麥克斯韋方程(cheng)(cheng)組，是英國物理學家詹姆斯·克拉(la)克·麥克斯韋在19世紀(ji)建(jian)立(li)的(de)一組描(miao)(miao)(miao)述電(dian)(dian)場(chang)、磁(ci)場(chang)與電(dian)(dian)荷密度、電(dian)(dian)流密度之(zhi)間關系的(de)偏(pian)微(wei)分方程(cheng)(cheng)。它由四(si)個方程(cheng)(cheng)組成：描(miao)(miao)(miao)述電(dian)(dian)荷如(ru)何產(chan)生(sheng)電(dian)(dian)場(chang)的(de)高斯定律(lv)、論述磁(ci)單極(ji)子不(bu)存在的(de)高斯磁(ci)定律(lv)、描(miao)(miao)(miao)述電(dian)(dian)流和時變電(dian)(dian)場(chang)怎樣產(chan)生(sheng)磁(ci)場(chang)的(de)麥克斯韋-安培定律(lv)、描(miao)(miao)(miao)述時變磁(ci)場(chang)如(ru)何產(chan)生(sheng)電(dian)(dian)場(chang)的(de)法拉(la)第感應定律(lv)。
從(cong)麥克(ke)(ke)斯(si)(si)韋方(fang)程(cheng)組(zu)，可以推論(lun)出電磁波(bo)在真空中以光速傳播，并進而做出光是電磁波(bo)的(de)猜想。麥克(ke)(ke)斯(si)(si)韋方(fang)程(cheng)組(zu)和洛倫茲力方(fang)程(cheng)是經典電磁學的(de)基礎方(fang)程(cheng)。從(cong)這些基礎方(fang)程(cheng)的(de)相關(guan)理論(lun)，發展出現代的(de)電力科(ke)技與電子(zi)科(ke)技。
麥克斯(si)韋在1865年(nian)提出的(de)(de)(de)最初形(xing)(xing)式(shi)(shi)(shi)的(de)(de)(de)方程組由20個等式(shi)(shi)(shi)和(he)(he)20個變(bian)量組成。他在1873年(nian)嘗(chang)試用四元數(shu)來表(biao)達，但未成功(gong)。現在所(suo)使用的(de)(de)(de)數(shu)學形(xing)(xing)式(shi)(shi)(shi)是(shi)奧利弗(fu)·赫維(wei)賽德和(he)(he)約西(xi)亞·吉布斯(si)于1884年(nian)以(yi)矢量分析的(de)(de)(de)形(xing)(xing)式(shi)(shi)(shi)重新表(biao)達的(de)(de)(de)。
麥克斯韋(wei)誕(dan)生前的(de)(de)半個多世紀，人類(lei)對電(dian)磁(ci)(ci)現象的(de)(de)認識取得了(le)很大的(de)(de)進展。1785年(nian)(nian)，法國(guo)物(wu)理學家C.A.庫侖（Charles A. Coulomb）在(zai)扭秤實驗(yan)結(jie)果的(de)(de)基礎上，建(jian)立(li)了(le)說(shuo)明(ming)兩個點電(dian)荷之間(jian)相互作(zuo)(zuo)用力的(de)(de)庫侖定(ding)(ding)律。1820年(nian)(nian)，H.C.奧斯特(te)（Hans Christian Oersted）發現電(dian)流(liu)能使磁(ci)(ci)針偏(pian)轉(zhuan)，從而把(ba)電(dian)與磁(ci)(ci)聯系起來(lai)。其后，A.M.安(an)培（Andre Marie Ampère）研究了(le)電(dian)流(liu)之間(jian)的(de)(de)相互作(zuo)(zuo)用力，提出(chu)了(le)許多重要(yao)概念和安(an)培環路定(ding)(ding)律。M.法拉第（Michael Faraday）在(zai)很多方面(mian)有杰出(chu)貢獻(xian)，特(te)別是1831年(nian)(nian)發表的(de)(de)電(dian)磁(ci)(ci)感應定(ding)(ding)律，是電(dian)機、變(bian)壓器等設備的(de)(de)重要(yao)理論基礎。
1845年(nian)，關于電(dian)(dian)磁(ci)現(xian)象的(de)三(san)個最基本的(de)實驗定(ding)(ding)律(lv)：庫侖定(ding)(ding)律(lv)（1785年(nian)）、畢奧(ao)(ao)-薩伐爾(er)定(ding)(ding)律(lv)（1820年(nian)）、法(fa)拉第電(dian)(dian)磁(ci)感應定(ding)(ding)律(lv)（1831~1845年(nian)）已被總結出來(lai)，法(fa)拉第的(de)“電(dian)(dian)力(li)線(xian)”和(he)“磁(ci)力(li)線(xian)”（現(xian)在(zai)也叫(jiao)做“電(dian)(dian)場線(xian)”與“磁(ci)感線(xian)”）概念已發展(zhan)成“電(dian)(dian)磁(ci)場概念”。1855年(nian)至1865年(nian)，麥克(ke)斯韋(wei)在(zai)全面地審視了庫侖定(ding)(ding)律(lv)、畢奧(ao)(ao)—薩伐爾(er)定(ding)(ding)律(lv)和(he)法(fa)拉第定(ding)(ding)律(lv)的(de)基礎上，把數學分析方法(fa)帶進(jin)了電(dian)(dian)磁(ci)學的(de)研究(jiu)領域，由此導致麥克(ke)斯韋(wei)電(dian)(dian)磁(ci)理(li)論的(de)誕生。
在(zai)麥克斯韋之前，關于電磁(ci)現象的學說都(dou)以超(chao)(chao)距(ju)作用觀念為基礎，認為帶電體、磁(ci)化(hua)體或載流(liu)導體之間的相互(hu)作用，都(dou)是可(ke)以超(chao)(chao)越中間媒質(zhi)而直(zhi)接(jie)進(jin)行并立即(ji)完成的，即(ji)認為電磁(ci)擾動的傳播速度無(wu)限大。在(zai)那個時期，持不(bu)同意(yi)見(jian)的只有法拉第。他認為上(shang)述這些(xie)相互(hu)作用與中間媒質(zhi)有關，是通過中間媒質(zhi)的傳遞而進(jin)行的，即(ji)主(zhu)張間遞學說。
