傅里葉變(bian)換(huan)，表(biao)示能將滿足一定條(tiao)件的(de)某個(ge)函數(shu)表(biao)示成(cheng)三角函數(shu)（正弦和/或余弦函數(shu)）或者它們(men)的(de)積分的(de)線(xian)性組合。
在不同(tong)的(de)(de)研究領(ling)域，傅(fu)里(li)葉變(bian)(bian)換(huan)(huan)具(ju)有(you)多種不同(tong)的(de)(de)變(bian)(bian)體形式，如連(lian)續傅(fu)里(li)葉變(bian)(bian)換(huan)(huan)和離(li)散傅(fu)里(li)葉變(bian)(bian)換(huan)(huan)。最初(chu)傅(fu)里(li)葉分(fen)析是作為熱過(guo)程(cheng)的(de)(de)解析分(fen)析的(de)(de)工具(ju)被(bei)提(ti)出的(de)(de)。
設f∈，則其(qi)傅(fu)里葉變換為(wei)上(shang)的(de)函數，定義(yi)為(wei)
且稱為傅里葉(xie)級數。
收斂性
f到的(de)傅(fu)里葉映(ying)射(she)為，且(qie)，且(qie)f的(de)傅(fu)里葉級(ji)數(shu)在L2范數(shu)下收斂于f。
對稱性質
若 ，則。
奇偶性質
若 ，且 ，其中(zhong) 表(biao)示 的(de)實(shi)部， 表(biao)示 的(de)虛部，則 是(shi)(shi)關于(yu) 的(de)偶函數，的(de)模是(shi)(shi)關于(yu)的(de)偶函數，輻角(jiao)是(shi)(shi)關于(yu)的(de)奇函數。
線性性質
若，，則
其中(zhong)α和β為常數(shu)。
時移性質
若，則。
頻移性質
若，則。
尺度變換性質
若，則。
卷積定理
時域(yu)卷(juan)積定(ding)理(li)：若，，則(ze)；
頻域(yu)卷(juan)積(ji)定理(li)：若，，則。
時域微積分
微(wei)分性質：若，則，；
積分性質(zhi)：若，則。
頻域微積分
微分性質(zhi)：若，則(ze)；
積分性(xing)質(zhi)：若，則。
盡管最初傅里葉(xie)(xie)分(fen)析(xi)(xi)是(shi)(shi)作為熱過程的(de)(de)(de)解析(xi)(xi)分(fen)析(xi)(xi)的(de)(de)(de)工具(ju)，但是(shi)(shi)其(qi)思(si)想(xiang)方法(fa)(fa)仍然具(ju)有(you)典(dian)型的(de)(de)(de)還原論和分(fen)析(xi)(xi)主義的(de)(de)(de)特征。"任意"的(de)(de)(de)函數通過一定的(de)(de)(de)分(fen)解，都能夠(gou)表示為正(zheng)弦函數的(de)(de)(de)線性組(zu)合(he)的(de)(de)(de)形式，而正(zheng)弦函數在物(wu)理上是(shi)(shi)被充分(fen)研究而相對簡單的(de)(de)(de)函數類，這一想(xiang)法(fa)(fa)跟化學上的(de)(de)(de)原子論想(xiang)法(fa)(fa)何其(qi)相似！奇妙的(de)(de)(de)是(shi)(shi)，現代數學發現傅里葉(xie)(xie)變換(huan)具(ju)有(you)非常好的(de)(de)(de)性質，使得(de)(de)它如此的(de)(de)(de)好用(yong)(yong)和有(you)用(yong)(yong)，讓(rang)人不得(de)(de)不感嘆造(zao)物(wu)的(de)(de)(de)神奇：
傅里葉變(bian)換是線性算(suan)子，若賦予(yu)適當的范數，它還(huan)是酉算(suan)子；
傅里葉變換的(de)逆變換容(rong)易求出，而且(qie)形式與正變換非(fei)常類似；
正(zheng)弦基函(han)數是微分運(yun)算的(de)(de)本征函(han)數，從(cong)(cong)而(er)使得(de)線性微分方程的(de)(de)求解(jie)可以轉化為常系(xi)數的(de)(de)代數方程的(de)(de)求解(jie).在線性時不變的(de)(de)物(wu)理系(xi)統內，頻率(lv)是個不變的(de)(de)性質，從(cong)(cong)而(er)系(xi)統對于復雜激勵的(de)(de)響應可以通過組合其對不同頻率(lv)正(zheng)弦信號的(de)(de)響應來獲取；
著名的(de)卷積定理(li)指(zhi)出：傅(fu)里葉(xie)變(bian)換可以化復雜(za)的(de)卷積運算為簡單的(de)乘積運算，從而(er)提供了(le)計算卷積的(de)一種簡單手段；
離散形式(shi)的(de)(de)傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)可以利用數字計算(suan)機快(kuai)速(su)的(de)(de)算(suan)出（其算(suan)法稱(cheng)為快(kuai)速(su)傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)算(suan)法（FFT)).
正是(shi)由(you)于上述的(de)良好性質，傅里葉(xie)變換在物(wu)理學(xue)(xue)、數論(lun)、組合數學(xue)(xue)、信號處(chu)理、概率、統計、密(mi)碼學(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)、光學(xue)(xue)等領域都(dou)有(you)著廣泛的(de)應(ying)用(yong)。
傅里葉(xie)變(bian)換(huan)是(shi)數(shu)字(zi)信(xin)號處理中的(de)(de)(de)基(ji)本操(cao)作，廣泛應(ying)用于(yu)表述(shu)及分析離散(san)時域信(xin)號領域。但由于(yu)其運算量與變(bian)換(huan)點數(shu)N的(de)(de)(de)平方成正(zheng)比關系，因此，在N較大時，直接應(ying)用DFT算法進行譜變(bian)換(huan)是(shi)不(bu)切合實(shi)際的(de)(de)(de)。然而，快(kuai)速傅里葉(xie)變(bian)換(huan)技術的(de)(de)(de)出現使情況發生了根(gen)本性(xing)的(de)(de)(de)變(bian)化。本文主要描述(shu)了采(cai)用FPGA來實(shi)現2k/4k/8k點FFT的(de)(de)(de)設計(ji)方法。
一(yi)般情(qing)況下，N點的傅里葉變(bian)換對(dui)為：
其中(zhong)，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和(he)x(n）都為(wei)復(fu)數(shu)(shu)。與之(zhi)相(xiang)對(dui)的快(kuai)速傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變換有很多種，如DIT（時域(yu)抽取法(fa)(fa)）、DIF（頻域(yu)抽取法(fa)(fa)）、Cooley－Tukey和(he)Winograd等。對(dui)于2n傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變換，Cooley－Tukey算(suan)法(fa)(fa)可導(dao)出DIT和(he)DIF算(suan)法(fa)(fa)。本(ben)(ben)(ben)文(wen)運(yun)用的基本(ben)(ben)(ben)思想是Cooley－Tukey算(suan)法(fa)(fa)，即將(jiang)高點(dian)數(shu)(shu)的傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變換通(tong)過多重低點(dian)數(shu)(shu)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變換來(lai)實(shi)現。雖(sui)然DIT與DIF有差(cha)別(bie)，但由于它們(men)在(zai)(zai)本(ben)(ben)(ben)質上都是一(yi)(yi)種基于標(biao)號分解的算(suan)法(fa)(fa)，故在(zai)(zai)運(yun)算(suan)量和(he)算(suan)法(fa)(fa)復(fu)雜性等方(fang)面完全(quan)一(yi)(yi)樣(yang)，而沒(mei)有性能上的優劣之(zhi)分，所(suo)以(yi)可以(yi)根據需要任取其中(zhong)一(yi)(yi)種，本(ben)(ben)(ben)文(wen)主要以(yi)DIT方(fang)法(fa)(fa)為(wei)對(dui)象來(lai)討(tao)論。
N=8192點DFT的(de)運算表達式為(wei)：
式中，m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2，k=2048k1+k2）其中n1和k2可(ke)取(qu)0,1，．．．，2047,k1和n2可(ke)取(qu)0,1,2,3。
由(you)式（3）可(ke)(ke)知(zhi)，8k傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)由(you)4×2k的(de)(de)(de)傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)。同(tong)理，4k傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)由(you)2×2k的(de)(de)(de)傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)。而(er)2k傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)由(you)128×16的(de)(de)(de)傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)。128的(de)(de)(de)傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)進一步由(you)16×8的(de)(de)(de)傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)，歸根(gen)結底，整個(ge)(ge)傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)由(you)基2、基4的(de)(de)(de)傅里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)。2k的(de)(de)(de)FFT可(ke)(ke)以通過5個(ge)(ge)基4和(he)(he)1個(ge)(ge)基2變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)來實現；4k的(de)(de)(de)FFT變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)可(ke)(ke)通過6個(ge)(ge)基4變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)來實現；8k的(de)(de)(de)FFT可(ke)(ke)以通過6個(ge)(ge)基4和(he)(he)1個(ge)(ge)基2變(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)來實現。也就是說：FFT的(de)(de)(de)基本結構(gou)(gou)可(ke)(ke)由(you)基2/4模塊、復數(shu)乘法(fa)器、存儲(chu)單元(yuan)和(he)(he)存儲(chu)器控制模塊構(gou)(gou)成(cheng)，其整體(ti)結構(gou)(gou)如圖1所示。
RAM用(yong)來存儲輸入數(shu)據、運算(suan)過程中(zhong)的中(zhong)間(jian)結果以及運算(suan)完(wan)成后(hou)的數(shu)據，ROM用(yong)來存儲旋轉因子表。蝶形(xing)運算(suan)單元即(ji)為基(ji)2/4模(mo)(mo)塊，控制(zhi)模(mo)(mo)塊可用(yong)于產生(sheng)控制(zhi)時序及地址信號(hao)，以控制(zhi)中(zhong)間(jian)運算(suan)過程及最后(hou)輸出結果。
基(ji)4和(he)基(ji)2的信號流如圖2所示。圖中(zhong)，若(ruo)A=r0+j*i0，B=r1+j*i1，C=r2+j*i2，D=r3+j*i3是要進行變換的信號，Wk0=c0+j*s0=1，Wk1=c1+j*s1，Wk2=c2+j*s2，Wk3=c3+j*s3為(wei)旋(xuan)轉因子(zi)，將其(qi)分別代入圖2中(zhong)的基(ji)4蝶形運算單元，則有：
A′=[r0+(r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2)+(r3×c3－i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? （4）
B′=[r0+(i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2）－（i3×c3+r3×s3)]+j[i0－（r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2)+(r3×c3－i3×s3)] (5）
C′=[r0－（r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]+j[i0－（i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2）－（i3×c3+r3×s3)] （6）
D′=[r0－（i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]? （7）
而在基(ji)(ji)2蝶形中，Wk0和Wk2的值(zhi)均為1，這(zhe)樣，將A，B，C和D的表達式(shi)代入圖2中的基(ji)(ji)2運算(suan)的四個等式(shi)中，則有：
A′=r0+(r1×c1－i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? （8）
B′=r0－ (r1×c1－i1×s1)+j[i0－（i1×c1+r1×s1)] （9）
C′=r2+(r3×c3－i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? （10）
D′=r2－（r3×c3－i3×s3)+j[i0－（i3×c3+r3×s3)]? （11）
在上(shang)述式（4）～（11）中有(you)很多類同項(xiang)，如(ru)i1×c1+r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它們僅僅是加減號的(de)不同，其結構和運算(suan)均類似，這(zhe)就為簡化(hua)電路提供(gong)了可能。同時(shi)，在蝶(die)形(xing)運算(suan)中，復數(shu)乘法可以(yi)由實數(shu)乘法以(yi)一(yi)(yi)定的(de)格式來表示，這(zhe)也(ye)為設計復數(shu)乘法器提供(gong)了一(yi)(yi)種實現的(de)途徑。
以基(ji)4為例，在(zai)其(qi)運算單(dan)元(yuan)中，實際上只(zhi)(zhi)(zhi)需做(zuo)三(san)個復數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)運算，即(ji)只(zhi)(zhi)(zhi)須計算BWk1、CWk2和(he)DWk3的值即(ji)可(ke)，這樣在(zai)一(yi)個基(ji)4蝶(die)形單(dan)元(yuan)里(li)面，最多(duo)只(zhi)(zhi)(zhi)需要3個復數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)器就可(ke)以了(le)。在(zai)實際過(guo)程中，在(zai)不提高時鐘(zhong)頻率(lv)下，只(zhi)(zhi)(zhi)要將時序(xu)控制好?便可(ke)利(li)用流水線（Pipeline）技術(shu)并只(zhi)(zhi)(zhi)用一(yi)個復數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)器就可(ke)完成這三(san)個復數乘(cheng)法(fa)(fa)(fa)，大大節省了(le)硬件資源(yuan)。
