麥克(ke)(ke)斯韋方程(cheng)組,是英國物理學家詹姆(mu)斯·克(ke)(ke)拉克(ke)(ke)·麥克(ke)(ke)斯韋在19世紀(ji)建(jian)立的(de)一組描述(shu)(shu)電(dian)場(chang)、磁場(chang)與電(dian)荷密度(du)、電(dian)流密度(du)之間關系的(de)偏微分方程(cheng)。它由四個方程(cheng)組成(cheng):描述(shu)(shu)電(dian)荷如(ru)何產(chan)生(sheng)電(dian)場(chang)的(de)高(gao)斯定律(lv)、論述(shu)(shu)磁單(dan)極(ji)子(zi)不存(cun)在的(de)高(gao)斯磁定律(lv)、描述(shu)(shu)電(dian)流和時變(bian)電(dian)場(chang)怎(zen)樣產(chan)生(sheng)磁場(chang)的(de)麥克(ke)(ke)斯韋-安培定律(lv)、描述(shu)(shu)時變(bian)磁場(chang)如(ru)何產(chan)生(sheng)電(dian)場(chang)的(de)法拉第感應(ying)定律(lv)。
從(cong)麥克(ke)斯(si)韋方程(cheng)組(zu)(zu),可以推論(lun)出電磁波在真空中(zhong)以光速傳(chuan)播,并進而做出光是(shi)電磁波的(de)猜想(xiang)。麥克(ke)斯(si)韋方程(cheng)組(zu)(zu)和洛倫茲力(li)方程(cheng)是(shi)經典電磁學(xue)的(de)基礎方程(cheng)。從(cong)這些基礎方程(cheng)的(de)相關理論(lun),發展(zhan)出現(xian)代的(de)電力(li)科技與電子科技。
麥克斯(si)韋(wei)在1865年(nian)(nian)提出的(de)最初(chu)形式(shi)(shi)的(de)方程組(zu)由20個(ge)等式(shi)(shi)和(he)20個(ge)變量(liang)組(zu)成。他在1873年(nian)(nian)嘗試用四元(yuan)數來表達,但未(wei)成功。現在所使用的(de)數學形式(shi)(shi)是奧(ao)利弗·赫(he)維(wei)賽德和(he)約(yue)西亞·吉(ji)布斯(si)于1884年(nian)(nian)以矢量(liang)分析的(de)形式(shi)(shi)重新表達的(de)。
麥克斯(si)韋誕生前的(de)(de)半個多世(shi)紀,人類對電(dian)磁(ci)(ci)現(xian)象的(de)(de)認識(shi)取得了(le)很大的(de)(de)進(jin)展。1785年,法國物(wu)理學家C.A.庫侖(Charles A. Coulomb)在(zai)扭秤實驗結果的(de)(de)基礎(chu)上,建立了(le)說(shuo)明兩個點(dian)電(dian)荷之間相互作用力的(de)(de)庫侖定(ding)(ding)律。1820年,H.C.奧(ao)斯(si)特(Hans Christian Oersted)發現(xian)電(dian)流能使磁(ci)(ci)針偏轉(zhuan),從而把電(dian)與(yu)磁(ci)(ci)聯系起來。其(qi)后,A.M.安培(Andre Marie Ampère)研究了(le)電(dian)流之間的(de)(de)相互作用力,提出了(le)許多重(zhong)要(yao)概(gai)念和安培環路定(ding)(ding)律。M.法拉第(Michael Faraday)在(zai)很多方面有杰(jie)出貢(gong)獻,特別是1831年發表的(de)(de)電(dian)磁(ci)(ci)感應定(ding)(ding)律,是電(dian)機、變(bian)壓器(qi)等設備(bei)的(de)(de)重(zhong)要(yao)理論基礎(chu)。
1845年(nian),關于電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)現(xian)象的(de)(de)(de)三個最基(ji)本的(de)(de)(de)實驗(yan)定律(lv):庫侖(lun)定律(lv)(1785年(nian))、畢奧-薩伐(fa)爾(er)定律(lv)(1820年(nian))、法(fa)(fa)拉(la)第(di)(di)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)感(gan)應(ying)定律(lv)(1831~1845年(nian))已被(bei)總結出來,法(fa)(fa)拉(la)第(di)(di)的(de)(de)(de)“電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)力(li)線”和(he)(he)“磁(ci)(ci)力(li)線”(現(xian)在(zai)(zai)也叫(jiao)做“電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)場(chang)線”與“磁(ci)(ci)感(gan)線”)概(gai)念已發展(zhan)成“電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)場(chang)概(gai)念”。1855年(nian)至(zhi)1865年(nian),麥克斯(si)韋(wei)在(zai)(zai)全面地(di)審視了(le)庫侖(lun)定律(lv)、畢奧—薩伐(fa)爾(er)定律(lv)和(he)(he)法(fa)(fa)拉(la)第(di)(di)定律(lv)的(de)(de)(de)基(ji)礎上,把(ba)數(shu)學分析方法(fa)(fa)帶(dai)進了(le)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)學的(de)(de)(de)研究領域(yu),由此導致麥克斯(si)韋(wei)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)理論的(de)(de)(de)誕生(sheng)。
在麥克(ke)斯韋之前,關于電磁現(xian)象的(de)學說都以超距作用觀(guan)念為(wei)(wei)基礎,認(ren)為(wei)(wei)帶電體、磁化體或載流導(dao)體之間(jian)(jian)的(de)相互作用,都是可(ke)以超越中間(jian)(jian)媒(mei)質(zhi)而直接進行并立即(ji)完成的(de),即(ji)認(ren)為(wei)(wei)電磁擾動的(de)傳(chuan)(chuan)播速(su)度無限(xian)大。在那個時期(qi),持不(bu)同意(yi)見的(de)只(zhi)有法(fa)拉第。他認(ren)為(wei)(wei)上述這些相互作用與中間(jian)(jian)媒(mei)質(zhi)有關,是通過中間(jian)(jian)媒(mei)質(zhi)的(de)傳(chuan)(chuan)遞而進行的(de),即(ji)主張間(jian)(jian)遞學說。
