換(huan)(huan)(huan)(huan)句話說，傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)的(de)(de)(de)物理(li)意義是(shi)(shi)將圖(tu)(tu)像(xiang)的(de)(de)(de)灰(hui)度(du)分(fen)(fen)布(bu)(bu)函(han)(han)數(shu)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)為(wei)圖(tu)(tu)像(xiang)的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)分(fen)(fen)布(bu)(bu)函(han)(han)數(shu)，傅(fu)(fu)里(li)葉逆變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)將圖(tu)(tu)像(xiang)的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)分(fen)(fen)布(bu)(bu)函(han)(han)數(shu)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)為(wei)灰(hui)度(du)分(fen)(fen)布(bu)(bu)函(han)(han)數(shu)。
傅里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換以(yi)(yi)前，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)（未壓縮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)位圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)）是(shi)(shi)由(you)對(dui)(dui)在(zai)連續(xu)空間(jian)（現實(shi)空間(jian)）上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)采(cai)樣(yang)得(de)到(dao)一(yi)系列點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)集(ji)合，我(wo)們(men)習慣用一(yi)個(ge)二維(wei)(wei)矩陣表示(shi)空間(jian)上(shang)各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)，則圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)可由(you)z=f(x,y)來表示(shi)。由(you)于空間(jian)是(shi)(shi)三維(wei)(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)是(shi)(shi)二維(wei)(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，因此(ci)空間(jian)中(zhong)(zhong)物(wu)體在(zai)另一(yi)個(ge)維(wei)(wei)度(du)上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系就由(you)梯(ti)(ti)度(du)來表示(shi)，這(zhe)(zhe)樣(yang)我(wo)們(men)可以(yi)(yi)通(tong)過觀(guan)察圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)得(de)知物(wu)體在(zai)三維(wei)(wei)空間(jian)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)(dui)應關系。為什么(me)要提梯(ti)(ti)度(du)？因為實(shi)際(ji)上(shang)對(dui)(dui)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)進(jin)行二維(wei)(wei)傅里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換得(de)到(dao)頻(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，就是(shi)(shi)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)梯(ti)(ti)度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)分布圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，當然(ran)頻(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)與圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)上(shang)各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)并不(bu)存(cun)在(zai)一(yi)一(yi)對(dui)(dui)應的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系，即(ji)使(shi)在(zai)不(bu)移(yi)頻(pin)(pin)(pin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情況(kuang)下也(ye)是(shi)(shi)沒有。