傅里葉(xie)變換,表(biao)示(shi)能將滿足一(yi)定(ding)條件的(de)(de)某個函(han)數表(biao)示(shi)成三角函(han)數(正弦和/或余弦函(han)數)或者它們的(de)(de)積分(fen)的(de)(de)線性組合。
在不(bu)同的(de)研(yan)究領(ling)域,傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)具(ju)有多(duo)種不(bu)同的(de)變(bian)(bian)體形(xing)式,如連續傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)和離散傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)。最初傅里(li)葉(xie)(xie)分析(xi)是(shi)作為(wei)熱(re)過程的(de)解析(xi)分析(xi)的(de)工具(ju)被提出(chu)的(de)。
設(she)f∈,則其傅里葉變換(huan)為上的函數,定義為
且稱為傅里葉級數(shu)。
收斂性
f到(dao)的傅(fu)(fu)里葉映射為,且,且f的傅(fu)(fu)里葉級數在L2范數下收(shou)斂于(yu)f。
對稱性質
若 ,則。
奇偶性質
若 ,且 ,其中 表(biao)示(shi) 的(de)(de)(de)實部(bu), 表(biao)示(shi) 的(de)(de)(de)虛部(bu),則 是關(guan)(guan)于 的(de)(de)(de)偶函數(shu),的(de)(de)(de)模(mo)是關(guan)(guan)于的(de)(de)(de)偶函數(shu),輻角是關(guan)(guan)于的(de)(de)(de)奇函數(shu)。
線性性質
若,,則
其中α和β為常數。
時移性質
若,則。
頻移性質
若,則。
尺度變換性質
若,則。
卷積定理
時域(yu)卷積定理(li):若(ruo),,則;
頻域卷積定(ding)理(li):若,,則。
時域微積分
微分(fen)性質:若,則,;
積分(fen)性(xing)質:若,則。
頻域微積分
微分性質(zhi):若,則(ze);
積分(fen)性質(zhi):若(ruo),則。
盡管(guan)最初傅(fu)里葉分(fen)析是作為熱(re)過程的(de)(de)解析分(fen)析的(de)(de)工具(ju)(ju),但是其思(si)想方法仍然具(ju)(ju)有典型的(de)(de)還原(yuan)論和分(fen)析主(zhu)義的(de)(de)特征(zheng)。"任(ren)意"的(de)(de)函(han)數通過一定(ding)的(de)(de)分(fen)解,都能夠表(biao)示為正弦函(han)數的(de)(de)線(xian)性(xing)組合的(de)(de)形式,而正弦函(han)數在物(wu)理上是被充分(fen)研究而相(xiang)對簡(jian)單的(de)(de)函(han)數類(lei),這一想法跟(gen)化(hua)學上的(de)(de)原(yuan)子論想法何其相(xiang)似(si)!奇(qi)妙的(de)(de)是,現(xian)(xian)代(dai)數學發現(xian)(xian)傅(fu)里葉變換(huan)具(ju)(ju)有非(fei)常好的(de)(de)性(xing)質,使得(de)它如此的(de)(de)好用(yong)和有用(yong),讓人不得(de)不感嘆造物(wu)的(de)(de)神奇(qi):
傅里(li)葉變(bian)換是(shi)線(xian)性(xing)算(suan)子,若(ruo)賦予適當的(de)范數,它還是(shi)酉算(suan)子;
傅里葉變換(huan)(huan)的逆變換(huan)(huan)容(rong)易(yi)求出,而且形式與正變換(huan)(huan)非常類(lei)似;
正(zheng)弦(xian)基函(han)數是微(wei)分(fen)運算的(de)(de)本征(zheng)函(han)數,從(cong)而使得線性微(wei)分(fen)方(fang)程(cheng)的(de)(de)求解(jie)可以轉化為(wei)常系數的(de)(de)代(dai)數方(fang)程(cheng)的(de)(de)求解(jie).在線性時(shi)不(bu)變的(de)(de)物理系統內,頻率是個不(bu)變的(de)(de)性質,從(cong)而系統對于(yu)復雜激(ji)勵的(de)(de)響(xiang)應(ying)(ying)可以通過組(zu)合其(qi)對不(bu)同頻率正(zheng)弦(xian)信號的(de)(de)響(xiang)應(ying)(ying)來獲取;
著名的(de)卷積定(ding)理指出:傅里葉變換(huan)可以化復雜的(de)卷積運算(suan)為簡單的(de)乘(cheng)積運算(suan),從而提供了計算(suan)卷積的(de)一種簡單手段;
離散形式的傅里葉(xie)變換可以利用數字(zi)計算(suan)機快(kuai)速的算(suan)出(其算(suan)法稱為(wei)快(kuai)速傅里葉(xie)變換算(suan)法(FFT)).
正是由于上述的良好性質(zhi),傅里葉變換在(zai)物(wu)理學、數(shu)論、組(zu)合數(shu)學、信號處理、概率、統計(ji)、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應(ying)用。
傅(fu)里葉(xie)變換是數字信號處(chu)理中(zhong)的基本(ben)操作,廣(guang)泛應用(yong)于(yu)表述(shu)及分析離(li)散時域信號領域。但由(you)于(yu)其(qi)運算量與變換點數N的平方(fang)成正比關系,因此,在N較大時,直(zhi)接應用(yong)DFT算法進(jin)行譜(pu)變換是不(bu)切合實際的。然而,快速傅(fu)里葉(xie)變換技術的出現使情況發生了根本(ben)性(xing)的變化。本(ben)文主要(yao)描述(shu)了采(cai)用(yong)FPGA來(lai)實現2k/4k/8k點FFT的設計(ji)方(fang)法。
一般(ban)情況下,N點的傅里葉變換對為:
其(qi)中,WN=exp(-2pi/N)。X(k)和(he)x(n)都為(wei)復數。與之(zhi)相對的(de)(de)快(kuai)速傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)有(you)很(hen)多種(zhong),如DIT(時域(yu)抽(chou)取法(fa)(fa))、DIF(頻域(yu)抽(chou)取法(fa)(fa))、Cooley-Tukey和(he)Winograd等(deng)。對于2n傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan),Cooley-Tukey算(suan)法(fa)(fa)可導出DIT和(he)DIF算(suan)法(fa)(fa)。本(ben)文運用的(de)(de)基本(ben)思想是(shi)Cooley-Tukey算(suan)法(fa)(fa),即將高(gao)點(dian)數的(de)(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)通過(guo)多重低點(dian)數傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)來實現。雖然DIT與DIF有(you)差(cha)別,但由于它們(men)在本(ben)質上都是(shi)一種(zhong)基于標號分(fen)解的(de)(de)算(suan)法(fa)(fa),故在運算(suan)量和(he)算(suan)法(fa)(fa)復雜性等(deng)方(fang)面完全一樣,而沒有(you)性能上的(de)(de)優劣(lie)之(zhi)分(fen),所以(yi)可以(yi)根(gen)據需要(yao)任取其(qi)中一種(zhong),本(ben)文主要(yao)以(yi)DIT方(fang)法(fa)(fa)為(wei)對象來討論。
N=8192點DFT的(de)運算表達式為:
式中,m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2,k=2048k1+k2)其(qi)中n1和(he)(he)k2可取0,1,...,2047,k1和(he)(he)n2可取0,1,2,3。
由式(shi)(3)可(ke)(ke)知,8k傅(fu)里(li)(li)(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)由4×2k的(de)(de)傅(fu)里(li)(li)(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)構(gou)(gou)成。同理,4k傅(fu)里(li)(li)(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)由2×2k的(de)(de)傅(fu)里(li)(li)(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)構(gou)(gou)成。而2k傅(fu)里(li)(li)(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)由128×16的(de)(de)傅(fu)里(li)(li)(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)構(gou)(gou)成。128的(de)(de)傅(fu)里(li)(li)(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)進(jin)一步(bu)由16×8的(de)(de)傅(fu)里(li)(li)(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)構(gou)(gou)成,歸(gui)根結底,整個(ge)傅(fu)里(li)(li)(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)由基(ji)2、基(ji)4的(de)(de)傅(fu)里(li)(li)(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)構(gou)(gou)成。2k的(de)(de)FFT可(ke)(ke)以通過5個(ge)基(ji)4和1個(ge)基(ji)2變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)來實(shi)現;4k的(de)(de)FFT變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)通過6個(ge)基(ji)4變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)來實(shi)現;8k的(de)(de)FFT可(ke)(ke)以通過6個(ge)基(ji)4和1個(ge)基(ji)2變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)來實(shi)現。也就(jiu)是說(shuo):FFT的(de)(de)基(ji)本結構(gou)(gou)可(ke)(ke)由基(ji)2/4模(mo)塊、復數乘法器、存儲(chu)單元和存儲(chu)器控制模(mo)塊構(gou)(gou)成,其整體結構(gou)(gou)如圖1所示。
RAM用來存儲輸入數據、運算過程(cheng)中(zhong)的中(zhong)間(jian)結果以及(ji)運算完成后的數據,ROM用來存儲旋(xuan)轉因子表。蝶形運算單元即(ji)為(wei)基(ji)2/4模(mo)(mo)塊,控制模(mo)(mo)塊可用于產生控制時序及(ji)地址信號,以控制中(zhong)間(jian)運算過程(cheng)及(ji)最(zui)后輸出結果。
基(ji)4和(he)基(ji)2的信號流(liu)如(ru)圖2所示(shi)。圖中,若A=r0+j*i0,B=r1+j*i1,C=r2+j*i2,D=r3+j*i3是要進行(xing)變換的信號,Wk0=c0+j*s0=1,Wk1=c1+j*s1,Wk2=c2+j*s2,Wk3=c3+j*s3為旋轉因子,將其(qi)分(fen)別代入圖2中的基(ji)4蝶形運算(suan)單元,則有(you):
A′=[r0+(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)+(r3×c3-i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? (4)
B′=[r0+(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)-(i3×c3+r3×s3)]+j[i0-(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)+(r3×c3-i3×s3)] (5)
C′=[r0-(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)-(r3×c3-i3×s3)]+j[i0-(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)-(i3×c3+r3×s3)] (6)
D′=[r0-(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)-(r3×c3-i3×s3)]? (7)
而在基(ji)2蝶形中(zhong),Wk0和Wk2的(de)值均為1,這(zhe)樣,將(jiang)A,B,C和D的(de)表達式(shi)代入(ru)圖2中(zhong)的(de)基(ji)2運算的(de)四個等式(shi)中(zhong),則有:
A′=r0+(r1×c1-i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? (8)
B′=r0- (r1×c1-i1×s1)+j[i0-(i1×c1+r1×s1)] (9)
C′=r2+(r3×c3-i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? (10)
D′=r2-(r3×c3-i3×s3)+j[i0-(i3×c3+r3×s3)]? (11)
在上述式(4)~(11)中有很多類同項,如(ru)i1×c1+r1×s1和r1×c1-i1×s1等,它們僅(jin)僅(jin)是加(jia)減號的(de)不同,其結構和運(yun)算均類似,這就為簡(jian)化(hua)電(dian)路提(ti)(ti)供了(le)可能(neng)。同時(shi),在蝶形(xing)運(yun)算中,復數乘法(fa)可以由實數乘法(fa)以一定(ding)的(de)格式來表示(shi),這也為設(she)計復數乘法(fa)器(qi)提(ti)(ti)供了(le)一種實現的(de)途徑。
