麥(mai)克(ke)(ke)斯韋方程組(zu)，是(shi)英國物理學家詹姆斯·克(ke)(ke)拉克(ke)(ke)·麥(mai)克(ke)(ke)斯韋在19世紀建(jian)立的一組(zu)描述電場(chang)(chang)、磁場(chang)(chang)與電荷密度、電流密度之間關(guan)系的偏(pian)微(wei)分方程。它(ta)由四個方程組(zu)成：描述電荷如何產(chan)生(sheng)電場(chang)(chang)的高斯定(ding)律(lv)、論述磁單極子(zi)不存在的高斯磁定(ding)律(lv)、描述電流和時變電場(chang)(chang)怎樣產(chan)生(sheng)磁場(chang)(chang)的麥(mai)克(ke)(ke)斯韋-安培定(ding)律(lv)、描述時變磁場(chang)(chang)如何產(chan)生(sheng)電場(chang)(chang)的法拉第感(gan)應定(ding)律(lv)。
從麥克斯(si)韋方(fang)程組(zu)，可以推論出(chu)電(dian)磁波在真空中(zhong)以光(guang)(guang)速傳播，并進(jin)而做出(chu)光(guang)(guang)是(shi)電(dian)磁波的(de)(de)猜想。麥克斯(si)韋方(fang)程組(zu)和洛倫茲(zi)力方(fang)程是(shi)經典電(dian)磁學的(de)(de)基礎(chu)方(fang)程。從這些基礎(chu)方(fang)程的(de)(de)相(xiang)關理(li)論，發(fa)展出(chu)現代的(de)(de)電(dian)力科技與電(dian)子科技。
麥克斯韋在1865年提出(chu)的(de)(de)最初形式(shi)(shi)的(de)(de)方程組(zu)由(you)20個等式(shi)(shi)和20個變量(liang)組(zu)成。他在1873年嘗試用四元數來(lai)表(biao)達，但未成功。現在所使(shi)用的(de)(de)數學形式(shi)(shi)是奧利弗·赫維賽德和約西亞·吉(ji)布斯于1884年以(yi)矢量(liang)分(fen)析(xi)的(de)(de)形式(shi)(shi)重(zhong)新表(biao)達的(de)(de)。
麥克斯韋(wei)誕(dan)生前(qian)的(de)(de)半個(ge)多(duo)(duo)世(shi)紀(ji)，人類對電(dian)(dian)磁(ci)現象的(de)(de)認識取得(de)了(le)很大(da)的(de)(de)進展。1785年，法國(guo)物理學(xue)家C.A.庫侖（Charles A. Coulomb）在(zai)扭秤實驗結果(guo)的(de)(de)基(ji)礎(chu)上，建立了(le)說(shuo)明兩個(ge)點(dian)電(dian)(dian)荷之間相互作(zuo)用(yong)力的(de)(de)庫侖定律。1820年，H.C.奧斯特(te)（Hans Christian Oersted）發現電(dian)(dian)流能使(shi)磁(ci)針偏轉，從而(er)把(ba)電(dian)(dian)與(yu)磁(ci)聯系起來。其(qi)后，A.M.安培（Andre Marie Ampère）研(yan)究了(le)電(dian)(dian)流之間的(de)(de)相互作(zuo)用(yong)力，提出了(le)許多(duo)(duo)重要(yao)概念和安培環路定律。M.法拉第（Michael Faraday）在(zai)很多(duo)(duo)方面(mian)有(you)杰(jie)出貢獻，特(te)別是(shi)1831年發表的(de)(de)電(dian)(dian)磁(ci)感應定律，是(shi)電(dian)(dian)機(ji)、變壓(ya)器等設(she)備的(de)(de)重要(yao)理論基(ji)礎(chu)。
1845年(nian)(nian)，關于電(dian)磁現(xian)象的三個最(zui)基本的實驗定(ding)(ding)律：庫(ku)侖定(ding)(ding)律（1785年(nian)(nian)）、畢奧-薩伐(fa)爾(er)定(ding)(ding)律（1820年(nian)(nian)）、法(fa)(fa)(fa)拉(la)第(di)電(dian)磁感(gan)應定(ding)(ding)律（1831~1845年(nian)(nian)）已被總結出(chu)來(lai)，法(fa)(fa)(fa)拉(la)第(di)的“電(dian)力線”和“磁力線”（現(xian)在也(ye)叫做(zuo)“電(dian)場(chang)線”與“磁感(gan)線”）概念(nian)已發展成“電(dian)磁場(chang)概念(nian)”。1855年(nian)(nian)至(zhi)1865年(nian)(nian)，麥(mai)克斯韋在全面地審視了庫(ku)侖定(ding)(ding)律、畢奧—薩伐(fa)爾(er)定(ding)(ding)律和法(fa)(fa)(fa)拉(la)第(di)定(ding)(ding)律的基礎(chu)上，把數學分析(xi)方法(fa)(fa)(fa)帶進了電(dian)磁學的研究領域，由(you)此導致麥(mai)克斯韋電(dian)磁理論的誕生。
在麥克斯韋之前，關于電(dian)磁(ci)現象的(de)(de)(de)學說都以超距作用觀念為基(ji)礎，認為帶電(dian)體、磁(ci)化體或載流導體之間(jian)(jian)的(de)(de)(de)相(xiang)互作用，都是可以超越中間(jian)(jian)媒(mei)質而直接進行(xing)并立即完成的(de)(de)(de)，即認為電(dian)磁(ci)擾動的(de)(de)(de)傳播(bo)速度無限大。在那個時(shi)期，持不同意見的(de)(de)(de)只(zhi)有法拉第。他認為上述這些相(xiang)互作用與中間(jian)(jian)媒(mei)質有關，是通過中間(jian)(jian)媒(mei)質的(de)(de)(de)傳遞而進行(xing)的(de)(de)(de)，即主張間(jian)(jian)遞學說。