麥(mai)克(ke)斯韋繼承(cheng)了(le)法拉第的(de)(de)(de)(de)觀點，參(can)照流體力(li)學的(de)(de)(de)(de)模型，應用嚴(yan)謹(jin)的(de)(de)(de)(de)數學形式總(zong)結了(le)前人的(de)(de)(de)(de)工作，提出了(le)位移電(dian)(dian)流的(de)(de)(de)(de)假說，推廣了(le)電(dian)(dian)流的(de)(de)(de)(de)涵義，將電(dian)(dian)磁場基本定律(lv)歸結為四個微分方(fang)(fang)程，這(zhe)就是(shi)著名的(de)(de)(de)(de)麥(mai)克(ke)斯韋方(fang)(fang)程組(zu)。他對(dui)這(zhe)組(zu)方(fang)(fang)程進行了(le)分析，預見(jian)到(dao)電(dian)(dian)磁波的(de)(de)(de)(de)存在，并斷定，電(dian)(dian)磁波的(de)(de)(de)(de)傳播速度為有(you)限(xian)值（與光速接近），且光也是(shi)某種頻率的(de)(de)(de)(de)電(dian)(dian)磁波。上述這(zhe)些，他都寫(xie)入題為《論(lun)電(dian)(dian)與磁》的(de)(de)(de)(de)論(lun)文中。
1887年(nian)(nian)，海(hai)因里希·魯道夫·赫茲（Heinrich R. Hertz）用實驗(yan)方(fang)法產生和檢測到(dao)了(le)電磁波，證(zheng)實了(le)麥克斯韋的(de)(de)預見。1905～1915年(nian)(nian)間，A.愛因斯坦（Albert Einstein）的(de)(de)相對論進一(yi)步論證(zheng)了(le)時(shi)間、空間、質量、能量和運動之間的(de)(de)關系(xi)，說明電磁場就是物質的(de)(de)一(yi)種(zhong)形式，間遞學說得到(dao)了(le)公認。
麥克斯韋方程組乃是由四個方程共同組成的：
高斯(si)定律(lv)：該定律(lv)描述電(dian)(dian)場(chang)與空間中(zhong)電(dian)(dian)荷(he)分布(bu)的(de)關系。電(dian)(dian)場(chang)線(xian)開始于(yu)正電(dian)(dian)荷(he)，終止于(yu)負電(dian)(dian)荷(he)（或無(wu)窮遠(yuan)）。計(ji)算穿過某(mou)給定閉(bi)曲(qu)面的(de)電(dian)(dian)場(chang)線(xian)數量(liang)(liang)，即其電(dian)(dian)通(tong)量(liang)(liang)，可(ke)以得知(zhi)包含在(zai)這閉(bi)曲(qu)面內的(de)總電(dian)(dian)荷(he)。更詳(xiang)細地說，這定律(lv)描述穿過任意閉(bi)曲(qu)面的(de)電(dian)(dian)通(tong)量(liang)(liang)與這閉(bi)曲(qu)面內的(de)電(dian)(dian)荷(he)之間的(de)關系。
高斯(si)磁(ci)定(ding)律(lv)：該定(ding)律(lv)表明，磁(ci)單極(ji)子實際上并不存在。所以，沒有孤(gu)立磁(ci)荷，磁(ci)場線(xian)沒有初始點，也沒有終止點。磁(ci)場線(xian)會形成循環或延(yan)伸至(zhi)無(wu)窮遠。換(huan)句話說，進入任(ren)何(he)區(qu)域(yu)的(de)磁(ci)場線(xian)，必需從(cong)那區(qu)域(yu)離(li)開。以術語(yu)來(lai)說，通過(guo)任(ren)意閉曲面的(de)磁(ci)通量等(deng)于零(ling)，或者，磁(ci)場是一(yi)個無(wu)源(yuan)場。
法(fa)拉第感應定律(lv)：該定律(lv)描述(shu)時變(bian)磁(ci)(ci)(ci)場怎樣(yang)感應出(chu)電(dian)場。電(dian)磁(ci)(ci)(ci)感應是(shi)制造許(xu)多發(fa)電(dian)機的理(li)論基礎。例如，一塊旋轉的條形磁(ci)(ci)(ci)鐵會產生(sheng)時變(bian)磁(ci)(ci)(ci)場，這又接(jie)下來會生(sheng)成電(dian)場，使得(de)鄰近的閉(bi)合電(dian)路因而(er)感應出(chu)電(dian)流。
麥克斯(si)韋-安培(pei)定律：該定律闡(chan)明，磁(ci)場可(ke)以用(yong)兩種方法生成：一(yi)種是靠傳導電流（原本的安培(pei)定律），另一(yi)種是靠時變電場，或(huo)稱位(wei)移(yi)電流（麥克斯(si)韋修正項）。
在(zai)電磁學里，麥克斯(si)韋修正(zheng)項意味著時(shi)變電場可以(yi)生成磁場，而由(you)于法(fa)拉第感應(ying)定(ding)律(lv)，時(shi)變磁場又可以(yi)生成電場。這樣，兩個方程在(zai)理(li)論上允(yun)許自我維持(chi)的(de)電磁波傳播于空間。
麥克斯韋電磁場理論(lun)的要點可以(yi)歸(gui)結為(wei)：
①幾分立的(de)帶電(dian)(dian)體或電(dian)(dian)流，它們之間(jian)的(de)一(yi)切電(dian)(dian)的(de)及磁的(de)作(zuo)用都是通過它們之間(jian)的(de)中(zhong)間(jian)區(qu)域(yu)傳遞的(de)，不論中(zhong)間(jian)區(qu)域(yu)是真空還是實(shi)體物質。
②電(dian)能或磁(ci)能不僅存在(zai)于帶電(dian)體(ti)、磁(ci)化體(ti)或帶電(dian)流物體(ti)中(zhong)，其大部分(fen)分(fen)布在(zai)周圍的(de)電(dian)磁(ci)場中(zhong)。
③導體構成的(de)(de)(de)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)路若有中斷處，電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)路中的(de)(de)(de)傳(chuan)導電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)將由電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)介質中的(de)(de)(de)位移(yi)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)補償貫通(tong)，即全電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)連續。且位移(yi)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)與(yu)其(qi)所產生(sheng)的(de)(de)(de)磁(ci)場的(de)(de)(de)關系與(yu)傳(chuan)導電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)的(de)(de)(de)相同。