麥(mai)克斯(si)(si)韋繼承了(le)(le)法拉第的(de)(de)觀點,參照(zhao)流(liu)體力學的(de)(de)模型,應用嚴謹的(de)(de)數學形式總結(jie)了(le)(le)前(qian)人的(de)(de)工作,提出了(le)(le)位移(yi)電(dian)(dian)流(liu)的(de)(de)假說(shuo),推廣(guang)了(le)(le)電(dian)(dian)流(liu)的(de)(de)涵義,將(jiang)電(dian)(dian)磁(ci)場基本定律歸結(jie)為(wei)四個微(wei)分方(fang)程(cheng),這就是著名的(de)(de)麥(mai)克斯(si)(si)韋方(fang)程(cheng)組。他(ta)對這組方(fang)程(cheng)進行了(le)(le)分析,預見(jian)到(dao)電(dian)(dian)磁(ci)波(bo)的(de)(de)存在,并斷定,電(dian)(dian)磁(ci)波(bo)的(de)(de)傳(chuan)播速(su)(su)度(du)為(wei)有限值(與(yu)光速(su)(su)接(jie)近),且(qie)光也是某種(zhong)頻率的(de)(de)電(dian)(dian)磁(ci)波(bo)。上述這些,他(ta)都寫入題(ti)為(wei)《論電(dian)(dian)與(yu)磁(ci)》的(de)(de)論文(wen)中。
1887年,海(hai)因(yin)里希·魯道夫·赫茲(Heinrich R. Hertz)用(yong)實驗方法產生和檢測到了電(dian)磁(ci)波,證(zheng)實了麥克斯韋(wei)的(de)(de)預見。1905~1915年間(jian),A.愛因(yin)斯坦(Albert Einstein)的(de)(de)相對(dui)論進一(yi)步論證(zheng)了時間(jian)、空間(jian)、質量(liang)、能量(liang)和運(yun)動之間(jian)的(de)(de)關系,說(shuo)明電(dian)磁(ci)場(chang)就是物質的(de)(de)一(yi)種形(xing)式(shi),間(jian)遞學說(shuo)得到了公認。
麥克(ke)斯(si)韋方程組乃是由四個(ge)方程共(gong)同組成的:
高斯定律(lv)(lv):該定律(lv)(lv)描(miao)述電(dian)(dian)場(chang)與空間中電(dian)(dian)荷(he)分布的(de)關(guan)系(xi)。電(dian)(dian)場(chang)線(xian)(xian)開始(shi)于(yu)正電(dian)(dian)荷(he),終止(zhi)于(yu)負(fu)電(dian)(dian)荷(he)(或無窮遠)。計(ji)算穿(chuan)過(guo)某給定閉曲(qu)面(mian)的(de)電(dian)(dian)場(chang)線(xian)(xian)數量(liang),即其(qi)電(dian)(dian)通量(liang),可以得知包含在這(zhe)(zhe)閉曲(qu)面(mian)內(nei)的(de)總電(dian)(dian)荷(he)。更(geng)詳細地說,這(zhe)(zhe)定律(lv)(lv)描(miao)述穿(chuan)過(guo)任意閉曲(qu)面(mian)的(de)電(dian)(dian)通量(liang)與這(zhe)(zhe)閉曲(qu)面(mian)內(nei)的(de)電(dian)(dian)荷(he)之間的(de)關(guan)系(xi)。
高斯磁(ci)(ci)定律:該定律表明(ming),磁(ci)(ci)單極子實際上并不存在(zai)。所以,沒(mei)有孤立磁(ci)(ci)荷,磁(ci)(ci)場(chang)線(xian)沒(mei)有初始點,也沒(mei)有終止(zhi)點。磁(ci)(ci)場(chang)線(xian)會形成循環或延伸至無窮遠。換句話說(shuo),進入任何區域的(de)磁(ci)(ci)場(chang)線(xian),必需(xu)從那區域離(li)開(kai)。以術語來(lai)說(shuo),通過任意(yi)閉曲面的(de)磁(ci)(ci)通量等于(yu)零,或者,磁(ci)(ci)場(chang)是一個無源場(chang)。
法拉第感應(ying)(ying)定律:該定律描(miao)述時變(bian)磁場(chang)(chang)怎樣感應(ying)(ying)出(chu)電(dian)場(chang)(chang)。電(dian)磁感應(ying)(ying)是制造許多發電(dian)機的理論基礎。例如,一塊旋轉(zhuan)的條形磁鐵會產生時變(bian)磁場(chang)(chang),這又接下來會生成電(dian)場(chang)(chang),使(shi)得鄰近的閉合(he)電(dian)路(lu)因而(er)感應(ying)(ying)出(chu)電(dian)流。
麥克(ke)(ke)斯韋-安培(pei)(pei)定(ding)律(lv):該定(ding)律(lv)闡明(ming),磁(ci)場可以(yi)用兩種方法生(sheng)成(cheng):一種是(shi)靠傳導(dao)電流(liu)(原本(ben)的安培(pei)(pei)定(ding)律(lv)),另一種是(shi)靠時變電場,或稱(cheng)位移電流(liu)(麥克(ke)(ke)斯韋修(xiu)正項(xiang))。
在電(dian)磁(ci)學里(li),麥克斯韋修正項意(yi)味著時變電(dian)場(chang)可(ke)以(yi)生成磁(ci)場(chang),而由于法拉第感應定律(lv),時變磁(ci)場(chang)又可(ke)以(yi)生成電(dian)場(chang)。這樣,兩(liang)個方程在理論(lun)上(shang)允(yun)許自(zi)我維持(chi)的電(dian)磁(ci)波(bo)傳播于空間。
麥克斯韋電磁場理論(lun)的要(yao)點可以(yi)歸結為:
①幾分(fen)立(li)的(de)(de)帶電體或電流,它們之(zhi)間的(de)(de)一(yi)切(qie)電的(de)(de)及(ji)磁的(de)(de)作用(yong)都是(shi)通過它們之(zhi)間的(de)(de)中間區(qu)域傳遞的(de)(de),不論中間區(qu)域是(shi)真空還是(shi)實體物質。
