傅里葉變換，表(biao)示能將滿足一(yi)定條件(jian)的某個(ge)函數表(biao)示成三角函數（正(zheng)弦和/或(huo)余弦函數）或(huo)者它(ta)們的積(ji)分的線性組合。
在不同的(de)研(yan)究領域(yu)，傅里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)具有多種不同的(de)變(bian)體(ti)形式，如連續傅里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)和離散傅里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)。最初傅里(li)葉(xie)分(fen)析是作為熱過(guo)程的(de)解析分(fen)析的(de)工具被提出的(de)。
設f∈，則(ze)其傅里葉變(bian)換為上的函(han)數，定義(yi)為
且稱(cheng)為(wei)傅里葉(xie)級(ji)數(shu)。
收斂性
f到(dao)的(de)傅(fu)(fu)里葉映射為，且，且f的(de)傅(fu)(fu)里葉級數(shu)在L2范數(shu)下收斂于f。
對稱性質
若 ，則。
奇偶性質
若 ，且 ，其(qi)中(zhong) 表示 的實部(bu)， 表示 的虛部(bu)，則 是(shi)關(guan)于 的偶函(han)(han)數(shu)(shu)，的模是(shi)關(guan)于的偶函(han)(han)數(shu)(shu)，輻角是(shi)關(guan)于的奇(qi)函(han)(han)數(shu)(shu)。
線性性質
若，，則
其中α和β為(wei)常數。
時移性質
若，則。
頻移性質
若，則。
尺度變換性質
若，則。
卷積定理
時(shi)域卷積定(ding)理：若，，則；
頻域卷積定理：若，，則。
時域微積分
微分性質：若(ruo)，則，；
積分性質：若，則。
頻域微積分
微分性質：若，則(ze)；
積分性(xing)質(zhi)：若，則。
盡管最初(chu)傅(fu)里葉分(fen)(fen)析(xi)是作為(wei)熱過(guo)程的(de)(de)解析(xi)分(fen)(fen)析(xi)的(de)(de)工具，但是其(qi)思想(xiang)方法仍(reng)然具有(you)典(dian)型的(de)(de)還原論(lun)和分(fen)(fen)析(xi)主義的(de)(de)特征。"任意(yi)"的(de)(de)函數(shu)通過(guo)一定的(de)(de)分(fen)(fen)解，都能夠表(biao)示為(wei)正(zheng)(zheng)弦函數(shu)的(de)(de)線性(xing)(xing)組合的(de)(de)形式(shi)，而正(zheng)(zheng)弦函數(shu)在物理上是被充分(fen)(fen)研究而相對(dui)簡(jian)單的(de)(de)函數(shu)類(lei)，這一想(xiang)法跟化學(xue)上的(de)(de)原子論(lun)想(xiang)法何其(qi)相似！奇妙的(de)(de)是，現代數(shu)學(xue)發(fa)現傅(fu)里葉變(bian)換具有(you)非常好的(de)(de)性(xing)(xing)質，使(shi)得(de)它(ta)如此的(de)(de)好用和有(you)用，讓人不得(de)不感嘆造物的(de)(de)神奇：
傅里葉變換是線性算子，若賦予適當的范數，它還是酉算子；
傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換的(de)逆變(bian)(bian)換容(rong)易求出，而(er)且形式(shi)與正變(bian)(bian)換非(fei)常類似；
正(zheng)弦(xian)基函(han)(han)數是微分(fen)運(yun)算的(de)本征(zheng)函(han)(han)數，從而(er)使(shi)得線性微分(fen)方程的(de)求(qiu)解可以轉化為常系數的(de)代數方程的(de)求(qiu)解.在線性時(shi)不(bu)(bu)變(bian)的(de)物理系統(tong)內，頻率是個不(bu)(bu)變(bian)的(de)性質，從而(er)系統(tong)對于(yu)復雜激勵(li)的(de)響應可以通過(guo)組合(he)其對不(bu)(bu)同頻率正(zheng)弦(xian)信(xin)號的(de)響應來獲(huo)取；
著名(ming)的(de)卷(juan)積定理(li)指出：傅(fu)里葉變換可以化復(fu)雜的(de)卷(juan)積運算為簡單的(de)乘(cheng)積運算，從而提(ti)供了計算卷(juan)積的(de)一種(zhong)簡單手段；
離散形式的(de)傅里葉變換可以利用(yong)數字計算機快速(su)的(de)算出（其算法稱為快速(su)傅里葉變換算法（FFT)).
正是(shi)由(you)于上述的良好性質，傅里(li)葉變換(huan)在物理(li)學(xue)、數(shu)論、組合數(shu)學(xue)、信(xin)號處(chu)理(li)、概率(lv)、統(tong)計、密(mi)碼學(xue)、聲學(xue)、光學(xue)等領域都有著廣泛的應用(yong)。
傅里(li)葉(xie)變(bian)換是數字信號處理中(zhong)的(de)基本操(cao)作，廣泛應用(yong)于(yu)表述(shu)及分析離散時域信號領域。但由于(yu)其運算(suan)(suan)量(liang)與變(bian)換點(dian)數N的(de)平方成正比關系，因此，在N較大(da)時，直接(jie)應用(yong)DFT算(suan)(suan)法進行(xing)譜變(bian)換是不切合實際的(de)。然(ran)而，快速傅里(li)葉(xie)變(bian)換技術的(de)出現使情(qing)況發(fa)生(sheng)了根本性的(de)變(bian)化。本文(wen)主要描述(shu)了采用(yong)FPGA來實現2k/4k/8k點(dian)FFT的(de)設計方法。
一般情況下(xia)，N點的傅里(li)葉變換對為：
其中(zhong)，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和(he)x(n）都為復數(shu)。與之相對(dui)的(de)快速傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)有很多(duo)種，如DIT（時(shi)域抽取(qu)法(fa)(fa)）、DIF（頻域抽取(qu)法(fa)(fa)）、Cooley－Tukey和(he)Winograd等。對(dui)于2n傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)，Cooley－Tukey算(suan)(suan)法(fa)(fa)可導(dao)出(chu)DIT和(he)DIF算(suan)(suan)法(fa)(fa)。本(ben)文運(yun)(yun)用的(de)基(ji)本(ben)思想是Cooley－Tukey算(suan)(suan)法(fa)(fa)，即將高點數(shu)的(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)通過多(duo)重低點數(shu)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)來(lai)實現。雖然(ran)DIT與DIF有差別，但(dan)由于它們在本(ben)質上(shang)都是一(yi)種基(ji)于標(biao)號(hao)分(fen)解的(de)算(suan)(suan)法(fa)(fa)，故在運(yun)(yun)算(suan)(suan)量(liang)和(he)算(suan)(suan)法(fa)(fa)復雜性等方面(mian)完全一(yi)樣，而沒(mei)有性能(neng)上(shang)的(de)優劣之分(fen)，所以可以根據需(xu)要(yao)任取(qu)其中(zhong)一(yi)種，本(ben)文主要(yao)以DIT方法(fa)(fa)為對(dui)象來(lai)討(tao)論。
N=8192點DFT的運(yun)算表(biao)達式為(wei)：
式中，m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2，k=2048k1+k2）其中n1和(he)k2可(ke)取0,1，．．．，2047,k1和(he)n2可(ke)取0,1,2,3。
由式（3）可知，8k傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)可由4×2k的(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)構成。同理，4k傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)可由2×2k的(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)構成。而2k傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)可由128×16的(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)構成。128的(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)可進一步由16×8的(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)構成，歸根結(jie)底，整個(ge)(ge)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)可由基(ji)2、基(ji)4的(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)構成。2k的(de)(de)(de)(de)(de)FFT可以通(tong)過(guo)(guo)5個(ge)(ge)基(ji)4和(he)1個(ge)(ge)基(ji)2變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)來實(shi)現(xian)；4k的(de)(de)(de)(de)(de)FFT變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)可通(tong)過(guo)(guo)6個(ge)(ge)基(ji)4變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)來實(shi)現(xian)；8k的(de)(de)(de)(de)(de)FFT可以通(tong)過(guo)(guo)6個(ge)(ge)基(ji)4和(he)1個(ge)(ge)基(ji)2變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)(huan)來實(shi)現(xian)。也就是說：FFT的(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)本結(jie)構可由基(ji)2/4模塊(kuai)、復數乘法器、存(cun)儲(chu)單(dan)元(yuan)和(he)存(cun)儲(chu)器控制模塊(kuai)構成，其整體結(jie)構如圖1所示(shi)。
RAM用(yong)來(lai)存儲(chu)輸入數(shu)據(ju)(ju)、運(yun)算(suan)過程中的中間(jian)(jian)結(jie)(jie)果以及運(yun)算(suan)完成后的數(shu)據(ju)(ju)，ROM用(yong)來(lai)存儲(chu)旋轉因(yin)子(zi)表。蝶形運(yun)算(suan)單元即(ji)為(wei)基2/4模塊，控(kong)制(zhi)模塊可用(yong)于(yu)產生控(kong)制(zhi)時序及地址信號，以控(kong)制(zhi)中間(jian)(jian)運(yun)算(suan)過程及最后輸出結(jie)(jie)果。
基(ji)4和基(ji)2的(de)(de)信(xin)號流如圖(tu)2所示。圖(tu)中(zhong)，若A=r0+j*i0，B=r1+j*i1，C=r2+j*i2，D=r3+j*i3是要進行變換的(de)(de)信(xin)號，Wk0=c0+j*s0=1，Wk1=c1+j*s1，Wk2=c2+j*s2，Wk3=c3+j*s3為旋轉(zhuan)因子，將(jiang)其分別(bie)代入圖(tu)2中(zhong)的(de)(de)基(ji)4蝶形運算單元，則有：
A′=[r0+(r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2)+(r3×c3－i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? （4）
B′=[r0+(i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2）－（i3×c3+r3×s3)]+j[i0－（r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2)+(r3×c3－i3×s3)] (5）
C′=[r0－（r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]+j[i0－（i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2）－（i3×c3+r3×s3)] （6）
D′=[r0－（i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]? （7）
而在基(ji)2蝶形中(zhong)，Wk0和Wk2的(de)值均(jun)為1，這(zhe)樣，將(jiang)A，B，C和D的(de)表達式代入圖2中(zhong)的(de)基(ji)2運算的(de)四個(ge)等式中(zhong)，則有：
A′=r0+(r1×c1－i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? （8）
B′=r0－ (r1×c1－i1×s1)+j[i0－（i1×c1+r1×s1)] （9）
C′=r2+(r3×c3－i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? （10）
D′=r2－（r3×c3－i3×s3)+j[i0－（i3×c3+r3×s3)]? （11）