傅里(li)葉(xie)(xie)(xie)頻(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)我(wo)們(men)看(kan)到(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)明暗不(bu)一(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)點(dian)(dian)(dian)(dian)，實(shi)際(ji)上(shang)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)上(shang)某一(yi)點(dian)(dian)(dian)(dian)與鄰域(yu)點(dian)(dian)(dian)(dian)差異(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)強弱，即(ji)梯(ti)(ti)度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大(da)(da)小，也(ye)即(ji)該點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大(da)(da)小（可以(yi)(yi)這(zhe)(zhe)么(me)理解(jie)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)低頻(pin)(pin)(pin)部(bu)分指低梯(ti)(ti)度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)，高(gao)頻(pin)(pin)(pin)部(bu)分相反）。一(yi)般來講(jiang)，梯(ti)(ti)度(du)大(da)(da)則該點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)度(du)強，否則該點(dian)(dian)(dian)(dian)亮(liang)度(du)弱。這(zhe)(zhe)樣(yang)通(tong)過觀(guan)察傅里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，也(ye)叫功率圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，我(wo)們(men)首先就可以(yi)(yi)看(kan)出(chu)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)能量分布，如(ru)果(guo)頻(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)暗的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)數更(geng)多，那么(me)實(shi)際(ji)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)是(shi)(shi)比較(jiao)柔和的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)（因為各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)與鄰域(yu)差異(yi)都不(bu)大(da)(da)，梯(ti)(ti)度(du)相對(dui)(dui)較(jiao)小），反之，如(ru)果(guo)頻(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)亮(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)數多，那么(me)實(shi)際(ji)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)一(yi)定是(shi)(shi)尖銳的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，邊界(jie)分明且邊界(jie)兩(liang)邊像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)素差異(yi)較(jiao)大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。對(dui)(dui)頻(pin)(pin)(pin)譜移(yi)頻(pin)(pin)(pin)到(dao)原點(dian)(dian)(dian)(dian)以(yi)(yi)后，可以(yi)(yi)看(kan)出(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率分布是(shi)(shi)以(yi)(yi)原點(dian)(dian)(dian)(dian)為圓(yuan)(yuan)心，對(dui)(dui)稱分布的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。