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復變(bian)函數中(zhong)，e^(ix)=(cos x+isin x)稱為歐(ou)拉公式，e是自然(ran)對數的底，i是虛(xu)數單(dan)位。

拓撲(pu)學中(zhong)，在任何(he)一個(ge)規(gui)則球(qiu)面地(di)圖上，用R記區域個(ge)數，V記頂點(dian)個(ge)數，E記邊界個(ge)數，則R+V-E=2，這就是(shi)歐(ou)拉定(ding)理，它于(yu)(yu)1640年由Descartes首先(xian)給出(chu)(chu)證明，后來Euler(歐(ou)拉)于(yu)(yu)1752年又獨立(li)地(di)給出(chu)(chu)證明，我們稱(cheng)其(qi)為歐(ou)拉定(ding)理，在國外(wai)也(ye)有(you)人稱(cheng)其(qi)為Descartes定(ding)理。

復變函數

把復指數(shu)函(han)(han)(han)(han)數(shu)與三角函(han)(han)(han)(han)數(shu)聯系起來(lai)的(de)(de)一個公(gong)式，，e是(shi)自然對數(shu)的(de)(de)底，i是(shi)虛數(shu)單位。它(ta)將(jiang)指數(shu)函(han)(han)(han)(han)數(shu)的(de)(de)定義域擴大到復數(shu)，建立了三角函(han)(han)(han)(han)數(shu)和指數(shu)函(han)(han)(han)(han)數(shu)的(de)(de)關系，它(ta)不僅出現(xian)在數(shu)學(xue)(xue)分析里(li)，而且在復變函(han)(han)(han)(han)數(shu)論里(li)也占有非常(chang)重要的(de)(de)地位，更被譽為“數(shu)學(xue)(xue)中的(de)(de)天橋”。

拓撲學

拓撲學又(you)稱(cheng)“連續幾何學”。

幾何(he)學的一門分(fen)(fen)科。研究幾何(he)圖形(xing)(xing)經過連續形(xing)(xing)變后仍能保持的性質。包(bao)括點集拓(tuo)撲、代數拓(tuo)撲、微分(fen)(fen)拓(tuo)撲等分(fen)(fen)支。

在代數拓撲(pu)中，歐拉示(shi)性數（Euler characteristic）是(shi)一個拓撲(pu)不(bu)變量(liang)（事(shi)實上，是(shi)同倫不(bu)變量(liang)），對于一大類拓撲(pu)空間有定義。它通常記作。

二維拓(tuo)撲(pu)多面(mian)體的歐(ou)拉(la)示(shi)性數可以(yi)用以(yi)下公式計(ji)算：

其中V、E和(he)F分別是點、邊和(he)面的(de)個(ge)數。 特別的(de)有，對(dui)于所有和(he)一個(ge)球面同(tong)胚的(de)多(duo)面體，我們有

拓撲學中歐拉公式的證明

用數學歸納法證明

(1)當R=2時，由(you)說明1,這兩(liang)個(ge)區域可想象為(wei)以赤道為(wei)邊界(jie)的(de)兩(liang)個(ge)半球面，赤道上有兩(liang)個(ge)“頂點”將赤道分成(cheng)兩(liang)條“邊界(jie)”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,歐拉定理成(cheng)立.。

(2)設R=m(m≥2)時歐拉(la)定理成立，下面證明R=m+1時歐拉(la)定理也成立。

由說明(ming)2，我們在(zai)(zai)R=m+1的(de)地(di)圖上任選一(yi)個區域(yu)X，則(ze)(ze)X必有與它(ta)如此相鄰的(de)區域(yu)Y，使得在(zai)(zai)去(qu)掉(diao)X和Y之間(jian)(jian)的(de)唯一(yi)一(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)后(hou)(hou)，地(di)圖上只(zhi)有m個區域(yu)了(le)；在(zai)(zai)去(qu)掉(diao)X和Y之間(jian)(jian)的(de)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)后(hou)(hou)，若(ruo)原該邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)兩端的(de)頂(ding)點現在(zai)(zai)都還是3條(tiao)(tiao)(tiao)或3條(tiao)(tiao)(tiao)以上邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)的(de)頂(ding)點，則(ze)(ze)該頂(ding)點保留，同時其他(ta)的(de)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)數(shu)不變;若(ruo)原該邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)一(yi)端或兩端的(de)頂(ding)點現在(zai)(zai)成為2條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)的(de)頂(ding)點，則(ze)(ze)去(qu)掉(diao)該頂(ding)點，該頂(ding)點兩邊(bian)(bian)的(de)兩條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)便成為一(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)。于是，在(zai)(zai)去(qu)掉(diao)X和Y之間(jian)(jian)的(de)唯一(yi)一(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)時只(zhi)有三種(zhong)情(qing)況：