FFT變換后輸出的結果通(tong)常為一特(te)定的倒序。因此，幾級變換后對(dui)地址的控制必須準確無誤。
倒(dao)(dao)序的(de)規(gui)律是和分解的(de)方式密(mi)切(qie)相關的(de)，以基8為例，其基本(ben)倒(dao)(dao)序規(gui)則如下：
基(ji)8可(ke)以(yi)用(yong)2×2×2三級基(ji)2變(bian)換來表(biao)示，則其(qi)輸(shu)入(ru)順序(xu)則可(ke)用(yong)二進制序(xu)列（n1 n2 n3）來表(biao)示，變(bian)換結束后，其(qi)順序(xu)將(jiang)變(bian)為（n3 n2 n1），如(ru)：X?011 → x?110 ，即輸(shu)入(ru)順序(xu)為3，輸(shu)出時順序(xu)變(bian)為6。
更進一步(bu)，對于基16的(de)變(bian)換，可(ke)由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式(shi)來構成，相對于不同的(de)分解形式(shi)，往往會有不同的(de)倒序(xu)方(fang)式(shi)。以4×4為(wei)例，其(qi)輸(shu)入(ru)順(shun)(shun)序(xu)可(ke)以用二進制序(xu)列（n1 n2 n3n4）來表示變(bian)換結束(shu)后，其(qi)順(shun)(shun)序(xu)可(ke)變(bian)為(wei)（（n3 n4）（n1 n2）），如(ru)：X?0111 → x?1101 。即輸(shu)入(ru)順(shun)(shun)序(xu)為(wei)7，輸(shu)出時(shi)順(shun)(shun)序(xu)變(bian)為(wei)13。
在2k/4k/8k的(de)傅里(li)葉變換中(zhong)，由于要經過多次(ci)的(de)基4和基2運(yun)算(suan)(suan)，因此，從每次(ci)運(yun)算(suan)(suan)完成后到進入下(xia)一次(ci)運(yun)算(suan)(suan)前(qian)，應對運(yun)算(suan)(suan)的(de)結果進行(xing)倒序(xu)，以保證運(yun)算(suan)(suan)的(de)正確性。
N點傅里葉(xie)變換(huan)的旋轉因子(zi)有著明顯的周期(qi)性和對稱性。其周期(qi)性表現為：
FFT之所以可使運算效率得到提高(gao)，就是(shi)利用了對稱性(xing)和周期性(xing)把長序列的DFT逐級分解成幾個(ge)序列的DFT，并最終以短點(dian)數變換(huan)來實現長點(dian)數變換(huan)。
根據(ju)旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)因(yin)子的對稱性和周期性，在(zai)利用ROM存儲旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)因(yin)子時，可以只(zhi)存儲旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)因(yin)子表的一(yi)部分，而(er)在(zai)讀(du)出時增加讀(du)出地址及(ji)符號的控制，這樣可以正(zheng)確(que)實現FFT。因(yin)此，充分利用旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)因(yin)子的性質，可節省70%以上存儲單元。
實際上(shang)，由(you)于旋(xuan)轉因(yin)子(zi)可(ke)分(fen)解為(wei)正(zheng)、余弦(xian)函(han)數的(de)(de)組合，故ROM中存(cun)的(de)(de)值為(wei)正(zheng)、余弦(xian)函(han)數值的(de)(de)組合。對2k/4k/8k的(de)(de)傅里葉(xie)變換(huan)來說，只是對一個周期進行(xing)不同的(de)(de)分(fen)割。由(you)于8k變換(huan)的(de)(de)旋(xuan)轉因(yin)子(zi)包括了2k/4k的(de)(de)所(suo)有因(yin)子(zi)，因(yin)此，實現時只要對讀(du)ROM的(de)(de)地址(zhi)進行(xing)控制，即可(ke)實現2k/4k/8k變換(huan)的(de)(de)通用。
因(yin)FFT是為(wei)時(shi)序(xu)電路而(er)設計的(de)(de)，因(yin)此，控(kong)制(zhi)信(xin)號(hao)要包(bao)括時(shi)序(xu)的(de)(de)控(kong)制(zhi)信(xin)號(hao)及存儲器(qi)的(de)(de)讀寫(xie)地(di)址，并產生(sheng)各種輔助(zhu)的(de)(de)指示信(xin)號(hao)。同時(shi)在計算(suan)模塊的(de)(de)內(nei)部，為(wei)保證高速，所有的(de)(de)乘(cheng)法器(qi)都須始(shi)終保持較高的(de)(de)利(li)用率。這(zhe)意(yi)味著在每一(yi)個時(shi)鐘(zhong)來臨時(shi)都要向這(zhe)些(xie)單(dan)元輸入新的(de)(de)操作數，而(er)這(zhe)一(yi)切都需要控(kong)制(zhi)信(xin)號(hao)的(de)(de)緊密(mi)配(pei)合。
為了(le)實(shi)現FFT的(de)(de)(de)流形運(yun)(yun)算(suan)，在(zai)運(yun)(yun)算(suan)的(de)(de)(de)同時(shi)(shi)，存儲(chu)器(qi)也要接收數據(ju)。這(zhe)可以采用(yong)乒(ping)乓RAM的(de)(de)(de)方(fang)法來(lai)完成(cheng)。這(zhe)種方(fang)式決定了(le)實(shi)現FFT運(yun)(yun)算(suan)的(de)(de)(de)最大時(shi)(shi)間(jian)。對于(yu)4k操作(zuo)，其接收時(shi)(shi)間(jian)為4096個數據(ju)周(zhou)(zhou)期,這(zhe)樣(yang)FFT的(de)(de)(de)最大運(yun)(yun)算(suan)時(shi)(shi)間(jian)就是4096個數據(ju)周(zhou)(zhou)期。另(ling)外，由于(yu)輸(shu)(shu)入數據(ju)是以一定的(de)(de)(de)時(shi)(shi)鐘為周(zhou)(zhou)期依次輸(shu)(shu)入的(de)(de)(de)，故在(zai)進(jin)行(xing)內部運(yun)(yun)算(suan)時(shi)(shi)，可以用(yong)較(jiao)高的(de)(de)(de)內部時(shi)(shi)鐘進(jin)行(xing)運(yun)(yun)算(suan)，然后(hou)再存入RAM依次輸(shu)(shu)出。
為節省資源，可對(dui)存儲數據(ju)RAM采(cai)用(yong)原(yuan)址(zhi)讀出原(yuan)址(zhi)寫入的(de)(de)方法，即在進行下一級變換的(de)(de)同時(shi)，首先應(ying)將結果(guo)回寫到讀出數據(ju)的(de)(de)RAM存貯(zhu)器(qi)中(zhong)；而對(dui)于ROM，則應(ying)采(cai)用(yong)與(yu)運算的(de)(de)數據(ju)相對(dui)應(ying)的(de)(de)方法來讀出存儲器(qi)中(zhong)旋轉因子的(de)(de)值。
在2k/4k/8k傅里葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)中，要實(shi)現(xian)通用(yong)性，控制器(qi)是最主(zhu)要的(de)模塊。2k、4k、8k變(bian)換(huan)(huan)具有不(bu)同(tong)(tong)的(de)內(nei)部運算時(shi)(shi)間和存(cun)儲器(qi)地(di)(di)址(zhi)，在設計中，針對(dui)不(bu)同(tong)(tong)的(de)點(dian)數(shu)應設計不(bu)同(tong)(tong)的(de)存(cun)儲器(qi)存(cun)取地(di)(di)址(zhi)，同(tong)(tong)時(shi)(shi)，在完(wan)成(cheng)變(bian)換(huan)(huan)后(hou)，還(huan)要對(dui)開始輸出有用(yong)信號的(de)時(shi)(shi)刻進行指示。
Fourier transform或Transformée de Fourier有多個中文譯名，常見的(de)有“傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)”、“付立葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)”、“傅(fu)(fu)立葉(xie)(xie)(xie)轉換(huan)”、“傅(fu)(fu)氏(shi)轉換(huan)”、“傅(fu)(fu)氏(shi)變(bian)換(huan)”、等等。
傅里葉變換(huan)是一種分(fen)(fen)析信(xin)號(hao)的方(fang)法，它可分(fen)(fen)析信(xin)號(hao)的成(cheng)(cheng)分(fen)(fen)，也可用這些成(cheng)(cheng)分(fen)(fen)合成(cheng)(cheng)信(xin)號(hao)。許(xu)多波(bo)形可作(zuo)(zuo)為信(xin)號(hao)的成(cheng)(cheng)分(fen)(fen)，比(bi)如正(zheng)弦波(bo)、方(fang)波(bo)、鋸齒波(bo)等，傅里葉變換(huan)用正(zheng)弦波(bo)作(zuo)(zuo)為信(xin)號(hao)的成(cheng)(cheng)分(fen)(fen)。
f(t)是(shi)t的(de)周(zhou)(zhou)期函(han)(han)數(shu)(shu)，如果t滿足狄利克雷條(tiao)件：在一個(ge)(ge)(ge)以(yi)(yi)2T為周(zhou)(zhou)期內f(X)連續(xu)或(huo)只有(you)(you)有(you)(you)限(xian)(xian)個(ge)(ge)(ge)第一類間(jian)斷點，附f（x）單調或(huo)可劃分成有(you)(you)限(xian)(xian)個(ge)(ge)(ge)單調區間(jian)，則F（x）以(yi)(yi)2T為周(zhou)(zhou)期的(de)傅(fu)里(li)葉級(ji)數(shu)(shu)收(shou)斂，和函(han)(han)數(shu)(shu)S（x）也是(shi)以(yi)(yi)2T為周(zhou)(zhou)期的(de)周(zhou)(zhou)期函(han)(han)數(shu)(shu)，且在這些間(jian)斷點上，函(han)(han)數(shu)(shu)是(shi)有(you)(you)限(xian)(xian)值；在一個(ge)(ge)(ge)周(zhou)(zhou)期內具有(you)(you)有(you)(you)限(xian)(xian)個(ge)(ge)(ge)極值點；絕對(dui)可積。則有(you)(you)下(xia)圖①式成立。稱為積分運算(suan)f(t)的(de)傅(fu)里(li)葉變換，
②式的積(ji)分運算叫(jiao)做(zuo)F(ω)的傅里葉逆變換。F(ω)叫(jiao)做(zuo)f(t)的象函(han)數，f(t)叫(jiao)做(zuo)
F(ω)的象原(yuan)函數(shu)。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原(yuan)象。
①傅里葉變換
②傅里葉逆變換
傅里葉變換在(zai)物理學(xue)(xue)(xue)、電子類學(xue)(xue)(xue)科(ke)、數論、組(zu)合數學(xue)(xue)(xue)、信號處(chu)理、概(gai)率論、統計學(xue)(xue)(xue)、密碼學(xue)(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)(xue)、光學(xue)(xue)(xue)、海洋學(xue)(xue)(xue)、結構動力(li)學(xue)(xue)(xue)等領域都有(you)著(zhu)廣(guang)泛的(de)應用(yong)（例如在(zai)信號處(chu)理中(zhong)，傅里葉變換的(de)典型用(yong)途是將(jiang)信號分解成頻(pin)率譜——顯示與頻(pin)率對應的(de)幅值大小）。
* 傅里葉變換屬于諧波(bo)分析(xi)。
* 傅里葉變換(huan)的逆變換(huan)容易求出，而且形式與正變換(huan)非常類似;
* 正弦(xian)基函(han)數是微分(fen)運算的本征函(han)數，從(cong)而(er)使得線(xian)性(xing)微分(fen)方(fang)程的求解可以(yi)轉化(hua)為常系數的代(dai)數方(fang)程的求解.在(zai)線(xian)性(xing)時不變(bian)的物理系統(tong)內，頻率是個(ge)不變(bian)的性(xing)質，從(cong)而(er)系統(tong)對(dui)于復雜(za)激勵(li)的響(xiang)應(ying)可以(yi)通(tong)過組合其對(dui)不同頻率正弦(xian)信號的響(xiang)應(ying)來獲(huo)取；
*卷(juan)(juan)積(ji)定理(li)指出：傅里葉變換可以化(hua)復(fu)雜(za)的(de)卷(juan)(juan)積(ji)運算(suan)(suan)為簡(jian)(jian)單(dan)的(de)乘(cheng)積(ji)運算(suan)(suan)，從而提供了計算(suan)(suan)卷(juan)(juan)積(ji)的(de)一種簡(jian)(jian)單(dan)手(shou)段；
* 離(li)散(san)形式的傅里(li)葉變換可以利用數字計算(suan)(suan)機(ji)快速地算(suan)(suan)出（其算(suan)(suan)法稱為快速傅里(li)葉變換算(suan)(suan)法（FFT)).
一般情(qing)況下(xia)，若“傅里葉變換(huan)”一詞的(de)(de)(de)前面(mian)未加任何(he)限定語，則(ze)指的(de)(de)(de)是“連(lian)續傅里葉變換(huan)”。“連(lian)續傅里葉變換(huan)”將(jiang)平方可(ke)積的(de)(de)(de)函數(shu) 表示成復指數(shu)函數(shu)的(de)(de)(de)積分(fen)形式：
上(shang)式其(qi)實表(biao)示(shi)的(de)(de)是連(lian)續傅里葉(xie)(xie)變換(huan)的(de)(de)逆變換(huan)，即將時間域(yu)的(de)(de)函(han)(han)數(shu)(shu)表(biao)示(shi)為(wei)頻(pin)率(lv)域(yu)的(de)(de)函(han)(han)數(shu)(shu) 的(de)(de)積分。反(fan)過來，其(qi)正變換(huan)恰(qia)好是將頻(pin)率(lv)域(yu)的(de)(de)函(han)(han)數(shu)(shu) 表(biao)示(shi)為(wei)時間域(yu)的(de)(de)函(han)(han)數(shu)(shu) 的(de)(de)積分形式。一般可(ke)稱函(han)(han)數(shu)(shu) 為(wei)原函(han)(han)數(shu)(shu)，而稱函(han)(han)數(shu)(shu) 為(wei)傅里葉(xie)(xie)變換(huan)的(de)(de)像函(han)(han)數(shu)(shu)，原函(han)(han)數(shu)(shu)和像函(han)(han)數(shu)(shu)構成(cheng)一個傅里葉(xie)(xie)變換(huan)對(dui)（transform pair）。
當 為奇函數（或偶函數）時，其余弦(xian)（或正(zheng)弦(xian)）分量為零(ling)，而(er)可以稱這時的(de)變換(huan)為余弦(xian)變換(huan)（或正(zheng)弦(xian)變換(huan)）。
主條(tiao)目：傅里葉級數