在上述式（4）～（11）中(zhong)有(you)很(hen)多類(lei)同(tong)(tong)項(xiang)，如i1×c1+r1×s1和(he)r1×c1－i1×s1等，它們僅僅是(shi)加減號的不同(tong)(tong)，其結構(gou)和(he)運算均(jun)類(lei)似，這(zhe)就為(wei)簡化電路提供了可(ke)能。同(tong)(tong)時，在蝶形運算中(zhong)，復(fu)數(shu)乘法(fa)可(ke)以由實數(shu)乘法(fa)以一定的格(ge)式來表(biao)示，這(zhe)也為(wei)設計復(fu)數(shu)乘法(fa)器提供了一種實現(xian)的途徑。
以(yi)基4為例，在(zai)(zai)其(qi)運算單元中(zhong)，實際上(shang)只需(xu)做三(san)個(ge)復數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)運算，即只須(xu)計算BWk1、CWk2和DWk3的值即可，這樣(yang)在(zai)(zai)一個(ge)基4蝶形單元里面，最多只需(xu)要3個(ge)復數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)器就(jiu)可以(yi)了。在(zai)(zai)實際過程中(zhong)，在(zai)(zai)不提高(gao)時(shi)鐘頻率下，只要將時(shi)序控制好?便可利(li)用流水線（Pipeline）技術并只用一個(ge)復數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)器就(jiu)可完成這三(san)個(ge)復數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)，大大節(jie)省了硬件資源。
FFT變換(huan)(huan)后(hou)輸出的結果(guo)通常為一特定(ding)的倒序。因此，幾級(ji)變換(huan)(huan)后(hou)對地(di)址的控制必須(xu)準確無誤。
倒序的(de)規(gui)律(lv)是和分解的(de)方式密切相(xiang)關的(de)，以基(ji)8為例，其基(ji)本倒序規(gui)則(ze)如(ru)下：
基(ji)8可以(yi)用(yong)2×2×2三級基(ji)2變換來表示，則其輸(shu)入順(shun)序則可用(yong)二進(jin)制(zhi)序列（n1 n2 n3）來表示，變換結束后，其順(shun)序將(jiang)變為(wei)（n3 n2 n1），如：X?011 → x?110 ，即輸(shu)入順(shun)序為(wei)3，輸(shu)出時順(shun)序變為(wei)6。
更進一步(bu)，對于基16的(de)變(bian)換，可(ke)由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式來構成，相對于不(bu)同的(de)分解形式，往往會有不(bu)同的(de)倒序方式。以4×4為(wei)(wei)例，其輸(shu)入(ru)順(shun)序可(ke)以用二進制序列（n1 n2 n3n4）來表(biao)示變(bian)換結束后，其順(shun)序可(ke)變(bian)為(wei)(wei)（（n3 n4）（n1 n2）），如：X?0111 → x?1101 。即輸(shu)入(ru)順(shun)序為(wei)(wei)7，輸(shu)出時(shi)順(shun)序變(bian)為(wei)(wei)13。
在2k/4k/8k的(de)(de)傅里葉變(bian)換中，由(you)于要經過多次的(de)(de)基4和基2運(yun)(yun)算，因(yin)此，從每次運(yun)(yun)算完成后到進入下一次運(yun)(yun)算前，應(ying)對運(yun)(yun)算的(de)(de)結果(guo)進行倒序，以保證運(yun)(yun)算的(de)(de)正確性(xing)。
N點傅(fu)里葉變換的旋轉(zhuan)因子有著明顯的周(zhou)期(qi)性和(he)對(dui)稱(cheng)性。其周(zhou)期(qi)性表(biao)現為：
FFT之所以可(ke)使(shi)運(yun)算(suan)效率得到提高，就是(shi)利用了對稱性和周(zhou)期性把長序(xu)列的DFT逐級分解成(cheng)幾個序(xu)列的DFT，并(bing)最終以短點(dian)數(shu)變(bian)換來實(shi)現長點(dian)數(shu)變(bian)換。
根據旋(xuan)(xuan)(xuan)轉因(yin)子的(de)(de)(de)對稱性和周期性，在(zai)利用(yong)(yong)ROM存(cun)(cun)(cun)儲(chu)(chu)旋(xuan)(xuan)(xuan)轉因(yin)子時，可(ke)以(yi)只(zhi)存(cun)(cun)(cun)儲(chu)(chu)旋(xuan)(xuan)(xuan)轉因(yin)子表的(de)(de)(de)一部分，而在(zai)讀出(chu)時增加(jia)讀出(chu)地址(zhi)及符(fu)號的(de)(de)(de)控(kong)制，這(zhe)樣可(ke)以(yi)正確實(shi)現(xian)FFT。因(yin)此，充(chong)分利用(yong)(yong)旋(xuan)(xuan)(xuan)轉因(yin)子的(de)(de)(de)性質，可(ke)節(jie)省70%以(yi)上存(cun)(cun)(cun)儲(chu)(chu)單元(yuan)。
實(shi)(shi)際上，由于(yu)旋轉因(yin)子可分解為(wei)正、余弦函(han)(han)數(shu)的(de)組合(he)(he)，故ROM中(zhong)存的(de)值(zhi)為(wei)正、余弦函(han)(han)數(shu)值(zhi)的(de)組合(he)(he)。對(dui)2k/4k/8k的(de)傅里葉變(bian)(bian)換來說(shuo)，只是對(dui)一個周(zhou)期進行不同(tong)的(de)分割。由于(yu)8k變(bian)(bian)換的(de)旋轉因(yin)子包括了2k/4k的(de)所(suo)有因(yin)子，因(yin)此，實(shi)(shi)現時(shi)只要對(dui)讀ROM的(de)地(di)址(zhi)進行控制，即可實(shi)(shi)現2k/4k/8k變(bian)(bian)換的(de)通用。
因FFT是為(wei)時序(xu)電路(lu)而(er)設計的(de)(de)，因此，控(kong)(kong)制信(xin)號要包括時序(xu)的(de)(de)控(kong)(kong)制信(xin)號及存儲器的(de)(de)讀寫地址，并產生各種輔助的(de)(de)指(zhi)示信(xin)號。同(tong)時在(zai)計算模塊的(de)(de)內部，為(wei)保證高速，所(suo)有(you)的(de)(de)乘法器都(dou)須始終保持較高的(de)(de)利用率(lv)。這(zhe)意味著(zhu)在(zai)每一個時鐘(zhong)來(lai)臨(lin)時都(dou)要向這(zhe)些單元輸入新的(de)(de)操作數，而(er)這(zhe)一切都(dou)需要控(kong)(kong)制信(xin)號的(de)(de)緊密配(pei)合(he)。
為了(le)實(shi)現FFT的(de)流形運(yun)(yun)(yun)算(suan)，在運(yun)(yun)(yun)算(suan)的(de)同(tong)時，存(cun)儲器(qi)也要接收(shou)(shou)數(shu)據(ju)。這可以采用乒乓(pang)RAM的(de)方法來完成。這種方式決定了(le)實(shi)現FFT運(yun)(yun)(yun)算(suan)的(de)最大時間。對于(yu)4k操作，其接收(shou)(shou)時間為4096個數(shu)據(ju)周(zhou)期,這樣(yang)FFT的(de)最大運(yun)(yun)(yun)算(suan)時間就是4096個數(shu)據(ju)周(zhou)期。另外，由于(yu)輸入數(shu)據(ju)是以一定的(de)時鐘為周(zhou)期依(yi)次輸入的(de)，故在進行(xing)內(nei)部(bu)運(yun)(yun)(yun)算(suan)時，可以用較高的(de)內(nei)部(bu)時鐘進行(xing)運(yun)(yun)(yun)算(suan)，然(ran)后再存(cun)入RAM依(yi)次輸出。
為節省資源，可對(dui)(dui)存(cun)儲數據RAM采(cai)用(yong)原(yuan)址讀(du)(du)出(chu)原(yuan)址寫入的方法(fa)，即在進行下(xia)一級變換的同時，首先應(ying)將結果回寫到讀(du)(du)出(chu)數據的RAM存(cun)貯器(qi)中(zhong)(zhong)；而對(dui)(dui)于ROM，則(ze)應(ying)采(cai)用(yong)與運算的數據相(xiang)對(dui)(dui)應(ying)的方法(fa)來讀(du)(du)出(chu)存(cun)儲器(qi)中(zhong)(zhong)旋轉因子的值。
在(zai)2k/4k/8k傅里葉變換中，要(yao)(yao)實(shi)現通(tong)用性(xing)，控制器(qi)(qi)是最主(zhu)要(yao)(yao)的(de)模(mo)塊。2k、4k、8k變換具有不同的(de)內部運(yun)算時間(jian)和存儲器(qi)(qi)地址(zhi)，在(zai)設計(ji)中，針對不同的(de)點數應(ying)設計(ji)不同的(de)存儲器(qi)(qi)存取(qu)地址(zhi)，同時，在(zai)完成(cheng)變換后，還要(yao)(yao)對開始輸出有用信號(hao)的(de)時刻(ke)進(jin)行指示。
Fourier transform或Transformée de Fourier有(you)多個(ge)中文譯名，常見的有(you)“傅(fu)里葉(xie)變換(huan)”、“付立葉(xie)變換(huan)”、“傅(fu)立葉(xie)轉換(huan)”、“傅(fu)氏(shi)轉換(huan)”、“傅(fu)氏(shi)變換(huan)”、等等。
傅里(li)葉變(bian)換是一種分(fen)析信(xin)(xin)號的方法，它可(ke)分(fen)析信(xin)(xin)號的成(cheng)(cheng)分(fen)，也可(ke)用(yong)這些成(cheng)(cheng)分(fen)合成(cheng)(cheng)信(xin)(xin)號。許多波(bo)形(xing)可(ke)作為信(xin)(xin)號的成(cheng)(cheng)分(fen)，比如正弦(xian)波(bo)、方波(bo)、鋸齒波(bo)等，傅里(li)葉變(bian)換用(yong)正弦(xian)波(bo)作為信(xin)(xin)號的成(cheng)(cheng)分(fen)。
f(t)是(shi)(shi)t的(de)周(zhou)期(qi)(qi)(qi)函數(shu)，如果t滿足(zu)狄利克雷條(tiao)件：在一個以2T為周(zhou)期(qi)(qi)(qi)內f(X)連續(xu)或只有(you)有(you)限(xian)個第(di)一類間(jian)斷(duan)點(dian)，附f（x）單調或可(ke)劃分成有(you)限(xian)個單調區間(jian)，則F（x）以2T為周(zhou)期(qi)(qi)(qi)的(de)傅里葉(xie)級數(shu)收斂，和函數(shu)S（x）也(ye)是(shi)(shi)以2T為周(zhou)期(qi)(qi)(qi)的(de)周(zhou)期(qi)(qi)(qi)函數(shu)，且在這(zhe)些間(jian)斷(duan)點(dian)上，函數(shu)是(shi)(shi)有(you)限(xian)值(zhi)；在一個周(zhou)期(qi)(qi)(qi)內具有(you)有(you)限(xian)個極值(zhi)點(dian)；絕對可(ke)積(ji)。則有(you)下圖(tu)①式(shi)成立。稱為積(ji)分運算f(t)的(de)傅里葉(xie)變換，
②式的(de)(de)積分運算叫(jiao)做(zuo)F(ω)的(de)(de)傅里葉逆變換。F(ω)叫(jiao)做(zuo)f(t)的(de)(de)象函數，f(t)叫(jiao)做(zuo)
F(ω)的(de)象原函數(shu)。F(ω)是f(t)的(de)象。f(t)是F(ω)原象。
①傅里葉變換
②傅里葉逆變換
傅(fu)里葉(xie)變換(huan)在(zai)物理學(xue)、電子(zi)類學(xue)科、數論、組合數學(xue)、信(xin)號處理、概率(lv)論、統計學(xue)、密碼學(xue)、聲學(xue)、光學(xue)、海洋(yang)學(xue)、結(jie)構動力(li)學(xue)等領(ling)域都有著廣泛的(de)應用（例如(ru)在(zai)信(xin)號處理中，傅(fu)里葉(xie)變換(huan)的(de)典型用途是將(jiang)信(xin)號分解成頻(pin)率(lv)譜(pu)——顯(xian)示(shi)與頻(pin)率(lv)對應的(de)幅值(zhi)大小）。
* 傅里葉變換屬于諧波分析(xi)。
* 傅里(li)葉變(bian)換的逆變(bian)換容易求出，而且形式與正變(bian)換非常類似;
* 正(zheng)弦基(ji)函(han)數是微(wei)(wei)分(fen)運(yun)算的(de)(de)本征函(han)數，從而使得線(xian)性(xing)微(wei)(wei)分(fen)方程的(de)(de)求(qiu)解可(ke)以轉(zhuan)化(hua)為常系數的(de)(de)代(dai)數方程的(de)(de)求(qiu)解.在線(xian)性(xing)時不變的(de)(de)物理系統(tong)內，頻率(lv)是個不變的(de)(de)性(xing)質(zhi)，從而系統(tong)對于復雜激勵(li)的(de)(de)響(xiang)應(ying)可(ke)以通過組合其(qi)對不同(tong)頻率(lv)正(zheng)弦信號(hao)的(de)(de)響(xiang)應(ying)來獲取；
*卷積(ji)定理指出：傅(fu)里(li)葉變換可以(yi)化復雜的卷積(ji)運算為簡(jian)單的乘(cheng)積(ji)運算，從而提供了(le)計(ji)算卷積(ji)的一種簡(jian)單手段(duan)；
* 離散形式的傅(fu)里葉變換可以利用數(shu)字計算(suan)機(ji)快速(su)地算(suan)出（其算(suan)法稱為(wei)快速(su)傅(fu)里葉變換算(suan)法（FFT)).
