傅里葉變(bian)換，表(biao)示(shi)能將滿足一(yi)定條件(jian)的(de)(de)某(mou)個函(han)數(shu)表(biao)示(shi)成(cheng)三角(jiao)函(han)數(shu)（正弦和/或余弦函(han)數(shu)）或者它們的(de)(de)積分的(de)(de)線性組(zu)合。
在不同的(de)研究領域，傅(fu)(fu)里(li)葉變換(huan)具有多種不同的(de)變體形式，如連續傅(fu)(fu)里(li)葉變換(huan)和離(li)散傅(fu)(fu)里(li)葉變換(huan)。最初傅(fu)(fu)里(li)葉分析是作為熱(re)過(guo)程的(de)解析分析的(de)工具被提出的(de)。
設f∈，則(ze)其傅里葉變換(huan)為(wei)上的函數，定義為(wei)
且稱為傅里(li)葉級數。
收斂性
f到的傅里葉(xie)映(ying)射為，且，且f的傅里葉(xie)級(ji)數(shu)在L2范數(shu)下收斂(lian)于f。
對稱性質
若 ，則。
奇偶性質
若 ，且 ，其(qi)中(zhong) 表示 的(de)實(shi)部， 表示 的(de)虛部，則 是(shi)關(guan)于(yu) 的(de)偶函數，的(de)模是(shi)關(guan)于(yu)的(de)偶函數，輻角是(shi)關(guan)于(yu)的(de)奇(qi)函數。
線性性質
若，，則
其中α和(he)β為(wei)常(chang)數(shu)。
時移性質
若，則。
頻移性質
若，則。
尺度變換性質
若，則。
卷積定理
時(shi)域卷積定理：若，，則；
頻域卷積定理：若，，則。
時域微積分
微分(fen)性質：若，則(ze)，；
積分性質(zhi)：若，則。
頻域微積分
微分性(xing)質：若，則；
積分性(xing)質：若(ruo)，則。
盡管(guan)最(zui)初傅里葉分(fen)析(xi)(xi)是作為(wei)熱過程的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)解析(xi)(xi)分(fen)析(xi)(xi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)工具(ju)，但(dan)是其思想(xiang)方法仍然具(ju)有(you)典(dian)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)還原論和(he)分(fen)析(xi)(xi)主(zhu)義(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)特征。"任(ren)意"的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)通過一定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)解，都能夠表示(shi)為(wei)正弦(xian)(xian)函(han)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)線(xian)性組合的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)式，而(er)正弦(xian)(xian)函(han)數(shu)(shu)在物理上是被充分(fen)研(yan)究而(er)相對簡單的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)類，這一想(xiang)法跟化學(xue)上的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原子論想(xiang)法何其相似！奇妙的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)是，現(xian)代數(shu)(shu)學(xue)發(fa)現(xian)傅里葉變換具(ju)有(you)非常好的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)性質，使得(de)它(ta)如(ru)此的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)好用和(he)有(you)用，讓人不得(de)不感嘆(tan)造物的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)神奇：
傅里葉變換是線性算子(zi)，若賦(fu)予適當的(de)范數，它還是酉算子(zi)；
傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正(zheng)變換非常類似；
正(zheng)弦基(ji)函數是(shi)微分運算的(de)(de)(de)本征函數，從而使得線性(xing)微分方程(cheng)的(de)(de)(de)求解(jie)可以轉(zhuan)化為(wei)常系(xi)(xi)(xi)數的(de)(de)(de)代數方程(cheng)的(de)(de)(de)求解(jie).在線性(xing)時不變的(de)(de)(de)物(wu)理系(xi)(xi)(xi)統內，頻率是(shi)個(ge)不變的(de)(de)(de)性(xing)質，從而系(xi)(xi)(xi)統對(dui)于(yu)復雜激勵的(de)(de)(de)響應可以通過組(zu)合其對(dui)不同(tong)頻率正(zheng)弦信號的(de)(de)(de)響應來獲取；
著(zhu)名的(de)卷(juan)積(ji)定理指(zhi)出：傅里(li)葉(xie)變換可(ke)以化復雜的(de)卷(juan)積(ji)運算(suan)為簡單的(de)乘積(ji)運算(suan)，從而提供了計算(suan)卷(juan)積(ji)的(de)一種(zhong)簡單手段；
離散形式的傅里(li)葉變(bian)換可以利用數字計算機快速(su)的算出（其算法(fa)稱為快速(su)傅里(li)葉變(bian)換算法(fa)（FFT)).
正是由于上(shang)述(shu)的良好(hao)性質(zhi)，傅里葉變換(huan)在物理學(xue)(xue)、數(shu)論(lun)、組合數(shu)學(xue)(xue)、信號處理、概率(lv)、統計、密碼學(xue)(xue)、聲(sheng)學(xue)(xue)、光學(xue)(xue)等(deng)領域都有著廣泛的應用。
傅里葉變(bian)換(huan)是(shi)數字信(xin)號(hao)處理中的(de)(de)基(ji)本(ben)操作，廣泛(fan)應用于(yu)表(biao)述及分(fen)析離(li)散時域信(xin)號(hao)領(ling)域。但由(you)于(yu)其(qi)運算量與變(bian)換(huan)點數N的(de)(de)平(ping)方成正比(bi)關系，因此，在N較大時，直(zhi)接應用DFT算法進(jin)行譜變(bian)換(huan)是(shi)不切(qie)合(he)實際的(de)(de)。然而，快速傅里葉變(bian)換(huan)技術的(de)(de)出現使(shi)情況發生了根本(ben)性的(de)(de)變(bian)化(hua)。本(ben)文(wen)主要描述了采用FPGA來實現2k/4k/8k點FFT的(de)(de)設計方法。
一般情況下，N點的傅里葉變換(huan)對為：
其(qi)中(zhong)，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和(he)(he)x(n）都為(wei)復數(shu)(shu)。與之(zhi)相對(dui)(dui)的(de)(de)快(kuai)速(su)傅里(li)(li)葉變(bian)換有很多(duo)種，如DIT（時域(yu)抽取(qu)法(fa)(fa)(fa)）、DIF（頻域(yu)抽取(qu)法(fa)(fa)(fa)）、Cooley－Tukey和(he)(he)Winograd等。對(dui)(dui)于2n傅里(li)(li)葉變(bian)換，Cooley－Tukey算法(fa)(fa)(fa)可(ke)導出DIT和(he)(he)DIF算法(fa)(fa)(fa)。本文(wen)運用的(de)(de)基(ji)本思(si)想是(shi)Cooley－Tukey算法(fa)(fa)(fa)，即將高點數(shu)(shu)的(de)(de)傅里(li)(li)葉變(bian)換通過多(duo)重低點數(shu)(shu)傅里(li)(li)葉變(bian)換來(lai)實現。雖然DIT與DIF有差別，但(dan)由(you)于它們在本質上(shang)都是(shi)一種基(ji)于標號(hao)分解(jie)的(de)(de)算法(fa)(fa)(fa)，故在運算量和(he)(he)算法(fa)(fa)(fa)復雜性(xing)等方面完全一樣(yang)，而沒有性(xing)能上(shang)的(de)(de)優劣之(zhi)分，所以可(ke)以根據需要任取(qu)其(qi)中(zhong)一種，本文(wen)主(zhu)要以DIT方法(fa)(fa)(fa)為(wei)對(dui)(dui)象(xiang)來(lai)討論。
N=8192點DFT的(de)運算表達(da)式為(wei)：
式(shi)中，m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2，k=2048k1+k2）其中n1和k2可取0,1，．．．，2047,k1和n2可取0,1,2,3。
由(you)式（3）可知，8k傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可由(you)4×2k的(de)(de)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)(cheng)。同理，4k傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可由(you)2×2k的(de)(de)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)(cheng)。而2k傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可由(you)128×16的(de)(de)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)(cheng)。128的(de)(de)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可進一步由(you)16×8的(de)(de)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)(cheng)，歸根結底，整(zheng)個傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可由(you)基(ji)(ji)2、基(ji)(ji)4的(de)(de)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)(cheng)。2k的(de)(de)FFT可以通過(guo)(guo)5個基(ji)(ji)4和(he)1個基(ji)(ji)2變(bian)(bian)換(huan)(huan)來實現(xian)；4k的(de)(de)FFT變(bian)(bian)換(huan)(huan)可通過(guo)(guo)6個基(ji)(ji)4變(bian)(bian)換(huan)(huan)來實現(xian)；8k的(de)(de)FFT可以通過(guo)(guo)6個基(ji)(ji)4和(he)1個基(ji)(ji)2變(bian)(bian)換(huan)(huan)來實現(xian)。也(ye)就(jiu)是(shi)說(shuo)：FFT的(de)(de)基(ji)(ji)本結構(gou)(gou)可由(you)基(ji)(ji)2/4模塊、復數乘法器(qi)(qi)、存儲單(dan)元和(he)存儲器(qi)(qi)控制模塊構(gou)(gou)成(cheng)(cheng)(cheng)，其(qi)整(zheng)體結構(gou)(gou)如圖1所示。
RAM用(yong)(yong)(yong)來存儲輸(shu)入數據、運(yun)(yun)(yun)算過程中的(de)中間(jian)結果以及(ji)(ji)運(yun)(yun)(yun)算完成后的(de)數據，ROM用(yong)(yong)(yong)來存儲旋轉(zhuan)因(yin)子(zi)表。蝶形運(yun)(yun)(yun)算單元(yuan)即(ji)為基2/4模塊，控制模塊可用(yong)(yong)(yong)于產生控制時序及(ji)(ji)地址信號，以控制中間(jian)運(yun)(yun)(yun)算過程及(ji)(ji)最后輸(shu)出結果。
基(ji)(ji)4和基(ji)(ji)2的(de)信(xin)號流如圖(tu)2所(suo)示(shi)。圖(tu)中(zhong)，若(ruo)A=r0+j*i0，B=r1+j*i1，C=r2+j*i2，D=r3+j*i3是要進行變換的(de)信(xin)號，Wk0=c0+j*s0=1，Wk1=c1+j*s1，Wk2=c2+j*s2，Wk3=c3+j*s3為旋轉因子，將其分(fen)別代(dai)入圖(tu)2中(zhong)的(de)基(ji)(ji)4蝶形(xing)運算(suan)單(dan)元，則(ze)有：
A′=[r0+(r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2)+(r3×c3－i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? （4）
B′=[r0+(i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2）－（i3×c3+r3×s3)]+j[i0－（r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2)+(r3×c3－i3×s3)] (5）
C′=[r0－（r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]+j[i0－（i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2）－（i3×c3+r3×s3)] （6）
D′=[r0－（i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]? （7）
而在基2蝶形中，Wk0和Wk2的值均(jun)為(wei)1，這樣，將(jiang)A，B，C和D的表達式代入(ru)圖2中的基2運算的四個等式中，則有：
A′=r0+(r1×c1－i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? （8）
B′=r0－ (r1×c1－i1×s1)+j[i0－（i1×c1+r1×s1)] （9）
C′=r2+(r3×c3－i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? （10）