②電能或磁(ci)(ci)能不(bu)僅(jin)存在(zai)于(yu)帶電體(ti)、磁(ci)(ci)化(hua)體(ti)或帶電流物(wu)體(ti)中,其大(da)部分(fen)分(fen)布(bu)在(zai)周圍的電磁(ci)(ci)場中。
③導體(ti)構成的(de)(de)電(dian)(dian)路(lu)若有中斷處,電(dian)(dian)路(lu)中的(de)(de)傳導電(dian)(dian)流(liu)將(jiang)由(you)電(dian)(dian)介質(zhi)中的(de)(de)位移(yi)電(dian)(dian)流(liu)補償貫通,即全電(dian)(dian)流(liu)連續。且位移(yi)電(dian)(dian)流(liu)與(yu)其所產生的(de)(de)磁場的(de)(de)關系與(yu)傳導電(dian)(dian)流(liu)的(de)(de)相同(tong)。
④磁通量既(ji)無(wu)始點又無(wu)終點,即不存在磁荷。
⑤光波也是(shi)電(dian)磁波。
麥克斯韋方程組有(you)兩種表達(da)方式(shi)。
1.積分形(xing)式(shi)的(de)麥克(ke)斯韋方程(cheng)組是描述電磁(ci)場在某一體積或某一面積內(nei)的(de)數學模型。表(biao)達式(shi)為:
式①是(shi)(shi)由安培環路定(ding)(ding)律推廣而得的(de)全電(dian)流(liu)定(ding)(ding)律,其含義是(shi)(shi):磁場強度(du)H沿任意閉(bi)(bi)(bi)合(he)(he)曲(qu)線的(de)線積(ji)(ji)分(fen),等(deng)于穿(chuan)過此曲(qu)線限(xian)定(ding)(ding)面積(ji)(ji)的(de)全電(dian)流(liu)。等(deng)號右邊第一項是(shi)(shi)傳(chuan)導電(dian)流(liu).第二項是(shi)(shi)位移(yi)電(dian)流(liu)。式②是(shi)(shi)法拉(la)第電(dian)磁感應(ying)定(ding)(ding)律的(de)表(biao)達(da)式,它說(shuo)明電(dian)場強度(du)E沿任意閉(bi)(bi)(bi)合(he)(he)曲(qu)線的(de)線積(ji)(ji)分(fen)等(deng)于穿(chuan)過由該曲(qu)線所限(xian)定(ding)(ding)面積(ji)(ji)的(de)磁通對時(shi)(shi)間的(de)變(bian)化率的(de)負值。這里提到的(de)閉(bi)(bi)(bi)合(he)(he)曲(qu)線,并(bing)不一定(ding)(ding)要由導體構成,它可以是(shi)(shi)介質回路,甚至(zhi)只(zhi)是(shi)(shi)任意一個閉(bi)(bi)(bi)合(he)(he)輪廓。式③表(biao)示磁通連續性原理,說(shuo)明對于任意一個閉(bi)(bi)(bi)合(he)(he)曲(qu)面,有(you)多少磁通進(jin)入曲(qu)面就有(you)同(tong)樣數量的(de)磁通離開。即B線是(shi)(shi)既無始端(duan)又無終端(duan)的(de);同(tong)時(shi)(shi)也說(shuo)明并(bing)不存在(zai)與電(dian)荷(he)相(xiang)對應(ying)的(de)磁荷(he)。式④是(shi)(shi)高斯(si)定(ding)(ding)律的(de)表(biao)達(da)式,說(shuo)明在(zai)時(shi)(shi)變(bian)的(de)條件下(xia),從(cong)任意一個閉(bi)(bi)(bi)合(he)(he)曲(qu)面出來(lai)的(de)D的(de)凈通量,應(ying)等(deng)于該閉(bi)(bi)(bi)曲(qu)面所包(bao)圍的(de)體積(ji)(ji)內全部(bu)自(zi)由電(dian)荷(he)之總和。
2.微分形(xing)(xing)式(shi)(shi)的麥(mai)克(ke)斯(si)韋(wei)方(fang)程組。微分形(xing)(xing)式(shi)(shi)的麥(mai)克(ke)斯(si)韋(wei)方(fang)程是對場中每一點而(er)言(yan)的。應用del算(suan)子,可以把它(ta)們(men)寫成
式(shi)(shi)(shi)⑤是(shi)全(quan)(quan)電(dian)(dian)(dian)流(liu)定(ding)律的(de)(de)微(wei)分(fen)形(xing)式(shi)(shi)(shi),它說明磁場(chang)強(qiang)度(du)(du)H的(de)(de)旋(xuan)度(du)(du)等(deng)(deng)于(yu)該點(dian)的(de)(de)全(quan)(quan)電(dian)(dian)(dian)流(liu)密(mi)度(du)(du)(傳(chuan)導(dao)電(dian)(dian)(dian)流(liu)密(mi)度(du)(du)J與位移電(dian)(dian)(dian)流(liu)密(mi)度(du)(du)之和),即(ji)(ji)磁場(chang)的(de)(de)漩渦(wo)源是(shi)全(quan)(quan)電(dian)(dian)(dian)流(liu)密(mi)度(du)(du),位移電(dian)(dian)(dian)流(liu)與傳(chuan)導(dao)電(dian)(dian)(dian)流(liu)一樣(yang)都能產生磁場(chang)。式(shi)(shi)(shi)⑥是(shi)法拉第電(dian)(dian)(dian)磁感(gan)應(ying)定(ding)律的(de)(de)微(wei)分(fen)形(xing)式(shi)(shi)(shi),說明電(dian)(dian)(dian)場(chang)強(qiang)度(du)(du)E的(de)(de)旋(xuan)度(du)(du)等(deng)(deng)于(yu)該點(dian)磁通(tong)(tong)密(mi)度(du)(du)B的(de)(de)時間變化率的(de)(de)負值,即(ji)(ji)電(dian)(dian)(dian)場(chang)的(de)(de)渦(wo)旋(xuan)源是(shi)磁通(tong)(tong)密(mi)度(du)(du)的(de)(de)時間變化率。式(shi)(shi)(shi)⑦是(shi)磁通(tong)(tong)連續性(xing)原理的(de)(de)微(wei)分(fen)形(xing)式(shi)(shi)(shi),說明磁通(tong)(tong)密(mi)度(du)(du)B的(de)(de)散(san)度(du)(du)恒等(deng)(deng)于(yu)零,即(ji)(ji)B線是(shi)無始(shi)無終的(de)(de)。也就(jiu)是(shi)說不存在與電(dian)(dian)(dian)荷對(dui)應(ying)的(de)(de)磁荷。式(shi)(shi)(shi)⑧是(shi)靜(jing)電(dian)(dian)(dian)場(chang)高(gao)斯定(ding)律的(de)(de)推廣,即(ji)(ji)在時變條件(jian)下,電(dian)(dian)(dian)位移D的(de)(de)散(san)度(du)(du)仍等(deng)(deng)于(yu)該點(dian)的(de)(de)自由電(dian)(dian)(dian)荷體密(mi)度(du)(du)。
