復變函數(shu)(shu)中,e^(ix)=(cos x+isin x)稱為歐拉(la)公(gong)式,e是(shi)自然對數(shu)(shu)的底,i是(shi)虛數(shu)(shu)單位。
拓(tuo)撲學中,在(zai)任何一個(ge)規則(ze)球面(mian)地(di)圖上,用R記(ji)區域個(ge)數(shu),V記(ji)頂點個(ge)數(shu),E記(ji)邊界個(ge)數(shu),則(ze)R+V-E=2,這(zhe)就是歐(ou)拉(la)(la)定(ding)理,它于1640年(nian)由Descartes首(shou)先給出(chu)證明(ming),后來(lai)Euler(歐(ou)拉(la)(la))于1752年(nian)又獨立(li)地(di)給出(chu)證明(ming),我們稱(cheng)其(qi)為歐(ou)拉(la)(la)定(ding)理,在(zai)國外也有人稱(cheng)其(qi)為Descartes定(ding)理。
把(ba)復指數(shu)(shu)函數(shu)(shu)與(yu)三(san)角函數(shu)(shu)聯(lian)系(xi)起來的一個公式,,e是(shi)自然對數(shu)(shu)的底,i是(shi)虛數(shu)(shu)單位。它將指數(shu)(shu)函數(shu)(shu)的定義域擴大到(dao)復數(shu)(shu),建立了三(san)角函數(shu)(shu)和(he)指數(shu)(shu)函數(shu)(shu)的關系(xi),它不僅出現在數(shu)(shu)學(xue)分(fen)析里(li)(li),而且在復變(bian)函數(shu)(shu)論里(li)(li)也占有非(fei)常重要的地位,更被譽(yu)為“數(shu)(shu)學(xue)中的天橋”。
拓撲(pu)學又稱“連續幾(ji)何學”。
幾何學(xue)的(de)一門(men)分(fen)(fen)科。研究幾何圖(tu)形(xing)經(jing)過連(lian)續形(xing)變后(hou)仍能保(bao)持的(de)性質(zhi)。包括點集拓(tuo)撲(pu)、代(dai)數拓(tuo)撲(pu)、微分(fen)(fen)拓(tuo)撲(pu)等(deng)分(fen)(fen)支(zhi)。
在代數(shu)拓(tuo)(tuo)撲(pu)(pu)中,歐(ou)拉示性(xing)數(shu)(Euler characteristic)是一(yi)個拓(tuo)(tuo)撲(pu)(pu)不變(bian)量(事實上,是同(tong)倫不變(bian)量),對于一(yi)大類拓(tuo)(tuo)撲(pu)(pu)空間有定義。它(ta)通常(chang)記作(zuo)。
二維拓撲多(duo)面體的歐拉(la)示性(xing)數可以用以下公式計算:
其(qi)中V、E和(he)F分(fen)別是點、邊和(he)面的個數。 特別的有,對于所(suo)有和(he)一個球面同(tong)胚的多面體,我們有
(1)當R=2時,由(you)說(shuo)明1,這兩(liang)個(ge)區域可想象為以赤(chi)道為邊界的(de)兩(liang)個(ge)半(ban)球面,赤(chi)道上有兩(liang)個(ge)“頂點”將赤(chi)道分成兩(liang)條“邊界”,即 R= 2,V= 2,E= 2;于是(shi) R+ V- E= 2,歐拉(la)定(ding)理成立(li).。
(2)設(she)R=m(m≥2)時(shi)歐(ou)(ou)拉定理(li)成立,下面證明R=m+1時(shi)歐(ou)(ou)拉定理(li)也成立。
由說明(ming)2,我們在(zai)R=m+1的(de)(de)地(di)圖(tu)上任選一(yi)個(ge)區域X,則(ze)X必(bi)有與它如此相鄰的(de)(de)區域Y,使得在(zai)去(qu)掉(diao)(diao)(diao)X和Y之間的(de)(de)唯一(yi)一(yi)條(tiao)邊界(jie)(jie)后,地(di)圖(tu)上只有m個(ge)區域了(le);在(zai)去(qu)掉(diao)(diao)(diao)X和Y之間的(de)(de)邊界(jie)(jie)后,若(ruo)原該(gai)邊界(jie)(jie)兩端的(de)(de)頂(ding)點現在(zai)都(dou)還是3條(tiao)或3條(tiao)以上邊界(jie)(jie)的(de)(de)頂(ding)點,則(ze)該(gai)頂(ding)點保留,同時(shi)其他的(de)(de)邊界(jie)(jie)數不變;若(ruo)原該(gai)邊界(jie)(jie)一(yi)端或兩端的(de)(de)頂(ding)點現在(zai)成為2條(tiao)邊界(jie)(jie)的(de)(de)頂(ding)點,則(ze)去(qu)掉(diao)(diao)(diao)該(gai)頂(ding)點,該(gai)頂(ding)點兩邊的(de)(de)兩條(tiao)邊界(jie)(jie)便成為一(yi)條(tiao)邊界(jie)(jie)。于是,在(zai)去(qu)掉(diao)(diao)(diao)X和Y之間的(de)(de)唯一(yi)一(yi)條(tiao)邊界(jie)(jie)時(shi)只有三種情況:
①減少一(yi)個(ge)區域(yu)和一(yi)條邊界(jie);
②減少一(yi)個區域、一(yi)個頂點和(he)兩條邊界;
③減少一個區域、兩個頂點和三(san)條邊界(jie);