④磁通量既無(wu)始點又(you)無(wu)終(zhong)點，即不存在磁荷。
⑤光波也(ye)是電(dian)磁波。
麥克斯(si)韋方程組有兩種表達方式。
1.積分形式的(de)麥克斯(si)韋(wei)方程組是(shi)描述電磁(ci)場在某一(yi)體積或某一(yi)面(mian)積內的(de)數(shu)學模型。表達式為：
式(shi)(shi)(shi)(shi)①是(shi)(shi)(shi)(shi)由(you)(you)安(an)培環路定(ding)律(lv)推廣而得的(de)(de)(de)(de)(de)(de)全(quan)電(dian)流定(ding)律(lv)，其含義是(shi)(shi)(shi)(shi)：磁(ci)場(chang)強(qiang)度H沿任(ren)意閉合(he)(he)曲(qu)(qu)(qu)線(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)線(xian)(xian)積(ji)分，等(deng)于(yu)穿過此曲(qu)(qu)(qu)線(xian)(xian)限(xian)定(ding)面積(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)全(quan)電(dian)流。等(deng)號(hao)右(you)邊第(di)一(yi)項(xiang)是(shi)(shi)(shi)(shi)傳導電(dian)流．第(di)二項(xiang)是(shi)(shi)(shi)(shi)位移電(dian)流。式(shi)(shi)(shi)(shi)②是(shi)(shi)(shi)(shi)法拉第(di)電(dian)磁(ci)感應(ying)定(ding)律(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)表(biao)達式(shi)(shi)(shi)(shi)，它說(shuo)(shuo)(shuo)明(ming)電(dian)場(chang)強(qiang)度E沿任(ren)意閉合(he)(he)曲(qu)(qu)(qu)線(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)線(xian)(xian)積(ji)分等(deng)于(yu)穿過由(you)(you)該曲(qu)(qu)(qu)線(xian)(xian)所限(xian)定(ding)面積(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)磁(ci)通對(dui)時間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)變化(hua)率的(de)(de)(de)(de)(de)(de)負(fu)值。這里提到的(de)(de)(de)(de)(de)(de)閉合(he)(he)曲(qu)(qu)(qu)線(xian)(xian)，并不一(yi)定(ding)要由(you)(you)導體構成(cheng)，它可(ke)以是(shi)(shi)(shi)(shi)介質(zhi)回路，甚至只(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)任(ren)意一(yi)個閉合(he)(he)輪廓(kuo)。式(shi)(shi)(shi)(shi)③表(biao)示磁(ci)通連(lian)續性原理，說(shuo)(shuo)(shuo)明(ming)對(dui)于(yu)任(ren)意一(yi)個閉合(he)(he)曲(qu)(qu)(qu)面，有(you)多少磁(ci)通進入曲(qu)(qu)(qu)面就有(you)同樣(yang)數(shu)量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)磁(ci)通離(li)開(kai)。即(ji)B線(xian)(xian)是(shi)(shi)(shi)(shi)既無(wu)始端(duan)又(you)無(wu)終端(duan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)；同時也說(shuo)(shuo)(shuo)明(ming)并不存在與電(dian)荷相對(dui)應(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)磁(ci)荷。式(shi)(shi)(shi)(shi)④是(shi)(shi)(shi)(shi)高(gao)斯定(ding)律(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)表(biao)達式(shi)(shi)(shi)(shi)，說(shuo)(shuo)(shuo)明(ming)在時變的(de)(de)(de)(de)(de)(de)條件下，從任(ren)意一(yi)個閉合(he)(he)曲(qu)(qu)(qu)面出來的(de)(de)(de)(de)(de)(de)D的(de)(de)(de)(de)(de)(de)凈通量，應(ying)等(deng)于(yu)該閉曲(qu)(qu)(qu)面所包圍的(de)(de)(de)(de)(de)(de)體積(ji)內全(quan)部自由(you)(you)電(dian)荷之總和。
2.微(wei)分(fen)形式的(de)麥克(ke)斯(si)韋方程(cheng)組。微(wei)分(fen)形式的(de)麥克(ke)斯(si)韋方程(cheng)是對場中每一點而(er)言(yan)的(de)。應用del算子，可(ke)以把它(ta)們寫成