除了上述(shu)四(si)個方(fang)程外,還需(xu)要有媒(mei)質(zhi)的本構關系式
才能(neng)最終解(jie)決場量的(de)(de)求解(jie)問題(ti)。式中ε是媒(mei)質的(de)(de)介電(dian)常數,μ是媒(mei)質的(de)(de)磁導率,σ是媒(mei)質的(de)(de)電(dian)導率。
麥克(ke)斯韋方程組的(de)積分形式如下:
這(zhe)是(shi)1873年(nian)前后,麥克斯韋提出的(de)表述電磁場普遍(bian)規律的(de)四個方程。其中:
(1)描(miao)述(shu)了電(dian)場(chang)的(de)性質。在一般(ban)情況下,電(dian)場(chang)可以是自由電(dian)荷(he)的(de)電(dian)場(chang)也(ye)可以是變化磁場(chang)激發的(de)感(gan)應電(dian)場(chang),而感(gan)應電(dian)場(chang)是渦旋場(chang),它的(de)電(dian)位(wei)移線是閉(bi)合的(de),對封閉(bi)曲(qu)面(mian)的(de)通(tong)量無貢獻。
(2)描述了磁(ci)場的性(xing)質。磁(ci)場可(ke)以由傳導電流(liu)激(ji)發(fa),也可(ke)以由變化(hua)電場的位移(yi)電流(liu)所(suo)激(ji)發(fa),它們的磁(ci)場都是渦(wo)旋場,磁(ci)感(gan)應線都是閉(bi)合線,對封閉(bi)曲(qu)面的通量無貢獻。
(3)描(miao)述了(le)變(bian)化的(de)磁(ci)場激發電場的(de)規(gui)律。
(4)描述了(le)傳導電流(liu)和變化的(de)電場激發磁場的(de)規律。
穩恒場中的形式
當
時,方(fang)(fang)程組就還原為(wei)靜電場(chang)(chang)和穩(wen)恒磁(ci)場(chang)(chang)的方(fang)(fang)程:
無場(chang)源(yuan)自由空間中的形(xing)式(shi)
當(dang),方程組就成為如下形(xing)式:
麥(mai)克斯(si)韋方程組的積分(fen)形式反(fan)映了空間(jian)某(mou)區域的電(dian)磁場量(D、E、B、H)和場源(電(dian)荷q、電(dian)流I)之間(jian)的關系。
在電(dian)磁場的實際(ji)應用中,經常要(yao)知道空(kong)間逐點(dian)的電(dian)磁場量(liang)和電(dian)荷、電(dian)流(liu)之間的關系。從(cong)數學形式(shi)(shi)上,就是將麥克斯韋方程組(zu)的積分形式(shi)(shi)化(hua)為(wei)微分形式(shi)(shi)。倒三角(jiao)形為(wei)哈密(mi)頓算子。
注意:
(1)在不同(tong)的(de)慣性參照系中,麥克斯韋(wei)方程組有(you)同(tong)樣(yang)的(de)形式。
(2)應用麥克斯韋方(fang)程組解決實(shi)際(ji)問題(ti),還要考慮介(jie)(jie)(jie)質對電(dian)磁場(chang)的影響。例(li)如在均勻(yun)各向同性介(jie)(jie)(jie)質中,電(dian)磁場(chang)量(liang)與介(jie)(jie)(jie)質特性量(liang)有下列關系:
在(zai)非均勻介質中,還要考(kao)慮電(dian)磁場量在(zai)界面上(shang)的邊(bian)值關系。在(zai)利用t=0時場量的初值條件,原則(ze)上(shang)可(ke)以求出(chu)任一(yi)時刻(ke)空(kong)間任一(yi)點的電(dian)磁場,即(ji)E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。
下面是高斯(si)單(dan)位制下的麥克斯(si)韋方程(cheng)組
當有介(jie)質(zhi)存在(zai)時(shi),由于電場(chang)和磁(ci)場(chang)與(yu)(yu)介(jie)質(zhi)的相互影響,使電磁(ci)場(chang)量與(yu)(yu)介(jie)質(zhi)的特性(xing)有關,因此(ci)上述麥克斯韋(wei)方程組(zu)在(zai)這(zhe)時(shi)還不是完備的,還需(xu)要再(zai)補充描述介(jie)質(zhi)(各向(xiang)同性(xing)介(jie)質(zhi))性(xing)質(zhi)的物(wu)性(xing)方程,分別為
式(shi)中,ε、μ和σ分別是介(jie)質(zhi)的絕對介(jie)電常(chang)數、絕對磁(ci)導(dao)(dao)率(lv)和導(dao)(dao)體的電導(dao)(dao)率(lv)。
進一(yi)步(bu)的(de)理論(lun)證明麥克斯韋(wei)方程(cheng)組式與物性方程(cheng)式一(yi)起對于決(jue)定電(dian)(dian)(dian)(dian)磁場(chang)(chang)的(de)變(bian)化(hua)來說是一(yi)組完備(bei)的(de)方程(cheng)式。這就是說,當電(dian)(dian)(dian)(dian)荷、電(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)給定時,從上述方程(cheng)根據初始(shi)條(tiao)件(以及必(bi)要(yao)的(de)邊(bian)界條(tiao)件)就可以完全決(jue)定電(dian)(dian)(dian)(dian)磁場(chang)(chang)的(de)變(bian)化(hua)。當然,如果(guo)要(yao)討論(lun)電(dian)(dian)(dian)(dian)磁場(chang)(chang)對帶(dai)電(dian)(dian)(dian)(dian)粒子(zi)的(de)作用以及帶(dai)電(dian)(dian)(dian)(dian)粒子(zi)在(zai)電(dian)(dian)(dian)(dian)磁場(chang)(chang)中的(de)運動,還(huan)需要(yao)洛倫茲力公(gong)式。