即在去掉(diao)X和Y之間(jian)的(de)(de)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)時,不論何種情況都必定有“減少(shao)的(de)(de)區域數(shu)(shu)+減少(shao)的(de)(de)頂點(dian)(dian)數(shu)(shu)=減少(shao)的(de)(de)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)數(shu)(shu)”我們將上(shang)述過程反過來(即將X和Y之間(jian)去掉(diao)的(de)(de)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)又照原樣(yang)畫上(shang)),就又成(cheng)為R= m+ 1的(de)(de)地圖了(le),在這一過程中必然(ran)是“增(zeng)加的(de)(de)區域數(shu)(shu)+ 增(zeng)加的(de)(de)頂點(dian)(dian)數(shu)(shu) = 增(zeng)加的(de)(de)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)數(shu)(shu)”。
因(yin)此 ,若 R= m (m≥2)時(shi)歐拉定理成立 ,則 R= m+ 1時(shi)歐拉定理也(ye)成立.。
由(1)和(2)可知,對于任何正(zheng)整數R≥2,歐(ou)拉定理成立。
第一(yi)個歐拉公式的(de)嚴格(ge)證明,由20歲的(de)柯西給出,大致如下:
從(cong)多面(mian)體去(qu)掉(diao)一面(mian),通過把去(qu)掉(diao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)邊(bian)互相拉遠,把所(suo)有剩下的(de)(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)變(bian)成(cheng)點和曲線(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)平(ping)面(mian)網絡(luo)。不失一般性(xing),可以(yi)假(jia)設變(bian)形的(de)(de)(de)(de)(de)(de)邊(bian)繼(ji)續保持為(wei)直(zhi)線(xian)段。正常(chang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)不再是(shi)(shi)正常(chang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)多邊(bian)形即使開始的(de)(de)(de)(de)(de)(de)時候它們是(shi)(shi)正常(chang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。但是(shi)(shi),點,邊(bian)和面(mian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)個數保持不變(bian),和給定(ding)多面(mian)體的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一樣(移去(qu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)對應網絡(luo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)外部。)
重復一(yi)系列可以簡化網絡卻(que)不改變(bian)(bian)其(qi)歐(ou)拉(la)(la)數(shu)(也(ye)是歐(ou)拉(la)(la)示性數(shu))的額外變(bian)(bian)換。
若有(you)(you)一(yi)(yi)(yi)個多邊(bian)形面(mian)(mian)有(you)(you)3條邊(bian)以(yi)上,我們劃一(yi)(yi)(yi)個對角(jiao)線(xian)。這增(zeng)加一(yi)(yi)(yi)條邊(bian)和(he)一(yi)(yi)(yi)個面(mian)(mian)。繼續增(zeng)加邊(bian)直到所有(you)(you)面(mian)(mian)都是三角(jiao)形。
除掉只有一條(tiao)邊和(he)外部相鄰的三角形。這把邊和(he)面的個數各減一而(er)保持(chi)頂(ding)點數不變。
(逐(zhu)個(ge))除去(qu)所(suo)有和(he)網絡(luo)外部(bu)共(gong)享兩條邊的三角形。這(zhe)會減少一(yi)個(ge)頂點、兩條邊和(he)一(yi)個(ge)面。
重復使(shi)用第2步和(he)第3步直到只(zhi)剩一個三角(jiao)(jiao)形。對于一個三角(jiao)(jiao)形(把(ba)外部數在內),。所(suo)以。
設(she)想(xiang)這個(ge)多面(mian)(mian)體是(shi)先有一(yi)(yi)個(ge)面(mian)(mian),然后將(jiang)其他各(ge)面(mian)(mian)一(yi)(yi)個(ge)接一(yi)(yi)個(ge)地添裝上去(qu)的(de).因為一(yi)(yi)共有F個(ge)面(mian)(mian),因此要添(F-1)個(ge)面(mian)(mian).
考察第Ⅰ個(ge)面,設它(ta)是n邊形,有(you)n個(ge)頂點(dian),n條邊,這時E=V,即棱數等于頂點(dian)數.