連續形(xing)式的傅里葉(xie)(xie)變(bian)換其(qi)實是傅里葉(xie)(xie)級(ji)(ji)數(shu)的推廣，因(yin)為(wei)(wei)積分其(qi)實是一(yi)種極限形(xing)式的求和算子而已。對(dui)于周(zhou)期函數(shu)，它的傅里葉(xie)(xie)級(ji)(ji)數(shu)（Fourier series）表示被定義為(wei)(wei)：
其中 為函數的周期， 為傅里葉(xie)展開(kai)系數，它們(men)等(deng)于
對(dui)于實值函數(shu)，函數(shu)的傅里葉級(ji)數(shu)可以(yi)寫成：
其中 和 是實頻(pin)率分(fen)量的振幅(fu)。
主條目(mu)：離散時間傅里葉變換
離(li)散時(shi)間傅(fu)里葉變換（discrete-time Fourier transform, DTFT）針對的是定義域為Z的數(shu)列(lie)。設 為某一數(shu)列(lie)，則其DTFT被(bei)定義為
DTFT在(zai)時域(yu)上離散(san)，在(zai)頻(pin)域(yu)上則(ze)是(shi)周(zhou)期的，它一般用來對離散(san)時間信號(hao)進行頻(pin)譜分析(xi)。DTFT可(ke)以(yi)被看作是(shi)傅里葉級數的逆。
為(wei)了在(zai)科(ke)學計算(suan)和(he)數(shu)字(zi)信(xin)號處理等領域使(shi)用(yong)計算(suan)機進(jin)行傅里(li)葉變(bian)(bian)換，必須(xu)將函數(shu)定義在(zai)離(li)(li)散點上而非連(lian)續域內，且須(xu)滿足有限性(xing)或周期性(xing)條(tiao)件(jian)。這(zhe)種情況下，序列 的離(li)(li)散傅里(li)葉變(bian)(bian)換（discrete Fourier transform, DFT）為(wei)
直接使用DFT的定義計(ji)算(suan)(suan)(suan)的計(ji)算(suan)(suan)(suan)復(fu)雜(za)(za)度為 ，而快速傅里葉變(bian)換(huan)（fast Fourier transform, FFT）可(ke)以(yi)將復(fu)雜(za)(za)度改進(jin)為 。計(ji)算(suan)(suan)(suan)復(fu)雜(za)(za)度的降低以(yi)及數字電(dian)路計(ji)算(suan)(suan)(suan)能力的發展(zhan)使得(de)DFT成為在(zai)信號處理領域十分實用且重要(yao)的方法。
在阿貝爾群(qun)上的統一描(miao)述
以上各種(zhong)傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可以被更統一的(de)(de)表述成任(ren)意局部緊致的(de)(de)阿貝(bei)爾群(qun)上的(de)(de)傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)。這一問題屬于調和(he)(he)分析的(de)(de)范疇。在調和(he)(he)分析中，一個變(bian)(bian)換(huan)(huan)從一個群(qun)變(bian)(bian)換(huan)(huan)到它的(de)(de)對偶群(qun)（dual group）。此外，將傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)與卷積相聯系的(de)(de)卷積定(ding)理(li)在調和(he)(he)分析中也有(you)類似的(de)(de)結論(lun)。
下表列出了(le)傅里葉變換家(jia)族的(de)(de)成員(yuan)。容易發現(xian)，函(han)數在(zai)時(shi)（頻）域的(de)(de)離散(san)對(dui)應于其像函(han)數在(zai)頻（時(shi)）域的(de)(de)周期性，反之連續則意味著在(zai)對(dui)應域的(de)(de)信(xin)號的(de)(de)非(fei)周期性。
傅(fu)里葉(xie)是一位法(fa)(fa)國(guo)(guo)數學(xue)(xue)家(jia)和(he)物理(li)學(xue)(xue)家(jia)的(de)名字，英語原(yuan)名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對(dui)熱傳遞很感(gan)興趣(qu)，于1807年(nian)在(zai)(zai)法(fa)(fa)國(guo)(guo)科學(xue)(xue)學(xue)(xue)會上(shang)發(fa)表(biao)(biao)了一篇(pian)論文(wen)(wen)，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文(wen)(wen)里有(you)個(ge)在(zai)(zai)當(dang)時具有(you)爭議性的(de)決斷(duan)：任何連(lian)續周期(qi)信(xin)號(hao)可(ke)以由一組適當(dang)的(de)正弦曲線組合(he)而(er)成。當(dang)時審查這(zhe)個(ge)論文(wen)(wen)的(de)人(ren)，其(qi)中有(you)兩位是歷(li)史上(shang)著名的(de)數學(xue)(xue)家(jia)拉(la)格朗(lang)日(ri)(ri)(ri)(ri)(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和(he)拉(la)普拉(la)斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當(dang)拉(la)普拉(la)斯和(he)其(qi)它審查者投票通過并要發(fa)表(biao)(biao)這(zhe)個(ge)論文(wen)(wen)時，拉(la)格朗(lang)日(ri)(ri)(ri)(ri)堅決反(fan)對(dui)，在(zai)(zai)他此后(hou)生命的(de)六年(nian)中，拉(la)格朗(lang)日(ri)(ri)(ri)(ri)堅持認(ren)為傅(fu)里葉(xie)的(de)方法(fa)(fa)無法(fa)(fa)表(biao)(biao)示帶有(you)棱角的(de)信(xin)號(hao)，如在(zai)(zai)方波中出(chu)現非連(lian)續變化斜率。法(fa)(fa)國(guo)(guo)科學(xue)(xue)學(xue)(xue)會屈服(fu)于拉(la)格朗(lang)日(ri)(ri)(ri)(ri)的(de)威望，拒絕了傅(fu)里葉(xie)的(de)工作(zuo)，幸運的(de)是，傅(fu)里葉(xie)還(huan)有(you)其(qi)它事情可(ke)忙，他參(can)加(jia)了政治運動，隨拿破侖(lun)遠征埃及(ji)，法(fa)(fa)國(guo)(guo)大革命后(hou)因會被(bei)(bei)推上(shang)斷(duan)頭臺而(er)一直(zhi)在(zai)(zai)逃避。直(zhi)到(dao)拉(la)格朗(lang)日(ri)(ri)(ri)(ri)死后(hou)15年(nian)這(zhe)個(ge)論文(wen)(wen)才被(bei)(bei)發(fa)表(biao)(biao)出(chu)來。
拉格朗(lang)日是(shi)對的(de)：正弦曲線無(wu)法(fa)組合成一(yi)個帶(dai)有棱角的(de)信號。但(dan)是(shi)，我(wo)們可以用正弦曲線來非常逼(bi)近地(di)表示它，逼(bi)近到(dao)兩種表示方法(fa)不存(cun)在能量(liang)差別，基于此，傅(fu)里葉是(shi)對的(de)。
用(yong)正弦曲(qu)線(xian)來代(dai)替原(yuan)來的(de)(de)曲(qu)線(xian)而不用(yong)方(fang)波或三角波來表(biao)(biao)示(shi)的(de)(de)原(yuan)因在于，分(fen)解信(xin)(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)方(fang)法是(shi)無窮(qiong)的(de)(de)，但分(fen)解信(xin)(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)目的(de)(de)是(shi)為了更(geng)加(jia)簡單地(di)處理原(yuan)來的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)。用(yong)正余弦來表(biao)(biao)示(shi)原(yuan)信(xin)(xin)(xin)號(hao)會(hui)更(geng)加(jia)簡單，因為正余弦擁有(you)原(yuan)信(xin)(xin)(xin)號(hao)所(suo)不具(ju)有(you)的(de)(de)性(xing)質(zhi)：正弦曲(qu)線(xian)保(bao)真度(du)。一個(ge)正弦曲(qu)線(xian)信(xin)(xin)(xin)號(hao)輸入(ru)后，輸出的(de)(de)仍是(shi)正弦曲(qu)線(xian)，只(zhi)有(you)幅(fu)度(du)和(he)(he)相(xiang)位可能發生變化，但是(shi)頻率和(he)(he)波的(de)(de)形狀仍是(shi)一樣的(de)(de)。且只(zhi)有(you)正弦曲(qu)線(xian)才(cai)擁有(you)這樣的(de)(de)性(xing)質(zhi)，正因如此(ci)我們才(cai)不用(yong)方(fang)波或三角波來表(biao)(biao)示(shi)。
為什么偏偏選擇三角函(han)數(shu)(shu)(shu)而(er)不用其他函(han)數(shu)(shu)(shu)進行分解(jie)？我(wo)們(men)從物理(li)系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)的(de)(de)(de)特征(zheng)信(xin)(xin)(xin)號角度來(lai)解(jie)釋。我(wo)們(men)知道：大(da)自(zi)然(ran)中很多(duo)現(xian)象可以(yi)(yi)抽象成一個線(xian)性(xing)時不變系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)來(lai)研究，無論(lun)你(ni)用微分方程還是(shi)(shi)傳遞(di)函(han)數(shu)(shu)(shu)或(huo)(huo)(huo)者(zhe)狀(zhuang)態空間描述(shu)。線(xian)性(xing)時不變系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)可以(yi)(yi)這(zhe)樣理(li)解(jie)：輸(shu)入輸(shu)出信(xin)(xin)(xin)號滿足線(xian)性(xing)關(guan)系(xi)，而(er)且系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)參(can)數(shu)(shu)(shu)不隨時間變換。對于大(da)自(zi)然(ran)界的(de)(de)(de)很多(duo)系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)，一個正弦(xian)(xian)曲線(xian)信(xin)(xin)(xin)號輸(shu)入后(hou)，輸(shu)出的(de)(de)(de)仍是(shi)(shi)正弦(xian)(xian)曲線(xian)，只有幅度和(he)相位可能發生變化，但是(shi)(shi)頻率和(he)波的(de)(de)(de)形(xing)狀(zhuang)仍是(shi)(shi)一樣的(de)(de)(de)。也(ye)就是(shi)(shi)說(shuo)正弦(xian)(xian)信(xin)(xin)(xin)號是(shi)(shi)系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)的(de)(de)(de)特征(zheng)向量！當然(ran)，指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)信(xin)(xin)(xin)號也(ye)是(shi)(shi)系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)的(de)(de)(de)特征(zheng)向量，表示(shi)能量的(de)(de)(de)衰減或(huo)(huo)(huo)積聚。自(zi)然(ran)界的(de)(de)(de)衰減或(huo)(huo)(huo)者(zhe)擴散(san)現(xian)象大(da)多(duo)是(shi)(shi)指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)形(xing)式的(de)(de)(de)，或(huo)(huo)(huo)者(zhe)既(ji)有波動(dong)又有指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)衰減（復指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu) 形(xing)式），因此具有特征(zheng)的(de)(de)(de)基函(han)數(shu)(shu)(shu)就由三角函(han)數(shu)(shu)(shu)變成復指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)函(han)數(shu)(shu)(shu)。但是(shi)(shi)，如果輸(shu)入是(shi)(shi)方波、三角波或(huo)(huo)(huo)者(zhe)其他什么波形(xing)，那輸(shu)出就不一定是(shi)(shi)什么樣子(zi)了。所以(yi)(yi)，除了指(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)信(xin)(xin)(xin)號和(he)正弦(xian)(xian)信(xin)(xin)(xin)號以(yi)(yi)外的(de)(de)(de)其他波形(xing)都(dou)不是(shi)(shi)線(xian)性(xing)系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)的(de)(de)(de)特征(zheng)信(xin)(xin)(xin)號。
用(yong)正弦曲(qu)線(xian)來(lai)代(dai)替原(yuan)來(lai)的(de)(de)(de)曲(qu)線(xian)而不用(yong)方(fang)波或(huo)三角波或(huo)者其他(ta)什么函(han)數(shu)來(lai)表示的(de)(de)(de)原(yuan)因(yin)在于(yu)：正弦信號(hao)恰好是(shi)(shi)(shi)很多線(xian)性時(shi)不變系統(tong)(tong)的(de)(de)(de)特(te)征(zheng)向(xiang)量(liang)。于(yu)是(shi)(shi)(shi)就有(you)(you)了傅里(li)葉變換(huan)。對于(yu)更一般的(de)(de)(de)線(xian)性時(shi)不變系統(tong)(tong)，復指數(shu)信號(hao)(表示耗散或(huo)衰減)是(shi)(shi)(shi)系統(tong)(tong)的(de)(de)(de)“特(te)征(zheng)向(xiang)量(liang)”。于(yu)是(shi)(shi)(shi)就有(you)(you)了拉(la)普拉(la)斯變換(huan)。z變換(huan)也是(shi)(shi)(shi)同(tong)樣的(de)(de)(de)道理，這時(shi)是(shi)(shi)(shi)離散系統(tong)(tong)的(de)(de)(de)“特(te)征(zheng)向(xiang)量(liang)”。這里(li)沒有(you)(you)區分特(te)征(zheng)函(han)數(shu)和特(te)征(zheng)向(xiang)量(liang)的(de)(de)(de)概念，主(zhu)要想(xiang)表達(da)二者的(de)(de)(de)思想(xiang)是(shi)(shi)(shi)相(xiang)同(tong)的(de)(de)(de)，只不過一個(ge)是(shi)(shi)(shi)有(you)(you)限(xian)維向(xiang)量(liang)，一個(ge)是(shi)(shi)(shi)無限(xian)維函(han)數(shu)。