D′=r2－（r3×c3－i3×s3)+j[i0－（i3×c3+r3×s3)]? （11）
在上述式（4）～（11）中有(you)很多類同(tong)(tong)項，如i1×c1+r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它們僅僅是加減號(hao)的不同(tong)(tong)，其結(jie)構和運算均類似，這就為(wei)簡化(hua)電路提(ti)供(gong)了(le)可(ke)能。同(tong)(tong)時，在蝶形運算中，復數乘(cheng)法可(ke)以由(you)實(shi)數乘(cheng)法以一定的格式來表示，這也為(wei)設計(ji)復數乘(cheng)法器提(ti)供(gong)了(le)一種實(shi)現的途徑。
以基4為例(li)，在其運算單元(yuan)中(zhong)，實(shi)際上只需(xu)做(zuo)三個復數(shu)乘(cheng)法運算，即只須計算BWk1、CWk2和DWk3的值(zhi)即可(ke)，這樣(yang)在一(yi)(yi)個基4蝶(die)形單元(yuan)里面(mian)，最多只需(xu)要3個復數(shu)乘(cheng)法器就可(ke)以了(le)。在實(shi)際過程中(zhong)，在不提高時鐘頻率下，只要將時序(xu)控(kong)制(zhi)好?便可(ke)利用流水線（Pipeline）技術(shu)并只用一(yi)(yi)個復數(shu)乘(cheng)法器就可(ke)完成這三個復數(shu)乘(cheng)法，大(da)大(da)節省了(le)硬件資源。
FFT變換(huan)后輸出的(de)(de)結果(guo)通常為一特定的(de)(de)倒序。因此(ci)，幾級變換(huan)后對地址的(de)(de)控制必須準確無誤。
倒序的規(gui)律是和分解(jie)的方式密切相關的，以基8為例，其(qi)基本(ben)倒序規(gui)則如下(xia)：
基8可以用2×2×2三級基2變換來表示(shi)，則其輸(shu)入順(shun)序(xu)(xu)(xu)則可用二進制(zhi)序(xu)(xu)(xu)列（n1 n2 n3）來表示(shi)，變換結束后(hou)，其順(shun)序(xu)(xu)(xu)將(jiang)變為(wei)（n3 n2 n1），如：X?011 → x?110 ，即輸(shu)入順(shun)序(xu)(xu)(xu)為(wei)3，輸(shu)出時順(shun)序(xu)(xu)(xu)變為(wei)6。
更進一步，對(dui)(dui)于(yu)(yu)基16的(de)變(bian)換，可由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形(xing)式(shi)(shi)來(lai)(lai)構成，相對(dui)(dui)于(yu)(yu)不同(tong)(tong)的(de)分解形(xing)式(shi)(shi)，往(wang)往(wang)會有不同(tong)(tong)的(de)倒序(xu)方式(shi)(shi)。以4×4為(wei)(wei)例，其(qi)輸入(ru)順序(xu)可以用二進制序(xu)列（n1 n2 n3n4）來(lai)(lai)表示變(bian)換結(jie)束后，其(qi)順序(xu)可變(bian)為(wei)(wei)（（n3 n4）（n1 n2）），如(ru)：X?0111 → x?1101 。即輸入(ru)順序(xu)為(wei)(wei)7，輸出時順序(xu)變(bian)為(wei)(wei)13。
在2k/4k/8k的(de)傅里葉變換(huan)中(zhong)，由于要經(jing)過多次的(de)基4和基2運(yun)算，因此，從每(mei)次運(yun)算完成(cheng)后到進(jin)入下一(yi)次運(yun)算前，應(ying)對運(yun)算的(de)結(jie)果進(jin)行倒(dao)序，以(yi)保證運(yun)算的(de)正確性。
N點(dian)傅里葉變換的(de)旋轉(zhuan)因子(zi)有著明顯的(de)周期(qi)性和(he)對稱性。其周期(qi)性表現為：
FFT之所(suo)以(yi)可使運算效率得到提高，就是利用了(le)對(dui)稱性(xing)和周期性(xing)把長序(xu)列(lie)的(de)DFT逐級分解(jie)成幾(ji)個序(xu)列(lie)的(de)DFT，并最終以(yi)短(duan)點數變換(huan)來實(shi)現(xian)長點數變換(huan)。
根據旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)(zhuan)(zhuan)因子的(de)(de)對(dui)稱性(xing)和周(zhou)期性(xing)，在(zai)利用(yong)ROM存儲旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)(zhuan)(zhuan)因子時(shi)，可(ke)以只存儲旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)(zhuan)(zhuan)因子表(biao)的(de)(de)一部分，而在(zai)讀出時(shi)增加讀出地址(zhi)及符號的(de)(de)控制，這樣(yang)可(ke)以正(zheng)確(que)實現FFT。因此，充(chong)分利用(yong)旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)(zhuan)(zhuan)因子的(de)(de)性(xing)質，可(ke)節省70%以上存儲單(dan)元。
實際上，由(you)(you)于旋轉因子(zi)(zi)可分解為正(zheng)、余(yu)弦函數(shu)的組合，故ROM中存的值(zhi)為正(zheng)、余(yu)弦函數(shu)值(zhi)的組合。對2k/4k/8k的傅里葉變(bian)換來說，只(zhi)是對一個周(zhou)期進行(xing)不同(tong)的分割。由(you)(you)于8k變(bian)換的旋轉因子(zi)(zi)包括了2k/4k的所(suo)有(you)因子(zi)(zi)，因此(ci)，實現時只(zhi)要對讀ROM的地址進行(xing)控(kong)制，即(ji)可實現2k/4k/8k變(bian)換的通用。
因(yin)FFT是為(wei)時(shi)序電路而設計(ji)的(de)，因(yin)此，控(kong)制(zhi)信(xin)(xin)號(hao)要包(bao)括時(shi)序的(de)控(kong)制(zhi)信(xin)(xin)號(hao)及存儲(chu)器的(de)讀寫地(di)址，并產生各種輔(fu)助(zhu)的(de)指示信(xin)(xin)號(hao)。同時(shi)在計(ji)算模塊的(de)內部，為(wei)保(bao)證高(gao)速，所有的(de)乘法器都須始終保(bao)持較高(gao)的(de)利用率。這意味著在每一(yi)個時(shi)鐘來臨時(shi)都要向這些(xie)單元輸入新的(de)操作數，而這一(yi)切都需要控(kong)制(zhi)信(xin)(xin)號(hao)的(de)緊密配合。
為(wei)了實(shi)現(xian)(xian)FFT的流形(xing)運(yun)(yun)(yun)算(suan)，在(zai)運(yun)(yun)(yun)算(suan)的同時(shi)(shi)，存(cun)儲器也要(yao)接收(shou)數據(ju)。這可以采用(yong)乒乓(pang)RAM的方法來(lai)完成(cheng)。這種方式決(jue)定(ding)了實(shi)現(xian)(xian)FFT運(yun)(yun)(yun)算(suan)的最大時(shi)(shi)間。對于4k操作，其接收(shou)時(shi)(shi)間為(wei)4096個(ge)數據(ju)周期,這樣FFT的最大運(yun)(yun)(yun)算(suan)時(shi)(shi)間就是(shi)4096個(ge)數據(ju)周期。另(ling)外(wai)，由于輸(shu)(shu)入(ru)數據(ju)是(shi)以一定(ding)的時(shi)(shi)鐘(zhong)為(wei)周期依次輸(shu)(shu)入(ru)的，故(gu)在(zai)進行內部運(yun)(yun)(yun)算(suan)時(shi)(shi)，可以用(yong)較高的內部時(shi)(shi)鐘(zhong)進行運(yun)(yun)(yun)算(suan)，然后再存(cun)入(ru)RAM依次輸(shu)(shu)出。
為(wei)節省資源(yuan)，可對(dui)(dui)存儲數據(ju)(ju)RAM采用原(yuan)址(zhi)讀(du)出(chu)原(yuan)址(zhi)寫入(ru)的方法(fa)，即在進行(xing)下一級(ji)變換的同時，首(shou)先應將結果回寫到讀(du)出(chu)數據(ju)(ju)的RAM存貯器中；而對(dui)(dui)于ROM，則應采用與運(yun)算的數據(ju)(ju)相對(dui)(dui)應的方法(fa)來讀(du)出(chu)存儲器中旋轉因子的值。
在(zai)2k/4k/8k傅(fu)里葉變(bian)(bian)換(huan)中，要實(shi)現通用性(xing)，控制器(qi)(qi)是最主(zhu)要的模塊。2k、4k、8k變(bian)(bian)換(huan)具(ju)有(you)不(bu)同(tong)的內(nei)部運(yun)算(suan)時間(jian)和存(cun)儲(chu)器(qi)(qi)地址，在(zai)設計中，針對不(bu)同(tong)的點數應設計不(bu)同(tong)的存(cun)儲(chu)器(qi)(qi)存(cun)取地址，同(tong)時，在(zai)完成變(bian)(bian)換(huan)后，還(huan)要對開始輸出有(you)用信(xin)號的時刻進行指(zhi)示。
Fourier transform或Transformée de Fourier有多個中文(wen)譯名，常見的(de)有“傅(fu)里葉(xie)變換”、“付立(li)葉(xie)變換”、“傅(fu)立(li)葉(xie)轉換”、“傅(fu)氏(shi)轉換”、“傅(fu)氏(shi)變換”、等等。
傅里葉(xie)變換是(shi)一種分(fen)(fen)析信號(hao)(hao)的(de)(de)(de)方法(fa)，它可分(fen)(fen)析信號(hao)(hao)的(de)(de)(de)成(cheng)分(fen)(fen)，也可用(yong)這些成(cheng)分(fen)(fen)合(he)成(cheng)信號(hao)(hao)。許多波(bo)形可作為(wei)信號(hao)(hao)的(de)(de)(de)成(cheng)分(fen)(fen)，比如正弦波(bo)、方波(bo)、鋸齒波(bo)等，傅里葉(xie)變換用(yong)正弦波(bo)作為(wei)信號(hao)(hao)的(de)(de)(de)成(cheng)分(fen)(fen)。
f(t)是(shi)t的周(zhou)(zhou)(zhou)(zhou)期(qi)(qi)函(han)數(shu)，如果t滿足(zu)狄利克雷條件：在(zai)(zai)一(yi)個以(yi)2T為(wei)周(zhou)(zhou)(zhou)(zhou)期(qi)(qi)內(nei)f(X)連續或只(zhi)有(you)(you)有(you)(you)限個第一(yi)類(lei)間斷點，附f（x）單調或可(ke)劃分成有(you)(you)限個單調區(qu)間，則(ze)F（x）以(yi)2T為(wei)周(zhou)(zhou)(zhou)(zhou)期(qi)(qi)的傅里葉(xie)級數(shu)收斂，和函(han)數(shu)S（x）也(ye)是(shi)以(yi)2T為(wei)周(zhou)(zhou)(zhou)(zhou)期(qi)(qi)的周(zhou)(zhou)(zhou)(zhou)期(qi)(qi)函(han)數(shu)，且(qie)在(zai)(zai)這些間斷點上，函(han)數(shu)是(shi)有(you)(you)限值；在(zai)(zai)一(yi)個周(zhou)(zhou)(zhou)(zhou)期(qi)(qi)內(nei)具有(you)(you)有(you)(you)限個極值點；絕對可(ke)積(ji)(ji)。則(ze)有(you)(you)下圖①式成立。稱為(wei)積(ji)(ji)分運算f(t)的傅里葉(xie)變(bian)換(huan)，
②式的積分運算(suan)叫做(zuo)F(ω)的傅(fu)里葉逆變(bian)換。F(ω)叫做(zuo)f(t)的象函數，f(t)叫做(zuo)
F(ω)的(de)象原(yuan)函數(shu)。F(ω)是f(t)的(de)象。f(t)是F(ω)原(yuan)象。
①傅里葉變換
②傅里葉逆變換
傅(fu)(fu)里葉變換在(zai)物理學(xue)(xue)(xue)、電(dian)子類學(xue)(xue)(xue)科、數論(lun)(lun)、組合數學(xue)(xue)(xue)、信號(hao)處(chu)理、概率論(lun)(lun)、統(tong)計學(xue)(xue)(xue)、密(mi)碼學(xue)(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)(xue)、光學(xue)(xue)(xue)、海洋學(xue)(xue)(xue)、結構動力學(xue)(xue)(xue)等(deng)領域都有著廣(guang)泛的(de)應(ying)用(yong)（例如在(zai)信號(hao)處(chu)理中，傅(fu)(fu)里葉變換的(de)典(dian)型用(yong)途是將信號(hao)分解成(cheng)頻率譜(pu)——顯示(shi)與頻率對應(ying)的(de)幅值大(da)小）。
* 傅(fu)里(li)葉(xie)變換(huan)屬(shu)于(yu)諧(xie)波分析。
* 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常(chang)類似;
* 正弦基函(han)(han)數是微分運(yun)算的(de)(de)本征函(han)(han)數，從而(er)使得線性(xing)(xing)微分方程的(de)(de)求解可(ke)以(yi)轉(zhuan)化為常系數的(de)(de)代數方程的(de)(de)求解.在線性(xing)(xing)時不變(bian)的(de)(de)物理系統(tong)內，頻率是個不變(bian)的(de)(de)性(xing)(xing)質，從而(er)系統(tong)對于復雜激勵的(de)(de)響應可(ke)以(yi)通過(guo)組(zu)合其對不同頻率正弦信號的(de)(de)響應來獲取(qu)；
*卷(juan)積定理指(zhi)出：傅里葉變(bian)換(huan)可(ke)以(yi)化(hua)復雜的(de)(de)卷(juan)積運(yun)(yun)算(suan)為簡(jian)(jian)單的(de)(de)乘積運(yun)(yun)算(suan)，從而提供了計算(suan)卷(juan)積的(de)(de)一種簡(jian)(jian)單手段；
* 離散(san)形式的傅里葉(xie)變換(huan)可以(yi)利用數字計算機快速地(di)算出（其算法稱為快速傅里葉(xie)變換(huan)算法（FFT)).
