“湊整”先算
1.計算:(1)24+44+56 (2)53+36+47
解:(1)24+44+56=24+(44+56)
=24+100=124
這樣想(xiang):因為44+56=100是個整百的數,所以先把(ba)它們(men)的和(he)算出來.
(2)53+36+47=53+47+36
=(53+47)+36=100+36=136
這樣想:因為53+47=100是(shi)個整百(bai)的(de)數,所以(yi)先把(ba)+47帶(dai)著(zhu)符號搬家(jia),搬到+36前面;然后再把(ba)53+47的(de)和算出來.
2.計算:(1)96+15 (2)52+69
解:(1)96+15=96+(4+11)
=(96+4)+11=100+11=111
這樣想(xiang):把15分拆成15=4+11,這是因為96+4=100,可湊整先算.
(2)52+69=(21+31)+69
=21+(31+69)=21+100=121
這樣想:因為69+31=100,所以把52分(fen)拆成21與31之和(he),再把31+69=100湊整先算.
3.計算:(1)63+18+19 (2)28+28+28
解(jie):(1)63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+(2+18)+(1+19)
=60+20+20=100
這樣(yang)想(xiang):將63分拆成(cheng)63=60+2+1就是因為(wei)2+18和1+19可以湊整先(xian)算.
(2)28+28+28
=(28+2)+(28+2)+(28+2)-6
=30+30+30-6=90-6=84
這(zhe)樣(yang)想:因為(wei)28+2=30可湊整,但最后要把(ba)多(duo)加的三(san)個2減去.
改變運算順序:在只有“+”、“-”號的混合算式中,運算順序可改變
計算:(1)45-18+19 (2)45+18-19
解:(1)45-18+19=45+19-18
=45+(19-18)=45+1=46
這樣想:把(ba)+19帶著符號搬家,搬到-18的前面.然后先算19-18=1.
(2)45+18-19=45+(18-19)
=45-1=44
這樣想:加18減(jian)19的結果(guo)就等于(yu)減(jian)1.
計算等差連續數的和
相(xiang)鄰的(de)兩個數(shu)的(de)差都(dou)相(xiang)等(deng)的(de)一串數(shu)就(jiu)叫(jiao)等(deng)差連續數(shu),又叫(jiao)等(deng)差數(shu)列,如:
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,3,5,7,9
2,4,6,8,10
3,6,9,12,15
4,8,12,16,20等等都是等差(cha)連續數.
1. 等差連(lian)續數(shu)(shu)(shu)的(de)個數(shu)(shu)(shu)是(shi)奇數(shu)(shu)(shu)時,它們的(de)和等于中間(jian)數(shu)(shu)(shu)乘以個數(shu)(shu)(shu),簡記成:
(1)計算:1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5×9 中(zhong)間數是(shi)5
=45 共9個數
(2)計算(suan):1+3+5+7+9
=5×5 中(zhong)間數是5
=25 共有5個數
(3)計算:2+4+6+8+10
=6×5 中間(jian)數是6
=30 共有5個數
(4)計算(suan):3+6+9+12+15
=9×5 中間數是9
=45 共有5個數
(5)計(ji)算:4+8+12+16+20
=12×5 中間數是12
=60 共有5個數
2. 等差連續數的個數是(shi)偶數時,它們的和(he)(he)等于首數與末數之(zhi)和(he)(he)乘以個數的一半,簡記成:
(1)計算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)×5=11×5=55
共10個(ge)數(shu),個(ge)數(shu)的一半是(shi)5,首數(shu)是(shi)1,末(mo)數(shu)是(shi)10.
(2)計算:3+5+7+9+11+13+15+17
=(3+17)×4=20×4=80
共(gong)8個(ge)數(shu),個(ge)數(shu)的一(yi)半是4,首數(shu)是3,末(mo)數(shu)是17.
(3)計算:2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
=(2+20)×5=110
共(gong)10個數,個數的(de)一半(ban)是5,首(shou)數是2,末數是20.
基準數法
(1)計算:23+20+19+22+18+21
解:仔細觀察,各(ge)個加數的大小都(dou)接近20,所以(yi)可以(yi)把每(mei)個加數先按20相(xiang)加,然后再(zai)把少(shao)算的加上,把多算的減去.
23+20+19+22+18+21
=20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6個加(jia)數都按20相加(jia),其(qi)和=20×6=120.23按20計算就少加(jia)了“3”,所以(yi)再加(jia)上“3”;19按20計算多加(jia)了“1”,所以(yi)再減去(qu)“1”,以(yi)此(ci)類(lei)推.