傅(fu)里葉級數和傅(fu)里葉變(bian)換其實就(jiu)是我們之前(qian)討論的(de)特(te)征值(zhi)與特(te)征向量的(de)問題。分解信號(hao)的(de)方法是無窮(qiong)的(de)，但分解信號(hao)的(de)目(mu)的(de)是為(wei)(wei)了更加簡單地處理原(yuan)(yuan)來(lai)的(de)信號(hao)。這樣(yang)，用正余(yu)弦(xian)來(lai)表示(shi)原(yuan)(yuan)信號(hao)會更加簡單，因為(wei)(wei)正余(yu)弦(xian)擁(yong)有(you)原(yuan)(yuan)信號(hao)所不具有(you)的(de)性質：正弦(xian)曲線(xian)保(bao)真度。且只有(you)正弦(xian)曲線(xian)才(cai)擁(yong)有(you)這樣(yang)的(de)性質。
這也解(jie)釋了為(wei)什(shen)(shen)么我(wo)們(men)一碰到信號(hao)(hao)就想方(fang)設法的(de)(de)把它表示成正(zheng)弦(xian)量(liang)(liang)或者(zhe)復指數量(liang)(liang)的(de)(de)形式；為(wei)什(shen)(shen)么方(fang)波(bo)或者(zhe)三角波(bo)如此(ci)“簡單”，我(wo)們(men)非要(yao)展開的(de)(de)如此(ci)“麻煩”；為(wei)什(shen)(shen)么對于(yu)一個(ge)沒(mei)有(you)什(shen)(shen)么規律的(de)(de)“非周期”信號(hao)(hao)，我(wo)們(men)都絞盡腦汁的(de)(de)用正(zheng)弦(xian)量(liang)(liang)展開。就因為(wei)正(zheng)弦(xian)量(liang)(liang)(或復指數)是特(te)征(zheng)向量(liang)(liang)。
什么是時域(yu)？從我(wo)(wo)們(men)出生(sheng)，我(wo)(wo)們(men)看到的(de)(de)(de)世(shi)界(jie)都(dou)以時間(jian)(jian)貫(guan)穿，股票(piao)的(de)(de)(de)走勢、人的(de)(de)(de)身高、汽車的(de)(de)(de)軌跡都(dou)會隨著(zhu)時間(jian)(jian)發(fa)生(sheng)改變。這(zhe)種以時間(jian)(jian)作為參(can)照來(lai)觀察動態(tai)世(shi)界(jie)的(de)(de)(de)方法(fa)我(wo)(wo)們(men)稱其為時域(yu)分析。而我(wo)(wo)們(men)也(ye)想當然的(de)(de)(de)認為，世(shi)間(jian)(jian)萬物都(dou)在隨著(zhu)時間(jian)(jian)不(bu)(bu)停的(de)(de)(de)改變，并(bing)且永遠不(bu)(bu)會靜止下來(lai)。
什么是(shi)頻(pin)(pin)域(yu)？頻(pin)(pin)域(yu)(frequency domain)是(shi)描(miao)述(shu)信(xin)號在頻(pin)(pin)率方面特(te)性(xing)(xing)時用(yong)到的(de)(de)(de)(de)(de)一種坐標系。用(yong)線性(xing)(xing)代數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)語言就是(shi)裝著正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)函數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)空間。頻(pin)(pin)域(yu)最(zui)重要的(de)(de)(de)(de)(de)性(xing)(xing)質是(shi)：它不是(shi)真實(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)，而是(shi)一個(ge)數(shu)學構造。頻(pin)(pin)域(yu)是(shi)一個(ge)遵循特(te)定規則的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學范(fan)疇。正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)波(bo)(bo)是(shi)頻(pin)(pin)域(yu)中(zhong)唯一存在的(de)(de)(de)(de)(de)波(bo)(bo)形，這是(shi)頻(pin)(pin)域(yu)中(zhong)最(zui)重要的(de)(de)(de)(de)(de)規則，即正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)波(bo)(bo)是(shi)對頻(pin)(pin)域(yu)的(de)(de)(de)(de)(de)描(miao)述(shu)，因為時域(yu)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)任何波(bo)(bo)形都可用(yong)正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)波(bo)(bo)合成。
對于一(yi)(yi)個信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)來說，信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)強(qiang)度隨時間的變化規律就(jiu)是(shi)時域特性，信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)是(shi)由哪些單一(yi)(yi)頻率的信(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)合成的就(jiu)是(shi)頻域特性。
時域(yu)(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)(xi)與(yu)頻(pin)域(yu)(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)(xi)是(shi)對信(xin)(xin)號的(de)兩個觀(guan)察面。時域(yu)(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)(xi)是(shi)以時間軸為(wei)坐(zuo)標表(biao)(biao)示動態信(xin)(xin)號的(de)關系(xi)；頻(pin)域(yu)(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)(xi)是(shi)把(ba)信(xin)(xin)號變為(wei)以頻(pin)率軸為(wei)坐(zuo)標表(biao)(biao)示出(chu)來。一般來說(shuo)，時域(yu)(yu)(yu)的(de)表(biao)(biao)示較為(wei)形象與(yu)直觀(guan)，頻(pin)域(yu)(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)(xi)則更為(wei)簡練，剖析(xi)(xi)問題更為(wei)深刻和(he)(he)方便。目前(qian)，信(xin)(xin)號分(fen)(fen)析(xi)(xi)的(de)趨勢是(shi)從(cong)時域(yu)(yu)(yu)向頻(pin)域(yu)(yu)(yu)發展。然而，它們(men)是(shi)互相聯(lian)系(xi)，缺一不可，相輔相成的(de)。貫(guan)穿時域(yu)(yu)(yu)與(yu)頻(pin)域(yu)(yu)(yu)的(de)方法之一，就是(shi)傳說(shuo)中的(de)傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)分(fen)(fen)析(xi)(xi)。傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)分(fen)(fen)析(xi)(xi)可分(fen)(fen)為(wei)傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)級(ji)數（Fourier Serie）和(he)(he)傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變換(Fourier Transformation)。
根(gen)據(ju)原信號的(de)不同類型，我們可以把傅里葉(xie)變換分為四種類別：
1非周期性連續信號(hao)傅(fu)里葉變換(huan)（Fourier Transform）
2周期性連續信(xin)號傅(fu)里葉級數(shu)(Fourier Series)
3非周期性(xing)離散信號離散時域(yu)傅里(li)葉變換（Discrete Time Fourier Transform）
4周期性離散信號離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)
下(xia)圖(tu)是四(si)種原信號圖(tu)例(li)：
這(zhe)(zhe)四種(zhong)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)都(dou)是(shi)針(zhen)對(dui)正無(wu)窮(qiong)大和負無(wu)窮(qiong)大的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，即信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)的(de)(de)(de)(de)(de)長(chang)度是(shi)無(wu)窮(qiong)大的(de)(de)(de)(de)(de)，我(wo)們(men)(men)知道這(zhe)(zhe)對(dui)于(yu)計(ji)算(suan)(suan)機(ji)處理來(lai)說(shuo)是(shi)不可(ke)能(neng)的(de)(de)(de)(de)(de)，那么(me)有(you)沒有(you)針(zhen)對(dui)長(chang)度有(you)限的(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)呢？沒有(you)。因為(wei)正余弦波(bo)被定義成(cheng)(cheng)從負無(wu)窮(qiong)大到正無(wu)窮(qiong)大，我(wo)們(men)(men)無(wu)法(fa)把(ba)(ba)一個長(chang)度無(wu)限的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)組合成(cheng)(cheng)長(chang)度有(you)限的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)。面(mian)對(dui)這(zhe)(zhe)種(zhong)困難，方(fang)(fang)(fang)法(fa)是(shi)把(ba)(ba)長(chang)度有(you)限的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)表示成(cheng)(cheng)長(chang)度無(wu)限的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，可(ke)以(yi)把(ba)(ba)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)無(wu)限地從左(zuo)右進(jin)行延伸，延伸的(de)(de)(de)(de)(de)部分(fen)用(yong)零來(lai)表示，這(zhe)(zhe)樣(yang)，這(zhe)(zhe)個信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)就(jiu)可(ke)以(yi)被看成(cheng)(cheng)是(shi)非周(zhou)期性(xing)離(li)散信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，我(wo)們(men)(men)就(jiu)可(ke)以(yi)用(yong)到離(li)散時域傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)法(fa)。還有(you)，也可(ke)以(yi)把(ba)(ba)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)用(yong)復制(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)法(fa)進(jin)行延伸，這(zhe)(zhe)樣(yang)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)就(jiu)變(bian)成(cheng)(cheng)了周(zhou)期性(xing)離(li)散信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，這(zhe)(zhe)時我(wo)們(men)(men)就(jiu)可(ke)以(yi)用(yong)離(li)散傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換(huan)方(fang)(fang)(fang)法(fa)進(jin)行變(bian)換(huan)。這(zhe)(zhe)里(li)我(wo)們(men)(men)要學的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)離(li)散信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，對(dui)于(yu)連續信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)我(wo)們(men)(men)不作討論，因為(wei)計(ji)算(suan)(suan)機(ji)只能(neng)處理離(li)散的(de)(de)(de)(de)(de)數值信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)，我(wo)們(men)(men)的(de)(de)(de)(de)(de)最終(zhong)目(mu)的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)運用(yong)計(ji)算(suan)(suan)機(ji)來(lai)處理信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)。
但是(shi)對于非周期性(xing)的(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號，我們需(xu)要用(yong)(yong)無窮多(duo)不同頻率的(de)(de)(de)正弦曲線來(lai)表(biao)示，這對于計算機來(lai)說(shuo)是(shi)不可能實現的(de)(de)(de)。所(suo)以(yi)對于離(li)散(san)信(xin)(xin)(xin)號的(de)(de)(de)變(bian)換只有離(li)散(san)傅里(li)葉變(bian)換（DFT）才(cai)能被適用(yong)(yong)，對于計算機來(lai)說(shuo)只有離(li)散(san)的(de)(de)(de)和有限長度(du)的(de)(de)(de)數(shu)據(ju)才(cai)能被處理(li)，對于其它的(de)(de)(de)變(bian)換類型只有在數(shu)學演算中(zhong)才(cai)能用(yong)(yong)到，在計算機面前我們只能用(yong)(yong)DFT方(fang)法(fa)，后面我們要理(li)解的(de)(de)(de)也正是(shi)DFT方(fang)法(fa)。這里(li)要理(li)解的(de)(de)(de)是(shi)我們使用(yong)(yong)周期性(xing)的(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號目的(de)(de)(de)是(shi)為了能夠用(yong)(yong)數(shu)學方(fang)法(fa)來(lai)解決問題，至于考(kao)慮周期性(xing)信(xin)(xin)(xin)號是(shi)從(cong)哪(na)里(li)得到或(huo)怎樣得到是(shi)無意義的(de)(de)(de)。