以基4為例,在(zai)其運算(suan)單元(yuan)中(zhong),實(shi)際(ji)上(shang)只(zhi)(zhi)需做三個復(fu)數乘法(fa)運算(suan),即(ji)只(zhi)(zhi)須計算(suan)BWk1、CWk2和DWk3的值即(ji)可,這(zhe)樣在(zai)一個基4蝶形單元(yuan)里面,最多只(zhi)(zhi)需要3個復(fu)數乘法(fa)器就(jiu)可以了。在(zai)實(shi)際(ji)過程(cheng)中(zhong),在(zai)不提高(gao)時鐘(zhong)頻率下,只(zhi)(zhi)要將時序控制好?便可利用流水(shui)線(Pipeline)技術并(bing)只(zhi)(zhi)用一個復(fu)數乘法(fa)器就(jiu)可完成(cheng)這(zhe)三個復(fu)數乘法(fa),大大節省了硬件資(zi)源(yuan)。
FFT變換(huan)后輸出(chu)的(de)結果(guo)通常為一特定的(de)倒序(xu)。因此,幾級(ji)變換(huan)后對地(di)址的(de)控制(zhi)必須準確(que)無誤。
倒(dao)(dao)序的(de)規律是和分(fen)解的(de)方式密切相關的(de),以基(ji)(ji)8為例,其基(ji)(ji)本倒(dao)(dao)序規則如(ru)下:
基(ji)8可以(yi)用2×2×2三級基(ji)2變(bian)換(huan)來表示,則其輸入順序則可用二進(jin)制序列(n1 n2 n3)來表示,變(bian)換(huan)結束后,其順序將變(bian)為(n3 n2 n1),如:X?011 → x?110 ,即輸入順序為3,輸出時順序變(bian)為6。
更進(jin)一步,對于(yu)基16的(de)變換(huan),可(ke)由2×2×2×2,4×4,4×2×2等形(xing)式(shi)來構成,相對于(yu)不(bu)同的(de)分解形(xing)式(shi),往往會有不(bu)同的(de)倒序方式(shi)。以4×4為(wei)(wei)(wei)例,其(qi)輸入(ru)順序可(ke)以用二進(jin)制序列(n1 n2 n3n4)來表示變換(huan)結束后,其(qi)順序可(ke)變為(wei)(wei)(wei)((n3 n4)(n1 n2)),如:X?0111 → x?1101 。即輸入(ru)順序為(wei)(wei)(wei)7,輸出時順序變為(wei)(wei)(wei)13。
在2k/4k/8k的傅里葉變換中,由于要經過多(duo)次的基4和基2運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan),因此,從每(mei)次運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan)完成后到進(jin)入下一(yi)次運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan)前,應對(dui)運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan)的結果進(jin)行倒(dao)序,以保證運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan)的正確性(xing)。
N點(dian)傅里葉變換的旋(xuan)轉因子有(you)著明(ming)顯的周期(qi)性和對稱(cheng)性。其周期(qi)性表現為:
FFT之所以(yi)可使運算效率得到提高,就是利用(yong)了對稱(cheng)性(xing)和周期性(xing)把(ba)長序列(lie)的DFT逐級(ji)分解成幾個序列(lie)的DFT,并(bing)最終以(yi)短點(dian)(dian)數變換(huan)來實現長點(dian)(dian)數變換(huan)。
根據旋轉因(yin)(yin)(yin)子(zi)的(de)對稱性(xing)和周期性(xing),在利用ROM存(cun)儲(chu)旋轉因(yin)(yin)(yin)子(zi)時(shi),可(ke)(ke)以(yi)只存(cun)儲(chu)旋轉因(yin)(yin)(yin)子(zi)表(biao)的(de)一部分,而(er)在讀(du)出時(shi)增(zeng)加讀(du)出地址及符號的(de)控制,這樣可(ke)(ke)以(yi)正確實現(xian)FFT。因(yin)(yin)(yin)此,充分利用旋轉因(yin)(yin)(yin)子(zi)的(de)性(xing)質,可(ke)(ke)節省70%以(yi)上存(cun)儲(chu)單元。
實(shi)際上(shang),由(you)于(yu)旋(xuan)轉因(yin)(yin)子(zi)可分(fen)解為(wei)正、余(yu)弦函數(shu)的(de)(de)(de)組(zu)合(he),故ROM中存(cun)的(de)(de)(de)值為(wei)正、余(yu)弦函數(shu)值的(de)(de)(de)組(zu)合(he)。對2k/4k/8k的(de)(de)(de)傅里葉(xie)變換來說,只是對一個周期進行不同的(de)(de)(de)分(fen)割。由(you)于(yu)8k變換的(de)(de)(de)旋(xuan)轉因(yin)(yin)子(zi)包括(kuo)了2k/4k的(de)(de)(de)所有因(yin)(yin)子(zi),因(yin)(yin)此,實(shi)現時只要對讀ROM的(de)(de)(de)地址(zhi)進行控制,即可實(shi)現2k/4k/8k變換的(de)(de)(de)通用。
因FFT是為(wei)時(shi)(shi)序電路而設(she)計(ji)的(de)(de)(de),因此,控(kong)制信(xin)號(hao)要(yao)(yao)包(bao)括(kuo)時(shi)(shi)序的(de)(de)(de)控(kong)制信(xin)號(hao)及存儲(chu)器的(de)(de)(de)讀寫地址(zhi),并產生各種輔助(zhu)的(de)(de)(de)指示信(xin)號(hao)。同時(shi)(shi)在計(ji)算(suan)模(mo)塊的(de)(de)(de)內部,為(wei)保證高速,所(suo)有的(de)(de)(de)乘法器都(dou)須始(shi)終保持較高的(de)(de)(de)利用(yong)率。這(zhe)意味(wei)著在每一(yi)個時(shi)(shi)鐘來臨時(shi)(shi)都(dou)要(yao)(yao)向這(zhe)些單元(yuan)輸(shu)入(ru)新的(de)(de)(de)操(cao)作數,而這(zhe)一(yi)切都(dou)需(xu)要(yao)(yao)控(kong)制信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)緊密配合。
為(wei)了(le)實(shi)現FFT的(de)(de)(de)流形運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan),在運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan)的(de)(de)(de)同時,存(cun)儲(chu)器也要接收數據。這(zhe)可以(yi)(yi)采(cai)用乒乓RAM的(de)(de)(de)方(fang)法來完成。這(zhe)種方(fang)式決定了(le)實(shi)現FFT運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan)的(de)(de)(de)最大時間。對(dui)于4k操作,其接收時間為(wei)4096個數據周(zhou)期(qi)(qi),這(zhe)樣FFT的(de)(de)(de)最大運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan)時間就是4096個數據周(zhou)期(qi)(qi)。另外,由于輸入數據是以(yi)(yi)一定的(de)(de)(de)時鐘為(wei)周(zhou)期(qi)(qi)依次輸入的(de)(de)(de),故在進行內部運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan)時,可以(yi)(yi)用較(jiao)高的(de)(de)(de)內部時鐘進行運(yun)(yun)算(suan)(suan)(suan),然后再存(cun)入RAM依次輸出。
為節省資源(yuan),可對(dui)(dui)存儲數據(ju)RAM采用原(yuan)址(zhi)讀出(chu)原(yuan)址(zhi)寫入(ru)的(de)(de)(de)(de)方法(fa),即在進(jin)行下一(yi)級變換的(de)(de)(de)(de)同時,首先應將結果回寫到讀出(chu)數據(ju)的(de)(de)(de)(de)RAM存貯器中;而對(dui)(dui)于ROM,則應采用與運算的(de)(de)(de)(de)數據(ju)相(xiang)對(dui)(dui)應的(de)(de)(de)(de)方法(fa)來讀出(chu)存儲器中旋轉因子(zi)的(de)(de)(de)(de)值。
在(zai)2k/4k/8k傅里(li)葉變(bian)換(huan)中,要實現通用性,控制器(qi)是最主(zhu)要的(de)(de)(de)模塊。2k、4k、8k變(bian)換(huan)具(ju)有不(bu)同(tong)的(de)(de)(de)內(nei)部(bu)運算時(shi)間和(he)存(cun)儲器(qi)地址,在(zai)設(she)計中,針對不(bu)同(tong)的(de)(de)(de)點(dian)數(shu)應設(she)計不(bu)同(tong)的(de)(de)(de)存(cun)儲器(qi)存(cun)取地址,同(tong)時(shi),在(zai)完(wan)成變(bian)換(huan)后,還要對開始輸(shu)出(chu)有用信(xin)號的(de)(de)(de)時(shi)刻進行指示(shi)。
Fourier transform或Transformée de Fourier有(you)多個(ge)中(zhong)文譯名,常(chang)見(jian)的有(you)“傅(fu)里葉變換(huan)(huan)”、“付立(li)(li)葉變換(huan)(huan)”、“傅(fu)立(li)(li)葉轉換(huan)(huan)”、“傅(fu)氏(shi)轉換(huan)(huan)”、“傅(fu)氏(shi)變換(huan)(huan)”、等(deng)(deng)等(deng)(deng)。
傅里(li)葉(xie)變換是一(yi)種分析(xi)信(xin)號(hao)(hao)的(de)方法,它可分析(xi)信(xin)號(hao)(hao)的(de)成(cheng)分,也(ye)可用這些(xie)成(cheng)分合成(cheng)信(xin)號(hao)(hao)。許多(duo)波形(xing)可作(zuo)為信(xin)號(hao)(hao)的(de)成(cheng)分,比如正(zheng)弦波、方波、鋸齒波等,傅里(li)葉(xie)變換用正(zheng)弦波作(zuo)為信(xin)號(hao)(hao)的(de)成(cheng)分。
f(t)是t的(de)周(zhou)期(qi)函(han)(han)數,如果t滿足狄利(li)克雷條件(jian):在一個以2T為周(zhou)期(qi)內(nei)f(X)連續(xu)或只有(you)(you)有(you)(you)限(xian)個第一類間(jian)斷(duan)點(dian),附f(x)單(dan)調(diao)(diao)或可(ke)劃分(fen)成有(you)(you)限(xian)個單(dan)調(diao)(diao)區(qu)間(jian),則(ze)F(x)以2T為周(zhou)期(qi)的(de)傅里葉(xie)(xie)級數收斂(lian),和(he)函(han)(han)數S(x)也是以2T為周(zhou)期(qi)的(de)周(zhou)期(qi)函(han)(han)數,且在這(zhe)些間(jian)斷(duan)點(dian)上,函(han)(han)數是有(you)(you)限(xian)值;在一個周(zhou)期(qi)內(nei)具有(you)(you)有(you)(you)限(xian)個極值點(dian);絕(jue)對可(ke)積(ji)。則(ze)有(you)(you)下圖①式(shi)成立。稱為積(ji)分(fen)運算f(t)的(de)傅里葉(xie)(xie)變換,
②式的(de)積(ji)分運算叫做F(ω)的(de)傅里葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的(de)象(xiang)函數,f(t)叫做
F(ω)的象原函數。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。
①傅里葉變換
②傅里葉逆變換
傅(fu)里葉(xie)變換(huan)在(zai)物理學(xue)(xue)、電子(zi)類學(xue)(xue)科(ke)、數(shu)論(lun)、組合數(shu)學(xue)(xue)、信(xin)號處(chu)理、概(gai)率論(lun)、統計學(xue)(xue)、密碼學(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)、光(guang)學(xue)(xue)、海洋學(xue)(xue)、結構動力學(xue)(xue)等(deng)領域(yu)都有著(zhu)廣泛(fan)的應用(yong)(例如在(zai)信(xin)號處(chu)理中,傅(fu)里葉(xie)變換(huan)的典型用(yong)途是將信(xin)號分解(jie)成頻率譜——顯(xian)示與頻率對(dui)應的幅值大(da)小)。
* 傅里葉變換屬于(yu)諧波分析(xi)。
* 傅里葉變換的逆變換容易(yi)求出,而(er)且形式與(yu)正變換非(fei)常類似(si);
* 正弦(xian)基函數(shu)(shu)是(shi)(shi)微分運算的(de)(de)本征函數(shu)(shu),從而(er)使得線性(xing)(xing)微分方程的(de)(de)求解(jie)可(ke)以轉化為常系(xi)數(shu)(shu)的(de)(de)代數(shu)(shu)方程的(de)(de)求解(jie).在線性(xing)(xing)時不變(bian)的(de)(de)物理(li)系(xi)統(tong)內,頻率是(shi)(shi)個(ge)不變(bian)的(de)(de)性(xing)(xing)質,從而(er)系(xi)統(tong)對于復雜激勵的(de)(de)響(xiang)應可(ke)以通過組合其對不同頻率正弦(xian)信號的(de)(de)響(xiang)應來獲取;
*卷積(ji)定理(li)指出(chu):傅里葉變換可以化(hua)復雜(za)的(de)卷積(ji)運算(suan)為簡單的(de)乘(cheng)積(ji)運算(suan),從而提供(gong)了計(ji)算(suan)卷積(ji)的(de)一(yi)種簡單手段;
* 離(li)散形式(shi)的傅里葉變換(huan)可以利用數字計算(suan)機(ji)快速地算(suan)出(chu)(其算(suan)法(fa)稱為快速傅里葉變換(huan)算(suan)法(fa)(FFT)).