麥(mai)克斯韋(wei)繼承了(le)法拉第的(de)觀點，參照流體力學的(de)模型，應用嚴(yan)謹的(de)數學形(xing)式總結了(le)前人的(de)工作，提出了(le)位移電(dian)流的(de)假說(shuo)，推(tui)廣(guang)了(le)電(dian)流的(de)涵義，將電(dian)磁(ci)場基本定律歸結為四個微分(fen)方程，這就是(shi)著名(ming)的(de)麥(mai)克斯韋(wei)方程組。他對這組方程進行了(le)分(fen)析，預見到(dao)電(dian)磁(ci)波的(de)存在，并斷定，電(dian)磁(ci)波的(de)傳(chuan)播速(su)度為有限(xian)值（與(yu)光速(su)接近），且(qie)光也是(shi)某種頻率的(de)電(dian)磁(ci)波。上述(shu)這些，他都寫入(ru)題(ti)為《論(lun)電(dian)與(yu)磁(ci)》的(de)論(lun)文中。
1887年(nian)，海因里希·魯(lu)道夫·赫茲（Heinrich R. Hertz）用實驗方法產生和檢測到(dao)了電磁波，證實了麥克斯韋的(de)(de)預(yu)見。1905～1915年(nian)間(jian)，A.愛因斯坦（Albert Einstein）的(de)(de)相(xiang)對論進(jin)一(yi)步論證了時間(jian)、空間(jian)、質量(liang)、能量(liang)和運動之間(jian)的(de)(de)關(guan)系，說(shuo)明電磁場(chang)就是物質的(de)(de)一(yi)種形式，間(jian)遞學說(shuo)得到(dao)了公(gong)認(ren)。
麥(mai)克斯韋方程組乃是由(you)四個方程共(gong)同組成(cheng)的：
高斯定律(lv)(lv)：該定律(lv)(lv)描述電(dian)場(chang)與(yu)空間(jian)中電(dian)荷(he)分布的關(guan)系(xi)。電(dian)場(chang)線(xian)開始于(yu)正電(dian)荷(he)，終止(zhi)于(yu)負電(dian)荷(he)（或(huo)無窮遠）。計算(suan)穿過(guo)某給定閉曲(qu)(qu)面的電(dian)場(chang)線(xian)數量(liang)，即其電(dian)通量(liang)，可以得(de)知(zhi)包(bao)含在(zai)這(zhe)閉曲(qu)(qu)面內的總(zong)電(dian)荷(he)。更詳細地說，這(zhe)定律(lv)(lv)描述穿過(guo)任意閉曲(qu)(qu)面的電(dian)通量(liang)與(yu)這(zhe)閉曲(qu)(qu)面內的電(dian)荷(he)之間(jian)的關(guan)系(xi)。
高(gao)斯磁(ci)(ci)定律：該定律表明，磁(ci)(ci)單極子實(shi)際上(shang)并不存在。所以(yi)，沒(mei)有孤立磁(ci)(ci)荷，磁(ci)(ci)場線(xian)沒(mei)有初始點，也沒(mei)有終止點。磁(ci)(ci)場線(xian)會(hui)形成循(xun)環或延伸至無窮遠。換句話說(shuo)，進入(ru)任何區域(yu)的(de)磁(ci)(ci)場線(xian)，必需從那(nei)區域(yu)離開。以(yi)術語來說(shuo)，通(tong)過任意閉(bi)曲面的(de)磁(ci)(ci)通(tong)量等于零，或者，磁(ci)(ci)場是(shi)一個無源場。
法(fa)拉(la)第感(gan)(gan)應定(ding)律(lv)(lv)：該定(ding)律(lv)(lv)描述時變(bian)磁(ci)(ci)場(chang)怎(zen)樣感(gan)(gan)應出電(dian)場(chang)。電(dian)磁(ci)(ci)感(gan)(gan)應是制造許(xu)多發電(dian)機的(de)理論基礎。例如，一塊旋(xuan)轉的(de)條形磁(ci)(ci)鐵會產生(sheng)(sheng)時變(bian)磁(ci)(ci)場(chang)，這又接下來(lai)會生(sheng)(sheng)成(cheng)電(dian)場(chang)，使得鄰近的(de)閉(bi)合電(dian)路因而(er)感(gan)(gan)應出電(dian)流。
麥克(ke)斯(si)韋-安(an)培(pei)定(ding)律：該定(ding)律闡明，磁場(chang)可以用兩種方法生成：一種是靠傳導電(dian)流(liu)（原本的(de)安(an)培(pei)定(ding)律），另一種是靠時變電(dian)場(chang)，或稱位移電(dian)流(liu)（麥克(ke)斯(si)韋修正(zheng)項）。
在電(dian)磁(ci)學里(li)，麥克斯韋(wei)修正項(xiang)意(yi)味(wei)著時變電(dian)場(chang)可(ke)以(yi)生成磁(ci)場(chang)，而(er)由于法拉第感(gan)應定律，時變磁(ci)場(chang)又(you)可(ke)以(yi)生成電(dian)場(chang)。這樣，兩個方程在理論上(shang)允許自我(wo)維持的電(dian)磁(ci)波傳播于空間。
麥克斯韋電磁場(chang)理論的(de)要點(dian)可以歸(gui)結為：
①幾分立(li)的(de)(de)帶電(dian)體或電(dian)流，它們(men)之(zhi)間(jian)的(de)(de)一切電(dian)的(de)(de)及磁的(de)(de)作(zuo)用都是通(tong)過它們(men)之(zhi)間(jian)的(de)(de)中間(jian)區(qu)(qu)域傳遞的(de)(de)，不論中間(jian)區(qu)(qu)域是真空(kong)還是實體物(wu)質。
②電(dian)(dian)能或(huo)磁能不僅存在(zai)于帶電(dian)(dian)體(ti)(ti)、磁化(hua)體(ti)(ti)或(huo)帶電(dian)(dian)流物體(ti)(ti)中，其大部分分布在(zai)周圍的電(dian)(dian)磁場中。
③導體構成的電(dian)路若有中斷處，電(dian)路中的傳導電(dian)流將(jiang)由電(dian)介質(zhi)中的位移電(dian)流補償貫通，即全電(dian)流連續。且位移電(dian)流與其所產生的磁場(chang)的關系與傳導電(dian)流的相(xiang)同。