式(shi)(shi)(shi)⑤是(shi)(shi)(shi)全電(dian)流定律的(de)(de)(de)(de)微(wei)分(fen)(fen)形(xing)式(shi)(shi)(shi)，它說明(ming)磁(ci)(ci)(ci)場強(qiang)度(du)(du)(du)H的(de)(de)(de)(de)旋(xuan)(xuan)度(du)(du)(du)等(deng)于該(gai)點(dian)的(de)(de)(de)(de)全電(dian)流密(mi)(mi)度(du)(du)(du)（傳導(dao)電(dian)流密(mi)(mi)度(du)(du)(du)J與位移電(dian)流密(mi)(mi)度(du)(du)(du)之和），即(ji)磁(ci)(ci)(ci)場的(de)(de)(de)(de)漩(xuan)渦源是(shi)(shi)(shi)全電(dian)流密(mi)(mi)度(du)(du)(du)，位移電(dian)流與傳導(dao)電(dian)流一樣都能產生磁(ci)(ci)(ci)場。式(shi)(shi)(shi)⑥是(shi)(shi)(shi)法拉(la)第電(dian)磁(ci)(ci)(ci)感應(ying)定律的(de)(de)(de)(de)微(wei)分(fen)(fen)形(xing)式(shi)(shi)(shi)，說明(ming)電(dian)場強(qiang)度(du)(du)(du)E的(de)(de)(de)(de)旋(xuan)(xuan)度(du)(du)(du)等(deng)于該(gai)點(dian)磁(ci)(ci)(ci)通密(mi)(mi)度(du)(du)(du)B的(de)(de)(de)(de)時間(jian)變化率(lv)的(de)(de)(de)(de)負值(zhi)，即(ji)電(dian)場的(de)(de)(de)(de)渦旋(xuan)(xuan)源是(shi)(shi)(shi)磁(ci)(ci)(ci)通密(mi)(mi)度(du)(du)(du)的(de)(de)(de)(de)時間(jian)變化率(lv)。式(shi)(shi)(shi)⑦是(shi)(shi)(shi)磁(ci)(ci)(ci)通連續性原理的(de)(de)(de)(de)微(wei)分(fen)(fen)形(xing)式(shi)(shi)(shi)，說明(ming)磁(ci)(ci)(ci)通密(mi)(mi)度(du)(du)(du)B的(de)(de)(de)(de)散度(du)(du)(du)恒等(deng)于零，即(ji)B線是(shi)(shi)(shi)無(wu)始無(wu)終的(de)(de)(de)(de)。也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)說不存(cun)在與電(dian)荷對應(ying)的(de)(de)(de)(de)磁(ci)(ci)(ci)荷。式(shi)(shi)(shi)⑧是(shi)(shi)(shi)靜電(dian)場高斯定律的(de)(de)(de)(de)推(tui)廣，即(ji)在時變條件下(xia)，電(dian)位移D的(de)(de)(de)(de)散度(du)(du)(du)仍等(deng)于該(gai)點(dian)的(de)(de)(de)(de)自(zi)由電(dian)荷體密(mi)(mi)度(du)(du)(du)。
除了上述四個方程外，還需(xu)要有(you)媒質的本構(gou)關系(xi)式(shi)
才能(neng)最終解(jie)(jie)決場量的(de)(de)求(qiu)解(jie)(jie)問(wen)題(ti)。式(shi)中ε是媒(mei)質(zhi)的(de)(de)介電(dian)(dian)常數，μ是媒(mei)質(zhi)的(de)(de)磁導率，σ是媒(mei)質(zhi)的(de)(de)電(dian)(dian)導率。
麥克斯(si)韋方(fang)程組的積分形(xing)式如(ru)下(xia)：
這(zhe)是1873年(nian)前(qian)后，麥克(ke)斯(si)韋(wei)提出(chu)的(de)表述電磁場普遍規律的(de)四(si)個方(fang)程。其中：
（1）描述了(le)電(dian)(dian)場(chang)的(de)(de)(de)性質。在一般情(qing)況下，電(dian)(dian)場(chang)可以是(shi)自由電(dian)(dian)荷(he)的(de)(de)(de)電(dian)(dian)場(chang)也可以是(shi)變化磁(ci)場(chang)激發的(de)(de)(de)感(gan)(gan)應電(dian)(dian)場(chang)，而感(gan)(gan)應電(dian)(dian)場(chang)是(shi)渦旋場(chang)，它(ta)的(de)(de)(de)電(dian)(dian)位移線是(shi)閉(bi)合(he)的(de)(de)(de)，對封閉(bi)曲面的(de)(de)(de)通量無貢獻。
（2）描述了磁場的(de)性質。磁場可(ke)以由傳導(dao)電流激(ji)發，也可(ke)以由變化電場的(de)位(wei)移電流所激(ji)發，它們的(de)磁場都是(shi)渦旋場，磁感應(ying)線都是(shi)閉(bi)合線，對封閉(bi)曲面(mian)的(de)通量無貢獻。
（3）描述了變化的(de)(de)磁場激發(fa)電(dian)場的(de)(de)規律。
（4）描述了傳導電流(liu)和(he)變化的電場激發(fa)磁(ci)場的規律(lv)。
穩恒場中的形式
當
時，方程組就還原為靜電(dian)場(chang)和穩恒磁場(chang)的方程：
無場源(yuan)自由空(kong)間中的形式(shi)
當，方程組(zu)就成為(wei)如下形式：
麥克斯韋方程組的(de)積分形式反(fan)映了空(kong)間某(mou)區域(yu)的(de)電(dian)磁(ci)場(chang)量(liang)（D、E、B、H）和場(chang)源（電(dian)荷q、電(dian)流I）之間的(de)關系。
在電(dian)磁(ci)場(chang)的(de)實(shi)際應(ying)用中，經常要知(zhi)道空間(jian)逐點的(de)電(dian)磁(ci)場(chang)量(liang)和電(dian)荷、電(dian)流之間(jian)的(de)關(guan)系。從數學形式(shi)上，就是(shi)將麥克(ke)斯(si)韋方程組(zu)的(de)積分(fen)形式(shi)化為(wei)微(wei)分(fen)形式(shi)。倒(dao)三角形為(wei)哈密頓算子。
注意：
(1)在不同(tong)的(de)慣性參照系中，麥(mai)克斯韋方程(cheng)組有同(tong)樣的(de)形式(shi)。
(2)應用麥克斯韋(wei)方程組解決實際(ji)問題，還要考慮(lv)介質對電磁場的影(ying)響。例如在均勻(yun)各向同性(xing)介質中，電磁場量與介質特性(xing)量有下(xia)列關系：
在非(fei)均勻介質中，還要考慮(lv)電(dian)磁場(chang)量在界面(mian)上的邊值(zhi)關系。在利用t=0時場(chang)量的初值(zhi)條件，原則(ze)上可(ke)以(yi)求出任(ren)一(yi)時刻(ke)空間(jian)任(ren)一(yi)點的電(dian)磁場(chang)，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。