一(yi)般(ban)情(qing)況下,若“傅里葉(xie)(xie)變(bian)換”一(yi)詞的(de)前面未加任(ren)何限定語,則指(zhi)(zhi)的(de)是“連續(xu)傅里葉(xie)(xie)變(bian)換”。“連續(xu)傅里葉(xie)(xie)變(bian)換”將平方可積的(de)函數(shu) 表示(shi)成復指(zhi)(zhi)數(shu)函數(shu)的(de)積分形式:
上式其(qi)實表(biao)(biao)示(shi)的(de)(de)是(shi)連續傅(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換的(de)(de)逆變(bian)換,即將(jiang)時(shi)(shi)間域的(de)(de)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)(shu)表(biao)(biao)示(shi)為(wei)頻率(lv)域的(de)(de)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)(shu) 的(de)(de)積(ji)分(fen)。反過來,其(qi)正(zheng)變(bian)換恰(qia)好是(shi)將(jiang)頻率(lv)域的(de)(de)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)(shu) 表(biao)(biao)示(shi)為(wei)時(shi)(shi)間域的(de)(de)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)(shu) 的(de)(de)積(ji)分(fen)形(xing)式。一般可稱(cheng)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)(shu) 為(wei)原函(han)(han)(han)數(shu)(shu)(shu),而稱(cheng)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)(shu) 為(wei)傅(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換的(de)(de)像函(han)(han)(han)數(shu)(shu)(shu),原函(han)(han)(han)數(shu)(shu)(shu)和像函(han)(han)(han)數(shu)(shu)(shu)構(gou)成一個(ge)傅(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換對(transform pair)。
當 為奇函(han)數(shu)(或偶函(han)數(shu))時(shi),其余弦(xian)(或正(zheng)弦(xian))分量為零,而可以稱這時(shi)的變(bian)換(huan)為余弦(xian)變(bian)換(huan)(或正(zheng)弦(xian)變(bian)換(huan))。
主條目(mu):傅(fu)里葉級數
連續形式的(de)傅(fu)里(li)(li)葉變換其實是(shi)傅(fu)里(li)(li)葉級(ji)數(shu)的(de)推(tui)廣,因為積分其實是(shi)一種極限形式的(de)求和算子(zi)而(er)已。對于(yu)周(zhou)期函數(shu),它的(de)傅(fu)里(li)(li)葉級(ji)數(shu)(Fourier series)表(biao)示被(bei)定(ding)義(yi)為:
其中 為函(han)數的周期, 為傅里葉展開(kai)系數,它們等于(yu)
對于(yu)實值函數(shu)(shu),函數(shu)(shu)的傅里葉級數(shu)(shu)可以寫成:
其中 和(he) 是實頻(pin)率(lv)分(fen)量的振幅。
主(zhu)條目:離散(san)時(shi)間(jian)傅里葉變換
離(li)散時間傅里葉(xie)變(bian)換(discrete-time Fourier transform, DTFT)針對的是(shi)定義域為Z的數(shu)列。設 為某一數(shu)列,則其DTFT被定義為
DTFT在時域上離散,在頻域上則(ze)是(shi)周期的,它一般用(yong)來對(dui)離散時間(jian)信號(hao)進行頻譜分(fen)析。DTFT可以被看作(zuo)是(shi)傅里(li)葉級數的逆。
為(wei)了在科(ke)學計(ji)算和數字信號處理等領域(yu)使(shi)用計(ji)算機進行傅(fu)里葉(xie)變(bian)換,必須將函數定義在離散(san)(san)點上而非連(lian)續域(yu)內,且須滿足有限性或周期性條(tiao)件。這種情況下,序列 的離散(san)(san)傅(fu)里葉(xie)變(bian)換(discrete Fourier transform, DFT)為(wei)
直(zhi)接使用DFT的(de)定(ding)義計(ji)算(suan)(suan)的(de)計(ji)算(suan)(suan)復(fu)雜(za)度為(wei)(wei) ,而快(kuai)速(su)傅里(li)葉變換(fast Fourier transform, FFT)可以(yi)將復(fu)雜(za)度改進(jin)為(wei)(wei) 。計(ji)算(suan)(suan)復(fu)雜(za)度的(de)降(jiang)低以(yi)及數(shu)字(zi)電路(lu)計(ji)算(suan)(suan)能力的(de)發展使得DFT成為(wei)(wei)在信(xin)號處理領域十分(fen)實(shi)用且重(zhong)要的(de)方法。
在阿貝爾群上的統一(yi)描述
以(yi)上各種傅(fu)里葉變(bian)(bian)換可以(yi)被(bei)更統一(yi)(yi)的(de)表述成任意(yi)局部緊(jin)致的(de)阿貝爾群上的(de)傅(fu)里葉變(bian)(bian)換。這一(yi)(yi)問題屬于調和分(fen)析的(de)范(fan)疇。在調和分(fen)析中,一(yi)(yi)個變(bian)(bian)換從一(yi)(yi)個群變(bian)(bian)換到(dao)它的(de)對(dui)偶群(dual group)。此外(wai),將傅(fu)里葉變(bian)(bian)換與卷積相聯系(xi)的(de)卷積定(ding)理(li)在調和分(fen)析中也有類似的(de)結(jie)論。
下(xia)表列出了傅里(li)葉變換家族(zu)的(de)(de)(de)成員。容易發現,函數(shu)在(zai)(zai)時(shi)(頻(pin))域(yu)的(de)(de)(de)離散(san)對應于其(qi)像函數(shu)在(zai)(zai)頻(pin)(時(shi))域(yu)的(de)(de)(de)周期(qi)性(xing),反之連續則意味著在(zai)(zai)對應域(yu)的(de)(de)(de)信號(hao)的(de)(de)(de)非(fei)周期(qi)性(xing)。
傅里(li)葉(xie)是(shi)一(yi)位法(fa)(fa)國(guo)(guo)(guo)數學(xue)家和(he)物(wu)理(li)學(xue)家的(de)名(ming)字(zi),英語原名(ming)是(shi)Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣,于1807年(nian)(nian)在(zai)法(fa)(fa)國(guo)(guo)(guo)科(ke)(ke)學(xue)學(xue)會(hui)上(shang)發表了一(yi)篇論(lun)文(wen)(wen),運用正弦曲線來描(miao)述溫(wen)度(du)分(fen)布,論(lun)文(wen)(wen)里(li)有(you)個在(zai)當(dang)(dang)時(shi)具有(you)爭議性的(de)決斷:任何連(lian)續周期信號(hao)可(ke)以由一(yi)組適當(dang)(dang)的(de)正弦曲線組合而成。當(dang)(dang)時(shi)審(shen)查這(zhe)(zhe)個論(lun)文(wen)(wen)的(de)人,其(qi)中(zhong)(zhong)有(you)兩位是(shi)歷史上(shang)著名(ming)的(de)數學(xue)家拉(la)(la)(la)(la)(la)格(ge)朗(lang)(lang)日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和(he)拉(la)(la)(la)(la)(la)普(pu)拉(la)(la)(la)(la)(la)斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),當(dang)(dang)拉(la)(la)(la)(la)(la)普(pu)拉(la)(la)(la)(la)(la)斯和(he)其(qi)它審(shen)查者投票通(tong)過并要(yao)發表這(zhe)(zhe)個論(lun)文(wen)(wen)時(shi),拉(la)(la)(la)(la)(la)格(ge)朗(lang)(lang)日堅決反對,在(zai)他此后(hou)生命的(de)六年(nian)(nian)中(zhong)(zhong),拉(la)(la)(la)(la)(la)格(ge)朗(lang)(lang)日堅持認為傅里(li)葉(xie)的(de)方(fang)法(fa)(fa)無法(fa)(fa)表示帶(dai)有(you)棱(leng)角的(de)信號(hao),如(ru)在(zai)方(fang)波中(zhong)(zhong)出現非連(lian)續變化斜率。法(fa)(fa)國(guo)(guo)(guo)科(ke)(ke)學(xue)學(xue)會(hui)屈服(fu)于拉(la)(la)(la)(la)(la)格(ge)朗(lang)(lang)日的(de)威望,拒絕了傅里(li)葉(xie)的(de)工作(zuo),幸運的(de)是(shi),傅里(li)葉(xie)還有(you)其(qi)它事情可(ke)忙(mang),他參(can)加了政治運動,隨拿破侖遠征埃(ai)及(ji),法(fa)(fa)國(guo)(guo)(guo)大革命后(hou)因(yin)會(hui)被推(tui)上(shang)斷頭臺而一(yi)直(zhi)在(zai)逃避。直(zhi)到拉(la)(la)(la)(la)(la)格(ge)朗(lang)(lang)日死后(hou)15年(nian)(nian)這(zhe)(zhe)個論(lun)文(wen)(wen)才被發表出來。
拉格(ge)朗日是(shi)對(dui)的:正弦曲線無法組合成(cheng)一個帶(dai)有棱角的信號。但(dan)是(shi),我們(men)可以用(yong)正弦曲線來非常逼(bi)近地表(biao)示它(ta),逼(bi)近到兩種表(biao)示方(fang)法不(bu)存在能量差別,基于此,傅里葉(xie)是(shi)對(dui)的。
用正(zheng)(zheng)(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)來代替原來的(de)(de)(de)(de)(de)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)而不用方(fang)波(bo)或三角(jiao)波(bo)來表示的(de)(de)(de)(de)(de)原因在于,分(fen)解信(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)法是無窮的(de)(de)(de)(de)(de),但分(fen)解信(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)目(mu)的(de)(de)(de)(de)(de)是為了(le)更加簡(jian)單地處理原來的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)。用正(zheng)(zheng)(zheng)余弦(xian)來表示原信(xin)(xin)號(hao)會更加簡(jian)單,因為正(zheng)(zheng)(zheng)余弦(xian)擁(yong)有原信(xin)(xin)號(hao)所不具有的(de)(de)(de)(de)(de)性質:正(zheng)(zheng)(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)保真(zhen)度。一(yi)個正(zheng)(zheng)(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)信(xin)(xin)號(hao)輸(shu)入后,輸(shu)出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)仍(reng)是正(zheng)(zheng)(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)線(xian)(xian),只有幅度和(he)相位可能(neng)發生變化(hua),但是頻率和(he)波(bo)的(de)(de)(de)(de)(de)形狀仍(reng)是一(yi)樣的(de)(de)(de)(de)(de)。且只有正(zheng)(zheng)(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)線(xian)(xian)才擁(yong)有這樣的(de)(de)(de)(de)(de)性質,正(zheng)(zheng)(zheng)因如此我們才不用方(fang)波(bo)或三角(jiao)波(bo)來表示。