④磁通量既(ji)無始點(dian)又無終點(dian)，即不存在磁荷。
⑤光波也是電磁波。
麥克斯(si)韋(wei)方程組有(you)兩種表達(da)方式。
1.積(ji)分形式的(de)麥克斯韋方程組是(shi)描述(shu)電磁場在某一體(ti)積(ji)或(huo)某一面積(ji)內(nei)的(de)數(shu)學模(mo)型(xing)。表達式為(wei)：
式(shi)(shi)①是(shi)由安培環路(lu)定(ding)(ding)律推廣而得的(de)(de)(de)全(quan)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)定(ding)(ding)律，其含(han)義是(shi)：磁(ci)(ci)場強度H沿任意閉(bi)(bi)(bi)合曲(qu)(qu)線(xian)(xian)的(de)(de)(de)線(xian)(xian)積(ji)(ji)(ji)分(fen)，等(deng)(deng)于穿(chuan)過此曲(qu)(qu)線(xian)(xian)限定(ding)(ding)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)全(quan)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)。等(deng)(deng)號(hao)右邊第(di)(di)一(yi)項是(shi)傳導(dao)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)．第(di)(di)二項是(shi)位(wei)移電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)。式(shi)(shi)②是(shi)法拉第(di)(di)電(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)感應定(ding)(ding)律的(de)(de)(de)表(biao)達式(shi)(shi)，它說明電(dian)(dian)(dian)場強度E沿任意閉(bi)(bi)(bi)合曲(qu)(qu)線(xian)(xian)的(de)(de)(de)線(xian)(xian)積(ji)(ji)(ji)分(fen)等(deng)(deng)于穿(chuan)過由該曲(qu)(qu)線(xian)(xian)所限定(ding)(ding)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)磁(ci)(ci)通對時間的(de)(de)(de)變化(hua)率的(de)(de)(de)負值。這里(li)提到的(de)(de)(de)閉(bi)(bi)(bi)合曲(qu)(qu)線(xian)(xian)，并(bing)不一(yi)定(ding)(ding)要由導(dao)體構成，它可以(yi)是(shi)介質回(hui)路(lu)，甚(shen)至只是(shi)任意一(yi)個(ge)閉(bi)(bi)(bi)合輪廓。式(shi)(shi)③表(biao)示磁(ci)(ci)通連續(xu)性原理，說明對于任意一(yi)個(ge)閉(bi)(bi)(bi)合曲(qu)(qu)面(mian)(mian)，有多少磁(ci)(ci)通進入(ru)曲(qu)(qu)面(mian)(mian)就有同樣(yang)數量的(de)(de)(de)磁(ci)(ci)通離開。即B線(xian)(xian)是(shi)既(ji)無始(shi)端又無終(zhong)端的(de)(de)(de)；同時也說明并(bing)不存在與電(dian)(dian)(dian)荷(he)相對應的(de)(de)(de)磁(ci)(ci)荷(he)。式(shi)(shi)④是(shi)高斯(si)定(ding)(ding)律的(de)(de)(de)表(biao)達式(shi)(shi)，說明在時變的(de)(de)(de)條件下，從任意一(yi)個(ge)閉(bi)(bi)(bi)合曲(qu)(qu)面(mian)(mian)出來的(de)(de)(de)D的(de)(de)(de)凈通量，應等(deng)(deng)于該閉(bi)(bi)(bi)曲(qu)(qu)面(mian)(mian)所包圍的(de)(de)(de)體積(ji)(ji)(ji)內全(quan)部自由電(dian)(dian)(dian)荷(he)之(zhi)總和。
2.微分(fen)形式的麥(mai)克斯韋(wei)方程組。微分(fen)形式的麥(mai)克斯韋(wei)方程是對場中每一(yi)點(dian)而(er)言的。應用del算子，可以(yi)把它們(men)寫成
式(shi)⑤是(shi)全(quan)電(dian)流(liu)(liu)(liu)定律的(de)(de)微(wei)分(fen)形式(shi)，它(ta)說明磁(ci)(ci)(ci)(ci)(ci)場(chang)強度(du)(du)H的(de)(de)旋(xuan)度(du)(du)等(deng)(deng)于該點(dian)的(de)(de)全(quan)電(dian)流(liu)(liu)(liu)密度(du)(du)（傳導(dao)電(dian)流(liu)(liu)(liu)密度(du)(du)J與(yu)位移(yi)(yi)電(dian)流(liu)(liu)(liu)密度(du)(du)之和），即(ji)磁(ci)(ci)(ci)(ci)(ci)場(chang)的(de)(de)漩渦源是(shi)全(quan)電(dian)流(liu)(liu)(liu)密度(du)(du)，位移(yi)(yi)電(dian)流(liu)(liu)(liu)與(yu)傳導(dao)電(dian)流(liu)(liu)(liu)一樣都能(neng)產生磁(ci)(ci)(ci)(ci)(ci)場(chang)。式(shi)⑥是(shi)法拉第電(dian)磁(ci)(ci)(ci)(ci)(ci)感應(ying)定律的(de)(de)微(wei)分(fen)形式(shi)，說明電(dian)場(chang)強度(du)(du)E的(de)(de)旋(xuan)度(du)(du)等(deng)(deng)于該點(dian)磁(ci)(ci)(ci)(ci)(ci)通(tong)密度(du)(du)B的(de)(de)時間變化率的(de)(de)負(fu)值，即(ji)電(dian)場(chang)的(de)(de)渦旋(xuan)源是(shi)磁(ci)(ci)(ci)(ci)(ci)通(tong)密度(du)(du)的(de)(de)時間變化率。