一般(ban)情況下，若(ruo)“傅里葉變換”一詞的前(qian)面未加任何限定(ding)語(yu)，則(ze)指(zhi)(zhi)的是“連續傅里葉變換”。“連續傅里葉變換”將平方可(ke)積的函數(shu) 表示成復指(zhi)(zhi)數(shu)函數(shu)的積分(fen)形式(shi)：
上式其實表示的是連續傅(fu)(fu)里葉變(bian)換(huan)的逆(ni)變(bian)換(huan)，即將時間(jian)域的函(han)(han)數(shu)(shu)表示為(wei)頻率域的函(han)(han)數(shu)(shu) 的積分。反過來(lai)，其正(zheng)變(bian)換(huan)恰好是將頻率域的函(han)(han)數(shu)(shu) 表示為(wei)時間(jian)域的函(han)(han)數(shu)(shu) 的積分形式。一般可稱函(han)(han)數(shu)(shu) 為(wei)原函(han)(han)數(shu)(shu)，而(er)稱函(han)(han)數(shu)(shu) 為(wei)傅(fu)(fu)里葉變(bian)換(huan)的像函(han)(han)數(shu)(shu)，原函(han)(han)數(shu)(shu)和(he)像函(han)(han)數(shu)(shu)構成一個(ge)傅(fu)(fu)里葉變(bian)換(huan)對(dui)（transform pair）。
當(dang) 為(wei)奇函數（或偶(ou)函數）時(shi)，其余弦(xian)（或正(zheng)弦(xian)）分量為(wei)零，而可以稱這(zhe)時(shi)的變換為(wei)余弦(xian)變換（或正(zheng)弦(xian)變換）。
主條目：傅里(li)葉級數
連續形式的傅(fu)(fu)里葉(xie)變換(huan)其(qi)實(shi)是傅(fu)(fu)里葉(xie)級數的推廣，因(yin)為積分其(qi)實(shi)是一種極限(xian)形式的求和(he)算子(zi)而(er)已。對于周期函數，它(ta)的傅(fu)(fu)里葉(xie)級數（Fourier series）表(biao)示被定(ding)義為：
其中(zhong) 為函(han)數(shu)的周期， 為傅里葉(xie)展開系數(shu)，它們等(deng)于(yu)
對(dui)于(yu)實值函數，函數的(de)傅里葉(xie)級數可以寫(xie)成：
其中 和 是實頻(pin)率分量(liang)的(de)振幅(fu)。
主(zhu)條目：離散時間傅里葉變(bian)換(huan)
離散(san)時(shi)間傅里葉變換（discrete-time Fourier transform, DTFT）針對的(de)是定義域為(wei)Z的(de)數(shu)列。設 為(wei)某一數(shu)列，則其DTFT被定義為(wei)
DTFT在時(shi)域(yu)上(shang)離散，在頻域(yu)上(shang)則(ze)是周期的(de)，它一(yi)般用(yong)來對離散時(shi)間信號進行(xing)頻譜分析。DTFT可以被看(kan)作是傅(fu)里葉級數的(de)逆(ni)。
為了在(zai)科學計算和(he)數(shu)字(zi)信號(hao)處理等領域使用計算機進(jin)行傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換，必須(xu)將函數(shu)定義在(zai)離散(san)點(dian)上而非連(lian)續域內，且須(xu)滿足有限性(xing)或周期性(xing)條件。這(zhe)種情況下，序列 的離散(san)傅里(li)(li)葉(xie)變(bian)換（discrete Fourier transform, DFT）為
直接使用DFT的(de)(de)定義計(ji)(ji)(ji)算(suan)的(de)(de)計(ji)(ji)(ji)算(suan)復雜度(du)為(wei)(wei) ，而快(kuai)速傅(fu)里葉變換（fast Fourier transform, FFT）可(ke)以(yi)將復雜度(du)改進為(wei)(wei) 。計(ji)(ji)(ji)算(suan)復雜度(du)的(de)(de)降低以(yi)及(ji)數(shu)字電路計(ji)(ji)(ji)算(suan)能力的(de)(de)發展(zhan)使得DFT成為(wei)(wei)在信號(hao)處理領域十分實用且重要的(de)(de)方法。
在阿貝爾(er)群上的統一描述
以上(shang)各種傅(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)可以被更統一(yi)的(de)表述成任意局部緊致的(de)阿貝爾群上(shang)的(de)傅(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)。這一(yi)問題(ti)屬(shu)于調和分析的(de)范疇。在調和分析中(zhong)，一(yi)個變(bian)換(huan)(huan)(huan)從(cong)一(yi)個群變(bian)換(huan)(huan)(huan)到它的(de)對偶(ou)群（dual group）。此外，將傅(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)與卷(juan)積(ji)相聯系的(de)卷(juan)積(ji)定(ding)理(li)在調和分析中(zhong)也有類似的(de)結論。
下表列出(chu)了傅(fu)里葉變換家族(zu)的成員。容易發現，函(han)數在時（頻(pin)）域(yu)(yu)的離散對應于其像函(han)數在頻(pin)（時）域(yu)(yu)的周期(qi)(qi)性，反之(zhi)連續則(ze)意味著(zhu)在對應域(yu)(yu)的信(xin)號的非周期(qi)(qi)性。
傅(fu)里(li)葉是(shi)一(yi)位法國數學(xue)家和物(wu)理學(xue)家的(de)(de)(de)名(ming)字(zi)，英(ying)語原名(ming)是(shi)Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對(dui)熱傳遞很感興趣，于1807年在(zai)法國科(ke)(ke)學(xue)學(xue)會(hui)上(shang)發表(biao)(biao)了一(yi)篇論(lun)(lun)文(wen)(wen)，運用(yong)正弦曲(qu)線來描(miao)述溫度分布，論(lun)(lun)文(wen)(wen)里(li)有(you)(you)(you)個(ge)(ge)在(zai)當(dang)時具有(you)(you)(you)爭議性的(de)(de)(de)決斷：任何連(lian)續周期信號可以由一(yi)組適當(dang)的(de)(de)(de)正弦曲(qu)線組合而成(cheng)。當(dang)時審查這(zhe)個(ge)(ge)論(lun)(lun)文(wen)(wen)的(de)(de)(de)人，其中(zhong)有(you)(you)(you)兩(liang)位是(shi)歷史上(shang)著(zhu)名(ming)的(de)(de)(de)數學(xue)家拉(la)(la)(la)格朗(lang)(lang)日(ri)(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉(la)(la)(la)普(pu)拉(la)(la)(la)斯(si)(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當(dang)拉(la)(la)(la)普(pu)拉(la)(la)(la)斯(si)和其它(ta)審查者(zhe)投票通過并要發表(biao)(biao)這(zhe)個(ge)(ge)論(lun)(lun)文(wen)(wen)時，拉(la)(la)(la)格朗(lang)(lang)日(ri)堅(jian)決反對(dui)，在(zai)他此(ci)后(hou)生命(ming)的(de)(de)(de)六年中(zhong)，拉(la)(la)(la)格朗(lang)(lang)日(ri)堅(jian)持(chi)認為(wei)傅(fu)里(li)葉的(de)(de)(de)方(fang)(fang)法無法表(biao)(biao)示帶有(you)(you)(you)棱角(jiao)的(de)(de)(de)信號，如在(zai)方(fang)(fang)波中(zhong)出現非連(lian)續變(bian)化斜率。法國科(ke)(ke)學(xue)學(xue)會(hui)屈服于拉(la)(la)(la)格朗(lang)(lang)日(ri)的(de)(de)(de)威望，拒絕了傅(fu)里(li)葉的(de)(de)(de)工作，幸運的(de)(de)(de)是(shi)，傅(fu)里(li)葉還有(you)(you)(you)其它(ta)事情可忙，他參加了政治(zhi)運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革(ge)命(ming)后(hou)因(yin)會(hui)被推上(shang)斷頭臺而一(yi)直(zhi)在(zai)逃(tao)避。直(zhi)到拉(la)(la)(la)格朗(lang)(lang)日(ri)死后(hou)15年這(zhe)個(ge)(ge)論(lun)(lun)文(wen)(wen)才被發表(biao)(biao)出來。
拉格朗日是對的(de)：正弦(xian)曲線(xian)(xian)無法組合成一(yi)個(ge)帶有棱角(jiao)的(de)信號。但是，我(wo)們可(ke)以(yi)用(yong)正弦(xian)曲線(xian)(xian)來非常逼(bi)近地表示它，逼(bi)近到(dao)兩種表示方法不存在能(neng)量(liang)差別(bie)，基于此，傅里(li)葉是對的(de)。
用正(zheng)弦(xian)(xian)曲(qu)(qu)線來(lai)代替原(yuan)來(lai)的(de)(de)(de)(de)曲(qu)(qu)線而不(bu)用方(fang)波(bo)(bo)或三角波(bo)(bo)來(lai)表示的(de)(de)(de)(de)原(yuan)因(yin)(yin)在于，分解(jie)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)方(fang)法是無(wu)窮的(de)(de)(de)(de)，但(dan)分解(jie)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)目的(de)(de)(de)(de)是為了更加(jia)簡單(dan)地(di)處理(li)原(yuan)來(lai)的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)。用正(zheng)余弦(xian)(xian)來(lai)表示原(yuan)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)會更加(jia)簡單(dan)，因(yin)(yin)為正(zheng)余弦(xian)(xian)擁有(you)原(yuan)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)所不(bu)具(ju)有(you)的(de)(de)(de)(de)性(xing)質：正(zheng)弦(xian)(xian)曲(qu)(qu)線保真度。一個正(zheng)弦(xian)(xian)曲(qu)(qu)線信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)輸入后，輸出的(de)(de)(de)(de)仍是正(zheng)弦(xian)(xian)曲(qu)(qu)線，只有(you)幅度和相位(wei)可能發生變(bian)化，但(dan)是頻率和波(bo)(bo)的(de)(de)(de)(de)形(xing)狀仍是一樣的(de)(de)(de)(de)。且只有(you)正(zheng)弦(xian)(xian)曲(qu)(qu)線才(cai)擁有(you)這樣的(de)(de)(de)(de)性(xing)質，正(zheng)因(yin)(yin)如(ru)此(ci)我們(men)才(cai)不(bu)用方(fang)波(bo)(bo)或三角波(bo)(bo)來(lai)表示。
為什(shen)(shen)么偏偏選擇三角函(han)(han)數(shu)而不(bu)(bu)用(yong)其他(ta)函(han)(han)數(shu)進行分解？我們(men)從物理(li)系(xi)(xi)(xi)統(tong)的(de)(de)(de)特(te)(te)征信(xin)(xin)號(hao)角度來(lai)解釋。我們(men)知道(dao)：大自然(ran)(ran)中很(hen)多現象(xiang)可(ke)(ke)以(yi)抽象(xiang)成一個線性(xing)時不(bu)(bu)變系(xi)(xi)(xi)統(tong)來(lai)研(yan)究(jiu)，無論(lun)你用(yong)微分方程還(huan)是(shi)(shi)(shi)傳遞(di)函(han)(han)數(shu)或(huo)者(zhe)狀態空間(jian)描述。線性(xing)時不(bu)(bu)變系(xi)(xi)(xi)統(tong)可(ke)(ke)以(yi)這樣理(li)解：輸(shu)(shu)入(ru)輸(shu)(shu)出信(xin)(xin)號(hao)滿足線性(xing)關系(xi)(xi)(xi)，而且(qie)系(xi)(xi)(xi)統(tong)參數(shu)不(bu)(bu)隨時間(jian)變換。對(dui)于大自然(ran)(ran)界的(de)(de)(de)很(hen)多系(xi)(xi)(xi)統(tong)，一個正(zheng)弦(xian)(xian)曲線信(xin)(xin)號(hao)輸(shu)(shu)入(ru)后，輸(shu)(shu)出的(de)(de)(de)仍是(shi)(shi)(shi)正(zheng)弦(xian)(xian)曲線，只有幅度和相位(wei)可(ke)(ke)能發生變化(hua)，但(dan)是(shi)(shi)(shi)頻率和波(bo)的(de)(de)(de)形(xing)狀仍是(shi)(shi)(shi)一樣的(de)(de)(de)。也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)說正(zheng)弦(xian)(xian)信(xin)(xin)號(hao)是(shi)(shi)(shi)系(xi)(xi)(xi)統(tong)的(de)(de)(de)特(te)(te)征向(xiang)量！當然(ran)(ran)，指(zhi)(zhi)數(shu)信(xin)(xin)號(hao)也是(shi)(shi)(shi)系(xi)(xi)(xi)統(tong)的(de)(de)(de)特(te)(te)征向(xiang)量，表示能量的(de)(de)(de)衰減或(huo)積(ji)聚。自然(ran)(ran)界的(de)(de)(de)衰減或(huo)者(zhe)擴散現象(xiang)大多是(shi)(shi)(shi)指(zhi)(zhi)數(shu)形(xing)式的(de)(de)(de)，或(huo)者(zhe)既有波(bo)動又有指(zhi)(zhi)數(shu)衰減（復(fu)指(zhi)(zhi)數(shu) 形(xing)式），因(yin)此具(ju)有特(te)(te)征的(de)(de)(de)基(ji)函(han)(han)數(shu)就(jiu)由三角函(han)(han)數(shu)變成復(fu)指(zhi)(zhi)數(shu)函(han)(han)數(shu)。但(dan)是(shi)(shi)(shi)，如(ru)果輸(shu)(shu)入(ru)是(shi)(shi)(shi)方波(bo)、三角波(bo)或(huo)者(zhe)其他(ta)什(shen)(shen)么波(bo)形(xing)，那輸(shu)(shu)出就(jiu)不(bu)(bu)一定是(shi)(shi)(shi)什(shen)(shen)么樣子了。所以(yi)，除了指(zhi)(zhi)數(shu)信(xin)(xin)號(hao)和正(zheng)弦(xian)(xian)信(xin)(xin)號(hao)以(yi)外的(de)(de)(de)其他(ta)波(bo)形(xing)都不(bu)(bu)是(shi)(shi)(shi)線性(xing)系(xi)(xi)(xi)統(tong)的(de)(de)(de)特(te)(te)征信(xin)(xin)號(hao)。
