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復變函數(shu)(shu)中，e^(ix)=(cos x+isin x)稱為歐(ou)拉(la)公式(shi)，e是自(zi)然對數(shu)(shu)的底，i是虛(xu)數(shu)(shu)單位。

拓撲學中，在(zai)任(ren)何一(yi)個規則(ze)球面(mian)地圖上，用R記區(qu)域個數(shu)(shu)，V記頂點個數(shu)(shu)，E記邊界(jie)個數(shu)(shu)，則(ze)R+V-E=2，這就是歐(ou)(ou)拉(la)定(ding)理(li)，它于1640年(nian)由Descartes首先給出(chu)證明，后來Euler(歐(ou)(ou)拉(la))于1752年(nian)又獨立地給出(chu)證明，我(wo)們稱(cheng)(cheng)其為歐(ou)(ou)拉(la)定(ding)理(li)，在(zai)國(guo)外也有人(ren)稱(cheng)(cheng)其為Descartes定(ding)理(li)。

復變函數

把復(fu)指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)函數(shu)(shu)(shu)與三角函數(shu)(shu)(shu)聯系起來的(de)一個公式，，e是(shi)自然(ran)對數(shu)(shu)(shu)的(de)底，i是(shi)虛數(shu)(shu)(shu)單(dan)位。它(ta)將指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)函數(shu)(shu)(shu)的(de)定義(yi)域擴大(da)到復(fu)數(shu)(shu)(shu)，建立了(le)三角函數(shu)(shu)(shu)和指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)函數(shu)(shu)(shu)的(de)關系，它(ta)不僅出現在數(shu)(shu)(shu)學分析里，而且在復(fu)變(bian)函數(shu)(shu)(shu)論里也占有非常重要的(de)地(di)位，更被譽為“數(shu)(shu)(shu)學中的(de)天橋(qiao)”。

拓撲學

拓撲學又稱(cheng)“連(lian)續幾何學”。

幾(ji)何(he)(he)學的(de)一門分科。研究幾(ji)何(he)(he)圖形經過連續(xu)形變(bian)后仍能保(bao)持(chi)的(de)性質。包括點集拓撲、代數拓撲、微分拓撲等(deng)分支。

在(zai)代數拓(tuo)撲(pu)中，歐拉示(shi)性(xing)數（Euler characteristic）是(shi)一(yi)個拓(tuo)撲(pu)不(bu)變量（事實上，是(shi)同(tong)倫不(bu)變量），對于一(yi)大類(lei)拓(tuo)撲(pu)空間有定義。它通常記作(zuo)。

二維拓撲(pu)多面體的歐拉示性數可以用以下(xia)公式計算：

其中V、E和(he)F分(fen)別是(shi)點、邊和(he)面(mian)(mian)的(de)個(ge)(ge)數。 特(te)別的(de)有，對于所有和(he)一個(ge)(ge)球面(mian)(mian)同胚的(de)多面(mian)(mian)體，我們有

拓撲學中歐拉公式的證明

用數學歸納法證明

(1)當R=2時，由說明1,這兩(liang)(liang)個(ge)區域可想象為(wei)以赤(chi)道(dao)為(wei)邊界的兩(liang)(liang)個(ge)半球面，赤(chi)道(dao)上有兩(liang)(liang)個(ge)“頂點”將赤(chi)道(dao)分成兩(liang)(liang)條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,歐拉定(ding)理(li)成立.。

(2)設(she)R=m(m≥2)時(shi)歐拉定(ding)理成立，下面證(zheng)明R=m+1時(shi)歐拉定(ding)理也(ye)成立。

由說明2，我們在(zai)R=m+1的(de)(de)(de)(de)地圖上任選一(yi)(yi)個區(qu)域(yu)X，則X必有與它如此相鄰的(de)(de)(de)(de)區(qu)域(yu)Y，使得在(zai)去(qu)(qu)掉(diao)(diao)(diao)X和Y之間的(de)(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)一(yi)(yi)條(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)后，地圖上只(zhi)(zhi)有m個區(qu)域(yu)了；在(zai)去(qu)(qu)掉(diao)(diao)(diao)X和Y之間的(de)(de)(de)(de)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)后，若原該(gai)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)兩端的(de)(de)(de)(de)頂(ding)點(dian)(dian)現在(zai)都還是3條(tiao)或(huo)(huo)3條(tiao)以上邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)頂(ding)點(dian)(dian)，則該(gai)頂(ding)點(dian)(dian)保留(liu)，同時其他的(de)(de)(de)(de)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)數不(bu)變;若原該(gai)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)一(yi)(yi)端或(huo)(huo)兩端的(de)(de)(de)(de)頂(ding)點(dian)(dian)現在(zai)成為2條(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)頂(ding)點(dian)(dian)，則去(qu)(qu)掉(diao)(diao)(diao)該(gai)頂(ding)點(dian)(dian)，該(gai)頂(ding)點(dian)(dian)兩邊(bian)(bian)的(de)(de)(de)(de)兩條(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)便成為一(yi)(yi)條(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)。于(yu)是，在(zai)去(qu)(qu)掉(diao)(diao)(diao)X和Y之間的(de)(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)一(yi)(yi)條(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)時只(zhi)(zhi)有三(san)種(zhong)情(qing)況：