式(shi)⑦是(shi)磁(ci)(ci)(ci)(ci)(ci)通(tong)連續(xu)性原理的(de)(de)微(wei)分(fen)形式(shi)，說明磁(ci)(ci)(ci)(ci)(ci)通(tong)密度(du)(du)B的(de)(de)散(san)度(du)(du)恒等(deng)(deng)于零，即(ji)B線(xian)是(shi)無始無終的(de)(de)。也(ye)就是(shi)說不存在與(yu)電(dian)荷對應(ying)的(de)(de)磁(ci)(ci)(ci)(ci)(ci)荷。式(shi)⑧是(shi)靜電(dian)場(chang)高斯定律的(de)(de)推廣，即(ji)在時變條(tiao)件下(xia)，電(dian)位移(yi)(yi)D的(de)(de)散(san)度(du)(du)仍等(deng)(deng)于該點(dian)的(de)(de)自由(you)電(dian)荷體密度(du)(du)。
除了上述四個方程外，還需(xu)要有媒質的本(ben)構關系式(shi)
才能最終(zhong)解(jie)(jie)決場(chang)量的(de)求解(jie)(jie)問(wen)題(ti)。式中ε是(shi)媒質(zhi)的(de)介電常數，μ是(shi)媒質(zhi)的(de)磁導率，σ是(shi)媒質(zhi)的(de)電導率。
麥克斯韋方程組的積分形式如下：
這是1873年前后，麥克(ke)斯(si)韋(wei)提出的表(biao)述電磁場(chang)普遍(bian)規律的四個方(fang)程。其中：
（1）描述(shu)了(le)電(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)的(de)性質。在(zai)一般情況下，電(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)可(ke)以是(shi)自由電(dian)(dian)荷的(de)電(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)也可(ke)以是(shi)變(bian)化磁場(chang)(chang)(chang)激發的(de)感應電(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)，而感應電(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)是(shi)渦旋場(chang)(chang)(chang)，它(ta)的(de)電(dian)(dian)位移線(xian)是(shi)閉(bi)合的(de)，對(dui)封閉(bi)曲(qu)面的(de)通(tong)量無貢獻。
（2）描述了磁場的(de)性質。磁場可以(yi)由傳導電(dian)(dian)流(liu)激(ji)發，也可以(yi)由變(bian)化電(dian)(dian)場的(de)位移電(dian)(dian)流(liu)所(suo)激(ji)發，它們的(de)磁場都(dou)是(shi)渦旋場，磁感(gan)應(ying)線(xian)都(dou)是(shi)閉合(he)線(xian)，對封閉曲面(mian)的(de)通(tong)量(liang)無貢獻。
（3）描(miao)述了變化的磁場(chang)激(ji)發電場(chang)的規律。
（4）描述了傳導電(dian)流和變化的電(dian)場激發磁(ci)場的規律。
穩恒場中的形式
當
時，方程組就還(huan)原為(wei)靜電(dian)場和穩恒磁場的方程：
無場源(yuan)自由空間中的形式(shi)
當，方(fang)程組就成為如下(xia)形式：
麥克(ke)斯(si)韋方程組的積分形式反映了空(kong)間某區域的電磁場(chang)量（D、E、B、H）和場(chang)源（電荷q、電流I）之(zhi)間的關系。
在(zai)電(dian)(dian)磁場(chang)的(de)(de)實際應用中，經常要知道空(kong)間(jian)逐點的(de)(de)電(dian)(dian)磁場(chang)量和(he)電(dian)(dian)荷、電(dian)(dian)流之(zhi)間(jian)的(de)(de)關系。從數學形式(shi)上，就是將(jiang)麥克斯韋方(fang)程組(zu)的(de)(de)積分形式(shi)化為微分形式(shi)。倒三角形為哈密頓(dun)算(suan)子。
注意：
(1)在不(bu)同的慣性參照(zhao)系中，麥克斯韋(wei)方程組有同樣的形式。
(2)應用麥克斯韋方程組(zu)解決實際問題，還要考慮介質(zhi)(zhi)對電(dian)磁場的影響。例如在均勻各向同性介質(zhi)(zhi)中，電(dian)磁場量與介質(zhi)(zhi)特性量有下列關系：
在非均勻介質中，還要考慮電(dian)磁場量(liang)在界面上的邊(bian)值關系。在利用t=0時場量(liang)的初值條件(jian)，原則上可(ke)以求出任(ren)一(yi)時刻空間(jian)任(ren)一(yi)點的電(dian)磁場，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。
下面是高斯單(dan)位制下的麥克斯韋方程組
當有(you)介質(zhi)(zhi)存在(zai)時(shi)，由于電場(chang)和磁場(chang)與(yu)介質(zhi)(zhi)的(de)(de)相互影響，使電磁場(chang)量與(yu)介質(zhi)(zhi)的(de)(de)特(te)性有(you)關，因此上述麥克斯(si)韋方程組在(zai)這時(shi)還(huan)不(bu)是完備的(de)(de)，還(huan)需要再補充描述介質(zhi)(zhi)（各向同(tong)性介質(zhi)(zhi)）性質(zhi)(zhi)的(de)(de)物性方程，分別為