用(yong)正弦曲(qu)線(xian)來(lai)(lai)代(dai)替原(yuan)來(lai)(lai)的(de)(de)曲(qu)線(xian)而不用(yong)方波或三角(jiao)波或者其他什么函數(shu)(shu)(shu)來(lai)(lai)表示(shi)的(de)(de)原(yuan)因(yin)在于：正弦信(xin)號恰好是(shi)很多(duo)線(xian)性時不變(bian)系統的(de)(de)特征(zheng)(zheng)向量(liang)。于是(shi)就(jiu)有(you)了傅里葉變(bian)換(huan)。對于更一(yi)般(ban)的(de)(de)線(xian)性時不變(bian)系統，復(fu)指數(shu)(shu)(shu)信(xin)號(表示(shi)耗散(san)或衰減)是(shi)系統的(de)(de)“特征(zheng)(zheng)向量(liang)”。于是(shi)就(jiu)有(you)了拉普拉斯變(bian)換(huan)。z變(bian)換(huan)也(ye)是(shi)同(tong)樣(yang)的(de)(de)道理，這時是(shi)離(li)散(san)系統的(de)(de)“特征(zheng)(zheng)向量(liang)”。這里沒(mei)有(you)區分特征(zheng)(zheng)函數(shu)(shu)(shu)和(he)特征(zheng)(zheng)向量(liang)的(de)(de)概念，主要想表達二(er)者的(de)(de)思想是(shi)相同(tong)的(de)(de)，只不過一(yi)個(ge)是(shi)有(you)限維向量(liang)，一(yi)個(ge)是(shi)無限維函數(shu)(shu)(shu)。
傅(fu)里葉(xie)級(ji)數和傅(fu)里葉(xie)變換其實就是(shi)我們之前討論的(de)(de)特(te)征值(zhi)與特(te)征向量的(de)(de)問題。分解信(xin)(xin)號的(de)(de)方(fang)法是(shi)無窮的(de)(de)，但(dan)分解信(xin)(xin)號的(de)(de)目的(de)(de)是(shi)為(wei)了更(geng)加簡(jian)單(dan)地處(chu)理(li)原來的(de)(de)信(xin)(xin)號。這(zhe)樣，用正余(yu)弦來表示(shi)原信(xin)(xin)號會更(geng)加簡(jian)單(dan)，因為(wei)正余(yu)弦擁(yong)有原信(xin)(xin)號所(suo)不具有的(de)(de)性質：正弦曲線保(bao)真度(du)。且只有正弦曲線才擁(yong)有這(zhe)樣的(de)(de)性質。
這也解(jie)釋(shi)了為(wei)什么(me)(me)我(wo)們一碰到信號(hao)就(jiu)想方(fang)(fang)設法的(de)把它表示成正(zheng)弦量(liang)(liang)或者復指數量(liang)(liang)的(de)形式；為(wei)什么(me)(me)方(fang)(fang)波或者三角波如此“簡單”，我(wo)們非(fei)要(yao)展(zhan)開(kai)的(de)如此“麻煩”；為(wei)什么(me)(me)對(dui)于一個沒有什么(me)(me)規律的(de)“非(fei)周期”信號(hao)，我(wo)們都(dou)絞盡腦汁的(de)用(yong)正(zheng)弦量(liang)(liang)展(zhan)開(kai)。就(jiu)因為(wei)正(zheng)弦量(liang)(liang)(或復指數)是特征向量(liang)(liang)。
什么是時(shi)(shi)域？從我(wo)(wo)們(men)出(chu)生，我(wo)(wo)們(men)看到的(de)(de)世界都(dou)以(yi)時(shi)(shi)間(jian)貫穿，股(gu)票的(de)(de)走勢、人的(de)(de)身高、汽(qi)車的(de)(de)軌跡都(dou)會(hui)隨著時(shi)(shi)間(jian)發生改變。這種以(yi)時(shi)(shi)間(jian)作為參照來觀察動(dong)態世界的(de)(de)方法我(wo)(wo)們(men)稱其為時(shi)(shi)域分析。而我(wo)(wo)們(men)也想當(dang)然的(de)(de)認為，世間(jian)萬物都(dou)在隨著時(shi)(shi)間(jian)不停的(de)(de)改變，并且永遠不會(hui)靜止下來。
什(shen)么是(shi)頻(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)？頻(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)(frequency domain)是(shi)描(miao)述信號在頻(pin)(pin)率方面特性(xing)時(shi)用到的(de)(de)(de)一(yi)(yi)種坐標系。用線性(xing)代數(shu)的(de)(de)(de)語言就是(shi)裝(zhuang)著正(zheng)弦函數(shu)的(de)(de)(de)空間。頻(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)最重要(yao)的(de)(de)(de)性(xing)質是(shi)：它不是(shi)真實的(de)(de)(de)，而(er)是(shi)一(yi)(yi)個數(shu)學構造。頻(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)是(shi)一(yi)(yi)個遵(zun)循(xun)特定規則的(de)(de)(de)數(shu)學范疇。正(zheng)弦波(bo)是(shi)頻(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)中唯一(yi)(yi)存在的(de)(de)(de)波(bo)形(xing)，這是(shi)頻(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)中最重要(yao)的(de)(de)(de)規則，即正(zheng)弦波(bo)是(shi)對頻(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)的(de)(de)(de)描(miao)述，因(yin)為時(shi)域(yu)(yu)(yu)中的(de)(de)(de)任何波(bo)形(xing)都可用正(zheng)弦波(bo)合(he)成。
對于一(yi)個信號來(lai)說，信號強度(du)隨時(shi)間的變化規律就是(shi)時(shi)域(yu)特(te)性，信號是(shi)由哪(na)些單一(yi)頻(pin)(pin)率的信號合成的就是(shi)頻(pin)(pin)域(yu)特(te)性。
時(shi)域(yu)(yu)(yu)(yu)(yu)分(fen)析與頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)(yu)(yu)分(fen)析是(shi)對信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)兩(liang)個觀察面。時(shi)域(yu)(yu)(yu)(yu)(yu)分(fen)析是(shi)以時(shi)間軸為(wei)(wei)坐標(biao)表示動(dong)態信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)關系(xi)；頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)(yu)(yu)分(fen)析是(shi)把信(xin)號(hao)變(bian)為(wei)(wei)以頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率軸為(wei)(wei)坐標(biao)表示出來。一(yi)般來說，時(shi)域(yu)(yu)(yu)(yu)(yu)的(de)(de)(de)表示較為(wei)(wei)形(xing)象與直觀，頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)(yu)(yu)分(fen)析則更為(wei)(wei)簡練(lian)，剖(pou)析問題更為(wei)(wei)深(shen)刻和方便。目前(qian)，信(xin)號(hao)分(fen)析的(de)(de)(de)趨勢是(shi)從時(shi)域(yu)(yu)(yu)(yu)(yu)向頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)(yu)(yu)發展。然而，它們是(shi)互相聯系(xi)，缺一(yi)不(bu)可，相輔相成的(de)(de)(de)。貫(guan)穿時(shi)域(yu)(yu)(yu)(yu)(yu)與頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)(yu)(yu)的(de)(de)(de)方法之一(yi)，就是(shi)傳說中的(de)(de)(de)傅(fu)里(li)葉分(fen)析。傅(fu)里(li)葉分(fen)析可分(fen)為(wei)(wei)傅(fu)里(li)葉級數(shu)（Fourier Serie）和傅(fu)里(li)葉變(bian)換(Fourier Transformation)。
根(gen)據(ju)原信號的不同類型，我們可以把傅里葉變(bian)換分為(wei)四種類別：
1非(fei)周(zhou)期性(xing)連續信號(hao)傅里葉變換（Fourier Transform）
2周(zhou)期性連續(xu)信(xin)號傅里葉級數(shu)(Fourier Series)
3非周期性(xing)離(li)(li)散信號離(li)(li)散時域傅里葉變換（Discrete Time Fourier Transform）
4周期(qi)性離(li)散(san)信(xin)號離(li)散(san)傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)
下圖是(shi)四種原信號圖例：
這四種傅(fu)里葉變(bian)換(huan)都是(shi)(shi)(shi)針對正(zheng)無(wu)(wu)窮(qiong)大(da)和(he)負無(wu)(wu)窮(qiong)大(da)的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，即信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)的(de)(de)(de)(de)長度(du)(du)是(shi)(shi)(shi)無(wu)(wu)窮(qiong)大(da)的(de)(de)(de)(de)，我們(men)知道這對于(yu)計算(suan)(suan)機處理來(lai)說是(shi)(shi)(shi)不可(ke)(ke)能(neng)的(de)(de)(de)(de)，那么有沒有針對長度(du)(du)有限(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)傅(fu)里葉變(bian)換(huan)呢？沒有。因(yin)為(wei)正(zheng)余(yu)弦(xian)波被定義(yi)成(cheng)(cheng)從負無(wu)(wu)窮(qiong)大(da)到正(zheng)無(wu)(wu)窮(qiong)大(da)，我們(men)無(wu)(wu)法(fa)把一個長度(du)(du)無(wu)(wu)限(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)組(zu)合成(cheng)(cheng)長度(du)(du)有限(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)。面(mian)對這種困難(nan)，方法(fa)是(shi)(shi)(shi)把長度(du)(du)有限(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)表示(shi)成(cheng)(cheng)長度(du)(du)無(wu)(wu)限(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，可(ke)(ke)以把信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)無(wu)(wu)限(xian)(xian)地從左右進(jin)行(xing)延伸，延伸的(de)(de)(de)(de)部(bu)分用零(ling)來(lai)表示(shi)，這樣(yang)，這個信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)就(jiu)可(ke)(ke)以被看成(cheng)(cheng)是(shi)(shi)(shi)非(fei)周(zhou)期(qi)性離(li)散信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，我們(men)就(jiu)可(ke)(ke)以用到離(li)散時域傅(fu)里葉變(bian)換(huan)的(de)(de)(de)(de)方法(fa)。還有，也(ye)可(ke)(ke)以把信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)用復(fu)制的(de)(de)(de)(de)方法(fa)進(jin)行(xing)延伸，這樣(yang)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)就(jiu)變(bian)成(cheng)(cheng)了周(zhou)期(qi)性離(li)散信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，這時我們(men)就(jiu)可(ke)(ke)以用離(li)散傅(fu)里葉變(bian)換(huan)方法(fa)進(jin)行(xing)變(bian)換(huan)。這里我們(men)要學的(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)(shi)離(li)散信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，對于(yu)連續信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)我們(men)不作討論，因(yin)為(wei)計算(suan)(suan)機只能(neng)處理離(li)散的(de)(de)(de)(de)數值(zhi)信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，我們(men)的(de)(de)(de)(de)最終目(mu)的(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)(shi)運(yun)用計算(suan)(suan)機來(lai)處理信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)。