對于(yu)正(zheng)弦時變場,可(ke)以使用復矢量(liang)將電磁場定律表示為復數(shu)形(xing)式。
在復(fu)數(shu)形式(shi)的(de)(de)電磁場(chang)(chang)(chang)定(ding)律(lv)中,由于復(fu)數(shu)場(chang)(chang)(chang)量和(he)源量都(dou)只(zhi)是空間(jian)位(wei)置的(de)(de)函數(shu),在求解時,不必再考慮它們與時間(jian)的(de)(de)依(yi)賴關系。因此(ci),對討論正弦時變(bian)場(chang)(chang)(chang)來說面采用復(fu)數(shu)形式(shi)的(de)(de)電磁場(chang)(chang)(chang)定(ding)律(lv)是較為方便的(de)(de)。
采用不同的單位制,麥克斯韋方程組的形式會稍微有所改變(bian),大(da)致(zhi)形式仍舊(jiu)相同,只是不同的常數(shu)會出現在方程內部不同位置。
國(guo)際(ji)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是最常使用(yong)(yong)(yong)的(de)(de)(de)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),整個(ge)工程學(xue)領域都(dou)(dou)(dou)(dou)采(cai)用(yong)(yong)(yong)這(zhe)(zhe)種(zhong)(zhong)(zhong)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),大(da)(da)多(duo)數化學(xue)家也都(dou)(dou)(dou)(dou)使用(yong)(yong)(yong)這(zhe)(zhe)種(zhong)(zhong)(zhong)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),大(da)(da)學(xue)物理(li)(li)教科書幾乎都(dou)(dou)(dou)(dou)采(cai)用(yong)(yong)(yong)這(zhe)(zhe)種(zhong)(zhong)(zhong)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。其它(ta)常用(yong)(yong)(yong)的(de)(de)(de)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)有高斯(si)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)、洛倫茲-赫(he)維賽德單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(Lorentz-Heaviside units)和普(pu)(pu)朗克(ke)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。由(you)厘米(mi)-克(ke)-秒制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)衍(yan)生的(de)(de)(de)高斯(si)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),比較適(shi)合于教學(xue)用(yong)(yong)(yong)途,能夠使得(de)方程看起(qi)來更簡單(dan)(dan)(dan)、更易(yi)懂。洛倫茲-赫(he)維賽德單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)也是衍(yan)生于厘米(mi)-克(ke)-秒制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),主要用(yong)(yong)(yong)于粒子物理(li)(li)學(xue);普(pu)(pu)朗克(ke)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是一種(zhong)(zhong)(zhong)自(zi)然單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),其單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)都(dou)(dou)(dou)(dou)是根(gen)據自(zi)然的(de)(de)(de)性(xing)質定義(yi),不(bu)是由(you)人為設定。普(pu)(pu)朗克(ke)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是研究理(li)(li)論物理(li)(li)學(xue)非常有用(yong)(yong)(yong)的(de)(de)(de)工具,能夠給(gei)出很大(da)(da)的(de)(de)(de)啟示。在本頁里,除非特(te)別說明,所(suo)有方程都(dou)(dou)(dou)(dou)采(cai)用(yong)(yong)(yong)國(guo)際(ji)單(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。
這里展示(shi)出(chu)麥克(ke)斯韋方程組的兩(liang)種等(deng)價表述(shu)。第一種表述(shu)如下:
這種表述將(jiang)自由電(dian)(dian)荷和束(shu)縛電(dian)(dian)荷總和為(wei)高斯定律(lv)所(suo)(suo)需要的(de)總電(dian)(dian)荷,又(you)將(jiang)自由電(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)、束(shu)縛電(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)和電(dian)(dian)極化電(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)總合為(wei)麥克斯韋-安培定律(lv)內的(de)總電(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)。這種表述采用(yong)比較基礎、微觀(guan)的(de)觀(guan)點。這種表述可以應用(yong)于(yu)計算(suan)在真空里(li)有限源(yuan)(yuan)電(dian)(dian)荷與源(yuan)(yuan)電(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)所(suo)(suo)產生的(de)電(dian)(dian)場與磁場。但是,對于(yu)物質(zhi)內部超多的(de)電(dian)(dian)子與原(yuan)子核,實(shi)際而言,無法(fa)一一納入(ru)計算(suan)。事(shi)實(shi)上,經典電(dian)(dian)磁學也不需要這么(me)精確的(de)答案。