①減少一(yi)(yi)個區域和一(yi)(yi)條邊界(jie)；

②減少一個區域、一個頂(ding)點和兩(liang)條邊界；

③減少一個區域(yu)、兩個頂點和三條邊界；

即(ji)在(zai)去掉X和Y之間(jian)的(de)邊界(jie)(jie)時，不(bu)論何種情況都必定有“減(jian)少(shao)的(de)區(qu)(qu)域(yu)數(shu)(shu)(shu)+減(jian)少(shao)的(de)頂點(dian)數(shu)(shu)(shu)=減(jian)少(shao)的(de)邊界(jie)(jie)數(shu)(shu)(shu)”我(wo)們將(jiang)上述(shu)過(guo)程反過(guo)來(即(ji)將(jiang)X和Y之間(jian)去掉的(de)邊界(jie)(jie)又(you)照(zhao)原樣畫(hua)上)，就又(you)成為R= m+ 1的(de)地圖(tu)了，在(zai)這(zhe)一過(guo)程中必然是“增(zeng)(zeng)加的(de)區(qu)(qu)域(yu)數(shu)(shu)(shu)+ 增(zeng)(zeng)加的(de)頂點(dian)數(shu)(shu)(shu) = 增(zeng)(zeng)加的(de)邊界(jie)(jie)數(shu)(shu)(shu)”。

因此 ，若 R= m (m≥2)時(shi)歐拉定(ding)理(li)成立 ，則 R= m+ 1時(shi)歐拉定(ding)理(li)也成立.。

由(1)和(he)(2)可知，對于任何正(zheng)整數R≥2,歐(ou)拉定理成立(li)。

柯西的證明

第一個歐拉公式的(de)嚴格證明，由20歲的(de)柯西(xi)給(gei)出，大致(zhi)如(ru)下：

從(cong)多(duo)面(mian)體去掉一面(mian)，通過把去掉的(de)面(mian)的(de)邊(bian)互相拉遠，把所(suo)有剩下的(de)面(mian)變成點和(he)曲線(xian)(xian)的(de)平面(mian)網(wang)絡。不失一般性(xing)，可以假(jia)設變形的(de)邊(bian)繼續保持為直(zhi)線(xian)(xian)段(duan)。正常(chang)的(de)面(mian)不再是正常(chang)的(de)多(duo)邊(bian)形即使開(kai)始(shi)的(de)時候它們是正常(chang)的(de)。但(dan)是，點，邊(bian)和(he)面(mian)的(de)個數保持不變，和(he)給(gei)定多(duo)面(mian)體的(de)一樣(移去的(de)面(mian)對應(ying)網(wang)絡的(de)外部。)

重復一系(xi)列可以(yi)簡化網絡卻不改變其歐(ou)(ou)拉(la)數（也是歐(ou)(ou)拉(la)示性數）的(de)額(e)外變換。

若有(you)一(yi)個多(duo)邊形(xing)(xing)面(mian)有(you)3條邊以上，我們劃一(yi)個對角線。這(zhe)增加一(yi)條邊和一(yi)個面(mian)。繼(ji)續增加邊直(zhi)到所有(you)面(mian)都是三角形(xing)(xing)。

除掉只有(you)一(yi)(yi)條邊和(he)外部相鄰的(de)三角形。這把邊和(he)面的(de)個數(shu)各減一(yi)(yi)而(er)保持頂(ding)點數(shu)不變。

（逐個(ge)）除去所有和網絡外部共(gong)享(xiang)兩條邊(bian)的三角形。這會(hui)減少一個(ge)頂點、兩條邊(bian)和一個(ge)面。

重復使(shi)用第2步和第3步直到只剩一(yi)個三(san)(san)角形(xing)。對于一(yi)個三(san)(san)角形(xing)（把(ba)外(wai)部數在內），。所以。

推理證明

設想這個多面(mian)(mian)體是先有一(yi)個面(mian)(mian)，然(ran)后將(jiang)其他各面(mian)(mian)一(yi)個接一(yi)個地添(tian)裝上去的.因(yin)為(wei)一(yi)共有F個面(mian)(mian)，因(yin)此要添(tian)(F-1)個面(mian)(mian).

考察第Ⅰ個(ge)(ge)面，設它是n邊形，有n個(ge)(ge)頂點，n條(tiao)邊，這時(shi)E=V，即棱(leng)數等于頂點數.

添上第(di)(di)Ⅱ個(ge)(ge)(ge)面后，因為一條(tiao)棱(leng)與(yu)原(yuan)來(lai)的(de)(de)(de)棱(leng)重合，而(er)且有(you)兩(liang)個(ge)(ge)(ge)頂點(dian)(dian)和第(di)(di)Ⅰ個(ge)(ge)(ge)面的(de)(de)(de)兩(liang)個(ge)(ge)(ge)頂點(dian)(dian)重合，所以增加(jia)的(de)(de)(de)棱(leng)數比(bi)增加(jia)的(de)(de)(de)頂點(dian)(dian)數多1，因此，這(zhe)時E=V+1.