但是對于非(fei)周期性的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號，我(wo)們(men)需要(yao)用無窮多不(bu)同頻率的(de)(de)(de)(de)正(zheng)弦曲(qu)線來表示，這(zhe)對于計算(suan)機來說(shuo)是不(bu)可(ke)能實現的(de)(de)(de)(de)。所以對于離(li)散(san)信(xin)(xin)號的(de)(de)(de)(de)變(bian)換(huan)只有離(li)散(san)傅里葉變(bian)換(huan)（DFT）才能被適用，對于計算(suan)機來說(shuo)只有離(li)散(san)的(de)(de)(de)(de)和(he)有限長度的(de)(de)(de)(de)數據才能被處(chu)理(li)，對于其它的(de)(de)(de)(de)變(bian)換(huan)類型(xing)只有在數學演算(suan)中才能用到，在計算(suan)機面前我(wo)們(men)只能用DFT方法，后(hou)面我(wo)們(men)要(yao)理(li)解的(de)(de)(de)(de)也正(zheng)是DFT方法。這(zhe)里要(yao)理(li)解的(de)(de)(de)(de)是我(wo)們(men)使(shi)用周期性的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號目的(de)(de)(de)(de)是為(wei)了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信(xin)(xin)號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的(de)(de)(de)(de)。
每種(zhong)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)都分成實數(shu)和復數(shu)兩種(zhong)方(fang)法，對(dui)于實數(shu)方(fang)法是最(zui)好理(li)解(jie)的(de)(de)(de)，但是復數(shu)方(fang)法就(jiu)(jiu)相(xiang)對(dui)復雜許(xu)多了(le)，需要懂得(de)有關復數(shu)的(de)(de)(de)理(li)論知識，不過，如果理(li)解(jie)了(le)實數(shu)離(li)散(san)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(real DFT)，再去理(li)解(jie)復數(shu)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)就(jiu)(jiu)更容易了(le)，所以我(wo)們(men)(men)先把復數(shu)的(de)(de)(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)放到一邊去，先來(lai)理(li)解(jie)實數(shu)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)，在(zai)后面我(wo)們(men)(men)會先講講關于復數(shu)的(de)(de)(de)基本(ben)理(li)論，然后在(zai)理(li)解(jie)了(le)實數(shu)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)的(de)(de)(de)基礎(chu)上再來(lai)理(li)解(jie)復數(shu)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)。
還(huan)有，這里我們所要說的(de)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(transform)雖(sui)然是數(shu)(shu)(shu)學意義上的(de)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)，但跟函數(shu)(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)是不同(tong)的(de)，函數(shu)(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)是符合一一映射準則的(de)，對于離(li)散數(shu)(shu)(shu)字信(xin)號(hao)處理（DSP），有許多(duo)的(de)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)：傅里葉變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)、拉普拉斯變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)、Z變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)、希(xi)爾(er)伯特(te)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)、離(li)散余弦變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)等，這些都擴展了函數(shu)(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)的(de)定義，允(yun)許輸(shu)入(ru)和(he)輸(shu)出(chu)有多(duo)種的(de)值，簡(jian)單地說變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)就是把一堆的(de)數(shu)(shu)(shu)據變(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)成另一堆的(de)數(shu)(shu)(shu)據的(de)方(fang)法。
傅(fu)里(li)葉變換(huan)是數(shu)字信號處理(li)領域(yu)一(yi)種很(hen)重要的(de)(de)(de)(de)算法。要知道傅(fu)里(li)葉變換(huan)算法的(de)(de)(de)(de)意義(yi)，首先要了解傅(fu)里(li)葉原理(li)的(de)(de)(de)(de)意義(yi)。傅(fu)里(li)葉原理(li)表明：任何連續測量的(de)(de)(de)(de)時(shi)序或(huo)信號，都可以(yi)表示為不同頻率(lv)的(de)(de)(de)(de)正(zheng)弦(xian)波(bo)信號的(de)(de)(de)(de)無限疊加。而根(gen)據該(gai)原理(li)創立的(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)葉變換(huan)算法利(li)用直(zhi)接測量到的(de)(de)(de)(de)原始(shi)信號，以(yi)累加方式(shi)來計算該(gai)信號中不同正(zheng)弦(xian)波(bo)信號的(de)(de)(de)(de)頻率(lv)、振幅和相位。
和傅里(li)葉(xie)變換(huan)算法對應的是(shi)反(fan)傅里(li)葉(xie)變換(huan)算法。該反(fan)變換(huan)從(cong)本質上說(shuo)也是(shi)一種累加(jia)處理，這樣就可以(yi)將單(dan)獨改變的正弦波信(xin)號(hao)轉(zhuan)換(huan)成(cheng)(cheng)一個信(xin)號(hao)。因此(ci)，可以(yi)說(shuo)，傅里(li)葉(xie)變換(huan)將原來(lai)難(nan)以(yi)處理的時域(yu)信(xin)號(hao)轉(zhuan)換(huan)成(cheng)(cheng)了易于分(fen)析(xi)的頻域(yu)信(xin)號(hao)（信(xin)號(hao)的頻譜），可以(yi)利用一些(xie)(xie)工具對這些(xie)(xie)頻域(yu)信(xin)號(hao)進行處理、加(jia)工。最后還(huan)可以(yi)利用傅里(li)葉(xie)反(fan)變換(huan)將這些(xie)(xie)頻域(yu)信(xin)號(hao)轉(zhuan)換(huan)成(cheng)(cheng)時域(yu)信(xin)號(hao)。
從現(xian)代數學(xue)的(de)(de)(de)眼光(guang)來看，傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換(huan)是一種特殊的(de)(de)(de)積分(fen)變(bian)(bian)(bian)換(huan)。它能將滿足(zu)一定條件的(de)(de)(de)某個函(han)(han)數表示(shi)成正(zheng)弦基函(han)(han)數的(de)(de)(de)線性(xing)組(zu)合或者積分(fen)。在不同的(de)(de)(de)研究(jiu)領域，傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換(huan)具(ju)有多種不同的(de)(de)(de)變(bian)(bian)(bian)體形式(shi)，如連續(xu)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換(huan)和離散傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換(huan)。
在(zai)數(shu)(shu)(shu)學領域，盡管最初傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)分(fen)(fen)析是(shi)(shi)作為(wei)熱過程的(de)(de)(de)(de)解(jie)析分(fen)(fen)析的(de)(de)(de)(de)工具，但是(shi)(shi)其(qi)思(si)想方(fang)法(fa)仍然具有典型的(de)(de)(de)(de)還(huan)原論和分(fen)(fen)析主義的(de)(de)(de)(de)特征。"任意"的(de)(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu)通過一(yi)(yi)定的(de)(de)(de)(de)分(fen)(fen)解(jie)，都能夠表示為(wei)正(zheng)弦函(han)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)線性(xing)(xing)組(zu)合(he)的(de)(de)(de)(de)形(xing)式，而正(zheng)弦函(han)數(shu)(shu)(shu)在(zai)物(wu)理(li)上是(shi)(shi)被充分(fen)(fen)研(yan)究(jiu)而相(xiang)對(dui)簡(jian)單(dan)的(de)(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu)類：1. 傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換是(shi)(shi)線性(xing)(xing)算(suan)(suan)子(zi),若賦予適(shi)當的(de)(de)(de)(de)范數(shu)(shu)(shu)，它還(huan)是(shi)(shi)酉(you)算(suan)(suan)子(zi)；2. 傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換的(de)(de)(de)(de)逆變(bian)換容易求出(chu)，而且(qie)形(xing)式與正(zheng)變(bian)換非常類似；3. 正(zheng)弦基函(han)數(shu)(shu)(shu)是(shi)(shi)微(wei)(wei)分(fen)(fen)運(yun)(yun)算(suan)(suan)的(de)(de)(de)(de)本征函(han)數(shu)(shu)(shu),從(cong)(cong)而使(shi)得線性(xing)(xing)微(wei)(wei)分(fen)(fen)方(fang)程的(de)(de)(de)(de)求解(jie)可(ke)以(yi)轉化為(wei)常系(xi)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)代數(shu)(shu)(shu)方(fang)程的(de)(de)(de)(de)求解(jie)。在(zai)線性(xing)(xing)時復雜的(de)(de)(de)(de)卷積運(yun)(yun)算(suan)(suan)為(wei)簡(jian)單(dan)的(de)(de)(de)(de)乘積運(yun)(yun)算(suan)(suan),從(cong)(cong)而提供了計算(suan)(suan)卷積的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)種(zhong)簡(jian)單(dan)手段；4. 離(li)散形(xing)式的(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)的(de)(de)(de)(de)物(wu)理(li)系(xi)統內,頻率是(shi)(shi)個不變(bian)的(de)(de)(de)(de)性(xing)(xing)質,從(cong)(cong)而系(xi)統對(dui)于(yu)復雜激勵的(de)(de)(de)(de)響(xiang)應(ying)可(ke)以(yi)通過組(zu)合(he)其(qi)對(dui)不同頻率正(zheng)弦信號的(de)(de)(de)(de)響(xiang)應(ying)來獲取；5. 著名(ming)的(de)(de)(de)(de)卷積定理(li)指(zhi)出(chu):傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換可(ke)以(yi)化復變(bian)換可(ke)以(yi)利用(yong)數(shu)(shu)(shu)字計算(suan)(suan)機(ji)快速(su)的(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)出(chu)(其(qi)算(suan)(suan)法(fa)稱為(wei)快速(su)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)換算(suan)(suan)法(fa)(FFT))。
正是由于上述(shu)的良好性質,傅里葉變換(huan)在物理(li)(li)學(xue)(xue)、數論、組合數學(xue)(xue)、信號處(chu)理(li)(li)、概率、統計、密碼學(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)、光學(xue)(xue)等領域都有著廣泛的應用。