將頻(pin)(pin)(pin)譜移(yi)頻(pin)(pin)(pin)到(dao)圓(yuan)(yuan)心除(chu)了(le)可以(yi)(yi)清晰地看(kan)出(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)頻(pin)(pin)(pin)率分布以(yi)(yi)外(wai)，還(huan)(huan)有一(yi)個(ge)好處，它可以(yi)(yi)分離(li)出(chu)有周期(qi)性規律的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)干擾信號，比如(ru)正弦(xian)干擾，一(yi)副帶(dai)有正弦(xian)干擾，移(yi)頻(pin)(pin)(pin)到(dao)原點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)可以(yi)(yi)看(kan)出(chu)除(chu)了(le)中(zhong)(zhong)心以(yi)(yi)外(wai)還(huan)(huan)存(cun)在(zai)以(yi)(yi)某一(yi)點(dian)(dian)(dian)(dian)為中(zhong)(zhong)心，對(dui)(dui)稱分布的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)點(dian)(dian)(dian)(dian)集(ji)合，這(zhe)(zhe)個(ge)集(ji)合就是(shi)(shi)干擾噪音(yin)產生的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，這(zhe)(zhe)時可以(yi)(yi)很(hen)直觀(guan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)通(tong)過在(zai)該位置(zhi)放置(zhi)帶(dai)阻濾(lv)波器消除(chu)干擾。
另外說明以(yi)下幾點：
1、圖像經過二維傅里葉變(bian)換(huan)后，其變(bian)換(huan)系(xi)數矩陣表明(ming)：
若(ruo)變(bian)換矩陣(zhen)Fn原點設在中心，其(qi)頻譜能(neng)量集(ji)中分布在變(bian)換系(xi)數(shu)短陣(zhen)的(de)中心附近（圖中陰影區(qu)）。若(ruo)所(suo)用的(de)二維傅里(li)葉變(bian)換矩陣(zhen)Fn的(de)原點設在左上角，那么圖像(xiang)信號能(neng)量將集(ji)中在系(xi)數(shu)矩陣(zhen)的(de)四個角上。這是由二維傅里(li)葉變(bian)換本身(shen)性(xing)質決定的(de)。同時也表(biao)明一股圖像(xiang)能(neng)量集(ji)中低頻區(qu)域。
2 、變換之(zhi)后的(de)圖(tu)像(xiang)在(zai)原點平移之(zhi)前四角是(shi)(shi)低(di)頻(pin)，最(zui)(zui)亮，平移之(zhi)后中間部分是(shi)(shi)低(di)頻(pin)，最(zui)(zui)亮，亮度大說明低(di)頻(pin)的(de)能量大（幅角比較大）。
將其發展延(yan)伸，構造出了(le)其他形(xing)式的積分變換:
從數(shu)(shu)(shu)學(xue)的角度理(li)解(jie)積分(fen)變(bian)(bian)換(huan)就(jiu)是通過積分(fen)運(yun)算，把一個(ge)函數(shu)(shu)(shu)變(bian)(bian)成另一個(ge)函數(shu)(shu)(shu)。也可以理(li)解(jie)成是算內積，然后(hou)就(jiu)變(bian)(bian)成一個(ge)函數(shu)(shu)(shu)向另一個(ge)函數(shu)(shu)(shu)的投(tou)影：
K（s，t）積(ji)分變換(huan)的(de)核(he)(he)(Kernel)。當選取不(bu)同的(de)積(ji)分域和變換(huan)核(he)(he)時(shi)，就(jiu)得到不(bu)同名稱的(de)積(ji)分變換(huan)。學術一點的(de)說法是：向核(he)(he)空(kong)間(jian)投影(ying)，將原(yuan)問題(ti)轉(zhuan)化到核(he)(he)空(kong)間(jian)。所謂核(he)(he)空(kong)間(jian)，就(jiu)是這個空(kong)間(jian)里面裝的(de)是核(he)(he)函數。
當然，選取什么樣的核(he)主要看(kan)你面對(dui)的問(wen)題有(you)什么特(te)征。不(bu)同問(wen)題的特(te)征不(bu)同，就會對(dui)應特(te)定的核(he)函(han)數。把核(he)函(han)數作為(wei)(wei)基(ji)函(han)數。將現在(zai)的坐標投影到(dao)核(he)空間里面去，問(wen)題就會得到(dao)簡化。之(zhi)所(suo)以(yi)叫(jiao)核(he)，是(shi)因為(wei)(wei)這是(shi)最核(he)心的地(di)方。為(wei)(wei)什么其他變(bian)換你都沒怎么聽說(shuo)過而只熟悉(xi)傅(fu)里葉(xie)變(bian)換和拉普(pu)拉斯變(bian)換呢？因為(wei)(wei)復指數信號才是(shi)描(miao)述(shu)這個世界的特(te)征函(han)數！
一個(ge)關于實(shi)數離散傅(fu)里(li)葉變換(Real DFT)實(shi)例
先來(lai)看(kan)一個變換實例，一個原(yuan)始信(xin)號的(de)(de)長(chang)度(du)是16，于是可(ke)以(yi)把這(zhe)個信(xin)號分解(jie)9個余弦(xian)(xian)波和9個正(zheng)弦(xian)(xian)波（一個長(chang)度(du)為(wei)N的(de)(de)信(xin)號可(ke)以(yi)分解(jie)成N/2+1個正(zheng)余弦(xian)(xian)信(xin)號，這(zhe)是為(wei)什么呢？結合下(xia)(xia)面的(de)(de)18個正(zheng)余弦(xian)(xian)圖,我想(xiang)從計(ji)算(suan)機處(chu)理精(jing)度(du)上(shang)就不難(nan)理解(jie)，一個長(chang)度(du)為(wei)N的(de)(de)信(xin)號，最多只(zhi)能(neng)有N/2+1個不同(tong)頻率，再多的(de)(de)頻率就超過了計(ji)算(suan)機所(suo)(suo)能(neng)所(suo)(suo)處(chu)理的(de)(de)精(jing)度(du)范圍），如下(xia)(xia)圖：