(2)計算:102+100+99+101+98
解(jie):方法1:仔細觀察(cha),可知各個加數都接近100,所以選100為(wei)基(ji)準(zhun)數,采用基(ji)準(zhun)數法進行巧算.
102+100+99+101+98
=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2:仔細觀(guan)察(cha),可將5個數重(zhong)新排列如下(xia):(實際上就(jiu)是把(ba)有(you)的加數帶有(you)符號搬家(jia))
102+100+99+101+98
=98+99+100+101+102
=100×5=500
可發現這是一個(ge)(ge)等差連續數(shu)(shu)的求和問(wen)題,中間數(shu)(shu)是100,個(ge)(ge)數(shu)(shu)是5.
1、加法中的巧算
1.什么叫“補數”?
兩個數(shu)(shu)相加(jia),若能恰好湊成(cheng)整(zheng)十、整(zheng)百、整(zheng)千、整(zheng)萬…,就把(ba)其(qi)中的一(yi)個數(shu)(shu)叫做(zuo)另(ling)一(yi)個數(shu)(shu)的“補數(shu)(shu)”。
如:1+9=10,3+7=10,
2+8=10,4+6=10,
5+5=10。
又如:11+89=100,33+67=100,
22+78=100,44+56=100,
55+45=100,
在上面(mian)算式(shi)中(zhong),1叫9的(de)“補(bu)(bu)數(shu)”;89叫11的(de)“補(bu)(bu)數(shu)”,11也叫89的(de)“補(bu)(bu)數(shu)”.也就是說兩個數(shu)互為“補(bu)(bu)數(shu)”。
對于一(yi)(yi)個較(jiao)大(da)的數(shu)(shu),如何能很快地(di)算出它的“補(bu)數(shu)(shu)”來呢(ni)?一(yi)(yi)般來說,可以這樣“湊”數(shu)(shu):從最高位湊起,使各位數(shu)(shu)字相(xiang)加(jia)得9,到最后(hou)個位數(shu)(shu)字相(xiang)加(jia)得10。
如: 87655→12345, 46802→53198,
87362→12638,…
下面講利(li)用“補數(shu)”巧算加(jia)法,通常稱(cheng)為“湊整法”。
2.互補數先加。
例(li)1:巧算(suan)下面(mian)各題:
①36+87+64 ②99+136+101 ③ 1361+972+639+28
解:①式=(36+64)+87
=100+87=187
②式=(99+101)+136
=200+136=336
③式(shi)=(1361+639)+(972+28)
=2000+1000=3000
3.拆出(chu)補數來(lai)先加(jia)。
例2:①188+873 ②548+996 ③9898+203
解:①式(shi)=(188+12)+(873-12)(熟練之后,此步可略(lve))
=200+861=1061
②式=(548-4)+(996+4)
=544+1000=1544
③式=(9898+102)+(203-102)
=10000+101=10101
4.豎(shu)式(shi)運算中互補數先加。
2、減法中的巧算
1.把幾個互為“補(bu)數”的減(jian)數先加起(qi)來,再從被減(jian)數中減(jian)去(qu)。
例3:① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10
解:①式= 300-(73+ 27)
=300-100=200
②式=1000-(90+80+20+10)
=1000-200=800
2.先減(jian)去那些與被減(jian)數有相同尾數的減(jian)數。
例4:① 4723-(723+189)
② 2356-159-256
解:①式(shi)=4723-723-189
=4000-189=3811
②式=2356-256-159
=2100-159
=1941
3.利用“補數(shu)”把(ba)接近整(zheng)十、整(zheng)百、整(zheng)千…的(de)數(shu)先變整(zheng),再運算(注意把(ba)多加的(de)數(shu)再減(jian)去,把(ba)多減(jian)的(de)數(shu)再加上)。
例5: ①506-397 ②323-189 ③467+997 ④987-178-222-390
解:①式(shi)=500+6-400+3(把多(duo)減的(de) 3再加(jia)上)
=109
②式=323-200+11(把多(duo)減(jian)的11再加上)
=123+11=134
③式=467+1000-3(把(ba)多加的3再減去)
=1464
④式=987-(178+222)-390
=987-400-400+10=197
3、加減混合式的巧算
1.去括號(hao)和(he)添(tian)括號(hao)的法(fa)則