一般情(qing)況下，若“傅(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)”一詞的(de)前面未加任何限定語，則(ze)指的(de)是“連續傅(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)”。“連續傅(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)”將平方可積的(de)函數 表示(shi)成復指數函數的(de)積分形式：
上式其實表示的(de)是連續傅里葉變換(huan)(huan)的(de)逆變換(huan)(huan)，即將(jiang)時間域(yu)的(de)函(han)數(shu)表示為頻(pin)率域(yu)的(de)函(han)數(shu) 的(de)積分。反過來，其正變換(huan)(huan)恰好是將(jiang)頻(pin)率域(yu)的(de)函(han)數(shu) 表示為時間域(yu)的(de)函(han)數(shu) 的(de)積分形式。一般可(ke)稱(cheng)函(han)數(shu) 為原(yuan)函(han)數(shu)，而(er)稱(cheng)函(han)數(shu) 為傅里葉變換(huan)(huan)的(de)像函(han)數(shu)，原(yuan)函(han)數(shu)和像函(han)數(shu)構成一個傅里葉變換(huan)(huan)對（transform pair）。
當 為奇(qi)函(han)數（或(huo)(huo)偶(ou)函(han)數）時(shi)，其余(yu)弦（或(huo)(huo)正弦）分量為零(ling)，而(er)可以稱這時(shi)的變(bian)換(huan)為余(yu)弦變(bian)換(huan)（或(huo)(huo)正弦變(bian)換(huan)）。
主條目：傅里葉(xie)級數
連(lian)續形式的傅(fu)里葉(xie)(xie)變換(huan)其實是(shi)傅(fu)里葉(xie)(xie)級(ji)數(shu)的推廣，因(yin)為(wei)積分其實是(shi)一種極限形式的求和算子(zi)而已。對(dui)于周期(qi)函數(shu)，它(ta)的傅(fu)里葉(xie)(xie)級(ji)數(shu)（Fourier series）表示(shi)被定義為(wei)：
其(qi)中(zhong) 為函數的周期， 為傅里(li)葉展(zhan)開(kai)系(xi)數，它們等于(yu)
對于實(shi)值函(han)(han)數(shu)，函(han)(han)數(shu)的(de)傅里(li)葉級數(shu)可以寫成：
其中 和(he) 是實頻率分量(liang)的振幅。
主條目：離散時間傅里葉變(bian)換
離散時間傅里(li)葉變換（discrete-time Fourier transform, DTFT）針對(dui)的是(shi)定義(yi)域(yu)為(wei)(wei)Z的數(shu)列。設 為(wei)(wei)某一數(shu)列，則其DTFT被定義(yi)為(wei)(wei)
DTFT在(zai)時域(yu)上(shang)離散(san)，在(zai)頻域(yu)上(shang)則是周期的(de)，它一般用來對離散(san)時間信號進(jin)行頻譜分析(xi)。DTFT可以(yi)被看作是傅里葉(xie)級數(shu)的(de)逆。
為了在(zai)科學計(ji)算(suan)和數字信號處理(li)等領域使用計(ji)算(suan)機進行傅里葉變換，必須將函(han)數定義在(zai)離散點上而非連續域內，且須滿足有限性或(huo)周期(qi)性條件(jian)。這種情況下，序列 的離散傅里葉變換（discrete Fourier transform, DFT）為
直接使用DFT的(de)定義計(ji)(ji)算(suan)的(de)計(ji)(ji)算(suan)復雜(za)度為 ，而(er)快速(su)傅(fu)里葉變換(huan)（fast Fourier transform, FFT）可以(yi)(yi)將復雜(za)度改進為 。計(ji)(ji)算(suan)復雜(za)度的(de)降低以(yi)(yi)及(ji)數(shu)字電路計(ji)(ji)算(suan)能力的(de)發展使得DFT成為在(zai)信號(hao)處理領域十分實用且重要(yao)的(de)方法。
在阿貝爾群上的統一描述
以(yi)上各(ge)種傅(fu)里(li)(li)葉變換可(ke)以(yi)被更統(tong)一的表述(shu)成任意局部(bu)緊致的阿貝爾群(qun)上的傅(fu)里(li)(li)葉變換。這一問題屬(shu)于調和(he)分析(xi)的范疇(chou)。在調和(he)分析(xi)中(zhong)(zhong)，一個(ge)變換從一個(ge)群(qun)變換到它的對(dui)偶群(qun)（dual group）。此外，將傅(fu)里(li)(li)葉變換與卷(juan)積相聯系的卷(juan)積定理在調和(he)分析(xi)中(zhong)(zhong)也(ye)有類似的結論。
下表(biao)列(lie)出了傅里葉變(bian)換(huan)家族的(de)成員。容易(yi)發現，函(han)數在(zai)時（頻）域的(de)離(li)散對(dui)(dui)應于其(qi)像函(han)數在(zai)頻（時）域的(de)周(zhou)期(qi)性，反之連續(xu)則意味著在(zai)對(dui)(dui)應域的(de)信號的(de)非周(zhou)期(qi)性。
傅(fu)里(li)葉是(shi)一(yi)位(wei)法(fa)(fa)國(guo)數(shu)學(xue)家(jia)(jia)(jia)和物理學(xue)家(jia)(jia)(jia)的(de)(de)(de)(de)名(ming)字，英(ying)語原(yuan)名(ming)是(shi)Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱(re)傳遞很感興趣，于1807年在(zai)法(fa)(fa)國(guo)科(ke)學(xue)學(xue)會上(shang)發表(biao)了(le)(le)一(yi)篇(pian)論文(wen)(wen)，運(yun)用(yong)正(zheng)(zheng)弦曲線來描述溫(wen)度(du)分布，論文(wen)(wen)里(li)有(you)(you)(you)(you)個(ge)(ge)在(zai)當(dang)時(shi)(shi)具(ju)有(you)(you)(you)(you)爭(zheng)議(yi)性的(de)(de)(de)(de)決斷(duan)：任何(he)連續(xu)周期信號可(ke)以由一(yi)組(zu)適當(dang)的(de)(de)(de)(de)正(zheng)(zheng)弦曲線組(zu)合而成。當(dang)時(shi)(shi)審查(cha)這(zhe)個(ge)(ge)論文(wen)(wen)的(de)(de)(de)(de)人(ren)，其(qi)中(zhong)有(you)(you)(you)(you)兩位(wei)是(shi)歷史上(shang)著名(ming)的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)家(jia)(jia)(jia)拉(la)格(ge)朗(lang)日(ri)(ri)(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉(la)普拉(la)斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當(dang)拉(la)普拉(la)斯和其(qi)它(ta)審查(cha)者投(tou)票通(tong)過并(bing)要發表(biao)這(zhe)個(ge)(ge)論文(wen)(wen)時(shi)(shi)，拉(la)格(ge)朗(lang)日(ri)(ri)堅決反對，在(zai)他此后生(sheng)命的(de)(de)(de)(de)六年中(zhong)，拉(la)格(ge)朗(lang)日(ri)(ri)堅持認為(wei)傅(fu)里(li)葉的(de)(de)(de)(de)方(fang)法(fa)(fa)無法(fa)(fa)表(biao)示帶有(you)(you)(you)(you)棱角的(de)(de)(de)(de)信號，如在(zai)方(fang)波(bo)中(zhong)出(chu)現非連續(xu)變化斜率。法(fa)(fa)國(guo)科(ke)學(xue)學(xue)會屈服于拉(la)格(ge)朗(lang)日(ri)(ri)的(de)(de)(de)(de)威望，拒絕(jue)了(le)(le)傅(fu)里(li)葉的(de)(de)(de)(de)工(gong)作，幸運(yun)的(de)(de)(de)(de)是(shi)，傅(fu)里(li)葉還有(you)(you)(you)(you)其(qi)它(ta)事情可(ke)忙，他參加了(le)(le)政治運(yun)動，隨(sui)拿破侖(lun)遠(yuan)征埃及，法(fa)(fa)國(guo)大革命后因會被推上(shang)斷(duan)頭(tou)臺而一(yi)直在(zai)逃避。直到拉(la)格(ge)朗(lang)日(ri)(ri)死(si)后15年這(zhe)個(ge)(ge)論文(wen)(wen)才被發表(biao)出(chu)來。
拉格(ge)朗日是(shi)對的：正弦曲線(xian)無法組合成一個(ge)帶有棱角的信號。但(dan)是(shi)，我們可以用正弦曲線(xian)來非常逼(bi)近地(di)表示它，逼(bi)近到兩種表示方法不存在能(neng)量(liang)差別，基于此，傅里葉是(shi)對的。
用(yong)正(zheng)弦曲(qu)線來代替原(yuan)來的(de)(de)曲(qu)線而不用(yong)方波(bo)或(huo)三(san)角(jiao)波(bo)來表(biao)示的(de)(de)原(yuan)因在于(yu)，分解信(xin)(xin)號的(de)(de)方法是(shi)無(wu)窮的(de)(de)，但(dan)(dan)分解信(xin)(xin)號的(de)(de)目的(de)(de)是(shi)為了更加(jia)簡單(dan)(dan)地處理原(yuan)來的(de)(de)信(xin)(xin)號。用(yong)正(zheng)余弦來表(biao)示原(yuan)信(xin)(xin)號會(hui)更加(jia)簡單(dan)(dan)，因為正(zheng)余弦擁有(you)(you)原(yuan)信(xin)(xin)號所(suo)不具(ju)有(you)(you)的(de)(de)性質：正(zheng)弦曲(qu)線保(bao)真度。一(yi)個(ge)正(zheng)弦曲(qu)線信(xin)(xin)號輸入后，輸出的(de)(de)仍(reng)是(shi)正(zheng)弦曲(qu)線，只有(you)(you)幅度和相位(wei)可能發生變化(hua)，但(dan)(dan)是(shi)頻率和波(bo)的(de)(de)形狀(zhuang)仍(reng)是(shi)一(yi)樣的(de)(de)。且只有(you)(you)正(zheng)弦曲(qu)線才擁有(you)(you)這樣的(de)(de)性質，正(zheng)因如此我們(men)才不用(yong)方波(bo)或(huo)三(san)角(jiao)波(bo)來表(biao)示。
為什么偏偏選擇三角(jiao)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)而(er)不(bu)用其(qi)他函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)進(jin)行分解(jie)(jie)？我們從物(wu)理(li)系(xi)(xi)(xi)(xi)統的(de)(de)特(te)(te)征信(xin)(xin)號(hao)角(jiao)度來解(jie)(jie)釋。我們知(zhi)道：大自(zi)然(ran)(ran)(ran)中很多(duo)現象可(ke)以(yi)抽象成一個線(xian)(xian)(xian)性(xing)時不(bu)變(bian)系(xi)(xi)(xi)(xi)統來研究(jiu)，無論你用微分方程還(huan)是(shi)傳遞函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)或(huo)(huo)者狀態空(kong)間(jian)描述。線(xian)(xian)(xian)性(xing)時不(bu)變(bian)系(xi)(xi)(xi)(xi)統可(ke)以(yi)這樣理(li)解(jie)(jie)：輸(shu)入(ru)輸(shu)出信(xin)(xin)號(hao)滿足線(xian)(xian)(xian)性(xing)關系(xi)(xi)(xi)(xi)，而(er)且系(xi)(xi)(xi)(xi)統參數(shu)(shu)(shu)(shu)不(bu)隨時間(jian)變(bian)換。對于大自(zi)然(ran)(ran)(ran)界(jie)(jie)的(de)(de)很多(duo)系(xi)(xi)(xi)(xi)統，一個正弦(xian)曲線(xian)(xian)(xian)信(xin)(xin)號(hao)輸(shu)入(ru)后，輸(shu)出的(de)(de)仍是(shi)正弦(xian)曲線(xian)(xian)(xian)，只(zhi)有幅(fu)度和相位可(ke)能發(fa)生變(bian)化，但是(shi)頻率和波的(de)(de)形(xing)狀仍是(shi)一樣的(de)(de)。也就是(shi)說正弦(xian)信(xin)(xin)號(hao)是(shi)系(xi)(xi)(xi)(xi)統的(de)(de)特(te)(te)征向量！當然(ran)(ran)(ran)，指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)信(xin)(xin)號(hao)也是(shi)系(xi)(xi)(xi)(xi)統的(de)(de)特(te)(te)征向量，表示能量的(de)(de)衰(shuai)減或(huo)(huo)積(ji)聚。自(zi)然(ran)(ran)(ran)界(jie)(jie)的(de)(de)衰(shuai)減或(huo)(huo)者擴散現象大多(duo)是(shi)指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)形(xing)式的(de)(de)，或(huo)(huo)者既有波動(dong)又有指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)衰(shuai)減（復(fu)指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu) 形(xing)式），因(yin)此具有特(te)(te)征的(de)(de)基(ji)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)就由三角(jiao)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)變(bian)成復(fu)指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)。但是(shi)，如果輸(shu)入(ru)是(shi)方波、三角(jiao)波或(huo)(huo)者其(qi)他什么波形(xing)，那輸(shu)出就不(bu)一定是(shi)什么樣子了。所以(yi)，除(chu)了指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)信(xin)(xin)號(hao)和正弦(xian)信(xin)(xin)號(hao)以(yi)外的(de)(de)其(qi)他波形(xing)都不(bu)是(shi)線(xian)(xian)(xian)性(xing)系(xi)(xi)(xi)(xi)統的(de)(de)特(te)(te)征信(xin)(xin)號(hao)。