為什么偏偏選擇三角(jiao)函(han)(han)(han)(han)數(shu)而(er)不(bu)用其(qi)他函(han)(han)(han)(han)數(shu)進行分解(jie)?我們(men)從物理系統(tong)的(de)(de)(de)特(te)征(zheng)(zheng)信號(hao)(hao)(hao)(hao)角(jiao)度來解(jie)釋。我們(men)知道:大自(zi)(zi)然(ran)(ran)中很多現象(xiang)(xiang)可(ke)以(yi)抽象(xiang)(xiang)成一個(ge)線(xian)(xian)性時(shi)不(bu)變系統(tong)來研(yan)究,無論你用微分方程還是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)傳遞函(han)(han)(han)(han)數(shu)或(huo)者狀(zhuang)態(tai)空間描述。線(xian)(xian)性時(shi)不(bu)變系統(tong)可(ke)以(yi)這樣(yang)理解(jie):輸(shu)入(ru)輸(shu)出信號(hao)(hao)(hao)(hao)滿足線(xian)(xian)性關系,而(er)且系統(tong)參數(shu)不(bu)隨時(shi)間變換。對于(yu)大自(zi)(zi)然(ran)(ran)界的(de)(de)(de)很多系統(tong),一個(ge)正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)(xian)曲(qu)線(xian)(xian)信號(hao)(hao)(hao)(hao)輸(shu)入(ru)后,輸(shu)出的(de)(de)(de)仍是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)(xian)曲(qu)線(xian)(xian),只(zhi)有(you)幅度和(he)相位(wei)可(ke)能(neng)發生(sheng)變化,但(dan)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)頻(pin)率和(he)波(bo)的(de)(de)(de)形(xing)狀(zhuang)仍是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)一樣(yang)的(de)(de)(de)。也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)說(shuo)正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)(xian)信號(hao)(hao)(hao)(hao)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)系統(tong)的(de)(de)(de)特(te)征(zheng)(zheng)向量!當(dang)然(ran)(ran),指(zhi)數(shu)信號(hao)(hao)(hao)(hao)也是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)系統(tong)的(de)(de)(de)特(te)征(zheng)(zheng)向量,表示能(neng)量的(de)(de)(de)衰減或(huo)積聚。自(zi)(zi)然(ran)(ran)界的(de)(de)(de)衰減或(huo)者擴散(san)現象(xiang)(xiang)大多是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)指(zhi)數(shu)形(xing)式的(de)(de)(de),或(huo)者既有(you)波(bo)動又有(you)指(zhi)數(shu)衰減(復(fu)指(zhi)數(shu) 形(xing)式),因此具(ju)有(you)特(te)征(zheng)(zheng)的(de)(de)(de)基函(han)(han)(han)(han)數(shu)就(jiu)由三角(jiao)函(han)(han)(han)(han)數(shu)變成復(fu)指(zhi)數(shu)函(han)(han)(han)(han)數(shu)。但(dan)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi),如果輸(shu)入(ru)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方波(bo)、三角(jiao)波(bo)或(huo)者其(qi)他什么波(bo)形(xing),那輸(shu)出就(jiu)不(bu)一定是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)什么樣(yang)子了。所(suo)以(yi),除了指(zhi)數(shu)信號(hao)(hao)(hao)(hao)和(he)正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)(xian)信號(hao)(hao)(hao)(hao)以(yi)外的(de)(de)(de)其(qi)他波(bo)形(xing)都不(bu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)線(xian)(xian)性系統(tong)的(de)(de)(de)特(te)征(zheng)(zheng)信號(hao)(hao)(hao)(hao)。
用正(zheng)弦(xian)曲線(xian)來(lai)代替原來(lai)的(de)(de)(de)曲線(xian)而不(bu)(bu)用方波(bo)或(huo)三角(jiao)波(bo)或(huo)者其他什么函數(shu)來(lai)表(biao)示的(de)(de)(de)原因在于:正(zheng)弦(xian)信號(hao)恰(qia)好(hao)是(shi)(shi)很多(duo)線(xian)性(xing)時不(bu)(bu)變(bian)(bian)(bian)系統(tong)的(de)(de)(de)特征(zheng)向(xiang)(xiang)量(liang)。于是(shi)(shi)就有(you)(you)了(le)(le)傅里葉變(bian)(bian)(bian)換(huan)。對于更一(yi)般的(de)(de)(de)線(xian)性(xing)時不(bu)(bu)變(bian)(bian)(bian)系統(tong),復(fu)指數(shu)信號(hao)(表(biao)示耗散或(huo)衰(shuai)減)是(shi)(shi)系統(tong)的(de)(de)(de)“特征(zheng)向(xiang)(xiang)量(liang)”。于是(shi)(shi)就有(you)(you)了(le)(le)拉普(pu)拉斯變(bian)(bian)(bian)換(huan)。z變(bian)(bian)(bian)換(huan)也是(shi)(shi)同樣的(de)(de)(de)道理(li),這(zhe)(zhe)時是(shi)(shi)離散系統(tong)的(de)(de)(de)“特征(zheng)向(xiang)(xiang)量(liang)”。這(zhe)(zhe)里沒(mei)有(you)(you)區分(fen)特征(zheng)函數(shu)和特征(zheng)向(xiang)(xiang)量(liang)的(de)(de)(de)概念(nian),主要想表(biao)達二者的(de)(de)(de)思想是(shi)(shi)相同的(de)(de)(de),只(zhi)不(bu)(bu)過一(yi)個是(shi)(shi)有(you)(you)限維向(xiang)(xiang)量(liang),一(yi)個是(shi)(shi)無限維函數(shu)。
傅(fu)里葉(xie)級數(shu)和傅(fu)里葉(xie)變換(huan)其(qi)實就是(shi)我們之(zhi)前(qian)討論的特征值與特征向量的問題。分(fen)解(jie)信(xin)號(hao)(hao)的方法是(shi)無窮的,但分(fen)解(jie)信(xin)號(hao)(hao)的目(mu)的是(shi)為(wei)了更加簡(jian)單地處(chu)理原(yuan)來(lai)(lai)的信(xin)號(hao)(hao)。這樣(yang),用(yong)正余弦(xian)來(lai)(lai)表示原(yuan)信(xin)號(hao)(hao)會更加簡(jian)單,因為(wei)正余弦(xian)擁有(you)(you)原(yuan)信(xin)號(hao)(hao)所不具有(you)(you)的性(xing)質:正弦(xian)曲線(xian)保真(zhen)度。且只(zhi)有(you)(you)正弦(xian)曲線(xian)才擁有(you)(you)這樣(yang)的性(xing)質。
這也解釋了(le)為什(shen)么我們(men)一碰到信(xin)號就想方設(she)法的(de)把它表(biao)示(shi)成正弦(xian)(xian)量(liang)或(huo)(huo)者(zhe)復(fu)(fu)指數量(liang)的(de)形式;為什(shen)么方波或(huo)(huo)者(zhe)三(san)角波如(ru)此“簡單(dan)”,我們(men)非要展開的(de)如(ru)此“麻煩”;為什(shen)么對(dui)于一個(ge)沒(mei)有什(shen)么規律的(de)“非周期”信(xin)號,我們(men)都絞盡腦汁的(de)用正弦(xian)(xian)量(liang)展開。就因為正弦(xian)(xian)量(liang)(或(huo)(huo)復(fu)(fu)指數)是特征向(xiang)量(liang)。
什么是時(shi)域?從我(wo)們出生,我(wo)們看到的(de)世(shi)界都(dou)(dou)以時(shi)間(jian)(jian)(jian)貫穿,股票的(de)走勢(shi)、人的(de)身高、汽車的(de)軌跡都(dou)(dou)會(hui)隨(sui)(sui)著(zhu)時(shi)間(jian)(jian)(jian)發生改變。這種(zhong)以時(shi)間(jian)(jian)(jian)作為(wei)(wei)參照來(lai)觀察(cha)動態世(shi)界的(de)方法(fa)我(wo)們稱其為(wei)(wei)時(shi)域分析(xi)。而(er)我(wo)們也想當然的(de)認為(wei)(wei),世(shi)間(jian)(jian)(jian)萬物(wu)都(dou)(dou)在(zai)隨(sui)(sui)著(zhu)時(shi)間(jian)(jian)(jian)不停的(de)改變,并且永遠不會(hui)靜止(zhi)下來(lai)。
什(shen)么是(shi)頻(pin)(pin)域(yu)?頻(pin)(pin)域(yu)(frequency domain)是(shi)描述信號在頻(pin)(pin)率方(fang)面特性(xing)時用(yong)到的(de)一(yi)種坐(zuo)標系。用(yong)線性(xing)代(dai)數的(de)語言就是(shi)裝著正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)函數的(de)空間。頻(pin)(pin)域(yu)最重要的(de)性(xing)質是(shi):它(ta)不是(shi)真實的(de),而是(shi)一(yi)個(ge)數學(xue)構(gou)造。頻(pin)(pin)域(yu)是(shi)一(yi)個(ge)遵(zun)循特定規則的(de)數學(xue)范疇。正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)波(bo)是(shi)頻(pin)(pin)域(yu)中唯一(yi)存在的(de)波(bo)形(xing),這(zhe)是(shi)頻(pin)(pin)域(yu)中最重要的(de)規則,即正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)波(bo)是(shi)對頻(pin)(pin)域(yu)的(de)描述,因為時域(yu)中的(de)任(ren)何波(bo)形(xing)都可用(yong)正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)波(bo)合成(cheng)。
對于一個信號來說,信號強(qiang)度隨(sui)時(shi)間的(de)變化(hua)規律(lv)就(jiu)是(shi)(shi)時(shi)域特性,信號是(shi)(shi)由哪些單一頻(pin)率的(de)信號合成的(de)就(jiu)是(shi)(shi)頻(pin)域特性。
時(shi)域(yu)(yu)分(fen)析(xi)(xi)與頻(pin)域(yu)(yu)分(fen)析(xi)(xi)是(shi)對(dui)信(xin)(xin)號的(de)兩個觀察面。時(shi)域(yu)(yu)分(fen)析(xi)(xi)是(shi)以(yi)時(shi)間軸為(wei)(wei)坐標(biao)(biao)表(biao)示動(dong)態信(xin)(xin)號的(de)關系;頻(pin)域(yu)(yu)分(fen)析(xi)(xi)是(shi)把(ba)信(xin)(xin)號變為(wei)(wei)以(yi)頻(pin)率軸為(wei)(wei)坐標(biao)(biao)表(biao)示出來。一(yi)般(ban)來說,時(shi)域(yu)(yu)的(de)表(biao)示較為(wei)(wei)形象與直觀,頻(pin)域(yu)(yu)分(fen)析(xi)(xi)則更為(wei)(wei)簡練,剖析(xi)(xi)問(wen)題更為(wei)(wei)深(shen)刻和(he)方便(bian)。目前,信(xin)(xin)號分(fen)析(xi)(xi)的(de)趨勢(shi)是(shi)從時(shi)域(yu)(yu)向頻(pin)域(yu)(yu)發展。然而(er),它們是(shi)互相(xiang)聯系,缺一(yi)不可(ke),相(xiang)輔相(xiang)成的(de)。貫穿(chuan)時(shi)域(yu)(yu)與頻(pin)域(yu)(yu)的(de)方法之一(yi),就是(shi)傳說中的(de)傅里(li)(li)葉(xie)分(fen)析(xi)(xi)。傅里(li)(li)葉(xie)分(fen)析(xi)(xi)可(ke)分(fen)為(wei)(wei)傅里(li)(li)葉(xie)級數(Fourier Serie)和(he)傅里(li)(li)葉(xie)變換(huan)(Fourier Transformation)。
根據原信號的(de)不同類(lei)型(xing),我們可以(yi)把傅里葉(xie)變換分(fen)為(wei)四種類(lei)別:
1非周(zhou)期(qi)性連(lian)續信(xin)號傅(fu)里葉變換(Fourier Transform)
2周(zhou)期性連續信號傅里(li)葉(xie)級數(shu)(Fourier Series)
3非(fei)周期性(xing)離散信號離散時(shi)域傅里(li)葉變換(Discrete Time Fourier Transform)
4周(zhou)期性離散(san)信號離散(san)傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)
下(xia)圖是四種原信號圖例:
這四種傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換都是(shi)(shi)針(zhen)對(dui)正無(wu)窮大和負無(wu)窮大的(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao),即信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)的(de)(de)(de)長(chang)(chang)(chang)度(du)(du)是(shi)(shi)無(wu)窮大的(de)(de)(de),我們(men)(men)(men)知道這對(dui)于(yu)計(ji)算機(ji)處理來說是(shi)(shi)不(bu)可(ke)能的(de)(de)(de),那么有(you)(you)沒有(you)(you)針(zhen)對(dui)長(chang)(chang)(chang)度(du)(du)有(you)(you)限的(de)(de)(de)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換呢?沒有(you)(you)。因為正余(yu)弦波被定(ding)義成(cheng)從(cong)負無(wu)窮大到正無(wu)窮大,我們(men)(men)(men)無(wu)法(fa)把一(yi)個長(chang)(chang)(chang)度(du)(du)無(wu)限的(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)組合成(cheng)長(chang)(chang)(chang)度(du)(du)有(you)(you)限的(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)。面對(dui)這種困難,方法(fa)是(shi)(shi)把長(chang)(chang)(chang)度(du)(du)有(you)(you)限的(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)表示成(cheng)長(chang)(chang)(chang)度(du)(du)無(wu)限的(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao),可(ke)以(yi)把信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)無(wu)限地從(cong)左右進(jin)行延伸(shen),延伸(shen)的(de)(de)(de)部分用(yong)零來表示,這樣,這個信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)就(jiu)可(ke)以(yi)被看成(cheng)是(shi)(shi)非周期(qi)(qi)性離(li)(li)散(san)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao),我們(men)(men)(men)就(jiu)可(ke)以(yi)用(yong)到離(li)(li)散(san)時域傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換的(de)(de)(de)方法(fa)。