①減少(shao)一個(ge)區域和一條邊界；

②減少一個(ge)區域、一個(ge)頂點(dian)和兩條邊界；

③減少一個區域、兩個頂點和(he)三條邊(bian)界(jie)；

即在(zai)去(qu)掉X和Y之間(jian)的(de)(de)(de)邊界(jie)時，不論何種(zhong)情(qing)況都必定(ding)有(you)“減少的(de)(de)(de)區域數(shu)(shu)(shu)+減少的(de)(de)(de)頂(ding)點數(shu)(shu)(shu)=減少的(de)(de)(de)邊界(jie)數(shu)(shu)(shu)”我們將上(shang)述過程(cheng)反過來(即將X和Y之間(jian)去(qu)掉的(de)(de)(de)邊界(jie)又照原(yuan)樣畫上(shang))，就又成(cheng)為R= m+ 1的(de)(de)(de)地圖(tu)了，在(zai)這一過程(cheng)中必然是“增加(jia)的(de)(de)(de)區域數(shu)(shu)(shu)+ 增加(jia)的(de)(de)(de)頂(ding)點數(shu)(shu)(shu) = 增加(jia)的(de)(de)(de)邊界(jie)數(shu)(shu)(shu)”。

因此 ，若 R= m (m≥2)時歐拉定(ding)理成(cheng)立 ，則 R= m+ 1時歐拉定(ding)理也成(cheng)立.。

由(1)和(2)可知，對于任何正整(zheng)數R≥2,歐(ou)拉(la)定理成(cheng)立。

柯西的證明

第一個歐拉公式的嚴格證明，由20歲的柯(ke)西給出，大致如(ru)下：

從多面體(ti)去掉一(yi)面，通過把去掉的(de)(de)(de)面的(de)(de)(de)邊(bian)互相拉遠(yuan)，把所有剩下的(de)(de)(de)面變(bian)成點(dian)和(he)曲線的(de)(de)(de)平(ping)面網(wang)(wang)絡。不(bu)(bu)失(shi)一(yi)般性，可以假設(she)變(bian)形(xing)的(de)(de)(de)邊(bian)繼續保持為(wei)直線段(duan)。正(zheng)常(chang)的(de)(de)(de)面不(bu)(bu)再是(shi)正(zheng)常(chang)的(de)(de)(de)多邊(bian)形(xing)即使開始的(de)(de)(de)時(shi)候它們是(shi)正(zheng)常(chang)的(de)(de)(de)。但是(shi)，點(dian)，邊(bian)和(he)面的(de)(de)(de)個數保持不(bu)(bu)變(bian)，和(he)給定多面體(ti)的(de)(de)(de)一(yi)樣(移去的(de)(de)(de)面對應網(wang)(wang)絡的(de)(de)(de)外部。)

重復一系列可(ke)以(yi)簡化網絡卻不改變(bian)其歐拉(la)數（也是歐拉(la)示性數）的額外變(bian)換。

若有一(yi)個多(duo)邊(bian)形面(mian)(mian)有3條邊(bian)以上(shang)，我(wo)們劃一(yi)個對角線。這增加一(yi)條邊(bian)和一(yi)個面(mian)(mian)。繼(ji)續增加邊(bian)直到所(suo)有面(mian)(mian)都是三角形。

除(chu)掉只有(you)一條邊和(he)外部相鄰(lin)的三角形(xing)。這(zhe)把(ba)邊和(he)面的個(ge)數各減一而(er)保(bao)持頂點數不變(bian)。

（逐個）除去所有和網絡外部(bu)共(gong)享(xiang)兩(liang)條邊的三角形。這會減少一(yi)個頂點、兩(liang)條邊和一(yi)個面。

重復(fu)使(shi)用第2步(bu)和(he)第3步(bu)直到只剩一個三角形(xing)。對(dui)于一個三角形(xing)（把外部數(shu)在內），。所以。

推理證明

設(she)想這個多面(mian)(mian)體(ti)是(shi)先有一(yi)個面(mian)(mian)，然后將其他(ta)各(ge)面(mian)(mian)一(yi)個接一(yi)個地添裝上去的.因為一(yi)共有F個面(mian)(mian)，因此要(yao)添(F-1)個面(mian)(mian).

考察第Ⅰ個面，設它是n邊(bian)形，有n個頂(ding)(ding)點(dian)(dian)，n條邊(bian)，這時E=V，即棱數(shu)等于(yu)頂(ding)(ding)點(dian)(dian)數(shu).