9個正弦信號：
9個余弦信號：
把以上所有(you)信(xin)號相加(jia)即可得到原始信(xin)號，至于(yu)是怎么分別變換(huan)出9種不(bu)同(tong)頻率信(xin)號的，我們先不(bu)急，先看(kan)看(kan)對于(yu)以上的變換(huan)結(jie)果，在(zai)程序(xu)中又是該怎么表(biao)示(shi)的，我們可以看(kan)看(kan)下面這個示(shi)例圖：
上(shang)圖中左(zuo)邊表(biao)示(shi)時(shi)域中的(de)(de)(de)(de)(de)信號，右(you)邊是(shi)(shi)頻(pin)域信號表(biao)示(shi)方(fang)法(fa)，從左(zuo)向(xiang)(xiang)右(you)表(biao)示(shi)正向(xiang)(xiang)轉(zhuan)換(huan)(Forward DFT)，從右(you)向(xiang)(xiang)左(zuo)表(biao)示(shi)逆(ni)向(xiang)(xiang)轉(zhuan)換(huan)(Inverse DFT)，用小寫(xie)x[]表(biao)示(shi)信號在(zai)每個時(shi)間(jian)點(dian)上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)幅(fu)度(du)值數(shu)(shu)組(zu), 用大寫(xie)X[]表(biao)示(shi)每種頻(pin)率(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)幅(fu)度(du)值數(shu)(shu)組(zu), 因為(wei)有N/2+1種頻(pin)率(lv)，所(suo)以該數(shu)(shu)組(zu)長(chang)度(du)為(wei)N/2+1，X[]數(shu)(shu)組(zu)又分兩種，一種是(shi)(shi)表(biao)示(shi)余弦(xian)(xian)波的(de)(de)(de)(de)(de)不(bu)同(tong)頻(pin)率(lv)幅(fu)度(du)值：Re X[]，另(ling)一種是(shi)(shi)表(biao)示(shi)正弦(xian)(xian)波的(de)(de)(de)(de)(de)不(bu)同(tong)頻(pin)率(lv)幅(fu)度(du)值：Im X[]，Re是(shi)(shi)實數(shu)(shu)(Real)的(de)(de)(de)(de)(de)意思，Im是(shi)(shi)虛(xu)數(shu)(shu)(Imagine)的(de)(de)(de)(de)(de)意思，采用復數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)表(biao)示(shi)方(fang)法(fa)把正余弦(xian)(xian)波組(zu)合(he)起(qi)來進行表(biao)示(shi)，但這里(li)我(wo)們不(bu)考慮復數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)其它作用，只記住(zhu)是(shi)(shi)一種組(zu)合(he)方(fang)法(fa)而已，目的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)為(wei)了(le)便(bian)于表(biao)達（在(zai)后(hou)面(mian)我(wo)們會知道，復數(shu)(shu)形(xing)式的(de)(de)(de)(de)(de)傅里(li)葉變(bian)換(huan)長(chang)度(du)是(shi)(shi)N，而不(bu)是(shi)(shi)N/2+1）。
FFT是(shi)離散傅里葉(xie)變換(huan)的快速算法，可以將一個信(xin)號(hao)(hao)變換(huan)到頻域(yu)(yu)(yu)。有些(xie)信(xin)號(hao)(hao)在時(shi)域(yu)(yu)(yu)上是(shi)很難看出什么特征(zheng)的，但是(shi)如果變換(huan)到頻域(yu)(yu)(yu)之后，就(jiu)很容(rong)易看出特征(zheng)了。這就(jiu)是(shi)很多信(xin)號(hao)(hao)分析采(cai)用FFT變換(huan)的原因。另外，FFT可以將一個信(xin)號(hao)(hao)的頻譜(pu)提取出來，這在頻譜(pu)分析方(fang)面(mian)也(ye)是(shi)經常(chang)用的。
FFT結果(guo)的具體物理意義。一個模擬信號，經過ADC采(cai)(cai)樣(yang)之后(hou)，就變成(cheng)了數字信號。采(cai)(cai)樣(yang)定理告訴我(wo)們，采(cai)(cai)樣(yang)頻率(lv)要大于(yu)信號頻率(lv)的兩倍。
采樣得到的(de)數字信號，就可(ke)以做FFT變換了。N個采樣點，經過(guo)FFT之后，就可(ke)以得到N個點的(de)FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取(qu)2的(de)整數次方。
