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復變函數中，e^(ix)=(cos x+isin x)稱為歐拉公式(shi)，e是(shi)自然對數的底，i是(shi)虛數單位。

拓撲學中，在(zai)任何一個規則球面(mian)地圖上，用(yong)R記(ji)區域個數，V記(ji)頂點個數，E記(ji)邊(bian)界(jie)個數，則R+V-E=2，這(zhe)就是歐(ou)拉定(ding)理(li)，它于(yu)1640年由Descartes首先給(gei)出(chu)證(zheng)(zheng)明，后來Euler(歐(ou)拉)于(yu)1752年又獨(du)立地給(gei)出(chu)證(zheng)(zheng)明，我們稱其為(wei)歐(ou)拉定(ding)理(li)，在(zai)國外也有人(ren)稱其為(wei)Descartes定(ding)理(li)。

復變函數

把(ba)復(fu)(fu)(fu)指(zhi)數(shu)(shu)函(han)(han)數(shu)(shu)與(yu)三(san)角函(han)(han)數(shu)(shu)聯系起來的(de)一個公式，，e是(shi)(shi)自然對數(shu)(shu)的(de)底，i是(shi)(shi)虛(xu)數(shu)(shu)單位。它將指(zhi)數(shu)(shu)函(han)(han)數(shu)(shu)的(de)定義域擴大到(dao)復(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)，建立了三(san)角函(han)(han)數(shu)(shu)和(he)指(zhi)數(shu)(shu)函(han)(han)數(shu)(shu)的(de)關系，它不僅(jin)出現(xian)在數(shu)(shu)學分析里(li)，而且在復(fu)(fu)(fu)變函(han)(han)數(shu)(shu)論里(li)也占(zhan)有非常重要的(de)地(di)位，更被(bei)譽(yu)為“數(shu)(shu)學中的(de)天橋(qiao)”。

拓撲學

拓撲學(xue)(xue)又稱“連續幾何學(xue)(xue)”。

幾何學的一門分(fen)(fen)科。研究幾何圖形經過連續形變后仍能(neng)保持的性質(zhi)。包括點集拓(tuo)撲、代數拓(tuo)撲、微分(fen)(fen)拓(tuo)撲等分(fen)(fen)支。

在代數拓撲(pu)中，歐拉(la)示性數（Euler characteristic）是一(yi)個拓撲(pu)不變(bian)量（事實(shi)上，是同(tong)倫不變(bian)量），對于(yu)一(yi)大(da)類拓撲(pu)空間有(you)定義。它(ta)通常記作。

二維(wei)拓撲多(duo)面(mian)體的(de)歐拉示性數可以(yi)用以(yi)下公式計算：

其中V、E和F分別是點、邊和面的(de)個(ge)數。 特別的(de)有(you)，對于(yu)所(suo)有(you)和一個(ge)球面同胚的(de)多面體，我們有(you)

拓撲學中歐拉公式的證明

用數學歸納法證明

(1)當R=2時，由說明(ming)1,這兩個區域可想象為以(yi)赤道(dao)為邊界(jie)的兩個半球面，赤道(dao)上(shang)有(you)兩個“頂點”將赤道(dao)分(fen)成兩條“邊界(jie)”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于(yu)是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立(li).。

(2)設R=m(m≥2)時歐(ou)拉定理成(cheng)立，下面證明R=m+1時歐(ou)拉定理也成(cheng)立。

由說明2，我們在(zai)R=m+1的(de)地圖(tu)上任(ren)選一(yi)(yi)個區(qu)(qu)域(yu)X，則X必有(you)與它如此相鄰的(de)區(qu)(qu)域(yu)Y，使(shi)得在(zai)去(qu)(qu)掉(diao)X和Y之(zhi)間的(de)唯一(yi)(yi)一(yi)(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)后，地圖(tu)上只有(you)m個區(qu)(qu)域(yu)了；在(zai)去(qu)(qu)掉(diao)X和Y之(zhi)間的(de)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)后，若原(yuan)該(gai)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)兩(liang)(liang)端的(de)頂點(dian)(dian)現在(zai)都還是3條(tiao)(tiao)(tiao)或3條(tiao)(tiao)(tiao)以(yi)上邊(bian)界(jie)(jie)(jie)的(de)頂點(dian)(dian)，則該(gai)頂點(dian)(dian)保留，同時其他(ta)的(de)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)數不變(bian);若原(yuan)該(gai)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)一(yi)(yi)端或兩(liang)(liang)端的(de)頂點(dian)(dian)現在(zai)成為2條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)的(de)頂點(dian)(dian)，則去(qu)(qu)掉(diao)該(gai)頂點(dian)(dian)，該(gai)頂點(dian)(dian)兩(liang)(liang)邊(bian)的(de)兩(liang)(liang)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)便(bian)成為一(yi)(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)。于是，在(zai)去(qu)(qu)掉(diao)X和Y之(zhi)間的(de)唯一(yi)(yi)一(yi)(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)時只有(you)三種(zhong)情況：