添上(shang)第(di)(di)Ⅱ個(ge)面(mian)后(hou)，因為一條棱與原來的棱重(zhong)合，而且(qie)有兩個(ge)頂點(dian)和第(di)(di)Ⅰ個(ge)面(mian)的兩個(ge)頂點(dian)重(zhong)合，所以增(zeng)加的棱數比增(zeng)加的頂點(dian)數多1，因此，這時(shi)E=V+1.

以后每增添一個面，總是增加(jia)的(de)棱(leng)數(shu)比增加(jia)的(de)頂點數(shu)多1，例如

增添兩個面后，有關系E=V+2;

增添三個面(mian)后，有(you)關系E=V+3;

……

增添(F-2)個面后(hou)，有關系(xi)E=V+(F-2).

最后增添一個(ge)面后，就成(cheng)為(wei)多面體，這時棱數和頂點數都(dou)沒(mei)有增加.因此，關系式仍(reng)為(wei)E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

這(zhe)個(ge)公式(shi)叫做歐拉公式(shi).它表明2這(zhe)個(ge)數是簡單多面體表面在連續變形下(xia)不變的數。

分式

當(dang)r=0或1時(shi)(shi)式子的值為(wei)0，當(dang)r=2時(shi)(shi)值為(wei)1，當(dang)r=3時(shi)(shi)值為(wei)a+b+c。

平面幾何

設△ABC的外心(xin)為(wei)O，內心(xin)為(wei)I，外接圓半徑為(wei)R，內切(qie)圓半徑為(wei)r，又記外心(xin)、內心(xin)的距離OI為(wei)d，則有

（1）式稱為歐拉公式。

為了證明（1）式(shi)，我們現(xian)將它改成

（2）式左邊是(shi)點(dian)I對于⊙O的冪：過(guo)圓(yuan)內任(ren)一點(dian)P的弦被(bei)P分(fen)成兩個(ge)部(bu)分(fen)，這(zhe)兩個(ge)部(bu)分(fen)的乘積是(shi)一個(ge)定值，稱為P關(guan)于⊙O的冪。事實上，如果將OI延長交圓(yuan)于E、F，那么

因此，設AI交⊙O于M，則

因此，只需證明

或寫成比例式

為(wei)了證(zheng)明(ming)（5）式，應當尋找(zhao)兩個(ge)(ge)相似的(de)三角形(xing)。一個(ge)(ge)以(yi)長IA、r為(wei)邊(bian)(bian)；另(ling)一個(ge)(ge)以(yi)長2R、MI為(wei)邊(bian)(bian)。前一個(ge)(ge)不難找(zhao)，△IDA就(jiu)是(shi)，D是(shi)內切圓(yuan)與AC的(de)切點。后一個(ge)(ge)也(ye)(ye)必須(xu)是(shi)直(zhi)角三角形(xing)，所以(yi)一邊(bian)(bian)是(shi)直(zhi)徑ML，另(ling)一個(ge)(ge)頂點也(ye)(ye)應當在圓(yuan)上。△MBL就(jiu)滿足要求(qiu)。

容易證明

因此（5）式(shi)成立，從而（1）式(shi)成立。

因(yin)為，所以由歐拉公式得出(chu)一個副產品(pin)，即(ji)

統計學

特(te)征(zheng)函(han)數(shu)用歐拉公式：隨機(ji)變量(liang)X的特(te)征(zheng)函(han)數(shu)定義為

物理學

眾所周知(zhi)，生活中(zhong)處(chu)處(chu)存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏(chan)繞在樁上(shang)圈數之間的關系。現將歐拉這(zhe)個頗(po)有價值(zhi)的公式列在這(zhe)里：

其中(zhong)，f表(biao)(biao)示(shi)(shi)我們施加的(de)力(li)，F表(biao)(biao)示(shi)(shi)與其對抗的(de)力(li)，e為自然對數的(de)底，k表(biao)(biao)示(shi)(shi)繩(sheng)與樁之間的(de)摩擦(ca)系數，a表(biao)(biao)示(shi)(shi)纏繞轉角，即繩(sheng)索纏繞形成(cheng)的(de)弧長與弧半(ban)徑之比。

圖論

設G為(wei)n階m條邊r個面的(de)連(lian)通(tong)(tong)平面圖(tu)，則n-m+r=2，此(ci)(ci)公(gong)式(shi)稱為(wei)歐(ou)拉公(gong)式(shi)。可以通(tong)(tong)過(guo)歸納法證(zheng)明(ming)，且證(zheng)明(ming)方法和拓(tuo)撲學中的(de)類似，此(ci)(ci)處(chu)略去(qu)。盡管和拓(tuo)撲中的(de)歐(ou)拉公(gong)式(shi)十分相(xiang)似，但(dan)圖(tu)論在(zai)現代一般劃分在(zai)離散數學的(de)研究范疇內，因此(ci)(ci)在(zai)這里單獨列出(chu)。