第二種表述見前所(suo)述“積分形式(shi)(shi)”中(zhong)的“一般形式(shi)(shi)”。它以自(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)荷和(he)自(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)流(liu)為源(yuan)頭,而不直接(jie)計算(suan)出(chu)現(xian)于(yu)(yu)電(dian)(dian)(dian)介(jie)質(zhi)(zhi)的束(shu)縛電(dian)(dian)(dian)荷和(he)出(chu)現(xian)于(yu)(yu)磁化(hua)物(wu)(wu)質(zhi)(zhi)的束(shu)縛電(dian)(dian)(dian)流(liu)和(he)電(dian)(dian)(dian)極(ji)化(hua)電(dian)(dian)(dian)流(liu)所(suo)給出(chu)的貢獻。由(you)于(yu)(yu)在一般實(shi)際狀(zhuang)況,能夠(gou)直接(jie)控制的參數是自(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)荷和(he)自(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)流(liu),而束(shu)縛電(dian)(dian)(dian)荷、束(shu)縛電(dian)(dian)(dian)流(liu)和(he)電(dian)(dian)(dian)極(ji)化(hua)電(dian)(dian)(dian)流(liu)是物(wu)(wu)質(zhi)(zhi)經過極(ji)化(hua)后產生的現(xian)象,采用這種表述會使得在介(jie)電(dian)(dian)(dian)質(zhi)(zhi)或磁化(hua)物(wu)(wu)質(zhi)(zhi)內(nei)各種物(wu)(wu)理(li)計算(suan)更加簡易。
表面上(shang)看,麥克斯(si)韋(wei)方程組似乎是超定(ding)(ding)(ding)(ding)的(overdetermined)方程組,它只(zhi)有(you)六個(ge)未(wei)知(zhi)量(liang)(矢量(liang)電(dian)場(chang)、磁(ci)場(chang)各(ge)擁(yong)有(you)三個(ge)未(wei)知(zhi)量(liang),電(dian)流(liu)與電(dian)荷不是未(wei)知(zhi)量(liang),而是自由設定(ding)(ding)(ding)(ding)并符(fu)合(he)電(dian)荷守恒的物理(li)量(liang)),但卻(que)有(you)八個(ge)方程(兩(liang)個(ge)高(gao)(gao)斯(si)定(ding)(ding)(ding)(ding)律共有(you)兩(liang)個(ge)方程,法拉(la)第定(ding)(ding)(ding)(ding)律與安培定(ding)(ding)(ding)(ding)律是矢量(liang)式,各(ge)含有(you)三個(ge)方程)。這狀況與麥克斯(si)韋(wei)方程組的某(mou)種有(you)限重(zhong)復性有(you)關。從理(li)論可以推(tui)導(dao)出,任(ren)何滿(man)足法拉(la)第定(ding)(ding)(ding)(ding)律與安培定(ding)(ding)(ding)(ding)律的系統必定(ding)(ding)(ding)(ding)滿(man)足兩(liang)個(ge)高(gao)(gao)斯(si)定(ding)(ding)(ding)(ding)律。
另一方(fang)(fang)面,麥克(ke)斯韋方(fang)(fang)程組(zu)又是(shi)不封閉的(de)(de)。只有給(gei)定了電磁介(jie)質的(de)(de)特性,此方(fang)(fang)程組(zu)才能得到(dao)定解(jie)。
麥克斯韋方(fang)程組通常(chang)應(ying)用于(yu)各種場(chang)的(de)(de)“宏(hong)觀(guan)平均(jun)場(chang)”。當(dang)尺度(du)縮小至微觀(guan)(microscopic scale),以至于(yu)接近(jin)單獨原(yuan)子(zi)大小的(de)(de)時(shi)侯,這些場(chang)的(de)(de)局部波動差(cha)異將(jiang)變得無(wu)法忽略(lve),量子(zi)現象也會開始出現。只有在宏(hong)觀(guan)平均(jun)的(de)(de)前提下(xia),一些物理量如物質的(de)(de)電容率(lv)和磁導率(lv)才會得到有意義的(de)(de)定義值(zhi)。
最(zui)重的(de)(de)(de)(de)原(yuan)子(zi)(zi)(zi)核的(de)(de)(de)(de)半(ban)徑大約為(wei)(wei)(wei)7飛米(mi)(1fm=10-15m)。所以(yi),在(zai)經(jing)典電(dian)(dian)磁(ci)學里,微觀(guan)(guan)尺(chi)(chi)度(du)指的(de)(de)(de)(de)是(shi)尺(chi)(chi)寸的(de)(de)(de)(de)數量(liang)級大于10-14m 。滿足微觀(guan)(guan)尺(chi)(chi)度(du),電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)和(he)(he)原(yuan)子(zi)(zi)(zi)核可(ke)以(yi)視(shi)為(wei)(wei)(wei)點電(dian)(dian)荷,微觀(guan)(guan)麥克斯韋方(fang)(fang)程組成立(li);否(fou)則,必需(xu)將(jiang)原(yuan)子(zi)(zi)(zi)核內部的(de)(de)(de)(de)電(dian)(dian)荷分(fen)布納入考(kao)(kao)量(liang)。