添上第(di)Ⅱ個(ge)(ge)面后,因(yin)為一條棱(leng)與原(yuan)來的(de)(de)棱(leng)重合,而且(qie)有(you)兩個(ge)(ge)頂(ding)(ding)點和第(di)Ⅰ個(ge)(ge)面的(de)(de)兩個(ge)(ge)頂(ding)(ding)點重合,所以增加的(de)(de)棱(leng)數比(bi)增加的(de)(de)頂(ding)(ding)點數多1,因(yin)此(ci),這(zhe)時E=V+1.
以后每增(zeng)添一個面,總是增(zeng)加(jia)的(de)棱數(shu)比增(zeng)加(jia)的(de)頂點數(shu)多1,例如
增添兩個面后,有(you)關系E=V+2;
增添三個面后,有關系E=V+3;
……
增添(F-2)個面后,有關系E=V+(F-2).
最(zui)后(hou)增添一個面后(hou),就成為(wei)多面體,這時棱數和頂(ding)點(dian)數都沒有增加.因(yin)此,關系式仍為(wei)E=V+ (F-2).即
F+V=E+2.
這個(ge)公(gong)(gong)式(shi)叫做歐拉公(gong)(gong)式(shi).它表明(ming)2這個(ge)數(shu)是簡單多面體表面在連續(xu)變(bian)形下不變(bian)的數(shu)。
當(dang)r=0或(huo)1時式子(zi)的值(zhi)(zhi)為(wei)(wei)0,當(dang)r=2時值(zhi)(zhi)為(wei)(wei)1,當(dang)r=3時值(zhi)(zhi)為(wei)(wei)a+b+c。
設(she)△ABC的(de)外(wai)(wai)心為O,內心為I,外(wai)(wai)接圓(yuan)半徑為R,內切圓(yuan)半徑為r,又記外(wai)(wai)心、內心的(de)距離OI為d,則有
(1)式(shi)稱為歐(ou)拉公式(shi)。
為了證明(1)式,我們現將它(ta)改成
(2)式左(zuo)邊是點I對于⊙O的(de)冪:過圓(yuan)內任一點P的(de)弦被P分(fen)成兩(liang)個部(bu)分(fen),這兩(liang)個部(bu)分(fen)的(de)乘積是一個定值,稱為P關于⊙O的(de)冪。事實上,如果將OI延長交(jiao)圓(yuan)于E、F,那么(me)
因此,設AI交⊙O于M,則
因此,只需證明
為了(le)證明(5)式,應當(dang)尋(xun)找(zhao)兩個相(xiang)似的三角(jiao)形(xing)。一(yi)個以(yi)長(chang)IA、r為邊;另一(yi)個以(yi)長(chang)2R、MI為邊。前一(yi)個不難找(zhao),△IDA就(jiu)是(shi)(shi),D是(shi)(shi)內切圓與AC的切點(dian)。后一(yi)個也必須是(shi)(shi)直角(jiao)三角(jiao)形(xing),所以(yi)一(yi)邊是(shi)(shi)直徑ML,另一(yi)個頂(ding)點(dian)也應當(dang)在圓上。△MBL就(jiu)滿足要求(qiu)。
因此(5)式(shi)成立,從(cong)而(1)式(shi)成立。
因為,所(suo)以(yi)由歐拉(la)公(gong)式得出(chu)一個(ge)副產品,即(ji)
特(te)(te)征函(han)數用歐拉公(gong)式:隨(sui)機變量(liang)X的(de)特(te)(te)征函(han)數定義為
眾所周知,生(sheng)活(huo)中(zhong)處(chu)處(chu)存在(zai)(zai)著摩(mo)擦(ca)(ca)力(li),歐拉(la)測(ce)算出了(le)摩(mo)擦(ca)(ca)力(li)與繩索纏繞在(zai)(zai)樁上圈(quan)數之(zhi)間的關系。現將歐拉(la)這個頗(po)有價值(zhi)的公(gong)式列在(zai)(zai)這里:
其中,f表(biao)示我們(men)施加的(de)力,F表(biao)示與(yu)(yu)其對(dui)抗的(de)力,e為自然對(dui)數(shu)的(de)底,k表(biao)示繩與(yu)(yu)樁(zhuang)之間的(de)摩擦(ca)系(xi)數(shu),a表(biao)示纏繞轉角,即繩索纏繞形成的(de)弧(hu)長與(yu)(yu)弧(hu)半徑之比。
設G為(wei)n階m條邊(bian)r個面的(de)連通(tong)平面圖,則n-m+r=2,此(ci)公式稱為(wei)歐拉公式。可(ke)以通(tong)過歸納(na)法證(zheng)(zheng)明,且證(zheng)(zheng)明方(fang)法和(he)拓撲學中(zhong)的(de)類似,此(ci)處略去。盡管(guan)和(he)拓撲中(zhong)的(de)歐拉公式十(shi)分相似,但圖論在現代一般劃分在離(li)散(san)數學的(de)研究范(fan)疇內,因此(ci)在這里單獨(du)列出。