在只有加減(jian)運算的算式里(li),如(ru)果括號(hao)(hao)(hao)前(qian)面(mian)是“+”號(hao)(hao)(hao),則不論(lun)(lun)去掉括號(hao)(hao)(hao)或添(tian)上(shang)括號(hao)(hao)(hao),括號(hao)(hao)(hao)里(li)面(mian)的運算符號(hao)(hao)(hao)都不變(bian)(bian)(bian);如(ru)果括號(hao)(hao)(hao)前(qian)面(mian)是“-”號(hao)(hao)(hao),則不論(lun)(lun)去掉括號(hao)(hao)(hao)或添(tian)上(shang)括號(hao)(hao)(hao),括號(hao)(hao)(hao)里(li)面(mian)的運算符號(hao)(hao)(hao)都要改變(bian)(bian)(bian),“+”變(bian)(bian)(bian)“-”,“-”變(bian)(bian)(bian)“+”,即:
a+(b+c+d)=a+b+c+d
a-(b+a+d)=a-b-c-d
a-(b-c)=a-b+c
例6:①100+(10+20+30)
② 100-(10+20+3O)
③ 100-(30-10)
解:①式=100+10+20+30=160
②式=100-10-20-30=40
③式=100-30+10=80
例7:計算下面各題(ti):
① 100+10+20+30 ② 100-10-20-30 ③ 100-30+10
解:①式=100+(10+20+30)=100+60=160
②式=100-(10+20+30)=100-60=40
③式=100-(30-10)=100-20=80
2.帶符號“搬家”
例8:計(ji)算 325+46-125+54
解:原式(shi)=325-125+46+54
=(325-125)+(46+54)
=200+100=300
注意(yi):每個數(shu)前面的運算符(fu)號是(shi)這個數(shu)的符(fu)號.如+46,-125,+54.而325前面雖然沒有(you)符(fu)號,應看(kan)作是(shi)+325。
3.兩個數(shu)相同而符號相反(fan)的數(shu)可以(yi)直接“抵消”掉
例9:計算(suan)9+2-9+3
解:原式=9-9+2+3=5
4.找“基準數”法
幾個(ge)比較(jiao)接(jie)近于某一整數(shu)(shu)的(de)數(shu)(shu)相加(jia)時,選這個(ge)整數(shu)(shu)為“基(ji)準數(shu)(shu)”。
例10:計算(suan) 78+76+83+82+77+80+79+85
=640
1.兩數的(de)乘積是(shi)整十、整百、整千的(de),要先乘.為此,要牢記下面(mian)這三個特殊的(de)等式:
5×2=10
25×4=100
125×8=1000
例1:計算①123×4×25
② 125×2×8×25×5×4
解:①式=123×(4×25)=123×100=12300
②式=(125×8)×(25×4)×(5×2)=1000×100×10=1000000
2.分(fen)解(jie)因數,湊整先乘。
例2:計(ji)算(suan)① 24×25
② 56×125
③ 125×5×32×5
解:①式=6×(4×25)=6×100=600
②式=7×8×125=7×(8×125)=7×1000=7000
③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4)=1000×100=100000
3.應用乘法(fa)分配律。
例3:計算① 175×34+175×66 ②67×12+67×35+67×52+6
解:①式=175×(34+66)=175×100=17500
②式=67×(12+35+52+1)= 67×100=6700
(原式中最后一項67可看成 67×1)
例4:計算① 123×101 ② 123×99
解:①式=123×(100+1)=123×100+123=12300+123=12423
②式=123×(100-1)=12300-123=12177
4.幾種特(te)殊因數(shu)的巧算。
例5:一個數×10,數后添0;一個(ge)數×100,數后添00;一個數(shu)×1000,數(shu)后添000;以此類推。
如:15×10=150
15×100=1500
15×1000=15000
例6:一個數×9,數后添0,再減此數; 一(yi)個數×99,數后添00,再(zai)減此數;一個數×999,數后添000,再減此數 ……以此類推。
如(ru):12×9=120-12=108
12×99=1200-12=1188
12×999=12000-12=11988
例7:一個偶數乘(cheng)以(yi)5,可以(yi)除以(yi)2添(tian)上(shang)0。
如:6×5=30
16×5=80
116×5=580。
例8:一個數乘(cheng)以11,“兩頭一拉,中間相加”。
如 :2222×11=24442
2456×11=27016
例9:一個(ge)偶(ou)數乘以15,“加(jia)半添0”.