還有(you)(you),也可(ke)以(yi)把信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)用(yong)復制的(de)(de)(de)方法(fa)進(jin)行延伸(shen),這樣信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)就(jiu)變(bian)(bian)(bian)成(cheng)了周期(qi)(qi)性離(li)(li)散(san)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao),這時我們(men)(men)(men)就(jiu)可(ke)以(yi)用(yong)離(li)(li)散(san)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換方法(fa)進(jin)行變(bian)(bian)(bian)換。這里我們(men)(men)(men)要學的(de)(de)(de)是(shi)(shi)離(li)(li)散(san)信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao),對(dui)于(yu)連續信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)我們(men)(men)(men)不(bu)作(zuo)討論,因為計(ji)算機(ji)只能處理離(li)(li)散(san)的(de)(de)(de)數值信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao),我們(men)(men)(men)的(de)(de)(de)最終目的(de)(de)(de)是(shi)(shi)運用(yong)計(ji)算機(ji)來處理信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)。
但是(shi)對(dui)于(yu)非(fei)周期(qi)(qi)性的信號(hao)(hao)(hao),我(wo)們(men)需要(yao)(yao)用無(wu)窮多不同頻(pin)率的正弦曲(qu)線(xian)來(lai)表示,這對(dui)于(yu)計算機(ji)來(lai)說是(shi)不可能(neng)(neng)實現的。所以(yi)對(dui)于(yu)離(li)散(san)信號(hao)(hao)(hao)的變(bian)(bian)換只有(you)離(li)散(san)傅里(li)葉變(bian)(bian)換(DFT)才能(neng)(neng)被適用,對(dui)于(yu)計算機(ji)來(lai)說只有(you)離(li)散(san)的和(he)有(you)限長(chang)度的數據(ju)才能(neng)(neng)被處理,對(dui)于(yu)其它的變(bian)(bian)換類型只有(you)在(zai)數學演算中才能(neng)(neng)用到(dao),在(zai)計算機(ji)面前我(wo)們(men)只能(neng)(neng)用DFT方法,后面我(wo)們(men)要(yao)(yao)理解(jie)的也(ye)正是(shi)DFT方法。這里(li)要(yao)(yao)理解(jie)的是(shi)我(wo)們(men)使用周期(qi)(qi)性的信號(hao)(hao)(hao)目的是(shi)為了能(neng)(neng)夠用數學方法來(lai)解(jie)決問題,至于(yu)考慮(lv)周期(qi)(qi)性信號(hao)(hao)(hao)是(shi)從哪里(li)得到(dao)或怎(zen)樣得到(dao)是(shi)無(wu)意(yi)義的。
每種(zhong)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)(xie)變換都分(fen)成(cheng)實數(shu)(shu)和復(fu)(fu)數(shu)(shu)兩種(zhong)方(fang)(fang)法(fa),對(dui)于實數(shu)(shu)方(fang)(fang)法(fa)是最好理(li)(li)解的,但是復(fu)(fu)數(shu)(shu)方(fang)(fang)法(fa)就(jiu)相對(dui)復(fu)(fu)雜許多了(le),需要(yao)懂得有(you)關復(fu)(fu)數(shu)(shu)的理(li)(li)論知識,不過,如果理(li)(li)解了(le)實數(shu)(shu)離散傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)(xie)變換(real DFT),再(zai)去理(li)(li)解復(fu)(fu)數(shu)(shu)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)(xie)就(jiu)更(geng)容易了(le),所以我們先(xian)把復(fu)(fu)數(shu)(shu)的傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)(xie)放(fang)到一邊去,先(xian)來理(li)(li)解實數(shu)(shu)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)(xie)變換,在后(hou)面我們會先(xian)講講關于復(fu)(fu)數(shu)(shu)的基本理(li)(li)論,然后(hou)在理(li)(li)解了(le)實數(shu)(shu)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)(xie)變換的基礎上再(zai)來理(li)(li)解復(fu)(fu)數(shu)(shu)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)(xie)變換。
還有,這(zhe)里我們所要(yao)說的(de)變換(huan)(huan)(huan)(huan)(transform)雖然是數(shu)(shu)學意義上的(de)變換(huan)(huan)(huan)(huan),但跟函數(shu)(shu)變換(huan)(huan)(huan)(huan)是不同的(de),函數(shu)(shu)變換(huan)(huan)(huan)(huan)是符合一一映射(she)準則的(de),對(dui)于離散(san)數(shu)(shu)字信(xin)號處(chu)理(DSP),有許多的(de)變換(huan)(huan)(huan)(huan):傅里葉變換(huan)(huan)(huan)(huan)、拉普拉斯變換(huan)(huan)(huan)(huan)、Z變換(huan)(huan)(huan)(huan)、希爾(er)伯特變換(huan)(huan)(huan)(huan)、離散(san)余弦變換(huan)(huan)(huan)(huan)等,這(zhe)些都擴展了函數(shu)(shu)變換(huan)(huan)(huan)(huan)的(de)定(ding)義,允(yun)許輸(shu)入(ru)和輸(shu)出有多種的(de)值,簡單(dan)地(di)說變換(huan)(huan)(huan)(huan)就是把一堆的(de)數(shu)(shu)據變成另一堆的(de)數(shu)(shu)據的(de)方法。
傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換是(shi)數(shu)字(zi)信號(hao)(hao)處理領域一種很重要的(de)(de)算(suan)法。要知道傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換算(suan)法的(de)(de)意義(yi),首先要了解傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉原(yuan)理的(de)(de)意義(yi)。傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉原(yuan)理表明:任何連續測量(liang)的(de)(de)時序或信號(hao)(hao),都可以表示為不(bu)同頻率的(de)(de)正(zheng)弦波(bo)信號(hao)(hao)的(de)(de)無限疊加(jia)。而根據(ju)該(gai)原(yuan)理創立(li)的(de)(de)傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換算(suan)法利用直接測量(liang)到的(de)(de)原(yuan)始信號(hao)(hao),以累加(jia)方式(shi)來計算(suan)該(gai)信號(hao)(hao)中(zhong)不(bu)同正(zheng)弦波(bo)信號(hao)(hao)的(de)(de)頻率、振幅和相位。
和傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變換算(suan)法對(dui)應的是反傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變換算(suan)法。該反變換從(cong)本質(zhi)上(shang)說(shuo)也是一(yi)(yi)種累加處理,這樣就可以(yi)將單獨改變的正弦波信(xin)(xin)號轉(zhuan)換成(cheng)一(yi)(yi)個信(xin)(xin)號。因此,可以(yi)說(shuo),傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變換將原來難以(yi)處理的時(shi)域信(xin)(xin)號轉(zhuan)換成(cheng)了易于分(fen)析(xi)的頻域信(xin)(xin)號(信(xin)(xin)號的頻譜),可以(yi)利用(yong)(yong)一(yi)(yi)些(xie)工具對(dui)這些(xie)頻域信(xin)(xin)號進行處理、加工。最后還(huan)可以(yi)利用(yong)(yong)傅里(li)(li)葉(xie)(xie)反變換將這些(xie)頻域信(xin)(xin)號轉(zhuan)換成(cheng)時(shi)域信(xin)(xin)號。
從現代數(shu)學的眼光來看(kan),傅里(li)葉(xie)變(bian)換是(shi)一種特殊的積(ji)分(fen)(fen)變(bian)換。它(ta)能將滿足一定條件的某個函數(shu)表(biao)示成正弦(xian)基函數(shu)的線性組合(he)或者(zhe)積(ji)分(fen)(fen)。在(zai)不同(tong)的研究領域,傅里(li)葉(xie)變(bian)換具有多(duo)種不同(tong)的變(bian)體(ti)形(xing)式,如連續傅里(li)葉(xie)變(bian)換和離(li)散傅里(li)葉(xie)變(bian)換。
在數(shu)學領域,盡(jin)管最初傅里葉(xie)分(fen)析是(shi)(shi)作(zuo)為(wei)熱過(guo)程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)解析分(fen)析的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)具,但是(shi)(shi)其思想方法仍(reng)然具有典型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)還原論和分(fen)析主義的(de)(de)(de)(de)(de)(de)特征(zheng)。"任意"的(de)(de)(de)(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)通(tong)過(guo)一定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)解,都能(neng)夠(gou)表示為(wei)正弦(xian)(xian)函(han)(han)數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)線(xian)(xian)性(xing)組合的(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)式(shi),而正弦(xian)(xian)函(han)(han)數(shu)在物(wu)理上(shang)是(shi)(shi)被(bei)充分(fen)研究而相對(dui)(dui)簡(jian)(jian)單的(de)(de)(de)(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)類:1. 傅里葉(xie)變(bian)換是(shi)(shi)線(xian)(xian)性(xing)算(suan)(suan)(suan)子,若(ruo)賦予適當的(de)(de)(de)(de)(de)(de)范數(shu),它(ta)還是(shi)(shi)酉算(suan)(suan)(suan)子;2. 傅里葉(xie)變(bian)換的(de)(de)(de)(de)(de)(de)逆變(bian)換容易求(qiu)出(chu),而且(qie)形(xing)式(shi)與正變(bian)換非常(chang)類似;3. 正弦(xian)(xian)基函(han)(han)數(shu)是(shi)(shi)微分(fen)運算(suan)(suan)(suan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)本征(zheng)函(han)(han)數(shu),從而使得線(xian)(xian)性(xing)微分(fen)方程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)求(qiu)解可(ke)(ke)以轉化為(wei)常(chang)系數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)代(dai)數(shu)方程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)求(qiu)解。在線(xian)(xian)性(xing)時(shi)復(fu)雜(za)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)卷積運算(suan)(suan)(suan)為(wei)簡(jian)(jian)單的(de)(de)(de)(de)(de)(de)乘(cheng)積運算(suan)(suan)(suan),從而提供了計算(suan)(suan)(suan)卷積的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一種簡(jian)(jian)單手(shou)段;4. 離散形(xing)式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)傅里葉(xie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)理系統(tong)內,頻(pin)率(lv)是(shi)(shi)個不(bu)變(bian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)性(xing)質(zhi),從而系統(tong)對(dui)(dui)于復(fu)雜(za)激勵的(de)(de)(de)(de)(de)(de)響應(ying)可(ke)(ke)以通(tong)過(guo)組合其對(dui)(dui)不(bu)同頻(pin)率(lv)正弦(xian)(xian)信號的(de)(de)(de)(de)(de)(de)響應(ying)來獲(huo)取;5. 著名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)卷積定理指(zhi)出(chu):傅里葉(xie)變(bian)換可(ke)(ke)以化復(fu)變(bian)換可(ke)(ke)以利用數(shu)字計算(suan)(suan)(suan)機快(kuai)速(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)(suan)出(chu)(其算(suan)(suan)(suan)法稱為(wei)快(kuai)速(su)傅里葉(xie)變(bian)換算(suan)(suan)(suan)法(FFT))。