假(jia)(jia)設(she)(she)采(cai)(cai)樣(yang)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)為Fs，信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)F，采(cai)(cai)樣(yang)點(dian)(dian)數(shu)為N。那么FFT之后結(jie)果(guo)(guo)(guo)就(jiu)是(shi)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)為N點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)復數(shu)。每一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)就(jiu)對應著一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)點(dian)(dian)。這個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)模值，就(jiu)是(shi)該(gai)(gai)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)值下(xia)的(de)(de)(de)(de)幅度(du)特性。具體跟原始信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)幅度(du)有(you)什么關系呢？假(jia)(jia)設(she)(she)原始信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)峰值為A，那么FFT的(de)(de)(de)(de)結(jie)果(guo)(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)每個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)（除了(le)第(di)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)直流(liu)(liu)分(fen)(fen)(fen)量(liang)之外(wai)）的(de)(de)(de)(de)模值就(jiu)是(shi)A的(de)(de)(de)(de)N/2倍。而第(di)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)就(jiu)是(shi)直流(liu)(liu)分(fen)(fen)(fen)量(liang)，它(ta)的(de)(de)(de)(de)模值就(jiu)是(shi)直流(liu)(liu)分(fen)(fen)(fen)量(liang)的(de)(de)(de)(de)N倍。而每個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)相位(wei)呢，就(jiu)是(shi)在該(gai)(gai)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)下(xia)的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)相位(wei)。第(di)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)表示直流(liu)(liu)分(fen)(fen)(fen)量(liang)（即0Hz），而最后一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)N的(de)(de)(de)(de)再下(xia)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)（實際上(shang)這個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)是(shi)不存在的(de)(de)(de)(de)，這里(li)是(shi)假(jia)(jia)設(she)(she)的(de)(de)(de)(de)第(di)N+1個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)，也(ye)可以看(kan)做是(shi)將第(di)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)分(fen)(fen)(fen)做兩(liang)半分(fen)(fen)(fen)，另(ling)一(yi)(yi)(yi)半移到(dao)最后）則(ze)表示采(cai)(cai)樣(yang)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)Fs，這中間(jian)被N-1個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)平均分(fen)(fen)(fen)成N等份，每個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)依次增加。例如某(mou)點(dian)(dian)n所(suo)表示的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上(shang)面的(de)(de)(de)(de)公式可以看(kan)出，Fn所(suo)能分(fen)(fen)(fen)辨(bian)到(dao)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)為為Fs/N，如果(guo)(guo)(guo)采(cai)(cai)樣(yang)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)Fs為1024Hz，采(cai)(cai)樣(yang)點(dian)(dian)數(shu)為1024點(dian)(dian)，則(ze)可以分(fen)(fen)(fen)辨(bian)到(dao)1Hz。