24×15
=(24+12)×10
=360
因為:24×15
= 24×(10+5)
=24×(10+10÷2)
=24×10+24×10÷2(乘法分配律)
=24×10+24÷2×10(帶符號搬家)
=(24+24÷2)×10(乘(cheng)法(fa)分配律)
例(li)10:個位為5的(de)兩(liang)位數(shu)的(de)自乘:十位數(shu)字×(十位數(shu)字加1)×100+25
如:15×15=1×(1+1)×100+25=225
25×25=2×(2+1)×100+25=625
35×35=3×(3+1)×100+25=1225
45×45=4×(4+1)×100+25=2025
55×55=5×(5+1)×100+25=3025
65×65=6×(6+1)×100+25=4225
75×75=7×(7+1)×100+25=5625
85×85=8×(8+1)×100+25=7225
95×95=9×(9+1)×100+25=9025
4、除法及乘除混合運算中的巧算
1.在除法中,利(li)用商不變的性質巧算
商不變(bian)的性質是:被(bei)除(chu)(chu)(chu)數和(he)除(chu)(chu)(chu)數同時乘(cheng)以或除(chu)(chu)(chu)以相同的數(零除(chu)(chu)(chu)外),商不變(bian).利(li)用這個(ge)性質巧(qiao)算(suan),使除(chu)(chu)(chu)數變(bian)為整(zheng)十、整(zheng)百、整(zheng)千的數,再除(chu)(chu)(chu)。
例11:計算①110÷5②3300÷25③ 44000÷125
解:①110÷5=(110×2)÷(5×2)
=220÷10=22
②3300÷25=(3300×4)÷(25×4)
=13200÷100=132
③ 44000÷125=(44000×8)÷(125×8)
=352000÷1000=352
2.在乘(cheng)除混(hun)合(he)運算中,乘(cheng)數(shu)和除數(shu)都可以帶符號“搬(ban)家”。
例(li)12:864×27÷54
=864÷54×27
=16×27
=432
3.當n個(ge)數(shu)(shu)都(dou)除(chu)以(yi)同一個(ge)數(shu)(shu)后再加減時,可(ke)以(yi)將它們先加減之后再除(chu)以(yi)這個(ge)數(shu)(shu)。
例13:① 13÷9+5÷9 ②21÷5-6÷5 ③2090÷24-482÷24 ④187÷12-63÷12-52÷12
解:①13÷9+5÷9=(13+5)÷9=18÷9=2
②21÷5-6÷5=(21-6)÷5=15÷5=3
③2090÷24-482÷24=(2090-482)÷24=1608÷24=67
④187÷12-63÷12-52÷12=(187-63-52)÷12=72÷12=6
4.在(zai)乘除(chu)混合運算中“去(qu)括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)”或添“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)”的方法:如(ru)果“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)”前(qian)面(mian)是乘號(hao)(hao)(hao)(hao),去(qu)掉“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)”后(hou),原“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)”內的符號(hao)(hao)(hao)(hao)不變(bian);如(ru)果“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)”前(qian)面(mian)是除(chu)號(hao)(hao)(hao)(hao),去(qu)掉“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)”后(hou),原“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)”內的乘號(hao)(hao)(hao)(hao)變(bian)成除(chu)號(hao)(hao)(hao)(hao),原除(chu)號(hao)(hao)(hao)(hao)就要變(bian)成乘號(hao)(hao)(hao)(hao),添括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)的方法與去(qu)括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)類似。
即a×(b÷c)=a×b÷c 從左往右(you)看是去括號,
a÷(b×c)=a÷b÷c 從右往左看(kan)是添括號。
a÷(b÷c)=a÷b×c
例14:①1320×500÷250
②4000÷125÷8
③5600÷(28÷6)
④372÷162×54
⑤2997×729÷(81×81)
解:① 1320×500÷250=1320×(500÷250)=1320×2=2640
②4000÷125÷8=4000÷(125×8)=4000÷1000=4
③5600÷(28÷6)=5600÷28×6=200×6=1200
④372÷162×54=372÷(162÷54)=372÷3=124
⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81=(2997÷81)×(729÷81)=37×9=333
例(li)1:計算9+99+999+9999+99999
解:在涉及所有(you)數字(zi)都是9的(de)計算(suan)中(zhong),常使用湊(cou)整法.例如(ru)將999化成1000—1去(qu)計算(suan).這是小學數學中(zhong)常用的(de)一種技(ji)巧.
9+99+999+9999+99999
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)
=10+100+1000+10000+100000-5
=111110-5
=111105.
例2:計算199999+19999+1999+199+19
解:此題各數字中,除(chu)最高(gao)位是1外(wai),其余都是9,仍使用湊整(zheng)法.不過這里是加1湊整(zheng).(如 199+1=200)
199999+19999+1999+199+19
=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)
+(19+1)-5
=200000+20000+2000+200+20-5
=222220-5
=22225.