正是由于上述的良好性(xing)質,傅里(li)葉變換(huan)在物理學(xue)(xue)、數(shu)論、組合數(shu)學(xue)(xue)、信號處理、概率(lv)、統計、密碼(ma)學(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)、光學(xue)(xue)等領(ling)域都有著廣泛的應用。
圖像(xiang)(xiang)的(de)頻率是表(biao)征圖像(xiang)(xiang)中(zhong)(zhong)灰(hui)(hui)度(du)(du)變(bian)(bian)化劇(ju)(ju)烈(lie)程度(du)(du)的(de)指標,是灰(hui)(hui)度(du)(du)在(zai)平面(mian)空(kong)間上的(de)梯度(du)(du)。如:大面(mian)積的(de)沙漠在(zai)圖像(xiang)(xiang)中(zhong)(zhong)是一(yi)片(pian)灰(hui)(hui)度(du)(du)變(bian)(bian)化緩(huan)慢的(de)區(qu)域(yu)(yu),對應(ying)的(de)頻率值很低;而對于地表(biao)屬性變(bian)(bian)換(huan)(huan)劇(ju)(ju)烈(lie)的(de)邊緣區(qu)域(yu)(yu)在(zai)圖像(xiang)(xiang)中(zhong)(zhong)是一(yi)片(pian)灰(hui)(hui)度(du)(du)變(bian)(bian)化劇(ju)(ju)烈(lie)的(de)區(qu)域(yu)(yu),對應(ying)的(de)頻率值較(jiao)高(gao)。傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)在(zai)實際(ji)中(zhong)(zhong)有(you)非常明(ming)顯的(de)物理(li)意(yi)義,設f是一(yi)個能量有(you)限的(de)模擬信(xin)號,則其(qi)傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)就表(biao)示f的(de)譜。從(cong)純粹(cui)的(de)數(shu)學意(yi)義上看,傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)是將一(yi)個函數(shu)轉(zhuan)換(huan)(huan)為(wei)一(yi)系列周期函數(shu)來處理(li)的(de)。從(cong)物理(li)效(xiao)果看,傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)是將圖像(xiang)(xiang)從(cong)空(kong)間域(yu)(yu)轉(zhuan)換(huan)(huan)到頻率域(yu)(yu),其(qi)逆(ni)變(bian)(bian)換(huan)(huan)是將圖像(xiang)(xiang)從(cong)頻率域(yu)(yu)轉(zhuan)換(huan)(huan)到空(kong)間域(yu)(yu)。換(huan)(huan)句話說,傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)的(de)物理(li)意(yi)義是將圖像(xiang)(xiang)的(de)灰(hui)(hui)度(du)(du)分(fen)布函數(shu)變(bian)(bian)換(huan)(huan)為(wei)圖像(xiang)(xiang)的(de)頻率分(fen)布函數(shu),傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)逆(ni)變(bian)(bian)換(huan)(huan)是將圖像(xiang)(xiang)的(de)頻率分(fen)布函數(shu)變(bian)(bian)換(huan)(huan)為(wei)灰(hui)(hui)度(du)(du)分(fen)布函數(shu)。
傅里(li)(li)葉變換以(yi)(yi)前,圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(未壓縮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)位圖(tu)(tu)(tu)(tu))是(shi)(shi)(shi)由(you)對(dui)(dui)(dui)在(zai)連續(xu)空(kong)間(jian)(現(xian)實(shi)(shi)空(kong)間(jian))上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)采樣(yang)(yang)得到(dao)(dao)一(yi)(yi)系(xi)列點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)集合(he),我(wo)(wo)們(men)習慣(guan)用(yong)一(yi)(yi)個(ge)二(er)維(wei)(wei)矩(ju)陣表示(shi)空(kong)間(jian)上(shang)(shang)各(ge)(ge)點(dian)(dian),則(ze)圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)可(ke)(ke)由(you)z=f(x,y)來(lai)(lai)表示(shi)。由(you)于空(kong)間(jian)是(shi)(shi)(shi)三維(wei)(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de),圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)是(shi)(shi)(shi)二(er)維(wei)(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de),因(yin)此(ci)空(kong)間(jian)中(zhong)物體(ti)在(zai)另一(yi)(yi)個(ge)維(wei)(wei)度(du)上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)就(jiu)由(you)梯(ti)(ti)(ti)(ti)度(du)來(lai)(lai)表示(shi),這(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)我(wo)(wo)們(men)可(ke)(ke)以(yi)(yi)通(tong)過觀察(cha)圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)得知物體(ti)在(zai)三維(wei)(wei)空(kong)間(jian)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)(dui)(dui)應關系(xi)。為(wei)什么要提梯(ti)(ti)(ti)(ti)度(du)?因(yin)為(wei)實(shi)(shi)際上(shang)(shang)對(dui)(dui)(dui)圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)進行二(er)維(wei)(wei)傅里(li)(li)葉變換得到(dao)(dao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu),就(jiu)是(shi)(shi)(shi)圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)梯(ti)(ti)(ti)(ti)度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)布(bu)圖(tu)(tu)(tu)(tu),當然頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)各(ge)(ge)點(dian)(dian)與圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)上(shang)(shang)各(ge)(ge)點(dian)(dian)并(bing)不存(cun)(cun)在(zai)一(yi)(yi)一(yi)(yi)對(dui)(dui)(dui)應的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi),即使在(zai)不移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情況下也是(shi)(shi)(shi)沒有(you)。傅里(li)(li)葉頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)我(wo)(wo)們(men)看到(dao)(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)明暗不一(yi)(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮點(dian)(dian),實(shi)(shi)際上(shang)(shang)圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)上(shang)(shang)某(mou)一(yi)(yi)點(dian)(dian)與鄰域(yu)點(dian)(dian)差(cha)(cha)異的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)強(qiang)弱,即梯(ti)(ti)(ti)(ti)度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大小(xiao),也即該點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大小(xiao)(可(ke)(ke)以(yi)(yi)這(zhe)(zhe)么理解,圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)低頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)部(bu)分(fen)指低梯(ti)(ti)(ti)(ti)度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian),高頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)部(bu)分(fen)相(xiang)反(fan))。一(yi)(yi)般來(lai)(lai)講,梯(ti)(ti)(ti)(ti)度(du)大則(ze)該點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮度(du)強(qiang),否則(ze)該點(dian)(dian)亮度(du)弱。這(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)通(tong)過觀察(cha)傅里(li)(li)葉變換后(hou)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu),也叫(jiao)功率圖(tu)(tu)(tu)(tu),我(wo)(wo)們(men)首先就(jiu)可(ke)(ke)以(yi)(yi)看出(chu),圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)能量分(fen)布(bu),如果頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)暗的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)數更多(duo),那(nei)么實(shi)(shi)際圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)是(shi)(shi)(shi)比(bi)較柔和的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(因(yin)為(wei)各(ge)(ge)點(dian)(dian)與鄰域(yu)差(cha)(cha)異都不大,梯(ti)(ti)(ti)(ti)度(du)相(xiang)對(dui)(dui)(dui)較小(xiao)),反(fan)之(zhi),如果頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)亮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)數多(duo),那(nei)么實(shi)(shi)際圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)一(yi)(yi)定是(shi)(shi)(shi)尖銳的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de),邊界分(fen)明且(qie)邊界兩邊像(xiang)(xiang)素差(cha)(cha)異較大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。對(dui)(dui)(dui)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)原點(dian)(dian)以(yi)(yi)后(hou),可(ke)(ke)以(yi)(yi)看出(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率分(fen)布(bu)是(shi)(shi)(shi)以(yi)(yi)原點(dian)(dian)為(wei)圓心,對(dui)(dui)(dui)稱分(fen)布(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。將頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)圓心除(chu)了可(ke)(ke)以(yi)(yi)清晰地(di)看出(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率分(fen)布(bu)以(yi)(yi)外(wai),還有(you)一(yi)(yi)個(ge)好處,它可(ke)(ke)以(yi)(yi)分(fen)離出(chu)有(you)周期性規律(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)干擾(rao)信號(hao),比(bi)如正弦干擾(rao),一(yi)(yi)副帶(dai)有(you)正弦干擾(rao),移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)原點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜圖(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)可(ke)(ke)以(yi)(yi)看出(chu)除(chu)了中(zhong)心以(yi)(yi)外(wai)還存(cun)(cun)在(zai)以(yi)(yi)某(mou)一(yi)(yi)點(dian)(dian)為(wei)中(zhong)心,對(dui)(dui)(dui)稱分(fen)布(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮點(dian)(dian)集合(he),這(zhe)(zhe)個(ge)集合(he)就(jiu)是(shi)(shi)(shi)干擾(rao)噪(zao)音產生的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de),這(zhe)(zhe)時可(ke)(ke)以(yi)(yi)很直觀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)通(tong)過在(zai)該位置(zhi)放置(zhi)帶(dai)阻(zu)濾波(bo)器消(xiao)除(chu)干擾(rao)。