式(shi)中，ε、μ和(he)σ分(fen)別(bie)是介質(zhi)的絕(jue)對介電(dian)常數、絕(jue)對磁導率(lv)(lv)和(he)導體(ti)的電(dian)導率(lv)(lv)。
進一(yi)步的(de)理論證明麥克斯韋(wei)方(fang)程(cheng)組(zu)式(shi)(shi)與物性方(fang)程(cheng)式(shi)(shi)一(yi)起對于(yu)決定電(dian)磁(ci)(ci)(ci)場的(de)變化來說是一(yi)組(zu)完備的(de)方(fang)程(cheng)式(shi)(shi)。這就是說，當電(dian)荷(he)、電(dian)流(liu)給定時，從上述(shu)方(fang)程(cheng)根據初始條件（以(yi)及必要(yao)的(de)邊界條件）就可以(yi)完全決定電(dian)磁(ci)(ci)(ci)場的(de)變化。當然，如果(guo)要(yao)討論電(dian)磁(ci)(ci)(ci)場對帶電(dian)粒(li)子的(de)作(zuo)用(yong)以(yi)及帶電(dian)粒(li)子在電(dian)磁(ci)(ci)(ci)場中的(de)運動，還(huan)需要(yao)洛(luo)倫茲力公式(shi)(shi)。
對于正弦時變場，可以使用復(fu)(fu)矢量將電磁場定律表示為復(fu)(fu)數形式(shi)。
在復數形(xing)式的電(dian)磁場(chang)定律中(zhong)，由于復數場(chang)量和(he)源量都只是空間位置的函(han)數，在求解時，不(bu)必(bi)再考慮它們與(yu)時間的依(yi)賴(lai)關系。因此，對討論正弦時變場(chang)來說面采用復數形(xing)式的電(dian)磁場(chang)定律是較(jiao)為方便的。
采用不同(tong)的單位制，麥克斯韋(wei)方程(cheng)(cheng)組的形式(shi)會稍(shao)微(wei)有所改變，大致(zhi)形式(shi)仍舊(jiu)相同(tong)，只是不同(tong)的常(chang)數會出(chu)現(xian)在(zai)方程(cheng)(cheng)內部不同(tong)位置。
國際單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)是(shi)最常使用(yong)(yong)的(de)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)，整個工程學領域都(dou)采(cai)(cai)用(yong)(yong)這(zhe)種(zhong)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)，大多數(shu)化學家(jia)也(ye)(ye)都(dou)使用(yong)(yong)這(zhe)種(zhong)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)，大學物(wu)理(li)教(jiao)科書幾(ji)乎都(dou)采(cai)(cai)用(yong)(yong)這(zhe)種(zhong)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)。其它常用(yong)(yong)的(de)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)有高斯單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)、洛(luo)倫茲-赫維(wei)賽德(de)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)（Lorentz-Heaviside units）和普朗克單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)。由厘米-克-秒制(zhi)(zhi)衍(yan)生的(de)高斯單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)，比較適合(he)于教(jiao)學用(yong)(yong)途，能夠(gou)使得方程看起來更簡單(dan)(dan)、更易懂。洛(luo)倫茲-赫維(wei)賽德(de)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)也(ye)(ye)是(shi)衍(yan)生于厘米-克-秒制(zhi)(zhi)，主要用(yong)(yong)于粒子(zi)物(wu)理(li)學；普朗克單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)是(shi)一種(zhong)自(zi)然單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)，其單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)都(dou)是(shi)根據(ju)自(zi)然的(de)性(xing)質定(ding)義，不是(shi)由人(ren)為設定(ding)。普朗克單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)是(shi)研究理(li)論物(wu)理(li)學非常有用(yong)(yong)的(de)工具，能夠(gou)給(gei)出(chu)很大的(de)啟示。在本(ben)頁里，除非特(te)別說明(ming)，所有方程都(dou)采(cai)(cai)用(yong)(yong)國際單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)。
這里展示出麥克斯(si)韋(wei)方程組的兩種等價表述(shu)。第一(yi)種表述(shu)如下：