圖(tu)(tu)(tu)(tu)像的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)是表(biao)征圖(tu)(tu)(tu)(tu)像中灰(hui)度(du)(du)(du)(du)變(bian)(bian)化(hua)劇(ju)烈(lie)(lie)程度(du)(du)(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)指標，是灰(hui)度(du)(du)(du)(du)在(zai)平(ping)面(mian)空(kong)間上的(de)(de)(de)(de)(de)梯度(du)(du)(du)(du)。如：大面(mian)積的(de)(de)(de)(de)(de)沙漠在(zai)圖(tu)(tu)(tu)(tu)像中是一(yi)片(pian)灰(hui)度(du)(du)(du)(du)變(bian)(bian)化(hua)緩(huan)慢的(de)(de)(de)(de)(de)區(qu)域(yu)(yu)，對(dui)應(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)值(zhi)很低；而(er)對(dui)于地表(biao)屬性(xing)變(bian)(bian)換(huan)(huan)劇(ju)烈(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)邊緣區(qu)域(yu)(yu)在(zai)圖(tu)(tu)(tu)(tu)像中是一(yi)片(pian)灰(hui)度(du)(du)(du)(du)變(bian)(bian)化(hua)劇(ju)烈(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)區(qu)域(yu)(yu)，對(dui)應(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)值(zhi)較(jiao)高。傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)在(zai)實際中有非(fei)常明(ming)顯的(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)(wu)理(li)(li)意義，設f是一(yi)個能量有限的(de)(de)(de)(de)(de)模擬信(xin)號，則其傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)就(jiu)表(biao)示f的(de)(de)(de)(de)(de)譜。從(cong)純粹的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學意義上看，傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)是將一(yi)個函(han)數(shu)轉換(huan)(huan)為一(yi)系列周(zhou)期函(han)數(shu)來處理(li)(li)的(de)(de)(de)(de)(de)。從(cong)物(wu)(wu)理(li)(li)效果看，傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)是將圖(tu)(tu)(tu)(tu)像從(cong)空(kong)間域(yu)(yu)轉換(huan)(huan)到頻(pin)(pin)率(lv)(lv)域(yu)(yu)，其逆變(bian)(bian)換(huan)(huan)是將圖(tu)(tu)(tu)(tu)像從(cong)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)域(yu)(yu)轉換(huan)(huan)到空(kong)間域(yu)(yu)。換(huan)(huan)句話說(shuo)，傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)(wu)理(li)(li)意義是將圖(tu)(tu)(tu)(tu)像的(de)(de)(de)(de)(de)灰(hui)度(du)(du)(du)(du)分(fen)布函(han)數(shu)變(bian)(bian)換(huan)(huan)為圖(tu)(tu)(tu)(tu)像的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)分(fen)布函(han)數(shu)，傅(fu)里葉(xie)逆變(bian)(bian)換(huan)(huan)是將圖(tu)(tu)(tu)(tu)像的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)分(fen)布函(han)數(shu)變(bian)(bian)換(huan)(huan)為灰(hui)度(du)(du)(du)(du)分(fen)布函(han)數(shu)。
傅里(li)葉變換(huan)(huan)以(yi)(yi)(yi)(yi)前(qian)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)（未壓縮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)位(wei)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)）是(shi)(shi)由(you)對(dui)(dui)(dui)在(zai)連續空(kong)間（現實空(kong)間）上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)采(cai)樣(yang)(yang)(yang)得(de)(de)到(dao)(dao)一(yi)系(xi)列點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)集合(he)，我(wo)(wo)們(men)(men)(men)習慣用一(yi)個(ge)二維(wei)矩陣(zhen)表示空(kong)間上(shang)(shang)各(ge)點(dian)(dian)(dian)，則圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)可(ke)由(you)z=f(x,y)來(lai)表示。由(you)于空(kong)間是(shi)(shi)三(san)維(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)是(shi)(shi)二維(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，因(yin)此空(kong)間中(zhong)(zhong)物體在(zai)另一(yi)個(ge)維(wei)度(du)(du)上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系(xi)就(jiu)由(you)梯度(du)(du)來(lai)表示，這樣(yang)(yang)(yang)我(wo)(wo)們(men)(men)(men)可(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)通(tong)過(guo)觀察(cha)(cha)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)得(de)(de)知物體在(zai)三(san)維(wei)空(kong)間中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)(dui)(dui)應(ying)關(guan)系(xi)。為(wei)什么(me)(me)要提梯度(du)(du)？因(yin)為(wei)實際上(shang)(shang)對(dui)(dui)(dui)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)進行二維(wei)傅里(li)葉變換(huan)(huan)得(de)(de)到(dao)(dao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，就(jiu)是(shi)(shi)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)梯度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)分布(bu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，當然頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)各(ge)點(dian)(dian)(dian)與(yu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)上(shang)(shang)各(ge)點(dian)(dian)(dian)并不(bu)存在(zai)一(yi)一(yi)對(dui)(dui)(dui)應(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系(xi)，即使在(zai)不(bu)移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情況(kuang)下也是(shi)(shi)沒有(you)。傅里(li)葉頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)我(wo)(wo)們(men)(men)(men)看(kan)到(dao)(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)明暗(an)不(bu)一(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮點(dian)(dian)(dian)，實際上(shang)(shang)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)上(shang)(shang)某一(yi)點(dian)(dian)(dian)與(yu)鄰域點(dian)(dian)(dian)差異的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)強弱(ruo)，即梯度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大(da)(da)小，也即該點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大(da)(da)小（可(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)這么(me)(me)理解(jie)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)低頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)部分指(zhi)低梯度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)，高頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)部分相(xiang)反）。一(yi)般來(lai)講，梯度(du)(du)大(da)(da)則該點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮度(du)(du)強，否則該點(dian)(dian)(dian)亮度(du)(du)弱(ruo)。這樣(yang)(yang)(yang)通(tong)過(guo)觀察(cha)(cha)傅里(li)葉變換(huan)(huan)后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，也叫功率(lv)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，我(wo)(wo)們(men)(men)(men)首先就(jiu)可(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)看(kan)出(chu)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)能(neng)量分布(bu)，如果(guo)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)暗(an)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)數(shu)更多，那(nei)么(me)(me)實際圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)是(shi)(shi)比較柔和(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)（因(yin)為(wei)各(ge)點(dian)(dian)(dian)與(yu)鄰域差異都不(bu)大(da)(da)，梯度(du)(du)相(xiang)對(dui)(dui)(dui)較小），反之，如果(guo)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)亮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)數(shu)多，那(nei)么(me)(me)實際圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)一(yi)定是(shi)(shi)尖(jian)銳(rui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，邊(bian)(bian)界(jie)分明且(qie)邊(bian)(bian)界(jie)兩邊(bian)(bian)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)素差異較大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。對(dui)(dui)(dui)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)原點(dian)(dian)(dian)以(yi)(yi)(yi)(yi)后，可(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)看(kan)出(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)分布(bu)是(shi)(shi)以(yi)(yi)(yi)(yi)原點(dian)(dian)(dian)為(wei)圓心(xin)，對(dui)(dui)(dui)稱分布(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。將頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)圓心(xin)除了可(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)清(qing)晰地看(kan)出(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)(xiang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)分布(bu)以(yi)(yi)(yi)(yi)外，還有(you)一(yi)個(ge)好處(chu)，它可(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)分離出(chu)有(you)周期性規律(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)干(gan)擾信號，比如正弦(xian)(xian)干(gan)擾，一(yi)副(fu)帶有(you)正弦(xian)(xian)干(gan)擾，移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)原點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)可(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)看(kan)出(chu)除了中(zhong)(zhong)心(xin)以(yi)(yi)(yi)(yi)外還存在(zai)以(yi)(yi)(yi)(yi)某一(yi)點(dian)(dian)(dian)為(wei)中(zhong)(zhong)心(xin)，對(dui)(dui)(dui)稱分布(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮點(dian)(dian)(dian)集合(he)，這個(ge)集合(he)就(jiu)是(shi)(shi)干(gan)擾噪音產生的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，這時可(ke)以(yi)(yi)(yi)(yi)很直觀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)通(tong)過(guo)在(zai)該位(wei)置放置帶阻濾(lv)波器消除干(gan)擾。