在(zai)微觀(guan)(guan)尺(chi)(chi)度(du)計算(suan)(suan)出來的(de)(de)(de)(de)電(dian)(dian)場與磁(ci)場仍舊變(bian)化(hua)相當劇(ju)(ju)烈,空間(jian)變(bian)化(hua)的(de)(de)(de)(de)距離數量(liang)級小于10-10m,時間(jian)變(bian)化(hua)的(de)(de)(de)(de)周(zhou)期數量(liang)級在(zai)10-17至10-13秒(miao)之間(jian)。因此,從微觀(guan)(guan)麥克斯韋方(fang)(fang)程組,必需(xu)經(jing)過經(jing)典平(ping)(ping)均(jun)(jun)運(yun)(yun)(yun)算(suan)(suan),才能得(de)到平(ping)(ping)滑、連續、緩慢變(bian)化(hua)的(de)(de)(de)(de)宏觀(guan)(guan)電(dian)(dian)場與宏觀(guan)(guan)磁(ci)場。宏觀(guan)(guan)尺(chi)(chi)度(du)的(de)(de)(de)(de)最(zui)低極限(xian)為(wei)(wei)(wei)10-8米(mi)。這(zhe)(zhe)意味著電(dian)(dian)磁(ci)波的(de)(de)(de)(de)反射(she)與折射(she)行為(wei)(wei)(wei)可(ke)以(yi)用宏觀(guan)(guan)麥克斯韋方(fang)(fang)程組來描述。以(yi)這(zhe)(zhe)最(zui)低極限(xian)為(wei)(wei)(wei)邊長(chang),體積(ji)為(wei)(wei)(wei)10-24立(li)方(fang)(fang)米(mi)的(de)(de)(de)(de)立(li)方(fang)(fang)體大約含有106個(ge)原(yuan)子(zi)(zi)(zi)核和(he)(he)電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)。這(zhe)(zhe)么多原(yuan)子(zi)(zi)(zi)核和(he)(he)電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)的(de)(de)(de)(de)物理(li)行為(wei)(wei)(wei),經(jing)過經(jing)典平(ping)(ping)均(jun)(jun)運(yun)(yun)(yun)算(suan)(suan),足以(yi)平(ping)(ping)緩任何劇(ju)(ju)烈的(de)(de)(de)(de)漲落(luo)。根據(ju)可(ke)靠文獻記載,經(jing)典平(ping)(ping)均(jun)(jun)運(yun)(yun)(yun)算(suan)(suan)只需(xu)要在(zai)空間(jian)作(zuo)平(ping)(ping)均(jun)(jun)運(yun)(yun)(yun)算(suan)(suan),不需(xu)要在(zai)時間(jian)作(zuo)平(ping)(ping)均(jun)(jun)運(yun)(yun)(yun)算(suan)(suan),也不需(xu)要考(kao)(kao)慮到原(yuan)子(zi)(zi)(zi)的(de)(de)(de)(de)量(liang)子(zi)(zi)(zi)效(xiao)應。
場(chang)(chang)概念的(de)產生,也(ye)有麥克斯韋的(de)一(yi)份功勞,這是(shi)當時物(wu)理學中(zhong)(zhong)一(yi)個偉大的(de)創舉(ju),因為正是(shi)場(chang)(chang)概念的(de)出(chu)現,使(shi)當時許(xu)多物(wu)理學家得以從牛頓“超距觀念”的(de)束縛中(zhong)(zhong)擺脫出(chu)來(lai),普遍(bian)地接受(shou)了電磁作用和引力(li)作用都是(shi)“近距作用”的(de)思想。
麥(mai)克斯(si)韋(wei)方程(cheng)(cheng)組(zu)在電(dian)磁(ci)(ci)學(xue)與經(jing)典電(dian)動(dong)力學(xue)中(zhong)(zhong)的(de)地位,如(ru)同牛頓運動(dong)定(ding)律在牛頓力學(xue)中(zhong)(zhong)的(de)地位一(yi)樣。以麥(mai)克斯(si)韋(wei)方程(cheng)(cheng)組(zu)為核心(xin)的(de)電(dian)磁(ci)(ci)理(li)論,是經(jing)典物(wu)理(li)學(xue)最引以自豪的(de)成就之一(yi)。它所揭示(shi)出的(de)電(dian)磁(ci)(ci)相(xiang)互(hu)(hu)作(zuo)(zuo)用的(de)完美(mei)統一(yi),為物(wu)理(li)學(xue)家樹立(li)了這樣一(yi)種(zhong)信(xin)念:物(wu)質(zhi)的(de)各種(zhong)相(xiang)互(hu)(hu)作(zuo)(zuo)用在更高(gao)層次上(shang)應(ying)該是統一(yi)的(de)。這個(ge)理(li)論被廣泛地應(ying)用到技術領域。
(一(yi))經(jing)(jing)典(dian)場論(lun)是(shi)(shi)19世(shi)紀后期麥(mai)克斯韋在(zai)總(zong)結電(dian)(dian)磁(ci)學三大(da)實(shi)驗定律并把它與力學模型進行類比的(de)(de)(de)基(ji)礎(chu)上(shang)創立起(qi)來的(de)(de)(de)。但麥(mai)克斯韋的(de)(de)(de)主(zhu)要功績恰(qia)恰(qia)使他能夠跳出(chu)經(jing)(jing)典(dian)力學框架(jia)(jia)的(de)(de)(de)束縛:在(zai)物理(li)上(shang)以(yi)“場”而不是(shi)(shi)以(yi)“力”作為基(ji)本(ben)的(de)(de)(de)研究(jiu)對(dui)象,在(zai)數學上(shang)引入了有別于經(jing)(jing)典(dian)數學的(de)(de)(de)矢量(liang)偏微分(fen)運算(suan)符。這兩條(tiao)是(shi)(shi)發現電(dian)(dian)磁(ci)波方程的(de)(de)(de)基(ji)礎(chu)。這就是(shi)(shi)說,實(shi)際上(shang)麥(mai)克斯韋的(de)(de)(de)工作已經(jing)(jing)沖破經(jing)(jing)典(dian)物理(li)學和(he)當(dang)時數學的(de)(de)(de)框架(jia)(jia),只(zhi)是(shi)(shi)由(you)于當(dang)時的(de)(de)(de)歷史條(tiao)件,人們仍然只(zhi)能從牛頓的(de)(de)(de)微積分(fen)和(he)經(jing)(jing)典(dian)力學的(de)(de)(de)框架(jia)(jia)去(qu)理(li)解電(dian)(dian)磁(ci)場理(li)論(lun)。