這種(zhong)(zhong)表述(shu)將自由電(dian)荷(he)和(he)束縛電(dian)荷(he)總(zong)(zong)(zong)和(he)為高(gao)斯定律所需要的(de)(de)總(zong)(zong)(zong)電(dian)荷(he)，又(you)將自由電(dian)流(liu)、束縛電(dian)流(liu)和(he)電(dian)極化電(dian)流(liu)總(zong)(zong)(zong)合為麥克斯韋-安培定律內的(de)(de)總(zong)(zong)(zong)電(dian)流(liu)。這種(zhong)(zhong)表述(shu)采用比較(jiao)基(ji)礎、微觀的(de)(de)觀點。這種(zhong)(zhong)表述(shu)可以應用于計算在真空里有限(xian)源電(dian)荷(he)與(yu)源電(dian)流(liu)所產生的(de)(de)電(dian)場與(yu)磁場。但是，對于物質內部超(chao)多的(de)(de)電(dian)子(zi)與(yu)原子(zi)核，實際而言，無法一一納入計算。事實上，經典電(dian)磁學(xue)也不(bu)需要這么精確(que)的(de)(de)答案。
第(di)二種表述(shu)(shu)見前所述(shu)(shu)“積(ji)分形(xing)(xing)式”中的(de)(de)(de)(de)“一般(ban)形(xing)(xing)式”。它以自由(you)(you)電(dian)荷(he)和(he)(he)自由(you)(you)電(dian)流為源(yuan)頭(tou)，而不直接計算(suan)(suan)出(chu)現(xian)于(yu)(yu)電(dian)介質(zhi)(zhi)的(de)(de)(de)(de)束(shu)(shu)縛(fu)電(dian)荷(he)和(he)(he)出(chu)現(xian)于(yu)(yu)磁(ci)化(hua)物質(zhi)(zhi)的(de)(de)(de)(de)束(shu)(shu)縛(fu)電(dian)流和(he)(he)電(dian)極化(hua)電(dian)流所給(gei)出(chu)的(de)(de)(de)(de)貢獻。由(you)(you)于(yu)(yu)在一般(ban)實際狀況，能夠直接控制(zhi)的(de)(de)(de)(de)參數是自由(you)(you)電(dian)荷(he)和(he)(he)自由(you)(you)電(dian)流，而束(shu)(shu)縛(fu)電(dian)荷(he)、束(shu)(shu)縛(fu)電(dian)流和(he)(he)電(dian)極化(hua)電(dian)流是物質(zhi)(zhi)經(jing)過極化(hua)后產生(sheng)的(de)(de)(de)(de)現(xian)象，采(cai)用這種表述(shu)(shu)會使得在介電(dian)質(zhi)(zhi)或磁(ci)化(hua)物質(zhi)(zhi)內各(ge)種物理計算(suan)(suan)更加(jia)簡易。
表面上(shang)看，麥(mai)克斯韋方程(cheng)組似(si)乎是(shi)超定(ding)(ding)的(de)(de)（overdetermined）方程(cheng)組，它只有(you)六個(ge)未知量（矢量電場、磁場各擁有(you)三個(ge)未知量，電流與(yu)(yu)電荷(he)不(bu)是(shi)未知量，而是(shi)自(zi)由設(she)定(ding)(ding)并(bing)符合(he)電荷(he)守(shou)恒的(de)(de)物理量），但(dan)卻有(you)八個(ge)方程(cheng)（兩(liang)個(ge)高斯定(ding)(ding)律共(gong)有(you)兩(liang)個(ge)方程(cheng)，法(fa)拉第(di)定(ding)(ding)律與(yu)(yu)安培定(ding)(ding)律是(shi)矢量式(shi)，各含有(you)三個(ge)方程(cheng)）。這狀況與(yu)(yu)麥(mai)克斯韋方程(cheng)組的(de)(de)某(mou)種有(you)限重復性有(you)關。從理論可(ke)以(yi)推(tui)導出，任何滿(man)足(zu)法(fa)拉第(di)定(ding)(ding)律與(yu)(yu)安培定(ding)(ding)律的(de)(de)系統必定(ding)(ding)滿(man)足(zu)兩(liang)個(ge)高斯定(ding)(ding)律。
另一方(fang)面，麥(mai)克斯韋方(fang)程組又(you)是不封閉的。只有給定了電磁介質的特性(xing)，此方(fang)程組才能得到定解。
麥克斯韋方程組通常應用于(yu)(yu)各種(zhong)場的(de)(de)“宏觀平均(jun)場”。當尺度縮小至(zhi)(zhi)微觀（microscopic scale），以(yi)至(zhi)(zhi)于(yu)(yu)接近單獨原(yuan)子大小的(de)(de)時(shi)侯，這些(xie)場的(de)(de)局(ju)部波動差異(yi)將變得無法忽略，量子現象也會開始出現。只有(you)在宏觀平均(jun)的(de)(de)前提下，一些(xie)物理量如物質的(de)(de)電容(rong)率(lv)和磁(ci)導率(lv)才會得到有(you)意義(yi)的(de)(de)定義(yi)值。
最(zui)(zui)重的(de)(de)原子(zi)核的(de)(de)半徑大約為(wei)(wei)(wei)(wei)7飛米(mi)（1fm=10-15m）。所以，在經(jing)典電(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)學里(li)，微(wei)(wei)觀(guan)(guan)尺(chi)度指(zhi)的(de)(de)是尺(chi)寸的(de)(de)數(shu)量級(ji)大于10-14m 。滿足微(wei)(wei)觀(guan)(guan)尺(chi)度，電(dian)(dian)(dian)(dian)子(zi)和(he)(he)原子(zi)核可以視為(wei)(wei)(wei)(wei)點電(dian)(dian)(dian)(dian)荷，微(wei)(wei)觀(guan)(guan)麥(mai)克斯(si)韋方(fang)(fang)程組成(cheng)立(li)(li)；否則，必需(xu)(xu)(xu)將原子(zi)核內部的(de)(de)電(dian)(dian)(dian)(dian)荷分布(bu)納(na)入考(kao)量。