用正弦曲(qu)線(xian)來(lai)代替原(yuan)來(lai)的(de)(de)(de)曲(qu)線(xian)而不(bu)用方波或(huo)三(san)角波或(huo)者其他(ta)什么函(han)數(shu)(shu)來(lai)表(biao)(biao)示的(de)(de)(de)原(yuan)因在于：正弦信號(hao)恰好是(shi)(shi)很多線(xian)性時(shi)(shi)不(bu)變系(xi)統的(de)(de)(de)特(te)征(zheng)向(xiang)(xiang)(xiang)量。于是(shi)(shi)就有了(le)傅里(li)葉(xie)變換(huan)。對于更一般的(de)(de)(de)線(xian)性時(shi)(shi)不(bu)變系(xi)統，復指(zhi)數(shu)(shu)信號(hao)(表(biao)(biao)示耗散或(huo)衰減)是(shi)(shi)系(xi)統的(de)(de)(de)“特(te)征(zheng)向(xiang)(xiang)(xiang)量”。于是(shi)(shi)就有了(le)拉(la)普拉(la)斯(si)變換(huan)。z變換(huan)也是(shi)(shi)同(tong)樣的(de)(de)(de)道理(li)，這時(shi)(shi)是(shi)(shi)離散系(xi)統的(de)(de)(de)“特(te)征(zheng)向(xiang)(xiang)(xiang)量”。這里(li)沒有區分特(te)征(zheng)函(han)數(shu)(shu)和(he)特(te)征(zheng)向(xiang)(xiang)(xiang)量的(de)(de)(de)概念(nian)，主要(yao)想表(biao)(biao)達二者的(de)(de)(de)思(si)想是(shi)(shi)相同(tong)的(de)(de)(de)，只不(bu)過一個是(shi)(shi)有限(xian)維向(xiang)(xiang)(xiang)量，一個是(shi)(shi)無限(xian)維函(han)數(shu)(shu)。
傅(fu)里葉級數和傅(fu)里葉變換(huan)其實(shi)就是我(wo)們(men)之前討論(lun)的(de)(de)(de)特征值與特征向(xiang)量的(de)(de)(de)問題(ti)。分(fen)解信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)方法是無窮的(de)(de)(de)，但分(fen)解信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)目的(de)(de)(de)是為了更加簡(jian)單地處(chu)理原(yuan)來(lai)的(de)(de)(de)信(xin)號(hao)。這(zhe)樣，用正(zheng)余(yu)弦(xian)來(lai)表(biao)示原(yuan)信(xin)號(hao)會更加簡(jian)單，因為正(zheng)余(yu)弦(xian)擁有(you)原(yuan)信(xin)號(hao)所不具有(you)的(de)(de)(de)性(xing)質：正(zheng)弦(xian)曲線(xian)保真度。且只(zhi)有(you)正(zheng)弦(xian)曲線(xian)才擁有(you)這(zhe)樣的(de)(de)(de)性(xing)質。
這也解釋了為什(shen)么(me)我們一碰到信(xin)號就(jiu)(jiu)想(xiang)方(fang)設法(fa)的(de)(de)把它表示(shi)成正(zheng)(zheng)弦(xian)量(liang)(liang)或者復指(zhi)數量(liang)(liang)的(de)(de)形式；為什(shen)么(me)方(fang)波(bo)或者三角波(bo)如(ru)此(ci)“簡單(dan)”，我們非要展(zhan)開的(de)(de)如(ru)此(ci)“麻煩(fan)”；為什(shen)么(me)對于一個(ge)沒有什(shen)么(me)規律的(de)(de)“非周期”信(xin)號，我們都絞(jiao)盡腦汁(zhi)的(de)(de)用正(zheng)(zheng)弦(xian)量(liang)(liang)展(zhan)開。就(jiu)(jiu)因(yin)為正(zheng)(zheng)弦(xian)量(liang)(liang)(或復指(zhi)數)是特征向量(liang)(liang)。
什(shen)么是時(shi)(shi)域(yu)？從我(wo)們(men)出(chu)生，我(wo)們(men)看到的(de)世(shi)界都(dou)以(yi)時(shi)(shi)間(jian)(jian)貫穿(chuan)，股票的(de)走勢、人的(de)身高、汽車的(de)軌跡都(dou)會(hui)隨著(zhu)時(shi)(shi)間(jian)(jian)發(fa)生改變(bian)。這種以(yi)時(shi)(shi)間(jian)(jian)作為(wei)參照來觀察動(dong)態世(shi)界的(de)方法我(wo)們(men)稱其為(wei)時(shi)(shi)域(yu)分析。而(er)我(wo)們(men)也想當然的(de)認為(wei)，世(shi)間(jian)(jian)萬物都(dou)在隨著(zhu)時(shi)(shi)間(jian)(jian)不停(ting)的(de)改變(bian)，并且永(yong)遠不會(hui)靜止(zhi)下來。
什么是(shi)(shi)頻(pin)(pin)域(yu)？頻(pin)(pin)域(yu)(frequency domain)是(shi)(shi)描述信(xin)號在頻(pin)(pin)率方面特性(xing)時用到的(de)(de)(de)一(yi)種坐標(biao)系。用線性(xing)代數的(de)(de)(de)語言就是(shi)(shi)裝著正(zheng)(zheng)弦(xian)函數的(de)(de)(de)空間(jian)。頻(pin)(pin)域(yu)最重要(yao)的(de)(de)(de)性(xing)質是(shi)(shi)：它不是(shi)(shi)真實的(de)(de)(de)，而是(shi)(shi)一(yi)個數學(xue)構造。頻(pin)(pin)域(yu)是(shi)(shi)一(yi)個遵循特定(ding)規則的(de)(de)(de)數學(xue)范疇。正(zheng)(zheng)弦(xian)波(bo)是(shi)(shi)頻(pin)(pin)域(yu)中(zhong)唯(wei)一(yi)存在的(de)(de)(de)波(bo)形，這(zhe)是(shi)(shi)頻(pin)(pin)域(yu)中(zhong)最重要(yao)的(de)(de)(de)規則，即正(zheng)(zheng)弦(xian)波(bo)是(shi)(shi)對頻(pin)(pin)域(yu)的(de)(de)(de)描述，因為(wei)時域(yu)中(zhong)的(de)(de)(de)任(ren)何波(bo)形都可用正(zheng)(zheng)弦(xian)波(bo)合成。
對于(yu)一(yi)個信(xin)號(hao)來(lai)說，信(xin)號(hao)強度隨時間的變化規律就是(shi)時域特性，信(xin)號(hao)是(shi)由哪些單(dan)一(yi)頻率的信(xin)號(hao)合成的就是(shi)頻域特性。
時(shi)(shi)域(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)與頻域(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)是(shi)(shi)(shi)(shi)對信號(hao)(hao)的(de)(de)兩個(ge)觀察面。時(shi)(shi)域(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)是(shi)(shi)(shi)(shi)以(yi)時(shi)(shi)間軸為(wei)坐(zuo)標(biao)表(biao)示動態(tai)信號(hao)(hao)的(de)(de)關系；頻域(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)是(shi)(shi)(shi)(shi)把信號(hao)(hao)變(bian)為(wei)以(yi)頻率軸為(wei)坐(zuo)標(biao)表(biao)示出來。一(yi)般(ban)來說，時(shi)(shi)域(yu)(yu)的(de)(de)表(biao)示較為(wei)形象與直觀，頻域(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)則更為(wei)簡練(lian)，剖析(xi)問題更為(wei)深刻(ke)和(he)方便。目(mu)前，信號(hao)(hao)分(fen)(fen)析(xi)的(de)(de)趨勢是(shi)(shi)(shi)(shi)從時(shi)(shi)域(yu)(yu)向頻域(yu)(yu)發展。然而，它們是(shi)(shi)(shi)(shi)互相(xiang)聯(lian)系，缺(que)一(yi)不(bu)可(ke)，相(xiang)輔(fu)相(xiang)成的(de)(de)。貫穿時(shi)(shi)域(yu)(yu)與頻域(yu)(yu)的(de)(de)方法之一(yi)，就(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)傳說中(zhong)的(de)(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)分(fen)(fen)析(xi)。傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)分(fen)(fen)析(xi)可(ke)分(fen)(fen)為(wei)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)級(ji)數（Fourier Serie）和(he)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(Fourier Transformation)。
根(gen)據原信號的不同(tong)類型(xing)，我們(men)可以把傅里葉變換(huan)分(fen)為四種類別：
1非周期性(xing)連續信(xin)號(hao)傅里葉變換（Fourier Transform）
2周期(qi)性(xing)連續(xu)信號傅(fu)里葉級數(Fourier Series)
3非周期(qi)性離(li)散信號離(li)散時域傅里葉變(bian)換（Discrete Time Fourier Transform）
4周期性離散信(xin)號離散傅里葉(xie)變換(Discrete Fourier Transform)
下圖(tu)是四種原(yuan)信號圖(tu)例(li)：
這(zhe)(zhe)(zhe)四(si)種傅里葉(xie)變(bian)換(huan)都是(shi)針對(dui)(dui)(dui)正(zheng)無(wu)窮(qiong)大和(he)負無(wu)窮(qiong)大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)，即(ji)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)長(chang)度(du)是(shi)無(wu)窮(qiong)大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，我(wo)(wo)(wo)們(men)知道這(zhe)(zhe)(zhe)對(dui)(dui)(dui)于計(ji)算機處(chu)理(li)來說是(shi)不(bu)可能(neng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，那么有(you)(you)(you)(you)沒有(you)(you)(you)(you)針對(dui)(dui)(dui)長(chang)度(du)有(you)(you)(you)(you)限的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)傅里葉(xie)變(bian)換(huan)呢(ni)？沒有(you)(you)(you)(you)。因為正(zheng)余弦(xian)波(bo)被定義成從負無(wu)窮(qiong)大到正(zheng)無(wu)窮(qiong)大，我(wo)(wo)(wo)們(men)無(wu)法(fa)把(ba)(ba)一個(ge)長(chang)度(du)無(wu)限的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)組合成長(chang)度(du)有(you)(you)(you)(you)限的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)。面對(dui)(dui)(dui)這(zhe)(zhe)(zhe)種困難(nan)，方法(fa)是(shi)把(ba)(ba)長(chang)度(du)有(you)(you)(you)(you)限的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)表示成長(chang)度(du)無(wu)限的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)，可以(yi)(yi)(yi)把(ba)(ba)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)無(wu)限地從左右進行(xing)延伸，延伸的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)部(bu)分用(yong)(yong)(yong)零(ling)來表示，這(zhe)(zhe)(zhe)樣，這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)就(jiu)(jiu)可以(yi)(yi)(yi)被看成是(shi)非周期性離散(san)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)，我(wo)(wo)(wo)們(men)就(jiu)(jiu)可以(yi)(yi)(yi)用(yong)(yong)(yong)到離散(san)時(shi)(shi)域傅里葉(xie)變(bian)換(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)方法(fa)。還有(you)(you)(you)(you)，也(ye)可以(yi)(yi)(yi)把(ba)(ba)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)用(yong)(yong)(yong)復制的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)方法(fa)進行(xing)延伸，這(zhe)(zhe)(zhe)樣信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)就(jiu)(jiu)變(bian)成了周期性離散(san)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)，這(zhe)(zhe)(zhe)時(shi)(shi)我(wo)(wo)(wo)們(men)就(jiu)(jiu)可以(yi)(yi)(yi)用(yong)(yong)(yong)離散(san)傅里葉(xie)變(bian)換(huan)方法(fa)進行(xing)變(bian)換(huan)。這(zhe)(zhe)(zhe)里我(wo)(wo)(wo)們(men)要學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)離散(san)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)，對(dui)(dui)(dui)于連續信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)我(wo)(wo)(wo)們(men)不(bu)作討論，因為計(ji)算機只能(neng)處(chu)理(li)離散(san)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數值信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)，我(wo)(wo)(wo)們(men)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)最終目的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)運用(yong)(yong)(yong)計(ji)算機來處(chu)理(li)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。