下(xia)面是高斯(si)單位(wei)制下(xia)的(de)麥克斯(si)韋方程(cheng)組
當有介質(zhi)(zhi)存在時，由于電場和磁(ci)場與介質(zhi)(zhi)的相互影響，使(shi)電磁(ci)場量與介質(zhi)(zhi)的特性有關(guan)，因此上(shang)述麥克斯韋方程組在這時還不是完備的，還需要再(zai)補充描述介質(zhi)(zhi)（各(ge)向同性介質(zhi)(zhi)）性質(zhi)(zhi)的物性方程，分別為(wei)
式中(zhong)，ε、μ和(he)σ分(fen)別是介質的絕對介電常(chang)數(shu)、絕對磁導率(lv)和(he)導體的電導率(lv)。
進一步的(de)理論(lun)證明麥克斯韋方程組式(shi)與(yu)物(wu)性(xing)方程式(shi)一起對于(yu)決(jue)定電(dian)磁(ci)場的(de)變化來說(shuo)是一組完(wan)備的(de)方程式(shi)。這(zhe)就是說(shuo)，當電(dian)荷、電(dian)流(liu)給定時，從(cong)上述方程根(gen)據初始條件（以(yi)及必(bi)要(yao)的(de)邊界(jie)條件）就可以(yi)完(wan)全決(jue)定電(dian)磁(ci)場的(de)變化。當然，如(ru)果要(yao)討論(lun)電(dian)磁(ci)場對帶電(dian)粒子的(de)作用以(yi)及帶電(dian)粒子在電(dian)磁(ci)場中的(de)運(yun)動，還需(xu)要(yao)洛倫(lun)茲力公式(shi)。
對(dui)于正弦時變場，可以使(shi)用復矢量將(jiang)電磁場定律(lv)表示為復數形(xing)式。
在復(fu)數(shu)(shu)形式的(de)電(dian)(dian)磁場(chang)定(ding)(ding)律中，由于復(fu)數(shu)(shu)場(chang)量(liang)和源(yuan)量(liang)都只是空間位(wei)置的(de)函數(shu)(shu)，在求解時，不必再(zai)考(kao)慮它們與(yu)時間的(de)依賴關系。因此(ci)，對討論正弦時變場(chang)來說面采用復(fu)數(shu)(shu)形式的(de)電(dian)(dian)磁場(chang)定(ding)(ding)律是較為方(fang)便的(de)。
采用不同的(de)(de)單位制，麥克斯韋方程(cheng)組的(de)(de)形式(shi)會稍微有所改變(bian)，大(da)致形式(shi)仍舊相同，只是(shi)不同的(de)(de)常數會出現在方程(cheng)內部(bu)不同位置(zhi)。
國際(ji)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)最(zui)常使用(yong)的(de)(de)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，整(zheng)個工程(cheng)學領域都(dou)(dou)采用(yong)這(zhe)(zhe)種(zhong)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，大(da)多數化學家(jia)也都(dou)(dou)使用(yong)這(zhe)(zhe)種(zhong)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，大(da)學物理(li)(li)教科書幾乎都(dou)(dou)采用(yong)這(zhe)(zhe)種(zhong)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。其它(ta)常用(yong)的(de)(de)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)有(you)(you)高斯(si)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)、洛(luo)倫茲-赫維(wei)賽德單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)（Lorentz-Heaviside units）和普朗克單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。由厘(li)(li)米(mi)-克-秒制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)衍生的(de)(de)高斯(si)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，比較適合于(yu)(yu)教學用(yong)途，能夠使得方程(cheng)看起(qi)來更簡單(dan)(dan)(dan)、更易懂。洛(luo)倫茲-赫維(wei)賽德單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)也是(shi)(shi)(shi)衍生于(yu)(yu)厘(li)(li)米(mi)-克-秒制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，主要用(yong)于(yu)(yu)粒子物理(li)(li)學；普朗克單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)一種(zhong)自(zi)然單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，其單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)都(dou)(dou)是(shi)(shi)(shi)根據自(zi)然的(de)(de)性質(zhi)定(ding)義，不是(shi)(shi)(shi)由人為設定(ding)。普朗克單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)(shi)(shi)研究(jiu)理(li)(li)論物理(li)(li)學非常有(you)(you)用(yong)的(de)(de)工具，能夠給出很大(da)的(de)(de)啟示(shi)。在本頁(ye)里，除非特別說明，所(suo)有(you)(you)方程(cheng)都(dou)(dou)采用(yong)國際(ji)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。
這里展示出麥克(ke)斯韋(wei)方(fang)程組(zu)的兩(liang)種等價表述。第一種表述如下：