在微(wei)(wei)觀(guan)(guan)尺(chi)度計算(suan)(suan)(suan)出(chu)來的(de)(de)電(dian)(dian)(dian)(dian)場與磁(ci)(ci)場仍舊(jiu)變(bian)(bian)化相(xiang)當劇烈，空間(jian)(jian)變(bian)(bian)化的(de)(de)距離數(shu)量級(ji)小于10-10m，時間(jian)(jian)變(bian)(bian)化的(de)(de)周期數(shu)量級(ji)在10-17至(zhi)10-13秒之間(jian)(jian)。因(yin)此(ci)，從微(wei)(wei)觀(guan)(guan)麥(mai)克斯(si)韋方(fang)(fang)程組，必需(xu)(xu)(xu)經(jing)過經(jing)典平(ping)均(jun)運(yun)算(suan)(suan)(suan)，才能得到平(ping)滑、連續、緩慢變(bian)(bian)化的(de)(de)宏觀(guan)(guan)電(dian)(dian)(dian)(dian)場與宏觀(guan)(guan)磁(ci)(ci)場。宏觀(guan)(guan)尺(chi)度的(de)(de)最(zui)(zui)低(di)極限為(wei)(wei)(wei)(wei)10-8米(mi)。這(zhe)意味著電(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)波的(de)(de)反(fan)射(she)與折射(she)行(xing)(xing)為(wei)(wei)(wei)(wei)可以用宏觀(guan)(guan)麥(mai)克斯(si)韋方(fang)(fang)程組來描述。以這(zhe)最(zui)(zui)低(di)極限為(wei)(wei)(wei)(wei)邊(bian)長，體積為(wei)(wei)(wei)(wei)10-24立(li)(li)方(fang)(fang)米(mi)的(de)(de)立(li)(li)方(fang)(fang)體大約含有106個原子(zi)核和(he)(he)電(dian)(dian)(dian)(dian)子(zi)。這(zhe)么多原子(zi)核和(he)(he)電(dian)(dian)(dian)(dian)子(zi)的(de)(de)物理(li)行(xing)(xing)為(wei)(wei)(wei)(wei)，經(jing)過經(jing)典平(ping)均(jun)運(yun)算(suan)(suan)(suan)，足以平(ping)緩任(ren)何劇烈的(de)(de)漲(zhang)落(luo)。根據可靠文獻記載，經(jing)典平(ping)均(jun)運(yun)算(suan)(suan)(suan)只需(xu)(xu)(xu)要(yao)在空間(jian)(jian)作平(ping)均(jun)運(yun)算(suan)(suan)(suan)，不需(xu)(xu)(xu)要(yao)在時間(jian)(jian)作平(ping)均(jun)運(yun)算(suan)(suan)(suan)，也不需(xu)(xu)(xu)要(yao)考(kao)慮到原子(zi)的(de)(de)量子(zi)效應。
場概念的產生，也有麥克斯韋的一(yi)份功勞(lao)，這是(shi)當時(shi)物理學中一(yi)個偉大的創舉，因(yin)為正是(shi)場概念的出現，使(shi)當時(shi)許多物理學家(jia)得以從牛(niu)頓“超(chao)距(ju)觀念”的束縛中擺脫出來(lai)，普遍地(di)接受(shou)了電(dian)磁作(zuo)用(yong)(yong)和引力作(zuo)用(yong)(yong)都是(shi)“近距(ju)作(zuo)用(yong)(yong)”的思想。
麥克(ke)斯(si)韋(wei)方程組(zu)在電磁(ci)學(xue)與經典(dian)電動力學(xue)中(zhong)的(de)(de)地(di)位，如(ru)同牛(niu)頓運(yun)動定律在牛(niu)頓力學(xue)中(zhong)的(de)(de)地(di)位一(yi)(yi)(yi)(yi)樣(yang)。以麥克(ke)斯(si)韋(wei)方程組(zu)為核(he)心的(de)(de)電磁(ci)理(li)論(lun)，是(shi)經典(dian)物理(li)學(xue)最引以自(zi)豪的(de)(de)成就之一(yi)(yi)(yi)(yi)。它(ta)所揭示出的(de)(de)電磁(ci)相互(hu)作用的(de)(de)完美(mei)統一(yi)(yi)(yi)(yi)，為物理(li)學(xue)家樹(shu)立了(le)這樣(yang)一(yi)(yi)(yi)(yi)種(zhong)信念：物質的(de)(de)各種(zhong)相互(hu)作用在更高層次上應(ying)該是(shi)統一(yi)(yi)(yi)(yi)的(de)(de)。這個理(li)論(lun)被(bei)廣泛地(di)應(ying)用到(dao)技(ji)術(shu)領域。
(一)經(jing)典(dian)場(chang)(chang)論是(shi)19世紀后期(qi)麥克斯(si)韋(wei)在總(zong)結電(dian)(dian)磁(ci)學(xue)三大實驗定(ding)律并把它與力學(xue)模型進行類比(bi)的(de)(de)(de)基礎上創立起來(lai)的(de)(de)(de)。但(dan)麥克斯(si)韋(wei)的(de)(de)(de)主要功績恰(qia)恰(qia)使他能(neng)(neng)夠跳出經(jing)典(dian)力學(xue)框(kuang)架的(de)(de)(de)束(shu)縛：在物理上以(yi)(yi)“場(chang)(chang)”而不是(shi)以(yi)(yi)“力”作為(wei)基本(ben)的(de)(de)(de)研究對(dui)象(xiang)，在數學(xue)上引入了有(you)別于經(jing)典(dian)數學(xue)的(de)(de)(de)矢量偏微分運(yun)算符。這(zhe)兩條是(shi)發現電(dian)(dian)磁(ci)波方程(cheng)的(de)(de)(de)基礎。這(zhe)就是(shi)說，實際上麥克斯(si)韋(wei)的(de)(de)(de)工(gong)作已經(jing)沖(chong)破(po)經(jing)典(dian)物理學(xue)和(he)當(dang)時數學(xue)的(de)(de)(de)框(kuang)架，只(zhi)是(shi)由(you)于當(dang)時的(de)(de)(de)歷史條件，人們仍然只(zhi)能(neng)(neng)從牛(niu)頓的(de)(de)(de)微積分和(he)經(jing)典(dian)力學(xue)的(de)(de)(de)框(kuang)架去理解電(dian)(dian)磁(ci)場(chang)(chang)理論。