但是對于(yu)(yu)非(fei)周期(qi)性的(de)(de)(de)信(xin)號，我(wo)(wo)們需(xu)要(yao)(yao)(yao)用(yong)無(wu)窮多不(bu)同頻率的(de)(de)(de)正弦曲線(xian)來(lai)表示(shi)，這對于(yu)(yu)計(ji)(ji)(ji)算機(ji)來(lai)說(shuo)是不(bu)可能(neng)(neng)實現的(de)(de)(de)。所以對于(yu)(yu)離散(san)(san)信(xin)號的(de)(de)(de)變(bian)換只(zhi)有(you)離散(san)(san)傅里(li)葉(xie)變(bian)換（DFT）才(cai)能(neng)(neng)被(bei)適用(yong)，對于(yu)(yu)計(ji)(ji)(ji)算機(ji)來(lai)說(shuo)只(zhi)有(you)離散(san)(san)的(de)(de)(de)和有(you)限(xian)長度的(de)(de)(de)數據才(cai)能(neng)(neng)被(bei)處理，對于(yu)(yu)其它的(de)(de)(de)變(bian)換類型只(zhi)有(you)在(zai)數學演算中才(cai)能(neng)(neng)用(yong)到(dao)，在(zai)計(ji)(ji)(ji)算機(ji)面前(qian)我(wo)(wo)們只(zhi)能(neng)(neng)用(yong)DFT方法，后面我(wo)(wo)們要(yao)(yao)(yao)理解的(de)(de)(de)也正是DFT方法。這里(li)要(yao)(yao)(yao)理解的(de)(de)(de)是我(wo)(wo)們使用(yong)周期(qi)性的(de)(de)(de)信(xin)號目的(de)(de)(de)是為了能(neng)(neng)夠用(yong)數學方法來(lai)解決問題，至于(yu)(yu)考慮周期(qi)性信(xin)號是從(cong)哪里(li)得到(dao)或怎樣得到(dao)是無(wu)意義的(de)(de)(de)。
每(mei)種傅(fu)(fu)里葉(xie)變(bian)換都(dou)分成(cheng)實(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)和復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)兩(liang)種方法(fa)，對(dui)于實(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)方法(fa)是(shi)最好理(li)(li)(li)(li)解的(de)，但是(shi)復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)方法(fa)就相對(dui)復(fu)(fu)雜許(xu)多了(le)，需要懂得(de)有關(guan)復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)理(li)(li)(li)(li)論知(zhi)識，不過，如果(guo)理(li)(li)(li)(li)解了(le)實(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)離散傅(fu)(fu)里葉(xie)變(bian)換(real DFT)，再去理(li)(li)(li)(li)解復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)里葉(xie)就更容易了(le)，所以我(wo)們(men)先把復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)傅(fu)(fu)里葉(xie)放到一(yi)邊去，先來(lai)理(li)(li)(li)(li)解實(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)里葉(xie)變(bian)換，在后(hou)面我(wo)們(men)會(hui)先講講關(guan)于復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)基(ji)本理(li)(li)(li)(li)論，然后(hou)在理(li)(li)(li)(li)解了(le)實(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)里葉(xie)變(bian)換的(de)基(ji)礎上再來(lai)理(li)(li)(li)(li)解復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)里葉(xie)變(bian)換。
還有，這里我們所要(yao)說(shuo)的變換(huan)(huan)(huan)(transform)雖然(ran)是數(shu)(shu)(shu)學意義上的變換(huan)(huan)(huan)，但跟函數(shu)(shu)(shu)變換(huan)(huan)(huan)是不同的，函數(shu)(shu)(shu)變換(huan)(huan)(huan)是符(fu)合(he)一一映(ying)射準則(ze)的，對于離散數(shu)(shu)(shu)字(zi)信號處(chu)理（DSP），有許(xu)多的變換(huan)(huan)(huan)：傅里葉變換(huan)(huan)(huan)、拉普拉斯變換(huan)(huan)(huan)、Z變換(huan)(huan)(huan)、希爾伯(bo)特變換(huan)(huan)(huan)、離散余弦變換(huan)(huan)(huan)等，這些(xie)都擴展了函數(shu)(shu)(shu)變換(huan)(huan)(huan)的定義，允許(xu)輸入和輸出有多種的值，簡單地說(shuo)變換(huan)(huan)(huan)就是把一堆的數(shu)(shu)(shu)據變成另一堆的數(shu)(shu)(shu)據的方法。
傅里(li)葉變(bian)換是數(shu)字信(xin)號(hao)(hao)處理領域(yu)一種很重(zhong)要的(de)(de)算(suan)法。要知道傅里(li)葉變(bian)換算(suan)法的(de)(de)意義，首先要了(le)解(jie)傅里(li)葉原(yuan)理的(de)(de)意義。傅里(li)葉原(yuan)理表明：任(ren)何連(lian)續測量的(de)(de)時序或信(xin)號(hao)(hao)，都可以(yi)表示為(wei)不(bu)同(tong)頻(pin)率(lv)的(de)(de)正(zheng)弦(xian)波信(xin)號(hao)(hao)的(de)(de)無限疊加(jia)。而根據(ju)該原(yuan)理創立的(de)(de)傅里(li)葉變(bian)換算(suan)法利用直(zhi)接測量到的(de)(de)原(yuan)始信(xin)號(hao)(hao)，以(yi)累加(jia)方式來計算(suan)該信(xin)號(hao)(hao)中不(bu)同(tong)正(zheng)弦(xian)波信(xin)號(hao)(hao)的(de)(de)頻(pin)率(lv)、振幅和相(xiang)位。
和(he)傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)算法對應的(de)(de)是(shi)反(fan)傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)算法。該反(fan)變(bian)(bian)換(huan)(huan)從(cong)本質(zhi)上說也是(shi)一(yi)種累加處(chu)理(li)，這(zhe)樣就可(ke)以(yi)將(jiang)(jiang)單獨改(gai)變(bian)(bian)的(de)(de)正(zheng)弦波信(xin)(xin)號轉換(huan)(huan)成一(yi)個信(xin)(xin)號。因此，可(ke)以(yi)說，傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)將(jiang)(jiang)原來難以(yi)處(chu)理(li)的(de)(de)時域(yu)(yu)(yu)(yu)信(xin)(xin)號轉換(huan)(huan)成了易于分析(xi)的(de)(de)頻域(yu)(yu)(yu)(yu)信(xin)(xin)號（信(xin)(xin)號的(de)(de)頻譜(pu)），可(ke)以(yi)利(li)用一(yi)些工具對這(zhe)些頻域(yu)(yu)(yu)(yu)信(xin)(xin)號進行處(chu)理(li)、加工。最后(hou)還可(ke)以(yi)利(li)用傅里(li)(li)葉(xie)(xie)反(fan)變(bian)(bian)換(huan)(huan)將(jiang)(jiang)這(zhe)些頻域(yu)(yu)(yu)(yu)信(xin)(xin)號轉換(huan)(huan)成時域(yu)(yu)(yu)(yu)信(xin)(xin)號。
從現代數學的(de)眼光來看，傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)變換(huan)(huan)是一(yi)種特殊的(de)積(ji)分(fen)(fen)變換(huan)(huan)。它能將滿足一(yi)定(ding)條(tiao)件的(de)某個(ge)函數表示成(cheng)正弦基(ji)函數的(de)線性組合或(huo)者積(ji)分(fen)(fen)。在不同的(de)研(yan)究(jiu)領域，傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)變換(huan)(huan)具有多種不同的(de)變體形式，如連續傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)變換(huan)(huan)和離散(san)傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)變換(huan)(huan)。
在數(shu)(shu)學(xue)領(ling)域，盡(jin)管最初(chu)傅里(li)(li)葉(xie)(xie)分析(xi)是(shi)作為(wei)熱過(guo)程的(de)(de)(de)(de)(de)解(jie)析(xi)分析(xi)的(de)(de)(de)(de)(de)工具，但是(shi)其思(si)想方(fang)法仍(reng)然具有(you)典型的(de)(de)(de)(de)(de)還原論和分析(xi)主義的(de)(de)(de)(de)(de)特征(zheng)。"任意(yi)"的(de)(de)(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)(shu)通(tong)過(guo)一定的(de)(de)(de)(de)(de)分解(jie)，都(dou)能夠表示為(wei)正(zheng)弦函(han)(han)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)線(xian)性(xing)組(zu)合的(de)(de)(de)(de)(de)形式(shi)，而正(zheng)弦函(han)(han)數(shu)(shu)在物理(li)上是(shi)被(bei)充(chong)分研究而相對(dui)簡單(dan)的(de)(de)(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)(shu)類：1. 傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)是(shi)線(xian)性(xing)算(suan)(suan)子,若賦予適當的(de)(de)(de)(de)(de)范數(shu)(shu)，它還是(shi)酉算(suan)(suan)子；2. 傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)逆變(bian)換(huan)(huan)容易求(qiu)出(chu)，而且形式(shi)與(yu)正(zheng)變(bian)換(huan)(huan)非(fei)常類似；3. 正(zheng)弦基函(han)(han)數(shu)(shu)是(shi)微分運算(suan)(suan)的(de)(de)(de)(de)(de)本征(zheng)函(han)(han)數(shu)(shu),從(cong)而使得線(xian)性(xing)微分方(fang)程的(de)(de)(de)(de)(de)求(qiu)解(jie)可(ke)(ke)以(yi)轉(zhuan)化為(wei)常系數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)代數(shu)(shu)方(fang)程的(de)(de)(de)(de)(de)求(qiu)解(jie)。在線(xian)性(xing)時(shi)復雜的(de)(de)(de)(de)(de)卷積(ji)(ji)運算(suan)(suan)為(wei)簡單(dan)的(de)(de)(de)(de)(de)乘積(ji)(ji)運算(suan)(suan),從(cong)而提供了計(ji)算(suan)(suan)卷積(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)一種簡單(dan)手段；4. 離散形式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)傅里(li)(li)葉(xie)(xie)的(de)(de)(de)(de)(de)物理(li)系統(tong)內,頻率是(shi)個不(bu)變(bian)的(de)(de)(de)(de)(de)性(xing)質,從(cong)而系統(tong)對(dui)于復雜激勵的(de)(de)(de)(de)(de)響(xiang)應可(ke)(ke)以(yi)通(tong)過(guo)組(zu)合其對(dui)不(bu)同頻率正(zheng)弦信(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)響(xiang)應來獲取；5. 著名的(de)(de)(de)(de)(de)卷積(ji)(ji)定理(li)指出(chu):傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)可(ke)(ke)以(yi)化復變(bian)換(huan)(huan)可(ke)(ke)以(yi)利用(yong)數(shu)(shu)字計(ji)算(suan)(suan)機快速的(de)(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)出(chu)(其算(suan)(suan)法稱為(wei)快速傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)算(suan)(suan)法(FFT))。