這(zhe)種(zhong)(zhong)表(biao)述(shu)將(jiang)自由電(dian)(dian)(dian)荷和(he)束縛(fu)電(dian)(dian)(dian)荷總和(he)為高(gao)斯定律所(suo)需要的(de)總電(dian)(dian)(dian)荷，又將(jiang)自由電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)、束縛(fu)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)和(he)電(dian)(dian)(dian)極(ji)化電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)總合為麥克斯韋-安培定律內的(de)總電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)。這(zhe)種(zhong)(zhong)表(biao)述(shu)采用(yong)比較基礎(chu)、微觀的(de)觀點。這(zhe)種(zhong)(zhong)表(biao)述(shu)可(ke)以應用(yong)于計(ji)算(suan)在真空里有限源電(dian)(dian)(dian)荷與源電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)所(suo)產生的(de)電(dian)(dian)(dian)場與磁場。但是，對(dui)于物質內部超(chao)多的(de)電(dian)(dian)(dian)子(zi)與原子(zi)核(he)，實際而言(yan)，無法一一納入計(ji)算(suan)。事實上，經典(dian)電(dian)(dian)(dian)磁學也不需要這(zhe)么精(jing)確的(de)答(da)案。
第(di)二(er)種(zhong)表述(shu)見前所述(shu)“積分形式”中(zhong)的(de)(de)“一般形式”。它以自由電(dian)(dian)(dian)荷(he)和自由電(dian)(dian)(dian)流為(wei)源(yuan)頭，而不直(zhi)接計(ji)算出(chu)現于(yu)電(dian)(dian)(dian)介(jie)質的(de)(de)束縛(fu)電(dian)(dian)(dian)荷(he)和出(chu)現于(yu)磁(ci)(ci)化(hua)(hua)物質的(de)(de)束縛(fu)電(dian)(dian)(dian)流和電(dian)(dian)(dian)極(ji)化(hua)(hua)電(dian)(dian)(dian)流所給(gei)出(chu)的(de)(de)貢獻。由于(yu)在(zai)一般實(shi)際狀況，能夠直(zhi)接控制的(de)(de)參數(shu)是自由電(dian)(dian)(dian)荷(he)和自由電(dian)(dian)(dian)流，而束縛(fu)電(dian)(dian)(dian)荷(he)、束縛(fu)電(dian)(dian)(dian)流和電(dian)(dian)(dian)極(ji)化(hua)(hua)電(dian)(dian)(dian)流是物質經過極(ji)化(hua)(hua)后產(chan)生(sheng)的(de)(de)現象，采用這種(zhong)表述(shu)會使得(de)在(zai)介(jie)電(dian)(dian)(dian)質或(huo)磁(ci)(ci)化(hua)(hua)物質內各種(zhong)物理計(ji)算更(geng)加簡易。
表面上(shang)看，麥克斯(si)(si)韋(wei)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)似乎是超定(ding)(ding)的(de)（overdetermined）方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)，它只有(you)六(liu)個(ge)(ge)未知(zhi)量(liang)(liang)(liang)（矢量(liang)(liang)(liang)電(dian)(dian)場(chang)(chang)、磁場(chang)(chang)各擁(yong)有(you)三個(ge)(ge)未知(zhi)量(liang)(liang)(liang)，電(dian)(dian)流與(yu)電(dian)(dian)荷不是未知(zhi)量(liang)(liang)(liang)，而是自由(you)設(she)定(ding)(ding)并符合電(dian)(dian)荷守恒(heng)的(de)物理(li)量(liang)(liang)(liang)），但卻有(you)八(ba)個(ge)(ge)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)（兩個(ge)(ge)高(gao)斯(si)(si)定(ding)(ding)律(lv)共有(you)兩個(ge)(ge)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)，法(fa)拉(la)第(di)定(ding)(ding)律(lv)與(yu)安培定(ding)(ding)律(lv)是矢量(liang)(liang)(liang)式(shi)，各含有(you)三個(ge)(ge)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)）。這(zhe)狀況與(yu)麥克斯(si)(si)韋(wei)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)的(de)某種(zhong)有(you)限重復性有(you)關。從理(li)論(lun)可以推導出，任何滿足(zu)法(fa)拉(la)第(di)定(ding)(ding)律(lv)與(yu)安培定(ding)(ding)律(lv)的(de)系(xi)統必定(ding)(ding)滿足(zu)兩個(ge)(ge)高(gao)斯(si)(si)定(ding)(ding)律(lv)。
另一方(fang)面，麥克斯(si)韋方(fang)程組又是(shi)不(bu)封閉的(de)。只有給定了電磁介質的(de)特性，此(ci)方(fang)程組才能得到定解。
麥(mai)克(ke)斯韋方程(cheng)組通常應用于各種(zhong)場(chang)(chang)的(de)(de)“宏觀(guan)平均場(chang)(chang)”。當尺度縮小(xiao)至(zhi)微觀(guan)（microscopic scale），以至(zhi)于接近單獨原子大(da)小(xiao)的(de)(de)時侯，這(zhe)些場(chang)(chang)的(de)(de)局部波動差異將變得無法忽略，量(liang)子現象也會(hui)開(kai)始出現。只(zhi)有在宏觀(guan)平均的(de)(de)前提下(xia)，一些物理量(liang)如(ru)物質的(de)(de)電容率(lv)和磁導率(lv)才會(hui)得到有意義(yi)的(de)(de)定義(yi)值。