①減少一(yi)(yi)個區域和(he)一(yi)(yi)條邊界；

②減少一個區(qu)域、一個頂點和兩(liang)條(tiao)邊界；

③減少一(yi)個區域、兩(liang)個頂點和三條邊界；

即(ji)在去(qu)掉X和Y之間的(de)(de)(de)邊(bian)界(jie)時，不論何種(zhong)情況都必(bi)定有(you)“減少的(de)(de)(de)區(qu)域數(shu)+減少的(de)(de)(de)頂(ding)點數(shu)=減少的(de)(de)(de)邊(bian)界(jie)數(shu)”我們將(jiang)上(shang)述(shu)過程(cheng)反過來(即(ji)將(jiang)X和Y之間去(qu)掉的(de)(de)(de)邊(bian)界(jie)又(you)照原樣畫上(shang))，就又(you)成為(wei)R= m+ 1的(de)(de)(de)地圖(tu)了，在這一過程(cheng)中(zhong)必(bi)然是“增(zeng)加的(de)(de)(de)區(qu)域數(shu)+ 增(zeng)加的(de)(de)(de)頂(ding)點數(shu) = 增(zeng)加的(de)(de)(de)邊(bian)界(jie)數(shu)”。

因此(ci) ，若(ruo) R= m (m≥2)時(shi)歐拉定理(li)成立 ，則 R= m+ 1時(shi)歐拉定理(li)也成立.。

由(you)(1)和(he)(2)可知，對于任何正(zheng)整數R≥2,歐拉定(ding)理成立。

柯西的證明

第一個歐(ou)拉公式(shi)的嚴格(ge)證明，由20歲(sui)的柯西給出，大致(zhi)如下：

從(cong)多(duo)面體(ti)去(qu)掉一(yi)面，通過把去(qu)掉的(de)(de)面的(de)(de)邊互(hu)相拉遠，把所有剩下的(de)(de)面變(bian)成點和曲線的(de)(de)平面網(wang)絡(luo)。不(bu)失一(yi)般(ban)性，可以假設變(bian)形的(de)(de)邊繼續保(bao)持(chi)為(wei)直線段。正常的(de)(de)面不(bu)再是正常的(de)(de)多(duo)邊形即使開(kai)始的(de)(de)時候它們是正常的(de)(de)。但是，點，邊和面的(de)(de)個數保(bao)持(chi)不(bu)變(bian)，和給定多(duo)面體(ti)的(de)(de)一(yi)樣(移去(qu)的(de)(de)面對應網(wang)絡(luo)的(de)(de)外(wai)部。)

重復一(yi)系列可以簡(jian)化網絡卻不改變其歐拉數（也是(shi)歐拉示性數）的額外變換(huan)。

若有(you)一個(ge)多邊(bian)形面有(you)3條邊(bian)以上，我們(men)劃一個(ge)對(dui)角線。這增加一條邊(bian)和一個(ge)面。繼續增加邊(bian)直到所有(you)面都是三角形。

除掉只有(you)一條(tiao)邊(bian)和(he)外部相鄰的三角形。這把邊(bian)和(he)面的個數各減一而(er)保持(chi)頂(ding)點數不變。

（逐個(ge)）除去所有和(he)網(wang)絡外部共享(xiang)兩條邊的(de)三角形(xing)。這(zhe)會(hui)減少一(yi)個(ge)頂點、兩條邊和(he)一(yi)個(ge)面。

重復(fu)使用(yong)第2步(bu)和第3步(bu)直(zhi)到只剩一(yi)個三角(jiao)形(xing)。對于一(yi)個三角(jiao)形(xing)（把外部數在內），。所(suo)以。

推理證明

設想這個多面(mian)體是先有(you)一(yi)個面(mian)，然后(hou)將其他各(ge)面(mian)一(yi)個接(jie)一(yi)個地(di)添裝上去的.因為一(yi)共有(you)F個面(mian)，因此要添(F-1)個面(mian).

考察(cha)第Ⅰ個(ge)面，設它(ta)是n邊形，有n個(ge)頂點，n條(tiao)邊，這(zhe)時E=V，即棱數等于頂點數.