正(zheng)是(shi)由于上述的良好性質(zhi),傅(fu)里葉變換在物理(li)學(xue)、數論、組合數學(xue)、信號(hao)處理(li)、概率、統計、密碼學(xue)、聲學(xue)、光學(xue)等領域都(dou)有著廣泛的應用。
圖(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)是(shi)(shi)(shi)表(biao)征圖(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)中灰(hui)度(du)變(bian)(bian)化劇(ju)烈(lie)程度(du)的(de)(de)(de)指標，是(shi)(shi)(shi)灰(hui)度(du)在平面(mian)空(kong)(kong)間(jian)上(shang)的(de)(de)(de)梯度(du)。如(ru)：大面(mian)積(ji)的(de)(de)(de)沙(sha)漠在圖(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)中是(shi)(shi)(shi)一(yi)片(pian)(pian)灰(hui)度(du)變(bian)(bian)化緩慢的(de)(de)(de)區域(yu)(yu)，對(dui)(dui)應的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)值很低(di)；而對(dui)(dui)于地表(biao)屬性(xing)變(bian)(bian)換(huan)(huan)劇(ju)烈(lie)的(de)(de)(de)邊緣區域(yu)(yu)在圖(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)中是(shi)(shi)(shi)一(yi)片(pian)(pian)灰(hui)度(du)變(bian)(bian)化劇(ju)烈(lie)的(de)(de)(de)區域(yu)(yu)，對(dui)(dui)應的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)值較高(gao)。傅里葉變(bian)(bian)換(huan)(huan)在實際中有(you)非常明顯的(de)(de)(de)物理(li)(li)意義，設f是(shi)(shi)(shi)一(yi)個(ge)(ge)能量有(you)限的(de)(de)(de)模擬信(xin)號，則其傅里葉變(bian)(bian)換(huan)(huan)就表(biao)示f的(de)(de)(de)譜。從(cong)純粹的(de)(de)(de)數(shu)學意義上(shang)看，傅里葉變(bian)(bian)換(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將一(yi)個(ge)(ge)函數(shu)轉換(huan)(huan)為(wei)一(yi)系列(lie)周期(qi)函數(shu)來(lai)處理(li)(li)的(de)(de)(de)。從(cong)物理(li)(li)效果(guo)看，傅里葉變(bian)(bian)換(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將圖(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)從(cong)空(kong)(kong)間(jian)域(yu)(yu)轉換(huan)(huan)到(dao)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)域(yu)(yu)，其逆變(bian)(bian)換(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將圖(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)從(cong)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)域(yu)(yu)轉換(huan)(huan)到(dao)空(kong)(kong)間(jian)域(yu)(yu)。換(huan)(huan)句話說(shuo)，傅里葉變(bian)(bian)換(huan)(huan)的(de)(de)(de)物理(li)(li)意義是(shi)(shi)(shi)將圖(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)灰(hui)度(du)分(fen)布(bu)函數(shu)變(bian)(bian)換(huan)(huan)為(wei)圖(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)分(fen)布(bu)函數(shu)，傅里葉逆變(bian)(bian)換(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將圖(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)分(fen)布(bu)函數(shu)變(bian)(bian)換(huan)(huan)為(wei)灰(hui)度(du)分(fen)布(bu)函數(shu)。
傅(fu)里(li)(li)(li)葉變(bian)換以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)前，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)（未壓(ya)縮(suo)的(de)(de)(de)(de)位圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)）是(shi)(shi)由對(dui)(dui)(dui)(dui)在(zai)連續(xu)空(kong)(kong)(kong)(kong)間(jian)(jian)（現實(shi)空(kong)(kong)(kong)(kong)間(jian)(jian)）上(shang)(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)采樣得到一(yi)(yi)(yi)(yi)系(xi)(xi)列點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)集(ji)(ji)合，我們(men)習慣用一(yi)(yi)(yi)(yi)個二(er)維(wei)矩陣表示空(kong)(kong)(kong)(kong)間(jian)(jian)上(shang)(shang)(shang)各(ge)(ge)點(dian)(dian)，則(ze)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)可(ke)(ke)由z=f(x,y)來表示。由于空(kong)(kong)(kong)(kong)間(jian)(jian)是(shi)(shi)三維(wei)的(de)(de)(de)(de)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)是(shi)(shi)二(er)維(wei)的(de)(de)(de)(de)，因(yin)此空(kong)(kong)(kong)(kong)間(jian)(jian)中(zhong)(zhong)物體(ti)在(zai)另一(yi)(yi)(yi)(yi)個維(wei)度(du)(du)(du)上(shang)(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi)就由梯度(du)(du)(du)來表示，這樣我們(men)可(ke)(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)通(tong)(tong)過(guo)(guo)觀(guan)(guan)察(cha)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)得知物體(ti)在(zai)三維(wei)空(kong)(kong)(kong)(kong)間(jian)(jian)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)對(dui)(dui)(dui)(dui)應(ying)關系(xi)(xi)。為什么(me)要提(ti)梯度(du)(du)(du)？因(yin)為實(shi)際(ji)上(shang)(shang)(shang)對(dui)(dui)(dui)(dui)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)進行二(er)維(wei)傅(fu)里(li)(li)(li)葉變(bian)換得到頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，就是(shi)(shi)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)梯度(du)(du)(du)的(de)(de)(de)(de)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，當然頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)各(ge)(ge)點(dian)(dian)與(yu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)上(shang)(shang)(shang)各(ge)(ge)點(dian)(dian)并不存在(zai)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)(dui)(dui)應(ying)的(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi)，即(ji)使在(zai)不移(yi)頻(pin)(pin)的(de)(de)(de)(de)情況下也是(shi)(shi)沒有。傅(fu)里(li)(li)(li)葉頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)(shang)我們(men)看到的(de)(de)(de)(de)明暗(an)不一(yi)(yi)(yi)(yi)的(de)(de)(de)(de)亮點(dian)(dian)，實(shi)際(ji)上(shang)(shang)(shang)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)上(shang)(shang)(shang)某(mou)一(yi)(yi)(yi)(yi)點(dian)(dian)與(yu)鄰域點(dian)(dian)差(cha)異(yi)的(de)(de)(de)(de)強(qiang)弱，即(ji)梯度(du)(du)(du)的(de)(de)(de)(de)大(da)(da)小，也即(ji)該(gai)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率的(de)(de)(de)(de)大(da)(da)小（可(ke)(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)這么(me)理解，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)低(di)頻(pin)(pin)部分(fen)(fen)(fen)(fen)指低(di)梯度(du)(du)(du)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)，高頻(pin)(pin)部分(fen)(fen)(fen)(fen)相反(fan)）。一(yi)(yi)(yi)(yi)般來講(jiang)，梯度(du)(du)(du)大(da)(da)則(ze)該(gai)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)亮度(du)(du)(du)強(qiang)，否(fou)則(ze)該(gai)點(dian)(dian)亮度(du)(du)(du)弱。這樣通(tong)(tong)過(guo)(guo)觀(guan)(guan)察(cha)傅(fu)里(li)(li)(li)葉變(bian)換后的(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，也叫功率圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，我們(men)首先就可(ke)(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)看出，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)能量分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)，如果頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)暗(an)的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)數更多(duo)，那(nei)么(me)實(shi)際(ji)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)是(shi)(shi)比較(jiao)(jiao)柔和的(de)(de)(de)(de)（因(yin)為各(ge)(ge)點(dian)(dian)與(yu)鄰域差(cha)異(yi)都不大(da)(da)，梯度(du)(du)(du)相對(dui)(dui)(dui)(dui)較(jiao)(jiao)小），反(fan)之(zhi)，如果頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)亮的(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)數多(duo)，那(nei)么(me)實(shi)際(ji)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)一(yi)(yi)(yi)(yi)定是(shi)(shi)尖銳(rui)的(de)(de)(de)(de)，邊(bian)(bian)界分(fen)(fen)(fen)(fen)明且邊(bian)(bian)界兩邊(bian)(bian)像(xiang)(xiang)素(su)差(cha)異(yi)較(jiao)(jiao)大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)。