最重的(de)(de)(de)原子(zi)核(he)的(de)(de)(de)半徑大(da)(da)(da)約(yue)為(wei)7飛米(mi)（1fm=10-15m）。所以(yi)(yi)，在(zai)經(jing)(jing)(jing)典電磁(ci)(ci)學里，微(wei)觀(guan)(guan)尺度指的(de)(de)(de)是尺寸的(de)(de)(de)數量(liang)級(ji)大(da)(da)(da)于(yu)10-14m 。滿足微(wei)觀(guan)(guan)尺度，電子(zi)和(he)原子(zi)核(he)可(ke)以(yi)(yi)視為(wei)點電荷，微(wei)觀(guan)(guan)麥克斯韋方(fang)(fang)程(cheng)組成立；否(fou)則，必需(xu)將原子(zi)核(he)內部的(de)(de)(de)電荷分布納(na)入考量(liang)。在(zai)微(wei)觀(guan)(guan)尺度計算(suan)出(chu)來的(de)(de)(de)電場與磁(ci)(ci)場仍(reng)舊變(bian)化相當劇(ju)烈(lie)，空(kong)間(jian)變(bian)化的(de)(de)(de)距離數量(liang)級(ji)小于(yu)10-10m，時(shi)間(jian)變(bian)化的(de)(de)(de)周期數量(liang)級(ji)在(zai)10-17至10-13秒(miao)之間(jian)。因(yin)此，從微(wei)觀(guan)(guan)麥克斯韋方(fang)(fang)程(cheng)組，必需(xu)經(jing)(jing)(jing)過(guo)經(jing)(jing)(jing)典平(ping)(ping)均(jun)運(yun)算(suan)，才能得到(dao)平(ping)(ping)滑、連續、緩慢變(bian)化的(de)(de)(de)宏觀(guan)(guan)電場與宏觀(guan)(guan)磁(ci)(ci)場。宏觀(guan)(guan)尺度的(de)(de)(de)最低(di)(di)極(ji)限(xian)為(wei)10-8米(mi)。這意味(wei)著電磁(ci)(ci)波(bo)的(de)(de)(de)反射(she)與折射(she)行(xing)為(wei)可(ke)以(yi)(yi)用宏觀(guan)(guan)麥克斯韋方(fang)(fang)程(cheng)組來描(miao)述。以(yi)(yi)這最低(di)(di)極(ji)限(xian)為(wei)邊長(chang)，體積(ji)為(wei)10-24立方(fang)(fang)米(mi)的(de)(de)(de)立方(fang)(fang)體大(da)(da)(da)約(yue)含有106個原子(zi)核(he)和(he)電子(zi)。這么多原子(zi)核(he)和(he)電子(zi)的(de)(de)(de)物理(li)行(xing)為(wei)，經(jing)(jing)(jing)過(guo)經(jing)(jing)(jing)典平(ping)(ping)均(jun)運(yun)算(suan)，足以(yi)(yi)平(ping)(ping)緩任何劇(ju)烈(lie)的(de)(de)(de)漲落。根據可(ke)靠文獻記載(zai)，經(jing)(jing)(jing)典平(ping)(ping)均(jun)運(yun)算(suan)只需(xu)要(yao)在(zai)空(kong)間(jian)作平(ping)(ping)均(jun)運(yun)算(suan)，不(bu)需(xu)要(yao)在(zai)時(shi)間(jian)作平(ping)(ping)均(jun)運(yun)算(suan)，也不(bu)需(xu)要(yao)考慮(lv)到(dao)原子(zi)的(de)(de)(de)量(liang)子(zi)效(xiao)應。
場概(gai)(gai)念(nian)的產(chan)生，也有麥克斯韋的一份(fen)功勞，這是當時物理學中一個(ge)偉大的創舉，因為(wei)正是場概(gai)(gai)念(nian)的出(chu)(chu)現，使當時許多物理學家(jia)得以從牛頓(dun)“超距(ju)觀念(nian)”的束縛中擺(bai)脫出(chu)(chu)來，普遍地接(jie)受了電磁作(zuo)用和(he)引力作(zuo)用都是“近距(ju)作(zuo)用”的思想(xiang)。
麥克斯韋方(fang)程(cheng)組(zu)在(zai)電(dian)(dian)磁(ci)學(xue)(xue)與(yu)經典(dian)電(dian)(dian)動(dong)力學(xue)(xue)中(zhong)的(de)(de)(de)地(di)(di)位(wei)，如同牛頓運(yun)動(dong)定律在(zai)牛頓力學(xue)(xue)中(zhong)的(de)(de)(de)地(di)(di)位(wei)一(yi)樣。以麥克斯韋方(fang)程(cheng)組(zu)為(wei)核心的(de)(de)(de)電(dian)(dian)磁(ci)理論(lun)，是經典(dian)物理學(xue)(xue)最(zui)引以自豪(hao)的(de)(de)(de)成就之一(yi)。它(ta)所(suo)揭(jie)示出(chu)的(de)(de)(de)電(dian)(dian)磁(ci)相互作用的(de)(de)(de)完美統一(yi)，為(wei)物理學(xue)(xue)家樹(shu)立了這樣一(yi)種(zhong)信念：物質的(de)(de)(de)各種(zhong)相互作用在(zai)更高(gao)層(ceng)次上應(ying)(ying)該是統一(yi)的(de)(de)(de)。這個(ge)理論(lun)被廣泛地(di)(di)應(ying)(ying)用到技術領域。