每(mei)種傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)都分(fen)成實(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)和復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)兩(liang)種方法，對于(yu)實(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)方法是最好理(li)(li)(li)(li)解(jie)的(de)，但是復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)方法就相對復(fu)(fu)雜許多(duo)了(le)，需要懂得有關復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)理(li)(li)(li)(li)論知(zhi)識(shi)，不(bu)過，如(ru)果理(li)(li)(li)(li)解(jie)了(le)實(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)離散傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(real DFT)，再去理(li)(li)(li)(li)解(jie)復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)就更容(rong)易了(le)，所(suo)以(yi)我們(men)先把復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)放到一邊去，先來(lai)理(li)(li)(li)(li)解(jie)實(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)，在(zai)(zai)后面我們(men)會先講講關于(yu)復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)基本理(li)(li)(li)(li)論，然后在(zai)(zai)理(li)(li)(li)(li)解(jie)了(le)實(shi)數(shu)(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)的(de)基礎上再來(lai)理(li)(li)(li)(li)解(jie)復(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)。
還有，這(zhe)里我們所要說的(de)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(transform)雖然(ran)是(shi)(shi)數(shu)學意義上的(de)變(bian)(bian)(bian)換(huan)，但跟函數(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)是(shi)(shi)不(bu)同的(de)，函數(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)是(shi)(shi)符合一一映(ying)射準(zhun)則的(de)，對于離散(san)數(shu)字信號處理（DSP），有許多的(de)變(bian)(bian)(bian)換(huan)：傅里葉變(bian)(bian)(bian)換(huan)、拉普(pu)拉斯變(bian)(bian)(bian)換(huan)、Z變(bian)(bian)(bian)換(huan)、希爾伯(bo)特變(bian)(bian)(bian)換(huan)、離散(san)余弦變(bian)(bian)(bian)換(huan)等，這(zhe)些都擴展了函數(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)的(de)定義，允(yun)許輸入(ru)和輸出有多種的(de)值，簡單地(di)說變(bian)(bian)(bian)換(huan)就是(shi)(shi)把一堆的(de)數(shu)據(ju)變(bian)(bian)(bian)成另(ling)一堆的(de)數(shu)據(ju)的(de)方法。
傅里葉(xie)變(bian)換是數字信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)處理領域一(yi)種很重要(yao)的(de)(de)算(suan)(suan)法。要(yao)知道傅里葉(xie)變(bian)換算(suan)(suan)法的(de)(de)意義(yi)，首先(xian)要(yao)了解傅里葉(xie)原(yuan)理的(de)(de)意義(yi)。傅里葉(xie)原(yuan)理表(biao)明：任(ren)何(he)連續測量的(de)(de)時序或信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)，都可以表(biao)示為不同頻(pin)率的(de)(de)正弦(xian)波(bo)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)無限疊加(jia)。而根據該原(yuan)理創(chuang)立的(de)(de)傅里葉(xie)變(bian)換算(suan)(suan)法利用直接(jie)測量到的(de)(de)原(yuan)始信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)，以累(lei)加(jia)方式來計算(suan)(suan)該信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)中不同正弦(xian)波(bo)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)頻(pin)率、振幅(fu)和相位。
和傅里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)算法對應的(de)(de)是反(fan)(fan)傅里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)算法。該(gai)反(fan)(fan)變(bian)(bian)換(huan)從(cong)本質(zhi)上說也(ye)是一(yi)(yi)種累加處理(li)，這樣(yang)就可以(yi)將單獨改變(bian)(bian)的(de)(de)正弦波信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)轉換(huan)成(cheng)一(yi)(yi)個(ge)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)。因此，可以(yi)說，傅里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)將原來難(nan)以(yi)處理(li)的(de)(de)時域(yu)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)轉換(huan)成(cheng)了(le)易于分析(xi)的(de)(de)頻域(yu)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)（信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)頻譜），可以(yi)利(li)用(yong)一(yi)(yi)些(xie)工(gong)具對這些(xie)頻域(yu)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)進行處理(li)、加工(gong)。最(zui)后還(huan)可以(yi)利(li)用(yong)傅里葉(xie)反(fan)(fan)變(bian)(bian)換(huan)將這些(xie)頻域(yu)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)轉換(huan)成(cheng)時域(yu)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)。
從現代數學的眼(yan)光來看，傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)是一種特(te)殊的積(ji)(ji)分(fen)變(bian)換(huan)。它能將滿足一定條件(jian)的某個(ge)函(han)數表示(shi)成正弦基函(han)數的線性組合或者積(ji)(ji)分(fen)。在不同(tong)的研(yan)究領域，傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)具有多種不同(tong)的變(bian)體形式(shi)，如連續傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)和(he)離(li)散傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)。
在(zai)數(shu)學領域，盡管最(zui)初傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)分(fen)(fen)析(xi)是(shi)作為熱(re)過程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)解(jie)(jie)(jie)析(xi)分(fen)(fen)析(xi)的(de)(de)(de)(de)(de)工具(ju)，但是(shi)其(qi)(qi)思想(xiang)方法仍然具(ju)有典型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)還(huan)原論和分(fen)(fen)析(xi)主義的(de)(de)(de)(de)(de)特(te)征。"任意"的(de)(de)(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)通過一定的(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)(fen)解(jie)(jie)(jie)，都(dou)能夠表示為正(zheng)弦(xian)(xian)(xian)函(han)(han)數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)線(xian)性組(zu)(zu)合的(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)式，而(er)正(zheng)弦(xian)(xian)(xian)函(han)(han)數(shu)在(zai)物理(li)(li)上是(shi)被充分(fen)(fen)研究而(er)相對簡(jian)單的(de)(de)(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)類(lei)：1. 傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換是(shi)線(xian)性算(suan)子(zi),若賦予適當的(de)(de)(de)(de)(de)范數(shu)，它還(huan)是(shi)酉算(suan)子(zi)；2. 傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換的(de)(de)(de)(de)(de)逆(ni)變(bian)(bian)換容易(yi)求(qiu)(qiu)出，而(er)且(qie)形(xing)式與正(zheng)變(bian)(bian)換非常類(lei)似；3. 正(zheng)弦(xian)(xian)(xian)基函(han)(han)數(shu)是(shi)微分(fen)(fen)運(yun)算(suan)的(de)(de)(de)(de)(de)本征函(han)(han)數(shu),從而(er)使(shi)得(de)線(xian)性微分(fen)(fen)方程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)求(qiu)(qiu)解(jie)(jie)(jie)可(ke)(ke)以(yi)轉(zhuan)化(hua)為常系數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)代數(shu)方程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)求(qiu)(qiu)解(jie)(jie)(jie)。在(zai)線(xian)性時復雜(za)的(de)(de)(de)(de)(de)卷(juan)積(ji)運(yun)算(suan)為簡(jian)單的(de)(de)(de)(de)(de)乘(cheng)積(ji)運(yun)算(suan),從而(er)提供了計算(suan)卷(juan)積(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)一種簡(jian)單手段；4. 離(li)散形(xing)式的(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)的(de)(de)(de)(de)(de)物理(li)(li)系統內,頻率是(shi)個不(bu)變(bian)(bian)的(de)(de)(de)(de)(de)性質(zhi),從而(er)系統對于復雜(za)激勵的(de)(de)(de)(de)(de)響應可(ke)(ke)以(yi)通過組(zu)(zu)合其(qi)(qi)對不(bu)同頻率正(zheng)弦(xian)(xian)(xian)信號的(de)(de)(de)(de)(de)響應來獲取(qu)；5. 著名的(de)(de)(de)(de)(de)卷(juan)積(ji)定理(li)(li)指(zhi)出:傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換可(ke)(ke)以(yi)化(hua)復變(bian)(bian)換可(ke)(ke)以(yi)利用(yong)數(shu)字(zi)計算(suan)機(ji)快(kuai)速的(de)(de)(de)(de)(de)算(suan)出(其(qi)(qi)算(suan)法稱為快(kuai)速傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換算(suan)法(FFT))。
正是由(you)于上述的良好性質,傅(fu)里葉變換在(zai)物理(li)學、數論、組(zu)合數學、信號處理(li)、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領(ling)域都有(you)著廣泛的應用。
圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)是(shi)(shi)(shi)表征圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)中(zhong)灰(hui)度(du)(du)(du)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)化(hua)劇(ju)烈程度(du)(du)(du)的(de)(de)指標(biao)，是(shi)(shi)(shi)灰(hui)度(du)(du)(du)在(zai)(zai)(zai)平面空(kong)間上的(de)(de)梯度(du)(du)(du)。如：大面積的(de)(de)沙漠在(zai)(zai)(zai)圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)中(zhong)是(shi)(shi)(shi)一片灰(hui)度(du)(du)(du)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)化(hua)緩慢的(de)(de)區(qu)(qu)域(yu)，對應的(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)值很低；而對于地表屬性變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)劇(ju)烈的(de)(de)邊緣區(qu)(qu)域(yu)在(zai)(zai)(zai)圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)中(zhong)是(shi)(shi)(shi)一片灰(hui)度(du)(du)(du)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)化(hua)劇(ju)烈的(de)(de)區(qu)(qu)域(yu)，對應的(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)值較高。傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)在(zai)(zai)(zai)實際中(zhong)有非(fei)常明(ming)顯的(de)(de)物理意義(yi)(yi)，設f是(shi)(shi)(shi)一個能量有限的(de)(de)模擬信號，則(ze)其(qi)傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)就表示f的(de)(de)譜。從純(chun)粹的(de)(de)數學意義(yi)(yi)上看，傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將(jiang)一個函數轉(zhuan)換(huan)(huan)(huan)為一系列周期函數來(lai)處(chu)理的(de)(de)。從物理效果(guo)看，傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將(jiang)圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)從空(kong)間域(yu)轉(zhuan)換(huan)(huan)(huan)到頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)域(yu)，其(qi)逆(ni)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將(jiang)圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)從頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)域(yu)轉(zhuan)換(huan)(huan)(huan)到空(kong)間域(yu)。換(huan)(huan)(huan)句話說，傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)的(de)(de)物理意義(yi)(yi)是(shi)(shi)(shi)將(jiang)圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)灰(hui)度(du)(du)(du)分布(bu)(bu)函數變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)為圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)分布(bu)(bu)函數，傅(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)逆(ni)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將(jiang)圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)分布(bu)(bu)函數變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)為灰(hui)度(du)(du)(du)分布(bu)(bu)函數。
傅里(li)葉變(bian)換以前，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)（未壓縮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)位圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)）是由(you)(you)(you)對(dui)在連續(xu)空(kong)間(jian)（現(xian)實(shi)空(kong)間(jian)）上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)采樣(yang)得到(dao)一(yi)(yi)(yi)(yi)系列點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)集合(he)(he)，我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)習(xi)慣用(yong)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)二(er)維(wei)(wei)(wei)(wei)矩陣表(biao)示(shi)空(kong)間(jian)上(shang)(shang)各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，則(ze)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)可(ke)由(you)(you)(you)z=f(x,y)來表(biao)示(shi)。由(you)(you)(you)于空(kong)間(jian)是三維(wei)(wei)(wei)(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)是二(er)維(wei)(wei)(wei)(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，因(yin)此(ci)空(kong)間(jian)中(zhong)(zhong)物(wu)(wu)體(ti)在另一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)維(wei)(wei)(wei)(wei)度(du)(du)上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系就由(you)(you)(you)梯(ti)度(du)(du)來表(biao)示(shi)，這樣(yang)我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)可(ke)以通過觀(guan)察(cha)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)得知物(wu)(wu)體(ti)在三維(wei)(wei)(wei)(wei)空(kong)間(jian)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)應關系。為什么要提梯(ti)度(du)(du)？因(yin)為實(shi)際上(shang)(shang)對(dui)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)進(jin)行(xing)二(er)維(wei)(wei)(wei)(wei)傅里(li)葉變(bian)換得到(dao)頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，就是圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)梯(ti)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)布(bu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，當然頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)與圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)上(shang)(shang)各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)并不存在一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系，即(ji)使(shi)在不移(yi)(yi)頻(pin)(pin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情況下也是沒有。傅里(li)葉頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)看(kan)(kan)到(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)明(ming)暗不一(yi)(yi)(yi)(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，實(shi)際上(shang)(shang)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)上(shang)(shang)某一(yi)(yi)(yi)(yi)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)與鄰(lin)域(yu)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)差異的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)強弱(ruo)，即(ji)梯(ti)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大小，也即(ji)該(gai)(gai)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大小（可(ke)以這么理解，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)低頻(pin)(pin)部分(fen)指低梯(ti)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，高頻(pin)(pin)部分(fen)相反）。一(yi)(yi)(yi)(yi)般來講，梯(ti)度(du)(du)大則(ze)該(gai)(gai)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)度(du)(du)強，否則(ze)該(gai)(gai)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)亮(liang)度(du)(du)弱(ruo)。這樣(yang)通過觀(guan)察(cha)傅里(li)葉變(bian)換后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，也叫功率(lv)(lv)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)首先就可(ke)以看(kan)(kan)出(chu)(chu)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)能量(liang)分(fen)布(bu)，如(ru)果(guo)頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)暗的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu)更多，那么實(shi)際圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)是比較柔(rou)和的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)（因(yin)為各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)與鄰(lin)域(yu)差異都不大，梯(ti)度(du)(du)相對(dui)較小），反之(zhi)，如(ru)果(guo)頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)亮(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu)多，那么實(shi)際圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)一(yi)(yi)(yi)(yi)定是尖(jian)銳的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，邊界分(fen)明(ming)且邊界兩邊像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)素(su)差異較大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。對(dui)頻(pin)(pin)譜(pu)移(yi)(yi)頻(pin)(pin)到(dao)原(yuan)(yuan)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)以后，可(ke)以看(kan)(kan)出(chu)(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)分(fen)布(bu)是以原(yuan)(yuan)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)為圓(yuan)心(xin)，對(dui)稱分(fen)布(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。將(jiang)頻(pin)(pin)譜(pu)移(yi)(yi)頻(pin)(pin)到(dao)圓(yuan)心(xin)除了可(ke)以清晰地看(kan)(kan)出(chu)(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)分(fen)布(bu)以外(wai)，還(huan)有一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)好處，它可(ke)以分(fen)離出(chu)(chu)有周(zhou)期性規律的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)干(gan)(gan)擾(rao)(rao)(rao)信號，比如(ru)正(zheng)弦(xian)干(gan)(gan)擾(rao)(rao)(rao)，一(yi)(yi)(yi)(yi)副帶有正(zheng)弦(xian)干(gan)(gan)擾(rao)(rao)(rao)，移(yi)(yi)頻(pin)(pin)到(dao)原(yuan)(yuan)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)可(ke)以看(kan)(kan)出(chu)(chu)除了中(zhong)(zhong)心(xin)以外(wai)還(huan)存在以某一(yi)(yi)(yi)(yi)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)為中(zhong)(zhong)心(xin)，對(dui)稱分(fen)布(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)集合(he)(he)，這個(ge)集合(he)(he)就是干(gan)(gan)擾(rao)(rao)(rao)噪音產(chan)生(sheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，這時可(ke)以很(hen)直(zhi)觀(guan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)通過在該(gai)(gai)位置(zhi)放(fang)置(zhi)帶阻濾波器消除干(gan)(gan)擾(rao)(rao)(rao)。