另外說(shuo)明(ming)以(yi)下幾點(dian):
1、圖像經過二維傅里葉變(bian)(bian)換后,其變(bian)(bian)換系數矩陣表(biao)明:
若(ruo)變換(huan)矩陣(zhen)(zhen)Fn原點設(she)(she)在中心,其(qi)頻譜能(neng)(neng)量集(ji)中分布在變換(huan)系數短陣(zhen)(zhen)的(de)(de)中心附(fu)近(圖(tu)(tu)中陰影區)。若(ruo)所用的(de)(de)二維傅里葉變換(huan)矩陣(zhen)(zhen)Fn的(de)(de)原點設(she)(she)在左上角(jiao),那么(me)圖(tu)(tu)像信號能(neng)(neng)量將集(ji)中在系數矩陣(zhen)(zhen)的(de)(de)四個角(jiao)上。這是由二維傅里葉變換(huan)本身性質(zhi)決定的(de)(de)。同時也表(biao)明一股圖(tu)(tu)像能(neng)(neng)量集(ji)中低頻區域(yu)。
2 、變換之(zhi)后的圖像在原(yuan)點(dian)平移(yi)之(zhi)前四角是(shi)低頻(pin),最亮(liang),平移(yi)之(zhi)后中間部分是(shi)低頻(pin),最亮(liang),亮(liang)度(du)大(da)說(shuo)明低頻(pin)的能量大(da)(幅角比較大(da))。
將其(qi)發展延伸,構造出(chu)了其(qi)他形式的積分變換:
從數(shu)(shu)學(xue)的(de)角度(du)理解積(ji)分變換(huan)就(jiu)是(shi)通過積(ji)分運算(suan),把一個(ge)函(han)數(shu)(shu)變成另一個(ge)函(han)數(shu)(shu)。也(ye)可以理解成是(shi)算(suan)內(nei)積(ji),然后(hou)就(jiu)變成一個(ge)函(han)數(shu)(shu)向另一個(ge)函(han)數(shu)(shu)的(de)投(tou)影(ying):
K(s,t)積分(fen)變(bian)換(huan)的核(he)(Kernel)。當(dang)選取(qu)不同(tong)的積分(fen)域(yu)和變(bian)換(huan)核(he)時,就得到不同(tong)名稱的積分(fen)變(bian)換(huan)。學術一點的說(shuo)法是:向核(he)空間(jian)投影,將(jiang)原問題轉化到核(he)空間(jian)。所謂核(he)空間(jian),就是這(zhe)個空間(jian)里面裝的是核(he)函數。
當然,選取什(shen)么(me)樣的(de)(de)核(he)主(zhu)要(yao)看你面對的(de)(de)問(wen)題(ti)(ti)有(you)什(shen)么(me)特(te)(te)征。不(bu)同問(wen)題(ti)(ti)的(de)(de)特(te)(te)征不(bu)同,就會對應特(te)(te)定(ding)的(de)(de)核(he)函數(shu)(shu)。把核(he)函數(shu)(shu)作(zuo)為(wei)基函數(shu)(shu)。將現在(zai)的(de)(de)坐標(biao)投影(ying)到核(he)空間里面去,問(wen)題(ti)(ti)就會得到簡化(hua)。之(zhi)所以叫核(he),是因為(wei)這是最核(he)心的(de)(de)地方。為(wei)什(shen)么(me)其他變換你都(dou)沒怎么(me)聽說過而只熟悉傅里葉變換和拉普拉斯(si)變換呢?因為(wei)復指數(shu)(shu)信號才是描述這個世界的(de)(de)特(te)(te)征函數(shu)(shu)!
一個關于實數離散傅里葉變換(huan)(Real DFT)實例
先(xian)來看一(yi)個(ge)變(bian)換實例,一(yi)個(ge)原始信(xin)(xin)號的(de)(de)(de)長度(du)是16,于(yu)是可(ke)以(yi)把(ba)這(zhe)(zhe)個(ge)信(xin)(xin)號分(fen)解9個(ge)余(yu)弦波和9個(ge)正弦波(一(yi)個(ge)長度(du)為(wei)N的(de)(de)(de)信(xin)(xin)號可(ke)以(yi)分(fen)解成(cheng)N/2+1個(ge)正余(yu)弦信(xin)(xin)號,這(zhe)(zhe)是為(wei)什么呢(ni)?結合(he)下面的(de)(de)(de)18個(ge)正余(yu)弦圖(tu),我(wo)想從計算機處(chu)理精(jing)度(du)上(shang)就不難理解,一(yi)個(ge)長度(du)為(wei)N的(de)(de)(de)信(xin)(xin)號,最多(duo)只能有N/2+1個(ge)不同頻率(lv),再多(duo)的(de)(de)(de)頻率(lv)就超(chao)過了計算機所(suo)能所(suo)處(chu)理的(de)(de)(de)精(jing)度(du)范圍(wei)),如(ru)下圖(tu):
9個正弦信號:
9個余弦信號:
把(ba)以上(shang)所有信(xin)號(hao)相加即可得到原始信(xin)號(hao),至于是怎么分(fen)別變(bian)換出9種不同頻率(lv)信(xin)號(hao)的,我(wo)們先不急(ji),先看(kan)(kan)看(kan)(kan)對(dui)于以上(shang)的變(bian)換結果,在(zai)程序中(zhong)又是該(gai)怎么表(biao)示的,我(wo)們可以看(kan)(kan)看(kan)(kan)下(xia)面這個示例圖:
上(shang)圖中左(zuo)邊(bian)(bian)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)時域中的(de)(de)(de)信(xin)號(hao),右邊(bian)(bian)是(shi)(shi)頻(pin)域信(xin)號(hao)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)法,從左(zuo)向(xiang)右表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)正向(xiang)轉換(huan)(Forward DFT),從右向(xiang)左(zuo)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)逆(ni)向(xiang)轉換(huan)(Inverse DFT),用(yong)小寫x[]表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)信(xin)號(hao)在每個時間(jian)點(dian)上(shang)的(de)(de)(de)幅(fu)(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)組(zu)(zu), 用(yong)大寫X[]表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)每種(zhong)(zhong)頻(pin)率的(de)(de)(de)幅(fu)(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)組(zu)(zu), 因為有N/2+1種(zhong)(zhong)頻(pin)率,所(suo)以該數(shu)(shu)(shu)組(zu)(zu)長(chang)度(du)(du)為N/2+1,X[]數(shu)(shu)(shu)組(zu)(zu)又分兩種(zhong)(zhong),一種(zhong)(zhong)是(shi)(shi)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)余弦波(bo)的(de)(de)(de)不(bu)同頻(pin)率幅(fu)(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi):Re X[],另(ling)一種(zhong)(zhong)是(shi)(shi)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)正弦波(bo)的(de)(de)(de)不(bu)同頻(pin)率幅(fu)(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi):Im X[],Re是(shi)(shi)實數(shu)(shu)(shu)(Real)的(de)(de)(de)意(yi)思(si),Im是(shi)(shi)虛數(shu)(shu)(shu)(Imagine)的(de)(de)(de)意(yi)思(si),采用(yong)復(fu)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)法把正余弦波(bo)組(zu)(zu)合起來(lai)進行表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi),但這里我們(men)不(bu)考慮(lv)復(fu)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)其它作用(yong),只記住(zhu)是(shi)(shi)一種(zhong)(zhong)組(zu)(zu)合方(fang)法而(er)已,目的(de)(de)(de)是(shi)(shi)為了便(bian)于表(biao)(biao)達(在后面我們(men)會知道,復(fu)數(shu)(shu)(shu)形式的(de)(de)(de)傅(fu)里葉(xie)變換(huan)長(chang)度(du)(du)是(shi)(shi)N,而(er)不(bu)是(shi)(shi)N/2+1)。
FFT是離(li)散(san)傅里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換的(de)(de)(de)(de)快速算(suan)法,可(ke)(ke)以(yi)將一個信號(hao)變(bian)(bian)換到(dao)(dao)頻(pin)域(yu)。有些信號(hao)在時域(yu)上是很(hen)(hen)難看出什么特征的(de)(de)(de)(de),但是如果變(bian)(bian)換到(dao)(dao)頻(pin)域(yu)之(zhi)后,就很(hen)(hen)容易(yi)看出特征了。這就是很(hen)(hen)多信號(hao)分析(xi)采用FFT變(bian)(bian)換的(de)(de)(de)(de)原因。另(ling)外,FFT可(ke)(ke)以(yi)將一個信號(hao)的(de)(de)(de)(de)頻(pin)譜提(ti)取出來,這在頻(pin)譜分析(xi)方面也(ye)是經常用的(de)(de)(de)(de)。
FFT結果(guo)的具體物理意義。一個模擬信(xin)號(hao),經(jing)過(guo)ADC采樣(yang)之后,就變成了數字信(xin)號(hao)。采樣(yang)定理告訴我們,采樣(yang)頻(pin)率要大(da)于信(xin)號(hao)頻(pin)率的兩(liang)倍。
采樣得(de)到(dao)的數(shu)字信號,就可以做FFT變換了(le)。N個采樣點(dian),經過FFT之后,就可以得(de)到(dao)N個點(dian)的FFT結果。為了(le)方便進行FFT運(yun)算,通(tong)常N取2的整數(shu)次方。
假設(she)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)為(wei)Fs,信(xin)號頻(pin)(pin)率(lv)(lv)F,采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu)為(wei)N。那么FFT之(zhi)(zhi)后結果(guo)(guo)(guo)就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)一(yi)個(ge)(ge)(ge)為(wei)N點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)復數(shu)。每(mei)一(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)就(jiu)(jiu)對應(ying)著一(yi)個(ge)(ge)(ge)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)。這(zhe)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)模(mo)值(zhi),就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)該(gai)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)值(zhi)下(xia)的(de)(de)(de)幅度(du)特性。具(ju)體跟原始信(xin)號的(de)(de)(de)幅度(du)有(you)什么關(guan)系呢?假設(she)原始信(xin)號的(de)(de)(de)峰(feng)值(zhi)為(wei)A,那么FFT的(de)(de)(de)結果(guo)(guo)(guo)的(de)(de)(de)每(mei)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(除了第(di)一(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)直流分(fen)量之(zhi)(zhi)外)的(de)(de)(de)模(mo)值(zhi)就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)A的(de)(de)(de)N/2倍。而(er)第(di)一(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)直流分(fen)量,它(ta)的(de)(de)(de)模(mo)值(zhi)就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)直流分(fen)量的(de)(de)(de)N倍。