添(tian)上第Ⅱ個(ge)面后，因為一條棱(leng)與原來的棱(leng)重合(he)，而且有兩(liang)個(ge)頂(ding)點和第Ⅰ個(ge)面的兩(liang)個(ge)頂(ding)點重合(he)，所以增(zeng)加的棱(leng)數比增(zeng)加的頂(ding)點數多(duo)1，因此(ci)，這時E=V+1.

以(yi)后每增添(tian)一個面，總是增加(jia)的棱數比增加(jia)的頂(ding)點數多1，例如

增添兩個面后，有關(guan)系(xi)E=V+2;

增添三個面后，有關系E=V+3;

……

增添(F-2)個面后，有(you)關系E=V+(F-2).

最后增添一個面后，就成為(wei)多面體(ti)，這(zhe)時棱數(shu)和頂點數(shu)都(dou)沒有增加.因此(ci)，關系(xi)式仍為(wei)E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

這個公(gong)(gong)式叫(jiao)做歐拉公(gong)(gong)式.它表明2這個數(shu)是簡單(dan)多面體表面在連續變形下不變的數(shu)。

分式

當(dang)(dang)r=0或(huo)1時式(shi)子的值(zhi)為0，當(dang)(dang)r=2時值(zhi)為1，當(dang)(dang)r=3時值(zhi)為a+b+c。

平面幾何

設△ABC的外心(xin)(xin)(xin)為O，內心(xin)(xin)(xin)為I，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，又記外心(xin)(xin)(xin)、內心(xin)(xin)(xin)的距(ju)離(li)OI為d，則有

（1）式稱為歐拉公(gong)式。

為了證(zheng)明（1）式，我們現(xian)將它(ta)改成

（2）式(shi)左邊是(shi)點I對于⊙O的冪：過圓(yuan)(yuan)內任(ren)一點P的弦被P分成兩個部分，這兩個部分的乘積(ji)是(shi)一個定值，稱(cheng)為P關于⊙O的冪。事實上，如果將OI延(yan)長交圓(yuan)(yuan)于E、F，那么

因此(ci)，設AI交⊙O于M，則

因此，只需證明

或寫成比例式

為(wei)了證明(ming)（5）式，應當尋(xun)找兩個相似的(de)三角形。一(yi)(yi)(yi)個以長(chang)IA、r為(wei)邊；另一(yi)(yi)(yi)個以長(chang)2R、MI為(wei)邊。前一(yi)(yi)(yi)個不難(nan)找，△IDA就(jiu)是，D是內切圓與AC的(de)切點。后一(yi)(yi)(yi)個也必須是直角三角形，所(suo)以一(yi)(yi)(yi)邊是直徑ML，另一(yi)(yi)(yi)個頂點也應當在圓上。△MBL就(jiu)滿足要(yao)求。

容易證明

因此（5）式成立，從(cong)而（1）式成立。

因為，所以由歐拉公式(shi)得出一(yi)個副產品，即(ji)

統計學

特征(zheng)函(han)數用歐拉(la)公式：隨機變(bian)量X的特征(zheng)函(han)數定義為

物理學

眾所周知(zhi)，生活中(zhong)處處存(cun)在著摩擦力，歐拉(la)測(ce)算出了摩擦力與繩索(suo)纏繞(rao)在樁(zhuang)上(shang)圈數之(zhi)間的關系。現將歐拉(la)這(zhe)個頗(po)有價值的公式列在這(zhe)里(li)：

其中，f表示(shi)(shi)我們(men)施加的(de)(de)(de)力，F表示(shi)(shi)與其對抗的(de)(de)(de)力，e為自然對數(shu)的(de)(de)(de)底，k表示(shi)(shi)繩與樁之間的(de)(de)(de)摩(mo)擦系數(shu)，a表示(shi)(shi)纏(chan)繞(rao)轉(zhuan)角(jiao)，即繩索纏(chan)繞(rao)形成的(de)(de)(de)弧(hu)長與弧(hu)半(ban)徑之比。

圖論

設(she)G為(wei)n階m條邊r個面的連通平(ping)面圖，則n-m+r=2，此公(gong)式稱為(wei)歐(ou)拉公(gong)式。可以通過歸納(na)法(fa)證明，且證明方法(fa)和拓撲學(xue)(xue)中的類似，此處略去。盡管和拓撲中的歐(ou)拉公(gong)式十分(fen)相似，但圖論在(zai)現代(dai)一(yi)般劃分(fen)在(zai)離散(san)數(shu)學(xue)(xue)的研究范(fan)疇內，因此在(zai)這里(li)單獨列出(chu)。