(一)經(jing)(jing)典(dian)場(chang)論是(shi)19世紀后(hou)期麥(mai)克斯韋(wei)在(zai)總結電磁(ci)(ci)學(xue)三大實(shi)驗(yan)定律并把它(ta)與力學(xue)模型進行(xing)類比的(de)(de)(de)基(ji)礎(chu)上創立起來的(de)(de)(de)。但麥(mai)克斯韋(wei)的(de)(de)(de)主要功績恰(qia)恰(qia)使(shi)他能夠跳出(chu)經(jing)(jing)典(dian)力學(xue)框架的(de)(de)(de)束縛：在(zai)物理(li)上以(yi)“場(chang)”而不是(shi)以(yi)“力”作(zuo)為基(ji)本的(de)(de)(de)研究對象，在(zai)數學(xue)上引入(ru)了(le)有別(bie)于經(jing)(jing)典(dian)數學(xue)的(de)(de)(de)矢量偏微分(fen)運算符。這(zhe)兩條(tiao)是(shi)發現電磁(ci)(ci)波(bo)方程(cheng)的(de)(de)(de)基(ji)礎(chu)。這(zhe)就是(shi)說(shuo)，實(shi)際上麥(mai)克斯韋(wei)的(de)(de)(de)工作(zuo)已經(jing)(jing)沖破經(jing)(jing)典(dian)物理(li)學(xue)和當時數學(xue)的(de)(de)(de)框架，只是(shi)由(you)于當時的(de)(de)(de)歷(li)史條(tiao)件，人們仍然只能從牛頓的(de)(de)(de)微積分(fen)和經(jing)(jing)典(dian)力學(xue)的(de)(de)(de)框架去理(li)解(jie)電磁(ci)(ci)場(chang)理(li)論。
現代數(shu)學(xue)(xue)，Hilbert空(kong)間中(zhong)的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)分(fen)析是在(zai)19世紀與(yu)20世紀之(zhi)交(jiao)的(de)(de)時候才(cai)出現的(de)(de)。而量子(zi)力學(xue)(xue)的(de)(de)物質波的(de)(de)概念則在(zai)更晚的(de)(de)時候才(cai)被(bei)發(fa)現，特別是對(dui)于現代數(shu)學(xue)(xue)與(yu)量子(zi)物理(li)學(xue)(xue)之(zhi)間的(de)(de)不可分(fen)割的(de)(de)數(shu)理(li)邏(luo)輯聯(lian)系至今(jin)也還沒有完全被(bei)人們(men)所理(li)解和接受。從麥克斯(si)韋建立電磁場理(li)論到(dao)如今(jin)，人們(men)一直以歐氏空(kong)間中(zhong)的(de)(de)經(jing)典數(shu)學(xue)(xue)作為求(qiu)解麥克斯(si)韋方程組的(de)(de)基本方法。
(二(er))我們(men)從(cong)麥克斯(si)韋方(fang)程(cheng)組的(de)(de)(de)(de)產生、形式(shi)、內容和它的(de)(de)(de)(de)歷史(shi)過程(cheng)中可以看到：第(di)一，物(wu)理對(dui)(dui)象(xiang)是在(zai)更深的(de)(de)(de)(de)層次(ci)上發(fa)展(zhan)成為新的(de)(de)(de)(de)公(gong)理表達方(fang)式(shi)而被人(ren)類所(suo)掌握，所(suo)以科學的(de)(de)(de)(de)進步不會是在(zai)既定(ding)的(de)(de)(de)(de)前提下(xia)演進的(de)(de)(de)(de)，一種(zhong)(zhong)新的(de)(de)(de)(de)具有(you)認(ren)識意義(yi)的(de)(de)(de)(de)公(gong)理體系的(de)(de)(de)(de)建(jian)立才是科學理論(lun)進步的(de)(de)(de)(de)標志。第(di)二(er)，物(wu)理對(dui)(dui)象(xiang)與對(dui)(dui)它的(de)(de)(de)(de)表達方(fang)式(shi)雖然是不同(tong)的(de)(de)(de)(de)東(dong)西，但如果不依靠合適的(de)(de)(de)(de)表達方(fang)法(fa)就無法(fa)認(ren)識到這個對(dui)(dui)象(xiang)的(de)(de)(de)(de)“存在(zai)”。第(di)三，我們(men)正(zheng)在(zai)建(jian)立的(de)(de)(de)(de)理論(lun)將決定(ding)到我們(men)在(zai)何種(zhong)(zhong)層次(ci)的(de)(de)(de)(de)意義(yi)上使我們(men)的(de)(de)(de)(de)對(dui)(dui)象(xiang)成為物(wu)理事實，這正(zheng)是現代最(zui)前沿的(de)(de)(de)(de)物(wu)理學所(suo)給我們(men)帶來的(de)(de)(de)(de)困(kun)惑(huo)。
(三)麥克斯(si)韋方(fang)程組揭示(shi)(shi)了電(dian)(dian)場(chang)與磁(ci)場(chang)相互轉化中(zhong)產生的(de)(de)對(dui)(dui)(dui)稱(cheng)性優(you)美(mei)，這(zhe)種(zhong)優(you)美(mei)以現(xian)代數(shu)(shu)學(xue)形式(shi)(shi)得到充分的(de)(de)表達。但是(shi)，我們(men)一(yi)方(fang)面(mian)應(ying)當(dang)承認，恰(qia)當(dang)的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)形式(shi)(shi)才能充分展示(shi)(shi)經驗方(fang)法中(zhong)看(kan)不(bu)到的(de)(de)整體性（電(dian)(dian)磁(ci)對(dui)(dui)(dui)稱(cheng)性）；另一(yi)方(fang)面(mian)，我們(men)也不(bu)應(ying)當(dang)忘記，這(zhe)種(zhong)對(dui)(dui)(dui)稱(cheng)性的(de)(de)優(you)美(mei)是(shi)以數(shu)(shu)學(xue)形式(shi)(shi)反映出來的(de)(de)電(dian)(dian)磁(ci)場(chang)的(de)(de)統一(yi)本質。因此，我們(men)應(ying)當(dang)認識到應(ying)在(zai)數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)表達方(fang)式(shi)(shi)中(zhong)“發現(xian)”或“看(kan)出”了這(zhe)種(zhong)對(dui)(dui)(dui)稱(cheng)性，而不(bu)是(shi)從(cong)物理數(shu)(shu)學(xue)公式(shi)(shi)中(zhong)直接(jie)推演出這(zhe)種(zhong)本質。
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