另外說明(ming)以下(xia)幾點：
1、圖像經(jing)過(guo)二(er)維傅里(li)葉變換后，其變換系(xi)數矩陣表明：
若變換(huan)(huan)矩(ju)(ju)陣(zhen)Fn原點設在(zai)(zai)中(zhong)心，其頻譜能(neng)量集(ji)(ji)中(zhong)分(fen)布在(zai)(zai)變換(huan)(huan)系(xi)數短陣(zhen)的(de)中(zhong)心附近（圖中(zhong)陰影區(qu)）。若所用的(de)二維傅里葉變換(huan)(huan)矩(ju)(ju)陣(zhen)Fn的(de)原點設在(zai)(zai)左上(shang)角(jiao)，那么(me)圖像(xiang)信號能(neng)量將集(ji)(ji)中(zhong)在(zai)(zai)系(xi)數矩(ju)(ju)陣(zhen)的(de)四個角(jiao)上(shang)。這是由(you)二維傅里葉變換(huan)(huan)本(ben)身性(xing)質決定的(de)。同時也表明一股圖像(xiang)能(neng)量集(ji)(ji)中(zhong)低頻區(qu)域(yu)。
2 、變換之(zhi)后的圖像(xiang)在原點平移(yi)之(zhi)前(qian)四角是低頻(pin)，最亮，平移(yi)之(zhi)后中間部分(fen)是低頻(pin)，最亮，亮度大說明低頻(pin)的能(neng)量大（幅角比(bi)較大）。
將(jiang)其發展延伸，構(gou)造(zao)出了其他形式的積分變(bian)換(huan):
從數(shu)(shu)學(xue)的角度(du)理解積(ji)分變換(huan)就是通過積(ji)分運算，把一(yi)個函(han)數(shu)(shu)變成另一(yi)個函(han)數(shu)(shu)。也可(ke)以理解成是算內(nei)積(ji)，然后就變成一(yi)個函(han)數(shu)(shu)向另一(yi)個函(han)數(shu)(shu)的投影：
K（s，t）積(ji)分(fen)(fen)變換(huan)的(de)核(he)(Kernel)。當選取(qu)不同的(de)積(ji)分(fen)(fen)域和(he)變換(huan)核(he)時，就(jiu)得到不同名稱(cheng)的(de)積(ji)分(fen)(fen)變換(huan)。學術一點的(de)說法(fa)是(shi)：向核(he)空間投(tou)影，將原問(wen)題轉化(hua)到核(he)空間。所謂核(he)空間，就(jiu)是(shi)這(zhe)個空間里面裝(zhuang)的(de)是(shi)核(he)函數(shu)。
當然(ran)，選(xuan)取什么樣的(de)(de)(de)核主要(yao)看你面對的(de)(de)(de)問(wen)題(ti)有(you)什么特(te)征。不同問(wen)題(ti)的(de)(de)(de)特(te)征不同，就會對應(ying)特(te)定的(de)(de)(de)核函數(shu)。把核函數(shu)作為基(ji)函數(shu)。將(jiang)現(xian)在(zai)的(de)(de)(de)坐標投影到核空間里面去，問(wen)題(ti)就會得到簡化。之所以叫(jiao)核，是因為這是最核心的(de)(de)(de)地方(fang)。為什么其(qi)他變(bian)換(huan)你都沒(mei)怎么聽(ting)說過而(er)只(zhi)熟悉傅里葉(xie)變(bian)換(huan)和拉普拉斯(si)變(bian)換(huan)呢？因為復指數(shu)信號(hao)才是描述這個世界的(de)(de)(de)特(te)征函數(shu)！
一個關(guan)于實數離散傅(fu)里(li)葉變換(Real DFT)實例
先來看一個(ge)變換實例(li)，一個(ge)原(yuan)始信(xin)(xin)號的長(chang)度(du)(du)(du)(du)是(shi)16，于是(shi)可(ke)以把這(zhe)個(ge)信(xin)(xin)號分解(jie)9個(ge)余弦(xian)波和9個(ge)正(zheng)弦(xian)波（一個(ge)長(chang)度(du)(du)(du)(du)為N的信(xin)(xin)號可(ke)以分解(jie)成N/2+1個(ge)正(zheng)余弦(xian)信(xin)(xin)號，這(zhe)是(shi)為什么呢？結合(he)下面(mian)的18個(ge)正(zheng)余弦(xian)圖,我想從(cong)計算機(ji)處(chu)理精度(du)(du)(du)(du)上就不難理解(jie)，一個(ge)長(chang)度(du)(du)(du)(du)為N的信(xin)(xin)號，最多只能有N/2+1個(ge)不同頻率，再(zai)多的頻率就超過了計算機(ji)所能所處(chu)理的精度(du)(du)(du)(du)范圍），如(ru)下圖：
9個正弦信號：
9個余弦信號：
把以(yi)上(shang)所有(you)信號相(xiang)加(jia)即可得到原始(shi)信號，至(zhi)于是(shi)怎么(me)分別變換(huan)出9種不同頻率信號的，我們先(xian)不急，先(xian)看(kan)看(kan)對(dui)于以(yi)上(shang)的變換(huan)結果(guo)，在程序中又是(shi)該怎么(me)表(biao)示的，我們可以(yi)看(kan)看(kan)下面(mian)這個示例圖：
上圖(tu)中(zhong)左(zuo)(zuo)邊(bian)表(biao)示(shi)時(shi)域中(zhong)的(de)信(xin)號(hao)，右邊(bian)是(shi)頻(pin)域信(xin)號(hao)表(biao)示(shi)方(fang)法，從左(zuo)(zuo)向(xiang)右表(biao)示(shi)正(zheng)向(xiang)轉換(Forward DFT)，從右向(xiang)左(zuo)(zuo)表(biao)示(shi)逆向(xiang)轉換(Inverse DFT)，用(yong)小(xiao)寫(xie)x[]表(biao)示(shi)信(xin)號(hao)在每個時(shi)間(jian)點上的(de)幅度(du)(du)值(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)組(zu), 用(yong)大寫(xie)X[]表(biao)示(shi)每種頻(pin)率(lv)的(de)幅度(du)(du)值(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)組(zu), 因為(wei)(wei)有(you)N/2+1種頻(pin)率(lv)，所(suo)以該(gai)數(shu)(shu)(shu)(shu)組(zu)長度(du)(du)為(wei)(wei)N/2+1，X[]數(shu)(shu)(shu)(shu)組(zu)又(you)分兩種，一(yi)種是(shi)表(biao)示(shi)余弦(xian)波的(de)不同頻(pin)率(lv)幅度(du)(du)值(zhi)：Re X[]，另一(yi)種是(shi)表(biao)示(shi)正(zheng)弦(xian)波的(de)不同頻(pin)率(lv)幅度(du)(du)值(zhi)：Im X[]，Re是(shi)實數(shu)(shu)(shu)(shu)(Real)的(de)意思，Im是(shi)虛數(shu)(shu)(shu)(shu)(Imagine)的(de)意思，采用(yong)復數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)表(biao)示(shi)方(fang)法把正(zheng)余弦(xian)波組(zu)合(he)起(qi)來進行表(biao)示(shi)，但(dan)這(zhe)里(li)我(wo)們不考慮復數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)其(qi)它作用(yong)，只記住是(shi)一(yi)種組(zu)合(he)方(fang)法而(er)已，目的(de)是(shi)為(wei)(wei)了便于表(biao)達（在后面我(wo)們會知道，復數(shu)(shu)(shu)(shu)形式的(de)傅里(li)葉變(bian)換長度(du)(du)是(shi)N，而(er)不是(shi)N/2+1）。
FFT是(shi)(shi)離(li)散傅(fu)里(li)葉變換(huan)(huan)的(de)快速算法，可以將一個信(xin)號(hao)變換(huan)(huan)到頻域。有些信(xin)號(hao)在(zai)時域上是(shi)(shi)很難看(kan)出(chu)什么特征的(de)，但是(shi)(shi)如果變換(huan)(huan)到頻域之后，就(jiu)很容易看(kan)出(chu)特征了(le)。這就(jiu)是(shi)(shi)很多信(xin)號(hao)分析采用(yong)FFT變換(huan)(huan)的(de)原因。另外，FFT可以將一個信(xin)號(hao)的(de)頻譜(pu)提取出(chu)來，這在(zai)頻譜(pu)分析方面也是(shi)(shi)經常用(yong)的(de)。
FFT結果(guo)的具體物理意(yi)義。一(yi)個模擬信(xin)(xin)號(hao)，經過ADC采樣(yang)(yang)之后，就變成(cheng)了數字信(xin)(xin)號(hao)。采樣(yang)(yang)定理告訴我們(men)，采樣(yang)(yang)頻率要大于信(xin)(xin)號(hao)頻率的兩倍。
采(cai)樣得到(dao)的數字信號，就可以(yi)做FFT變換了(le)(le)。N個(ge)采(cai)樣點，經過(guo)FFT之后(hou)，就可以(yi)得到(dao)N個(ge)點的FFT結果。為(wei)了(le)(le)方便進行FFT運算，通常(chang)N取(qu)2的整數次方。
假設采(cai)樣(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為Fs，信號(hao)(hao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)F，采(cai)樣(yang)(yang)點(dian)數(shu)為N。那(nei)么FFT之后結(jie)果(guo)(guo)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)為N點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)復數(shu)。每(mei)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)對應著一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)點(dian)。這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)模值(zhi)，就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是該頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)值(zhi)下的(de)(de)(de)(de)(de)幅度特性。具體跟原始(shi)信號(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)幅度有什么關系(xi)呢？假設原始(shi)信號(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)峰值(zhi)為A，那(nei)么FFT的(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)每(mei)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)（除了第(di)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)直(zhi)流分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)之外）的(de)(de)(de)(de)(de)模值(zhi)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是A的(de)(de)(de)(de)(de)N/2倍。而(er)第(di)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是直(zhi)流分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)，它的(de)(de)(de)(de)(de)模值(zhi)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是直(zhi)流分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)N倍。而(er)每(mei)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位(wei)呢，就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是在(zai)(zai)該頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)下的(de)(de)(de)(de)(de)信號(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位(wei)。