而(er)每(mei)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)相位呢,就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)在(zai)該(gai)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)下(xia)的(de)(de)(de)信(xin)號的(de)(de)(de)相位。第(di)一(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)表(biao)(biao)示直流分(fen)量(即0Hz),而(er)最后一(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)N的(de)(de)(de)再下(xia)一(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(實際上這(zhe)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)是(shi)(shi)(shi)(shi)不存(cun)在(zai)的(de)(de)(de),這(zhe)里是(shi)(shi)(shi)(shi)假設(she)的(de)(de)(de)第(di)N+1個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian),也(ye)可以(yi)看做(zuo)(zuo)是(shi)(shi)(shi)(shi)將(jiang)第(di)一(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)分(fen)做(zuo)(zuo)兩半(ban)分(fen),另一(yi)半(ban)移(yi)到最后)則(ze)(ze)表(biao)(biao)示采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)Fs,這(zhe)中間(jian)(jian)被(bei)N-1個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)平均(jun)分(fen)成N等份(fen),每(mei)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)依次增加(jia)。例如某點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)n所(suo)表(biao)(biao)示的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)為(wei):Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的(de)(de)(de)公式可以(yi)看出,Fn所(suo)能分(fen)辨到頻(pin)(pin)率(lv)(lv)為(wei)為(wei)Fs/N,如果(guo)(guo)(guo)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)Fs為(wei)1024Hz,采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu)為(wei)1024點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian),則(ze)(ze)可以(yi)分(fen)辨到1Hz。1024Hz的(de)(de)(de)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)率(lv)(lv)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)1024點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian),剛好是(shi)(shi)(shi)(shi)1秒,也(ye)就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)說,采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)1秒時間(jian)(jian)的(de)(de)(de)信(xin)號并做(zuo)(zuo)FFT,則(ze)(ze)結果(guo)(guo)(guo)可以(yi)分(fen)析到1Hz,如果(guo)(guo)(guo)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)2秒時間(jian)(jian)的(de)(de)(de)信(xin)號并做(zuo)(zuo)FFT,則(ze)(ze)結果(guo)(guo)(guo)可以(yi)分(fen)析到0.5Hz。如果(guo)(guo)(guo)要(yao)提高頻(pin)(pin)率(lv)(lv)分(fen)辨力,則(ze)(ze)必須增加(jia)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu),也(ye)即采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)時間(jian)(jian)。頻(pin)(pin)率(lv)(lv)分(fen)辨率(lv)(lv)和采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)時間(jian)(jian)是(shi)(shi)(shi)(shi)倒(dao)數(shu)關(guan)系。
假(jia)設FFT之后某點(dian)(dian)n用(yong)復(fu)數a+bi表示,那么這個復(fu)數的(de)(de)(de)模就(jiu)是An=根號(hao)a*a+b*b,相位就(jiu)是Pn=atan2(b,a)。根據以上的(de)(de)(de)結(jie)果,就(jiu)可(ke)以計(ji)算出n點(dian)(dian)(n≠1,且n<=N/2)對應的(de)(de)(de)信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)表達式為:An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即(ji)(ji)2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對于(yu)n=1點(dian)(dian)的(de)(de)(de)信(xin)號(hao),是直(zhi)流(liu)分(fen)量,幅度(du)即(ji)(ji)為A1/N。由(you)于(yu)FFT結(jie)果的(de)(de)(de)對稱性,通常(chang)我(wo)們只使用(yong)前半部分(fen)的(de)(de)(de)結(jie)果,即(ji)(ji)小于(yu)采樣(yang)頻率一(yi)半的(de)(de)(de)結(jie)果。
下面(mian)(mian)以(yi)一(yi)(yi)個(ge)實際的(de)(de)信號(hao)(hao)來(lai)做說明。假(jia)設(she)我(wo)們(men)(men)(men)有一(yi)(yi)個(ge)信號(hao)(hao),它含有2V的(de)(de)直流(liu)分量,頻(pin)率(lv)為(wei)50Hz、相(xiang)位為(wei)-30度(du)(du)、幅(fu)度(du)(du)為(wei)3V的(de)(de)交流(liu)信號(hao)(hao),以(yi)及一(yi)(yi)個(ge)頻(pin)率(lv)為(wei)75Hz、相(xiang)位為(wei)90度(du)(du)、幅(fu)度(du)(du)為(wei)1.5V的(de)(de)交流(liu)信號(hao)(hao)。用數學表達(da)式就是(shi)如下:S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數為(wei)弧度(du)(du),所以(yi)-30度(du)(du)和90度(du)(du)要分別換算成弧度(du)(du)。我(wo)們(men)(men)(men)以(yi)256Hz的(de)(de)采(cai)(cai)樣率(lv)對這個(ge)信號(hao)(hao)進行采(cai)(cai)樣,總(zong)共(gong)采(cai)(cai)樣256點(dian)(dian)(dian)。按照我(wo)們(men)(men)(men)上面(mian)(mian)的(de)(de)分析(xi),Fn=(n-1)*Fs/N,我(wo)們(men)(men)(men)可以(yi)知道,每兩個(ge)點(dian)(dian)(dian)之間(jian)的(de)(de)間(jian)距就是(shi)1Hz,第n個(ge)點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)頻(pin)率(lv)就是(shi)n-1。我(wo)們(men)(men)(men)的(de)(de)信號(hao)(hao)有3個(ge)頻(pin)率(lv):0Hz、50Hz、75Hz,應(ying)該分別在第1個(ge)點(dian)(dian)(dian)、第51個(ge)點(dian)(dian)(dian)、第76個(ge)點(dian)(dian)(dian)上出現(xian)峰值,其它各點(dian)(dian)(dian)應(ying)該接近0。實際情況如何(he)呢?我(wo)們(men)(men)(men)來(lai)看看FFT的(de)(de)結果(guo)的(de)(de)模值如圖所示。
從圖中我們(men)可(ke)以(yi)看到,在第(di)1點(dian)、第(di)51點(dian)、和第(di)76點(dian)附(fu)近(jin)有(you)比較大的值(zhi)。我們(men)分別將這三(san)個點(dian)附(fu)近(jin)的數據拿上來細看:
1點: 512+0i
2點: -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點: -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點(dian):-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點:332.55 - 192i
52點:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點:-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點:3.4315E-12 + 192i
77點:-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明(ming)顯,1點(dian)、51點(dian)、76點(dian)的(de)值(zhi)都比較大,它附(fu)近的(de)點(dian)值(zhi)都很小(xiao),可(ke)以認(ren)為(wei)是0,即在(zai)那(nei)些頻率點(dian)上的(de)信(xin)號幅度為(wei)0。接著,我們來(lai)計算各點(dian)的(de)幅度值(zhi)。分(fen)別計算這三個點(dian)的(de)模值(zhi),結果如(ru)下:
1點: 512
51點:384
76點:192
按照公(gong)式(shi),可(ke)以計(ji)算出直流(liu)分(fen)量為:512/N=512/256=2;50Hz信(xin)號的(de)幅度為:384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信(xin)號的(de)幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可(ke)見,從頻譜分(fen)析出來的(de)幅度是正確的(de)。
然后再(zai)來計算(suan)相位(wei)信(xin)息。直流(liu)信(xin)號(hao)沒有(you)相位(wei)可(ke)言,不用(yong)管它。先(xian)計算(suan)50Hz信(xin)號(hao)的(de)相位(wei),atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果(guo)是弧(hu)度,換算(suan)為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再(zai)計算(suan)75Hz信(xin)號(hao)的(de)相位(wei),atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧(hu)度,換算(suan)成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可(ke)見,相位(wei)也是對的(de)。根(gen)據FFT結果(guo)以及上面的(de)分(fen)析計算(suan),我(wo)們就可(ke)以寫出信(xin)號(hao)的(de)表達(da)式了,它就是我(wo)們開始提供(gong)的(de)信(xin)號(hao)。
總結:假(jia)設采(cai)(cai)(cai)樣(yang)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)為(wei)(wei)(wei)Fs,采(cai)(cai)(cai)樣(yang)點數(shu)(shu)為(wei)(wei)(wei)N,做FFT之(zhi)后,某一(yi)點n(n從1開始)表(biao)示的頻(pin)(pin)(pin)率(lv)為(wei)(wei)(wei):Fn=(n-1)*Fs/N;該(gai)(gai)點的模值除(chu)以N/2就是對應(ying)該(gai)(gai)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)下的信號(hao)(hao)的幅度(對于直流信號(hao)(hao)是除(chu)以N);該(gai)(gai)點的相(xiang)位即是對應(ying)該(gai)(gai)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)下的信號(hao)(hao)的相(xiang)位。相(xiang)位的計(ji)算(suan)可用函數(shu)(shu)atan2(b,a)計(ji)算(suan)。atan2(b,a)是求坐標為(wei)(wei)(wei)(a,b)點的角度值,范圍從-pi到(dao)pi。要精確到(dao)xHz,則需要采(cai)(cai)(cai)樣(yang)長度為(wei)(wei)(wei)1/x秒的信號(hao)(hao),并做FFT。要提高頻(pin)(pin)(pin)率(lv)分(fen)(fen)辨率(lv),就需要增(zeng)加采(cai)(cai)(cai)樣(yang)點數(shu)(shu),這(zhe)在(zai)(zai)一(yi)些實(shi)際的應(ying)用中是不(bu)現實(shi)的,需要在(zai)(zai)較短的時間內完(wan)成(cheng)分(fen)(fen)析。解決這(zhe)個(ge)問(wen)題的方(fang)法(fa)(fa)有(you)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)細分(fen)(fen)法(fa)(fa),比較簡單的方(fang)法(fa)(fa)是采(cai)(cai)(cai)樣(yang)比較短時間的信號(hao)(hao),然(ran)后在(zai)(zai)后面補充(chong)一(yi)定數(shu)(shu)量的0,使其長度達到(dao)需要的點數(shu)(shu),再做FFT,這(zhe)在(zai)(zai)一(yi)定程度上能夠提高頻(pin)(pin)(pin)率(lv)分(fen)(fen)辨力。具體的頻(pin)(pin)(pin)率(lv)細分(fen)(fen)法(fa)(fa)可參考相(xiang)關文獻。