例3:計算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
解法2:先把兩個(ge)括號內的(de)數(shu)分別(bie)相(xiang)(xiang)(xiang)加,再相(xiang)(xiang)(xiang)減.第一個(ge)括號內的(de)數(shu)相(xiang)(xiang)(xiang)加的(de)結果是(shi):
從1到1989共有995個(ge)奇數(shu),湊成(cheng)497個(ge)1990,還(huan)剩下(xia)995,第(di)二個(ge)括號內(nei)的(de)數(shu)相(xiang)加的(de)結果是:
從(cong)2到(dao)1988共有994個偶(ou)數,湊成497個1990.
1990×497+995—1990×497=995.
例(li)4:計算 389+387+383+385+384+386+388
解法1:認真觀察每個加數,發現它們都(dou)和整數390接近,所以選390為基準數.
389+387+383+385+384+386+388
=390×7—1—3—7—5—6—4—
=2730—28
=2702.
解(jie)法2:也可以選380為基準數,則有
389+387+383+385+384+386+388
=380×7+9+7+3+5+4+6+8
=2660+42
=2702.
例5:計(ji)算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
解:認真觀察可知此(ci)題關鍵是求(qiu)括號(hao)中6個相接近的(de)數之和,故可選4940為基準(zhun)數.
(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
=(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6
=(4940×6+6)÷6(這里沒(mei)有把4940×6先算出來,而是(shi)運
=4940×6÷6+6÷6運用(yong)了除(chu)法(fa)中的巧算(suan)方法(fa))
=4940+1
=4941.
例6:計算54+99×99+45
解:此(ci)題表面上看沒有巧妙(miao)的(de)算法,但如(ru)果(guo)把(ba)45和(he)54先結(jie)合可(ke)(ke)得99,就可(ke)(ke)以(yi)運用乘法分配律進(jin)行簡算了(le).
54+99×99+45
=(54+45)+99×99
=99+99×99
=99×(1+99)
=99×100
=9900.
例7:計(ji)算 9999×2222+3333×3334
解:此題(ti)如(ru)果(guo)直接乘(cheng),數字較(jiao)大(da),容易(yi)出(chu)(chu)錯.如(ru)果(guo)將(jiang)9999變為3333×3,規(gui)律就(jiu)出(chu)(chu)現(xian)了.
9999×2222+3333×3334
=3333×3×2222+3333×3334
=3333×6666+3333×3334
=3333×(6666+3334)
=3333×10000
=33330000.
例(li)8:1999+999×999
解法1:1999+999×999
=1000+999+999×999
=1000+999×(1+999)
=1000+999×1000
=1000×(999+1)
=1000×1000
=1000000.
解法2:1999+999×999
=1999+999×(1000-1)
=1999+999000-999
=(1999-999)+999000
=1000+999000
=1000000.
(1)238+1759-97-998
=238+1759-100+3-1000+2
=238+2-100+(1759+3-1000)
=140+762
(2)998+3+99+998+3+9
=(998+2)+(1+99)+(998+2)+(1+9)
=1000+100+1000+10
=2110
(3)19+199+1999+19999+199999
=20-1+200-1+2000-1+20000-1+200000-1
=20+200+2000+20000+200000-1-1-1-1-1
=222220-5
=222215
(4)37+56+63+44
=37+63+(56+44)
=100+100
=200
(5)516-56-44-16
=516-16-56-44
=516-16-(56+44)
=500-100
=400
(6)947+(372-447)
=947+372-44
=947-447+372
=500+372
=872
(7)5498-1928-387-1072-16137
=5498-1928-1072-387-1613
=5498-(1928+1072)-(387+1613)
=5498-3000-2000
=2498-2000
=498
(8)123+234+345-456+567-678+789-890
=123+234+345+(567-456)+(7*78)-890
=123+234+345+111+111-890
=234+(123+567)-890
=234+690-890
=34+890-890
=34
(9)569+384+147-328-167-529
=(569-529)+147-(147+20)+388-4-328
=40-20+56
=76
(10)6472-(4476-2480)+5319-(3323-1327)+9354-(7358-5362)+6839-(4843-2847)
=(6480-8)+(5320-1)+(9360-6)+(6840-1)-(4476-2476-4)-(3323-1323-4)-(7358-5358-4)-(4843-2843-4)
=(6480+5320)+(9360+6840)-8-1-6-1-2000+4-2000+4-2000+4-2000+4
=11800+16200-8000-16+16
=28000-8000
=20000
(11)236×37×27
=236×(37×3×9)
=236×(111×9)
=236×999
=236×(1000-1)
=236000-236
=235764
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