對(dui)(dui)(dui)(dui)頻(pin)(pin)譜(pu)移(yi)頻(pin)(pin)到原(yuan)點(dian)(dian)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)后，可(ke)(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)看出圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)是(shi)(shi)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)原(yuan)點(dian)(dian)為圓心，對(dui)(dui)(dui)(dui)稱分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)的(de)(de)(de)(de)。將(jiang)頻(pin)(pin)譜(pu)移(yi)頻(pin)(pin)到圓心除(chu)了可(ke)(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)清晰(xi)地看出圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)頻(pin)(pin)率分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)外(wai)，還有一(yi)(yi)(yi)(yi)個好處，它(ta)可(ke)(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)分(fen)(fen)(fen)(fen)離出有周期性規律的(de)(de)(de)(de)干擾(rao)信號，比如正弦干擾(rao)，一(yi)(yi)(yi)(yi)副帶有正弦干擾(rao)，移(yi)頻(pin)(pin)到原(yuan)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)(shang)可(ke)(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)看出除(chu)了中(zhong)(zhong)心以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)外(wai)還存在(zai)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)某(mou)一(yi)(yi)(yi)(yi)點(dian)(dian)為中(zhong)(zhong)心，對(dui)(dui)(dui)(dui)稱分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)的(de)(de)(de)(de)亮點(dian)(dian)集(ji)(ji)合，這個集(ji)(ji)合就是(shi)(shi)干擾(rao)噪音產生的(de)(de)(de)(de)，這時可(ke)(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)很直(zhi)觀(guan)(guan)的(de)(de)(de)(de)通(tong)(tong)過(guo)(guo)在(zai)該(gai)位置放置帶阻濾波器消除(chu)干擾(rao)。
另外說明以(yi)下(xia)幾點：
1、圖(tu)像經過二維傅里葉變(bian)換后，其變(bian)換系數矩陣表明：
若(ruo)變換(huan)矩陣(zhen)Fn原點設在(zai)中(zhong)心，其頻譜(pu)能量(liang)集中(zhong)分(fen)布(bu)在(zai)變換(huan)系(xi)數短陣(zhen)的(de)中(zhong)心附近（圖中(zhong)陰影區）。若(ruo)所用的(de)二維(wei)傅(fu)里葉(xie)變換(huan)矩陣(zhen)Fn的(de)原點設在(zai)左上角，那么圖像信號能量(liang)將集中(zhong)在(zai)系(xi)數矩陣(zhen)的(de)四(si)個(ge)角上。這是(shi)由二維(wei)傅(fu)里葉(xie)變換(huan)本身性質決(jue)定的(de)。同時也表明一股圖像能量(liang)集中(zhong)低(di)頻區域。
2 、變換之(zhi)后的(de)圖像在原點平移(yi)之(zhi)前四角(jiao)是低頻(pin)(pin)，最亮(liang)，平移(yi)之(zhi)后中間部分是低頻(pin)(pin)，最亮(liang)，亮(liang)度大(da)說明低頻(pin)(pin)的(de)能(neng)量(liang)大(da)（幅角(jiao)比較(jiao)大(da)）。
將其發展延伸，構造出了其他形(xing)式的(de)積分變換(huan):
從數學的角度(du)理(li)解積(ji)分(fen)變換就是通過(guo)積(ji)分(fen)運算，把一(yi)(yi)個(ge)函(han)(han)數變成另一(yi)(yi)個(ge)函(han)(han)數。也可以理(li)解成是算內積(ji)，然后就變成一(yi)(yi)個(ge)函(han)(han)數向(xiang)另一(yi)(yi)個(ge)函(han)(han)數的投影：
K（s，t）積分(fen)變換的核(he)(Kernel)。當選(xuan)取不(bu)同的積分(fen)域(yu)和變換核(he)時，就(jiu)得到(dao)(dao)不(bu)同名稱的積分(fen)變換。學(xue)術一點的說法是：向核(he)空間(jian)(jian)投影，將原(yuan)問(wen)題轉化到(dao)(dao)核(he)空間(jian)(jian)。所謂核(he)空間(jian)(jian)，就(jiu)是這個(ge)空間(jian)(jian)里面裝的是核(he)函數。
當然(ran)，選取什么樣的(de)核(he)主(zhu)要看你面(mian)對的(de)問(wen)題有(you)什么特征(zheng)(zheng)。不同問(wen)題的(de)特征(zheng)(zheng)不同，就會對應特定的(de)核(he)函數(shu)。把(ba)核(he)函數(shu)作為(wei)基函數(shu)。將現(xian)在的(de)坐標投影到(dao)核(he)空間(jian)里面(mian)去，問(wen)題就會得到(dao)簡化。之所以叫核(he)，是因(yin)為(wei)這(zhe)是最核(he)心的(de)地方。為(wei)什么其他變換(huan)你都(dou)沒(mei)怎么聽(ting)說過(guo)而只熟悉傅里葉變換(huan)和(he)拉(la)(la)普拉(la)(la)斯變換(huan)呢？因(yin)為(wei)復指(zhi)數(shu)信號才是描(miao)述這(zhe)個世界的(de)特征(zheng)(zheng)函數(shu)！
一(yi)個關于實數離散傅里葉(xie)變換(huan)(Real DFT)實例
先(xian)來看(kan)一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)變換實(shi)例，一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)原始信(xin)號的長(chang)度是(shi)(shi)16，于是(shi)(shi)可(ke)以把這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)信(xin)號分(fen)解(jie)9個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)余(yu)弦(xian)波和9個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)正弦(xian)波（一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)長(chang)度為N的信(xin)號可(ke)以分(fen)解(jie)成N/2+1個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)正余(yu)弦(xian)信(xin)號，這(zhe)是(shi)(shi)為什么呢？結合下(xia)(xia)面的18個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)正余(yu)弦(xian)圖,我想從計算(suan)機處理精度上就(jiu)不難理解(jie)，一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)長(chang)度為N的信(xin)號，最多只能有N/2+1個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)不同頻率(lv)，再多的頻率(lv)就(jiu)超過了計算(suan)機所能所處理的精度范圍），如下(xia)(xia)圖：
9個正弦信號：
9個余弦信號：
把以上所(suo)有信號相加即可得到原始信號，至于是怎么分(fen)別變(bian)換(huan)出9種不同頻率(lv)信號的，我們先不急(ji)，先看(kan)看(kan)對于以上的變(bian)換(huan)結果，在程序(xu)中又是該怎么表示(shi)的，我們可以看(kan)看(kan)下面(mian)這個示(shi)例圖：
上圖(tu)中左邊(bian)表(biao)(biao)示(shi)(shi)時域中的(de)(de)(de)(de)(de)信號，右邊(bian)是(shi)頻(pin)域信號表(biao)(biao)示(shi)(shi)方(fang)(fang)法(fa)，從(cong)左向右表(biao)(biao)示(shi)(shi)正向轉換(huan)(Forward DFT)，從(cong)右向左表(biao)(biao)示(shi)(shi)逆向轉換(huan)(Inverse DFT)，用(yong)小(xiao)寫x[]表(biao)(biao)示(shi)(shi)信號在每個時間點上的(de)(de)(de)(de)(de)幅(fu)(fu)度值(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)組(zu)(zu), 用(yong)大寫X[]表(biao)(biao)示(shi)(shi)每種(zhong)頻(pin)率的(de)(de)(de)(de)(de)幅(fu)(fu)度值(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)組(zu)(zu), 因為有N/2+1種(zhong)頻(pin)率，所以該數(shu)(shu)(shu)(shu)組(zu)(zu)長(chang)度為N/2+1，X[]數(shu)(shu)(shu)(shu)組(zu)(zu)又分兩種(zhong)，一種(zhong)是(shi)表(biao)(biao)示(shi)(shi)余(yu)弦(xian)波(bo)的(de)(de)(de)(de)(de)不同(tong)頻(pin)率幅(fu)(fu)度值(zhi)：Re X[]，另(ling)一種(zhong)是(shi)表(biao)(biao)示(shi)(shi)正弦(xian)波(bo)的(de)(de)(de)(de)(de)不同(tong)頻(pin)率幅(fu)(fu)度值(zhi)：Im X[]，Re是(shi)實數(shu)(shu)(shu)(shu)(Real)的(de)(de)(de)(de)(de)意思，Im是(shi)虛數(shu)(shu)(shu)(shu)(Imagine)的(de)(de)(de)(de)(de)意思，采用(yong)復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)表(biao)(biao)示(shi)(shi)方(fang)(fang)法(fa)把正余(yu)弦(xian)波(bo)組(zu)(zu)合(he)起來進(jin)行表(biao)(biao)示(shi)(shi)，但這里我(wo)們(men)不考(kao)慮復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)其它作用(yong)，只記住是(shi)一種(zhong)組(zu)(zu)合(he)方(fang)(fang)法(fa)而(er)已，目的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)為了便于(yu)表(biao)(biao)達（在后面我(wo)們(men)會知(zhi)道，復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)形式的(de)(de)(de)(de)(de)傅里葉變換(huan)長(chang)度是(shi)N，而(er)不是(shi)N/2+1）。
FFT是離散傅里葉變(bian)換(huan)的(de)快速算法，可(ke)以將一(yi)(yi)個(ge)信(xin)(xin)號(hao)變(bian)換(huan)到頻(pin)(pin)域(yu)。有些信(xin)(xin)號(hao)在(zai)時域(yu)上是很(hen)難(nan)看(kan)出(chu)什么特征(zheng)的(de)，但是如果變(bian)換(huan)到頻(pin)(pin)域(yu)之后，就很(hen)容易看(kan)出(chu)特征(zheng)了。這就是很(hen)多(duo)信(xin)(xin)號(hao)分析采用FFT變(bian)換(huan)的(de)原因。另外，FFT可(ke)以將一(yi)(yi)個(ge)信(xin)(xin)號(hao)的(de)頻(pin)(pin)譜(pu)提取出(chu)來，這在(zai)頻(pin)(pin)譜(pu)分析方面也是經常(chang)用的(de)。
FFT結果的(de)具體物理意義。一個模擬(ni)信號，經過(guo)ADC采(cai)樣之后，就變成了數字信號。采(cai)樣定(ding)理告訴我們(men)，采(cai)樣頻(pin)率要大于信號頻(pin)率的(de)兩倍(bei)。
采樣得到的數字信號，就(jiu)可以做FFT變(bian)換了。N個(ge)(ge)采樣點，經(jing)過FFT之后，就(jiu)可以得到N個(ge)(ge)點的FFT結果。為了方(fang)便進行FFT運算(suan)，通常N取2的整數次方(fang)。