另(ling)外(wai)說明以下幾點：
1、圖(tu)像經(jing)過二維傅(fu)里葉變(bian)換后，其變(bian)換系(xi)數矩陣表明：
若變換(huan)(huan)矩陣(zhen)Fn原點(dian)設(she)在(zai)中(zhong)心(xin)，其(qi)頻(pin)譜能(neng)量集中(zhong)分布在(zai)變換(huan)(huan)系數短陣(zhen)的中(zhong)心(xin)附近(jin)（圖(tu)中(zhong)陰影區）。若所用的二(er)維(wei)傅里(li)葉變換(huan)(huan)矩陣(zhen)Fn的原點(dian)設(she)在(zai)左上角，那么圖(tu)像信號能(neng)量將(jiang)集中(zhong)在(zai)系數矩陣(zhen)的四個角上。這是由二(er)維(wei)傅里(li)葉變換(huan)(huan)本身性(xing)質決(jue)定(ding)的。同時也(ye)表明一股圖(tu)像能(neng)量集中(zhong)低頻(pin)區域。
2 、變換之(zhi)后(hou)的圖像在原(yuan)點平(ping)移(yi)之(zhi)前四角是低(di)頻(pin)(pin)，最(zui)亮，平(ping)移(yi)之(zhi)后(hou)中間(jian)部分是低(di)頻(pin)(pin)，最(zui)亮，亮度大說明(ming)低(di)頻(pin)(pin)的能(neng)量大（幅角比較大）。
將其發展延(yan)伸，構造出了其他形式的積分變(bian)換:
從數(shu)學(xue)的(de)角度(du)理(li)解積(ji)分變換就是通過積(ji)分運算(suan)，把一個(ge)函(han)(han)數(shu)變成(cheng)另(ling)一個(ge)函(han)(han)數(shu)。也可以理(li)解成(cheng)是算(suan)內積(ji)，然后就變成(cheng)一個(ge)函(han)(han)數(shu)向另(ling)一個(ge)函(han)(han)數(shu)的(de)投影：
K（s，t）積分(fen)變換(huan)的(de)(de)核(Kernel)。當(dang)選取(qu)不同的(de)(de)積分(fen)域和變換(huan)核時，就(jiu)得到(dao)不同名(ming)稱的(de)(de)積分(fen)變換(huan)。學術(shu)一點的(de)(de)說法是(shi)：向核空(kong)間(jian)(jian)投影，將原問題轉化到(dao)核空(kong)間(jian)(jian)。所謂(wei)核空(kong)間(jian)(jian)，就(jiu)是(shi)這個空(kong)間(jian)(jian)里面(mian)裝的(de)(de)是(shi)核函數。
當然，選(xuan)取什么樣的(de)(de)核主要(yao)看你(ni)面對(dui)的(de)(de)問(wen)題有什么特(te)(te)征。不(bu)(bu)同問(wen)題的(de)(de)特(te)(te)征不(bu)(bu)同，就(jiu)會對(dui)應特(te)(te)定(ding)的(de)(de)核函數(shu)。把核函數(shu)作為(wei)基函數(shu)。將現在的(de)(de)坐標投影到核空間(jian)里面去，問(wen)題就(jiu)會得到簡(jian)化。之所以叫核，是(shi)因(yin)為(wei)這是(shi)最核心的(de)(de)地方。為(wei)什么其他變(bian)換你(ni)都(dou)沒怎么聽說過而只熟悉傅里葉(xie)變(bian)換和拉普拉斯變(bian)換呢？因(yin)為(wei)復(fu)指數(shu)信號才是(shi)描(miao)述這個(ge)世界的(de)(de)特(te)(te)征函數(shu)！
一個關于(yu)實(shi)數離(li)散傅里葉變換(huan)(Real DFT)實(shi)例
先來看一(yi)(yi)個(ge)(ge)變換實例，一(yi)(yi)個(ge)(ge)原始信(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)長(chang)度是(shi)16，于是(shi)可(ke)以(yi)把這(zhe)個(ge)(ge)信(xin)(xin)號(hao)分(fen)解9個(ge)(ge)余(yu)弦波和9個(ge)(ge)正(zheng)(zheng)弦波（一(yi)(yi)個(ge)(ge)長(chang)度為N的(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)可(ke)以(yi)分(fen)解成N/2+1個(ge)(ge)正(zheng)(zheng)余(yu)弦信(xin)(xin)號(hao)，這(zhe)是(shi)為什么(me)呢？結合下面(mian)的(de)(de)18個(ge)(ge)正(zheng)(zheng)余(yu)弦圖,我想從計算(suan)機(ji)處理(li)精(jing)度上就(jiu)不難理(li)解，一(yi)(yi)個(ge)(ge)長(chang)度為N的(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)，最多只(zhi)能(neng)有N/2+1個(ge)(ge)不同(tong)頻(pin)率，再多的(de)(de)頻(pin)率就(jiu)超過了計算(suan)機(ji)所能(neng)所處理(li)的(de)(de)精(jing)度范圍），如下圖：
9個正弦信號：
9個余弦信號：
把以(yi)上所有(you)信(xin)號相加即可得到(dao)原始信(xin)號，至于是怎么分(fen)別變換(huan)出9種不同頻率(lv)信(xin)號的，我們先不急，先看(kan)看(kan)對于以(yi)上的變換(huan)結果，在(zai)程序(xu)中又是該怎么表示的，我們可以(yi)看(kan)看(kan)下面這個(ge)示例圖：
上圖中左邊(bian)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)時域(yu)中的(de)(de)(de)信號，右(you)(you)邊(bian)是(shi)頻域(yu)信號表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)方(fang)(fang)法(fa)，從(cong)左向(xiang)(xiang)右(you)(you)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)正(zheng)向(xiang)(xiang)轉換(Forward DFT)，從(cong)右(you)(you)向(xiang)(xiang)左表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)逆向(xiang)(xiang)轉換(Inverse DFT)，用小寫(xie)x[]表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)信號在每個時間點上的(de)(de)(de)幅(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi)數組, 用大寫(xie)X[]表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)每種(zhong)頻率(lv)的(de)(de)(de)幅(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi)數組, 因為有N/2+1種(zhong)頻率(lv)，所以該數組長度(du)(du)為N/2+1，X[]數組又分兩種(zhong)，一種(zhong)是(shi)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)余弦(xian)波的(de)(de)(de)不同頻率(lv)幅(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi)：Re X[]，另(ling)一種(zhong)是(shi)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)正(zheng)弦(xian)波的(de)(de)(de)不同頻率(lv)幅(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi)：Im X[]，Re是(shi)實數(Real)的(de)(de)(de)意(yi)思(si)，Im是(shi)虛數(Imagine)的(de)(de)(de)意(yi)思(si)，采用復(fu)(fu)數的(de)(de)(de)表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)方(fang)(fang)法(fa)把正(zheng)余弦(xian)波組合(he)起(qi)來(lai)進行表(biao)(biao)示(shi)(shi)(shi)，但(dan)這里(li)我(wo)們不考慮復(fu)(fu)數的(de)(de)(de)其它(ta)作用，只(zhi)記住是(shi)一種(zhong)組合(he)方(fang)(fang)法(fa)而已，目(mu)的(de)(de)(de)是(shi)為了便于(yu)表(biao)(biao)達（在后面我(wo)們會知道，復(fu)(fu)數形式的(de)(de)(de)傅(fu)里(li)葉變(bian)換長度(du)(du)是(shi)N，而不是(shi)N/2+1）。
FFT是(shi)離(li)散傅里葉變換的(de)快速(su)算法，可(ke)以將一(yi)個(ge)信(xin)(xin)號變換到(dao)頻域(yu)(yu)。有些信(xin)(xin)號在時(shi)域(yu)(yu)上是(shi)很難(nan)看出(chu)什么特(te)征的(de)，但是(shi)如果變換到(dao)頻域(yu)(yu)之后，就(jiu)很容(rong)易看出(chu)特(te)征了。這就(jiu)是(shi)很多信(xin)(xin)號分(fen)析采用FFT變換的(de)原因。另外，FFT可(ke)以將一(yi)個(ge)信(xin)(xin)號的(de)頻譜提(ti)取(qu)出(chu)來，這在頻譜分(fen)析方面也(ye)是(shi)經常用的(de)。
FFT結果的具(ju)體物理(li)意義。一個模擬(ni)信(xin)(xin)號，經過ADC采樣(yang)之后，就變成了(le)數(shu)字信(xin)(xin)號。采樣(yang)定理(li)告訴(su)我們，采樣(yang)頻率要大于信(xin)(xin)號頻率的兩倍。
采(cai)樣得到的數字信號，就(jiu)(jiu)可以做FFT變換(huan)了。N個采(cai)樣點(dian)，經過FFT之后，就(jiu)(jiu)可以得到N個點(dian)的FFT結果(guo)。為(wei)了方(fang)便(bian)進(jin)行FFT運算，通常(chang)N取2的整數次方(fang)。
假(jia)設采(cai)(cai)樣(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為(wei)(wei)(wei)Fs，信(xin)號頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)F，采(cai)(cai)樣(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)數為(wei)(wei)(wei)N。那么FFT之(zhi)后結(jie)果(guo)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)為(wei)(wei)(wei)N點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)復數。每一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)對應著一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)。這(zhe)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)模值(zhi)(zhi)，就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)該(gai)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)值(zhi)(zhi)下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)幅度特(te)性(xing)。具體跟原(yuan)始(shi)信(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)幅度有什么關系呢？假(jia)設原(yuan)始(shi)信(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)峰值(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)A，那么FFT的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)每個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)（除(chu)了第(di)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)直(zhi)(zhi)(zhi)流(liu)分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)之(zhi)外）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)模值(zhi)(zhi)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)A的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)N/2倍(bei)。而(er)第(di)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)直(zhi)(zhi)(zhi)流(liu)分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)，它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)模值(zhi)(zhi)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)直(zhi)(zhi)(zhi)流(liu)分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)N倍(bei)。而(er)每個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位(wei)呢，就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)在該(gai)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位(wei)。