現(xian)代(dai)數學，Hilbert空間中的(de)(de)(de)數學分析(xi)是(shi)在19世紀與20世紀之交(jiao)的(de)(de)(de)時候才(cai)出現(xian)的(de)(de)(de)。而量(liang)子(zi)力學的(de)(de)(de)物質波的(de)(de)(de)概念(nian)則在更晚(wan)的(de)(de)(de)時候才(cai)被發現(xian)，特別是(shi)對于現(xian)代(dai)數學與量(liang)子(zi)物理學之間的(de)(de)(de)不可(ke)分割的(de)(de)(de)數理邏(luo)輯聯系(xi)至今也還沒(mei)有完全被人們(men)所理解和接受。從麥克斯韋建立電磁場理論到(dao)如今，人們(men)一直以(yi)歐氏(shi)空間中的(de)(de)(de)經典(dian)數學作為求解麥克斯韋方程(cheng)組的(de)(de)(de)基本方法。
(二(er))我(wo)們從(cong)麥(mai)克斯韋方(fang)程組(zu)的(de)(de)(de)(de)(de)產(chan)生(sheng)、形式(shi)、內容和它的(de)(de)(de)(de)(de)歷史過(guo)程中可以看到：第(di)一，物(wu)理(li)(li)對象(xiang)是(shi)(shi)在(zai)(zai)(zai)更深的(de)(de)(de)(de)(de)層(ceng)次上(shang)發展成(cheng)為(wei)新的(de)(de)(de)(de)(de)公(gong)(gong)理(li)(li)表(biao)達(da)方(fang)式(shi)而被(bei)人(ren)類(lei)所掌握(wo)，所以科學的(de)(de)(de)(de)(de)進步不會是(shi)(shi)在(zai)(zai)(zai)既定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)前提下演進的(de)(de)(de)(de)(de)，一種新的(de)(de)(de)(de)(de)具有認(ren)識意(yi)義的(de)(de)(de)(de)(de)公(gong)(gong)理(li)(li)體系的(de)(de)(de)(de)(de)建(jian)立才(cai)是(shi)(shi)科學理(li)(li)論進步的(de)(de)(de)(de)(de)標志。第(di)二(er)，物(wu)理(li)(li)對象(xiang)與對它的(de)(de)(de)(de)(de)表(biao)達(da)方(fang)式(shi)雖(sui)然是(shi)(shi)不同的(de)(de)(de)(de)(de)東(dong)西，但如果不依靠合適的(de)(de)(de)(de)(de)表(biao)達(da)方(fang)法(fa)就無法(fa)認(ren)識到這個對象(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)“存在(zai)(zai)(zai)”。第(di)三，我(wo)們正在(zai)(zai)(zai)建(jian)立的(de)(de)(de)(de)(de)理(li)(li)論將決(jue)定(ding)到我(wo)們在(zai)(zai)(zai)何種層(ceng)次的(de)(de)(de)(de)(de)意(yi)義上(shang)使我(wo)們的(de)(de)(de)(de)(de)對象(xiang)成(cheng)為(wei)物(wu)理(li)(li)事實，這正是(shi)(shi)現(xian)代最前沿的(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)理(li)(li)學所給我(wo)們帶來的(de)(de)(de)(de)(de)困惑。
(三)麥克斯韋方(fang)程組揭(jie)示(shi)了電(dian)場與磁場相互轉化(hua)中(zhong)產生的(de)對(dui)稱(cheng)性(xing)(xing)優(you)美，這種(zhong)優(you)美以(yi)(yi)現代(dai)數學(xue)形式(shi)(shi)(shi)得到充(chong)分(fen)的(de)表達。但是，我(wo)們一方(fang)面應當(dang)承(cheng)認(ren)，恰(qia)當(dang)的(de)數學(xue)形式(shi)(shi)(shi)才能充(chong)分(fen)展(zhan)示(shi)經驗方(fang)法中(zhong)看不到的(de)整體性(xing)(xing)（電(dian)磁對(dui)稱(cheng)性(xing)(xing)）；另(ling)一方(fang)面，我(wo)們也不應當(dang)忘(wang)記，這種(zhong)對(dui)稱(cheng)性(xing)(xing)的(de)優(you)美是以(yi)(yi)數學(xue)形式(shi)(shi)(shi)反映(ying)出(chu)來的(de)電(dian)磁場的(de)統一本質。因此，我(wo)們應當(dang)認(ren)識到應在數學(xue)的(de)表達方(fang)式(shi)(shi)(shi)中(zhong)“發現”或“看出(chu)”了這種(zhong)對(dui)稱(cheng)性(xing)(xing)，而不是從(cong)物理(li)數學(xue)公(gong)式(shi)(shi)(shi)中(zhong)直接推演出(chu)這種(zhong)本質。
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