假(jia)設(she)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)為(wei)(wei)(wei)Fs，信(xin)號頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)F，采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)點數為(wei)(wei)(wei)N。那么(me)FFT之后結果(guo)(guo)就(jiu)是(shi)(shi)(shi)一(yi)個(ge)為(wei)(wei)(wei)N點的(de)(de)(de)(de)(de)復數。每一(yi)個(ge)點就(jiu)對應著一(yi)個(ge)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)點。這個(ge)點的(de)(de)(de)(de)(de)模值，就(jiu)是(shi)(shi)(shi)該(gai)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)值下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)幅度(du)特性(xing)。具(ju)體跟原(yuan)(yuan)始信(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)幅度(du)有什么(me)關(guan)系呢(ni)？假(jia)設(she)原(yuan)(yuan)始信(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)峰值為(wei)(wei)(wei)A，那么(me)FFT的(de)(de)(de)(de)(de)結果(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)每個(ge)點（除了第(di)一(yi)個(ge)點直流(liu)分(fen)量(liang)之外）的(de)(de)(de)(de)(de)模值就(jiu)是(shi)(shi)(shi)A的(de)(de)(de)(de)(de)N/2倍。而第(di)一(yi)個(ge)點就(jiu)是(shi)(shi)(shi)直流(liu)分(fen)量(liang)，它的(de)(de)(de)(de)(de)模值就(jiu)是(shi)(shi)(shi)直流(liu)分(fen)量(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)N倍。而每個(ge)點的(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位(wei)呢(ni)，就(jiu)是(shi)(shi)(shi)在(zai)該(gai)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位(wei)。第(di)一(yi)個(ge)點表示直流(liu)分(fen)量(liang)（即0Hz），而最后一(yi)個(ge)點N的(de)(de)(de)(de)(de)再(zai)下(xia)一(yi)個(ge)點（實際上(shang)這個(ge)點是(shi)(shi)(shi)不存在(zai)的(de)(de)(de)(de)(de)，這里是(shi)(shi)(shi)假(jia)設(she)的(de)(de)(de)(de)(de)第(di)N+1個(ge)點，也(ye)可(ke)以(yi)(yi)看做(zuo)是(shi)(shi)(shi)將第(di)一(yi)個(ge)點分(fen)做(zuo)兩半(ban)分(fen)，另一(yi)半(ban)移到(dao)(dao)(dao)最后）則(ze)(ze)表示采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)Fs，這中間(jian)被N-1個(ge)點平均分(fen)成N等份，每個(ge)點的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)依次增加。例如某點n所(suo)表示的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)為(wei)(wei)(wei)：Fn=(n-1)*Fs/N。由上(shang)面的(de)(de)(de)(de)(de)公式可(ke)以(yi)(yi)看出，Fn所(suo)能(neng)分(fen)辨(bian)到(dao)(dao)(dao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)為(wei)(wei)(wei)為(wei)(wei)(wei)Fs/N，如果(guo)(guo)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)Fs為(wei)(wei)(wei)1024Hz，采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)點數為(wei)(wei)(wei)1024點，則(ze)(ze)可(ke)以(yi)(yi)分(fen)辨(bian)到(dao)(dao)(dao)1Hz。1024Hz的(de)(de)(de)(de)(de)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)率(lv)(lv)(lv)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)1024點，剛好(hao)是(shi)(shi)(shi)1秒，也(ye)就(jiu)是(shi)(shi)(shi)說，采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)1秒時間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號并做(zuo)FFT，則(ze)(ze)結果(guo)(guo)可(ke)以(yi)(yi)分(fen)析到(dao)(dao)(dao)1Hz，如果(guo)(guo)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)2秒時間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號并做(zuo)FFT，則(ze)(ze)結果(guo)(guo)可(ke)以(yi)(yi)分(fen)析到(dao)(dao)(dao)0.5Hz。如果(guo)(guo)要提高(gao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)分(fen)辨(bian)力，則(ze)(ze)必須增加采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)點數，也(ye)即采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)時間(jian)。頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)分(fen)辨(bian)率(lv)(lv)(lv)和采(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)時間(jian)是(shi)(shi)(shi)倒數關(guan)系。
假設FFT之(zhi)后某點(dian)n用復(fu)數a+bi表示，那么這個(ge)復(fu)數的(de)模(mo)就(jiu)是An=根(gen)號(hao)a*a+b*b，相位就(jiu)是Pn=atan2(b,a)。根(gen)據以上的(de)結(jie)果，就(jiu)可(ke)以計算出n點(dian)（n≠1，且n<=N/2）對(dui)應(ying)的(de)信(xin)號(hao)的(de)表達(da)式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即(ji)2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對(dui)于n=1點(dian)的(de)信(xin)號(hao)，是直流分量，幅(fu)度(du)即(ji)為A1/N。由于FFT結(jie)果的(de)對(dui)稱性，通常我們只使(shi)用前半(ban)(ban)部分的(de)結(jie)果，即(ji)小于采樣頻率一(yi)半(ban)(ban)的(de)結(jie)果。
下面以(yi)(yi)(yi)一(yi)個(ge)(ge)實(shi)際的(de)(de)信號來做說明。假設我(wo)(wo)們(men)(men)有一(yi)個(ge)(ge)信號，它含有2V的(de)(de)直流(liu)分(fen)量，頻(pin)率(lv)為(wei)(wei)50Hz、相(xiang)位(wei)為(wei)(wei)-30度(du)(du)、幅度(du)(du)為(wei)(wei)3V的(de)(de)交流(liu)信號，以(yi)(yi)(yi)及(ji)一(yi)個(ge)(ge)頻(pin)率(lv)為(wei)(wei)75Hz、相(xiang)位(wei)為(wei)(wei)90度(du)(du)、幅度(du)(du)為(wei)(wei)1.5V的(de)(de)交流(liu)信號。用數(shu)學表達式就(jiu)是(shi)如(ru)下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中(zhong)cos參數(shu)為(wei)(wei)弧度(du)(du)，所(suo)(suo)以(yi)(yi)(yi)-30度(du)(du)和90度(du)(du)要分(fen)別換(huan)算成弧度(du)(du)。我(wo)(wo)們(men)(men)以(yi)(yi)(yi)256Hz的(de)(de)采樣率(lv)對這個(ge)(ge)信號進行(xing)采樣，總共采樣256點(dian)(dian)。按(an)照我(wo)(wo)們(men)(men)上面的(de)(de)分(fen)析，Fn=(n-1)*Fs/N，我(wo)(wo)們(men)(men)可以(yi)(yi)(yi)知道，每兩個(ge)(ge)點(dian)(dian)之間(jian)的(de)(de)間(jian)距就(jiu)是(shi)1Hz，第n個(ge)(ge)點(dian)(dian)的(de)(de)頻(pin)率(lv)就(jiu)是(shi)n-1。我(wo)(wo)們(men)(men)的(de)(de)信號有3個(ge)(ge)頻(pin)率(lv)：0Hz、50Hz、75Hz，應該分(fen)別在第1個(ge)(ge)點(dian)(dian)、第51個(ge)(ge)點(dian)(dian)、第76個(ge)(ge)點(dian)(dian)上出現峰值(zhi)，其它各點(dian)(dian)應該接近0。實(shi)際情(qing)況如(ru)何呢？我(wo)(wo)們(men)(men)來看看FFT的(de)(de)結果的(de)(de)模值(zhi)如(ru)圖所(suo)(suo)示。
從圖中我(wo)們可以看(kan)到，在第1點、第51點、和第76點附(fu)近(jin)有比(bi)較(jiao)大的值。我(wo)們分別將這三個點附(fu)近(jin)的數據拿上來(lai)細看(kan)：
1點： 512+0i
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點：332.55 - 192i
52點(dian)：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點(dian)：3.4315E-12 + 192i
77點(dian)：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很(hen)明顯，1點(dian)(dian)、51點(dian)(dian)、76點(dian)(dian)的值都比(bi)較大，它附(fu)近(jin)的點(dian)(dian)值都很(hen)小，可以認(ren)為(wei)是0，即(ji)在那些頻率點(dian)(dian)上的信號幅度為(wei)0。接(jie)著，我(wo)們來計算(suan)各點(dian)(dian)的幅度值。分別(bie)計算(suan)這(zhe)三(san)個點(dian)(dian)的模(mo)值，結果如下：
1點： 512
51點：384
76點：192
按照公式(shi)，可以計(ji)算(suan)出(chu)直(zhi)流分量為(wei)：512/N=512/256=2；50Hz信號(hao)的(de)(de)幅(fu)度為(wei)：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號(hao)的(de)(de)幅(fu)度為(wei)192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出(chu)來的(de)(de)幅(fu)度是正(zheng)確的(de)(de)。
然后再(zai)來計算(suan)相位(wei)信(xin)(xin)息。直流信(xin)(xin)號(hao)沒有相位(wei)可言，不用(yong)管它。先計算(suan)50Hz信(xin)(xin)號(hao)的(de)相位(wei)，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度，換(huan)算(suan)為角度就(jiu)(jiu)是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再(zai)計算(suan)75Hz信(xin)(xin)號(hao)的(de)相位(wei)，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換(huan)算(suan)成(cheng)角度就(jiu)(jiu)是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位(wei)也是對的(de)。根據FFT結果以(yi)及上面的(de)分析計算(suan)，我們就(jiu)(jiu)可以(yi)寫出信(xin)(xin)號(hao)的(de)表達式(shi)了(le)，它就(jiu)(jiu)是我們開始提供的(de)信(xin)(xin)號(hao)。
總結：假(jia)設采(cai)樣頻(pin)(pin)率為(wei)Fs，采(cai)樣點(dian)數(shu)為(wei)N，做FFT之后(hou)(hou)，某(mou)一(yi)(yi)點(dian)n（n從(cong)1開始(shi)）表示的(de)(de)頻(pin)(pin)率為(wei)：Fn=(n-1)*Fs/N；該(gai)點(dian)的(de)(de)模(mo)值除以(yi)N/2就(jiu)是(shi)對(dui)應該(gai)頻(pin)(pin)率下的(de)(de)信號的(de)(de)幅度（對(dui)于直流信號是(shi)除以(yi)N）；該(gai)點(dian)的(de)(de)相(xiang)(xiang)位即是(shi)對(dui)應該(gai)頻(pin)(pin)率下的(de)(de)信號的(de)(de)相(xiang)(xiang)位。相(xiang)(xiang)位的(de)(de)計算(suan)可(ke)用函(han)數(shu)atan2(b,a)計算(suan)。atan2(b,a)是(shi)求坐標為(wei)(a,b)點(dian)的(de)(de)角度值，范圍從(cong)-pi到(dao)pi。要(yao)(yao)精確到(dao)xHz，則(ze)需要(yao)(yao)采(cai)樣長度為(wei)1/x秒(miao)的(de)(de)信號，并做FFT。要(yao)(yao)提高頻(pin)(pin)率分辨率，就(jiu)需要(yao)(yao)增(zeng)加采(cai)樣點(dian)數(shu)，這(zhe)在一(yi)(yi)些實(shi)際的(de)(de)應用中(zhong)是(shi)不現實(shi)的(de)(de)，需要(yao)(yao)在較短的(de)(de)時間內完成(cheng)分析。解決這(zhe)個問題的(de)(de)方法有頻(pin)(pin)率細分法，比(bi)較簡單(dan)的(de)(de)方法是(shi)采(cai)樣比(bi)較短時間的(de)(de)信號，然后(hou)(hou)在后(hou)(hou)面(mian)補(bu)充一(yi)(yi)定數(shu)量的(de)(de)0，使其長度達到(dao)需要(yao)(yao)的(de)(de)點(dian)數(shu)，再做FFT，這(zhe)在一(yi)(yi)定程(cheng)度上能夠(gou)提高頻(pin)(pin)率分辨力。具體(ti)的(de)(de)頻(pin)(pin)率細分法可(ke)參考相(xiang)(xiang)關文獻。
精靈世界
】編輯上傳(chuan)(chuan)提(ti)供(gong)，當前頁面(mian)所展示的詞條介紹涉及宣傳(chuan)(chuan)內容屬于注冊用戶個人(ren)編輯行為，網站不(bu)完全(quan)保證內容信息(xi)的準(zhun)確性、真實性，也不(bu)代表本站立場。