第(di)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)表(biao)示(shi)直(zhi)(zhi)(zhi)流(liu)分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)（即0Hz），而(er)最后一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)N的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)再下(xia)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)（實際上這(zhe)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)是(shi)(shi)(shi)不存(cun)在的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，這(zhe)里是(shi)(shi)(shi)假(jia)設的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)第(di)N+1個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，也(ye)可(ke)以看(kan)做(zuo)是(shi)(shi)(shi)將第(di)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)分(fen)(fen)(fen)(fen)做(zuo)兩(liang)半分(fen)(fen)(fen)(fen)，另一(yi)(yi)(yi)半移到(dao)最后）則表(biao)示(shi)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)Fs，這(zhe)中間被N-1個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)平均分(fen)(fen)(fen)(fen)成N等份(fen)，每個(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)依次增(zeng)加。例如(ru)某點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)n所(suo)表(biao)示(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為(wei)(wei)(wei)：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)公式可(ke)以看(kan)出，Fn所(suo)能(neng)分(fen)(fen)(fen)(fen)辨到(dao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為(wei)(wei)(wei)為(wei)(wei)(wei)Fs/N，如(ru)果(guo)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)Fs為(wei)(wei)(wei)1024Hz，采(cai)(cai)樣(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)數為(wei)(wei)(wei)1024點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，則可(ke)以分(fen)(fen)(fen)(fen)辨到(dao)1Hz。1024Hz的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)率(lv)(lv)(lv)(lv)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)1024點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，剛(gang)好是(shi)(shi)(shi)1秒(miao)，也(ye)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)(shi)說，采(cai)(cai)樣(yang)(yang)1秒(miao)時(shi)間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號并做(zuo)FFT，則結(jie)果(guo)可(ke)以分(fen)(fen)(fen)(fen)析到(dao)1Hz，如(ru)果(guo)采(cai)(cai)樣(yang)(yang)2秒(miao)時(shi)間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號并做(zuo)FFT，則結(jie)果(guo)可(ke)以分(fen)(fen)(fen)(fen)析到(dao)0.5Hz。如(ru)果(guo)要提高頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)辨力，則必(bi)須增(zeng)加采(cai)(cai)樣(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)數，也(ye)即采(cai)(cai)樣(yang)(yang)時(shi)間。頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)辨率(lv)(lv)(lv)(lv)和采(cai)(cai)樣(yang)(yang)時(shi)間是(shi)(shi)(shi)倒(dao)數關系。
假(jia)設FFT之后某點(dian)n用復(fu)數a+bi表(biao)示(shi)，那(nei)么這個(ge)復(fu)數的(de)(de)(de)(de)模(mo)就(jiu)是An=根(gen)號(hao)a*a+b*b，相位就(jiu)是Pn=atan2(b,a)。根(gen)據以(yi)(yi)上的(de)(de)(de)(de)結(jie)果(guo)(guo)，就(jiu)可以(yi)(yi)計算出(chu)n點(dian)（n≠1，且(qie)n<=N/2）對應的(de)(de)(de)(de)信號(hao)的(de)(de)(de)(de)表(biao)達(da)式為(wei)：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對于(yu)(yu)n=1點(dian)的(de)(de)(de)(de)信號(hao)，是直流分量，幅度即為(wei)A1/N。由于(yu)(yu)FFT結(jie)果(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)對稱性，通常我們只使用前半部分的(de)(de)(de)(de)結(jie)果(guo)(guo)，即小于(yu)(yu)采樣頻(pin)率一(yi)半的(de)(de)(de)(de)結(jie)果(guo)(guo)。
下面以一個(ge)(ge)實(shi)際的(de)(de)信號(hao)來(lai)做說明。假設(she)我(wo)們有(you)一個(ge)(ge)信號(hao)，它含有(you)2V的(de)(de)直流分(fen)量，頻率為(wei)(wei)(wei)50Hz、相位為(wei)(wei)(wei)-30度(du)(du)(du)、幅(fu)度(du)(du)(du)為(wei)(wei)(wei)3V的(de)(de)交流信號(hao)，以及一個(ge)(ge)頻率為(wei)(wei)(wei)75Hz、相位為(wei)(wei)(wei)90度(du)(du)(du)、幅(fu)度(du)(du)(du)為(wei)(wei)(wei)1.5V的(de)(de)交流信號(hao)。用數(shu)學(xue)表達式就是如(ru)(ru)下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數(shu)為(wei)(wei)(wei)弧度(du)(du)(du)，所以-30度(du)(du)(du)和90度(du)(du)(du)要分(fen)別(bie)換算成弧度(du)(du)(du)。我(wo)們以256Hz的(de)(de)采樣(yang)(yang)率對這個(ge)(ge)信號(hao)進行采樣(yang)(yang)，總共采樣(yang)(yang)256點(dian)(dian)。按照我(wo)們上(shang)面的(de)(de)分(fen)析，Fn=(n-1)*Fs/N，我(wo)們可以知道，每兩(liang)個(ge)(ge)點(dian)(dian)之間的(de)(de)間距(ju)就是1Hz，第n個(ge)(ge)點(dian)(dian)的(de)(de)頻率就是n-1。我(wo)們的(de)(de)信號(hao)有(you)3個(ge)(ge)頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分(fen)別(bie)在第1個(ge)(ge)點(dian)(dian)、第51個(ge)(ge)點(dian)(dian)、第76個(ge)(ge)點(dian)(dian)上(shang)出現峰(feng)值，其它各點(dian)(dian)應該接近0。實(shi)際情況如(ru)(ru)何(he)呢？我(wo)們來(lai)看看FFT的(de)(de)結果的(de)(de)模值如(ru)(ru)圖所示。
從(cong)圖中我們可(ke)以看(kan)到(dao)，在第(di)1點(dian)(dian)、第(di)51點(dian)(dian)、和(he)第(di)76點(dian)(dian)附(fu)近(jin)有比較大的值。我們分別將這三(san)個(ge)點(dian)(dian)附(fu)近(jin)的數據(ju)拿上來細看(kan)：
1點： 512+0i
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點(dian)：332.55 - 192i
52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點：3.4315E-12 + 192i
77點(dian)：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很(hen)明顯(xian)，1點(dian)、51點(dian)、76點(dian)的值都比較大，它(ta)附(fu)近的點(dian)值都很(hen)小，可(ke)以認為(wei)是0，即在(zai)那些頻率(lv)點(dian)上的信號幅度為(wei)0。接著，我(wo)們來計算(suan)各點(dian)的幅度值。分別計算(suan)這三個點(dian)的模值，結(jie)果如下：
1點： 512
51點：384
76點：192
按照公式，可以計算出直流分(fen)量為(wei)：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅(fu)度(du)為(wei)：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅(fu)度(du)為(wei)192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻(pin)譜(pu)分(fen)析(xi)出來的幅(fu)度(du)是正確的。
然后再(zai)來計(ji)算(suan)相位信(xin)息。直(zhi)流信(xin)號(hao)(hao)(hao)沒有相位可(ke)言，不(bu)用管它。先計(ji)算(suan)50Hz信(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是(shi)弧(hu)度，換算(suan)為角度就(jiu)是(shi)180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再(zai)計(ji)算(suan)75Hz信(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧(hu)度，換算(suan)成角度就(jiu)是(shi)180*1.5708/pi=90.0002。可(ke)見，相位也(ye)是(shi)對的(de)。根據FFT結果以及上面(mian)的(de)分析(xi)計(ji)算(suan)，我(wo)們就(jiu)可(ke)以寫出信(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)表達式了，它就(jiu)是(shi)我(wo)們開(kai)始提(ti)供的(de)信(xin)號(hao)(hao)(hao)。
總結：假設采樣(yang)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為(wei)Fs，采樣(yang)點(dian)數(shu)為(wei)N，做(zuo)FFT之(zhi)后，某一(yi)點(dian)n（n從(cong)1開始）表(biao)示的(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為(wei)：Fn=(n-1)*Fs/N；該(gai)點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)模值除(chu)以N/2就是(shi)(shi)對(dui)應(ying)該(gai)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)下的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幅度(du)（對(dui)于直流(liu)信(xin)號(hao)是(shi)(shi)除(chu)以N）；該(gai)點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)相位即是(shi)(shi)對(dui)應(ying)該(gai)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)下的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)相位。相位的(de)(de)(de)(de)(de)(de)計算(suan)可(ke)用函數(shu)atan2(b,a)計算(suan)。atan2(b,a)是(shi)(shi)求坐標為(wei)(a,b)點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)角度(du)值，范圍從(cong)-pi到(dao)pi。要(yao)(yao)(yao)精確到(dao)xHz，則(ze)需(xu)(xu)(xu)要(yao)(yao)(yao)采樣(yang)長(chang)度(du)為(wei)1/x秒的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao)，并做(zuo)FFT。要(yao)(yao)(yao)提高頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)辨率(lv)(lv)(lv)(lv)，就需(xu)(xu)(xu)要(yao)(yao)(yao)增加采樣(yang)點(dian)數(shu)，這(zhe)在一(yi)些實際的(de)(de)(de)(de)(de)(de)應(ying)用中是(shi)(shi)不現實的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，需(xu)(xu)(xu)要(yao)(yao)(yao)在較短的(de)(de)(de)(de)(de)(de)時間內完成分(fen)析。解決這(zhe)個問題(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方法(fa)(fa)有(you)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)細(xi)分(fen)法(fa)(fa)，比較簡單的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方法(fa)(fa)是(shi)(shi)采樣(yang)比較短時間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao)，然后在后面補(bu)充一(yi)定(ding)數(shu)量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)0，使(shi)其長(chang)度(du)達到(dao)需(xu)(xu)(xu)要(yao)(yao)(yao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)數(shu)，再做(zuo)FFT，這(zhe)在一(yi)定(ding)程度(du)上(shang)能(neng)夠(gou)提高頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)辨力。具(ju)體的(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)細(xi)分(fen)法(fa)(fa)可(ke)參考相關文獻。
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