第(di)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)表(biao)示(shi)直(zhi)流分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)（即0Hz），而(er)最(zui)后一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)N的(de)(de)(de)(de)(de)再(zai)下一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)（實際上這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)是不存在(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)(de)，這(zhe)里是假設的(de)(de)(de)(de)(de)第(di)N+1個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)，也可以看(kan)做是將第(di)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)分(fen)(fen)(fen)(fen)做兩半分(fen)(fen)(fen)(fen)，另一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)半移到最(zui)后）則(ze)(ze)表(biao)示(shi)采(cai)樣(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)Fs，這(zhe)中間(jian)被N-1個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)平均分(fen)(fen)(fen)(fen)成N等(deng)份(fen)，每(mei)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)依(yi)次增加。例如某點(dian)n所(suo)表(biao)示(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的(de)(de)(de)(de)(de)公式(shi)可以看(kan)出(chu)，Fn所(suo)能分(fen)(fen)(fen)(fen)辨到頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為為Fs/N，如果(guo)(guo)采(cai)樣(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)Fs為1024Hz，采(cai)樣(yang)(yang)點(dian)數(shu)為1024點(dian)，則(ze)(ze)可以分(fen)(fen)(fen)(fen)辨到1Hz。1024Hz的(de)(de)(de)(de)(de)采(cai)樣(yang)(yang)率(lv)(lv)(lv)(lv)采(cai)樣(yang)(yang)1024點(dian)，剛好是1秒，也就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是說，采(cai)樣(yang)(yang)1秒時(shi)間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)信號(hao)(hao)并(bing)(bing)做FFT，則(ze)(ze)結(jie)果(guo)(guo)可以分(fen)(fen)(fen)(fen)析到1Hz，如果(guo)(guo)采(cai)樣(yang)(yang)2秒時(shi)間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)信號(hao)(hao)并(bing)(bing)做FFT，則(ze)(ze)結(jie)果(guo)(guo)可以分(fen)(fen)(fen)(fen)析到0.5Hz。如果(guo)(guo)要提(ti)高頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)辨力，則(ze)(ze)必須增加采(cai)樣(yang)(yang)點(dian)數(shu)，也即采(cai)樣(yang)(yang)時(shi)間(jian)。頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)辨率(lv)(lv)(lv)(lv)和采(cai)樣(yang)(yang)時(shi)間(jian)是倒數(shu)關系(xi)。
假設FFT之后某(mou)點(dian)n用復數(shu)a+bi表(biao)示(shi)，那(nei)么(me)這(zhe)個復數(shu)的(de)(de)(de)模(mo)就(jiu)是(shi)An=根(gen)號a*a+b*b，相位就(jiu)是(shi)Pn=atan2(b,a)。根(gen)據以上的(de)(de)(de)結(jie)果(guo)，就(jiu)可以計(ji)算出n點(dian)（n≠1，且n<=N/2）對應的(de)(de)(de)信(xin)號的(de)(de)(de)表(biao)達式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對于(yu)(yu)n=1點(dian)的(de)(de)(de)信(xin)號，是(shi)直流分(fen)(fen)量，幅度即為A1/N。由于(yu)(yu)FFT結(jie)果(guo)的(de)(de)(de)對稱(cheng)性，通常我們只(zhi)使用前(qian)半(ban)部分(fen)(fen)的(de)(de)(de)結(jie)果(guo)，即小于(yu)(yu)采樣頻率一半(ban)的(de)(de)(de)結(jie)果(guo)。
下面以(yi)(yi)一個(ge)(ge)(ge)實(shi)(shi)際的(de)(de)信號(hao)來做說明。假設我們(men)(men)有一個(ge)(ge)(ge)信號(hao)，它含有2V的(de)(de)直(zhi)流(liu)分量，頻(pin)率(lv)為50Hz、相位為-30度(du)(du)、幅(fu)度(du)(du)為3V的(de)(de)交流(liu)信號(hao)，以(yi)(yi)及一個(ge)(ge)(ge)頻(pin)率(lv)為75Hz、相位為90度(du)(du)、幅(fu)度(du)(du)為1.5V的(de)(de)交流(liu)信號(hao)。用數學表達式(shi)就(jiu)是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式(shi)中cos參(can)數為弧(hu)度(du)(du)，所(suo)以(yi)(yi)-30度(du)(du)和90度(du)(du)要分別(bie)換算成弧(hu)度(du)(du)。我們(men)(men)以(yi)(yi)256Hz的(de)(de)采樣(yang)(yang)率(lv)對這個(ge)(ge)(ge)信號(hao)進行(xing)采樣(yang)(yang)，總共采樣(yang)(yang)256點(dian)。按照(zhao)我們(men)(men)上面的(de)(de)分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們(men)(men)可以(yi)(yi)知(zhi)道，每兩個(ge)(ge)(ge)點(dian)之間的(de)(de)間距就(jiu)是1Hz，第(di)n個(ge)(ge)(ge)點(dian)的(de)(de)頻(pin)率(lv)就(jiu)是n-1。我們(men)(men)的(de)(de)信號(hao)有3個(ge)(ge)(ge)頻(pin)率(lv)：0Hz、50Hz、75Hz，應(ying)該(gai)分別(bie)在(zai)第(di)1個(ge)(ge)(ge)點(dian)、第(di)51個(ge)(ge)(ge)點(dian)、第(di)76個(ge)(ge)(ge)點(dian)上出(chu)現峰(feng)值，其它各點(dian)應(ying)該(gai)接近0。實(shi)(shi)際情況如何呢？我們(men)(men)來看看FFT的(de)(de)結果的(de)(de)模值如圖所(suo)示。
從圖中我們可以(yi)看到，在第1點(dian)、第51點(dian)、和第76點(dian)附近(jin)有比較大的(de)值。我們分(fen)別將這三個點(dian)附近(jin)的(de)數據拿上來細看：
1點(dian)： 512+0i
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點(dian)： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點：332.55 - 192i
52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點：3.4315E-12 + 192i
77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明顯，1點(dian)、51點(dian)、76點(dian)的(de)值都(dou)比(bi)較大(da)，它(ta)附(fu)近的(de)點(dian)值都(dou)很小，可以(yi)認(ren)為是(shi)0，即在(zai)那些頻率點(dian)上的(de)信號幅度為0。接著，我們來(lai)計(ji)算(suan)各點(dian)的(de)幅度值。分別計(ji)算(suan)這(zhe)三個點(dian)的(de)模(mo)值，結果(guo)如下：
1點： 512
51點：384
76點：192
按照公式，可以計算出直流分(fen)量為(wei)：512/N=512/256=2；50Hz信號(hao)(hao)的幅度(du)為(wei)：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號(hao)(hao)的幅度(du)為(wei)192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分(fen)析出來的幅度(du)是正確的。
然后再(zai)來計(ji)(ji)算(suan)相(xiang)(xiang)位(wei)信(xin)息。直(zhi)流信(xin)號沒有(you)相(xiang)(xiang)位(wei)可(ke)言，不用管它。先(xian)計(ji)(ji)算(suan)50Hz信(xin)號的(de)(de)相(xiang)(xiang)位(wei)，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是(shi)(shi)弧(hu)度，換(huan)(huan)算(suan)為角度就(jiu)是(shi)(shi)180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再(zai)計(ji)(ji)算(suan)75Hz信(xin)號的(de)(de)相(xiang)(xiang)位(wei)，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧(hu)度，換(huan)(huan)算(suan)成角度就(jiu)是(shi)(shi)180*1.5708/pi=90.0002。可(ke)見，相(xiang)(xiang)位(wei)也是(shi)(shi)對的(de)(de)。根(gen)據FFT結果以及上(shang)面的(de)(de)分析計(ji)(ji)算(suan)，我們就(jiu)可(ke)以寫出信(xin)號的(de)(de)表達式了，它就(jiu)是(shi)(shi)我們開始提供的(de)(de)信(xin)號。
總結：假(jia)設采(cai)樣(yang)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)為(wei)(wei)Fs，采(cai)樣(yang)點(dian)(dian)數(shu)(shu)為(wei)(wei)N，做(zuo)FFT之后(hou)，某一(yi)點(dian)(dian)n（n從(cong)1開始(shi)）表示(shi)的(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)為(wei)(wei)：Fn=(n-1)*Fs/N；該(gai)點(dian)(dian)的(de)模值(zhi)除以N/2就是對(dui)應該(gai)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)下的(de)信(xin)(xin)號的(de)幅度(du)(du)（對(dui)于(yu)直(zhi)流信(xin)(xin)號是除以N）；該(gai)點(dian)(dian)的(de)相(xiang)位(wei)即是對(dui)應該(gai)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)下的(de)信(xin)(xin)號的(de)相(xiang)位(wei)。相(xiang)位(wei)的(de)計算可(ke)用函數(shu)(shu)atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求坐標為(wei)(wei)(a,b)點(dian)(dian)的(de)角度(du)(du)值(zhi)，范(fan)圍從(cong)-pi到(dao)pi。要(yao)精確到(dao)xHz，則需(xu)要(yao)采(cai)樣(yang)長(chang)度(du)(du)為(wei)(wei)1/x秒的(de)信(xin)(xin)號，并做(zuo)FFT。要(yao)提(ti)高(gao)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)分(fen)(fen)辨率(lv)(lv)，就需(xu)要(yao)增加采(cai)樣(yang)點(dian)(dian)數(shu)(shu)，這在一(yi)些實際的(de)應用中是不(bu)現(xian)實的(de)，需(xu)要(yao)在較短(duan)的(de)時間內(nei)完成(cheng)分(fen)(fen)析。解決這個(ge)問題的(de)方(fang)法(fa)有頻(pin)(pin)率(lv)(lv)細分(fen)(fen)法(fa)，比較簡單的(de)方(fang)法(fa)是采(cai)樣(yang)比較短(duan)時間的(de)信(xin)(xin)號，然(ran)后(hou)在后(hou)面補充一(yi)定(ding)數(shu)(shu)量的(de)0，使(shi)其長(chang)度(du)(du)達到(dao)需(xu)要(yao)的(de)點(dian)(dian)數(shu)(shu)，再做(zuo)FFT，這在一(yi)定(ding)程度(du)(du)上能夠提(ti)高(gao)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)分(fen)(fen)辨力(li)。具體的(de)頻(pin)(pin)率(lv)(lv)細分(fen)(fen)法(fa)可(ke)參考相(xiang)關(guan)文獻。
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