以后每增添(tian)一個(ge)面，總是增加(jia)的棱數(shu)比增加(jia)的頂點數(shu)多(duo)1，例如

增添兩(liang)個(ge)面后，有關系E=V+2;

增添三個面后，有關系E=V+3;

……

增(zeng)添(tian)(F-2)個面(mian)后(hou)，有關系E=V+(F-2).

最后增添一(yi)個面后，就成為(wei)多面體，這時棱數(shu)和頂(ding)點(dian)數(shu)都沒有(you)增加(jia).因此(ci)，關系式仍為(wei)E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

這個(ge)公式叫做(zuo)歐(ou)拉公式.它表明2這個(ge)數(shu)是簡(jian)單多面體表面在連續變形下不變的數(shu)。

分式

當r=0或1時式子(zi)的值(zhi)為0，當r=2時值(zhi)為1，當r=3時值(zhi)為a+b+c。

平面幾何

設△ABC的外(wai)心為(wei)O，內心為(wei)I，外(wai)接圓半徑(jing)為(wei)R，內切(qie)圓半徑(jing)為(wei)r，又記(ji)外(wai)心、內心的距離OI為(wei)d，則有(you)

（1）式稱為(wei)歐拉公式。

為了證明（1）式(shi)，我們(men)現將它改成(cheng)

（2）式(shi)左邊是(shi)(shi)點(dian)I對于⊙O的(de)冪：過(guo)圓內任(ren)一(yi)(yi)點(dian)P的(de)弦被P分(fen)成兩個部(bu)分(fen)，這兩個部(bu)分(fen)的(de)乘積是(shi)(shi)一(yi)(yi)個定值，稱為P關于⊙O的(de)冪。事實上，如果(guo)將OI延長交圓于E、F，那么

因此，設AI交⊙O于M，則

因此，只需證明

或寫成比例式

為(wei)了證明（5）式(shi)，應(ying)當尋找兩個(ge)相似的三(san)角形。一(yi)(yi)(yi)個(ge)以長IA、r為(wei)邊(bian)；另一(yi)(yi)(yi)個(ge)以長2R、MI為(wei)邊(bian)。前(qian)一(yi)(yi)(yi)個(ge)不難找，△IDA就(jiu)是(shi)，D是(shi)內切圓(yuan)與(yu)AC的切點。后(hou)一(yi)(yi)(yi)個(ge)也(ye)必須是(shi)直(zhi)角三(san)角形，所以一(yi)(yi)(yi)邊(bian)是(shi)直(zhi)徑(jing)ML，另一(yi)(yi)(yi)個(ge)頂點也(ye)應(ying)當在圓(yuan)上(shang)。△MBL就(jiu)滿足(zu)要求。

容易證明

因此（5）式成立，從而（1）式成立。

因為，所(suo)以由歐拉公(gong)式得出一個(ge)副產(chan)品，即

統計學

特征(zheng)函數用歐拉公式：隨機變量X的特征(zheng)函數定義為

物理學

眾所周知，生活中處(chu)處(chu)存在著摩(mo)擦力(li)，歐(ou)拉(la)測(ce)算出了摩(mo)擦力(li)與繩索纏繞在樁(zhuang)上圈(quan)數之間的關系。現將歐(ou)拉(la)這(zhe)個頗(po)有價值的公式列在這(zhe)里：

其(qi)中，f表示(shi)我們施(shi)加(jia)的力，F表示(shi)與(yu)其(qi)對抗的力，e為自(zi)然(ran)對數的底，k表示(shi)繩與(yu)樁之(zhi)間的摩(mo)擦系數，a表示(shi)纏(chan)繞(rao)(rao)轉角，即繩索纏(chan)繞(rao)(rao)形成的弧長(chang)與(yu)弧半徑之(zhi)比。

圖論

設(she)G為(wei)(wei)n階m條邊(bian)r個面的(de)(de)連通平面圖，則n-m+r=2，此(ci)公(gong)(gong)式稱為(wei)(wei)歐拉公(gong)(gong)式。可以通過歸納法證(zheng)(zheng)明，且(qie)證(zheng)(zheng)明方法和拓撲學中的(de)(de)類似，此(ci)處略(lve)去。盡(jin)管(guan)和拓撲中的(de)(de)歐拉公(gong)(gong)式十(shi)分相(xiang)似，但圖論在現代一般劃(hua)分在離(li)散數學的(de)(de)研究(jiu)范疇(chou)內，因此(ci)在這里單獨列出(chu)。