現代(dai)數(shu)(shu)學(xue),Hilbert空(kong)間(jian)中的(de)數(shu)(shu)學(xue)分(fen)析是(shi)在19世紀與20世紀之(zhi)(zhi)交的(de)時候才出現的(de)。而量(liang)子(zi)力學(xue)的(de)物(wu)質波的(de)概念則(ze)在更晚的(de)時候才被發現,特別(bie)是(shi)對于現代(dai)數(shu)(shu)學(xue)與量(liang)子(zi)物(wu)理學(xue)之(zhi)(zhi)間(jian)的(de)不可分(fen)割的(de)數(shu)(shu)理邏(luo)輯(ji)聯(lian)系至今也還沒有(you)完全被人們(men)所(suo)理解和接(jie)受(shou)。從麥克斯(si)韋建立電磁場理論到如今,人們(men)一直以歐氏空(kong)間(jian)中的(de)經典數(shu)(shu)學(xue)作為求(qiu)解麥克斯(si)韋方程(cheng)組的(de)基本方法。
(二)我們從麥(mai)克斯韋(wei)方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)的(de)(de)(de)(de)(de)產生、形式、內容和它的(de)(de)(de)(de)(de)歷史過程(cheng)中可以看(kan)到(dao)(dao):第一,物(wu)理(li)(li)(li)對象是(shi)(shi)在(zai)更深(shen)的(de)(de)(de)(de)(de)層次(ci)(ci)上(shang)發展(zhan)成為新的(de)(de)(de)(de)(de)公理(li)(li)(li)表(biao)達(da)方(fang)(fang)式而被人(ren)類所掌握(wo),所以科學的(de)(de)(de)(de)(de)進步不(bu)(bu)會(hui)是(shi)(shi)在(zai)既定(ding)(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)前(qian)提下演進的(de)(de)(de)(de)(de),一種(zhong)新的(de)(de)(de)(de)(de)具(ju)有認(ren)識(shi)意義的(de)(de)(de)(de)(de)公理(li)(li)(li)體系的(de)(de)(de)(de)(de)建立才是(shi)(shi)科學理(li)(li)(li)論進步的(de)(de)(de)(de)(de)標志。第二,物(wu)理(li)(li)(li)對象與對它的(de)(de)(de)(de)(de)表(biao)達(da)方(fang)(fang)式雖然是(shi)(shi)不(bu)(bu)同(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)東(dong)西,但如(ru)果不(bu)(bu)依靠合適的(de)(de)(de)(de)(de)表(biao)達(da)方(fang)(fang)法就無法認(ren)識(shi)到(dao)(dao)這個對象的(de)(de)(de)(de)(de)“存在(zai)”。第三,我們正在(zai)建立的(de)(de)(de)(de)(de)理(li)(li)(li)論將決定(ding)(ding)到(dao)(dao)我們在(zai)何種(zhong)層次(ci)(ci)的(de)(de)(de)(de)(de)意義上(shang)使我們的(de)(de)(de)(de)(de)對象成為物(wu)理(li)(li)(li)事(shi)實(shi),這正是(shi)(shi)現代(dai)最(zui)前(qian)沿的(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)理(li)(li)(li)學所給我們帶來的(de)(de)(de)(de)(de)困惑(huo)。
(三)麥克斯韋方(fang)程組揭示了(le)電(dian)場(chang)(chang)與磁場(chang)(chang)相互(hu)轉化中(zhong)(zhong)(zhong)產生的(de)(de)對(dui)稱(cheng)性(xing)優(you)美,這種(zhong)優(you)美以(yi)現代數(shu)學(xue)(xue)形式(shi)(shi)得到充(chong)分的(de)(de)表(biao)達。但(dan)是(shi)(shi),我們(men)一方(fang)面(mian)應(ying)當承認(ren),恰當的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)形式(shi)(shi)才能充(chong)分展示經驗方(fang)法(fa)中(zhong)(zhong)(zhong)看不到的(de)(de)整(zheng)體性(xing)(電(dian)磁對(dui)稱(cheng)性(xing));另(ling)一方(fang)面(mian),我們(men)也不應(ying)當忘記,這種(zhong)對(dui)稱(cheng)性(xing)的(de)(de)優(you)美是(shi)(shi)以(yi)數(shu)學(xue)(xue)形式(shi)(shi)反(fan)映出來的(de)(de)電(dian)磁場(chang)(chang)的(de)(de)統一本質。因此(ci),我們(men)應(ying)當認(ren)識到應(ying)在數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)表(biao)達方(fang)式(shi)(shi)中(zhong)(zhong)(zhong)“發現”或“看出”了(le)這種(zhong)對(dui)稱(cheng)性(xing),而不是(shi)(shi)從物理數(shu)學(xue)(xue)公式(shi)(shi)中(zhong)(zhong)(zhong)直(zhi)接推(tui)演出這種(zhong)本質。