1024Hz的(de)(de)(de)(de)采(cai)(cai)樣(yang)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)采(cai)(cai)樣(yang)1024點(dian)(dian)，剛好是(shi)1秒，也(ye)就(jiu)是(shi)說，采(cai)(cai)樣(yang)1秒時間(jian)的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)并做FFT，則(ze)結(jie)果(guo)(guo)(guo)可以分(fen)(fen)(fen)析到(dao)1Hz，如果(guo)(guo)(guo)采(cai)(cai)樣(yang)2秒時間(jian)的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)并做FFT，則(ze)結(jie)果(guo)(guo)(guo)可以分(fen)(fen)(fen)析到(dao)0.5Hz。如果(guo)(guo)(guo)要提高頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)辨(bian)力(li)，則(ze)必須增加采(cai)(cai)樣(yang)點(dian)(dian)數(shu)，也(ye)即采(cai)(cai)樣(yang)時間(jian)。頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)辨(bian)率(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)(lv)和采(cai)(cai)樣(yang)時間(jian)是(shi)倒數(shu)關系。
假設FFT之后某點n用復數a+bi表示(shi)，那么這個復數的(de)(de)模(mo)就(jiu)是An=根(gen)號a*a+b*b，相位就(jiu)是Pn=atan2(b,a)。根(gen)據以(yi)上的(de)(de)結果，就(jiu)可(ke)以(yi)計算出n點（n≠1，且(qie)n<=N/2）對(dui)應的(de)(de)信(xin)號的(de)(de)表達式(shi)為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即(ji)(ji)2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對(dui)于n=1點的(de)(de)信(xin)號，是直(zhi)流分量，幅(fu)度即(ji)(ji)為A1/N。由于FFT結果的(de)(de)對(dui)稱性，通常我們只使(shi)用前(qian)半(ban)部分的(de)(de)結果，即(ji)(ji)小于采(cai)樣頻(pin)率一半(ban)的(de)(de)結果。
下(xia)(xia)面(mian)以一個(ge)(ge)(ge)實際(ji)的(de)(de)(de)信(xin)(xin)號來(lai)做說(shuo)明。假設(she)我(wo)(wo)們(men)(men)(men)有一個(ge)(ge)(ge)信(xin)(xin)號，它(ta)含有2V的(de)(de)(de)直(zhi)流分(fen)(fen)量(liang)，頻(pin)率為50Hz、相(xiang)位(wei)為-30度(du)、幅度(du)為3V的(de)(de)(de)交流信(xin)(xin)號，以及一個(ge)(ge)(ge)頻(pin)率為75Hz、相(xiang)位(wei)為90度(du)、幅度(du)為1.5V的(de)(de)(de)交流信(xin)(xin)號。用數學表達式就是如下(xia)(xia)：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數為弧(hu)度(du)，所以-30度(du)和90度(du)要分(fen)(fen)別(bie)換算成弧(hu)度(du)。我(wo)(wo)們(men)(men)(men)以256Hz的(de)(de)(de)采(cai)樣率對這(zhe)個(ge)(ge)(ge)信(xin)(xin)號進(jin)行采(cai)樣，總共采(cai)樣256點。按照我(wo)(wo)們(men)(men)(men)上面(mian)的(de)(de)(de)分(fen)(fen)析，Fn=(n-1)*Fs/N，我(wo)(wo)們(men)(men)(men)可以知道，每兩個(ge)(ge)(ge)點之間的(de)(de)(de)間距就是1Hz，第(di)n個(ge)(ge)(ge)點的(de)(de)(de)頻(pin)率就是n-1。我(wo)(wo)們(men)(men)(men)的(de)(de)(de)信(xin)(xin)號有3個(ge)(ge)(ge)頻(pin)率：0Hz、50Hz、75Hz，應(ying)該(gai)分(fen)(fen)別(bie)在(zai)第(di)1個(ge)(ge)(ge)點、第(di)51個(ge)(ge)(ge)點、第(di)76個(ge)(ge)(ge)點上出(chu)現(xian)峰值(zhi)，其它(ta)各點應(ying)該(gai)接(jie)近0。實際(ji)情況如何呢？我(wo)(wo)們(men)(men)(men)來(lai)看看FFT的(de)(de)(de)結果(guo)的(de)(de)(de)模值(zhi)如圖所示。
從(cong)圖中我們(men)可以看到，在第1點(dian)(dian)、第51點(dian)(dian)、和第76點(dian)(dian)附(fu)(fu)近(jin)有比較大的(de)值。我們(men)分別將這三個點(dian)(dian)附(fu)(fu)近(jin)的(de)數(shu)據拿上來細看：
1點： 512+0i
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點(dian)：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點：332.55 - 192i
52點(dian)：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點：3.4315E-12 + 192i
77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明顯(xian)，1點(dian)(dian)、51點(dian)(dian)、76點(dian)(dian)的值(zhi)都(dou)(dou)比(bi)較(jiao)大，它附近的點(dian)(dian)值(zhi)都(dou)(dou)很小(xiao)，可(ke)以(yi)認(ren)為是(shi)0，即在那些(xie)頻率點(dian)(dian)上(shang)的信號(hao)幅度(du)為0。接著(zhu)，我(wo)們(men)來計(ji)算各點(dian)(dian)的幅度(du)值(zhi)。分別計(ji)算這三(san)個(ge)點(dian)(dian)的模值(zhi)，結果(guo)如(ru)下：
1點： 512
51點：384
76點：192
按照(zhao)公式(shi)，可以計算(suan)出直流分量(liang)為(wei)：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅(fu)度為(wei)：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅(fu)度為(wei)192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻(pin)譜分析出來的幅(fu)度是正確(que)的。
然后再來(lai)計算(suan)相(xiang)(xiang)位(wei)信息。直流信號(hao)沒有相(xiang)(xiang)位(wei)可言，不用管它。先(xian)計算(suan)50Hz信號(hao)的相(xiang)(xiang)位(wei)，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是(shi)弧(hu)度(du)，換(huan)算(suan)為角(jiao)度(du)就(jiu)是(shi)180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算(suan)75Hz信號(hao)的相(xiang)(xiang)位(wei)，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧(hu)度(du)，換(huan)算(suan)成角(jiao)度(du)就(jiu)是(shi)180*1.5708/pi=90.0002。可見，相(xiang)(xiang)位(wei)也是(shi)對的。根(gen)據(ju)FFT結果以及上面(mian)的分析計算(suan)，我們(men)就(jiu)可以寫(xie)出信號(hao)的表(biao)達式了，它就(jiu)是(shi)我們(men)開始提(ti)供(gong)的信號(hao)。
總結：假設(she)采(cai)樣(yang)(yang)頻(pin)率(lv)(lv)為(wei)Fs，采(cai)樣(yang)(yang)點(dian)數(shu)(shu)為(wei)N，做FFT之后，某一(yi)點(dian)n（n從1開始）表示的(de)(de)頻(pin)率(lv)(lv)為(wei)：Fn=(n-1)*Fs/N；該點(dian)的(de)(de)模值(zhi)除以N/2就(jiu)是對(dui)應該頻(pin)率(lv)(lv)下(xia)(xia)的(de)(de)信號(hao)的(de)(de)幅度(du)（對(dui)于直流信號(hao)是除以N）；該點(dian)的(de)(de)相(xiang)位(wei)即是對(dui)應該頻(pin)率(lv)(lv)下(xia)(xia)的(de)(de)信號(hao)的(de)(de)相(xiang)位(wei)。相(xiang)位(wei)的(de)(de)計(ji)算可用(yong)函數(shu)(shu)atan2(b,a)計(ji)算。atan2(b,a)是求坐標(biao)為(wei)(a,b)點(dian)的(de)(de)角度(du)值(zhi)，范圍從-pi到pi。要(yao)精確到xHz，則需(xu)要(yao)采(cai)樣(yang)(yang)長(chang)度(du)為(wei)1/x秒的(de)(de)信號(hao)，并(bing)做FFT。要(yao)提高頻(pin)率(lv)(lv)分(fen)辨率(lv)(lv)，就(jiu)需(xu)要(yao)增加采(cai)樣(yang)(yang)點(dian)數(shu)(shu)，這(zhe)在(zai)一(yi)些實(shi)(shi)際(ji)的(de)(de)應用(yong)中是不(bu)現實(shi)(shi)的(de)(de)，需(xu)要(yao)在(zai)較短(duan)的(de)(de)時(shi)間內完成分(fen)析。解決這(zhe)個問題的(de)(de)方法(fa)有頻(pin)率(lv)(lv)細分(fen)法(fa)，比較簡單(dan)的(de)(de)方法(fa)是采(cai)樣(yang)(yang)比較短(duan)時(shi)間的(de)(de)信號(hao)，然后在(zai)后面補(bu)充(chong)一(yi)定數(shu)(shu)量的(de)(de)0，使其長(chang)度(du)達到需(xu)要(yao)的(de)(de)點(dian)數(shu)(shu)，再做FFT，這(zhe)在(zai)一(yi)定程度(du)上(shang)能夠(gou)提高頻(pin)率(lv)(lv)分(fen)辨力(li)。具(ju)體的(de)(de)頻(pin)率(lv)(lv)細分(fen)法(fa)可參考相(xiang)關文獻(xian)。
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